Aula 03 – Erros experimentaisIncerteza

Aula 03

Incerteza

Aula 03

Prof. Valner Brusamarello

Incerteza CombinadaIncerteza CombinadaEfeito da Incerteza sobre “y”

( )y f x u x u x u= ± ± ±L L( )1 1 2 2, , , ,k ky f x u x u x u= ± ± ±Expansão em Série de Taylor:

⎤⎡ ⎞⎛( ) ( ) LL

L +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡±⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+= ∑k

kk

uxxxx

fxxxfy,,,

,,,321

321

⎦⎣ ⎠⎝

ucV i ã

y f(x1 , x2 ,...)

Variação em y incertezauc

xk

uk x

Análise de IncertezasExemplo: Suponha que medimos a corrente (I) e a resistência (R) de um resistor. Pela lei de Ohm:

V = IRV = IRSe nós conhecemos as incertezas (ou desvios padrões) em I e R,qual a incerteza em V?Mais formalmente, dada uma relação funcional entre algumas variáveis (x, y, z),

Q=f(x, y, z)Qual é a incerteza em conhecendo as incertezas em x, y, e z?Geralmente consideramos a incerteza padrão em x, e escrevemos: x±s.pNa maioria dos casos assumimos a incerteza “Gaussiana” e como visto anteriormente, 68% das vezes, esperamos que o valor de x esteja no intervalo [x-s, x+s].Nem todas as medidas podem ser representadas por distribuições Gaussianas!p p p çPara calcular a a variância de Q como função das variâncias em x e y, então usamos:

⎞⎛⎞⎛22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

yQ

xQ

yQ

xQ

xyyxQ ∂∂

∂∂σ

∂∂σ

∂∂σσ 2

22

222

Análise de IncertezasSe as variáveis x e y não são correlacionadas, então σxy = 0 e o último termo naequação anterior é zero. Podemos deduzir essa equação da sequinte maneira:Assumindo que temos algumas quantidades medidas x (x1, x2...xN) e y (y1, y2, g...yN). As médias de x e y:

1 1

1 1 e N N

x i y ii i

x yN N

µ µ= =

= =∑ ∑Q ≡ f (x y )

defina: avaliada nos valores médios

expandindo Qi sobre estes valores médios:

Qi ≡ f (xi ,yi )Q ≡ f (µx ,µy )

expandindo Qi sobre estes valores médios:

( ) ( ) ( ) + termos de ordens altasQ QQ Q x y∂ ∂µ µ µ µ⎛ ⎞⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟

assumindo que os valores medidos encontram-se próximos das médias, e desprezando termos de ordens mais elevadas:

, ,

( , ) ( ) ( ) + termos de ordens altasx y x y

i x y i x i yQ Q x yx yµ µ µ µ

µ µ µ µ∂ ∂

= + − + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

p :

á⎞⎛⎞⎛

Análise de Incertezas

∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−

N

yixii

QQ

yQy

xQxQQ

xxxx

22

,,

)(1

)()(∂∂µ

∂∂µ

µµµµ

∑ ∑∑

∑=

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=

N N

yixiyi

N

xi

iiQ

yQ

xQyx

NyQy

NxQx

N

QQN

22

22

1

22

))((2)(1)(1

)(

∂∂

∂∂µµ

∂∂µ

∂∂µ

σ

∑=

= ==

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎠⎜⎝⎠⎝⎠

⎜⎝⎠⎝

N

iyixiyx

i ii

yxNy

QxQ

yQ

xQ

yxNyNxNxxxxyxxx

1

22

22

1 ,1 ,,1 ,

))((2 µµ∂∂

∂∂

∂∂σ

∂∂σ

∂∂∂∂

µµµµµµµµ

µµµµµµµµ

Se as medidas não são correlacionadas o último termo na equação acima é zero:

⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ yyyxyxxxxx ,,,, µµµµµµµµ

22 QQ ∂∂ ⎞⎛⎞⎛

Uma vez que as derivadas são avaliadas nas médias (µx, µy) , podemos tirá-las da soma

,

2

,

22

yxyxyQ

xQ

yxQµµµµ ∂

∂σ∂∂σσ ⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Medidas não correlacionados

Análise de IncertezasSe x e y são correlacionados, definimos σxy como:

N

yx µµσ ))((1 ∑

xyyxQ

iyixixy

QQQQ

yxN

σ∂∂

∂∂

∂∂σ

∂∂σσ

µµσ

22

222

1

2

))((

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−= ∑=

Exemplo: Potência em um circuito elétrico.

xyyxQ

yxyxyxyxyxyx ∂∂∂∂ µµµµµµµµ ,,,, ⎠

⎜⎝⎠

⎜⎝⎠

⎜⎝⎠

⎜⎝

P = I2R

Faça I = 1.0 ± 0.1 A e R = 10. ± 1.0 ΩP = 10 W

Calcule a variância na potência usando a propagação de incertezasi d I R ã ã l i dassumindo que I e R não são correlacionados

σ P2 = σ I

2 ∂P∂I

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

+σ R2 ∂P

∂R⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

= σ I2 (2IR)2 +σ R

2 (I2 )2 = (0.1)2 (2 ⋅1⋅10)2 + (1)2 (12)2 = 5 watts2P I ∂I⎝

⎜⎠ ⎟

I=1R ∂R⎝

⎜⎠ ⎟

R=10I ( ) R ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Análise de IncertezasP = 10± 2 watts Se o valor verdadeiro da potêcia for de 10 W e nós medirmos a mesma com Se o valor verdadeiro da potêcia for de 10 W e nós medirmos a mesma com uma incerteza padrão (s) de ± 2 W, considerando uma distribuiçãoGaussiana, então 68% das medidas ficará dentro do intervalo [8,12] WPodemos ainda, fazer o cálculo anterior com erros relativos:

)14()10(11.044 2222222222

+⎞⎜⎛+⎞

⎜⎛+⎞

⎜⎛+⎞

⎜⎛ PP RIRIP σσ∂σ∂σσ

Observe que se a corrente for medida com mais precisão, a incerteza na potência cai mais rapidamente

)14()1.0(101

422222 +=⎠

⎜⎝

+⎠

⎜⎝

=+=⎠

⎜⎝

+⎠

⎜⎝

=RIRPIPP

RIRIP

∂∂

incerteza na potência cai mais rapidamente.Pode-se mostrar que em uma função do tipo: f(x,y,z)= xaybzc, a variância relativa de f(x,y,z) é:f( ,y, )

2222⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ cba σσσσ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛z

cy

bx

af

zyxf σσσσ

Análise de IncertezasO desvio na média

Análise de Incertezas

A média de algumas medidas com a mesma incerteza (σ) é dada por:

µ = 1 (x1 + x2 + x )µ =n

(x1 + x2 +...xn )

σµ2 = σ

x1

2 ∂µ∂

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

+σx2

2 ∂µ∂

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

+...σx

2 ∂µ∂

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

= σ2 1⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

+σ2 1⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

+...σ 1⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

= nσ2 1⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

µ x1 ∂x1⎝ ⎠ x2 ∂x2⎝ ⎠ xn ∂xn⎝ ⎠ n⎝ ⎠ n⎝ ⎠ n⎝ ⎠ n⎝ ⎠

σµ = σn “desvio padrão na média” ou incerteza padrão

A precisão aumenta com a raiz quadrada do número de experimentos.Nã f d !Não confunda σµ com σ ! σ está relacionado com a largura da função densidade probabilidade ( ex.:

Gaussiana) da qual as medidas são originadas. σ não diminui quando se aumenta o número de elementos.

Incertezas combinadasDepois do procedimento matemático, das simplificações e p p p çconsiderações, pode-se obter a expressão para a incerteza padrão na grandeza G :

222⎞⎛ ∂⎞⎛ ∂⎞⎛ ∂ GGG ...2222 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= zyxG zG

yG

xG σσσσ

Esta equação permite calcular a incerteza mais provável da grandeza G em função das incertezas de cada uma das grandeza G em função das incertezas de cada uma das variáveis, das quais a mesma é dependente.

Combinação das Incertezas Relativas

zx ⋅w

xy =

222)( ⎞⎜⎛⎞

⎜⎛⎞

⎜⎛⎞

⎜⎛ uuuyu wzxc )(

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛wz

uxy

y wzxc

⎠⎝ y

Propagação de IncertezasTodas as grandezas físicas, quando medidas devem ser representadas g , q ppor um valor numérico, uma incerteza e uma unidade (se a grandeza não for adimensional). Exemplo: temperatura indicada no painel de um forno : 700 °C A Exemplo: temperatura indicada no painel de um forno : 700 C. A expressão “grandeza física” implica na determinação de um número que representa a grandeza e tem pouco valor caso não seja conhecida a incerteza correspondente Assim no caso da temperatura do forno a incerteza correspondente. Assim, no caso da temperatura do forno, considerando a precisão do sensor de temperatura, do instrumento de indicação e dos cabos poder-se-ia chegar a uma informação do tipo:

Onde o valor 700 indica a grandeza nominal medida ou estimada e o valor 5 a incerteza (em ºC) relacionada a esta medida.

( )700 5 C± o

valor 5 a incerteza (em C) relacionada a esta medida.

Propagação de IncertezasPropagação de Incertezas

U di i d d 10000 BTU t t ã lét i did dUm ar condicionado de 10000 BTU tem uma tensão elétrica medida dee corrente .Pretende-se determinar a potência real

dissipada neste aparelho de ar condicionado:( )220 10E V= ± ( )6 1I A= ±

dissipada neste aparelho de ar condicionado:

200 6 1320P VI W= = =( )( )min 220 10 6 1 1050P W= − − = ⋅ ( )( )max 220 10 6 1 1610P W= + + = ⋅

Entretanto, apesar de possível, é bastante improvável que a incerteza da potência seja dada por essas quantidades, uma vez que dois maiores ou

l d d d l â d

200.6 1320P VI W

menores valores de medida simultâneos devem ocorrer. Segundo o método apresentado anteriormente, o resultado do cálculo da incerteza final é uma função das variáveis independentes para:, , ,...i i ix y zincerteza final é uma função das variáveis independentes para:, , ,...i i ix y z

( ), , ,...G i i iG x y zσ =

Incerteza ExpandidaEspecificando a Incerteza da Medida (Precisão)Especificando a Incerteza da Medida (Precisão)

Medida Ideal = Medida Real ± U

U é a Incerteza Expandida

kU ckuU ±=k = Fator de Cobertura

Determina o Nível de ConfidênciaDetermina o Nível de Confidência• Grau de crença de que o valor ideal da medida se encontra no

intervalo• Se a quantidade z apresentar uma distribuição normal, com

espectância µz e desvio padão σ, o intervalo µz ± kσ abarca 68,27%; 90%; 95,45%; 99% e 99,73% (nível de confidência) dos Área = P(µz – kσ <z< µz + kσ )

p(z) Fator de Cobertura

, ; ; , ; , ( )possíveis valores de z, para k=1; k=1,645; k=2; k=2,576 e k=3respectivamente (considerando graus de liberdade →∞)

Área P(µz kσ z µz kσ )

Área nível de confidência

• Para outras distribuições os valores são diferenteszµz + kσµzµz – kσ

Propagação de IncertezasConsidere, nos próximos exemplos, erros com distribuição gaussiana. Se nada for informado sobre o nível de confidência, o mesmo corresponde a 68 3% (±σ) a 68,3% (±σ).

No exemplo da potência, calcule a incerteza resultante mais provável.

A fí i j t t i t t t l d l l í d A superfície juntamente com a incerteza total de um paralelepípedo deve ser calculada. Os resultados das medidas das dimensões são:

( )100 1%x mm= ± ( )300 3%y mm= ±( ) ( )%y( )25 2z mm= ±

íexercícios

Aplica se uma Tensão de a um resistor de %1100 ±VV %110 ±Ω=RAplica-se uma Tensão de a um resistor de , sendo a corrente medida igual a . Deseja-se calcular a potência dissipada de três modos diferentes:

%.1.100 ±= VV %1.10 ±Ω=R

%1.10 ±= AI

potência dissipada de três modos diferentes:

RVP

2

=2RIP = IVP .=

Qual dos modos você considera mais adequado?

íexercíciosDados dois resistores ( )Ω±= 420R( )Ω±= 23002RDados dois resistores, , , determine o valor da resistência equivalente, quando:

(a) Os resistores estiverem em série;

( )Ω±= .4201R( )Ω± .23002R

(a) Os resistores estiverem em série;

(b) Os resistores estiverem em paralelo.

íexercíciosA resistência elétrica de um fio de cobre em função da A resistência elétrica de um fio de cobre, em função da temperatura, é dada por: ( )0 01R R T Tα⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

onde,

Ro = 6 00 Ω ± 2% ( na temperatura To)Ro 6,00 Ω ± 2% ( na temperatura To)

α = 0,0004 °C-1 ± 5%

T = 40 °C ± 2°CT 40 C ± 2 C

To = 20°C ± 2°C

Calcule R com a sua incerteza relativaCalcule R com a sua incerteza relativa

Análise de incerteza - ExemploAnálise de incerteza Exemplo

Incerteza CombinadaExemplo:

x y x1 di i d d i l y600

x Condicionador de Sinal

e

y1

y1=2.x

x1 Condicionador de Sinal yy=10.x1-3

++400

500

Variável espúria e1

e1

y=10.(2x+e1)-3x = xm± 2distribuição normalnível de confidência =99,73%

d lib d d300

400

Uy

22

2 ⎥⎤

⎢⎡ ⎞⎜⎜⎛ ∂

+⎥⎤

⎢⎡ ⎞⎜⎜⎛ ∂

= uyuyu

graus de liberdade →∞

5 1

ux=2/3=0,66 200

110,0, ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ⎠⎜⎝ ∂

+⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ⎠⎜⎜⎝ ∂ e

mx

mc u

xeu

xxu

( )[ ] ( )[ ] 2025,01066,020 222 =+=u

e1= 5 ± 1distribuição normalnível de confidência =95,45%graus de liberdade →∞0

100

( )[ ] ( )[ ] 2025,01066,020 +cu

y = (20xm +47) ± 42 k=3Grau de confidência 99,73%

graus de liberdade →∞

ue1 =1/2=0,50 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

x

Análise de incerteza - ExemploAnálise de incerteza Exemplo

Incerteza CombinadaIncerteza CombinadaExemplo:

22 ⎤⎡ ⎞⎛⎤⎡ ⎞⎛600

x Condicionador de Sinal yy=2.ex.x

2

10,10, ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= exmx

xm

c uxe

yuxx

yu500

ex

y x

( )[ ] ( )[ ]222 6,122,010.2 mc xu +=300

400

Fonte de Alimentação

x=xm±0,4 22 24,1016 mc xu +=200 U(12)

ex=10 ± 3,2distribuição normalnível de confidência =95,45%graus de liberdade →∞

y = 20xm ± 3.√(16+10,24xm2)

100

graus de liberdade →∞

ux=0,4/2=0,2uex=3,2/2=1,6

k=3Grau de confidência 99,73%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

Propagação de Incerteza

A incerteza se propaga de um estágio para outro do Sistema p p g g pde Medição

A função de transferência de cada estágio afeta a incerteza

x x yxCondicionador de Sinal

e1

y1

y1=2.x

x1 Condicionador de Sinal yy=10.x1-3

++

x1= =10 3

Variável espúria e1

uxy1=2.x

uy1= 2 ux

1y1+e1

1 1 1

2 2x y eu u u= +

y=10.x1-3

uy=10 ux1

ue1

P ã d i t E í iPropagação de incerteza - Exercício

ExercícioExercícioDetermine a incerteza expandida em cada estágio.

3 ++ ^2 X 3.ln++x e1 e2 e3 y

2 ^3 0,5

y

x=xm±0,05 (99,73%)e1=2 ± 0,1 (95,45%) Qual das fontes de incerteza é predominante?

1 , ( , )e2=0 ± 0,4 (99%)e3=1 ± 0,1 (99,73%)

Incertezas combinadas

C i i é Como visto anteriormente, é importante saber se as variáveis importante saber se as variáveis de entrada são correlacionadas de entrada são correlacionadas, pois isso muda a forma da pabordagem!

âCovariânciaA covariância mede a relação entre duas variáveis:A covariância mede a relação entre duas variáveis:

( ) ( ) ( )( , ) XY x Y X YCOV X Y E X Y E XY= σ = − µ − µ = − µ µ⎡ ⎤⎣ ⎦Se X e Y são independentes então COV(X,Y)=0 porque E(X.Y)=E(X).E(Y)=µxµyp q ( ) ( ) ( ) µxµy

A covariância estimada de duas estimativas de entrada x and x são denotadas por u(x x )entrada, xi and xj, são denotadas por u(xi,xj).

A correlação é um parâmetro que mede a relaçãoentre duas variáveis geralmente mais fácil de interpretar: ( ),COV X Yp ( )

( ) ( )XY

V X V Yρ =

Incerteza combinada não correlacionada - resumo

Se f é a função que descreve um modelo da medida Cada Se f é a função que descreve um modelo da medida. Cada u(xi) é uma incerteza padrão avaliada.

A incerteza padrão combinada u(y) é um desvio padrão A incerteza padrão combinada u(y) é um desvio padrão estimado dos valores que poderiam, razoavelmente,ser atribuídos ao mensurando Y;atribuídos ao mensurando Y;

As derivadas parciais df /dxii são iguais a df /d X i avaliadas para Xi As derivadas parciais df /dxii são iguais a df /d X i avaliadas para Xi = xi;

Estas derivadassão denominadas coeficientes de sensibilidade e Estas derivadassão denominadas coeficientes de sensibilidade e descrevem como a estimativa de saída y varia com alterações nos valores das estimativas de entrada x,, x2, ..., xN. valores das estimativas de entrada x,, x2, ..., xN.

Se esta alteração é gerada pela incerteza padrão da estimativa xi, a variação correspondente em y , a variância combinada pode ser variação correspondente em y , a variância combinada pode ser vista como a soma de termos,onde cada um deles representa a variância estimada associada com a estimativa de saída y gerada pela y g pvariância estimada, associada com cada estimativa de entrada xi, ou

onde

ExemploS d f d l V é l d d Se uma diferença de potencial V é aplicada aos teminais de um resistor dependente da temperatura que tem uma resistência Ro, à

t t d fi id t fi i t d t t uma temperatura definida to e um coeficiente de temperatura linear da resistência α , a potência P (o mensurando) dissipada pelo resistor à temperatura t depende de V Ro α e t de pelo resistor, à temperatura t, depende de V, Ro, α e t, de acordo com:

Exemplo

GUMA sensibilidade pode ser avaliada numericamente, nesse caso consulte o GUM!A sensibilidade também pode ser avaliada experimentalmente variando A sensibilidade também pode ser avaliada experimentalmente variando uma das entradas, mantendo as demais constantes e verificando a saída;Num exemplo anterior , a estimativa do valor do mensurando V p ,= V + ∆V, onde v = 0,928 571 V, u(v) = 12 pV, a correção aditiva ∆V =0, e u(∆V)=8,7 pV.

d /d 1 d /d(∆ ) 1 iâ i bi d Uma vez que dV/dv = 1 e dV/d(∆V) = 1, a variância combinada associada com V é dada por:

Este é um exemplo do caso em que o mensurando é uma função linearEste é um exemplo do caso em que o mensurando é uma função lineardas grandezas das quais depende, com coeficientes ci= +l.

se Y = c1X1 + c1X1 + ... + CNXN e se as constantes ci =+1 ou -1,

CorrelaçõesA covariância associada com as estimativas de duas grandezas de A covariância associada com as estimativas de duas grandezas de entrada Xi e Xj podem ser tomadas como nulas ou tratadas como insignificantes, se:s g ca tes, se:

a) Xi e Xj forem não-correlacionadas

b) qualquer das grandezas Xi ou Xj puder ser tratada como b) qualquer das grandezas Xi ou Xj puder ser tratada como constante

c) não existirem informações suficientes para avaliar a c) não existirem informações suficientes para avaliar a covariância associada às estimativas de Xi e Xj.

Pode se avaliar se duas grandezas de entrada observadas Pode-se avaliar se duas grandezas de entrada observadas simultânea e repetidamente são ou não correlacionadas por meio da equação:da equação:

CorrelaçõesNa prática, as grandezas de entrada são, freqüentemente, correlacionadas, porque o mesmo padrão de medição físico, p q p çinstrumento de medição, dado de referência, ou até mesmo o método de medição, tendo uma incerteza significativa, são usados na estimativa de seus valores.

Considerando duas variáveis X1 e X2

A variância de X1:

A covariância para as variáveis de entrada x1 e x2:A covariância para as variáveis de entrada x1 e x2:

Grandezas de entrada correlacionadas

Quando as grandezas de entrada são correlacionadas a expressão Quando as grandezas de entrada são correlacionadas, a expressão apropriada para a variância combinada uj (y), associada com o resultado de uma medição é:esu ta o e u a e ção é:

O d i j ã i i d Xi XjOnde xi e xj são as estimativas de Xi e Xj

u(xi, xj )=u(xj , xi ) a covariância estimada, associada com xi e xj .

O grau de correlação entre xi e xj é caracterizado pelo coeficiente de correlação estimado:

Grandezas correlacionadasA equação anterior pode ser reescrita em termos A equação anterior pode ser reescrita em termos da correlação:

P l d Para o caso muito especial em que todas as estimativas de entrada são correlacionadas, com

fi i d l ã ã ( )coeficientes de correlação a equação se reduz a:

( ), 1i jr x x = +

ExemploDez resistores, cada um com uma resistência nominal de R=1000 Ω, são calibrados , ,com uma incerteza de comparação desprezível, em termos de um mesmo resistor padrão Rs de 1000 Ω , caracterizada por uma incerteza padrão u(Rs) = 100 m Ω, tal como apresentado em seu certificado de calibração. Os resistores são conectados em série com fios de resistência desprezível, de forma a se obter uma resistência de referência Rref de valor nominal de 10 kΩAssim, ( )

10

R f R R= = ∑Assim,

Já que para cada par de resistores , a equação do exemplo t i li

( )1

ref i ii

R f R R=

= = ∑( ) ( ), , 1i j i jr x x r R R= =

anterior se aplica. Como para cada resistor esta equação produz:

( ) ( ) ( )1 i i Si i

f Rref e u x =u R =u R x R∂ ∂= =∂ ∂

( ) ( ) ( )10

10 100 1u R u R m= = × Ω = Ω∑q ç p

O lt d é i t i ã l

( ) ( ) ( )1

10 100 1c ref Si

u R u R m =

= = × Ω = Ω∑

( ) ( )1 / 210

2

10, 32c ref S

iu R u R⎡ ⎤

= =⎢ ⎥⎣ ⎦∑

O resultado é incorreto, pois não leva em conta que todos os valores calibrados dos dez resistores são correlacionados.

1i=⎣ ⎦

âCovariância e correlaçãoConsidere duas médias aritméticas qm e rm que estimam as esperanças Considere duas médias aritméticas qm e rm que estimam as esperanças µq e µr de duas grandezas q e r, variando aleatoriamente, e calcule qme rm a partir de n pares independentes de observações simultâneas de e a pa t e pa es epe e tes e o se vações s u tâ eas e q e r, feitas sob as mesmas condições de medição. Então a covariância de qm e rm é estimada por:q p

Onde qk e rk são as observações individuais das grandezas q e r;

Se as observações não são correlacionadas espera se que a covariância Se as observações não são correlacionadas, espera-se que a covariância calculada fique próxima de 0.

coeficiente de correlaçãocoeficiente de correlação:

Grandezas correlacionadasCorrelações entre grandezas de entrada não podem ser ignoradas, se Correlações entre grandezas de entrada não podem ser ignoradas, se estão presentes e são significativas. As covariâncias associadas devem ser avaliadas experimentalmente,se possível, variando-se as grandezas de entrada correlacionadas ou usando-se o conjunto de informações disponíveis sobre a variabilidade correlacionada das grandezas em questão.correlacionada das grandezas em questão.A intuição, baseada em experiência anterior e no conhecimento geral é especialmente requerida quando se estima o grau de correlação entre grandezas de entrada decorrentes do efeito de influências comuns, tais como temperatura ambiente, pressão barométrica e umidade umidade. Felizmente, em muitos casos, os efeitos de tais influências têm interdependência desprezível, e as grandezas de entrada afetadas podem ser supostas como não-correlacionadas.

Tamanho da amostraUma das grandes preocupações do ponto de vista experimental é Uma das grandes preocupações do ponto de vista experimental é como determinar o tamanho da amostra, ou seja, como responder a seguinte pergunta: “Quantas amostras ou ensaios devem ser realizados para garantir um bom significado estatísticos dos meus dados?” A resposta a esta pergunta não é simples, pois depende do tipo de

i d l j í i d i d experimento, do planejamento estatístico do experimento, dos parâmetros ou efeitos que serão estimados e da incertezapadrão desses efeitos que depende da variabilidade intrínseca do padrão desses efeitos que depende da variabilidade intrínseca do experimento, da exatidão do experimento e do tamanho da amostra. Repetições não reduzem o desvio padrão, mas reduz a incerteza padrão do experimento. Portanto, o erro padrão pode ser pequeno

d ú d i õaumentando-se o número de repetições.

Tamanho da amostraO intervalo de confiança para a média é dado por ε±xO intervalo de confiança para a média é dado por sendo

ε±x

nz σε α ×=

2 2⎞⎛ ×

O tamanho da amostra n é dado por : 2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ×=

ε

σαzn

sendo z a variável aleatória normal, α o nível de significância, d i d ã á i d i

⎠⎝

σ o desvio padrão e ε o erro máximo usando para estimar a média.

é d d d ó i ú i i E n é arredondado para o próximo número inteiro. Esta expressão considera que a amostragem é aleatória e que é grande n>30 tal que a distribuição normal pode ser usada grande n>30 , tal que, a distribuição normal pode ser usada para definir o intervalo de confiança

Tamanho da amostraPara tamanho de amostras pequeno (n<30) , a distribuição t é Para tamanho de amostras pequeno (n 30) , a distribuição t é usada.A distribuição t de Student é uma distribuição de

Éprobabilidade teórica. É simétrica, campaniforme, e semelhante à curva normal padrão, porém com caudas mais largas, ou seja, uma simulação da t de Student pode gerar valores mais extremos uma simulação da t de Student pode gerar valores mais extremos que uma simulação da normal. O único parâmetro v que a define e caracteriza a sua forma é o número de graus de liberdade. Quanto

i f â i ó i d l l ámaior for esse parâmetro, mais próxima da normal ela será.A distribuição t de Student aparece naturalmente no problema de se determinar a média de uma população (que segue a distribuição se determinar a média de uma população (que segue a distribuição normal) a partir de uma amostra. Neste problema, não se sabe qual é a média ou o desvio padrão da população, mas ela deve ser

lnormal.

A distribuição-t e os graus de liberdade

Para obter uma melhor aproximação do que simplesmente usar um Para obter uma melhor aproximação do que simplesmente usar um valor kp da distribuição normal, para definir um intervalo de confiança requer, não a distribuição da variável [Y - E(Y)]/σ(y), mas confiança requer, não a distribuição da variável [Y E(Y)]/σ(y), mas a distribuição da variável (y -Y)/u(y).

Isto se dá porque, na prática, tudo que está geralmente disponível é y, Isto se dá porque, na prática, tudo que está geralmente disponível é y, a estimativa de Y e a estimativa do desvio padrão;

Se z é uma variável aleatória normalmente distribuída com esperança Se z é uma variável aleatória normalmente distribuída com esperança µz , e desvio padrão σ e é a média aritmética de n observações independentes zk de z e s( ) o desvio padrão experimental de , z

zzp ( ) p p ,

então a distribuição da variável

É a distribuição-t ou distribuição de Student com v = n-1 graus de ç ç gliberdade.

DISTRIBUIÇÃO t de STUDENTDISTRIBUIÇÃO t de STUDENT

n1 , σ1n1 , σ1n1>n2>n3>>n4

< < < n2 , σ2σ1<σ2<σ3<σ4

n3 , σ3

n4 , σ4

DISTRIBUIÇÃO t de STUDENTDISTRIBUIÇÃO t de STUDENT

t0

t0 +t-t

xxt i −ns

t i

/=

Tamanho da amostraA variável aleatória t segue uma distribuição t de student com A variável aleatória t segue uma distribuição t de student com v=n-1 graus de liberdade

E l d i h d id d Exemplo: determinar o tamanho da amostra considerando um experimento onde estimamos a média de um processo com erro máximo de 8 Assumir que o intervalo de confiança é de erro máximo de 8. Assumir que o intervalo de confiança é de 95% e que é necessário uma amostra grande.

2

2 ⎟⎞

⎜⎜⎛ ×

=ε

σαzn %951 =−α 96,1=z 8=ε

⎠⎜⎝ ε %951 α

Tamanho da amostraPorém normalmente o desvio padrão é desconhecido pois o Porém normalmente o desvio padrão é desconhecido, pois o ensaio não foi realizado em função de não termos determinado o número ou tamanho da amostra. ete a o o ú e o ou ta a o a a ost a.

Uma boa solução é realizar algumas medições aleatórias, ou seja, alguns ensaios aleatórios e determinar o desvio padrão seja, alguns ensaios aleatórios e determinar o desvio padrão estimado indicado por s, ou seja, para esse exemplo, dez medições aleatórias foram realizadas para estimar o desvio ç ppadrão: 450, 458, 437, 425, 399, 405, 407, 409, 469, 461. A média aritmética obtida é 432 e o desvio padrão:

( )2n

ix X−∑ 83414,2696,1 22

2 =⎞⎜⎛ ×

=⎟⎞

⎜⎜⎛ ×

=σαz

n( )1 26, 4

1is

n== ≅

−

∑ 83,418

=⎠

⎜⎝

=⎠

⎜⎝

=ε

n

Tamanho da amostraPara uma quantidade pequena de amostras n e Para uma quantidade pequena de amostras n e assumindo que a média das amostras segue uma d b d l ldistribuição aproximadamente normal se utiliza a distribuição t para determinar o intervalo de confiança. Nesse caso, a equação é

nst ×=

2αε

Cabe observar, que o valor da distribuição t diminui com o aumento de n

Graus de liberdade

N t di i d iâ i d t é é t h d t Note que o divisor da variância da amostra é é o tamanho da amostra menos 1 (n-1), enquanto para a variância da população, é o tamanho da população n. p p çSe soubéssemos o valor verdadeiro da média populacional µ, entãopoderíamos encontrar a variância da amostra como a média dos quadradosd d i d b õ d d dos desvios das observações da amostra em torno de µ.Na prática, o valor de µ quase nunca é conhecido, e dessa forma, a soma dos quadrados dos desvios em torno da média X tem que ser usada No dos quadrados dos desvios em torno da média X tem que ser usada. No entanto as observações Xi tendem a estar mais próximas do seu valor médio X, do que a média populacional µ. Para compensar isso, usamos n-1 como divisor ao invés de n. Se usássemos n como divisor na variância da amostra, obteríamos umamedida de variabilidade que seria em média consistentemente menormedida de variabilidade que seria, em média, consistentemente menorque σ2 da população.

Graus de liberdadeGraus de liberdade

Outra maneira de pensar acerca disso é considerar aiâ i 2 d d b d 1variância s2, da amostra como estando baseada em n-1

graus de liberdade.O “ d lib d d ” l d f dO termo “graus de liberdade” resulta do fato de que ndesvios X1 -X, X2 –X, ..., Xn –X sempre somam zero eassim especificar os valores de quaisquer n 1 dessasassim, especificar os valores de quaisquer n-1 dessasquantidades determina automaticamente aquelerestanterestante.Dessa forma, somente n-1 nos n desvios Xi –X, estãolivremente determinadoslivremente determinados.

df t.60 t.70 t.80 t.90 t.95 t.975 t.99 t.9951 .325 .727 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.6572 .289 .617 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.9253 .277 .584 .978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.8414 .271 .569 .941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.6045 .267 .559 .920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

6 .265 .553 .906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.7077 .263 .549 .896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.4998 262 546 889 1 397 1 860 2 306 2 896 3 3558 .262 .546 .889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.3559 .261 .543 .883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.25010 .260 .542 .879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 .260 .540 .876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.10612 .259 .539 .873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.05513 259 538 870 1 350 1 771 2 160 2 650 3 01213 .259 .538 .870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.01214 .258 .537 .868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.97715 .258 .536 .866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947

16 .258 .535 .865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.92117 .257 .534 .863 1.333 1.740 2.110 2.567 2.89818 .257 .534 .862 1.330 1.734 2.101 2.552 2.87819 .257 .533 .861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.86120 .257 .533 .860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

21 .257 .532 .859 1.323 1.721 2.080 2.518 2.83122 256 532 858 1 321 1 717 2 074 2 508 2 81922 .256 .532 .858 1.321 1.717 2.074 2.508 2.81923 .256 .532 .858 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807

Distribuição tAlguns valores aproximados da distribuição versus valores de Alguns valores aproximados da distribuição versus valores de com intervalo de confiança de 95% - ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ == 025,02

05,02

α

1 12,7 1,00 12,7

2 4,30 1,41 3,05

3 3 18 1 73 1 843 3,18 1,73 1,84

4 2,78 2,00 1,39

5 2,57 2,24 1,15

6 2,45 2,45 1,00

7 2,36 2,65 0,890

8 2,31 2,83 0,816

9 2,31 3,00 0,770

10 2,23 3,16 0,706

15 2,13 3,87 0,550

20 2,09 4,48 0,466

25 2,06 5,00 0,412

Distribuição tExemplo: suponha outro experimento com 15 amostras Exemplo: suponha outro experimento com 15 amostras preliminares de média aritmética 291,3 e desvio padrão s=63. Determinar o intervalo de confiança de 95%. s 63. ete a o te va o e co a ça e 95 .

Como a amostra é pequena , o intervalo de confiança será obtido usando a distribuição t 15 amostras e

⎠⎞⎜

⎝⎛ tobtido usando a distribuição t 15 amostras e

intervalo de confiança de 95%⎠

⎜⎝ 2;15 αt

( )95,01 =−α 05,0=α( )

67,3428,1613,21563

1563

025,02

05,02

≅×≅×=×=×= ttnstαε

151522 n

EXEMPLO

C020 Cx 0120 C010C020=µ Cxi 1,20= C01,0=σ

Coordenada Z

1201,20=

−=

−=

µixz 11,0σ

z

1=z )1,20%(13,84 ⟨= ixp

)1,20%(87,15 ⟩= ixp

EXEMPLO

Cx 020 Cx 0120= Cs 010= 10=nCoordenada t

Cx 20= Cxi 1,20= Cs 1,0= 10=n

162,3201,20=

−=

−=

xxt i 162,3

101,0

nst

t p )120%(499(?) ⟨t p2,821 993,162 ?

)1,20%(4,99(?) ⟨= ixp

)120%(60 ⟩xp3,250 99,5 )1,20%(6,0 ⟩= ixp

DISTRIBUÍÇÕES “NORMAL PADRONIZADA”E “t DE SUDENT”

Coordenada Z

µx

Coordenada Z

σµ−

= ixzσ

Coordenada t

xxt i −= st =

n

Graus de liberdade efetivosConsidere que Y=f(X1 X2 X3)=bX1X2X3 e que as Considere que Y=f(X1,X2,X3)=bX1X2X3 e que as estimativas de X1, X2 e X3 são as médias aritméticas de n1=10, n2=5 e n3=15 repetições de observações 0, 5 e 3 5 epet ções e o se vações independentes com incertezas relativas padrão ux1/x1=0,25% ,ux2/x2=0,57% e ux3/x3=0,82%. Nesse caso a resposta da incerteza da variável Y de saída é [u(y)/y]=(1,03%); assim procedemos...

( )== ccyuyu 44 )()(ν ( )

∑∑⋅N

iiN

i

i

eff xucyu 4

1

4 ()(ν

ν

== ii

ii

11 νν

Graus de liberdade efetivos4

4 4( )

( )cu y

( )

4 4

4 4 4 4 4

3

( ) 1,03 19,0( ) 0, 25 0,57 0,82(

10 1 5 1 15 1

ceff N

i i

i

u y yu y u x

x

ν = = = =⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ − − −ν ⎝ ⎠

∑ 31

1

10 1 5 1 15 1ii i

i i

x=

=

ν ⎝ ⎠ν∑

O valor de tp para p=95% e v=19 é t95(19)=2,09

l d d é A incerteza relativa expandida é U95=2,09x(1,03%)=2,2%

Y=y±U95=y(1±0,022)

CRITÉRIOS DE REJEIÇÃOCRITÉRIOS DE REJEIÇÃO

CRITÉRIO DE REJEIÇÃOCRITÉRIO DE REJEIÇÃO

“NÃO EXISTE CRITÉRIO QUE SEJA SUPERIOR AO JULGAMENTO DE UM TÉCNICO EXPERIENTE, QUE ESTEJA FAMILIARIZADO COM SEU PROCESSO DE MEDIÇÃO. AS REGRAS ESTATÍSTICAS SÃO PRINCIPALMENTE PARA AUXÍLIO AOS TÉCNICOS INEXPERIENTES , QUE ESTEJAM TRABALHANDO COM UM NOVO PROCESSO DE MEDIÇÃO OU PARA AQUELES QUE SIMPLESMENTE DESEJAM JUSTIFICAR PORQUE ELES TOMARAM AQUELA DECISÃO”

Natrella M.G “Experimental Statistics” ; National Bureau of Standards Handbook91,1963

CRITÉRIO DE CHAUVENETCRITÉRIO DE CHAUVENET

Condição para Rejeição deCondição para Rejeição de qualquer valor de um conjunto:q q j

skxx ni ⋅>− )(n k(n)

2 1,153 1 353 1,354 1,545 1,656 1,736 1,737 1,808 1,869 1,9210 1,96

CRITÉRIO DE CHAUVENET

Y(mm)

CRITÉRIO DE CHAUVENET

Y(mm)2,5472,549 5972=xSerá rejeitado2,5532,5552 557

597,2=nx014,096,1561,2597,2 ⋅>−

j

2,5572,5592,5612,5612,5652,567 547,21 =x2,597

014,0=s014,096,1561,2547,2 ⋅<−

561,2=x

CRITÉRIO DE DIXONCRITÉRIO DE DIXON

quantidadede repetições

ijr

3 n 7n 3 ≤ n ≤ 7 10r8 ≤ n ≤ 10 11r11 ≤ n ≤ 13 21r

n

≤ ≤ 21r14 ≤ n ≤ 25 22r

rij xn suspeito x1 suspeito

r10 (xn-xn1) / (xn-x1) (x2-x1)/ (xn-x1))(calculadoijr > )(tabeladoijr

r10 (xn xn-1) / (xn x1) (x2 x1) / (xn x1)r11 (xn- xn-1) / (xn-x2) (x2- x1) / (xn-1-x1)r21 (xn-xn2) / (xn-x2) (x3-x1) / (xn1-x1)

Rejeita-se o respectivo valorr21 (xn xn-2) / (xn x2) (x3 x1) / (xn-1 x1)r22 (xn- xn-2) / (xn-x3) (x3- x1) / (xn-2-x1)

CRITERIA FOR REJECTION OF OUTLYING OBSERVATIONS

Statistic Number ofObservations,

Upper Percentiles

n 70 80 90 95 98 99 995n .70 .80 .90 .95 .98 .99 .995

3 .684 .781 .886 .941 .976 .988 .9944 .471 .560 .679 .765 .846 .889 .926

r10 5 .373 .451 .557 .642 .729 .780 .8216 318 386 482 560 644 698 7406 .318 .386 .482 .560 .644 .698 .7407 .281 .344 .434 .507 .586 .637 .680

8 .318 .385 .479 .554 .631 .683 .725r11 9 .288 .352 .441 .512 .587 .635 .677

10 265 325 409 477 551 597 63910 .265 .325 .409 .477 .551 .597 .639

11 .391 .442 .517 .576 .638 .679 .713r21 12 .370 .419 .490 .546 .605 .642 .675

13 .351 .399 .467 .521 .578 .615 .649

14 .370 .421 .492 .546 .602 .641 .67415 .353 .402 .472 .525 .579 .616 .64716 .338 .386 .454 .507 .559 .595 .62417 .325 .373 .438 .490 .542 .577 .60518 .314 .361 .424 .475 .527 .561 .589

r22 19 .304 .350 .412 .462 .514 .547 .57520 .295 .340 .401 .450 .502 .535 .56221 .287 .331 .391 .440 .491 .524 .55122 .280 .323 .382 .430 .481 .514 .54123 .274 .316 .374 .421 .472 .505 .53224 .268 .310 .367 .413 .464 .497 .52425 .262 .304 .360 .406 .457 .489 .516

CRITÉRIO DE DIXON

5972 5472j i d

CRITÉRIO DE DIXON

11rrij =Y(mm)2,5472 549

10=nxx 56725972

597,2=nx 547,21 =xRejeitado

2,5492,5532,555 2

111 xx

xxrn

nn

−−

= −

549,2597,2567,2597,2

−−

=nx 625,0=2,5552,5572,559

2n ,,

1x 1211

xxr −= 547,2549,2 −

= 1000=2,5612,5652 567

1x11

11 xxr

n −− 547,2567,2 −= 100,0=

2,5672,597 477,0)( =tabeladoijr

477,0100,0 <477,0625,0 >

CRITÉRIO DE GRUBBSUM VALOR

sxx

G i −=Para um valor

ix nxou

=ix =x =sValor suspeito Média Amostral Desvio padrão

n 0,05 0,01 0,05 0,013 1 155 1 155 - -

1-pUm Valor Dois Valores

Condição de Rejeição para um valor3 1,155 1,155 - -4 1,481 1,496 0,0002 05 1,715 1,764 0,009 0,00186 1,887 1,973 0,0349 0,01167 2 02 2 139 0 0708 0 0308

tabeladocalculado GG >7 2,02 2,139 0,0708 0,03088 2,126 2,274 0,1101 0,05639 2,215 2,387 0,1492 0,085110 2,29 2,82 0,1864 0,115

CRITÉRIO DE GRUBBS

Y(mm)

UM VALOR

Y(mm)2,5472,549

597,2=nxSerá rejeitado

2,5532,5552 557

290,2571,2 >571,2014,0

561,2597,2=

−=G

2,5572,5592,561 547,21 =x2,5612,5652,567 0001

561,2547,2=

−=G 290,2000,1 <

2,597

014,0=s

000,1014,0

==G 290,2000,1 <

561,2=x

Esquema de um arranjo ordenado das tid d ti d i t d ã quantidades estimadas, incertezas padrão,

coeficientes de sensibilidade e contribuição d i t d áli d i t de incertezas usadas na análise de incertezas de uma medida.

Q tid d E ti ti I t C fi i t d C t ib i ã dQuantidade Estimativa Incerteza

padrão

Coeficiente de

sensibilidade

Contribuição da

incerteza padrão

Calibração de um Multímetro Digital de mão em 100 V DC

Como parte de uma calibração geral, um multímetro digital p ç g , g(DMM) de mão é calibrado para uma entrada de 100 V utilizando um calibrador multifuncional como um padrão de trabalho. O seguinte procedimento de medida é utilizado:seguinte procedimento de medida é utilizado:os terminais de saída do calibrador são conectados aos terminais de entrada do DMM utilizando cabos de medidas adequados. O calibrador é ajustado em 100 V e depois de um período adequado calibrador é ajustado em 100 V e depois de um período adequado de estabilização o valor indicado no DMM é registrado. O erro de indicação do DMM é calculado utilizando as leituras do DMM e os j t d lib d ajustes do calibrador.

Deve ser percebido que o erro de indicação do DMM que é obtido utilizando este procedimento de medição inclui o efeito de offset e ptambém os desvios de linearidade.O erro de indicação do DMM a ser calibrado é obtido de

Calibração de um Multímetro Digital de mão em 100 V DC

X iX S IX SE V V V Vδ δ= − + −é a tensão elétrica indicada pelo DMM (o índice i significa

indicação);

X iX S IX S

iXV

é a tensão elétrica gerada pelo calibrador;é a correção da tensão indicada devido a resolução finita do

DMM

SViXVδ

DMM;é a correção do calibrador de tensão devido a:

deriva desde a última calibração desvios resultantes de efeitos SVδ

deriva desde a última calibração; desvios resultantes de efeitos combinados de offset, não linearidade e diferenças no ganho; desvios na temperatura ambiente; desvios na tensão de alimentação; efeitos de carga resultantes da entrada de resistência finita do DMM a ser calibrado.

Calibração de um Multímetro Digital de mão em 100 V DC

Devido à limitação na resolução de indicação do DMM, não foi ç ç ç ,observado dispersão nos valores observados.Leituras do DMM ( ): o DMM indica a tensão de 100,1 V quando o ajuste do calibrador é de 100 V. A leitura do DMM é considerada exata.

iXVj

Padrão de Trabalho ( ): o certificado de calibração para o calibrador multifuncional diz que a tensão gerada é o valor indicado pelo ajuste do calibrador e a incerteza relativa expandida associada de medida é de

SVcalibrador e a incerteza relativa expandida associada de medida é de W=0,00002 (com um fator de cobertura k=2 ), resultando uma incerteza expandida de medida associada com o ajuste de 100 V de U=0,002 V (fator de cobertura k=2)., ( )Resolução do DMM a ser calibrado ( ): o dígito menos significativo do display do DMM corresponde a 0,1 V. Cada leitura do DMM possui uma correção devido à resolução finita do display, a qual é estimada em

iXVδ

ç ç p y, q0,0 V com limites de ± 0,05 (isto é, metade da magnitude do dígito menos significativo).

Calibração de um Multímetro Digital de mão em 100 V DC

Outras correções ( ): a incerteza de medida associada com as diferentes SVδç ( )fontes é coletada das especificações informadas pelo fabricante do calibrador. Estas especificações dizem que a tensão gerada pelo calibrador coincide com o ajuste do calibrador dentro de sob as seguintes condições de

SVδ

( )0,0001 1SV mV± × + gmedida:a temperatura ambiente está entre a faixa de 18 C a 23 C;a tensão de alimentação do calibrador está dentro da faixa de 210 V a 250 V;

( )S

a tensão de alimentação do calibrador está dentro da faixa de 210 V a 250 V;a carga resistiva dos terminais do calibrador é maior que 100 kΩ. o calibrador foi calibrado no último ano.

Uma vez que estas condições de medida são atendidas, e a história de calibração do calibrador mostra que as especificações do fabricante são confiáveis, faz-se então, a correção a ser aplicada na tensão gerada pelo

lib d d 0 0 V ± 0 011 Vcalibrador de 0,0 V com ± 0,011 V.Correlação: As quantidades de entrada não são consideradas correlacionadas com algum grau de extensão significativo.

Calibração de um Multímetro Digital de mão em 100 V DC

Quantida

de

Estimati

va

Incerte

za

Distribuiçã

o de

Coeficient

e de

Contribuiç

ão da

iX ix padrão

( )iu x

probabilida

des

sensibilid

ade

incerteza

( )iu y

ic

iXV 100,1 V - - - -

VSV 100,0 V 0,001 V normal -1,0 -0,001 V

iXVδ 0,0 V 0,029 V Retangular 1,0 0,029 V

Vδ SVδ 0,0 V 0,0064

V

Retangular -1,0 -0,0064 V

E 0 1 V 0 030 VXE 0,1 V 0,030 V

Calibração de um Multímetro Digital de mão em 100 V DC

Incerteza expandida: a incerteza de medida padrão associada com Incerteza expandida: a incerteza de medida padrão associada com o resultado é claramente dominada pelo efeito da resolução finita do DMM. A distribuição final não é normal, mas essencialmente retangular. Portanto, o método de graus de liberdade efetivos não é aplicável. O fator de cobertura apropriado para uma distribuição retangular é calculado da relação:retangular é calculado da relação:

Resultado O erro de indicação medido do voltímetro digital em ( ) 1,65 0,030 0,05XU k u E V V= ⋅ = ⋅ ≅

Resultado: O erro de indicação medido do voltímetro digital em 100 V é de (0,10 ± 0,05) V.O resultado da incerteza expandida de medida é a incerteza O resultado da incerteza expandida de medida é a incerteza padrão de medida multiplicada pelo fator de cobertura deduzido de uma distribuição de probabilidades considerada retangular para uma cobertura de probabilidade de 95%.

INTERVALO DE CONFIANÇAINTERVALO DE CONFIANÇA

AAA sxn ,,DDD sxn ,,

CCC sxn ,,

DDD

CCC ,,BBB sxn ,, σµ ,

EEE sxn ,,i

pistxIC ⋅±= ν

ipi niν

Graus de Fração p em porcentagemliberdade

v 68,27(a) 90 95 95,45(a) 99 99,73(a)

1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235,802 1 32 2 92 4 30 4 53 9 92 19 212 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,213 1,2 2,35 3,18 3,31 5,84 9,224 1,14 2,13 2,78 2,87 4,6 6,625 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51

6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,907 1,08 1,89 2,36 2,43 3,5 4,538 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,289 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09

10 1 05 1 81 2 23 2 28 3 17 3 9610 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96

11 1,05 1,80 2,20 2,25 3,11 3,8512 1,04 1,78 2,18 2,23 3,05 3,7613 1,04 1,77 2,16 2,21 3,01 3,6914 1,04 1,76 2,14 2,2 2,98 3,6415 1,03 1,75 2,13 2,18 2,95 3,59

16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92 3,5417 1 03 1 74 2 11 2 16 2 9 3 5117 1,03 1,74 2,11 2,16 2,9 3,5118 1,03 1,73 2,10 2,15 2,88 3,4819 1,03 1,73 2,09 2,14 2,86 3,4520 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,42

25 1,02 1,71 2,06 2,11 2,79 3,3330 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,2735 1,01 1,70 2,03 2,07 2,72 3,2340 1,01 1,68 2,02 2,06 2,7 3,20

COMPARAÇÃO ENTRE E MÉDIAS

Comparação de uma média atual com um valor p çconsiderado como referência

ntsxx

ntsx ref +<<−

nnOnde:

médiax = referênciadevalorx =médiax = referênciadevalorxref =

n Massa Esp(g/cm³)1 0,7426 74250=x,2 0,74263 0,74274 0 7427 4260000055,078,2420 ⋅

7425,0=refx

4 0,74275 0,7427

Média 0,74270 000055

7426,05000055,078,27427,0 =−=LI

s 0,000055t (95%;ν=4) 2,78 7427,0

5000055,078,27427,0 =

⋅+=LI

7426,07425,0 <A média amostra 0,7427 g/cm³ não é compatível com o valor de referência 0 7425 g/cm³ para umao valor de referência 0,7425 g/cm , para uma probabilidade de 95%