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Aproximando ondas viajantes por

equilíbrios de uma equação não local

Glauce Barbosa Verão

Tese apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Doutora em Ciências

Programa: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Luiz Augusto Fernandes de Oliveira

São Paulo, dezembro de 2016

Aproximando ondas viajantes por

equilíbrios de uma equação não local

Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridas

pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,

realizada em 02/12/2016. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Luiz Augusto Fernades de Oliveira (orientador) - IME-USP

• Prof. Dr. Antônio Luiz Pereira - IME-USP

• Profa. Dra. Gleiciane da Silva Aragão - UNIFESP

• Prof. Dr. Ma To Fu - ICMC - USP

• Profa. Dra. Rita de Cássia Dornelas Sodré Broche - UFLA

Agradecimentos

Ao concluir este trabalho, agradeço:

A Nossa Senhora de Aparecida, por me proteger e me ajudar a passar por todos os momentos

difíceis.

Ao meu orientador Luiz Augusto F. de Oliveira pela orientação e dedicação para tornar possível

este trabalho.

Aos membros da banca examinadora, Rita, Gleiciane, Anôonio e Ma To Fu, que me ajudaram

a enriquecer e melhorar este trabalho.

Aos meus pais Valdete e Erico, minha irmã Jaqueline que acreditaram no meu sonho e não

mediram esforços para me ajudar a realizá-lo. Mãe, você que dividiu seu salário comigo para que

eu pudesse permanecer em São Paulo estudando, dedico e devo tudo a você.

Ao Evandro que suportou todas as crises de choro e com muito carinho e paciência me ajudou

a superar cada etapa.

Aos amigos que z durante o doutorado, Maikel, Vinícius, Ariadne, Itailma, Ânderson, Eliane,

Oscar, Rosilene, Joelson, Hector e Adilson, vocês me ajudaram de diversas formas e tornaram essa

caminhada mais leve e prazerosa.

Ao professor Cosme E. R. Mercedes da UEMS que me ajudou com a simulação numérica do

Matlab e pela sua importância em toda minha trajetória acadêmica.

A Universidade São Judas Tadeu pela oportunidade de atuar como docente e me sentir realizada,

a cada dia, com a prossão que sempre sonhei.

As professoras Delma Freo Faccin e Maristela Missio pelo incentivo e ajuda no início desta

caminhada acadêmica

i

Resumo

VERÃO, G. B. Aproximando ondas viajantes por equilíbrios de uma equação não local.

2016. 87 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo,

São Paulo, 2016.

O sistema de FitzHugh-Nagumo possui um tipo especial de solução chamadas ondas viajantes,

que são da forma u(x, t) = φ(x + ct) e w(x, t) = ψ(x + ct) e além disso sabe-se que ela é estável.

Tem-se o interesse de obter uma caracterização de seu perl (φ, ψ) e sua velocidade de propagação

c. Fazendo uma mudança de variáveis, transformamos tal problema em encontrar equilíbrios de

uma equação não local. Esta equação não local possui uma onda viajante de velocidade zero cujo

perl é o mesmo da equação original e, com esta equação, é possível aproximar, ao mesmo tempo, o

perl e a velocidade da onda viajante. Como a intenção é usar métodos numéricos para aproximar

tais soluções, o problema não local foi analisado em um intervalo limitado vericando a existência

e algumas propriedades espectrais em domínios limitados.

Palavras-chave: FiztHugh-Nagumo, soluções ondas viajantes, equação não local.

iii

Abstract

VERÂO, G. B. Approximating traveling waves by equilibria of nonlocal equations . 2016.

87 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São

Paulo, 2016.

The FitzHugh-Nagumo systems have a special kind of solution named traveling wave, which

has a form u(x, t) = φ(x+ ct) and w(x, t) = ψ(x+ ct) and furthermore it is a stable solution. It is

our interest to obtain a characterization of its prole (φ, ψ) and speed of propagation c. Changing

variables, we transform the problem of nding these solutions in the problem of nding an equilibria

in a nonlocal equation. This nonlocal equation has a traveling wave with zero speed whose prole

is the same of the original equation, and the nonlocal equation is used to approximate the prole

and speed of the traveling wave at the same time. To use numerical methods for approximating

such solutions, the nonlocal problem was analyzed in a nite interval to check that the existence

and some spectral properties on bounded domains.

Palavras-chave: FiztHugh-Nagumo, traveling wave solutions, nonlocal equations.

v

Sumário

Lista de Figuras ix

1 Teoria Básica 5

1.1 Existência de ondas viajantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Dois sistemas reduzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Demonstração da existência da onda viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Teoria geométrica da perturbação singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Estabilidade de ondas viajantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Existência de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Função de Evans para sistema reduzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Função de Evans para sistema FitzHugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Outros resultados - estimativas uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Aproximando ondas viajantes 37

2.1 Denição do problema não local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Propriedades das soluções do problema local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Propriedades das soluções do problema não local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Problema local em um intervalo limitado 47

3.1 Existência e unicidade de soluções estacionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Análise espectral do problema em intervalo nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Hipóteses e principais resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.2 Aplicação no sistema de FitzHugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Problema não local em um intervalo limitado 55

4.1 Soluções estacionárias do problema não local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Convergência das soluções estacionárias para a onda viajante quando |J | → ∞ 56

4.2 Propriedades espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.1 Propriedades espectrais de Lr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.2 Propriedades espectrais de L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Convergência espectral 65

5.1 Denições e resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Convergência espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

vii

viii SUMÁRIO

6 Resultados Numéricos 73

6.1 Denição da equação não local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Referências Bibliográcas 77

Lista de Figuras

1 Função f(u) satisfazendo as condições (H1)-(H3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Três pontos de equilíbrios de (1) para γ > 0 sucientemente grande. . . . . . . . . . 2

1.1 Plano de fase de (1.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Curvas SL e SR para c xo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Intersecção das variedades W u(0, 0, 0, c) e W s(1, 0, 0, c). . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Γ1 e Γ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Comportamento de x+(y) e x−(y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Trajetória de Γε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.1 Velocidade de propagação λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.2 Solução u(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3 Solução w(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

ix

x LISTA DE FIGURAS

Introdução

O tema central de estudo deste trabalho está relacionado com a existência, estabilidade e aproxi-mação de ondas viajantes do sistema de FitzHugh-Nagumo

ut = uxx + f(u)− w,

wt = ε(u− γw),−∞ < x <∞, t > 0. (1)

Em todo esse trabalho, ε > 0 e γ > 0 são constantes reais e f : R→ R é uma função de classe C2

satisfazendo as seguintes condições:

(H1) Existe 0 < a < 1 tal que f(0) = f(a) = f(1) = 0, f ′(0) < 0, f ′(1) < 0 e f ′(a) > 0;

(H2) f(u) > 0 quando u < 0 ou a 1;

(H3)∫ 1

0 f(s)ds > 0.

Uma representação de f pode ser ilustrada na Figura 1.

Figura 1: Função f(u) satisfazendo as condições (H1)-(H3).

Um exemplo típico de uma função que satisfaz as hipóteses (H1)-(H3) é

f(u) = u(u− a)(1− u), (2)

onde 0 < a < 12 .

Sistemas de reação difusão surgem em diversos processos biológicos como, por exemplo, a pro-pagação dos estímulos do nervo axônio. Um dos trabalhos pioneiros nesta direção foi o artigo deHodgkin e Huxley (1952). Mais tarde, FitzHugh (1961) e Nagumo et al. (1962) apresentaram umaversão simplicada do modelo de Hodgkin-Huxley e, desde então, é o objeto de estudo de diversospesquisadores. Neste trabalho, vamos nos concentrar em um tipo especial de soluções chamadasondas viajantes.

Ondas viajantes são soluções de (1) da forma

u(x, t) = φ(ξ), w(x, t) = ψ(ξ) ξ = x+ ct (3)

onde c > 0 é uma constante. Soluções de (1) da forma (3) são chamadas ondas viajantes de velocidade

1

2 LISTA DE FIGURAS 0.0

c e perl (φ, ψ), ou simplesmente ondas viajantes de velocidade c. Naturalmente, se φ, ψ : R → Rsão funções de classe C2, então a terna (φ, ψ, c) é solução do sistema

φ′′ − cφ′ + f(φ)− ψ = 0−cψ′ + ε(φ− γψ) = 0.

(4)

Observemos que (4) é uma família de sistemas de equações diferenciais ordinárias dependendodo parâmetro c, que também é uma incógnita a ser determinada.

Vários autores estudaram existência de soluções de (4) para diversos valores de c e demons-traram a existência de ondas viajantes de diversos pers, tais como ondas periódicas e pulsos. Parauma exposição extensiva do assunto, recomendamos as referências: Jones (1984), Oliveira (1992)Szmolyan (1991) e Yanagida (1985).

Para descrevermos os pers de ondas viajantes que consideraremos nessas notas, vamos examinaro sistema (4) mais detalhadamente. Primeiro, escrevemos (4) como o sistema de primeira ordemdependendo do parâmetro c dado por

u′(ξ) = v(ξ)v′(ξ) = cv(ξ)− f(u(ξ)) + w(ξ)

w′(ξ) =ε

c(u(ξ)− γw(ξ)).

(5)

O número de pontos de equilíbrios de (5) depende apenas de γ. Durante todo este trabalho, talparâmetro irá satisfazer a seguinte hipótese:

(H4) γ > 0 é sucientemente grande para que f(u) = 1γu tenha três raízes reais 0 < a < u1 < u2 < 1

e ∫ u2

0

(f(u)− 1

γu

)du > 0,

como mostra a Figura 2.

Figura 2: Três pontos de equilíbrios de (1) para γ > 0 sucientemente grande.

Quando f é a cúbica f(u) = u(u− a)(1− u), a condição (H4) é satisfeita quando 0 < a <1

2e

γ > 9(2−a)(1−2a) .

Sob as hipóteses (H1)-(H4), o sistema (5) tem três equilíbrios p0 = (0, 0, 0), p1 = (u1, 0,1γu1) e

p2 = (u2, 0,1γu2).

Nesse trabalho vamos estudar a existência, estabilidade e aproximação de ondas viajantes (φ, ψ) :R→ R2 do sistema de FitzHugh-Nagumo (1) que satisfazem

(φ(−∞), φ′(−∞), ψ(−∞)) = (0, 0, 0) e (φ(+∞), φ′(+∞), ψ(+∞)) = (u2, 0,1

γu2). (6)

Mostraremos que existe um valor c > 0 tal que (1) tem uma onda viajante estável; além disso,

0.0 LISTA DE FIGURAS 3

essa onda é única, a menos de translação na variável de fase ξ. Em seguida, descreveremos ummétodo para aproximação dessa onda como equilíbrio de um sistema não local.

Geometricamente, procurar ondas viajantes (φ, ψ, c) de (1) satisfazendo (6) é equivalente adeterminar valores do parâmetro real c para os quais o sistema (5) admite uma órbita heteroclínica

conectando os equilíbrios p0 e p2.Observe ainda que ondas viajantes (φ, ψ, c) de (1) podem ser olhadas como equilíbrios de um

sistema parabólico num sistema de coordenadas móvel: se (u,w) é uma solução de (1) e ξ = x+ ct,então

u(ξ, t) = u(x, t) e w(ξ, t) = w(x, t) (7)

satisfazem ut = uξξ − cuξ + f(u)− wwt = −cwξ + ε(u− γw).

(8)

Nessas variáveis, (φ, ψ) é um ponto de equilíbrio de (8). Obviamente, como solução de umsistema autônomo

(φ(·+ k), ψ(·+ k)) : k ∈ R

é uma família uniparamétrica de pontos de equilíbrios de (8).Desta forma, o conceito de estabilidade da onda viajante é o conceito de estabilidade orbital, que

discutiremos nos próximos capítulos. Nesse contexto, o estudo de estabilidade orbital de famíliasde equilíbrios é de fundamental importância e resultados positivos nessa direção, que serão aquiutilizados, podem ser encontrados em Henry (1981), para sistemas parabólicos, e em Evans (1975),Yanagida (1989) e Jones (1984), para sistemas de FitzHugh-Nagumo.

Esta tese está organizada da seguinte maneira: o Capítulo 1 é dedicado a mostrar a existênciae estabilidade da solução onda viajante mencionada acima e, além disso mostraremos algumasestimativas que serão usadas mais adiante. No Capítulo 2 denimos a equação não local

pt = pxx − η′(t)px + f(p)− q−∞ < x <∞, t > 0

qt = −η′(t)qx + ε(p− γq)(9)

e mostramos que este problema possui uma família de ondas viajantes com velocidade c = 0 cujoperl converge exponencialmente para o perl da onda viajante encontrada no Capítulo 1. Alémdisso, o termo não local n′(t), converge exponencialmente para a velocidade da onda viajante doproblema original.

A premissa deste estudo é poder aproximar numericamente o perl e a velocidade da ondaviajante através dos equilíbrios do problema não local (9). Para usar métodos numéricos é necessáriotruncar o domínio e por isso, no Capítulo 4 analisamos o problema não local em um intervalolimitado com certas condições de contorno, isto é,

pt = pxx −A− 〈q, px〉L2(J)

‖px‖2L2(J)

px + f(p)− q,

x ∈ J =: [x−, x+], t > 0,

qt = −A− 〈q, px〉L2(J)

‖px‖2L2(J)

qx + ε(p− γq),

p(x, 0) = u0(x) q(x, 0) = w0(x)

p(x−, t) = 0, p(x+, t) = u2 e q(x−, t) = 0.

(10)

As condições de contorno acima foram escolhidas de forma a imitar o comportamento da ondaviajante do problema original.

4 LISTA DE FIGURAS 0.0

Assim como o problema local e o não local, denidos em R, estão intimamente ligados, o pro-blema não local (10) herda algumas propriedades do problema local denido no mesmo domínio e,por isso, o Capítulo 3 é dedicado ao estudo da existência e estabilidade dos equilíbrios do problema

ut = uxx − cux + f(u)− w, x ∈, t > 0wt = −cwx + ε(u− γw),

u(x, 0) = u0(x) e w(x, 0) = w0(x)

u(x−, t) = 0, u(x+, t) = u2 e w(x−, t) = 0,

onde A =∫ u2

0 f(s) ds. A análise espectral do problema (10) é feita em duas etapas: no Capítulo4 consideramos a linearização de (10) ao redor da solução estacionária encontrada no Capítulo 3e estudamos as propriedades espectrais deste operador denido tanto em R quanto no intervalo Jnito; no Capítulo 5 estudamos a convergência espectral para um determinado conjunto e para umintervalo sucientemente grande.

Capítulo 1

Teoria Básica

1.1 Existência de ondas viajantes

Nesta seção vamos mostrar existência de uma onda viajante de (1) satisfazendo (6). Como vimos,isso é equivalente a demonstrar a existência de um número real c > 0 tal que (5) tem uma órbitaheteroclínica conectando os equilíbrios p0 e p2. A estratégia que adotaremos será a de mostrar queexiste um valor de c tal que a variedade instável de p0 intercepta a variedade estável de p2. Para isso,na próxima subseção, vamos estudar inicialmente dois sistemas obtidos de (5), doravante chamadossistemas reduzidos.

1.1.1 Dois sistemas reduzidos

Lema 1.1.1 Suponha que f satisfaz as hipóteses (H1)-(H3). Então, existe c = c > 0 tal que o

sistema u′ = v

v′ = cv − f(u) ′ = ddξ

(1.1)

tem uma solução heteroclínica (φ(ξ), φ′(ξ)) tal que φ

′(ξ) > 0 para todo ξ ∈ R e

limξ→−∞

(φ(ξ), φ′(ξ)) = (0, 0) e lim

ξ→+∞(φ(ξ), φ

′(ξ)) = (1, 0). (1.2)

Lema 1.1.2 Suponha que f e γ satisfazem as hipóteses (H1)-(H4). Então, existe c = c > 0 tal que

o sistema u′ = vv′ = cv − f(u) + 1

γu(1.3)

tem uma solução heteroclínica (φ(ξ), φ′(ξ)) tal que φ′(ξ) > 0 para todo ξ ∈ R e

limξ→−∞

(φ(ξ), φ′(ξ)) = (0, 0) e limξ→+∞

(φ(ξ), φ′(ξ)) = (u2, 0).

A demonstração dos lemas acima é um estudo de plano de fase dos sistemas (1.1) e (1.3) quepodem ser encontrados em Henry (1981) e Fife e McLeod (1977).

Observação. Como observado em Henry (1981), p. 130, quando f(u) = u(u−a)(1−u) e 0 < a < 12 ,

temos a solução explícita de (1.1) φ e sua velocidade c, dadas por:

c =√

2

(1

2− a)

e φ(ξ) =1

1 + exp(−ξ/√

2).

5

6 TEORIA BÁSICA 1.1

Com pequenas modicações, podemos obter também expressões explícitas para c e φ:

c =√

2(u2

2− u1

)e φ(ξ) =

u2

1 + exp(−ξu2/√

2).

A Figura 1.1 ilustra como as soluções de (1.1) se comportam de acordo com o parâmetro c. Apartir dela podemos concluir que c < c.

Figura 1.1: Plano de fase de (1.1).

1.1.2 Demonstração da existência da onda viajante

Voltemos agora nossa atenção ao sistema (5), para o qual queremos encontrar uma solução queconecta p0 = (0, 0, 0) com p2 = (u2, 0, w2), onde w2 = 1

γu2.

A linearização de (5) em torno de p0 = (0, 0, 0) é a equação Z ′ = M0Z, onde Z = (u, v, w)T e

M0 =

0 1 0−f ′(0) c 1ε

c0 −εγ

c

.

Os autovalores de M0 são as raízes do polinômio característico

p(r) = −r3 + r2(c− εγ

c

)+ r(εγ − f ′(0)) +

ε

c− εγ

cf ′(0). (1.4)

Para cada t ∈ R, temos

p(it) =1

c

[t2(εγ − c2) + ε(1− γf ′(0))

]+ it

[t2 + εγ − f ′(0)

].

Como f ′(0) < 0, a equação p(it) = 0 não tem solução e, portanto, p não tem raiz no eixoimaginário. Também, escrevendo p como

p(r) =(−εγc− r)

[r2 − cr + f ′(0)] +ε

c,

vericamos que se ε > 0 é sucientemente pequeno, então p(r) = 0 tem três raízes reais quesatisfazem r3 < r2 < 0 < r1. Portanto, para todos c > 0 e ε > 0, M0 tem 3 autovalores quesatisfazem:

r3 < r2 < 0 < r1.

1.1 EXISTÊNCIA DE ONDAS VIAJANTES 7

Se ~v = (v1, v2, v3) é um autovetor de M0 associado a r1, suas componentes satisfazemv2 = r1v1

−f ′(0)v1 + (c− r1)v2 + v3 = 0ε

εγ + r1cv1 = v3.

Escolhendo v1 = 1, concluímos que o espaço tangente à variedade instável em (0, 0, 0) é geradopelo vetor

~v =

(1, r1,

ε

εγ + cr1

). (1.5)

Para cada c > 0, seja (u(ξ), v(ξ), w(ξ)) uma solução de (5) contida no primeiro octante quesatisfaz

limξ→−∞

(u(ξ), v(ξ), w(ξ)) = (0, 0, 0) (1.6)

e denote por Γc a curva integral de (5) que entra na região u > 0, v > 0 e w > 0 saindo de (0, 0, 0):

Γc = (u(ξ), v(ξ), w(ξ)) : limξ→−∞

(u(ξ), v(ξ), w(ξ)) = (0, 0, 0).

Da expressão (1.5) do autovetor ~v podemos selecionar (u(0), v(0), w(0)) em Γc tão próximo de(0, 0, 0) de modo que

0 < u(0) < a, v(0) > 0 e 0 < w(0) <1

γu(0). (1.7)

Vamos procurar soluções de (5) que satisfaz (1.6) e também

limξ→+∞

(u(ξ), v(ξ), w(ξ)) = (u2, 0, w2). (1.8)

Lema 1.1.3 Para cada c > 0, seja Γc a curva integral de (5) saindo de (0, 0, 0) e satisfazendo

(1.7). Temos os seguintes resultados:

(i) Γc não pode encontrar o plano u = γw em um ponto (u(ξ0), v(ξ0), w(ξ0)) com u(ξ0) > 0 se existe

δ > 0 tal que u(ξ) > 0, 0 < w(ξ) < u(ξ)γ e v(ξ) > 0 para ξ ∈ (ξ0 − δ, ξ0);

(ii) Γc não pode interceptar o plano w = 0 em um ponto (u(ξ0), v(ξ0), w(ξ0)) com u(ξ0) > 0 se

existe δ > 0 tal que u(ξ) > 0 e v(ξ) > 0 para ξ ∈ (ξ0 − δ, ξ0);

(iii) Se Γc entra na região

Ω+ =

(u, v, w) : u > u2, v > 0, 0 < w <

1

γu

,

então Γc permanece nesta região.

Demonstração. A demonstração é imediata e consiste em examinar a restrição do campo devetores denido por (5) em cada um dos planos w = 0, w = 1

γu e u = u2.

Um resultado que será muito usado nos próximos lemas é a comparação entre soluções de EDOcuja demonstração pode ser encontrada em Budincevic (2010).

Teorema 1.1.1 Considere os problemasy′(x) = f(x, y)y(x0) = y0

(1.9)

e z′(x) = g(x, z)z(x0) = y0.

(1.10)

Suponha que (1.9) tem uma única solução em

D = (x, y) : |x− x0| < δ1, |y − y0| < δ2.

Se f(x, y) ≥ g(x, y) então y0(x) ≥ z0(x) para x ≥ x0 onde y0(x) é a única solução do problema

(1.9) enquanto que z0(x) é a única solução do problema (1.10).

Sejam c e c os números obtidos nos Lemas 1.1.1 e 1.1.2.

Lema 1.1.4 Suponha que f satisfaz as hipóteses (H1)−(H4). Se c ≥ c, então Γc é tal que v(ξ) > 0para todo ξ ≥ 0.

Demonstração. Podemos escrever (1.4) na forma

p(r) =(εγc

+ r) (−r2 + cr − f ′(0)

)+ε

c.

Encontrar as raízes de p é equivalente a encontrar r que satisfaz

−r2 + cr − f ′(0) +ε

εγ + cr= 0.

Portanto, o único autovalor positivo r1 de M0 satisfaz

r1 =1

2

c+

√c2 + 4

(ε

εγ + cr1− f ′(0)

). (1.11)

Por outro lado, considerando a linearização do sistemau′ = vv′ = cv − f(u)

(1.12)

ao redor do equilíbrio (0, 0), obtemos o autovalor positivo

r+ =1

2

c+

√c2 − 4f ′(0)

e o seu correspondente autovetor v1 = (1, r+). Como c ≥ c, então r1 > r+.

Pelo Lema 1.1.1, (1.12) tem uma orbita heteroclínica (φ(ξ), φ′(ξ)) tal que φ

′(ξ) > 0 e satisfaz

(1.2). Podemos selecionar (φ(0), φ′(0)) na curva integral de (1.12) com valor inicial bem próximo

de (0, 0).Como u′(0) > 0 e φ

′(0) > 0 podemos reescrever os problemas (5) e (1.12) nos respectivos

problemas de valor inicial:

dv

du=cv − f(u)

v+w

v

dw

du=ε(u− γw)

cv

v(0) = 0 e w(0) = 0

(1.13)

e dv

du=cv − f(u)

v

v(0) = 0

(1.14)

Comparando as soluções dos problemas (1.13) e (1.14) concluímos que

v(ξ) ≥ φ′(ξ) > 0 para todo ξ > 0.

Lema 1.1.5 Se c ≤ c então Γc intersecta o plano v = 0 em algum ponto (up, 0, wp) onde u1 ≤up ≤ u2 e 0 ≤ wp ≤

upγ.

Demonstração. Pelo Lema 1.1.2 se c = c então existe uma órbita heteroclínica (φ(ξ), φ′(ξ)) ligando(0, 0) e (u2, 0).

Portanto o problema

u′ = v,

v′ = cv − f(u) +1

γu, ′ = d

dξ

w′ =ε

c(u− γw).

(1.15)

tem solução (φ(ξ), φ′(ξ), ψ(ξ)) tal que

limξ→−∞

(φ(ξ), φ′(ξ), ψ(ξ)) = (0, 0, 0)

limξ→+∞

(φ(ξ), φ′(ξ), ψ(ξ)) = (u2, 0, w2)

e φ′ > 0 em (−∞,∞).Como feito no Lema 1.1.4, considere os problemas

dv

du=

cv − f(u) +u

γ

v

v(0) = 0

(1.16)

e

dv

du=

cv − f(u) +u

γ

v+

w − u

γ

v

dw

du=ε(u− γw)

cv

v(0) = 0 e w(0) = 0.

(1.17)

Pelo item (i) do Lema 1.1.3, w 0.

Lema 1.1.6 Para qualquer u+ > u(0) tal que

F (u) =

∫ u

0

(f(s)− s

γ

)ds > 0 para u ∈ (0, u+),

existe ξ+, tal que u(ξ+) = u+ e u(ξ) > 0, u(ξ)− γw(ξ) > 0, v(ξ) > 0 para ξ ∈ (−∞, ξ+].

Demonstração. Veja Gao e Wang (2004), p.671 .

Teorema 1.1.2 Sob as hipóteses (H1)-(H4), para todo ε > 0, existe c∗ ∈ (c, c) tal que existe uma

solução onda viajante do problema (1) com velocidade c∗ satisfazendo (6), isto é, existe um único

c∗ ∈ (c, c) tal que existe uma única, a menos de translação, solução do problema (5)-(6).

Demonstração. Suponha que Γc começa em um ponto na região

R =

(u, v, w); 0 0

em ξ = 0.

Pelo Lema 1.1.4, se c ≥ c, Γc não intersecta com o plano v = 0 para qualquer ξ > 0 e portantoΓc entrará na região

S =

(u, v, w); u > u2, max f(u), 0 < w 0

.

Pelo Lema 1.1.5, se c = c, Γc intersecta com v = 0 em algum ponto (up, 0, wp) tal que u1 ≤up ≤ u2 e 0 ≤ wp ≤

upγ.

Logo, se c = c ou Γc entra na região

T = (u, v, w); u2 0, ∃ ξ0 tal que Γc está em R se ξ ∈ (−∞, ξ0) e entra em S em ξ = ξ0

eC = c > 0,∃ ξ0 tal que Γc está em R se ξ ∈ (−∞, ξ0) e entra em T em ξ = ξ0 .

C e C são conjuntos abertos, não vazios e além disso C ∩ C = ∅. Podemos escrever

C = (c1, c2) ∪ (c3, c4) ∪ · · · ∪ (ci, ci+1) ∪ · · ·

onde 0 < c1 < c2 < · · · < ci < · · · < c.Suponha que c ∈ (cj−1, cj) então c < cj e cj pertence a fronteira de C. Como Γcj não entra em

T , existem dois casos a serem considerados:Caso 1: Γcj permanece na região R. Como u′ = v > 0 e que u ∈ (0, u2) é limitado então

ou limξ→+∞

(u, v, w) = (u1, 0, w1) ou limξ→+∞

(u, v, w) = (u2, 0, w2). Pelo Lema 1.1.6 concluímos que

limξ→+∞

(u, v, w) = (u2, 0, w2).

Caso 2: Γcj sai da região R. Como Γcj tem dependência contínua relativa a c, Γcj irá passarpor algum ponto do contorno de S em algum tempo nito ξ = ξ1. Γcj irá passar por algum ponto(u(ξ1), v(ξ1), w(ξ1))

B = (u, v, w); u2 ≤ u ≤ 1, w = f(u), v = 0

Temos u′(ξ1) = v(ξ1) = 0, w′(ξ1) =ε

c(u(ξ1)− γw(ξ1)) > 0, u′′(ξ1) = v′(ξ1) = 0.

u′′′(ξ1) = v′′(ξ1) =d

duf(u(ξ1))v(ξ1) + w′(ξ1) + cv′(ξ1)

=ε

c(u(ξ1)− γw(ξ1)) > 0.

Então Γcj entrará na região S e cj ∈ C. Como C é aberto, então existe δ > 0 tal que (cj−δ, cj +

δ) ⊂ C ∪ C o que contradiz C ∪ C = ∅.

1.1.3 Teoria geométrica da perturbação singular

A existência de ondas viajantes para equação de FitzHugh-Nagumo foi estudada e demonstradade diferentes formas. Uma dessas formas é a Teoria Geométrica da Perturbação Singular (GPS) quede forma sucinta, vamos descrever os passos de sua demonstração para o caso da órbita heteroclínica.

Quando ε = 0 no sistema

u′ = v,

v′ = cv − f(u) + w, ′ = ddξ

w′ =ε

c(u− γw),

c′ = 0,

(1.18)

então w′ = 0 e portanto w atua como um parâmetro no sistema

u′ = v

v′ = cv − f(u) + w

w′ = 0

c′ = 0.

(1.19)

O sistema (1.19) tem os pontos de equilíbrios no conjunto

S = (u, v, w, c); v = 0 e w = f(u) .

Denem-se duas curvas SL e SR contidas em S onde f ′(u) < 0 como mostra a Figura 1.2 paraum valor de c xo.

Como SL e SR foram denidas longe dos pontos onde f ′(u) = 0, os pontos (u, 0, f(u), c) de SLe SR são pontos xos hiperbólicos e denem uma variedade estável W s e uma variedade instávelW u.

Como existe c tal que, existe uma órbita no plano w ≡ 0 saindo de (0, 0) chegando em (1, 0)(Lema 1.1.1), isto signica que as variedades W u(0, 0, 0, c) e W s(1, 0, 0, c) se intersectam comoilustra a Figura 1.3.

Seja δ > 0 sucientemente pequeno e Iδ = [c− δ, c+ δ], vamos denotar por

N u =⋃c∈Iδ

W u(0, 0, 0, c) e N s =⋃c∈Iδ

W s(u2, 0, f(u2), c). (1.20)


Figura 1.2: Curvas SL e SR para c xo.

Figura 1.3: Intersecção das variedades Wu(0, 0, 0, c) e W s(1, 0, 0, c).

Como existe uma órbita heteroclínica (φ, φ′, 0, c) ligando os pontos (0, 0, 0, c) ∈ N u e (1, 0, 0, c) ∈N s isto implica que as variedades N u e N s se intersectam. O Teorema 4.1 de Szmolyan (1991)mostra que esta intersecção é transversal.

Para mais detalhes desta demonstração veja os artigos de Szmolyan (1991) e Jones (1995).

Seja Γ0 = Γ1 ∪ Γ2 a curva suave por partes, onde Γ1 é a trajetória de φ do Lema 1.1.1 e Γ2 é ográco de f(u) para u ∈ [u2, 1] como mostra a Figura 1.4

Yanagida (1989) usou os argumentos do GPS para enunciar o seguinte resultado

Teorema 1.1.3 Se ε > 0 for sucientemente pequeno, (1) tem uma solução onda viajante cuja

órbita Γε satisfaz; Γε → Γ0 e sua velocidade de propagação c∗ → c, quando ε→ 0.

1.2 Estabilidade de ondas viajantes

Nesta seção, vamos discutir a estabilidade da onda viajante

u(x, t) = φ(x+ c∗t), w(x, t) = ψ(x+ c∗t), (1.21)

de (1), que satisfaz as condições

(φ(−∞), φ′(−∞), ψ(−∞)) = (0, 0, 0) e (φ(+∞), φ′(+∞), ψ(+∞)) = (u2, 0,1

γu2), (1.22)

1.2 ESTABILIDADE DE ONDAS VIAJANTES 13

Figura 1.4: Γ1 e Γ2.

obtida no Teorema 1.1.2.

Como observamos na introdução, a onda viajante (φ, ψ, c∗) de (1) pode ser olhada como equilí-brio de um sistema evolutivo num sistema de coordenadas móvel: se (u,w) é uma solução de (1) eξ = x+ c∗t, então u(ξ, t) = u(x, t) e w(ξ, t) = w(x, t) satisfazem

ut = uξξ − c∗uξ + f(u)− wwt = −c∗wξ + ε(u− γw).

(1.23)

Nessas variáveis, (φ, ψ) é um ponto de equilíbrio de (1.23). Obviamente, como solução de umsistema autonômo (5), translações no tempo ξ também são soluções, de modo que (φ(·+k), ψ(·+k)) : k ∈ R é uma família uniparamétrica de pontos de equilíbrios de (1.23).

Desta forma, o conceito de estabilidade da onda viajante é o conceito de estabilidade orbital,que discutiremos neste capítulo. Naturalmente, precisamos eleger um espaço de fase X e examinar(1.23) como um sistema de evolução em X. Na próxima subseção, faremos uma breve discussãodesses assuntos, já que a literatura a respeito da boa colocação de (1) é bastante conhecida.

1.2.1 Existência de Soluções

Nessa seção trataremos de modo sucinto a teoria básica de soluções de (1.23). Seguiremos deperto o tratamento dado por Bates e Jones (1989). Detalhes podem também ser encontrados nasreferências Evans (1972), Smoller (1983) e Rauch e Smoller (1978)

Em primeiro lugar, diversos espaços podem ser escolhidos para formular (1.23) como uma equa-ção de evolução, mas vamos focar nos seguintes espaços de Banach:

1) Cunif(R) = u : R→ R : u é limitada e uniformemente contínua com a norma

‖u‖∞ = sup|u(x)| : −∞ < x <∞;

2) Wm,p(R) = u : R→ R : u, u′, ..., u(m) ∈ Lp(R)1, m ∈ Z∗+ com a norma

‖u‖m,p =

∫ ∞−∞

(|u(x)|p + ...+ |u(m)(x)|p) dx1/p

.

1Derivadas no sentido de distribuição

Nesse último caso, admitimos que 1 < p < ∞. Um fato básico que usaremos sistematicamenteé o seguinte

Teorema 1.2.1 Para todo 1 0. Em particular, H1(R) := W 1,2(R) é um espaço de Hilbert.

Demonstração. Pode ser encontrada em Brezis (2010).

Seja X qualquer um dos espaços X = Cunif(R)2 ou X = H1(R)2. Tomando perturbação daforma

u(ξ, t) = φ(ξ) + u(ξ, t), w(ξ, t) = ψ(ξ) + w(ξ, t), (1.24)

com (u(·, t), w(·, t)) ∈ X, então (u,w) satisfazut = uξξ −c∗uξ + f ′(φ(ξ))u− w + f(φ(ξ) + u)− f(φ(ξ))− f ′(φ(ξ))uwt = −c∗wξ + ε(u− γw).

(1.25)

Dena os seguintes operadores em X:

A =

[d2

dξ20

0 0

], B =

[−c∗ ddξ 0

0 −c∗ ddξ

], C =

[f ′(0) −1ε −εγ

]e K =

[f ′(φ(ξ))− f ′(0) 0

0 0

];

então, as equações (1.25) podem ser escritas como o sistema de evolução

d

dt

(uw

)= (A+B + C +K)

(uw

)+

(f(φ(ξ) + u)− f(φ(ξ))− f ′(φ(ξ))u

0

). (1.26)

Agora, −A é setorial e, portanto, A gera um semigrupo analítico em X. Como C é um operadorlimitado, então A+ C é o gerador de um semigrupo analítico P (t) em X. Também, para a ∈ R, ooperador translação Ta : X → X dado por Ta(u,w)(ξ) = (u(ξ+a), w(ξ+a)) é um operador limitado(isometria) e é o C0-grupo gerado por B. Um cálculo explícito mostra então que A + B + C geraTc∗tP (t), que é um C0-semigrupo emX. Finalmente, comoK é um operador limitado, A+B+C+Ké o gerador de um C0-semigrupo em X.

Como f é de classe C2, a aplicação F : X → X dada por

F (u,w)(ξ) = (f(φ(ξ) + u(ξ))− f(φ(ξ))− f ′(φ(ξ))u(ξ), 0)

é de classe C1, no sentido de Frechet, e portanto, o problema de Cauchy para (1.25) tem soluçãofraca local única. Existência global pode ser também ser obtida e recomendamos as referênciasRothe (1984), Rauch (1976) Bates e Jones (1989), Pazy (2012).

Denição 1.2.1 Dizemos que a solução onda viajante (φ, ψ) de (1.23) é estável se, dado ε >0, existe δ > 0 tal que ‖(u0, w0)‖ < δ, então a solução (u(·, t), w(·, t)) de (1.23) satisfazendo

(u(·, 0), w(·, 0)) = (φ+ u0, ψ + w0) satisfaz ‖(u(·, t), w(·, t))‖ < ε, para todo t ≥ 0.Dizemos que a solução onda viajante (φ, ψ) de (1.23) é orbitalmente estável se ela é estável e

existe ρ > 0 tal que se ‖(u0, w0)‖ < ρ, então existe ξ0 ∈ R tal que a solução (u(·, t), w(·, t)) de

(1.23) satisfazlimt→∞

[‖u(ξ, t)− φ(ξ − ξ0)‖+ ‖w(ξ, t)− ψ(ξ − ξ0)‖] = 0.

Como ‖f(φ(ξ) + u)− f(φ(ξ))− f ′(φ(ξ))u‖/‖u‖ → 0 quando ‖u‖ → 0, a equação linearizada daequação (1.23) ao redor de (φ, ψ) é dada por

ut = uξξ −c∗uξ + f ′(φ(ξ))u− wwt = −c∗wξ + ε(u− γw).

(1.27)

Vamos agora fazer algumas observações importantes a respeito do resultado estabilidade vialinearização implica estabilidade da equação não linear. Devido ao caráter `hiperbólico' da segundaequação em (1.27), os resultados de Henry (1981) não podem ser aplicados imediatamente. Evans(1972) demonstrou que a estabilidade da equação linearizada implica na estabilidade orbital daequação não linear para uma classe de equações que incluem o sistema de FitzHugh-Nagumo nocaso de ondas homoclínicas. A conclusão foi mais tarde generalizada por Bates e Jones (1989). Nopresente contexto (de ondas heteroclínicas), o resultado é de fato também verdadeiro e, segundonosso conhecimento, decorrem dos recentes resultados contidos em Ghazaryan et al. (2011) e suasreferências.

Seja L : D(L) ⊂ X → X o operador linear com domínio

D(L) = (u,w) ∈ X : (u′, w′) ∈ X e (u′′, 0) ∈ X

denido pela equação linear (1.27) dado por

L

(uw

)(ξ) =

(u′′(ξ)− c∗u′(ξ) + f ′(φ(ξ))u(ξ)− w(ξ)−c∗w′(ξ) + ε(u(ξ)− γw(ξ))

)(1.28)

e indiquemos por σ(L) o espectro de L.

O resultado básico que usaremos para obter estabilidade orbital foi utilizado por Yanagida(1989) e demonstrado por Bates e Jones (1989) e também por Ghazaryan et al. (2011) e consistedo seguinte

Teorema 1.2.2 A solução onda viajante (φ, ψ) da equação (1.23) é exponencialmente estável se

(i) Existe δ > 0 tal que σ(L) satisfaz σ(L)\0 ⊂ µ ∈ C : Re µ ≤ −δ;

(ii) 0 é um autovalor simples de L, isto é, a equação

u′′(ξ)− c∗u′(ξ) + f ′(φ(ξ))u(ξ)− w(ξ) = φ′(ξ)−c∗w′(ξ) + ε(u(ξ)− γw(ξ) = ψ′(ξ) −∞ < x <∞ (1.29)

não tem solução limitada.

Para estudar o espectro de L, vamos recordar a seguinte

Denição 1.2.2 Sejam L um operador linear e σ(L) o espectro de L.

i) O espectro normal σn(L) de L é o conjunto de todos µ ∈ C tais que µ é um autovalor isolado

de multiplicidade nita.

ii) O espectro essencial σe(L) é denido por σe(L) = σ(L) \ σn(L).

Como φ(ξ) → 0 e φ(ξ) → u2 quando ξ → ∓∞, os coecientes do operador L dado em (1.28)são assintoticamente constantes; tem, portanto, interesse estudar os seguintes operadores com coe-cientes constantes L− e L+, com mesmos domínios que o de L, denidos por

L−

(uw

)(ξ) =

(u′′(ξ)− c∗u′(ξ) + f ′(0)u(ξ)− w(ξ)−c∗w′(ξ) + ε(u(ξ)− γw(ξ))

)(1.30)

e

L+

(uw

)(ξ) =

(u′′(ξ)− c∗u′(ξ) + f ′(u2)u(ξ)− w(ξ)−c∗w′(ξ) + ε(u(ξ)− γw(ξ))

). (1.31)

O fato fundamental aqui é que as diferenças L− L− e L− L+ são da forma

(L− L±)u(ξ) = a±(ξ)u(ξ),

onde a−(ξ) = f ′(φ(ξ)) − f ′(0) e a+(ξ) = f ′(φ(ξ)) − f ′(u2) e denem operadores compactos emL2(R−) e em L2(R+), respectivamente, (ver Bates e Jones (1989) e Pego (1985)) e vale o seguinteresultado

Lema 1.2.1 Se K : X → X é um operador compacto, então σe(L) = σe(L+K).

A demonstração do Lema 1.2.1 pode ser encontrada, por exemplo, em Henry (1981).

Dess a forma, o espectro essencial de L pode ser obtido como a reunião dos espectros essenciaisde L− e de L+, os quais estudaremos a seguir. Por comodidade, no que segue, indicaremos por αqualquer um dos números f ′(0) ou f ′(u2). O fato essencial é que α é um número negativo: α < 0.

Vamos inicialmente analisar o resolvente de L+. Um número λ ∈ C pertence ao conjunto resol-vente de L+ se dado (f, g) ∈ X, existe um único (u,w) ∈ D(L+) tal que

(L+ − λI)

(uw

)=

(fg

)(1.32)

e a aplicação (f, g) 7→ (u,w) : X → X é contínua.

A equação (1.32) pode ser escrita de forma equivalente como o sistema

d

dξz(ξ) = M(λ)z(ξ) + h(ξ), (1.33)

onde

M(λ) =

0 1 0λ− α c∗ 1ε

c∗0 −εγ + λ

c∗

e h(ξ) =

0f(ξ)

−g(ξ)/c∗

.

Lema 1.2.2 Uma condição necessária e suciente para que (1.33) tenha solução limitada em

(−∞,∞) para toda h limitada é que M(λ) não tenha autovalor no eixo imaginário. Além disso,

se M(λ) não tem autovalor no eixo imaginário, então para toda h ∈ BC(R), existe uma única

z = K(h) ∈ BC(R) tal que K(h) é a única solução limitada de (1.33) e o operador K : BC(R)→BC(R) é linear e contínuo.

Aqui, BC(R) indica o espaço das funções contínuas e limitadas com a norma do sup.

A demonstração pode ser encontrada em Hale (1980).

Portanto, o espectro essencial de L+ consiste dos números complexos λ tais que M(λ) temalgum autovalor no eixo imaginário. Seja p(µ) = det(M(λ)−µI) polinômio característico deM(λ).Então,

p(µ) = det(M(λ)− µI) =1

c∗(εγ + λ+ c∗µ)[µ2 − c∗µ+ α− λ]− ε

c∗, (1.34)

e o espectro essencial de L+ é

σe(L+) = λ ∈ C : existe τ ∈ R tal que p(iτ) = 0.

Agora, a equação p(iτ) = 0 é equivalente a

(εγ + λ+ ic∗τ)[−τ2 − ic∗τ + α− λ]− ε = 0.

Escrevendo λ = x+ iy, com x, y ∈ R, a equação acima se escreve como

[(εγ + x) + i(y + c∗τ)][(α− τ2 − x)− i(y + c∗τ)] = ε.

Efetuando o produto indicado e igualando partes real e imaginária, concluímos que x e y sãosoluções reais do sistema

(εγ + x)(α− τ2 − x) + (y + c∗τ)2 = ε

(y + c∗τ)[α− τ2 − x− εγ − x] = 0.

A segunda equação implica que y = −c∗τ ou x = 12 [α− εγ − τ2].

Se y = −c∗τ , a primeira equação implica que (εγ + x)(α− τ2 − x) = ε, isto é,

x2 − (α− εγ − τ2)x+ ε[1− γ(α− τ2) = 0.

Segue-se então que

x = x±(τ) =1

2[(α− εγ − τ2)±

√(α+ εγ − τ2)2 − 4ε].

(para ε > 0 sucientemente pequeno, o termo em √ é positivo).

Substituindo τ = −y/c∗, obtemos duas curvas no plano complexo que contém o espectro essen-cial de L+; a curva mais à direita x = x+(−y/c∗) é dada por

x+ =1

2c∗2

[c∗2(α− εγ)− y2 +

√c∗2(α+ εγ − y2)2 − 4εc∗2

],

que satisfaz

lim|y|→∞

x+ = lim|τ |→∞

x+(τ) = −1

2lim|τ |→∞

(εγ + α− τ2)2 − 4ε− (εγ − α+ τ2)2

(α− εγ − τ2) +√

(α+ εγ − τ2)2 − 4ε= −εγ

e tem o comportamento indicado na Figura 1.5.Quando x = 1

2 [α − εγ − τ2], os pontos λ ∈ σe(L+) satisfazem Reλ ≤ 12 [α − εγ] < −εγ, se ε é

sucientemente pequeno (por exemplo, 0 < ε < 1γ min−f ′(0),−f ′(u2)).

Procedendo da mesma forma, obtemos uma estimativa análoga para o espectro essencial de L−.Demonstramos, portanto, o seguinte

Teorema 1.2.3 Se ε > 0 é sucientemente pequeno, então existe δ ∈ (0, εγ) tal que Reλ < −δ,para todo λ ∈ σe(L).

Uma vez que o espectro essencial de L satisfaz a hipótese i) do Teorema 1.2.2, vamos analisaros autovalores de L no semiplano Reλ ≥ −δ. Para isso, queremos determinar λ ∈ C com Reλ ≥ −δtal que a equação L(u,w) = λ(u,w) tem solução não nula. Isso é equivalente a determinar λ paraos quais

u′′(ξ)− c∗u′(ξ) + f ′(φ(ξ))u(ξ)− w(ξ) = λu(ξ)

−c∗w′(ξ) + ε(u(ξ)− γw(ξ)) = λw(ξ)(1.35)


Figura 1.5: Comportamento de x+(y) e x−(y).

tem solução limitada não-nula.

Podemos escrever (1.35) na forma

d

dξz(ξ) = M(λ, ξ)z(ξ), (1.36)

onde

M(λ, ε) =

0 1 0λ− f ′(φ) c∗ 1

ε

c∗0 −εγ + λ

c∗

ou ainda nas equações equivalentes:

d

dξz(ξ) = (M1(λ) +R1(ξ))z(ξ) (1.37)

onde

M1(λ) =

0 1 0λ− f ′(0) c∗ 1

ε

c∗0 −λ+ εγ

c∗

e R1(ξ) =

0 0 0f ′(0)− f ′(φ(ξ)) 0 0

0 0 0

e

d

dξz(ξ) = [M2(λ) +R2(ξ)]z(ξ), (1.38)

onde

M2(λ) =

0 1 0λ− f ′(u2) c∗ 1

ε

c∗0 −λ+ εγ

c∗

e R2(ξ) =

0 0 0f ′(u2)− f ′(φ(ξ)) 0 0

0 0 0

.

Lema 1.2.3 Suponha que α é um número real negativo. Se ε > 0 é sucientemente pequeno, então

existe uma constante δ1 > 0 tal que se Re λ ≥ −δ1, então a matriz

M(λ) =

0 1 0λ− α c∗ 1ε

c∗0 −λ+ εγ

c∗

(1.39)

tem um autovalor com parte real positiva e dois autovalores com parte real negativa.

Demonstração. Como vimos na demonstração do Teorema 1.2.3, para todo α < 0, existe δ > 0 talque seM(λ) tem um autovalor no eixo imaginário, então Reλ < −δ. Portanto, tomando 0 < δ1 ≤ δ,concluímos que se Reλ ≥ −δ1, então M(λ) não tem autovalores no eixo imaginário. Logo, paraReλ ≥ −δ1, o número de autovalores de M(λ) em cada um dos semiplanos Reµ > 0 e Reµ < 0 éconstante.

Para determinar esse número, vamos calculá-lo quando λ = 0. Os autovalores de M(0) são asraízes do polinômio (1.34) com λ = 0, e se reduz a

(εγ + c∗µ)[µ2 − c∗µ+ α]− ε = 0.

Pelo Teorema da Função Implícita, essa última equação tem três raízes reais distintas dadas por

µ3(ε) = µ− −ε

c∗µ+

√c∗2 − 4α

+O(ε2),

µ2(ε) =1− αγc∗α

ε+2(1− αγ)

c∗α3ε2 +O(ε3)

eµ1(ε) = µ+ +

ε

c∗µ+

√c∗2 − 4α

+O(ε2),

onde µ− < 0 e µ+ > 0 são as raízes de µ2 − c∗µ+ α = 0.

Como α < 0, temos µ3(ε) < µ2(ε) < 0 < µ1(ε), para todo ε > 0 sucientemente pequeno.Portanto,M(λ) tem dois autovalores com parte real negativa e um autovalor com parte real positiva.

A seguir, vamos enunciar um resultado que será útil nas próximas seções

Teorema 1.2.4 Seja A ∈ CN×N uma matriz constante e R uma matriz integrável satisfazendo∫ ∞0‖R(t)‖ dt <∞.

Suponha que A é diagonalizável. Se λ é um autovalor de A e p é um autovetor correspondente,

então o sistema

x = Ax+R(t)x

tem uma solução φ que satisfaz

limt→∞

φ(t)e−λt = p.

Demonstração. A demonstração pode ser encontrada no livro de Coddington e Levinson (1955),p. 104.

1.2.2 Função de Evans para sistema reduzido

Considere o problema de autovalor

u′′ − cu′ + f ′(φ(ξ))u = λu, −∞ < ξ <∞. (1.40)

O problema (1.40) pode ser reescrito na equação

d

dξZ0(ξ, λ) = B(ξ, λ)Z0(ξ, λ), (1.41)

onde Z0(ξ, λ) = (u, v) e

B(ξ, λ) =

(0 1

λ− f ′(φ(ξ)) c

). (1.42)

Como φ(−∞) = 0 e φ(+∞) = 1 podemos considerar

d

dξZ0(ξ, λ) = B1(λ)Z0(ξ, λ), (1.43)

onde

B1(λ) =

(0 1

λ− f ′(0) c

)quando ξ → −∞ (1.44)

ed

dξZ0(ξ, λ) = B2(λ)Z0(ξ, λ), (1.45)

onde

B2(λ) =

(0 1

λ− f ′(1) c

)quando ξ → +∞. (1.46)

Pelo Teorema A2 do Capítulo 5 de Henry (1981) sabemos que o espectro essencial está naregião Re λ < −δ0 < 0, onde δ0 = min−f ′(0),−f ′(1).

Se Re λ ≥ −δ0, as matrizes (1.44) e (1.46) possuem autovalores satisfazendo, respectivamente:

r− < 0 < r+ e s− < 0 < s+,

e seus correspondentes autovetores:

ρ± = (1, r±) e κ± = (1, s±).

Pelo Teorema 1.2.4, existe uma solução de (1.43) Z+0 tal que

limξ→−∞

Z+0 (ξ, λ)e−r+ξ = ρ+.

A menos de multiplicação por constantes, Z+0 é a única solução limitada de (1.41) quando

ξ → −∞.Por outro lado (1.41) pode ser escrita na forma Z ′0 = (B2(λ) + R2(ξ))Z0, onde B2(λ) é dada

por (1.46) e

R2(λ) =

(0 0

f ′(1)− f ′(φ) 0

). (1.47)

Portanto podemos denir uma solução Z−0 (λ, ξ) de (1.41) com a seguinte forma:

Z−0 (λ, ξ) = E0(λ)κ+es+ξ + E1(λ)κ−e

s−ξ +O(es−ξ),

1.3 FUNÇÃO DE EVANS PARA SISTEMA FITZHUGH-NAGUMO 21

onde Ei, i = 0, 1 são constantes em relação a ξ, mas dependem de λ.

A solução Z−0 será limitada se, e somente se, E0(λ) = 0. Desta forma, podemos construir umasolução Z0 tal que

Z0 → ρ+er+ξ quando x→ −∞ (1.48)

eZ0 → E0(λ)κ+e

s+ξ quando x→∞. (1.49)

Encontrar os valores de λ tal que E0(λ) = 0 signica encontrar os valores de λ para o qual Z0 éuma solução limitada que é equivalente a encontrar os autovalores do problema (1.40). A função deEvans na literatura é apresentada de várias formas, esta última foi sugerida por Yanagida (1989).Outras formas da função de Evans podem ser encontradas em Kapitula e Promislow (2013), Jones(1984), Sandstede (2002) e referências.

Lema 1.2.4 Propriedades de E0(λ):

(i) E0(λ) é analítica e real se λ for real

(ii) E0(0) = 0

(iii)d

dλE0(0) 6= 0

Demonstração. Veja Yanagida (1985) Lema 4.7.

1.3 Função de Evans para sistema FitzHugh-Nagumo

Voltando ao problema (1.35), considerando α = f ′(0) ou α = f ′(u2) em (1.37) ou em (1.38),sejam ri e si, i = 1, 2, 3 os autovalores de M1(λ) e M2(λ), respectivamente, que satisfazem:

Re r1 > 0 > Re r2 > Re r3 e Re s1 > 0 > Re s2 > Re s3.

Sejam ρi e κi os autovetores correspondentes aos autovalores ri, si, i = 1, 2, 3, respectivamente,dados por

ρi(λ, ε) =

(1, ri,

ε

c∗ri + λ+ εγ

)e

κi(λ, ε) =

(1, si,

ε

c∗si + λ+ εγ

).

Como R2(ξ) satisfaz as hipóteses do Teorema 1.2.4, existe uma base φs1 , φs2 , φs3 de soluçõesde (1.38) tal que φsi(ξ)e

−siξ → κi quando ξ → +∞.

Da mesma forma, R1(ξ) também satisfaz as hipóteses do Teorema 1.2.4 e uma solução φ de(1.37) é limitada quando ξ → −∞ se, e somente se,

limξ→−∞

φ(ξ)e−r1ξ = ρ1.

Escrevendo φ como combinação linear das funções da base φs1 , φs2 , φs3, isto é,

φ = c1φs1 + c2φs2 + c3φs3 ,


concluímos que φ é limitada em (−∞,∞) se, e somente se, a componente de φ na direção φs1 ézero, isto é, c1 = 0. Da mesma forma como zemos para o sistema reduzido, podemos construiruma solução Z de (1.33) que satisfaz

Z → ρ1(λ, ε)er1(λ,ε)ξ quando ξ → −∞ (1.50)

eZ → E(λ, ε)κ1(λ, ε)es1(λ,ε)ξ quando ξ →∞. (1.51)

Observemos que Mi(λ), i = 1, 2, tem autovalores distintos e dependem analiticamente de λpara Reλ > −δ, concluímos que as soluções de (1.37) (ou equivalentemente, (1.38)) são funçõesanalíticas de λ, bem como os autovalores e autovetores de Mi(λ). Assim, a componente c1 = c1(λ)de φ também é uma função analítica de λ, denida no semiplano Reλ > −δ.

Denição 1.3.1 Para Reλ > −δ, denimos E(λ) := c1(λ), onde c1 = c1(λ) é a função denida

no parágrafo anterior e dizemos que E é a função de Evans associada ao problema (1.35).

O seguinte resultado é imediato

Teorema 1.3.1 Um número complexo λ é autovalor de (1.35) se, e somente se, E(λ) = 0.

Na referência Evans (1975), descreve as propriedades fundamentais da função E. No teoremaa seguir, enunciamos as mais importantes, que estão ligadas ao tema de nosso estudo.

Teorema 1.3.2 Seja Ω ⊂ C a componente do resolvente de L que contém 0. Então, a função Epode ser estendida de modo analítico a Ω× (0, ε) e tem as seguintes propriedades:

(i) E é analítica em λ e é real se λ ∈ Ω é real;

(ii) E(0, ε) = 0 e ddλE(0, ε) 6= 0 para todo ε ∈ (0, ε0);

(iii) E(λ, ε) 6= 0 para todo λ ∈ Ω\0 e ε ∈ (0, ε0).

As demonstrações dessas propriedades podem ser encontradas no Lema 4 em Yanagida (1989).

Observação: Derivando a equação

φ′′ − c∗φ′ + f(φ)− ψ = 0−c∗ψ′ + ε(φ− γψ) = 0

obtemosφ′′′ − c∗φ′′ + f ′(φ)φ′ − ψ′ = 0−c∗ψ′′ + ε(φ′ − γψ′) = 0.

(1.52)

portanto (φ′, ψ′) é uma autofunção associada ao autovalor λ = 0 do problema (1.32).

O próximo lema estabelece uma importante relação entre E(λ, ε) e E0(λ).

Lema 1.3.1 Existem funções H1(λ, ε) e H2(λ, ε) suaves em ε e analíticas em λ tal que

E(λ, ε) = H1(λ, ε)E0(λ) +H2(λ, ε). (1.53)

Além disso H1(λ, ε) 6= 0 para todo λ e H2(λ, ε)→ 0 quando ε→ 0+.

Demonstração. Como mencionado na introdução, soluções ondas viajantes é uma família unipa-ramétrica da forma (φ(·+k), ψ(·+k)), k ∈ R, ou seja, as translações no espaço de ondas viajantessão ainda soluções ondas viajantes do mesmo sistema. Por isso vamos normalizar as trajetórias deΓε = (φ(ξ), φ′(ξ), ψ(ξ)) do problema (5)-(6) e de Γ1 = (φ(ξ), φ

′(ξ)), a trajetória do problema (1.1)

porφ(0) = φ(0) = a.


Pelo Teorema 1.1.3, Γε → Γ0 quando ε→ 0+, então

(φ(ξ, ε), φ′(ξ, ε), ψ(ξ, ε))→ (φ(ξ), φ′(ξ), 0) quando ε→ 0+ e ξ xo. (1.54)

Existe uma função monótona decrescente ξ0(ε) satisfazendo ξ0(ε) → +∞ quando ε → 0+ talque a condição de convergência (1.54) seja uniforme em (−∞, ξ0(ε)). Então a trajetória de Γε ésucientemente próxima da trajetória de Γ1 para ξ ∈ (−∞, ξ0(ε)) e sucientemente próxima de Γ2

para (ξ0(ε),+∞) como mostra a Figura 1.6.

Figura 1.6: Trajetória de Γε.

Vamos considerar o comportamento de Z = (φ, φ′, ψ) para ξ ∈ (−∞, ξ0(ε)).Como r1(λ, ε) é o único autovalor com parte real positiva para ε ≥ 0 e Z é contínua em ε = 0

então, se ξ é xo;Z(ξ, λ, 0) = lim

ε→0+Z(ξ, λ, ε)

e satisfaz a equaçãod

dξZ(ξ, λ, 0) = M(ξ, λ, 0)Z(ξ, λ, 0),

onde

M(ξ, λ, 0) =

0B(ξ, λ) 1

0 0−λc

(1.55)

e B(ξ, λ) é a matriz (1.42). Desta forma, Z(ξ, λ, 0) e (φ(ξ), φ′(ξ), 0) satisfazem a mesma equação.

Por outro lado, a condição (1.50) pode ser escrita na forma

Z(ξ, λ, 0) ' ρ1(λ, 0)er1(λ,0)ξ quando ξ → −∞. (1.56)

Fazendo ξ → −∞ na equação (1.55) obtemos

M(ξ, λ, 0) =

0B1(λ) 1

0 0−λc

e isto signica que r1(λ, 0) = r+(λ) e ρ1(λ, 0) = (ρ+, 0). Como Z(ξ, λ, 0) e (Z0(ξ, λ), 0) satisfazema mesma condição quando ξ → −∞, isto implica que

Z(ξ, λ, 0) =

(Z0(ξ, λ)

0

), −∞ < ξ <∞.

Podemos escolher ξ0(ε) de tal forma que a divergência de ξ0(ε) para o innito é sucientementelenta, obtemos

Z(ξ0(ε), λ, ε)→(Z0(ξ, λ)

0

)com ε→ 0+.

Consequentemente, pela relação (1.49) obtemos

Z(ξ0(ε), λ, ε)→ E0(λ)

(κ+

0

)e[s+(λ)ξ0(λ)], ε→ 0+. (1.57)

Vamos considerar o comportamento de Z(ξ, λ, ε) para ξ ∈ [ξ0(ε),+∞). Sejam

M(λ, ε, u) =

0 1 0λ− f ′(u) c 1

ε

c0−(λ+ γε)

c

e σi(λ, ε, u), i = 1, 2, 3, as raízes características de M .

Como f ′(u) < 0 para u ∈ [u2, 1], assumimos que

Reσ3 < Reσ2 < 0 < Reσ1.

Sejam os autovetores

vi(λ, ε, u) =

(1, σi,

ε

cσi + λ+ εγ

), i = 1, 2, 3.

Como os autoespaços dependem continuamente dos parâmetros podemos assumir, por uma normali-zação apropriada, que vi, i = 1, 2, 3, depende continuamente de λ, ε > 0 e u ∈ [u2, 1]. Seja V (ξ, λ, ε)uma matriz 3× 3 função de ξ cujas colunas são os vetores v′is, isto é:

V (ξ, λ, ε) =(v1 v2 v3

)∣∣u=φ(ξ,ε)

.

SejaW (ξ, λ, ε) ≡ V −1(ξ, λ, ε)Z(ξ, λ, ε)eI , (1.58)

onde

I = −∫ ξ

ξ0(ε)σ1(λ, ε, φ(s, ε))ds− s+(λ)ξ0(ε). (1.59)

Como

M(λ, 0, 1) =

0B2(λ) 1

0 0−λc

(1.60)


e φ(ξ0(ε), ε) → 1 quando ε → 0+, v1(λ, ε, φ(ξ0(ε), ε)) → (κ+, 0). Portanto, pelas equações (1.57) e(1.58) obtemos

W (ξ0(ε), λ, ε) '

E0(λ)00

quando ε→ 0+. (1.61)

Por outro lado, de acordo com as equações (1.33) e (1.58)

d

dξW =

d

dξ

(V −1Z

)eI − V −1ZeIσ1

=

[d

dξV −1Z + V −1 d

dξZ

]eI − V −1ZeIσ1

=d

dξV −1ZeI + V −1MZeI − V −1ZeIσ1

=d

dξV −1ZeI + V −1MVW −Wσ1

= −V −2dV

dξV W +NW,

onde N é uma matriz 3× 3 tal que N ≡ V −1MV + σ1I. Logo W satisfaz

d

dξW =

(N − V −1dV

dξ

)W. (1.62)

Pela denição de V , a matriz N tem a forma

N(ξ, λ, ε) =

0 0 00 σ2 − σ1 00 0 σ3 − σ1

:=

0 0 000 N0(ξ, λ, ε)

. (1.63)

Comod

dξψ(ξ, ε) =

ε

c(φ(ξ, ε)− γψ(ξ, ε)) > 0 (1.64)

podemos fazer a mudança de variáveis de ξ para φ na equação (1.62). Usando (1.64) e (1.62) logo

dW

dψ=dW

dξ

dξ

dψ

=

(N − V −1dV

dξ

)W

[−c

ε(f−1(ψ)− γψ)

].

ComodV

dψ=dV

dξ

[−c

ε(f−1(ψ)− γψ)

],

logodW

dψ=

(−c

ε(f−1(ψ)− γψ)N − V −1dV

dψ

)W, (1.65)

onde f−1 é uma função inversa de f a qual está denida para [0, w2] cuja imagem está sobre [u2, 1].Por (1.63), a parte real das raízes características da matriz

c

ε(f−1(ψ)− εψ)N0

diverge para o innito quando ε → 0+. Portanto, se resolvemos a equação (1.65) com a condiçãoinicial (1.61) a segunda e a terceira componente de W tende para zero quando ε → 0+ paraξ ≥ ξ0(ε). Logo o comportamento da primeira componente W1 de W é descrita aproximadamente

pela equaçãod

dψW1 '

(−V −1dV

dψ

)∣∣∣∣11

W1, ε→ 0+, (1.66)

onde (·)|11 denota a componente a11 da matriz. Como V é suave em ε = 0, então(−V −1dV

dψ

)∣∣∣∣11

tem um limite nito quando ε→ 0+.Como a equação (1.66) é homogênea em W1, logo W1 pode ser escrita como

W1(+∞, λ, ε) ' J(λ, ε)E0(λ), ε→ 0+,

onde J(λ, ε) é analítica em λ ∈ C, suave em ε ≥ 0, positiva para λ real e J(λ, ε) 6= 0 para qualquerλ e ε ≥ 0.

Consequentemente,

W (+∞, λ, ε) '

J(λ, ε)E0(λ)00

, ε→ 0+. (1.67)

Como v1(λ, ε, u2) = κ1(λ, ε) e σ1(λ, ε, u2) = s1(λ, ε) segue das equações (1.58) e (1.67) que

Z(ξ, λ, ε) ' κ1(λ, ε)H1(λ, ε) [E0(λ) +H2(λ, ε)] es1(λ,ε)ξ, ξ → +∞,

onde

H1(λ, ε) ≡ J(λ, ε)exp

[∫ +∞

ξ0(ε)(σ1(λ, ε, φ(ξ, ε))− s1(λ, ε)dξ + s+ξ0(ε)

]e

H2(λ, ε) ≡ E(λ, ε)

H1(λ, ε)− E0(λ).

Teorema 1.3.3 Se ε > 0 for sucientemente pequeno, a onda viajante (φ(ξ), ψ(ξ)) do problema

(1) é exponencialmente estável, isto é, existem constantes K > 0 e ω > 0 tais que para algum x0 ∈ R

|u(x, t)− φ(x+ ct− x0)| < Ke−ωt

e

|w(x, t)− ψ(x+ ct− x0)| < Ke−ωt (1.68)

para todo x ∈ R e todo t ≥ 0.

Demonstração. Seja δ1 > 0 a constante do Lema 1.2.3. Seja R0 > 0 uma constante independentede ε e considere

C1 ≡ λ ∈ C; |λ| ≤ R0, Re λ ≥ −δ1

C2 ≡ λ ∈ C; |λ| > R0, Re λ ≥ −δ1.

Sejam R0 xo e ε > 0 sucientemente pequeno. Como E0(0) = 0, usando o Teorema 1.3.2 e oLema 1.3.1 temos

H1(0, ε)H2(0, ε) = 0 =⇒ H2(0, ε) = 0.

Como C1 é compacto, a convergência H2(λ, ε) → 0 quando ε → 0+ é uniforme em C1. Pelo fatoque E0(λ) 6= 0 em C1 \ λ ∈ C;Reλ < 0. Logo λ = 0 é o único zero de E0(λ) + H2(λ, ε) emC1 \ λ ∈ C;Reλ < 0.


Agora vamos provar que não existe autovalor em C2 se R0 é sucientemente grande.Se ε > 0 é sucientemente pequeno e Reλ > −δ1, existe k > 0 tal que as raízes de M1(λ, ε)

satisfazem:

r1(λ, ε) =c

2+

√c2 + 4(λ− f ′(0))

2+ k(ε),

r2(λ, ε) =c

2−√c2 + 4(λ− f ′(0))

2+ k(ε),

r3(λ, ε) = −λ2

+ k(ε).

(1.69)

Comor1(λ, ε)√

λ=

1

2

c+ k(ε)√

λ+

√4 +

c2 − f ′(0)

λ

,

logo

limλ→+∞

r1(λ, ε)√λ

= 1 =⇒ limλ→+∞

r1(λ, ε)−√λ√

λ= 0

e podemos concluir que

r1(λ, ε) =√λ+O(1) quando λ→ +∞. (1.70)

De forma análoga, concluímos que

r2(λ, ε) = −√λ+O(1),

r3(λ, ε) = −λc

+O(1), quando |λ| → +∞.(1.71)

O mesmo vale para as raízes do polinômio característico de M2

s1(λ, ε) =√λ+O(1)

s2(λ, ε) = −√λ+O(1)

s3(λ, ε) = −λc

+O(1) quando |λ| → +∞.

(1.72)

Sejam as matrizes P (λ, ε) e Q(λ, ε) cujas colunas são os autovetores associados aos autovaloresr′is e s

′is, isto é,

P (λ, ε) =

1 1 1r1 r2 r3

ε

cr1 + λ+ εγ

ε

cr2 + λ+ εγ

ε

cr3 + λ+ εγ

(1.73)

e

Q(λ, ε) =

1 1 1s1 s2 s3

ε

cs1 + λ+ εγ

ε

cs2 + λ+ εγ

ε

cs3 + λ+ εγ

. (1.74)

ConsidereX1(ξ, λ, ε) ≡ P−1(λ, ε)Z(ξ, λ, ε)

X2(ξ, λ, ε) ≡ Q−1(λ, ε)Z(ξ, λ, ε)(1.75)


Por (1.36), (1.37) e (1.75), X1(ξ, λ, ε) satisfaz

d

dξX1(ξ, λ, ε) = P−1(λ, ε)

d

dξZ(ξ, λ, ε)

= P−1(λ, ε)M(ξ, λ, ε)Z(ξ, λ, ε)

= P−1(λ, ε)[M1(λ, ε) +R1(ξ)]Z(ξ, λ, ε)

= P−1(λ, ε)M1(λ, ε)P (λ, ε)X1(ξ, λ, ε) + P−1(λ, ε)R1(ξ)P (λ, ε)X1(ξ, λ, ε).

Desta forma podemos escrever

d

dξX1(ξ, λ, ε) = [N1(λ, ε) + N1(ξ, λ, ε)]X1(ξ, λ, ε),

onde

N1 =

r1 0 00 r2 00 0 r3

e N1(ξ, λ, ε) = P−1(λ, ε)R1(ξ)P (λ, ε).

Usando (1.70), vemos que todas as componentes de N1 tendem para zero quando |λ| → +∞,ou seja, quando ξ é xo e |λ| → +∞ todas as componentes de

X1(ξ, λ, ε)−

100

er1ξ

tornam-se pequenas em comparação com er1ξ.Logo, por (1.75),

Z(ξ, λ, ε) = ρ1er1ξ =⇒ Z(0, λ, ε) = ρ1 quando |λ| → +∞

e pela igualdade (1.70) temos

Z(0, λ, ε) =

1 + o(1)√λ+ +O(1)o(1)

quando |λ| → +∞. (1.76)

Por outro lado, X2 satisfaz

d

dξX2(ξ, λ, ε) = [N2(λ, ε) + N2(ξ, λ, ε)]X2(ξ, λ, ε),

onde

N2 =

s1 0 00 s2 00 0 s3

e N2(ξ, λ, ε) = Q−1(λ, ε)R2(ξ)Q(λ, ε). De maneira similar concluímos que

Z(0, λ, ε) = E(λ, ε)

1 + o(1)√λ+ +O(1)o(1)

quando |λ| → +∞. (1.77)

Comparando (1.77) com (1.76) obtemos E(λ, ε)→ 1 quando |λ| → +∞.Como o comportamento das raízes características ri e si, i = 1, 2, 3, quando |λ| → +∞, não

depende essencialmente de ε, a convergência de E(λ, ε) é uniforme para ε pequeno. Pelo Teorema1.3.1, existe uma constante R0 > 0, independente de ε, tal que C2 não contém autovalor da equação


(1.35).Vamos provar que λ = 0 é um autovalor simples.A equação (1.29) pode ser reescrita na forma

d

dξZ(ξ, ε) = M(ξ, 0, ε)Z(ξ, ε) +

0

φ′(ξ, ε)

−ψ′(ξ, ε)

c∗

. (1.78)

Mostrar que 0 é um autovalor simples é mostrar que (1.78) não tem solução limitada.Seja Z(ξ, λ, ε) a única solução de (1.36), a menos de multiplicação por constantes, que é limitada

quando ξ → −∞.Como (φ′, ψ′) satisfaz (1.52) e é uma solução limitada de (1.36), podemos escrever

Z(ξ, 0, ε) = C1

φ′

φ′′

ψ′

para alguma constante C1 6= 0. Substituindo Z(ξ, λ, ε) na equação (1.36) e diferenciando em λ,temos

d

dλ

(d

dξZ(ξ, λ, ε)

)∣∣∣∣λ=0

=d

dλ

(M(ξ, λ, ε)Z(ξ, λ, ε)

)∣∣∣λ=0

d

dξZλ(ξ, 0, ε) =

d

dλM(ξ, λ, ε)

∣∣∣∣λ=0

Z(ξ, 0, ε) +M(ξ, 0, ε)d

dλZ(ξ, λ, ε)

∣∣∣λ=0

=

0 0 01 0 0

0 0 − 1

c∗

C1

φ′

φ′′

ψ′

+M(ξ, 0, ε)Zλ(ξ, 0, ε),

ou seja

d

dξZλ(ξ, 0, ε) = +M(ξ, 0, ε)Zλ(ξ, 0, ε) + C1

0φ′

−ψ′

c∗

, (1.79)

isto signica que1

C1Zλ(ξ, 0, ε) é uma solução particular da equação (1.78). Por outro lado, é a única

solução, a menos de multiplicação de contantes, da equação (1.36) com λ = 0 que é limitada quandoξ → −∞. Isto signica que qualquer solução da equação (1.78) que é limitada quando ξ → −∞pode ser escrita como

Z(ξ, ε) =

(1

B1

)Zλ(ξ, 0, ε) + C2

φ′(ξ, ε)φ′′(ξ, ε)ψ′(ξ, ε)

(1.80)

para alguma constante C2.Diferenciando a equação (1.51)

d

dλZ(ξ, 0, ε) =

d

dλ

(E(λ, ε)κ1(λ, ε)es1(λ,ε)ξ

)∣∣∣∣λ=0

= Eλ(0, ε)κ1(0, ε)es1(0,ε)ξ + E(0, ε)d

dλκ1(λ, ε)es1(λ,ε)ξ

∣∣∣∣λ=0

.

Como E(0, ε) = 0 e Eλ(0, ε) 6= 0 então Zλ não é limitada quando ξ → ∞ e portanto a equação

(1.78) não tem solução limitada e λ = 0 é um autovalor simples. Pelo Teorema 1.2.2 segue que aonda viajante (φ, ψ) é exponencialmente estável.

1.4 Outros resultados - estimativas uniformes

Considere o problema de Cauchyyt = yxx − cyx + f(y)− zzt = −czx + ε(y − γz)

y(x, 0) = y0(x) e z(x, 0) = z0(x),

(1.81)

onde 0 ≤ y0(x) ≤ u2 e 0 ≤ z0(x) ≤ w2.O resultado abaixo é um teorema da comparação para o problema (1.81) e foi enunciado

em Klaasen e Troy (1981), Tuma e Blázquez (1992) e demonstrado para casos gerais em Tuma(1987).

Teorema 1.4.1 ConsidereN1(y, z) ≡ yt − yxx + cyx − f(y) + z = 0

N2(y, z) ≡ zt + czx − ε(y − γz) = 0.

y(x, 0) = y0(x) z(x, 0) = z0(x)

(1.82)

Sejam y, z, y, z soluções limitadas de classe C2 com N1(y, z) ≥ 0, N2(y, z) ≤ 0, N1(y, z) ≤ 0 e

N2(y, z) ≥ 0 em R× R+.

Se y(x, 0) ≤ y(x, 0) e z(x, 0) ≤ z(x, 0) para todo x ∈ R, então y(x, t) ≤ y(x, t) e z(x, t) ≤ z(x, t)para todo (x, t) ∈ R× R+.

Lema 1.4.1 Seja f satisfazendo as hipóteses (H1)-(H4). Suponha que

limx→−∞

sup y0(x) < u1 limx→∞

inf y0(x) > u1.

limx→−∞

sup z0(x) < w1 limx→∞

inf z0(x) > w1.

Então, existem constantes x1, x2 ∈ R e k1, k2, ν > 0 tais que

φ(x− x1)− k1e−νt ≤ y(x, t) ≤ φ(x− x2) + k1e

−νt

ψ(x− x2)− k2e−νt ≤ z(x, t) ≤ ψ(x− x1) + k2e

−νt(1.83)

para todo (x, t) ∈ R× R+

Demonstração. Vamos provar as desigualdades

φ(x− x1)− k1e−νt ≤ y(x, t) (1.84)

z(x, t) ≤ ψ(x− x1) + k2e−νt. (1.85)

Para isto vamos denir as seguintes funções

y(x, t) = φ(x− n(t))−m1(t)

z(x, t) = ψ(x− n(t)) +m2(t)

1.4 OUTROS RESULTADOS - ESTIMATIVAS UNIFORMES 31

escolhendo as funções n(t), m1(t) e m2(t) de tal forma que N1(y, z) ≤ 0 e N2(y, z) ≥ 0 em R×R+

e y(x, 0) ≤ y(x, 0) e z(x, 0) ≤ z(x, 0) para todo x ∈ R. As desigualdades (1.85) serão consequênciasdo Teorema 1.4.1.

Considere m1(t) = k1e−νt e m2(t) = k2e

−νt, onde as constantes k1 e k2 satisfazem

u1 < u2 − k1 < limx→∞

inf y0(x) e w1 > k2 > limx→∞

inf z0(x).

Seja x∗ sucientemente grande tal que

φ(x− x∗)− k1 ≤ y0(x) = y(x, 0)ψ(x− x∗) + k2 ≥ z0(x) = z(x, 0)

onde n(0) = x∗.

Seja τ = x− n(t),

N1(y, z) = yt− y

xx+ cy

x− f(y) + z

= −n′(t)φ′(τ)−m′1(t)− φ′′(τ) + cφ′(τ)− f(φ−m1) + ψ +m2

= −n′(t)φ′(τ)−m′1(t) + f(φ)− f(φ−m1) +m2(t),

pois φ′′(τ)− cφ′(τ) + f(φ)− ψ = 0.

N2(y, z) = zt + czx − ε(y − dz)= −n′(t)ψ′(τ) +m′2(t) + cψ′(τ)− ε(φ−m1 − γ(ψ +m2))

= −n′(t)ψ′(τ) +m′2(t) + εm1(t) + εγm2(t),

pois cψ′(τ)− ε(φ− γψ) = 0.

Seja δ > 0, vamos considerar o intervalo δ ≤ φ ≤ u2−δ, nesta faixa sabemos que φ′(τ), ψ′(τ) ≥ βpara algum β > 0.

Pela diferenciabilidade de f temos, f(φ)− f(φ−m1) ≤ Cm1, para alguma constante C > 0. Sen′(t) > 0 então

N1(y, z) ≤ −n′(t)β + (C + ν)m1 +m2.

Como φ′(±∞), ψ′(±∞) = 0, então existe M > 0 tal que φ′(τ), ψ′(τ) < M para todo τ ∈ R e

N2(y, z) ≥ −n′(t)M + εm1 + (εγ − ν)m2.

Existem constantes positivas γ1 e γ2 tais que

N1(u,w) ≤ −n′(t)β + γ1m1 + γ2m2

N2(u,w) ≥ −n′(t)M + γ1m1 + γ2m2 se n′(t) ≥ 0.

Basta tomar εγ > ν, C + ν ≤ γ1 ≤ n e 1 ≤ γ1 ≤ εγ − ν. Como β < φ′(τ) < M então sejam

n′(t) =γ1m1 + γ2m2

β

e n(0) = x∗. Então n(t) = x1 + x1e−νt, onde

x1 = x∗ +γ1k1 + γ2k2

νβe x1 =

γ1k1 + γ2k2

−νβ.

Note que n′(t) ≥ 0 e n(t)→ x1 quando t→∞ e com essa escolha, N1(y, z) ≤ 0 e N2(y, z) ≥ 0para δ < φ < u2 − δ.

Agora considere

J(φ,m1) =

f(φ−m1)− f(φ)

m1se m1 > 0

−f ′(φ) se m1 = 0

J é contínua para m1 ≥ 0 e para 0 ≤ m1 ≤ k1 temos

u1 < u2 − k1 < u2 −m1 < u2.

Logo J(u2,m1) > 0, ∀ m1 ∈ [0, k1]. Existe η > 0 tal que J(u2,m1) > 2η para m1 ∈ [0, k1].Por continuidade, existe δ > 0 tal que J(φ,m1) > η para m1 ∈ [0, k1] e u2 − δ < φ < u2.

Portanto, nesta faixa, temos

f(φ− q1)− f(φ) ≥ ηm1. (1.86)

Pelos mesmos argumentos, podemos concluir que para 0 ≤ φ ≤ δ e φ > m1 também ocorre(1.86).

Portanto, como φ′(τ), ψ′(τ) > 0, ∀τ ∈ R, e n′(t) > 0 existem constantes β1, β2 > 0 tais que

−n′(t)ψ′(τ) +m′2(t) + εm1(t) + εγm2(t) ≥ m′2(t) + β1m1(t) + β2m2(t).

Logo podemos concluir que

N1(y, z) ≤(ν − η)m1 +m2

N2(y, z) ≥β1m1 + (β2 − ν)m2.

Portanto, se

(ν − η)k1 + k2 ≤ 0

β1k1 + (β2 − ν)k2 ≥ 0

então

ν ≤ ηk1 − k2

k1

e

ν ≤ βk1 + β2k2

k2.

Para η > k2k1, seja

ν0 = min

εγ ,

ηk1 − k2

k1,βk1 + β2k2

k2

.

Logo para todo 0 ≤ ν ≤ ν0,

N1(y, z) ≤ 0 e N2(y, z) ≥ 0 para todo (x, t) ∈ R× R+.

A demonstração das desigualdades

y(x, t) ≤ φ(x− x2) + k1e−νt

ψ(x− x2)− k2e−νt ≤ z(x, t).

é feita de forma análoga.

Estimativas de Schauder: Sejam y e z soluções de (1.82) em R× R+, com 0 ≤ y(x, t) ≤ u2,0 ≤ z(x, t) ≤ w2, e seja F (x, t) ≡ f(y(x, t))−z(x, t). Para x2−x1 > 2, t2−t1 > 1 e t1 > 0 denimosQ ≡ [x1, x2]× [t1, t2] e Q′ ≡ [x1 + 1, x2 − 1]× [t1 + 1, t2]. Sejam

|y|Q0 ≡ supQ|y(x, t)|,

|y|Q1 ≡ |y|Q0 + |yx|Q0 ,

|y|Q2 ≡ |y|Q1 + |yxx|Q0 + |yt|Q0 .

Como y é solução da equação yt − yxx + cyx − F (x, t) = 0 as estimativas de Schauder implicamque existe uma constante l > 0 tal que

|y|Q1 ≤ l(|F |Q0 + |y|Q0 ),

|y|Q′

2 ≤ l(|F |Q1 + |y|Q0 ) ≤ l(|Fy|Q0 |yx|

Q0 + |Fz|Q0 |zx|

Q0 + |y|Q0 ).

(1.87)

Para mais detalhes veja Fife e McLeod (1977) e Friedman (2013) . Como Fy e Fz são unifor-

memente limitadas em [0, u2]× [0, w2] obtemos limites em |yt|Q′

0 , |yx|Q′

0 , |yxx|Q′

0 em termos de |y|Q0 ,|F |Q0 , |z|

Q0 , |zx|

Q0 .

Lema 1.4.2 Sob as hipóteses do Lema 1.4.1 existem constantes C1 > 0, k < 0 e σ > 0, tais quek2 + σ > 0 e satisfazem

|u2 − y|, |w2 − z|, |yt|, |yx|, |yxx|, |zx|, |zt| < C1(e(− k2−σ)x + e−νt), ∀t ≥ 0, x ≥ 0 (1.88)

e

|y|, |z|, |yt|, |yx|, |yxx|, |zx|, |zt|, < C1(e(− k2

+σ)x + e−νt), ∀t ≥ 0, x ≤ 0 (1.89)

Demonstração. Primeiro vamos considerar o caso para x ≥ 0.Na Subseção 1.1.2 vimos que a matriz do sistema linear

d

dξ

φ

φ′

ψ

=

0 1 0

−f ′(u2) c 1

ε

c0 −εγ

c

φ

φ′

ψ

(1.90)

possui três raízes satisfazendo r3 < r2 < 0 < r1.

Escrevendo o polinômio característico da matriz acima na forma fatorada

p(r) = (r − r3)(r2 + kr + l)

segue que r1,2 =−k ±

√k2 − 4l

2.

Seja σ =

√k2 − 4l

2então

r1 = −k2

+ σ e r2 = −k2− σ.

Usando a relação (1.4) e as equações de Girard, temos

r1 + r2 + r3 =(c− εγ

c

).

Como r1 + r2 = −k então −k = c− εγ

c− r3. Como 0 > −εγ

c> r3 e c > 0 segue que k < 0.

Como (φ, ψ)→ (u2, w2) exponencialmente quando x→∞, então existe um valor K1 tal que

max|u2 − φ|, |w2 − ψ| < K1er2x = K1e

(− k2−σ)x para x ≥ 0.

Logo, usando o Lema 1.4.1 obtemos

|u2 − y| ≤ |u2 − φ|+ |φ− y| ≤ K1e(− k

2−σ)x + k1e

−νt

< K1

(e(− k

2−σ)x + e−νt

)e também

|w2 − z| < K1

(e(− k

2−σ)x + e−νt

). (1.91)

Sejam x2 − x1 > 2, t2 − t1 > 1 e t1 > 0, denimos Q ≡ [x1, x2] × [t1, t2]. As soluções y e zquando avaliadas no retângulo Q cam dentro do retângulo R = [0, u2]× [0, w2]. Logo

|F |Q0 = supQ|f(y)− z| = sup

Q|f(y)− f(u2) + f(u2) + w2 − z − w2|

≤ supy∗∈[0,u2]

|f ′(y∗)||u2 − y|+ |w2 − z|

≤ K2

(e(− k

2−σ)z + e−µt

).

Pelas estimativas de Schauder,

|y|Q0 + |yx|Q0 ≤ l(|F |Q0 + |y|Q0 )

|yx|Q0 ≤ K3

(e(− k

2−σ)x + e−µt

).

Estimativa para zx e zt : Como

ε(y − γz) = ε(y − u2 + u2 − γ(z − w2 + w2))

= ε(y − u2) + εγ(w2 − z) + ε(u2 − γw2)

logo

|zt| ≤ ε|y − u2|+ εγ|w2 − z|

|zt| ≤ K(e(− k

2−σ)x + e−µt

).

e também

|zx| ≤ K(e(− k

2−σ)x + e−µt

).

E nalmente as estimativas para as derivadas de u

|y|Q′

2 ≤ l(|Fy|Q0 |yx|

Q0 + |Fz|Q0 |zx|

Q0 + |y|Q0 )

|y|Q0 + |yx|Q0 + |yxx|Q0 + |yt|Q0 ≤ K4

(e(− k

2−σ)x + e−νt

).

Para x ≤ 0, sabemos que (φ, ψ) converge exponencialmente para (0, 0) quando x → −∞ eportanto existe K1 > 0 tal que

max|φ|, |ψ| < K1er1z = K1e

(− k2

+σ)x para x ≤ 0.

e as demais estimativas seguem de forma análoga pelas estimativas de Schauder.

Capítulo 2

Aproximando ondas viajantes

2.1 Denição do problema não local

Dado que existe c∗ > 0 e uma única solução onda viajante (φ(ξ), ψ(ξ)), a menos de translação,do problema (1) que satisfaz (6) e que esta solução é assintoticamente estável, nosso interesse agoraé obter uma caracterização do perl (φ, ψ) e da velocidade de propagação c∗. Na literatura é muitocomum usar métodos numéricos para aproximar ondas viajantes, mas para isso é necessário xar umdomínio computacional nito. Estudos anteriores1 mostraram que, o comportamento do problemaem um intervalo nito pode ter um comportamento completamente diferente do sistema originalquando truncado neste mesmo intervalo, embora sejam equivalentes em R.

Uma saída para solucionar este problema consiste em aproximar o perl (φ, ψ) por equilíbriosda equação local

ut = uxx − c∗ux + f(u)− wwt = −c∗wx + ε(u− γw)

já que soluções ondas viajantes (φ, ψ) podem ser vistas como equilíbrios de tais equações. Porém,tanto (φ, ψ) quanto c∗ são desconhecidas, o que diculta a utilização dessa abordagem.

Queremos calcular tanto perl (φ, ψ) quanto a velocidade c∗ ao mesmo tempo. Vamos adotar aproposta utilizada em Arrieta et al. (2011) para aproximar ondas viajantes no caso da equação dereação-difusão unidimensional.

A título de motivação das equações que serão consideradas a seguir, vamos determinar expressõespara c∗. Multiplicando por φ′ na primeira equação do sistema (4) e depois integrando ao longo deR, usando o fato que φ′(±∞) = 0, obtemos

c∗ =〈f(φ)− ψ, φ′〉〈φ′, φ′〉

(2.1)

onde 〈·, ·〉 é o produto interno em L2(R).Por outro lado, se multiplicarmos ψ′ na segunda equação do sistema (4) e depois integrar em R

concluímos que

c∗ =〈ε(φ− γψ), ψ′〉〈ψ′, ψ′〉

. (2.2)

Observe que essas duas denições são equivalentes pois

〈f(φ)− ψ, φ′〉〈φ′, φ′〉

− 〈ε(φ− γψ), ψ′〉〈ψ′, ψ′〉

= −〈φ′′, φ′〉〈φ′, φ′〉

+ c∗〈φ′, φ′〉〈φ′, φ′〉

− c∗ 〈ψ′, ψ′〉

〈ψ′, ψ′〉= 0.

1Veja Beyn et al. (2014)

37

38 APROXIMANDO ONDAS VIAJANTES 2.2

Fazendo uma mudança de variáveis (2.1) pode ser escrita na forma

c∗ =F (u2)−

∫∞−∞ φ

′(x)ψ(x) dx∫∞−∞ φ

′(x)2 dx=F (u2)− 〈φ′, ψ〉〈φ′, φ′〉

, (2.3)

onde F (u2) =∫ u2

0 f(s)ds.

Substituindo a expressão de c∗ encontrados acima em (4), concluímos que (φ, ψ) é solução dosistema não local

φ′′(x)− F (u2)− 〈φ′, ψ〉〈φ′, φ′〉

φ′(x) + f(φ(x))− ψ(x) = 0

−F (u2)− 〈φ′, ψ〉〈φ′, φ′〉

ψ′(x) + ε(φ(x)− γψ(x)) = 0.(2.4)

Por outro lado, a mudança de variáveisu(x, t) = p(x+ η(t), t)w(x, t) = q(x+ η(t), t)

(2.5)

transforma (1) no sistema pt = pxx −η′(t)px + f(p)− q

qt = −η′(t)qx + ε(p− γq).(2.6)

A simples comparação de (2.4) com (2.6) sugere que, para que (2.6) seja uma aproximaçãorazoável de (1), devemos escolher as função η(t) de tal forma que η′(t) → c∗ quando t → +∞,i = 1, 2.

Sendo assim, podemos denir

η′(t) =A− 〈q(·, t), px(·, t)〉〈px(·, t), px(·, t)〉

(2.7)

ou, equivalentemente,

η(t) =

∫ t

0

A− 〈q(·, s), px(·, s)〉〈px(·, s), px(·, s)〉

ds (2.8)

onde A =∫ u2

0 f(s) ds.

Consideremos o problema de Cauchy para o sistema não localpt = pxx −

A− 〈q, px〉〈px, px〉

px + f(p)− q,

−∞ < x <∞, t > 0.

qt = −A− 〈q, px〉〈px, px〉

qx + ε(p− γq),

(2.9)

Como é de se esperar, e provaremos nos próximos resultados, as soluções de (2.9) estão intima-mente relacionadas com as soluções de (1).

2.2 PROPRIEDADES DAS SOLUÇÕES DO PROBLEMA LOCAL 39

2.2 Propriedades das soluções do problema local

No que segue, vamos admitir que as condições iniciais u0, w0 de (1) satisf azem 0 ≤ u0(x) ≤ u2,0 ≤ w0(x) ≤ w2 e mais as hipóteses do Lema 1.4.1:

limx→−∞

supu0(x) < u1 limx→∞

inf u0(x) > u1.

limx→−∞

supw0(x) < w1 limx→∞

inf w0(x) > w1.

Nessas condições, pelos Teorema 1.3.3 e Lema 1.4.1, a solução de (1) com condições iniciais

u(x, 0) = u0(x) e w(x, 0) = w0(x) (2.10)

converge para uma translação de (φ, ψ).

Seja u0 ∈ Lp(R) ∩ C2+α(R) e w0 ∈ Lp(R) ∩ Cα(R) com p ∈ [1,∞] e α ∈ (0, 1). A existênciae unicidade de uma solução clássica global do problema (1)-(2.10) em espaços Lp(R) podem serencontrados em Rothe (1984) e Rauch (1976).

Pela limitação das condições iniciais feita acima concluímos que existe uma única solução limi-tada tal que (u,w) ∈ [0, u2] × [0, w2], para todo x ∈ R e t ≥ 0. Veja, por exemplo, Pao (2012) ouRothe (1984) para tal conclusão.

No que segue, precisaremos de algumas estimativas sobre ux, uxx e wx em alguns espaços Lp.Considere

Xp = u ∈ Lploc(R) : ∂xu ∈ Lp(R), p ≥ 1.

Se (u0, w0) ∈ Xp × Xp, pelo Teorema 2.2 de Rauch e Smoller (1978) o problemaht = hxx + f ′(u(x, t))h− g,

−∞ < x <∞gt = ε(h− γg),

(2.11)

com condições iniciais

h(x, 0) = ∂xu0 ∈ Xp e g(x, 0) = ∂xw0 ∈ Xp (2.12)

tem única solução clássica em Lp(R)×Lp(R), ou seja, ux, wx ∈ Lp(R) para p ≥ 1. Logo o problema(1)-(2.10) tem uma única solução clássica e limitada em Xp × Xp para p ≥ 1.

Proposição 2.2.1 Sob as condições acima, são verdadeiras as seguintes armações:

(i) existe β > 0 tal que ‖ux(·, t)‖L2(R) ≥ β e ‖wx(·, t)‖L2(R) ≥ β para todo t > 0;

(ii) Seja γ >1

maxf ′(0), f ′(u2)existe C > 0 tal que ‖ux(·, t)‖L1(R) ≤ C e ‖wx(·, t)‖L1(R) ≤ C para

todo t > 0;(iii) uxx ∈ L1(R) e existe C > 0 tal que ‖uxx(·, t)‖L1(R) ≤ C, para todo t > 1.

Demonstração. (i) Pelo Teorema 1.3.3, as soluções (u,w) se aproximam exponencialmente da solu-ção onda viajante e portanto lim inf

t→∞‖ux(·, t)‖L2(R) > 0, ou seja, existem T1 e β1 com ‖ux(·, t)‖L2(R) ≥

β1 para todo t ≥ T1.Suponha que para todo t ∈ (0, T1), ‖ux(·, t)‖L2(R) = 0. Logo ux(·, t) = 0 e portanto u(·, t) = C(t)

para todo t ∈ (0, T1]. Como u(x, 0) = u0(x), pela unicidade de solução u(·, t) = u0(x) = C(t) = Kpara todo x ∈ R e t ≥ 0 o que é um absurdo, logo ‖ux(·, t)‖L2(R) > 0 para todo t ∈ [0, T1].

Considerando a função contínua t ∈ [0, T1] 7→ ‖ux(·, t)‖L2(R), existe um β > 0 tal que

‖ux(·, t)‖L2(R) ≥ β

para todo t ∈ [0, T1].

O mesmo raciocínio usamos para provar que ‖wx(·, t)‖L2(R) ≥ β > 0.

(ii) O resultado que queremos provar é equivalente a mostrar a limitação uniforme de ‖yx(·, t)‖L1(R)

e ‖zx(·, t)‖L1(R), ondey(x+ ct, t) = u(x, t) e z(x+ ct, t) = w(x, t).

Se h = ux e g = wx então h e g satisfazem o sistemaht = hxx + f ′(y(x, t))h− g

−∞ < x <∞gt = ε(h− γg)

(2.13)

Multiplicando a primeira equação por sign(h) e a segunda por sign(g), temos

|h|t ≤ |h|xx + c|h|x + f ′(y)|h|+ |g|,

|g|t ≤ c|g|x + ε|h| − εγ|g|.

Pelo Teorema 1.3.3 e por f ′ ser contínua podemos estimar

|f ′(u(x, t))− f ′(φ(x− x0))| ≤ C|u(x, t)− φ(x− x0)| ≤ Ke−ωt.

Como f ′(0), f ′(u2) < 0 existem L > 0 e t0 > 0, sucientemente grande, tal que

f ′(u(x, t)) ≤ f ′(φ(x− x0)) + k1e−νt ≤ −β < 0 para todo |x| ≥ L e t ≥ t0,

para algum β > 0.Integrando no conjunto x ∈ R; |x| ≥ L, obtemos

d

dt

∫|x|≥L

|h(x, t)|dx ≤∫

|x|≥L

(|h|xx + c|h|x)dx− β∫

|x|≥L

|h(x, t)|dx+

∫|x|≥L

|g(x, t)|dx,

d

dt

∫|x|≥L

|g(x, t)|dx ≤ c∫

|x|≥L

|g|xdx+ ε

∫|x|≥L

|h(x, t)|dx− εγ∫

|x|≥L

|g(x, t)|dx,

Usando as estimativas do Lema 1.4.2, concluímos que existem C > 0 e k > 0 tais que

d

dt

∫|x|≥L

|h(x, t)|dx ≤∫

|x|≥L

|h|xxdx+ c(lim supM→±∞

|h(M, t)|+ |h(±L, t)|)− β∫

|x|≥L

|h(x, t)|dx

+

∫|x|≥L

|g(x, t)|dx

≤ C1e−k1t + (lim sup

M→±∞|hx(M, t)|+ |hx(±L, t)|)− β

∫|x|≥L

|h(x, t)|dx

+

∫|x|≥L

|g(x, t)|dx

≤ Ce−kt − β∫

|x|≥L

|h(x, t)|dx+

∫|x|≥L

|g(x, t)|dx

e tambémd

dt

∫|x|≥L

|g(x, t)|dx ≤ Ce−kt + ε

∫|x|≥L

|h(x, t)|dx− εγ∫

|x|≥L

|g(x, t)|dx.

2.3 PROPRIEDADES DAS SOLUÇÕES DO PROBLEMA NÃO LOCAL 41

Sejam m(t) =

∫|x|≥L

|h(x, t)|dx e n(t) =

∫|x|≥L

|g(x, t)|dx. Note que

d

dt

(m(t)n(t)

)≤(−β 1ε −εγ

)(m(t)n(t)

)+ C

(e−kt

e−kt

)Considere o sistema x′ = Mx+ Ce−kt, onde

M =

(−β 1ε −εγ

).

A matriz M tem dois autovalores reais tais que r1 < r2 < 0. Como m(t) > 0 e n(t) > 0, paratodo t ≥ t0, existem constantes D > 0 e d > 0 tais que

m(t) < De−dt ≤ K e n(t) < De−dt ≤ K para t ≥ t0.

Logo, para todo t ≥ t0, usando as estimativas do Lema 1.4.2, temos

∫R

|h(x, t)|dx =

∫|x|≥L

|h(x, t)|dx+

∫|x|≤L

|h(x, t)|dx

≤ K + 2L supx∈[−L,L]

|h(x, t)| ≤ C.

De forma análoga obtemos∫R

|g(x, t)|dx ≤ C.

Para obtermos a limitação em (0, t0] recordemos que U = (ux, wx) é solução de (2.13)-(2.12) epelo Teorema 2.2 de Rauch e Smoller (1978) tem-se a estimativa: ‖U(t)‖Lp(R) ≤ kect‖U0‖Lp(R).

(iii) Considerando h = ux como solução de (2.11)-(2.12) por propriedades de regularização é possívelmostrar2 que ‖hx(·, t + 1)‖L1(R) ≤ C‖h(·, t)‖L1(R) e pelo item (ii) desta proposição o resultado éimediato.

2.3 Propriedades das soluções do problema não local

Nesta seção vamos usar as propriedades das soluções do problema local para vericar a boacolocação do problema não local e mostrar que o problema (2.9) tem uma família de ondas viajantescom velocidade c = 0 cujo perl converge exponencialmente para o perl da onda viajante doproblema original encontrada no Capítulo 1, assim como o termo n′(t)→ c∗ quando t→∞.

Teorema 2.3.1 Seja (u,w) a única solução clássica de (1) com condição inicial (u0, w0) satisfa-

zendo as condições enunciadas acima. Denindo (p, q) por

p(x, t) := u(x− η(t), t),x ∈ R, t > 0

q(x, t) := w(x− η(t), t),(2.14)

com

η(t) =

∫ t

0

A− 〈w(·, s), ux(·, s)〉〈ux(·, s), ux(·, s)〉

ds, t > 0, (2.15)

então, (p, q) está bem denida e é uma solução clássica de (2.9).

2Veja pag 13 de Arrieta et al. (2011)

Demonstração. Como (u,w) é solução clássica de (1), então satisfazem(i) ux(·, t), wx(·, t) ∈ L1(R) ∩ L2(R), para todo t ≥ 0;

(ii) existe β > 0 tal que ‖ux(·, t)‖L2(R) ≥ β, para todo t ≥ 0, e, além disso, 0 ≤ u(x, t) ≤ u2 e0 ≤ w(x, t) ≤ w2.

Por (i)

A− 〈w(·, t), ux(·, t)〉 ≤ A+

∫ ∞−∞|w(x, t))||ux(x, t)|dx

≤ C‖ux(·, t)‖L1(R) <∞.

Portanto, o produto interno acima é convergente. Sejam

λ(t) :=A− 〈w(·, t), ux(·, t)〉〈ux(·, t), ux(·, t)〉

. (2.16)

Por (i) e (ii) o denominador de (2.16) é nito e estritamente positivo, logo t 7−→ λ(t) deneuma função contínua e limitada, para todo t > 0. Portanto η(t) e, consequentemente p e q, estãobem denidas.

Pela invariância com respeito a translações do produto interno em L2(R), para cada t ≥ 0 xo,

A− 〈q(·, t), px(·, t)〉 = A− 〈w(·, t), ux(·, t)〉.

E também‖px(·, t)‖2L2(R) = ‖ux(·, t)‖2L2(R).

Então,

λ(t) =A− 〈q(·, t), px(·, t)〉〈px(·, t), px(·, t)〉

(2.17)

e (p, q) satisfaz (2.9).

Teorema 2.3.2 Sob as condições do Teorema 1.3.3 e, além disso, assuma que u0, w0 ∈ X1 ∩ X2 o

problema (2.9) é bem posto e sua solução (p, q) é dada por (2.14)-(2.16). Seja ω do Teorema 1.3.3

e seja ω < ω. Então, existem x∗ ∈ R e constantes positivas C1 e C2 tais que

(i) Para c∗ velocidade de propagação do Teorema 1.1.2 e λ1 em (2.17), temos

| λ(t)− c∗ |≤ C1e−ωt. (2.18)

(ii) Para (φ, ψ) a única solução, solução onda viajante do problema (1), a menos de translação,

temos|p(x, t)− φ(x− x∗)| ≤ C2e

−ωt, x ∈ R, t > 0

|q(x, t)− ψ(x− x∗)| ≤ C2e−ωt,

(2.19)

para alguma constante C2 > 0 e x∗ ∈ R.

Demonstração. (i) Inicialmente, temos

| λ(t)− c∗ |=∣∣∣∣A− 〈q, px〉〈px, px〉

− c∗∣∣∣∣ =

1

‖px‖22

∣∣A− 〈q, px〉 − c∗‖px‖22∣∣.Logo, pelo item (i) da Proposição 2.2.1, para algum C > 0 temos

| λ(t)− c∗ |≤ C∣∣A− 〈q, px〉 − c∗‖px‖22∣∣.


Seja (y, z) como em (1.81)

A− 〈q, px〉 − c∗‖px‖22 = A− 〈z, yx〉 − c∗‖yx‖22

e para (φ, ψ) = (φ(x− x0), ψ(x− x0)), com x0 do Teorema 1.3.3 usando a fórmula (2.3) obtemos

A− 〈q, px〉 − c∗‖px‖22 = A− 〈z, yx〉 − c∗‖yx‖22= A− 〈z, yx〉 − c∗‖yx‖22 −A+ 〈ψ, φ′〉+ c∗‖φ′‖22.

Portanto,

A− 〈q, px〉 − c∗‖px‖22 = 〈ψ − z, yx〉+ 〈ψ, φ′ − yx〉 − c∗〈yx − φ′, yx + φ′〉. (2.20)

Vamos analisar cada elemento da soma acima separadamente.

Na primeira parcela de (2.20), concluímos pelo Teorema 1.3.3 e pelo item (ii) da Proposição2.2.1 que existe constante C > 0 tal que

|〈ψ − z, yx〉| ≤ Ce−ωt. (2.21)

Na segunda parcela de (2.21), usando integração por partes,

|〈ψ, φ′ − yx〉| = limL→∞

∣∣∣∣∫ L

−Lψ(φ′ − yx)dx

∣∣∣∣≤ lim sup

L→∞

∣∣∣∣ψ(φ− y)|x=Lx=−L −

∫ L

−L(φ− y)ψ′dx


L→∞|ψ(φ− y)|x=L

x=−L + |〈ψ′, φ− y〉|.

A análise da segunda parcela é então dividida em duas partes:

1a parte: Como ψ é limitada

lim supL→∞

∣∣∣ψ(φ− y)|x=Lx=−L

∣∣∣ ≤ lim supL→∞

C|φ(L)− y(L, t)|+ C|φ(−L)− y(−L, t)| .

Pelo Lema 1.4.2,

|φ(L)− y(L, t)| ≤ |φ(L)− u2|+ |u2 − y(L, t)|

≤ K1e−νt + C1(e(− k

2−σ)L + e−νt), ∀t ≥ 0,

e também

|φ(−L)− y(−L, t)| ≤ C2(e−(− k2

+σ)L + e−νt) +K2e−νt, ∀t ≥ 0.

Portanto, existem C > 0 e σ∗ > 0 tais que

max|φ(L)− y(L, t)|, |φ(−L)− y(−L, t)| ≤ C(e−σ∗L + e−νt).

E assim,

lim supL→∞

∣∣∣ψ(φ− y)|x=Lx=−L

∣∣∣ ≤ limL→∞

C(e−σ∗L + e−νt) ≤ Ce−νt.

2a parte: Como ψ′(±∞) = 0 e pelo Teorema 1.3.3 temos

|〈ψ′, φ− y〉| ≤ C supx∈R|φ− y| ≤ Ce−ωt

.Logo, existe ˜C > 0 tal que

|〈ψ, φ′ − yx〉| ≤ ˜C(e−νt + e−ωt). (2.22)

Agora vamos analisar a terceira e última parcela de (2.20).Fazendo integração por partes

|〈yx − φ′, yx + φ′〉| ≤ limL→∞

∣∣∣∣∫ L

−L(yx − φ′)(yx + φ′)dx


L→∞

∣∣∣∣(yx + φ′)(y − φ)∣∣x=L

x=−L −∫ L

−L(y − φ)(yxx + φ′′)dx


L→∞

∣∣(yx + φ′)(y − φ)∣∣x=L

x=−L + |〈y − φ, yxx + φ′′〉|

Pelo Lema 1.4.2, existem constantes C ′′′ > 0 e σ∗∗ > 0 tais que

lim supL→∞

∣∣(yx + φ′)(y − φ)∣∣x=L

x=−L ≤ limL→∞

C ′′′(e−νt + e−σ∗∗

) ≤ Ce−νt.

Pelo Teorema 1.3.3 e pelo item (iii) da Proposição 2.2.1,

|〈y − φ, yxx + φ′′〉| ≤∫ ∞−∞|y − φ||yxx + φ′′|dx

≤ supx∈R|y(x, t)− φ(x− x0)|‖yxx + φ′′‖L1(R)

≤ Ce−ωt.

Portanto, existe constante˜C > 0 tal que

|〈yx − φ′, yx + φ′〉| ≤˜C(e−νt + e−ωt). (2.23)

Concluímos de (2.21), (2.22) e (2.23) que | λ(t)− c∗ |≤ Ce−νt + Ce−ωt. Sejam ω < minν, ω eC1 > max2C, 2C então

| λ(t)− c∗ |≤ C1e−ωt.

(ii) Devido a (2.18) sabemos que∫ ∞0

(λ(s)− c∗) ds ≤ limt→∞

∫ t

0|λ(s)− c∗|ds

≤ limt→∞

∫ t

0C1e

−ωsds

≤ limt→∞

(−C1

ωe−ωt +

C1

ω

)<∞.

Capítulo 3

Problema local em um intervalo limitado

Para implementações numéricas é necessário limitar o domínio, por esta razão vamos estudara existência e as propriedades espectrais de soluções estacionárias do problema não local em umdomínio limitado. Muitas propriedades do problema não local são herdadas do problema local e porisso serão estudadas neste capítulo.

3.1 Existência e unicidade de soluções estacionárias

Vamos estudar a existência e unicidade de soluções estacionárias do problema local, em umintervalo J := [x−, x+] ⊂ R tal que 0 ∈ J e |J | = x+ − x−, dado por

ut = uxx − cux + f(u)− w, x ∈ J, t > 0wt = −cwx + ε(u− γw),

(3.1)

com as condições iniciais u(x, 0) = u0(x) e w(x, 0) = w0(x). Ao problema (3.1) adicionamos ascondições de contorno

u(x−, t) = w(x−, t) = 0 e u(x+, t) = u2. (3.2)

Como vimos na introdução, equilíbrios (u,w) da equação (3.1) são soluções deφ′′ − cφ′ + f(φ)− ψ = 0

−cψ′ + ε(φ− γψ) = 0(3.3)

que devem satisfazer as condições: φ(x−) = ψ(x−) = 0 e φ(x+) = u2.Para encontrar soluções estacionárias do problema acima usaremos a mesma estratégia do Ca-

pítulo 1, isto é, encontrar soluções do problema equivalente

u′ = v

v′ = cv − f(u) + w

w′ =ε

c(u− γw)

(3.4)

com as condições

(u(x−), v(x−), w(x−)) = (0, v−, 0) e (u(x+), v(x+), w(x+)) = (u2, v+, w+) v±, w+ > 0. (3.5)

Sobre o problema (3.3) podemos identicar os seguintes aspectos sobre suas soluções:

i) Analisando o campo de vetores no ponto (0, v−, 0) concluímos que as soluções que iniciam

47

48 PROBLEMA LOCAL EM UM INTERVALO LIMITADO 3.1

neste ponto entram na região onde u > 0 e v > 0.

ii) Resolvendo a última equação de (3.4) com a condição w(x−) = 0, obtemos

w(ξ) =ε

c

∫ ξ

x−

e−εγc

(ξ−s)u(s)ds

e portanto w > 0 enquanto u > 0. Além disso usando a integração por partes na igualdadeacima concluímos que

w(ξ) =u(ξ)

γ− 1

γ

∫ ξ

x−

eεγc

(s−ξ)u′(s) ds.

Logo w(ξ) ≤ u(ξ)

γenquanto u′(ξ) > 0.

Enquanto u′ > 0, podemos expressar v(ξ) e w(ξ) como funções de u(ξ), isto é, considere funçõesm,n tais que m(u(ξ)) = v(ξ) e n(u(ξ)) = w(ξ). Pelo Teorema da Função Inversa, m e n satisfazema EDO

dm

du= c− f(u)− n(u)

m(u)

dn

du=ε

c

(u− γn(u))

m(u)

com condições iniciais m(0) = v− e n(0) = 0. Portanto soluções de (3.4)-(3.5) podem ser vistascomo uma curva no R3 cuja parametrização é dada por u 7−→ Γ := (u,m(u), n(u)).

Lema 3.1.1 Existe c > 0 sucientemente pequeno tal que Γ intercepta o plano v = 0.

Demonstração. Suponha que para c > 0 sucientemente pequeno não exista ξ0 ∈ J tal quev(ξ0) = 0. Seja cii∈N uma sequência tal que lim

i→∞ci = 0.

Para cada ci considere mi e ni soluções de

m′i =cimi − f(u) + ni

mi

n′i =ε(u− γni)cimi

mi(0) = v− e ni(0) = 0.

Pela primeira equação, obtemos

m′imi = cimi − f(u) + ni

d

du

[(mi)

2

2

]= cimi − f(u) + ni

(mi(u))2

2=

∫ u

0(cimi(s)− f(s) + ni(s)) ds.

Já pela segunda equação temos

n′i +εγ

cimini =

εu

cimi

ni(u) =1

µ(u)

∫ u

0

εs

cimi(s)µ(s) ds,

3.1 EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES ESTACIONÁRIAS 49

onde µ(u) = exp

(∫ u

0

εγ

cimi(τ)dτ

).

Usando integração por partes, temos

ni(u) =1

µ(u)

[∫ u

0sdµ

γ

]ni(u) =

1

µ(u)

[u

γµ(u)− 1

γ

∫ u

0µ(s) ds

]

ni(u) =u

γ− 1

γ

∫ u

0exp

(−∫ u

s

εγ

cimi(u)dτ

)ds.

Como limi→∞

ci = 0 e, se 0 ≤ u ≤ u2, então limi→∞

ni(u) =u

γ. Desta forma, se 0 ≤ u ≤ u2 então

0 < limi→∞

(mi(u))2

2= lim

i→∞

∫ u2

0(cimi(s)− f(s) + ni(s)) ds

0 <

∫ u2

0

(−f(s) +

s

γ

)ds,

o que contradiz a hipótese (H4). Logo, existe c > 0 sucientemente pequeno tal que Γ intercepta oplano v = 0.

Observação: Seja C = c > 0; v(ξ) = 0, para algum ξ ∈ J. O conjunto C é um conjunto

aberto, não vazio e limitado superiormente, pois se

c > supu∈[0,u2]

∣∣∣∣f(u)− n(u)

m(u)

∣∣∣∣ ,então m′ > 0 e, portanto, v(ξ) > 0 para todo ξ ∈ J .

Denindo c1 = sup C e pela discussão acima sobre as caraterísticas das soluções de (3.4) con-cluímos o resultado abaixo.

Corolário 3.1.1 Existe c1 > 0 tal que para todo c > c1 as soluções de (3.4)-(3.5) tem as seguintes

propriedades

0 ≤ u(ξ) ≤ u2, 0 ≤ w(ξ) ≤ u2

γe v(ξ) > 0, para todo ξ ∈ J.

Para simplicar as demonstrações, a seguir vamos chamar de soluções simples toda solução(u(ξ), v(ξ), w(ξ)) de (3.4) que satisfaz as condições em (3.5).

Lema 3.1.2 Para cada c > c1, temos os seguintes resultados:

(i) Se Γ é uma solução simples, o tempo que ela leva do ponto (u(ξ0), v(ξ0), w(ξ0)) ao ponto

(u(ξ1), v(ξ1), w(ξ1)), é dado por

ξ1 − ξ0 =

∫ u(ξ1)

u(ξ0)

du

m(u).

Em particular, o tempo que leva do ponto (0, v−, 0) ao ponto (u2, v+, w+) é dado por

x+ − x− =

∫ u2

0

du

m(u).

(ii) Existe um c2 > 0 tal que, se c > c2 então Γ chega a um ponto (u2, v+, w+) tal que v+ > v− e,

se c < c2, Γ chega a um ponto (u2, v+, w+) tal que v+ < v−.

Demonstração. (i) Como v(ξ) = m(u(ξ)) =d

dξu(ξ), então dξ =

du(ξ)

m(u(ξ)). Logo,

ξ1 − ξ0 =

∫ u(ξ1)

u(ξ0)

du

m(u).

(ii) Considere o vetor normal ~n = (0, 1, 0) ao plano v = v− e o campo de vetores das soluções de(3.4) no ponto (u, v−, w)

X(u, v, w) =(v, cv − f(u) + w,

ε

c(u− γw)

).

Logo~n ·X(u, v, w) = cv− − f(u) + w.

Seja

c2 > sup0≤u≤u2

|f(u)− n(u)|v−

.

Se c > c2, o produto escalar é positivo e, portanto, as soluções permanecem acima do planov = v− e v′(ξ) > 0, ∀ ξ ∈ J , e portanto chegam a um certo valor v+ > v−. Se c < c2, Γ furao plano v = v− e v′(ξ) < 0, para algum ξ > x−, e portanto chega a um ponto (u2, v+, w+) ondev+ < v−.

Diante do exposto acima, podemos concluir o seguinte teorema:

Teorema 3.1.1 Para cada c > c1, existe uma única solução (φ, ψ) de (3.3). Além disso, φ′(ξ) > 0,para todo ξ ∈ J .

Demonstração. Pelo Corolário 3.1.1, se c > c1, então u′(ξ) > 0, ∀ξ ∈ J , e portanto todas assoluções de (3.4) saindo do ponto (0, v−, 0) são soluções simples e o tempo que esta solução leva de

(0, v−, 0) a (u2, v+, w+) é dado por x+−x− =

∫ u2

0

du

m(u). A unicidade segue por teoremas clássicos

de existência e unicidade de sistemas de EDO. Veja, por exemplo, Sotomayor (1979).

3.2 Análise espectral do problema em intervalo nito

A análise espectral de sistemas parabólico-hiperbólico em intervalo nito foi estudada porRottmann-Matthes (2005) como uma extensão do trabalho de Beyn e Lorenz (1999) feito paraproblemas parabólicos. Nesta primeira subseção, vamos, de forma sucinta, apresentar as hipóteses eos principais resultados da Tese de Rottmann-Matthes (2005) e depois vericar que estes resultadossão aplicados ao nosso problema.

3.2.1 Hipóteses e principais resultados

Vamos considerar um sistema parabólico-hiperbólico da forma(utwt

)= L

(uw

):=

(A 00 0

)(uxxwxx

)+

(B11 B12

0 B22

)(uxwx

)+

(C11 C12

C21 C22

)(uw

),

onde L : H2(R,Cn)×H1(R,Cm)→ L2(R,Cn)× L2(R,Cm).Hipóteses sobre o operador L

3.2 ANÁLISE ESPECTRAL DO PROBLEMA EM INTERVALO FINITO 51

i) As matrizes Bij(x) e Cij(x) são de classe C2 e satisfazem:

limx→±∞

Bij(x) := Bij± e limx→±∞

Cij(x) := Cij±

limx→±∞

∂xB22(x) = 0;

‖∂2xB22‖∞ <∞, ‖∂xC22‖∞ <∞ e ‖∂xB12‖∞ <∞.

ii) A matriz A ∈ Cn,n satisfaz A+A∗ ≥ αI, para algum α ∈ R.

iii) A função real B22 é uma matriz diagonal e existem b0 e β > 0 tal que, para todo x ∈ R, oselementos da diagonal satisfazem:

|bii(x)− bjj(x)| ≥ β, para i 6= j,

bii(x) ≥ b0, para 1 ≤ i ≤ r e −bii(x) ≥ b0, para r + 1 ≤ i ≤ m.

Além disso, se c22± são os elementos da diagonal da matriz C22±, então Re c22± < −2δ, paraalgum δ > 0.

iv) Existe δ > 0 tal que, para todo τ ∈ R e para todo s ∈ C, a igualdade

det

(−τ2

(A 00 0

)+ iτ

(B11+ B12+

0 B22+

)+

(C11+ C12+

C21+ C22+

)− µIn+m

)= 0

ou

det

(−τ2

(A 00 0

)+ iτ

(B11− B12−

0 B22−

)+

(C11− C12−C21− C22−

)− µIn+m

)= 0

implica que Re s ≤ −δ.

Para análise das propriedades espectrais de L considere a equação resolvente

(µI − L)

(uw

)=

(fg

)(3.6)

que é equivalente ao sistema de primeira ordem:

L(µ)z := zx −M(x, µ)z =

0

−f +B12B−122 g

−B22g

,

onde z := (u,Aux, w),

M(·, µ) =

0 A−1 0

B12B−122 C21 + (µI − C11) −B11A

−1 −C12 −B12B−122 (µIm − C22)

−B−122 C21 0 B−1

22 (µIm − C22)

e L(s) : H2(R,Cn)×H1(R,Cn)×H1(R,Cm)→ H1(R,Cn)×L2(R,Cn)×L2(R,Cm). Pela hipótese(iv), as matrizes lim

x→±∞M(x, µ) := M±(µ) existem e são hiperbólicas, para todo µ ∈ C com Re µ >

−δ e, para nossos propósitos, iremos estudar apenas a parte do espectro que está contido no conjuntoµ ∈ C;Re µ > −δ.

Denotamos por V u±(µ) ⊂ Cl,r a base do subespaço instável de M±(µ) e V s

±(µ) ⊂ Cl,p a base dosubespaço estável de M±(µ) tal que p+ r = l.

Lema 3.2.1 L(µ) e (µI − L) são operadores de Fredholm de índice zero para Re µ > −δ.

A proposta de Rottmann-Matthes (2005) consiste em aproximar o espectro de L pelo espectrodo operador L|J , o operador L restrito a um intervalo limitado J .

Considere o intervalo limitado com as seguintes características: J = [x−, x+] ⊂ R; 0 ∈ J e|J | > 1 e a restrição da equação resolvente (3.6) a J

(µI − L|J)

(u|Jw|J

)=

(f |Jg|J

)em L2(J,Cm)× L2(J,Cn),

onde L|J é denido da mesma forma que L, porém em um intervalo limitado J .Para obter um problema bem posto no intervalo nito J impomos as condições de contorno

R

(u|Jw|J

):= R−

u|J(x−)ux|J(x−)w|J(x−)

+R+

u|J(x+)ux|J(x+)w|J(x+)

.

onde R−, R+ são elementos de Cl,lA hipótese crucial sobre R é que

D(µ) := det[R−Vs−(µ), R+V

u+(µ)].

A condição acima estabelece que o subespaço estável e instável das soluções podem ser contro-lados pelos pontos extremos do intervalo.

Considere os espaços de Banach

E := H2(R,Cn)×H1(R,Cm), F := L2(R,Cn)× L2(R,Cm);

E|J := H2(J,Cn)×H1(J,Cm), F |J := L2(J,Cn)× L2(J,Cm)× C2n+m;

e os operadores

A(µ) := µI − L ∈ L(E,F ) e A|J(µ) :=

((µI − L)|J

R

)∈ L(E|J , F |J).

Qualquer elemento não nulo do núcleo de A(µ0) é chamado de autoelemento de A(·) associadoao autovalor µ0

Para um elemento µ0 no espectro normal σn(L) de L, escolha ε > 0 tal que µ0 é o único elementodo espectro de L em uma bola fechada Bε(µ0).

Vamos denir por µ0−grupo de autovalores de A|J o conjunto:

σJ := µ ∈ Bε(µ0) : µ é um autovalor de A|J(·).

Teorema 3.2.1 Seja Σ uma vizinhança aberta do autovalor isolado µ0 com D(µ) 6= 0, para todo

µ ∈ Σ, e assuma que ε é tão pequeno que Bε(µ0) ⊂ Σ. Então existe um intervalo compacto J0 ⊂ Rtal que para todo intervalo compacto J = [x−, x+] com J0 ⊂ J o µ0-grupo de autovalores σJ converge

para o autovalor µ0 no sentido que, para cada 0 < β′ < minβ−, β+ existe, k := k(β′) > 0 tal que

maxµ∈σJ

|µ− µ0| = dist(σJ , µ0) ≤ ke−β′

κ(minx+,−x−)

,

onde κ é a ordem máxima1 dos autoelementos de A(·) associado ao autovalor µ0.

Demonstração. Veja Rottmann-Matthes (2005), pág. 106.

No caso de autovalores simples considere o operador R como uma função C1 de µ tal que

R : Σ→ L(E,C3)

1Veja Denição C.6 em Rottmann-Matthes (2005) pág 141

3.2 ANÁLISE ESPECTRAL DO PROBLEMA EM INTERVALO FINITO 53

é dada por

R(µ)

(uw

)= R−(µ)

u(x−)ux(x−)w(x−)

+R+(µ)

u(x+)ux(x+)w(x+)

(3.7)

e

D(µ) = det[R−(µ)V s−(µ), R+(µ)V u

+(µ)]. (3.8)

Teorema 3.2.2 Seja µ0 ∈ σ(L) ∩ Re µ > −δ um autovalor simples de A(·) = µI − L. Seja(φ0, ψ0) um autoelemento não trivial de A para o autovalor µ0. Além disso, assuma que D(µ0) 6= 0.Então existe um intervalo compacto J0 e δ0 > 0 tais que, para todo intervalo compacto J0 ⊂ J ,existe exatamente um autovalor simples µJ , com |µ0−µJ | ≤ δ0, da aproximação no intervalo nito

AJ(·) : µ 7−→(µI − LJR(µ)

).

Além disso, existe uma correspondente autofunção

(uJwJ

)∈ EJ := H2(J,C) × H1(J,C) tal que

as estimativas são verdadeiras

|µJ − µ0|+∥∥∥∥( uJ

wJ

)−(u0|Jw0|J

)∥∥∥∥EJ

≤ C

∣∣∣∣∣∣R−(µ0)

u0(x−)u0,x(x−)w0(x−)

+R+(µ0)

u0(x+)u0,x(x+)w0(x+)

∣∣∣∣∣∣com a constante C independente de J.

Demonstração. Veja Rottmann-Matthes (2005), pág. 108.

3.2.2 Aplicação no sistema de FitzHugh-Nagumo

Considere o operador L : H2(R,C)×H1(R,C)→ L2(R,C)× L2(R,C) dado por(utwt

)= L

(uw

):=

(1 00 0

)(uxxwxx

)+

(−c 00 −c

)(uxwx

)+

(f ′(φ) −1ε −εγ

)(uw

)As hipóteses (i) − (iii) são facilmente vericadas e a hipótese (iv) já foi discutida na demons-

tração do Teorema 1.2.3.A equação resolvente (3.6) no nosso caso é equivalente ao sistema

L(µ)z := zx −M(x, µ)z =

0h

−gc

,

onde

M(·, µ) =

0 1 0µ− f ′(φ) c 1

ε

c0−(εγ + µ)

c

.

Pelo Lema 1.2.3 a matrizM−(µ) tem três autovalores satisfazendo Re r1 > 0 > Re r2 > Re r3

com autovetores associados

ρi(µ) =

(1, ri,

ε

cri + µ+ εγ

),

e a matriz M+(µ) tem três autovalores satisfazendo Res1 > 0 > Res2 > Res3 com autoveto-res associados

κi(µ) =

(1, si,

ε

csi + µ+ εγ

).

Sejam V u+(µ) = κ1 a base do subespaço instável deM+(µ), V s

−(µ) = ρ2, ρ3 base do subespaçoestável de M−(µ) e o operador

R(µ)

(uw

)=

1 0 00 0 00 0 1

u(x−)ux(x−)w(x−)

+

0 0 01 0 00 0 0

u(x+)ux(x+)w(x+)

=

u(x−)u(x+)w(x−)

.

D(µ) = det[R−Vs−(µ), R+V

u+(µ)] = det

1 1 00 0 1ε

cr2 + µ+ εγ

ε

cr3 + µ+ εγ0

=

ε

cr2 + µ+ εγ− ε

cr3 + µ+ εγ6= 0,

para qualquer µ tal que Re µ ≥ −δ.Como as hipóteses dos Teoremas 3.2.1 e 3.2.2 são satisfeitas para o problema (3.1)-(3.2), podemos

enunciar o seguinte resultado

Teorema 3.2.3 Existe δ0 > 0 e um intervalo compacto J0 tais que existe exatamente um autovalor

µJ de LJ tal que |µJ | ≤ δ0, ou seja,

σ(LJ) ∩ µ ∈ C; Re µ > −δ ⊂ µ ∈ C; |µ| ≤ δ0.

Pelos resultados numéricos que Rottmann-Matthes (2005) obteve sobre a estabilidade da ondaviajante do tipo pulso em um intervalo limitado, podemos supor que para um intervalo J sucien-temente grande temos:

σ(LJ) ⊂ µ ∈ C;Re µ < −δ, para algum δ > 0.

Capítulo 4

Problema não local em um intervalo

limitado

4.1 Soluções estacionárias do problema não local

Vamos estudar o problema não localpt = pxx − λ(p, q)px + f(p)− q,

x ∈ J, t > 0qt = −λ(p, q)qx + ε(p− γq),

(4.1)

com as condições iniciais p(x, 0) = u0(x) e q(x, 0) = w0(x) e as condições de contorno p(x−, t) = 0,p(x+, t) = u2 e q(x−, t) = 0, onde J = [x−, x+] ⊂ R, 0 ∈ J e |J | = x+ − x−.

Além disso considere λ(p, q) =A− 〈q, px〉L2(J)

‖px‖2L2(J)

, com A =

∫ u2

0f(s)ds

Lema 4.1.1 Considere o par (φ, ψ) ∈ H2(J)×H1(J) tal que φ(x−) = 0, φ(x+) = u2, ψ(x−) = 0e

c = λ(φ, ψ) ∈ R. (4.2)

Então, (φ, ψ) é uma solução estacionária de (4.1) se, e somente se, (φ, ψ) é uma solução de (3.3)satisfazendo

φ′(x−) = φ′(x+). (4.3)

Demonstração. Se (φ, ψ) é uma solução estacionária de (4.1) com c = λ(φ, ψ) então0 = φxx − cφx + f(φ)− ψ,

x ∈ J, t > 0.0 = −cψx + ε(φ− γψ),

(4.4)

Logo (φ, ψ) é solução de (3.3).Multiplicando a primeira equação de (4.4) por φ′ e integrando no intervalo J , obtemos∫ x+

x−

φ′′(x)φ′(x) dx− λ(φ, ψ)

∫ x+

x−

φ′(x)2 dx+A−∫ x+

x−

φ′(x)ψ(x) dx = 0,

onde usamos o fato de que φ(x−) = 0, φ(x+) = u2 e A =∫ u2

0 f(s)ds.A integração por partes nos permite concluir que

1

2

[(φ′(x+))2 − (φ′(x−))2

]− λ(φ, ψ)‖φ′‖2L2(J) +A− 〈ψ, φ′〉L2(J) = 0.

55

56 PROBLEMA NÃO LOCAL EM UM INTERVALO LIMITADO 4.1

Pela relação (4.2),λ(φ, ψ)‖φ′‖2L2(J) = A− 〈ψ, φ′〉L2(J),

e, portanto, φ′(x−) = φ′(x+).Por outro lado, se (φ, ψ) é solução de (3.3) e satisfaz a condição φ′(x−) = φ′(x+) como mostramos

no Capitulo 2, ela é uma solução da equaçãoφ′′(x)− A− 〈φ′, ψ〉

〈φ′, φ′〉φ′(x) + f(φ(x))− ψ(x) = 0

−ε (B − 〈φ′, ψ〉)〈ψ′, ψ′〉

ψ′(x) + ε(φ(x)− γψ(x)) = 0.

Portanto um equilíbrio de (4.1).

Teorema 4.1.1 Existe uma única solução estacionária (φ, ψ) de (4.1).

Demonstração. Pelo Lema 4.1.1, uma solução estacionária (φ, ψ) de (4.1) é uma solução de (3.3)que satisfaz a condição φ′(x−) = φ′(x+).

Pelo Teorema 3.1.1, para cada c > c1, existe uma única solução (φ, ψ) de (3.3) que é equivalenteas coordenadas u e w das soluções simples de (3.4). Dentre essas soluções, a que estamos procurandosão aquelas cuja componente v satisfaz v(x−) = v(x+).

Seja c2 do Lema 3.1.2, por dependência contínua em relação ao parâmetro c das soluções simplesΓ de (3.4) existe cJ ∈ (c2− δ, c2 + δ), para algum δ > 0, tal que Γ sai do ponto (0, v−, 0) e chega aoponto (u2, v+, w+) onde v− = v+. Logo, existe uma única solução (φ, ψ) de (3.3) com a propriedadeφ′(x−) = φ′(x+) e é, portanto, a única solução estacionária de (4.1).

4.1.1 Convergência das soluções estacionárias para a onda viajante quando

|J | → ∞

Nesta seção vamos estudar o comportamento da solução estacionária encontrada no Teorema4.1.1 em relação ao tamanho do intervalo J . Observe que, se (φ(ξ), φ′(ξ), ψ(ξ)) é uma solução de(3.4) então (φ(ξ + k), φ′(ξ + k), ψ(ξ + k)) também é uma solução, para qualquer constante k ∈ R,logo podemos considerar as soluções de (3.4) no intervalo [0, r] e analisar essas soluções quandor →∞.

Vamos denotar por (φr, ψr) a solução estacionária de (4.1) no intervalo [0, r] e (φ∞, ψ∞) a ondaviajante do problema original encontrada no Teorema 1.1.2.

Nos resultados a seguir considere

λr := λ(φr, ψr) e λ∞ := λ(φ∞, ψ∞) .

Lema 4.1.2 Seja λr tal que exista uma única solução de (4.1)-(4.3) no intervalo J . Então

|λr − λ∞| → 0, quando r →∞, (4.5)

onde λ∞ = c∗ do Teorema 1.1.2, isto é, a velocidade de propagação da onda viajante da equação

(1).

Demonstração. Considere o problema (3.4) no intervalo [0, r] com as condições

(u(0), v(0), w(0)) = (0, v−, 0) e (u(r), v(r), w(r)) = (u2, v+, w+), v±, w+ > 0. (4.6)

Suponha que exista uma sequência rnn∈N tal que rn → ∞, quando n → ∞, e δ > 0 tal queλrn > λ∞ + δ para todo rn.

Da mesma forma como discutimos no Capítulo 3, podemos escrever m(u) = v e n(u) = w e veras soluções de (3.4) como uma curva no R3 cuja parametrização é dada por Γ := (u,m(u), n(u)).

4.1 SOLUÇÕES ESTACIONÁRIAS DO PROBLEMA NÃO LOCAL 57

Para cada rn, considere a curva Γrn := (u,mrn(u), nrn(u)) que representa a solução do problema(3.4)-(4.6).

Pelo estudo do espaço de fase feito no Capítulo 1, se c > c∗+ ε então v(ξ) > 0, para todo ξ > 0.Dessa forma, para cada rn existe β > 0, tal que mrn(u) ≥ β para todo u ∈ [0, u2].

Mas, pelo Lema 3.1.2,

rn =

∫ u2

0

du

mrn(u)≤ u2

β,

contradizendo o fato que rn →∞.Para o caso λrn < λ∞ − ε sabemos que v(ξ0) = 0, para algum ξ0 > 0, onde u1 ≤ u(ξ0) ≤ u2, ou

seja, a solução entra na região

T = (u, v, w); u2 < u < 1, w < f(u), v < 0 ,

o que contradiz a denição de λrn que denimos no Teorema 3.1.1.

Lema 4.1.3 Seja (φr, φ′r, ψr) o equilíbrio obtido no Teorema 4.1.1 e (φ∞, φ

′∞, ψ∞) a onda viajante

encontrada no Teorema 1.1.2. Se v− > 0 for sucientemente pequeno, então

(φr, φ′r, ψr)→ (φ∞, φ

′∞, ψ∞)|J , quando r →∞,

onde (φ∞, φ′∞, ψ∞)|J é a restrição de (φ∞, φ

′∞, ψ∞) no intervalo J = [0, r].

Demonstração. No Capítulo 1 vimos que (φ∞, φ′∞, ψ∞) pode ser vista como uma solução do

problema (5)−(6) e pelos comentários feitos antes do Lema 1.1.3 podemos selecionar (u(0), v(0), w(0))da curva integral Γ = (φ∞, φ

′∞, ψ∞) sucientemente próximo de (0, 0, 0), ou seja, podemos ver

(φ∞, φ′∞, ψ∞)|J como solução do problema

u′ = vv′ = cv − f(u) + w

w′ =ε

c(u− γw)

(4.7)

com condição inicial (u(0), v(0), w(0)) = (u0, v0, w0), onde |u0|+ |v0|+ |w0| < ε1, para algum ε1 > 0sucientemente pequeno.

Seja v− > 0 sucientemente pequeno e (φ∞, φ′∞, ψ∞) uma solução de (4.7) com condição inicial

(u(0), v(0), w(0)) = (0, v−, 0). Pelo Teorema da Dependência Contínua em relação as condiçõesiniciais: para todo ε1 > 0, existe δ > 0 tal que, se |v− − v0| < δ, então

|φ∞(ξ; v−)− φ∞(ξ; v0)| < ε12, ξ ∈ J.

Como limr→∞

λr = λ∞, para todo δ > 0, existe r0 > 0 tal que, para todo r ≥ r0, tem-se |λr−λ∞| <δ.

Pelo Teorema da Dependência Contínua em relação aos parâmetros: para todo ε2 > 0, existeδ > 0 tal que, se |λr − λ∞| < δ, então

|φr(ξ; v−)− φ∞(ξ; v−)| < ε22, ξ ∈ J.

Logo, para todo ε > 0, existe r0 > 0 tal que, ∀r ≥ r0,

|φr(ξ; v−)− φ∞(ξ; v0)| ≤ |φr(ξ; v−)− φ∞(ξ; v−)|+ |φ∞(ξ; v−)− φ∞(ξ; v0)| < ε, ξ ∈ J.

De forma análoga, provamos para as outras componentes.


Vamos normalizar a órbita (φr, φ′r, ψr) tal que φr(0) = a assim como já mencionamos no Capítulo

1, onde normalizamos (φ∞, φ′∞, ψ∞) por φ∞(0) = a.

4.2 Propriedades espectrais

Para analisar as propriedades espectrais do equilíbrio (φr, ψr) encontrado na seção anterior,vamos considerar a linearização de (4.1) ao redor de (φr, ψr) dada por

mt = mxx − λ(φr, ψr)mx + f ′(φr)m− n+ φ′rΠr(m,n),

x ∈ J, t > 0nt = −λ(φr, ψr)nx + ε(m− γn) + ψ′rΠ

r(m,n),

com as condições m(x−, t) = m(x+, t) = 0 e n(x−, t) = 0.O termo Πr(m,n) tem a forma

Πr(m,n) =2λr〈φ′r,mx〉+ 〈ψr,mx〉+ 〈φ′r, n〉

‖φ′r‖2

e, tanto o produto interno, quanto a norma são consideradas em L2(J).Considere o operador linear Lr : D(Lr) ⊂ L2(J)× L2(J)→ L2(J)× L2(J), onde

D(Lr) = (m,n) ∈ H2(J)×H1(J); m(x−) = m(x+) = 0 e n(x−) = 0,

denido por

Lr(mn

)=

mxx − λrmx + f ′(φr)m− n+ φ′rΠr(m,n)

−λrnx + ε(m− γn) + ψ′rΠr(m,n)

.

Considere o operador local no intervalo J

Lr0

(mn

)=

mxx − λrmx + f ′(φr)m− n

−λrnx + ε(m− γn)

.

Podemos escrever

Lr(mn

)= Lr0

(mn

)+ Πr(m,n)

(φ′rψ′r

). (4.8)

4.2.1 Propriedades espectrais de Lr

Pela relação dada em (4.8) entre Lr e Lr0 temos que µ é um autovalor de Lr0 se, e somente se, µfor um autovalor de Lr de σ(Lr) com o resolvente de Lr0, ρ(Lr0).

Lema 4.2.1 Seja µ ∈ σ(Lr) ∩ ρ(Lr0). Então, µ é um autovalor geometricamente simples, isto é,

Ker(Lr − µI) é unidimensional. Além disso, o autoespaço associado é gerado por Y = (y1, y2), aúnica solução de

(Lr0 − µI)Y =

(φ′rψ′r

)e

Πr(Y ) = −1.

Demonstração. Seja Z = (z1, z2) 6= (0, 0) tal que LrZ = µZ, logo

0 = (Lr − µI)Z = (Lr0 − µI)Z + Πr(Z)

(φ′rψ′r

).

4.2 PROPRIEDADES ESPECTRAIS 59

Seja Y tal que (Lr0 − µI)Y =

(φ′rψ′r

)logo,

0 = (Lr0 − µI)Z + Πr(Z)

(φ′rψ′r

)= (Lr0 − µI)Z + Πr(Z)(Lr0 − µI)Y

= (Lr0 − µI)(Z + Πr(Z)Y ).

Como µ ∈ ρ(Lr0) então (Lr0−µI) é injetora, e portanto, Z = −Πr(Z)Y . Como Πr é um operador

linear Πr(Y ) = Πr

(−Z

Πr(Z)

)= −1.

Pelo comentário no nal do Capítulo 3, podemos supor que σ(Lr0) ⊂ s ∈ C : Re s < 0 e, comesta hipótese, temos o seguinte resultado:

Proposição 4.2.1 Não existe autovalor real µ ≥ 0 no espectro de Lr.

Demonstração. Suponha que exista um autovalor µ ≥ 0 de Lr, logo µ ∈ ρ(Lr0).Para µ ≥ 0 e µ ∈ σ(Lr) ∩ ρ(Lr0) considere (m,n) tal que

(Lr0 − µI)

(mn

)=

(φ′rψ′r

),

isto é, m′′ − λrm′ + (f ′(φr)− µ)m− n = φ′r

−λrn′ + ε(m− γn) = ψ′r.(4.9)

Multiplicando a primeira equação de (4.9) por φ′r e integrando em J , obtemos

〈m′′, φ′r〉 − λr〈m′, φ′r〉+ 〈f ′(φr)m,φ′r〉 − 〈n, φ′r〉 − µ〈m,φ′r〉 = ‖φ′r‖2. (4.10)

Usando integração por partes em 〈f ′(φr)m,φ′r〉 e m(x±) = 0, obtemos

〈f ′(φr)m,φ′r〉 = −〈m′, f(φr)〉= 〈m′, φ′′r〉 − λr〈m′, φ′r〉+ 〈m′, ψr〉.

Substituindo a igualdade acima na equação (4.10), temos

〈m′′, φ′r〉+ 〈m′, φ′′r〉 − 2λr〈m′, φ′r〉 − 〈n, φ′r〉 − 〈m′, ψr〉 − µ〈m,φ′r〉 = ‖φ′r‖2

〈m′′, φ′r〉‖φ′r‖2

+〈m′, φ′′r〉‖φ′r‖2

− 2λr〈m′, φ′r〉+ 〈n, φ′r〉+ 〈m′, ψr〉‖φ′r‖2

− µ〈m,φ′r〉

‖φ′r‖2= 1.

Pelo Lema 4.2.1, Πr(m,n) =2λr〈m′, φ′r〉+ 〈n, φ′r〉+ 〈m′, ψr〉

‖φ′r‖2= −1, logo

〈m′′, φ′r〉+ 〈m′, φ′′r〉 = µ〈m,φ′r〉.

Como (µ− Lr0)

(mn

)= −

(φ′rψ′r

)e φ′r > 0, pelo princípio do máximo1, temos então m(x) <

0, para x ∈ J .Por integração por partes

〈m′′, φ′r〉 = φ′r(x+)m′(x+)− φ′r(x−)m′(x−)− 〈m′, φ′′r〉1veja por exemplo Protter e Weinberger (2012), pág. 190.

Do Lema 4.1.1, seja K = φ′r(x−) = φ′r(x+), então

K[m′(x+)−m′(x−)] = 〈m′′, φ′r〉+ 〈m′, φ′′r〉 = µ〈m,φ′r〉 ≤ 0

e, portanto, m′(x+) ≤ m′(x−).Se m < 0 e m(x−) = 0 então m′(x−) ≤ 0, caso contrário m seria crescente e positiva em uma

vizinhança de x−.Se m < 0 e m(x+) = 0 então m′(x+) ≥ 0, caso contrário m seria decrescente e positiva na

vizinhança de x+.Ou seja, m deve ser decrescente na vizinhança de x− e crescente na vizinhança de x+ logo

m′(x−) ≤ 0 ≤ m′(x+). Mas, acima, armamos que m′(x+) ≤ m′(x−), então só nos resta concluirque

m′(x+) = m′(x−) = 0.

Veja que (m,n) satisfaz a equação (4.9) e as condições m(x−) = n(x−) = 0. Se, além disso,m′(x−) = 0 então

m′′(x−)− λrm′(x−) + f ′(φ(x−))m(x−)− µm(x−)− n(x−) = φ′r(x−),

ou seja, m′′(x−) = φ′r(x−) > 0 e, portanto, m seria positiva para uma vizinhança de x−,o que é umabsurdo.

4.2.2 Propriedades espectrais de L∞

Seja o operador não local L∞ : H2(R,C)×H1(R,C)→ L2(R,C)

L∞(mn

)=

mxx − λ∞mx + f ′(φ∞)m− n+ φ′∞Π∞(m,n)

−λ∞nx + ε(m− γn) + ψ′∞Π∞(m,n)

, (4.11)

que pode ser reescrito na forma

L∞(mn

)= L∞0

(mn

)+ Π∞(m,n)

(φ′∞ψ′∞

)(4.12)

onde L∞0 é o operador local em R

L∞0

(mn

)=

mxx − λ∞mx + f ′(φ∞)m− n

−λ∞nx + ε(m− γn)

(4.13)

e

Π∞(m,n) =2λ∞〈φ′∞,mx〉+ 〈ψ∞,mx〉+ 〈φ′∞, n〉

‖φ′∞‖2.

Lema 4.2.2 Considere o operador (4.13) e seu espectro σ(L∞0 ), são verdadeiras as armações:

i) Existe δ > 0 tal que σ(L∞0 ) \ 0 ⊂ µ ∈ C; Re µ ≤ −δ;

ii) 0 é um autovalor simples de L∞0 com autofunção associada (φ′, ψ′), isto é, não existe (u, w) ∈H2(R)×H1(R) tal que

L∞0

(uw

)=

(φ′

ψ′

).

Demonstração. Como λ∞ = c∗, este é o mesmo resultado provado no Teorema 1.3.3.

Lema 4.2.3 O operador (m,n) 7−→ Π∞(m,n)

(φ′∞ψ′∞

)é compacto e tem posto 1.

Demonstração. Seja F (m,n) := Π∞(m,n)Φ∞ onde Φ∞ =

(φ′∞ψ′∞

)é xo. Pela denição de Π∞,

F é um operador linear contínuo e, portanto, existe C > 0 tal que

‖F‖ ≤ C‖Φ∞‖.

Seja K ⊂ D(F ) um conjunto limitado. Então

F (K) = Π∞(X)Φ∞ : X ∈ K ⊂ spanΦ∞.

Se Y ∈ F (K) então ∃X ∈ K tal que Y = Π∞(X)Φ∞ e, portanto,

‖Y ‖ ≤ C‖Φ∞‖ <∞.

Como F (K) é limitado e está contido em um espaço de dimensão nita, temos que F (K) é compactoe, portanto, F é um operador compacto.

O próximo resultado arma que o espectro de L∞0 e o espectro de L∞ gozam das mesmas

propriedades.

Proposição 4.2.2 Sejam L∞0 e L∞ denidos em (4.13) e (4.11), respectivamente, temos σ(L∞0 ) =σ(L∞) e, além disso, 0 é um autovalor simples de L∞. Em particular, as propriedades do Lema

4.2.2 são verdadeiras para σ(L∞).

Demonstração. Considere L∞ na forma (4.12). Pelo item (ii) do Lema 4.2.2,

L∞0

(φ′

ψ′

)=

(00

).

Além disso, usando integração por partes no termo 〈ψ∞, φ′′∞〉, podemos ver que

Π∞(φ′∞, ψ′∞) =

2λ(φ∞, ψ∞)〈φ′∞, φ′′∞〉+ 〈ψ∞, φ′′∞〉+ 〈φ′∞, ψ′∞〉‖φ′∞‖2

= 0.

Portanto podemos concluir que 0 é autovalor de L∞ com autofunção associada (φ′∞, ψ′∞).

Para ver que 0 é autovalor simples, suponha que exista (u, w) ∈ D(L∞) tal que

L∞(uw

)=

(00

),

o que implica (00

)= L∞0

(uw

)+ Π∞(u, w)

(φ′∞ψ′∞

).

Se Π∞(u, w) = 0 então (u, w) é múltiplo de (φ′∞, ψ′∞), pois 0 é um autovalor simples de L∞0 .

Se Π∞(u, w) 6= 0 então

L∞0

(uw

)= −Π∞(u, w)

(φ′∞ψ′∞

).

Mas isto é impossível pelo item (ii) do Lema 4.2.2.Para mostrar que σ(L∞) = σ(L∞0 ), vamos mostrar que os dois operadores possuem o mesmo

resolvente, isto é, ρ(L∞0 ) = ρ(L∞) .1o) ρ(L∞0 ) ⊂ ρ(L∞) : Se µ ∈ ρ(L∞0 ) então (L∞0 − µI)−1 existe, é limitada e denida em um

conjunto denso X × Y .


Sejam (U,W ) ∈ X × Y e (m, n) o único elemento de D(L∞0 ) tal que

(L∞0 − µI)

(mn

)=

(UW

). (4.14)

Se Π∞(m, n) = 0 então µ ∈ ρ(L∞), pois

(L∞ − µI)

(mn

)= (L∞0 − µI)

(mn

)=

(UW

).

Suponha que Π∞(m, n) 6= 0 e considere(m∗

n∗

)=

(mn

)+

1

µΠ∞(u, w)

(φ′∞ψ′∞

). (4.15)

Como L∞ é linear,

L∞(m∗

n∗

)= L∞

(mn

)+

1

µΠ∞(u, w)L∞

(φ′∞ψ′∞

).

Pela relação (4.12) e por L∞(φ′∞ψ′∞

)=

(00

)temos

L∞(m∗

n∗

)= L∞0

(mn

)+ Π∞(u, w)

(φ′∞ψ′∞

).

Por (4.14),

L∞(m∗

n∗

)=

(U + µm+ Π∞(u, w)φ′∞W + µn+ Π∞(u, w)ψ′∞

)

=

U + µ

[m+

1

µΠ∞(u, w)φ′∞

]

W + µ

[n+

1

µΠ∞(u, w)ψ′∞

]

=

(U + µm∗

W + µn∗

).

Logo, para qualquer (U,W ) ∈ X × Y , existe (m∗, n∗) ∈ D(L∞) tal que

(L∞ − µI)

(m∗

n∗

)=

(UW

)(4.16)

e, portanto, (L∞ − µI) é sobrejetora.Suponha que existam dois elementos (m∗1, n

∗1), (m∗2, n

∗2) ∈ D(L∞) tais que

(L∞ − µI)

(m∗1n∗1

)=

(UW

)e

(L∞ − µI)

(m∗2n∗2

)=

(UW

).

Usando a relação (4.12) podemos concluir que

(L∞0 − µI)

(m∗1n∗1

)=

(UW

)−Π∞(m∗1, n

∗1)

(φ′∞ψ′∞

)


e, além disso, como

Π∞(m∗2 −m∗1, n∗2 − n∗1) = Π∞(m∗2, n∗2)−Π∞(m∗1, n

∗1),

obtemos

(L∞0 − µI)

(m∗1 −m∗2n∗1 − n∗2

)= Π∞(m∗2, n

∗2)−Π∞(m∗1, n

∗1)

(φ′∞ψ′∞

).

SeΠ∞(m∗2, n

∗2) = Π∞(m∗1, n

∗1),

então (L∞ − µI) é injetora, pois (L∞0 − µI) é injetora.Se

Π∞(m∗2, n∗2) 6= Π∞(m∗1, n

∗1),

então

(L∞0 − µI)

(mn

)= −Π∞(m, n)

(φ′∞ψ′∞

),

ondem = m∗2 −m∗1,

n = n∗2 − n∗1.

Como (L∞0 − µI)−1 existe, podemos escrever(mn

)= −Π∞(m, n)(L∞0 − µI)−1

(φ′∞ψ′∞

).

Usando a igualdade

(L∞0 − µI)−1

(φ′∞ψ′∞

)= − 1

µ

(φ′∞ψ′∞

)vemos que (m, n) é uma combinação linear de (φ′∞, ψ

′∞), logo

Π∞(m, n) = 0,

o que é uma contradição. Logo (L∞ − µI) é injetora e concluímos que (L∞ − µI)−1 existe.Agora, (L∞ − µI)−1 é limitada, pois as igualdades (4.14) e (4.15) nos permitem concluir que

(L∞ − µI)−1

(UW

)=

(m∗

n∗

)=

(mn

)+ Π∞(u, w)

(φ′∞ψ′∞

)= (L∞0 − µI)−1

(UW

)+

1

µΠ∞(u, w)

(φ′∞ψ′∞

)e concluímos que ρ(L∞0 ) ⊂ ρ(L∞). A outra inclusão segue o mesmo raciocínio usando a igualdade

L∞0

(mn

)= L∞

(mn

)−Π∞(m,n)

(φ′∞ψ′∞

),

portanto 0 é um autovalor simples de L∞.

Além disso, como Π∞(m,n)

(φ′∞ψ′∞

)é um operador compacto de posto 1, pelo Lema 1.2.1,

σe(L∞) = σe(L

∞0 ).

Capítulo 5

Convergência espectral

5.1 Denições e resultados básicos

Sejam E e F espaços de Banach separáveis e sejam Err>0 e Frr>0 famílias de espaços deBanach separáveis. Sejam mrr>0, mr ∈ L(E,Er) e nrr>0, nr ∈ L(F, Fr) operadores lineareslimitados tais que:

limr→∞

‖mre‖Er → ‖e‖E , para cada e ∈ Elimr→∞

‖nrf‖Fr → ‖f‖F , para cada f ∈ F. (5.1)

Denição 5.1.1 Uma família err>0, er ∈ Er, éM−convergente para e ∈ E, se

limr→∞

‖er −mre‖Er = 0. (5.2)

Neste caso, denotamos por erM→ e. A denição de N−convergência é análoga.

Denição 5.1.2 Uma família err>0, er ∈ Er, éM−compacta se cada sequência innita contém

uma subsequênciaM−convergente. A denição de N−compacidade é análoga.

Denição 5.1.3 Uma família de operadores lineares limitados Trr>0, Tr ∈ L(Er, Fr) éMN−convergentea T ∈ L(E,F ) se

erM→ e =⇒ Trer,

N→ Te quando r →∞.

Neste caso, denotamos TrMN→ T .

Denição 5.1.4 Dizemos que Tr MN− converge regularmente para T se, e somente se, TrMN→ T

e se para cada sequência limitada err>0, er ∈ Er, tal que a sequência Trerr>0 é N−compacta

implica que a sequência err>0 éM−compacta.

Denição 5.1.5 Sejam X e Y espaços de Banach e T : X → Y um operador linear. T é um

operador de Fredholm se Ker(T ) e coKer(T ) := Y/Im(T ) têm dimensão nita.

O índice de um operador de Fredholm é denido por

ind(T ) = dimKer(T )− dim(coKer(T )).

Teorema 5.1.1 Seja a família de operadores T (s) = T − sR ∈ L(E,F ) e Tr(s) = Tr − sRr ∈L(Er, Fr), onde o parâmetro s ∈ S, com S um subconjunto limitado do plano complexo C, quesatisfaz as seguintes hipóteses:

(i) Tr(s) MN−converge regularmente para T (s), para todo s ∈ S,

(ii) Para cada s ∈ S, o operador Tr(s) e T (s) são Fredholm com índice 0,

(iii) Existe s′ ∈ S tal que Ker(T (s′)) = 0,

65

66 CONVERGÊNCIA ESPECTRAL 5.2

(iv) Existe uma constante C = C(S) > 0 tal que ‖Tr(s)‖L(Er,Fr) ≤ C, para todo r ≥ 0.Então, se denotamos por W (s0) o subespaço associado a T (s0), isto é, o subespaço gerado pela

cadeia de vetores e0, e1, . . . , ek, . . . denido como

(T − s0R)e0 = 0, (T − s0R)e1 = Re0, . . . (T − s0R)ek = Rek−1, . . .

e se denotamos por Wr(s0, δ) todos os subespaços associado a Tr(s) para todo |s − s0| ≤ δ, s ∈ S,então temos que, para δ > 0 pequeno o bastante,

distH(Wr(s0, δ),W (s0))→ 0, quando r → +∞

e, portanto, existe um δ > 0 pequeno, tal que

dim(Wr(s0, δ)) = dimW (s0), quando r → +∞.

Demonstração. Veja Vainikko (1979) .

Teorema 5.1.2 Se T : X → Y é de Fredholm e S : X → Y é um operador linear compacto, então

T + S é um operador de Fredholm com índice

ind(T + S) = ind(T ).

Demonstração. Veja Gohberg et al. (2012) .

5.2 Convergência espectral

Vamos considerar E = H1(R,C3) e F = L2(R,C3) e, para um intervalo nito Jr, considere osespaços Er = H1(Jr,C3) e Fr = L2(Jr,C3)×C3. Para E,F e Er consideramos as normas usuais epara Fr consideramos a norma

‖(f, η)‖Fr = ‖f‖L2(Jr) + |η|.

Denimos a família de operadores lineares mr : E → Er e nr : F → Fr tais que

mr

uvw

=

u|Jrv|Jrw|Jr

,

nr

uvw

=

u|Jrv|Jrw|Jr

000

.

Considere a família de operadores T s∞, Ts0,∞, Π∞ : E → F denidos como

T s∞

uvw

=

uxvxwx

+

0 −1 0f ′(φ∞)− s −λ∞ −1

− ε

λ∞0

εγ + s

λ∞

u

vw

+

0φ′∞Π∞(u,w)

− 1

λ∞ψ′∞Π∞(u,w)

,

T s0,∞

uvw

=

uxvxwx

+

0 −1 0f ′(φ∞)− s −λ∞ −1

− ε

λ∞0

εγ + s

λ∞

u

vw

5.2 CONVERGÊNCIA ESPECTRAL 67

e

Π∞

uvw

=

0φ′∞Π∞(u,w)

− 1

λ∞ψ′∞Π∞(u,w)

. (5.3)

Observe que T s∞ = T s0,∞ + Π∞. Além disso, o operador T s0,∞ é um operador local. O operadorT s∞ pode ser decomposto como

T s∞ = T 0∞ − sR∞, (5.4)

onde

R∞

uvw

=

0

u

− w

λ∞

. (5.5)

Denimos os operadores em um intervalo limitado, T sr , Ts0,r, por Πr : Er → Fr

T sr

uvw

=

uxvxwx000

+

0 −1 0f ′(φr)− s −λr −1

− ε

λr0

εγ + s

λr0 0 00 0 00 0 0

u

vw

+

0φ′rΠ

r(u,w)

− 1

λrψ′rΠ

r(u,w)

000

+

000

u(x−)u(x+)w(x−)

,

T s0,r

uvw

=

uxvxwx000

+

0 −1 0f ′(φr)− s −λr −1

− ε

λr0

εγ + s

λr0 0 00 0 00 0 0

u

vw

+

000

u(x−)u(x+)w(x−)

e

Πr

uvw

=

0φ′rΠ

r(u,w)

− 1

λrψ′rΠ

r(u,w)

000

(5.6)

de forma similar temos a igualdade T sr = T 0r − sRr com

Rr

uvw

=

0u

− wλr000

.

Teorema 5.2.1 Considere o operador diferencial linear T : E → F denido por Tz := zx −M(·)z


e a sequência de operadores lineares limitados em um intervalo nito Tr : Er → Fr denido por

Trz :=

(zx −M(·)z

Rz

).

Se D 6= 01 então TrMN→ T regularmente, quando r →∞.

Demonstração. Veja Beyn e Rottmann-Matthes (2007), pág 6.

Proposição 5.2.1 Com a notação acima, para qualquer s ∈ s ∈ C;Re s > −δ temos:

(i) A sequência de operadores T s0,r MN−converge regularmente para T s0,∞, quando r →∞.

(ii)A sequência de operadores T sr MN−converge regularmente para T s∞, quando r →∞.

(iii) Os operadores T s∞ e T sr são operadores Fredholm de índice 0.

Demonstração. (i) Considere o operador T s0,r : Er → Fr denido por

T s0,r

uvw

=

uxvxwx000

+

0 −1 0f ′(φ∞)− s −λ∞ −1

− ε

λ∞0

εγ + s

λ∞0 0 00 0 00 0 0

u

vw

+

000

u(x−)u(x+)w(x−)

,

onde f ′(φ∞) está restrita ao intervalo Jr. Pelo Teorema 5.2.1, sabemos que T s0,r MN−convergeregularmente para T s0,∞.

Seja

Rr =

0 0 0

−f ′(φ∞) + f ′(φ′r) λ∞ − λr 0

ε

λ∞− ε

λr0

εγ

λr− εγ

λ∞0 0 00 0 00 0 0

uvw

.

Portanto T s0,r = T s0,r + Rr.Pelo Lema 4.1.2, quando r →∞, λr → λ∞. Pelo Lema 4.1.3,

|f ′(φ∞)− f ′(φr)| → 0 quando r →∞,

e, portanto, ‖Rr‖L(Er,Fr) → 0, quando r →∞.Logo T s0,r MN−converge regularmente para T s0,∞, quando r →∞.

(ii) Segue das igualdades

T sr = T s0,r + Πr e T s∞ = T s0,∞ + Π∞,

do item (i) deste lema e do fato que Πr MN−converge para Π∞.(iii) 1o) T sr é Fredholm com índice 0. De fato,

1Relembre as denições de R e D em (3.7) e (3.8)


Considere o operador Dr : Er → Fr dado por

Dr

uvw

=

uxvxwx000

.

A dimensão doKer(Dr) = 3, poisKer(Dr) = (u, v, w) ∈ Er : u, v e w são constantes ≡ C×C×Ce como a imagem de Dr é L2(Jr) × L2(Jr) × L2(Jr) × 0 × 0 × 0 ⊂ Fr e tem codimensão 3,segue que Dr é operador de Fredholm com índice 0.

Agora, considere o operador T s0,r −Dr : Er → Fr, isto é,

(T s0,r −Dr)

uvw

=

0 −1 0f ′(φr)− s −λr −1

− ε

λr0

εγ + s

λr0 0 00 0 00 0 0

u

vw

+

000

u(x−)u(x+)w(x−)

.

Como T s0,r −Dr é um operador limitado de L2(Jr,C)×L2(Jr,C)×L2(Jr,C) em Fr, logo T s0,r −Dr

é um operador compacto de Er em Fr. Pelo Teorema 5.1.2, T s0,r é um operador de Fredholm deíndice 0.

Como T sr = T s0,r + Πr e Πr é um operador compacto então T sr é um operador de Fredholm deíndice 0.

2o) T s∞ é Fredholm de índice 0. De fato, seja T s∞ = P s∞ +K∞ + Π∞, onde Π∞ foi denido em(5.3),

K∞

uvw

=

0[f ′(φ∞)− V (·)]u

0

e

P s∞

uvw

=

uxvxwx

+

0 −1 0V (·)− s −λ∞ −1

− ε

λ∞0

εγ + s

λ∞

u

vw

.

O termo V que aparece em P s∞ é denido por

V (x) =

f ′(0), se x ∈ (−∞, 0]

f ′(u2), se x ∈ (0,+∞).

Como f ′(φ∞(x)) − V (x) → 0 quando x → ±∞, concluímos que K∞ : E → F é um operadorcompacto. Como Π∞ também é um operador compacto, a ideia é mostrar que P s∞ é um operadorde Fredholm de índice 0, e usar o Teorema 5.1.2 para concluir a demonstração.

Para mostrar que o operador P s∞ é Fredholm de índice 0 precisamos que Ker(P s∞) = 0 eIm(P s∞) = L2(R,C3).

Podemos escrever P s∞ na forma

P s∞

uvw

=

uxvxwx

+M(x, s)

uvw

onde

M(x, s) = M−(s) =

0 −1 0f ′(0)− s −λ∞ −1

− ε

λ∞0

εγ + s

λ∞

, x < 0,

e

M(x, s) = M+(s) =

0 −1 0f ′(u2)− s −λ∞ −1

− ε

λ∞0

εγ + s

λ∞

, x > 0.

Seja (u, v, w) ∈ H1(R,C3) tal que

P s∞

uvw

=

000

. (5.7)

Se considerarmos x > 0, (5.7) é uma EDO linear com coecientes constantes e como (u, v, w) sãofunções limitadas, o comportamento de sua solução quando x→∞, é determinado pelos autovalorese os correspondentes autovetores da matriz M+(s). Analogamente, se considerarmos x < 0.

Mostramos no Lema 1.2.3 que, para ε > 0 sucientemente pequeno, existe δ > 0 tal que, seRe s > −δ, as matrizes M+(s) e M−(s) não tem autovalores no eixo imaginário e seus autovaloressatisfazem:

Re ρ±3 < Re ρ±2 < 0 < Re ρ±1 e seus respectivos autovetores são dados por(1,−ρ±i ,

ε

ρ±i λ∞ − s− εγ

).

Logo a solução (u(x), v(x), w(x)) de (5.7) satisfaz

u(x)v(x)w(x)

= C2eρ−2 x

1

−ρ−2

ε

ρ−2 λ∞ − s− εγ

+ C3eρ−3 x

1

−ρ−3

ε

ρ−3 λ∞ − s− εγ

, x > 0

e

u(x)v(x)w(x)

= C1eρ+1 x

1

−ρ+1

ε

ρ+1 λ∞ − s− εγ

, x < 0,

onde Ci ∈ C, i = 1, 2, 3, são constantes. Como (u, v, w) ∈ H1(R,C3), devemos ter

C2

1

−ρ−2

ε

ρ−2 λ∞ − s− εγ

+ C3

1

−ρ−3

ε

ρ−3 λ∞ − s− εγ

= C1

1

−ρ+1

ε

ρ+1 λ∞ − s− εγ

.

Das igualdades C2 + C3 = C1

−C2ρ−2 − C3ρ

−3 = −C1ρ

+1

(5.8)

temosC2(−ρ−2 + ρ+

1 ) = C3(ρ−3 − ρ+1 ). (5.9)

Simplicando a expressão

C2ε

ρ−2 λ∞ − s− εγ

+C3ε

ρ−3 λ∞ − s− εγ

=C1ε

ρ+1 λ∞ − s− εγ

e usando o fato de C2 + C3 = C1, obtemos

C2(ρ−3 λ∞ − s− εγ)(λ∞(−ρ−2 + ρ+

1 )) + C3(ρ−2 λ∞ − s− εγ)(λ∞(ρ+

1 − ρ−3 )) = 0.

Pela igualdade (5.9) concluímos

[C3λ∞(ρ+

1 − ρ−2 )][λ∞(ρ−3 − ρ

−2 )] = 0.

Como λ∞ 6= 0, ρ+1 6= ρ−2 e ρ−3 6= ρ−2 , temos que C3 = 0.

Das igualdades em (5.8) concluímos que C1 = C2 = 0 e, portanto, Ker(P s∞) = 0.Pelo Lema 1 pag 137 de Henry (1981) podemos concluir que Im(P s∞) = L2(R,C3).

Teorema 5.2.2 Existe R0 > 0 tal que, para todo r > r0, temos

σ(Lr) ∩ s ∈ C; |s| ≤ r0, Re s > −δ = s(r).

Além disso, s(r) < 0 é um autovalor simples de Lr e s(r)→ 0, quando r → +∞.

Demonstração. Seja s tal que Re s > −δ. Ker(T s∞) 6= 0 se, e somente se, s é um autovalor deL∞. Pela Proposição 4.2.2, σ(L∞) = σ(L∞0 ).

Podemos dividir a região z ∈ C;Re s > −δ em dois subconjuntos

C1 ≡ s ∈ C; |s| ≤ R0, Re s > −δ

eC2 ≡ s ∈ C; |s| > R0, Re s > −δ.

Na demonstração do Teorema 1.3.3, vimos que, se R0 > 0 é sucientemente grande, não existemautovalores de L∞0 em C2. No conjunto C1, o único autovalor de L∞0 é s = 0. Para aplicar o Teorema5.1.1 vamos considerar s no subconjunto limitado C1.

Pela Proposição 5.2.1 e os comentários acima, as hipóteses (i)−(iv) são satisfeitas. Vamos então,calcular o subespaço W (s0), onde s0 = 0:

e0 deve ser um vetor tal que T 0∞e0 = 0. Como (φ′∞, ψ

′∞) é autofunção de L∞ associada ao

autovetor s = 0, vamos tomar e0 = (φ′∞, φ′′∞, ψ

′∞) ;

Para calcular e1, precisamos resolver T 0∞e1 = R∞e0, isto é,

uxvxwx

+

0 −1 0f ′(φ∞) −λ∞ −1

− ε

λ∞0

εγ

λ∞

u

vw

+

0φ′∞Π∞(u,w)−ψ′∞λ∞

Π∞(u,w)

=

0

φ′∞

−ψ′∞λ∞

,

ou seja,

ux − v = 0

vx + f ′(φ∞)u− λ∞v − w + φ′∞Π∞(u,w) = φ′∞

wx −ε

λ∞(u− γw)− ψ′∞

λ∞Π∞(u,w) =

−ψ′∞λ∞

.

O problema acima é equivalente a uxx − λ∞ux + f ′(φ∞)u− w

−λ∞wx − ε(u− γw)

= (1−Π∞(u,w))

(φ′∞ψ′∞

), (5.10)

ou seja, L∞0

(uw

)∈ [(φ′∞, ψ

′∞)]. Como (φ′∞, ψ

′∞) é uma autofunção de L∞0 associada ao autovalor

simples 0, (5.10) não tem solução, e portanto

W (0) = span

(φ′∞ψ′∞

)e dim(W (0)) = 1.

Aplicando o Teorema 5.1.1 obtemos:(i) Todos os valores s(r) ∈ C1 tais que Ker(T s(r)r ) 6= 0 satisfazem: s(r)→ 0, quando r →∞.(ii) Existe δ > 0 pequeno tal que, para r sucientemente grande, tem-se dim(Wr(0, δ)) = 1.

Armação: s(r) é um número real:

Se s(r) for um número complexo, então seu complexo conjugado s(r) deve satisfazerKer (Ts(r)r ) 6=

0.Como T s(r)r (u, v, w) = (0, 0, 0) e a parte imaginária de s(r) 6= 0 então a parte imaginária de

(u, v, w) 6= (0, 0, 0). Além disso, como todos os coecientes de T s(r) são reais (exceto para s(r)),

teríamos T s(r)r (u, v, w) = (0, 0, 0) e, portanto, teríamos pelo menos dois números, s(r) e s(r) noconjunto

s : Re s > −δ, Ker(T sr ) 6= 0.

De (i) teríamos s(r) e s(r) aproximando de 0 e portanto dim(Wr(0, δ)) ≥ 2 o que contradiz (ii).Isto nos mostra que s(r) ∈ R e é um autovalor de Lr,e pela Proposição 4.2.1, s(r) < 0.

Capítulo 6

Resultados Numéricos

Neste capítulo apresentamos alguns resultados numéricos para ilustrar o resultado principal doCapítulo 2.

6.1 Denição da equação não local

Tomando os parâmetros: ε = 0.01 , α = 0.25, γ = 20 e a função f(u) = u(u − 0.25)(1 − u),calculamos os valores u2 e F (u2) cujas expressões são dadas por:

u2 =1 + α

2+

√(1− α)2 − 4

γ

2e F (u2) =

∫ u2

0f(s)ds,

ou seja,u2 = 0.9260 e F (u2) = 0.039842.

Com isso, temos a equação não local na forma

ut = uxx − λux + u(u− 0.25)(1− u)− wwt = −λwx + 0.01(u− 20w)

onde

λ =0.039842− 〈w, ux〉

〈ux, ux〉.

Consideramos ainda, as condições iniciais

u(x, 0) =x+ a

2ae w(x, 0) =

x+ a

40apara − a ≤ x ≤ a,

e as condições de contorno

u(−a, t) = 0, u(a, t) = 0.9260, w(−a, t) = 0 e w(a, t) = 0.0463 para t > 0.

6.2 Resultados numéricos

Para o sistema de FitzHugh-Nagumo, com o termo não liner da forma f(u) = u(u− α)(1− u),

Gao e Wang (2004) mostrou que, para qualquer ε > 0, se γ >9

(1− 2a)(2− s)então a solução

heteroclínica da equação u′(ξ) = v(ξ)v′(ξ) = cv(ξ)− f(u(ξ)) + w(ξ)

w′(ξ) =ε

c(u(ξ)− γw(ξ)),

73

74 RESULTADOS NUMÉRICOS

satisfazendo

(u(−∞), v(−∞), w(−∞)) = (0, 0, 0) e (u(+∞), v(+∞), w(+∞)) = (u2, 0,1

γu2)

tem velocidade de propagação c∗ ∈ [c, c), onde

c =√

2(u2

2− u1

)e c =

√2

(1

2− a).

Com os parâmetros descritos na primeira seção deste capítulo, c ' 0, 19 e c ' 0, 35. Logo, λ(t)deve convergir para um valor dentro do intervalo [0, 19, 0, 35).

De fato, usando solver ode15s do MATLAB, reformulamos o problema na forma

ut = uxx − λux + u(u− 0.25)(1− u)− w,wt = −λwx + 0.01(u− 20w),

λ〈ux, ux〉 − 0.039842 + 〈w, ux〉 = 0,

u(x, 0) =x+ a

2ae w(x, 0) =

x+ a

40apara − a ≤ x ≤ a,

u(−a, t) = 0, u(a, t) = 0.9260, w(−a, t) = 0 w(a, t) = 0.0463 para t > 0,

(6.1)

e tomando a = 40, obtemos a velocidade de propagação

Figura 6.1: Velocidade de propagação λ

Da mesma forma, vemos que as soluções u e w convergem para o perl de onda viajante

RESULTADOS NUMÉRICOS 75

Figura 6.2: Solução u(x, t)

Figura 6.3: Solução w(x, t)

76 RESULTADOS NUMÉRICOS

Referências Bibliográcas

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