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Adriano Alberto

1 ENG285 4ª Unidade

(atualizado em 12/07/2014)

Fonte: Arquivo da resolução da lista 1 (Adriano Alberto), Slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr., RILEY - Mecânica dos Materiais.

Momento de Inércia (I)

Para seção retangular:

I = �.��

Para seção triangular reta:

I = �.��

Semi-círculo:

= ��

Momento estático (Q)

Q = A . (distância do centróide à L.N.)

�� = - ��.�� ; � =

��.��

�� = - �.��.�

Módulo de resistência (W)

Adriano Alberto

2 �� =

��á�� => Wreq =

��á��

W = ��||

PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO

Nas questões abaixo, de acordo com as respostas da lista, não são calculadas as tensões máximas. Para isso, seria necessário calcular também as tensões cisalhantes e, a partir do estado de tensão resultante, calcular as tensões máximas, que podem ou não coincidir com os resultados das questões abaixo.

1) A viga carregada como mostrado tem a seção transversal da figura. Determine a tensão longitudinal: (a) num ponto a 4,5 m a contar da extremidade esquerda e 125 mm acima da superfície neutra; (b) num ponto 75 mm abaixo da superfície neutra numa seção a 1,2 m do extremo direito

RA + RD = 30 + 15 + 30 = 75 kN

∑�# = 0 => - 30 . 1,5 - 15 . 4 + 5 . RD – 6 . 30 = 0 => RD = 57 kN

RA = 18 kN

Para 0 ≤ x < 3:

V(x) = - 10x + 18

Para V(x) = 0 => x = 1,8 m

Diagrama:

a)

M(4,5) = ?

Para 4 ≤ x < 5:

V(x) = - 27 kN

M(x) = - 27x + C

M(4) = - 3 kN.m = - 27 . 4 + C =>

M (x) = - 27x + 105 => M(4,5) =

Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)

Obs: não era preciso calcular para esse caso, devido a simetria da seção.

AT = 200.50.3 = 30 000 mm²

A1 = 200.50= 10 000 mm²

A2 = 200.50= 10 000 mm²

A3 = 200.50= 10 000 mm²

� = 275 mm

� = 150 mm

� = 25 mm

27 . 4 + C => C = 105

27x + 105 => M(4,5) = - 27 . 4,5 + 105 => M(4,5) = - 16,5 kN.m


Obs: não era preciso calcular para esse caso, devido a simetria da seção.

000 mm²

²

m²

m²

Adriano Alberto

3

Adriano Alberto

4 yi =

#�.�)#�.�)#�.�#* =

+,,,,.�-./)+/,)-/�0,,,, = 150 mm

ys = 300 – 150 = 150 mm

Cálculo do momento de inércia

I z = �� + �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

-,,.�/,�4+- + 10 000 . �275 − 150�- = 158 333 333,3.�78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = /,.�-,,�4

+- + 10 000 .�150 − 150�- = 33 333 333,33.�78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A3 . �� −3�� = -,,.�/,�4

+- + 10 000 . �25 − 150�- = 158 333 333,3 .�78�� m4

=> I z = 350 000 000 . �78�� m4

�� = - ��.�� => 9: = -

;8+<,/.+,4>.+-/.+,?40/,,,,,,,.+,?@A = 5 892 857,143 Pa

b)

x = 7 – 1,2 = 5,8 m

M(5,8) = ?

Para 5 ≤ x < 7:

V(x) = - 15x + C

V(5) = 30 = - 15 . 5 + C => C = 105 => V(x) = - 15x + 105

M(x) = - 7,5 . x² + 105 . x + C

M(5) = - 30 kN.m = - 7,5 . 25 + 105 . 5 + C => C = - 367,5

M(x) = - 7,5 . x² + 105 . x - 367,5 => M(5,8) = - 7,5 . (5,8)² + 105 . 5,8 - 367,5 =>

M(5,8) = - 10,8 kN.m

�� = - ��.�� => 9: = -

;8+,,B.+,4>.�8./�.+,?40/,,,,,,,.+,?@A = - 2 314 285,714 Pa

2) (a) Determine a tensão longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfície neutra numa seção a 1,3 m do extremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a máxima tensão longitudinal numa seção a 1 m do

∑C = 0 => RA + RB = 39 000 N

∑�# = 0 => 9 000 – 30 000 . 1,5 + 3 . R

RA = 27 000 N

Para 1,5 ≤ x D 3,5:

V(x) = - 15 000 . x + C

V(1,5) = 18 000 = - 15 000 . 1,5

V(x) = - 15 000 . x + 40 500

Para V(x) = 0 => x = 2,7 m

Diagrama:

2) (a) Determine a tensão longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfície neutra xtremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a

máxima tensão longitudinal numa seção a 1 m do extremo esquerdo.

= 39 000 N

30 000 . 1,5 + 3 . RB = 0 => RB = 12 000 N

15 000 . 1,5 + C => C = 40 500

Adriano Alberto

5

2) (a) Determine a tensão longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfície neutra xtremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a

Adriano Alberto

6


AT = 150.50 + 150.50 = 15 000 mm²

A1 = 150.50= 7 500 mm²

A2 = 150.50= 7 500 mm²

� = 175 mm

� = 75 mm

yi = #�.�)#�.�

#* = ./,,.+./)./,,../

+/,,, = 125 mm

ys = 200 – 125 = 75 mm


I z = �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

+/,.�/,�4+- + 7 500 . �175 − 125�- = 20 312 500 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = /,.�+/,�4

+- + 7 500 . �75 − 125�- = 32 812 500 . �78�� m4

=> I z = 53 125 000 . �78�� m4

a)

x = 4 – 1,3 = 2,7 m

M(2,7) = 10,8 kN.m

�� = - ��.�� => 9: = -

;+,,B.+,4>.�8+,,�.+,?4/0+-/,,,.+,?@A = 20 329 411,76 Pa

b) M(1) = - 9 kN.m

Cálculo das tensões acima da L.N.:

Adriano Alberto

7 �� = -

��.F�� => 9: = -

;8G.+,4>../.+,?4/0+-/,,,.+,?@A = 12 705 882,35 Pa

Cálculo das tensões abaixo da L.N.:

�� = - ��.3�� => 9: = -

;8G.+,4>.�8+-/�.+,?4/0+-/,,,.+,?@A = - 21 176 470,59 Pa = ��,�á�

3) Uma barra de aço de 200 mm de diâmetro é carregada e apoiada como mostrado na figura. Determine a máxima tensão longitudinal numa seção a 1,5 m a partir da parede.

R = 12 kN

12 . 3 + M = 0 => M = - 36 kN.m

M(3) = - 18 kN.m

Iz = HIJK =

H�,,+,,�JK

A = LM- = L�0,100�- yi = ys = = 100 mm

Adriano Alberto

8 �� = -

��.F�� = -

;8+B.+,4>.�±+,,�.+,?4O�P,@PP�J

J = ± 22 918 311,81 Pa

4) Para a viga mostrada, as tensões longitudinais admissíveis na seção sob a carga são de 42 MPa T e 70 MPa C. Determine a máxima carga admissível P.

RA + RC = P (I) ∑QR = 0 => - 1 . P + 3,5 . RC = 0=> RC =

S�,T (II)

Substituíndo em (I):

RA + S�,T = P => RA =

�,T.S�,T

RA = 2,5 . RC

Para o trecho 0 ≤ x < 1: V(0) = V(1) = RA

M(x) = RA . x + C M(0) = 0 => C = 0 => M(x) = RA . x

M(1) = RA

Para o trecho 1 ≤ x < 3,5:

V(1) = V(3,5) = RA – P M(x) = (RA - P). x + C M(1) = RA = (RA - P). 1 + C => C = P => M(x) = (RA - P). x + P

M(3,5) = (RA - P). 3,5 + P = 3,5 . RA – 3,5 . P + P = 3,5 . RA – 2,5 . P = 3,5 . -,/.U0,/ – 2,5 . P = 0

Para x = 3,5: V(3,5) = RA – P + RC = RA – P + P – RA = 0

Adriano Alberto

9

M(3,5) = 0 Mmáx = RA =

�,T.S�,T


AT = 200.25 + 100.25 = 7 500 mm²

A1 = 200.25= 5 000 mm²

A2 = 100.25= 2 500 mm²

� = 125 mm

� = 12,5 mm

yi = #�.�)#�.�

#* = /,,,.+-/)-/,,.+-,/

./,, = 87,5 mm

ys = 225 – 87,5 = 37,5 mm


I z = �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

-/.�-,,�4+- + 5 000 . �125 − 87,5�- = 23 697 916,67.�78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = +,,.�-/�4

+- + 2 500 . �12,5 − 87,5�- = 14 192 708,33.�78�� m4

=> I z = 37 890 625 . �78�� m4

Para o trecho AB:

Mmáx = �,T.S�,T


�� = - ��.F�� => - 70 . 106 = -

WA,X.Y4,X Z.0.,/.+,?40.BG,<-/.+,?@A => P = 99 020,83334 N

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10


�� = - ��.3�� => 42 . 106 = -

WA,X.Y4,X Z.�8B.,/�.+,?40.BG,<-/.+,?@A => P = 25 462,5 N = Padm

5) e 6) Se o momento mostrado atua no plano vertical, determinar a tensão no: (a) ponto A; (b) ponto B.

5)

a)

Como o ponto A vai ser comprimido, �� será negativo.

M z = 15 kN.m yi = ys = 60 mm Cálculo do momento de inércia

Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, Iz = ��[- ��3: ��[- ��3=

B,.�+-,�4+- -

K,.�B,�4+- = 9 813 333,333 . �78�� m4

�� = - ��.�� = -

;+/.+,4>.K,.+,?4GB+0000,000.+,?@A = - 61 141 304,35 Pa

b)

Como o ponto B vai ser tracionado, �� será positivo.

M z = 15 kN.m

�� = - ��.3�� = -

;+/.+,4>.�8<,�.+,?4GB+0000,000.+,?@A = 91 711 956,52 Pa

Adriano Alberto

11

*** 6)

a)

Como o ponto A vai ser comprimido, �� será negativo.

M z = 2,8 kN.m yi = ys = 30 mm Cálculo do momento de inércia

I z = ��[- 2 . ��3 = +-,.�<,�4

+- - 2 . H.�-,�J

K = 1 908 672,588 . �78�� m4

�� = - ��.�� = -

;-,B.+,4>.0,.+,?4+G,B<.-,/BB.+,?@A = - 44 009 643,42 Pa

b)

Como o ponto B vai ser tracionado, �� será positivo.

M z = 2,8 kN.m

�� = - ��.�� = -

;-,B.+,4>.�8-,�.+,?4+G,B<.-,/BB.+,?@A = 29 339 762,28 Pa

Resposta da lista:

6) σa = 44,1 MPa C σb = 29,3 MPa T

7) A viga mostrada é feita de aço com tensão de escoamento igual a 250 MPa. Determinar o maior momento que pode ser aplicado à viga quando ela encurva em torno do eixo z, considerando um coeficiente de segurança de 2,5.

Adriano Alberto

12

Posição da Linha Neutra (L.N.)

yi = 130 mm


A1 = 200.16= 3 200 mm²

A2 = 228.10= 2 280 mm²

A3 = 200.16= 3 200 mm²

� = 252 mm

� = 130 mm

� = 8 mm

I z = �� + �� + �� = �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

-,,.�+<�4+- + 3 200 . �252 − 130�- = 47 697 066,67 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = +,.�--B�4

+- + 2 280 . �130 − 130�- = 9 876 960 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A3 . �� −3�� = -,,.�+<�4

+- + 3 200 . �8 − 130�- = 47 697 066,67 . �78�� m4

=> I z = 105 271 093,3 . �78�� m4

�� = ��.3�� =>

-/,.+,]-,/ =

^_.+0,.+,?4+,/-.+,G0,0.+,?@A => �� = 80 977,76408 N.m

8) Sabendo-se que uma viga de seção transversal, como mostrado, é encurvada em torno de um eixo horizontal e está submetida a um momento fletor de 5,7 kN.m, determinar a intensidade total da força atuando: (a) na aba superior; (b) na porção sombreada da alma.

Adriano Alberto

13


yi = 87,5 mm


A1 = 150.37,5= 5 625 mm²

A2 = 50.100= 5 000 mm²

A3 = 150.37,5= 5 625 mm²

� = 156,25 mm

� = 87,5 mm

� = 18,75 mm

I z = �� + �� + �� = �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

+/,.�0.,/�4+- + 5 625 . �156,25 − 87,5�- = 27 246 093,75.�78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = /,.�+,,�4

+- + 5 000 . �87,5 − 87,5�- = 4 166 666,667 . �78�� m4

=> I z = 58 658 854,17 . �78�� m4

a)

Adriano Alberto

14

Para y = 68,75 mm (distância da L.N. ao centróide da figura)

�� = - ��.3�� = -

/,..+,4.<B,./.+,?4/B</BB/K,+..+,?@A => �� = - 6 680 577,136 Pa

F = �� . A1 => F = - 6 680 577,136 . 5 625 . 10-6 m² => F = - 37 578,24639 N

b)

Para y = - 25 mm (distância da L.N. ao centróide da figura)

�� = - ��.�� = -

/,..+,4.�8-/�.+,?4/B</BB/K,+..+,?@A => �� = 2 429 300,777 Pa

F = �� . A => F = 2 429 300,777 . 50 . 50 . 10-6 m² => F = 6 073,251943 N

*** 9) Duas forças verticais são aplicadas a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar as máximas tensões de tração e compressão numa seção transversal na porção BC da viga.

RA + RD = 20 kN

RA = RD = 10 kN

M z = 1,5 kN.m

Adriano Alberto

15


AT = 10.50 + 10.30 + 10.50 = 1 300 mm²

A1 = 10.50= 500 mm²

A2 = 10.30= 300 mm²

A3 = 10.50= 500 mm²

� = 35 mm

� = 5 mm

� = 35 mm

yi = #�.�)#�.�)#�.�

#* = /,,.0/)0,,./)/,,.0/

+0,, = 28,07692308 mm

ys = 60 - 28,07692308 = 31,92307692 mm


I z = �� + �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

+,.�/,�4+- + 500 . �35 − 28,07692308�- = 128 131,1637 .�78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = 0,.�+,�4

+- + 300 . �5 − 28,07692308�- = 162 263,3137. �78�� m4

�� = ��

=> I z = 418 525,6411 . �78�� m4

Cálculo acima da L.N.

�� = - ��.F�� = -

+,/.+,4.0+,G-0,.<G-.+,?4K+B/-/,<K++.+,?@A = - 114 412 620,6 Pa

Cálculo abaixo da L.N.

Adriano Alberto

16

�� = - ��.3�� = -

+,/.+,4.�8-B,,.<G-0,B�.+,?4K+B/-/,<K++.+,?@A = 100 627 967,5 Pa

A resposta da lista deu diferente, mas acredito que meus cálculos estão certos.

9) 73,2 MPa T 102,4 MPa C

10) Sabendo-se que uma viga de seção transversal mostrada é encurvada sobre um eixo horizontal, e que está submetida a um momento fletor de 4 kN.m, determinar a intensidade total da força que atua na porção sombreada da viga.

yi = ys = 44 mm

A1 = 12.88= 1 056 mm²

A2 = 40.40= 1 600 mm²

A3 = 12.88= 1 056 mm²

� = 44 mm

� = 44 mm

� = 44 mm


�� = �� I z = 2 . �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

+-.�BB�4+- = 681 472 .�78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = K,.�K,�4

+- = 213 333,3333 . �78�� m4

Adriano Alberto

17

=> I z = 1 576 277,333 . �78�� m4

Cálculo do centróide da figura

AT = 12.44 + 20.20= 928 mm²

A1 = 12.44= 528 mm²

A2 = 20.20= 400 mm²

A3 = 10.50= 500 mm²

� = 22 mm

� = 10 mm

= #�.�)#�.�

#* = /-B.--)K,,.+,

G-B = 16,82758621 mm = y

�� = - ��.�� = -

K.+,4.+<,B-./B<-+.+,?4+/.<-..,000.+,?@A = - 42 702 095,26 Pa

F = �� . A => F = - 42 702 095,26 . 928 . 10-6 = - 39 627,5444 N

11) Para a viga com seção transversal mostrada, determine a tensão longitudinal máxima entre as seções A e C, e localize onde ela ocorre.

Aproveitando os cálculos da questão 6 da Lista 1:

Adriano Alberto

18

Para 0 ≤ x D 2:

V(x) = bc. de + C1 => V(x) = b�3�. de + C1 => V(x) = 3x + C1

V(0) = 0 => 3 . 0 + C1 = 0 => C1 = 0

=> V(x) = 3x

V(0) = 0

V(2) = 3 . 2 = 6 kN

M(x) = bf�e�. de + C2 => M(x) = b�3x�. de + C2 => M(x) = 1,5 x² + C2

M(0) = - 12 => 1,5 (0)² + C2 = - 12 => C2 = - 12 => M(x) = 1,5 x² - 12

M(0) = - 12 kN.m

M(2) = 1,5 . (2)² - 12 => M(2) = - 6 kN.m

Para 2 ≤ x D 5:

V(x) = - bc. de + C3 => V(x) = - b�5�. de + C3 => V(x) = - 5x + C3

V(2) = 6 + 5,5 = 11,5 kN => - 5 . 2 + C3 = 11,5 => C3 = 21,5

=> V(x) = - 5x + 21,5 (OK)

V(2) = 11,5 kN

V(5) = - 5 . 5 + 21,5 => V(5) = - 3,5 kN

Para V(x) = 0 => - 5x + 21,5 = 0 => x = 4,3 m

M(x) = bf�e�. de + C4 => M(x) = b�−5x + 21,5�. de + C4

=> M(x) = - 2,5 x² + 21,5 . x + C4

M(2) = - 6 kN.m => - 2,5 (2)² + 21,5 . 2 + C4 = - 6 => C4 = - 39

=> M(x) = - 2,5 x² + 21,5 . x – 39

Adriano Alberto

19

M(2) = - 6 kN.m

M(5) = - 2,5 (5)² + 21,5 . 5 - 39 => M(5) = 6 kN.m

M f,máx = M(4,3) = - 2,5 . (4,3)² + 21,5 . 4,3 - 39 => M f,máx = 7,225 kN.m

Para 5 ≤ x D 7:

3 . 2 + 5,5 – 5 . 3 - 3 - V(x) = 0 => V(x) = - 6,5 kN

M(x) = bf�e�. de + C5 => M(x) = b�−6,5�. de + C5

=> M(x) = - 6,5x + C5

M(5) = 6 kN.m => - 6,5 . 5 + C5 = 6 => C5 = 38,5

=> M(x) = - 6,5x + 38,5

M(5) = 6 kN.m

M(7) = - 6,5 . 7 + 38,5 => M(7) = - 7 kN.m

Diagrama:


AT = 100.25 + 40.100 =

A1 = 100.25= 2 500 mm²

A2 = 100.40= 4 000 mm²

� = 112,5 mm

� = 50 mm

yi = #�.�)#�.�

#* = -/,,.++-

<ys = 125 - 74,03846154 = 50,961538


I z = �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3

Linha Neutra (L.N.)

= 6 500 mm²

++-,/)K,,,./,</,, = 74,03846154 mm

96153846 mm


3��

Adriano Alberto

20

Adriano Alberto

21 �� =

��.�1�� + A2 . �� −3��

hi@ = +,,.�-/�4

+- + 2 500 . �112,5 − 74,03846154�- = 3 828 433,185 . �78�� m4

hiA = K,.�+,,�4

+- + 4 000 . �50 − 74,03846154�- = 5 644 723,866 . �78�� m4

=> I z = 9 473 157,051 . �78�� m4

Para o trecho AB:

Mmáx = - 12 . 10³ N.m


�� = - ��.F�� => 9: = -

;8+-.+,4>./,,G<+/0BK<.+,?4GK.0+/.,,/+.+,?@A = 64 554 874,18 Pa


�� = - ��.3�� => 9: = -

;8+-.+,4>.�8.K,,0BK<+/K�.+,?4GK.0+/.,,/+.+,?@A = - 93 787 270,04 Pa

Para o trecho BC:

Mmáx = 7,225 . 10³ N.m


�� = - ��.F�� => 9: = -

;.,--/.+,4>./,,G<+/0BK<.+,?4GK.0+/.,,/+.+,?@A = - 38 867 413,83 Pa


Adriano Alberto

22 �� = -

��.3�� => 9: = -

;.,--/.+,4>.�8.K,,0BK<+/K�.+,?4GK.0+/.,,/+.+,?@A = 56 467 752,17 Pa

12) e 13) Para a viga com seção transversal mostrada, determine: (a) a tensão trativa máxima longitudinal na viga e onde ela ocorre; (b) a tensão compressiva máxima na viga e onde ela ocorre. 12)

30 + RC = 37,5 kN => RC = 7,5 kN ∑Qj = 0 => 7,5 . 1 . 0,5 – 7,5 . 4 . 2 + 7,5 . 4 + M = 0 => M = 26,25 kN.m Para o trecho 0 ≤ x < 1: V(x) = - 7,5 . x + C V(0) = 0 = - 7,5 . 0 + C => C = 0 => V(x) = - 7,5 . x V(1) = - 7,5 kN

M(x) = - .,/.:A

- + C

M(0) = 0 = 0 + C => M(x) = - .,/.:A

-

M(1) = - 3,75 kN.m

Para o trecho 1 ≤ x < 5: V(x) = - 7,5 . x + C V(1) = - 7,5 + 30 = 22,5 kN = - 7,5 . 1 + C => C = 30 => V(x) = - 7,5 . x + 30 Para V(x) = 0 => x = 4 m

M(x) = - .,/.:A

- + 30x + C

Adriano Alberto

23 M(1) = - 3,75 kN.m = -

.,/.+- + 30 . 1 + C => C = - 30

M(x) = - k,T.��

� + 30x – 30 M(4) = -

.,/.+<- + 30 . 4 – 30 = 30 kN.m

M(5) = -

.,/.-/- + 30 . 5 – 30 = 26,25 kN.m

Para x = 5: M(5) = 26,25 – M = 0 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)

AT = 100.50 + 100.50 = 10 000 mm²

A1 = 100.50= 5 000 mm²

A2 = 100.50= 5 000 mm²

� = 125 mm

� = 50 mm

yi = #�.�)#�.�

#* = /,,,.+-/)/,,,./,

+,,,, = 87,5 mm

ys = 150 – 87,5 = 62,5 mm


I z = �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

+,,.�/,�4+- + 5 000 . �125 − 87,5�- = 8 072 916,667 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = /,.�+,,�4

+- + 5 000 . �50 − 87,5�- = 11 197 916,67 . �78�� m4

=> I z = 19 270 833,33 . �78�� m4

Para o trecho AB:

Mmáx = - 3,75 kN.m

Adriano Alberto

24


�� = - ��.F�� => 9: = -

;80,./.+,4>.<-,/.+,?4+G-.,B00,00.+,?@A = 12 162 162,16 Pa


�� = - ��.3�� => 9: = -

;80,./.+,4>.�8B.,/�.+,?4+G-.,B00,00.+,?@A = - 17 027 027,03 Pa

Para o trecho BC:

Mmáx = 30 . 10³ N.m


�� = - ��.F�� => 9: = -

;0,.+,4>.<-,/.+,?4+G-.,B00,00.+,?@A = - 97 297 297,31 Pa


�� = - ��.3�� => 9: = -

;0,.+,4>.�8B.,/�.+,?4+G-.,B00,00.+,?@A = 136 216 216,2 Pa

Logo:

a) ;��,�á�>* = 136 216 216,2 Pa (no trecho BC, abaixo da L.N.)

b) ;��,�á�>l = - 97 297 297,31 Pa (no trecho BC, acima da L.N.)

13)

Adriano Alberto

25

Utilizando os cálculos da questão 13 da lista 1

RA – 7 . 2 – 7 – 14 . 2 + RD – 7 . 2 = 0 => RA + RD = 63 kN (I) ∑QR = 0 => 25 – 7 . 2 . 1 – 7 . 2 – 14 . 2 . 3 – 11 + 7 . RD – 7 . 2 . 8 = 0

=> RD = -+,. = 30 kN

Substituíndo em (I): RA + 30 = 63 => RA = 33 kN Para 2 ≤ x D 4:

V(x) = 33 – 7 . 2 – 7 – 14(x – 2) => V(x) = - 14x + 40

Para V(x) = 0 => x = 2,857142857 m

Cálculo do momento fletor à partir da área do diagrama do esforço cortante:

(- 25) + (14 + 38) + (0,857142857 . +-- ) – (1,142857143 .

+<- ) + (11) – (16 . 3) + (14) = 0 (OK)

Diagrama:


AT = 120.30 + 240.30 =

A1 = 120.30= 3 600 mm²

A2 = 240.30= 7 200 mm²

� = 255 mm

� = 120 mm

yi = #�.�)#�.�

#* = 0<,,.-//

+,ys = 270 - 165 = 105 mm


I z = �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3

=> I z = 78 570 000 . �78�� m


= 10 800 mm²

-//).-,,.+-,+,B,, = 165 mm


3�� = +-,.�0,�4

+- + 3 600 . �255 − 165�- = 29 430 000

3�� = 0,.�-K,�4

+- + 7 200 . �120 − 165�- = 49 140 000

m4

Adriano Alberto

26

29 430 000 . �78�� m4

49 140 000 . �78�� m4

Adriano Alberto

27

Para o trecho AB:

Mmáx = - 25 . 10³ N.m


�� = - ��.F�� => 9: = -

;8-/.+,4>.+,/.+,?4.B/.,,,,.+,?@A = 33 409 698,36 Pa


�� = - ��.3�� => 9: = -

;8-/.+,4>.�8+</�.+,?4.B/.,,,,.+,?@A = - 52 500 954,56 Pa

Para o trecho CD:

Mmáx = 34 . 10³ N.m


�� = - ��.F�� => 9: = -

;0K.+,4>.+,/.+,?4.B/.,,,,.+,?@A = - 45 437 189,77 Pa


�� = - ��.3�� => 9: = -

;0K.+,4>.�8+</�.+,?4.B/.,,,,.+,?@A = 71 401 298,21 Pa

Logo:

a) ;��,�á�>* = 71 401 298,21 Pa (no trecho CD, abaixo da L.N.)

b) ;��,�á�>l = - 52 500 954,56 Pa (no trecho AB, abaixo da L.N.)

Adriano Alberto

28

PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO DE SEÇÃO HETEROGÊNEA

14) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio, formando a seção composta mostrada. Determinar o maior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de um eixo horizontal. Dados: Ealum = 70 GPa ; Elat = 105 GPa ; ��mn�� = 100 MPa ; ��m�o� = 160 MPa

Posição da L.N.:

yi = �p.#.��mn�)�p.#.�m�o�p.#��mn�)�p.#�m�o =

= .,.+,q.B,,.+,?].0,.+,?4)+,/.+,q.K,,.+,?]./.+,?4)+,/.+,q.K,,.+,?].//.+,?4

.,.+,q.B,,.+,?])+,/.+,q.B,,.+,?] => yi = 30 mm (OK) Cálculo do momento de inércia

��mn� = 2 . r��.�1�� + s�. �� −3��t = 2 . r+,.�K,�4+- + 400. �30 − 30�-t = ��7777

� . �78�� m4

�m�o = 2 . r��.�1�� + s�. �� −3��t = 2 . rK,.�+,�4+- + 400. �55 − 30�-t = �T�7777

� . �78�� m4

��mn�� = - ��.�p.��mn��p.��mn�)�p.��m�o

9uvw�uxyw� = ± 100 . 106 = - ^_.70.109.�±20�.10−3

70.109.4APPPP4 .10−12)105.109.@XAPPPP4 .10−12 => M z = ��777

� N.m

��m�o� = - ��.�p.�m�o�p.��mn�)�p.��m�o

Adriano Alberto

29 9uvw�xuz� = ± 160 . 106 = -

^_.105.109.�±30�.10−370.109.4APPPP4 .10−12)105.109.@XAPPPP4 .10−12 =>

=> M z = 3 081,481481 N.m (resposta) Obs: se as diferentes partes do latão e/ou do alumínio estivessem em posições diferentes em relação à L.N, seria necessário calcular as tensões correspondentes em cada parte (sendo que quanto mais distante o ponto estiver da L.N., maior será a tensão). No presente problema, devido à simetria de ambos em relação à L.N, as tensões acima e abaixo da L.N. são iguais em módulo (tração e compressão). 15) Uma barra de aço e uma de alumínio são unidas firmemente, para formar a viga composta mostrada. O módulo de elasticidade para o alumínio é de 70 GPa e para o aço é de 200 GPa. Sabendo-se que a viga é curvada em torno de um eixo horizontal por um momento M = 1500 N.m, determinar a máxima tensão no: (a) alumínio; (b) aço.

Adriano Alberto

30

Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.

Adriano Alberto

31


15) a) 66,2 MPa T b) 112,4 MPa C

*** 16) Uma viga de concreto é reforçada por três barras de aço, colocadas como indicado. Os módulos de elasticidade são de 20 GPa para o concreto e de 200 GPa para o aço. Usando uma tensão admissível de 10 MPa para o concreto e de 150 MPa para o aço, determinar o maior momento fletor que pode ser aplicado à viga.

Econc = 20 GPa ; Eaço = 200 GPa ; ��{|}{� = 10 MPa ; ��ç|� = 150 MPa

Aaço = 3 . . �7, 7�� m²

Aconc = 0,225 . 0,500 - 3 . L . �0,012�- = 0,1125 - 3 . . �7, 7�� m²

Adriano Alberto

32

�� = K,,.--/.0,,)r--/.+,,83.L.�12�2t./,

/,,.--/83.L.�12�2 = 252,4422052 mm

Posição da L.N.:

yi = �p.#.�{|}{)�p.#.��ç|

�p.#�{|}{)�p.#��ç| =

= -,.+,q.r0,1125−3.L.�0,012�2t.-/-,KK--,/-.+,?4)-,,.+,q.3.L.�0,012�2./,.+,?4

-,.+,q.r0,1125−3.L.�0,012�2t)-,,.+,q.3.L.�0,012�2

=> yi = 230,4120434 mm ys = 500 - 230,4120434 = 269,5879566 mm Cálculo do momento de inércia

I aço = 3 . r .�� +s�ç�. W��ç| − 3Z�t = 3.rH.�+-�JK + L. �12�-. �50 − 230,4120434�-t =

= 44 222 648,9 . �78�� m4

�� = ��.�1�� + s�. �� −3�� = --/.�K,,�4+- + 225.400. �300 − 230,4120434�- = 1 635 823 533.�78�� m4

I 2 = ��.�1��

�� +s�. �� −3�� - I aço = --/.�+,,�4+- +100.225. �50 − 230,4120434�- - 44 222 648,9 . 108+-

=> I2 = 706 868 722,7 . �78�� m4

I conc = I1 + I2 = 2 342 692 256 . �78�� m4

Adriano Alberto

33

��{|}{� = - ��.�p.�{|}{�p.��{|}{)�p.��ç|

9uvw�� = ± 10 . 106 = - ^_.-,.+,q.-<G,/B.G/<<.+,?4

-,.+,q.-0K-<G--/<.+,?@A)-,,.+,q.KK---<KB,G.+,?@A =>

=> M z = ± 103 302,7877 N.m (resposta)

��ç|� = - ��.�p.��ç|

�p.��{|}{)�p.��ç|

9uvw�uç�� = ± 150 . 106 = - ^_.-,,.+,q.�8�-0,,K+-,K0K80B��.+,?4

-,.+,q.-0K-<G--/<.+,?@A)-,,.+,q.KK---<KB,G.+,?@A =>

=> M z = ± 217 105,8549 N.m (não serve) Obs: a resposta da lista deu 79,1 kN.m, mas acredito que meus cálculos estão corretos. Método da homogeneização: Homogeneizando para concreto:

Aaço = 3 . L . �0,012�- m² => A1(conc) = -,,�Uu-,�Uu . 3 . L . �0,012�- = 30 . . �7, 7��

A2(conc) = 0,024 . 0,225 - 3 . L . �0,012�- = 5,4 . �78� - 3 . . �7, 7��

Atransformada = 30 . L . �0,012�- + 5,4 . 1080 - 3 . L . �0,012�- =

= 27 . . �7, 7�� + 5,4 . �78�

b = -..H.�,,,+-�A)/,K.+,?4

,,,-K = 0,733938009 m


AT = 225. �438 + 38� +733

A1 = 438.225= 98 550 mm

A2 = 733,938009. 24= 17 614,51222

A3 = 38.225= 8 550 mm²

yi = #�.�)#�.�)#�.�

#* = GB

ys = 500 - 230,4120435 = 269,5879565


I z = �� + �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3

= 1 827 722 229 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3= 574 171 543,4 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A3 . �� −3= 383 171 545,8 . �78�� m4


33,938009 . 24 = 124 714,5122 mm²

m²

614,51222 mm²

GB//,.-B+)+.<+K,/+---./,)B//,.+G+-K.+K,/+-- = 230,4120435

269,5879565 mm


3�� = --/.�K0B�4

+- + 98 550 . �281 − 230,4120435

3�� = 733,938009.�-K�4

+- + 17 614,51222 . �50 − 230

3�� = 225.�0B�4

+- + 8 550. �19 − 230,4120435�-

Adriano Alberto

34

230,4120435 mm

4120435�- =

230,4120435�- =

� =

Adriano Alberto

35

=> I z = 2 785 065 318 . �78�� m4

Cálculo da tensão acima da L.N.:

9uvw�� = 10 . 106 = ± ̂ _.-<G,/B.G/</.+,?4-.B/,</0+B.+,?@A => Mz = ± 103 308,2247 N.m

9uvw�uç�� = 150 . 106 = ± 10 . ̂ _.+G-,K+-,K0/.+,?4-.B/,</0+B.+,?@A => Mz = ± 217 117,2813 N.m

Verificar a pequena diferença encontrada nos resultados finais dos dois métodos. A posição da L.N. apresentou o mesmo valor nos dois casos, com uma aproximação, possivelmente da calculadora, de uma unidade na última casa decimal.

PROBLEMAS ENVOLVENDO CARGA EXCÊNTRICA

17) Duas forças de 10 kN são aplicadas a uma barra de seção retangular de 20 mm x 60 mm, como mostrado. Determinar a tensão no ponto A, quando: (a) b = 0; (b) b = 15 mm; (c) b = 25 mm.

N = 10 + 10 = 20 kN

Posição da L.N.:

yi = ys = 0,03 m

�� = �# -

��

�� = -,.�<,�4

+- = 360 000 . �78�� m4

a)

b = 0

Adriano Alberto

36

Mz = 10 000 . 0,025 = 250 N.m

9: = -,,,,

,,,-,.,,,<, - -/,.,,,0

0<,,,,.+,?@A = - 4 166 666,667 Pa

b)

b = 15 mm

Mz = 10 000 . 0,025 – 10 000 . 0,015 = 100 N.m

9: = -,,,,

,,,-,.,,,<, - +,,.,,,0

0<,,,,.+,?@A = 8 333 333,333 Pa

c)

b = 25 mm

Mz = 10 000 . 0,025 – 10 000 . 0,025 = 0

9: = -,,,,

,,,-,.,,,<, - ,.,,,0

0<,,,,.+,?@A = 16 666 666,67 Pa

18) Uma pequena coluna de 120 mm x 180 mm suporta três cargas axiais mostradas. Sabendo-se que a seção ABD é suficientemente afastada das cargas, para que permaneça plana, determinar a tensão no: (a) canto A; (b) canto B.

Adriano Alberto

37


18) a) 926 kPa T b) 14,81 MPa C 19) Sabendo-se que a tensão admissível é 90 MPa, determinar a maior força P que pode ser aplicada ao elemento de máquina mostrado.

N = P = ?

�� = S# -

��


Adriano Alberto

38 yi =

#�.�)#�.�#* =

KK.-,..,)<,.+B.0,KK.-,)<,.+B = 47,95918367 mm

ys = 80 - 47,95918367 = 32,04081633 mm


I z = �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

KK.�-,�4+- + 44.20 . �70 − 47,95918367�- = 456 835,2077 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = +B.�<,�4

+- + 18.60 . �30 − 47,95918367�- = 672 334,8603 . �78�� m4

=> I z = 1 129 170,068 . �78�� m4

M z = ?

Considerando o eixo x passando pela L.N.:

M z = P . (47,95918367 – 40)

90 . 106 = U

,,,KK.,,,-,),,,<,.,,,+B - �.;K.,G/G+B0<.–K,>.+,?4.�8K.,G/G+B0<.�.+,?4

++-G+.,,,<B.+,?@A =>

=> 90 . 106 = U

,,,,+G< + 338,0500089 . P => 176 400 = P + 0,662578017 . P =>

=> P = 106 100,2841 N

20) A força axial excêntrica P atua no ponto D, que está localizado a 30 mm abaixo da borda superior da barra de aço mostrada. Para P = 90 kN, determinar: (a) a largura d da barra para que a tensão no ponto A seja máxima; (b) o correspondente valor da tensão no ponto A.

N = P = 90 kN

Adriano Alberto

39

Posição da L.N.:

yi = ys = ��

�� = �# -

��

�� = ,,,/,.�v�4

+-

a)

Mz = - 90 000 . Wv- − 0,030Z

9: = G,,,,,,,/,.v -

8G,,,,.W�A–,,,0,Z.�AP,PXP.��4

@A

G,,,,,,,/,.v =

G,,,,.W�A–,,,0,Z.�AP,PXP.��4

@A => 1 =

W�A–,,,0,Z.�A��A@A

= Wv- – 0,030Z.<v=>

=> 1 = 3 – ,,+Bv =>

,,+Bv = 2 => d = 0,09 m = 90 mm

b)

9: = G,,,,

,,,/,.,,,G - 8G,,,,.WP,PqA –,,,0,Z.P,PqA

P,PXP.�P,Pq�4@A

= 40 MPa

PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO ASSIMÉTRICA

21) e 22) A viga com uma seção transversal mostrada está submetida a um momento fletor M aplicado no plano a – a. Determine: (a) a intensidade da máxima tensão de flexão; (b) a orientação do eixo neutro, mostre o resultado num esboço. 21) M = 1.200 N.m

tg� = 0K => � = arctg(0,75)

M y = - 1 200 . sen[arctg(0,75)]

M z = 1 200 . cos[arctg(0,75)]

Iz = 2 . r+-,.�0,�4+- + 120.30Iy = 2 . r0,.�+-,�4+- t +

+-,.�0,+-

tg� = �.��.� =

8+-,,.��+-,,.��

tg� = �� . tg�

A e B são os pontos mais distantes da L.N.

Para o ponto A:

�� = - ��.�� +

�.�� = -

+-,,

= - 6 753 246,753 Pa

Para o ponto B:

9: = - +-,,.��,,./��.�8

K/0<,,,,.+,?@A= 6 753 246,753 Pa

22) M = 20 kN.m

[arctg(0,75)]

30. �165 − 90�-t + 0,.�+-,�4

+- = 45 360 000 . �70,�4

= 8 910 000 . �78�� m4

��,,./��.K/0<,,,,.+,?@A��,,./��.BG+,,,,.+,?@A => � = - 75,32360686


-,,.��,,./��.,,,G,K/0<,,,,.+,?@A +

8+-,,.��,,./��BG+,,,,.+,?@A

� 8,,,G,� +

8+-,,.��,,./��.�8,,,<,�BG+,,,,.+,?@A =

Adriano Alberto

40

�78�� m4

°

��.,,,<, =

Adriano Alberto

41

M y = 20 000 . sen(10°)

M z = 20 000 . cos(10°)

Iz = G,.�<,�4+- + 90.60. �210 − 150�- + 0,.�+B,�4

+- +180.30. �90 − 150�- = 55 080 000 . �78�� m4

Iy = <,.�G,�4

+- + +B,.�0,�4

+- = 4 050 000 . �78�� m4

tg� = �.��.� =

-,,,,.��+,°�.55080000.10−12-,,,,.��+,°�.K,/,,,,.+,?@A => � = 67,36356998 °

tg� = �� . tg�


Para o ponto A:

�� = - ��.�� +

�.�� = -

-,,,,.��+,°�.,,,G,55080000.10−12 +

-,,,,.��+,°�.�8,,,K/�K,/,,,,.+,?@A =

= - 70 771 743,83 Pa (resposta)

Adriano Alberto

42

Para o ponto B:

9: = - -,,,,.��+,°�.�8,,+/,�

55080000.10−12 + -,,,,.��+,°�.,,,+/

K,/,,,,.+,?@A = 66 501 594,48 Pa

*** 23) Uma cantoneira de 200 x 200 x 24 mm é usada numa viga que suporta um momento fletor de + 10.000 N.m aplicado no plano yx. Os momentos de inércia obtidos em um manual de aço estrutural são Iz = Iy = 33,3 x 106 mm4, e Iyz = + 19,5 x 106 mm4. Determine: (a) a tensão de flexão no ponto A; (b) a máxima tensão de flexão e sua localização na seção transversal; (c) a orientação do eixo neutro, mostre a localização num esboço.

�� = �� . �8�.)��.��.��8;��>�� + � . � ��.�8��.�.��8;��>��

Ou

�� = - ��.�)�.��.��8;��>� � . y + ��.��)��.��

�.��8;��>� � . z

��= #. y . z

tg� = �.��)��.��.�)�.��

a)

Adriano Alberto

43

M y = 0 ; Mz = 10 000 N.m

�� = - � ��.��.��8;��>�� . y + � ��.��

�.��8;��>�� . z

ou

�� = �� . �8�.)��.��.��8;��>�� = 10 000 . r–00,0.+,].+,?@A./B,K.+,?4)+G,/.+,].+,?@A.�8/B,K.+,?4�00,0.+,].+,[email protected],0.+,].+,?@A8�+G,/.+,].+,?@A�A t =

= - 42 318 840,58 Pa

c)

tg� = �� =

19,5.106.10−1233,3.106.10−12 => � = 30,35262473°

b) A maior distância à L.N. é em relação ao ponto B, onde ocorre a maior tensão.

�� = 10 000 . r–00,0.+,].+,?@A.�8+K+,<�.+,?4)+G,/.+,].+,?@A.�8/B,K�.+,?4�00,0.+,].+,[email protected],0.+,].+,?@A8�+G,/.+,].+,?@A�A t = 49 084 321,48 Pa

Acredito que a resposta da lista esteja errada:

23) a) 42,3 MPa T b) 55,8 MPa C c) 75,4 a partir do eixo z � 24) Uma viga com uma seção cantoneira está carregada com um momento fletor de + 20 kN.m aplicado num plano yx. Determine: (a) a tensão de flexão no ponto A; (b) a orientação do eixo neutro, mostre a localização num esboço.

Adriano Alberto

44

Iz = <,.�+B,�4+- + 180.60. �90 − 75�- + <,.�<,�4

+- +60.60. �30 − 75�- = 39 960 000 . �78�� m4

Iy = +B,.�<,�4+- + 180.60. �30 − 45�- + <,.�<,�4

+- +60.60. �90 − 45�- = 14 040 000 . �78�� m4

��= #. y . z

h�i= 60.180 . 15 . 15 + 60 . 60 . 45 . 45 = 9 720 000 . �78�� m4

M y = 0 ; Mz = 20 000 N.m

a)

�� = �� . �8�.)��.��.��8;��>�� = 20 000 . r–+K,,K.+,].+,?@A.�8+,/�.+,?4)G,.-.+,].+,?@A.+/.+,?4+K,,K.+,].+,[email protected],G<.+,].+,?@A–�G,.-.+,].+,?@A�A t =

= 69 444 444,44 Pa

b)

tg� = �� =

9,72.106.10−1214,04.106.10−12 => � = 34,69515353°

25), 26) e 27) O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determinar: (a) a tensão no ponto A; (b) o ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal. 25)

Adriano Alberto

45

M y = 2 800 . sen(20°)

M z = 2 800 . cos(20°)

Iz = +,,.�-,,�4

+- = �77777777

� . �78�� m4

Iy = -,,.�+,,�4

+- = T7777777

� . �78�� m4

a)

Para o ponto A:

�� = - ��.�� +

�.�� = -

-B,,.��-,°�.,,+,,APPPPPPPP

4 .+,?@A + -B,,.��-,°�.,,,/,

XPPPPPPP4 .+,?@A = - 1 073 739,803 Pa

Para o ponto B:

9: = - -B,,.��-,°�.�8,,+,,�

APPPPPPPP4 .+,?@A +

-B,,.��-,°�.,,,/,XPPPPPPP

4 .+,?@A = 6 819 678,211 Pa

b)

tg� = �� . tg� =

APPPPPPPP4 .+,?@AXPPPPPPP4 .+,?@A . tg�20°� => � = 75,96375653°

Adriano Alberto

46

26)

M y = 10 000 . sen(55°)

M z = - 10 000 . cos(55°)

Iz = 2 . r160.�10�312 + 160.10. �175 − 90�2t + 10.�160�312 = 26 560 000 . �78�� m4

Iy = 2 . r10.�160�312 t + 160.�10�312 = 6 840 000 . �78�� m4

a)

Para o ponto A:

9: = - 8+,,,,.��//°�.,,,G,

-</<,,,,.+,?@A + +,,,,.��//°�.,,,B,

<BK,,,,.+,?@A = 115 243 205,2 Pa

Para o ponto B:

�� = - ��.�� +

�.�� = -

8+,,,,.��//°�.,,,G,-</<,,,,.+,?@A +

+,,,,.��//°�.�8,,,B,�<BK,,,,.+,?@A = - 76 371 308,12 Pa

b)

Adriano Alberto

47 tg� =

�� . tg� =

-</<,,,,.+,?@A<BK,,,,.+,?@A . tg�55°� => � = 79,77801655°

27)

M y = 25 000 . sen(15°)

M z = 25 000 . cos(15°)

Iz = G,.�B,�4+- + 90.80. �120 − 100�- + 0,.�B,�4+- + 30.80.�40 − 100�- = 16 640 000 . �78�� m4

Iy = B,.�G,�4+- + B,.�0,�4+- = 5 040 000 . �78�� m4

a)

Para o ponto A:

�� = - ��.�� +

�.�� = -

-/,,,.��+/°�.,,,<,+<<K,,,,.+,?@A +

-/,,,.��+/°�.,,,K//,K,,,,.+,?@A = - 29 300 532,31 Pa

Para o ponto B:

9: = - -/,,,.��+/°�.,,,<,

+<<K,,,,.+,?@A + -/,,,.��+/°�.�8,,,K/�

/,K,,,,.+,?@A = - 144 844 748,9 Pa

Adriano Alberto

48

b)

tg� = �� . tg� =

+<<K,,,,.+,?@A/,K,,,,.+,?@A . tg�15°� => � = 41,49782689°

*** 28) Uma carga axial P é aplicada como mostrado a curto perfil estrutural em forma de T. Determinar: (a) a maior distância a para que a tensão máxima de compressão não exceda a 120 MPa; (b) o ponto correspondente onde a linha neutra intercepta a linha AB. Dados: A = 4450 mm2, Iy = 9,16 x 106 mm4, Iz = 6,00 x 106 mm4

� = 135 000 . a

Qi= 135 000 . 0,024 = 3 240 N.m

a)

�� = �# -

��.�� +

�.��

- 120 . 106 = 8+0/,,,KK/,.+,?] -

0-K,.,,,-.<.+,].+,?@A +

+0/,,,.u.�8,,+,-�G,+<.+,].+,?@A =>

=> - 75 082 921,35 = - 1 503 275 109 . a => a = 49,946228 mm

b)

Q� = 135 000 . 0,049946228 = 6 742,740781 N.m

tg� = �.��.� =

<.K-,.K,.B+.<.+,].+,?@A0-K,.G,+<.+,].+,?@A => � = 53,73664016°

Adriano Alberto

49

tg(53,73664016°) = -.ww

i => z = 19,80690113 mm

PROBLEMAS ENVOLVENDO CISALHAMENTO NA FLEXÃO

Nas questões abaixo, de acordo com as respostas da lista, não são calculadas as tensões máximas. Para isso, seria necessário calcular também as tensões longitudinais e, a partir do estado de tensão resultante, calcular as tensões máximas, que podem ou não coincidir com os resultados das questões abaixo.

29) O cortante vertical em certa seção de uma viga cuja forma é mostrada na figura é 18 kN. Determinar: (a) a tensão tangencial horizontal máxima, e indique onde ela ocorre dentro da seção transversal; (b) a tensão tangencial vertical 80 mm abaixo do topo.

Adriano Alberto

50


Adriano Alberto

51


a) 822 kPa no eixo neutro b) 707 kPa

30) Uma viga com 6 m de comprimento está simplesmente apoiada em suas extremidades e tem uma seção transversal como mostrado. A viga suporta uma carga uniformemente distribuída de 5 kN/m em todo o seu comprimento. Determine: (a) a tensão transversal vertical em um ponto 0,5 m a partir do extremo direito e 100 mm abaixo da superfície do topo da viga; (b) as tensões tangenciais máximas horizontal e vertical, e mostre onde cada uma ocorre.

RA + RB = 30 kN RA = RB = 15 kN V(x) = - 5x + 15

Adriano Alberto

52


AT = 60.200 + 60.160 + 60.200 = 33 600 mm²

A1 = 60.200= 12 000 mm²

A2 = 60.160= 9 600 mm²

A3 = 60.200= 12 000 mm²

� = 100 mm

� = 30 mm

� = 100 mm

yi = #�.�)#�.�)#�.�

#* = +-,,,.+,,)G<,,.0,)+-,,,.+,,

00<,, = 80 mm

ys = 200 - 80 = 120 mm


I z = �� + �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

<,.�-,,�4+- + 12 000 . �100 − 80�- = 44 800 000 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = +<,.�<,�4

+- + 9 600 . �30 − 80�- = 26 880 000 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A3 . �� −3�� = <,.�-,,�4

+- + 12 000 . �100 − 80�- = 44 800 000 . �78�� m4

�� = ��

=> I z = 116 480 000 . �78�� m4

a) x = 6 – 0,5 = 5,5 m V(5,5) = - 5 . 5,5 + 15 = - 12,5 kN

Adriano Alberto

53

�� = - �.��.�

Q = Q1 + Q2

Q1 = Q2 => Q = 2 . Q2

Q1 = A1 . |� −3| Q2 = A2 . |� −3| = 60 . 100 . |150 − 80| = 420 000 . �78¢ m³ Q = 840 000 . �78¢ m³ b = 2 . 60 = 120 mm = 0,120 m

£:� = - ;8+-,/.+,4>.BK,,,,.+,?q++<KB,,,,.+,?@A.,,+-, = 751 201,9231 Pa

b)

�� = - �.��.�

V = ± 15 kN

Adriano Alberto

54

Acima da L.N.:

Q = Q1 + Q2

Q1 = Q2 => Q = 2 . Q2

Q1 = A1 . |� −3| Q2 = A2 . |� −3| = 60 . 120 . |140 − 80| = 432 000 . �78¢ m³ Q = 864 000 . �78¢ m³ b = 2 . 60 = 120 mm = 0,120 m

£:� = - ;±+/.+,4>.B<K,,,.+,?q++<KB,,,,.+,?@A.,,+-, = ± 927 197,8022 Pa

Abaixo da L.N.: Q = Q1 + Q2 + Q3

Q1 = A1 . |� −3| = 80 . 60 . |40 − 80| = 192 000 . �78¢ m³ Q2 = A2 . |� −3| = 160 . 60 . |30 − 80| = 480 000 . �78¢ m³ Q3 = A3 . |� −3| = 80 . 60 . |40 − 80| = 192 000 . �78¢ m³ Q1 = Q3

Q = 864 000 . �78¢ m³ b = 2 . 60 = 120 mm = 0,120 m

£:� = - ;±+/.+,4>.B<K,,,.+,?q++<KB,,,,.+,?@A.,,+-, = ± 927 197,8022 Pa

30) a) 751 kPa b) 927 kPa na superfície neutra dos apoios

*** 31) Uma viga com 4 m de comprimento tem a seção transversal mostrada na figura. Ela é simplesmente apoiada nos extremos e suporta uma carga uniformemente distribuída de 4 kN/m sobre todo seu comprimento. Em um ponto a 500 mm da extremidade esquerda e 40 mm abaixo da superfície neutra, determine: (a) a tensão longitudinal (b) a tensão tangencial horizontal; (c) a tensão tangencial vertical.

Adriano Alberto

55

RA + RB = 16 kN RA = RB = 8 kN V(x) = - 4x + 8 x = 0,5 m V(0,5) = - 4 . 0,5 + 8 = 6 kN M(x) = - 2x² + 8x + C M(0) = 0 = - 2 . 0 + 8 . 0 + C => C = 0 => M(x) = - 2x² + 8x M(0,5) = - 2(0,5)² + 8 . 0,5 = 3,5 kN.m Posição da Linha Neutra (L.N.)

yi = 100 mm


A1 = 40.180= 7 200 mm²

A2 = 40.120= 4 800 mm²

A3 = 40.180= 7 200 mm²

� = 180 mm

� = 100 mm

� = 20 mm

Adriano Alberto

56

I z = �� + �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

+B,.�K,�4+- + 7 200 . �180 − 100�- = 47 040 000 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = K,.�+-,�4

+- + 4 800 . �100 − 100�- = 5 760 000 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A3 . �� −3�� = +B,.�K,�4

+- + 7 200 . �20 − 100�- = 47 040 000 . �78�� m4

�� = ��

=> I z = 99 840 000 . �78�� m4

a)

�� = - ��.3�� => 9: = -

;0,/.+,4>.�8K,�.+,?4GGBK,,,,.+,?@A = 1 402 243,59 Pa

b)

Cálculo abaixo da L.N. para a área abaixo de y = 40 mm

�� = - �.��.�

Q = Q1 + Q2

Q1 = A1 . |� −3| = 20 . 40 . |50 − 100| = 40 000 . �78¢ m³ Q2 = A2 . |� −3| = 180 . 40 . |20 − 100| = 576 000 . �78¢ m³ Q = 616 000 . �78¢ m³

b = 40 mm = 0,040 m

£:� = - ;<.+,4>.<+<,,,.+,?qGGBK,,,,.+,?@A.,,,K,

c) �� = 925 480,7692 Pa ??????? Qual a diferença entre tensão tangencial horizontal e tensão tangencial vertical? 31) a) 1,402 MPa T b) 0,925 MPa c) 0,925 MPa

32) Para a viga mostrada, a reação esquetensão longitudinal máxima da viga; (b) a tensão tangencial horizontal máxima.

RA = 5,36 kN

5,36 + RC = 12 kN => RC = 6,64 kN

∑QR = 0 => - 6 – 6 . 1,5 + 3 .

Diagrama:

q,K, = - 925 480,7692 Pa

???????

Qual a diferença entre tensão tangencial horizontal e tensão tangencial vertical?

31) a) 1,402 MPa T b) 0,925 MPa c) 0,925 MPa

32) Para a viga mostrada, a reação esquerda é de 5,36 kN para cima. Determine: (a) a máxima da viga; (b) a tensão tangencial horizontal máxima.

= 6,64 kN

3 . 6,64 + M = 0 => M = - 4,92 kN.m

Adriano Alberto

57

Qual a diferença entre tensão tangencial horizontal e tensão tangencial vertical?

kN para cima. Determine: (a) a máxima da viga; (b) a tensão tangencial horizontal máxima.

Adriano Alberto

58


yi = 100 mm


A1 = 50.100= 5 000 mm²

A2 = 50.100= 5 000 mm²

A3 = 50.100= 5 000 mm²

� = 175 mm

� = 100 mm

� = 25 mm

I z = �� + �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3�� =

+,,.�/,�4+- + 5 000 . �175 − 100�- = 29 166 666,67 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = /,.�+,,�4

+- + 5 000 . �100 − 100�- = 4 166 666,667 . �78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A3 . �� −3�� = +,,.�/,�4

+- + 5 000 . �25 − 100�- = 29 166 666,67 . �78�� m4

�� = ��

=> I z = 62 500 000,01 . �78�� m4

a) yi = ys

Para o trecho 0≤ x <1: Mmáx = 4,36 kN.m

�� = - ��.3�� => 9: = -

;K,0<.+,4>.�±+,,�.+,?4<-/,,,,,,,+.+,?@A = ± 6 975 999,999 Pa

Adriano Alberto

59

Para o trecho 1≤ x <3: Mmáx = - 4,92 kN.m

�� = - ��.3�� => 9: = -

;8K,G-.+,4>.�±+,,�.+,?4<-/,,,,,,,+.+,?@A = ± 7 871 999,999 Pa (resposta)

b) Vmáx = - 6,64 kN

�� = - �.��.�

Q = Q1 + Q2

Q1 = A1 . |� −3| = 100 . 50 . |175 − 100| = 375 000 . �78¢ m³ Q2 = A2 . |� −3| = 50 . 50 . |125 − 100| = 62 500 . �78¢ m³ Q = 437 500 . �78¢ m³ b = 50 mm = 0,050 m

£:� = - ;8<,<K.+,4>.K0./,,.+,?q<-/,,,,,,,+.+,?@A.,,,/, = 929 599,9999 Pa

33) Uma viga T com 5 m de comprimento é simplesmente apoiada em suas extremidades e tem a seção transversal mostrada na figura. É especificado que a tensão longitudinal de tração não pode exceder 12 MPa e que a tensão tangencial horizontal não ultrapasse 0,7 MPa. Determine a carga concentrada para baixo máxima que pode ser aplicada a 3 m da extremidade direita.

RA + RB = P - 2P + 5 . RB = 0 => RB = 0,4 . P RA = 0,6 . P Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)

AT = 200.75 + 200.50 =

A1 = 200.75= 15 000 mm²

A2 = 200.50= 10 000 mm²

� = 150 mm

� = 25 mm

yi = #�.�)#�.�

#* = +/,,,.+/,

-/ys = 250 – 100 = 150 mm


I z = �� + �� =

��.�1�� + A1 . �� −3

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�

= 0,4 . P


= 25 000 mm²

²

m²

+/,)+,,,,.-/-/,,, = 100 mm


3�� = ./.�-,,�4

+- + 15 000 . �150 − 100�- = 87 500 000

�� = -,,.�/,�4

+- + 10 000 . �25 − 100�- = 58 333 333,33

Adriano Alberto

60

87 500 000.�78�� m4

58 333 333,33.�78�� m4

Adriano Alberto

61

=> I z = 145 833 333,3 . �78�� m4


�� = - ��.3�� => 12 . 106 = -

�+,-.U�.�8+,,�.+,?4+K/B00000,0.+,?@A => P = 14 583,33333 N

Vmáx = 0,6 . P

�� = - �.��.�

Cálculo acima da L.N.

Q = A . | −3| = 150 . 75 . |175 − 100| = 843 750 . �78¢ m³ b = 75 mm = 0,075 m

0,7 . 106 = - �,,<.U�.BK0./,.+,?q

+K/B00000,0.+,?@A.,,,./ => P = 15 123,45679 N

Cálculo abaixo da L.N. Q = Q1 + Q2

Q1 = A1 . |� −3| = 50 . 75 . |75 − 100| = 93 750 . �78¢ m³ Q2 = A2 . |� −3| = 200 . 50 . |25 − 100| = 750 000 . �78¢ m³ Q = 843 750 . �78¢ m³ b = 50 mm = 0,075 m

0,7 . 106 = - �,,<.U�.BK0./,.+,?q

+K/B00000,0.+,?@A.,,,./ => P = 15 123,45679 N

Logo, Pmáx = 14 583,33333 N

Adriano Alberto

62

34) e 35) Para a viga com carregamento indicado, considerar a seção n–n e determinar: (a) a maior tensão normal, e indicar onde ela ocorre; (b) a tensão de cisalhamento no ponto A; (c) a maior tensão de cisalhamento e indicar onde ela ocorre 34)

RA = 36 kN - 36 . 0,760 + M = 0 => M = 27,36 kN.m M z = - 0,600 . 36 = - 21,6 kN.m yi = ys = 75 mm A1 = 100.8= 800 mm²

A2 = 134.8= 1 072 mm²

A3 = 134.8= 1 072 mm²

A4 = 100.8= 800 mm²

� = 146 mm

� = 75 mm

� = 75 mm

� = 4 mm


I z = �� + �� + �� + �� = �� = ��

�� = ��.�1��

�� + A1 . �� −3�� = +,,.�B�4

+- + 800 . �146 − 75�- = 4 037 066,667.�78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A2 . �� −3�� = B.�+0K�4

+- + 1 072 . �75 − 75�- = 1 604 069,333.�78�� m4

Adriano Alberto

63

=> I z = 11 282 272 . �78�� m4

Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, este cálculo apresentaria o mesmo resultado subtraíndo-se ��[ - ��3: +,,.�+/,�4

+- - BK.�+0K�4

+- = 11 282 272 . �78�� m4

�� = - ��.3�� = -

;8-+,<.+,4>.�±./�.+,?4++-B--.-.+,?@A = ± 143 588 100 Pa (no topo ou na base da seção)

b)

V(0,160) = 36 kN

�� = - �.��.�

Q = A . | −3| = 100 . 8 . |146 − 75| = 56 800 . �78¢ m³ b = 2 . 8 mm = 0,016 m

£:� = - 0<.+,4./<B,,.+,?q++-B--.-.+,?@A.,,,+< = 11 327 505,67 Pa

c) Cálculo acima da L.N. Q = Q1 + Q2 + Q3

Q1 = A1 . |� −3| = 8 . 100 . |146 − 75| = 56 800 . �78¢ m³ Q2 = A2 . |� −3| = 8 . 67 . |108,5 − 75| = 17 956 . �78¢ m³ Q3 = Q2 = 17 956 . �78¢ m³ Q = 92 712 . �78¢ m³

Adriano Alberto

64

Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, este cálculo apresentaria o mesmo resultado subtraíndo-se �[ - �3: 75 . 100 . |112,5 − 75| - 84 . 67 . |108,5 − 75| = 92 712 . �78¢ m³ b = 2 . 8 mm = 0,016 m

£:� = - 0<.+,4.G-.+-.+,?q

++-B--.-.+,?@A.,,,+< = 18 489 361,01 Pa (ocorre na L.N.)

35) RA = RB = 80 kN

Para 0 ≤ x < 0,9:

V(x) = 80 kN

M(x) = 80x

Mz = M(0,6) = 80 . 0,6 = 48 kN.m yi = ys = 130 mm A1 = A2 = A7 = A8 = 80.12= 960 mm²

A3 = A6 = 180.16= 2 880 mm²

A4 = A5 = 68.16= 1 088 mm²

� = � = 220 mm

� = 172 mm

Adriano Alberto

65

� = T = 130 mm

� = 88 mm

k = ¤ = 40 mm


I z = �� + �� + �� + �� + ��T + �� + ��k + ��¤ hi@ = hiA = hi¥ = hi¦ hi4 = hi] hiJ = hiX I z = 4 . �� + 2 . �� + 2 . ��

�� = ��.�1��

�� + A1 . �� −3�� = +-.�B,�4

+- + 960 . �220 − 130�- = 8 288 000 .�78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A3 . �� −3�� = +B,.�+<�4

+- + 2 880 . �172 − 130�- = 5 141 760 .�78�� m4

�� = ��.�1��

�� + A4 . �� −3�� = +<.�<B�4

+- + 1 088 . �130 − 130�- = 419 242,6667.�78�� m4

=> I z = 44 274 005,33 . �78�� m4

�� = - ��.3�� = -

;KB.+,4>.�±+0,�.+,?4KK-.K,,/,00.+,?@A = ± 140 940 489,9 Pa (no topo ou na base da seção)

b)

V(0,6) = 80 kN

�� = - �.��.�

Cálculo acima da L.N. Q = 2 . Q1

Adriano Alberto

66

Q = 2 . A . | −3| = 2 . 80 . 12 . |220 − 130| = 172 800 . �78¢ m³ b = 2 . 12 mm = 0,024 m

£:� = - B,.+,4.+.-B,,.+,?q

KK-.K,,/,00.+,?@A.,,,-K = 13 009 891,37 Pa

c) Cálculo acima da L.N. Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5

Q1 = Q2

Q4 = Q5

Q = 2 . Q1 + Q3 + 2 . Q4

Q1 = A1 . |� −3| = 12 . 80 . |220 − 130| = 86 400 . �78¢ m³ Q3 = A3 . |� −3| = 16 . 180 . |172 − 130| = 120 960 . �78¢ m³ Q4 = A4 . |� −3| = 34 . 16 . |147 − 130| = 9 248 . �78¢ m³ Q = 312 256 . �78¢ m³ b = 2 . 16 mm = 0,032 m

£:� = - B,.+,4.0+--/<.+,?q

KK-.K,,/,00.+,?@A.,,,0- = 17 632 016,67 Pa (ocorre na L.N.)

PROBLEMAS ENVOLVENDO COMBINAÇÃO DE CARREGAMENTO

*** 36) a alavanca AB tem uma seção transversal retangular de 10 x 30 mm. Sabendo-se que θ = 40º, determinar as tensões normal e de cisalhamento nos três pontos indicados (a, b e c).

1 780 . sen(40°) . 0,125 = M =>

|M�|= |M¨| = |M�| = |M©| = 1 7

N = 1 780 . cos(40°) N

yi = 15 mm (posição da L.N.)

�� = �# -

��.�� ; �� =

�.��.�

V = 1 780 . sen(40°) ; b = 0,0

Iz = +,.0,4

+- = 22 500 . �78�� m

9u = +.B,.��K,°�

,,,,,0 + +.B.��

--/,,

�� = - �.��.�

A = 0 => �� = 0

9^ = B,B--<<,,,/),

- = 40 411 330,03 Pa

R = £uªá« = ¬��7��7, 7� 9uªá« = 9^ + R = 80 822 660,05 Pa

9uªí® = 9^ - R = 0

. 0,125 = M => M = 222,5 . sen(40°) N.m

1 780 . sen(40°) . 0,100 = 178 . sen(40°) N.m

(posição da L.N.)

�� ; Q = A . | −3|

; b = 0,010 m

m4

��K,°�.,,,+//,,.+,?@A = 80 822 660,05 Pa

411 330,03 Pa

7��- +�0�- = 40 411 330,03 Pa

80 822 660,05 Pa

Adriano Alberto

67

9¯ = +.B,.��K,°�

,,,,,0 + +.B.��--/,,.

�� = - �.��.�

Q = 0,010 . 0,015 . 0,0075 = 1,125 .

£¯ = - +.B,.��K,°�.+,+-/.+,

--/,,.+,?@A.,,,+,

9^ = K/K/+G.,,-G),

- = 2 272 598,515 Pa

R = £¯ªá« = ¬�2272598,515

��K,°�.,.+,?@A = 4 545 197,029 Pa

1,125 . �78� m³

+,?] = - 5 720 809,726 Pa

2 272 598,515 Pa

515�- +�5720809,726�- = 6 155 677,699 Pa

Adriano Alberto

68

9¯ªá« = 9^ + R = 8 428 276,214

9¯ªí® = 9^ - R = - 3 883 079,184

sen��S� = /.-,B,G,.-<<+//<..,<GG => �

9� = +.B,.��K,°�

,,,,,0 + +.B.��

--/,,

�{ = - �.��.�

A = 0 => �{ = 0

9^ = 8.+.0--</,GG),

- = - 35 866 133 Pa

R = £�ªá« = 35 866 133 Pa

8 428 276,214 Pa

3 883 079,184 Pa

�S = 34,16724521° (anti-horário)

��K,°�.�8,,,+/�/,,.+,?@A = - 71 732 265,99 Pa

35 866 133 Pa

Adriano Alberto

69

Adriano Alberto

70

9�ªá« = 9^ + R = 0

9�ªí® = 9^ - R = - 71 732 265,99 Pa

Acredito que a resposta da lista considera apenas as tensões normais e cisalhantes separadamente, sem calcular as tensões máximas. Além disso, os valores parciais encontrados diferem um pouco das respostas. Possivelmente foram feitas muitas aproximações.

36) σa = 80,85 MPa T τa = 0 σb = 4,55 MPa T τb = 5,70 MPa σc = 71,8 MPa C τc = 0

*** 37) O eixo mecânico de um automóvel é feito para suportar as forças e o torque mostrado. Sabendo-se que o diâmetro do eixo é de 30 mm, determinar as tensões normal e de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K.

Adriano Alberto

71

N = 0 Vy = ; Vz = 0 T = - 2 800 N.m My = 0 Mz = - 2 700 . 0,350 + 2 700 . 0,200 = - 405 N.m

Iz = Iy = HIJK =

H�,,,+/�JK

AT = LM- = L�0,015�-

�� = �# +

�� +

��

a) Para o ponto H: 9° = 0 -

K,/.,,,+/O�P,P@X�J

J +

,.,O�P,P@X�J

J = - 152 788 745,4 Pa

£± = ±

,,/.H.I4 = 8-B,,

,,/.H�,,,+/�4 = 8/<,,H�,,,+/�4 => �* = - 528 158 626 Pa

£° = £± + £²_ = £± + 0 = - 528 158 626 Pa

Adriano Alberto

72

R = ��á� = 533,6549769 MPa ��á� = - 610,049349,6 Pa Para o ponto K:

9³ = 0 + K,/.,O�P,P@X�J

J +

,.�8,,,+/�O�P,P@X�J

J = 0

£± = ±

,,/.H.I4 = -B,,

,,/.H�,,,+/�4 = /<,,

H�,,,+/�4 => �* = 528 158 626 Pa

£³ = £± + £²́ = £± + 0 = 528 158 626 Pa De acordo com o desenho, que não está muito claro, como as forças em y estão equilibradas, não existe força cortante em y no ponto k. Logo, Vy = 0

��= �.��.� = 0

Adriano Alberto

73

Através do circulo de Mohr, �µ�á�= �µ�á�= 528 158 626 Pa Acredito que a resposta da lista está errada. 37) H: σx = 151 MPa C σz = 0 τxz = 527 MPa K: σx = σy = 0 τxy = 527 MPa *** 38) Uma mola é feita de um arame circular de raio c, formando uma hélice de raio R. Determinar a máxima tensão de cisalhamento produzida pelas forças P e P’, iguais e opostas. (Sugestão: determinar inicialmente a força cortante V e o torçor T numa seção transversal.)

V = P

T = P . 2R

�� = - �.��.�

I = .{��

�* = *

7,T. .{�

� = - �.�

M = T = 2PR

Para o ponto A:

�# = ��# + �*

Q = 0 => £²¶ = 0

Adriano Alberto

74 £R = £± =

-U·,,/.H.�4 =

�S¸ {�

�# = - -�¹�OºJJ

= - ¤»¼ {�

9^ = 8¦½¾Oº4 ),- = -

�»¼ {�

R = ¬�4�- +�4�- . U·H�4 =

�√�.S¸ {� = �#��á��

9Rªá« = 9^ + R = - K�¹H�4 +

K√-.U·H�4 =

;�√�8�>.S¸ {�

9Rªí® = 9^ - R = - K�¹H�4 -

K√-.U·H�4 =

8;�√�)�>.S¸ {�

sen��S� =

K√0- => �S = 22,5° (anti-horário)

Para o ponto B:

�� = �� + �*

Q = H.�A- .

K.�0H =

-�40

£j = U.Aº44O.ºJJ .-.� +

�.-¹,,/.H.�4 =

UH

�� = 0

��á�� = ��á�� = �SW{� )¼Z {�

A lista não apresentou a resposta para est

U.J4H.�A + �.-¹

,,/.H.�4 = ,,/.�.U.J4 )�.-¹,,/.H.�4 =

�SW{� )¼Z {�

Z

a resposta para esta questão.

Adriano Alberto

75

Z

Adriano Alberto

76

*** 39) Várias forças são aplicadas ao tubo mostrado. Sabendo-se que o tubo tem diâmetro, interno e externo, de 40 mm e 48 mm, respectivamente, determinar as tensões normal e de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K.

N = 660 N ; Vy = 0 ; Vz = 0 T = 880 . 0,250 = 220 N.m My = 660 . 0,100 + 220 . 0,250 – 880 . 0,250 = - 99 N.m Mz = - 660 . 0,250 = - 165 N.m

Iz = Iy = H��,,,-K�J8�,,,-,�J�

K = 1,349125549 . �78k m4

�� = �# -

�� +

��

Para o ponto H: 9° =

<<,H��,,,-K�A8�,,,-,�A� -

8+</.,,,-K+,0KG+-//KG.+,?¥ +

8GG.,+,0KG+-//KG.+,?¥ => �� = 30 546 008,14 Pa

£± = --,.,,,-K

,,/.H.��,,,-K�J8�,,,-,�J� = 19 568 230,71 Pa

£° = £± + £²_ = £± + 0 = £± => �� = 19 568 230,71 Pa

9^ =

0,/K<,,B,+K),- = 15 273 004,07 Pa

Adriano Alberto

77

R = £°ªá« = ¬�15273004,07�- +�19568230,71�- = 24 822 979,4 Pa 9°ªá« = 9^ + R = 40 095 983,47 Pa 9°ªí® = 9^ - R = - 9 549 975,33 Pa sen��S� =

+G/<B-0,,.+-KB--G.G,K => �S = 26,01398101° (horário)

Para o ponto K: 9³ =

<<,H��,,,-K�A8�,,,-,�A� -

8+</.,+,0KG+-//KG.+,?¥ +

8GG.,,,-K+,0KG+-//KG.+,?¥ => �� = - 16 417 745,57 Pa

£± = --,.,,,-K

,,/.H.��,,,-K�J8�,,,-,�J� = 19 568 230,71 Pa

£À = £± + £²́ = £± + 0 = £± => �Á = 19 568 230,71 Pa

9^ =

8+<K+..K/,/.),- = - 8 208 872,783

R = £Àªá« = ¬�8208872,783 9Àªá« = 9^ + R = 13 011 429,89 9Àªí® = 9^ - R = - 29 429 175,45 sen��S� =

+G/<B-0,,.+-+--,0,-,<. => �

Obs: As respostas da lista não são as tensões m H: σx = 30,5 MPa T σz = 0 τxz = 19,56 MPaK: σx = 16,4 MPa C σy = 0 τxy = 19,56 MPa

8 208 872,783 Pa

783�- +�19568230,71�- = 21 220 302,67 Pa

13 011 429,89 Pa

29 429 175,45 Pa

�S = 33,6209754° (anti-horário)

Obs: As respostas da lista não são as tensões máximas:

= 19,56 MPa = 19,56 MPa

Adriano Alberto

78

Adriano Alberto

79


Figura:


Adriano Alberto

80

Adriano Alberto

81

40) e 41) Os eixos maciços são carregados como mostrado nas figuras. Determine, e mostre num esboço, as tensões principais e a tensão tangencial máxima no ponto A da superfície do eixo. 40)

Como Vz, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no ponto A, a convenção

de sinais deve ser de forma que �� seja positivo. Ou seja, sentido anti-horário como

positivo. N = - 80 000 N ; Vy = 0 ; Vz = 10 000 N T = - 0,600 . 10 . 10³ = - 6 000 N.m My = 0,900 . 10 . 10³ = 9 000 N.m Mz = 0 O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de My e Mz.

Iz = Iy = HIJK =

H�,,,/�JK

�� = �# +

�� +

��

Para o ponto A: 9R =

8B,,,,H�,,,/�A +

,.,O�P,PX�J

J +

G,,,.,,,/O�P,PX�J

J => �# = 81 487 330,86 Pa

£± = ±

,,/.H.I4 = 8<,,,

,,/.H.�,,,/�4 = - 30 557 749,07 Pa

£R = £± + £²́ = £± + 0 = £± => �# = - 30 557 749,07 Pa A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma convenção.

9^ =

B+KB.00,,B<),- = 40 743 665,43 Pa

R = £Rªá« = ¬�40743665,43 9Rªá« = 9^ + R = 91 673 247,22 Pa 9Rªí® = 9^ - R = - 10 185 916,36 Pa sen��S� =

0,//..KG,,./,G-G/B+,.G => �

40 743 665,43 Pa

43�- +�30557749,07�- = 50 929 581,79 Pa

91 673 247,22 Pa

10 185 916,36 Pa

�S = 18,43494882° (anti-horário)

Adriano Alberto

82

41)

Como Vz, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no ponto A, a convenção

de sinais deve ser de forma que

positivo. N = - 60 000 N ; Vy = 0 ; V T = - 0,100 . 5 000 – 0,100 . 3 000 My = 5 000 . 2 – 3 000 . 2 = 4 Mz = 0 O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M

Iz = Iy = HIJK =

H�,,,-/�JK

�� = �# +

�� +

��

Para o ponto A: 9R =

8<,,,,H�,,,-/�A +

,.,O�P,PX�J

J +

K,,,O�

£± = ±

,,/.H.I4 = 8B,,

,,/.H.�,,,-/ £R = £± + £²́ = £± + 0 = £± =>

A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma convenção.

, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no ponto A, a convenção

ais deve ser de forma que �� seja positivo. Ou seja, sentido anti

= 0 ; Vz = - 5 000 N e 3 000 N

0,100 . 3 000 = - 800 N.m

000 N.m

O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M

,,,.,,,-/�P,PAX�J

J => �# = 295 391 574,4 Pa

,-/�4 = - 32 594 932,35 Pa

=> �# = - 32 594 932,35 Pa

A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma

Adriano Alberto

83

, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no ponto A, a convenção

seja positivo. Ou seja, sentido anti-horário como

O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de My e Mz.


9^ = -G/0G+/.K,K),

- = 147 695 787,2

R = £Rªá« = ¬�147695787,2 9Rªá« = 9^ + R = 298 945 498,5 9Rªí® = 9^ - R = - 3 553 924,1 sen��S� =

0-/GKG0-,0/+/+-KG.++,0 => �

*** 42) Uma barra de aço de Determine, e mostre num esboço, a tensão principal máxima noadjacente ao apoio.

147 695 787,2 Pa

2�- +�32594932,35�- = 151 249 711,3 Pa

298 945 498,5 Pa

3 553 924,1 Pa

�S = 6,222551599° (anti-horário)

Uma barra de aço de 50 mm de diâmetro está carregada como mostrado na figura. mostre num esboço, a tensão principal máxima no topo da superfície

Adriano Alberto

84

carregada como mostrado na figura. topo da superfície

Como Vy, ao flexionar a barra em torno de z, causa uma tração no ponto superior, a convenção de sinais deve ser de forma que positivo. N = 15 000 N ; Vy = - 500 T = 1 200 N.m My = 0 Mz = 500 . 0,900 = 450 N.m O sinal do torque T tem que seguir a mesma conv

Iz = Iy = HIJK =

H�,,,-/�JK

�� = �# +

�� +

��

Para o ponto: 9: =

+/,,,H�,,,-/�A +

K/,.,,,-/O�P,PAX�J

J =>

£± = ±

,,/.H.I4 = +-,,

,,/.H.�,,,-/ £: = £± + £²_ = £± + 0 = £± => A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão,convenção.

9^ =

KK0,B.0<,+<),- = 22 154 368,08

, ao flexionar a barra em torno de z, causa uma tração no ponto superior, a de sinais deve ser de forma que

�� seja positivo. Ou seja, sentido horário como

0 N ; Vz = 0


=> �� = 44 308 736,16 Pa

,-/�4 = 48 892 398,52 Pa

=> �� = 48 892 398,52 Pa


22 154 368,08 Pa

Adriano Alberto

85

, ao flexionar a barra em torno de z, causa uma tração no ponto superior, a seja positivo. Ou seja, sentido horário como

enção para os sinais de My e Mz.

deve seguir a mesma

R = £wá: = ¬�22154368,08 9:ªá« = 9^ + R = 75 831 948,67 9:ªí® = 9^ - R = - 31 523 212,51 sen��S� =

KBBG-0GB,/-/0<../B,,/G => �

Na resposta da lista tem antitorque tem que ser positivo de acordo com a convenção adotada

*** 43) O eixo circular maciço de aço está submetido aosDetermine, e mostre num esboço, as tensões principais e a tensão tangencialpontos: (a) A; (b) B.

08�- +�48892398,52�- = 53 677 580,59 Pa

75 831 948,67 Pa

31 523 212,51 Pa

�S = 32,81176569° (horário)

Na resposta da lista tem anti-horário. Isso seria válido para um torque negativo. Mas, o torque tem que ser positivo de acordo com a convenção adotada.

43) O eixo circular maciço de aço está submetido aos torques e cargas indicados. esboço, as tensões principais e a tensão tangencial

Adriano Alberto

86

horário. Isso seria válido para um torque negativo. Mas, o

torques e cargas indicados. esboço, as tensões principais e a tensão tangencial máxima nos

a) Como Vz, ao flexionar a barra em torno de

convenção de sinais deve ser de forma que

como negativo. N = 8 000 . N ; Vy = 0; V T = - 5 000 . L + 3 000 . L = My = - 1,5 . 500 . L = - 750 . Mz = 0 O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M

Iz = Iy = HIJK =

H�,,,/�JK

�� = �# +

�� +

��

9: =

B,,,.HH�,,,/�A -

./,.H.,,,/O�P,PX�J

J =>

£± = ±

,,/.H.I4 = 8-,,,.H,,/.H.�,,,/�

£: = £± + £²́ = £± + 0 = £± =>

A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma convenção.

9^ =

8-,B,,,,,),- = - 10 400 000

flexionar a barra em torno de y, causa uma compressão no ponto A

convenção de sinais deve ser de forma que �� seja negativo. Ou seja, sentido horário

; Vz = 500 . N

= - 2 000 . N.m

N.m


=> �� = - 20 800 000 Pa

�4 = - 32 000 000 Pa

=> �� = - 32 000 000 Pa


10 400 000 Pa

Adriano Alberto

87

y, causa uma compressão no ponto A, a

seja, sentido horário

O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de My e Mz.


R = £Rªá« = ¬�10400000�- 9:ªá« = 9^ + R = 23 247 585,35 9:ªí® = 9^ - R = - 44 047 585,35 sen��S� =

0-,,,,,,00<K./B/,0/ => �

b)

9: = B,,,.HH�,,,/�A + 0 + 0 => �� =

�- +�32000000�- = 33 647 585,35 Pa

23 247 585,35 Pa

44 047 585,35 Pa

�S = 35,9979192° (horário)

= 3 200 000 Pa

Adriano Alberto

88

£± = ±

,,/.H.I4 = 8-,,,.H,,/.H.�,,,/�

£²_ =

²_.ÂÃ.¯

Q = A . = HIA- .

K.I0H =

��

£²_= 500.L.A�P,PX�44 O�P,PX�J

J .,,+,, = 266 666,6667 Pa

£: = £± + £²_ = - 32 000 000 A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve segconvenção.

9^ =

0-,,,,,),- = 1 600 000 Pa

R = £jªá« = ¬�3200000�- 9:ªá« = 9^ + R = 33 373 643,86 9:ªí® = 9^ - R = - 30 173 643,86 sen��S� =

0+.00000,000+..0<K0,B< => �

O resultado da lista deu diferente. Mas, pelos cálculos, diferença está no �� = - 31 733 333,33 Pa. Como o torque(cuja resposta foi igual à da lista), o erro está no cálculo do acredito que meus cálculos estejam corretos.

�4 = - 32 000 000 Pa

266 666,6667 Pa

+ 266 666,6667 => �� = - 31 733 333,33 Pa

A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seg

00 000 Pa

� +�31733333,33�- = 31 773 643,86 Pa

33 373 643,86 Pa

30 173 643,86 Pa

�S = 43,55679075° (anti-horário)

O resultado da lista deu diferente. Mas, pelos cálculos, �� = 1 600 000 Pa coincide. Então, a 31 733 333,33 Pa. Como o torque não variou em relaç

(cuja resposta foi igual à da lista), o erro está no cálculo do ��= 266 666,6667 Paacredito que meus cálculos estejam corretos.

Adriano Alberto

89


coincide. Então, a não variou em relação à letra “a”

266 666,6667 Pa. Porém,

43) b) σ1 = 33,1 MPa T σ2 = 29,9 MPa C τmáx = 31,5 MPa θp = 43,5º � *** 44) Sabendo-se que nos pontos tangencial são limitadas a máximo permissível de P.

= 29,9 MPa C σ3 = 0

se que nos pontos A e B, sobre o eixo da figura, as tensões normal e 90 MPa T e 60 MPa, respectivamente. Determine o

Adriano Alberto

90

figura, as tensões normal e 90 MPa T e 60 MPa, respectivamente. Determine o valor

Adriano Alberto

91

;��,�á�># = ;��,�á�>� = 90 . 106 Pa ;��,�á�># = ;��,�á�>� = 60 . 106 Pa

P = ? Convenção de sinais: sentido horário positivo para o ponto A e negativo para o ponto B N = 8P ; Vy = P ; Vz = 0 T = 0,200 . P My = 0,200 . 8P = 1,6 . P Mz = 0,400 . P O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de My e Mz.

Iz = Iy = HIJK =

H�,,,/�JK

�� = �# +

�� +

��

Para o ponto A:

9R = BU

H�,,,/�A + 8,,K,,.�.�8,,,/�

O�P,PX�JJ

+ +,<.U.,

Ã́ => 9R = BU

H�,,,/�A + ,,K,,.U.KH�,,,/�4 =>

9R = BU.,,,/)+,<.U

H�,,,/�4 => �# = 5 092,958179 . P

£± = ±

,,/.H.I4 = ,,-,,.U

,,/.H.�,,,/�4 = 1 018,591636 . P

£R = £± + £²_ = £± + 0 = £± => �# = 1 018,591636 . P Para o ponto B:

Adriano Alberto

92 9j=

BUH�,,,/�A +

,,K,,.�.,Ã_ +

+,<.U.,,,/O�P,PX�J

J => 9j =

BUH�,,,/�A +

+,<.U.KH�,,,/�4 =>

9j = BU.,,,/)<,K.U

H�,,,/�4 => �� = 17 316,05781 . P

�� = �* + ��

��= - �.��.�

Q = A . = HIA- .

K.I0H =

��

£²́ = - U.A�P,PX�44

O�P,PX�JJ .,,+,, = - 169,7652726 . P

£j = - 1 018,591636 . P - 169,7652726 . P => �� = - 1 188,356909 . P No ponto B, a força P em Vy e o torque T apresentam o mesmo sentido. Logo, devem ter o mesmo sinal que, no caso, deve ser o de T, que já foi convencionado negativo no início dos cálculos. Como as tensões foram maiores no ponto B, utiliza-se esses valores pra o círculo de Mohr.

9^ = +.,0+<,/.B+.+,4.�),

- = 8,658028905 . �7� . P R = £jªá« = ¬�8,658028905. 100. P�- +�1188,356909. P�- = 8,73920229 . 103 . P

Adriano Alberto

93

9jªá« = 9^ + R = 17,3972312 . 103 . P 60 . 106 = 8,73920229 . 103 . P => P = 6 865,615191 N (não serve) 90 . 106 = 17,3972312 . 103 . P => P = 5 173,236992 N = Padm

Resp da lista: 5199 N 45) Sabendo-se que o tubo estrutural mostrado tem uma espessura da parede uniforme de 6 mm, determinar a tensão de cisalhamento em cada um dos três pontos indicados (a, b e c).

Vy = - 40 000 N

Posição da L.N.: yi = ys = 30 mm

Iz = +,,.�<,�4

+- - BB.�KB�4

+- = 988 992 . �78�� m4

T = 40 000 . 0,047 = 1 880 N.m

�*= *

�o.#� = +BB,

-.,,,,<.,,,GK.,,,/K = 30 864 197,53 Pa

Para o ponto a:

�� = �ÅÆ + �*

�ÅÆ = - ��.�

b = 0,006 . 2 = 0,012 m

Q = A’ . �′

�′ = -.,,,,<.,,,0,.,,,+/),,,BB.,,,,<.,,,-.

-.,,,,<.,,,0,),,,BB.,,,,< = 0,022135135 m

Q = (2.0,006.0,030 + 0,088.0,006) . 0,022135135 = 19,65599988 . �78� m³

£u = - 8K,,,,.+G,<//GGGBB.+,?]

GBBGG-.+,?@A.,,,+- + 30 864 197,53 = 97 113 469,11 Pa

Adriano Alberto

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Para o ponto b:

�� = �ÅÆ + �*

�ÅÆ = - ��.�

b = 0,006 . 2 = 0,012 m

Q = A’ . �′

�′ = 0,027 m

Q = (0,100. 0,006) . 0,027 = 16,2 . �78� m³

£¯ = - 8K,,,,.+<,-.+,?]GBBGG-.+,?@A.,,,+- + 30 864 197,53 = 85 465 245,87 Pa

Para o ponto c:

�{ = �ÅÈ + �* => £� = 0 + £± => �{ = 30 864 197,53 Pa

45) τa = 97,1 MPa τb = 85,5 MPa τc = 30,9 MPa

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