Área em Coordenadas Polares

O Cálculo Diferencial e Integral realmente é algo impressionante. Quanto mais eu estudo, mas fico admirado com sua empregabilidade na resolução de problemas. Houve uma revolução na matemática depois de Descartes, onde foi possível escrever e resolver equações em coordenadas cartesianas; denotar um ponto por meio de um par ordenado (x, y) e assim a construção de gráficos para ilustrar as curvas. Em algumas situações é mais conveniente usar um outro sistema de coordenadas, como as coordenadas polares.

[Figura 1: Espiral de Arquimedes: r = a +bθ]

Antes de continuar a leitura deste artigo, sugiro que leiam sobre O Sistema de Coordenadas Polares no blog Fatos Matemáticos, onde o Professor Mestre Paulo Sérgio explana de maneira brilhante sobre o assunto. Se você, caro leitor, já está acostumado com este sistema, por favor, continue a leitura.

Para estabelecermos um sistema de coordenadas polares no plano, primeiro denotemos um ponto fixo O que será o pólo e um raio r, que é uma semi-reta orientada com origem em O, que chamamos de eixo polar. Um ângulo na posição padrão tem vértice no pólo e o eixo polar como seu lado inicial.

Seja P um ponto genérico no plano e seja r a distância entre P e o pólo. Assim:

Se P ≠ 0, então P pertence a uma única semi-reta com origem em O constituindo o lado terminal do ângulo. Este ângulo é denotado por θ e poderá ser em graus ou em radianos. Assim, o par ordenado do ponto P em coordenadas polares é indicado como:

As coordenadas polares estabelecem a posição de um ponto P em relação a uma grade, formada por círculos concêntricos com centro no pólo e semi-retas partindo deO. O valor de r localiza P num círculo de raio r; o valor de θ localiza P numa semi-reta que é o lado terminal do ângulo θ; e P é determinado pela intersecção do círculo com a semi-reta.

O gráfico de uma equação polar consiste em todos os pontos P do plano que tem pelo menos um par de coordenadas polares (r, θ) satisfazendo a equação.

Da mesma forma que podemos determinar a área de uma região sob a curva num plano cartesiano aplicando o conceito de integral definida, podemos determinar a área de uma região plana em coordenadas polares compreendia entre as semi-retas que determinam o ângulo θ.

Considere a figura abaixo, cuja equação polar é r = f (θ), onde f é uma função contínua. Quando θ cresce de θ = α para θ = β, o ponto P = (f (θ), θ) se desloca ao longo da curva polar de (f (α), α) para (f (β), β) e o segmento de reta OP percorre uma região plana. Esta é a região compreendida pela curva polar entre as semi-retas que determinam o ângulo θ, ou seja, entre θ = α e θ = β.

[Figura 2]

A região polar mais simples talvez seja o setor circular compreendido pelo círculo de raio r entre θ = α e θ = β:

[Figura 3]

Sabemos que a área de um círculo de raio r é dada por:

Assim, a área do setor ocupa a fração (β – α) / 2π de todo o círculo e a área do setor será:

Geralmente, mesmo que a curva polar não seja um círculo, quando o ângulo cresce de θ para θ + dθ, ou seja, tem uma variação infinitesimal, o segmento OP percorrerá uma região infinitesimal que podemos tomá-la como um setor infinitesimal de um círculo de raio r = f (θ):

[Figura 4]

Quando Δθ for infinitesimal, então a área infinitesimal do setor será dada por:

Para que tenhamos a área total da região desejada, devemos somar estes infinitésimos, isto é, integramos as áreas de todos estes setores infinitesimais, desde θ = α a θ = β. Assim, teremos:

Podemos representar esta fórmula sob a forma:

Exemplo 1: Encontrar a área do hemisfério superior da região compreendida pela curva polar

cardióide, cuja equação é:

[Figura 5]

Quando θ varia de 0 a π, o segmento OP percorre o hemisfério superior da região interior à cardióide. Portanto, a área A da região será dada por:

Exemplo 2: Encontrar a área da região compreendida pela lemniscata de equação:

[Figura 6]

Vamos considerar somente 1/4 da lemniscata, já que é simétrica em relação ao pólo devido ao grau 2 de r. Assim, vamos considerar a porção da lemniscata para a qual:

Quando θ = 0 e r = 2, e como θ cresce, o ponto P = (r, θ) se desloca para a esquerda ao longo da parte superior da lemniscata até chegar ao pólo O, quando θ = π/4. Assim, o segmento OP percorre um quarto da área:

Este exemplo mostra que devemos saber o comportamento da curva para que possamos definir os limites de integração.

Quando utilizamos a fórmula   para encontrar a área de uma região compreendida por uma curva polar r = f (θ) num intervalo Δθ, devemos estar certos que α ≤ β e que o segmento de reta radial OP, percorre apenas uma vez cada ponto no interior da região. Por exemplo, se quisermos determinar a área total no interior do limaçon r = 2 – 3sen(θ), seria incorreto integrar de 0 a 2π, pois quando θ vai de 0 a 2π, o segmento OP percorre duas vezes todos os pontos pertencentes ao laço interior.

Exemplo 3: Encontrar a área do laço interior ao limaçon de equação:

[Figura 7]

Quando θ = 0, r = 2 e o ponto P (r, θ) = (2, 0) se encontra no eixo polar. Quando θ começa acrescer, r = 2 – 3sen(θ) começa a decrescer, atingindo 0 quando θ = sen–1(2/3), que é aproximadamente 41,8°. Neste ponto, o segmento OP inicia o percurso da região desejada. Quando θ atinge o valor de π/2, então r = –1 e o segmento de retaOP, cujos pontos se movem para baixo, percorre exatamente metade a área desejada. Desta forma, a área da região será:

Sendo:

e

Então:

Também ocorre com freqüência a necessidade de encontrarmos a área de uma região plana compreendida por duas curvas, como por exemplo r = f (θ) e r = g (θ) entre dois pontos sucessivos de intersecção P1 e P2, onde:

[Figura 8]

Se a região compreendida pela curva r = g (θ) entre P1 e P2 está contida na região compreendida pela curva r = f (θ) entre P1 e P2, então a área desejada A é apenas a diferença de áreas das duas regiões:

Exemplo 4: Encontrar a área da região interior ao círculo r = 4 cos(θ), que seja exterior ao

círculo r = 2.

[Figura 9]

Os dois círculos se interceptam em P1 = (2, – π/3) e P2 = (2, π/3). A área A da região procurada é dada por:

Referências:

[1] Cálculo V1 – Munem-Foulis

Veja mais:

O Cálculo Integral: O Cálculo das ÁreasCentro de Gravidade de Áreas Planas

Construção Geométrica da Espiral de Arquimedes com Régua e CompassoO Sistema de Coordenadas Polares no blog Fatos Matemáticos

Recomendo que leia também:

Introdução

Como foi visto na Matemática Básica, as coordenadas polares são usadas para representar pontos de um plano.

Para definir um sistema de coordenadas polares, consideramos um ponto O do plano (chamado origem ou pólo) e uma semi-reta orientada com extremidade O ( o eixo polar). Dado um ponto P  O do plano tomamos,

     , uma ângulo formado pelo eixo polar e OP, tendo origem no eixo polar, positivo se orientado no sentido anti-horário e negativo se no sentido horário.

  r, a distância de P a O

r e  são coordenadas polares de P e representamos P = (r,  )

 

 

 

 

 

 

 

Dado um ponto qualquer do plano, as suas coordenadas polares não são únicas.

Exemplo 1: Representar graficamente os pontos de coordenadas polares

Como estes ângulos são côngruos temos P1 = P2 = P3

As coordenadas do pólo são (0,  ) para todo   R .

Tomamos também valores negativos para a coordenada r. Se r é negativo, o ponto de coordenadas polares (r,  ) é tal que (-r,  +  ) são também coordenadas deste ponto

Exemplo 2: Representar graficamente o ponto de coordenadas polares

 

Suponhamos neste mesmo plano um par de eixos cartesianos XOY de modo que o semi-eixo OX positivo coincida com o eixo polar.Se P é um ponto qualquer do plano de coordenadas polares (r,  ) e coordenadas cartesianas (x ,y) então

x = r.cos( )y = r.sen( ) x2 + y2 = r2

 

 

 

 

 

Exemplo 3: Consideremos as curvas a seguir e suas equações em coordenadas polares

3.1) O círculo da raio ro e centro na origem tem equação polar r = ro

3.2) A reta que passa pela origem e faz um ângulo  o com o sentido positivo do eixo OX tem equação polar  =  o

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Área de um setor circular

A área de um setor circular de raio r e ângulo central  é igual a

 

 

 

 

Proposição 1: Seja a equação polar de uma curva dada pela função contínua  r = r ( )  para           tal   que    -      2  e   r  0. A área da região do plano limitada  pelas   retas  de equações  polares   = e  =  e a curva r = r( ) é igual a.

 

 

Demonstração.

Para todo  tal que      , seja A( ) a área como indicada na figura abaixo.

Vamos calcular

 

Para   > 0 , tomando-se no intervalo [  ,  +   ], rM e rm o maior e o menor raio, as áreas dos setores circulares com ângulo central   e esses raios são

Para   < 0 segue de modo análogo.

Pelo teorema fundamental do cálculo

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Exemplo 4: Calcular a área limitada pela cardióide

r ( ) = a.(1 – cos( ))

 

Observação 1: São equações de cardióides:

r ( ) = a.(1  cos( )) e r ( ) = a.(1  sen( ))

 

Exemplo 5: Calcular a área limitada pelas pétalas da rosácea r = a.sen(2 ), a > 0

Trata-se de uma rosácea de 4 pétalas.

Devido a simetria das pétalas, basta calcular a área de uma delas e multiplicar por 4.

Observação 2: São equações de rosáceas:

r = a.cos(n )  e  r = a. sen(n ), para n =1, 2, 3..., que possuem

2n pétalas , se n é par n pétalas se n é ímpar

 

Exemplo 6: Calcular a área limitada pela lemniscata

r2 = 4.cos(2 ).

Como  deve ser tal que cos(2 ) >0, então, na 1a volta,

Devido a simetria dos semi-laços, basta  cal cular a área de um deles e multiplicar por 4.

Observação 3: São equações de lemniscatas:

r2 = a.cos(2 ) e r2 = a. sen(2 )

 

Exemplo 7: Calcular a área entre a 1a e a 2a volta da espiral (exponencial) r = e , com 0   .

 

Exemplo 8: Esboce a limaçon (com laço) de equação polar r = a.(1 – 2sen( )) e determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano que se encontra no interior da curva e fora do laço.

Observação 4: São equações de limaçons:

r = a  b.cos( ) e r = a  b.sen( ) que possuem laço se a < b

 

Exemplo 9: Determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano sombreada na figura ao lado onde temos o arco da espiral de Arquimedes de equação polar r =  ; -     .

 

 

Exemplo 10: Determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano interior a ambas as curvas de equações polares

r =1 + cos(  ) e r = 3cos(  )

r =1 + cos(  ) é equação de uma cardióide e r = 3cos(  ) é equação de um círculo.

Obtendo a interseção das duas curvas :

3cos(  ) = 1 + cos(  )  cos(  ) = 1/2 

 =   /3 + 2k