April 05 Prof. Ismael H. F. Santos - [email protected] 1 Computação Gráfica Módulo I –...

April 05 Prof. Ismael H. F. Santos - [email protected] 1

Computação GráficaMódulo I – Imagem

UniverCidade - Prof. Ismael H F Santos


Considerações Gerais

Objetivo:Objetivo: Discutir os principais conceitos eos princípios básicos dos Sistemas Gráficos e a Programação em OpenGL.

A quem se destina :A quem se destina : Alunos e Profissionais que desejem aprofundar seus conhecimentos sobre Computação Grafica e suas aplicações.


Computação Gráfica Volume 1. Jonas Gomes e Luiz Velho. Instituto de Matemática Pura e Aplicada – IMPA.

Introdução a Computação Gráfica - Paulo Roma http://www.lcg.ufrj.br/compgraf1/downloads/apostila.pdfhttp://www.lcg.ufrj.br/compgraf1/downloads/apostila.ps.gz

Notas do Curso ministrado na Universidade de Maryland pelo Prof. David Mount

ftp://ftp.cs.umd.edu/pub/faculty/mount/427/427lects.ps.gzhttp://www.lcg.ufrj.br/~esperanc/CG/427lects.ps.gz

Apostila Fundamentos da Imagem Digital – Antonio Scuri Computer Graphics: Principles and Practice, Second Edition. James

Foley, Andries van Dam, Steven Feiner, John Hughes. Addison-Wesley.

OpenGL Programming Guide, 2nd Edition. Mason Woo, Jackie Neider, Tom Davis. Addison Wesley.

Bibliografia

http://www.lcg.ufrj.br/compgraf1/downloads/apostila.pdf

http://www.lcg.ufrj.br/compgraf1/downloads/apostila.ps.gz



ftp://ftp.cs.umd.edu/pub/faculty/mount/427/427lects.ps.gz




http://www.lcg.ufrj.br/~esperanc/CG/427lects.ps.gz




Bibliografia OpenGL

OpenGL® Programming Guide, 2nd Edition. Mason Woo, Jackie Neider, Tom Davis. Addison Wesley. http://www.lcg.ufrj.br/redbook

Manual de referência online http://www.lcg.ufrj.br/opengl

Sítio oficial do OpenGL www.opengl.org

http://www.lcg.ufrj.br/redbook

http://www.lcg.ufrj.br/opengl

http://www.opengl.org/


Paradigma dos 4 Universos

UniversoFísico

Universo deRepresentação

Universo deImplementação

UniversoMatemático

Exemplo:VOZ HUMANA

879987987898

8 9 8 7 8 9 7 8 9 9 7 8

Discretização(Amostragem)

Representação(Vetor)


Paradigma dos 4 Universos

UniversoFísico

Universo deRepresentação

Universo deImplementação

UniversoMatemático

Imagens no Universo Físico

Amostragem e Quantização

Codificação e Formatos

Funçõesno Espaço de Cor

Cores no Universo Físico

Representação de Cor

Especificação de Cor

Modelos Matemáticos de Cor (Espaço)

COR IMAGEM


Imagens como Funções• Uma linha de uma imagem PB: Domínio 1D

• Uma imagem Colorida: Domínio 3D (?)

• Uma imagem PB: Domínio 2D


Imagem - Modelo Matemático: Função

u

v

L

L(u,v)

Função

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Nív

eis

de c

inza

Posição ao longo da linha x

C 2,0,0: hwL

Lvu


Imagem colorida

R

G

Bu

v


Imagem coloridas como 3 canais de cor

canal vermelho

canal verde

canal azul


Imagem Digital

Amostragem, quantização e codificação


Imagem Digital: Histogramas

Uma outra maneira de ver a informação da imagem: probabilidade deocorrência de um determinado valor, uso do intervalo [0,255], contraste,...


Histogramas de Imagem Colorida


Propriedades básicas de uma Imagem Digital


Amostragem, quantização e codificação de f(x)

x

f(x)

amostra

partição do eixo x


codificação = (3, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 2)

Amostragem, quantização e codificação de f(x)

0

1

2

3

4

5

6

x

f(x)

amostraquantizada


Digitalização de ImagensDiscretização espacial (amostragem) - Resolução (X x Y pixels)


Resolução geométrica Interpolação e Filtragem

Resolução de Vídeos


Processos básicos

Imagem de tons contínuos

64x54

Imagem amostrada

amostragem

64x54 - 16 cores

Imagem amostrada equantizada

quantização55 55 55 55 55 55 5555 20 22 23 45 55 5555 55 10 09 11 55 5555 55 43 42 70 55 5555 55 28 76 22 55 5555 55 55 55 55 55 55

codificação8*55, 1*20, 1*22, 1*23, ….

Imagem amostrada, quantizada e codificada


(a) aumento de resolução

Problemas associados a re-amostragem de um sinal digital f(x)

x

f(x)

função reconstruídapelo vizinho mais próximo

função reconstruídapor interpolação linear

0

1

2

3

4

5

6 função original


Re-amostragem de f(x)

x

f(x)

função reconstruídapelo vizinho mais próximo

função reconstruídapor interpolação linear

função original

(b) redução de resolução0

1

2

3

4

5

6


Freqüência de Amostragem

x

f(x)

x

f(x)


Quantização• Discretização no espaço de cores (redução das cores usadas)

• Critérios para escolha das cores (exemplos em 256 cores):

• Quantização Uniforme (256 cores) • Algoritmo de Populosidade (16 cores)

• Quantização por Aglumeração (16 cores) Imagem Original (24 bits)


Digitalização de Imagens

amostragem15 15 15 15 15 15 15

15 10 12 13 5 15 15

15 15 10 09 11 15 15

15 15 13 12 10 15 15

15 15 08 06 12 15 15

15 15 15 15 15 15 15

quantização

315x260 – 256 cores

64x53 - 16 corescodificação

64x53 – 256 cores


Codificação e armazenamento de Imagens

compressão e formatos de arquivos


Codificação

• Imagem no Universo de Codificação:• Palette de cores• RGBRGB• RRGGBB• Compressão• formato PPM• formato BMP

Obs: Imagens em formato raster (não vetorias)


Palette de Cores

206206206

313665

132148198

222231247

198214231

165193214

159173179

116124124

105109105

17588

454388

16371198

14399202

125123132

149148180

00255

BlueGreenRed

• Geralmente com 256, 16 ou 4 cores

15 15 15 15 15 15 15

15 10 12 13 5 15 15

15 15 10 09 11 15 15

15 15 13 12 10 15 15

15 15 08 06 12 15 15

15 15 15 15 15 15 15

Palette

Os pixels da imagem fazem referência aos índices da Palette


RRGGBB

Verm.

Verde

Azul

Pixe

l 2

Plano de Cores

00 01 02 060503 04

07 08 09 . . .

Pixe

l 0

Pixe

l 5

Pixe

l 4

Pixe

l 3

Pixe

l 1

06

06

Organização dos pixels de uma imagem por planos de cores

Banc

os

(Jav

a)

Informação é uma componente da cor


RRGGBB

• Declaração em C das matrizes R, G e B de uma imagem colorida com resolução 200x300?

• Qual o tipo a ser usado?• int, float, char, double ou void ?• short ou long ?• unsigned ?

unsigned char R[60000], G[60000], B[60000];

• Atenção! Normalmente são ponteiros cujo espaço são alocados dinamicamente (malloc).


RGBRGB

00 01 02 0807060503 04 1009 110 1 2

...

1312 14w-1

15 16 17 18 ...

x

y Pixel (x,y) de uma imagem WxH – formato PPMunsigned char *rgb_vector;

offset=3*(w*y+x);red = rgb_vector[offset];green = rgb_vector[offset+1];blue = rgb_vector[offset+2];

012

h-1

3

...


Compressão de imagens

Compressão deImagens

Sem Perda Com Perda

Preserva exatamente o conteúdo da imagem

Taxas de compressão 3 : 1

Preserva de forma controlada o nível de qualidade da imagem

Taxas de compressão que chegam a valores de mais de 100 : 1


Métodos de compressãoSem perdas

Run length encoding (RLE) - repetiçãoHuffman coding - histogramaPredictive coding - diferençasBlock coding (LZW) - dicionário

Com perdasTruncation coding - reduz a representaçãoPredictive coding - descarta diferenças altasBlock coding - dicionário aproximado Transform coding - descarta frequencias altas


Processo de compressão e descompressão

Dados da Imagem Original

32, 45, 57, 68, 23, 100,98, ...

32, 45, 57, 68, 23, 100,98, ...

Imagem Comprimida

32, 45, 57, 68, 23, 100,98, ...

Dados da Imagem Original

Compressãoda imagem

Imagem Comprimida

32, 45, 57, 68, 23, 100,98, ...

Transporte e/ouArmazenamento

Descompressãoda imagem


Fundamentos da Compressão de Imagens

codificação

entre pixels

psico-visual

A compressão de uma imagem é obtida quando se elimina a redundância de:


Redundância entre pixels

640 colunas x 480 linhas x 1 byte/pixel = 300 KBytes

480*(1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0) = ~18 Kbytes

onde 1 = 32 bytes de preto e 0 = 32 bytes de branco


Compressão - RLEObjetivo

Reduzir a quantidade de dados redundantes.

Exemplo AAAAAAxxx 6A3x

CaracterísiticasSimples e rápido, porém a eficiência depende da imagem a ser comprimida.


Run-Length Encoding

76 76 76 76 76 78 79 79 79 79 80 80

76 | 5 78 | 1 79 | 4 80 | 2

imagem binária

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

7 4

1. . .

5


Codificação uniforme

Uniforme

tons # pixels código tam. # bits

0 1900 000 3 5700

1/7 2500 001 3 7500

2/7 2100 010 3 6300

3/7 1600 011 3 4800

4/7 800 100 3 2400

5/7 600 101 3 1800

6/7 300 110 3 900

1 200 111 3 600

TOTAL 30000

Podemos melhorar?


Codificação de Huffman

Tabela de Codificações de uma imagem 100×100 com oito tons de cinza.

A codificação de Huffman é feita com base numa árvore binária na qual as folhas são ostons e, o código, o caminho para se chegar da raiz até elas, como ilustra a figura a seguir para o exemplo da Tabela acima.


Codificação de Huffman Árvore de Huffman.

A idéia básica para construir esta árvore consiste em colocar os tons mais freqüentes pertoda raiz e os tons menos freqüentes mais distantes. O algoritmo de construção da árvore deHuffman para isto pode ser descrito da seguinte maneira:

Comece criando uma tabela dos tons e do número de vezes que eles aparecem na imagem (colunas 1 e 2 da Tabela ).

• Repita até que a tabela não tenha mais nenhuma linha:

1. Ordene a tabela de forma decrescente segundo o número de vezes que os tons aparecem na imagem;

2. Combine as duas últimas linhas da tabela (tons menos freqüentes) em uma única linha, somando o número de ocorrências dos tons combinados;

3. Armazene cada combinação como sendo um nó de uma árvore binária cujos filhosvsão as linhas combinadas.

• Numere cada folha da árvore de acordo com o caminho para se chegar da folha até ele



s pa2 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6a6 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4a1 0.1 0.1 0.2 0.3a4 0.1 0.1 0.1a3 0.06 0.1a5 0.04

s probabilidadea2 0.4 1 0.4 1 0.4 1 0.4 1 0.6 0a6 0.3 00 0.3 00 0.3 00 0.3 00 0.4 1a1 0.1 011 0.1 011 0.2 010 0.3 01a4 0.1 0100 0.1 0100 0.1 011a3 0.06 01010 0.1 0101a5 0.04 01011


Redundância de Codificação

r p(r) Code 1 l(r) l(r)p(r) Code 2 l(r) l(r)p(r)0 0.19 000 3 0.57 11 2 0.38

1/7 0.25 001 3 0.75 01 2 0.502/7 0.21 010 3 0.63 10 2 0.423/7 0.16 011 3 0.48 001 3 0.484/7 0.08 100 3 0.24 0001 4 0.325/7 0.06 101 3 0.18 00001 5 0.306/7 0.03 110 3 0.09 000001 6 0.18

1 0.02 111 3 0.06 000000 6 0.121.00 Lavg= 3.00 2.70

rk = tons de cinza em uma imagem, k=0, 1, ...,

p(rk) = nk / n

onde nk = número de pixels com tom rk

n = número de pixels da imagem

Lavg=

kk

kavg rprlL

1

0

111001

001

0001

00001

000001000000


Resultado da Teoria da Informação

bitsdenúmerorp

rlk

kopt

1log2

r p(r) Code 1 l(r) l(r)p(r) Code 2 l(r) l(r)p(r) log(1/p) log(1/p)*p0 0.19 000 3 0.57 11 2 0.38 2.4 0.461/7 0.25 001 3 0.75 01 2 0.50 2.0 0.502/7 0.21 010 3 0.63 10 2 0.42 2.3 0.473/7 0.16 011 3 0.48 001 3 0.48 2.6 0.424/7 0.08 100 3 0.24 0001 4 0.32 3.6 0.295/7 0.06 101 3 0.18 00001 5 0.30 4.1 0.246/7 0.03 110 3 0.09 000001 6 0.18 5.1 0.151 0.02 111 3 0.06 000000 6 0.12 5.6 0.11

=1.00 Lavg = 3.00 2.70 Lopt = 2.65Lavg =


Compressão do jpeg


Aplicações são tecnologicamente complexas - exemplo: algoritmo do JPEG

FDCT

SourceImage

Quantizer EntropyEncoder

TableTable

Compressedimage data

DCT-based encoding

8x8 blocks

R

BG


Equations for JPEG DCT Forward DCT:

Inverse DCT:

.1, otherwise ;0yfor x, 2

1 where

16)12(cos

16)12(cos),(

41),(

7

0

7

0

yxyx

x yyx

CCCC

yjxijiSpixelCCyxDCT

.1, otherwise ;0,for 2

1, where

)12(cos16

)12(cos),(41),(

7

0

7

0

jiji

x yji

CCjiCC

iyjxjiDCTCCyxpixel


Visualization of Basis Functions

Increasing frequency

Incr

easi

ng fr

eque

ncy


Tipo Abstrato ImagemImage *imgCreate (int w, int h);void imgDestroy (Image *image);

int imgGetWidth(Image * image);int imgGetHeight(Image * image);float * imgGetRGBData(Image * image);

void imgSetPixel3fv(Image *image, int x, int y, float * color);void imgSetPixel3ubv(Image *image, int x, int y, unsigned char *color);void imgGetPixel3fv(Image *image, int x, int y, float *color);void imgGetPixel3ubv(Image *image, int x, int y, unsigned char *color);

Image * imgReadBMP(char *filename);int imgWriteBMP(char *filename, Image * image);

Image * imgCopy(Image * image);Image * imgGrey(Image * image);Image * imgResize(Image * img0, int w1, int h1);

/*- implementação do tipo Imagem */

struct image_imp

int width; /* largura (width) em pixels */

int height; /* altura (height) em pixels */

float *buf; /* buffer RGB */

;


Arquivos Targa RGBA

Cabeçalho Pixels (bgra,bgra, …,bgra)

/* escreve o cabecalho */ putc(byteZero,filePtr); /* no. de caracteres no campo de id da imagem */ putc(byteZero,filePtr); /* imagem nao tem palheta de cores */ putc(imageType,filePtr); /* = 2 -> imagem "true color" (RGBA) */ putuint(shortZero,filePtr);/* info sobre a tabela de cores (inexistente) */ putuint(shortZero,filePtr); /* idem */ putc(byteZero,filePtr); /* idem */ putuint(shortZero,filePtr); /* =0 origem em x */ putuint(shortZero,filePtr); /* =0 origem em y */ putuint(img->width,filePtr); /* largura da imagem em pixels */ putuint(img->height,filePtr); /* altura da imagem em pixels */ putc(bitDepth,filePtr); /* numero de bits de um pixel */ putc(byteZero, filePtr); /* origem canto inf esquedo sem entrelacamento */

unsigned char imageType=2 /* RGB(A) sem compressão */unsigned char bitDepth=32; /* 32 bits por pixel */unsigned char byteZero=0; /* usado para escrever um byte zero no arquivo */short int shortZero=0; /* usado para escrever um short int zero no arquivo */


Formato PPM• File_signature "P6". • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Width, w, (ASCII decimal characters). • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Height, h, (ASCII decimal characters). • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Max_color, max, (ASCII decimal characters). • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Pixels, (3*w*h bytes rgb components of pixels)• Comments from # to the end of line• lines 70 characters


Organização de pixels num arrayno formato PPM (o mais simples)

00 01 02 0807060503 04 1009 110 1 2

...

1312 14w-1

15 16 17 18 ...

x

y Pixel (x,y)unsigned char *rgb_vector;…offset=3*(w*y+x);red = rgb_vector[offset];green = rgb_vector[offset+1];blue = rgb_vector[offset+2];

012

h-1

3

...


Formato PPM

• File_signature "P6". • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Width, w, (ASCII decimal characters). • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Height, h, (ASCII decimal characters). • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Max_color, max, (ASCII decimal characters). • White_space (blanks, TABs, CRs, LFs). • Pixels, (3*w*h bytes rgb components of pixels)

• Comments from # to the end of line• lines 70 characters


Formato PPM

P6# Created by Paint Shop Pro358 539255=?:?A<AC>CE@EFAFGBGHCGHCGHB . . .

exemplo


Gravação em PPMint ppm_write(int w, int h, unsigned char *rgb, char *file_name) FILE *fp;

fp = fopen(file_name, "wb"); if (fp == NULL) return 0;

if (fprintf(fp, "P6\n%d %d\n255\n", w, h) <= 0) fclose(fp); return 0;

if (fwrite(rgb, 3*w*h, 1, fp) != 1) fclose(fp); return 0;

fclose(fp); return 1;


Leitura em PPMint ppm_read(int *p_w, int *p_h, unsigned char **p_rgb, char *file_name) FILE *fp; char line[80]; int rgb_size; int max;

fp = fopen(file_name, "rb"); if (fp == NULL) printf(”Error reading %s",file_name); return 0; fgets(line,80,fp); if(strcmp(line,"P6\n")) printf(”Wrong signature\n"); return 0;

while (fscanf( fp, " %d ", p_w ) != 1) fgets(line, 80, fp); while (fscanf( fp, " %d ", p_h ) != 1) fgets(line, 80, fp); while (fscanf( fp, " %d", &max ) != 1) fgets(line, 80, fp); fgetc(fp);

rgb_size=3*(*p_w)*(*p_h); (*p_rgb) = (unsigned char *) calloc(rgb_size, 1); if ((*p_rgb) != NULL) fread( (*p_rgb), rgb_size, 1, fp ); fclose(fp); return 1;


Programa Simplesvoid main(void) int w, h; // dimensões da imagem unsigned char *rgb; // bytes de rgb unsigned char r,g,b,grey; // componentes de cor int x,y; long int k;

if (ppm_read(&w,&h,&rgb,"test_in.ppm")==0) return; for (y = 0; y < h; y++) for (x = 0; x < w; x++) k = 3*(y*w+x); r = rgb[k]; g = rgb[k+1]; b = rgb[k+2]; grey = (unsigned char)(0.3*r+0.6*g+0.1*b); rgb[k] = grey; rgb[k+1] = grey; rgb[k+2] = grey; ppm_write(w, h, rgb, "test_out.ppm"); free(rgb);


Arquivo BMP

00 01 02 0807060503 04 1009 11

Pixel 0 Pixel 1 Pixel 2 Pixel 3

1312 14

Pixel 415

16 17 18 ...

colocado para garantir múltiplo de 4

Organização dos pixels de uma imagem RGB no arquivo BMP


Microsoft Windows Bitmap - BMPCaracterísticas Principais

Mono, 4-bit, 8-bit, 24-bitTipo de compressão: RLE / não comprimidoTamanho máximo: 64K x 64K pixelsSeções (versão 3):

HeaderInfo. Header

PaletteBitmap Data


BMP - Headertypedef struct _Win3xBitmapHeader

WORD Type; /* Image file type 4D42h (“BM”)*/DWORD FileSize; /* File size (bytes) */WORD Reserved1; /* Reserved (always 0) */WORD Reserved2; /* Reserved (always 0) */DWORD Offset; /* Offset to bitmap data in bytes */

WIN3XHEAD;


BMP - Information Headertypedef struct _Win3xBitmapInfoHeader

DWORD Size; /* Size of this Header (40) */DWORD Width; /* Image width (pixels) */DWORD Height; /* Image height (pixels) */WORD Planes; /* Number of Planes (always=1) */WORD BitCount; /* Bits per pixel (1/4/8 or 24)*/DWORD Compression; /* Compression (0/1/2) */DWORD SizeImage; /* Size of bitmap (bytes) */DWORD XPelsPerMeter; /* Horz. resol.(pixels/m) */DWORD YPelsPerMeter; /* Vert. resol.(pixels/m) */DWORD ClrUsed; /* Num of colors in the image */DWORD ClrImportant; /* Num of important colors */

WIN3XINFOHEADER;


BMP - Palettetypedef struct _Win3xPaletteRGBQUAD Palette[ ]; /* 2, 16, or 256 elem. */

WIN3XPALETTE;

typedef struct _Win3xRgbQuadBYTE Blue; /* 8-bit blue component */BYTE Green; /* 8-bit green component */BYTE Red; /* 8-bit red component */BYTE Reserved; /* Reserved (= 0) */

RGBQUAD;


BMP - Image DataNotas

Cada scan line em um arquivo BMP é sempre um múltiplo de 4.

Imagens com1-, 4-, e 8-bits usam uma palheta de cores.

Imagens com 24-bits guardam a cor diretamente, na ordem azul, verde e vermelho (RGBRGB).

O armazenamento da imagem é sempre feito a partir do canto esquerdo inferior.


Processamento de Imagens

Processamentos apenas no espaço das cores


Correção gamaAjustes de contraste e iluminação


Correção gama

LL


Probabilidade

0 1 x

DF(x)

x0 x1

1

0

)( 10

x

x

dxxDFxxxP x

dxxDFxxPxCDF0

)(0)(

)()( xCDFdxdxDF

Função de densidade de probabilidade

0 1 x

CDF(x)

1

x

Função de densidade acumulada de probabilidade


Mudança de variavel y = f (x)

)()( yCDFdydyDF

0 1 x

y=f(x)1

0 1 y

1)(1 yfx

)()( xCDFxf )(xDFdxdy

1)()()(

xDFxDFyDF

0 1 x

DF(y)1

Transformação monotônica e limitada ao intervalo [0,1]

dydxxCDF

dxd )(

dydxxDF )(


Equalização de Histograma

L

j

j

nn

LfL0

)('

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

nn j

L


Equalização do histograma


Tons de cinza e negativo

Lx,y = 0.299Rx,y + 0.587Gx,y + 0.114Bx,y

tons de cinza

Lx,y = 255 - Lx,y


Processamento de Imagens

Eliminação de ruídos e realce de arestas


Redução de ruídos Dada uma imagem I com um ruído n, reduza n o máximo

que puder (preferencialmente elimine n completamente) sem alterar significativamente I.

),(),(),(ˆ jinjiIjiI

n

sSNR

n

sdBSNR

10log10

100n

s

20 dB significam


Dois tipos básicos de ruídos

Ruído Gaussiano branco : processo estocástico de média zero, independente do tempo e dos espaço.

2

2

2

21)(

x

exG

0),( jin

),(~),( 00 jjiinjin é o mesmo processo estocástico que não varia no tempo.

),( jin é uma variável aleatória com a distribuição:


Dois tipos básicos de ruídos Ruído impulsivo: causado por erro de transmissão,

CCDs defeituosos, etc... Também chamado de pico e de sal e pimenta.

lxiiyi

lxjinsp )(

0),(

minmaxmin

1,0, yx são v.a. uniformemente distribuídas

imin, imax, e l são parâmetos de controle da quantidade de ruídos.


Exemplo de ruído Gaussiano (=5) e Impulsivo ( =0.99)


Imagem com ruído impulsivo

223 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 223

171 120 120 120 18 120 50 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 116 120 120 120 120 120 120 120 120 171

138 120 120 120 120 120 50 120 97 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 187 120 120 242

172 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 179 120 120 120 120 167 120 171

171 120 120 120 120 120 120 235 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 235 120 76 175 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 123 120 120 214 120 114

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 143 171

171 120 120 120 232 120 120 198 120 120 120 120 120 171

203 171 171 171 171 171 171 171 171 205 171 171 171 203

Uso da mediana

Iij = mediana Ωij


Sinal com ruído := ( )f3 x 10 ( )cos 2 x 6 ( )sin 10 x .8 ( )cos 40 x

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20


Filtragem Gaussiana – Suavização

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

w1+w2+w3 filtro w1+w2

42 11

iiii

fffh


Filtro

Um filtro é um operador que atenua ou realça uma determinada freqüência

Fácil de visualizar no domínio da freqüência onde:

)()()( GFH

)()( tfF

)()( Hth h(t) é o f(t) filtrado


Tipos de Filtros

F G

=

=

=

H

Passa baixa

Passa alta

Passa banda


Imagem filtrada com um filtro passa baixa


Imagem filtrada com um filtro passa alta


Filtragem no domínio espacial

Filtragem no domínio espacial é obtida pela convolution (e vice-versa).

)()()( GFH )()( xfF

)()( Hxh

)()( xgG

duuxgufgfxh )()()(

ou:

Na realidade é ao contrário: a TF é uma ferramenta para filtragem.


Mascara ou Filtro

42 11

iiii

fffh

1

0)(

n

kiiki fgh

1014/104/214/110

lselselselselse

gl

ou:


Discretização da Gaussiana 1D

0.1

0.2

0.3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

2

2

2

21)(

x

exG

12141

14641161

1615201561641


Discretização da Gaussiana 2D

2

22

2

21),(

yx

eyxG

121242121

161

1474141626164726412674162616414741

2731


Separabilidade do filtro gaussiano207 247 38 131 38

62 90 129 234 231

211 175 44 1 26

236 58 75 128 112

210 141 125 168 58

121242121

161

130 117 129

125 90 88

129 93 92

12141

12141

185 113 84

93 145 207

151 66 18

107 84 111

154 140 130

130 117 129

125 90 88

129 93 92


Transformada normalizada de Fourier

1

0

1

0

)//(2),(1),(w

x

h

y

hyswxrieyxfwh

srF

1

0

1

0

)//(2),(1),(w

r

h

s

hyswxriesrFwh

yxf


Transformada normalizada de Fourier: separação

)/(21

0

1

0

)/(2),(11),( wxriw

x

h

y

hysi eeyxfhw

srF

1

0

1

0

)//(2),(1),(w

x

h

y

hyswxrieyxfwh

srF

),( sxT


Transformada normalizada de Fourier: Matriz H

1

0

)/(21),(),(h

y

hysieh

yxfsxT

),( syHsy

hi

hysi eh

eh

syH

2)/(2 11),(


)1(0)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

hhhhh

h

h

ffff

ffffff

f

fHT

Transformada normalizada de Fourier: Matriz H


)1()1(21)1(20)1(2

)1(12112012

)1(02102002

1

hh

hih

hih

hi

h

hi

hi

hi

h

hi

hi

hi

eee

eee

eee

h

H

fHT


1

0

2

),(1),(w

x

rx

wi

sxTew

srF

),( xrWxr

wi

ew

xrW

21),(


)1()1(21)1(20)1(2

)1(12112012

)1(02102002

1

ww

hiw

hiw

hi

w

hi

hi

hi

w

hi

hi

hi

eee

eee

eee

w

H

WfHWTF


Problemas com a Transformada de Fourier

)(2121

21),(),( bkakiekkFbxaxf

),(),( 2121 kkFxxf

),(1),( 2121

kkFxxf

)cossin,sincos(

)cossin,sincos(

2121

2121

kkkkF

xxxxf


Transformada de Mellin

0

1)()( dxxxfsM s

deefdxxxfsM ss )()()(0

1

ex dedx

eefdeeefiM i )()()( 2

wis 2

))(())(( axfMxfM



0 0

1121

21),(),( dxdyyxyxfzzM zz

dedxex dedyey

))((),(

),(

)1()1(

21

21 dedeeeeef

zzM

zz



ddeeeefzzM zz 21),(),( 21

uiz 21 viz 22

ddeeeefvuM viui 22),(),(



1

0

1

0

22lnln ),(1),(

w

x

h

y

sh

irw

iyx eeeefwh

srM

ddeeeefvuM viui 22),(),(

xwu

1yh

v

1


)1()1(21)1(20)1(2

)1(12112012

)1(02102002

1

ww

hiw

hiw

hi

w

hi

hi

hi

w

hi

hi

hi

eee

eee

eee

w

H

WfHWTF



0 0

1121

21),(),( dxdyyxyxfzzM zz

dedxex dedyey

0 0

1212),(),( dxdyyxyxfsrM siri

riz 21 siz 22


xln

dedyey

0 0

1212),(),( dxdyyxyxfsrM siri

dedxex

0 0

1212),(),( dxdyeeeefsrM siri



Outros exemplos com o PaintShopProtm


Quantização de cores

Quantização de 24 para 8 bits


A qualidade depende da imagem


Corte mediano


Estudo de sinais digitais

Transformadas para o domínio da freqüencia Teorema de Nyquist e Alias


Harmônicos

t+

)cos( tA

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05A-A

T

)(1 HzT

f

revisão

)(22 radtT

ftt

A


Integrais de senos e cosenos em [-,]

cos(nx) sin(nx)

n = 1

n = 2

sin(nx)cos(nx)

revisão

Áreas se compensam.Integrais resultam em 0.


Integrais de senos e cosenos em [-,]

Funções ortogonais

revisão


Série de Fourier

)2sin2cos(2)(1

0 Tktb

Tktaatf k

kk

t

f(t)

0 T

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).


Exemplo: Série de harmônicos

-0,25

-0,05

0,15

0,35

0,55

0,75

0,95

1,15

-0,25

-0,05

0,15

0,35

0,55

0,75

0,95

1,15

-0, 25

-0, 05

0,15

0, 35

0, 55

0, 75

0, 95

1, 15


Série de Fourier: cálculo de a0

T

k

T

k

T

k

T

o dtT

ktbdtTnktadtadttf

01

000)2sin()2cos()(

00)(0 0 T

Tadttf T

dttfT

a00 )(1

)2sin2cos(2)(1

0 Tktb

Ttkaatf k

kk

t

f(t)

0 T


Série de Fourier: an e bn

T

dttfT

tn0

)()2cos(

T

n dtT

tntfT

a0

)2cos()(1

T

n dtT

tntfT

b0

)2sin()(1

...

)2sin2cos(2)(1

0 Tktb

Ttkaatf k

kk

t

f(t)

0 T

0)2cos()2cos(200

1

T

kn dt

Ttk

Ttna

nTa


Resumindo

)2sin2cos(2)(1

0 Tktb

Tktaatf k

kk

T

k kdtT

kttfT

a0

,...3,2,1,0)2cos()(1

T

k kdtT

kttfT

b0

,...3,2,1)2sin()(1

t

f(t)

0 T

Tk

k 2

T 2


Domínios

t

f(t)

0 T

T 2

w

ak

0

w

bk

0

tempo ou espaço

freqüencia


Coeficientes de funções pares e ímpares

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

cos cos sin sin

f-ímpar ak= 0

f-par bk= 0


Periodicidade da Série de Fourier

)()(2sin)(2cos2)(1

0 tfTtT

kbTtT

kaaTtfk

kk

t

f(t)

0 T

t

f(t)

0 T


Números complexos

x é a parte real y é a parte imaginária A é a magnitude é a fase

A

xeixo real

eixo imagnário

y

)sin(cos iAiyxz 1i

revisão


Operação básicas com complexos

)()( 2211 iyxiyx

))(( 2211 iyxiyx

))(( iyxiyx

22

11

iyxiyx

iayax )()( 2121 yyixx )( iyxa

)()( 21122121 yxyxiyyxx )()( 2112212

21 yxyxiyyixx 12 i

2222 )()( yxxyxyiyx

2222

2211

iyxiyxiyxiyx

221122

22

1 iyxiyxyx

sincos iei

revisão


Derivada de eit

titi eiedtd

tittitdtd cossinsincos

)cossin1( tti

i

i1

)cossin( ttii

C.Q.D.

2ii ii

1

revisão


Outras propriedades úteis

sincos iei

1ie

iei

2

i

-1 1

revisão


Outras propriedades úteis (2)

sincos iei sincos ie i

)(cos 21 ii ee

revisão

)(cos 21 titi eet

t

t

1-1

i

-i

o cosseno corresponde a média de dois harmônicos de freqüênciasw e -w



sincos iei sincos ie i

)()(sin 221 iiiiii eeee

revisão

i1

2ii ii

1

tt

1-1

i

-i

o seno também corresponde a dois harmônicos:w e -w



)sin(cos 111111 iAeAz i

)sin(cos 222222 iAeAz i

)(2121

21 ieAAzz

)(

2

1

2

1 21 ieAA

zz

revisão


Amplitude e fase de complexos

sinA

A-A

Dado um valor:iyxiAz )sin(cos

zzyxA 222

xy

tan

Amplitude

Fase

cosA

revisão


Série de Fourier com números complexos

10

2sin2cos2)(k

nk Tktb

Tktaatf

2cos

ii ee

iee ii

2sin

1

22

0)(k

Tkti

kT

kti

k eFeFFtf

nnkkkk ibaFibaFaF ,,00

k

Tkti

keFtf2

)(

kk FF

1

2222

0)(k

Tkti

Tkti

kTkti

Tkti

k eei

beeaatf

1

22

0)(k

Tkti

kk

Tkti

kk e

ibae

ibaatf

T

Tkti

k kdtetfT

F0

)2(,...3,2,1)(1

i1

2ii ii

1


Escrevendo em complexos

k

Tkti

kkk

k eFTktb

Tktaatf

2

10 )2sin2cos(2)(

T T

kk kdtTkttf

Tbdt

Tkttf

Ta

0 0,...3,2,1,0)2sin()(1,)2cos()(1

T

Tkti

k kdtetfT

F0

)2(,...3,2,1,0)(1

kkk ibaF

)2sin()2cos()2(

Tkti

Tkte T

kti


Serie de Fourier de Sinais Discretos


Sinal discreto

t0 1 2 3 4 5 6 N-1

rf

r

)(tf

tNT

ttrt

,,,,,,,, 1221 NNro ffffff


T

k dtTkttf

Ta

0)2cos()(1

01 2 3 4 5 N

)2cos()(Tkttf

tt

trtr

ttN

tkrftN

N

rk

1

0

2cos1

TtNT

1

0

)2cos(1 N

rrk N

rkfN

a

1

0

2sin1 N

rkk N

rkfN

b . . .


1

0

)2cos(1 N

rrk N

rkfN

a

1

0

2sin1 N

rkk N

rkfN

b

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

1

NNNNN

N

N

N f

ff

ccc

cccccc

Na

aa

)2cos(N

krckr

onde:

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

1

NNNNN

N

N

N f

ff

sss

ssssss

Nb

bb

)2sin(N

krskr

onde:


1

0

)2(1 N

s

Nksi

skkk efN

ibaF

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

1

NNNNN

N

N

N f

ff

EEE

EEEEEE

NF

FF

Nkri

kr eE2

onde:

1

0

)2(N

r

Nkri

rk eFf

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

'''

''''''

NNNNN

N

N

N F

FF

EEE

EEEEEE

f

ff

Nkri

kr eE2

'

onde:


1

0

)2(1 N

s

Nsri

sr efN

F

1

0

)2(N

r

Nrki

rk eFf

onde:

1

0

)2(1

0

)2(1

0

)2( 1N

r

NkriN

s

Nrsi

s

N

r

Nrki

rk eefN

eFf

1

0

1

0

)2()2(1

0

1

0

)2()2( 11 N

s

N

r

Nkri

Nrsi

s

N

r

N

s

Nkri

Nrsi

s eefN

eefN

1

0

1

0

)(21 N

s

N

r

Nskri

s efN

Qual o valor?

Inversa da inversa


rN

r

NskiN

r

Nskri

ee

1

0

)(21

0

)(2N

skiN eqqqq)(2

121

Se s=k

1

0

1

0

)(2

1111N

r

N

r

Nskri

Ne

Se s ≠ k é a soma de uma PG de N termos e razão q.11

q

qSomaN

Mas 1)(2)(2

ski

N

NskiN eeq

0111

q

Soma


1

0

)2(1 N

s

Nsri

sr efN

F

1

0

)2(N

r

Nrki

rk eFf

onde:

1

0

)2(1

0

)2(1

0

)2( 1N

r

NkriN

s

Nrsi

s

N

r

Nrki

rk eefN

eFf

1

0

1

0

)2()2(1

0

1

0

)2()2( 11 N

s

N

r

Nkri

Nrsi

s

N

r

N

s

Nkri

Nrsi

s eefN

eefN

1

0

1

0

)(21 N

s

N

r

Nskri

s efN

Qual o valor?kk fNf

N

1

C.Q.D.


real

imaginário

ie1

Nki

Nke N

ki 2sin2cos)2(

N=3 N=4 N=5 N=6

?1

0

)2(

N

k

Nki

e


Transformada Discreta

)102sin()( ttf

256N

sec005.01

aft

sec28.1256005.0 T

T - não é o período do sinal!

Hzfa 200

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

afNtNT

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

)102sin(NsTf s


Transformada Discreta de Fourier

1

0

)2(1 N

s

Nksi

sk efN

F

/sec0.78131

Tf

/sec91.42 radT

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

ampl

10.15625, 0.46776

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 20 40 60 80 100

)102sin(NsTf s

1k

todas as feqüências computadas são multiplas destas


Outro exemplo

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

:= ( )f3 t 10 ( )cos 2 t 6 ( )sin 10 t .8 ( )cos 40 t


Transformada fk

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

ampl

0.78

, 4.5

24.

69, 2

.41

20.3

1, 0

.35

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120

1

0

)2(1 N

s

Nski

sk efN

F

1

0

)2(N

r

Nrki

rk eFf


Eixo de freqüência


Tutorial com o Excel

http://www.me.psu.edu/me82/Learning/FFT/FFT.html

http://www.me.psu.edu/me82/Learning/FFT/FFT.html


Discrete Cosine Transformation (DCT)

0201

)(kk

k

1

0 2)12(cos)( N

ssk N

ksfNkC

1

0 2)12(cos)(N

krs N

ksCNkf


-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Nks

2)12(cos

)()cos( 2 sen o cosseno pode substituir o seno


Transformada de Fourier

dwewFxf wxi 2)()(

dxexfwF wxi 2)()(


Exemplo 1: Função caixa (box)f(x)

x

]2,202[20

)( bbxsebxseabxse

xf

a

dxexfwF wxi 2)()(

2/2/

2

2b

bwxie

wia

2/

2/

2b

b

wxi dxea

wbiwbi eewi

a

2

iee

wa wbiwbi

2

)sin( wb

wa

b

wbwbabwF

)sin()(


Transformada da função box

bwbwabwF

)sin()(

F(w)

0 1/b 2/b 3/b-1/b-2/b-3/b

ab

w

sinc(bw)

wbwbabwF

)sin()(

f(x)

x

a

b


Distribuição normal: Gaussiana

2

2

22

1)(

x

exGaus

:= ( )gaus x e( ) x2


Exemplo 2: Gaussiana

-0, 02

0,03

0,08

0,13

0,18

-0, 02

0,03

0,08

0,13

0,18

2

2

2

21)(

x

exf

2

2

12)(

w

ewF

f(x)

x

|| F(w) ||

w

1


Transformada da Gaussiana

dxeewF wxix

22 2

2

21)(

dxwxiwxex

)2sin()2cos(2

1 2

2

2

dxwxex

)2cos(2

2

22

1

222 xe

21

212 2

2

2

w

e


Exemplo 3: Delta de Dirac f(x)

xb/2-b/2

1/b ]2,20

2[/120

lim)(0

bbxse

bxsebbxse

xb

2

,2

),(2/2/lim)(1lim)()(0

2/

2/0

bbfb

bbdxxfb

dxxxfb

b

bb

)0()()( fdxxxf


Delta de Dirac de Gaussianas

22

31

9

x

e

22

21

4

x

e

22

11

1

x

e

2

2

20

1lim)(

x

ex


Transformada do Delta de Dirac

f(x)

x

1)()( 02

edxexwF wxi (x)

|| F(w) ||

w

1


Transformada do cosseno

dxexwwF wxi 2cos()(

dxwxiwxxw )2sin()2cos()cos(

2

20

)2cos()cos( wwse

wwsedxwxxw

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5)cos( tw

x


Exemplo 4: Cosseno

)

2()

2(

21)(

wwwwwF

|| F(w) ||

ww w

)( ww )( ww

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5)cos( tw

x


Exemplo 5: Sequência de impulsos

w

f(x)

x1b 2b3b-1b-2b

|| F(w) ||

1/b 2/b2/b-1/b-2/b

f(x)

x1b 2b 3b-1b-2b

|| F(w) ||

w1/b2/b2/b-1/b-2/b


Pares importantes


Propriedades da transformada

convolução


Convolução

t

t

dtxfxtgxh )()()(

1

0)(

n

kiiki fgh

duuxgufgfxh )()()(


Ilustação da convolução

t

t

dtxfxtgxh )()()(


Ilustração da convolução

t

t

dtxfxtgxh )()()(


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2sin(28t), SR = 8.5 Hz

An undersampled signal

http://lcni.uoregon.edu/fft/fft.ppt


Amostragem e Reconstrução

Observando os domínio do espaço e das freqüências


Sinal original

domínio do espaço domínio das freqüências


Amostragemdomínio do espaço domínio das freqüências

produto convolução


Sinal discretizado



Reconstruçãodomínio do espaço domínio das freqüências

convolução produto


Retorno ao sinal original



Sinal original com mais altas freqüências



Mesma taxa de amostragemdomínio do espaço domínio das freqüências

produto convolução


Sinal amostrado


Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!


Teorema de Nyquist

Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist.

Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.


Aliasing Esta mistura de espectros é chamada de aliasing. Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing.

Passar um filtro passa-baixa no sinal.

Aumentar a freqüência de amostragem.


Alias

Texture errors

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