AULA 02 – RELAÇÕES BINÁRIAS

PAR ORDENADO

É o conjunto constituído de dois elementos x e y indicados por (x,y) em que a ordem dos elementos deve ser respeitada.

x abscissa y ordenada

PRODUTO CARTESIANO

Dado dois conjuntos A e B ≠ 0, denomina-se produto cartesiano de A por B e indica-se A x B, o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tal que x A e y B.

Exemplo: Dados A={a,b,c,} e B={1,2,3}, o produto cartesiano A x B, terá 9 pares ordenados e será dado por:

A x B = {(a,1) (a,2) (a,3) (b,1) (b,2) (b,3) (c,1) (c,2) (c,3)}

PLANO CARTESIANO

Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.

Denomina-se plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados de números reais representados pelo seguinte conjunto: x = 2

O plano cartesiano é dividido pelos eixos que dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário

Quadrantesinal de xsinal de y PontoOrigem  não tem não tem (0,0)Primeiro + + (2,4)Segundo - + (-4,2)Terceiro - - (-3,-7)

1

Quarto + - (7,-2)RELAÇÕES BINÁRIAS

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em A x B é qualquer subconjunto R de A x B.

Exemplo: Sejam A = {0,1,2,3,4} e B = {0,1,2,3,4} determine:

A x B = {(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)}

A relação R1 = {(x,y) A x B / y = x}

R1 = {

A relação R2 = {(x,y) A x B / y = x + 1}

R2 = {

A relação R3 = {(x,y) A x B / y = x2}

R3 = {

Domínio e Imagem

Seja R uma relação de A em B.

Chama-se domínio de R, o conjunto D(R) de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R, isto é,

x D(R) y B / (x,y) R

Chama-se imagem de R, o conjunto Im(R) de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R, isto é,

y Im(R) x A / (x,y) R

2

RELAÇÕES IMPORTANTES

1) y = x

2) y = - x

3) y = ax + b

4) y < x

5)

6) y = 4

3

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

7) y = x2

8) y = ax2 +bx + c

9) x2 + y2 = R2

4

x

y

x

y

x

y

10)

11) y = x3

12) y2 = x

5

x

y

x

y

x

y

13)

14)

6

x

y

x

y

LISTA DE RELAÇÕES

1) Sabendo-se que (x + 3, y - 4) = (7x, 2y + 5), determine o valor de x e de y.

2) Dados os conjuntos A= {2, 3} e B= {1, 4, 6}, determine os seguintes produtos cartesianos:

a) A x B b) B x A c) A2 = A x A d) B2

Dados os conjuntos determine o conjunto solução dos seguintes produtos cartesianos e represente-os graficamente: a) A X B b) B X A c) A X C d) C X A e) B X D f) C X B

3) Dados os conjuntos:

Pede-se:a) O gráfico de A, B, C, D, E, F, A B, A C, A D, A E, A B, A B F.b) O domínio e a imagem de A B F.

4) Enumere os pares ordenados, represente por meio de flechas e faça o gráfico cartesiano das relações binárias de A = {-2,-1,0,1,2} em B = {-3,-2,-1,1,2,3,4} definidas por:

a) xRy x + y = 2b) xRy |x|=|y|c) xRy x2 = yd) xRy x + y>2

6) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}, enumere os elementos da seguinte relação: R = {(x, y) ∈ A × B / y = x + 1}.

7) Escolhendo aleatoriamente alguns números das páginas de um livro adquirido numa livraria, foram formados os conjuntos A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8}, sendo a relação definida por R = {(x,y) ∈ A × B │ x ≥ y}. Dessa forma,

a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8} b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} c) D(R) = {2,5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} d) D(R) = {5,6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8} e) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {4, 6, 8}

7

8) Nos conjuntos P = {0, 1, 2} e R = {(x, y) ∈ P x P / x + y < 3}, o número de elementos do conjunto R é igual a:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

8

GABARITO:

1) e y = - 9

2) a) A X B = (2,1),(2,4),(2,6),(3,1),(3,4),(3,6) b) B X A = (1,2),(1,3),(4,2),(4,3),(6,2),(6,3) c) A2= A X A = (2,2),(2,3),(3,2),(3,3) d) B x B = (1,1),(1,4),(1,6),(4,1),(4,4),(4,6),(6,1),(6,4),(6,6)

3) a) b) c)

d) e)

f)

9

4) Resolvido em sala.

5) a)

b)

c)

10

6) R = {(0,1), (2,3), (4,5), (8,9)}

7) Letra B

8) Letra D

11