Mestrado Profissional em MatematicaDisciplina: MA14 - AritmeticaProfessores: Joseph N. A. Yartey

Carlos Eduardo BahianoInstituic~ao: Universidade Federal da Bahia

Atividade Especial

Quest~ao 1: Mostre, por induc~ao, as seguintes formulas para n 1.

(a) 1 + 3 + + (2n 1) = n2;

(b) 13 + 33 + + (2n 1)3 = n2(2n2 1);

(c) 1 2 3 + 2 3 4 + + n (n+ 1)(n+ 2) = n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)4

;

(d)1

1 2 +1

2 3 + +1

n(n+ 1)= 1 1

n+ 1;

(e)

nXk=1

(1)k k + 1(2k + 1)(2k + 3)

= (1)n 14(2n+ 3)

112

;

Quest~ao 2: Mostre por induc~ao que:

(a) 4n + 15n 1 e multiplo de 9, 8n 2 N;

(b) n < 2n, 8n 2 N;

(c) 2n < n!, para todo n 4,n 2 N;

(d) (1 + x)n 1 + nx, para todo x 2 R com x > 1.

Quest~ao 3: Sejam q e r o quociente e o resto da divis~ao (ab), a, b > 0. Determine os quocientese os restos das seguintes divis~oes.

(a) a (b)

(b) (a) (b)

(c) (a) b

Quest~ao 4: Seja um inteiro a tal que o resto da divis~ao (a 5) e igual 4. Determine o resto equociente da divis~ao (a2 5).

Quest~ao 5: Seja um inteiro z tal que o resto da divis~ao (z 4) e igual 3. Prove que o resto dadivis~ao (z2 8) e igual 1.

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Quest~ao 6: Sejam q e q0 os quocientes e r e r0 os restos das divis~oes (a b) e (a0 b), b 6= 0.Determine o quociente e o resto da divis~ao (a+ a0) b.

Quest~ao 7: Utilize o algoritmo da divis~ao para mostrar que

(a) Mostre que o quadrado de um inteiro qualquer e da forma 3k ou 3k + 1, com k 2 Z.

(b) Mostre que todo inteiro mpar e da forma 4k + 1 ou 4k + 3, com k 2 Z.

(c) Mostre que o quadrado de qualquer inteiro mpar e da forma 8k + 1, com k 2 Z.

Quest~ao 8: Sejam m e n inteiros positivos, com m > n, e r o resto da divis~ao m n. Mostreque o resto da divis~ao (2m 1) (2n 1) e 2r 1.Dica: aq bq = (a b)(aq1 + aq2b+ aq3b2 + + abq2 + bq1)

Quest~ao 9: Seja a um inteiro. Prove que um dos inteiros a, a+ 2, a+ 4 e divisvel por 3.

Quest~ao 10: Sendo a um inteiro qualquer, mostre que:

(a) 2 j a(a+ 1)

(b) 3 j a(a+ 1)(a+ 2)

Quest~ao 11: Mostre que, se a j (2x 3y) e a j (4x 5y), ent~ao a j y, onde a,x e y s~ao inteiros.

Quest~ao 12: Mostre que o produto de dois inteiros mpares e um inteiro mpar.

Quest~ao 13: Sejam a, b, m 2 Z, com m 6= 0. Mostre que se m j (b a), ent~ao a e b deixam omesmo resto quando divididos por m.

Quest~ao 14: Mostre que se a e b s~ao inteiros

(a) e n e um inteiro positivo, ent~ao (a b)j(an bn).

(b) e n e um inteiro positivo mpar, ent~ao (a+ b)j(an + bn).

(c) e n e um inteiro positivo par, ent~ao (a+ b)j(an bn).

Quest~ao 15: Mostre que se k e um inteiro positivo par, ent~ao 3j(2k 1).

Dica: aq bq = (a b)(aq1 + aq2b+ aq3b2 + + abq2 + bq1)

Quest~ao 16: Sejam a, b 2 Z. Mostrar que, se 3 divide (a2 + ab + b2) ent~ao a e b tem o mesmoresto quando divididos por 3.

Quest~ao 17: Para os numeros inteiros a e b dados, determine D(a), D(b) e mdc(a, b) :

(a) a = 32 e b = 54

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(b) a = 48 e b = 64

(c) a = 27 e b = 45

Quest~ao 18: Determine s e t inteiros tais que mdc(a, b) = sa+ tb, nos seguintes casos:

(a) a = 145; b = 72 (b) a = 896; b = 143 (c) a = 180; b = 252

(d) a = 138; b = 24 (e) a = 102; b = 49 (f) a = 2464; b = 7469

Quest~ao 19: Sejam a, b e c inteiros positivos dados. Prove que

a mdc(b, c) = mdc(ab, ac)

Quest~ao 20: Encontrar mdc(a, b) e mmc(a, b) atraves da decomposic~ao em fatores primos e

vericar que mdc(a, b) mmc(a, b) = a b nos seguintes casos:(a) a = 19500; b = 54450 (b) a = 20600; b = 3300 (c) a = 147875; b = 166725

Quest~ao 21: Dados a, b e m inteiros tais que a e b s~ao primos entre si, mostre que se ajm e bjment~ao abjm. De^ inteiros a, b e m tais que ajm e bjm, mas ab - m.

Quest~ao 22: Descreva os seguintes subconjuntos J de Z :

(a) J = Z 36 + Z 28

(b) J = Z 18 + Z 24 + Z 21

(c) J = Z 105 + Z 52

Quest~ao 23: Classique cada armac~ao abaixo em Verdadeira ou Falsa, justicando:

(a) Se a divide b ent~ao mmc(a, b) = b.

(b) Considere a e b numeros naturais. Ent~ao mdc(a, ab+ 1) = 2.

(c) Dados um numero primo p e um inteiro a, se p - a ent~ao mdc(a, p) = 1.

(d) Mdc de dois numeros naturais e sempre um divisor do mmc destes mesmos numeros.

(e) Se I Z e um ideal de Z ent~ao o complementar Ic Z tambem e um ideal de Z.

(f) O subconjunto I = fm 2 Z; m2 e divsivel por 2g e um ideal de Z.

(g) O subconjunto I = fm 2 Z; mdc(7,m) = 1g e um ideal de Z.

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(h) Se o ideal Z m e maximal, ent~ao m e um numero primo.

(i) Se I e J s~ao ideais de Z, ent~ao I [ J e um ideal de Z.

Quest~ao 24: De um aeroporto, partem todos os dias, 3 avi~oes que fazem rotas internacionais. O

primeiro avi~ao faz a rota de ida e volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias.

Se num certo dia os tre^s avi~oes partem simultaneamente, depois de quantos dias esses avi~oes

partir~ao novamente no mesmo dia?

Quest~ao 25: Os planetas Jupiter, Saturno e Urano te^m perodo de translac~ao em torno do Sol

de aproximadamente 12, 30 e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrera, depois de

uma observac~ao, para que eles voltem a ocupar simultaneamente as mesmas posic~oes em que se

encontram no momento de observac~ao?

Quest~ao 26: Um terreno retangular de 221 m por 117 m sera cercado. Em toda a volta deste

cercado ser~ao plantadas arvores igualmente espacadas. Qual o maior espaco possvel entre as

arvores?

Quest~ao 27: Verique quais dos conjuntos abaixo s~ao ideais de Z :

(a) I = fm 2 Z; m e divisor de 24g

(b) I = fm 2 Z; m e multiplo comum de 18 e 24g

(c) I = fm 2 Z; 21m e divisivel por 9g

Quest~ao 28: Escreva os conjuntos Z 15 e Z 18. Determine Z 15\Z 18 e obtenha mmc(15, 18).

Quest~ao 29: Dados p, q primos tais que p q 5, mostre que 24j(p2 q2).Sugest~ao: Prove que 3j(p2 q2) e 8j(p2 q2)

Quest~ao 30: Prove que todo inteiro que tem resto 5 na divis~ao por 6, tem resto 2 na divis~ao por

3, mas que n~ao vale a reciproca.

Quest~ao 31:

(a) Escreva 236 na base 5

(b) Um numero na base 10 escreve-se 57, em que base escrever-se a 111?

Quest~ao 32:

(a) Seja N um numero natural. Prove que a divis~ao de N2 por 4 nunca deixa resto 3

(b) Prove que nenhum inteiro da seque^ncia 11, 111, 1111, , e um quadrado perfeito.

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Quest~ao 33: Indique quais das seguintes equac~oes diofantinas tem soluc~ao, para essas,

determine a soluc~ao geral:

(a) 23x 5y = 7 (b) 4x+ 7y = 3

(c) 6x+ 8y = 10 (d) 3x+ 6y = 4

Quest~ao 34: De^ quantas maneiras pode-se comprar selos de 3 reais e de 5 reais de modo que se

gaste 50 reais.

Quest~ao 35: Ao entrar em um bosque, alguns viajantes avistam 37 montes de maca. Apos serem

retiradas 17 frutas, o restante foi dividido igualmente entre 79 pessoas. Quantas macas cada

pessoa recebeu?

Quest~ao 36: Um determinado hospital necessita comprar, mensalmente, um certo medicamente

cuja caixa custa R$10,00 e e vendido em embalagens fechados contendo 15 ou 21 caixas. Sabendo

que no ultimo me^s o gasto com esse remedio foi de R$3120,00 e que o numero de embalagens

de 21 caixas compradas foi maior do que o de 15 caixas, determine o numero de embalagens de

cada tamanho que o hospital comprou.

Quest~ao 37: Divide 100 em 2 parcelas positivas, de modo que seja divisvel por 7 e a outra por

11. (Euler)

Quest~ao 38: Se um estudante tem em seu cofre muitas moedas de 10 e de 25 centavos, de quantas

maneiras distintas pode pagar seu lanche que custou R$2,65.

Quest~ao 39: Uma pessoa foi ao banco para descontar um cheque no valor de x reais e y centavos.

O caixa do banco errou na leitura do valor do cheque e pagou y reais e x centavos. A pessoa

guardou o dinheiro no bolso sem vericar a quantia. No caminho de casa, ela gastou cinco

centavos e quando chegou em casa vericou que tinha exatamente o dobro do valor do cheque.

Determine o valor do cheque, sabendo-se que essa pessoa n~ao levou dinheiro nenhum consigo

quando foi ao banco.

Quest~ao 40: Num cassino existem 2 especies de chas, uma de 62 reais, e outra de 11 reais. De

quantas e quais s~ao as possveis maneiras de se obter 788 reais.

Quest~ao 41: Certa quantidade de mac~as n~ao superior a 5000 e nem inferior a 1000 e dividida

em 37 montes de igual numero. Apos serem retiradas 17 frutas, as demais s~ao adicionadas em

79 caixas cada um contendo a mesma quantidade:

a) Quantas mac~as estavam em cada monte?

b) Quantas mac~as estavam em cada caixa?

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c) Qual era a quantidade total de mac~as?

Quest~ao 42: Se um trabalhador recebe 510 reais em tquetes de alimentac~ao, com valores de 20

reais ou 50 reais cada tquetes, de quantas formais pode ser formado o carne^ de tquetes desse

trabalhador.

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