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AS CONICAS

Modificacao de um texto de apoio a uma accao de formacao FOCO(1999)

Chamam-se conicas as ”curvas” que podem ser definidas em relacaoa algum sistema de coordenadas cartesianas em R2 por uma equacaoque e um polinomio do 2o grau nas variaveis x, y igualado a zero.

Portanto as coordenadas em relacao a um certo referencial dos pontosde uma conica satisfazem uma equacao do tipo

Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0.

Observe-se que esta definicao e independente do sistema de coorde-nadas escolhido, uma vez que as formulas de mudancas de coordenadassao lineares.

Convencoes Estamos a trabalhar em R2. A partir de agora, a menosde mencao expressa em contrario, consideraremos todos os referenci-ais como sendo ortonormados e a distancia considerada e a distanciaeuclidiana.

Alguns exemplos notaveis

I. ELIPSE

Chama-se elipse ao lugar geometrico dos pontos do plano tais que asoma das distancias de cada um deles a dois pontos fixos dados (chama-dos focos da elipse) e sempre igual a um comprimento dado, maior quea distancia entre os focos.

A condicao que caracteriza a elipse exprime-se na forma

E = {X : d(X,F1) + d(X,F2) = 2a}.

Vamos ver que de facto uma elipse e uma conica de acordo com adefinicao que adoptamos, ou seja exprimindo E como o conjunto dospontos do plano cujas coordenadas (em relacao a um certo referencial)sao as solucoes de uma equacao polinomial do 2o grau.

Vamos escolher o referencial de maneira a obter a equacao com umaforma particularmente simples.

Se a distancia entre os dois focos F1 e F2 e 2c com c < a tomandopara eixo dos xx a recta definida por F1 e F2 e para eixo dos yy amediatriz do segmento de recta [F1F2] temos F1 := (−c, 0), F2 = (c, 0),com c > o e entao teremos a elipse definida analıticamente por

E = {X = (x, y) :√

(x+ c)2 + y2 +√

(x− c)2 + y2 = 2a}.

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Escrevendo esta equacao na forma√

(x+ c)2 + y2 = 2a−√

(x− c)2 + y2,e elevando ao quadrado ambos os membros da equacao obtemos

(x+ c)2 + y2 = 4a2 + (x− c)2 + y2 − 4a(√

(x− c)2 + y2)

donde desenvolvendo os quadrados e simplificando se obtem

a(√

(x− c)2 + y2) = a2 − cx.De novo, elevando ao quadrado ambos os membros da equacao, tem-

se

a2(x2 − 2cx+ c2 + y2) = a4 − 2a2cx+ c2x2

que simplificada da

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2).Verifica-se que neste processo nao se introduziram novas solucoes e

tomando b := +√a2 − c2 vemos que que se pode definir esta elipse

analitıcamente como sendo

E = {X = (x, y) : b2x2 + a2y2 = a2b2},onde b2 = a2 − c2.

Note-se que a equacao b2x2 + a2y2 = a2b2 e equivalente a

x2

a2+y2

b2= 1.

Inversamente, qualquer subconjunto do plano definido por uma equacaodo tipo

C = {X = (x, y) : m2x2 + n2y2 = p2}.e uma elipse.

Exercıcio 1 Verificar esta ultima afirmacao e determinar os focos e onumero a da elipse definida por C = {X = (x, y) : m2x2 + n2y2 = p2}.

Definicao Dada uma elipse E de focos F1, F2 chama-se eixo maior deE a recta definida por F1 e F2 e eixo menor a mediatriz do segmento[F1F2]. Os nomes eixo surgem pois as reflexoes em qualquer destasrectas sao simetrias da elipse.

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II. HIPERBOLES

Chama-se hiperbole ao lugar geometrico dos pontos P do plano taisque o modulo da diferenca das distancias P a dois pontos fixos dados(chamados focos da hiperbole) e sempre igual a um comprimento dado,menor que a distancia entre os focos.

A condicao que caracteriza a hiperbole exprime-se na forma

H = {X : |d(X,F1)− d(X,F2)| = 2a}.

Vamos ver que de facto uma hiperbole e uma conica de acordo coma definicao que adoptamos, ou seja exprimindo H como o conjunto dospontos do plano cujas coordenadas (em relacao a um certo referencial)sao as solucoes de uma equacao polinomial do 2o grau.

Vamos escolher o referencial de maneira a obter a equacao com umaforma particularmente simples.

Se a distancia entre os dois focos F1 e F2 e 2c com c > a tomandopara eixo dos xx a recta definida por F1 e F2 e para eixo dos yy amediatriz do segmento de recta [F1F2] temos F1 := (−c, 0), F2 = (c, 0),com c > o e entao teremos a hiperbole definida analiticamente por

H = {X = (x, y) : |√

(x+ c)2 + y2 −√

(x− c)2 + y2| = 2a}.

De novo, nao e muito difıcil verificar que se pode definir esta hiperboleanaliticamente como sendo

H = {X = (x, y) : b2x2 − a2y2 = a2b2},

onde b2 = c2 − a2.

Note-se que a equacao b2x2 − a2y2 = a2b2 e equivalente a

x2

a2− y2

b2= 1.

Inversamente, qualquer subconjunto do plano definido por uma equacaodo tipo

C = {X = (x, y) : m2x2 − n2y2 = p2}.

e uma hiperbole.

Exercıcio 2 Verificar esta ultima afirmacao e determinar os focos e onumero c da hiperbole definida por C = {X = (x, y) : m2x2 − n2y2 =p2}.

Definicao Dada uma hiperbole H de focos F1, F2 chamam-se eixosde H a recta definida por F1 e F2 e a mediatriz do segmento [F1F2].Os nomes eixo surgem pois as reflexoes em qualquer destas rectas saosimetrias da hiperbole.

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Definicao Dada uma hiperbole H definida pela equacao x2

a2 − y2

b2= 1

chamam-se assimptotas de H as rectas definidas pelas equacoes y = bxa

e y = − bxa

.

III. PARABOLAS

Chama-se parabola ao lugar geometrico dos pontos P do plano equidis-tantes dum ponto dado F e de uma recta l que nao passa por F . A Fchama-se o foco da parabola e a l a directriz da parabola.

A condicao que caracteriza a parabola exprime-se na forma

P = {X : d(X,F ) = d(X, l)}.Vamos ver que de facto uma parabola e uma conica de acordo com

a definicao que adoptamos, ou seja exprimindo P como o conjunto dospontos do plano cujas coordenadas (em relacao a um certo referencial)sao as solucoes de uma equacao polinomial do 2o grau.

Vamos escolher o referencial de maneira a obter a equacao com umaforma particularmente simples. Sendo D o pe da perpendicular baix-ada de F para l, escolhemos para eixo dos yy a recta DF orientadano sentido de D para F e para eixo dos xx a recta mediatriz do seg-mento [DF]. Se p for a distancia de F a l teremos que neste refer-encial as coordenadas de F sao (0, p

2) e que l e a recta definida pela

equacao y = −p2. Entao, dado um ponto arbitrario X = (x, y), tere-

mos d(X,F ) =√x2 + (y − p

2)2 e d(X, l) = |y + p

2| donde a parabola e

definida analiticamente por

P = {X = (x, y) :

√x2 + (y − p

2)2 = |y +

p

2|}.

Verifica-se facilmente que esta ultima descricao e equivalente a

P = {X = (x, y) : x2 = 2py}.

Inversamente, qualquer subconjunto do plano definido por uma equacaodo tipo x2 = 2py ou y2 = 2px com p > 0 ou p < 0 e uma parabola.

Exercıcio 3 Verificar esta ultima afirmacao e determinar o foco e di-rectriz da parabola definida por C = {X = (x, y) : y2 = 2px}.

Definicao Dada uma parabola P de foco F e directriz l chama-se eixode P a recta perpendicular a l que passa por F .

O nome eixo justifica-se por a reflexao nesta recta ser uma simetriada parabola.

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Outra caracterizacao de elipses, hiperboles e parabolas

Existe uma outra forma, mais unificada, de caracterizar as elipses,hiperboles e parabolas.

Teorema a) Seja e um numero tal que 0 < e, l uma recta no planoe P um ponto tal que P /∈ l. O conjunto C de todos os pontos X doplano tais que d(X,P ) = e d(X, l) e uma conica. Se e < 1, C e umaelipse; se e > 1, C e uma hiperbole e, se e = 1, C e uma parabola.

b) Inversamente qualquer elipse ou parabola ou hiperbole pode serdescrita como em a). Em particular dada qualquer elipse E e F umfoco de E , existe uma recta l e e ∈ R com 0 < e < 1 tais que

E = {X ∈ R2 : d(X,F ) = e d(X, l)}.

Dada uma hiperbole H, e F um foco de H, existe uma recta l e e ∈ Rcom 1 < e tais que

H = {X ∈ R2 : d(X,F ) = e d(X, l)}.

Definicoes Ao numero e da-se o nome de excentricidade da conica , arecta l o nome de directriz e ao ponto P o nome de foco.

Observacao Tanto a elipse como a hiperbole tem duas directrizes cor-respondendo aos dois focos.

Demonstracao a) O caso e = 1 e exactamente o caso ja estudado daparabola de forma que vamos supor que e 6= 1, (e portanto 1− e2 6= 0).

Seja d = d(P, l) e seja a = ed(1−e2)

e c = ea. Podemos escolher um

referencial ortonormado de forma a que as coordenadas de P sejam(c, 0) e l seja definida pela equacao x = a

e. Observemos tambem que

dado que as distancias sao numeros positivos a condicao d(X,F ) =e d(X, l) e equivalente a condicao d(X,F )2 = e2d(X, l)2.

Dado qualquer ponto X de coordenadas (x, y) em relacao a estereferencial temos que d(X,F )2 = (x− c)2 + y2 e d(X, l)2 = (x− a

e)2.

Entao um ponto X pertence a C se e so se as suas coordenadas (x, y)em relacao ao referencial escolhido satisfazem a equacao do 2o grau

(x− c)2 + y2 = e2(x− a

e)2,

ou seja

x2 − 2cx+ c2 + y2 = e2x2 − 2e2a

e+ a2.

Dado que c = ea , esta equacao e equivalente a

(1− e2)x2 + y2 = (1− e2)a2,

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ou sejax2

a2+

y2

(1− e2)a2= 1.

Se 1 − e2 > 0, a conica assim definida e uma elipse enquanto que se1− e2 < 0 a conica e uma hiperbole.

b) Temos que ver que qualquer elipse ou hiperbole admite uma de-scricao como em a). Consideremos primeiro o caso de uma elipse Edefinida por uma equacao do tipo

b2x2 + a2y2 = a2b2,

com b2 < a2. Vamos supor que a > 0.Esta elipse tem como focos os pontos F ′ e F de coordenadas (−c, 0)

e (c, 0), respectivamente, onde c = +√a2 − b2 e como constante 2a.

Dado que a > c existe e ∈ R tal que 0 < e < 1 e c = ea. Consid-eremos a recta l definida pela equacao x = a

ee consideremos a elipse

G = {X : d(X,F ) = e d(X, l)}.Dado qualquer ponto X de coordenadas (x, y) em relacao a este

referencial temos

d(X,F )2 = (x− c)2 + y2, d(X, l)2 = (x− a

e)2.

Entao um ponto X pertence a G se e so se as suas coordenadas (x, y)em relacao ao referencial escolhido satisfazem a equacao do 2o grau

(x− c)2 + y2 = e2(x− a

e)2,

que e equivalente a

x2 − 2cx+ c2 + y2 = e2x2 − 2eax+ a2.

Dado que c = ea, podemos escrever entao a equacao sob a forma

(1− e2)x2 + y2 = (1− e2)a2.

Uma vez que e = ca

e a2 − c2 = b2, 1 − e2 = b2

a2 e logo esta ultimaequacao e

b2

a2x2 + y2 = b2,

ou seja

b2x2 + a2y2 = a2b2.

Logo a elipse G e a elipse E e mostramos o que pretendıamos.

O caso da hiperbole e similar e omitimos os pormenores. Consideramosa hiperbole definida por uma equacao da forma b2x2 − a2y2 = a2b2,com a2 < b2 e supomos que a > 0. Os focos da hiperbole sao ospontos F ′ e F de coordenadas (−c, 0) e (c, 0), respectivamente, ondec = +

√b2 + a2. Definindo e como sendo o numero real e > 1, tal que

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ea = c, pode-se provar que a hiperbole dada e exactamente o conjuntodos pontos X que satisfazem

d(X,F ) = e d(X, l),

onde l e a recta definida pela equacao x = ae.♦

Observacao Da demonstracao do teorema anterior ve-se imediata-mente que tanto a elipse como a hiperbole tem duas directrizes corre-spondendo aos dois focos.

RESUMINDO

ELIPSE

Caracterizada por d(X,F1) + d(X,F2) = 2a, com d(F1, F2) = 2c e0 < c < a.

Equacao reduzida: xa2 + y

b2= 1, com b2 = a2 − c2.

Focos: (−c, 0), (c, 0), onde c2 = a2 − b2

Excentricidade: e = ca

=√a2−b2a

Directrizes x = −ae

, x = ae.

HIPERBOLE

Caracterizada por |d(X,F1) − d(X,F2)| = 2a, com d(F1, F2) = 2c e0 < a < c.

Equacao reduzida: xa2 + y

b2= 1, com b2 = c2 − a2.

Focos: (−c, 0), (c, 0), onde c2 = b2 + a2

Excentricidade: e = ca

=√a2+b2

a

Directrizes x = −ae

, x = ae.

PARABOLA

Caracterizada por d(X,F ) = d(X, l), com d(F, l) = p.

Equacao reduzida: x2 = 2py.

Foco: (0, p2).

Excentricidade: e = 1

Directriz y = −p2.

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Observacao final Existe uma outra forma que e particularmente ele-gante de caracterizar estas conicas usando coordenadas polares (e queinclui o caso da circunferencia). Pode-se dar a seguinte:

Definicao Uma conica nao degenerada no plano e uma curva que podeser representada em relacao a coordenadas polares (r, θ) (conveniente-mente escolhidas) pela equacao

r =k

1− e cos θ,

onde k > 0 e e ≥ 0 sao constantes.Aqui e e a excentricidade e valores de r negativos deverao ser in-

terpretados de acordo com a convencao de que (r, θ) e (−r, π + θ)representam o mesmo ponto.

Esta descricao pode ser vista em Elementary geometry de J.Roe.

Outros exemplos de conicas

1) As equacoes mais simples do 2o grau sao as com um so termo, ouseja x2 = 0, xy = 0, y2 = 0. A primeira e terceira sao substancialmenteidenticas (basta permutar o eixo dos xx com o eixo dos yy). A equacaoy2 = 0 e apenas satisfeita pelos pontos da forma (x, 0) ou seja pelospontos do eixo dos xx. Como 0 e raız dupla desta equacao considera-secada ponto como duplo e diz-se que a equacao representa uma rectadupla.

A equacao xy = 0 e satisfeita apenas pelas coordenadas de todos ospontos dos eixos dos xx e dos yy, e como tal esta equacao representaduas rectas que se intersectam.

Tanto uma recta dupla como duas rectas que se intersectam saoexemplos de conicas, ditas redutıveis ou degeneradas.

2) Um exemplo de conica e a circunferencia, que e definida geomet-ricamente como sendo o lugar geometrico dos pontos do plano cujadistancia a um ponto dado C e uma constante r. Diz-se que a circun-ferencia tem centro no ponto C e raio r.

Num referencial(ortonormado) em que C seja a origem do referenciala circunferencia de centro em C e raio r e definida pela equacao

x2 + y2 = r2.

Uma circunferencia pode ser considerada um caso ”limite” ou de-generado de elipse. A degeneracao consiste em fazer coincidir os doisfocos.

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Conicas em geral

Ja definimos uma conica em geral como sendo o lugar geometricodos pontos cujas coordenadas em relacao a um certo (e portanto aqualquer) referencial satisfazem uma equacao do 2o grau

Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0.

Note-se que quando se diz que a equacao e do 2o grau estamos adizer que A,B,C nao sao todos nulos.

Vamos transformar esta equacao numa equacao mais simples, ou sejavamos obter referenciais onde a conica seja definida por uma equacaocom menos termos.

Primeira simplificacao (reducao aos eixos)

Proposicao Seja C uma conica definida em relacao a um referencialpela equacao Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0. Existe uma rotacaoRθ dos eixos de tal forma que em relacao ao novo referencial assimobtido a conica e definida por uma equacaoA′x2+C ′y2+D′x+E ′y+F =0. O angulo θ ∈ [0, 2π[ e tal que tan 2θ = 2B

A−C , se A 6= C e θ = π4

seA = C.

Demonstracao SejaR o referencial original eR′ o referencial obtido porrotacao dos eixos coordenados. Entao se (x, y) e (x′, y′) sao as coorde-nadas de um mesmo ponto X em relacao a R e R′ respectivamente,temos que [

xy

]=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

] [x′

y′

]ou seja

x = cos θ x′ − sin θ y′

y = sin θ x′ + cos θ y′.

Sabemos que um ponto X pertence a C se e so se as coordenadas(x, y) de X em relacao a R satisfazem a equacao Ax2 + 2Bxy+Cy2 +Dx + Ey + F = 0. Substituindo x, y pelas suas expressoes em x′, y,′

obtemos a equacao

A′x′2 + 2B′x′y′ + C ′y2 +D′x′ + E ′y′ + F = 0,

onde

A′ = A cos2 θ + C sin2 θ +B sin 2θ,

C ′ = A sin2 θ + C cos2 θ −B sin 2θ,

B′ = 12(C − A) sin 2θ +B cos 2θ,

D′ = D cos θ + E sin θ,

E ′ = −D sin θ + E cos θ.

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Logo o ponto X ∈ C se e so se as suas coordenadas (x′, y′) em relacaoa R′ satisfazem A′x′2 + 2B′x′y′ + C ′y2 +D′x′ + E ′y′ + F = 0.

Se escolhermos θ como no enunciado B′ anula-se e portanto emrelacao ao referencial R′, C e descrita pela equacao

A′x′2 + C ′y2 +D′x′ + E ′y′ + F = 0.

♦

Observacoes importantes

1) Notemos que se tem[A′ 00 C ′

]=

[cos θ sin θ− sin θ cos θ

] [A BB C

] [cos θ − sin θsin θ cos θ

]onde A′ e C ′ sao os valores proprios da matriz M =

[A BB C

]e a

mudanca de referencial corresponde a mudar de base para uma baseortonormada (u, v) de vectores proprios de M (que e escolhida de forma

a que ∠or(u, v) = π2). Como det

[cos θ sin θ− sin θ cos θ

]= 1 obtemos em

particular que det M = A′C ′ ou seja AC − B2 = A′C ′. Logo detM > 0 se e so se os dois valores proprios de M tiverem o mesmo sinal,det M = 0 se um dos valores proprios for nulo e det M < 0 se os doisvalores proprios de M tiverem sinais opostos.

2) Como consequencia desta proposicao obtemos que qualquer conicapode ser descrita em relacao a um certo referencial ortonormado poruma equacao do tipo

A′x2 + C ′y2 +D′x+ E ′y + F ′ = 0,

onde podemos ainda supor que A′ 6= 0. Com efeito ou A′ 6= 0 ouC ′ 6= 0. Fazendo se necessario uma troca de eixos pode-se sempresupor que A′ 6= 0.

Podemos ainda simplificar mais as equacoes:

Segunda simplificacao (mudanca de origem)

Proposicao Seja C uma conica definida em relacao a um referencialR pela equacao Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, com A 6= 0. Mu-dando a origem do referencial (ou seja mudando as coordenadas poruma translacao) e possivel obter um referencial em relacao ao qual C edefinida por uma equacao da forma

Ax2 + Cy2 + F ′ = 0, se C 6= 0,ou

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Ax2 + Ey = 0, se C = 0 e E 6= 0,ou

Ax2 + F ′ = 0, se C = E = 0.

Demonstracao Suponhamos primeiro que C 6= 0. Podemos escrever aequacao Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 como

A(x+D

2A)2

+ C(y +E

2C)2

+ F − D2

4A− E2

4C= 0.

Se fizermos a mudanca de coordenadas

x = x′ − D2A

y = y′ − E2C

,

que corresponde a mudar a origem do referencial para o ponto (− D2A,− E

2C),

teremos que no novo referencial a conica C e definida pela equacao

Ax′2 + Cy′2 + F ′ = 0

onde F ′ = F − D2

4A− E2

4C.

Suponhamos agora que C = 0. Podemos escrever a equacao Ax2 +Dx+ Ey + F = 0 como

A(x+D

2A)2

+ Ey + F − D2

4A= 0.

Se E 6= 0 a equacao pode ser ainda escrita

A(x+D

2A)2

+ E(y +F

E− D2

4AE) = 0.

Neste caso, se fizermos a mudanca de coordenadas

x = x′ − D2A

y = y′ − FE

+ D2

4AE,

que corresponde a mudar a origem do referencial para o ponto (− D2A,−F

E+

D2

4AE), teremos que no novo referencial a conica C e definida pela equacao

Ax′2 + Ey′ = 0.

Se E = 0, a equacao pode ser escrita

A(x+D

2A)2

+ F − D2

4A= 0.

Neste caso, se fizermos a mudanca de coordenadasx = x′ − D

2Ay = y′,

que corresponde a mudar a origem do referencial para o ponto (− D2A, 0),

teremos que no novo referencial a conica C e definida pela equacao

Ax′2 + F ′ = 0,

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onde F ′ = F − D2

4A. ♦

Gracas a estas simplificacoes estamos em condicoes de descrever to-das as conicas ou seja todas as ”curvas” que podem ser definidas emrelacao a algum sistema de coordenadas cartesianas por uma equacaoque e um polinomio do 2o grau nas variaveis x, y igualado a zero. Comefeito acabamos de ver que qualquer destas pode ser descrita em relacaoa um certo referencial por uma equacao de um dos seguintes tipos:

I) Ax2 + Cy2 + F = 0, com A 6= 0 e C 6= 0,ou

II) Ax2 + Ey = 0, com A 6= 0 e E 6= 0,ou

III) Ax2 + F = 0, com A 6= 0.

Analisando as possibilidades temos que qualquer conica e uma dasseguintes

Caso III)

i) AF > 0 (isto e, F 6= 0 e A e F tem o mesmo sinal) conjunto vazio

ii) AF < 0 duas rectas paralelas

iii) F = 0 duas rectas coincidentes;

Caso II)

Parabola

Caso I)

i) AC > 0 e F = 0 ponto (0, 0)

ii) AC < 0 e F = 0 duas rectas concorrentes

iii) AC < 0 e F 6= 0 hiperbole

iv) AC > 0 e AF > 0 conjunto vazio

v) AC > 0 e AF < 0 elipse (e circunferencia)

Definicao Uma conica diz-se nao degenerada ou irredutıvel se for umaelipse, hiperbole ou parabola.

Observacao Dada uma conica em geral, definida por uma equacao dotipo

Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,

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podemos saber imediatamente que possibilidades de conica temos anal-isando AC − B2 (ver observacao 1) a seguir a primeira simplificacao).Assim temos:

se AC − B2 > 0, as possibilidades sao uma elipse, um ponto ou oconjunto vazio;

se AC −B2 = 0, as possibilidades sao uma parabola, duas rectasparalelas (coincidentes ou nao), ou o conjunto vazio;

se AC − B2 < 0, as possibilidades sao uma hiperbole ou duasrectas concorrentes.

Exemplos 1) Consideremos a conica C definida em relacao ao referen-cial canonico por

3x2 + 2xy + y2 − 2x+ 3 = 0.

Aqui A = 3, B = 1, C = 1. Como 3 · 1− 1 > 0, C ou e uma elipse, umponto ou o conjunto vazio. Para ver qual destas possibilidades ocorrepodemos examinar a equacao. Ora

3x2 + 2xy + y2 − 2x+ 3 = 0⇐⇒ (y + x)2 + 2x2 − 2x+ 3 = 0⇐⇒

⇐⇒ (y + x)2 + 2(x− 1

2)2 − 1

2+ 3 = 0⇐⇒ (y + x)2 + 2(x− 1

2)2 = −5

2.

Como a soma de dois quadrados de numeros reais e sempre maior ouigual a zero, nao existem solucoes reais e C e o conjunto vazio.

2) Consideremos a conica C definida em relacao ao referencial canonicopor

3x2 + 2xy + y2 − 2x− 5 = 0.

Como no exemplo 1) temos A = 3, B = 1, C = 1 e C ou e uma elipse,um ponto ou o conjunto vazio. Para ver qual destas possibilidadesocorre podemos examinar a equacao. Ora, como em 1)

3x2 + 2xy + y2 − 2x− 5 = 0⇐⇒ (y + x)2 + 2(x− 1

2)2 − 1

2− 5 = 0

⇐⇒ (y + x)2 + 2(x− 1

2)2 =

11

2.

Como esta equacao mais do que uma solucao (por exemplo (0,+√

5) e(0,−

√5)), C e uma elipse.

3) Consideremos a conica C definida em relacao ao referencial canonicopor

3x2 + 2xy + y2 − 2x+1

2= 0.

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Como no exemplo 1) temos A = 3, B = 1, C = 1 e C ou e uma elipse,um ponto ou o conjunto vazio. Para ver qual destas possibilidadesocorre podemos examinar a equacao. Ora, como em 1)

3x2 + 2xy + y2 − 2x+1

2= 0⇐⇒ (y + x)2 + 2(x− 1

2)2 − 1

2+

1

2= 0

⇐⇒ (y + x)2 + 2(x− 1

2)2 = 0.

Como a unica solucao desta equacao e (12,−1

2), C e um ponto.

4) Consideremos a conica C definida em relacao ao referencial canonicopor

5x2 + 6xy + y2 + 3 = 0.

Temos A = 5, B = 3, C = 1. Como AC − B2 = 5 − 9 < 0, ou temosuma hiperbole ou duas rectas concorrentes. Como 5x2 +6xy+y2 +3 =0⇐⇒ 5x2 + (y+ 3x)2− 9x2 + 3 = 0⇐⇒ −4x2 + (y+ 3x)2 + 3 = 0⇐⇒(y + x)(y + 5x) = −3, a conica e uma hiperbole.

5) Consideremos a conica C definida em relacao ao referencial canonicopor

5x2 + 6xy + y2 = 0.

Temos A = 5, B = 3, C = 1. Como AC − B2 = 5 − 9 < 0, ou temosuma hiperbole ou duas rectas concorrentes. Como 5x2 + 6xy + y2 =0 ⇐⇒ 5x2 + (y + 3x)2 − 9x2 = 0 ⇐⇒ −4x2 + (y + 3x)2 = 0 ⇐⇒(y + x)(y + 5x) = 0, temos duas rectas concorrentes.

6) Consideremos a conica C definida em relacao ao referencial canonicopor

x2 + 6xy + y2 − 4y + 1 = 0.

Temos A = 1, B = 3, C = 1. Como AC−B2 = 1−9 < 0 ou temos umahiperbole ou duas rectas concorrentes. Como x2 + 6xy+ y2− 2y+ 1 =0⇐⇒ (x+3y)2−9y2 +y2−2y+1 = 0⇐⇒ (x+3y)2−8(y2 + 1

2y+ 1

16)+

816

+ 1 = 0⇐⇒ (x+ 3y)2 − 8(y + 14)2 = −3

2, a conica e uma hiperbole.

7) Consideremos a conica C definida em relacao ao referencial canonicopor

x2 + 2xy + y2 − 4y + 1 = 0.

Temos A = 1, B = 1, C = 1. Como AC − B2 = 1 − 1 = 0, podemoster uma parabola, duas rectas paralelas (coincidentes ou nao), ou oconjunto vazio. Como x2+2xy+y2−4y+1 = 0⇐⇒ (x+y)2−4(y− 1

4) =

0 , a conica e uma parabola.

8) Consideremos a conica C definida em relacao ao referencial canonicopor

4x2 + 8xy + 4y2 + 1 = 0.

Temos A = 4, B = 4, C = 4. Como AC − B2 = 0, podemos ter umaparabola, duas rectas paralelas (coincidentes ou nao), ou o conjunto

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vazio. Como 4x2 + 8xy + 4y2 + 1 = 0 ⇐⇒ 4(x + y)2 = −1, temos oconjunto vazio.

9) Consideremos a conica C definida em relacao ao referencial canonicopor

4x2 + 8xy + 4y2 − 1 = 0.

Como no exemplo 8) podemos ter uma parabola, duas rectas paralelas(coincidentes ou nao), ou o conjunto vazio. Como 4x2 +8xy+4y2−1 =0⇐⇒ (2(x+ y))2 − 1 = 0⇐⇒ (2(x+ y)− 1)(2(x+ y) + 1) = 0, temosduas rectas paralelas nao coincidentes.

Interseccoes de rectas e conicas

Proposicao Seja C uma conica. Uma recta que nao esteja contida emC intersecta C no maximo em dois pontos.

Demonstracao Seja l uma recta que passa por um ponto (x0, y0) de C.A recta l pode ser definida pelas equacoes parametricas

x = x0 + pt, y = y0 + qt, t ∈ R.

Substituindo estas expressoes na equacao da conica obtemos uma equacaode grau menor ou igual a 2 na incognita t, cujas solucoes sao os valoresde t para os quais (x0 + pt, y0 + qt) ∈ C. Logo a unica maneira deter mais do que dois pontos de interseccao seria ter obtido a equacaotrivial 0 = 0. Mas isto significaria que todos os pontos de l pertenciama conica, o que vai contra a hipotese. ♦

Definicao Seja C uma conica nao degenerada. Uma recta l que passepelo ponto P = (x0, y0) ∈ C e uma tangente a C no ponto P se (de-screvendo l pelas equacoes parametricas x = x0+pt, y = y0+qt, t ∈ R)t = 0 for uma raız dupla da equacao que se obtem substituindo estasexpressoes na equacao da conica.

De forma equivalente podemos dizer que uma recta e tangente a umaconica nao degenerada se o sistema de equacoes formado pelas equacoesda recta e da conica tem uma raız dupla, ou seja quando substituindona equacao da conica uma das coordenadas pela expressao na outradeduzida da equacao da recta, se obtiver uma equacao do 2o grau comuma raız dupla.

Observacao Esta definicao de tangente coincide com a definicao usualem termos de funcoes de variavel real, quando representamos um ramoda conica como o grafico de uma funcao real de variavel real.

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Exercıcio Comparar a forma como as rectas do plano intersectam ostres diferentes tipos de conicas nao degeneradas. Em particular verque uma caracterıstica das hiperboles que nao tem paralelo no casodas elipses e a existencia de assımptotas.

Se uma recta l e tangente a uma conica nao degenerada C, entaol ∩ C e um unico ponto. Sera que l ∩ C ser um unico ponto caracterizaas tangentes?

Proposicao Se m for uma recta que intersecta a conica nao degeneradaC num unico ponto P , entao:

se C e uma elipse, m e tangente a C em P ;

se C e uma hiperbole em nao e paralela a uma das assımptotas da hiper-bole, m e tangente a C em P ; se m for paralela a uma das assımptotas,m nao e tangente a C;se C e uma parabola, e m nao e perpendicular a directriz da parabola,m e tangente a C em P ; se m for perpendicular a directriz da parabola,m nao e tangente a C.Demonstracao Suponhamos agora que m e uma recta que intersectaa conica C so no ponto P . Podemos supor que temos um referencialem relacao ao qual a conica esta definida por uma equacao em formareduzida, e em que o ponto P tem coordenadas (x0, y0). Sejam

x = x0 + pt, y = y0 + qt, t ∈ R

equacoes parametricas de m em relacao a este referencial. A recta msera tangente a C em P se substituindo estas expressoes na equacaoda conica obtivermos uma equacao do 2o grau. Com efeito a hipotesede que p ∈ C implica que t = 0 e solucao da equacao e a hipotese deC ∩m = {P} implica que esta equacao nao tem solucoes diferentes det = 0.

Suponhamos primeiro que C e uma elipse, de equacao

x2

a2+y2

b2= 1.

Substituindo as expressoes dos pontos da recta na equacao da conica eusando P ∈ C obtemos a equacao

(2px0

a2+

2qy0

b2)t+ (

p2

a2+q2

b2)t2 = 0.

Dado que (p, q) 6= (0, 0), temos p2

a2 + q2

b26= 0, donde a equacao acima e

do 2o grau. A hipotese C ∩m = {P} implica imediatamente que t = 0e uma raiz dupla, donde de facto m e tangente a elipse no ponto P .

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Se C for uma hiperbole de equacao

x2

a2− y2

b2= 1,

obtemos a equacao

(2px0

a2− 2qy0

b2)t+ (

p2

a2− q2

b2)t2 = 0.

Esta equacao nao e do 2o grau se e so se p2

a2 − q2

b2= 0. Esta ultima

igualdade da-se se e so se a recta m e paralela a uma das assıntotas.

No caso da parabola definida por uma equacao do tipo x2 = 2ay, aequacao obtida por substituicao e p2t2 = 2(aq− px0)t, que nao e do 2o

grau se e so se p = 0 ou seja se e so se m e paralela ao eixo dos yy.Esta ultima condicao e equivalente a l ser perpendicular a directriz daparabola, pelo que temos a proposicao demonstrada. ♦

Observacoes 1) Desta demonstracao obtemos tambem um metodo decalcular as tangentes a um dado ponto de uma conica nao degeneradae concluımos que existe uma e uma so tangente a um dado ponto.

2) Tambem decorre da demonstracao que uma recta paralela a umaassımptota da hiperbole intersecta a hiperbole no maximo num ponto,enquanto que uma recta perpendicular a directriz de uma parabolaintersecta a parabola exactamente num unico ponto.

Propriedades reflectoras das conicas

A tangente a uma conica num ponto goza de propriedades impor-tantes:

Proposicao Seja E uma elipse de focos F1 e F2 e P um ponto de E . Atangente a E em P bissecta um dos pares de angulos opostos formadospor F1P e F2P .

Demonstracao Consideremos as rectas F1P e F2P e em F2P escolhemosum ponto T de tal forma que P esta entre T e F2 e tal que d(T, P ) =d(F1, P ). Seja m a mediatriz do segmento [F1, T ]. Como d(T, P ) =d(F1, P ), P ∈ m.

Se F1, F2, T sao colineares, entao m e a perpendicular a recta F1F2

que passa no ponto P e os angulos formados por F1P e F2P com l saoambos rectos e portanto iguais.

Se F1, F2, T nao sao colineares, consideremos o triangulo [F1PT ],que e isosceles, dado que os segmentos [F1P ] e [TP ] tem o mesmocomprimento. A recta m passa pelo ponto medio M do segmento [F1T ],e temos ∠F1PM = ∠MPT . Se S for um ponto de m tal que P esta

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entre M e S, temos tambem ∠MPT = ∠F2PS por serem angulosopostos.

Temos entao que, em ambos os casos (F1, F2, T colineares ou nao), osangulos formados por F1P e F2P com m sao iguais. Para demonstraro que pretendemos, basta-nos ver que m e a tangente a E no ponto Pe para isso usaremos o facto de uma recta ser tangente a uma elipsenum ponto P se a interseccao da recta e a elipse for exactamente P .

Suponhamos entao que Q ∈ E ∩ m. Dado que m e a mediatriz de[F1T ],

d(Q,F1) = d(Q, T ).

Por outro lado, como Q ∈ E , por definicao de elipse temos

d(Q,F1) + d(Q,F2) = d(P, F1) + d(P, F2).

Logo d(Q, T ) + d(Q,F2) = d(P, T ) + d(P, F2).Por construcao o ponto P esta no segmento [F2T ] e logo

d(P, T ) + d(P, F2) = d(T, F2),

donde deduzimos que

d(Q, T ) + d(Q,F2) = d(T, F2).

Desta ultima igualdade concluimos que Q ∈ [F2T ], e portanto Q e umponto comum a recta m e a recta definida por F2 e T , donde P = Q.Provamos assim que m ∩ E = {P} e portanto m e a tangente a E emP .♦

Proposicao Seja P uma parabola definida pela directriz l e foco F eseja P um ponto de P . Se T for o pe da perpendicular baixada de Ppara l, os angulos formados por PT e PF com a tangente a P em Psao iguais.

Demonstracao A distancia de P a l e exactamente d(P, T ). Se m for amediatriz de [FT ] temos que, por definicao de parabola, P ∈ m.

Se F, P, T sao colineares, entao m e a paralela a recta l que passa noponto P e os angulos formados por FP e FT com m sao ambos rectose portanto iguais.

Se F, P, T nao sao colineares, consideremos o triangulo [FPT ], quee isosceles, dado que os segmentos [FP ] e [TP ] tem o mesmo com-primento. m passa pelo ponto medio M do segmento [FT ], e temos∠FPM = ∠MPT .

Temos entao que, em ambos os casos (F, P, T colineares ou nao), osangulos formados por FT e FP com l sao iguais. Para demonstraro que pretendemos, basta-nos ver que m e a tangente a P no pontoP . Dado que m passa por P e T /∈ m, m nao e perpendicular a l.Portanto para mostrar que m e tangente a P em P basta-nos mostrarque a interseccao da recta m e da parabola P e exactamente P .

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Suponhamos entao que Q ∈ P ∩m. Dado que m e a mediatriz de[FT ], d(Q,F ) = d(Q, T ). Por outro lado, como Q ∈ P , por definicao deparabola temos d(Q,F ) = d(Q, l) e logo d(Q, T ) = d(Q, l). Como T ∈l, pelas propriedades da distancia de um ponto a uma recta, concluımosque T e o pe da perpendicular baixada de Q para l. Dado que uma rectaperpendicular a l intersecta P num unico ponto, temos necessariamenteQ = P .♦

Observacoes 1) Para as hiperboles temos propriedades semelhantes,i.e. dada uma hiperbole H de focos F1 e F2 e um ponto P de H, atangente a H em P bissecta um dos pares de angulos opostos formadospor F1P e F2P .

2) Para uma demonstracao analıtica das proposicoes anteriores verRey Pastor.

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AplicacoesAs leis da fısica de reflexao dizem que os raios incidentes e reflectidos

num ponto de uma curva fazem angulos iguais com a tangente a curvanesse ponto. Do que vimos temos entao que um raio saindo de um focode uma elipse e reflectido de forma a que passa pelo outro foco.

Tambem um raio saindo do foco de uma parabola e reflectido segundouma direccao paralela ao eixo da parabola, enquanto que os raios comdireccao paralela ao eixo da parabola sao reflectidos de forma a queconvergem no foco.

Como aplicacoes destas propriedades temos por exemplo:

antenas parabolicas;

forma (de seccao parabolica) dos farois dos carros e das lanternasportateis;

o ”truque” para fazer fogo usando um pedaco de vidro de seccaoparabolica.

Congruencias, semelhancas, transformacoes afins

Temos o seguinte:

Teorema Duas elipses E e E ′ definidas respectivamente por

E = {X : d(X,F1) + d(X,F2) = 2a},E ′ = {X : d(X,G1) + d(X,G2) = 2b},

sao congruentes se e so se

d(F1, F2) = d(G1, G2), a = b.

Duas hiperboles H e H′ definidas respectivamente por

H = {X : |d(X,F1)− d(X,F2)| = 2a},H′ = {X : |d(X,G1)− d(X,G2)| = 2b},

sao congruentes se e so se

d(F1, F2) = d(G1, G2), a = b.

Duas parabolas P e P ′ definidas respectivamente por

P = {X : d(X,F ) = d(X, l)},E ′ = {X : d(X,G) = d(X,m)},

sao congruentes se e so se

d(F, l) = d(G,m).

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Demonstracao Ver Rey Pastor ou Borsuk, ou observar como construımoso referencial de forma a obter as descricoes das conicas de uma formasimples.

Definicao Uma semelhanca de razao k (k > 0) do plano e uma bijeccaof que satisfaz

d(f(P ), f(Q)) = k d(P,Q)

para todos os pontos P,Q do plano.

Uma semelhanca embora nao preserve as distancias preserva os angulos.

Duas figuras geometricas A e B dizem-se semelhantes se houver umasemelhanca F tal que f(A) = B.

Temos o seguinte:

Teorema Duas parabolas P e P ′ sao sempre semelhantes.

Duas elipses E e E ′ sao semelhantes se e so se tiverem a mesmaexcentricidade e.

Duas hiperboles H e H′ sao semelhantes se e so se tiverem a mesmaexcentricidade e.

Demonstracao Ver Borsuk.

As semelhancas sao casos particulares de transformacoes afins (que saoa composicao de uma aplicacao linear com uma translacao). Temos:

Teorema Dadas duas elipses ou circunferencias existe sempre umatransformacao afim que aplica uma na outra.

Dadas duas hiperboles existe sempre uma transformacao afim queaplica uma na outra.

Demonstracao Ver Borsuk.

Sugestoes de bibliografia

J.Roe Elementary geometry, Oxford Science Publications, 1993 Muitoclaro, descreve as conicas tambem em coordenadas polares e apresentaas parametrizacoes racionais das conicas.

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J.Rey Pastor Geometria analitica, Editorial Kapelusz, Buenos Aires,1959 Bastante completo, em espanhol.

K.Borsuk Multidimensional analytic geometry, PWN, Varsovia, 1969Muito completo e claro, apresentando em particular a forma de obterconicas dadas como seccoes de cones (do ponto de vista analıtico).

Brieskorn e Knorrer Plane algebraic curves, Birkhauser Tem umaparte historica e descreve construcoes de conicas.

J.Sebastiao e Siva Geometria analıtica plana, 4o capıtulo do manual doantigo 7o ano do liceu.

Hilbert e Cohn-Vossen Geometry and the imagination, Chelsea Pub-lishing, 1952

C.Stanley Ogilvy Excursions in geometry, Dover Publications, 1969.