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Aula 4 - OPERAÇOES COM TAXAS DE JUROS:Aula 4 - OPERAÇOES COM TAXAS DE JUROS:

 INTRODUÇÃO:INTRODUÇÃO:

Dentre as inúmeras variáveis que fazem parte de uma operação financeira, a mais importante é a taxade juros. Nem sempre a taxa de juros informada está pronta para ser utilizada no cálculo financeiro. Estecapitulo tem como ojetivo estudar as poss!veis modificaç"es que a taxa de juros deverá sofrer como porexemplo, quando ocorrer situaç"es como em que o prazo da operação não coincide com a unidade de tempoda taxa de juros, ou quando a unidade de tempo da taxa de juros não coincide com o per!odo decapitalização. #ostraremos as aplicailidades das taxas de juros do ponto de vista da matemáticafinanceira.

 TAXA EQUIVALENTE:TAXA EQUIVALENTE:

$ taxa equivalente não é um tipo de taxa de juros é apenas uma forma de operacionalizar as taxas

quando os prazos que se referem as taxas não coincidem com o prazos da operação financeira.. Diante de talsituação, as taxas serão convertidas para os prazos da operação para que fiquem uniformes com relação aotempo. Essa conversão é feita através de um processo de equival%ncia.

$ #atemática &inanceira diz que duas ou mais taxas são equivalentes quando, aplicadas sore ummesmo capital, pelo mesmo per!odo de tempo, produzimos o mesmo montante. 'al conceito pode ser aplicadotanto no re(ime de juros simples como no re(ime de juros compostos.

 

TAXA EQUIVALENTE A JUROS COMPOSTOSTAXA EQUIVALENTE A JUROS COMPOSTOS

)omo já foi dito anteriormente, a conceituação de equival%ncia de taxas estaelece que duas taxas

referentes a per!odos distintos de capitalização são equivalentes quando produzem o mesmo montante nofinal de determinado tempo, pela aplicação de um capital de mesmo valor.

* conceito de taxas equivalentes é válido para os dois re(imes de capitalização existentes, porém o queos diferencia é com relação a aplicação, da metodolo(ia de cálculo. +á vimos a metodolo(ia a ser aplicada a+uros imples, veremos a(ora a metodolo(ia a ser aplicada a +uros )ompostos-

EXEMPLO- ma aplicação de /0 1.222 aplicada pelo prazo de um ano. e o capital for aplicado 3 taxade 14,5647 ao ano, ou 3 taxa de 17 ao m%s, verificar se as duas taxas são equivalentes. 

Solução: )onsiderando que a aplicação é feita pelo prazo de 1 ano e como as duas taxas devem

produzir o mesmo montante, ao final do mesmo prazo, ou seja 1 ano ou 14 meses, tem8se-

&91 : ;9 x < 1 = ia >n : 1.222 x < 1 = 2,14564>

1

&91 : /0 1.145,64

*nde ;9 : 1.222 ?1 : 147 ano n1 : 1 ano

&94 : ;9 x < 1 = ia >n : 1.222 x < 1 = 2,21>

12

FV2 = R$ 1.126,85

*nde ;9 : 1.222 i4 : 17 ao m%s n4: 14 meses

1

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Do exemplo anterior depreende8se que as taxas efetivas de 147 ao ano e 17 ao m%s sãoequivalentes, pois resultam no mesmo montante <&91 : &94: /0 1.145,6@> a partir do mesmo capital no finalde 1 ano ou 14 meses.

$ partir dessa colocação,podemos determinar qualquer taxa equivalente ,quando dada uma outrataxa, aplicando o conceito de equival%ncia a juros compostos.

EXPRESSÃO DE CÁCULO DE TAXAS EQUIVALENTES:EXPRESSÃO DE CÁCULO DE TAXAS EQUIVALENTES:

  $ partir do conceito de taxas equivalentes, podemos deduzir uma fArmula (eral para sua otenção.

  Oserve, portanto, que, para o calculo de taxa equivalente, a juros compostos, asta comparar os

fatores de valor futuro < 1 = i1>n

ou seja

$ssumindo por convenção que-

• i1 : é a taxa de juros procurada, desejada ou pedidaB• i4 : é a taxa de juros conCecida ou dadaB• n1 : é o tempo da taxa procurada, desejada ou pedidaB• n4 : é o tempo da taxa conCecida ou dadaB

?solando a variável i 1 como a taxa de juros equivalente procurada, teremos-

;ode8se resolver qualquer prolema de equival%ncia de taxa de juros compostos com o auxilio de umafArmula (eral-

EXEMPLOS DE APLICAÇAO:

1º) Qual a taxa anual equivalente a juro !o"#oto a $%&' ao "(

'em8se-?1 : n1 : 1 ano : 14 meses 

?4 : 427 n4 : 1 mes

uantos meses tem 1 ano : 14 meses, portanto n1 : 14 meses

i1 =( ( 1 + i2) n1n2 !1) " 1##

i 1 : < < 1 = 2,242>121

 > F1 x 122

2

( 1+ i1)

n1

 = ( 1 + i2)

n2

i1 =( ( 1 + i2)n1n2 !1) " 1##

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i 1 : 1, 4564G4 F1 x 122

i1 : 45,647 ao ano

*eolven+o #ela ,P 1$ C:

42 EN'E/  122 D?9?DE  1 =

14 EN'E/1 D?9?DE

  HI  EJE9$ < ;*'EN)?$>

1 F122 I : 45, 647 $* $N*

4K> ual a taxa mensal equivalente a taxa de juros compostos de 45,647 ao ano

?1 : n1 : 1 mes

?4 : 45,647 n4 : 1 ano : 14 meses

  Quanto "ee te" 1 ano - 1$ "ee% #ortanto n$% #aa a #ara 1$ "ee

  i1 =( ( 1 + i2) n1n2) !1 " 1##

i 1 : < < 1 = 2,4564 >112

F 1 > x 122

i1 : < 1, 24 F 1 > x 122

i1 : 47 ao ano

$P 12 C:

*eolven+o #ela ,P 1$ C:

45,64 EN'E/

  122 D?9?DE  1 =

1 EN'E/14 D?9?DE

  HI  EJE9$ < ;*'EN)?$>

1 F122 I : 4 7 ao m%s.

LK> ual a taxa de juros compostos a ser corada em um per!odo de ML dias, saendo que a sua equivalentepara @4 dias é de M7

 

?1 : n1 : ML dias

?4 : M7 n4 : @4 dias

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Resolução: i1 =( ( 1 + i2) n1n2 !1) " 1##

i 1 : < < 1 = 2,2M >%&'2

  F1> x 122

?1 : < 1,2M1**,1

 F1> I 122 

?1 : < 1,1555L F1 > I 122 : 15,@@7 para ML dias.EXERC-CIOS PROPOSTOSEXERC-CIOS PROPOSTOS::

1> ma aplicação rende 4,427 ao m%s a juros compostos, qual é a taxa equivalente diária 2,2457

4> ma aplicação financeira rende juros compostos de 2,67 ao m%s, qual a taxa equivalente anual 12,2L7

L> ual a taxa diária equivalente a juros compostos- a> L27 ao m%s > 167 ao ano c> G,@7 ao semestre.  a>2,667 >2,2G@L@7 c>2,24GG@7G> ual a taxa para 5L dias equivalente a juros compostos a 67 ao m%s 1,@G7

@> ual a taxa semestral equivalente a juros compostos a 127 ao imestre LL,127

5> $ taxa anual de juros compostos para aplicaç"es em )ertificados de DepAsitos Oancários está em 427 aoano. Determine a taxa equivalente para os se(uintes prazos de aplicaç"es-a> L2 dias > M2 dias c> 142 dias a> 1,@L17 > G,55G7 c> 5,4557

> 9oc% aplicou suas economias em determinada aplicação financeira que lCe rendeu @,67 em LM dias. ual

o (anCo equivalente mensal a juros compostos que voc% auferiu G,GL7

6> m fundo de investimento rende em média 2,27 ao dia por dia útil. ual o rendimento percentualprojetado para um per!odo de 44 dias úteis, se(undo o re(ime de juros compostos 1,@@7

M> ma aplicação por 15@ dias rendeu L1,14@7 de juros. )alcule a taxa juros compostos equivalente a> anual> taxa mensal a> 62,547 > @,2@7

12> * alt OanP remunera suas aplicaç"es com uma taxa de L27 ao ano, no re(ime de juros compostos eassume um ano de L52 dias. Determine os rendimentos para uma aplicação com os prazos a> G@ dias> 162 dias c> 44@ dias /- a>L,LL7 > 1G,247 c> 1,647

11> ma instituição financeira oferece a um aplicador uma remuneração de 4,47, a juros compostos peloprazo de 4@ dias, para qualquer valor de sua aplicação. Determine a rentailidade diária e mensal dessaaplicação / 2,267 ad e 4,5@ 7am

14> endo 167 a inflação de determinado ano, calcular a taxa equivalente mensal

1L> $ inflação de certo m%s atin(iu M7 . 'endo este m%s 42 dias úteis, determinar a taxa de inflação por diaútil / 2,GL7 ao dia útil

1G> ma instituição financeira divul(ou os rendimentos mensais dos seus &undos de ?nvestimentos, conformea taela aaixo. ;ede8se determinar as rentailidades equivalentes para os per!odos- ano, semestre, diário.

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&undos /enda&ixa

/entailidade#ensal

/entailidadeDiária

/entailidadeemestral

/entailidade$nual

Extra #ix 1,217

upremo #ix 1,1M7

&?& #ix 1,L57

Expert D? 1,27

1@> Em re(ime de capitalização composta o que é prefer!vel aplicar /0 1.222,22 durante 1 ano, a taxa de4,@7 ao m%s ou a taxa de 67 ao trimestre 67 at : 4,57 am

15> Em re(ime de capitalização composta, o que é prefer!vel - aplicar /0 1.222 durante um ano , 3 taxa de1,@@7 ao m%s ou ao imestre , 3 taxa de L,1@7 / : L,1@7

1>m investidor aplicou /0 4@.222 na Oolsa de 9alores esperando (anCar uma rentailidade de 1227 ao

ano. )aso tal rentailidade ocorresse, calcular os juros (anCos ao final de de 42 meses

16> m anco oferece uma rentailidade de G27 ao ano. )onsiderando que o investidor tem condiç"es de(anCar juros de M7 ao trimestre em outro anco, qual deve ser a alternativa escolCida

1M> ma aplicação em renda fixa pelo prazo de 5L dias foi ne(ociada com uma taxa de juros de @,L@7 aos5L dias. ual é a taxa de juros equivalente para L5@ dias L@,4@7 aa

42> ma aplicação por M2 dias foi realizada a uma taxa de juros de 4@,67 aos L5@ dias. ;ede8se calcular ataxa efetiva para M2 dias

41> m financiamento foi realizado com uma taxa de juros i(ual a 527 ao ano. )alcular a taxa a taxamensal equivalente G7 am

44> $ caderneta de poupança pa(a em média 1,47 ao imestre. )alcule a taxa anual / : ,G17

4L> m capital fica aplicado a 47 ao m%s por G anos e meio. )alcule qual será seu rendimento / : 1M1,LG7

4G> $ administradora de cart"es de crédito #ástercredit cora uma taxa de 1L7 ao m%s de juros sore afatura em atraso. )alcule a taxa anual praticada por essa empresa / : LLL,G@7.

4@> )alcule a taxa mensal e taxa anual equivalente para as se(uintes taxas-

a> 147 ao imestre> 2,M57 ao diac> G67 ao semestred> 4G7 ao trimestre

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