Capıtulo 28

Telescopios

No seculo VII, os arabes instalaram observatorios em Bagda, Cairo, Damascoe outros centros importantes e construıram quadrantes e torqueti, idealiza-dos por Ptolomeu, assim como ampulhetas, astrolabios e esferas armilares.Quando conquistaram a Espanha, no seculo XI, os arabes estabeleceramobservatorios nesses novos centros, de modo que a astronomia passou paraa Europa sem interrupcao.

Em 1571 foi publicado o livro do matematico ingles Leonard Digges(∼1520-1559) Geometricall Practise, name Pantometria, descrevendo o te-odolito. Digges tambem descreveu um sistema com uma lente de longadistancia focal e outra de curta distancia focal em 1550, que pode ser inter-pretado como um precursor do telescopio.

Galileo comecou suas observacoes telescopicas em 1610, usando um te-lescopio construıdo por ele mesmo. No entanto, nao cabe a Galileo o creditoda invencao do telescopio. Lentes rudimentares escavadas na ilha de Cretadatam de 2000 a.C. Lentes e oculos ja eram usados desde cerca de 1350; em

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Figura 28.1: Teodolito de Leonard Digges, que permite medidas angularesprecisas, a partir de um ponto de referencia.

1451, o bispo e matematico alemao Nicolas de Cusa (1401-1464) inventouo monoculo com lente convexa, e em 1590 o holandes Zacharias Jansseninventou o microscopio. A maioria dos historiadores aceita que o primeirotelescopio foi construıdo pelo holandes Hans Lippershey (1570-1619), em1608, na cidade de Middlesburg, em Zeeland, Holanda. Galileo Galilei (1569-1642) soube desse instrumento em 1609 e, em 1610, sem ter visto o telescopiode Lippershey, construiu o seu proprio, com aumento de 3 vezes. Em seguida,ele construiu outros instrumentos, o melhor deles, com 30 vezes de aumento.

28.1 Refrator ou refletor

O telescopio de Galileo, construıdo em 1609-1610, era composto de umalente convexa e uma lenta concava. Johannes Kepler (1571-1630), no seulivro Dioptrice publicado em 1611, explicou que seria melhor construir umtelescopio com duas lentes convexas, como se usa atualmente. Em 1668,

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Isaac Newton (1643-1727) construiu um telescopio refletor (catoptrico, dogrego katoptron, espelho), usado atualmente em todos os observatorios pro-fissionais, com um espelho curvo (paraboloide ou hiperboloide) em vez deuma lente, usada nos telescopios refratores (dioptrico) de Galileo e Kepler.

Olho

Esp

elhoEspelhoFoco

Primário

Refletor

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����������������������

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Ocular

Lente

Olh

o

Refrator

Newton argumentou que a luz branca era na verdade uma mistura dediferentes tipos de raios que eram refratados em angulos ligeiramente dife-rentes, e que cada tipo de raio diferente produz uma cor espectral diferente.Newton concluiu, erroneamente, que telescopios usando lentes refratoras so-freriam sempre de aberracao cromatica.

aberracao ∝ F

D2

onde F e a distancia focal e D o diametro da objetiva. Ele, entao, propos econstruiu um telescopio refletor, com 15 cm de comprimento.

Newton colocou um espelho plano no tubo, a 45◦, refletindo a imagem parauma ocular colocada no lado. A ocular e uma lente magnificadora colocadano foco do telescopio e usada para olhar a imagem. O telescopio de Newton

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Figura 28.2: O sextante de Hadley. O observador ve a imagem do horizontee da estrela simultaneamente, como no desenho do cırculo superior esquerdo,e a escala graduada mede o angulo de altura.

gerava imagens nove vezes maior do que um refrator quatro vezes maislongo. Os espelhos esfericos construıdos naquela epoca produziam imagensimperfeitas, com aberracao esferica.

Guillaume Cassegrain (1625-1712), tambem referido como Jacques Cas-segrain, propos, em 1672, o uso de um espelho convexo secundario paraconvergir a luz para um buraco no centro do espelho principal, mas espe-lhos curvos nao podiam ser feitos naquela epoca. A maioria dos telescopiosmodernos tem foco Cassegrain. A distancia entre o espelho secundario e oprimario, aumentando a distancia focal, age como uma telefoto, permitindogrande escala de imagem.

Em 1731, o ingles John Hadley (1682-1744) inventou o sextante que olhao horizonte e uma estrela simultaneamente atraves de uma pequena luneta,para medir sua altura. Em 1757, o imigrante frances na Inglaterra JohnDolland (1706-1761) patenteou a lente acromatica, que combina duas lentesde vidros diferentes para focar luz com diferentes comprimentos de onda nomesmo ponto focal, embora o matematico ingles Chester Moor Hall (1703-1771) ja tivesse, independentemente, construıdo o primeiro telescopio comlentes acromaticas em 1733.

A maior lente que se pode construir tem aproximadamente 1 metro dediametro, pesa meia tonelada, e deforma-se devido ao seu proprio peso, jaque nao pode ser apoiada por tras, como um espelho. Alvan Clark (1804-1887) completou a construcao do telescopio refrator de 40 polegadas deYerkes, em Chicago, em 1897.

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A sensibilidade de um telescopio aumenta com o tamanho da area co-letora e, portanto, com o quadrado do diametro, de modo que dobrando oseu tamanho, podemos detectar objetos quatro vezes mais fracos. Os te-lescopios na Terra podem enxergar objetos da ordem de 1 segundo de arcoou maiores (1 segundo de arco corresponde a uma moeda de 25 centavos a50 km de distancia!). Com otica ativa, que modifica rapidamente a formados espelhos para compensar a variacao causada pela atmosfera da Terra,esse limite esta decrescendo para aproximadamente 0,3 segundos de arco.

Em 1948, foi inaugurado o telescopio Hale, de Monte Palomar, na Cali-fornia, com um espelho primario de 200 polegadas (5 metros) de diametro.Este foi o maior telescopio do mundo por tres decadas. Desde 1993, o maiortelescopio e o Keck, no Havaı, com 10 metros de diametro. Na verdade,existem atualmente dois telescopios Keck identicos, o Keck I e o Keck II.Seus espelhos, de 10 metros cada, sao formados por mosaicos de espelhosmenores.

Keck I

Os maiores telescopios de espelhos unicos (monolıticos) sao o VLT do Euro-pean Southern Observatory, no Chile, o Gemini Norte e o Subaru, no Havaı,todos com 8,2 metros de diametro de espelho principal.

Os telescopios modernos tem focos Ritchey-Chretien, propostos por Ge-orge Ritchey (1864-1945) e Henri Chretien (1879-1956), onde o pequenoespelho secundario do Cassegrain e substituıdo por outro de forma maiscomplexa, que permite a correcao da imagem para um campo maior. Naverdade, nesse sistema, tanto o primario quanto o secundario sao hiper-boloides.

Para grandes campos, os telescopios mais utilizados sao os catadriopticos(espelho mais lente corretora) do tipo Schmidt-Cassegrain, desenvolvido em1934 pelo estoniano Bernhardt Voldemar Schmidt (1879-1935), ou Maksu-tov, desenvolvido pelo russo Dmitri Maksutov (1896-1964). Os Maksutovssao muito parecidos com os Schmidts, mas tem placa de correcao curvada,permitindo maior campo e maior contraste.

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Esp

elho

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o

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Lent

e C

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Catadrióptico: Schmidt ou Maksutov

Muitos observatorios tem, ainda, um foco Coude (cotovelo, em frances)em seus telescopios equatoriais, em que um conjunto de espelhos leva a luzpara uma posicao de grande distancia focal e, portanto, de grande aumento(magnificacao, escala de campo). Normalmente, os espelhos direcionam aluz atraves de um furo no eixo polar do telescopio. Essa configuracao foidesenvolvida, em 1880, no Observatoire de Paris por Maurice Loewy (1833-1907). Para montagem alto-azimutal, a luz pode ser direcionada ao longo doeixo de altura para um dos dois focos Nasmyth [James Nasmyth (1808-1890)]na lateral do telescopio.

28.2 Radiotelescopio

Em 1899, o engenheiro eletrico italiano Guglielmo Marchese Marconi (1874-1937) desenvolveu um sistema de transmissao de ondas pelo ar para longasdistancias, o radio, e fez uma transmissao sobre o Canal da Mancha, quesepara a Franca da Inglaterra e, em 1901, uma transmissao que atravessou oAtlantico, enviando sinais de codigo Morse. Somente em 1906 ele conseguiutransmitir a voz humana. O padre brasileiro Roberto Landell de Moura

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(1861-1928) ja havia transmitido a voz humana, em 1893, e obtido a patentedo transmissor e receptor no Brasil, em 1901, e nos Estados Unidos, em 1904.Durante a Primeira Guerra Mundial, o desenvolvimento das transmissoes deradio se acentuou, para permitir a comunicacao entre diferentes unidades deum exercito, e, posteriormente, entre um aviao e a base, e entre dois avioes.

Em 1932, o americano Karl Guthe Jansky (1905-1950), dos LaboratoriosBell, realizou as primeiras observacoes de emissao de radio do cosmos, quandoestudava as perturbacoes causadas pelas tempestades nas ondas de radio.Ele estava fazendo observacoes na frequencia de 20,5 MHz (λ = 14, 6 m) edescobriu uma emissao de origem desconhecida, que variava com um perıodode 24 horas. Somente mais tarde demonstrou-se que a fonte dessa radiacaoestava no centro da Via Lactea.

No fim dos anos 1930, Grote Reber (1911-) iniciou observacoes sis-tematicas com uma antena paraboloide de 9,5 m. Hoje em dia, a radio-astronomia se extende desde frequencias de poucos megahertz (λ ' 100 m)ate 300 GHz (λ ' 1 mm).

Em 1963, entrou em operacao o maior radiotelescopio ate hoje, em Are-cibo, Porto Rico, com 300 metros de diametro. Em 1980, entrou em operacaoo VLA (Verry Large Array), um conjunto de radiotelescopios em Socorro,Novo Mexico, mostrado na figura a seguir.

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28.3 Comprando um telescopio

Muitas pessoas, vendo as belas imagens astronomicas publicadas nas revistase apresentadas na TV, sentem vontade de comprar um telescopio para veresses objetos. A vista por telescopios pequenos e geralmente um grandedesapontamento. As fotos publicadas sao obtidas com telescopios de ate10 metros de diametro, custando centenas de milhoes de dolares, ou pelotelescopio espacial Hubble, um telescopio de 2,5 metros de diametro emorbita da Terra, que custou mais de 1,5 bilhao de dolares, e que, desde1993, quando sua otica foi corrigida, vem produzindo imagens espetacularesdesde planetas do sistema solar ate as galaxias mais longınquas ate hojeobservadas.

Os telescopios pequenos, por receberem pouca luz, apresentam imagensacinzentadas, com difıcil distincao de cores, exceto para os planetas maisbrilhantes. Outra grande dificuldade de usar um telescopio e a de encontraros objetos celestes, que sao pequenos, no ceu imenso. E preciso aprenderantes a usar cartas celestes e a localizar as constelacoes no ceu a olho nu.

O melhor telescopio para um iniciante e um Newtoniano com montagemDobsoniana, em honra ao astronomo amador americano nascido na ChinaJohn Lowry Dobson (1915-), com 6 polegadas (15 cm) de diametro. Essetelescopio, por ser alto-azimutal, e muito facil de montar e usar. Infeliz-mente, nao existem fabricantes de porte no Brasil, e um telescopio dessetipo custa da ordem de 400 dolares, nos Estados Unidos. Os impostosde importacao e o transporte elevam o custo em mais de 60%. Os pla-nos para a construcao de um telescopio como esse podem ser acessados emhttp://tie.jpl.nasa.gov/tie/dobson/index.html.

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Uma das dificuldades dos telescopios em geral e seu tamanho. Um te-lescopio muito pequeno (abaixo de 6 cm de diametro) tem muito poucautilidade na astronomia, exceto para olhar a Lua, e um telescopio maiortem problema de locomocao; um telescopio amador precisa ser movel, paraque se possa transporta-lo para um local escuro adequado. Mesmo umDobsoniano de 6 polegadas, mencionado anteriormente, mede 1,2 metros decomprimento, e embora seja leve, ja ocupa boa parte do assento de um carro.

Um telescopio de menor tamanho fısico, mas que permite um aumentosuficiente para observar os aneis de Saturno, pode ser um Maksutov-Cassegrainou um Schmidt-Cassegrain de 8 a 12 cm de diametro, ou um refletor New-toniano apocromatico (acromatico) de 10 cm ou maior, mas todos essescustam acima de 600 dolares, nos Estados Unidos, com tripe. O termo apo-cromatico indica que as lentes sao feitas de vidros especiais que eliminam asfranjas coloridas, artificiais, em volta dos objetos brilhantes, permitindo quecores diferentes sejam focadas no mesmo ponto. Note que os Newtonianosinvertem a imagem e, portanto, nao sao adequados para olhar objetos naTerra. E importantıssimo ressaltar que nao se deve observar o Sol atravesde nenhum telescopio ou binoculo, pois isso causa lesao irreversıvel na retinado olho, sem qualquer dor! Existem filtros solares especiais, que reduzem aluz do Sol em milhoes de vezes, tornando a observacao segura, mas o maisindicado e sempre a observacao da projecao da imagem do Sol.

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Um telescopio refrator usa um par de lentes para produzir a imagem,enquanto um telescopio refletor usa um espelho primario. Para telescopiospequenos, um refrator apocromatico produz uma imagem mais nıtida doque um refletor de mesmo tamanho. Mas o custo de um refletor e menor, enormalmente se obtem um refletor maior e, portanto, mais luminoso, pelomesmo preco que um refrator menor.

Um item fundamental em qualquer telescopio e o tripe, que precisa seralto o suficiente para uma visao confortavel e bastante rıgido para nao vibrar,o que causaria movimento da imagem. Note tambem que os astros se movemno ceu, devido a rotacao da Terra, alem do movimento proprio de cometas,satelites e planetas. Quanto maior for o telescopio, menor sera o campo devisao, isto e, menor a parte do ceu que esta visıvel ao mesmo tempo na oculare, portanto, menor o tempo em que um astro permanecera no campo. Paraum aumento razoavel, os astros saem do campo em poucos minutos. Paracompensar esrste movimento, e preciso recentrar o objeto, manualmente oupor movimento motorizado. Se a montagem for alto-azimutal, a recentragemtera que ser feita em dois eixos, utilizando dois controles diferentes. Se amontagem for equatorial, a correcao e so em um eixo, mas, nesse caso, oalinhamento do telescopio com o polo antes da observacao e mais difıcil.

Para utilizar o telescopio para fotografia e necessario que este seja moto-rizado, para permitir longas exposicoes, e os Dobsonianos nao sao adequa-dos. O custo de um telescopio motorizado, com montagem rıgida suficientepara evitar vibracao, e com adaptadores para a camara, sera acima de 2500dolares, nos Estados Unidos.

Note que, alem do telescopio em si, o sistema deve conter um telescopiobuscador 6x30, isto e, 6 vezes de aumento e 30 mm de diametro, comlente Kellner [Carl Kellner (1826-1855)] (K), acromatica modificada (MA)ou Plossl [Georg Simon Plossl (1794-1868)], e montado com seis pontos deapoio. Uma ocular Kellner combina uma lente acromatica com uma lentesimples, e, normalmente, tem um campo de 40◦ a 50◦. Uma Plossl usa duaslentes acromaticas e tem um campo um pouco maior. Mais recentes sao asErfle [Heinrich Valentin Erfle (1884-1923)], com seis ou sete componentes, e60◦ a 70◦ de campo, e as Nagler [Albert Nagler (1935-)], com oito ou maiselementos, e campo de ate 85◦.

Note que todas as lentes devem ser revestidas (coated) com filmes que

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reduzam a reflexao. Uma lente normal reflete cerca de 5% da luz incidentepor superfıcie, de modo que um sistema contendo digamos 5 lentes naorevestidas perde cerca de 40% da luz incidente so por reflexao. Dioxido desilıcio e fluoreto de lıtio sao dois materiais usados para revestir as lentes,minimizando a reflexao.

Outro fator importante em uma ocular e a distancia entre a superfıcie daultima lente e o foco (imagem da ocular), chamada de eye relief, que precisaser entre 6 e 10 milımetros, para uma visao confortavel.

28.3.1 Caracterısticas oticas dos telescopios

Os telescopios sao caracterizados, geralmente, pelo diametro da objetiva (oespelho ou a lente principal) e por sua razao focal (f/n), onde o numero nindica a razao entre a distancia focal e o diametro da objetiva. Por exemplo:um telescopio de 10 cm de diametro e razao focal f/9, tem distancia focalde 90 cm.

Essas especifificacoes nos permitem avaliar o poder de captar luz do te-lescopio, a sua luminosidade e o seu aumento.

O aumento nao e uma propriedade do telescopio, mas da ocular, a lentecolocada na extremidade junto ao olho. Na verdade, a ocular e um conjuntode lentes.

O aumento do telescopio e igual a distancia focal da objetiva divididapela distancia focal da ocular, ou seja

aumento =distancia focal da objetivadistancia focal da ocular

Normalmente, a ocular pode ser trocada, de forma a poder alterar o aumentodo telescopio, usando oculares com diferentes distancias focais. No telescopiodo exemplo acima, se a ocular tem distancia focal de 5 cm, seu aumento serade 90

5 = 18 vezes; se trocarmos a ocular por outra de 2 cm de distancia focal,o aumento passa a ser de 45 vezes.

O melhor aumento para um telescopio ou binoculo e aquela que produzuma imagem de diametro da ordem de 5 mm, que e o tamanho medio dapupila de uma pessoa normal, apos a adaptacao ao escuro. O tamanho dessaimagem (pupila de saıda) e dada dividindo-se a abertura do telescopio (lentede entrada no caso de refrator ou binoculo, e espelho primario no caso derefletor) pelo aumento. Por exemplo, um telescopio de 10 cm (100 mm) dediametro, com uma ocular com 50X de aumento, produzira uma imagemtotal de 2 mm. Com um aumento de 20X, produzira uma imagem de 5 mme, portanto, utilizara uma area maior da retina para a imagem, produzindo

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uma imagem melhor. O aumento de 20X e a mınima necessaria para distin-guir os aneis de Saturno, o que indica que uma imagem de 1 mm e produzidapor um telescopio ou binoculo de 20 mm de diametro. Note que, se a imagemfor maior do que 5 mm, para uma pessoa com dilatacao maxima da pupilade 5 mm, a luz estara caindo fora do olho e, portanto, nao sera detectada.

Se o ceu nao estiver completamente escuro, passando de baixo para altoaumento, e possıvel enxergar objetos mais fracos, ja que o aumento reduz obrilho superficial do campo inteiro, espalhando a luz por uma area maior,o que reduz o brilho do ceu sem afetar o brilho total dos objetos menores,discretos.

A luminosidade do telescopio e especificada pela sua razao focal. Quantomenor o n, menor e a distancia focal da objetiva, e menor sera o aumento,mas maior sera a luminosidade.

O poder de captar luz do telescopio depende apenas do tamanho da areacoletora, sendo proporcional ao quadrado do diametro da objetiva. O te-lescopio do exemplo acima, comparado com a pupila humana, tem diametro20 vezes maior e capta 202 = 400 vezes mais luz, permitindo enxergar obje-tos 400 vezes mais fracos do que se pode ver a olho nu.

28.3.2 Binoculos

Uma alternativa recomendada e o uso de binoculos. O preco e muito maisacessıvel, de cerca de 100 dolares, e o uso muito mais geral, alem de sertotalmente transportavel. O binoculo permite observar milhares de objetoscelestes que nao podem ser vistos a olho nu. Mesmo pequenos binoculos,como os de teatro, permitem a observacao de astros inacessıveis a olho nu,mas os binoculos mais adequados para a astronomia seguem as regras dequanto maior a abertura, mais luminoso, e o aumento deve ser adequadopara produzir uma imagem mais proxima de 5 mm possıvel.

698

Os binoculos sao especificados por dois numeros, marcados no corpo dobinoculo. Os mais adequados para a astronomia sao os 7x42, 8x50 e 10x50.O primeiro numero indica o aumento, e o segundo o tamanho da lente deentrada, em milımetros. Dividindo-se o segundo pelo primeiro, obtem-se otamanho da imagem de saıda.

A maior dificuldade para o uso de binoculos na Astronomia se deve ainstabilidade das maos, que faz a imagem mover-se constantemente. Paraminimizar esse efeito, recomenda-se o uso de tripes com adaptadores parabinoculos, ou, pelo menos, apoiar os bracos nos bracos de uma cadeira, ouem uma base qualquer. Essa dificuldade limita o aumento maximo em 10X,para binoculos sem apoio. Note que um binoculo tıpico com 10X abrangeum campo de cerca de 5◦, quase metade da area de um binoculo similar comaumento de 7X.

O limite de difracao teorico de um telescopio e uma funcao inversa dotamanho do espelho primario, devido ao efeito da difracao de Fraunhofer,que espalha a luz de um objeto puntual em um disco de Airy (o disco nolimite de difracao, Sir George Biddell Airy (1801-1892)].

senθ = 1, 22λ

D−→ θ ' 1, 22

λ

D

Dois objetos mais proximos que este disco parecem um so objeto.A imagem produzida por um telescopio em geral nao e ideal, isto e,

nao segue um disco de difracao (de Airy), devido a turbulencia atmosferica,

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degradando a resolucao. A Funcao de Espalhamento Puntual (Point SpreadFunction, PSF) e a funcao que descreve a distribuicao de luz produzida poruma imagem puntual, e sua largura mede a resolucao real da imagem.

P (~r) =πD2

4λ2

[2J1(πD|~r|/λ)πD|~r|/λ)

]2

onde P (~r) e a intensidade no ponto ~r, J1 e a funcao de Bessel de primeiraordem, λ o comprimento de onda e D o diametro do telescopio.

A luz uma fonte puntual passando atraves de uma fenda gera uma seriede franjas de interferencia. Como o padrao de difracao e a transformada deFourier da forma da fenda, a intensidade em um ponto da imagem e dadapor

Iθ = I0sen2(πdsenπ/λ)

(πdsenπ/λ)

2

onde θ e o angulo normal a apartir da fenda, d e a largura da fenda, I0 e aintensidade da fonte na normal e Iθ a intensidade em um angulo θ. Para umaabertura circular, a imagem e circular, com cırculos concentricos claros eescuros. O maximo central e conhecido como o disco de Airy. Considerandouma abertura de raio r iluminado por um feixe normal ao seu plano, emcoordenadas cilındricas θ, φ). A diferenca no caminho, ∆, entre os raiosdifratados e dada por

∆ = (r − ρ cosφ)sen θ

e a diferenca de fase

2π∆λ

=2πλ

(r − ρ cosφ)sen θ

onde o elemento de area edA = ρdφdρ

de modo que a contribuicao para o vetor eletrico da radiacao no plano daimagem pela area elementar para um angulo θ em relacao a normal e pro-porcional a

sen [ωt+ 2πλ(r − ρ cosφ)sen θ]ρdφdρ

onde ω/2π e a frequencia da radiacao, e o resultado final e obtido integrando-se sobre a abertura

∫ 2π

0

∫ r

0sen

[ωt+

(2πrsen θ

λ

)−

(2πρ cosφ)sen θ

λ

]ρdρdφ

700

= sen

[ωt+

(2πrsen θ

λ

)∫ 2π

0

∫ r

0ρ cos

(2πρ cosφ)sen θ

λ

]dρdφ

− cos

[ωt+

(2πrsen θ

λ

)∫ 2π

0

∫ r

0ρsen

(2πρ cosφ)sen θ

λ

]dρdφ

A segunda integral no lado direito e nula, como pode ser visto substituindo

s =2πρ cosφsen θ

λ

de modo que

cos

[ωt+

(2πrsen θ

λ

)∫ 2π

0

∫ r

0ρsen

(2πρ cosφ)sen θ

λ

]dρdφ

= cos

[ωt+

(2πrsen θ

λ

)∫ r

0ρ

∫ s=2πρsen θ/λ

s=2πρsen θ/λ

−sen s[(4π2ρ2sen2θ/λ2)− s2]1/2

dsdφ

= 0

ja que os limites inferiores e superiores da integracao em relacao a s saoidenticos. Desta forma, a intensidade da imagem I(θ) e dada por

I(θ) ∝[

sen

(ωt+

2πrsen θλ

)∫ 2π

0

∫ r

0ρ cos

(2πρ cosφ)sen θ

λ

)dρdφ

]2

∝ π2r4

m2[J1(2m)]2

28.4 Mınimos Quadrados

Em 1809, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicou um artigo no Werke,4, 1-93, demonstrando que a melhor maneira de determinar um parametrodesconhecido de uma equacao de condicoes e minimizando a soma dos qua-drados dos resıduos, mais tarde chamado de Mınimos Quadrados por Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Em abril de 1810, Pierre-Simon Laplace (1749-1827) apresenta no memoir da Academia de Paris, a generalizacao a proble-mas com varios parametros desconhecidos.

Um programa de mınimos quadrados sempre comeca com a minimizacaoda soma:

S ≡N∑

i=1

(yoi − yi)

2 (28.1)

701

onde chamamos de

yoi = valores observados de y

yi = valores calculados de y

ou seja, mınimos quadrados implica em minimizar os quadrados dos resıduos.Por que este criterio e considerado um bom criterio e nao simplismente

minimizar os resıduos ou o cubo dos resıduos? A resposta formal e queos mınimos quadrados sao corretos se os resıduos tiverem uma distribuicaogaussiana (normal). E simples notar que se minimizarmos os resıduos di-retamente, um grande resıduo negativo pode ser anulado por um granderesıduo positivo, enquanto que com o quadrado minimizamos os modulosdas diferencas.

Suponhamos que temos um conjunto de dados y com uma distribuicaonormal:

P (y) =1

σ√

2πexp

[− 1

2σ2(y − y)2

]

onde

P (y) = probabilidade de obter o valor yy = quantidade a ser observaday = valor medio de yσ = desvio padrao de y

Por exemplo, a probabilidade de se encontrar uma medida entre −σ e+σ e de 68,3%, a probabilidade de se encontrar uma medida entre −1, 5σ e+1, 5σ e de 86,6%, a probabilidade de se encontrar uma medida entre −2σ e+2σ e de 95,4%, a probabilidade de se encontrar uma medida entre −2, 5σ e+2, 5σ e de 98,76%, a probabilidade de se encontrar uma medida entre −3σe +3σ e de 99,74%.

Suponhamos que medimos o valor de y varias vezes, obtendo uma seriede valores {yi}. A probabilidade de observar este conjunto e dada por

P (y1, y2, y3, . . . , yN ) ={

1σ√

2πexp

[− 1

2σ2(y1 − y)2

]}{1

σ√

2πexp

[− 1

2σ2(y2 − y)2

]}. . .

. . .

{1

σ√

2πexp

[− 1

2σ2(yN − y)2

]}

=(

1σ√

2π

)N

exp

[− 1

2σ2

N∑

i=1

(yi − y)2]

702

Queremos agora saber qual e o melhor valor de y, o valor medio. O melhorvalor sera aquele que maximiza a probabilidade de obter os valores obser-vados {yi}, ou seja, o melhor valor de y e obtido colocando a derivada daprobabilidade como nula:

d

dy[P (y1, y2, y3, . . . , yN )] = 0

Ou sejad

dy

{(1

σ√

2π

)N

exp

[− 1

2σ2

N∑

i=1

(yi − y)2]}

= 0

(1

σ√

2π

)N

exp

[− 1

2σ2

N∑

i=1

(yi − y)2]d

dy

[− 1

2σ2

N∑

i=1

(yi − y)2]

= 0

Como o termo exp[. . .] nao pode ser nulo, obtemos

d

dy

[N∑

i=1

(yi − y)2]

= 0

ou na nossa notacao

S =N∑

i=1

(yi − y)2

dS

dy= 0

Continuando com a derivacao, obtemos:

0 =d

dy

[N∑

i=1

(yi − y)2]

=N∑

i=1

−2 (yi − y)

=N∑

i=1

yi −N∑

i=1

y

Ny =N∑

i=1

yi

703

y =1N

N∑

i=1

yi

que e a media simples, como querıamos.O proximo passo e simplesmente reconhecer que y pode ser uma funcao,

por exemplo:yi = a+ b xi

de modo que

S =N∑

i=1

(yoi − a− b xo

i )2

Minimizando S em relacao a a e b, obtemos:

dS

da=

N∑

i=1

−2 (yoi − a− b xo

i ) = 0

dS

db=

N∑

i=1

−2xoi (yo

i − a− b xoi ) = 0

ouN∑

i=1

yoi −Na− b

N∑

i=1

xoi = 0

N∑

i=1

xoi y

oi − a

N∑

i=1

xoi − b

N∑

i=1

(xoi )2 = 0

Em notacao matricial(

N∑N

i=1 xoi∑N

i=1 xoi

∑Ni=1 (xo

i )2

)(ab

)=

( ∑Ni=1 y

oi∑N

i=1 xoi y

oi

)

Para simplificar a notacao, vamos definir os colchetes:

N∑

i=1

xi ≡ [x]

N∑

i=1

1 = N ≡ [1]

704

desta forma, nossa equacao matricial se escreve como:(

[1] [x][x] [x2]

)(ab

)=

([y]

[xy]

)

Estas equacoes sao chamadas de equacoes normais, e podem ser resolvidascom a matriz inversa:

(ab

)=

([1] [x][x] [x2]

)−1 ([y]

[xy]

)

28.5 Mınimos quadrados lineares

Os mınimos quadrados sao lineares quando podemos resolver as equacoesnormais usando algebra linear. O exemplo dado acima e um mınimo qua-drado linear, pois podemos resolver as equacoes para a e b exatamente.

28.6 Mınimos quadrados nao lineares

Muitos problemas interessantes nao podem ser resolvidos linearmente. Porexemplo, qual e o melhor valor de α em

y = exp(−αx)

Pela nossa definicao de S:

S =N∑

i=1

[yoi − exp (−αxi)]

2

e quando minimizamos S:

0 =dS

dα=

N∑

i=1

2 [yoi − exp (−αxi)] [− exp (−αxi)] (−xi)

ou seja

0 =N∑

i=1

yoi xi exp (−αxi)−

N∑

i=1

xi exp (−2αxi)

Que podemos escrever, na notacao de colchetes, como:

0 = [xy exp (−αx)]− [x exp (−2αx)]

705

Esta equacao nao pode ser resolvida usando-se algebra linear.Precisamos utilizar tecnicas diferentes. A tecnica mais empregada e, de

fato, a tecnica que se utiliza quando chamamos de mınimos quadradosnao lineares, e a linearizacao do problema.

A ideia, aplicada ao problema acima, e:

y = exp(−αx)

Escolhemos um valor inicial de α, chamado α0, e definimos:

α = α0 + ∆α

Definindoy0 = exp(−α0x)

Em primeira ordem, isto e, linear:

y = y0 +dy

dα

∣∣∣α0

∆α

y = exp (−α0x)− x exp (−α0x) ∆α

Agora y e linear em ∆α e podemos usar os mınimos quadrados lineares paraencontrar a correcao ∆α:

S ≡N∑

i=1

(yoi − yi)

2

que se torna

S ≡N∑

i=1

(yo

i − y0,i − dy

dα

∣∣∣α0

∆α)2

que minimizando

0 =dS

d (∆α)=

N∑

i=1

−2dy

dα

∣∣∣α0

(yo

i − y0,i − dy

dα

∣∣∣α0

∆α)

0 =N∑

i=1

[yo

i

dy

dα

∣∣∣α0

− y0,idy

dα

∣∣∣α0

−(dy

dα

∣∣∣α0

)2

∆α

]

ou, na notacao dos colchetes:

0 =[yo dy

dα

]−

[y0dy

dα

]−

[(dy

dα

)2

∆α

]

706

Que podemos resolver para ∆α:

∆α =

[yo dy

dα

]−

[y0

dydα

][(

dydα

)2]

e finalmente obter o valor revisado de α:

α = α0 + ∆α

Note entretanto que o valor revisado de α nao e o melhor valor de α, massomente uma melhor aproximacao do que α0. Isto ocorre porque ∆α e asolucao do problema linearizado e nao do problema real. Portanto, precisa-mos iterar, isto e, utilizar este valor revisado de α como um novo α0 e obterum novo valor revisado.

28.7 Formulacao Geral

Se a funcao y for uma funcao de k parametros que queremos ajustar:

yi = y (xi, a1, a2, . . . , ak)

colocamosa1 = a1,0 + ∆a1

a2 = a2,0 + ∆a2...

ak = ak,0 + ∆ak

com a hipotese de que ∆ai ¿ ai,0.Entao podemos linearizar

yi = y (xi, a1,0, a2,0, . . . , ak,0) +dy

da1

∣∣∣an=an,0

∆a1 +dy

da2

∣∣∣an=an,0

∆a2 + · · ·

+ · · ·+ dy

dak

∣∣∣an=an,0

∆ak

notando que as derivadas sao calculadas para todos an = an,0.Chamando

yi,0 = y (xi, a1,0, a2,0, . . . , ak,0)

edyi

daj

∣∣∣a0

∆aj =dyi

daj

∣∣∣an=an,0

∆aj

707

podemos escrever

yi = yi,0 +k∑

j=1

dyi

daj

∣∣∣a0

∆aj

onde o subscrito i significa calculado no ponto xi.Podemos agora calcular S:

S ≡N∑

i=1

(yoi − yi)

2

S ≡N∑

i=1

yo

i − yi,0 −k∑

j=1

dyi

daj

∣∣∣a0

∆aj

2

que minimizando com respeito a ∆am:

0 =dS

d (∆am)=

N∑

i=1

2

yo

i − yi,0 −k∑

j=1

dyi

daj

∣∣∣a0

∆aj

(− dyi

dam

∣∣∣a0

)

0 =N∑

i=1

(yoi − yi,0)

(dyi

dam

∣∣∣a0

)−

k∑

j=1

dyi

daj

∣∣∣a0

∆aj

(N∑

i=1

dyi

dam

∣∣∣a0

)

que na notacao dos colchetes pode ser escrita como:

0 =[(yo − y0)

dy

dam

]−

k∑

j=1

[dy

dam

dy

daj

]∆aj

Ou, em notacao matricial

[dyda1

dyda1

] [dyda1

dyda2

]· · ·

[dyda1

dydak

][

dyda2

dyda1

] [dyda2

dyda2

]· · ·

[dyda2

dydak

]

......

...[dydak

dyda1

] [dydak

dyda2

]· · ·

[dydak

dydak

]

∆a1

∆a2...

∆ak

=

[(yo − y0) dy

da1

][(yo − y0) dy

da2

]

...[(yo − y0) dy

dak

]

Esta equacao matricial pode agora ser revolvida por algebra matricial paraencontrar as correcoes ∆am.

708

Para o problema linear,

[dyda1

dyda1

] [dyda1

dyda2

]· · ·

[dyda1

dydak

][

dyda2

dyda1

] [dyda2

dyda2

]· · ·

[dyda2

dydak

]

......

...[dydak

dyda1

] [dydak

dyda2

]· · ·

[dydak

dydak

]

a1

a2...ak

=

[(yo − y0) dy

da1

][(yo − y0) dy

da2

]

...[(yo − y0) dy

dak

]

28.8 Determinacao das incertezas

A maneira correta de determinar as incertezas nos parametros e calculandoa varianca de um parametro qualquer z:

σ2z ≡ 〈(∆z)2〉

onde o quadrado e necessario pelas mesmas consideracoes do valor de S, 〈a〉significa a media e onde

∆z = zcalculado − zobservado

Agora suponhamos que z seja uma funcao de duas variaveis x e y, z =z(x, y). Podemos expandir por serie de Taylor [Brook Taylor (1685-1731),Methodus incrementorum directa et inversa (1715)]:

∆z =dz

dx∆x+

dz

dy∆y

de onde obtemos:

σ2z ≡ 〈(∆z)2〉 =

⟨(dz

dx∆x+

dz

dy∆y

)2⟩

=

⟨(dz

dx

)2

(∆x)2 + 2dz

dx

dz

dy∆x∆y +

(dz

dy

)2

(∆y)2⟩

Se as variaveis x e y sao separaveis, podemos reduzir a equacao acima a

σ2z =

(dz

dx

)2 ⟨(∆x)2

⟩+ 2

dz

dx

dz

dy

⟨∆x∆y

⟩+

(dz

dy

)2 ⟨(∆y)2

⟩

e, por definicao:σ2

x ≡ 〈(∆x)2〉

709

σ2y ≡ 〈(∆y)2〉

σ2xy ≡ 〈∆x∆y〉

de modo que

σ2z =

(dz

dx

)2

σ2x + 2

dz

dx

dz

dyσ2

xy +(dz

dy

)2

σ2y

E como obtemos σx, σy e σxy? Definindo a matriz covarianca.

28.9 Matrix Covarianca

Definimos a matriz covarianca como

COV =(σ2

x σ2xy

σ2xy σ2

y

)

De modo que, se a equacao normal matricial e escrita como

MA = Y

de modo que a solucao e dada por

A = M−1Y

onde M−1 e a matriz inversa da matrix M, vemos que a matriz covariancae dada por

COV(A) = σ2M−1

onde

σ2 =S

N − k=

∑Ni=1 (yo

i − yi)2

N − k

Desta maneira e muito facil calcular as incertezas nos parametros, pois so-mente precisamos multiplar a matriz inversa que usamos para obter os va-lores dos parametros, por σ2, obtendo a matriz covarianca.

28.10 χ2

Mas o que fazemos se a funcao a ser fitada nao e analıtica, como por exemplo,um espectro resultante de um modelo de atmosferas? Er-Ho Zhang, EdwardL. Robinson e R. Edward Nather (1986, Astrophysical Journal, 305, 740)

710

demonstraram que no caso medirmos varios parametros simultaneamente,onde a mudanca de alguns pode gerar mudancas significativas, enquanto quea mudanca de outros parametros gera pequenas diferencas e, ainda, que osparametros nao sao independentes, isto e, estao correlacionados, precisamosmaximizar a probabilidade (likelihood) de que os parametros x1, . . . , xk sejammedidos pelos valores xo

1, . . . , xok, definindo incertezas εi = xo

i − xi,

f(ε1, ..., εk) =1

(2π)k/2σ1 · · ·σkexp

[−1

2

(ε21σ2

1

+ · · ·+ ε2kσ2

k

)]

e, portanto, maximizarmos a probabilidade e equivalente a minimizarmos

χ2 ≡ S ≡ ε21σ2

1

+ · · ·+ ε2kσ2

k

Note que o valor de S tem normalizacao diferente da de S definido naequacao (28.1).

Se medimos os valores Ioi , por exemplo, o espectro, e calculamos Ii com

os parametros x1, . . . , xk, se assumirmos que a distribuicao de erros e normale que todas as variancas sao iguais (σ1 = σ2 = · · · = σk = W ), obtemos

S =∑N

i (Ioi − Ii)

2

W 2

de modo que, se S0 e o valor mınimo de S, e se mudarmos o valor doparametro i por um delta di, mantendo todos os outros parametros cons-tantes, obteremos um novo valor de S

S = S0 + d2i /σii

e, portanto,

σ2i = σii =

d2i

S − S0

(28.2)

Podemos encontrar o termo de correlacao usando uma transformacao devariaveis

di′ = (di + dj)/√

2

dj ′ = (di − dj)/√

2

com di = dj = d = di′/√

2. Pela propagacao de erros,

σ2i′ =

12

(σ2i + 2σij + σ2

j )

711

de modo que

σij = σ2i′ −

12

(σ2i + σ2

j ) =d2

S − S0

− 12

(σ2i + σ2

j ) (28.3)

Portanto podemos obter a incerteza em cada parametro minimizando Scom todos os parametros livres, para obter S0, fixando o valor do parametroxi para o valor que minimizou S mais um delta, digamos 5%, e minimizandonovamente S com este valor de xi fixo, obtendo um novo S. Com a equacao(28.2) podemos entao estimar o valor de sua incerteza, e repetir o processopara os outros parametros.

Se a normalizacao nao for unitaria, devemos usar:

σ2i = σii =

S

n− k + 1d2

S − S0

(28.4)

onde n e o numero de pontos, k o numero de parametros fitados, e o +1 eporque um dos parametros foi mantido fixo, reduzindo o numero de grausde liberdade.

A distribuicao de probabilidades χ2 para k graus de liberdade e dadapor

fk(χ2) =(χ2)(k−2)/2

2k/2(k/2− 1)!exp

[− 1

2χ2

]

O valor medio de χ2 e k, e algumas vezes se usa um χ2 reduzido paraque sua media seja 1:

χ2red ≡

1kχ2 =

1k

k∑

i

ε2iσ2

i

28.11 Estimativa Robusta

O grande problema do metodo de mınimos quadrados e a grande influenciade pontos com resıduo muito grande, os outliers. Para se reduzir a influenciadestes resıduos muito grandes, pode-se minimizar funcoes que nao crescemtao rapidamente quanto S2, como por exemplo, mimizando a funcao dis-crepancia, definida como:

f(S) ={S2 se |S| ≤ cc2 se |S| > c

onde c e uma constante.

712

28.11.1 Probabilidade

A funcao normal, centrada em x=0 e com largura em 1/e em x=1 e x=-1, edefinida como

P (x) =1√2πe−

12x2

e sua integral e a distribuicao normal

f(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

12y2dy

Com esta definicao ∫ +∞

−∞P (x)dx = 1

Se tivermos uma distribuicao centrada em xo, e de largura σ2,

P (x− xo) =1√

2πσ2e−

(x−xo)2

2σ2

Se a distribuicao e discreta, com N valores:

N∑

i=0

P (xi) ≡ 1

de modo que precisamos normalizar nossas probabilidades

P (x− xo) =1∑N

i=0 P (xi)

1√2πσ2

e−(x−xo)2

2σ2

Chamemos de b(k;n,p) a probabilidade que n tentativas com probabili-dade intrınseca de sucesso p, e q=1-p a probabilidade intrınseca de insucesso,resulte em k sucessos e n-k insucessos. Esta probabilidade e dada pela dis-tribuicao binominal

b(k;n, p) =(n

k

)pkqn−k ' 1√

npqP

(k − np√npq

)

Para duas variaveis correlacionadas, x1 medida a partir de µ1 e x2 medidaa partir de µ2:

P (x1, x2) =1

2πσ1σ2

√(1− ρ2)

exp[− z

2(1− ρ2)

]

713

onde

z =(x1 − µ1)2

σ21

− 2ρ(x1 − µ1)(x2 − µ2)

σ1σ2+

(x2 − µ2)2

σ22

ρ = cor(x1, x2) =σ1,2

σ1σ2

Varianca da media

Definimos como p(x) a probabilidade de um evento ocorrer entre x e x+dx:∫p(x)dx = 1

a media mu:µ =

∫xp(x)dx

a varianca σ2:

σ2 =∫

(x− µ)2p(x)dx

o desvio padrao σ, e o modo, que e o valor mais provavel da distribuicao

d p(x)dx

∣∣∣∣modo

= 0

Definindo a media de um conjunto de medidas, x:

x =∑xi

N

Como nossas medidas sao finitas, a media x nao e identica a media µ.Se medirmos nossas medias x varias vezes, podemos calcular a varianca damedia:

σ2x =

∑(xk − x)2

N

Substituindo a definicao da media xk, obtemos

σ2x =

1N2

N∑

i=1

N∑

j=1

σij

Se as medidas i e j nao sao correlacionadas,

σ2x =

1Nσ2

x

714

e a varianca do conjunto:

σ2x =

∑(xi − x)2

N − 1

ja que

S =N∑

i=1

(xi − x)2 =N∑

i=1

(xi − 1

N

N∑

j=1

xj

)2

S =N∑

i=1

[(xi − µ)− 1

N

N∑

j=1

(xj − µ)]2

S =N∑

i=1

[(xi − µ)2 − 2

N

N∑

j=1

(xi − µ)(xj − µ) +1N2

∑

j

∑

k

(xj − µ)(xk − µ)]

Calculando o valor medio:

〈S〉 =N∑

i=1

[〈(xi−µ)2〉− 2N

N∑

j=1

〈(xi−µ)(xj−µ)〉+ 1N2

∑

j

∑

k

〈(xj−µ)(xk−µ)〉]

Assumindo que as amostras sao nao correlacionadas, σij = σ2x∂ij ,

〈S〉 =N∑

i=1

[σ2

x −2Nσ2

x +1N2

∑

j

σ2x

]=

N∑

i=1

[σ2

x −1Nσ2

x

]

ou seja

〈σ2x〉 =

1N − 1

σ2x

Se tivermos um conjunto de medidas independentes xi, cada qual comsua incerteza σi, podemos minimizar a incerteza total na media

x =∑

i

aixi

e demonstrar que o multiplicador ai

ai =1/σ2

i∑i(1/σ

2i )

e aquele que produz a menor incerteza na media.

715

Portanto, definimos os pesos

wi =1σ2

i

que nos levam a

x =∑

i xiwi∑iwi

Para sabermos se, quando passamos de uma fitagem de uma reta parauma fitagem de uma parabola, a reducao no S ≡ χ2 ≡ σ2 e suficiente paraque o termo quadratico seja significativo, podemos definir um parametro

λ =σ2

reta − σ2parab

σ2parab

(N − 3)

e determinar o nıvel de confiabilidade que podemos descartar a hipotese dotermo quadratico ser nulo por

λ = Fp(1, n− 3)

onde a distribuicao F e dada por

F (a, b) =χ2(a)/aχ2(b)/b

[Brownlee, K.A. 1960, Statistical theory & methodology in science and en-gineering, Wiley]

28.12 Determinacao das incertezas

A maneira correta de determinar as incertezas nos parametros e calculandoa varianca de um parametro qualquer z:

σ2z ≡ 〈(∆z)2〉

onde o quadrado e necessario para que grandes incertezas negativas nao seanulem com grandes incertezas positivas, 〈a〉 significa a media e onde

∆z = zcalculado − zobservado

Agora suponhamos que z seja uma funcao de duas variaveis x e y, z =z(x, y). Podemos expandir por serie de Taylor [Brook Taylor (1685-1731),Methodus incrementorum directa et inversa (1715)]:

∆z =dz

dx∆x+

dz

dy∆y

716

de onde obtemos:

σ2z ≡ 〈(∆z)2〉 =

⟨(dz

dx∆x+

dz

dy∆y

)2⟩

=

⟨(dz

dx

)2

(∆x)2 + 2dz

dx

dz

dy∆x∆y +

(dz

dy

)2

(∆y)2⟩

Se as variaveis x e y sao separaveis, podemos reduzir a equacao acima a

σ2z =

(dz

dx

)2 ⟨(∆x)2

⟩+ 2

dz

dx

dz

dy

⟨∆x∆y

⟩+

(dz

dy

)2 ⟨(∆y)2

⟩

e, por definicao:σ2

x ≡ 〈(∆x)2〉σ2

y ≡ 〈(∆y)2〉σ2

xy ≡ 〈∆x∆y〉de modo que

σ2z =

(dz

dx

)2

σ2x + 2

dz

dx

dz

dyσ2

xy +(dz

dy

)2

σ2y

Por exemplo, da equacao do CCD, que descreve as contribuicoes dosdiversos tipos de ruıdo nas medidas, supondo que tenhamos N∗ fotoeletrons(contagens) detectados de um objeto, o ruıdo estatıstico (Poissoniano) damedida sera dado por R =

√N∗. Mas em um CCD temos outras fontes de

ruıdo:

R =√N∗ + npix(1 +

npix

nB)(NB +ND +N2

R +G2σ2f )

onde

N∗ numero total de contagens coletadas do objeto (em eletrons)npix numero de pixels consideradosnB numero de pixeis de fundo (ceu)NB numero total de contagens por pixel de fundo (ceu, em eletrons)ND numero total de contagens por pixel de corrente de escuro (termicos, em eletrons)NR ruıdo de leitura por pixel (em eletrons)G Ganho do detector (numero de eletrons/ADU)σf σ da contagem fracional perdida na discretizacao por pixel (em ADU)

Desta forma, a incerteza na medida do numero de eletrons e dada pelo seuruıdo, R.

717

Mas quando convertemos estas contagens em magnitudes observadas emum certo filtro, representado pelo seu comprimento de onda efetivo, temosoutras incertezas:

moλ = −2, 5 logFλ + Cλ

onde Fλ e o fluxo medido, que pode ser o numero de fotons detectados porunidade de tempo por unidade de area, ou a energia correspondente, e Cλ

a constante do ponto zero daquela magnitude (correspondente ao fluxo deuma estrela de magnitude zero), e σ(Fλ) = R.

Neste caso, como d log xdx = 1

x ln 10

σ(moλ) = −2, 5

1Fλ ln 10

σ(Fλ)

Mas ainda temos que transformar as magnitudes para um sistema padrao:

mλ = moλ + a+ b(mo

λ −moλ1

) + kλx

de modo que

σ2(mλ) = σ(moλ)2 + σ(a)2 + σ(b)2(mo

λ −moλ1

)2 + b2σ(moλ −mo

λ1)2 + σ(kλ)2x2 + k2

λσ(x)2

+2σ(moλ, a) + 2σ(mo

λ, b)(moλ −mo

λ1) + 2σ(mo

λ,moλ −mo

λ1)b+ 2σ(mo

λ, kλ)x+2σ(mo

λ, x)kλ + 2σ(a, b)(moλ −mo

λ1) + 2σ(a,mo

λ −moλ1

)b+2σ(a, kλ)x+ 2σ(a, x)kλ + 2σ(b,mo

λ −moλ1

)b(moλ −mo

λ1) + 2σ(b, kλ)(mo

λ −moλ1

)x+2σ(b, x)(mo

λ −moλ1

)kλ + 2σ(kλ, x)kλx

onde σ(x) e a variacao da massa de ar durante a exposicao. Os coeficientescruzados sao calculados pela matriz de covarianca.

718