Aula 01 - Matem€ ¦ática e Raciocnio L€ ¦ógico - Aula 01

PACOTE DE EXERCÍCIOS - MATÉRIAS COMUNSTÉCNICO JUDICIÁRIO DO TRF DA 1ª REGIÃO

1www.pontodosconcursos.com.br

Aula 1 – Pacote de Exercícios – TRF 1ª RegiãoRazão e Proporção . ..................................................................................................................... 2

GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. .............................................. 21

Relação das questões comentadas nesta aula. ......................................................................... 24

Gabaritos . .................................................................................................................................. 28



Olá!

Sejam muito bem vindos ao pacote de exercícios para o TRF 1ª Região. Vouaproveitar a oportunidade para dizer que este é um curso democrático.Aceitarei as sugestões de vocês. Assim, enviem todas as questões que vocêsquiserem que eu resolva para o fórum de dúvidas ou, se quiserem ver a SUAquestão aqui nas nossas aulas, envie até a sexta-feira que antecede a próximaaula para o meu e-mail [email protected] .

Forte abraço!

Razão e Proporção

Vamos começar nossa aula com algumas definições formais que serãofundamentais para um bom entendimento das resoluções das questões.

Razão de um número a para um número b, sendo b diferente de zero, é oquociente de a por b.

Então quando aparecer a palavra razão, devemos sempre nos lembrar quehaverá uma divisão!!

Denotamos por a : b = a / b a razão entre os números a e b. O número a échamado de antecedente e o número b de consequente.

O conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre doisnúmeros.

Há, por exemplo, um tipo especial de razão: a escala.

A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e ascorrespondentes distâncias reais. Escala é a razão entre a medida no desenhoe o correspondente na medida real.

realdesenhodoMedida

MedidaEscala =

Desta forma, quando você lê em um mapa que a escala é de 1 : 100, istosignifica que para cada unidade de comprimento no desenho, teremos 100unidades de comprimento na realidade.



Escala = 1 :100

Isto significa que:

1 centímetro no desenho equivale a 100 centímetros na realidade.

1 decímetro no desenho equivale a 100 decímetros na realidade.

1 metro no desenho equivale a 100 metros na realidade.

E assim por diante...

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre d c e

ba é a

igualdade: dc

ba= . Podemos escrever

/ /

Com a notação da esquerda, dizemos que a e c são os antecedentes; b e dsão os consequentes.

Com a notação da direita, dizemos que a e d são os extremos, e que b e c sãoos meios.

Em toda proporção, é válida a seguinte propriedade (chamada de PropriedadeFundamental das Proporções): o produto dos meios é igual ao produto dosextremos.

· ·

Por exemplo,

4 6

8 12 6 · 8 4 · 12 48

É importantíssima a seguinte propriedade: A soma dos antecedentes está paraa soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seuconsequente.

Por exemplo,



4 6

812

4 86 12

1218

Ou seja, podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores dasfrações e somando os denominadores. Utilizaremos diversas vezes estapropriedade na resolução de questões envolvendo divisão proporcional.

Isso é o básico que devemos saber para resolver questões sobre razões,proporções e divisão proporcional. Ao longo da resolução das questões,colocarei mais algumas propriedades e definições.

Vamos ver alguns exemplos para, em seguida, resolvermos questões deconcursos recentes.

Exemplo: A definição de densidade demográfica é dada pela razão entre onúmero de habitantes de uma região e a área dessa região. Pedro fez umapesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demográfica daregião onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações:a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam nalocalidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informações, eleconcluiu que a densidade demográfica de sua cidade é de:

Resolução

O enunciado informou que a definição de densidade demográfica é dada pelarazão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região.

Vimos anteriormente que a palavra RAZÃO tem o mesmo significado dequociente (divisão)!!!

á ú

á ã

151.107 2.651

á 57 /

Exemplo: Em uma fábrica trabalham 216 funcionários, sendo que 135 são dosexo masculino e 81 pertencem ao sexo feminino. Calcule a razão entre onúmero de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino.

Resolução

Para calcular a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e onúmero do sexo feminino basta dividir o número de homens pelo número demulheres.

13581

4527

159

53



A fração 135/81 foi simplificada por 3, por 3, e por 3. Se você já tivessepercebido que 135 e 81 são divisíveis por 27, poderia ter simplificado direto.

Exemplo: Em uma proporção contínua, a terceira proporcional dos números 1e 5 é igual a:

Resolução

Uma proporção é contínua quando os meios são iguais. Ou seja, é umaproporção do tipo

E o número c é chamado de terceira proporcional dos números a e b.

Assim,

1 5

5

1 · 5 · 5

25

Portanto, 25 é a terceira proporcional dos números 1 e 5.

O momento é oportuno para lembrar que na proporção

O número d é a quarta proporcional dos números a, b, c.

Exemplo: A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, então a razãoentre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é igual a:

Resolução

Pelo enunciado, podemos escrever que

25

Queremos calcular a seguinte razão:

5

2



Lembre-se que para dividir frações, repetimos a fração do numerador,invertemos a fração do denominador e multiplicamos. Dessa forma,

5

25 ·

2 10 · 10 ·

2 5

205 4

Exemplo: Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e yserá de:

Resolução

25

Dica: É preferível que você coloque as incógnitas no numerador e os númerosno denominador. Você poderá fazendo isso trocando os meios de lugar, outrocando os extremos. Por exemplo, podemos trocar o y com o 2. Essa troca éválida porque o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e a ordemdos fatores não altera o produto.

Assim, a mesma proporção pode ser escrita como

2

Vamos agora utilizar uma propriedade que mencionei anteriormente.

5

Podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das frações esomando os denominadores.

2 5 2 5

497 7

Dessa forma,

2 7 14 5 7 35

Exemplo: Considere dois números x e y que sejam diretamente proporcionaisa 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ).

Resolução

Se os números x e y são diretamente proporcionais a 8 e 3, podemosescrever

8 3



E da mesma forma que podemos “prolongar” a proporção somando osnumeradores e os denominadores, podemos também subtrair. Assim,

8 3 8 3

605 12

8 12 96 3 12 36

Portanto,

96 36 132

Exemplo: Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes, éde 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é:

Resolução

Se a razão entre o número de moças e o de rapazes é 3/2, então

32

Falamos anteriormente que é preferível que você coloque as incógnitas nonumerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocandoos meios de lugar, ou trocando os extremos.

3 2

Queremos saber o percentual de rapazes. Podemos supor que o total depessoas é igual a 100. Se o total de pessoas (m+r) for igual a 100, entãoquantos serão rapazes?

3

2 3 2100

5 20

2 20 40

Ou seja, se fossem 100 pessoas no total, 40 seriam rapazes. Portanto, opercentual de rapazes é 40%.

Exemplo: Se a razão entre dois números é 5 e a soma entre eles é 30, pode-se afirmar que a diferença entre eles é:

Resolução

Sejam x e y os números.



5 5

Como a soma deles é 30,

30

Vamos substituir por 5 .

5 30 6 30 5

Como 5 , ã 5 · 5 25

A diferença entre eles é 25 – 5 = 20.

Exemplo: Paulo tem três filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos eRenato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os três filhos emvalores proporcionais as suas idades. É correto afirmar que o valor que Rodrigodeve receber é:

Resolução

Queremos dividir R$ 3.000,00 em três partes diretamente proporcionais a 15,20 e 25 anos, que são as idades de Rodrigo, Ricardo e Renato,respectivamente.

Assim,

15 20 25

Obviamente 3.000.

Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemosprolongar a proporção.

15 20 25 15 20 253.000

60 50

Temos então:

15 50 15 · 50 750

Exemplo: Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Umdeles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que adivisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico quetrabalhou mais dias recebeu:

Resolução



Devemos dividir R$ 3.540,00 em partes diretamente proporcionais a 2,4 e 6dias. Assim, temos a seguinte proporção:

2

4 6

Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a R$ 3.540,00. Dessaforma,

2

4

6 2 4 6 12 2953.540

O técnico que mais trabalhou (6 dias) recebeu

6 295 6 · 295 1.770

Exemplo: Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida entre trêsfuncionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e na razãoinversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; Brunocom 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que o maisvelho receberá:

Resolução

Temos agora uma divisão diretamente proporcional ao número de filhos einversamente proporcional às idades.

Em divisões desse tipo, a proporção tomará a seguinte forma:

No nosso exemplo, a divisão será diretamente proporcional a 2, 3 e 6(ficam no numerador) e será inversamente proporcional a 30, 36 e 48(ficam no denominador).

230

336

648

Podemos simplificar as frações:

115

112

18

Podemos facilitar nossas vidas adotando o seguinte procedimento:

Sempre que numa proporção houver frações nos denominadores, devemoscalcular o m.m.c dos denominadores das frações.



No caso, o m.m.c. entre 8,12 e 15 é igual a 120. Devemos agora dividir 120 por15 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 12 e multiplicar por 1. Devemosdividir 120 por 8 e multiplicar por 1.

8 10 15

Agora temos uma proporção muito parecida com às dos quesitos anteriores.Devemos somar os numeradores e os denominadores.

8 10

15 8 10 155.280

33 160

O mais velho, Carlos, receberá:

15 160 15 · 160 2.400

01. (FCC-TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma RepartiçãoPública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total narazão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos temposde serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e ooutro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positivaentre os números de processos que cada um arquivou é

(A) 48 (B) 50 (C) 52 (D) 54 (E) 56

Resolução

Temos novamente uma divisão diretamente proporcional às idades e divisãoinversamente proporcional aos tempos de serviços.

A proporção terá a seguinte forma:

27 4293

a b=



O m.m.c entre 3 e 9 é igual a 9. Para facilitar nossas vidas, devemos dividir 9por 3 e multiplicar por 27, resultando 81. Devemos dividir 9 por 9 e multiplicarpor 42, resultando 42.

164 481 42 81 42 123 3a b a b+= = = =

+

481 1083442 563

108 56 52

a

b

a b

= ⋅ =

= ⋅ =

− = − =Letra C

02. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos quecada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda dofilho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda dofilho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filhomais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho maisnovo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio?

a) 80 b) 100 c) 120 d) 160 e) 180

Resolução

Digamos que a renda do filho mais novo seja igual a 1. Portanto a renda dofilho mais velho será igual a 2 e a renda do filho do meio será igual a 3.

Temos a seguinte proporção:

O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 1 é igual a 6. Podemos desenvolver aproporção da seguinte maneira: dividimos pelo denominador e multiplicamospelo numerador (com as frações que se encontram no denominador). Porexemplo, olhe para a primeira fração: 3/2. Dividimos 6 (m.m.c.) por 2 emultiplicamos por 3. Obtemos o número 9. A segunda fração: 6 dividido por 3,



vezes 2: obtemos o número 4. Finalmente a última fração: 6 dividido por 1,vezes 2: obtemos o número 12. A proporção ficará:

Temos uma divisão diretamente proporcional aos números 9, 4 e 12.

Assim, o filho do meio receberá 4 x 20 = 80 alqueires.

Letra A

03. (Pref. de São Paulo 2008/FCC) Lourival e Juvenal são funcionários daPrefeitura Municipal de São Paulo há 8 e 12 anos, respectivamente. Eles foramincumbidos de inspecionar as instalações de 75 estabelecimentos comerciaisao longo de certa semana e decidiram dividir esse total entre si, em partesinversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço naPrefeitura. Com base nessas informações, é correto afirmar que coube aLourival inspecionar

(A) 50 estabelecimentos. (B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal. (C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal. (D) 40% do total de estabelecimentos. (E) 60% do total de estabelecimentos.

Resolução

Vamos considerar que Lourival inspecionará estabelecimentos e Juvenal inspecionará estabelecimentos.

Já que a divisão será em partes inversamente proporcionais aos seusrespectivos tempos de serviço na Prefeitura, a proporção ficará assim:

18

112

Vamos adotar a mesma estratégia da questão anterior. O mínimo múltiplocomum entre 8 e 12 é igual a 24. Olhe para as frações dos denominadores.Devemos dividir 24 por 8 e 24 por 12. A proporção ficará assim:

3 2

Aplicando a propriedade das proporções. Devemos somar os numeradores esomar os denominadores. Lembre-se que o total de estabelecimentosinspecionados é igual a 75.



3

2 3 2

755 15

3 · 15 45 2 · 15 30

Desta forma, Lourival inspecionou 45 estabelecimentos e Juvenal inspecionou30 estabelecimentos.

Vamos agora analisar as alternativas:

É correto afirmar que coube a Lourival inspecionar:

(A) 50 estabelecimentos (FALSO)

(B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal (FALSO, pois foram 15estabelecimentos a mais do que Juvenal).

(C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal (FALSO, pois foram 15estabelecimentos a mais do que Juvenal).

(D) 40% do total de estabelecimentos. (FALSO, pois 40% de 75 é igual a 30).

(E) 60% do total de estabelecimentos (VERDADEIRO, pois 60% de 75 é igual a 45).

Resposta: Letra E

04. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Certo dia, trêsfuncionários da Companhia do Metropolitano de São Paulo foram incumbidosde distribuir folhetos informativos contendo orientações aos usuários dos trens.Para executar tal tarefa, eles dividiram o total de folhetos entre si, em partesinversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Metrô:2 anos, 9 anos e 12 anos. Se o que trabalha há 9 anos ficou com 288 folhetos,a soma das quantidades com que os outros dois ficaram foi (A) 448 (B) 630 (C) 954 (D) 1 512 (E) 1 640

Resolução

Vamos considerar que as quantidades de folhetos de cada um dos funcionáriossão iguais a , , (em ordem crescente do tempo de serviço).

Já que a divisão é inversamente proporcional ao tempo de serviço, então aproporção ficará assim:



12

19

112

O mínimo múltiplo comum entre 2, 9 e 12 é igual a 36. Devemos dividir 36 por2, por 9 e por 12, obtendo 18, 4 e 3, respectivamente.

18

4 3

O funcionário que trabalha há 9 anos ficou com 288 folhetos, portanto 288.

18288

4 3

18 72 3

18 · 72 1.2963 · 72 216

Portanto, 1.512.

A soma das quantidades com que os outros dois ficaram foi 1.512.

Letra D

05. (BAHIA GAS 2010/FCC) Para realizar a partilha de uma herança de R$ 28.500,00, quatro irmãos, que nasceram em dias diferentes, marcaramencontro em um sábado. O testamento determinava que eles receberiampartes diretamente proporcionais às respectivas idades, em anos completos,que nesse sábado seriam: 15, 17, 21 e 22 anos. O irmão mais novo sócompareceu no domingo, um dia depois do combinado, e que era exatamenteo dia de seu aniversário. Supondo que a partilha tenha sido feita no domingo, aquantia somada que os dois irmãos mais velhos deixaram de receber por contado adiamento de um dia é: (A) R$ 50,00. (B) R$ 155,00. (C) R$ 180,00. (D) R$ 205,00. (E) R$ 215,00.

Resolução

As divisões foram feitas em partes diretamente proporcionais. Se a partilhafosse feita no sábado, então a proporção ficaria assim:

15 17

21 22



Como a herança total é igual a R$ 28.500,00, então somando os numeradorese somando os denominadores:

15 17

21 22

15 17 21 2228.500

75 380

O irmão que tem 21 anos receberia 21 · 380 7.980 . O irmão que tem 22 anos receberia 22 · 380 8.360 .

Mas a partilha foi feita no domingo, dia de aniversário do irmão mais novo. Nodomingo, o irmão mais novo completou 16 anos e a partilha foi feita de acordocom a seguinte proporção:

16 17

21 22

Como a herança total é igual a R$ 28.500,00, então somando os numeradorese somando os denominadores:

16 17

21 22

16 17 21 2228.500

76 375

O irmão que tem 21 anos recebeu 21 · 375 7.875 .

7.980 7.875 105 .

O irmão que tem 22 anos recebeu 22 · 375 8.250 .

O irmão de 21 anos deixou de receber O irmão de 22 anos deixou de receber 8.360 8.250 110 .A quantia somada que os dois irmãos mais velhos deixaram de receber porconta do adiamento de um dia é 105 110 215 reais.

Letra E

06. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Foi solicitada, à Guarda Municipal, adistribuição de colaboradores que se responsabilizassem por ações quegarantissem a preservação dos parques públicos de três municípios da regiãometropolitana do Salvador. Fez-se a opção de distribuir os 72 colaboradores,de forma diretamente proporcional à população de cada um dos municípios.

Tabela de valores aproximados de população



Qual é o número de colaboradores destinados ao município Lauro de Freitas? (A) 36 (B) 30 (C) 26 (D) 13 (E) 10

Resolução

Vamos considerar que os números de colaboradores aos municípios deCamaçari, Dias D’Ávila e Lauro de Freitas são iguais a , , respectivamente.

A divisão é feita de forma proporcional à população de cada cidade.

180.000 50.000 130.000

Podemos simplificar a proporção dividindo todos os termos dos denominadorespor 10.000 (cortar 4 zeros).

18 5 13

Vamos agora somar os numeradores e somar os denominadores.

18 5

13

18 5 13

72 36 2

Desta forma, 13 · 2 26.

O município de Lauro de Freitas receberá 26 colaboradores.

Letra C

07. (MPE-AP 2009/FCC) O dono de uma loja resolveu distribuir a quantia deR$ 3.570,00 entre seus funcionários, como premiação. Cada um dos cincofuncionários receberá uma parte diretamente proporcional ao número de anoscompletos trabalhados na loja. A tabela mostra o número de anos completostrabalhados na loja pelos cinco funcionários.



A diferença entre o prêmio recebido pelo funcionário M e o prêmio recebidopelo funcionário K, em reais, é (A) 127,50 (B) 255,00 (C) 382,50 (D) 510,00 (E) 892,50

Resolução

A divisão será feita em partes diretamente proporcionais ao número de anoscompletos trabalhados na loja. A proporção será a seguinte:

2 3

4 7 12

A soma das quantias recebidas pelos funcionários é igual a R$ 3.570,00.

2 3

4 7 12 2 3 4 7 12

3.570 28 127,5

Desta forma:

7 · 127,5 892,50

3 · 127,5 382,50

A diferença entre o prêmio recebido pelo funcionário M e o prêmio recebidopelo funcionário K, em reais, é 892,50 382,50 510.

Letra D

08. (DPE-SP 2010/FCC) O orçamento de um município para transportepúblico é de R$ 770.000,00. Esse orçamento será repartido entre três regiões(A, B e C) do município em proporção direta ao número de habitantes de cadauma. Sabe-se que o número de habitantes da região A é o dobro da região B,que por sua vez é dobro da região C. Nas condições dadas, as regiões B e Creceberão, juntas, (A) R$ 280.000,00.



(B) R$ 290.000,00. (C) R$ 300.000,00. (D) R$ 310.000,00. (E) R$ 330.000,00.

Resolução

Não foi informada a população de cada uma das regiões. Apenas foi dito que onúmero de habitantes da região A é o dobro da região B, que por sua vez édobro da região C.

Vamos considerar que a população da região C seja igual a 1. Desta forma, apopulação da região B será igual a 2 e a população da região A será igual a 4.

Desta maneira, devemos dividir R$ 770.000,00 em partes diretamenteproporcionais a 4,2 e 1.

4

2

1 4 2 1770.000

7 110.000

2 · 110.000 220.000

As regiões B e C receberão juntas, 220.000+110.000 = 330.000 reais.

1 · 110.000 110.000

Letra E

09. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Ao receber seu décimoterceiro salário, Mário o dividiu em duas partes, diretamente proporcionais a 4 ea 7. Ele depositou a menor parte na poupança e gastou o restante em comprasde Natal. Se Mário depositou R$ 560,00 na poupança, quanto ele recebeu dedécimo terceiro salário, em reais? (A) 800,00 (B) 960,00 (C) 1.200,00 (D) 1.400,00 (E) 1.540,00

Resolução

Vamos considerar que Mário dividiu seu salário em duas partes a e b que sãodiretamente proporcionais a 4 e a 7. Podemos escrever:

4 7



A menor parte (R$ 560,00) ele depositou na poupança. A menor parte é aqueleque está sendo dividida por 4.

560 4 7

140 7

7 · 140

980

Assim, Mário recebeu R$ 980,00 + R$ 560,00 = R$ 1.540,00.

Letra E

10. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) “Com o objetivo de garantir a auto-suficiência, a Petrobras vai implantar, nos próximos cinco anos, 36 grandesprojetos.”

Disponível em http://www.autosuficiencia.com.br

Em 2006, está prevista a implantação de quatro plataformas, dentre elas a“SSP-300” e a “Golfinho Fase Um”, a primeira no Campo de Piranema, SE, e asegunda, no Campo de Golfinho, ES. Juntas, estas duas plataformas terãocapacidade para produzir 120 mil barris/dia. Considerando-se que asproduções das plataformas “Golfinho Fase Um” e “SSP- 300” são diretamenteproporcionais a 5 e a 1, a diferença, em milhares de barris, entre suasproduções diárias será de: (A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80 (E) 90

Resolução

Vamos considerar que a plataforma “Golfinho Fase Um” produza mil barris por dia e que a plataforma “SSP-300” produza mil barris por dia. Estas duasquantidades são diretamente proporcionais a 5 e a 1.

5 1

Toda proporção pode ser “prolongada”. Para isso, basta somar osnumeradores e somar os denominadores.

5 1 5 1



Como o total de barris produzidos é 120 mil, então 120.

5 1

1206 20

5 20 100

1 20 20

A diferença em milhares de barris, entre suas produções diárias será de:

100 20 80

Letra D

11. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Para reduzir o consumo de energiaelétrica, uma empresa instalou dois painéis solares que, juntos, ocupam 560m2.Se as áreas dos dois painéis são diretamente proporcionais a 3 e a 1, qual adiferença, em m2, entre essas áreas? (A) 140 (B) 210 (C) 280 (D) 300 (E) 320

Resolução

Vamos considerar que as áreas de cada um dos painéis são iguais a x e y,respectivamente.

Estas duas áreas são diretamente proporcionais a 3 e a 1. A soma das duasáreas é igual a 560 m².

3 1

Para prolongar esta proporção, devemos somar os numeradores e osdenominadores. Lembrando que a soma dos numeradores é igual a 560.

3 1 3 1

5604 140

3 140 4201 140 140

A diferença entre as duas áreas é igual a 420 140 280 m².

Letra C



12. (CAERN 2010/FGV) Dividindo-se 11.700 em partes proporcionais a 1, 3 e5, a diferença entre a maior das partes e a menor delas é a) 6.500. b) 5.500. c) 5.800. d) 5.200. e) 5.000

Resolução

Devemos dividir 11.700 em partes diretamente proporcionais a 1,3 e 5 dias.Assim, temos a seguinte proporção:

1

3 5

Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a 11.7000. Dessa forma,

1

3

5 1 3 511.700

9 1.300

Assim:

1 · 1.300 1.300

3 · 1.300 3.900

5 · 1.300 6.500

A diferença entre a maior das partes e a menor delas é 6.500 1.300 5.200. Letra D

GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas sequências de números são ditas diretamente proporcionais se oquociente entre os elementos correspondentes for constante.

Ou seja, as sequências ( , , … , e ( , , … , são diretamente proporcionais se

O número k é a chamada constante de proporcionalidade.



Duas sequências de números são ditas inversamente proporcionais se oproduto entre os elementos correspondentes for constante.

Ou seja, as sequências ( , , … , e ( , , … , são inversamente proporcionais se

· · ·

O número k é a chamada constante de proporcionalidade.

13. (AFC-STN 2000/ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total éinversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quandosão produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando foremproduzidas 12 unidades, o custo total será igual a:

a) 625/25

b) 625/24

c) 625/16

d) 625/15

e) 625/12

Resolução

Chamemos a grandeza custo de C e a grandeza quantidade produzida de Q. Sabemos que o custo total é inversamente proporcional ao quadrado dasquantidades produzidas.

Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, o produto entre osvalores correspondentes é constante. Assim,

· ·

225 · 5 · 12

225 · 25

Podemos simplificar 225 e 144 por 9.

144

25 · 2516

62516

Letra C

14. (Vestibular FGV 2002) Uma variável y é inversamente proporcional aoquadrado de outra variável x. Para x = 3, y vale 15. Então, se x = 4, y deverávaler:



a) 1/16

b) 15/16

c) 45/16

d) 135/16

e) 625/16

Resolução

Grandezas inversamente proporcionais variam a produto constante.

· ·

15 · 3 · 4

135 16 ·

13516

Letra D

15. (FNDE 2007/FGV) A grandeza é diretamente proporcional às grandezas e e inversamente proporcional à grandeza . Quando 20, 12 e

30, o valor de é 42. Então, quando os valores de , e forem respectivamente 25, 8 e 70, o valor de será: a) 15 b) 21 c) 30 d) 56 e) 35

Resolução Grandezas diretamente proporcionais variam a quociente constante egrandezas inversamente proporcionais variam a produto constante. Portanto:

··

··

Vamos substituir os valores:



42 · 3020 · 12

· 7025 · 8

1.260240

· 70200

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, portanto:

240 · · 70 1.260 · 200Assim,

1.260 · 200 240 · 70 15

Letra A

Relação das questões comentadas nesta aula

01. (FCC-TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma RepartiçãoPública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total narazão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos temposde serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e ooutro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positivaentre os números de processos que cada um arquivou é

(A) 48 (B) 50 (C) 52 (D) 54 (E) 56

02. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos quecada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda dofilho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filhodo meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho maisvelho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem doisfilhos, quantos alqueires receberá o filho do meio?

a) 80 b) 100 c) 120 d) 160 e) 180



03. (Pref. de São Paulo 2008/FCC) Lourival e Juvenal são funcionários daPrefeitura Municipal de São Paulo há 8 e 12 anos, respectivamente. Eles foramincumbidos de inspecionar as instalações de 75 estabelecimentos comerciaisao longo de certa semana e decidiram dividir esse total entre si, em partesinversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço naPrefeitura. Com base nessas informações, é correto afirmar que coube aLourival inspecionar

(A) 50 estabelecimentos. (B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal. (C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal. (D) 40% do total de estabelecimentos. (E) 60% do total de estabelecimentos.

04. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Certo dia, trêsfuncionários da Companhia do Metropolitano de São Paulo foram incumbidosde distribuir folhetos informativos contendo orientações aos usuários dos trens.Para executar tal tarefa, eles dividiram o total de folhetos entre si, em partesinversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Metrô:2 anos, 9 anos e 12 anos. Se o que trabalha há 9 anos ficou com 288 folhetos,a soma das quantidades com que os outros dois ficaram foi (A) 448 (B) 630 (C) 954 (D) 1 512 (E) 1 640

05. (BAHIA GAS 2010/FCC) Para realizar a partilha de uma herança de R$ 28.500,00, quatro irmãos, que nasceram em dias diferentes, marcaramencontro em um sábado. O testamento determinava que eles receberiampartes diretamente proporcionais às respectivas idades, em anos completos,que nesse sábado seriam: 15, 17, 21 e 22 anos. O irmão mais novo sócompareceu no domingo, um dia depois do combinado, e que era exatamenteo dia de seu aniversário. Supondo que a partilha tenha sido feita no domingo, aquantia somada que os dois irmãos mais velhos deixaram de receber por contado adiamento de um dia é: (A) R$ 50,00. (B) R$ 155,00. (C) R$ 180,00. (D) R$ 205,00. (E) R$ 215,00.

06. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Foi solicitada, à Guarda Municipal, adistribuição de colaboradores que se responsabilizassem por ações quegarantissem a preservação dos parques públicos de três municípios da regiãometropolitana do Salvador. Fez-se a opção de distribuir os 72 colaboradores,de forma diretamente proporcional à população de cada um dos municípios.

Tabela de valores aproximados de população



Qual é o número de colaboradores destinados ao município Lauro de Freitas? (A) 36 (B) 30 (C) 26 (D) 13 (E) 10

07. (MPE-AP 2009/FCC) O dono de uma loja resolveu distribuir a quantia deR$ 3.570,00 entre seus funcionários, como premiação. Cada um dos cincofuncionários receberá uma parte diretamente proporcional ao número de anoscompletos trabalhados na loja. A tabela mostra o número de anos completostrabalhados na loja pelos cinco funcionários.

A diferença entre o prêmio recebido pelo funcionário M e o prêmio recebidopelo funcionário K, em reais, é (A) 127,50 (B) 255,00 (C) 382,50 (D) 510,00 (E) 892,50

08. (DPE-SP 2010/FCC) O orçamento de um município para transportepúblico é de R$ 770.000,00. Esse orçamento será repartido entre três regiões(A, B e C) do município em proporção direta ao número de habitantes de cadauma. Sabe-se que o número de habitantes da região A é o dobro da região B,que por sua vez é dobro da região C. Nas condições dadas, as regiões B e Creceberão, juntas, (A) R$ 280.000,00.



(B) R$ 290.000,00. (C) R$ 300.000,00. (D) R$ 310.000,00. (E) R$ 330.000,00.

09. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Ao receber seu décimoterceiro salário, Mário o dividiu em duas partes, diretamente proporcionais a 4 ea 7. Ele depositou a menor parte na poupança e gastou o restante em comprasde Natal. Se Mário depositou R$ 560,00 na poupança, quanto ele recebeu dedécimo terceiro salário, em reais? (A) 800,00 (B) 960,00 (C) 1.200,00 (D) 1.400,00 (E) 1.540,00

10. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) “Com o objetivo de garantir a auto-suficiência, a Petrobras vai implantar, nos próximos cinco anos, 36 grandesprojetos.”

Disponível em http://www.autosuficiencia.com.br

Em 2006, está prevista a implantação de quatro plataformas, dentre elas a“SSP-300” e a “Golfinho Fase Um”, a primeira no Campo de Piranema, SE, e asegunda, no Campo de Golfinho, ES. Juntas, estas duas plataformas terãocapacidade para produzir 120 mil barris/dia. Considerando-se que asproduções das plataformas “Golfinho Fase Um” e “SSP- 300” são diretamenteproporcionais a 5 e a 1, a diferença, em milhares de barris, entre suasproduções diárias será de: (A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80 (E) 90

11. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Para reduzir o consumo de energiaelétrica, uma empresa instalou dois painéis solares que, juntos, ocupam 560m2.Se as áreas dos dois painéis são diretamente proporcionais a 3 e a 1, qual adiferença, em m2, entre essas áreas? (A) 140 (B) 210 (C) 280 (D) 300 (E) 320

12. (CAERN 2010/FGV) Dividindo-se 11.700 em partes proporcionais a 1, 3 e5, a diferença entre a maior das partes e a menor delas é a) 6.500. b) 5.500.



c) 5.800. d) 5.200. e) 5.000

13. (AFC-STN 2000/ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total éinversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quandosão produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando foremproduzidas 12 unidades, o custo total será igual a:

a) 625/25

b) 625/24

c) 625/16

d) 625/15

e) 625/12

14. (Vestibular FGV 2002) Uma variável y é inversamente proporcional aoquadrado de outra variável x. Para x = 3, y vale 15. Então, se x = 4, y deverávaler:

a) 1/16

b) 15/16

c) 45/16

d) 135/16

e) 625/16

15. (FNDE 2007/FGV) A grandeza é diretamente proporcional às grandezas e e inversamente proporcional à grandeza . Quando 20, 12 e

30, o valor de é 42. Então, quando os valores de , e forem respectivamente 25, 8 e 70, o valor de será: a) 15 b) 21 c) 30 d) 56 e) 35

Gabaritos



01. C02. A03. E04. D05. E06. C07. D08. E09. E10. D11. C12. D13. C14. D15. A

Aula 01 - Matem€ ¦ática e Raciocnio L€ ¦ógico - Aula 01

Documents

Transcript of Aula 01 - Matem€ ¦ática e Raciocnio L€ ¦ógico - Aula 01