ATIVIDADE PROGRAMADA COMPLEMENTAR- APC7

Atividade elaborada para o período de Distanciamento Social em virtude do COVID-19 (Corona Vírus) Lembrete ao aluno - ao receber esta atividade, entre em contato com o seu líder de turma para confirmação do

recebimento.

IDENTIFICAÇÃO Disciplina: Matemática

Professor(a): Emerson de Lima Garcia

Turmas: 3M

Competências e habilidades: Calcular área e volume do cilindro, cone e esfera para que o aluno compreenda a

Utilização no dia a dia.

Conteúdo: Geometria Espacial: Cilindro, Cone e Esfera.

Metodologia: Os alunos deverão ler a teoria descrita nesta APC e em seguida resolver os exercícios propostos.

Contato (e-mail do professor, Classroom e WhatsApp): emersonlimagarcia@gmail.com

Horário de atendimento para dúvidas: Nas quartas e quintas das 19:00 às 21:00 horas

Valor da atividade: 2,0

Período para realização: De 22/06 a 26/06

De 29/06 a 03/07

Prazo de entrega: 03/07.

1. CONE

Cone é um sólido geométrico que faz parte dos estudos da geometria espacial. Ele possui uma base

circular (𝑟) formada por segmentos de reta que têm uma extremidade num vértice (𝑉) em comum.

Além disso, o cone possui a altura (ℎ), caracterizada pela distância do vértice do cone ao plano da base.

Possui também a denominada geratriz, ou seja, a lateral formada por qualquer segmento que tenha uma

extremidade no vértice e a outra na base do cone.

V

1.1 Classificação dos Cones

Os cones, dependendo da posição do eixo em relação à base, são classificados em:

1.2 Fórmulas do Cone

Área da Base: Para calcular a área da base de um cone (circunferência), utiliza-se a seguinte

fórmula:

𝑨𝒃 = 𝝅 ⋅ 𝒓𝟐

Donde: 𝐴𝑏: área da base 𝜋 (𝑝𝑖) = 3,14 (Valor aproximado) 𝑟: raio

Área Lateral: formada pela geratriz do cone, a área lateral é calculada através da fórmula:

𝐴𝑙 = 𝜋. 𝑟. 𝑔

Donde:

𝐴𝑙: área lateral π (PI) = 3,14 (Aproximadamente) 𝑟: raio 𝑔: geratriz

Cone Reto: No cone reto, o eixo é perpendicular à base,

ou seja, a altura e o centro da base do cone formam um

ângulo de 90º, donde todas as geratrizes são congruentes

entre si e, de acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-

se a relação: 𝒈𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒓𝟐. O cone reto é também

chamado de “cone de revolução” obtido pela rotação de

um triângulo em torno de um de seus catetos.

Cone Oblíquo: No cone oblíquo, o eixo não é

perpendicular à base da figura.

Observe que o chamado “cone elíptico” possui

base elíptica e pode ser reto ou oblíquo.

V

g

Área Total: para calcular a área total do cone, soma-se a área da lateral e a área da base

(𝐴𝑇 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏) . Trabalhando um pouco a expressão da Área Total chegamos a seguinte fórmula:

𝑨𝒕 = 𝝅 ⋅ 𝒓 ⋅ (𝒈 + 𝒓)

Donde:

𝐴𝑡 : área total

𝜋 = 3,14

𝑟: raio

𝑔: geratriz

Volume do cone: o volume do cone corresponde a 1/3 do produto da área da base pela altura,

calculado pela seguinte fórmula:

𝑉 =1

3⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟2

Donde:

𝑽 = volume

𝝅 = 3,14

𝒓: raio

𝒉: altura

1.3 Exercício Resolvido

Um cone circular reto tem raio da base de 6 cm e uma altura de 8 cm. Segundo os dados oferecidos, calcule:

a) A área da base.

b) A área lateral.

c) A área total.

Para facilitar a resolução, anotamos primeiramente os dados oferecidos pelo problema:

raio (𝑟): 6 cm

altura (ℎ): 8 cm

Vale lembrar que antes de encontrarmos as áreas do cone, devemos encontrar o valor da geratriz, calculada

pela seguinte fórmula:

𝑔 = √𝑟2 + ℎ2

𝑔 = √62 + 82

𝑔 = √36 + 64

𝑔 = √100

𝑔 = 10 𝑐𝑚

Feito o cálculo da geratriz do cone, podemos encontrar as áreas do cone:

a) Assim, para calcular a área da base do cone, utilizamos a fórmula:

𝐴𝑏 = 𝜋 ⋅ 𝑟2

𝐴𝑏 = 𝜋 ⋅ 62

𝐴𝑏 = 36𝜋 𝑐𝑚2

b) Por conseguinte, para calcular a área lateral utilizamos a seguinte expressão:

𝐴𝑙 = 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑔

𝐴𝑙 = 𝜋 ⋅ 6 ⋅ 10 𝐴𝑙 = 60𝜋 𝑐𝑚2

c) Por fim, a área total (soma da área lateral e da área da base) do cone é encontrada através da

fórmula:

𝐴𝑡 = 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ (𝑔 + 𝑟)

𝐴𝑡 = 𝜋 ⋅ 6 ⋅ (10 + 6)

𝐴𝑡 = 𝜋 ⋅ 6 ⋅ (16)

𝐴𝑡 = 96𝜋 𝑐𝑚2

Logo, a área da base é de 36 π cm2, a área lateral do cone é de 60 π cm2 e a área total é de 96 π cm2.

2. Cilindro

O cilindro ou cilindro circular é um sólido geométrico alongado e arredondado que possui o mesmo diâmetro ao

longo de todo o comprimento.

Essa figura geométrica, que faz parte dos estudos de geometria espacial, apresenta dois círculos com

raios de medidas equivalentes os quais estão situados em planos paralelos.

2.1 Componentes do Cilindro

Raio: distância entre o centro do cilindro e a extremidade.

Base: plano que contém a diretriz e no caso dos cilindros são duas bases

(superior e inferior).

Geratriz: corresponde à altura (ℎ = 𝑔) do cilindro.

Diretriz: corresponde à curva do plano da base.

2.2 Classificação dos Cilindros

Dependendo da inclinação do eixo, ou seja, do ângulo formado pela geratriz, os cilindros são

classificados em:

O chamado “cilindro equilátero” ou “cilindro de revolução” é caracterizado pela mesma medida do

diâmetro da base e da geratriz (𝑔 = 2𝑟). Isso porque sua seção meridiana corresponde a um quadrado.

Cilindro reto: Nos cilindros circulares retos, a

geratriz (altura) está perpendicular ao plano da

base.

Cilindro oblíquo: Nos cilindros circulares

oblíquos, a geratriz (altura) está oblíqua ao plano

da base.

2.3 Fórmulas do Cilindro

Observe o cilindro abaixo em sua forma planificada

Área da Base: Observando o cilindro podemos perceber que sua base é um círculo, logo, para

calcular a área da base é só utilizar a formula da área do círculo:

𝑨𝒃 = 𝝅 ⋅ 𝒓𝟐 Onde:

𝐴𝑏: área da base

𝜋 (Pi): 3,14

𝑟: raio

Área Lateral: Observando a planificação do cilindro podemos perceber que sua lateral é um

retângulo de base 2𝜋𝑟 e de altura ℎ. Portanto devemos utilizar a área do retângulo para calcular a

área lateral (𝐴𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏 ⋅ ℎ).

Desenvolvendo a expressão que determina a área do retângulo chegamos na seguinte fórmula

𝑨𝒍 = 𝟐𝝅 ⋅ 𝒓 ⋅ 𝒉 Onde:

𝑨𝒍: área lateral

π (Pi): 3,14

𝒓: raio

𝒉: altura

Área Total: Para calcular a área total do cilindro, ou seja, a medida total da superfície da figura, soma-se 2 vezes a área da base à área lateral, a saber:

𝑨𝒕 = 𝟐𝑨𝒃 + 𝑨𝒍 𝒐𝒖 𝑨𝒕 = 𝟐(𝝅 ⋅ 𝒓𝟐) + 𝟐𝝅 ⋅ 𝒓 ⋅ 𝒉 Onde:

𝑨𝒍: área total

𝑨𝒃: área da base

𝑨𝒍: área lateral

π (Pi): 3,14

𝒓: raio

𝒉: altura

O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura (geratriz):

𝑽 = 𝑨𝒃 ⋅ 𝒉 𝒐𝒖 𝑽 = 𝝅 ⋅ 𝒓𝟐 ⋅ 𝒉 Onde: 𝑽: volume 𝑨𝒃: área da base 𝝅 (Pi): 3,14 𝒓: raio 𝒉: altura

2.4 Exercício Resolvido

(ENEM-2011). É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam

usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores, mas é importante saber que, na hora de fazer

a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias

quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida

pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave

fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la.

Ciência Hoje das crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, ano 19, n. 166, mar. 1996.

Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato

cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser

utilizada na mistura é cerca de (utilize π(pi) = 3)

a) 20 ml b) 24 ml c) 100 ml d) 120 ml e) 600 ml

Primeiramente, vamos anotar os dados que o exercício nos oferece:

10 cm de altura

4 cm de diâmetro (raio é 2 cm)

π(pi) = 3

Obs: Lembre-se que o raio é a metade do diâmetro.

Assim, para saber a quantidade de água que devemos colocar no copo devemos utilizar a fórmula do

volume:

𝑉 = 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ

𝑉 = 3 ⋅ 22 ⋅ 10

𝑉 = 120 𝑐𝑚3

Encontramos o volume (120 cm3) para uma parte de açúcar e cinco de água (ou seja, 6 partes).

Logo, cada parte corresponde a 20 cm3

120÷6=20 cm3

Se temos 5 partes de água: 20.5 = 100 cm3 Alternativa c) 100 ml

3. ESFERA

A Esfera é uma figura simétrica tridimensional que faz parte dos estudos de geometria espacial.

A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em torno de um eixo. É

composto por uma superfície fechada na medida em que todos os pontos estão equidistantes do centro

(O). Alguns exemplos de esfera são o planeta, uma laranja, uma melancia, uma bola de futebol, dentre

outros.

3.1 Componentes da Esfera

Superfície Esférica: corresponde ao conjunto de

pontos do espaço no qual a distância do centro

(O) é equivalente ao raio (R).

Dica: Se a esfera fosse uma laranja, a superfície

esférica seria a casca da laranja

Cunha Esférica: corresponde à parte da esfera obtida

ao girar um semicírculo em torno de seu eixo.

Dica: Se a esfera fosse uma laranja, a cunha esférica

seria um gomo da laranja, com casca e tudo.

Fuso Esférico: corresponde à parte da superfície

esférica que se obtém ao girar uma

semicircunferência de um ângulo em torno de seu

eixo.

Dica: Se a esfera fosse uma laranja, o fuso

esférico seria a casca de um gomo da laranja.

Calota Esférica: corresponde a parte da esfera

(semiesfera) cortada por um plano.

Dica: Se a esfera fosse uma laranja, a calota

esférica seria a tampinha da laranja.

3.2 Fórmulas da Esfera

Área da Esfera Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a fórmula:

𝑨𝒆 = 𝟒 ⋅ 𝝅 ⋅ 𝒓𝟐

Donde:

𝑨𝒆= área da esfera

𝝅 (Pi): 3,14

𝒓: raio

Volume da Esfera

Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a fórmula:

𝑽𝒆 =𝟒

𝟑⋅ 𝝅 ⋅ 𝒓𝟑

Donde:

𝑽𝒆: volume da esfera

𝝅 (Pi): 3,14

𝒓: raio

3.3 Exercício Resolvido

a) Qual a área da esfera de raio √𝟑 𝒎?

Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a expressão:

𝐴𝑒 = 4 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟2

𝐴𝑒 = 4 ⋅ 𝜋 ⋅ (√3)2

𝐴𝑒 = 12𝜋

Logo, a área da esfera de raio √3 𝑚, é de 12𝜋.

b) Qual o volume da esfera de raio √𝟑𝟑

𝒄𝒎?

Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a expressão:

𝑉𝑒 = 4

3⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟3

𝑉𝑒 = 4

3⋅ 𝜋 ⋅ (√3

3)3

𝑉𝑒 = 4𝜋 𝑐𝑚3

Portanto, o volume da esfera de raio √33

𝑐𝑚 é de 4𝜋 𝑐𝑚3.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. (PM ES – Exatus 2013). O volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo isósceles de

lados congruentes medindo 5 cm e base medindo 6 cm, em torno da base é igual a:

2. Uma fábrica de doces e balas irá produzir chocolates na forma de guarda-chuva, com as seguintes

medidas: 8 cm de altura e 3 cm de raio de acordo com a ilustração. Qual a quantidade de chocolate

utilizada na produção de 2000 peças?

3. Uma casquinha de sorvete possui o formato de um cone reto com altura de 10 cm e raio da base

medindo 5 cm. Determine o volume da casquinha.

4. (Enem). Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos

com cartões de papel retangulares de 20 m x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo

dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche

completamente com parafina.

Supondo que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume da parafina empregado, o custo da

vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será:

5. Uma lata de extrato de tomate de formato cilíndrico possui área total de 244,92 cm2 de área total.

Sabendo que o raio da base da lata mede 3 cm, obtenha a medida da altura dessa embalagem.

6. Uma indústria deseja fabricar um barril de óleo com formato cilíndrico cujo raio da base deve

apresentar 40 cm de comprimento e sua altura será de 1,2 m. Para fabricação desse barril, a indústria

utilizará chapas metálicas. Quantos metros quadrados de chapa serão necessários para fabricar um

barril? (Use π = 3,14).

7. (Vunesp – SP). Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição

vertical, está completamente cheio com 30 m³ de água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a

altura do tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.

8. (AMEOSC). Pretende-se encher uma bexiga até que ela atinja 20 cm de diâmetro. Considere que

essa bexiga é esférica. Quantos litros de água serão necessários?

9. A área da superfície coberta de água corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície da Terra.

Considerando que a Terra seja uma esfera de raio 6.370 km, determine a área da superfície da Terra

que é coberta pela água.

10. A tira seguinte mostra o Cebolinha tentando levantar um haltere, que é um aparelho feito de ferro,

composto de duas esferas acopladas a um bastão cilíndrico.

Suponha que cada esfera tenha 10,5cm de diâmetro e que o bastão tenha 50 cm de comprimento e diâmetro

da base medindo 1,4cm. Se a densidade do ferro é 7,8g/cm³, quantos quilogramas, aproximadamente, o

Cebolinha tentava levantar? (Use: π = 22/7).