Aula 01 - Parte 01

RACIOCNIO LGICO PARA INSS PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 2

Ol, pessoal!

De acordo com o ltimo edital do INSS organizado pela FCC, deveramosestudar apenas porcentagem. importante notar, porm, que os ltimoseditais da FCC, alm de porcentagem, cobram proporcionalidade, regra de trse o chamado Raciocnio Matemtico. Desta maneira, na nossa primeira aulaestudaremos todos esses assuntos que vm sendo cobrado pela FCC.



Razo e Proporo

Iniciemos com algumas definies formais que sero fundamentais para umbom entendimento das resolues das questes.

Razo de um nmero a para um nmero b, sendo b diferente de zero, oquociente de a por b.

Ento quando aparecer a palavra razo, devemos sempre nos lembrar quehaver uma diviso!!

Denotamos por a : b = a / b a razo entre os nmeros a e b. O nmero a chamado de antecedente e o nmero b de consequente.

O conceito de razo nos permite fazer comparaes de grandeza entre doisnmeros.

H, por exemplo, um tipo especial de razo: a escala.

A escala a relao entre as distncias representadas num mapa e ascorrespondentes distncias reais. Escala a razo entre a medida no desenhoe o correspondente na medida real.

real

desenhodoMedida

MedidaEscala =

Desta forma, quando voc l em um mapa que a escala de 1 : 100, istosignifica que para cada unidade de comprimento no desenho, teremos 100unidades de comprimento na realidade.

Escala = 1 :100

Isto significa que:

1 centmetro no desenho equivale a 100 centmetros na realidade.

1 decmetro no desenho equivale a 100 decmetros na realidade.

1 metro no desenho equivale a 100 metros na realidade.

E assim por diante...

Proporo a igualdade entre duas razes. A proporo entred

c e

b

a a

igualdade:d

c

b

a= . Podemos escrever

=

/ = /



Com a notao da esquerda, dizemos que a e c so os antecedentes; b e dso os consequentes.

Com a notao da direita, dizemos que a e d so os extremos, e que b e c soos meios.

Em toda proporo, vlida a seguinte propriedade (chamada de PropriedadeFundamental das Propores): o produto dos meios igual ao produto dosextremos.

=

=

Por exemplo,

46 =

812 6 8 = 4 12 = 48

importantssima a seguinte propriedade: A soma dos antecedentes est paraa soma dos consequentes assim como qualquer antecedente est para o seuconsequente.

=

=

+ +

Por exemplo,

46 =

812 =

4 + 86 + 12 =

1218

Ou seja, podemos prolongar toda proporo, somando os numeradores dasfraes e somando os denominadores. Utilizaremos diversas vezes estapropriedade na resoluo de questes envolvendo diviso proporcional.

Isso o bsico que devemos saber para resolver questes sobre razes, propores e diviso proporcional. Ao longo da resoluo das questes, colocarei mais algumas propriedades e definies.

Vamos ver alguns exemplos para, em seguida, resolvermos questes deconcursos recentes.

Exemplo: A definio de densidade demogrfica dada pela razo entre onmero de habitantes de uma regio e a rea dessa regio. Pedro fez umapesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demogrfica daregio onde mora. Ele conseguiu, junto prefeitura, as seguintes informaes:a rea da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam na



localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informaes, eleconcluiu que a densidade demogrfica de sua cidade de: Resoluo

O enunciado informou que a definio de densidade demogrfica dada pelarazo entre o nmero de habitantes de uma regio e a rea dessa regio.

Vimos anteriormente que a palavra RAZO tem o mesmo significado dequociente (diviso)!!!

= =

151.1072.651 !

= 57/ !

Exemplo: Em uma fbrica trabalham 216 funcionrios, sendo que 135 so dosexo masculino e 81 pertencem ao sexo feminino. Calcule a razo entre onmero de funcionrios do sexo masculino e o nmero do sexo feminino.

Resoluo

Para calcular a razo entre o nmero de funcionrios do sexo masculino e onmero do sexo feminino basta dividir o nmero de homens pelo nmero demulheres.

"#$% =

13581 =

4527 =

159 =

53

A frao 135/81 foi simplificada por 3, por 3, e por 3. Se voc j tivessepercebido que 135 e 81 so divisveis por 27, poderia ter simplificado direto.

Exemplo: Em uma proporo contnua, a terceira proporcional dos nmeros 1e 5 igual a: Resoluo

Uma proporo contnua quando os meios so iguais. Ou seja, umaproporo do tipo

=

E o nmero c chamado de terceira proporcional dos nmeros a e b.



Assim,

15 =

5

1 = 5 5 = 25

Portanto, 25 a terceira proporcional dos nmeros 1 e 5.

O momento oportuno para lembrar que na proporo

=

O nmero d a quarta proporcional dos nmeros a, b, c.

Exemplo: A razo entre dois segmentos de reta x e y 2/5, ento a razoentre o quntuplo do segmento x e a metade do segmento y igual a:

Resoluo

Pelo enunciado, podemos escrever que

() =

25

Queremos calcular a seguinte razo:

5()2

Lembre-se que para dividir fraes, repetimos a frao do numerador,invertemos a frao do denominador e multiplicamos. Dessa forma,

5()2

= 5( 2) = 10 () = 10

25 =

205 = 4

Exemplo: Na proporo x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e yser de: Resoluo

() =

25

Dica: prefervel que voc coloque as incgnitas no numerador e os nmerosno denominador. Voc poder fazendo isso trocando os meios de lugar, outrocando os extremos. Por exemplo, podemos trocar o y com o 2. Essa troca



vlida porque o produto dos meios igual ao produto dos extremos, e a ordemdos fatores no altera o produto.

Assim, a mesma proporo pode ser escrita como

(2 =

)5

Vamos agora utilizar uma propriedade que mencionei anteriormente.

Podemos prolongar toda proporo, somando os numeradores das fraes esomando os denominadores.

(2 =

)5 =

( + )2 + 5 =

497 = 7

Dessa forma,

(2 = 7 ( = 14

)5 = 7 ) = 35

Exemplo: Considere dois nmeros x e y que sejam diretamente proporcionaisa 8 e 3 e cuja diferena entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ).

Resoluo Se os nmeros x e y so diretamente proporcionais a 8 e 3, podemos escrever

(8 =

)3

E da mesma forma que podemos prolongar a proporo somando osnumeradores e os denominadores, podemos tambm subtrair. Assim,

(8 =

)3 =

( )8 3 =

605 = 12

(8 = 12 ( = 96

)3 = 12 ) = 36

Portanto,

( + ) = 96 + 36 = 132Exemplo: Em uma festa, a razo entre o nmero de moas e o de rapazes, de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa : Resoluo

Se a razo entre o nmero de moas e o de rapazes 3/2, ento



=

32

Falamos anteriormente que prefervel que voc coloque as incgnitas nonumerador e os nmeros no denominador. Voc poder fazendo isso trocandoos meios de lugar, ou trocando os extremos.

3 =

2

Queremos saber o percentual de rapazes. Podemos supor que o total depessoas igual a 100. Se o total de pessoas (m+r) for igual a 100, entoquantos sero rapazes?

3 =

2 =

+ 3 + 2 =

1005 = 20

2 = 20 = 40

Ou seja, se fossem 100 pessoas no total, 40 seriam rapazes. Portanto, opercentual de rapazes 40%.

Exemplo: Se a razo entre dois nmeros 5 e a soma entre eles 30, pode-se afirmar que a diferena entre eles :

Resoluo

Sejam x e y os nmeros.

() = 5 ( = 5)

Como a soma deles 30,

( + ) = 30Vamos substituir ( por 5).

5) + ) = 30 6) = 30 ) = 5Como ( = 5), ( = 5 5 = 25A diferena entre eles 25 5 = 20.

Exemplo: Paulo tem trs filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos eRenato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os trs filhos emvalores proporcionais as suas idades. correto afirmar que o valor que Rodrigodeve receber :

Resoluo



Queremos dividir R$ 3.000,00 em trs partes diretamente proporcionais a 15,20 e 25 anos, que so as idades de Rodrigo, Ricardo e Renato,respectivamente.

Assim,

-15 =

-20 =

-25

Obviamente - + - + - = 3.000.Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemosprolongar a proporo.

-15 =

-20 =

-25 =

- + - + -15 + 20 + 25 =

3.00060 = 50

Temos ento:

-15 = 50 - = 15 50 = 750

Exemplo: Trs tcnicos receberam, ao todo, por um servio R$3.540,00. Umdeles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que adiviso do valor proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o tcnico quetrabalhou mais dias recebeu: Resoluo

Devemos dividir R$ 3.540,00 em partes diretamente proporcionais a 2,4 e 6dias. Assim, temos a seguinte proporo:

2 =

4 =

6

Obviamente, a soma das trs partes (a+b+c) igual a R$ 3.540,00. Dessaforma,

2 =

4 =

6 =

+ + 2 + 4 + 6 =

3.54012 = 295

O tcnico que mais trabalhou (6 dias) recebeu

6 = 295 = 6 295 = 1.770

Exemplo: Uma gratificao de R$ 5.280,00 ser dividida entre trsfuncionrios de uma empresa na razo direta do nmero de filhos e na razoinversa das idades de cada um. Andr tem 30 anos e possui 2 filhos; Bruno



com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. correto que omais velho receber: Resoluo

Temos agora uma diviso diretamente proporcional ao nmero de filhos einversamente proporcional s idades.

Em divises desse tipo, a proporo tomar a seguinte forma:

.

= .

= .

No nosso exemplo, a diviso ser diretamente proporcional a 2, 3 e 6 (ficam no numerador) e ser inversamente proporcional a 30, 36 e 48 (ficam no denominador).

230

= 336

= 648

Podemos simplificar as fraes:

115

= 112

= 18

Podemos facilitar nossas vidas adotando o seguinte procedimento:

Sempre que numa proporo houver fraes nos denominadores, devemoscalcular o m.m.c dos denominadores das fraes.

No caso, o m.m.c. entre 8,12 e 15 igual a 120. Devemos agora dividir 120por 15 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 12 e multiplicar por 1.Devemos dividir 120 por 8 e multiplicar por 1.

8 =

10 =

15

Agora temos uma proporo muito parecida com s dos quesitos anteriores.Devemos somar os numeradores e os denominadores.

8 =

10 =

15 =

+ + 8 + 10 + 15 =

5.28033 = 160

O mais velho, Carlos, receber:

15 = 160 = 15 160 = 2.400



3. (TRF 5 Regio 2008/FCC) A razo entre as idades de dois tcnicos igual a 5/9. Se a soma dessas idades igual a 70 anos, quantos anos omais jovem tem a menos que o mais velho?

a) 15b) 18c) 20d) 22e) 25

Resoluo

Vamos considerar que a idade do mais novo igual a e a idade do maisvelho igual a .. A razo entre essas idades igual a 5/9.

. =

59

Falamos anteriormente que prefervel que voc coloque as incgnitas nonumerador e os nmeros no denominador. Voc poder fazendo isso trocandoos meios de lugar, ou trocando os extremos.

5 =

.9

A soma das idades igual a 70 anos. Vamos ento prolongar a proporosomando os numeradores e somando os denominadores.

5 =

.9 =

+ .5 + 9 =

7014 = 5

Portanto:

= 5 5 = 25. = 9 5 = 45

A idade do mais novo 25 e a idade do mais velho 45.

A diferena entre as idades igual a 20 anos.

Letra C

4. (FCC-TRF-1a-Regio) Dois funcionrios de uma Repartio Pblica foramincumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razodireta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos temposde servio pblico. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo deservio e o outro 42 anos e est h 9 anos no servio pblico, ento adiferena positiva entre os nmeros de processos que cada um arquivou



(A) 48(B) 50(C) 52(D) 54(E) 56

Resoluo

Temos uma diviso diretamente proporcional s idades e diviso inversamenteproporcional aos tempos de servios.

A proporo ter a seguinte forma:

.

= .

27 4293

a b=

O m.m.c entre 3 e 9 igual a 9. Para facilitar nossas vidas, devemos dividir 9por 3 e multiplicar por 27, resultando 81. Devemos dividir 9 por 9 e multiplicarpor 42, resultando 42.

164 4

81 42 81 42 123 3

a b a b+= = = =

+

481 108

3

442 56

3

108 56 52

a

b

a b

= =

= =

= =

Letra C

5. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueiresentre seus trs filhos, na razo direta da quantidade de filhos que cadaum tem e na razo inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio trs vezes a renda do mais novo, e que,alm disso, o filho mais velho tem trs filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueiresreceber o filho do meio?



a) 80b) 100c) 120d) 160e) 180

Resoluo

Digamos que a renda do filho mais novo seja igual a 1. Portanto a renda dofilho mais velho ser igual a 2 e a renda do filho do meio ser igual a 3.

Temos a seguinte proporo:

234= 54

3= 64

7O mnimo mltiplo comum entre 2, 3 e 1 igual a 6. Podemos desenvolver aproporo da seguinte maneira: dividimos pelo denominador e multiplicamospelo numerador (com as fraes que se encontram no denominador). Porexemplo, olhe para a primeira frao: 3/2. Dividimos 6 (m.m.c.) por 2 emultiplicamos por 3. Obtemos o nmero 9. A segunda frao: 6 dividido por 3,vezes 2: obtemos o nmero 4. Finalmente a ltima frao: 6 dividido por 1,vezes 2: obtemos o nmero 12. A proporo ficar:

28 =

59 =

674

Temos uma diviso diretamente proporcional aos nmeros 9, 4 e 12.

28 =

59 =

674 =

2 +5+ 68 + 9 + 74 =

:;;4: = 4;

Assim, o filho do meio receber 4 x 20 = 80 alqueires.

Letra A

6. (Pref. de So Paulo 2008/FCC) Lourival e Juvenal so funcionrios daPrefeitura Municipal de So Paulo h 8 e 12 anos, respectivamente. Elesforam incumbidos de inspecionar as instalaes de 75 estabelecimentoscomerciais ao longo de certa semana e decidiram dividir esse total entresi, em partes inversamente proporcionais aos seus respectivos temposde servio na Prefeitura. Com base nessas informaes, corretoafirmar que coube a Lourival inspecionar

(A) 50 estabelecimentos.(B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal.(C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal.(D) 40% do total de estabelecimentos.(E) 60% do total de estabelecimentos.



Resoluo

Vamos considerar que Lourival inspecionar % estabelecimentos e Juvenalinspecionar < estabelecimentos.J que a diviso ser em partes inversamente proporcionais aos seusrespectivos tempos de servio na Prefeitura, a proporo ficar assim:

%18=



Resposta: Letra E

7. (Agente de Estao METRO-SP 2007/FCC) Certo dia, trs funcionriosda Companhia do Metropolitano de So Paulo foram incumbidos dedistribuir folhetos informativos contendo orientaes aos usurios dostrens. Para executar tal tarefa, eles dividiram o total de folhetos entre si,em partes inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos deservio no Metr: 2 anos, 9 anos e 12 anos. Se o que trabalha h 9 anosficou com 288 folhetos, a soma das quantidades com que os outros doisficaram foi

(A) 448(B) 630(C) 954(D) 1 512(E) 1 640

Resoluo Vamos considerar que as quantidades de folhetos de cada um dos funcionriosso iguais a , , (em ordem crescente do tempo de servio).J que a diviso inversamente proporcional ao tempo de servio, ento aproporo ficar assim:

12= 1

9= 112

O mnimo mltiplo comum entre 2, 9 e 12 igual a 36. Devemos dividir 36 por2, por 9 e por 12, obtendo 18, 4 e 3, respectivamente.

18 =

4 =

3

O funcionrio que trabalha h 9 anos ficou com 288 folhetos, portanto = 288.18 =

2884 =

3

18 = 72 =

3

= 18 72 = 1.296 = 3 72 = 216

Portanto, + = 1.512.A soma das quantidades com que os outros dois ficaram foi 1.512.



Letra D

8. (BAHIA GAS 2010/FCC) Para realizar a partilha de uma herana de R$28.500,00, quatro irmos, que nasceram em dias diferentes, marcaramencontro em um sbado. O testamento determinava que elesreceberiam partes diretamente proporcionais s respectivas idades, emanos completos, que nesse sbado seriam: 15, 17, 21 e 22 anos. Oirmo mais novo s compareceu no domingo, um dia depois docombinado, e que era exatamente o dia de seu aniversrio. Supondoque a partilha tenha sido feita no domingo, a quantia somada que osdois irmos mais velhos deixaram de receber por conta do adiamento deum dia :

(A) R$ 50,00.(B) R$ 155,00.(C) R$ 180,00.(D) R$ 205,00.(E) R$ 215,00.

Resoluo As divises foram feitas em partes diretamente proporcionais. Se a partilhafosse feita no sbado, ento a proporo ficaria assim:

15 =

17 =

21 =

22

Como a herana total igual a R$ 28.500,00, ento somando os numeradorese somando os denominadores:

15 =

17 =

21 =

22 =

+ + + 15 + 17 + 21 + 22 =

28.50075 = 380

O irmo que tem 21 anos receberia = 21 380 = 7.980.O irmo que tem 22 anos receberia = 22 380 = 8.360.Mas a partilha foi feita no domingo, dia de aniversrio do irmo mais novo. Nodomingo, o irmo mais novo completou 16 anos e a partilha foi feita de acordocom a seguinte proporo:

16 =

17 =

21 =

22

Como a herana total igual a R$ 28.500,00, ento somando os numeradorese somando os denominadores:

16 =

17 =

21 =

22 =

+ + + 16 + 17 + 21 + 22 =

28.50076 = 375



Desta forma:

= 7 127,5 = 892,50 = 3 127,5 = 382,50

A diferena entre o prmio recebido pelo funcionrio M e o prmio recebidopelo funcionrio K, em reais, 892,50 382,50 = 510.Letra D

11. (DPE-SP 2010/FCC) O oramento de um municpio para transportepblico de R$ 770.000,00. Esse oramento ser repartido entre trsregies (A, B e C) do municpio em proporo direta ao nmero dehabitantes de cada uma. Sabe-se que o nmero de habitantes da regioA o dobro da regio B, que por sua vez dobro da regio C. Nascondies dadas, as regies B e C recebero, juntas,

(A) R$ 280.000,00.(B) R$ 290.000,00.(C) R$ 300.000,00.(D) R$ 310.000,00.(E) R$ 330.000,00.

Resoluo No foi informada a populao de cada uma das regies. Apenas foi dito que onmero de habitantes da regio A o dobro da regio B, que por sua vez dobro da regio C.

Vamos considerar que a populao da regio C seja igual a 1. Desta forma, apopulao da regio B ser igual a 2 e a populao da regio A ser igual a 4.

Desta maneira, devemos dividir R$ 770.000,00 em partes diretamenteproporcionais a 4,2 e 1.

4 =

2 =

1 =

+ + 4 + 2 + 1 =

770.0007 = 110.000

= 2 110.000 = 220.000 = 1 110.000 = 110.000

As regies B e C recebero juntas, 220.000+110.000 = 330.000 reais.

Letra E



12. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Ao receber seudcimo terceiro salrio, Mrio o dividiu em duas partes, diretamenteproporcionais a 4 e a 7. Ele depositou a menor parte na poupana egastou o restante em compras de Natal. Se Mrio depositou R$ 560,00na poupana, quanto ele recebeu de dcimo terceiro salrio, em reais?

(A) 800,00(B) 960,00(C) 1.200,00(D) 1.400,00(E) 1.540,00

Resoluo Vamos considerar que Mrio dividiu seu salrio em duas partes a e b que sodiretamente proporcionais a 4 e a 7. Podemos escrever:

4 =

7

A menor parte (R$ 560,00) ele depositou na poupana. A menor parte aquele que est sendo dividida por 4.

5604 =

7

140 = 7 = 7 140 = 980

Assim, Mrio recebeu R$ 980,00 + R$ 560,00 = R$ 1.540,00.Letra E

13. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Com o objetivo de garantir a auto-suficincia, a Petrobras vai implantar, nos prximos cinco anos, 36grandes projetos.

Disponvel em http://www.autosuficiencia.com.br

Em 2006, est prevista a implantao de quatro plataformas, dentre elas aSSP-300 e a Golfinho Fase Um, a primeira no Campo de Piranema, SE, e asegunda, no Campo de Golfinho, ES. Juntas, estas duas plataformas terocapacidade para produzir 120 mil barris/dia. Considerando-se que asprodues das plataformas Golfinho Fase Um e SSP- 300 so diretamenteproporcionais a 5 e a 1, a diferena, em milhares de barris, entre suasprodues dirias ser de:(A) 20(B) 40(C) 60(D) 80(E) 90

Resoluo



Vamos considerar que a plataforma Golfinho Fase Um produza ( mil barrispor dia e que a plataforma SSP-300 produza ) mil barris por dia. Estas duasquantidades so diretamente proporcionais a 5 e a 1.(

5 =)1

Toda proporo pode ser prolongada. Para isso, basta somar os numeradorese somar os denominadores. (

5 =)1 =

( + )5 + 1

Como o total de barris produzidos 120 mil, ento ( + ) = 120.(5 =

)1 =

1206 = 20

( = 5 20 = 100) = 1 20 = 20

A diferena em milhares de barris, entre suas produes dirias ser de:

( ) = 100 20 = 80Letra D

14. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Para reduzir o consumo de energiaeltrica, uma empresa instalou dois painis solares que, juntos, ocupam560m2. Se as reas dos dois painis so diretamente proporcionais a 3 ea 1, qual a diferena, em m2, entre essas reas?

(A) 140(B) 210(C) 280(D) 300(E) 320

Resoluo Vamos considerar que as reas de cada um dos painis so iguais a x e y,respectivamente.

Estas duas reas so diretamente proporcionais a 3 e a 1. A soma das duasreas igual a 560 m.

(3 =

)1

Para prolongar esta proporo, devemos somar os numeradores e osdenominadores. Lembrando que a soma dos numeradores igual a 560.



(3 =

)1 =

( + )3 + 1 =

5604 = 140

( = 3 140 = 420) = 1 140 = 140

A diferena entre as duas reas igual a ( ) = 420 140 = 280 m.Letra C

15. (CAERN 2010/FGV) Dividindo-se 11.700 em partes proporcionais a1, 3 e 5, a diferena entre a maior das partes e a menor delas

a) 6.500.

b) 5.500.

c) 5.800.

d) 5.200.

e) 5.000

Resoluo

Devemos dividir 11.700 em partes diretamente proporcionais a 1,3 e 5 dias.Assim, temos a seguinte proporo:

1 =

3 =

5

Obviamente, a soma das trs partes (a+b+c) igual a 11.7000. Dessa forma,

1 =

3 =

5 =

+ + 1 + 3 + 5 =

11.7009 = 1.300

Assim:

= 1 1.300 = 1.300 = 3 1.300 = 3.900 = 5 1.300 = 6.500

A diferena entre a maior das partes e a menor delas 6.500 1.300 = 5.200.Letra D

16. (PECFAZ 2013/ESAF) Em uma secretaria do Ministrio da Fazenda,trabalham 63 pessoas. A razo entre o nmero de homens e o nmero de



mulheres igual 4/5. A diferena entre o nmero de mulheres e o nmero dehomens que trabalham nessa secretaria igual a:

a) 8b) 7c) 6d) 9e) 5

Resoluo

Vamos considerar que o nmero de homens e o nmero de mulheres .Sabemos que h 63 pessoas, ou seja, a soma do nmero de homens com onmero de mulheres 63.

+ = 63Sabemos ainda que a razo entre o nmero de homens e o nmero demulheres igual 4/5.

=

45

Temos, portanto, um sistema de equaes para resolver.

Existem vrias maneiras de resolver este sistema. Como no estudamos teoriaalguma ainda, vou resolver da maneira mais comum. Utilizaremos o mtodo dasubstituio.Na primeira equao, vamos isolar uma das incgnitas:

= 63 Vamos agora substituir esta expresso na segunda equao.

=

45

63 =

45

Apliquemos a propriedade fundamental das propores: em toda proporo, oproduto dos meios igual ao produto dos extremos.

Muita gente gosta de falar de uma maneira mais simples: multiplicandocruzado.

4 = 5 (63 )4 = 315 54 + 5 = 315



9 = 315

= 3159 = 35

Conclumos que o nmero de mulheres 35. Como o total de pessoas 63,ento o nmero de homens = 63 35 = 28.A questo pede a diferena entre o nmero de mulheres e o nmero dehomens que trabalham nessa secretaria.

= 35 28 = 7Poderamos resolver esta questo um pouco mais rpido utilizandopropriedades das propores.

=

45

Podemos trocar os lugares de m e 4.

4 =

5

Vamos agora prolongar a proporo, somando os numeradores e osdenominadores.

4 =

5 =

639 = 7

Assim, = 4 7 = 28 = 5 7 = 35

A diferena 35-28 = 7. Letra B

PORCENTAGEM

As razes de denominador 100 so chamadas taxas percentuais, razescentesimais,percentagem ou porcentagem.

Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo smbolo % (por cento).

Ou seja,

0100 = 0%



Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitria). Paraobter a taxa unitria, basta dividir o numerador por 100.

80% = 80100 = 0,8

47% = 47100 = 0,47

100% = 100100 = 1

280% = 280100 = 2,8

1.1 Percentual de um valor

Para calcular x% de um valor, basta multiplicar o valor pelo nmero x/100.

Exemplo: Calcular 30% de 500.

Resoluo

30%500 = 30100 500 = 150Exemplo: Calcular 20% de 30% de 40% de 1.000.Resoluo

20100

30100

40100 1.000

Neste caso, podemos simplificar as fraes. 20/100 pode ser simplificado por20, tornando-se 1/5. 30/100 pode ser simplificado por 10, tornando-se 3/10.40/100 pode ser simplificado por 20, tornando-se 2/5.

15

310

25 1.000 =

6.000250 = 24

Portanto, 20% de 30% de 40% de 1.000 igual a 24.

1.2 Transformao de uma frao ordinria em taxa percentual

Este tpico importante, pois quando queremos expressar algum crescimentoou desconto, sempre o fazemos em termos percentuais.

Para transformar uma frao ordinria qualquer em taxa percentual, bastamultiplic-la por 100%.

Exemplo: Transformar a frao 5/2 em taxa percentual.



Resoluo 52 =

52 100% =

5002 % = 250%

Exemplo: Transformar a frao 3/8 em taxa percentual.

Resoluo

3A =

3A 7;;% =

3;;A % = 3B, :%

comum querermos saber qual a participao percentual de uma parte do todo. Por exemplo, imagine que em um grupo de 300 pessoas, 120 so homens. Como calculamos a participao percentual dos homens? Ora, basta dividir a parte pelo todo. E para transformar o resultado em porcentagem, devemos multiplicar o resultado por 100%.

120300 100% = 40%

Isto significa que 40% das 300 pessoas so homens.

Exemplo: Transformar o nmero 0,4 em forma de taxa percentual.

Resoluo

;, 9 = ;, 9 7;;% = 9;% Lembre-se que para multiplicar um nmero decimal por 100 basta deslocar avrgula duas casas decimais para a direita. Se no houver casas decimais,ento deveremos adicionar zeros a direita.

1.3 Variao Percentual

i) Imagine a seguinte situao. Voc pretende comprar um computador quecusta R$ 1.500,00. Como bom comprador, pergunta ao vendedor se existealgum tipo de ajudinha se voc efetuar o pagamento em dinheiro vivo. Ovendedor ento informa que se o pagamento for feito assim, haver umdesconto de R$ 300,00. Ou seja, voc pagar apenas R$ 1.200,00. timonegcio...!!

ii) Imagine agora outra situao. Voc pretende comprar um automvel novalor deR$ 80.000,00. Como bom comprador, pergunta ao vendedor se existe algumtipo de ajudinha se voc efetuar o pagamento em dinheiro vivo. O vendedorento informa que se o pagamento for feito assim, haver um desconto de R$300,00. Ou seja, voc pagar apenas R$ 79.700,00. timo negcio!?



Em valores absolutos, o desconto do valor do computador foi igual ao descontodo valor do automvel. Qual dos dois descontos foi mais significativo emrelao ao valor inicial do objeto? Obviamente um desconto de R$ 300,00 emum produto que custa R$ 1.500,00 bem mais representativo do que umdesconto de R$ 300,00 em um produto que custa R$ 80.000,00.

Pois bem, a maneira de comparar esses descontos a chamada variaopercentual.

Definio

A razo entre a diferena de valores (valor final menos o valor inicial) e opreo inicial, expressa em forma de porcentagem, chamada variaopercentual.

Generalizemos: Considere um objeto com valor inicial CDEDFDGH na data 0 e valorfinal CIDEGH em uma data futura . A variao percentual dessa grandeza entreas datas consideradas o nmero (expresso em porcentagem) dado por:

= CIDEGH CDEDFDGHCDEDFDGHVoltemos aos nossos exemplos:

i) CDEDFDGH = 1.500,00 e CIDEGH = 1.200,00Assim, a taxa percentual :

= 1.200 1.5001.500 =3001.500

Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos quemultiplicar a frao por 100%.

= 3001.500 =3001.500 100% = 20%

ii) CDEDFDGH = 80.000,00 e CIDEGH = 79.700,00Assim, a taxa percentual :

= 79.700 80.00080.000 =30080.000

Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos quemultiplicar a frao por 100%.

= 30080.000 =30080.000 100% = 0,375%



Exemplo: Uma mercadoria custa R$ 300,00. Em uma primeira ocasio, sofreuum aumento de 40%. Dois meses depois, a loja anunciou uma liquidao e amercadoria sofreu um desconto de 25%. Qual o valor final da mercadoria?Qual a variao percentual acumulada?

Resoluo

Quando a mercadoria sofre um aumento de 40%, o cliente alm de ter quepagar os 100% (valor da mercadoria) ter que pagar os 40% de aumento.Pagar, portanto, 140% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria,aps o aumento, vale:

140%-$300,00 = 140100 300 = 420.

A mercadoria (que agora vale R$ 420,00) sofre um desconto de 25%. Vocno pagar o valor total da mercadoria (100%), j que foi concedido umdesconto. O cliente pagar 100% - 25% = 75% do valor da mercadoria.Dessa forma, a mercadoria, aps o desconto, vale:

75%-$420,00 = 75100 420 = -$315,00

Portanto, o valor final da mercadoria igual a R$ 315,00.

Poderamos ter efetuado este clculo de uma maneira mais objetiva. Toma-se o valor da mercadoria e multiplica-se pelas taxas de aumentos e dedescontos.

Assim,

CIDEGH = 300 140100 75100 = 315.

Inicialmente a mercadoria valia R$ 300,00 e aps as variaes seu valor deR$ 315,00. Ou seja:

CDEDFDGH = 300CIDEGH = 315A taxa de variao acumulada de:

= CIDEGH CDEDFDGHCDEDFDGH =315 300

300

= 15300 =15300 100% = 5%

Assim, o aumento de 40% seguido do desconto de 25% equivale a um nicoaumento de 5%.



Vamos agora resolver algumas questes para sedimentar os conhecimentos.

1.5 Exerccios sobre Porcentagens

17. (BB 2010/FCC) As estatsticas da Campanha Nacional de Preveno aoCncer de Pele, organizada h 11 anos pela Sociedade Brasileira deDermatologia, revelam que o brasileiro no se protege adequadamente do sol:70% dos entrevistados afirmaram no usar qualquer tipo de proteo solar,nem mesmo quando vo praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foramentrevistadas 34 430 pessoas, o nmero delas que usam protetor solar (A) 24 101(B) 15 307(C) 13 725(D) 12 483(E) 10 329Resoluo

O texto informou que 70% dos entrevistados afirmaram no usar qualquer tipode proteo solar. Como o total de pessoas corresponde a 100%, ento 30%dos entrevistados usam protetor solar. Devemos calcular 30% de 34.430pessoas.

30%34.430 = 30100 34.430

Observe que no precisamos efetuar este clculo completamente. O nmero100 que est no denominador pode ser simplificado. Ficamos com:

310 34.430 = 3 3.443

Imagine que voc estivesse efetuando esta multiplicao na hora da prova.3.443 3

Comeamos multiplicando o algarismo das unidades.3.443 39

Neste momento, j podemos marcar a alternativa E, pois a nica quetermina em 9.Letra E. De fato, 3 3.443 = 10.329.18. (TRE AC 2010/FCC) Relativamente ao total de registros decandidaturas protocolados certo ms por trs Tcnicos Judicirios, sabe-seque: 8/15 foi protocolado por Alcilia, 5/12 por Berenice e os demais por



Otaclio. Assim sendo, a quantidade protocolada por Otaclio corresponde a queparte do total de registros protocolados nesse ms?

a) 5%b) 12,5%c) 15%d) 17,5%e) 20%

Resoluo

Alcilia protocolou 8/15 do total de registros e Berenice protocolou 5/12.Juntas, elas protocolaram:

815 +

512 =

32 + 2560 =

5760

O que significa 57/60?

Significa que elas dividiram o trabalho total em 60 partes e protocolaram 57destas 60 partes. Portanto, ainda faltam ser protocoladas 3 das 60 partes. Estaparte ser feita por Otaclio.

360 =

120

Para transformar esta frao ordinria em porcentagem, devemos multiplic-lapor 100%.

120 100% = 5%

Letra A

19. (MPE-RS 2010/FCC) Devido a uma promoo, um televisor est sendovendido com 12% de desconto sobre o preo normal. Cludio, funcionrio daloja, est interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionrioda loja, ele tem direito a 25% de desconto sobre o preo promocional, odesconto que Cludio ter sobre o preo normal do televisor, caso decidaadquiri-lo, ser de

a) 37%b) 36%c) 35%d) 34%e) 33%

Resoluo



Temos dois descontos sucessivos: 12% (devemos multiplicar por 100% - 12%= 88%) e 25% (devemos multiplicar por 100% - 25% = 75%).

Sempre que no for dada uma referncia inicial, vale a pena utilizar o valor100. Ento, vamos supor que o valor inicial do produto fosse igual a 100. Ovalor final aps os descontos ser de:

100 88100 75100

A frao 75% pode ser simplificada por 25, obtendo, ento, a frao 3/4.

O primeiro 100 pode cortar com o segundo 100 que est no denominador.

88 34 = 66

Ora, se o produto custava R$ 100,00 e agora custa R$ 66,00, porque houveum desconto de 34%.

Letra D

Esta a vantagem de utilizar o valor inicial 100. A diferena entre os valores j a taxa percentual.

20. (MPE-RS 2010/FCC) A empresa X possui 60 funcionrios, dos quais 15%so mulheres. De acordo com uma lei aprovada recentemente, toda empresado ramo onde atua a empresa X dever ter, no mnimo, 40% de mulheresentre seus funcionrios. Para que a empresa X se adapte nova lei semdemitir nenhum de seus atuais funcionrios e no contratando novosfuncionrios homens, ela dever admitir um nmero de mulheres, no mnimo,igual a

a) 25b) 22c) 20d) 18e) 15

Resoluo

Sabemos que dos 60 funcionrios, 15% so mulheres.

15%60 = 15100 60 = 9$%

Assim, h um total de 51 homens (60 9 = 51).

Vamos considerar que sero admitidas ( novas mulheres. Assim, o total defuncionrios da empresa ser igual a 60 + ( e o total de funcionrias ser igual



a 9 + (. Queremos que essas 9 + ( mulheres representem 40% do total defuncionrios.

9 + (040%%$9 + ( = 40%(60 + ()

9 + ( = 40100 (60 + ()

9 + ( = 0,4 (60 + ()9 + ( = 24 + 0,4(( 0,4( = 24 9

0,6( = 15

( = 150,6 = 25

Portanto, devero ser admitidas 25 mulheres.

Letra A

21. (TRE-AC 2010/FCC) Na ltima eleio, ao elaborar o relatrio sobre ocomparecimento dos eleitores inscritos numa Seo Eleitoral, o presidente damesa de trabalhos observou que 40% do total de inscritos haviam votado pelamanh e 75% do nmero restante no perodo da tarde. Considerando que foiconstatada a ausncia de 27 eleitores, o total de inscritos nessa Seo era

a) 108b) 125c) 150d) 172e) 180

Resoluo

Vamos considerar que h um total de ( inscritos. Como 40% deste totalvotaram pela manh, ento ainda faltam votar 60% dos inscritos (100% -40% = 60%).

N%.: 60%(Destas pessoas que faltam votar, 75% votaram no perodo da tarde. Portanto,ainda faltam votar 25% das pessoas restantes.

N%.: 25%60%(



Foi constatada a ausncia de 27 eleitores. Portanto:

25%60%( = 2725100

60100 ( = 27

0,25 0,6 ( = 270,15( = 27

( = 270,15 = 180

O total de inscritos igual a 180.

Letra E

22. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Na Copa do Mundo de Futebol de 2002,havia, na seleo brasileira, 10 jogadores que atuavam no exterior. Em 2006,esse nmero subiu para 21. Qual o percentual de aumento do nmero dejogadores que atuam no exterior convocados para a seleo brasileira, de 2002para 2006?(A) 210%(B) 150%(C) 110%(D) 21%(E) 11%

Resoluo Para calcular a taxa percentual de aumento, basta aplicar a frmula que vimosanteriormente.

= CIDEGH CDEDFDGHCDEDFDGHInicialmente (em 2002) eram 10 jogadores atuando no exterior. No final (em2006) eram 21 jogadores atuando no exterior.

= CIDEGH CDEDFDGHCDEDFDGH =21 10

10 =1110 100% = 110%

Letra C

23. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Das 96 pessoas queparticiparam de uma festa de confraternizao dos funcionrios doDepartamento Nacional de Obras Contra as Secas, sabe-se que 75% eram do



Tnhamos inicialmente 72 homens. Como no final ficaram 36 homens, ento onmero de homens que saiu igual a:

72 36 = 36Letra A 24. (TRT 4 Regio 2006/FCC) Considere que em certo ms 76% das aesdistribudas em uma vara trabalhista referiam-se ao reconhecimento de vnculoempregatcio e que, destas, 20% tinham origem na rea de indstria, 25% nade comrcio e as 209 aes restantes, na rea de servios. Nessas condies,o nmero de aes distribudas e NO referentes ao reconhecimento de vnculoempregatcio era(A) 240(B) 216(C) 186(D) 120(E) 108

Resoluo Vamos considerar que o total de aes distribudas na vara trabalhista sejaigual a (.76% das aes distribudas referiam-se ao reconhecimento de vnculoempregatcio. Portanto, 100% 76% = 24% NO so referentes aoreconhecimento de vnculo empregatcio.

As aes distribudas que se referem ao reconhecimento de vnculoempregatcio so dividas em trs grupos:

Origem na rea de indstria: 20%Origem na rea de comrcio: 25%Origem na rea de servios: 209 aes

Como as reas de indstria e comrcio totalizam 45%, ento as aes que tmorigem na rea de servio totalizam 55% (100% - 45%).



Com base nessas informaes, nesse ms, o total de funcionrios lotados emtal estao era(A) 120(B) 150(C) 160(D) 180(E) 190

Resoluo Vamos considerar que h ( funcionrios. Sabemos que 25% so mulheres e,portanto, 75% so homens. Podemos escrever:

= 0,25( = 0,75(

O enunciado informou que 45% das mulheres cumpriram horas-extras. Destaforma, conclumos que 55% (= 100% - 45%) no cumpriram horas-extras. No cumpriram horas extras: 55% das mulheres= ;, ::5. Sabemos tambm que 60% dos homens cumpriram horas-extras. Assim, 40%(=100% - 60%) no cumpriram horas-extras. No cumpriram horas extras: 40% dos homens= ;, 9;P. Como 70 funcionrios no cumpriram horas-extras, ento:

;, ::5 + ;, 9;P = B; Vamos substituir 00,25(00,75(.

;, :: ;, 4:Q + ;, 9; ;, B:Q = B; ;, 73B:Q + ;, 3Q = B;

;, 93B:Q = B;

Q = B;;, 93B: = 7R;ST6UJV6WJVX Letra C 26. (METRO-SP 2007/FCC) Sabe-se que a rea de uma superfcie retangular calculada pelo produto Y Z, em que C e L so as respectivas medidas docomprimento e da largura do retngulo, numa dada unidade. Suponha que aplataforma de embarque nos trens que servem certa estao do Metr tenha aforma de um retngulo e que, aps uma reforma, uma de suas dimenses foidiminuda em 20%, enquanto que a outra foi acrescida de 20%. Nessascondies, correto afirmar que, aps a reforma, a rea da superfcie original



(A) no foi alterada.(B) foi aumentada em 2,4%.(C) foi diminuda de 2,4%.(D) foi aumentada de 4%.(E) foi diminuda de 4%.

Resoluo Vamos considerar que o comprimento seja igual a 10 e a largura tambm sejaigual a 10. Assim, a rea da superfcie igual a 10 10 = 100.Diminuindo 20% do comprimento (o comprimento agora mede 8) eaumentando 20% da largura (a largura agora mede 12), a rea ser igual a8 12 = 96.Resumindo: originalmente a rea era de 100 e foi reduzida para 96,diminuindo, portanto, 4%.

Letra E Vamos agora resolver algebricamente esta questo. A rea o produto do comprimento pela largura.

[ = Y ZAo reduzir o comprimento em 20%, devemos multiplic-lo por 100% - 20% =80%. Ao aumentar a largura em 20%, devemos multiplic-la por 100% + 20%= 120%. Assim, a nova rea ser igual a:

80100 Y

120100 Z = 0,96 Y Z =

96100 Y Z

Ou seja, rea final igual a rea inicial multiplicada por 96%. Significandouma diminuio de 4%.

27. (METRO-SP 2010/FCC) Especialistas dizem que, em um carrobicombustvel (lcool e gasolina), o uso de lcool s vantajoso se o quocientedo preo por litro de lcool pelo do de gasolina for, no mximo, igual a 70%.Se o preo do litro da gasolina R$ 2,60, ento NO vantajoso usar lcoolquando o preo por litro de lcool(A) no mximo de R$ 1,70.(B) superior a R$ 1,82.(C) est compreendido entre R$ 1,79 e R$ 1,86.(D) igual a R$ 1,78.(E) menor que R$ 1,80.

Resoluo



Os especialistas dizem que o uso de lcool s vantajoso se o quociente dopreo por litro de lcool pelo do de gasolina for, no mximo, igual a 70%.Podemos concluir que o uso de lcool NO vantajoso usar lcool se o referidoquociente for maior que 70%.

%%\% > 70%

%%\% > 0,70

%% > 0,70 (\%)

%% > 0,70 2,60

%% > 1,82Assim, no vantajoso usar lcool se o preo do seu litro for maior queR$ 1,82.

Letra B 28. (METRO-SP 2010/FCC) A rea de um crculo igual ao produto donmero pelo quadrado da medida do seu raio. Se a razo entre os raios dedois crculos concntricos 4, ento a rea do menor quantos por cento darea do maior?(A) 25%.(B) 12,5%.(C) 6,25%.(D) 4%.(E) 3,25%.

Resoluo

Vamos considerar que o raio do crculo menor igual a e a raio do crculomaior igual a -. A razo entre os raios igual a 4, portanto:

- = 4 - = 4

Para saber a porcentagem pedida, devemos dividir a rea do menor pela reado maior.

]]-

Podemos cortar ] com ].



- = ^

-_

!= ^ 4_

!= `14a

!= 116 = 0,0625 = 6,25%

Letra C 29. (Agente de Fiscalizao Judiciria TJSP 2010/VUNESP) Renato foiabastecer seu carro. A bomba de combustvel forneceu 25 litros em 2 minutose 20 segundos, com um fluxo de combustvel constante. Ento, houve umproblema nessa bomba e o frentista pediu para Renato continuar abastecendoem outra bomba, mais adiante. A 2. bomba forneceu 26 litros em 2 minutos e40 segundos, tambm com fluxo constante. O fluxo de combustvel dessa 2.bomba, em relao 1., foi(A) 9% menor.(B) 5% menor.(C) 2% maior.(D) 4% maior.(E) 10% maior.Resoluo

Vamos transformar os tempos para segundos, lembrando que um minutoequivale a 60 segundos.

A primeira bomba forneceu 25 litros em 2 minutos e 20 segundos.

2min 20 = 2 60 + 20 = 140Portanto, o fluxo da primeira bomba foi de 25 litros/140 s.

A segunda bomba forneceu 26 litros em 2 minutos e 40 segundos.

2min 40 = 2 60 + 40 = 160Portanto, o fluxo da primeira bomba foi de 26 litros/160 s.

A variao percentual dada por:

= CIDEGH CDEDFDGHCDEDFDGH

=26160

25140

25140

Para dividir duas fraes, devemos repetir o numerador e multiplicar peloinverso do denominador. Assim,

= ` 26160 25140a

14025 =

26160

14025

25140

14025



= 3.6404.000 1 = 0,91 1 = 0,09 = 9%Letra A

30. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares comdiferentes hbitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanas em seupeso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso.A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o quefez Alice ganhar 20% de peso. Aps, ela visitou uma sobrinha que estavafazendo um rgido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha emseu regime, Alice tambm emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente,visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou,para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, aps essas visitasa esses quatro familiares, com relao ao peso imediatamente anterior aoincio dessa sequncia de visitas, ficou:

a) exatamente igualb) 5% maiorc) 5% menord) 10% menore) 10% maior

Resoluo

Suponha que Alice tinha 100 kg antes das mudanas em seu peso.

Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. Se elaperdeu 20% de peso, ento para calcular o peso que ela ficou aps essamudana, devemos multiplicar o valor original por 100% - 20% = 80% =80/100.

A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o quefez Alice ganhar 20% de peso. Se ela ganhou 20% de peso, para calcular o seupeso final, devemos multiplicar o valor por 100% + 20% = 120% = 120/100.

Aps, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rgido regime deemagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice tambmemagreceu, perdendo 25% de peso. Se ela perdeu 25% de peso, devemosmultiplicar o valor do peso por 100% - 25% = 75% = 75/100.

Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita queacarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. Devemos multiplicar por100% + 25% = 125% = 125/100.

Assim, o peso final de Alice ser calculado da seguinte maneira:

Seu peso final ser:



100 80100 120100

75100

125100 = 90

Ento, j que Alice possua 100 kg, ficou com um peso 10% menor.

Letra D

31. (AFT 2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam emcursos da rea de cie ncias humanas e os outros 44% estudam em cursos darea de ciencias exatas, que incluem matemtica e fsica. Dado que 5% dosalunos da universidade estudam matemtica e 6% dos alunos da universidadeestudam fsica e que no possvel estudar em mais de um curso nauniversidade, qual a proporc o dos alunos que estudam matemtica ou fsicaentre os alunos que estudam em cursos de ciencias exatas?

a) 20,00%.b) 21,67%.c) 25,00%.d) 11,00%.e) 33,33%.

Resoluo

Vamos imaginar, sem perda de generalidade, que a universidade possua 100estudantes. Pelo enunciado, sabemos que 56 alunos so da rea de cinciashumanas, 44 alunos estudam em cursos da rea de cincias exatas.

Sabemos ainda que 5 alunos estudam matemtica e 6 alunos estudam fsica.Assim, a quantidade de alunos que estuda matemtica ou fsica igual a5+6=11.

O problema pede a proporo dos alunos que estudam matemtica ou fsicaENTRE OS ALUNOS QUE ESTUDAM EM CURSOS DE CINCIAS EXATAS.

Lembra que para calcular a participao percentual devemos dividir a partepelo todo?

Pois bem, neste caso devemos dividir 11 (alunos que estudam matemtica oufsica) por 44 (alunos da rea de cincias exatas).

Observe que ele no pede a participao percentual em relao a todos osestudantes da universidade. por isso que devemos dividir por 44 e no por100.

1144 100% =

14 100% = 25%

Letra C



32. (SMF-RJ 2010/ESAF) Em uma determinada cidade, 25% dos automveisso da marca A e 50% dos automveis so da marca B. Ademais, 30% dosautomveis da marca A so pretos e 20% dos automveis da marca B tambmso pretos. Dado que s existem automveis pretos da marca A e da marca B, qual a percentagem de carros nesta cidade que so pretos?

a) 17,5%b) 23,33%c) 7,5%d) 22,75%e) 50%

Resoluo

Vamos imaginar que existam 1.000 automveis nesta cidade. Vinte e cinco porcento so da marca A, ou seja, 250 so da marca A.

Trinta por cento dos carros da marca A so pretos.

30100 250 = 75$.0[

Cinquenta por cento so da marca B, ou seja, 500 automveis so da marca B.Vinte por cento dos automveis da marca B so pretos.

20100 500 = 100$.0f

O total de automveis pretos 175. Como o total de automveis na cidade 1.000, ento a porcentagem de carros pretos

1751.000 100% = 17,5%

Letra A

33. (SMF-RJ 2010/ESAF) O PIB de um pas que entrou em recesso no fimde 2008 tinha crescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundotrimestre, tinha ficado estvel no terceiro trimestre e tinha cado 10% noltimo trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB desse Pas,em 2008.

a) 1,25%.b) 5%.c) 4,58%.d) 3,95%.e) -5%.

Resoluo



Para calcularmos a taxa de crescimento, vamos atribuir um valor qualquer aoPIB no incio de 2008. Digamos que este valor inicial seja 100.

Quando o PIB cresce 10% no primeiro trimestre, devemos multiplicar o seuvalor por 100%+10% = 110% = 110/100.

Quando o PIB cresce 5% no segundo trimestre, devemos multiplicar o seuvalor por 100% + 5% = 105%.

Se o PIB fica estvel no terceiro trimestre, no precisamos multiplicar pornmero algum, ou seja, devemos multiplicar por 100% + 0% = 100% =100/100 = 1. Multiplicar por 1 no altera o resultado, ento no precisamosincluir este nmero na operao.

No ltimo trimestre o PIB caiu 10%, ou seja, devemos multiplic-lo por 100%- 10% = 90% = 90/100.

Assim, o PIB no final de 2008 ser igual a:

100 110100 105100

90100 = 103,95

Se o PIB no incio de 2008 era 100 e no final o PIB era de 103,95, ento houveum aumento de 3,95%.

Letra D

34. (AFT 2010/ESAF) Em um grupo de pessoas, h 20 mulheres e 30homens, sendo que 20 pessoas esto usando culos e 36 pessoas estousando calca jeans. Sabe-se que, nesse grupo, i) h 20% menos mulherescom calc a jeans que homens com calc a jeans, ii) h tres vezes mais homenscom culos que mulheres com culos, e iii) metade dos homens de calca jeansesto usando culos. Qual a porcentagem de pessoas no grupo que sohomens que esto usando culos mas no esto usando calc a jeans?

a) 5%.b) 10%.c) 12%.d) 20%.e) 18%.

Resoluo

H muitas informaes no enunciado. Vamos analisar cada uma delasseparadamente e ir montando as equaes correspondentes.

i) h 20% menos mulheres com cala jeans que homens com cala jeans

Digamos que haja mj mulheres com cala jeans e hj homens com cala jeans.Sabemos que existem 36 pessoas com cala jeans, ou seja, g + g = 36.



Como h 20% menos mulheres com cala jeans que homens com cala jeans,ento g igual a gmultiplicado por 100% - 20% = 80% = 0,8.

g = 0,8gVamos substituir esta expresso na equao g + g = 36.

g + 0,8g = 361,8g = 36g = 20

Consequentemente, g = 16. Resumindo: h 20 homens com cala jeans e 16mulheres com cala jeans.

ii) h trs vezes mais homens com culos que mulheres com culos.

O enunciado ainda afirma que h 20 pessoas com culos.

Vamos considerar que a quantidade de mulheres com culos h e aquantidade de homens com culos h.

h + h = 20A quantidade de homens com culos o triplo da quantidade de mulheres comculos, ou seja, h = 3h. Substituindo na equao acima, temos:

h + 3h = 204h = 20h = 5

Consequentemente, a quantidadade de homens com culos igual a 15, ouseja, h = 15.iii) metade dos homens de cala jeans esto usando culos.

E o problema pergunta: Qual a porcentagem de pessoas no grupo que so homens que esto usando culos mas no esto usando calc a jeans?

Sabemos que h 20 homens de cala jeans. Metade deles usam culos, ouseja, h 10 homens de cala jeans usando culos. Como h 15 homens deculos, 5 homens usam culos, mas no usam cala jeans.

Como o total de pessoas no grupo 50, ento a porcentagem pedida 5/50 =0,1 = 10%.

Letra B



35. (ANA 2009/ESAF) Um rio principal tem, ao passar em determinadoponto, 20% de guas turvas e 80% de guas claras, que no se misturam.Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume dgua30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de guas turvas e30% de guas claras, que no se misturam nem entre si nem com as do rioprincipal. Obtenha o valor mais prximo da porcentagem de guas turvas queos dois rios tero logo aps se encontrarem.

a) 41%b) 35%c) 45%d) 49%e) 55%

Resoluo

Vamos supor que, para cada 1 litro de gua do rio principal, temos 700 mL degua do afluente (pois este tem volume 30% menor).

No rio principal, neste volume de 1 L, temos:

200 mL de guas turvas (20% de 1 L)

800 mL de guas claras (80% de 1 L)

No afluente, dos 700 mL de gua, temos:

490 mL de guas turvas (70% de 700 mL)

210 mL de guas claras (30% de 700 mL)

Somando tudo, temos um volume de 1.700 mL (rio principal + rio afluente).Deste total, so 690 mL de guas turvas (200+490).

Assim, o percentual de guas turvas fica:

6901.700 100% 40,58%

Letra A

36. (ATA-MF 2009/ESAF) Em um determinado curso de ps-graduao, 1/4dos participantes so graduados em matemtica, 2/5 dos participantes sograduados em geologia, 1/3 dos participantes so graduados em economia,1/4 dos participantes so graduados em biologia e 1/3 dos participantes sograduados em qumica. Sabe-se que no h participantes do curso com outrasgraduaes alm dessas, e que no h participantes com trs ou maisgraduaes. Assim, qual o nmero mais prximo da porcentagem departicipantes com duas graduaes?

a) 40%b) 33%c) 57%d) 50%e) 25%



Resoluo

Vamos ver um exemplo mais simples para voc entender. Imagine que em umgrupo de pessoas, 40% so homens e 80% so mulheres. Isso possvel?No! Por qu? Ora, porque a soma total tem que ser 100%, e como no helementos comuns entre os homens e as mulheres, essa situao impossvel.

Agora imagine que em um grupo de pessoas, 40% gostam de Matemtica e80% gostam de fsica. Essa situao possvel!!

Por que agora possvel? Porque deve existir um grupo de pessoas que gostadas duas matrias. Quando somamos 40% com 80%, obtemos 120%. Essaporcentagem que passou de 100% justamente o grupo que gosta das duasmatrias, no caso, 20%.

Voltemos ao enunciado.

1/4 dos participantes so graduados em matemtica: 1/4 = 25% (Matemtica)2/5 dos participantes so graduados em geologia: 2/5 = 40% (Geologia)1/3 dos participantes so graduados em economia: 1/3 = 33,33% (Economia).Esse valor aproximado. No tem problema, o enunciado pediu um valoraproximado.

1/4 dos participantes so graduados em biologia: 1/4 = 25% (Biologia)1/3 dos participantes so graduados em qumica: 1/3 = 33,33% (Qumica)

Somando as porcentagens, obtemos: 156,66%. Ento a porcentagem depessoas que possuem duas graduaes igual a 56,66%.

Letra C

37. (AFRFB 2009/ESAF) Em uma repartico, 3/5 do total dos funcionriosso concursados, 1/3 do total dos funcionrios so mulheres e as mulheresconcursadas correspondem a 1/4 do total dos funcionrios dessa repartic o.Assim, qual entre as opces abaixo, o valor mais prximo da porcentagem dototal dos funcionrios dessa repartic o que so homens no concursados?

a) 21%b) 19%c) 42%d) 56%e) 32%

Resoluo

Vamos atribuir valores. Para no trabalharmos com nmeros decimais, vamospegar um nmero que seja mltiplo de 3, 4 e 5. Vamos supor que a repartiotem 60 pessoas.



3/5 dos funcionrios so concursados.

35 60 = 36

So 36 concursados.

1/3 do total de funcionrios so mulheres.

13 60 = 20

So 20 mulheres. Consequentemente, o nmero de homens 40, de modoque o total de pessoas seja 60.

1/4 dos funcionrios so mulheres concursadas.

14 60 = 15

So 15 mulheres concursadas. J sabemos que o total de concursados 36.Assim, o nmero de homens concursados 36 15 = 21.

Como temos 40 homens e, destes, 21 so concursados, ento 19 homens noso concursados.

O percentual de homens no concursados, em relao ao total de funcionrios,:

1960 100% 31,67%

Letra E

38. (SMF-RJ 2010/ESAF) O lcool Xo GL tem X% de fraco em volumecomposto por lcool etlico e o restante por gua. Sendo assim, 750 ml de umamistura em volumes iguais de lcool 96o GL e lcool 70o GL so, por sua vez,misturados com 250 ml de lcool com fraco em volume desconhecida,resultando em um litro de lcool 76o GL. Calcule a fraco em volumedesconhecida desses 250 ml de lcool.

a) 46%b) 50%c) 55%d) 76%e) 83%

Resoluo

O que significa um lcool 96o GL? Significa que 96% do seu volume composto por lcool etlico e o restante de gua.

Temos uma mistura de 750 ml em volumes iguais de lcool 96o GL e lcool 70o

GL.



Ou seja, temos 375 ml de lcool 96o GL e 375 ml de lcool 70o GL.

A quantidade de lcool etlico :

96%375 + 70%37596100 375 +

70100 375 = 360 + 262,5 = 622,50

Conclumos que dos 750 ml da mistura, temos 622,50 ml de lcool etlico. Orestante gua.

Vamos misturar estes 750 ml com 250 ml de um outro lcool com fraco emvolume desconhecida. Teremos como resultado uma mistura (750ml+250ml =1.000 ml) de lcool 76o GL. Isto quer dizer que 76% da mistura de 1.000mlser de lcool etlico.

A quantidade de lcool etlico na mistura igual a:

76%1.000% = 76100 1.000 = 760%

Como j tnhamos 622,50 ml de lcool etlico, ento a quantidade de lcooletlico correspondente ao terceiro lcool igual a 750 622,50 = 137,50 ml.

Ora, o terceiro lcool tem um total de 250 ml, dos quais 137,50 ml so delcool etlico. A porcentagem de lcool puro igual a:

137,50250 100% = 55%

Lembre-se que para calcular o percentual devemos dividir a parte pelotodo.

Letra C

39. (ATRFB 2009/ESAF) Em um determinado perodo de tempo, o valor dodlar americano passou de R$ 2,50 no incio para R$ 2,00 no fim do perodo.Assim, com relac o a esse perodo, pode-se afirmar que:

a) O dolar se desvalorizou 25% em relaco ao real.b) O real se valorizou 20% em relaco ao dlar.c) O real se valorizou 25% em relaco ao dlar.d) O real se desvalorizou 20% em relaco ao dlar.e) O real se desvalorizou 25% em relaco ao dlar.

Resoluo

Inicialmente um dlar custava R$ 2,50 e no final custava R$ 2,00. A variaopercentual do dlar igual a:




= 2,00 2,502,50 =0,502,50 100% = 20%

Isto significa que o dlar desvalorizou 20%.

A questo deu o valor de 1 dlar. Disse que inicialmente, jk$1,00 = -$2,50 eque no final jk$1,00 = -$2,00. E qual o valor de R$ 1,00?Ora, se jk$1,00 = -$2,50, ento -$1,00 = jk$ l!,mn = jk$0,40.

Se voc tiver dificuldade em fazer esta operao, faa uma regra de trs:

Real Dlar

2,50 1

1 x

Multiplicando cruzado, temos:

2,50( = 1

( = 12,50 = 0,40

Ou seja, no incio do perodo, 1 real correspondia a 40 centavos de dlar.

No final do perodo, temos que jk$1,00 = -$2,00, ou seja, -$1,00 = jk$ l,nn!,nn =US$0,50.Poderamos novamente ter feito uma regra de trs.

Real Dlar

2,00 1

1 x

2,00( = 1



( = 12,00 = 0,50

Isto significa que, no fim do perodo, 1 real correspondia a 50 centavos dedlar. Conclumos que o real se valorizou. E valorizou quantos por cento?


= 0,50 0,400,40 =0,100,40 100% = +25%

O real se valorizou 25%.

Letra C

Observe que os percentuais no so iguais. Dizemos que uma desvalorizaode 20% do dlar equivale a uma valorizao de 25% do real.

Isto ocorre porque, em cada caso, a base de clculo para definio dopercentual diferente.

No caso do dlar, a base de clculo era o valor maior (2,50).

No caso do real, a base de clculo era o valor menor (0,40).

Regra de Trs

Vamos agora resolver questes sobre Regra de Trs. Lembremos que pararesolver questes deste assunto, devemos construir uma tabela agrupando asgrandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha asgrandezas de espcies diferentes em correspondncia. Em seguida devemosdeterminar se as grandezas so direta ou inversamente proporcionais. Oltimo passo montar a proporo.Quando as grandezas so diretamente proporcionais (ou seja, quando umadelas aumenta (diminui), a outra tambm aumenta (diminui) na mesmaproporo), devemos armar as fraes no mesmo sentido das setas.Quando as grandezas so inversamente proporcionais (ou seja, quando umadelas aumenta (diminui), a outra diminui (aumenta) na mesmaproporo), devemos armar as fraes no sentido oposto aos das setas.Por fim, a seta da coluna da grandeza desconhecida sempre fica para baixo!

40. (CEF/FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12h. Outrapessoa y, 50% mais eficiente que x. Nessas condies, o nmero de horasnecessrias para que y realize essa tarefa :

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8



2,5( =

24150

24 ( = 150 2,524( = 375

( = 37524Podemos simplificar esta frao por 3.

( = 37524 =1258

Vamos dividir 125 horas por 8.

125/8515

As 5 horas do resto devem ser convertidas para minutos para continuar adiviso. Para transformar 5 horas em minutos, devemos multiplicar por 60.

5 = 5 60$ = 300$300min /8437

Neste momento j podemos marcar a letra C.

Para continuar a diviso, devemos transformar os 4 minutos do resto emsegundos. Para isto, devemos multiplicar 4 por 60 obtendo 240 segundos.

240/8030

Portanto, o tempo gasto igual a 15 horas, 37 minutos e 30 segundos.

Letra C

47. (MPE-AP 2009/FCC) Em um escritrio, trs digitadores de produtividadeidntica realizam a tarefa de digitar 2400 pginas em 20 dias. Para realizaruma tarefa de digitao de 6000 pginas em 15 dias, o nmero mnimo dedigitadores que devem ser incorporados equipe, com a mesma produtividadedos trs primeiros (A) 6(B) 7(C) 8

Aula 01 - Parte 01

Documents

Transcript of Aula 01 - Parte 01