Universidade Bandeirantes

Anhanguera – Osasco – SP

ENGENHARIA ELÉTRICA

DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES

NOME: GEANDERSON MARTINS RA: 2979582789NOME: LUCAS LOPES SILVA RA: 6655353183NOME: LUIS GUSTAVO DE GOES RA: 8486202585NOME: LUIZ CARLOS DA SILVA RA: 6621366793NOME: RAFAEL BRANDÃO DIAS RA: 6445293224NOME: RENAN RODRIGUES RA: 080169562

PROFº MARCELOSALA: C-305 (NOTURNO)

ÍNDICE1 - INTRODUÇÃO

2 - ETAPA 1

2.1 - PASSO 1

– Modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

2.2 - PASSO 2

- Equações diferenciais- Integral- Equações Diferenciais Ordinárias:- Equações Diferenciais ordinárias de Segunda Ordem.- Equações Diferenciais ordinárias valores iniciais e contornos- Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem separáveis

2.3 - PASSO 3

- Atividade

2.4- PASSO 4

- Aplicações de equações diferenciais ordinárias em circuitos elétricos

3 - ETAPA 2

3.1 - PASSO 1

3.2 - PASSO 2

3.3 - PASSO 3

3.4 - PASSO 4

4- BIBLIOGRAFIA

INTRODUÇÃO

Este estudo se baseia em conceitos de matemática aplicada, em específico as equações diferenciais.Por meio dos métodos de suas aplicações, o grupo ira apresentar como é introduzido as técnicas desta matéria em um circuito eletrônico de um dispositivo. A Teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa pois apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações, além de apresentar diversas ramificações, neste texto abordaremos especificamente as equações diferenciais ordinárias (equações que só apresentam derivadas ordinárias – em relação a uma variável).

ETAPA 1

PASSO 1

Modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

Uma equação diferencial ordinária geralmente não possui perturbações ou quando há são pequenas, por exemplo, em um crescimento de uma população não é levada em consideração acidentes, doenças mas sim um ambiente perfeito para o acrescimento populacional em função do tempo.O sistema de modelagem analisa a melhor maneira de alcançar um resultado, enquanto as equações diferenciais possuem um nível de exatidão muito grande, tornando em muitas vezes um método bem viável.

A sua aplicabilidade é notada na fórmula S=So + VoT + (AT²) / 2 . O que se percebe na forma de S(t) = F’’(t) + F’(t) + F(t) do qual é um sistema preciso e completo quesito de calcular a velocidade, espaço, aceleração e tempo. Por este motivo, está diretamente ligada à modelagem e sua fórmula é na utilização de Equações Diferenciais.

PASSO 2

Equações diferenciais.

Uma equação diferencial é uma equação com uma série de funções derivadas de uma mesma função começando pela a de maior ordem. No caso de uma Equação Diferencial Ordinária, a solução da equação é a sua função original não derivada.

Integral.

A integral foi criada para calcular áreas curvas, geralmente de um plano cartesiano, porém com o tempo foi-se descobrindo novas formas de seu uso tornando cada vez mais complexa e importante para a ciência em si. Basicamente uma integral segue o caminho inverso da derivada. Existem várias maneiras de calcular uma integral, como a integral definida que se tem os valores máximos e mínimos definidos da variável. Há também a indefinida, que em seu cálculo chega em outra equação aplicável, mantendo ainda a variável da função.

Equações Diferenciais Ordinárias:

Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma:

F(x, y(x), y’(x), y’’(x), ..., y^^(n)(x)) = 0

envolvendo uma função incógnita y = y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais. x é a variável independente, y é a variável dependente e o símbolo y ^^( k) denota a derivada de ordem k da função y = y(x).

Exemplos:

1. y’’+ 3y’+6y = sin (x)

2. (y’’)³ + 3’y + 6y = tan(x)

3. y’’ + 3y y’ = e ^^ x

4. y’ = f (x, y)

5. M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

Equações Diferenciais ordinárias de Segunda Ordem.

Uma Equação Diferencial de Segunda Ordem tem a forma:D²y = f x,y dyd x² dxDizemos que a equação é linear quando a função f é linear em y e emsuas derivadas, isto é quando :F x,y dy = g (x) – p(x) dy - q (x) y dx dx

onde p,q e g:(a,b) . são funções contínuas e derivadas num intervalo aberto (a,b). Podemos escrever a equação (12) da forma:y"(x) + py'(x) + q(x) y = g(x)

Equações Diferenciais ordinárias valores iniciais e contornos

Uma equação diferencial ordinária juntamente com condições subsidiárias sobre a função incógnita e suas derivadas. Constitui um problema de valores iniciais. As condições subsidiarias iniciais se são dadas para mais de um valor de variável independente, temos problema na variação do contorno ex:Inicial -- Y’’ + 2y’ = e^x portanto: y’(II) = 2 , y(II) = 1Contorno – Y’’+2y’= e^x , portanto y(0) 1, y (1) = 1

Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem separáveis

Seja uma equação diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Se M é uma função apenas da variável x, isto é M = M(x) e N é uma função apenas da variável y, isto é N = N(y)M(x) dx + N(y) dy = 0Ela é chamada equação separável. Motivado pelo fato que é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade possua uma função com apenas uma variável.

PASSO 3

Como base de ensino em equações diferenciais lineares de variáveis separáveis de primeira ordem, em (Hughes-Hallett/Gleason/McCallum.3ed).

Entende-se que a resolução de equação diferencial linear de variáveis separáveis é toda a solução da equação diferencial que se obtém da solução geral, por particularização da(s) constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes à solução ou integral geral.

Uma equação de primeira ordem diz-se linear se é do primeiro grau na função incógnita e na sua primeira derivada, podendo representar-se simbolicamente por y'+P( x )y = Q( x ) com P(x) e Q(x), funções contínuas.

Se Q(x)=0, y'+P( x )y = 0 diz-se uma equação linear homogénea, que é uma equação de variáveis separáveis. Se Q(x) ¹0 , a equação linear é não homogénea, completa ou com segundo membro.

Resolução:

Para resolver equações diferenciais lineares utilizamos expressão

y=e^(-∫〖P(x)dx 〗) [∫ e^(-∫ 〖P(x)dx 〗) Q(x)dx+c_1]

com c1 constante arbitrária.

PASSO 4

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS

As características tensão-corrente do capacitor e do indutor introduzem as equações diferenciais na análise dos circuitos elétricos. As Leis de kirchoff e as características tensão-corrente dos elementos conduzem, em conjunto, a uma equação diferencial linear, cuja solução define a dinâmica temporal das variáveis corrente e tensão elétrica nos diversos componentes do circuito. Leis de Ohm, como V= R.I , também são aplicados nestes tipos de circuitos, para que haja um equilíbrio físico em seus componentes, tais como: Resistores, capacitores, diodos , transistores e etc.. Onde , através dos cálculos é possível desenvolver diversos tipos de modelagem de circuitos elétricos. O estudo de circuitos de corrente alternada, analisando tanto o comportamento do circuito RLC em série, nos da uma noção básica de como desenvolver um circuito em série. Este é apenas um pequeno exemplo de circuito que é aplicado leis de Kirchoff, mas que abrange uma quantidade de bases para outro circuitos e leis para serem aplicadas, não se limitando-se apenas em kirchoff, Ohm e etc...

Através das malhas, o circuito começa a ser desenvolvido de maneira que haja o equilíbrio entre as grandezas que compõe o circuito, tensão, corrente, resistência e outras grandezas que integram o circuito elétrico.

ETAPA 2

PASSO 1

Elemento do circuito

D1, D4 = Diodo

C1, C 11 = Capacitores

Trabalha como fonte Reedificadora AC, que os capacitores trabalham como forma de diminuir o ruindo da fonte. Aonde possa controla as tensão e variação.

R1, R14 = Resistores

Resistores de Base que manda a corrente para os transistores.

RV1, RV2 = PONTECIOMENTRO (Resistores Variáveis )

Trabalha como a forma de potenciômetro que controla a saído do sinal B que vai para o positivo e a para o negativo.

A tensão do meio mostra alimentação do led que receber do resistor que passa para o terra e vai para o diodo D7.

PASSO 2

O R1 e C9 trabalham e paralelo controla e limita corrente que alimenta a base do transistor Q3.

PASSO 3

O Diagrama mostra alimentação da fonte com a entrada de 110 V, onde passara pelo o Diodo que controlaram a entrada e saída do pico de tensão. Com a ajuda dos capacitores que elimina o ruído.

PASSO 4

Uma característica comum das equações diferenciais parciais e das edo’s é que asEquações diferenciais parciais também podem ser classificadas pela ordem e pelaLinearidade. A ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem da maiorDerivada parcial presente na equação.

Exemplo sequencia envolvendo o n!

Sené uminteiro positivo ,define se o fatorial den por

n∨¿1∗2∗3∗…x neconvencionase 0!=1

considere asequencia de termo geral

an=n!

1∗3∗5…∗(2n−1 )

ané uma sequencialimitada , porque1∗2∗3…xn≤1∗3∗5∗…∗(2n−1)portanto ,

0≤ an≤1 , paratodo n

ané umasequênciadecrescente .

Bastaobservar quean+1

an= n+1

2n+1<1 ,∀n e .

Raciocinando corretamente Quando estudamos séries numéricas pela primeira vez somos induzidos a pensar que a convergência do termo geral an é quem determina a convergência da série. Os primeiros exemplos nos mostram que o termo geral de uma série divergente pode ter limite zero, como ocorre com a série harmônica. Portanto, a convergência do termo geral an não somas parciais {Sn} for convergente, então a série será convergente.

Operações com séries:

Sejam∑n+1

n

¿1nan e∑ ∞=1nb

n , duasséries númericase seja λumaconstante .

Se∑n=1

n

ane∑n=1

n

bn ;são convergentes, então

∑n=1

n

(an+bn )e∑n=1

n

(λ an ) ; tambémconvergem

valemas relações :

1nb e∑ ∞=divergemn

∑n=1

n

(an+bn )=∑n=1

n

an+∑n=1

n

bn

e

∑n=1

n

( λan )=λ∑n=1

n

an

Se∑n=1

n

anconverge e∑n=1

n

bndiverge; Então∑n=1

n

(an+bn )diverge

Se∑n=1

n

andi verge e λ≠0então∑n=1

n

( λan )diverge

Para ilustrar, vamos demonstrar a primeira propriedade: a soma de duas séries convergentes produz uma série convergente. De fato, representando por {Sn} e {Rn} as somas parciais das séries convergentes.

De fato , representando por {Sn }e {Rn }as somas parciais das séries

∑n=1

n

an e∑n=1

n

bn , repectivamente ,então an−ésimasoma parcialda série

∑n=1

n

(an+bn )eUn=(a1+b1 )+(a2+b2 )+(a3+b3 )+…. (an+bn )=¿¿

(a1+a2+a3+….+an )+(b1+b2+b3+….+bn )=Sn+Rn

BIBLIOGRAFIA

ETAPA 1:

HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma variável. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2004

Sites:

https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3MWtHVVRJTUVFN00/edit?pli=1

http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf

ETAPA 2:

http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAsEUAK/series-equacoes-diferenciais-ordinarias?part=4