Segunda edio brasileira: 1973Copyright 1972 by Bloch Editores S. A.

Direitos exclusivos para a lngua portuguesaBLOCH EDITORES S. A.

Rua do Russell, 804 Rio de Janeiro, GB BrasilPrinted in Brazil

MALBA TAHAN

AS MARAVILHASDA MATEMTICA

COM O PARECER MATEMTICO, EM POSFCIO,DO PROF. JESS MONTELLO

BACHAREL E LICENCIADO EM MATEMTICA,PELA FACULDADE NACIONAL DE FILOSOFIA,

E CATEDRTICO DE ANLISE MATEMTICA ECLCULO ATUARIAL DA U. F. R. J.

OBRAS DE MALBA TAHAN

(Aqui citamos, apenas, 16 das 113 obras de M. T,)O Homem que Calculava Prmio da Academia Brasi-

leira de Letras. Romance em 25.a edio. Traduzido para oingls e para o espanhol.

A Sombra do Arco ris Em 10.a edio. Novela-anto-logia, a nica no mundo na qual so citados 843 poetas bra-sileiros.

Cu de Allah Em l l . a edio. Coletnea dos maisfamosos contos orientais.

Salim, o Mgico Romance srio-libans.Maktub Lendas orientais. Traduzido para o ingls.O Mistrio do Mackenzista Romance policial verdico.A Arte de Ler e de Contar Histrias Em 6.a edio.

Obra puramente didtica.Numerologia Estudo do nmero, do nome e do destino.Paca, Tatu Contos infantis.Mistificaes Literrias O negro em Literatura.Romance do Filho Prdigo Novela histrica inspirada

no Evangelho de So Lucas,A Arte de Ser um Perfeito Mau Professor Obra didtica.O Mundo Precisa de Ti, Professor! Estudo da tica

profissional do Professor. Obra didtica.Lendas do Cu e da Terra Em 13.a edio. Obra apro-

vada pela Igreja Catlica.Antologia da Matemtica Obra recreativa e cultural.Sob o Olhar de Deus Romance espiritualista.

Ao Coronel

Urassy Benevides

o bom e dedicado amigoque tanto se interessoupela publicao deste livro.

Homenagem do autor

Malba Tahan.Caxambu, 1972.

Sumrio

Prefcio 9Introduo 11

1 Estranho Vocabulrio de Termos Incompreensveis 132 Os Mrtires da Matemtica 19

3 O Papa que Foi Esquartejado 254 Como Surgiram o + e o - ? 29

"A MATEMTICA A RAINHA DAS CINCIAS; 5 Numerao Pr-Colombiana 37

A ARITMTICA A 6 Definies Euclidianas 41RAINHA DA MATEMTICA." 7 O Nmero Quatro na Mstica Oriental e o Nmero Trs

Entre os Romanos 51KARL FRIEDBICH GAUSS

O PENSAMENTO MATEMTICO 8 As Aparncias que Enganam 559 A Curva Predileta dos Poetas 59

10 O Heptgono Regular e Seu Perfume 6511 Um Repouso de Dezoito Sculos 6912 Os Ternos Pitagricos e o Amor Sincero 7313 As Curvas Matemticas nos Animais e nas Plantas 8314 O Problema das Bolas Misturadas 85

"PRECISAMOS PROCURAR O PENSAMENTO MATE- 15 A Geometria Ideal e a Realidade 89MTICO ONDE LE SE CONSERVE PURO, ISTO , NAARITMTICA " 16 O Quadrado Magico e o Jogo de Xadrez 91

17 "Seu" Venncio e as Dez Pontas de Cigarro 97HENRI POINCAR 18 Patas e Chifres no Palcio do Rei 101

CINCIA E MTODO19 A Alta Matemtica das Abelhas Gemetras 10520 O Nmero "Pi" Numa Trova Bem Rimada 11321 Crculos que se Tocam com Harmonia e Beleza 115

oumariu

Prefcio 9Introduo 11

1 Estranho Vocabulrio de Termos Incompreensveis 132 Os Mrtires da Matemtica 193 O Papa que Foi Esquartejado 254 Como Surgiram o + e o ? 295 Numerao Pr-Colombiana 376 Definies Euclidianas 417 O Nmero Quatro na Mstica Oriental e o Nmero Trs

Entre os Romanos 518 As Aparncias que Enganam 559 A Curva Predileta dos Poetas 59

10 O Heptgono Regular e Seu Peifume 6511 Um Repouso de Dezoito Sculos 6912 Os Ternos Pitagricos e o Amor Sincero 7313 As Curvas Matemticas nos Animais e nas Plantas 8314 O Problema das Bolas Misturadas 8515 A Geometria Ideal e a Realidade 8916 O Quadrado Mgico e o Jogo de Xadrez 9117 "Seu" Venncio e as Dez Pontas de Cigarro 9718 Patas e Chifres no Palcio do Rei 10119 A Alta Matemtica das Abelhas Gemetras 10520 O Nmero "Pi" Numa Trova Bem Rimada 11321 Crculos que se Tocam com Harmonia e Beleza 115

22 O Milho, Seu Retrato e Seu Prestgio 11923 A Estranha Numerao dos Maias 12524 Homens e Mulheres Numa Festa Mal Organizada 12925 Curiosidades Numricas que Assombram os Calculistas 1312 6 0 Problema dos Anjos de Efraim 13327 A Unidade Caula: o Micrmetro 13728 A Pirmide Humana de Newton 14129 A Curva Perfeita do Lao de Fita 14530 O Problema das Quinze Laranjeiras Bem Plantadas 15131 Filhos, Netos e Perucas em Equao 15332 Gato e Rato aos Pulos Uniformes 15733 A Idade Fantasiosa de Um Poeta 15934 O Palmo, o Palminho e Outras Medidas 16335 Goethe e a Tabuada da Feiticeira 16936 Problemas, Charadas e Enigmas 17337 Curva Patolgica com Ponto Isolado 17938 Ao Reflorir Suave das Rosceas 18339 O Simples Complicadssimo e o No-Simples

Corriqueiro 18940 O Problema da Besta e a Soluo do Sbio 19341 O Estranho Mistrio dos Calculistas Famosos 19542 Circunferncia Feita com Retas 19743 A Paixo e a Vez de Sofia Kovalevskaia 19944 Um Paradoxo Incrvel no Infinito 20345 Quatro Smbolos Universais Famosos 20746 As Barricas Passam a Fronteira 21547 O Mtodo Experimental em Matemtica 21948 O ltimo e Famoso Teorema de Fermat 22149 O Ponto de Ouro, Sua Beleza e Seu Mistrio 227

ndice das Curiosidades 251ndice Alfabtico de Nomes Citados 253

PrefcioAgrada-me mais a dvida do que o saber, dizia Dante,

E esta a essncia da Matemtica. Completa, sculos depois,Benjamn Franklin:

Muita gente lamenta ter estudado isso ou aquilo. Consi-deram tempo perdido ou esforo intil. Em relao Matem-tica, porm, no houve, at hoje, quem lastimasse o tempoempregado em seu estudo, O arrependimento s brotou noesprito daqueles que no poderiam ter levado, em adianta-mento, os estudos da Matemtica.O prprio Voltaire, embora escritor, no hesitou em afirmar:

Havia mais imaginao na cabea de Arquimedes do quena de Homero.Declarava o espanhol Rey Pastor, um dos maiores gemetrasdeste sculo (1888-1961):

A recreao matemtica um dos mais preciosos recursosmotivadores de que podemos dispor para lecionar, com xito,uma turma de adolescentes.E salientando a importncia do ensino da parte histrica daMatemtica opinou Felix Klein (1849-1925). um dos mais insig-nes didatas na matria:

O professor que ensina a Matemtica desligada de suaparte histrica comete verdadeiro atentado contra a Cincia econtra a cultura em geral.

Aquele que ensina Matemtica e que no pratica, de quandoem quando, uma recreao aritmtica, pode ser um gnio comoPoincar, um novo Weierstrass do sculo XX, um George Can-tor da lgebra Moderna, mas ser sempre um pssimo, umdetestvel professor,

E aqui acrescentamos as judiciosas palavras de EdwardEverett (1794-1865) em Oraes e Discursos:

A Matemtica existiu no unicamente nos domnios daMetafsica, mas na simples contemplao real da razo supre-ma. razo humana, em sua inspirao, percorrendo toda anatureza e a vida em busca de imaginao para expressar asabedoria e o poder de Deus, encontra a Matemtica simboli-zada no engenho- da obra do Criador. "Deus dimensionou oscus como se usasse rgua e compasso." E um sbio antigo,sem falsidade ou irreverncia, ousou dizer: "Deus um ge-metra."

Ademais, as divagaes curiosas, as recreaes numri-cas apresentam, para o sbio, valor imenso. Vejamos a opiniode Joseph Louis Franois Bertrand (1822-1900), um dos maio-res vultos da Anlise Matemtica. (Mathesis)

Essas pesquisas curiosas que Euler apreciava, acima detodas as divagaes cientficas, no devem ser consideradascomo recreaes pueris e inteis, pois, por sua natureza inte-lectual, valem tanto como as mais belas descobertas tericas.

Uma simples recreao aritmtica sobre nmeros primosat ao matemtico poder interessar.

Como disse o analista alemo ]acob Jacobi (1804-1851),um dos gnios exponenciais da Anlise:

A finalidade nica da Cincia honrar o esprito humanoe, dentro desse ponto de vista, uma recreao entre nmerosvale tanto quanto uma nova teoria sobre o Sistema dos Mundos.

E deve o professor de Matemtica conhecer as recreaesnumricas, os paradoxos curiosos e os episdios pitorescosrelacionados com a Cincia'}

Cumpre, pois, ao bom professor apresentar a Matemticacom encanto e simplicidade, de modo a torn-la leve e agradvelao educando; fazer dela uma cincia cheia de atraes e facespitorescas.

preciso que o adolescente tome gosto pela Matemtica,que na opinio do filsofo e matemtico francs Charles Lai-sant (1841-1920) o mais maravilhoso instrumento criadopelo homem para a descoberta da Verdade.

Introduo"SE O ENSINO DA MATEMTICA, NOS CURSOS

BSICOS, FOSSE FEITO, COMO REALMENTE DEVERIASER, COM VIVO INTERESSE, CLAREZA E SIMPLICIDADE,ESSA FABULOSA CINCIA EXERCERIA SOBRE TODOS OSHOMENS ESTRANHA E DESMEDIDA FASCINAO."

REY PASTOR (1898-1961)CONFERNCIAS, 102

A finalidade precpua deste livro pode ser esclarecida empoucas palavras.

Pretendemos oferecer uma coletnea bem variada de pe-quenos trechos sobre os mil e um temas curiosos, vivos e inte-ressantes, que repontam no campo imensurvel da Cincia eque vo reflorir, com as sete cores da fantasia, no prodigiosojardim da Matemtica.

O leitor que abrir este livro professor, estudante oucurioso vai encontrar em suas pginas no teorias mirabo-lantes ou integrais rebarbativas, mas pequenos episdios, dadoshistricos, problemas pitorescos, definies estranhas, curvaspatolgicas, direta ou indiretamente relacionadas com aMatemtica.

A diversidade dos assuntos abordados imensa. Saltamosde um tema para outro bem diverso, e assim procedemos nos para explorar certos contrastes, mas tambm para evitar asvelhas rotinas. E assim passamos, na sucesso descontnuadas ideias e dos fatos, de um problema pitoresco para a crticade alguma carcomida definio de Euclides; da torre faranicado Alexandrino, para um comentrio irreverente de MarcelBoll; deixamos o verboso gemetra francs para ouvir certoparadoxo desconcertante de Bertrand Russell (1872-1970) eantes de encerrar as pginas voamos, em dois segundos, paraRoma do sculo I e palestramos com abacistas escravos nasescadarias do palcio de Tibrio Csar,

Tomemos, para servir de exemplo, uma das palavras entre ascomplicadas e obscuras. A nossa escolha vai recair sobre ohexadecaedride. O que ser, nos domnios da Cincia, um hexa-decaedride?

Depois de aludir ao hexa (prefixo erudito de origem gregaque d a idia de seis), ao deca (prefixo de origem grega que da ideia de dez), ao edro (do grego hedro, face) c terminao ide(que exprime formao, parecena), o gcmctra explica, muitosrio, com a maior naturalidade, e sem o menor trao de dvidaou incerteza, tratar-se de:

Um poliedro tetradimensionol cujo contorno formado por16 tetraedros. Tem 32 faces triangulares, 24 arestas e 8vrtices.3

Ao ouvir essa definio, um tanto estranha, o leitor certamen-te protestar e com muita razo: sendo um poliedro de quatrodimenses, isto , tctradimcnsional, claro que o hexadecaedrideno existe. No espao cm que vivemos (tridimensional) no hcorpo algum com quatro dimenses.

Sim, concorda prontamente o gemetra. sse poliedro, real-mente, no existe. No poder existir jamais. uma simplesabstrao. Mas isso no impede que receba belssimo e eruditonome de batismo, que venha a ser estudado por suas notveis pro-priedades, e que possa ser projetado e desenhado rigorosamente nonosso espao, isto , num espao de trs dimenses; podemos at,conhecida a sua aresta, calcular a sua rea tota! c achar seu vo-lume, em metros cbicos, sem erro.

Vejam como o matemtico imaginoso c surpreendente. Es-tuda as propriedades, calcula a rea, determina o volume de umpoliedro que no existe e que jamais chegar a existir.

Deixemos, porm, essas abstraes matemticas c passemosao mundo real.

Tomemos, inicialmente, o termo eqidecomponvel. Vejamoscomo esclarecer o seu conceito.

3. Cf. Mutila C. Ghycka, Esthtiques des Proportions datis Ia Natureet dans les Ars, Paris, 1927, pg. 434.

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Os polgonos A e B so figuraseqidecomponveis.

Consideremos os dois polgonos A c B que aparecem nafigura ao lado.

A um quadriltero, oumelhor, um retngulo. Nesseretngulo A, uma das dimenses precisamente o triplo da outra.

B um hexgono regularno-convexo, com lados paralelosapresentando cinco ngulos retose um ngulo reentrante de 270graus.4

Os polgonos A c B no soiguais, mas cada um deles, comoa figura mostra, pode ser decom-posto em trs quadrados.

Os seis quadrados, assim obtidos, so iguais.Dizemos, ento, que os polgonos A c B so decomponveis

em figuras respectivamente iguais. So, por sse motivo, denomi-nados "figuras eqiiidecomponveis".

Eis a definio rigorosa, formulada de acordo com os prin-cpios da Lgica Matemtica:

Duas figuras so eqiiidecomponveis quando podem serdecompostas em partes respectivamente iguais.

Fica, assim, explicado de maneira bem clara c elementar oconceito de figuras eqidecomponveis.

Passemos, agora, ao trilneo.A que se chama um trilneo?Ensina o filsofo e matemtico P. Sergescu em Les Recher-

ches sur 1'lnfini Mathmatique, e ensina com surpreendente cla-reza:

Chama-se trilneo a uma figura fechada formada por doissegmentos perpendiculares AB e AC e um arco BC.

O trilneo uma espcie de tringulo retngulo cuja hipote-nusa tenha sido substituda por uma curva simples. um trin-4. sse hexgono no-convexo apresenta diagonais exteriores ediagonais singulares.

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4. Esse hexgono no-convexo apresenta diagonais exteriores ediagonais singulares.

gulo retngulo "degenerado". O famoso tringulo de Barrow, outringulo caracterstico, que aparece no estudo do Clculo Dife-rencial, um trilneo. Abundante colheita de termos totalmente esdrxulos pode-ramos fazer no Dicionrio de Matemtica do Prof, FranciscoVera.5 Trata-se de um livro notvel c o seu autor, ao lado dofamoso Rey Pastor, includo entre os mais famosos matemticosdeste sculo. As suas obras, alis numerosas, sobre todos osramos da Cincia so de projeo mundial.

Apontemos, apenas, cinco dos mil conceitos estudados eesclarecidos pelo Prof. Vera:

multivrtice, oxignio, pitmene, plectide e del.

Vejamos, inicialmente, como definir um multivrtice figu-ra que poucos gemetras, consultados de momento por um aluno,saberiam traar.

Sobre uma folha de papel marque, por exemplo, seis pontosquaisquer. Tenha, porm, o cuidado de fazer com que no haja,na figura, trs pontos em linha reta.

Se voc unir os seis pontos dois a dois, por meio de segmentosde retas, e admiti-los prolongados, vai obter uma figura formadapor quinze rctas distintas. A essa figura o gemctra d a deno-minao de um multivrtice.6

Resolvido o caso do multivrtice, passemos ao estranho oxi-gnio.

Vamos abrir o Dicionrio do Prof. Vera na letra O. L estde forma bastante sinttica:

Oxignio Acutngulo.7

Assim, um banalssimo tringulo equiltero um oxignio.O chamado hexagrama Escudo de David formado pordois oxignios.

Passemos, agora, ao conceito de pitmene.

5. F. Vera, Kapelusz, Buenos Aires, 1960.6. F. Vera, op. cit., pg. 458.7. F, Vera, op. cit., pg. 496.

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A palavra de origem grega. Chama-se pitmene, de umnmero natural N, ao resto da diviso desse nmero por 9. oresultado que se obtm quando se aplica a um nmero a chamadaregra dos "nove fora".8 Assim o pitmene de 1.705 4; o pitmenede 88 7. O pitmene de 189 9. O grego no conhecia o zero.

O termo, como se v, difcil e extico dentro da sua formahelnica, erudita, mas a sua noo muito simples. Aparece atno curso primrio.

Plectide, ensina o Prof. Vera, era o nome que os gregosantigos davam superfcie que agora denominada helicide. Ohelicide conhecidssimo: aparece em todos os parafusos. Cadaparafuso , pois, para falar difcil, uma espcie de plectide.

E o del?Voc, que j estudou Matemtica, que conhece, com todas

as mincias, a Geometria e domina os prodigiosos segredos daTrigonometria, poder definir o del? Que um del?

Ora, o del (esclarece, mais uma vez, o Prof. Vera) aprimeira slaba da palavra delta, nome da quarta letra do alfa-beto grego.

Chama-se del ao acrscimo dado a uma funo. Assim,consideramos a funo

y = x2

que toma os valores

1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .

quando atribumos a x respectivamente os valores

1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Quando a funo passou de 25 para 36 teve um acrscimode 11. Esse acrscimo 11 o del da funo, quando x passa de5 para 6. O del de uma funo pode ser positivo, nulo, negativoe pode ser at infinito.

8. F. Vera, op. cit, pg. 516.

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O del, afinal, coisa muito sria para uma funo.Esclarecemos, assim, sob forma simples c elementar, certos

conceitos que pareciam complicados, obscuros e dificlimos.Algumas palavras, porm, inventadas pelos matemticos, pa-

recem tiradas de um vocabulrio sem p nem cabea. J disseVoltaire:

H algo de prodigioso na imaginao dos matemticos.

CURIOSIDADES

A origem do verbo decifrar

O vocbulo cifra, que vem do rabe sifr (o que significa vazio)tomou, na Frana, a forma chiffre, e em Portugal, a forma cifra. Anumerao rabe, logo que surgiu, no era compreendida por umagrande maioria da populao; as pessoas de limitada cultura viamnas cifras arbicas sinais cabalsticos, complicadssimos. Erapreciso interpretar as cifras, isto , decifrar aqueles smbolos es-tranhos. Foi assim que surgiu o verbo decifrar.Ainda no ano de 1529, o fisco florentino exigia que a Universida-de fixasse os preos dos livros no por meio de cifras (algarismosarbicos), mas por meio de letras claras (algarismos romanos) poiso fisco no dispunha de funcionrios capazes de interpretar as taiscifras (Cf. Rey Pastor e Manuel Pereyra, Aritmtica / vol., 1927,pg. 48).

A Matemtica e a durao da vida

Segundo Mareei Boll, gemetra francs, a durao da vida humanavai depender do progresso da Matemtica nos domnios das Cin-cias Biolgicas.Com o auxlio da Matemtica a vida de um homem, dentro de umfuturo bem prximo, ser, em mdia, de quatrocentos anos.Aguardemos, pois, com pacincia, as pesquisas dos matemticosdentro das Cincias Biolgicas, para que a Terra seja povoada dematuzalns quatrocentes.E todos bem felizes da vida, com muita sade e muita energia.

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2Os Mrtires da Matemtica

ASSIM COMO H OS MRTIRES DO DEVER, OSMRTIRES DA LIBERDADE E OS MRTIRES DA F, CLARO QUE DEVEM TER HAVIDO, TAMBM, NO ETERNOEVOLUIR DA CINCIA, OS MRTIRES DA MATEMTICA.QUANDO SURGIR UM NOVO E GENIAL CHATEAU-BRIAND QUE, DEPOIS DE PESQUISAR O PASSADO, SERESOLVA A ASSOMBRAR O MUNDO COM UMA NOVA EEMOCIONANTE HISTRIA DOS MRTIRES DO ALGE-BRISMO?

A Matemtica tambm j teve seus mrtires. E justo quesejam assinalados pela Histria aqueles que deram a vida pelaCincia dos Nmeros.

O escritor francs A. Rebire, em seu livro Mathmatiqueset Mathrnaticiens,1 refere-se a singular e curioso episdio.

Querendo, certa vez, o Tzar Ivan IV, apelidado "O Terrvel",divertir alguns nobres que o acompanhavam, props um proble-ma a George Petrakov, gemetra da Corte. Tratava-se de deter-minar quantos tijolos seriam necessrios construo de um edi-fcio regular, cujas dimenses eram indicadas. A resposta dePetrakov foi rpida e a construo, terminada pouco tempodepois, veio confirmar a exatido de seus clculos. O tirano,impressionado com esse fato, mandou queimar o matemtico,persuadido de que, assim procedendo, livrava o povo russo defeiticeiro perigoso.

1. Paris, 1926, pg. 260.

No menos interessante o caso que o algebrista francs F.J. Duarte cita, com destaque, no prefcio de um de seus livros,Nouvelles Tables Logarithmiques.2

Em 1746, o matemtico espanhol Rodrigo Mendoza, ao reveruma tbua nutica de sua autoria, verificou que havia nela umerro. Em meio de uma imensa tabela, que continha milhares devalores, um dos elementos dados, que seria precisamente 0,7134,havia sido substitudo por outro nmero (por exemplo) 0,7164,um pouco diferente do verdadeiro na sua parte decimal.

O engano numrico em si parecia no ter importncia al-guma. Aquela diferena mnima, na casa dos milsimos, nodeveria exigir nem mesmo a intercalao de simples errata. Men-doza, porm, ficou seriamente preocupado com o equvoco, quepoderia ser atribudo falta de percia de sua parte. Ao usar atabela, um piloto, por triste fatalidade, poderia ser levado a em-pregar o nmero errado como se fosse certo, e dessa troca devalores adviria, com certeza, um desastre, uma fragata encalhada,um naufrgio com centenas de mortos.. .

Preocupado ao extremo com as possveis consequncias de-sastrosas ou com as provveis calamidades decorrentes do erro, oinfeliz calculista praticou o ato extremo de desespero: enforcou-se!

O gemetra russo sacrificado pela ignorncia perversa de Ivan,o Terrvel, e o calculista espanhol, levado ao suicdio, foramdois mrtires da preocupao de rigor que orienta o esprito ma-temtico.

A leitura meditada de certas pginas da Histria traz aonosso esprito a certeza de que, alm do espanhol Mendoza e dorusso Petrakov, houve vrias outras figuras que poderamos apon-tar como verdadeiros mrtires da Matemtica.

Citemos, por exemplo, o caso de Pitgoras (sculo VI a .C) ,que foi massacrado, juntamente com sua esposa Teano e trinta eoito discpulos, pelos partidrios de Cilo, inimigo rancoroso dosgcmetras.

Ao lado de Pitgoras colocaramos a dedicada Hipatia(375-415), filha do matemtico Thon de Alexandria, que conse-guiu captar dezenas de discpulos que dela se aproximaram,atrados pela sua eloquncia, pela sua beleza e pelas suas virtudes.

2. Paris, 1928, Gauthier-Vilars.

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Os cristos intolerantes no viam a jovem com simpatia, poisHipatia era pag, embora na sua escola se formasse, entre outros,o futuro bispo de Ptolemais, Sinsio de Cirene, Essa formosamulher, dotada de excepcional tatento para as abstraes daGeometria, que comentou as obras de Apolnio e Diofante, teveum fim trgico: foi linchada pela populao exaltada, durante ummotim ocorrido nas ruas de Alexandria.

No devemos esquecer o estranho Lus Llio, mdico, mate-mtico c astrnomo calabrs, do sculo XVI, que na realidade sechamava Aloigi Giglio, latinizado para Alousius Lilius. A convitedo Papa Gregrio XIII, participou do concurso que reuniu todosos astrnomos cristos para retificar o Calendrio Juliano. LusLlio estudou sse problema, de alto relevo para a Humanidade, eapresentou um plano completo para a medida do tempo ao longodos sculos. Mas Lus Llio ficou tomado de grave preocupaomoral: "E se os seus clculos no estivessem certos? Teriahavido, de sua parte, algum erro no valor aproximado do anotrpico?" Torturado pela angstia da incerteza, sentindo a imen-sa responsabilidade que pesava sobre seus ombros, Lus Lliopraticou um ato de desespero: suicidou-se. Sua obra, apresenta-da ao Papa e aos cardeais por seu irmo Antnio, foi aprovadapelo Papa Gregrio XIII em sua clebre bula de 1582 queestabeleceu o novo calendrio no mundo cristo. Lus Llioinscreveu-sc, assim, entre os mrtires da Matemtica. E hsobre sse drama pungente do "matemtico angustiado" umaparticularidade impressionante. O primeiro erro, no previsto,para o clculo de Lus Llio, ocorrer precisamente no ano 3320.Nesse ano os astrnomos devero retificar a obra do genial cala-brs. O ms de fevereiro do ano 3320 dever ter, apenas, vintec sete dias. O outro erro ser assinalado no ano 6640. Em ambosos casos, o dia "descontado" resultar de uma falta de clculoto insignificante, que de modo algum justificaria o suicdio.

Outro mrtir famoso da Matemtica foi Arquimedes, ogrande gemetra da Antiguidade.

Quando as tropas romanas, sob o comando de Marcelo,investiram contra Siracusa, Arquimedes achava-se num canto dapraa de Juno, preocupado com o estudo e resoluo de um pro-blema.

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Inteiramente absorvido com seus clculos e raciocnios, en-levado pelas abstraes de suas pesquisas, no percebeu que osassaltantes inimigos j haviam tomado a cidade, cujas ruas erampercorridas por grupos exaltados e violentos de soldados romanos,muitos dos quais se entregavam ao saque e pilhagem.

Conta-se que, em dado momento, um soldado romano apro-ximou-se do gemetra e intimou-o a ir, no mesmo instante, presena de Marcelo.

Rccusou-sc Arquimedes a atender quela intimao, e re-plicou que s iria presena do general depois de ter encontradoa soluo do problema que, naquele momento, prendia a suaateno. Enfurecido com a recusa, o soldado sacou da espada ematou o gemetra no mesmo instante.

H, ainda, outra verso para a morte de Arquimedes:Trs ou quatro romanos percorriam, por ordem superior, as

ruas de Siracusa, em busca de mercenrios foragidos. Esses sol-dados avistaram Arquimedes e, curiosos, aproximaram-se dele.Estranharam a atitude do gemetra: como poderia aquele siracusa-no, sob o crepitar da guerra, alheio a tudo, distrair-se em rabiscarfiguras na areia?

Este velho deve ser um feiticeiro palpitou um dossoldados. Que estar tramando contra Roma? Vamos acabarcom suas artimanhas.

E dizendo isso comeou a pisotear a figura que Arquime-des esboara. O gemetra protestou:

Que ests fazendo, romano? No apagues a figura.Deixa-me cm paz!

O zelo que o sbio revelou pelo desenho irritou os soldadosque o assassinaram no mesmo instante.

Uma terceira verso para o fim trgico do gemetra siracusa-no pode ser lida no historiador Plutarco cm Vida de Marcelo:

Dirigia-se Arquimedes para o palcio em que se alojara Mar-celo c levava, numa caixa, certos instrumentos matemticos (com-passos, pequenas esferas, transferidores, modelos de tringulos e t c ) .

Que pretendia o sbio, com aquele pequeno laboratrio deGeometria? Afirmam alguns que le pretendia mostrar a Mar-celo como seria possvel medir o dimetro do Sol ou calcular adistncia TerraSol.

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Alguns soldados desconfiaram: "Qual seria o contedo detal caixa? Ouro, com certeza." E Arquimedes foi assaltado cmorto por eles.

O certo conta-nos Plutarco que a morte do gemetracausou profundo desgosto a Marcelo. Mandou procurar os pa-rentes de Arquimedes c honrou-os com assinalados favores.

Ansio Mnlio Torquato Severino Bocio, filsofo e poeta,que viveu em Roma na primeira metade do sculo VI, poderia serincludo entre os mrtires da Cincia.

So notveis os seus trabalhos sobre Aritmtica, Msica,Geometria e Astronomia. dele a denominao de quadrivio,dada s quatro partes em que os antigos dividiam a Matemtica.

Eis os nove algarismos de Bocio. Alguns foram totalmentemodificados pelos calculistas.

Esse famoso comentador de Plato tinha a preocupao deinventar formas especiais para os diversos algarismos. O cinco, porexemplo, na obra de Bocio, era representado por uma pequenahaste vertical acrescida de uma curva com a abertura voltada paraa esquerda.

Os calculistas repeliram essas fantasias c preferiram, para osalgarismos, formas mais simples e mais prticas, as formas indo-arbicas. Devemos acrescentar que foi graas s obras de Bocioque a Europa Medieval pde estudar c aprender Geometria eAritmtica.

Bocio, que teve a glria de ser citado por Dante na DivinaComdia, foi condenado morte pelo Rei Teodorico e executadocomo traidor. Morreu sob tortura: uma corda foi enrolada em suacabea e, a seguir, o carrasco apertou essa corda at causar amorte do condenado. O suplcio ocorreu no batistrio da Igrejade Ticnio.

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Nem mesmo sbrc sua sepultura puderam figurar os estranhosalgarismos que le havia tentado impingir aos matemticos.

Como se poderia explicar sua condenao?

Bocio era homem ntegro e bondoso. Ao ser eleito cn-sul, moveu tremenda campanha contra os funcionrios pblicosdesonestos e corruptos, que roubavam camponeses e saqueavam ospequenos proprietrios, criando, assim, centenas de inimigos impie-dosos e todos de certo prestgio na Corte. Logo que houve opor-tunidade, os nobres odientos inventaram uma srie de intrigascontra o insigne matemtico e este foi, pelo prprio Rei Teodorico,condenado morte.

Tinha o genial neoplatnico cinquenta e um anos de idade.

CURIOSIDADE

Um mrtir da Matemtica na China

Escreveu o Prof. Carlos Galante, de So Paulo em seu livro Mate-mtica, 1. srie:

O baco, tambm denominado "quadrado calculador", foidurante milhares de anos o nico instrumento que a huma-nidade possua para as operaes de calcular. Segundo a lendao baco foi inventado ao redor do ano 2000 a.C, por ummandarim chins com o intuito nobre de facilitar ao povoa facilidade de fazer as contas e assim conhecer o valor dasmercadorias que era obrigado a entregar como impostos.Sua generosidade custou-lhe a vida, pois ao Imperador in-teressava manter o povo na mais completa ignorncia. O usodo baco, entretanto, foi-se expandindo aos poucos entre ospovos vizinhos da China.

Esse mandarim, degolado por ordem de um tirano, vinte sculosantes de Cristo, foi um dos primeiros mrtires da Matemtica.

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O Papa que Foi EsquartejadoO PAPA SILVESTRE II APONTADO COMO UMA

DAS FIGURAS MAIS CURIOSAS DA HISTRIA DA IGREJA.NASCIDO NA FRANA POR VOLTA DO ANO 9 3 0 , TEVEA GLRIA DE SER O PRIMEIRO A PUBLICAR, EM LIVRO,OS ALGARISMOS DO SISTEMA INDO-ARB1CO E INDICARAS QUATRO PRIMEIRAS OPERAES COM ESSES ALGA-RISMOS. O FIM DO PAPA GEMETRA FOI TRGICO.

Na memorvel dinastia espiritual, duas vezes milenria dossumos-pontfices, devemos destacar, de modo especial, a figura deSilvestre II, que foi matemtico e, por todos os ttulos, o homemmais sbio do seu tempo. Os historiadores apontam Silvestre IIcomo pioneiro da divulgao, no Ocidente Latino, do sistema denumerao indo-arbica.

No longo desfilar dos sculos, Silvestre II foi o nico Papagemetra.

O seu nome era Gerbert, e a Frana a sua ptria. Estudou aprincpio em Aurillac, sua terra natal, e mais tarde, na Espanha,onde assimilou grande parte da cincia rabe.

Ao traar a biografia de Gerbert, escreveu o Padre LeonelFranca, S. J.:

Foi professor na Corte de Oton II, da Alemanha, e depoisem Reims e, finalmente, em Paris. A celebridade europia,que lhe aureolava o nome, apontava-o como o homem maissbio do seu tempo. Em 982 foi escolhido como Abade de

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3

Bobbio, na Itlia; em 991 foi elevado a Arcebispo de Reimse, mais tarde, em 998, tornou-se Arcebispo de Ravena; em999 subiu ao trono de So Pedro, com o nome de Silvestre II.As suas cartas, publicadas por J. Havei, mostram-nos comole se ocupava com a Matemtica, especialmente com aAritmtica, e com a Geometria. Nesse tempo a sua maiorbenemerncia a de haver introduzido, ou pelo menosvulgarizado no Ocidente Latino, o emprego da numeraoindo-arbica, concorrendo, assim, para tornar o clculo muitomenos trabalhoso e menos complicado.

Acusado por seus inimigos de ter vendido sua alma aodiabo, ficou Silvestre II, nas ltimas semanas de sua vida, sob odio e preveno dos fanticos.

Logo depois de sua morte, seu corpo foi arrastado para umptio, mutilado e, a seguir, esquartejado pelos cardeais.

estranho o fim trgico do nico Papa que sabia Aritmticac Geometria.

Silvestre II, o Papa gemetra, morreu no ano 1003 e deixouuma obra muito interessante intitulada Regula de Numerorum.

O trgico episdio do esquartejamento do corpo de SilvestreII est relatado cm A. F. Vasconcelos, no livro Histria daMatemtica na Antiguidade, pg. 622. Outra citao encontramoscm Olavo Bilac (Conferncias, pg. 142).

O historiador portugus A. F. Vasconcelos conta-nos comofoi acidentada, embora brilhante, a carreira do gcmetra quechegou a Papa:

No sculo X, Gerbert, de famlia muito pobre do Auverne,depois de fazer sua educao na escola abacial de Aurillac,passou Espanha, onde, recebendo o influxo das escolasrabes, aprofundou o estudo das Matemticas, adquirindogrande saber e conhecimento que o fizeram justamente admi-rado, particularmente na construo de bacos e de globosterrestres e celestes, dos quais fazia uso nas suas lies.Mecnico distinto, alm disso, parece que imaginou um certorelgio, conservado durante muito tempo em Magdeburgo, eum rgo hidrulico, que, segundo o historiador Guilhermede Malmesburry, existia na Igreja de Reims, ainda no seutempo (1250). A sua reputao e fama de um to grande

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saber levaram os contemporneos idia de estar Gerbertvendido ao diabo, o que no obstou, apesar das intrigas edas odiosas acusaes de muitos, que Mestre to notvelfosse protegido de Hugo Capelo, que lhe confiou a educaode seu filho Roberto, depois rei de Frana. Sob o amparo deOto III e do Papa, foi Gerbert sucessivamente nomeadoAbade de Bobbio (982), Arcebispo de Reims (991), Arcebis-po de Ravena (998) e mais tarde, eleito Papa, tomou o nomede Silvestre II (999-1003).

Com vida to acidentada, mas to brilhante, Gerbert con-seguiu formar uma importante biblioteca com as cpias degrande nmero de obras clssicas latinas, e le prpriocomps muitas obras cientficas em que se compreendem: umtratado sobre baco Regula de baco computi com oaperfeioamento resultante do emprego de caracteres dife-rentes ou pices, para cada um dos nmeros de 1 a 9, quepermitiam apresentar os nmeros da mesma maneira que comas cifras Gobar (mas sem o smbolo para zero) que os rabesadotaram, derivando-as das cifras Devaganari, da ndia.Deixou, ainda, um escrito aritmtico De numerorum divi-sione e uma Geometria com aplicaes Agrimensura e determinao da altura dos objetos inacessveis.1

CURIOSIDADES

Os crculos perpendicularesDois crculos podem ser per-pendiculares?Sim, dois crculos que se cortampodem ser ortogonais. necessrio e suficiente que astangentes T e T' a esses crculossejam perpendiculares.O ngulo u (indicado na figura) o ngulo dos dois crculos.Como vemos, na figura, o n-gulo u reto.

1. Cf. A. Vasconcelos, Histria das Matemticas na Antiguidade,Lisboa, 1910, pgs. 622 e seguintes.

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* * *

O Selo de Maom

Essa figura , por muitos autores, denomi-nada Selo de Maom. Segundo a lendaMaom, nos momentos mais solenes da suavida, tirava de sua cimitarra e traava naareia, sem levantar a ponta da cimitarraesses dois crescentes entrelaados.A figura do Selo de Maom estudada nocaptulo das curiosidades geomtricas deno-minado: Problema do traado contnuo.

H um duplo erro nessa denominao dada a essa figura:1.) O crescente no rabe; otomano, turco. Foi

criado por Maom II quando em 1453 conquistouConstantinopla.Maom, o Profeta dos rabes, nunca usou cimitarra.Era um homem extremamente pacfico e bom.

2)

A Astride

Curva unicursal famosa quefoi estudada pelo gemetrasuo Jacques Bernoulli (1667-1748).A astride uma curva alg-brica do 6. grau que pode serdefinida por uma equao car-tesiana. E derivada do crculo.

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Como Surgiram o + e o - ?* INTERESSANTE INVESTIGAR, AO LONGO DA

HISTRIA, A ORIGEM DOS SINAIS DE OPERAO USADOSEM MATEMTICA. COMO APARECEU O SINAL +(MAIS)? QUAL FOI O CALCULISTA QUE INVENTOU OSINAL (MENOS)? AO ESTUDARMOS A EVOLUODAS NOTAES ALGBRICAS ESBARRAMOS COM LEN-DAS QUE NO DEIXAM DE SER ORIGINAIS E CERTA-MENTE BEM MOTIVADORAS.

Qual a origem do sinal + (mais, da adio) e do sinal -(menos, da subtrao)?

Como surgiram essas notaes matemticas to prticas eto simples?

H uma lenda, muitas vezes citada, que explica, de formabem curiosa, a origem desses sinais to correntes nos clculos enas frmulas.

Vamos apresentar a lenda na sua verso mais resumida:"Havia, j l se vo muitos anos, numa cidade da Alemanha,

um homem que negociava em vinhos. Recebia esse homem, dia-riamente, vrios tonis de vinho. Os tonis que chegavam do fa-bricante eram cuidadosamente pesados. Se o tonel continha maisvinho do que devia, o homem marcava-o com um sinal em formade cruz: ( + ) . Esse sinal indicava mais, isto , mais vinho, umexcesso. Se ao tonel parecia faltar uma certa poro de vinho, ohomem assinalava-o com um pequeno trao (). Tal sinal indi-cava menos, isto , menos vinho, uma falta. Desses sinais, usados

Cf. Revista Escola Secundria, n. 2.

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outrora pelo marcador de vinho (diz a lenda), surgiram os smbo-los + e - empregados hoje no mundo inteiro, pelos matemticose calculistas.1

No aceitam alguns autores essa fantasiosa histria do merca-dor de vinho e vo pesquisar, nos antigos manuscritos e nos velhoscompndios de Matemtica, origem mais racional para os sinais+ (mais) e (menos).

Vejamos, inicialmente, uma explicao que endossada porhistoriadores de renome e de alto prestgio nos largos domniosda Matemtica.

1. Cf. Ball, R., IV, 159. Escreve esse historiador: "Os smbolos +e eram sinais comerciais que indicavam excesso ou deficincia depeso." E F. A. Vasconcelos, historiador portugus, acrescenta: "Essessinais foram aceitos, primitivamente, como abreviaturas e no comosmbolos de operao" (Cf. Vasconcelos, H, 71). Hooper afirma:"Os sinais + (mais) e (menos) foram empregados, a princpio,pelos negociantes e depois aproveitados pelos matemticos" (Cf.Hooper, The River Mathematics, Londres, 1951).

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No Papiro Rhind, o documento matemtico mais antigo(data do ano 2200 a.C.) a adio , cm geral, indicada pelapalavra t'emet colocada entre as parcelas. T'emet, asseguram ossbios egiptlogos, um verbo e significa totalizar. Em algunscasos o fabuloso Ahms, autor do Papiro, emprega o verbo uah,cuja traduo seria ajuntar.

Assim a soma

9 + 1

o egpcio escrevia, vinte sculos antes de Cristo, sob a forma:

nove ajunta um

No caso da subtrao j o calculista faranico colocava apalavra chent (tirar, descontar) entre o minuendo e o subtraendo.

No clculo corrente, porm, as palavras uah e chent eramabolidas. Para indicar as duas operaes (adio e subtrao)usavam os calculistas egpcios um sinal muito interessante: eramduas patas de avestruz.

Quando as patas estavam voltadas para o sentido da escritaindicavam adio, quando estavam no sentido contrrio indicavamsubtrao.

Entre os hindus como podemos observar na obra deBaskara (sculo XI) , a subtrao era indicada por um simplesponto colocado entre dois nmeros.

Para indicar a adio (e isso a partir do sculo XIII) , escre-via-se entre as parcelas a palavra latina plus. A soma 7 + 5, porexemplo, seria escrita:

7 plus 5

O uso frequente do plus levou os calculistas a abreviar talnotao: em vez de plus, colocavam a letra inicial p encimada porpequeno trao meio recurvo. A soma 7 plus 5 passou a ser ex-pressa do seguinte modo:

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Nos manuscritos, a letra p , com o trao, em consequncia dotraado rpido e descuidado, dos escribas, tomava, em geral, aforma de uma cruz mal traada. Com o passar dos anos o sinaltomou a forma de uma cruz e, com essa forma, ingressou, emcarter permanente, nos ricos e prodigiosos setores das notaesmatemticas.

Explicao anloga foi tentada para a origem do sinal (menos).

No alvorecer do sculo XIII era a subtrao, nos escritosmatemticos, indicada pela palavra latina minus (menos). Exa-tamente como aconteceu com o plus, o minus passou a ser indi-cado, abreviadamente, pela letra m acrescida de uma espcie detil. Em alguns autores tomou a forma mus. A escrita apressadae descuidada dos escribas fz com que a letra m fossc omitida ea subtrao passou a ser indicada apenas pelo trao ou rabiscohorizontal que acompanhava o m.

Na Antiguidade, no empregavam os matemticos sinaisprprios para as operaes. Bastava escrever um nmero ao lado(ou junto) de outro para exprimir a soma desses dois nmeros.Entre os chineses, a soma (ou subtrao) era indicada de acordocom a posio dos nmeros.

Os rabes limitavam-se (no caso da soma) a escrever asparcelas uma em seguida outra; para a subtrao, porm,adotavam um sinal (uma abreviatura) expresso por duas letrasdo alfabeto rabe.

Os gregos no dispunham de sinais para a adio nem parasubtrao. O sinal de igual tambm no existia. A mesma coisaacontecia com os romanos. Mas os matemticos hindus, no sculoVIII, adotavam o sinal de uma pequena cruz depois do nmeropara indicar que esse nmero devia ser subtrado do nmero queo precedia.

Os egpcios representavam a adio e a subtrao por meiode diversos sinais. Em geral, nos hierglifos, apareciam duas pe-quenas pernas de avestruz entre os sinais numricos. Quando osps estavam voltados na direo da escrita representavam mais;

' quando voltados na direo oposta representavam menos.Diofante, matemtico grego do sculo III, indicava a subtra-

o por meio de uma flecha voltada para cima, ou por um pequenotrao vertical encimado por um arco com a curvatura voltada parabaixo. Parecia a letra grega psi (maiscula) invertida: ty.

O primeiro autor a empregar uma notao especial (noliteral) para indicar a adio, c o trao horizontal para a subtra-o, foi o matemtico alemo Johann Widman, em 1489.

Na obra renovadora de Widman, a adio era indicada porum trao horizontal longo (bastante longo em relao ao tama-nho mdio dos algarismos), cortado ao meio, por pequeninotrao vertical. Assim, a adio dos nmeros 7 c 5 era, pelo ima-ginoso Widman, indicada do seguinte modo:

A subtrao dentro desse simbolismo exigia apenas o traohorizontal. O trao ainda era longo. E Widman, para escrever15 menos 8, recorria a esta curiosa notao:

possvel que Widman tenha colhido a idia dos sinais +e - ao observar as contas dos homens que trabalhavam nocomrcio.

Acharam os matemticos que as notaes de Widman eramsimples e prticas, e passaram a empreg-las. Decorridos trintaanos, o austraco Heinrich Schrciber ainda adotava, sem a menoralterao (trao longo), as mesmas sugestes de Widman. E nosculo XVI, os sinais + (mais) e (menos) ainda eram usados(no comrcio) para indicar, respectivamente, excesso ou dife-rena.

A forma alongada do trao horizontal (como encontramosnos matemticos dos sculos XV e XVI) vem provar que o sinal+ (mais) no se derivou da letra p deformada pela escrita, comopretendem alguns autores. O sinal + (mais) resultou de umaligeira simplificao do smbolo adotado pelo alemo Widman.

No livro In Aritmtica een Sonderlinge Excellet Boeck, pu-blicado em 1537, pelo alemo Gielis von der Hoeck, j as duasoperaes elementares (adio c subtrao) aparecem indicadaspor sinais que muito se aproximam dos que so usados atualmen-te. Para a subtrao, continuava o trao horizontal, no muitolongo; para a adio, uma cruz do tamanho dos algarismos comque eram representados os nmeros.

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baixo. Parecia a letra grega psi (maiscula) invertida:

Mas a rotina permaneceu durante mais de um sculo eresistiu ao esforo dos renovadores. Em 1556, o clebre matemetico italiano Nicolau Tartaglia ainda indicava a subtrao pelaLetra m coroada por um pequeno til. Rafael Bombeli, tambmitaliano, em 1579, insistia cm indicar a adio com a letra p(inicial do italiano pi, mais) c a subtrao com a letra m (inicialdo italiano meno, menos).

O alemo Cristovam Clavius, cm 1608, esbravejando contraos incrveis rotineiros, escrevia:

Muitos autores colocam a letra P em lugar do sm-bolo + . . .

Esses protestos caam como folhas mortas. Nada valiam.Cem anos depois de Widman, ainda aparecia, cm muitas obrasmatemticas, a letra p (com um trao) para indicar a adio.Ainda cm 1577, o francs Guillaumc Grosselin ensinava (para adiviso de nmeros relativos) a regra dos sinais por meio doseguinte quadro:

P in P diviso quotas est PM in M quotos est PM in P diviso quotus est MP in M diviso quotus est M

O que significa:

+ dividido por + d + dividido por d + dividido por + d + dividido por d

Widman, em seus escritos, vulgarizou o sinal + (mais) paraindicar adio. Descartes, em 1637, aceitou o sinal + (mais)e adotou a notao na forma de Harriot. Para indicar, porm, asubtrao, o criador da Geometria Analtica preferiu o traolongo, ou dois pequenos traos (?), como podemos observar emseus escritos. E assim, para exprimir a diferena entre a quartaparte do quadrado de a e o quadrado de b, Descartes escrevia:

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Em sua surpreendente lgebra, publicada cm 1635, ofrancs Jannes Hutne achava interessante e prtico indicar asoma de duas parcelas (15 c 3, por exemplo) pela seguinte no-lao:

E o sinal de multiplicao? Como teria surgido?Os matemticos da Idade Mdia separavam os fatres de umproduto por um ponto. O produto de 15 por 20 seria

XV. XXOs gregos, entre os dois fatres, colocavam a preposio

epi (sbrc)e assim o produto de 42 por 30 seria indicado pela notao

O trao horizontal (como vemos) no era cortado ao meio,mas sim direita no ponto de ouro (aproximadamente). O sinalde adio era uma cruz com uma haste muito longa e outramuito curta. Essa forma, para o sinal + (mais), foi usada du-rante mais de um sculo.

E assim, como acabamos de ver, depois de muitos ensaios,o uso consagrou as formas + e para indicar, respectivamente,a adio e a subtrao.

CURIOSIDADE

Como surgiram o

O matemtico francs Franois Vite (1540-1603), apontado comofundador da lgebra, ainda indicava o produto de a por b pelanotao

a in bEm sua obra La Disme, nu qual j aparecem nmeros decimais,o flamengo Simon Stevin (1548-1620) no conhecia o sinal X

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e usava a letra M, maiscula, como sinal de operao multiplica-tiva.Assim, o produto de A por B seria para Stevin:

A M B

O sinal banalssimo, que hoje usamos, X, segundo os mais emi-nentes historiadores, joi inventado pelo gemetra ingls GuilhermeOughtred (1572-1660), que joi, alis, contemporneo de Stevin ede Vite. O sinal X aparece na obra de Oughtred, obra, alis,escrita em latim, e intitulada Arithmeticae in Numeris et Specie-bus Instituitio. .. publicada em 1631. A chamada Cruz de SantoAndr, para indicar a multiplicao, joi aceita, com certo jbilo,por todos os matemticos. Oughtred era religioso e, certamente,devoto de Santo Andr. No conhecia Oughtred o uso dos pa-rnteses. O produto

Q (A-E)era, por Oughtred, indicado pela notao

Q: A - EO sinal de diviso, no rolar dos sculos, tomou vrias formas nasobras matemticas.Os caldeus indicavam a diviso por meio de ideograma com-plicadssimo. A diviso de dois nmeros inteiros era, na Antigui-dade, uma operao dificlima que s os mais exmios calculistaseram capazes de ejetuar.Os gregos no usavam sinal algum para a diviso. Diofanteescrevia o dividendo a seguir a palavra morin e depois o divisor.Na ndia, a diviso era indicada pela notao bh que era abre-viatura de bhga (repartir). O rabe al-Hassar colocava o divi-dendo sobre o divisor. Em 1554 a diviso do nmero M pelasoma A + B era indicada pela notao:

M (A + B)Foram tambm empregadas, como sinal de diviso, a letra D in-vertida e a letra p (minscula) deitada.O smbolo que hoje usamos + foi sugerido pelo famoso filsojo ematemtico ingls Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).O trao de diviso de origem rabe.

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5Numerao Pr-Colombiana

SINGULARSSIMOS ERAM OS ARTIFCIOS QUE OHOMEM PRIMITIVO EMPREGAVA PARA DAR NOMESAOS NMEROS. VEJAMOS UM CASO NO QUAL A NU-MERAO FALADA ERA REGIDA POR MEIO DE REGRASCONFUSAS E COMPLICADAS. E, PARA O POVO QUEADOTAVA ESSE SISTEMA, A NUMERAO ESCRITA ERAALTAMENTE ENGENHOSA.

O estudo das diversas numeraes usadas pelos habitantes daAmrica, no perodo pr-colombiano, fornece dados interessants-simos que muito podero contribuir para justificar as diversashipteses sobre a origem do conceito de nmero.

Os primitivos habitantes do Mxico, que viviam no planaltode Analutac, usavam um sistema de numerao cuja base era onmero vinte. Contavam de um at dezenove; com dezenove emais um obtinham uma VINTENA; e a contagem a partir devinte era feita pelo sistema aditivo: vinte e um, vinte e dois,vinte c trs, vinte e dezoito, vinte e dezenove, e dois vintes.

Para os nmeros de sucesso natural maiores do que quaerenta introduziam novas partculas e prolongavam a numeraoat 400. E vinham a seguir: dois quatrocentos, trs quatrocen-tos etc.

Os naluas construram uma numerao digital (numeraoescrita) com a qual representavam os nmeros at 10. O cinco,por exemplo, era representado pela mo aberta. Para representar10 pintavam dois quadrados; o vinte era uma bandeira; o 40, umfeixe de ervas; para o 80, um apanhado de dois feixes; para 400uma pena (com plumagem).

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Os nmeros intermedirios eram representados por meio deartifcios bem engenhosos, nos quais intervinham nada menos detrs operaes aritmticas fato que denunciava, para aquelepovo primitivo, um ndice bem aprecivel de cultura.

O nmero 72 era representado por trs bandeiras e dozepontos (3 X 20 + 12); o nmero trezentos era indicado pelastrs quartas partes de uma pena!

A numerao escrita, embora complicada, no deixava deser engenhosa. E era, tambm, decorativa (cheia de penas, feixes,quadrados e bandeiras).

E a numerao falada?Os nmeros dos naluas, na numerao falada, eram os se-

guintes:

ntima (e bastante indiscreta) com a impertinente pergunta:"Quantos anos voc completa hoje?", teria que responder para nofugir verdade:

Cempohualionmattactlionce!Tal a expresso de trinta e um na numerao "nalua", c

esse vocbulo hiperpoliisilbico traduzia apenas: vinte, mais dez,mais um. Esse nmero , realmente, to complicado, de pronnciato difcil, que melhor seria que a interrogada, fugindo verdadecronolgica, e saltando do 31 para 18, respondesse com um sor-riso modesto:

Caxtoliomei!Ou melhor: Dezoito, querida! bem mais simples e mais eufnico.Que bela idade para uma jovem: caxtoliomei!

CURIOSIDADES

Os mistrios do cinco

Teodoro da Siclia, escritor religioso, que viveu no sculo IV,afirmava que o nmero cinco devia representar o mundo porquecinco eram os elementos encontrados na formao do Universo:terra, gua, ar, fogo e ter.A relao entre esses elementos fundamentais e o nmero que ostotalizava j havia levado Plutarco (46-120) a concluir que ovocbulo grego penta (cinco) derivava-se de pent, que significavatudo.A deusa Juno, que presidia o matrimnio (segundo Pitgoras),mantinha sob valiosa proteo o nmero cinco. Exprimir essenmero, na sua concepo mais simples, a unio do nmero dois(feminino) com o nmero trs (masculino) era o nmero domatrimnio. O tringulo retngulo, cujos catetos medem respecti-vamente 3 e 4 unidades, tem a hipotenusa igual a cinco unidades.Esse tringulo, famoso na Histria da Matemtica, para os pita-gricos, era o tringulo nupcial.Os rabes muulmanos tambm emprestam ao nmero cinco umalto valor teolgico, pois, na religio muulmana, cinco so aspreces que o crente obrigado a proferir todos os dias.

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1 ce2 ome3 jei4 nalwl5 macuilid chiencace7 chinome8 chianchi9 chiconahui

10 matacti11 matlactlionce12 matlaclimone13 mataclomei14 matlacllionnahui

15 caxtoli16 caxtolionce17 caxtolimom18 caxtoliomei19 caxtonahui

20 cempohuali

25 cempohuali macuili

40 ompohuali

60 jeipohuali

80 naupohualiO vocbulo "macuili" (a grafia seria macuilli, com dois ll),

que corresponde ao nmero CINCO, significava mo; o vinte cempohuali exprimia uma conta, isto , um composto de quatropartes: duas mos e dois ps (20 dedos). O nmero 40 ompohuali seria traduzido pela expresso: duas contas com-pletas (2 X 20). Observe-se a mesma forma multiplicativa(3 X 20) para exprimir o 60, que deveria ser traduzido por trscontas completas.

O nmero 15 sendo caxtoli, o nmero dezoito (15 + 3) caxtolimei, dentro do sistema aditivo.

Uma senhora "nalua" que tivesse trinta e um anos de idade,ao ser interpelada no dia do seu aniversrio por uma amiga muito

Como definir a Matemtica

O nmero de definies tentadas para a Matemtica, por filsofose matemticos ilustres, sobe a mais de meia centena.Citemos, para distrair o leitor curioso, duas dessas definiesabsurdas mas curiosas e paradoxais. sempre interessante acom-panhar os analistas nesse burlequear pelos domnios da Lgica eda Fantasia.Dentro de um esprito acentuadamente transracionalista, podemossublinhar a definio formulada pelo francs G. Itelson, autor devrias memrias sobre a Lgica Matemtica. Escreveu o filsofoItelson:

A Matemtica a Cincia dos elementos ordenados.

Surge a dvida: Que elementos ordenados so esses? igualmente interessante, mas despida de qualquer sentido lgico,a definio tentada pelo analista J. G. Frasmann:

Matemtica a Cincia da livre associao e desassociao.

Essas duas definies (que no definem coisa alguma) podem serlidas no livro de Phillippe Chaslin Essais sur le Mcanisme Psy-chologique dos Operations de Ia Mathmatique Purc, Paris, 1926.No livro Le Raisonnment Mathmatique (Paris, 1945, pg. 124)de R. Daval e G. T. Guilbaud encontramos a seguinte e originals-sima conceituao da Matemtica:

Matemtica a arte de dar o mesmo nome a coisas diferentes.

Asseguram Daval e Guilbaud que essa definio foi formuladapelo clebre filsofo francs Henri Poincar.Essa pseudodefinio no passa, certamente, de uma blague dePoincar. No podemos tom-la a srio assegura OctacilioNovais, matemtico brasileiro, antigo professor da Escola Po-litcnica.Uma vez aceita a fantasia de Poincar, poderamos concluir:

Matemtica a arte de dar nomes diferentes mesma coisa.

Para muitos matemticos, inventar definies estranhas para aMatemtica um passatempo como outro qualquer.

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6Definies Euclidianas

A ANLISE DA OBRA DE EUCL1DES CONSTITUI UMDOS PONTOS ALTOS DO ESTUDO DA MATEMTICA.OFERECEMOS AOS LEITORES RPIDOS COMENTRIOS,SEM CARTER FILOSFICO, DAS VINTE E TRS DEFI-NIES EUCLIDIANAS. A FALTA DE UM ESTUDO DESTANATUREZA IRIA CONSTITUIR SENSVEL LACUNA NESTAANTOLOGIA.

As vinte e trs definies bsicas, iniciais, apresentadas porEuclides em seus Elementos, embora j expungidas dos livros di-dticos pelos autores modernos, oferecem inequvoco valor hist-rico e devem merecer a ateno de todos os professores eestudiosos da Matemtica.

Vamos transcrever as definies do famoso gemetra alexan-drino seguindo a traduo espanhola publicada e anotada pelo Dr.Juan David Garcia Bacca, acrescentando alguns comentrios quepossam elucidar o leitor.1

D. 1 Ponto aquilo que no tem partes.

Inicia Euclides apresentando, com a maiorsimplicidade, a definio de ponto. Trata-se de

1. Cf. Dr. Juan David Garcia Bacca, Elementos de Euclides, Mxico,1944, O livro do Dr. Bacca precedido dos Fundamentos da Geo-metria, por David Hilbert. O texto espanhol baseado no texto grego,segundo J. L. Heiberg e H. Menge. P, Barbarn, em seu livro LaGeomtrie Non-Euclidienne (Paris, 1928, 3.a ed., pg. 16), aponta asprincipais anlises feitas das definies euclidianas; Clebsch-Linde-mann. Mansion, Cayley, Klein, Poincar etc.

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uma definio negativa. Dentro das concepesmodernas, diramos: Ponto o espao sem dimen-ses; ou ainda espao com zero dimenses. Mo-dernamente o ponto figura entre os conceitos nodefinidos.

No livro Problemas Usuais do Desenho Linear e Geomtrico,do Prof. Teodoro Braga, publicado em 1930 vinte e doissculos depois de Euclides ainda se encontra esta definioabsurda: "Ponto o vestgio sem dimenso alguma."

D. 2 Linha o comprimento sem largura.

Essa definio euclidiana, a segunda dosElementos, ainda negativa. Na moderna axio-mtica inaceitvel. A linha (de um modo geral)poderia ser considerada como trajetria de umponto no plano ou no espao de trs dimenses.

As definies de ponto e linha, por seremnegativas, foram criticadas na Antigidade. Proclodefendeu-as assegurando que para os conceitosprimitivos as definies negativas so mais apro-priadas.

D. 3 Os extremos de uma linha so pontos.

De acordo com Proclo, apontado como o pri-0meiro comentarista de Euclides, a definio n. 3seria: "Os extremos de uma linha limitada sopontos."2 Empregava Euclides a palavra linha paradesignar:

2. Proclo Filsofo e matemtico grego (438-485), nasceu emConstantinopla e faleceu em Atenas. Sua obra mais famosa oComentrio do primeiro Livro de Euclides, com a qual contribuiuvaliosamente para a Histria da Matemtica. Sem o engenho deProclo a figura de Euclides no teria o menor relevo no passadoContra Proclo moveram os cristos atenienses impiedosa campanha,pois o sbio gemetra era pago e dirigia a Escola de Atenas, Homemsimples, culto e dotado de elevado esprito de tolerncia e bondade.O seu discpulo Marino via sempre, pairando sobre a cabea de Proclo,uma luz suave (Cf. Michel, P., 131).

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1o) linha ilimitada nos dois sentidos;2o) linha tendo uma origem, mas no tendo

extremidade;3o) linha tendo origem e tendo extremidade

(linha limitada).

Uma circunferncia (curva fechada) no teriaextremos no sentido euclidiano.

D. 4 Linha reta a que repousa igualmente sobre todosos seus pontos.

Essa definio tem sido retalhada de todasas maneiras, pela crtica dos tericos. Proclo foilevado a concluir que a definio euclidiana dereta exprimia apenas o seguinte: "A poro m deuma reta entre dois pontos A e B, dessa reta, igual distncia AB entre esses pontos."

O Padre Manoel de Campos, na sua singula-rssima obra didtica Elementos de GeometriaPlana e Slida (Lisboa, 1735), vai alm de Eu-clides e amontoa, sob a forma de definio, indi-caes sobre a reta. E escreve: 'Linha reta aque corre diretamente de um termo a outro, isto, sem torcer para nenhuma parte; ou, como dizArquimedes, a mais breve que se pode tirar entredois pontos; ou, como diz Plato, cujos pontosextremos fazem sombra ou escondem os interme-dirios."

E conclui: Tudo vem a ser o mesmo.

Sim, o Padre Campos tem razo. Tudo vem a ser o mesmo,mas com o sacrifcio integral do rigor e da preciso da linguagemmatemtica.

D. 5 Superfcie aquilo que s tem comprimento elargura.

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Esbarramos com outra definio negativa, e,por isso mesmo, visada pela crtica da Antiguidade.Defendeu-a Proclo insistindo em afirmar que asdefinies negativas so as mais indicadas paraesclarecer conceitos primitivos. O sbio comenta-dor recorda que Parmnides havia definido asprimeiras e ltimas coisas por meio de negaes.

Aristteles d outras definies (no menosdeficientes) dos entes primitivos mas admite (Deanima, III, 6, 430) que muitas vezes se tenha va-lido da forma negativa para definir um cego apontando-o como o ser privado de vista, e sente-se capaz de aceitar o ponto como o elementoprivado de partes. Beppo Levi cr que, tendo emvista as definies de nmero e unidade (quefiguram no Livro VIII) poder-se-ia interpretar aprimeira definio de outro modo: "Ponto aqui-lo do qual absurdo conceber partes."

D. 6 Os extremos da superfcie so linhas.

No texto original podemos ler: "Os extremosde uma superfcie so retas." H um equvocoqualquer do tradutor grego. O erro no de Eu-clides. claro que o extremo de uma superfciepode ser uma curva; sse extremo pode ser at umponto. (Caso de uma superfcie cnica limitadanum vrtice.)

D. 7 Superfcie plana aquela que repousa igualmentesobre as suas retas.

Exprime a definio euclidiana que o planocontm todas as retas que passam por dois de seuspontos. O plano, no sentido euclidiano, "repousa"nessas retas.

As definies de linha reta e de superfcieplana, segundo Euclides, so, na verdade, (afirmaBrunschvicg) enigmas ou maravilhas de profundi-

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dade. Com efeito, na opinio de Paul Tannery,essas definies resultaram da tcnica da arte deconstruir e no podem ter, por conseguinte, maisdo que alcance emprico.

D. 8 ngulo plano a inclinao de duas retas que,num plano, tocam-se uma na outra, e que nodescansam as duas sobre a mesma reta.

Seria melhor: "ngulo plano a inclinaorecproca de duas retas do plano que tm um pontocomum e no esto sobre a mesma linha reta."No se explica a preocupao euclidiana de aludirao ngulo plano. Como seria o ngulo no plano?Aceitaria Euclides o ngulo nulo? O ngulo nulo,como sabemos, definido por extenso de con-ceito. O mesmo acontece com o ngulo de meiavolta.

D. 9 Quando as linhas que formam o ngulo so retas,o ngulo chamado retilneo.

No aceitamos, em Geometria, como ngulo(ou no sentido de ngulo), o chamado ngulo cur-vilneo, to citado pelos professores de Desenho.O ngulo curvilneo no propriamente ngulo,mas sim uma figura (bem diversa do ngulo)denominada ngulo curvilneo. Para dois nguloscurvilneos no podemos estabelecer o conceitode igualdade e nem o conceito de soma.

Alguns autores, descurados em seus trabalhos,ainda consideram os ngulos curvilneos comongulos (no sentido euclidiano).

D. 10 Quando uma reta levantada sobre outra formangulos contguos (adjacentes) iguais (um aooutro) cada um desses ngulos reto, e a retalevantada se chama perpendicular em relaoquela sobre a qual est levantada.

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Estabelece Euclides, nessa definio bastan-te confusa, vrios conceitos: levantar uma reta,ngulos contguos, ngulos iguais, ngulo reto eperpendicularsmo. No se admitiria hoje esseamontoado de noes dentro de uma nica de-finio.

D. 11 ngulo obtuso o maior que o reto.

No esclarece Euclides como se deveriaapreciar a grandeza do ngulo. No comparangulos; no alude abertura de um ngulo. EmEuclides, como j assinalamos, no havia (emrelao linguagem) a menor preocupao derigor.

D. 12 Agudo o menor que o reto.

Aqui tambm se assinala a despreocupaode rigor do gemetra alexandrino.

D 13 Limite o extremo de uma coisa.

No se preocupava Euclides, como j disse-mos, com o rigor das definies. A definio 13, Identro da axiomtica de Hilbert, no teriasentido. Como poderia o gemetra alexandrinoapontar o extremo de uma esfera? Qual seriao extremo de uma elipse?

D. 14 Figura aquilo que compreendido por um li-mite ou por vrios.

Observa Heath que o genial alexandrinoexclua do conjunto das figuras a reta, o plano,o ngulo etc. Considera Euclides as figuras(tringulos, quadrilteros, crculos etc.) como

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elementos comparveis, isto , entre os quais possvel estabelecer-se a igualdade e soma.

A definio euclidiana de figura, dentro daaxiomtica moderna, no tem sentido.

D. 15 Crculo a figura plana limitada por uma slinha, que se chama periferia, respeito a qual asretas que sobre ela incidem, de um dos pontos,colocados no interior da figura, so iguais entresi.

Na Geometria de Euctides, publicada em1735 pelo Padre Manoel de Campos, a definiode crculo aparece bastante alterada: "Crculo uma superfcie plana compreendida por todasas partes por uma s linha, dentro da qual hum ponto A do qual todas as retas que se tiram extremidade so iguais. A dita extremidadese chama "Circunferncia" ou "Periferia".

Entre Euclides e o Padre Manoel de Cam-pos h um intervalo de mais de vinte sculos!

Do ponto de vista didtico, ser preferveldefinir primeiro a circunferncia (como lugargeomtrico) e, depois, tirar a definio de crculocomo a poro de plano limitada pela circun-ferncia.

O Padre Campos julgava simplificar o ensaio apresentandouma definio obscura e errada, pois fala em retas iguais.

D. 16 Tal ponto se chama centro.

O centro do crculo, por sua importncia,mereceu de Euclides um destaque especial.

D. 17 Dimetro do crculo uma reta qualquer quepassa pelo centro e cujas partes tenham seus ex-tremos sobre a periferia do crculo. Ta! retadivide o crculo ao meio.

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A definio superabundante. Euclides des-conhecia as palavras raio e circunferncia (emsuas definies). O raio seria o semidimetro.

D. 18 Semicrculo a figura compreendida entre odimetro e a periferia recortada pelo dimetro.Centro do semicrculo o mesmo que do crculo.

O semicrculo preocupava os gemetrasgregos, pois aparecia nas chamadas lnulas deHipcrates.

D. 19 So figuras retilneas as limitadas por linhasretas, Trilteras, as compreendidas por trs; qua-drilteros, as por quatro; multilteras, as limita-das por mais de quatro.

No citado livro do Padre Manoel de Campos(1735) j aparece a palavra polgono para desig-nar uma figura de mais de quatro lados. Nessetempo as figuras retilneas eram: os tringulos,os quadrilteros e os polgonos.

Diz Euclides que as figuras retilneas (po-lgonos) eram limitadas por linhas retas, quando,na verdade, so limitadas por segmentos de retas.O erro do gemetra perdovel, pois ainda em1924 (sculo XX) podemos ler na GeometriaElementar de F. T. D.: "Polgono uma figuraplana limitada por retas."3 Essa heresia geom-trica foi formulada, vinte e um sculos depois damorte de Euclides, por uma reunio de profe-sores!

D. 20 Entre as figuras trilteras tringulo equiltero oque tem os trs lados iguais; issceles, o que temsomente dois lados iguais; escaleno, o que tem ostrs lados desiguais.

3. Cf. Geometria Elementar de F. T. D., por uma reunio de pro-fessores, Rio, 1924, pg. 17.

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J nessa parte aparece a classificao dostringulos em relao aos lados. Toda essa parteda obra de Euclides sofre um impacto violentocom o advento da Geometria Projetiva.

D. 21 E ainda: Entre as figuras trilteras, tringuloretngulo o que tenha um ngulo reto; obtusn-gulo, o que tenha um ngulo obtuso; acutngulo,o que tenha os trs ngulos agudos.

Dessa definio decorre a classificao dostringulos em relao aos ngulos. Seria melhor,em relao ao tringulo acutngulo, dizer: acu-tngulo o que s tem ngulos agudos.

Ou ainda: acutngulo aquele cujos ngu-los so agudos,

indispensvel acrescentar os trs pois j sabemos que esses ngulos so cm nme-ro de trs.

D. 22 Entre as figuras quadrilteros, o quadrado afigura equiltera e eqiangular; o altertero equianguar, mas no equiltero, mas no retan-gular; o rombide a que tem os lados e osngulos opostos iguais, sem ser equiltero nemequit angular. As demais figuras quadrilteros sochamadas trapzios.

Essa classificao, atualmente inaceitvel, foiadotada durante muitos sculos (at o sculoXIX). A denominao rombo (em grego) desig-nava uma espcie de pio que servia de brinque-do para os meninos. Esse pio era formado pordois cones iguais justapostos pela base. Operfil desse pio lembrava o losango. Rhomboseria, afinal, o movimento rpido de um corpoque gira.

Alguns autores vo buscar num peixe car-talagneo, bastante conhecido, a origem do rom-

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3. Cf. Geometria Elementar de F. T. D., por uma reunio de pro-fessres, Rio, 1924, pg. 17.

48

bo. Ensina o Prof. FernandoMatemtica Elementar;

Tinoco em sua

"Quando os lados de um paralelogramo soiguais, esse quadriltero toma o nome de losangoou rombo (palavra latina que significa arraiapor causa da forma desse peixe)."

A palavra rombo, que designava o losango,tornou-se obsoleta. Na linguagem corrente nin-gum mais a emprega para designar o paralelo-gramo que aparece, com tanto realce, na nossaBandeira. Em seu Dicionrio da Matemtica, ogcmctra espanhol Francisco Vera define rombocomo o quadriltero equiltero. Nesse quadri-ltero o ponto de encontro das diagonais umcentro de simetria do polgono.

D. 23 Duas relas paralelas so as que, estando no mesmoplano e prolongadas ao infinito nos dois sentidos,por nenhuma parte coincidem.

As definies euclidianas resistem aos sculose permanecem inabalveis diante do evoluir dopensamento cientfico. Anotemos a definio deparalelas que figura em um livro publicado em1957, em So Paulo: "Linhas paralelas so asque, traadas no mesmo plano c seguindo a mesmadireo, nunca se encontram, por mais que sejamprolongadas."1

A Geometria euclidiana no admite o conceito de ponto doInfinito, ou melhor, ponto imprprio de uma reta. O espao eu-clidiano no tem pontos no Infinito.

A Geometria de Desargues ampliou o espao e definiu parauma reta qualquer o ponto do infinito dessa rcta.

7O Nmero Quatro na Mstica Orientale o Nmero Trs Entre os Romanos

POR ESTAR RELACIONADO COM OS QUATRO PONTOSCARDEAIS DESEMPENHA O NMERO QUATRO UM PA-PEL DE ALTO RELEVO NA MSTICA ORIENTAL. MESMOSEM SER PERFEITO ARITMT1CAMENTE O NMEROQUATRO FOI, PELOS ORIENTAIS, APONTADO COMO UMNMERO PERFEITO.

Robert Fielding (1881-1950), estudioso dos segredos daCabala, em seu livro Estranhas Supersties e Prticas de Magia,mostra o alto prestgio do nmero quatro na mstica oriental.

Sugestionados pelos quatro pontos bsicos da bssola, pelasquatro estaes, os antigos tinham certa venerao pelo nmeroquatro. Tem esse nmero papel saliente nas lendas chinesas. Ospontos cardeais e as estaes do ano eram representados por corese para cada cr correspondia um animal simblico.

E eram assim apontados aos crentes:Para o Este a cr seria o azul e o animal, o Drago. Os

mesmos smbolos eram adotados para a primavera. O par seriachamado Este-Primavera.

Para o Sul, tomavam o vermelho como a cr significativa co animal seria o Pssaro. O Sul estaria ligado simbolicamente como vero.

O outono estava relacionado com o Oeste. A sua cr era obranco e o animal o Tigre.

Em quarto lugar viria o Norte, que fazia par com o inverno.A cr para este conjunto Norte-Inverno seria o preto e o animala Tartaruga.

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4. Cf. Tito Cardoso de Oliveira, Geometria Primria, CompanhiaEditora Nacional de So Paulo, 38.a ed., 1957, pg. 31. E o autoracrescentou; Os trilhos dos bondes do perfeita (sic) ideia de duaslinhas paralelas. Assim se consegue desvirtuar a Geometria.

Tudo inteiramente arbitrrio e sem o menor sentido caba-lstico.

Os quatro pontos cardeais foram, como acabamos de ver, dealto relevo cm todo o simbolismo primitivo. O ano com suas quatroestaes e os doze perodos de tempo realado pelo aparecimentode cada lua nova.

A tradio dos quatro rios do Paraso fluindo para os pontoscardeais, dividindo a Terra em forma de cruz, foi transmitida amuitas Mitologias. No Sineru (?) dos budistas, cresce a rvorede Damba , de quatro galhos, ou rvore da Vida e de suasrazes tombam quatro correntes sagradas Norte, Sul, Este eOeste.

O paraso dos chineses, de acordo com Fielding, divididopelas quatro correntes da imortalidade. Quatro rios puros de leitepercorrem o Asgard, o Eliseu, que seria o cu da suprema venturados escandinavos.

A cruz grega representa os ventos dos quatro pontos cardeais,Cruz idntica era usada pelos ndios americanos aborgines,

para representar os ventos que traziam a chuva.O quatro foi, pelos antigos, apontado como o nmero perfei-

to, porque quatro so os lados do quadrado, quatro so as virtudes,quatro as estaes, quatro os elementos (na crena antiga), quatroas patas de um drago. H quatro letras no nome de Deus (emlatim) e quatro no nome do primeiro homem: Adam. E tentavamdar a cada letra de Adam uma significao mstica, totalmentefantasiosa: O primeiro A, o A inicial, significa anatole, o Este, emgrego; o D, inicial de dysys, Oeste; o segundo A seria arktos,Norte; e o M final, membrion, Sul. E jamais os msticos poderiamesquecer os quatro cantos do mundo que so tocados pelos quatroventos.

As quatro criaturas sobrenaturais, para os primitivos chineses,eram: o drago, o unicrnio, a fnix e a tartaruga. Esses animaispresidiam os destinos da antiga China.

O drago, no simbolismo chins, tinha um papel de relevn-cia e indecifrvel mstica, quase impossvel de compreender parans ocidentais. Para os sacerdotes o drago era um ser qudruplo,isto , com quatro atributos essenciais. Em sentido abstraio, hos drages dos quatro mares.

Referem-se os msticos aos quatro irmos, chamados Yao,que governam os quatro mares, a saber: Norte, Sul, Este e Oeste.So assim descritos, segundo o erudito orientalista Robert Fielding:

1) O drago celestial, que sustenta os cus, guarda e amparaas manses dos deuses para que elas no caiam;

2) O drago espiritual, ou divino, que beneficia a humani-dade, ordenando ao vento que sopre e chuva que caia;

3) O drago terrestre, que assinala os cursos dos rios ecorrentes;

4) O drago do tesouro oculto, que guarda o mundo ocultodos mortais.

Com a renovao social e poltica da China todas essascrendices esto desaparecendo. Dentro de alguns anos s haverna China drages de papelo para distrair as crianas nos dias defesta nacional dos comunistas.

Agora passemos ao nmero trs entre os romanos. Para osromanos e tambm para os gregos, o nmero trs era dotado depoder misterioso e oculto: trs eram as Graas, trs as Frias, trsos Deuses principais etc. As festas em honra de Marte eram deno-minadas Trictyes, pois no decorrer das cerimnias eram sacrifica-das trs vtimas. Muitas das festas pags duravam trs dias,porque esse nmero era de bom augrio para os romanos. Aindaconservamos entre as nossas tradies, o carnaval, que duratrs dias.

Como explicar a origem da palavra trs que veio do latimtre e que deu, em francs, trois, em italiano tre, e em espanholtres?

Trata-se de um problema bastante curioso em Filologia.Pretendem alguns fillogos que a palavra trs lana suas

razes numa forma snscrita, isto , na forma lar que significaexceder, transpor, ir alm. O trs ia alm do um, e alm dodois.

E por que no seria tal nome aplicado ao quatro, que excedeo prprio trs, ou mesmo ao cinco, que excede o quatro?

A explicao dada pelos pesquisadores e orientalistas era aseguinte:

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A contagem era feita pelos dedos da mo, a saber:um, o polegar;dois, o indicador;

e, assim, a contagem trs iria coincidir com o dedo maior, isto ,com o dedo que excede os outros, isto , que excede os outrosquatro,

Essa explicao que, para muitos fillogos, parece bastantefantasiosa no deixa de ser sugestiva e interessante.

Com desmedida nfase colocavam em evidncia as coleesque totalizam trs, isto , os conjuntos notveis de trs ele-mentos:

Trs, as partes do Universo: Cu, Terra e Inferno.Trs, as parcelas da Eternidade: Passado, Presente e Fu-

turo.

Trs, os reinos da Natureza: animal, vegetal e mineral.Trs, as partes do corpo humano: cabea, tronco e membros.Trs, as dimenses do espao: comprimento, largura e altura.

CURIOSIDADE

A ciclide e seu mistrio

Afirmam os gemetras que a ciclide a curva de mais rpidadescida. Vemos na figura duas pistas, sendo uma retilnea e outracicloidal, que partem do ponto A e vo para o ponto B. As duasbilhas so slias juntas em A e vo rolar para B.A bilha que segue a pista cidoidal chega antes e ganha a corrida.Se os escorregadores infantis fossem cicloidais, as crianas esta-riam sujeitas a quedas perigosas.

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8As Aparncias que Enganam

EM SUA ANTOLOGIA, O NORTE-AMERICANO JAMESR. NEWMAN RECONHECE QUE A ILUSO DE PTICANO PROPRIAMENTE TEMA DA MATEMTICA, MAS ASSUNTO DE ALTO INTERESSE PARA O ESTUDIOSODA GEOMETRIA. SEMPRE INTERESSANTE SABERCOMO PODER O NOSSO RACIOCNIO INTERFERIR NASILUSES DE PTICA QUE DETURPAM A VISO NATU-RAL DAS COISAS.

Na figura ao lado apa-recem duas molduras cur-vilneas P e Q cujasbordas superiores so indi-cadas por AB c CD, res-pectivamente.

Qual das duas bordas,meu amigo, a maior?

Observe-as c o m amaior ateno c respondasem errar. Faa, de ummomento, uma avaliaovisual rpida.

Ser CD m a i o r doque AB?

Q u e m afirmar issoerra. As aparncias enga-

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nam. A curva AB (da primeira moldura) exatamente igual curva CD (da moldura inferior).

Entre as duas curvas no h diferena de meio milmetrosequer. Mea com cuidado e procure certificar-se da verdade.

So muitas c variadssimasas iluses de ptica inventadaspelos gemetras.

Na segunda figura aquirepresentada, vemos oito seg-mentos retilneos que parecemdeformados pelos traos para-lelos em ziguezague sobre osquais foram traados.

O observador obrigadoa colocar o desenho cm certopiano de visibilidade, de prefe-rncia horizontalmente diantedos olhos, para reconhecer queos segmentos so de fato reti-lneos e paralelos. Ao primeiroexame parecem tortos.

Na figura abaixo podemos ter outra iluso de ptica:Nos quatro ngulos apresentados, os vrtices so unidos dois

a dois por segmentos de reta. Esses segmentos so iguais, mas pare-cem desiguais se observados. O segmento traado dentro dasaberturas dos ngulos parece bem menor do que o outro.

H certas iluses de ptica que se tornam at irritantes parao observador.

Na figura seguinte, dois arcos de curva so cortados por umretngulo preto.

Repare bem. O caso espantoso. Temos a impresso que osarcos, sendo prolongados, no ficaro em concordncia.

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Se o observador, porm,com a ponta de um lpis,completar os arcos da esquerda,verificar que eles formaro comas duas hastes da direita doisarcos perfeitos. No h discre-pncia alguma. O erro aparen-te provocado pelo retngulopreto que divide os dois arcosem quatro partes. Sendo unidasessas partes voltaro a formaros arcos em perfeita harmonia.

Por que ocorrem as ilusesde ptica? bem interessanteessa dvida. O matemtico e fsico sovitico Y. Perelman, em suaFsica Recreativa, afirma que a nossa viso certa, mas o nossoraciocnio "sendo inconsciente" , por vezes, totalmente errado. Ediz no seu curioso gracejar muito a srio com a Cincia:

No olhamos com os olhos, mas sim com o crebro.

De acordo com Perelman, no somos iludidos pela viso,mas somente pela compreenso subjetiva desta ou daquela figura.E a tal respeito, o sovitico transcreve o parecer de Kant:

Os sentidos no nos enganam, pois como julgam sempreem absoluto julgam bem e acertadamente.

* * *

CURIOSIDADES

A palavra aparncia

A palavra aparncia vem do latim apparescere (aparecer). aquilo que observamos primeira vista, o que parece exterior-mente, o que fere os sentidos. Aquilo que o esprito imagina que mas que nem sempre verdade, isto , corresponde realidade.Cournot (1801-1877), filsofo e matemtico francs, distinguiaduas espcies de aparncias:

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1.a A falsa aparncia ou iluso;2.a A aparncia verdadeira ou natural.

interessante esclarecer a teoria bastante nebulosa do filsofofrancs com dois exemplos bem simples:

1 Ao caminhar pela rua escura vi, junto porta daminha casa, um gato. Ao chegar mais perto, notei que no eraum gato, mas sim um embrulho de trapos.Fui, nesse caso, segundo Cournot, iludido pela aparncia falsaou iluso.

2 Os antigos julgavam que a Terra era fixa no espaoe que o Sol, as estrelas e planetas giravam em torno da Terra.Tratava-se de uma iluso verdadeira ou natural.

Iluso de ptica

As curvas que observamos neste desenho parecem espirais, mas,na verdade, so circunferncias bem traadas.As aparncias enganam.

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9A Curva Predileta dos Poetas

DE EXTRAORDINRIO RELEVO, NA VIDA, A CURVAQUE O GEMETRA DENOMINA ESPIRAL. A CADAMOMENTO POETAS E PROSADORES CITAM AS ESPIRAIS.MAS, EM MUITOS CASOS, TANTO OS POETAS COMOOS PROSADORES IGNORAM NO S A DEFINIO COMOOS DIVERSOS TIPOS DE ESPIRAIS.

Uma das curvas mais notveis nos domnios da AnliseMatemtica conhecida sob o nome de espiral logartmica.

Matemticos e naturalistas assinalaram a presena dessacurva, denominada "curva harmoniosa", numa multiplicidade deorganismos vivos.

Mostra-nos a figura abaixo um pequeno molusco, em cujaformao se apresenta no uma espiral, mas sim um feixe de arcosde espirais logartmicas.

A espiral logartmi-ca, descoberta por RenDescartes (1596-1650),foi estudada pelo ge-metra Jacques Bernoulli(1654-1705) e sua teo-ria, desenvolvida maistarde por outro giganteda Matemtica, o famo-sssimo Leonard Eulcr(1707-1783), tambmsuo. A espiral logartmica num ser vivo.

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Trata-se de uma curva plana, transcendente, definida por umaequao polar da forma exponencial

r = emu

na qual u o ngulo polar (dado em radianos), r o raio polar(dado em unidades lineares), m um parmetro e e representa abase dos logaritmos neperianos (e = 2,71828).

A espiral logartmica, que se denomina bernoulliana (emhomenagem a Jacques Bernoulli) no atinge o plo, mas o pontoque descreve a curva d uma infinidade de voltas em torno doplo aproximando-se dele sem jamais atingi-lo. O plo, portanto, uni ponto assinttico da espiral.

A espiral s poderia atingir o plo se o ngulo polar u fosseigual a menos o infinito, isto , tivesse um valor negativo infinita-mente grande. Na segunda figura que apresentamos aos leitoresvemos desenhado um pequeno arco da bernoulliana, sendo que aparte pontilhada corresponde aos valores negativos do ngulo u.A curva corta o eixo polar numa infinidade de pontos.

A bernoulliana umacurva planitotal, isto , ocupaintegralmente o plano emque se acha. Qualquer pon-to do plano ou pertence espiral ou est por estacompreendido (est dentroda espiral).

No podemos confun-dir a espiral de Arquimedes,formada de dois ramos eque parte do plo, com abernoulliana, que s apre-senta um ramo com ponto

Jacques Bernoulli tinha verdadeiro fanatismo pela espirallogartmica, e considerava-a como uma das sete maravilhas daMatemtica.

Eis a espiral logartmica, a curvaharmoniosa.

no infinito e que no atinge o plo. O ponto do infinito dabernoulliana no tem direo determinada.

Asseguram os gemetras que a bernoulliana, mesmo sendoplanitotal, apresenta uma propriedade notvel: Cresce, conservanldo-se semelhante a si prpria, e exprime, desse modo, o crescimen-to harmonioso.

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Um animal com a espiral harmoniosa.

Pediu, mesmo, que sobre seu tmulo fosse gravado pequenoarco dessa espiral acompanhado da seguinte legenda:

Eadem numero mutata resurgo

cuja traduo livre seria:Mudando-me, na mesma essncia, mudo nmeros, res-surgindo.

Outra espiral interessante a chamada espiral hiperblica. uma curva formada por dois ramos (um deles est apenas traceja-do) e apresenta uma assntota paralela ao eixo polar. A espiralhiperblica aproxima-se indefinidamente da assntota, mas s irencontr-la no infinito. O ponto gerador dessa espiral d umainfbidade de voltas em torno do plo, mas no o atinge por maisque dele se aproxime.

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A espiral hiperblica definida por uma equao polarda forma:

ru = a (M)

na qual a uma constante, r oraio polar e u o ngulo polar.Sabemos que a curva do 2.grau, chamada hiprbole equi-ltera, definida por uma equa-o cartesiana da forma:

xy = a.

Esta a espiral hiperblica comseus dois ramos e sua assntota.

(N)

Da analogia entre as duas equaes (M) e (N) decorreu onome da espiral que, na verdade, em nada se assemelha com ahiprbole, que uma curva formada por dois ramos sem pontoscomuns no campo finito.

Falemos, ainda, de uma terceira espiral, chamada espiral deArquimedes, que aparece na figura com seus dois ramos.

O segundo ramo na curva da figura est tracejado. Em geralos desenhistas, e tambm os poetas, s consideram um dos ramosda espiral, isto , admitem a espiral incompleta ou a semi-espiralde Arquimedes. Eis uma obser-vao curiosa: a espiral deArquimedes aparece na dispo-sio geomtrica das manchascoloridas que o pavo ostentaem sua cauda.

Convm, tambm, no es-quecer: a espiral de Arquimedes uma curva plana, dotadade dois ramos infinitos que secruzam infinitas vezes. Qualquerponto do plano ou pertence espiral ou est dentro dela. Aespiral de Arquimedes , por-tanto, uma curva planitotal,

Esta a espiral de Arquimedes. uma curva que tem dois ramos

e planitotal.

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isto , ocupa o plano em que se acha. Essa mesma propriedade,como j vimos, assinalada na bernoulliana.

Alm da espiral logartmica, da espiral hiperblica e da espi-ra! de Arquimedes, os matemticos estudam c analisam vriasoutras espiriais. Citemos as mais interessantes.

Espiral parablica, espiral recproca, espiral senoidal, espiralde Poisont, espiral de Fermat, espiral de Galileu, espiral cnica dePapo (ou espiral esfrica), espiral degenerada, espiral falsa oupseudo-espiral.

Observamos na flor do girassol uma infinidade de espiraislogartmicas. O gemetra exclama deslumbrado:

Que beleza!

A palavra espiral vem do grego speira, atravs do latim spira,c prefixo al. Em grego, speira significa enrolamento. (Cf. AntenorNascentes, Dicionrio Etimolgico.)

A espiral uma curva da vida. citada a cada momento emerece a ateno de todos os que cultivam a Matemtica.

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So raros os poetas que no exaltam a espiral. Poderamosassegurar, sem medo de errar, que a curva predileta dos poetas.

Aqui est um exemplo colhido na obra do poeta e acadmicoOlegrio Mariano {ltimas Cigarras):

Eu, da moldura da janela antiga,Filosofava, acompanhando a esmoDo meu cigarro a alva espiral bizarra.

Apenas uma observao cabe no caso: a fumaa do cigarrono formava espiral (que uma curva plana), mas sim uma curvahelicoidal reversa.

A curva formada pela fumaa docigarro pode ser uma curva helicoidal,mas no ser nunca uma espiral, A

espiral uma curva plana.

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10O Heptgono Regular e Seu Perfume

O HEPTGONO REGULAR, O POLGONO QUE OSRABES TANTO ADMIRAM, NO PODE SER TRAADOCOM PRECISO MATEMTICA. O MAIS HBIL DESE-NHISTA, AO CONSTRU-LO, COMETE UM ERRO. DIZIAMOS ANTIGOS QUE, SENDO UM POLGONO SAGRADO,NO PODIA SER CONSTRUDO PELO HOMEM.

Com a rgua e o compasso, no sentido euclidiano, no pode-mos dividir, rigorosamente, uma circunferncia em sete partesiguais. Concluso: a construo do heptgono regular inscrito sempre aproximada.

Perguntam os nu-merologistas:

Ser influnciado nmero sete apon-tado p e l o s msticospitagricos como caba-lstico?

Entre os polgonosno-euclidianos o hept-gono regular o que temmenor nmero de lados.

Convm esclarecero seguinte:

A d e n o m i n a -o "no-euclidiano" dada ao polgono regular Este o heptgono regular estrelado deque no pode ser cons- 3 espcie (gnero 3). o polgono dasimpatia perfeita.

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trudo rigorosamente com rgua c compasso. Esto includos entreos "no-euclidianos", os polgonos regulares de 7, 9, 11, 13, 14,18, 19, 2 1 . . . lados.

Os outros so ditos polgonos euclidianos. Assim o pentgonoe o decgono (regulares) so euclidianos.

O polgono regular de 17 lados euclidiano, e a sua constru-o j foi obtida pelo gemetra suo Leonard Euler,

Para o heptgono regular alguns autores indicam a seguinteconstruo: traamos, no crculo de raio R, dois dimetros perpen-diculares. Obtemos, assim, quatro raios. Tomamos o meio M deum dos raios. Levantamos, no ponto M, uma perpendicular aoraio at encontrar um ponto P da circunferncia. O segmento MP,assim obtido, ser (aproximadamente) o lado do heptgono regu-lar inscrito no crculo de raio OL.

Para um crculo de4 cm de raio o errodessa construo grossei-rssima no chega a 2milmetros. Mas errocerto.

Sobre sse curiosoproblema da construogeomtrica dos polgonosregulares h um teore-ma denominado Teore-ma de Gauss.

O heptgono regu-lar foi, por Gauss, in-cludo entre os polgonosno-euclidianos.

pena. H trsheptgonos regulares: oconvexo, o estrelado gnero 2, e o estrelado gnero 3. O hept-gono regular estrelado (gnero 3) aparece, como elemento deco-rativo, na arte muulmana. um polgono estranho que os rabesconsideravam de uma beleza "misteriosa".

No eram raros, na Antiguidade, os templos heptagonais.Seria fcil destacar uma citao do famoso romance Salammb,de Gustavo Faubert:

Este o heptgono regular estrelado de2.a espcie (gnero 2). O heptgono

regular de 1.a espcie convexo.

Os tetos cnicos dos templos heptagonais, as escadarias,os terraos, os baluartes, pouco a pouco, recortavam-se napalidez da aurora.

Nos vegetais, em geral, so rarssimas as simetrias heptago-nais. Em geral, encontramos, nas flores, simetrias ternria, tetra-gonal, pentagonal, hexagonal. Afirmam, porm, os naturalistas,que a petnia-hbrida. planta solancea, muito ramosa, herbcea,de folhas ovaladas, apresenta sete ptalas cm simetria. A petniatem a corola em forma de funil c exala delicioso perfume.

O gemetra, na sua admirao pela forma heptagonal, chegaao extremo de afirmar que o perfume delicioso na petnia-hbridano da flor, do heptgono.

CURIOSIDADES

A espiral indecisa

Na figura ao lado podemosobservar o arco de uma dasmais estranhas espirais que po-voam o cu da Geometria.Consideremos uma circunfern-cia de raio OS, e tomemosum ponto M no prolongamentodesse raio.A distncia do ponto M cir-cunferncia MS.Vamos supor que o segmentoOM gira em torno do centroO em movimento uniforme.

Uma volta por minuto, por exemplo.Na figura, o movimento da direita para a esquerda.Vamos supor que, enquanto o segmento OM d um giro comple-to (de 360) em torno do centro O, o ponto M desloca-se sobreMO, tambm em movimento uniforme, e s percorre, em cadavolta de OM, a metade da distncia que o separa da circunferncia.E, assim, OM dando uma 1.a volta completa, o ponto M (comcerta velocidade) vai de sua posio inicial M at M', que omeio de MS.

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Na 2.a volta de OM, o ponto M' (j com. velocidade menor) vaide M' at M", que o meio de M'S'.E assim por diante.Para cada volta de OM o ponto mvel s caminha a metade docaminho, e s caminhando a metade nunca atingir a cir-cunferncia.No fim de cem mil voltas o ponto M passar a percorrer, duranteuma volta completa de OM, uma distncia menor que o milsimodo micromilmetro.O ponto M vai descrever uma nova espiral, bastante curiosa,denominada Indecisa.Indecisa? Por qu?Vamos esclarecer o caso.A circunferncia de raio OS uma assntota da espiral. A Indecisagira em torno dessa assntota sem saber em que ponto deveparar. Aqui? Ali? No ponto S? Depois do S?A Indecisa uma curva transcendente que tem uma origem noponto M mas no sabe onde poder acabar. Se o raio OS fr nulo,a Indecisa ter um ponto assinttico e perder a sua indeciso.A Indecisa foi descoberta e estudada por um matemtico brasi-leiro da atualidade.

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ngulo de duas curvas

O matemtico pode definir, fa-cilmente, o conceito de ngulode duas curvas C e C' o ngulo formado pelas tan-gentes T e T', a essas curvas,no ponto de interseo. erro grave, em Geometria,confundir-se ngulo de duascurvas com ngulo curvilneo.O ngulo curvilneo no n-gulo (propriamente dito), massim uma figura inventada pelodesenhista e chamada ng