Ttulo Atas do XXIII Seminrio de Investigao em Educao Matemtica Organizadores Hlia Pinto, Hlia Jacinto, Ana Henriques, Ana Silvestre e Cludia Nunes Edio Associao de Professores de Matemtica Lisboa, Outubro de 2012 ISBN: 978-972-8768-53-9

Apoios:

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NDICE

INTRODUO ................................................................................................................... xi

CONFERNCIAS PLENRIAS

Geometrical and spatial reasoning: challenges for research in mathematics education ................ 3 Keith Jones

O desenvolvimento do sentido da multiplicao e da diviso de nmeros racionais: a diviso como produto de medidas ........................................................................................................... 13 Hlia Pinto

Contributos da participao no programa de formao contnua em matemtica para o desenvolvimento profissional de professores do 1. ciclo do ensino bsico ............................... 29 Cristina Martins

SIMPSIO 1 NMEROS E OPERAES

Nmeros e operaes: um tema a (re)discutir ............................................................................. 42 Elvira Ferreira & Manuel Vara Pires (moderadores)

O trabalho de projeto em matemtica no 1. ciclo: um caminho para a construo da cidadania ..................................................................................................................................... 47 Joana Conceio & Margarida Rodrigues

Sobre o desenvolvimento histrico do conceito de nmero ........................................................ 59 Inocncio Balieiro Filho

A discusso de estratgias de clculo mental e o desenvolvimento do sentido de multiplicao de nmeros racionais ................................................................................................................... 73 Renata Carvalho & Joo Pedro da Ponte

Os robots na aprendizagem de conceitos matemticos: analisando o processo de transparncia dos artefactos ............................................................................................................................... 85 Snia Martins

A resoluo de problemas de subtrao: significados, estratgias e procedimentos, que relao com o desenvolvimento do sentido de nmero dos alunos?........................................................ 97 Elvira Ferreira

O sentido do nmero no 1. ciclo: uma leitura de investigao ................................................ 109 Lurdes Serrazina

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SIMPSIO 2 GEOMETRIA E MEDIDA

Geometria e medida .................................................................................................................. 123 Conceio Costa & Isabel Vale (moderadoras)

Lesson study na formao de professores do 1. ciclo do ensino bsico ................................... 127 Mnica Baptista, Joo Pedro da Ponte, Estela Costa, Isabel Velez & Margarida Belchior

Esquemas de prueba de maestros en formacin en tareas visuales ........................................... 139 Margherita Gonzato, Juan Godino & Teresa Neto

Francisco Gomes Teixeira: o conceito de reta tangente no Curso de Analyse Infinitesimal ..... 153 Catarina Mota, Maria Elfrida Ralha& Maria Fernanda Estrada

As isometrias no 2. ciclo do ensino bsico: uma proposta de ensino baseada no modelo de Van Hiele .................................................................................................................................. 167 Susana Pinto & Lina Fonseca

Perceo de relaes no espao por crianas dos 3 aos 7 anos ................................................ 181 Cristina Alves & Alexandra Gomes

Reflexos de uma oficina de formao nas prticas de duas professoras de matemtica ........... 193 Justina Pais Neto

O conhecimento geomtrico de futuros professores do ensino bsico: uma breve caracterizao ............................................................................................................................ 207 Angela Couto & Isabel Vale

O desenvolvimento de habilidades geomtricas na educao infantil ...................................... 221 Evandro Tortora & Nelson Pirola

Transformaes geomtricas: conhecimentos e dificuldades de futuros professores ............... 233 Alexandra Gomes

A utilizao da visualizao para ensinar a aprender matemtica ............................................ 245 Isabel Vale & Teresa Pimentel

SIMPSIO 3 LGEBRA E PENSAMENTO ALGBRICO

lgebra e Pensamento algbrico ............................................................................................... 261 Manuel Saraiva & Neusa Branco (moderadores)

Pensamento algbrico nos primeiros anos de escolaridade - um trabalho colaborativo entre professores................................................................................................................................. 269 Clia Cascais

v

A aprendizagem das expresses algbricas por uma aluna discalclica ................................... 281 Corlia Pimenta & Manuel Saraiva

Aprender matemtica com robots: a dana entre a agncia material e agncia conceptual ...... 295 Elsa Fernandes

Desenvolver o pensamento algbrico a partir da explorao de sequncias e regularidades .... 307 Ana Morais

O movimento histrico e lgico dos conceitos algbricos e o objeto de ensino da lgebra: o caso das equaes .............................................................................................................................. 319 Maria Lucia Panossian & Manoel Oriosvaldo de Moura

Raciocnios desenvolvidos na verificao das solues de sistemas de equaes lineares ....... 333 Paula Barros, Jos Antnio Fernandes & Cludia Arajo

A explorao da variao de quantidades: um estudo com alunos do 4. ano de escolaridade . 349 Clia Mestre & Hlia Oliveira

O recurso a diferentes representaes no ensino das funes com o apoio da tecnologia ........ 365 Helena Rocha

A aprendizagem de mtodos formais na resoluo de sistemas de equaes - o caso de Ana .. 377 Sandra Nobre, Nlia Amado & Joo Pedro da Ponte

SIMPSIO 4 PROBABILIDADES E RACIOCNIO ESTATSTICO

Probabilidade e raciocnio estatstico ........................................................................................ 395 Ana Henriques & Susana Colao (moderadoras)

Avaliao da associao estatstica num diagrama de disperso por estudantes universitrios ............................................................................................................................. 403 Delson Mugabe, Jos Antnio Fernandes & Paulo Ferreira Correia

El lenguaje sobre la correlacin y regresin: un estudio de dos libros de texto ........................ 415 Magdalena Gea, Miguel Contreras, Pedro Arteaga & Gustavo Caadas

Comparao de probabilidades condicionadas no contexto de extrao de bolas de um saco ............................................................................................................................................ 429 Paulo Ferreira Correia & Jos Antnio Fernandes

O estudo da mdia, da mediana e da moda por meio de um jogo e da resoluo de problemas .................................................................................................................................. 443 Jos Marcos Lopes, Renato Sagiorato Corral & Jssica Scavazini Resende

Uma corrida de robots numa prtica matemtica escolar .......................................................... 459 Paula Cristina Lopes

vi

A interpretao de medidas de tendncia central de futuros professores e educadores na realizao de uma investigao estatstica ................................................................................ 471 Raquel Santos & Joo Pedro da Ponte

Erros e dificuldades de alunos do 1. ciclo na representao de dados atravs de grficos estatsticos ................................................................................................................................. 483 Ana Michele Cruz & Ana Henriques

Planeamento estatstico e anlise de dados no 3. ciclo do ensino bsico ................................. 501 Cristina Roque & Joo Pedro da Ponte

Literacia estatstica no 5. ano: uma experincia de ensino ...................................................... 519 Ctia Freitas

SIMPSIO 5 CAPACIDADES TRANSVERSAIS

Capacidades transversais em educao em matemtica ............................................................ 539 Isabel Cabrita & Lina Fonseca (moderadoras)

Comunicao matemtica na sala de aula dos anos iniciais: contributos de um programa de formao ............................................................................................................................... 545 Rgis Souza & Joo Pedro da Ponte

Comunicao matemtica entre estudantes na formao de professores a distncia ................ 557 Luciane Bertini & Crmen Passos

As atitudes em relao matemtica e suas influncias no desempenho de alunos em resoluo de problemas ............................................................................................................. 569 Giovana Sander & Nelson Pirola

Comunicao escrita de alunos do 6. ano de escolaridade ....................................................... 581 Carla Alves & Lina Fonseca

Envolvimento das mes no trabalho de casa (tpc) de matemtica: contributo para o desenvolvimento da comunicao matemtica ......................................................................... 595 Marta Moreno, Lina Fonseca & Teresa Gonalves

Formulao e resoluo de problemas ...................................................................................... 607 Pedro Almeida

Criatividade: onde a encontrar na aula de matemtica? ............................................................ 621 Sandra Pinheiro & Isabel do Vale

Proposta de um projeto de investigao sobre a comunicao matemtica com alunos com deficincia auditiva: um estudo de caso numa turma do 7. ano ............................................... 637 Joana Tinoco, Helena Martinho & Anabela Cruz-Santos

vii

Como o modelo SOLO permite analisar as respostas dos alunos? Um caso na formao inicial de professores ................................................................................................................. 649 Fernando Santos & Antnio Domingos

Representaes e raciocnio de alunos do 3. ano de escolaridade na resoluo de problemas .................................................................................................................................. 663 Isabel Velez & Joo Pedro da Ponte

Literacia tecno-matemtica na resoluo de problemas com tecnologias ................................. 677 Hlia Jacinto & Susana Carreira

Autoavaliao em matemtica: o caso de um aluno no contexto de uma interveno de ensino ........................................................................................................................................ 693 Slvia Semana & Leonor Santos

SIMPSIO 6 FORMAO DE PROFESSORES E IDENTIDADE PROFISSIONAL

Formao de professores e Identidade profissional .................................................................. 707 Nlia Amado & Helena Martinho

Implicaes do PMII no desenvolvimento profissional docente: da reflexo prtica ............ 713 Ins Oliveira & Jos Antnio Fernandes

O investimento na profisso e a construo da identidade profissional estudo de caso ......... 727 Josimar de Sousa

Desafios de formadores de matemtica para a vida do processo RVCC ............................... 739 Ceclia Fantinato & Darlinda Moreira

POSTERS

Desenvolvimento de sentido de nmero na educao pr-escolar ............................................ 753 Teresa Vilar & Lina Fonseca

Conhecimento dos alunos sobre geometria no incio do 3. ciclo: identificao e definio de tringulos e de paralelogramos ............................................................................................. 757 Conceio Tavares & Ceclia Monteiro

Tarefas em geometria da sala de aula para a formao de professores. ................................. 761 Alexandra Gomes, C. Miguel Ribeiro, Fernando Martins, Hlia Pinto, Ana Paula Aires, Helena B. Campos, Ana Caseiro, Cristina Alves, Paula Rebelo, Helena Gomes, Ctia Rodrigues & Ricardo Poas

Construo das seces planas de um cubo e sua representao em ambiente 2D do GeoGebra .................................................................................................................................. 765 Ilda Reis & Edite Cordeiro

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A abordagem lesson study no ensino de equaes do 1. grau: um caso de desenvolvimento profissional ................................................................................................................................ 769 Cludia Nunes, Ana Isabel Silvestre & Hlia Jacinto

Conhecimento e prticas em educao estatstica de professores do 1. ciclo num contexto de trabalho colaborativo ............................................................................................................ 773 Ana Caseiro

Desenvolver a literacia estatstica (DSL): aprendizagem do aluno e formao do professor ... 777 Hlia Oliveira, Ana Henriques, Ana Paula Canavarro, Carolina Carvalho, Joo Pedro da Ponte, Rosa Ferreira, Susana Colao, Ana Quintelas, Ana Caseiro, Ctia Freitas, Cristina Roque, Isabel Velez, Mnica Patrcio, Nlida Filipe, Nuno Ranho, Raquel Santos & Sandra Quintas

A aprendizagem de conceitos matemticos em cursos de engenharia ...................................... 781 Manuela Alves, Cristina S. Rodrigues, Ana Maria A.C. Rocha & Clara Coutinho

Compreender problemas de processo: um contributo para a educao pr-escolar .................. 785 Cludia Soares & Lina Fonseca

Raciocnio matemtico de alunos e futuros professores: uma primeira aproximao .............. 789 Fernando Martins, Marta Vieira, Diogo Reis & C. Miguel Ribeiro

Resoluo de problemas de processo na educao pr-escolar ................................................. 793 Helena Costa & Ana Barbosa

As competies matemticas online como contexto de investigao vertentes do projeto Problem@Web .......................................................................................................................... 797 Susana Carreira, Nlia Amado, Rosa Antnia Ferreira, Jaime Carvalho e Silva, Juan Rodriguez, Hlia Jacinto, Nuno Amaral, Sandra Nobre, Slvia Reis & Isa Martins

Resoluo de problemas e as avaliaes externas de matemtica no brasil .............................. 801 Maria Madalena Dullius, Daniela Cristina Schossler & Virginia Furlanetto

Padres: uma abordagem criativa aprendizagem em diferentes reas/domnios da educao pr-escolar ................................................................................................................. 805 Ana Barbosa & Bibiana Lopes

Um outro olhar sobre os dados do PISA: caraterizao dos alunos com nveis de proficincia elevados em matemtica............................................................................................................ 809 Snia Barbosa & Paulo Infante

Prticas profissionais dos professores de matemtica: o projeto P3M ...................................... 813 Joo Pedro da Ponte, Hlia Oliveira, Ana Paula Canavarro, Darlinda Moreira, Helena Martinho, Lus Menezes, Rosa Toms Ferreira, Ana Gafanhoto, Ana Isabel Silvestre, Antnio Guerreiro, Ana Paula Gil, Clia Merc, Cludia Domingues, Cludia Nunes, Cludia Oliveira, Clia Mestre, Hlia Ventura, Isabel Velez, Joana Mata Pereira, Laura Bandarra, Lgia Carvalho, Maria da Graa Magalhes, Marisa Quaresma, Mnica Patrcio, Nelson Mestrinho, Neusa Branco, Paulo Gil, Renata Carvalho, Sandra Campelos & Sandra Quintas

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O conhecimento matemtico dos futuros docentes no incio da Licenciatura em Educao Bsica: um projeto envolvendo trs Escolas Superiores de Educao ...................................... 817 Lurdes Serrazina, Ana Barbosa, Ana Caseiro, Antnio Ribeiro, Ceclia Monteiro, Cristina Loureiro, Ftima Fernandes, Graciosa Veloso, Isabel Vale, Lina Fonseca, Lus Menezes, Margarida Rodrigues, Pedro Almeida, Teresa Pimentel & Tiago Tempera

Cursos de formao contnua de professores: alternativa para a insero de recursos computacionais no ensino de matemtica ................................................................................. 821 Marli Teresinha Quartieri, Maria Madalena Dullius, Adriana Belmonte Bergmann, Teresinha Aparecida Faccio Padilha, Fernanda Eloisa Schmitt & Gabriele Born Marques

Formao inicial do professor de matemtica contribuies para um processo de incentivo docncia..................................................................................................................................... 825 Inocncio Fernandes Balieiro Filho

x

xi

INTRODUO

O SIEM Seminrio de Investigao em Educao Matemtica, uma organizao do

Grupo de Trabalho de Investigao da Associao de Professores de Matemtica. A sua

vigsima terceira edio decorre, nos dias 6 e 7 de outubro de 2012, na Escola

Secundria Quinta das Flores, em Coimbra.

Para alm de proporcionar um espao de expresso da comunidade de investigao no

campo da Educao Matemtica para divulgao, comunicao, confronto e discusso

de ideias e trabalhos realizados, este Seminrio procura promover a articulao entre a

investigao nesta rea e o ensino da Matemtica. Assim, procura dar continuidade

sua tradio de aliar a investigao prtica.

O Seminrio conta com a participao de cerca de uma centena e meia de professores e

investigadores oriundos de Portugal, Espanha, Brasil e Reino Unido, 56 dos quais

envolvidos na apresentao de comunicaes orais e de posters. Esta grande afluncia,

que contribui para o sucesso do XXIII SIEM, reflete o interesse e preocupao de

muitos investigadores e educadores matemticos com a Educao Matemtica.

As comunicaes orais e os posters esto organizados em 6 simpsios, coordenados por

investigadores convidados, e focados nos seguintes temas: Nmeros e Operaes;

Geometria e Medida; lgebra e Pensamento Algbrico; Probabilidade e Raciocnio

Estatstico; Capacidades Transversais; e Formao de Professores e Identidade

Profissional. Os simpsios tm como propsito reunir participantes com alguma

afinidade nos temas versados nas comunicaes, de forma a constiturem-se como

espaos de discusso aprofundada.

Para alm das comunicaes e posters, o XXIII SIEM inclui trs conferncias plenrias

e dois painis. A primeira conferncia plenria, a cargo de um convidado estrangeiro,

subordinada ao tema Geometrical and spatial reasoning: Challenges for research in

mathematics education e proferida por Keith Jones da Universidade de Southampton,

Reino Unido. As outras duas conferncias so da responsabilidade de investigadores

nacionais convidados. Uma delas, intitulada O desenvolvimento do sentido da

multiplicao e da diviso de nmeros racionais: A diviso como produto de medidas

proferida por Hlia Pinto da Escola Superior de Educao do Instituto Politcnico de

Leiria. A outra proferida por Cristina Martins, da Escola Superior de Educao do

Instituto Politcnico de Bragana e tem como ttulo Contributos da participao no

xii

programa de formao contnua em matemtica para o desenvolvimento profissional de

professores do 1. ciclo do ensino bsico. Estas conferncias plenrias tm como

objetivo reunir os participantes numa reflexo sobre temas mais transversais ou ilustrar

aspetos mais particulares do que se vai realizando em termos de investigao e da

Educao Matemtica em Portugal.

Os painis plenrios visam trazer discusso, outras vertentes da investigao nesta

rea. O primeiro dedicado divulgao de trs organizaes internacionais que

partilham a preocupao com o desenvolvimento e disseminao da investigao em

Educao Matemtica, nomeadamente a International Commission on Mathematical

Instruction (ICMI), o International Group for the Psychology of Mathematics Education

(PME), e a European Society for Research in Mathematics Education (ERME).

Atualmente, Portugal tem vrias individualidades a desempenharem cargos de relevo

nas referidas organizaes, respetivamente Jaime Carvalho da Silva, Joo Filipe de

Matos e Leonor Santos, e que as apresentam num painel moderado por Ana Paula

Canavarro. No segundo painel apresentado um projeto de investigao, DROIDE II -

Os robots na Educao Matemtica e Informtica -, coordenado por Elsa Fernandes da

Universidade da Madeira que tambm modera a sesso. Participam neste painel, Joo

Filipe de Matos, Snia Abreu, Susana Carreira e Hlia Jacinto.

Neste documento, apresentam-se os textos remetidos pelos autores das conferncias e

das diversas comunicaes orais e posters que foram aceites pelo painel de revisores,

envolvidos no extenso processo de apreciao das propostas de comunicao e posters

recebidas. Todo este processo no teria sido ainda possvel, sem o valioso contributo

dos doze investigadores convidados para moderarem os seis simpsios a decorrer.

Esperamos que o XXIII SIEM possa contribuir para divulgar os avanos, as novas

tendncias e o importante trabalho realizado, quer na investigao em Educao

Matemtica, quer na prtica do ensino e aprendizagem da Matemtica. Agradecemos a

todos os que de alguma forma contriburam e contribuem para a realizao e sucesso

deste seminrio e esperamos que sintam que o tempo despendido foi profcuo.

Coimbra, outubro de 2012

A Comisso Organizadora

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CONFERNCIAS PLENRIAS

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3

GEOMETRICAL AND SPATIAL REASONING: CHALLENGES

FOR RESEARCH IN MATHEMATICS EDUCATION

Keith Jones

University of Southampton, UK

d.k.jones@soton.ac.uk

Abstract

In this paper I examine evidence from research to argue that geometry education at the

school level needs to attend to two closely-entwined aspects of geometry: the spatial

aspects and the aspects that relate to reasoning with geometrical theory. Both of these

aspects can be taught, but the challenge for research in mathematics education is to

find way in which both geometric and spatial reasoning can be taught in a way that

each supports the other.

Keywords: geometry, spatial, reasoning, research, mathematics education

Introduction

In the foreword to a book entitled The Best Writing on Mathematics 2010, the great

mathematician Bill Thurston (1946 - 2012), in one of his last contributions to

mathematics education, wrote:

We humans have a wide range of abilities that help us perceive and

analyze mathematical content. We perceive abstract notions not just

through seeing but also by hearing, by feeling, by our sense of body

motion and position. Our geometric and spatial skills are highly trainable,

just as in other high-performance activities. In mathematics we can use

the modules of our minds in flexible ways - even metaphorically. A

whole-mind approach to mathematical thinking is vastly more effective

than the common approach that manipulates only symbols (Thurston,

2011, p. xiii)

This quote captures, in a most elegant way, the themes of this paper: that geometric and

spatial reasoning are essential to mathematics and that they can be taught in ways that

enhance overall mathematical thinking. The challenge for research in mathematics

education is how geometric and spatial reasoning can be taught in a way that supports

what Thurston calls the whole-mind approach to mathematical thinking (ibid). In this

paper I examine evidence from research to argue that geometry education at the school

level needs to attend to two closely-entwined aspects of geometry: the spatial aspects

and the aspects that relate to reasoning with geometrical theory. These twin aspects of

geometry, the spatial and the deductive, I argue, are not separate; rather, they are

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interlocked. Just as the renowned mathematician Michael Atiyah refers to geometry as

one of the two pillars of mathematics (Atiyah 2001, p. 657), alongside algebra, I

argue in this paper that geometric and spatial reasoning are the yin-yang of geometry

education in that they are interconnected and inter-dependent in such a way that each

gives rise to the other.

In this paper, I first examine the nature of geometrical and spatial reasoning. Then, after

a review of research with primary-school pupils, I review issues that impact on learners

progression in spatial and geometrical reasoning through the secondary school years. I

conclude by suggesting issues that continue to present a challenge for research and

where more evidence is needed. The overall thrust of what I say is adapted from the

chapter on spatial and geometrical reasoning that I led for the book entitled Key Ideas in

Teaching Mathematics due to be published in February 2013 (Watson, Jones & Pratt, in

press). Where I can I use evidence from research that I have conducted, often in

collaboration with colleagues internationally.

The nature of geometrical and spatial reasoning

A useful definition of geometry is one attributed to the mathematician, Christopher

Zeeman: geometry comprises those branches of mathematics that exploit visual

intuition (the most dominant of our senses) to remember theorems, understand proof,

inspire conjecture, perceive reality, and give global insight (Royal Society, 2001, p.

12). This definition encapsulates what can be thought of as the dual nature of geometry

in that it is both one of the most practical and reality-related components of

mathematics, and it is an important area of mathematical theory. This means, on the one

hand, that geometry can be seen all around us (and is widely utilised in art, design,

architecture, engineering, and so on) while, on the other hand, it is simultaneously a

theoretical field that allows geometers and other mathematicians, together with

cosmologists and other scientists, to work with hypothetical objects in n-dimensional

space using, amongst other things, mathematical visualisation techniques with high-

powered computers.

The notion of figural concept (Fischbein, 1993; Fischbein and Nachlieli, 1998)

captures the combined role of the figural and the conceptual in geometry. This means

that in seeing a circle represented on paper, or on a computer screen, what we see is a

textual representation of something which is an element of geometrical theory. One way

5

to work with this dual nature of geometry is to distinguish between a drawing and a

figure (Parzysz, 1988) in that, as Laborde (1993, p. 49) explains, drawing refers to

the material entity, while figure refers to a theoretical object. Another way is to follow

Phillips et al. (2010, p.3-4) and take a geometric diagram as an unusual thing in that it

is not an abstraction of an experienced object. Rather, it is an attempt to take an abstract

concept and make it concrete. In this sense, the term geometric diagram is being used

by Phillips (and by Laborde, 2004) to capture the idea that any geometric object that we

see is both a material drawing and a theoretical figure.

Ever since the time of Euclids Elements (the third century BCE, or thereabouts),

geometrical reasoning has been synonymous with the deductive method. As such, for

the purposes of this paper, I take geometrical reasoning to align with deductive

reasoning. In terms of spatial reasoning, this is defined by Clements and Battista (1992,

p. 420) as the set of cognitive processes by which mental representations for spatial

objects, relationships, and transformations are constructed and manipulated. As such,

spatial reasoning is a form of mental activity which makes possible the creation of

spatial images and enables them to be manipulated in the course of solving practical and

theoretical problems in mathematics. This links to visualisation, something which is

generally taken as the ability to represent, transform, generate, communicate,

document, and reflect on visual information (Hershkowitz, 1989, p. 75). Both spatial

reasoning and visualisation play vital roles not only in geometry itself and in geometry

education, but also more widely in mathematics and in mathematics education

(Giaquinto, 2007; Jones, 2001).

In addition to Fischbeins figural concept noted above, influential researchers on the

nature of spatial and geometrical reasoning, and its development in learners, include (in

chronological order) Piaget, van Hiele, and Duval, amongst others. Here I have no

space even to give a brief outline of each; for such detail, see Battista (2007, pp. 846-

65). What such research suggests about the nature of spatial and geometrical reasoning

is that various types of geometric ideas, both spatial and theoretical, appear to develop

over time, becoming increasingly integrated and synthesised. Geometrical ideas

symmetry, invariance, transformation, similarity and congruence relate to the more

global mathematical ideas of proof and proving. Importantly, an ever-growing strand of

research is examining the influence of the use of various classroom artefacts on the

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development of geometrical and spatial reasoning, especially the impact of computer-

based tools (for teacher-oriented reviews, see Jones, 2005; 2012).

Geometrical and spatial reasoning across the primary school years

Research on geometrical and spatial reasoning during the pre-school and primary school

years has examined classroom activities that engage learners in visualising, drawing,

making, and communicating about two- and three-dimensional shapes (Levenson, et al.,

2011; Roth; 2011). During these years, it seems that much geometry teaching focuses

on the development of language for shape (for example, the names of polygons) and for

location (for instance, left and right). Of course, knowledge of mathematical

terminology is essential for modelling, visualising and communicating in all areas of

mathematics. Even so, the problem can be that a heavy emphasis on descriptive

language and definitions, even if relatively informal, at the expense of geometrical

problem solving, might mean that childrens progression in geometry during their

primary school years is somewhat limited (Clements, 2003, pp.151-2; Jones and

Mooney, 2003).

Through primary school, while young children may learn the names of simple shapes

(though see below for some cautions regarding the influence of prototypical

representations), it can be more difficult for them to recognise the relation between

transformed shapes through rotation, reflection and enlargement. For example, primary

school children are likely to need a lot of experience with transforming shapes before

they are able to complete rotation or reflection patterns. This may be because childrens

earlier experiences of mathematical shapes focus primarily on enabling them to

recognise the same shape whatever its location or size (for example, that a shape is a

square no matter what size it is) rather than also helping them to be aware of relevant

transformations of the shape. Research also indicates that children experience particular

problems with measuring lengths and areas, even though they may understand the

underlying logic of measurement. Similarly, learning how to represent angle

mathematically is not straightforward for younger children, even though angles occur

everywhere in their everyday life. For a very useful summary of such research, see

Bryant (2009).

When young children are learning about 2D and 3D shapes, research has documented

the ways in which they are likely to do some or all of the following: under-generalise by

7

including irrelevant characteristics that inhibit generalisation, over-generalise by

omitting key properties with a result that their generalisation is too wide, and incur

language-related misconceptions (for example, that diagonal means slanting). In a

summary of such research, Hershkowitz (1990, p.82) shows how, for learners, each

geometric object has one or more prototypical examples that are attained first that are

usually the subset of examples that had the longest list of attributes of all the critical

attributes of the concept and those specific (non-critical) attributes that had strong visual

characteristics. For example, learners are much better at recognising isosceles triangles

that are standing on their base compared to those presented in a different orientation.

Other issues that learners encounter related to naming shapes (and lines) are linked to

matters of definition, and to learners embryonic understanding of necessary and

sufficient conditions, and of inclusivity in defining (see below for more on issues of

definition and defining). Examples of such issues include use of terms such as oblong

(for a rectangle that is not a square) and diamond (for a specific orientation of a

rhombus that is almost certainly a square), and the confusion between regular and

symmetrical.

One further thing that research suggests is not always fully taken into account in

primary mathematics education is that children come to school with a good deal of

knowledge about spatial relations, primarily because we inhabit a spatial world

surrounded by spatial objects. This means, as Bryant (2009, p.3) puts it, that one of the

most important challenges in mathematical education is how best to harness this

implicit knowledge in lessons. For some examples of how this can be achieved at the

primary school level, see Lehrer, et al. (1999). More such research is needed.

Progression in geometrical and spatial reasoning during secondary school

As is clear from what has already been said in this chapter, during their later school

years it seems that students continuously move back and forth between what Laborde

(1998) calls spatio-graphic geometry (ie spatial reasoning) and theoretical geometry

(ie deductive reasoning). This means that when attempting a geometric proof, for

example, a secondary school student might move from making conjectures using

measures taken from a geometrical drawing, to using definitions and theorems, then go

back to the drawing, and so on. This moving between spatio-graphic geometry and

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theoretical geometry relates to the issue of the sometimes uneasy relationship between

measuring and proving in geometry.

This uneasy relationship exists even though in area measurement, for example, precise

solutions can be obtained by considering the theoretical relationships between

geometric shapes. For example, the base x height rule for the area of rectangles

applies in the same way to parallelograms and this can be proved by transforming a

rectangle into a parallelogram with the same height and base (knowing that the

transformation does not change the area). Similarly, the rule for finding the area of a

triangle [Area = (base height)] can be justified by the fact that every triangle can be

transformed into a parallelogram with the same base and height by doubling that

triangle. Thus, rules for precise area measurement via formulae are built from the

theoretical relations between geometric shapes. Here it is worth noting, as Bryant (2009,

p. 22) confirms, that more research is needed on learners understanding of this

centrally-important aspect of geometry and measurement.

At secondary school level, and even beyond to undergraduate level, learners can

experience difficulties in using definitions appropriately and may not fully appreciate

the role of definitions in geometry (Edwards and Ward, 2004; Vinner, 1991). Yet, as

Freudenthal (1971, pp. 424) pointed out Though the teacher can impose definitions,

this means degrading mathematics to something like spelling, ruled by arbitrary

prescriptions. As such, one way to overcome such issues is for students to be actively

engaged in the defining of geometric objects, as exemplified by de Villiers (1998) in the

case of quadrilaterals.

In terms of the idea of geometric similarity, Friedlander and Lappan (1987, p.36) list a

range of mathematics that is related, including enlargement, scale factor, projection,

area growth, and indirect measurement. These, say Friedlander and Lappan, are

frequently encountered by children in their immediate environment and in their studies

of natural and social sciences (ibid.). What is more, similar geometric shapes provide

helpful mental images of ratios and equivalent fractions, and provide a model for some

rational number concepts. Ideas of similarity extend to trigonometry and to the notion of

self-similarity that is characteristic of fractal geometry.

Bearing in mind the geometrical ideas of symmetry, invariance, transformation,

similarity and congruence, there are many reasons, as Freudenthal (1971, p.434)

explains, why a focus on symmetries is a good idea. This is not to say that symmetry is

9

simple or uncomplicated to teach. Research tracing the development of students'

knowledge of symmetry in school geometry, such as that by Leikin et al. (2000), has

revealed a range of difficulties that learners encounter with ideas of symmetry. These

range from straightforward errors such as identifying an incorrect symmetry axis, or

failing to recognise a correct symmetry axis, to difficulties with reflecting in oblique

lines. There are matching difficulties when secondary school students work with

symmetry in three-dimensions (Cooper, 1992). Research with suitable digital

technologies is providing examples of how students might gain a more multi-faceted

appreciation of symmetry (e.g., Hoyles and Healy, 1997; Clements et al., 2001).

Invariance, like symmetry, while a central idea of mathematics in general, is especially

relevant and important in geometry. Most theorems in geometry can be seen as resulting

from the study of what change is permitted that leaves some relationships or property

invariant. There is research indicating that the use of transformations can be a means by

which ideas of invariance can be studied most easily and by which the formal

definitions of congruence and similarity can be related to learners previous intuitive

ideas. Here is a place where research indicates that digital technologies such as DGS

can play a valuable role (see Hollebrands et al., 2008; Laborde et al., 2006).

While an important aim of geometry teaching is for students to develop their geometric

and spatial reasoning in order that they can tackle relatively complex problems

productively, research with which I have been involved indicates that even though

many Grade 9 students in Japan can write down a proof, around 70% do not understand

why proofs are needed (Kunimune, Fujita & Jones, 2009; 2010). Such research raises a

number of challenges for research. These include: what geometrical definitions might

be used when formulating geometrical problems for classroom use and how might

students be involved in constructing definitions, and with what consequences? How do

different (or even differently-orientated) representation of geometric objects, including

representations constructed using software, impact on students reasoning in geometry?

What is the impact of teachers instructions on students reasoning in geometry?

Concluding comments

This paper argues that school geometry is not solely about naming shape or proving

circle theorems; rather, as Malkevitch (2009, p.14) illustrates, geometry is more akin to

10

the branch of mathematics that studies visual phenomena in all their glories and

richness. This is why geometry is such an important part of the school mathematics

curriculum, and why the teaching of geometry across the school years needs to ensure a

sustained focus on the twinned aspects of geometry: the spatial aspects, and the aspects

that relate to reasoning with geometrical theory. In forming the yin-yang of geometry

education, each gives rise to the other and each only exists in relation to the other.

Del Grande (1990, p.19) argued some time ago that geometry has been difficult for

pupils due to an emphasis on the deductive aspects of the subject and a neglect of the

underlying spatial abilities acquired by hands-on activities that are necessary

prerequisites for understanding and mastery of geometrical concepts. Bill Thurston put

it this way:

We have an inexorable instinct that prompts us to convey through

speech content that is not easily spoken. Because of this tendency,

mathematics takes a highly symbolic, algebraic, and technical form. Few

people listening to a technical discourse are hearing a story. Most readers

of mathematics (if they happen not to be totally baffled) register only

technical details - which are essentially different from the original

thoughts we put into mathematical discourse. The meaning, the poetry,

the music, and the beauty of mathematics are generally lost....

Another source of the cloud of illusions that often obscures meaning in

mathematics arises from the contrast between our amazingly rich abilities

to absorb geometric information and the weakness of our innate abilities

to convey spatial ideas - except for things we can point to or act out....

Since our minds all have much in common, we can indeed describe

mental images in words, than surmise and reconstruct them through

suggestive powers. This is a process of developing mental reflexes and,

like other similar tasks, it is time-consuming. We just need to be aware

that this is the task and that it is important, so that we wont instinctively

revert to a symbolic and denatured encoding.

A whole-mind approach to mathematical thinking is vastly more

effective than the common approach that manipulates only symbols

(Thurston, 2011, p. xi-xiii)

The great challenge for research in mathematics education is how geometric and spatial

reasoning can be taught in a way that supports what Thurston calls the whole-mind

approach to mathematical thinking (ibid).

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13

O DESENVOLVIMENTO DO SENTIDO DA MULTIPLICAO E

DA DIVISO DE NMEROS RACIONAIS: A DIVISO COMO

PRODUTO DE MEDIDAS

Hlia Gonalves Pinto

Escola superior de Educao e Cincias Sociais, Instituto Politcnico de Leiria

helia.pinto@esecs.ipleiria

Resumo

Este artigo apresenta um excerto de uma anlise transversal realizada no mbito de uma investigao, que teve como objetivo estudar o desenvolvimento do sentido da multiplicao e da diviso de nmeros racionais1 em alunos do 6. ano de escolaridade. Na investigao adotou-se o paradigma interpretativo, qualitativo e o estudo de casos mltiplos como design. Estudaram-se as trajetrias de aprendizagem de trs alunos, recorrendo-se a entrevistas, observao e anlise documental. O estudo decorreu da realizao de uma unidade de ensino, a uma turma do 6. ano de escolaridade, que integrava os alunos estudados. Estes foram selecionados com base nos desempenhos que apresentaram em pr-testes, que tiveram como objetivo avaliar o seu desenvolvimento ao nvel das estruturas multiplicativas e consequente sentido das operaes: multiplicao e diviso. Por conseguinte, foi selecionado, um aluno com bom desempenho, outro com desempenho mdio e um terceiro com fraco desempenho. Os resultados permitem caraterizar o trajeto de aprendizagem realizado pelos alunos e sugerem que todos desenvolveram sentido da multiplicao e da diviso de nmeros racionais e por consequncia, a eficcia da unidade de ensino, que contextualizou o estudo, no referido desenvolvimento. Dado o foco deste artigo, aps a apresentao das fases principais do estudo para enquadramento dos referidos casos, surge uma anlise transversal das estratgias adotados pelos alunos e dificuldades sentidas na resoluo de tarefas de diviso de nmeros racionais, em contexto de produto de medidas. Assim, tendo por base o trabalho feito na unidade de ensino, so dados exemplos de produes dos alunos que ilustram a importncia da resoluo de tarefas em contextos significativos, que envolvem a diviso como produto de medidas, no desenvolvimento do sentido desta operao. Palavras-chave: Nmeros racionais, Educao Matemtica Realista, Estruturas multiplicativas, Sentido de operao.

Introduo

Os nmeros racionais so um dos temas mais importante do currculo elementar porque

promove o desenvolvimento das estruturas cognitivas que so cruciais aprendizagem

matemtica futura (Streefland, 1991; Behr, Lesh, Post & Silver, 1983). Dada esta

importncia, Lamon (2007) reivindica mais investigao nesta rea, salientando que h

mais de uma dcada que pouco se tem progredido na descoberta da complexidade do

1 Ao longo deste artigo a referncia aos nmeros racionais restringe-se aos no negativos.

14

ensino e da aprendizagem deste tema. Em Portugal, a investigao que tem sido nesta

rea escassa e recente. Assim, so necessrias mais investigaes que permitam

perceber como se pode desenvolver o sentido de nmero racional, bem como o sentido

das operaes com nmeros racionais. Importa continuar a desenvolver abordagens de

ensino-aprendizagem que conduzam os alunos a uma interiorizao significativa dos

algoritmos, tentando perceber o seu percurso no mbito dessas abordagens,

nomeadamente, de como desenvolvem e usam os conceitos de multiplicao e diviso

de nmeros racionais.

Por conseguinte, e com o propsito de perceber como se desenvolve o sentido da

multiplicao e da diviso de nmeros racionais em alunos do 6. ano de escolaridade,

realizou-se um estudo, que decorreu da realizao de uma unidade de ensino.

Fundamentada nos princpios bsicos da Educao Matemtica Realista e na Teoria dos

Campos Conceptuais principalmente, no que concerne ao desenvolvimento das

estruturas multiplicativas, a unidade de ensino comtemplou ainda, o desenvolvimento

de componentes consideradas essenciais num ensino-aprendizagem significativos das

referidas operaes. Neste contexto, estudaram-se as trajetrias de aprendizagem de trs

alunos, com o objetivo de identificar e analisar o processo de desenvolvimento e uso

significativo dos conceitos de multiplicao e diviso de nmeros racionais de cada um

dos alunos. Concretamente, procurou-se identificar e analisar as estratgias adotadas

pelos alunos e dificuldades sentidas, na resoluo de tarefas de multiplicao e diviso

de nmeros racionais, em contextos significativos, antes, durante, no fim e seis meses

depois da realizao de uma unidade de ensino envolvendo estes conceitos.

Naturalmente identificaram-se potencialidades e limitaes da referida unidade ao longo

da sua realizao.

Neste artigo apresentada a anlise transversal dos trajetos realizados pelos trs alunos-

caso, no mbito do ensino-aprendizagem da diviso de nmeros racionais em contexto

de produto de medidas. Assim, feita uma anlise ao desempenho apresentado pelos

alunos antes, durante, no fim e seis meses depois do ensino-aprendizagem da diviso

como produto de medidas; no sem antes se fazer o respetivo enquadramento dos casos.

So tecidas algumas consideraes finais sobre o processo de matematizao dos

alunos, ou seja, o progresso apresentado pelos alunos durante o ensino-aprendizagem da

diviso de nmeros racionais no referido significado.

15

Educao Matemtica Realista

A filosofia da Educao Matemtica Realista (EMR) fundamenta-se essencialmente na

conceo de Freudenthal (1973, 1991) da matemtica como uma atividade humana

(Gravemeijer, 1994; Streefland, 1991; Treffers, 1991; van den Heuvel-Panhuizen &

Wijers, 2005). Nesta perspetiva, a matemtica no vista como um corpo de

conhecimentos, mas como uma atividade de resolver problemas em contextos reais,

atividade a que Freudenthal (1973, 1991) chama de matematizao, salientando que

sem esta, no existe matemtica. O autor entende que as estruturas matemticas no so

uma referncia fixa, mas emergem da realidade e expandem-se continuamente em

processos de aprendizagem individuais e coletivos. Deste modo, na EMR os alunos so

participantes ativos no processo de aprendizagem que ocorre dentro do contexto social

da sala de aula, dado que a matemtica aprende-se, fazendo.

Para Freudenthal (1973, 1991), a matemtica deve ser reinventada pelos alunos num

processo de matematizao, que considera o processo chave do ensino-aprendizagem da

matemtica. O autor prope reinveno guiada precisamente por reconhecer que os

alunos no conseguem simplesmente reinventar a matemtica que levou milhares de

anos a ser inventada por matemticos brilhantes. Argumenta ainda, que o passo final

dos matemticos quando desenvolvem matemtica a formalizao atravs de axiomas,

pelo que este no deve ser o ponto de partida para o ensino-aprendizagem da

matemtica, dado que inverte a forma como os matemticos inventaram a matemtica.

Logo, considera anti didtico iniciar-se o ensino-aprendizagem da matemtica pelos

axiomas. Assim, refora a sua conceo, de que o objetivo da Educao Matemtica

deve ser o de proporcionar aos alunos um processo de reinveno guiada, que lhes

permita participarem num processo de aprendizagem semelhante s condies que

circundam o desenvolvimento histrico da prpria matemtica.

Treffers (1991) enuncia de forma precisa duas componentes intimamente relacionadas

no processo de matematizao num contexto educacional: (i) matematizao horizontal

- processo de transformar um problema do quotidiano numa questo problemtica

matemtica, isto , os alunos produzem modelos matemticos que os ajudam a

organizar e resolver um problema do dia-a-dia, e (ii) matematizao vertical - processo

de reorganizar e expandir o conhecimento e capacidades dentro do prprio sistema

matemtico, por exemplo, encontrando atalhos e descobrindo conexes entre conceitos

e estratgias e aplicando estas descobertas. Freudenthal (1991) adota esta distino,

16

referindo matematizao horizontal como o estabelecimento de ligaes entre o mundo

percecionado e o mundo dos smbolos e matematizao vertical como o processo de

reorganizao dentro do mundo dos smbolos. Salienta que embora esta distino parea

estar livre de ambiguidade, no significa que a diferena entre estes dois mundos seja

bem definida. Segundo o autor, as fronteiras entre o que matematizao vertical e o

que matematizao horizontal tm a ver com o que cada um de ns entende por

realidade. Prefiro aplicar o termo realidade quilo que, a um certo nvel, o senso

comum sente como real (p. 17). Enfatiza ainda, que estas duas formas de

matematizao so de igual valor e que ambas ocorrem em diferentes nveis da

compreenso.

O processo de matematizao ento um processo progressivo onde o conhecimento se

vai tornando cada vez mais formal e abstrato. Segundo Freudenthal (1973, 1991),

Gravemeijer (1994, 2005), Streefland (1991), Treffers (1991) e van den Heuvel-

Panhuizen, e Wijers, (2005) na EMR, as estratgias informais usadas pelos alunos na

resoluo de problemas em contextos reconhecveis, so a base para o processo de

desenvolvimento de conceitos e conexes entre eles, bem como para chegar a

procedimentos formais atravs de um processo gradual de esquematizao, abreviao e

generalizao. Por isso, salientam a necessidade de se proporcionarem aos alunos

situaes de ensino-aprendizagem que os estimulem atividade de modelao,

recorrendo a desenhos, diagramas, ou tabelas, j que atravs dos modelos que os

alunos progridem do conhecimento informal para o formal. De acordo com os autores,

os modelos funcionam como suportes de aprendizagem na passagem do conhecimento

concreto para o abstrato, num percurso que tem incio com a explorao de contextos

significativos e que, por um processo de matematizao progressiva, chega a conceitos

matemticos generalizados e abstratos.

Segundo Gravemeijer (1994, 2005), os modelos emergem da atividade dos alunos como

modelos de uma situao que lhes familiar e transformam-se, mais tarde, atravs de

um processo de generalizao e formalizao, em modelos para o raciocnio

matemtico mais formal. Refere que esta transformao do modelo corresponde a uma

alterao na forma de pensar do aluno, dado que o enfoque deixa de ser no contexto da

situao modelada, para passar a ser nas relaes matemticas. Assim, distingue dois

tipos de atividade, a referencial - na qual o significado de agir com o modelo deriva da

atividade do contexto descrito nas atividades de ensino; e a geral - na qual o significado

17

de agir com o modelo deriva das relaes matemticas presentes. Considera que estes

tipos de atividades surgem em diferentes nveis e que se podem completar, por um lado,

com um nvel de atividade no prprio contexto das tarefas e, por outro, com um nvel de

atividade matemtica mais formal onde os alunos j no necessitam de um modelo

(Figura 1).

Figura 1: Nveis de atividade (Gravemeijer, 2005, p.98)

Em suma, a distino entre modelo de e modelo para, pode ser clarificada pela juno

de quatro nveis gerais de atividade:

(1) Atividade na situao da tarefa, na qual as interpretaes e resolues dependem da compreenso de como agir no contexto;

(2) Atividade referencial, na qual cada modelo de refere-se a atividades na situao descrita nas atividades de ensino;

(3) Atividade geral, na qual os modelos para referem-se a um quadro de representaes matemticas;

(4) Raciocnio matemtico formal, o qual no depende de modelos para a atividade matemtica (Gravemeijer, 2005, p. 98).

Segundo o autor, no nvel referencial os modelos fundamentam-se na compreenso de

contextos experienciais reais e, o nvel geral comea a emergir quando os alunos

comeam a focalizar-se nas relaes matemticas envolvidas. A abordagem do modelo

emergente ajuda os alunos a construrem uma realidade matemtica, por eles prprios

(Gravemeijer, 2005, p.98). Porm, salienta: (i) que os modelos devem emergir de

situaes concretas, permitindo aos alunos o recurso s suas estratgias informais; (ii)

fomentar o processo de matematizao progressiva; e (iii) ter potencial para se

transformarem numa entidade prpria no decurso do processo de aprendizagem.

Estruturas multiplicativas

Um campo conceptual, de acordo com Vergnaud (1983, 1988), um conjunto de

situaes para cuja resoluo necessrio recorrer a uma teia de conceitos. Nesta

18

perspetiva, um conceito no se desenvolve isoladamente, mas antes em relao com

outros, atravs de vrias espcies de problemas e recorrendo a diferentes formas de

representao, entre elas os smbolos matemticos. Segundo o autor, a multiplicao e a

diviso, bem como a combinao destas operaes enquadram-se no campo conceptual

das estruturas multiplicativas, que gerado por diferentes casos de proporo simples e

de proporo mltipla que podem ser combinados de diferentes formas. Salienta que a

relao de multiplicao constitui uma relao quaternria entre valores de duas

variveis no conjunto de situaes das estruturas multiplicativas, classificando-as em

isomorfismo de medidas e produto de medidas.

Vergnaud (1983, 1988) refere o isomorfismo de medidas como uma estrutura

multiplicativa que consiste numa proporo direta simples entre medidas de duas

grandezas, M1 e M2, por exemplo: pessoas e objetos, bens e custos, tempo e distncia.

Dentro desta estrutura distingue situaes de multiplicao, diviso como partilha e

diviso como medida.

O produto de medidas , de acordo com o autor, uma estrutura multiplicativa que

consiste na composio cartesiana de dois espaos mtricos, M1 e M2, num terceiro

espao M3. A esta estrutura pertencem problemas relativos rea, volume, produto

cartesiano e outros conceitos fsicos. Dado que existem, pelo menos, trs variveis

envolvidas, Vergnaud (1983, 1988) considera que esta estrutura no pode ser

representada por uma simples tabela de correspondncia como a usada para o

isomorfismo de medidas, mas por uma tabela de dupla entrada. Identifica, tambm nesta

estrutura, situaes de multiplicao e de diviso. Dado o foco deste artigo, apenas

sero explanadas as situaes relativas diviso no mbito do produto de medidas.

Por conseguinte, a diviso como produto de medidas envolve situaes em que se

pretende encontrar o valor da medida de uma grandeza, dado um produto e o valor de

uma medida de outra grandeza, por exemplo A carpete de uma sala da ludoteca tem 2

m2 de rea e 2 m comprimento. Quanto mede a sua largura.. Tambm neste caso o

procedimento adotado para a resoluo deste tipo de problemas no se adequa ao uso do

operador escalar ou funcional, j que a medida da grandeza a ser encontrada, neste caso

a largura, obtm-se pelo quociente da medida da rea pela medida do comprimento.

19

Sentido das operaes

De modo a tornar exequvel quer a investigao do sentido de operao, quer a sua

avaliao em contexto escolar, no estudo adotou-se um modelo para a caraterizao do

sentido da multiplicao e da diviso de nmeros racionais, que resultou da

sistematizao das componentes apresentadas por Huinker (2002) e Slavit (1999) e

McIntosh et al. (1992). Esta sistematizao deu origem a quatro componentes principais

e respetivas capacidades, que de acordo com estes autores, devem ser contempladas de

forma integrada para que se possa desenvolver o sentido de operao (Quadro1).

Quadro 1: Modelo para a caracterizao do sentido de operao

SENTIDO DE OPERAO

Componentes Capacidades a desenvolver

Familiaridade com

diferentes significados e

contextos das operaes

Reconhecer a operao em situaes que envolvem diferentes significados Reconhecer a operao em situaes que envolvem diferentes contextos

Flexibilidade no uso das

propriedades das operaes

Recorrer a factos operacionais bsicos (compor/decompor nmeros) Apresentar estratgias de clculo baseadas nas propriedades das operaes Reconhecer a operao inversa

Razoabilidade na anlise de

processos e resultados

Conhecer o efeito de uma operao sobre um par de nmeros Verificar dados e resultado Relacionar o contexto com os clculos efetuados

Smbolos e linguagem

matemtica formal

significativos

Relacionar os smbolos com aes e conhecimentos informais Relacionar os smbolos com linguagem matemtica formal

De salientar, que a estrutura apresentada para as diferentes componentes determina o

seu desenvolvimento integrado. O desenvolvimento da componente relativa aos

smbolos e linguagem matemtica formal significativos requer que os alunos: (i)

relacionem smbolos com aes e conhecimentos informais, pelo que tm de reconhecer

as operaes em situaes que as envolvem em diferentes significados e contextos,

apresentar razoabilidade na anlise de processos e resultados e, reconhecer e descrever

situaes reais para as operaes; ou seja, elaborar enunciados para expresses que

representem produtos e quocientes, e (ii) relacionem smbolos com linguagem

matemtica formal, pelo que tm de reconhecer as operaes em situaes meramente

20

matemticas, apresentar flexibilidade no uso das propriedades das operaes, e recorrer

a algoritmos formais de forma compreensiva. Assim, os alunos que relacionem

smbolos com aes e conhecimentos informais e com linguagem matemtica formal

lidam com smbolos e linguagem matemtica formal de modo significativo revelando

sentido de operao (Huinker, 2002; Slavit, 1999).

Metodologia de investigao

A metodologia adotada para o estudo seguiu o paradigma interpretativo (Erickson,

1986), com design de estudo de caso mltiplo (Ponte, 2006, Yin, 2003), realizando-se

trs estudos de caso. Para a recolha de dados recorreu-se a tcnicas como a observao

com registos vdeo e udio, s produes dos alunos, a testes e a entrevistas em

profundidade com registos udio e documental.

No estudo, para alm da investigadora, participou uma professora do 2. ciclo do ensino

bsico, que realizou a unidade de ensino numa turma do 6. ano de escolaridade, onde

estavam inseridos os alunos-caso deste estudo. Estes foram selecionados a partir dos

desempenhos apresentados na realizao de pr-testes2, que tiveram como objetivo

diagnosticar o sentido da multiplicao e diviso de nmeros inteiros e decimais

positivos, bem como o sentido de nmero racional e, por conseguinte, o nvel de

desenvolvimento do raciocnio multiplicativo dos alunos. Assim, foi selecionado um

aluno que obteve bom desempenho nos referidos testes, outro que obteve mdio

desempenho e um terceiro que obteve baixo desempenho, cujos nomes fictcios

atribudos so respetivamente, Jacinta, Francisco e Lcia. Para perceber melhor os

desempenhos que apresentaram nos pr-testes, estes alunos foram ainda solicitados a

realizar trs entrevistas que visavam os assuntos dos pr-testes. Com o objetivo de

perceber o processo de desenvolvimento do sentido da multiplicao e da diviso de

nmeros racionais de cada um dos alunos-caso, estes foram sendo entrevistados sempre

que terminava a explorao de cada um dos tpicos estudados no mbito da realizao

da unidade de ensino, que obedeceram seguinte sequncia: (i) multiplicao como

isomorfismo de medidas; (ii) diviso como isomorfismo de medidas medida; (iii)

diviso como isomorfismo de medidas partilha e (iv) multiplicao e diviso como

produto de medidas. No fim e seis meses depois da realizao da unidade de ensino e

com o intuito de perceber o nvel, respetivamente, de interiorizao e reteno do

2 Testes realizados antes de se dar incio realizao da unidade de ensino.

21

sentido da multiplicao e diviso de nmeros racionais dos alunos, estes foram

novamente solicitados a realizar entrevistas sobre os tpicos estudados.

A referida unidade foi pensada, elaborada e adaptada pela professora e pela

investigadora, em sesses de trabalho antes e durante a sua implementao. Da unidade

fazem parte 27 tarefas, essencialmente compostas por problemas que envolvem os

diferentes significados da multiplicao e diviso de nmeros racionais, cuja sequncia

obedece proposta por Vergnaud (1983, 1988) para o estudo das estruturas

multiplicativas. Deste modo, iniciou-se o estudo destas operaes pela explorao de

problemas que envolvem a multiplicao como isomorfismo de medidas, nos

significados de grupos equivalentes e relao multiplicativa, seguindo-se o estudo da

diviso nesta mesma estrutura, nos significados medida e partilha. Posteriormente

exploraram-se problemas que envolvem a multiplicao como produto de medidas e,

por ltimo, a diviso nesta mesma estrutura, tendo-se explorado os significados de

medida em falta e fator em falta. Conforme referem Pinto e Monteiro (2008), o

significado fator em falta consiste em problemas do tipo qual o nmero b que

multiplicado por a tem como resultado c, pelo que podem ser includos na estrutura

produto de medidas, por apresentarem uma relao muito visvel com a multiplicao

(axb= c) e da diviso como operao inversa da multiplicao (b=c:a e a=c:b).

Dado que se pretendia promover um ensino interativo, como recomendam vrios

autores (Freudenthal, 1973, 1991; Gravemeijer, 1994, 2005; Streefland, 1991; Treffers,

1991), optou-se essencialmente, pela realizao de trabalho em pequenos grupos, de trs

a quatro alunos, e posterior apresentao e discusso no grupo turma. Assim, terminado

o tempo para a resoluo da tarefa pelos pequenos grupos, dava-se incio explorao

da mesma em grande grupo. Esta era orientada pela professora, que a partir das

estratgias informais dos alunos foi introduzindo modelos para raciocinarem a

multiplicao e a diviso, como a tabela de razo, de modo a proporcionar a todos os

alunos um percurso entre as suas estratgias informais e formais, num processo gradual

de aprendizagens. Para tal, as discusses em plenrio consistiram num encadeamento de

apresentaes que proporcionou aos alunos a oportunidade de analisarem, compararem

e confrontarem as diferentes estratgias de resoluo, desenvolverem capacidades mais

especficas como representar, demonstrar, modelar, de modo a compreenderem ideias

matemticas. Pretendia-se assim, promover a progresso no processo de matematizao

22

a partir do desenvolvimento da capacidade de reflexo, como consequncia do processo

de interao.

A anlise de dados das diferentes fontes e respetiva triangulao relativa familiaridade

com os diferentes significados e contextos da multiplicao e diviso, uma das

componentes do sentido de operao (Greer, 1992; Huinker, 2002; McIntosh, Reys &

Reys, 1992; Slavit, 1999) consideradas neste estudo, obedeceu s categorias de anlise

que constam da Quadro 2.

Quadro 2: Categorizao dos diferentes significados da multiplicao e diviso de nmeros racionais

ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS

SIGNIFICADOS DA MULTIPLICAO E

DIVISO ESTRATGIAS DIFICULDADES

ISO

MO

RF

ISM

O D

E M

ED

IDA

S

Multiplicao

Grupos equivalentes

Relao multiplicativa

Esquemas Modelo retangular, reta numrica, tabela de razo Multiplicao

Noo de que multiplicar aumenta Adio sucessiva No identifica a multiplicao

Diviso

Medida

Esquemas Frao, tabela de razo e equao Multiplicao Diviso

Adio e subtrao sucessivas

Noo de que dividir diminui Noo de dividendo superior ao divisor No identifica a diviso Partilha

Esquemas Tabela de razo e equao Multiplicao Diviso

Distribuio um-a-um

PR

OD

UT

O D

E M

ED

IDA

S

Multiplicao Produto de medidas

Esquemas Modelo de rea retangular Multiplicao

Noo de que multiplicar aumenta No identifica a multiplicao

Diviso

Medida em falta

Esquemas Modelo de rea retangular e equao Multiplicao Diviso

Noo de que dividir diminui Noo de dividendo superior ao divisor

No identifica a diviso Fator em

falta

Tentativa e erro

Equao

Diviso

23

Resultados: Diviso como produto de medidas

A anlise transversal das trajetrias de aprendizagem realizadas pelos trs alunos-caso,

permitiu comparar os seus desempenhos nas diferentes componentes do sentido da

multiplicao e da diviso de nmeros racionais, antes, durante, no fim e seis meses

depois da realizao da unidade de ensino (UE). Dado o foco deste artigo, apresentam-

se os desempenhos dos trs alunos relativos diviso como produto de medidas

medida em falta e fator em falta (Quadro 2), com exemplos ilustrativos dos aspetos mais

significativos.

Antes da realizao da unidade de ensino

Antes da realizao da UE, em contextos que envolviam nmeros inteiros e decimais,

qualquer um dos trs alunos identificou a diviso em situaes de medida em falta, no

mbito desta estrutura multiplicativa, ou seja, produto de medidas. Porm, perante

tarefas como Um retngulo tem 1,5 m2 de rea e 10 m de comprimento. Calcula a sua

largura?, Lcia e Francisco comearam por usar o modelo de rea retangular e

respetiva frmula (Figura 2), enquanto Jacinta usou apenas a frmula da rea retangular.

A partir da referida modelao, identificaram e usaram a diviso como estratgia de

resoluo.

Figura 2: Produo de Francisco em contexto de diviso como medida em falta

Ainda antes da realizao da UE, as situaes de diviso como fator em falta, no foram

identificadas por dois dos alunos. Por exemplo, perante a tarefa Qual o nmero que

multiplicado por 0,75 tem como resultado o nmero 12? Descreve o processo que

usares para responder questo, os trs alunos comearam por recorrer equao a x

x = b. Porm, o referido modelo, conduziu apenas Jacinta identificao e uso da

diviso, por reconhec-la como a operao inversa da multiplicao e a estratgia mais

eficiente de resoluo (Figura 3). O mesmo no aconteceu com Lcia e Francisco, que

adotaram uma estratgia de tentativa e erro para determinarem o fator em falta. No

entanto, a referida estratgia no lhes permitiu chegar a uma soluo, nem identificarem

24

a diviso como estratgia mais eficiente de resoluo, evidenciando assim, dificuldades

em reconhecerem a diviso como a operao inversa da multiplicao.

Figura 3: Produo de Jacinta em contexto de diviso como fator em falta

Durante a realizao da unidade de ensino

Durante a realizao da UE, onde os contextos envolviam nmeros racionais no mbito

da estrutura multiplicativa produto de medidas, perante tarefas de diviso como medida

em fala, como por exemplo Um retngulo tem m2 de rea e m de comprimento.

Calcula a sua largura?, qualquer um dos trs alunos identificou e usou a diviso como

estratgia de resoluo. Porm, Jacinta e Lcia recorreram sempre ao modelo de rea

retangular (Figura 4) para identificarem a diviso, tal como nos seus desempenhos antes

da UE.

Figura 4: Produo de Lcia em contexto de diviso como medida em falta

J Francisco recorreu equao a x x = b (Figura 5), e no ao modelo de rea

retangular, tal como recorreu antes da realizao da UE.

Figura 5: Produo de Francisco em contexto de diviso como medida em falta

25

Ainda durante a realizao da unidade de ensino e no mbito da estrutura produto de

medidas, perante tarefas de diviso como fator em falta, como por exemplo Qual o

nmero que multiplicado por 3/4 igual a 6?, os trs alunos identificaram a diviso.

No entanto, Lcia e Francisco recorreram sempre equao a x x = b para modelarem

as referidas situaes (Figuras 6 e 7) e posteriormente, identificarem a diviso por

reconhecerem-na como a operao inversa da multiplicao. Deste modo, parecem ter

ultrapassado a pouca familiaridade que evidenciaram com este significado da diviso

nos seus desempenhos antes da realizao da UE e, por consequncia, adquirido um

entendimento significativo da diviso como a operao inversa da multiplicao.

Figura 6: Produo de Lcia em contexto de diviso como fator em falta

Figura 7: Produo de Francisco em contexto de diviso como fator em falta

No fim e seis meses depois da realizao da unidade de ensino

No fim da realizao da UE, os trs alunos continuaram a identificar a diviso como

produto de medidas, quer no significado medida em falta, quer no significado de fator

em falta, tal como durante a UE. No entanto, Lcia substitui o modelo de rea

retangular, pela equao a x x = b, para modelar as situaes de medida em falta e

identificar a diviso. Francisco manteve o recurso equao a x x = b e Jacinta deixou

de recorrer ao modelo de rea para modelar as referidas situaes. Perante situaes de

fator em fala, s Francisco manteve a necessidade de continuar a modelar as situaes

26

com a equao a x x = b, para identificar a diviso. Estes resultados mantiveram-se seis

meses depois.

Importa relembrar que o modelo de rea retangular era o nico modelo a que os alunos

j recorriam, antes da realizao da UE, para raciocinarem a diviso como produto de

medidas, medida em falta. Este facto poder ter promovido a passagem aos modelos

matemticos e consequente formalizao da diviso como produto de medidas, no fim

da realizao da UE.

Consideraes finais

Dados relativos aos desempenhos apresentados pelos alunos antes da realizao da

unidade de ensino, revelam o recurso ao modelo de rea retangular para identificarem a

diviso como produto de medidas medida em falta, pelo que pareciam familiarizados

com este significado da diviso. Porm, este significado no parecia formalizado, dado

que, e de acordo com Gravemeijer (2005), os alunos se apoiaram em modelos para o

raciocinarem. J a diviso como produto de medidas - fator em falta no foi identificada

pela maioria dos alunos, que assim, evidenciaram tambm dificuldades no

reconhecimento da diviso como a operao inversa da multiplicao. Deste modo, os

alunos revelaram pouca familiaridade com este significado da diviso, bem como

dificuldades com as propriedades desta operao e, por conseguinte, fragilidades no seu

desenvolvimento do sentido de diviso (Huinker, 2002; McIntosh, Reys & Reys, 1992;

Slavit, 1999).

Durante a realizao da unidade de ensino, para alm do modelo de rea retangular, a

maioria dos alunos evidenciou o recurso equao bxa , para identificarem a

diviso como produto de medidas. Deste modo, todos os alunos identificaram a diviso

nesta estrutura multiplicativa, inclusivamente em situaes de fator em falta, e, por

conseguinte, um entendimento significativo da diviso como a operao inversa da

multiplicao. Assim, e de acordo com Huinker (2002), McIntosh, Reys e Reys (1992) e

Slavit, 1999), os alunos parecem ter desenvolvido capacidades no mbito das

componentes do sentido de operao (Quadro 1), nomeadamente, familiaridade com a

diviso como produto de medidas e reconhecimento da operao inversa, que

contribuem para o desenvolvimento do seu sentido da diviso.

No fim e seis meses depois da realizao da unidade de ensino a maioria dos alunos

substituiu o modelo de rea retangular pela equao bxa para modelarem as

27

situaes de diviso como produto de medidas medida em falta e identificarem a

operao envolvida. J a diviso como produto de medidas fator em falta passou a ser

identificada pela maioria dos alunos sem recurso a qualquer modelao das situaes

que a envolviam. Este significado da diviso parece ter sido formalizado pela maioria

dos alunos, dado que, e de acordo com Gravemeijer (2005), deixaram de se apoiar em

modelos para o raciocinarem. Porm, o mesmo no ocorreu com a diviso como medida

em falta, apesar de ser o nico significado que os alunos j modelavam antes da

realizao da unidade de ensino. Estes resultados confirmam a complexidade inerente

estrutura produto de medidas para a qual nos alerta Vergnaud (1983, 1988).

Por conseguinte, os alunos parecem ter progredido no desenvolvimento do sentido da

diviso, resultados que no sero alheios a uma abordagem pela EMR ao ensino-

aprendizagem da multiplicao e da diviso de nmeros racionais (Freudenthal, 1973,

1991; Gravemeijer, 1994; Streefland, 1991; Treffers, 1991), centrada no

desenvolvimento do sentido das referidas operaes (Huinker, 2002; Slavit, 1999), com

enfoque no desenvolvimento das estruturas multiplicativas (Vergnaud , 1983, 1988),

adotada na UE realizada neste estudo.

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29

CONTRIBUTOS DA PARTICIPAO NO PROGRAMA DE