1. INTRODUÇÃO

O tema desse artigo é resultado de uma pesquisa que teve seu início nos primeiros anos da

graduação e que muito tem contribuído para a minha prática de ensino.

aconteceu, quando levei essa temática para apresentar num seminári

professores de matemática, organizado pela Secretaria Executiva Regional de Fortaleza

na qual pertenço, atuando desde 2001 como Professor de Matemática.

um seminário sobre avaliação em matemática me pôs

acerca do tema proposto; segundo, a forma de introduzi

tema da avaliação em matemática partindo da legislação educacional vigente, mas eu não queria

tornar a apresentação monótona,

idéia de apresentar a proposta apartir de uma questão, no caso, propus o seguinte problema:

avaliação em matemática: a tensão entre o caráter diagnóstico e o aspecto objetivo

artifício promovi um debate dirigido, sem deixar de lado a legislação educacional. Ao mesmo

tempo surgiu também o modo de apresentar a discussão; e a forma que optei

debate, foi apresentar um tema relacionado com

nessa consideração ganha destaque a interdisciplinaridade.

Quando se discute o problema do ensino de matemática, uma das panacéias recorrentes é o uso

da propalada metodologia interdisciplinaridade. Longe, nesse artigo de adentrar no debat

sobre sua conceituação, o objeto aqui perquirido é tentar apresentar como essa abordagem na sua

definição trivial é salutar

aparentemente díspares. Com esse

A DIGRESSÃO GEOMÉTRICA

NO MÉNON DE PLATÃO

Albertino Servulo albertinosbs@professor.sme.fortaleza.ce.gov.br

O tema desse artigo é resultado de uma pesquisa que teve seu início nos primeiros anos da

graduação e que muito tem contribuído para a minha prática de ensino.

aconteceu, quando levei essa temática para apresentar num seminári

professores de matemática, organizado pela Secretaria Executiva Regional de Fortaleza

na qual pertenço, atuando desde 2001 como Professor de Matemática. O convite para apresentar

um seminário sobre avaliação em matemática me pôs diante de um duplo desafio. Primeiro

acerca do tema proposto; segundo, a forma de introduzi-lo. Eu sabia que deveria apresentar o

tema da avaliação em matemática partindo da legislação educacional vigente, mas eu não queria

tornar a apresentação monótona, devido a exposição extenuante de regras. Foi então

idéia de apresentar a proposta apartir de uma questão, no caso, propus o seguinte problema:

avaliação em matemática: a tensão entre o caráter diagnóstico e o aspecto objetivo

promovi um debate dirigido, sem deixar de lado a legislação educacional. Ao mesmo

tempo surgiu também o modo de apresentar a discussão; e a forma que optei

foi apresentar um tema relacionado com a discussão acerca de novas fo

nessa consideração ganha destaque a interdisciplinaridade.

Quando se discute o problema do ensino de matemática, uma das panacéias recorrentes é o uso

da propalada metodologia interdisciplinaridade. Longe, nesse artigo de adentrar no debat

sobre sua conceituação, o objeto aqui perquirido é tentar apresentar como essa abordagem na sua

definição trivial é salutar para aproximar, quando possível, áreas do conhecimento

aparentemente díspares. Com esse ousado propósito, reproduzo aqui um

albertinosbs@professor.sme.fortaleza.ce.gov.br

O tema desse artigo é resultado de uma pesquisa que teve seu início nos primeiros anos da

graduação e que muito tem contribuído para a minha prática de ensino. Recentemente isso

aconteceu, quando levei essa temática para apresentar num seminário de formação para

professores de matemática, organizado pela Secretaria Executiva Regional de Fortaleza - SER V,

O convite para apresentar

diante de um duplo desafio. Primeiro

lo. Eu sabia que deveria apresentar o

tema da avaliação em matemática partindo da legislação educacional vigente, mas eu não queria

devido a exposição extenuante de regras. Foi então que surgiu a

idéia de apresentar a proposta apartir de uma questão, no caso, propus o seguinte problema:

avaliação em matemática: a tensão entre o caráter diagnóstico e o aspecto objetivo. Com esse

promovi um debate dirigido, sem deixar de lado a legislação educacional. Ao mesmo

tempo surgiu também o modo de apresentar a discussão; e a forma que optei, para introduzir o

acerca de novas formas de ensino,

Quando se discute o problema do ensino de matemática, uma das panacéias recorrentes é o uso

da propalada metodologia interdisciplinaridade. Longe, nesse artigo de adentrar no debate sísifo

sobre sua conceituação, o objeto aqui perquirido é tentar apresentar como essa abordagem na sua

aproximar, quando possível, áreas do conhecimento

ousado propósito, reproduzo aqui um famoso problema

matemático da antiguidade, desconhecido hoje do público e até mesmo de alguns recônditos

acadêmicos. Trata-se da Digressão Geométrica no Ménon de Platão, uma magnífica interação

entre Matemática e Filosofia.

2. O MENON

O Menon é uma obra escrita pelo filósofo grego Platão cujos personagens principais são:

Sócrates, Menon (figura daquele que pensa que é sábio) e o escravo de Menon. Nela a episteme é

apresentada como anamnese. Menon inicia um debate (a característica marcante da obra

platônica é esse processo de aprender por meio do debate dirigido) com Sócrates, buscando saber

se a virtude pode ou não ser ensinada. Sócrates estimula o debate intentando outra direção. O

arquétipo platônico visa mudar a questão inicial para a questão da essência, pois compreende que

sem conhecer o que é a coisa mesma, qualquer problematização não tem sentido. Com esse

objetivo, Sócrates encurrala o seu interlocutor por intermédio de aporias (paradoxos).

3. ANTINOMIAS DO MENON

Entretanto, Menon faz uma reviravolta no debate com Sócrates; e partindo das próprias aporias

socráticas, elabora um paradoxo surpreendente. Os filósofos da matemática fazem distinção entre

os paradoxos. Conforme a sentença deles há três formas clássicas:

i) PARADOXOS DE NOÇÃO COMUM; exemplo correspondente a este é a conjectura

de Cantor: ·;

ii) PARADOXOS LÓGICOS; destaque para as séries alternadas do tipo: S ≡ 1-1+1-

1...=0=1=1/2;

iii) ANTINOMIAS OU DILEMAS; exemplificação perfeita desse tipo encontra-se no

famoso paradoxo de Russel, A = {X / X não-pertence X}; A pertence A ↔ (A não-

pertence A).

A dificuldade promovida por Ménon corresponde a essa última forma e consiste em três dilemas:

i) Como procurar por algo quando não se sabe pelo que se procura?

ii) Como propor uma investigação acerca de algo que não se conhece?

iii) Como saber, ao encontrar, que algo que não se conhecia é aquilo que se procurava?

As antinomias do Menon promovem uma dificuldade filosófica na argumentação socrática, pois

destroem de uma só vez, o objeto e o método cognoscente. Nessa perspectiva, significa o fim da

filosofia; a impossibilidade do conhecimento.

4. DIGRESSÃO GEOMÉTRICA

Para escapar das antinomias, o Sócrates de Platão apresenta um argumento genial. Nele é

indicado que a episteme (conhecimento) é reminiscência (rememoração). É aqui que a obra

filosófica de Platão é singular, pois para demonstrar a reminiscência, o filósofo apresenta uma

questão matemática associada ao famoso teorema de Pitágoras.

5. DUPLICAÇÃO DA SUPERFÍCIE DE UM QUADRADO

É resolvendo um problema matemático que Platão resolve um problema filosófico (É possível

conhecer?). Mas como isso é possível? Fica claro nesse argumento o valor que Platão atribui a

Matemática, tida por ele como um conhecimento da essência. É aí reside o âmago da questão,

isto é, a possibilidade de conhecer a essência, é isso que está em disputa. Essa é a relação entre

matemática e filosofia apartir dessa referência. A questão matemática que aparece no centro do

debate filosófico apresentado no Menon de Platão é o problema da duplicação da superfície de

um quadrado. Algebricamente a questão torna-se simples; senão vejamos: Seja I o quadrado de

lado L1. Conseqüentemente sua superfície vale (L1)2. Portanto o quadrado, que chamaremos de

II, que terá sua superfície equivalente a 2(L1)2, será aquele que tem seus respectivos lados com

medida igual a L1√2. Entretanto, na digressão geométrica o desafio é duplicar a superfície do

quadrado por meio da construção geométrica, isto é, construir um quadrado cuja superfície é o

dobro da superfície de um quadrado qualquer.

complexo do que já é porque tem que ser resolvido pelo escravo de Menon, que não tem

conhecimentos formais em matemática, o que garante a solução do problema filosó

faz indagar como é possível resolver o problema matemático. A digressão geométrica torna

ainda mais dramática porque exige que o escravo de Menon não

ou seja, ele deve encontrar a resposta do problema por r

ocorrer? Pois Sócrates conduz explicitamente o escravo de Menon

duplicação da superfície do quadrado. Isso não é ensinar?

6. DEMONSTRAÇÃO INTUITIVA

No diálogo, Sócrates mostra ao escravo de Ménon esboços até a conclusão do mesmo de como

pode duplicar a superfície do quadrado. A apresentação desses esboços pode ser reconstituída e

analisada como as etapas da digressão geométrica no Menon de Platão. É p

etapas que podem ser designadas por: (1) PRESSUPOSTOS; (2) RELAÇÃO ENTRE AS

LINHAS QUE FORMAM UMA FIGURA E SUA SUPERFÍCIE; (3) DUPLICAÇÃO DA

SUPERFÍCIE DO QUADRADO; (4) O INSIGHT DO ESCRAVO; (5) AS LINHAS DO

QUADRADO e (6) AS DIAGO

ensinar as formas das figuras geoméricas. Desde sempre se sabe as formas das figuras

sentido que Platão se ancora na Matemática para sustentar sua teoria do conhecimento. A

representação acima é um esboço sucinto da demonstração intuitiva da duplicação da superfície

do quadrado.

dobro da superfície de um quadrado qualquer. Aparentemente fácil, o problema

complexo do que já é porque tem que ser resolvido pelo escravo de Menon, que não tem

conhecimentos formais em matemática, o que garante a solução do problema filosó

faz indagar como é possível resolver o problema matemático. A digressão geométrica torna

porque exige que o escravo de Menon não possa ser ensinado por Sócrates,

ou seja, ele deve encontrar a resposta do problema por reminiscência. Mas como isso pode

ocorrer? Pois Sócrates conduz explicitamente o escravo de Menon à

duplicação da superfície do quadrado. Isso não é ensinar?

6. DEMONSTRAÇÃO INTUITIVA

No diálogo, Sócrates mostra ao escravo de Ménon esboços até a conclusão do mesmo de como

pode duplicar a superfície do quadrado. A apresentação desses esboços pode ser reconstituída e

analisada como as etapas da digressão geométrica no Menon de Platão. É p

que podem ser designadas por: (1) PRESSUPOSTOS; (2) RELAÇÃO ENTRE AS

LINHAS QUE FORMAM UMA FIGURA E SUA SUPERFÍCIE; (3) DUPLICAÇÃO DA

SUPERFÍCIE DO QUADRADO; (4) O INSIGHT DO ESCRAVO; (5) AS LINHAS DO

QUADRADO e (6) AS DIAGONAIS. Trata-se de uma demonstração intuitiva. Não é possível

ensinar as formas das figuras geoméricas. Desde sempre se sabe as formas das figuras

sentido que Platão se ancora na Matemática para sustentar sua teoria do conhecimento. A

acima é um esboço sucinto da demonstração intuitiva da duplicação da superfície

Aparentemente fácil, o problema torna-se mais

complexo do que já é porque tem que ser resolvido pelo escravo de Menon, que não tem

conhecimentos formais em matemática, o que garante a solução do problema filosófico, mas nos

faz indagar como é possível resolver o problema matemático. A digressão geométrica torna-se

ser ensinado por Sócrates,

eminiscência. Mas como isso pode

solução do problema da

No diálogo, Sócrates mostra ao escravo de Ménon esboços até a conclusão do mesmo de como

pode duplicar a superfície do quadrado. A apresentação desses esboços pode ser reconstituída e

analisada como as etapas da digressão geométrica no Menon de Platão. É possível identificar seis

que podem ser designadas por: (1) PRESSUPOSTOS; (2) RELAÇÃO ENTRE AS

LINHAS QUE FORMAM UMA FIGURA E SUA SUPERFÍCIE; (3) DUPLICAÇÃO DA

SUPERFÍCIE DO QUADRADO; (4) O INSIGHT DO ESCRAVO; (5) AS LINHAS DO

se de uma demonstração intuitiva. Não é possível

ensinar as formas das figuras geoméricas. Desde sempre se sabe as formas das figuras. É nesse

sentido que Platão se ancora na Matemática para sustentar sua teoria do conhecimento. A

acima é um esboço sucinto da demonstração intuitiva da duplicação da superfície

7. O PROBLEMA DAS DIAGONAIS

O mais certo é dizer que é na geometria que Platão tenta sustentar seu argumento, uma vez que a

construção do quadrado almejado, isto é, a solução da duplicação da superfície do quadrado é

encontrada na diagonal. E nesse sentido, num dado momento esbarra-se com o problema

pitagórico, isto é, a descoberta dos irracionais. Daí que se a solução do problema da duplicação

da superfície do quadrado fosse almejada somente pela aritmética, jamais haveria uma resposta

satisfatória, uma vez que os irracionais não podem ser determinados.

8. CONCLUSÃO

Fica evidente a riqueza teórica com a interação entre filosofia e matemática. Somos informados

como um problema matemático foi relacionado a um problema filosófico. Nessa mesma

exposição podemos perceber onde possivelmente ocorreu à ruptura entre geometria e aritmética,

separação estritamente relacionada ao problema do infinito. Pensando assim é que concluímos

lançando a seguinte questão: por que a duplicação da superfície do quadrado está associada

ao teorema de Pitágoras, se nela o processo de construção é a partir do quadrado?

9. REFERÊNCIAS

PLATÃO. Menon. s/e.Rio de janeiro: Editora-PUC-RIO; Loyola, 2001.

_______. Menon. 2 ed.Lisboa: Edições Colibri, 1993.

SOUSA, Albertino S. B. A Digressão geométrica no Menon de Platão. Fortaleza: UECE,

2008.,p.,45. (Monografia)

SOUSA, Albertino S. B. Interdisciplinaridade no ensino de matemática: uma exigência da

nova ordem mundial. Fortaleza: UECE, 2004.,p.,50. (Monografia)