INTRODUÇÃO

Quando Magali se aproximou, os vendedores rapidamente informaram a ela as seguintes opções de comida: o primeiro ofereceu hot dog simples (maionese, salsicha, catchup e mostarda) ou completo (simples mais purê, batata palha, vinagrete, etc.), e o segundo sugeriu sorvete de chocolate, flocos ou morango.

Magali, entretanto, surpreendeu os vendedores, informando-lhes que acabara de almoçar e estava sem fome. Iria apenas “forrar o estômago”, servindo-se de um sanduíche e de uma bola de sorvete.

De quantos modos distintos Magali pôde fazer sua “refeição”?

De acordo com o problema, podemos ter as seguintes refeições:

• Hot dog simples e sorvete de chocolate;

• Hot dog simples e sorvete de flocos;

• Hot dog simples e sorvete de morango;

• Hot dog completo e sorvete de chocolate;

• Hot dog completo e sorvete de flocos;

• Hot dog completo e sorvete de morango;

A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada por meio de um diagrama, em que a 1ª coluna, representa as possibilidades de escolha de hot dog e, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha do sabor da bola de sorvete.

Esse esquema é conhecido como diagrama da árvore. Fazendo a leitura ao longo de todas as “ramificações” da árvore, obtemos as possíveis refeições.

Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas etapas sucessivas. A primeira é a escolha do tipo de hot dog: há duas possibilidades de fazer tal escolha. A segunda é a escolha do sabor do sorvete: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de escolher o sabor da bola de sorvete.

Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita de 2 X 3 = 6 maneiras distintas.

Para resolver problemas de contagem elementares (como o do exemplo dado) ou bem mais complexos, passaremos a estudar, com detalhes, a Análise Combinatória.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A 1ª etapa pode ser realizada de m maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de n maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por m x n.

Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas sucessivas.

EXERCÍCIOS

1. Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B? 12 maneiras

2. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar? 120 números

3. Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida?

4. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 448 números

5. Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, e 7? 144 números

FATORIAL

Dado um número natural n, definimos o fatorial de n (indicado por n!) através das relações:

Notemos que, em I, o fatorial de n representa o produto dos n primeiros naturais positivos, escritos desde n até 1.

EXEMPLOS:

A medida que n aumenta, o cálculo de n! torna-se mais trabalhoso. Notemos, então, as seguintes simplificações:

Esses exemplos sugerem a seguinte relação de recorrência:

EXERCÍCIOS

6. Calcule:

7. Efetue:

8. Simplifique:

9. Resolva a equação (n + 2)! = 6! n = 1

10. (UA – AM) Simplifique a expressão:

ARRANJO SIMPLES

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados p a p, a qualquer sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes.

EXEMPLOS:

Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois.

Devemos escrever todas as sequências ordenadas de dois elementos distintos escolhidos entre os elementos de A. Assim, temos:

Notemos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um possível agrupamento gera um agrupamento diferente.

Para um conjunto com n elementos distintos, temos uma fórmula recursiva para calcular o número de arranjos desses n elementos tomados p a p.

EXERCÍCIOS

13. O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, Cuba, Rússia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados? 24 maneiras

14. A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas acompanhadas por uma sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser “confeccionadas”? 468000 senhas

15. Uma cinemateca dispõe de seis filmes e oferece uma sessão dupla, na qual serão exibidos dois desses filmes: o primeiro às 16 horas, e o segundo, diferente do primeiro, às 18 horas. De quantas maneiras distintas a sequência de filmes pode ser escolhida? 30 maneiras

COMBINAÇÃO SIMPLES

Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados p a p, a qualquer subconjunto de A formado por p elementos.

EXEMPLOS:

Vamos escrever todas as combinações dos cinco elementos do conjunto M = {a, e, i, o, u}, tomados dois a dois:

Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos. Lembremos que não importa a ordem dos elementos escolhidos: {a, e} = {e, a}, por exemplo.

Assim, as combinações pedidas são:

{a, e} {a, i} {a, o} {a, u} {e, i}

{e, o} {e, u} {i, o} {i, u} {o, u}

Para um conjunto com n elementos distintos, temos uma fórmula recursiva para calcular o número de combinações desses n elementos tomados p a p.

EXERCÍCIOS

18. Uma pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza a seus clientes.

a) De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores? 455 maneiras

b) Suponhamos, agora, que uma família sempre opta por mussarela. Como poderão ser escolhidos os outros dois sabores? 91 maneiras

19. Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas.

a) Quantas comissões de dois meninos e duas meninas podem ser formadas? 540 comissões

b) Quantas comissões de quatro alunos têm pelo menos um menino? 1350 comissões

20. Marcam-se cinco pontos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r, marcam-se mais quatro pontos. Quantos triângulos podem ser formados com vértices em três quaisquer desses pontos? 70 triângulos

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Devemos ter em mente sempre que: quando a ordem dos elementos é importante, o problema deve ser resolvido por Arranjo, se a ordem dos elementos não é importante, o

problema deve ser resolvido por Combinação!!!

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos a toda ordenação desses n elementos.

O número total de permutações de n elementos, indicado por n!, é dado por:

EXEMPLOS:

Vamos escrever todos os anagramas da palavra SOL.

Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo que se forme uma palavra com ou sem sentido.

Temos: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO

EXERCÍCIOS

24. Qual é o número de anagramas da palavra SOMA? E de LIVRO? 24 e 120

25. Considere os anagramas da palavra BRASIL.

a) Quantos são? 720

b) Quantos começam por B? 120

c) Quantos começam por vogal? 240

PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS

Consideremos agora a palavra CASA. Ao montarmos seus anagramas (faça isso), percebemos que são apenas 12. Tal diminuição deve-se ao fato de que a letra A aparece repetida. De fato, dado um anagrama qualquer de CASA, ao mantermos fixas as posições de C e de S e permutarmos as duas letras A, obteremos a mesma sequência:

EXERCÍCIOS

26. Calcule o número de anagramas de:

a) APOSENTADO 907.200

b) RODOVIÁRIA 226.800

c) SOSSEGADO 30.240

27. Um dado é lançado 4 vezes. De quantos modos distintos pode ser obtida uma sequência com três faces iguais a 1 e uma face igual a 6? 4 modos

28. Permutando os algarismos 3, 2, 3, 4, 4 e 5, quantos números de 6 algarismos podemos formar? 180 números

29. Uma moeda é lançada 5 vezes. De quantos modos distintos podem ser obtidas 2 caras e 3 coroas? 10 modos

30. Considere os anagramas formados a partir de CORREDOR.

a) Quantos são? 3.360

b) Quantos começam por R? 1.260

c) Quantos começam por COR? 60

d) Quantos começam e terminam por R? 360

PERMUTAÇÃO CIRCULAR

No caso da permutação com repetição existe um caso especial, a permutação circular. Observe o exemplo a seguir.

Vamos determinar de quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la.

Fazendo um esquema, observando que são posições iguais:

O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações circulares será dado por:

Generalizando, para determinar uma permutação circular, utilizamos a fórmula:

EXERCÍCIOS

31. De quantas maneiras 7 meninas podem formar a roda? 720 maneiras

32. Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições? 6 modos

33. Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos? 72 disposições

34. Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos? 12 modos