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7/27/2019 Arcos e Angulos.ppsx

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P R O F E S S O R A T E L M A C A S T R O S I LV A

ARCOS E NGULOS - EXERCCIOS


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1. Expresse em graus:

a)

b)

c)

d)

e)

rad9

10

rad8

11

rad9

rad20

rad34


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Soluo: Esse clculo tambm poderia ser realizado pelaregra de trs, mas outra forma substituir rad pelo seucorrespondente em graus, 180, e simplificar a frao.

2002

1800

9

)180(10

9

10rad

a)

b) '302474

)45(118

)180(118

11 rad

c) 20

9

)180(

9

rad d) 9

20

)180(

20

rad

e) 2403

720

3

)180(4

3

4rad


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2. Determine, em radianos, a medida do menor nguloformado pelos ponteiros de um relgio s 4 horas.

Soluo: Os ponteiros de umrelgio esto ambos na direodos nmeros somente na horaexata. Aps esse momento, onico a ficar na direo o

ponteiro dos minutos (grande).O relgio representa umacircunferncia dividida em 12partes iguais. Logo, cada nmero

dista um arco que mede 30.s 4h o menor ngulo centralformado pelos ponteiroscorresponde a rad

3

2120


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3. Se o ponteiro menor de um relgio percorre um arcode ( /12) radianos, que arco ponteiro maior percorre?

Soluo:

Em graus a medida percorrida pelo menorcorresponde a 15.

Esse valor corresponde metade da distncia entredois nmeros consecutivos.O tempo para percorrer essa distncia pelo menor de meia hora.

Enquanto isso o ponteiro maior d meia voltacompleta, isto , 180.

Logo, o ponteiro maior percorre rad.


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3. Se o ponteiro menor de um relgio percorre um arcode ( /12) radianos, que arco ponteiro maior percorre?

Esta questo tambm pode ser resolvida atravs seuma regra-de-trs simples:

PonteiroPequeno

PonteiroGrande

2rad(/6)rad

xrad(/12)rad

2

Resposta: rad


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5. Qual a medida, em graus, do menor ngulo centralformado pelos ponteiros de um relgio que estmarcando 9h 30min?

09:00 h 09:30 h

x


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Soluo: Ao marcar 9h em ponto,os ponteiros estavam na direodos nmeros como indicado na

primeira figura.s 9h30min o ponteiro pequenodeslocou-se de um ngulo x.Aplicando a regra-de-rsdescobrimos quantos graus ele seafastou da direo do nmero 9em 30 minutos.

09:30 h

x

PonteiroPequeno Tempo

60 min30

30 minx

60 x = 900 x = 15

= 90 + x e x = 15

= 105


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6. Determine:

a) o comprimento de um arco de circunferncia (em cm),

sabendo que ela tem 12cm de raio e o ngulo central

correspondente mede 20.

b) o ngulo central (em radianos) correspondente a um

arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio

de 20cm.

c) a medida do raio de uma circunferncia (em cm),

sabendo que nela um ngulo central de 15 corresponde

a um arco de 30cm.


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a) o comprimento de um arco de circunferncia (em cm),

sabendo que ela tem 12cm de raio e o ngulo central

correspondente mede 20.


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b) o ngulo central (em radianos) correspondente a um

arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio

de 20cm.


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c) a medida do raio de uma circunferncia (em cm),

sabendo que nela um ngulo central de 15 corresponde a

um arco de 30cm.


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7. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio.

Quantos metros ela percorre ao dar 5.000 voltas?

Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m?

40 cm = 0,4 m C = 20,4 m C 2,5m1 volta = 2,5 m 5000 voltas = 5000 2,5 m = 12.500 m

1 volta = 2,5 m x voltas = 2,5 x = 9.420 m


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9. Obtenha as menores determinaes no negativas dos

arcos.a) 1300

b) 1440

c) 170

d)

e)

f)1200

rad2

11

rad5

43

Soluo:

Encontra-se o nmero de voltas completas

que mltiplo de 360 ou de 2

.As menores determinaes no negativas

sero os arcos encontrados nos restos

percorridos no sentido positivo.

So chamadas 1s determinaes.


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)220()(33601300 restovoltas a)

Logo a 1 determinao de 1300 220.

b) )0()(43601440 restovoltas


c) 170 < 360 no completando uma volta. Logo a 1determinao o prprio 170.

d) radvoltasradradrad2

3)2(4

2

3

2

8

2

11

Logo a 1 determinao de .rad2

3rad

2

11


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c) 170 < 360 no completando uma volta. Logo a 1determinao o prprio 170.

d) radvoltasradradrad2

3)2(4

2

3

2

8

2

11


3rad

2

11


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e) radvoltasradradrad5

3)4(8

5

3

5

40

5

43


43rad5

3

f) )120()(33601200 restovoltas

120 a 1 determinao negativa de1200.Para encontrar a 1 determinao positiva, devemossomar 360 a120.Logo a 1 determinao de1200 240 (sentidopositivo).


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Logo a expresso geral Zkk ,360260


1 determinao positiva de700 = 360 340 = 20Logo a expresso geral Zkk ,36020

c) radvoltasradradrad

4

)6(12

44

48

4

49

Zkradk ,24

Logo a expresso geral


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d) radvoltasradradrad )5(1011

Zkkrad ,2 Logo a expresso geral

radvoltasradradrad8

)2(488

32

8

33

e)

A 1 determinao positiva ser radradrad 8

15

82

Logo a expresso geral Zkkrad ,28

15

2 voltas significa duasvoltas no sentido horrio(negativo)


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11. Assinale com X os pares que representam arcos

cngruos.

( ) 740 e 1460

( ) 400 e 940

( )

( )

Soluo:

Para que representem arcos

cngruos, suas extremidades

devero ser as mesmas.

Isto pode ser verificado

comparando as primeiras

determinaes de cada par.


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)20()(43601460

)20()(2360740

restovoltas

restovoltas1)

)220()(2360940

)40()(1360400

restovoltas

restovoltas2)

3)

radvoltasradradradradrad


3

2)(4

3

28

3

2

3

24

3

26

3

2)(63

2123

2

3

36

3

38

4)

radvoltaradradradradrad


5

9)(1

5

92

5

9

5

10

5

19

54)(7

5414

54

570

574


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11. Assinale com X os pares que representam arcos

cngruos.

( ) 740 e 1460

( ) 400 e 940

( )

( )


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12. Os arcos da forma , , k , tmextremidades em que quadrantes?

kk )1.(30180.

Soluo: Atribuindo alguns valores para k, observa-se aregularidade dos quadrantes:

)1(303903036030.)1(180).2(2

)2(1503018030.)1(180).1(1

)1(3030.)1(180).0(0

)2(1502103018030.)1(180).1(1

)1(303303036030.)1(180).2(2

2

1

0

1

2

Qk

Qk

Qk

Qk

Qk

Observa-se que, para valores MPARES de k, aextremidade do arco pertence ao 2 quadrante e, paravalores PARES, ao 1 quadrante. Logo, a resposta 1 e2 quadrantes.


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28/48

5230)1(2)1(3

0180

190

1180cos540cos

y

tg

sen

11001)0(2)0(410cos360cos720cos

0270cos630cos

0180900

y

sensen

a)

b)


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14. Determine os valores mximos e mnimos dasexpresses:

a)

b)

c)

31cos4 xy

5

52 senxy

23 2 xseny

Soluo: As funes seno e cosseno variam no intervalo

[ 1 , 1] onde (1) mnimo e (1) mximo.No caso das funes estarem ao quadrado, o valormnimo passa a ser (0), pois nenhum nmero aoquadrado pode ser negativo.


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ATENO!

13

3

3

1)1(4:

3

5

3

1)1(4:

3

1cos4

ymnimo

ymximox

ya)


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b)

53

5_)1(52:

5

7

5

_)1(52:

5

52

ymnimo

ymximosenx

y

c)

12)1(3:

22)0(3:23 2

ymnimo

ymximoxseny


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15. Que valores de m satisfaro a ambas as condies:

Soluo: Aplicando a relao fundamental relacionandosenos e cossenos, temos:

ou


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16. Sendoxum arco do 2 quadrante e ,

determine:

a) cos x

b) tg x

5

3senx

Soluo: No 2 quadrante o cosseno negativo e a

tangente tambm negativa. Aplicando as relaes

fundamentais, temos:


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17. Relacione as colunas:

Soluo:Encontrando o arco cngruo correspondente, avalia-se osinal da funo.


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cos 20

a) 5240 360

1164

42000

cos

sen

0180

90

270

200

20

20cos 20

cos 200 =cos 20


37/48

b) 1200 360

3120

cos

sen

0180

90

270

120

60 60

sen 60 = cos 30


38/48

c)210 + 360 = 150

cos

sen

0180

90

270

150

30 30

sen 150 = sen 30


39/48

d)

cos

sen

0180

90

150

30 30

tg

270


40/48

d)

cos

sen

0180

90

270

120

60 60


41/48

d)

cos

sen

0180

90

270

330

30

30

cos 330 = cos 30


42/48

d)


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17. Relacione as colunas:


44/48


45/48

540 360

1180

cos

sen

180

90

270

tg

0


46/48

120 + 360 = 240

cos

sen

180

90

270

60

60

0

240


47/48

)120cos(540

3001

tg

sen

0


48/48

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2013

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