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ph]

11

May

201

6

A representação de Kraus para a dinâmica de sistemas quânticos abertos

(The Kraus representation for the dynamics of open quantum systems)

Jonas Maziero1, 2, ∗

1Departamento de Física, Centro de Ciências Naturais e Exatas,

Universidade Federal de Santa Maria, Avenida Roraima 1000, 97105-900, Santa Maria, RS, Brazil2Instituto de Física, Facultad de Ingeniería, Universidad de la República,

J. Herrera y Reissig 565, 11300, Montevideo, Uruguay

A necessidade e utilidade de se considerar a interação com o ambiente quando da descrição daevolução temporal de sistemas quânticos vem sendo reconhecida nos mais variados ramos da física ede outras ciências. A representação de Kraus é uma forma geral e sucinta para descrever a dinâmicade sistemas quânticos abertos em muitas situações físicas relevantes. Neste artigo, nos abstendo dageneralidade do formalismo de operações quânticas e evitando assim as complicações associadas,mostramos de forma simples como obter tal representação usando basicamente a evolução unitáriado sistema fechado (sistema mais ambiente) e a função traço parcial. O exemplo de um átomode dois níveis interagindo com o vácuo do campo eletromagnético é considerado para ilustrar aaplicação desse formalismo, que por fim é utilizado para estudar a evolução temporal da coerênciaquântica do átomo.Palavras chave: mecânica quântica, sistemas abertos, representação de Kraus

The necessity and utility of considering the interaction of a quantum system with its environmentwhen describing its time evolution have been recognized in several branches of physics and of othersciences. The Kraus’ representation is a general and succinct approach to describe such open systemdynamics in a wide range of relevant physical scenarios. In this article, by abdicating from the gen-erality of the formalism of quantum operations and with this avoiding its associated complications,we show in a simple manner how we can obtain the Kraus’ representation using basically the closedsystem (system plus environment) unitary dynamics and the partial trace function. The exampleof a two-level atom interacting with the vacuum of the electromagnetic field is regarded for thesake of instantiating this formalism, which is then applied to study the time evolution of the atom’squantum coherence.Keywords: quantum mechanics, open systems, Kraus’ representation

I. INTRODUÇÃO

A mecânica quântica (MQ) é um dos grandes triun-fos obtidos na construção do conhecimento humano e éa base sobre a qual se desenvolveu boa parte das tec-nologias atuais [1]. Hoje em dia, informação possui umpapel fundamental em nossas vidas e por isso dizemosque estamos na era da informação. Ainda nesse séculoentraremos em outra etapa da nossa história, a era da

informação quântica [2, 3]. Testemunharemos a realiza-ção de experimentos controlando propriedades físicas taiscomo coerência e correlações quânticas de forma que ja-mais foi cogitada pelos precursores da MQ (veja e.g. asRefs. [4], p. 70, e [5]), nem pela maioria de nós hojeem dia. Mesclando essa habilidade com a engenhosidadeinstigada pela corrida tecnológica, lograremos construirmáquinas e dispositivos que terão um impacto inimagi-nável na maneira como vivemos e interagimos.

Embora haja muito ainda por ser feito, já conseguimosobter avanços importantes em várias sub-áreas do quechamamos atualmente de ciência da informação quân-

tica (CIQ), mas que na verdade engloba muitos ramos

∗Electronic address: jonas.maziero@ufsm.br

da ciência. Investimentos substanciais estão sendo feitos,por exemplo, para construir computadores e simuladoresquânticos que poderão resolver alguns problemas mate-máticos e simular o comportamento de sistemas comple-xos de maneira muito mais eficiente que os computado-res convencionais, clássicos, o fazem [6, 7]. Este é só umde diversos exemplos de iniciativas promissoras em CIQ,que vão desde a possibilidade de comunicação absoluta-mente segura [8] e de medidas mais precisas em metro-logia [9, 10], passando pela termodinâmica quântica desistemas “pequenos” [11] e pelo entendimento de e inspi-ração em sistemas biológicos [12] e indo até a ramos tãoabrangentes quanto a inteligência artificial [13–16].

Tendo essa perspectiva em vistas, devemos reconhe-cer a importância de prepararmos e educarmos nossascrianças e jovens para que esse “novo mundo” seja maisnatural (menos estranho) para eles do que é para nós.Por isso, iniciativas objetivando facilitar o entendimentoda MQ são necessárias [17–22]. A motivação para esteartigo vem da observação de que na maioria dos livrostexto sobre MQ, tipicamente se assume, implicitamente,que o sistema físico de interesse é fechado, ou seja, quenão interage como o seu ambiente e que sua dinâmicaé unitária. Aqui esperamos contribuir para o ensino deMQ apresentando de maneira simples a representação deKraus para a dinâmica quântica de sistemas abertos, oque é o caso para a maioria dos sistemas físicos reais.

2

Uma maneira interessante para iniciar o aprendizadomais aprofundado de MQ é, depois de ter obtido uma boabase de álgebra linear e de ter feito leituras sobre a fe-nomenologia da MQ, estudar seus postulados fundamen-tais [23–27]. Um apresentação didática dos postuladosdos estados e das medidas pode ser encontrada na Ref.[27]. Aqui focaremos no postulado da dinâmica. Antesde apresentá-lo, no entanto, lembremos que o estado deum sistema físico é descrito, de forma mais geral, por umoperador densidade, que é um operador linear, positivosemi-definido e que possui traço igual a um1.

O postulado da dinâmica diz que, se H é o operadorhamiltoniano (energia) de um sistema isolado no instantede tempo t, seu estado evolui no tempo através de umatransformação unitária, ou seja,

ρt = U ρU †, (1)

em que ρ é o estado inicial (em t = 0) do sistema eo operador de evolução temporal é obtido a partir daequação de Schrödinger:

i~∂tU = HU , (2)

em que ~ é a constante de Planck e, neste artigo, usare-mos a notação ∂t ≡ ∂

∂t. Não é difícil verificar que as Eqs.

(1) e (2) são equivalentes à equação de von Neumann2:

i~∂tρt = [H, ρt]. (3)

Vale mencionar que, por suas estruturas algébricas, asEqs. (1) e (3) são chamadas, respectivamente, de versõesdiscreta3 e contínua4 da dinâmica quântica de sistemasfechados. Neste artigo trabalharemos com a generaliza-ção para sistemas abertos da versão discreta, que é devidaa Kraus [28, 29] e é bastante útil para descrever a evolu-ção temporal de vários sistemas físicos reais. Para maisinformações sobre generalizações da versão contínua, taiscomo os formalismos de Redfield, das equações mestras edas trajetórias quânticas, veja [30–33] e suas referências.

Quando lidamos com dois (ou mais) graus de liberdade,chamados e.g. de S e A, ou seja, quando consideramos

1 Um operador O é linear se O(∑

j cj |ψj〉) =∑

j cjO(|ψj〉), onde

cj ∈ C e {|ψj〉} é um conjunto qualquer de vetores do espaço deHilbert H [27]. Esse operador é positivo semi-definido (notação

O ≥ 0, onde 0 é o operador nulo) se 〈ψ|O|ψ〉 ≥ 0 para todo vetor

|ψ〉 ∈ H. O traço de O é definido como: Tr(O) =∑d

j=1〈ξj |O|ξj〉,

com d sendo a dimensão e {|ξj〉} uma base de H.2 No caso de estados iniciais puros, i.e., ρ = |ψ〉〈ψ| (quando não

existe incerteza clássica sobre a preparação do sistema [27]), te-

mos |ψt〉 = U |ψ〉, que, junto com a Eq. (1), é equivalente à

equação de Schrödinger para o estado: i~∂t|ψt〉 = H|ψt〉.3 Pois, uma vez que U é conhecido, essa equação é uma mapa

discreto ρ 7→ ρt.4 Pois essa equação é uma equação diferencial que envolve vari-

ações de ρ em intervalos de tempo infinitesimais em torno doinstante de tempo t.

sistemas compostos, complementamos o postulado dos es-tados [27] assumindo que o estado do sistema como umtodo é descrito por um operador densidade definido noespaço de Hilbert que é obtido tomando-se o produto ten-sorial dos espaços individuais, i.e., HS⊗HA =: HSA [23].Neste contexto, frequentemente conhecemos o estado glo-bal mas queremos calcular probabilidades relacionadas asomente um dos sub-sistemas. Para isso é convenienteusar a função linear traço parcial, cuja definição é [24]:

TrA (|ψ〉〈φ| ⊗ |ξ〉〈ζ|) := |ψ〉〈φ| ⊗ TrA (|ξ〉〈ζ|)= 〈ζ|ξ〉|ψ〉〈φ|, (4)

em que |ψ〉, |φ〉 ∈ HS e |ξ〉, |ζ〉 ∈ HA e tomamos o traçosobre HA. Assim, por exemplo, se o estado do sistemabipartido SA é ρ, o estado do sistema S pode ser obtidousando-se o traço parcial:

ρS = TrA (ρ) .

A continuação deste artigo está organizada da seguinteforma. Começaremos, na Sec. II, obtendo a represen-tação de Kraus para a dinâmica de um sistema quân-tico aberto. Na sequência, na Sec. III, forneceremos umexemplo de aplicação dessa representação na descrição daevolução temporal de um átomo de dois níveis, e de suacoerência quântica, quando esse interage com o campoeletromagnético inicialmente no estado de vácuo. Deixa-mos para o Apêndice as provas das várias propriedadesque são exigidas (ou esperadas) para os operadores e adinâmica de Kraus.

II. A REPRESENTAÇÃO DE KRAUS A PARTIRDA DINÂMICA UNITÁRIA

Nesta seção obteremos, de maneira simples e sem am-biguidades, a representação de Kraus para o estado evo-luído de um sistema quântico discreto. Tentamos sim-plificar ao máximo a notação para que o material sejaacessível a todos os que possuem um conhecimento bá-sico do formalismo matemático da MQ de sistemas fecha-dos. Para evitar as complicações relacionadas à questãoda possível não positividade completa da dinâmica quân-tica gerada a partir de estados iniciais correlacionados[34–40], vamos considerar que sistema e ambiente estãoinicialmente em um estado produto:

ρ = ρS ⊗ |E0〉〈E0|. (5)

O ambiente propriamente dito, ou seja, a parte do uni-verso que pode interagir efetivamente com o sistema Sem uma escala de tempo relevante, poderia estar em umestado misto qualquer. No entanto, para facilitar as de-monstrações, vamos utilizar uma purificação deste estado[24–26]; veja a Fig. 1.

O primeiro passo para a obtenção da representaçãode Kraus é considerar o sistema S mais seu ambiente Acomo sendo um sistema fechado. Assim, o estado desse

3

sistema composto será evoluído no tempo através de umatransformação unitária, como mostrado na Eq. (1), comU obtido da equação de Schrödinger, Eq. (2), com

H = HS ⊗ IA + IS ⊗ HA + gHint, (6)

onde IS(A) é o operador identidade no espaço vetorial

correspondente, HS(A) é o chamado Hamiltoniano livredo sistema (ambiente) e g é um parâmetro real que de-termina o “quão forte” é a interação entre o sistema eseu ambiente, cuja forma é descrita pelo Hamiltonianode interação Hint. Se g = 0 sistema e ambiente evoluemde forma independente, e continuam descorrelacionados.Por outro lado, se g 6= 0 correlações são geradas entresistema e ambiente [41, 42], o que pode influenciar as ca-racterístcas quânticas de S causando, por exemplo, perdade coerência quântica em um processo conhecido comodecoerência [43, 44].

O leitor certamente já verificou que operadores unitá-rios preservam o produto escalar entre vetores do espaçono qual atuam e que o efeito dessas transformações ésimplesmente o de realizar uma mudança de base, ou derepresentação. Então, se consideramos duas bases quais-quer de vetores ortonormais do espaço de Hilbert para osistema composto,

{|Φj〉}, {|Ψj〉} ∈ HS ⊗HA, (7)

com j = 0, · · · , dSdA − 1, onde dS(A) = dim(HS(A)) é adimensão do espaço de estados para o sistema (ambiente),

Figura 1: O sistema S, preparado no estado ρS, pode serinfluenciado efetivamente pelo ambiente A′. Se a decomposi-ção espectral do estado inicial de A′ é ρA′ =

∑

ja′j |a

′j〉〈a

′j |,

podemos utilizar a decomposição de Schmidt [24] e outro am-biente A′′ para purificar esse estado: ρA′ = TrA′′ (|E0〉〈E0|),

com |E0〉 :=∑

j

√

a′j |a′j〉⊗|a′′j 〉 ∈ HA′⊗HA′′ ≡ HA′A′′ =: HA

e {|a′′j 〉} é uma base ortonormal de HA′′ .

podemos escrever:

U =∑

j

|Φj〉〈Ψj |. (8)

As bases que aparecem na última equação definem aação do operador unitário e são completamente gerais,podendo não ser um simples produto tensorial de basesde HS e de HA, fato que dependerá da forma do Hamil-toniano de interação. Será útil, para alcançarmos nossoobjetivo aqui, escrever os vetores dessas duas bases geraisem termos de uma base produto:

{|Sk〉 ⊗ |El〉 =: |SkEl〉}, (9)

onde k = 0, · · · , dS − 1 and l = 0, · · · , dA − 1. A relaçãode completeza em HSA,

I =∑

kl

|SkEl〉〈SkEl|, (10)

é então utilizada para escrever

|Φj〉 = I|Φj〉 (11)

=∑

kl

|SkEl〉〈SkEl||Φj〉 (12)

:=∑

kl

f(j)kl |SkEl〉, (13)

onde definimos os coeficientes complexos

f(j)kl := 〈SkEl|Φj〉. (14)

Analogamente

|Ψj〉 =∑

kl

g(j)kl |SkEl〉, (15)

com os coeficientes

g(j)kl := 〈SkEl|Ψj〉. (16)

Assim o operador unitário toma a forma:

U =∑

j

∑

kl

f(j)kl |SkEl〉

∑

mn

g(j)∗mn 〈SmEn| (17)

=∑

jklmn

f(j)kl g

(j)∗mn |SkEl〉〈SmEn|, (18)

em que usamos o fato de que (c|ξ〉)† = c∗〈ξ| para qualquerc ∈ C, com c∗ sendo o complexo conjugado de c.

Usando o operador unitário escrito em termos da baseproduto, aplicado como mostrado na Eq. (1), e a funçãotraço parcial, o estado evoluído do sistema S,

ρSt = TrA(ρt) = TrA(U ρU†), (19)

é obtido como segue:

4

ρSt = TrA∑

jklmn

f(j)kl g

(j)∗mn |SkEl〉〈SmEn|

(ρS ⊗ |E0〉〈E0|

) ∑

opqrs

f (o)∗pq g(o)rs |SrEs〉〈SpEq|

= TrA∑

jklmnopqrs

f(j)kl g

(j)∗mn f

(o)∗pq g(o)rs |SkEl〉〈SmEn|

(ρS ⊗ |E0〉〈E0|

)|SrEs〉〈SpEq| (20)

= TrA∑

jklmnopqrs

f(j)kl g

(j)∗mn f

(o)∗pq g(o)rs |Sk〉〈Sm|ρS |Sr〉〈Sp| ⊗ |El〉〈En|E0〉

︸ ︷︷ ︸

=δn0

〈E0|Es〉︸ ︷︷ ︸

=δ0s

〈Eq| (21)

=∑

jklmopqr

f(j)kl g

(j)∗m0 f

(o)∗pq g

(o)r0 |Sk〉〈Sm|ρS |Sr〉〈Sp|TrA(|El〉〈Eq|)

︸ ︷︷ ︸

=〈Eq|El〉=δql

(22)

=∑

jklmopr

f(j)kl g

(j)∗m0 f

(o)∗pl g

(o)r0 |Sk〉〈Sm|ρS |Sr〉〈Sp| (23)

=∑

jklmopr

〈SkEl|Φj〉〈Ψj |SmE0〉〈Φo|SpEl〉〈SrE0|Ψo〉|Sk〉〈Sm|ρS |Sr〉〈Sp| (24)

=∑

jklmopr

〈SkEl|Φj〉〈Ψj |SmE0〉|Sk〉〈Sm|ρS |Sr〉〈Sp|〈SrE0|Ψo〉〈Φo|SpEl〉 (25)

=∑

klmpr

〈SkEl|(∑

j |Φj〉〈Ψj |)

|SmE0〉|Sk〉〈Sm|ρS |Sr〉〈Sp|〈SrE0| (∑

o|Ψo〉〈Φo|) |SpEl〉 (26)

=∑

klmpr

〈SkEl|U |SmE0〉|Sk〉〈Sm|ρS |Sr〉〈Sp|〈SrE0|U †|SpEl〉. (27)

Acima δjk é a função delta de Kronecker. Na passagemda Eq. (20) para a Eq. (21) lembramos que |SkEl〉 =|Sk〉 ⊗ |El〉 e usamos o fato de que

(A⊗ B)(C ⊗ D) = AC ⊗ BD (28)

para quaisquer quatro matrizes complexas A, B, C, D.Para obter (22) de (21) usamos a linearidade do traçoparcial. Já a Eq. (24) é obtida a partir de (23) usando asexpressões para os coeficientes complexos definidos acimaem termos do produto interno entre os vetores base. Re-arranjando os termos da Eq. (25) “fazemos aparecer” osoperadores unitários de (26), o que leva à Eq. (27).

Prosseguindo definimos os elementos de matriz dosoperadores de Kraus na base {|Sk〉} em termos dos ele-mentos de matriz de U na base produto5:

〈Sk|Kl|Sm〉 := 〈SkEl|U |SmE0〉. (29)

Essa relação implica em 〈Sm|K†l |Sk〉 = 〈SmE0|U †|SkEl〉

5 Queremos chamar a atenção para o fato de não ser raro encon-trarmos os operadores de Kraus escritos da seguinte forma (veja

por exemplo a Ref. [24]): Kl = 〈El|U |E0〉. Embora o signifi-cado dessa equação seja claro para quem está familiarizado como assunto, evitamos utilizá-la neste artigo pois, além do produtomatricial U |E0〉 não ser bem definido matematicamente, esse tipode notação pode confundir sem necessidade aqueles que estudamo tópico pela primeira vez.

e portanto

ρSt =∑

klmpr

〈Sk|Kl|Sm〉|Sk〉〈Sm|ρS |Sr〉〈Sp|〈Sr|K†l |Sp〉

=∑

klmpr

|Sk〉〈Sk|Kl|Sm〉〈Sm|ρS |Sr〉〈Sr|K†l |Sp〉〈Sp|

=∑

l

ISKlIS ρSISK

†l IS . (30)

Chegamos assim à representação da soma de operadores

de Kraus :

ρSt =∑

l

KlρSK

†l . (31)

É bastante comum encontrarmos o operador densidadeρSt escrito como $[ρS ] (ou com outro símbolo no lugar de$). Esse procedimento enfatiza que a operação quântica$ é um mapa (discreto) entre os estados ρS e ρSt , o que édenotado por

$ : ρS 7→ ρSt . (32)

Como $ é um mapa que leva operador em operador eleé, algumas vezes, chamado de super-operador. No Apên-dice mostramos que os operadores de Kraus da Eq. (29)estão definidos em HS , que são lineares e que a dinâmicagerada por eles (Eq. (31)) preserva o traço e é positiva.Também discutimos a não unicidade do conjunto de ope-radores de Kraus que geram a evolução temporal de Se o consequente limite no número de tais operadores ne-cessários para descrevê-la.

5

III. ÁTOMO DE DOIS NÍVEIS INTERAGINDOCOM O VÁCUO DO CAMPO

ELETROMAGNÉTICO

Como o propósito de exemplificar a aplicação da re-presentação de Kraus, nesta seção vamos considerar umátomo de dois níveis, e.g. um átomo de Rydberg [45–48]ou sistemas análogos [49–51], cujos estados fundamentale excitado serão denotados, respectivamente, por |S0〉 e|S1〉. O ambiente desse átomo é o campo eletromagné-tico, que está inicialmente no estado de vácuo (i.e., comnenhuma excitação), que chamaremos de |E0〉. Estadosdo ambiente contendo j fótons espraiados por seus modossão denotados por |Ej〉. Sob essas condições um processode emissão “espontânea” ocorrerá por causa da interaçãodo sistema atômico com as flutuações quânticas do vácuo[52, 53]. Essa dinâmica pode ser modelada via o seguintemapa fenomenológico [24, 25]:

UCAA|S0E0〉 = |S0E0〉, (33)

UCAA|S1E0〉 =√

1− p|S1E0〉+√p|S0E1〉,

que em CIQ é conhecido como canal de amortecimento de

amplitude (CAA) [24, 25]. A interpretação desse mapa ésimples. Se o átomo está inicialmente no estado funda-mental, ele continuará assim pois não há energia algumapara “circular” pelos sistemas. No entando, se o átomoestiver inicialmente no estado excitado, este emitirá, emum processo randômico, um fóton com probabilidade p(i.e., 0 ≤ p ≤ 1), que é proporcional ao tempo de intera-ção átomo-campo. Como o ambiente é muito “grande”,vai demorar também um tempo muito grande, conside-rado na prática como sendo infinito, para que o fótonseja recapturado pelo átomo. Dessa observação inferi-mos que o estado assimptótico do átomo será |S0〉, in-dependentemente de qual seja o seu estado inicial. Aprobabilidade p é muitas vezes chamada de tempo para-metrizado [33, 41, 42, 54]. Se observarmos a taxa γ comque um número muito grande desses átomos, todos inde-pendentes um do outro, perdem suas excitações, temosque p ≈ 1 − e−γt [54]. Portando t = 0 s corresponde ap = 0, enquanto p = 1 seria o limite assimptótico t→ ∞.

A. Operadores de Kraus para o CAA

Nesta sub-seção utilizaremos a relação 〈Sk|Kl|Sm〉 :=〈SkEl|UCAA|SmE0〉, com a ação do operador unitáriodada pelo canal de amortecimento de amplitude (Eqs.(33)), para obter os operadores de Kraus que geram essadinâmica quântica:

• K0:

〈S0|K0|S0〉 = 〈S0E0|UCAA|S0E0〉= 〈S0E0|S0E0〉 = 1. (34)

〈S0|K0|S1〉 = 〈S0E0|UCAA|S1E0〉= 〈S0E0|(

√

1− p|S1E0〉+√p|S0E1〉)

= 0. (35)

〈S1|K0|S0〉 = 〈S1E0|UCAA|S0E0〉= 〈S1E0|S0E0〉 = 0. (36)

〈S1|K0|S1〉 = 〈S1E0|UCAA|S1E0〉= 〈S1E0|(

√

1− p|S1E0〉+√p|S0E1〉)

=√

1− p. (37)

i.e., na base {|Sj〉}

K0 =

[1 00

√1− p

]

. (38)

• K1:

〈S0|K1|S0〉 = 〈S0E1|UCAA|S0E0〉= 〈S0E1|S0E0〉 = 0. (39)

〈S0|K1|S1〉 = 〈S0E1|UCAA|S1E0〉= 〈S0E1|(

√

1− p|S1E0〉+√p|S0E1〉)

=√p. (40)

〈S1|K1|S0〉 = 〈S1E1|UCAA|S0E0〉= 〈S1E1|S0E0〉 = 0. (41)

〈S1|K1|S1〉 = 〈S1E1|UCAA|S1E0〉= 〈S1E1|(

√

1− p|S1E0〉+√p|S0E1〉)

= 0. (42)

i.e., na base {|Sj〉}

K1 =

[0

√p

0 0

]

. (43)

• Kl≥2 = 0, com 0 sendo o operador nulo, pois há nomáximo um fóton no sistema como um todo e porconseguinte 〈SmEl≥2|UCAA|SnE0〉 = 0.

B. Dinâmica da coerência quântica sob o CAA

Segundo Feynman, a coerência quântica (CQ) é o as-pecto mais fundamental da mecânica quântica [55]. Apalavra coerência (ou mesmo CQ) se fez presente por vá-rios anos em óptica quântica e em áreas correlatas (vejae.g. [56, 57] e suas referências). Nos últimos dois anostem-se reconsiderado a CQ do ponto de vista de teoria

6

de recursos [58–65], o que gerou um intensa e produtivaatividade de pesquisa sobre esse tema [66–73].

Aqui, evitando demasiados detalhes, diremos que umsistema físico preparado em um certo estado ρ possuiCQ em relação a uma dada base {|oj〉} (ou observávelO =

∑

j oj |oj〉〈oj |, com oj ∈ R) se, quando representadonaquela base, possuir elementos de matriz fora da dia-gonal principal (〈oj |ρ|ok〉 com j 6= k) não nulos. Noteque isso implica na existência de incerteza quântica emrelação a qual resultado será obtido em uma medida deO [27]. A soma dos módulos desses elementos de matriznos fornece um boa medida de CQ [67]:

C(ρ) =∑

j 6=k

|〈oj |ρ|ok〉|. (44)

Vamos estudar como a dinâmica do sistema conside-rado nesta seção influencia a sua CQ. Assumiremos queo átomo está inicialmente em um estado qualquer:

ρS =1

2

(

IS + ~r · ~σ)

, (45)

onde ~r = (r1, r2, r3) é o vetor de Bloch, com rj =Tr(ρS σj

)∈ R sendo as “polarizações” para este estado, e

~σ = (σ1, σ2, σ3) com as matrizes de Pauli, na base {|Sj〉},sendo escritas como:

σ1 =

[0 11 0

]

, σ2 =

[0 −ii 0

]

, σ3 =

[1 00 −1

]

. (46)

Assim, na base {|Sj〉},

ρS =1

2

[1 + r3 r1 − ir2r1 + ir2 1− r3

]

(47)

e a CQ do estado inicial, em relação a essa base, é dadapor:

C(ρS) = 2−1(|r1 − ir2|+ |r1 + ir2|) (48)

=√

r21 + r22 . (49)

em que usamos r1, r2 ∈ R e, para z ∈ C,

|z| = |z∗| =√

Re(z)2 + Im(z)2. (50)

Se aplicarmos as Eqs. (38) e (43) ao estado inicial geralda Eq. (45), o estado evoluído do átomo,

ρSp =

1∑

j=0

Kj ρSK

†j , (51)

será

ρSp =1

2

1∑

j=0

KjISK†j +

1∑

j=0

Kj~r · ~σK†j

(52)

=1

2

1∑

j=0

KjK†j +

3∑

k=1

rk

1∑

j=0

KjσkK†j

. (53)

Podemos verificar que

1∑

j=0

KjK†j = K0K

†0 +K1K

†1

=

[1 00

√1− p

] [1 00

√1− p

]

+

[0

√p

0 0

] [0 0√p 0

]

=

[1 00 (1 − p)

]

+

[p 00 0

]

=

[1 00 1

]

+ p

[1 00 −1

]

= IS + pσ3 (54)

e

1∑

j=0

Kj σ1K†j = K0σ1K

†0 + K1σ1K

†1

=

[1 00

√1− p

] [0 11 0

] [1 00

√1− p

]

+

[0

√p

0 0

] [0 11 0

] [0 0√p 0

]

=

[0 1√1− p 0

] [1 00

√1− p

]

+

[√p 00 0

] [0 0√p 0

]

=

[0

√1− p√

1− p 0

]

+

[0 00 0

]

=√

1− p

[0 11 0

]

= σ1√

1− p. (55)

Da mesma maneira podemos obter a relação geral (parak = 1, 2, 3):

1∑

j=0

KjσkK†j =

(√

1− p)(1+δ3k)

σk. (56)

Assim o estado evoluído do átomo toma a seguinte forma:

ρSp = 2−1(IS + pσ3 + r1√

1− pσ1 + r2√

1− pσ2

+r3(1− p)σ3) (57)

=1

2

(

IS + ~rp · ~σ)

, (58)

com o vetor de Bloch evoluído no tempo sendo

~rp = (r1(p), r2(p), r3(p))

=(

r1√

1− p, r2√

1− p, p+ r3(1− p))

. (59)

Assim a CQ do átomo em um instante de tempo qual-quer é dada pela Eq. (49) com {rj}2j=1 substituídos por{rj(p)}2j=1. Por conseguinte

C(ρSp ) =√

1− pC(ρS). (60)

Ou seja, se C(ρS) 6= 0 a CQ do átomo diminui monoto-nicamente indo a zero quando t → ∞. A taxa de decai-mento da CQ não depende do estado inicial, mas sim dataxa de decaimento do átomo; veja a Fig. 2.

7

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0p0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0CQ

Figura 2: Qualquer estado ρ de um sistema de dois níveis pode ser representado por seu vetor de Bloch ~r em uma região de R3

conhecida como bola de Bloch. Em coordenadas esféricas, as componentes deste vetor são: r1 = r sin θ cosφ, r2 = r sin θ sinφe r3 = r cos θ, com r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, π] e φ ∈ [0, 2π). Nessa figura estão mostradas as evoluções temporais do vetor de Bloch(trajetórias no gráfico de cima) e da coerência quântica (gráfico de baixo) para estados iniciais puros (r = 1, estes estados estãona superfície da bola de Bloch, i.e., na esfera de Bloch) restritos ao plano r2 = 0 (φ = 0), com o ângulo θ = jπ/8 (j = 1, · · · , 8)e evoluídos sob a ação do CAA. Estes estados iniciais são equivalentes a ρ = |ψ〉〈ψ| com |ψ〉 = cos(θ/2)|S0〉 + sin(θ/2)|S1〉.No gráfico de cima obtemos os diferentes estados iniciais, e trajetórias, iniciando com θ = π/8 (curva vermelha) e aumentandoθ de π/8 para obter o próximo estado mais abaixo. No gráfico de baixo as linhas pontilhadas são para j > 4, e para j ≤ 4usamos linhas contínuas. Notamos que, para qualquer estado inicial, o estado assimptótico de S é |S0〉. Em todos os casos acoerência quântica diminui monotonicamente com o tempo parametrizado. No caso j = 8 a CQ é zero sempre. Observamostambém que a CQ é simétrica em relação ao ângulo θ = π/2, ou seja, C(ρSp (π/2 + δ)) = C(ρSp (π/2− δ)) para qualquer ânguloδ e tempo p. Isso indica a proporcionalidade entre a CQ de um estado e a sua distância euclidiana até a linha incoerenteq|S0〉〈S0|+ (1− q)|S1〉〈S1|, com 0 ≤ q ≤ 1.

IV. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Como foi bem colocado por Robert Sppekens em [74],existem dois tipos de revolução em física. A primeira,a mais notada, é a aquela onde substituímos uma teo-ria antiga por outra teoria conceitualmente nova e maisabrangente, com a teoria da relatividade geral de Eins-tein e a mecânica quântica sendo importantes exemplos.O segundo tipo de revolução é mais lento, mas não me-nos importante, e envolve uma mudança de perspectivasobre uma teoria existente. Um exemplo disso é o usode princípios de simetria, de mínima ação e termodinâ-micos em física. Tratando-se teorias físicas do ponto devista de teoria de informação, ou seja, considerando-seestados físicos como sendo recursos, tem-se conseguidoaperfeiçoar e generalizar esses princípios.

Com o desenvolvimento da ciência da informação quân-tica, mostrou-se que os mais variados aspectos de esta-dos físicos (e.g., assimetria [63], atermalidade [61], ema-ranhamento [60], não localidade quântica [75], coerênciaquântica [69], discórdia quântica [65], etc) podem ser uti-

lizados como recursos para a realização mais eficiente dediversos tipos de tarefas importantes para a ciência, tec-nologia e sociedade. Nesse contexto, implementações nolaboratório de protocolos que se utilizem desses recursosenvolvem um balanço delicado entre o controle necessáriodo sistema quântico de interesse e da sua interação como ambiente. Por isso é imprescindível levar em conta esteúltimo quando da descrição do sistema utilizado. Porconseguinte, é importante que, nas universidades e insti-tutos de educação e pesquisa, trabalhemos antes e maiscom a teoria de sistemas quânticos abertos.

Com a intenção de contribuir com esse projeto, nesteartigo derivamos, de forma simples e livre de ambigui-dades, a representação de Kraus para a dinâmica de sis-temas quânticos abertos. Esperamos que esse trabalhoajude a desmistificar esse formalismo e estimule o seuuso, que se faz útil para descrever muitos sistemas fí-sicos reais de interesse para várias áreas de pesquisa eem particular para CIQ. Nesse sentido, exemplificamos aaplicação desse formalismo estudando a dinâmica do es-tado e da coerência quântica de um átomo de dois níveis

8

interagindo com o vácuo do campo eletromagnético.

Agradecimentos

Este trabalho foi realizado com o suporte financeirodo CNPq, processos 441875/2014-9 e 303496/2014-2, doInstituto Nacional de Ciência e Tecnologia de InformaçãoQuântica, processo 2008/57856-6, e da CAPES, processo6531/2014-08. Agradeço a hospitalidade do Instituto deFísica e do Grupo de Espectroscopia Laser da Universi-dad de la República, Uruguai, onde este artigo foi com-pletado, e a Adriana Auyuanet por sugestões e por dis-cussões sobre o tema deste artigo. Agradeço também aosRevisores por suas sugestões e críticas, que ajudaram amelhorar este artigo.

Apêndice: Propriedades da dinâmica gerada

Neste apêndice vamos verificar que os operadores deKraus estão definidos em HS , que são lineares e que a di-nâmica gerada é positiva e preserva o traço. Além disso,vamos discutir a não unicidade dos operadores de Krause o consequente limite no número de tais operadores quesão necessários para descrever a dinâmica de S.

1. Ação dos operadores de Kraus

Vamos verificar que, como é esperado, os operadoresde Kraus levam vetores de HS em vetores de HS , o quese denota por Kl : HS → HS . Seja |ξ〉 um vetor qualquerde HS . Usando a resolução da unidade escrevemos

Kl|ξ〉 = ISKlIS |ξ〉

=

∑

j

|Sj〉〈Sj |

Kl

(∑

k

|Sk〉〈Sk|)

|ξ〉

=∑

j,k

〈Sj |Kl|Sk〉〈Sk|ξ〉|Sj〉

=∑

j,k

〈SjEl|U |SkE0〉〈Sk|ξ〉|Sj〉

=∑

j

〈SjEl|U(∑

k

|Sk〉〈Sk|)

|ξ〉 ⊗ |E0〉|Sj〉

=∑

j

〈SjEl|U |ξE0〉|Sj〉 (A.1)

:=∑

j

c(l)jξ |Sj〉,

com os coeficientes complexos definidos como c(l)jξ :=

〈SjEl|U |ξE0〉. Como qualquer combinação linear dos ve-tores de uma base de HS também é um vetor de HS

vemos que Kl|ξ〉 ∈ HS e por conseguinte de fato Kl :HS → HS para qualquer valor de l.

De forma similar, podemos escrever K†l |ξ〉 =

∑

j d(l)jξ |Sj〉, com d

(l)jξ = 〈SjE0|U †|ξEl〉, para ver que

K†l |ξ〉 ∈ HS ∀l. Esse fato será útil e.g. para a subse-

quente análise da positividade da dinâmica gerada.

2. Linearidade dos operadores de Kraus

Consideremos uma combinação linear de um conjuntoqualquer de vetores |ζm〉 ∈ HS (não necessariamente or-togonais), |ξ〉 :=

∑

m cm|ζm〉 com cm ∈ C. Um opera-dor L : HS → HS é dito linear se L (

∑

m cm|ζm〉) =∑

m cmL|ζm〉. Para os operadores de Kraus, podemosutilizar a Eq. (A.1), e a linearidade de U e do produtointerno, para escrever

Kl

(∑

m

cm|ζm〉)

= Kl|ξ〉

=∑

j

〈SjEl|U |ξE0〉|Sj〉

=∑

j

〈SjEl|U∑

m

cm|ζm〉 ⊗ |E0〉|Sj〉

=∑

j

〈SjEl|U∑

m

cm|ζmEi〉|Sj〉

=∑

m

cm∑

j

〈SjEl|U |ζmEi〉|Sj〉

=∑

m

cmKl|ζm〉. (A.2)

De forma similar pode-se mostrar queK

†l (∑

m cm|ζm〉) =∑

m cmK†l |ζm〉. Em suma, nes-

tas duas primeiras sub-seções deste Apêndice mostramosque os operadores de Kraus Kl, e K

†l , são operadores

lineares e que estão definidos em HS .

3. A dinâmica gerada preserva positividade

Vamos mostrar que ρSt é positivo semi-definido. Paratal, comecemos considerando um vetor qualquer |ξ〉 ∈HS , para o qual, pela linearidade do produto matricial,

〈ξ|ρSt |ξ〉 =∑

l

〈ξ|KlρSK

†l |ξ〉. (A.3)

Mostramos acima que K†l : HS → HS . Usemos essa

propriedade aqui para definir K†l |ξ〉 =: |ξl〉 ∈ HS , que

implica em 〈ξl| = |ξl〉† = 〈ξ|Kl, e assim escrever

〈ξ|ρSt |ξ〉 =∑

l

〈ξl|ρS |ξl〉︸ ︷︷ ︸

≥0

(A.4)

≥ 0.

Na Eq. (A.4) utilizamos a positividade do operador den-sidade inicial de S.

9

4. A dinâmica gerada preserva o traço

Além da positividade demonstrada anteriormente,para que uma distribuição de probabilidades válida sejagerada, o operador densidade deve ter traço igual a umpara todos os instantes de tempo t. Temos que

Tr(ρSt ) = Tr(∑

lKlρSK

†l

)

=∑

lTr(

KlρSK

†l

)

=∑

lTr(

K†l Klρ

S)

= Tr((∑

lK†l Kl

)

ρS)

. (A.5)

Na última equação utilizamos a linearidade da funçãotraço e a sua propriedade cíclica. Agora usemos a reso-lução da unidade para ver que

∑

lK†l Kl =

∑

lISK†l ISKlIS

=∑

lmno

|Sm〉〈Sm|K†l |Sn〉〈Sn|Kl|So〉〈So|

=∑

lmno

|Sm〉〈SmE0|U †|SnEl〉〈SnEl|U |SoE0〉〈So|

=∑

mo

|Sm〉〈SmE0|U †∑

nl

|SnEl〉〈SnEl|U |SoE0〉〈So|

=∑

mo

|Sm〉〈SmE0|U †U |SoE0〉〈So|

=∑

mo

|Sm〉〈SmE0|SoE0〉〈So|

=∑

mo

|Sm〉δmo〈So|

=∑

m|Sm〉〈Sm|= IS . (A.6)

Esta igualdade garante6 que a dinâmica descrita acimapreserva o traço do operador densidade evoluído do sis-tema, i.e., Tr(ρSt ) = Tr

(ρS)= 1, e portanto que gera um

estado quântico válido para qualquer instante de tempo.

5. Não unicidade dos operadores de Kraus

O conjunto de operadores de Kraus que gera um mapa$ : ρS → ρSt não é único. Para verificar essa afirmaçãoconsideremos [24]:

K ′l :=

∑

n

VlnKn (A.7)

6 Vale observar que, em contraste como o formalismo geral de ope-rações quânticas, no contexto da dinâmica sistema-ambiente con-

siderada aqui∑

lK†lKl = IS é um fato e não um condição a ser

satisfeita pelos operadores de Kraus para garantir que a dinâmicagerada preserve o traço.

com Vln sendo os elementos de matriz de um operadorunitário qualquer (V †V = I). O estado de S obtidousando-se os operadores K ′

l é:

∑

l

K ′l ρ

SK′†l =

∑

l

(∑

n

VlnKn

)

ρS

(∑

m

V ∗lmK

†m

)

=∑

nm

∑

l

V ∗lmVlnKnρ

SK†m

=∑

n

KnρSK†

n

= ρSt (A.8)

pois∑

l

V ∗lmVln =

∑

l

(V †)mlVln = (V †V )mn = δmn.

Ou seja, os conjuntos de operadores {K ′l} e {Kl} geram

a mesma dinâmica quântica para S.No contexto da dinâmica sistema-ambiente que esta-

mos interessados aqui, uma relação como a dada na Eq.(A.7) é obtida se, depois de o sistema e ambiente evoluí-rem sob a ação de U , uma transformação unitária V foraplicada ao ambiente. Assim, a composição

U ′ = (IS ⊗ V )U (A.9)

nos leva aos operadores de Kraus:

〈Sk|K ′l |Sm〉 = 〈SkEl|U ′|SmE0〉

= 〈SkEl|(IS ⊗ V )U |SmE0〉= 〈SkEl|(IS ⊗ V )(IS ⊗∑n|En〉〈En|)U |SmE0〉=∑

n

(〈Sk| ⊗ 〈El|V |En〉〈En|)U |SmE0〉

=∑

n

Vln〈SkEn|U |SmE0〉

=∑

n

Vln〈Sk|Kn|Sm〉, (A.10)

que é equivalente à Eq. (A.7). Vale observar que essasrotações locais, aplicadas depois da dinâmica conjunta,raramente têm alguma implicação relevante nas funçõesque consideramos em ciência da informação quântica. Ouseja, neste contexto podemos, em geral, desconsiderar anão unicidade dos operadores de Kraus.

6. Limite no número de operadores de Krausnecessários para descrever uma dinâmica quântica

Como a dimensão do ambiente (e de U) não é limi-tada, não há um motivo aparente para esperarmos que onúmero de operadores de Kraus deva ser limitado. Nãoobstante, vamos mostrar que um conjunto de até d2S ope-radores de Kraus é suficiente para gerar qualquer dinâ-mica de um sistema com dimensão dS .

10

Os operadores de Kraus estão definidos em HS (i.e.,Kl : HS → HS) e, por conseguinte, podem ser repre-sentados por matrizes complexas com dimensão dSxdS .O espaço formado por essas matrizes é denotado porCdSxdS . Seguindo a Ref. [24], vamos começar mostrandoque para a matriz Hermitiana W definida por

Wlm := Tr(K†l Km) (A.11)

temos que rank(W ) ≤ d2S , em que o rank de W é defi-nido como o número de seus vetores coluna que são line-armente independentes (LI) [76]. Para isso, notemos queexiste uma base ortonormal para CdSxdS com d2S elemen-tos, o que implica que não mais do que d2S dos operadoresKl podem ser LI. Suponhamos, sem perda de generali-dade, que os primeiros d2S operadores Kl são LI. Com issopodemos escrever, para m > d2S , a combinação linear:

Km =∑d2

S

l=1c(m)l Kl, (A.12)

com c(m)l ∈ C. Pode-se verificar facilmente que isso im-

plica que o m-ésimo vetor coluna de W , para m > d2S , éuma combinação linear dos d2S primeiros vetores coluna:

Wlm =∑d2

S

j=1c(m)j Wlj . (A.13)

Fica provado assim que

rank(W ) ≤ d2S . (A.14)

Utilizando esse resultado e o fato de que W é uma matrizHermitiana, podemos diagonalizá-la via uma transforma-ção unitária V :

W ′ := V W V †.

Os d2S elementos diagonais possivelmente não nulos deW ′ são obtidos como segue:

W ′jj = (V W V †)jj =

∑

l

Vjl(W V †)lj

=∑

lm

VjlWlm(V †)mj =∑

lm

VjlTr(K†l Km)V ∗

jm

= Tr∑

l

VjlK†l

∑

m

V ∗jmKm = Tr(K ′†

j K′j). (A.15)

Temos assim um conjunto com até d2S operadores deKraus K ′

j =∑

m V ∗jmKm, que geram a mesma dinâmica

que o conjunto Km.

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