Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

download Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

of 44

Transcript of Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    1/44

    1

    Apresentao

    Este uma atividade pratica supervisionada apresentada aos alunos a fim

    aumentar o conhecimento em calculo com a apresentao de integral e suas

    propriedades, servindo como um plano de aprendizagem, pois atravs de pesquisas

    e clculos praticaremos o estudo passado pela professora atravs de suas aulas.

    Na Etapa 1 apresentamos conceitos de integral definida e integral indefinida

    e suas propriedades e tambm o conceito de integral como funo inversa da

    derivada.

    Na Etapa 2 temos integrao por substituio e integrao por partes,

    resoluo de vrios tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades.

    Na Etapa 3 abordaremos o tema de calculo de rea utilizando as regras de

    integrais.

    Na Etapa 4 apresentamos calculo de volume de solido de revoluo atravs

    dos clculos de integrais e suas teorias.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    2/44

    2

    Etapa 1

    Integral.

    Os primeiros problemas que apareceram na historia relacionados com

    integrais so os problemas de quadratura(um termo antigo que se tornou sinnimo

    do processo de determinar rea). Um dos problemas mais antigos dos gregos foi o

    da medio de superfcie a fim de encontrar suas reas. Quando os antigos

    gemetras comearam a estudar as reas de figuras planas, eles as relacionavamcom a rea do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam

    encontrar um quadrado que tivesse rea igual da figura em questo. Uma das

    questes mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuies

    gregas para o calculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. trata-se de um teorema de

    Arquimedes para a quadratura da parbola.

    Arquimedes descobriu que a rea da regio limitada por uma parbola

    cortada por uma corda qualquer, igual a 4/3 da rea do triangulo que tem a mesmaaltura e que tem a corda como base. Arquimedes gerou tambm uma soma com

    infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando,

    com o mtodo da exausto, a dificuldade com quantidade infinita de parcelas. Outra

    contribuio de Arquimedes foi utilizao do mtodo de exausto para encontrar a

    rea do circulo, obtendo uma das primeiras aproximaes para o numero .

    A contribuio seguinte para o calculo integral apareceu ao final do sculo

    XVI quando a mecnica levou vrios matemticos a examinar problemas

    relacionados com o centro da gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou

    de quadratura parbola onde utilizou o mesmo mtodo grego para resolver

    problemas de calculo de rea desse tipo. Kepler, em seu trabalho sobre movimento

    dos planetas, teve que encontrar as reas de vrios setores de uma regio elptica,

    o mtodo de Kepler consistia em pensar na superfcie como a soma de linhas, ele

    subdividiu o solido em varias fatias, chamadas infinitsimos, e a soma desses

    infinitsimos se aproximava do volume desejado.

    Os prximos matemticos que tiveram grande contribuio para o

    nascimento do calculo integral foram Fermat e Cavalieri. Cavalieri desenvolveu a

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    3/44

    3

    idia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas, Cavalieri pensou na rea

    como uma soma infinita de componentes ou segmentos indivisveis. Todo o

    processo geomtrico desenvolvido por Cavalieri foi ento aritmetizado por Wallis.

    Wallis desenvolveu principalmente de induo e interpolao que o levaram a

    encontrar diversos resultados importantes.

    Fermat desenvolveu uma tcnica para achar a rea sob cada uma das

    parbolas maiores: curvas do tipo y=kxn, onde k>0 constante de n=2,3,4, etc. Por

    volta de 1640, a formula geral da integral das parbolas maiores era conhecida por

    Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros. O problema do movimento

    estava sendo estudado desde a poca de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow

    consideraram o problema do movimento com velocidade variada. A derivada da

    distancia era a velocidade e a operao inversa partindo da velocidade levavam a

    distancia. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema

    Fundamental do Calculo, estava trabalhando em direo a esse resultado, foi

    Newton, entretanto, quem, continuando na direo, formulou o teorema.

    Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do

    movimento dos corpos e desenvolveu o calculo aproximadamente dez anos antes de

    Leibniz. Ele desenvolveu os mtodos das fluxions derivao e fluents integrao e utilizou-os na construo da mecnica clssica. Principalmente como

    conseqncia do Teorema Fundamental do Calculo de Newton, as integrais foram

    simplesmente vistas como derivadas reversas. Na poca da publicao das

    tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemticos

    para integrar todas as funes racionais.

    Hoje em dia o calculo integral largamente utilizado em varias reas do

    conhecimento humano e aplicado para a soluo de problemas no s deMatemtica, mas de Fsica, astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Qumica,

    por exemplo.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    4/44

    4

    1.1. Passo 1: integral definida e integral indefinida

    Integral indefinida

    Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de geometria e fsica

    dependem de derivao para trs ou antiderivao. Este , s vezes, chamado

    problema inverso das tangentes: dada a derivada de uma funo, achar a prpria

    funo. De agora em diante trabalharemos com as mesmas regras de derivao. No

    entanto, aqui essas regras so usadas no sentido contrario e levam em particular a

    integrao de polinmios.

    Se y=F(x) uma funo cuja derivada conhecida, por exemplo:

    2x

    Podemos descobrir qual a funo F(x)?

    F(x) = x2

    Podemos acrescentar um termo constante que no muda a derivada.

    x2 + 1; x2 - ; x2 + 5....

    e mais geralmente, x2 + C onde C uma constante qualquer.

    Definio: Se F(x) uma primitiva de f(x), a expresso F(x) + c chamada integral

    indefinida da funo f(x) e detonada por:

    O smbolo chamado sinal de integrao, f(x) funo integrando e

    f(x)dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma funo

    chamado integrao. O smbolo dx que aparece no integrando serve para

    identificar a varivel de integrao.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    5/44

    5

    , representa uma famlia de funo (a famlia de

    todas as primitivas da funo integrando).

    Exemplo: ou

    Esto ambas corretas, mas a primeira da uma integral enquanto a segundada todas as possveis integrais. A constante c na segunda formula chama-seconstante de integrao e freqentemente referida como uma constante arbitraria.

    Propriedades da integral indefinida: Proposio sejam f, g: I R e K umaconstante. Ento:

    1.

    2.

    A integral da soma a soma das integrais separadas. Isto se aplica a

    qualquer numero finito de termos.

    3. , n-1 para integrar uma potencia, some ao expoente

    uma unidade e divida a nova potencia pelo novo expoente.

    Exemplos de integrais indefinidas:

    a.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    6/44

    6

    b.

    c.

    d.

    Integral definida

    Suponha que voc conhea a taxa f(x) = dF/dx, na qual certa grandeza F

    esta variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variara entrex=a e x=b. voc pode primeiro encontrar F por antidiferenciao, e ento calcular a

    diferena.

    Variao em F entre: x=a e x=b = F(b) F(a)

    O resultado numrico deste calculo chamado de integral definida da

    funo fe denotado pelo smbolo:

    O smbolo lido como a integral definida de f de a ate b. Os

    nmeros a e b so denominados limites de integrao. Nos clculos que envolvem

    as integrais definidas, freqentemente conveniente usar o smbolo: paraa diferena F(b) F(a).

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    7/44

    7

    Definio: seja fuma funo continua no intervalo [a,b]. Suponha que este intervaloseja dividido em n partes iguais de largura x = (b-a)/n e seja x, um numeropertencente ao j-simo intervalo, para j=1,2,......,n. neste caso, a integral definida de

    f em [a,b]. Denotada por , dada por , se estelimite existir. Pode-se mostrar que se a funo y= f(x) continua em um intervalo[a,b], ento ela integrvel em [a,b].

    Interpretao geomtrica:

    Suponha que y=f(x) seja continua e positiva em um intervalo [a,b]. Dividimos

    este intervalo em n sub-intervalos de comprimentos iguais, ou seja, de comprimento

    , de modo que a = a0 < a1 < a2

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    8/44

    8

    A soma das reas dos n retngulos construdos dada pelo somatrio das

    reas de cada um deles, isto :

    Intuitivamente possvel admitir que medida que n cresce, x diminui, e

    conseqentemente o somatrio anterior converge para a rea A da regio limitada

    pelo grfico de f e pelas retas y=0, x=a e x=b. Portanto, a rea desta regio dada

    por

    Mas este limite exatamente igual definio de integral e como isso

    observamos que a integral definida de uma funo continua e positiva. Para x

    variando de a ate b, fornece a rea da regio limitada pelo grfico de f, pelo eixo-x e

    pelas retas x=a e x=b.

    Teorema Fundamental do Calculo: Se y = f(x) uma funo continua no intervalo[a,b] e F(x) = f(x) [isto , F(x) uma primitiva ou anti-derivada f(x)], ento

    .

    Propriedades da integral definida: Se f e g so funes continuas no intervalo

    [a,b], ento:

    a- , onde c uma constante.

    b- .

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    9/44

    9

    c- , onde a c b.

    d- f(x) 0, x [a,b] .

    e- f(x) g(x), x [a,b] .

    f- Se f(a) .

    Exemplo de integrais definidas:

    a.

    b.

    1.2. Passo 2: Desafios

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    10/44

    10

    Desafio A

    Qual das alternativas abaixo representa a integral de: da?

    a- F(a)= 12a4 - + ln

    b- F(a)= - + 3 ln

    c- F(a)= + - 3 ln

    d- F(a)= 12a4 + + ln

    e- F(a)= a4 + + 3 ln

    Desafio B

    Suponha que o processo de perfurao de um poo de petrleo tenhacusto fixo de U$ 10000 e um custo marginal de C(q)=1000 + 50q dlares por p,onde q a profundidade em ps. Sabendo que C(0)= 10000, a alternativa queexpressa C(q), o custo total para se perfurar q ps, :

    a- C(q)=10000 + 1000q + 25q2

    b- C(q)=10000 + 25q + 1000q2

    c- C(q)=10000q2

    d- C(q)=10000 + 25q2

    e- C(q)=10000q + q2 + q3

    Desafio C

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    11/44

    11

    No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petrleo cresceuexponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petrleo no instante t, onde t o numero de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximadopara C(t) dado por: C(t)= 16,1x e0,07t. Qual das alternativas abaixo respondecorretamente a quantidade de petrleo consumido entre 1992 e 1994?

    a a 56,43 bilhes de barris de petrleo

    a a 48,78 bilhes de barris de petrleo

    a a 39,76 bilhes de barris de petrleo

    a a 26,54 bilhes de barris de petrleo

    a a Nenhuma das alternativas

    Desafio D

    A rea sob a curva y=ex/2 de x=-3 a x=2 dada por:

    a- 4,99b- 3,22

    c- 6,88

    d- 1,11

    e- 2,22

    1.3. Passo 3: Concluso

    Desafio A

    A resposta correta para este desafio o numero 3.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    12/44

    12

    b- F(a) = para associao n3

    Desafio B

    A resposta correta para este desafio o numero 0.

    a- C(q) = 10000 + 1000q + 25q2

    C(q) = 1000 + 50q para associao n0

    Desafio C

    A resposta correta para este desafio o numero 0.

    1994 1992 = 2 anos.

    C(t) = 16,1 x e0,07t

    C(2) = 16,1 x e0,07(2) C(2) = 16,1 x e0,14 =18,52.

    e- nenhuma das alternativas. para associao n0

    Desafio D

    Tabela 1: desafio

    X Y Y = e x/2

    -4 0,13 y = e -4/2 = 0,13

    -3 0,22 y = e -3/2 = 0,22

    -2 0,37 y = e -2/2 = 0,37

    -1 0,61 y = e -1/2 = 0,61

    0 1 y = e 0/2 = 1

    1 1,65 y = e 1/2 = 1,65

    2 2,72 y = e 2/2 = 2,72

    3 4,48 y = e 3/2 = 4,48

    4 7,39 y = e 4/2 = 7,39

    Fonte: CORREA, 2012.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    13/44

    13

    Grafico1: Grfico da funo y=ex/2

    Fonte: CORREA, 2012.

    Resposta correta a-4,99 para associao n9

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    14/44

    14

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    15/44

    15

    Etapa 2

    Integrao por Substituio e Integrao por Partes.

    As contribuies dos matemticos para o nascimento do Clculo so

    inmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou no rigorosa, j

    utilizavam conceitos do Clculo para resolver vrios problemas, por exemplo,

    Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda no havia umasistematizao, no sentido de uma construo logicamente estruturada.

    A unio das partes conhecidas e utilizadas at ento, aliada ao

    desenvolvimento e aperfeioamento das tcnicas, aconteceu

    com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do

    Clculo: as Derivadas e as Integrais.

    2.1. Histrica do Calculo: Passo 1

    Calculo Integral: alguns fatos histricos

    Os primeiros problemas que apareceram na historia relacionados com as

    integrais so os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos

    enfrentados pelos gregos foi o da medio de superfcies a fim de encontrar suas

    reas. Quando os antigos gemetras comeam a estudar as reas de figuras

    planas, eles as relacionavam com a rea do quadrado, por ser essa a figura plana

    mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse rea igual da

    figura em questo.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    16/44

    16

    Outras integraes foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o

    volume da esfera e a rea da superfcie esfrica, o volume do cone e a rea da

    superfcie da cnica, a rea limitada por uma elipse, o volume de um parabolide de

    revoluo e o volume de um hiperbolide de revoluo. Em seus clculos,

    Arquimedes encontrava somas com um numero infinito de parcelas. O argumento

    utilizado era a dupla reductio ad absurdum para escapar da situao incomoda.

    Basicamente, se no podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.

    Embora Euler tenha feito clculos mais analticos que geomtricos, com

    nfase em funes (1748; 1755; 1768), houve vrios mal-entendidos sobre o

    conceito de funo, propriamente dito, no sculo 18. Certos problemas de fsica,

    como o problema da corda vibrante, contriburam para esta confuso. Euler

    identificou tanto funes com expresso analtica, que pensou em uma funo

    contnua como sendo definida apenas por uma nica frmula em todo seu domnio.

    A idia moderna de uma funo contnua, independente de qualquer frmula, foi

    iniciada em 1791 por Louis-Franois Arbogast (1759--1803): "A lei de continuidade

    consiste em que uma quantidade no pode passar de um estado [valor] para outro

    [valor] sem passar por todos os estados intermedirios [valores] ...". Esta idia

    tornou-se rigorosa em um panfleto de 1817 por Bernhard Bolzano (1781--1848) e

    conhecida agora como o Teorema do Valor Intermedirio. Funes descontnuas (no

    sentido moderno) foram foradas na comunidade matemtica e cientfica por Joseph

    Fourier (1768--1830) no seu famoso Analytical Theory of Heat (Teoria Analtica do

    Calor,1822).

    Integrao por Partes

    Se f e g so funes diferenciveis, ento, pela regra de diferenciao do produto,

    integrando ambos os lados, obtemos

    ou

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    17/44

    17

    Uma vez que a integral direita ira produzir outra constante de integrao,

    no h necessidade de manter o C nesta ultima equao; assim sendo, obtemos.

    .

    A qual chamada de formula de integrao por partes. Usando esta

    formula, s vezes podemos tornar um problema de integrao mais simples. Na

    pratica, usual reescrever fazendo. u = f(x), du = f (x)dx e v = g(x), dv = g (x)dx ,

    isso da lugar seguinte forma alternativa para:

    Exemplo: Calcule .

    Soluo. Para aplicar, precisamos escrever a integral na forma uma maneira

    de fazer isso colocar u = x e dv = ex dx para que, du = dx e deste

    modo, a partir de .

    Regra da substituio

    importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas

    formulas de antidiferenciao no mostra como calcular integrais do tipo:

    u = 2x+4

    du = 2 dx

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    18/44

    18

    Se substituirmos estas expresses na equao, obtemos:

    Assim resolvendo esta integral teremos:

    Portanto, usando este resultado e substitudo u por u = 2x + 4, obtemos:

    Regra da substituio:

    Se u = g(x) for uma funo diferenciavel cuja imagem um intervalo l e f for

    continua em l, ento .

    2.2. Desafio: Passo 2

    Considerem as seguintes igualdades:

    I.

    II.

    Podemos afirmar que:

    a) (I) e (II) so verdadeiras

    b) (I) falsa e (II) verdadeira

    c) (I) verdadeira e (II) falsa

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    19/44

    19

    d) (I) e (II) so falsas (correta)

    II.3. Soluo do desafio: Passo 3

    Desafio I

    Desafio II

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    20/44

    20

    (Resposta do desafio b) I falsa e II verdadeirapara associao n5

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    21/44

    21

    Etapa 3Calculo de rea.

    Os dois conceitos principais do clculo so desenvolvidos a partir de idias

    geomtricas relativas a curvas. A derivada provm da construo das tangentes auma dada curva. O assunto deste e dos prximos captulos, a integral, tem origem

    no clculo de rea de uma regio curva. Como vimos no incio deste livro, o

    problema de calcular reas j despertava, por suas aplicaes prticas, grande

    interesse nos gregos da Antiguidade. Apesar de vrias frmulas para o clculo de

    reas de figuras planas serem conhecidas desde esta poca, e at mesmo

    problemas do clculo de reas de regies limitadas por segmentos de retas e

    algumas curvas, como a parbola, terem sido estudados e resolvidos, para casosparticulares, at o sculo XVII, quando foram estabelecidos os fundamentos do

    Clculo Diferencial e Integral como uma teoria matemtica digna de crdito, no se

    conhecia nenhuma frmula ou mtodo geral que se pudesse aplicar para resolver o

    problema de calcular reas de regies limitadas por curvas quaisquer.

    Nos meados do sculo XVII, vrios estudiosos europeus, entre eles Fermat e

    Pascal, passaram a usar nos seus trabalhos o mtodo da exausto, empregado por

    Arquimedes no clculo de reas de segmentos parablicos (veja o projetoArquimedes e a Quadratura da Parbola). Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram

    como este mtodo estava relacionado com o Clculo Diferencial. Este importante

    resultado e denominado teorema fundamental do calculo e um dos resultados mais

    importantes de toda a matemtica. Como vimos, a derivada tem aplicaes que

    transcendem a sua origem geomtrica. Nos prximos captulos, veremos que o

    mesmo acontece com a integral.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    22/44

    22

    A fim de tornar clara a discusso sobre reas vai introduzir na prxima seo

    uma notao matemtica padro usada para abreviar somas que envolvem um

    nmero muito grande de parcelas.

    3.1. Historia de calculo de rea: Passo 1

    Parece que o primeiro a calcular a rea exata de uma figura limitada por

    curvas foi Hipocrates de Chios, o mais famoso matemtico grego do sculo V A.C..

    Ele calculou a rea da figura em forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao

    lado. Esta figura, construda por dois crculos (o crculo centrado em (0, 0) e raio

    unitrio e o crculo centrado em (0, 1) e passando pelos pontos (1, 0) e (1, 0))

    recebeu o nome de lnula de Hipocrates, em homenagem aquele que descobriu que

    a sua rea igual rea do quadrado cujo lado o raio do crculo. 2 1.5 1 0.5

    0 0.5 1 x. O problema da quadratura de um crculo, isto , de achar um quadrado de

    rea equivalente a de um crculo de raio dado, um dos problemas clssicos da

    Geometria a que muitos matemticos dedicaram ateno, desde a Antiguidade.

    Hipocrates quadrou a lnula, embora fosse incapaz de resolver o problema da

    quadratura do crculo.

    Os gemetras, desde o tempo de Euclides, entendem que resolver um

    problema construir a sua soluo utilizando somente uma rgua no graduada e

    um compasso. Hoje, sabemos que o problema da quadratura do crculo impossvel

    de resolver utilizando-se apenas rgua e compasso. A primeira vista parece que o

    problema de calcular reas um assunto de interesse apenas para gemetras, sem

    aplicaes na vida prtica fora da Matemtica. Isto no verdade. No transcorrer

    dos prximos captulos, veremos que muitos conceitos importantes de Fsica, tais

    como trabalho, energia e o problema de engenharia de achar a fora total que age

    sobre uma barragem em virtude da presso de gua no reservatrio, por exemplo,

    dependem das mesmas idias utilizadas neste captulo para o clculo de reas.

    O calculo de reas como limites

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    23/44

    23

    Em geral, a definio formal de conceitos intuitivos pode apresentar grandes

    dificuldades. Por exemplo, tivemos grandes dificuldades ao tentarmos formalizar

    uma definio para o conceito, geometricamente intuitivo, de reta tangente. A

    formalizao do conceito de rea apresenta dificuldades semelhantes. Em geometria

    elementar, so deduzidas frmulas para reas de muitas figuras planas, mas se

    pararmos para pensar um pouco chegar concluso de que uma definio,

    matematicamente aceitvel de rea, raramente nos fornecida. A rea de uma

    regio definida, s vezes, como o nmero de quadrados de lados de comprimento

    um que cabem numa dada regio. Desse modo, obtivemos frmulas para reas de

    figuras planas tais como quadrados, retngulos, tringulos, trapzios, etc. Basta, no

    entanto que a regio seja um pouco mais complicada para que esta definio se

    mostre inadequada. Como poderamos calcular, por exemplo, o nmero de

    quadrados, que cabem em um crculo unitrio?

    Tentaremos definir reas de regies com fronteiras curvas. A maior parte do

    nosso trabalho se concentrar num caso particular desse problema geral. Mais

    especificamente, tentaremos achar a rea de uma regio limitada pelo grfico de

    uma funo y = f(x), pelo eixo x e entre duas retas verticais x = a e x = b, como

    mostra a figura para a funo y = x 2.

    Calculo de reas e Integrais Definidas.

    A soma das reas dos retngulos assim construdos converge para o mesmo

    limite anterior, como mostramos a seguir. Considere a soma, SM, das reas dos

    retngulos cujas alturas so o valor da funo f, calculada no ponto mdio de cada

    subintervalo [xi1, xi], isto , no ponto 1 + i x 2. Com a ajuda do Maple, obtemos.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    24/44

    24

    (Para provar a frmula acima veja o projeto O Maple e o principio da induo

    matemtica.)

    Destes clculos, podemos concluir que, medida que n aumenta, quaisquer

    das somas acima tende a um mesmo nmero, que ser o valor da rea da regio

    considerada. Note que a partio do intervalo [1, 2] considerada tem a propriedade

    de que medida que n cresce o valor de x tende a zero. Esta propriedade

    fundamental para que as somas SS, SI e SM convirjam para a rea da regio.

    Considere, por exemplo, a seguinte partio em 20 partes (n = 20) do intervalo [ 1,

    2 ]:

    Observe que, neste caso, mesmo considerando valores de n cada vez

    maiores, a soma das reas dos retngulos inscritos, jamais se aproximar da rea

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    25/44

    25

    da regio em questo. Como mostra este exemplo, o importante no a diviso em

    partes iguais, mas o fato do comprimento de cada um dos subintervalos [xi, xi+1]

    tenderem a zero medida que se aumenta o nmero de divises do intervalo.

    Chegamos assim seguinte definio:

    Considere a regio limitada pelo gra co de uma funo continua e positiva y =

    f(x), pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x. Considere uma partio do

    intervalo [a, b]

    Tal que, para todo i, xi 0 quando n , onde xi = xi xi1 e o

    comprimento de cada subintervalo da partio. Ento, a rea da regio dada por:

    Onde ci e um ponto qualquer do subintervalo [xi1, xi].

    Vamos ilustrar esta definio com outro exemplo. Considere a funo g(x) =

    sen(x), para x no intervalo [0, ]. Queremos calcular a rea hachurada mostrada na

    figura:

    Primeiro dividimos o intervalo [0, ] em n partes iguais. Neste caso, x =n.

    Considerando retngulos cujas alturas so iguais ao valor da funo na extremidade

    xi1 de cada subintervalo [xi1, xi], obtemos as seguintes aproximaes para a

    rea, quando dividimos o intervalo [0, ] em 3, 4, 5, 6, 7 e 8 partes, respectivamente:

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    26/44

    26

    Considerando retngulos cujas alturas so o valor da funo na extremidade

    xi de cada subintervalo [xi1, xi], obtm as aproximaes mostradas na figura,

    esquerda. Da mesma maneira, tomando retngulos cujas alturas so o valor da

    funo no ponto mdio de cada subintervalo [xi, xi+1], obtm as aproximaes

    mostradas na figura direita.

    As estimativas observadas nas figuras parecem indicar que a rea procurada

    deve ser igual a 2. Vamos usar o Maple para calcular as somas que aparecem nos

    trs casos considerados e calcular o seu limite quando o nmero de retngulos

    cresce sem limite (tende a infinito). Seja SN1 a soma das reas dos retngulos cujas

    alturas so as extremidades inferiores dos subintervalos. Assim,

    Calculo de reas e Integrais Definidas

    Simplificando a soma acima se obtm:

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    27/44

    27

    Calculando o limite desta expresso, quando n , tem-se que

    Da mesma maneira, considerando-se retngulos cujas alturas so o valor da

    funo na extremidade xi1 de cada subintervalo [xi1, xi], obtm:

    Considerando retngulos cujas alturas so o valor da funo no ponto mdio de

    cada subintervalo [xi1, xi], tem tambm

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    28/44

    28

    O valor do limite ser o mesmo para qualquer soma do tipo i f(ci) xi

    escolhida, onde ci [xi1, xi]. Este limite nico por definio, a rea da regio R

    limitada pelo grfico de uma funo f continua e positiva, pelo eixo x e pelas retas

    dadas x = a e x = b.

    Exemplo para calculo de rea: Use integrao para calcular a rea das

    regies delimitadas pelo eixoxe pelas funes abaixo:

    a a F(x) = 2x + 1, no intervalo [1,3].

    Figura 2 grfico da funoFonte: CORREA, 2012.

    aa F(x) = x2 4x,no intervalo [1,3].

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    29/44

    29

    Figura 3 grfico da funoFonte: CORREA, 2012.

    Como f(x)

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    30/44

    30

    3.2. Desafio: Passo 2

    Considerem as seguintes regies S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As reas de S1

    e S2 so, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

    Podemos afirmar que:

    a. (I) e (II) so verdadeiras

    b. (I) falsa e (II) verdadeira

    c. (I) verdadeira e (II) falsa

    d. (I) e (II) so falsas

    3.3. Resoluo do desafio: Passo 3

    Desafio figura 1

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    31/44

    31

    S1 = A1 + A2 = 0 + 0,693 = 0,693 u.a.

    Desafio figura 2

    A = A1 + A2 = 26,455 37,545 = -11,09 ento A= 11,09 u.a.

    Resposta do desafio c)I verdadeira e II falsapara associao n8

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    32/44

    32

    Etapa 4

    Volume de Slido de Revoluo.

    Considerando as diversas formas que encontramos na natureza, podemos

    verificar que muito poucas tm formas regulares, dificilmente poderamos encontrar

    o volume de um corpo slido encontrado comumente na natureza por meio da

    geometria euclidiana, as curvas so comuns no nosso mundo, muitas delas podemser determinadas por equaes, porm antes que a teoria do Clculo fosse

    elaborada os volumes eram calculados por aproximaes. Hoje podemos obter

    muitos dos volumes de corpos sinuosos pelo Clculo, os mtodos descritos a seguir

    so os mais bsicos para curvas que podem ser determinadas matematicamente, no

    decorrer dos prximos volumes aprenderemos a calcular formas mais complexas.

    4.1. Conceito de calculo de volume de um solida: Passo 1

    Curvas rotacionadas

    Imaginemos que tenhamos uma curva matematicamente determinvel, uma

    parbola, por exemplo, e tenhamos a rea delimitada pela mesma e o eixo x, se fizer

    com que o eixo y servisse de mastro e girssemos a parbola em torno do mesmo, oque teramos? Teramos um slido formado pelas infinitas lminas em forma de

    parbola.

    O efeito da rotao de uma parbola pode ser visualizado pelo grfico

    tridimensional, o que vemos o que chamados de parabolide, um slido

    semelhante ao recipiente de lquido de uma taa. Considerando a parte interna

    preenchida teremos um volume a ser calculado, o que podemos fazer utilizando o

    "Clculo".

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    33/44

    33

    Parabolide

    O efeito da rotao de uma elipse pode ser visualizado da mesma forma, o

    que nos possibilita ver o que chamados de elipside, um slido semelhante a um ovo

    de rptil. O volume a ser calculado tambm pode ser conseguido atravs do

    "Clculo".

    Elipside

    Slidos delimitados por uma curva

    O mtodo para clculo de volumes delimitados por curvas rotacionadas, como

    expostas acima, consiste na diviso do slido em discos com raio igual ao valor da

    funo que est sendo rotacionada, ou seja, para cada ponto da funo teremos um

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    34/44

    34

    disco de raio determinado pela mesma, o que nos permite fazer uma somatria de

    discos que acompanham o contorno da curva, vejamos o desenho abaixo:

    Seo de um slido

    Temos a funo variando ao longo do eixo x, o que nos permite dizer que

    uma reta perpendicular ao eixo que passa por um ponto do grfico um raio de um

    disco... Em um intervalo onde , no

    qual , agrupemos pares de valores nas abscissas, de forma que o valor

    mdio da funo seja . Tomando cada disco com um volume aproximado de:

    Considerando que a preciso do clculo aumenta quando os discos se

    tornam menos espessos, temos que admitir que exista uma norma de partio que

    pode ser definida para o intervalo que pretendemos calcular, portanto podemos

    fazer:

    Onde temos um volume de disco para cada ponto da curva e a norma pode

    ser inversamente proporcional ao nmero n. Logo, verificamos que:

    ou

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    35/44

    35

    O intervalo refere-se a uma parte do slido, da qual queremos calcular o

    volume.

    Exemplo

    Calcular o volume do slido de revoluo criado pela rotao da

    parbola em torno do eixo das abscissas, no intervalo .

    Aplicando a frmula anteriormente vista temos:

    Slidos delimitados por duas curvas

    Agora podemos definir um slido "oco", ou seja, para que um slido tenha

    uma abertura devemos delimitar uma face externa e outra interna, o que nos pede

    que tenhamos uma curva para cada face.

    Para a determinao das duas faces considere as duas funes e

    sendo que, para determinar o slido de forma regular, estabelecemos o seguinte

    conjunto de regras:

    1.

    2.

    3.

    Observemos a ilustrao a seguir:

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    36/44

    36

    "Plano dos eixos"

    Consideremos um corte que nos permita observar uma fatia do slido, como

    podemos ver o retngulo que tomamos no centro do desenho representa uma fatia

    de um disco "oco".

    Agora podemos encontrar o volume ocupado pelo slido, no espao

    delimitado pelas duas funes, considerando que as duas sofrem rotao, mantendo

    o eixo como base de rotao, conforme fizemos no caso do tpico anterior com

    uma funo, a nica diferena que temos um volume que dever ser subtrado do

    outro.

    Segundo o mesmo raciocnio da anlise anterior, verificamos que o volume de

    um disco de seo do slido no intervalo pode ser determinado como seque:

    Inevitavelmente vemos a correspondncia entre os dois casos, simplesmente

    h uma subtrao de volumes, que veremos refletida no resultado final...

    Prosseguindo, faamos a somatria dos valores das sees dentro do intervalo

    quando as parcelas diminuem infinitesimalmente:

    Finalmente encontramos o volume:

    ou

    Exemplo

    Calcular o volume do slido gerado pela rotao das curvas

    e em relao ao eixo das abscissas, considerando o intervalo

    entre e o ponto de encontro das duas curvas.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    37/44

    37

    Antes de tudo vamos encontrar o ponto de encontro das curvas, ou seja:

    As curvas se encontram quando

    Devemos encontrar o volume entre as duas curvas no intervalo :

    Cilindros concntricos

    Agora imaginemos um slido cujo eixo se encontra nas ordenadas, ou seja,

    para cada ponto da funo teremos uma circunferncia, se traarmos uma reta at o

    eixo das abscissas para cada ponto teremos cilindros concntricos ao eixo das

    ordenadas.

    Para definir o volume do cilindro consideremos:

    1. O intervalo para a espessura do cilindro em ;2. Chamamos de a partio:

    ;

    3. Dentro de h sempre uma subpartio que a maior, a qual chamou de

    norma, identificando a como:

    4. Existindo os nmeros de forma que ;

    O volume de um pequeno segmento do cilindro :

    Somamos todos os segmentos para encontrar o volume total:

    Se levarmos os subintervalos entre os valores de a nmeros cada vezmenores teremos:

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    38/44

    38

    ou seja:

    Como podemos fazer:

    Conclumos que:

    ou

    Lminas paralelas

    Os mtodos anteriormente utilizados para o clculo de volumes podem ser

    englobados em um conceito geral, no qual podemos fazer a soma de pequenos

    segmentos de um slido encontrando o volume total, uma forma de fazer isso

    utilizar o seciona mento de forma a relacionar a rea de cada seo varivel

    independente, ou seja, se temos sees transversais perpendiculares ao eixo davarivel independente e podemos relacionar a rea de cada "lmina" ao valor da

    varivel, temos um meio de integrar todas as lminas e encontrar o volume do slido

    com uma somatria das mesmas. Considerando: rea da seo.

    O volume :

    Uma vez que quando temos e que temos sees dentro

    do intervalo , onde a maior a norma, podemos concluir que a somatria

    levada, no limite, a ser a integral:

    Ou seja, para que possamos encontra a rea nestes casos basta encontrar a

    integral definida da funo rea; sempre que for possvel encontrar uma funo

    contnua da rea da seo em relao varivel independente, poderemos

    encontrar o volume do slido integrando esta funo rea.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    39/44

    39

    4.2. Desafio: Passo 2

    Desafio A

    A rea da superfcie de revoluo obtida pela rotao, em torno do eixo x, da curva

    Dada por de : u.a.. Est correta essa

    afirmao?

    Desafio B

    Qual o volume do slido de revoluo obtido pela rotao, em torno da reta

    y= 2 , da regio R delimitada pelos grficos das equaes: y= sen x, y= (sen x)3

    dex= 0 at ?

    (a) 3,26 u.v.

    (b) 4,67 u.v.

    (c) 5,32 u.v.

    (d) 6,51 u.v.

    (e) 6,98 u.v.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    40/44

    40

    4.3. Resoluo do desafio: Passo 3

    Desafio A

    Como foi dada a resposta calculando ficara.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    41/44

    41

    Sendo assim a resposta do desafio esta certa, e associando o numero 4 para

    o mesmo.

    Desafio B

    Tabela 2: sen(x)

    X Y y = sen(x)/2 1 y = sen(/2)/4 0,707 y = sen(/4)/8 0,383 y = sen(/8)

    0 0 y = sen(0)Fonte: CORREA, 2012.

    Tabela 3: (sen(x))3

    X Y y = (sen(x))3

    /2 1 y = (sen(/2))3

    /4 0,353 y = (sen(/4))3

    /8 0,056 y = (sen(/8))3

    0 0 y = (sen(0))3

    Fonte: CORREA, 2012.

    Grafico2: Grfico do desafio B

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    42/44

    42

    Fonte: CORREA, 2012.

    Com todas as etapas e passos resolvidas conhecemos a quantidade de litros

    extrados pela empresa Petrofuels, que de aproximadamente 30095840 milhes

    de litros cbicos.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    43/44

    43

    Consideraes Finais

    Com a concluso de todas as etapas e passos desta atividade pratica

    supervisionada, chegamos concluso da importncia do mesmo para o

    aprendizado, pois os desafios propostos servem como um teste para o contedo

    dado pela professora, e ajudando os alunos a praticar e ter solues que sero teis

    ao dia a dia de um engenheiro mecnico, sendo assim muito importante para nosso

    futuro.

  • 7/27/2019 Atps Egpsd-4a Cal3 Tex r01-2 b

    44/44

    44

    Referncias

    HUGHES-HALLETT, Deborah. Matemtica Aplicada I: Calculo de uma varivel. 3

    ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A., 2004.

    USP. Nascimento do calculo. Calculo : Calculo diferencial e integral. So Paulo,

    2001. Disponvel em: Acessoem: 25 de agosto. 2012.

    SOUZA, Edmilson. Integral indefinida. Fsica - Licenciatura plena : Uems. Mato

    Grosso do Sul, 2011. Disponvel em:

    Acesso em: 25 de

    agosto. 2012.

    SOUZA, Edmilson. Integral definida. Fsica - Licenciatura plena : Uems. Mato

    Grosso do Sul, 2011. Disponvel em:

    Acesso em: 25 de

    agosto. 2012.

    Calculo de rea. Matemtica Instituto de Matemtica de UFRJ: Rio de Janeiro,

    2011. Disponvel em:

    Acesso em: 25

    de agosto. 2012.