Atps Calculo II
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FACULDADE ANHANGUERA DE SÃO CAETANO
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS – CÁLCULO II
São Caetano do Sul
Março de 2014
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS - CÁLCULO II
Trabalho apresentado à Faculdade Anhanguera de
São Caetano do Sul como requisito para obtenção
parcial da nota de P2 Cálculo II.
Orientador: Professor Robson
São Caetano do Sul
Fevereiro 2014
RESUMO
No presente trabalho, exploramos conceitos do cálculo diferencial, na prática tomando como
modelo aplicações na física e na engenharia.
SUMARIO
1. PRIMEIRA ETAPA
1.1 Primeiro passo
Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o
significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o
conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a
derivada da função espaço.
Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço,
utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que
compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.
1.1.1 O conceito de velocidade instantânea
Se entende por velocidade instantânea a velocidade que um móvel apresenta ao se
considerar um intervalo de tempo (∆ t ) desprezível, ou em outras palavras, quando o intervalo
de tempo é muito próximo de zero ∆ t →0
Por definição no MRUV a equação da aceleração é análoga à da velocidade no MRU; e a
equação de velocidade no MRUV é análoga à do espaço no MRU.
Para facilitar o estudo dos movimentos Newton desenvolveu a derivada, e para calcular a
velocidade instantânea de um corpo em certo instante é necessário usar limite:
v= lim∆t → 0
∆ s∆ t
=dsdt
Com auxílio da derivada podemos calcular a velocidade de um objeto a partir da equação de
espaço em função do tempo, esta fornece a inclinação da reta tangente ao ponto na curva
correspondente, sendo essa a velocidade instantânea. Do mesmo modo podemos obter a
aceleração pela segunda derivada da função de espaço:
d [S0+V 0 ∙ t +12
at 2]
dt=V =V 0+at
1.1.2 Exemplo mostrando a velocidade como derivada da função do espaço
Primeiro criamos uma função tendo como valor da aceleração o somatório do ultimo
algorismo do RA dos alunos que compõe o grupo:
∑ [8 , 0 , 8 ,5 ,3 ]=24
Montamos uma função:
S=S0+V 0∙ t +12
at 2
Atribuimos qualquer valor para a velocidade e posição inicial:
f (s )=10+30 t+ 24 t 2
2
Derivamos a função:
f ' (s)=30+24 t
Portanto a função de velocidade é: f (v )=30+24 t, se derivarmos novamente a função teremos
sua aceleração:
f ' (v )=30+24 t → 24
1.2 Segundo passo
Nesse passo construimos uma tabela que nos permite obsevar melhor os valores da velocidade
e espaço em função do tempo.
Tempo Espaço (mt) Velocidade (m/s)
Aceleração
(m/s²)
0 10 30 24
1 52 54 24
2 118 78 24
3 208 102 24
4 322 126 24
5 460 150 24
Tabela 1
0 1 2 3 4 5 60
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Espaço em função do tempo
Figura 1 - Gráfico de espaço em função do tempo
0 1 2 3 4 5 60
20
40
60
80
100
120
140
160
Espaço em função do tempo
Figura 2 - Gráfico da Velocidade em função do tempo
1.2.2 Cálculo da área da função de velocidade
∫0
5
(30+24 x )dx=30∫1 dx+24∫ x dx=(24 ⋅ x2
2¿¿¿)+(30 ∙1 )=12 x2+30¿¿¿
limx→(5−0)
f ( x )=12 x2+30=450
0 1 2 3 4 5 60
5
10
15
20
25
30
Gráfico da aceleração em função do tempo
Figura 3 - Gráfico da aceleração em função do tempo
1.3 Terceiro Passo
Na seção 1.1.1 demonstramos que a velocidade instantânea é a derivada da função espaço que
descreve o movimento de um corpo quando intervalo de tempo tende à zero.
Da mesma forma podemos compreender a aceleração como a segunda derivada da função
espaço (ou primeira derivada da função velocidade), quando o intervalo de tempo tende a
zero.
Na seção 1.1.2 a derivada da função velocidade ou a segunda derivada da função espaço,
retorna a aceleração:
f ' (v )=30+24 t → 24
Ou:
f ' ' (s )=10+30 t +24 t2
2→ 24
1.4 Quarto Passo
O gráfico da equação que descreve a aceleração em função (figura 3) do tempo se encontra na
subitem 1.2.
A área do gráfico:
∫0
5
24 dx=120