Arlúcio da Cruz Viana

Apresentação e Propriedades do Rn

Vitória da Conquista - BA, Brasil

Maio de 2007

Arlúcio da Cruz Viana

Apresentação e Propriedades do Rn

Monogra�a apresentada para obtenção doGrau de Licenciado em Matemática pelaUniversidade Estadual do Sudoeste daBahia.

Orientador:Antônio Augusto Oliveira Lima

Departamento de Ciências ExatasUniversidade Estadual do Sudoeste da Bahia

Vitória da Conquista - BA, Brasil

Maio de 2007

Resumo

O presente trabalho visa, primeiramente, observar a aplicação de conteúdos da AnáliseMatemática e Álgebra Linear em um conjunto que será de�nido e aplicado utilizandoexemplos e algumas de�nições básicas da álgebra no primeiro capítulo da Parte I entitu-lada "Um subespaço de R", fazendo algumas observações notáveis. Aprofundando-se umpouco mais no segundo capítulo, destacando as propriedades de completude dos corposou espaços, constantemente recorrendo à conceitos da Análise e conteúdos de EspaçosMétricos, principalmente, não esquecendo da Álgebra Linear. Já a segunda parte se tratade apêndices, os quais, o segundo se trata de uma discussão sobre o vértice de umafunção quadrática, a qual pode ser aplicada em um dos exemplos do primeiro capítulo.Já o apêndice A, trata-se de um método numérico para encontrar zeros de uma funçãocontínua, explorando assim, a Análise Numérica.

Abstract

The present work seeks, �rstly, observes the application of contents of the Mathema-tical Analysis and Lineal Algebra in a set that will be de�ned and applied using examplesand some basic de�nitions of the algebra in the �rst chapter of the Part I with a title"A subspace of R", making some notable observations. Being deepened a more littlein the second chapter, detaching the the complete �elds or spaces properties, frequentlyrunnig to Analisys concepts and Metrics Spaces contents, mainly, not forgetting about theLineal Algebra. Already the second part treats of appendixes, the second which, it istreated of a discussion on the vertex of a quadratic function, which can be applied inone of the examples of the �rst chapter. Already in the appendix A treates of a numericmethod to �nd zeros of a continuous function, thus exploring, the Numeric Analysis.

Dedicatória

Dedico tal trabalho a todos que estiveram em participação ou contribuição do mesmo,mesmo que em termos não concernentes ao objetivo do trabalho, a saber, familiares,colegas, professores e amigos. Mas, principalmente à minha família, meu pais.

�O poder dos números revela a perfeição da natureza, a qual re�ete a majestade deDeus.�

Arlúcio Viana

Agradecimentos

Por mera justiça, é imprescindível expressar os agradecimentos a todos aqueles queestiveram e estão ligados direta ou indiretamente com o trabalho e esforço despendidosdurante todo este tempo, tanto durante o curso, quanto no importante estágio de estru-turação deste trabalho; a saber: DEUS, o nosso capacitador e auxiliador em todos osmomentos. Não como tradição ou formalidade de alguém que professa uma fé, mas emsinceridade devo agradecer primeiramente a DEUS, especialmente pela condução de todaa minha vida, particularmente por este momento de vitória na área da matemática. Atéporque a abstração da eternidade, promessa divina para os que o amam, contém abso-lutamente a abstração da matemática que conduz todas as ciências, uma vez que taisabastrações se mostram concomitantemente na natureza.

A meus pais, principalmente por con�arem nas minhas decisões em relação aos meusobjetivos, que com todo amor me apoiaram, amor maior que qualquer outro amor terreno.Pois com o ensinamento que deles recebi e a graça de DEUS, em meio ao vale rodeadode altas montanhas, avistei uma planície verdejante e uma nascente nesse lugar, por issocaminho nessa direção.

Aos meus colegas que estiveram a todo o tempo comigo em permutação de auxíliosem diferentes aspectos do convívio acadêmico,que sobretudo foram amigos, destacando asAdrianas e Adriza. Aos professores que me deram atenção quando procurados por mimpara esclarecer certas dúvidas mesmo que no momento não estivessem sendo meus profes-sores de alguma disciplina presentemente cursada, mestres e doutores que me atenderamsempre que precisei, ressaltando Flaulles Boone Bergamaschi, Antonio Augusto OliveiraLima, Maria Aparecida Roseane Ramos (Cida) e Benedito Melo Acióly. Ao orientadorAntonio Augusto Oliveira Lima que me deu apoio e com paciência me instruiu até oobjetivo �nal do trabalho, corrigindo, opinando, tal como me deixando conduzir o meuobjetivo. En�m, que a graça de DEUS seja com todos nós.

Sumário

Lista de Figuras

Introdução p. 9

I Um subespaço de R 10

1 O Rn p. 11

1.1 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

1.2 Exemplos e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

1.3 Rn como subcorpo e subespaço de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13

1.4 Algumas Observações Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

1.5 O Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

1.5.1 A Relação Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

1.5.2 Um Exemplo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

1.5.3 Aplicando ao Exemplo 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

1.5.4 A função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

2 A Completude de Rn p. 20

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.2 De�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.3 Veri�cando Algumas Propriedades de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

2.3.1 O Corpo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

2.3.2 A Métrica Usual da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

2.3.3 O Corpo Ordenado Completo e Espaço Métrico Completo . . . p. 23

2.3.4 Espaços de Banach e Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

2.3.4.1 Espaço de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

2.3.4.2 Espaço de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

2.3.4.3 Uma Norma para Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

II Apêndices 30

Apêndice A -- Um Método Numérico Alternativo p. 31

A.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

A.2 A Apresentação e Aplicação do Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

A.3 Alguns Detalhes Importantes Para Mostrarmos a Convergência . . . . . p. 37

A.4 A Convergência da Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

Apêndice B -- Uma Outra Fórmula para Yv da Função Quadrática p. 40

B.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

B.2 A Função De�nida Pelo Polinômio de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . p. 40

B.3 Dedução da fórmula para yv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

B.4 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

B.4.1 Dedução para Raízes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

B.4.2 Aplicação no Exemplo Anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

B.4.3 O Caso de Raíz Única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

B.4.4 Aplicação com Raízes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

B.5 Mais Aplicações Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

B.6 Motivação Filosó�ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

Referências p. 50

Lista de Figuras

1 f(x) = x2, para f : R2 → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

2 f(x) = x2, para f : R→ R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

3 f(x) = 2x, para f : R→ R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

4 f(x) = x3 + x− cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

5 A secante e a sua perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

6 Seguindo o processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

7 Terceira Iteração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

8 Quarta Iteração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

9 Quinta Iteração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36

10 Aproximação da Sexta iteração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

11 y = x2 + 2x− 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

12 Parábolas com mesmo coe�ciente dominante e Família de Parábolas . . p. 45

13 Parábolas Co-simétricas Co-radiproporcionais . . . . . . . . . . . . . . p. 46

14 Parábolas Co-simétricas Co-radiproporcionais com Raízes Complexas . p. 47

15 Parábolas Fixas numa Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

16 Parábolas Fixas numa Reta Inclinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

9

Introdução

Neste capítulo iremos apresentar um subespaço do espaço Euclidiano de dimensãoigual a 1, com a seguinte motivação. Sabemos que o anel dos inteiros Z tem algunssubconjuntos �nitos com propriedades notáveis que são o conjunto dos inteiros modn,representados por Zn. Como seria uma classe de equivalência dos números reais análogaaos conjuntos Zn?

�Não digo que o horizonte não está tão perto, também que não está longe, nemtampouco em regiões intermediárias; apenas vejo que está em minha frente, contudo não

sei se existe, por isso não posso dizer: logo alcançarei ou nunca chegarei, mas sim: operseguirei até o meu �m ou o seu �m.�

Arlúcio Viana

10

Parte I

Um subespaço de R

11

1 O Rn

1.1 De�nição

Primeiramente, o conjunto está de�ndo em um intervalo I = [−n, n] de modo que aequivalência de um x real no conjunto I, se dá através da seguinte relação: Para qualquerx ∈ R, existe um y ∈ I, tal que

x = y + 2kn, (1.1)

para algum k ∈ N e um n ∈ N dado , uma vez que o comprimento do intervalo I é 2n,temos que esta equivalência alcança toda a reta. Ao conjunto de cada equivalência de I

com R, denotaremos por Rn, por facilidade chamaremos de reais módulo n , n ∈ Z, oconjunto pelo qual queremos mostrar algumas propriedades e aplicações.

1.2 Exemplos e Aplicações

Vamos agora ver alguns exemplos e aplicações do conjunto Rn.

Exemplo 1.1 O exemplo a seguir mostra apenas que, uma função com domínio em Rn,f : Rn → R, é claramente limitada, se for limitada no intervalo I = [−n, n]. De fato, sex ∈ I e |f(x)| ≤ k, também teremos se x ∈ Rn, então | f(x) |≤ k. De�nimos f comof(x) = x2 e n = 2, logo o Domínio de f será D = [−2, 2] e a imagem Im = [0, 4].Observe o grá�co 1:

Exemplo 1.2 Façamos o contrário agora, seja Rn, o contradomínio de uma funçãof : R → Rn. No presente caso ocorrerá alguns resultados intrigantes. O primeiro é aImagem da função inevitavelmente estará Im ⊆ [−n, n], e mais, Im(I) ⊆ Im(Rn), vide�gura 2. Outro é em relação às raízes da função, vamos ter um número maior de raízesque antes, na verdade uma in�nidade delas, isso se a função tiver pelo menos uma raízcom o Contradomídio em R. Porém para conservar a de�nição de função, temos que con-

1.2 Exemplos e Aplicações 12

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 1: f(x) = x2, para f : R2 → R

siderar o intervalo I como aberto, consequentemente, teremos também uma in�nidade dedescontinuidades pontuais. Tomemos um exemplo bem simples. Seja a função quadráticaf(x) = x2, tal que f : R → R2. Para achar as raízes devemos encontrar todos os val-ores que satisfazem x2 = 0, no caso temos os seguintes valores para x2 = {0,±4,±8, ...},portanto x = {0,±2,±2

√2, ...}, pois f(−2) = f(2) = 22 = 4 ≡ 0 e assim com os outros

elementos do conjunto. Gra�camente, observe que as retas paralelas a ao eixo Y estãoindicando os pontos de descontinuidade da função, uma vez que R2 está de�nido numintervalo aberto I = (−n, n), sendo assim chamado de R2 degenerado.

x

y

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 2: f(x) = x2, para f : R→ R2

1.3 Rn como subcorpo e subespaço de R 13

Logo percebemos que as descontinuidades são in�nitas, uma vez que entre um pontode descontinuidade e outro existe apenas uma raíz, nesse caso em particular 1 . E assimcomo vimos na sequência, também é in�nita a quantidade de raízes (todos os múltiplos de4).

1.3 Rn como subcorpo e subespaço de R

Vamos agora veri�car algumas propriedades algébricas sobre esse conjunto. Primeira-mente veri�car se Rn é corpo, ou melhor, subcorpo de R, uma vez que um subcorpo étambém um corpo. Enunciaremos as propriedades necessárias para um conjunto V serum Espaço Vetorial.

De�nição 1.1 1. Dados os elementos u, v e w de V , temos

(u + v) + w = u + (v + w).

2. Existe um elemento de V , denotado por 0, tal que

0 + u = u + 0 = u

para todo elemento de V .

3. Dado um elemento u de V , existe um elemento −u em V tal que

u + (−u) = 0.

4. Para quaisquer elementos u e v de V , temos

u + v = v + u.

5. Se c é um número, entãoc(u + v) = cu + cv.

6. Se a e b são dois números, então

(a + b)u = au + bu.

1em outro caso poderemos ter um número in�nito ou �nito de descontinuidades , basta que exista umnúmero in�nito ou �nito de raízes entre estas duas descontinuidades e ocorra o fato da observação 1.1.

1.3 Rn como subcorpo e subespaço de R 14

7. Se a e b são dois números, então

(ab)u = a(bu).

8. Para todo elemento u de V , temos

1u = u

(1 é aqui o número um).

Segundo [3], um subconjunto L de um corpo K será um subcorpo se:

1. 1 ∈ L.

2. a, b ∈ L ⇒ ab−1 ∈ L.

3. a, b ∈ L ⇒ a− b ∈ L.

Observe que podemos reduzir nossa de�nição apenas às condições 2 e 3, pois a condição1 é satisfeita em ii. quando a = b 6= 0. Mostremos que Rn é um subcorpo de R e portantoum corpo. Com efeito, ele é um subconjunto de R e como já vimos que todo elementode Rn tem uma correspondência sobrejetora com R, logo todo produto ou soma de seuselementos será um número real que tem seu correspondente em Rn. E mais, todo elementotem inverso, tanto aditivo quanto multiplicativo. De fato, o inverso aditivo é claro, poispodemos ver facilmente que os intervalos [0, n] e [0, −n] são opostos com relação aadição. Já no caso multiplicativo, pode o inverso não ser um elemento de I, todaviapoderemos encontrar um correspondente a ele no intervalo I, portanto pertencendo aoconjunto Rn. Isso mostra que as condições i. e ii., portanto temos um subcorpo de R.Da mesma forma podemos concluir que é um Espaço Vetorial, uma vez que conservatodas as propriedades de R para Espaços Vetoriais [4]. Para isso, daremos as condiçõesde subespaço vetorial.

Seja V um espaço vetorial, e seja W um subconjunto de V . Dizemos que W é umsubespaço vetorial de V se W satisfaz as seguintes condições:

1. Sejam v e w elementos de W , a soma v + w também é um elemento de W .

2. Se v é um elemento de W e c é um número, cv é um elemento de W .

3. O elemento 0 de V , também é um elemento de W .

1.4 Algumas Observações Notáveis 15

Em outras palavras, W é fechado para a adição e multiplicação por escalar, também 0

e elemento de W . Podemos veri�car facilmente que Rn é um subespaço vetorial de R sobreR, basta lembrarmos que Rn é corpo, e portanto fechado para a adição e possui o elemento0. Basta mostrarmos o ítem 2, i.e, um número real multiplicado por um elemento de Rn

ainda pertence a este conjunto. De fato, uma vez que tal produto é sempre um númeroreal, o qual, pela relação 1.3, tem um correspondente no Reais modulo n. Logo Rn é umsubespaço vetorial de R sobre R.

Apresentemos outras propriedades em forma de observações:

1.4 Algumas Observações Notáveis

Observação 1.1 Vimos no exemplo 2 que uma função que tem apenas uma raíz se aimagem for de�nida em R, passa a ter in�nitas raíz com a imagem de�nida em Rn, assimserá com todas as funções que tiverem a imagem de�nida nos Reais Módulo n, desde quepara qualquer K ∈ R∗+, existe A ∈ R∗+ su�cientemente grande, tal que, x ∈ R, x > A ⇒| f(x) |> K ou | f(x) |< −K. Semelhantemente para x < A. De fato, basta observarque o intervalo [0, +∞) ou o intevalo (−∞, 0] contém in�nitas vezes intervalos do tipo(−n, n) e para cada correspondente desse intervalo teremos pelo menos uma raíz, umavez que podemos observar que f(kn + ε) < 0 < f(kn + 2n − ε), k ∈ Z, podemos usar oT.V.I 2 , considerando que f é descontínua em x = kn 3 e seria contínua se sua imagemestivesse de�nida em R, e f contínua no intervalo A = [kn + ε, kn + 2n − ε],∀ε > 0,temos que existe pelo menos um a ∈ A tal que, f(a) = 0, como temos in�nitos intervalosque têm correspondência com A, consequentemente haverão in�nitas raízes, todavia umaquantidade enumerável, uma vez estabelecida a correspodência.

Observação 1.2 Como consequência da observação anterior, temos que as funções con-tínuas e monótonas têm in�nitas raízes se a imagem estiver de�nida em Rn.

Observação 1.3 Podemos observar também, a partir da conclusão que tivemos sobrequem são as raízes da função, que as raízes vão ser da forma x = 2

√k, ∀k ∈ N.

Observação 1.4 Em outros casos, para calcularmos alguma aproximação das raízes def , podemos utilizar o Método Numérico apresentado no Apêndice, uma vez que vimos que,se a função é contínua em R, ela será contínua em todo intervalo [n + ε, n− ε].

2O Teorema do Valor Intermediário que está enunciado no apêndice deste trabalho3Descontinuidade de Primeira Espécie

1.5 O Cálculo 16

1.5 O Cálculo

No exemplo 2, nós mostramos geometricamente como �caria a função f(x) = x2 seestivesse com a imagem de�nida em R2, observemos como os cáculos foram feitos paraque chegássemos àquele grá�co. Vamos buscar base na relação 1.1.

1.5.1 A Relação Módulo

A relação 1.1 é uma relação análoga à relação de módulo. Vejamos a de�nição.

De�nição 1.2 A relação de equivalência em Z chamada congruência ≡ modn,a ≡ bmodn, signi�ca que a−b

n= k.

Isso implica que a − b = kn ⇒ a = b + kn, onde a, k, n ∈ Z e b ∈ Zn o que será nãonecessariamente obrigatório em 1.1. Todavia a idéia segue a mesma, assim como o cálculoé análogo. Apenas fazendo simples adaptações.

1.5.2 Um Exemplo Simples

Tomemos o seguinte exemplo considerando números racionais para destacar a crucialdiferença entre nossa congruência e a congruência dos inteiros módulo n, trabalhando comvalores concretos para melhor ilustrar.

Exemplo 1.3 Tomando n = 3, temos o R3. Vamos calcular qual será o número equiva-lente a 15.45 ∈ R, tal que seja equivalente em R3.

Vejamos, pela equação 1.1, temos que 15.45 = y+6k ⇒ y = 15.45−6k, porém k ∈ N,calculamos como no modn, y = 15.45 − 6k para o maior k ∈ N, logo k = 2 ⇒ y = 3.45.Mas y ainda não é o valor equivalente, agora somamos y ao −n, no caso −3, logo o valorequivalente a = y − n ⇒ a = 3.45− 3 ⇒ a = 0.45

Assim vimos que existe outra equação complementar que nos auxilia,

a = y − n, a ∈ Rn, y ∈ I (1.2)

Fazendo a conexão entre as equações 1.1 e 1.2, temos a = y − n ⇒ y = a + n logo:

x = a + n + 2kn ⇒ x = a + (2k + 1)n, a ∈ Rn, x ∈ R, k, n ∈ Z (1.3)

1.5 O Cálculo 17

Podemos também escrevera = x− (2k + 1)n

Observe que a ∈ Rn também signi�ca dizer que −n ≤ a ≤ n e que 2k+1 é um númeroímpar. Vamos agora utilizar a equação 1.3 para fazer o mesmo cálculo acima. Lembrandoque x = 15.45, n = 3:

x = a + (2k + 1)n ⇒ 15.45 = a + (2k + 1)3 ⇒ a = 12.45− 6k

Basta escolher um k que conserve a entre 3 e -3, no caso k = 2. Seguindo menos aintuição, podemos escrever:

−3 ≤ 12.45− 6k ≤ 3 ⇒ 15.45 ≥ 6k ≥ 9.45 ⇒ 1.59 ≤ k ≤ 2.59

Como k é natural, concluimos que k = 2, e portanto

a = 12.45− 12 ⇒ a = 0.45

Alguns desses passos podem ser imediatamente omitidos apenas pela compreensão dométodo e da similaridade com a relação de equivalência dos inteiros.

1.5.3 Aplicando ao Exemplo 1.2

Primeiramente, encontramos os pontos de descontinuidade, ou seja, onde a funçãof(x) = n, no caso n = 2, são pontos de descontinuidade pois a imagem está de�nida nosReais Módulo n degenerado 4. Logo não temos f(n) de�nido.

Observe que para x2 = 2, x =√

2, ou os seus equivalentes em R. Sendo assim,calculemos todos os números pertencente aos Reais, tais que o seu quadrado seja iguala 2 ∈ R2. Portanto, usando 1.3 para calcular os equivalentes a 2, temos o que foi enun-ciado sem maiores detalhes no exemplo 2. Temos um conjunto D de todos esses valo-res reais que satisfaz nosso exemplo x =

√2: D2 = {2, 6, 10, ...}, consequentemente

D = {√2,√

6,√

10, ...}. Aí estão os pontos de descontinuidade.

Analogamente podemos calcular as raízes.4Chamamos assim ao conjunto Rn quando este está de�nido no intervalo aberto (-n,n).

1.5 O Cálculo 18

1.5.4 A função exponencial

Para que esta seção se torne su�ciente, tomemos outro exemplo, uma vez que agorao método e a relação já estão mais formais e claros. Desejamos assim, tomar a funçãoexponencial aplicando a observação 1.2. O motivo é, primeiramente utilizar a a�rmaçãofeita na Observação 1.1, uma vez que tal função não possui raíz se não tiver termos inde-pendentes de x e seu Contradomínio for de�nido em R. Vamos de�nir a função f(x) = 2x

tal que f : R − D → R2, onde D é o conjunto dos pontos de descontinuidades que ver-emos a seguir. Logo vemos que a função não possui um zero se tiver o Contradomínioem R. Com o Contradomínio em R2

5 , calculemos os pontos de descontinuidade, nocaso y = 2, logo devemos resolver a equação x = 2 em R2 achando soluções em R. SejaD, o conjunto de todos os pontos de descontinuidade de f . Levando em conta que oponto de descontinuidade com Imagem em Im(f) é x = 1, portanto os pontos de descon-tinuidades são encontrados considerando {2 ≡ 6 ≡ 10...} como a Imagem f(D) dos pon-tos de descontinuidade, logo calculamos os pontos de descontinuidade da seguinte forma:2d1 = 2 ⇒ d1 = 1, continuando, 2d2 = 6 ⇒ 2d2 = 2 × 3 ⇒ 2d2−1 = 3 ⇒ d2 = 1 + log23.O terceiro ponto de descontinuidade, 2d3 = 10 ⇒ 2d3−1 = 5 ⇒ d3 = 1 + log25 e assimsucessivamente. Logo podemos deduzir que D = {1, 1 + log23, 1 + log25, 1 + log27, ...}, deuma forma geral

D = 1 + log2(2k + 1),

para todo k ∈ N.

Já para calcular as raízes, se resume em resolver a equação 2x = 0, mas ela não temsolução se 0 ∈ R, contudo, em R2, 0 ≡ 4 ≡ 8 ≡ 12 ≡ ... ≡ 4k ≡ ..., o que nos possibilitaencontrar as raízes de f , inclusive pela Observação 1.1. Façamos os cálculos indexandoas raízes da seguinte forma: 2x1 = 4 ⇒ x = 2, 2x2 = 8 ⇒ x = 3, 2x3 = 12 ⇒ 2x3−2 = 3 ⇒x3 = 2 + log23, de uma forma geral chamamos de R o conjunto das raízes de f , temos2xk = 4k ⇒ 2xk−2 = k ⇒ xk = 2 + log2k, portanto:

R = xk = 2 + log2k.

para todo k ∈ N.

Vamos vizualizar gra�camente tal função, sem explicitar os pontos de descontinuidadee explicitando-os nas �guras abaixo.

5Para não precisarmos repetir, consideramos, pelo mesmo motivo citado no exemplo 1.2, o R2 degenerado.

1.5 O Cálculo 19

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 3: f(x) = 2x, para f : R→ R2

20

2 A Completude de Rn

2.1 Introdução

Dedicamos um capítulo especialmente para analisar a completude do Rn, pois a noçãode corpo e espaço métrico completo é uma das mais importantes da Análise Matemática,o leitor poderá consultar [6], [8], [9] e [7] para um rápido esclarecimento.

2.2 De�nições

Com Olmsted ou Rudin podemos encontrar uma de�nição de Corpo Ordenado.

De�nição 2.1 (Corpo Ordenado) . Um Corpo Ordenado é um corpo F que contémum subconjunto P tal que:

1. P é fechado com respeito a adição; isto é,

x ∈ P, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P

2. P é fechado com respeito à multiplicação; isto é,

x ∈ P, y ∈ P ⇒ xy ∈ P

3. x ∈ F ⇒ exatamente uma dos três enunciados é verdadeiro:

x ∈ P ; x = 0; −x ∈ P

Vejamos como Elon de�ne os Espaços Métricos Completos, mas para isso antes de�-nimos Métricas e Espaços Métricos.

De�nição 2.2 (Métricas) . Uma Métrica no conjunto M é uma função d : M ×M →R, que associa cada par ordenado de elementos x, y ∈ M um número real d(x,y), chamado

2.2 De�nições 21

distância de x a y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condições para quaisquerx, y e z ∈ M :

1. d(x,x)=0

2. Se x 6= y então d(x, y) > 0

3. d(x, y) = d(y, x)

4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

De�nição 2.3 (Espaço Métrico) . Um Espaço Métrico é um par (M, d), onde M éum conjunto e d é uma métrica de M.

De�nição 2.4 (Espaço Métrico Completo) . Diz que o Espaço Métrico M é com-pleto quando toda sequência de Cauchy em M é convergente.

Já a de�nição de Corpo Ordenado Completo, segundo Olmsted , pode ser reduzida à:

De�nição 2.5 (Corpo Ordenado Completo) . Um Corpo Ordenado Completo éum corpo ordenado F no qual uma menor cota superior existe para todo conjunto em Fnão-vazio que seja limitado em F.

Em [8] encontramos as seguintes de�nições:

De�nição 2.6 (Espaço de Banach) . Um espaço vetorial normado completo chama-seEspaço de Banach

De�nição 2.7 (Espaço de Hilbert) . Um Espaço de Hilbert é um espaço vetorialH, munido de um produto interno, e completo em relação à norma de�nida por esseproduto interno.

Mas, para melhor compreensão, devemos de�nir norma e produto interno. Taisde�nições podem ser encontradas em [10].

De�nição 2.8 (Norma) . Uma norma num espaço vetorial E é uma função que associaa cada vetor x ∈ E um número real |x| de modo a serem satisfeitos os seguintes axiomas:

2.3 Veri�cando Algumas Propriedades de Rn 22

1. |0| = 0, |x| > 0 para todo x 6= 0 em E;

2. |x + y| ≤ |x|+ |y| quaisquer que sejam x, y e E;

3. |λx| = |λ||x| para todo número real λ e todo vetor x ∈ E.

Um espaço vetorial munido de uma norma chama-se um espaço vetorial normado.

De�nição 2.9 (Produto Interno) . Um produto interno num espaço vetorial E é umafunção E × E → R, que associa a cada par de vetores x, y e E um número real 〈x, y〉,com as seguintes propriedades:

1. 〈x, y〉 = 〈y, x〉,

2. 〈αx + βx′, y〉 = α 〈x, y〉+ β 〈x′, y〉,

3. 〈x, x〉 > 0 quando x 6= 0;

onde x, y ∈ E e α, β ∈ R são arbitrários.

2.3 Veri�cando Algumas Propriedades de Rn

Podemos facilmente veri�car se algumas propriedades são válidas em Rn se pudermosa�rmar-las em R na maioria dos casos.

2.3.1 O Corpo Ordenado

De fato R é um corpo, uma vez que é fechado para a adição e multiplicação usuais,possuindo as propriedades associativa, comutativa, elemento neutro e inverso para as duasoperações, além da distributividade da soma em relação ao produto. Para mostrar que éum corpo ordenado agora, basta exibir o subconjunto R∗+ de R que obedecerá o ítem iii

da de�nição 2.1.

Quanto ao Rn já mostramos que é subcorpo de R, portanto corpo. Da mesma forma,tomemos o subconjunto R∗

+n de Rn e ele também obedecerá o ítem iii da de�nição 2.1.Assim feito mostramos que Rn é ordenado.

2.3 Veri�cando Algumas Propriedades de Rn 23

2.3.2 A Métrica Usual da Reta

A métrica usual da reta é a distância entre dois pontos desta reta, ou seja, do conjuntodos números reais. Tal distância é dada por d(x, y) =| y−x |, vamos veri�car as condiçõesdadas em 2.2:

1. d(x, x) = |x − x| = |0| = 0. Se x 6= y então d(x, y) = |y − x| > 0, decorrenteda propriedade do valor absoluto e que as medidas de comprimento são dadas pornúmeros positivos, assim também é o caso da distância entre dois pontos de umareta.

2. d(x, y) = |y − x| = |x − y| = d(y, x), também decorre que a distância entre doispontos não altera se o sentido for alterado.

3. d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z) ⇒ |z−x| ≤ |y−x|+ |z−y| = |z−y|+ |y−x| ⇒ |z−x| ≤|z − y|+ |y − x|, da geometria, a desigualdade triangular que se aplica do lados deum triângulo ao valor absoluto, tomando |x− y| como a distância entre os vérticesX e Y de um triângulo.

Assim, de�nimos a métrica da reta. Agora façamos uma observação:

Observação 2.1 Se M é um espaço métrico e um subconjunto S ⊂ M , imediatamentepodemos considerar uma restrição de d a S × S, i.e., a métrica de S é induzida pelamétrica de M . Quando isso ocorre, chamamos o subconjunto S de subespaço métricode M .

Naturalmente podemos admitir que, como Rn ⊂ R, temos que a métrica usual da retaé uma métrica de Rn é induzida por R, portanto Rn é um subespaço métrico.

2.3.3 O Corpo Ordenado Completo e Espaço Métrico Completo

Primeiro vamos enunciar o Postulado de Dedekind:

De�nição 2.10 (Postulado de Dedekind) Todo subconjunto não-vazio de R, consti-tuído de elementos positivos, tem ín�mo.

Em outras palavras, dizemos que R é um corpo ordenado completo segundo a De�nição2.5. Agora mostremos também que Rn é ordenado completo. De fato, como R é ordenado

2.3 Veri�cando Algumas Propriedades de Rn 24

completo e todo subconjuno de Rn é um subconjunto de R, uma vez que Rn ⊂ R, sabemospelo Postulado de Dedekind 2.10, que todo subconjunto de elementos positivos tem umín�mo, assim como pelo 2.5, todo subconjunto que for limitado superiormente, possui umsupremo. Como isso ocorre para todo subconjunto de R que obedece as hipóteses, logotambém será verdadeiro para os subconjuntos de Rn que obedecem as hipóteses, pois sãosubconjuntos de R. O que garante que Rn é ordenado completo.

Analisemos como Espaço Métrico Completo. Na subseção anterior, vimos que tanto Rcomo Rn são Espaços Métricos, para que sejam completos, basta que veri�car a De�nição2.4. Primeiramente mostraremos que R é um espaço métrico completo. Mas para issovamos enunciar algumas proposições necessárias para a prova.

Proposição 2.1 Uma sequência de Cauchy que possui uma subsequência convergente éconvergente (e tem o mesmo limite que a subsequência).

Proposição 2.2 Toda sequência monótona e limitada de números reais é convergente.

Proposição 2.3 Um ponto a, num espaço métrico M , é limite de uma subsequência de(xn) se, e somente se, toda bola aberta de centro a contém termos (xn) com índices n

arbitrariamente grandes.

Agora vamos enunciar e demonstrar a proposição que nos motivou a enunciar asproposições anteriores.

Proposição 2.4 A reta é um espaço métrico completo.

Demonstração. Seja (xn) uma sequência de Cauchy em R. Pondo, para cadan ∈ N, Xn = {xn, xn+1, ...}, temos X1 ⊃ X2 ⊃ ... ⊃ Xn ⊃ ... e os conjuntos Xn sãolimitados. Seja an = infXn(n = 1, 2, 3, ...). Então a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ b = supX1.Pela Poposição 2.2, existe o número a = liman. A�rmamos que a = limxn. Para provaristo, basta mostrar que a é limite de uma subsequência de (xn), ou seja, dados arbitraria-mente, ε > 0 e n1 ∈ N, podemos obter n > n1 tal que xn ∈ (a− ε, a + ε), decorrentedas Proposições 2.1 e 2.3. Sendo a = liman;∃m > n1 tal que a − ε < am < a + ε.Como am = infXm, existe n ≥ m (e portanto n > n1) tal que am ≤ xn ≤ a + ε, isto é,xn ∈ (a− ε, a + ε).

Para mostrar que Rn é um espaço métrico completo, usaremos as seguintes proposiçõese de�nições:

2.3 Veri�cando Algumas Propriedades de Rn 25

De�nição 2.11 Um ponto a diz-se aderente a um subconjuto X de um espaço métricoM quando d(a,X) = 0, i.e., ∀ε > 0, podemos encontrar x ∈ X tal que d(a, x) < ε.

Nos Reais podemos escrever a de�nição da seguinte forma:

De�nição 2.12 Diremos que um ponto a é aderente a um conjunto X ⊂ R quando a forlimite de uma sequência de pontos xn ∈ X

Proposição 2.5 Toda sequêcia convergente é de Cauchy.

Proposição 2.6 Um subespaço fechado de um espaço métrico completo é completo. Re-ciprocamente, um subespaço completo de qualquer espaço métrico é fechado.

Demonstração. Seja F ⊂ M fechado, com M completo. Dada uma sequência deCauchy (xn) em F , existe limxn = a ∈ M . Como F é fechado em M , tem-se a ∈ F ,uma vez que todo ponto aderente a F é ponto de F . (Vide De�nições 2.11 e 2.12). LogoF é completo. Por outro lado, se M ⊂ N é um subespaço completo, dada a sequênciade pontos xn ∈ M , com limxn = a ∈ N , a sequência (xn) é de Cauchy, pela Proposição2.5. Logo existe b ∈ M tal que limxn = b, pois M é completo. Pela unicidade do limite,tem-se a = b e portanto M é fechado N , uma vez que todo ponto que é limite de umasequência de M pertence a M , ou seja, todo ponto aderente a M pertence a M .

Como Rn é fechado e é subespaço do espaço métrico R, onde provamos na proposição2.4 que é completo, pela proposição 2.6, temos que Rn é completo. Porém não podemosdizer o mesmo para Rn degenerado. Basta tomarmos uma sequência de Cauchy que nãoconvirja em Rn. Tomemos então a sequência xk = n − 1

k, ∀k ∈ N. De fato, limxk = n,

mas n /∈ Rn degenerado, portanto (xk) não converge, consequentemente Rn degeneradonão pode ser um subespaço métrico completo.

2.3.4 Espaços de Banach e Hilbert

2.3.4.1 Espaço de Banach

Primeiro veri�quemos R como um Espaço de Banach segundo a De�nição 2.6. Paraisso, basta obter uma norma em R, uma vez que já mostramos que é um espaço vetoriale completo. Seja |x| =

√x2 uma possível norma de R, veri�quemos se realmente é uma

norma de acordo a De�nição 2.8:

2.3 Veri�cando Algumas Propriedades de Rn 26

1. |0| =√

02 = 0 e |x| =√

x2, como x ∈ R temos que x2 > 0 ⇒√

x2 > 0 se x 6= 0,portanto |x| > 0 se x 6= 0,

2. Primeiramente observemos a seguinte desigualdade consequente do ítem anterior:

x ≤ |x| =√

x2, uma vez que |x| > 0 mesmo que x < 0. Logo temosxy ≤

√x2

√y2 ⇒ x2 + 2xy + y2 ≤ x2 + 2

√x2

√y2 + y2, daí temos

(x + y)2 ≤ (√

x2 +√

y2) ⇒√

(x + y)2 ≤√

x2 +√

y2 logo

|x + y| ≤ |x|+ |y|

3. Sendo λ, x ∈ R temos que |λx| =√

(λx)2 =√

λ2x2 =√

λ2√

x2 isso implica que|λx| = |λ||x|.

Assim satisfetitas as condiões, veri�camos uma norma 1 em R, portanto R é umEspaço de Banach.

Quanto a Rn basta veri�car se esta ou alguma outra norma o serve. Com a norma deR, temos um problema logo no ítem 1, nem todo número x ∈ Rn implica que x2 > 0 eisso foi usado para mostrar o ítem 1. Como contra-exemplo, tomemos o número 1.5 ∈ R2,veja que (1.5)2 = 2.25 ≡ −1.75 ∈ R2. Logo essa norma não pode ser norma de Rn

se concluímos que, diferentemente da métrica, a norma pode não ser sempre induzida.Portanto não podemos garantir que é um espaço de Banach.

2.3.4.2 Espaço de Hilbert

A�rmamos que Rn é um espaço de Hilbert. Com efeito, pela de�nição 2.7, devemosmostrar que é um espaço vetorial completo e munido de um produto interno. Para mostrarque Rn é um espaço vetorial sobre R vamos partir da de�nição 1.1. Sejam os vetoresx, y, z ∈ Rn tais que x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) e z = (z1, ..., zn), onde as coordenadasdos vetores são números reais e possuem suas propriedades de corpo, logo temos que:

1. (x+y)+z = (x1 +y1, ..., xn +yn)+(z1, ..., zn) = (x1 +y1 +z1, ..., xn +yn +zn). Comoas coordenadas de cada n-upla são números reais, já vimos que para os númerosreais vale a associatividade, logo podemos ter (x1 + y1 + z1, ..., xn + yn + zn) =

(x1, ..., xn) + (y1 + z1, ..., yn + zn) = x + (y + z).1Tal norma é conhecida com a norma Euclidiana, e pode ser escrita como |x| =

√∑ni=1(xi)2,

∀x ∈ Rn, x = (x1, ..., xn), n ∈ N

2.3 Veri�cando Algumas Propriedades de Rn 27

2. Existe o vetor 0 = (0, ..., 0) tal que x + 0 = (x1 + 0, ..., xn + 0) = 0 + x = (0 +

x1, ..., 0 + xn) = (x1, ..., xn) = x

3. Para qualquer vetor x = (x1, ..., xn) existe um vetor −x = (−x1, ...,−xn) tal quex + (−x) = (x1 − x1, ..., xn − xn) = (0, ..., 0) = 0.

4. x + y = (x1 + y1, ..., xn + yn) = (y1 + x1, ..., yn + xn) = y + x

5. Se c um número real, x, y ∈ Rn, então c(x + y) = c(x1 + y1, ..., xn + yn) = (cx1 +

cy1, ..., cxn+cyn) = (cx1, ..., cxn)+(cy1, ..., cyn) = c(x1, ..., xn)+c(y1, ..., yn) = cx+cy

6. Sejam a e b números reais, então (a + b)x = ((a + b)x1, ..., (a + b)xn) = (ax1 +

bx1, ..., axn + bxn) = (ax1, ..., axn) + (bx1, ..., bxn) = a(x1, ..., xn) + b(x1, ..., xn) =

ax + bx

7. Sejam a e b números reais, então (ab)x = (ab)(x1, ..., xn) = (abx1, ..., abxn) =

a(bx1, ..., bxn) = a(bx).

8. Para todo elemento x de V , temos que o número real 1x = (1x1, ..., 1xn) = (x1, ..., xn) =

x.

Para mostrar que Rn é completo vamos enunciar e mostrar uma proposição e algunscorolários, além de algumas de�nições.

De�nição 2.13 (Aplicação Uniformemente Contínua) . Uma aplicaçãof : M → N diz-se uniformemente contínua quando, para todo ε > 0 dado, existirδ > 0 tal que, sejam quais forem x, y ∈ M , d(x, y) < δ ⇒ d(f(x), f(y)) < ε.

De�nição 2.14 (Imersão Isométrica) . Uma aplicação f : M → N chama-se umaimersão isométrica quando d(f(x), f(y)) = d(x, y) para quaisquer x, y ∈ M . Nestecaso, diz-se que f preserva as distâncias.

De�nição 2.15 (Isometria) . Uma isometria é uma imersão isométrica sobrejetiva.

Podemos dizer também sobre isometria que

De�nição 2.16 (Isometria) Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K munido de pro-duto interno. O operador linear T : V → V é chamado de isometria se||T (u)|| = ||u||; ∀u ∈ V .

2.3 Veri�cando Algumas Propriedades de Rn 28

Proposição 2.7 O produto cartesiano M × N é completo se, somente se, M e N sãocompletos.

Demonstração. Suponhamos M e N completos. Dada uma sequência de Cauchy (zn)

em M ×N , seja (zn) = (xn, yn), para cada n ∈ N. Como as projeções p1 : M ×N → M

e p2 : M × N → N são uniformemente contínuas, (xn) e (yn) são sequências de Cauchyem M e N respectivamente. Logo existem limxn = a ∈ M , limyn = b ∈ N . Pondoc = (a, b) ∈ M × N , temos limzn = c. Assim, M × N é completo. Reciprocamente,se M × N é completo então, �xando b ∈ N , vemos que a aplicação x 7→ (x, b) é umaisometria de M sobre o subespaço fechado M × b ⊂ M × N . Segue-se da Proposição2.6 que M é completo. De modo análogo vemos que N é completo. De fato, basta �xara ∈ M , podemos ver a aplicação x 7→ (a, x) também é isometria de M sobre o espaçofechado a×N ⊂ M ×N , logo pela Proposição 2.6 que N é completo.

Corolário 2.1 M1 × ...×Mn é completo se, e somente se, M1, ..., Mn são completos.

Demonstração. Aplicando n − 1 vezes a proposição, concluímos sucessivamente queM1 ×M2, M1 ×M2 ×M3, M1 ×M2 × ...×Mn são completos se cada um dos fatoresMi é completo. Para maior facilidade, basta observar indutivamente M1×, ...,×Mn−1 =

Kn completo para todo Mi com i ∈ N, logo, pela proposição, Kn × Mn é completo.Reciprocamente, se o produto é completo, cada fator Mi pode ser isométrico ao subespaçofechado a1 × ...× ai−1 ×Mi × ai+1 × ...an do produto.

Corolário 2.2 O espaço Euclidiano Rn é completo.

Demonstração. Com efeito. Como já mostramos que R é completo, basta aplicarmoso corolário anterior, que teremos Rn = R× . . .× R︸ ︷︷ ︸

n

, o que mostra que Rn é completo.

Agora basta mostrar que Rn é munido de um produto interno. De�nimos um produtointerno em Rn, tal que dados x, y ∈ Rn e ∀α, β ∈ R, 〈x, y〉 = x1y1 + ...+xnyn =

∑ni=1 xiyi.

Veri�quemos se este é realmente um produto interno e, Rn de acordo as condições daDe�nição 2.9.

1. 〈x, y〉 = x1y1 + ... + xnyn =∑n

i=1 xiyi =∑

i = 1nyixi = y1x1 + ... + ynxn = 〈y, x〉

2. 〈αx + βx′, y〉 = 〈(αx1, ..., αxn) + (βx′1, ..., βx′n), y〉 = 〈(αx1 + βx′n, ..., αxnβx′n), y〉y1(αx1 + βx′1) + ... + yn(αxn + βx′n) = αx1y1 + ...αxnyn + βx′1y1 + ... + βx′nyn

α〈x, y〉+ β〈x′, y〉

2.3 Veri�cando Algumas Propriedades de Rn 29

3. 〈x, x〉 = x21 + ... + x2

n, como xi ∈ R, sabemos que x2i > 0, x 6= 0, o que implica em

x21 + ... + x2

n = 〈x, x〉 > 0

Com isso concluímos que Rn é um Espaço de Hilbert. Em particular, para n = 1,temos que R também é um Espaço de Hilbert. Veri�quemos que Rn não pode ser umEspaço de Hilbert com o mesmo produto interno do Rn. De fato, pelo mesmo motivo quenão pode ser Espaço de Banach com a norma Euclidiana, ou seja, no ítem 3, consideramosx2 > 0, x 6= 0, porém já exempli�camos que isso não ocorre sempre nos Reais módulon. Logo, também não poderá ser um Espaço de Hilbert com tal produto interno. Afortiori, Rn degenerado também não é Espaço de Hilbert, começando por nem mesmo sercompleto.

2.3.4.3 Uma Norma para Rn

Em um espaço métrico ou vetorial podemos ter mais de uma norma. Outras duasfamosas norma do Rn são norma da soma e a norma do máximo, entre muitas outras.No entanto, sabemos que duas normas em R são equivalentes. Observando isso, qualquernorma em Rn será equivalente a tais normas em R, pois também será uma norma de R.O que indica que nosso conjunto não pode ser normado.

30

Parte II

Apêndices

31

APÊNDICE A -- Um Método NuméricoAlternativo

A.1 Introdução

Neste apêndice nós desenvolviremos e exploraremos um método numérico alternativopara calcular os zeros de funções contínuas. A�m de chegar razoavelmente mais rápido auma aproximação da raíz. Mas sobretudo, o objetivo apresentar o tal método alternativofazendo apenas uma rápia comparação com outro método bastante conhecido. Começare-mos aplicando-o e faremos a demonstração de sua convergência no �m da seção.

A.2 A Apresentação e Aplicação do Método

Seja a função f(x) = x3 + x− cos(x) uma função que possui raízes no intervalo [0, 1].

x

y

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 4: f(x) = x3 + x− cos(x)

A.2 A Apresentação e Aplicação do Método 32

Existe uma reta secante a f(x), usada no método das cordas para calcular zeros def. O seguinte método consiste em, primeiramente calcular a mesma reta proposta nométodo das cordas e fazê-la passar pelo ponto médio do intervalo [a, b], no caso citadoacima, deve passar pela abscissa 0.5. Logo depois, acharemos uma perpendicular a essareta passando por um dos dois extremos do intervalo, dependendo das observações queserão ainda feitas.

Logo, como f(0) = −1 e f(1) = 1.4596, então o coe�ciente angular m = f(b)−f(a)b−a

⇒m = f(1)−f(0)

1−0⇒ m = 2.4596. Todavia, vamos fazer a reta secante passar pelo ponto

médio do intervalo, no caso: 0.5. Assim, y = mx + w ⇒ w = −mx, para y=0, logow = −2.4596× 0.5 ⇒ w = −1.2298, portanto y = 2.4596x− 1.2298.

A perpendicular à reta secante encontrada deve passar por um dos extremos do in-tervalo, o que tiver com sinal diferente do zero, no caso, como o zero da reta é 0.5, aperpendicular passará por b = 1, sabendo que o coe�ciente angular da perpendicularé − 1

m= −0.406, sendo assim yp = − 1

mx + k, para k = 1

mx, se yp = 0, sendo assim,

k = 0.406× 1 ⇒ k = 0.406 e yp = −0.406x + 0.406.

x

y

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

yp=-0.406x+0.406y=2.4596x-1.2298

f(x)=x³+x-cos(x)

Figura 5: A secante e a sua perpendicular

Veja que cada zero pode ser calculado pela intersecção das retas secante com a suaperpendicular, a abscissa do ponto de intersecção será o xn:

y = yp ⇒ mx + wn = − 1

mx + kn ⇒ mxn +

1

mxn = kn − wn ⇒

xn−1 =m(kn − wn)

m2 + 1(A.1)

A.2 A Apresentação e Aplicação do Método 33

Onde kn e wn são dados por

wn = −mxn−1 kn =1

mxn−1 ± f(xn−1) (A.2)

E o sinal dependerá da conservação do sinal anterior da função, i.e., enquanto per-manece com o mesmo sinal quando aplicada em xn, utiliza-se o sinal negativo, do contrário,o sinal positivo. Observe que isso resultará em uma sequência de intervalos encaixados 1

do tipo In = [xn, xn ± f(xn)], que veremos com o desenvolvimento.

Sendo assim, aplicando a fórmula do xn para as duas primeiras equações, temos quex0 = 2.4596(0.406+1.2298)

6.0496+1⇒ x0 = 0.57, aplicando f(x0) = (0.57)3 + 0.57 − cos(0.57) temos

que f(x0) = −0.0868, que tem o mesmo sinal que f(0), portanto o novo intervalo será[x0, x0 − f(x0)]=[0.57, 0.6567]. Calculemos assim k1 e w1.

w1 = −2.4596× 0.57 ⇒ w1 = −1.4 e k1 = 0.406× 0.6567 ⇒ k1 = 0.2666

Portanto y1 = 2.4596x− 1.4 e yp1 = −0.406+0.2666. Lembramos que as equaçõesdessas retas apenas tem interesse no sentido do teste geométrico, uma vez que estamosutilizando na sequência xn principalmente as variações dos coe�cientes lineares de taisretas, podendo omitir a sua equação. Mas vamos estar inicialmente enunciando-as emostrando seu comportamento nos grá�cos como a seguir.

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

yp1=-0.406x+0.2666

y1=2.4596x-1.4

Figura 6: Seguindo o processo

Antes de continuarmos, uma relevante observação deve ser feita: A convergência dasequência xn para o zero da função será provada posteriormente, vale apenas no momento

1Segundo Elon (2006) [1], uma sequência An de intervalos é dita sequência de intervalos encaixados,se são fechados e A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ...

A.2 A Apresentação e Aplicação do Método 34

ressaltar que o critério de parada do processo se dá considerando o intervalo In = [xn, xn±f(xn)] quando a distância entre os extremos do intervalo for su�cientemente pequenaquanto se queira, (| In |= | f(xn) |→ 0), ou seja, quando f(xn) tender para zero. Comopodemos ver, aplicando a fórmula da sequência xn, temos que x1 = 1.666×0.3489 ⇒ x1 =

0.5815 e f(x1) = (0.5815)3 + 0.5815 − cos(0.5815) ⇒ f(x1) = −0.0575, como o sinalde f ainda continua negativo no ponto x1, usaremos o sinal negativo para determinar opróximo intervalo que iremos trabalhar, a saber I1 = [x1, x1 − f(x1)] = [0.5815, 0.639].Nesse intervalo vamos encontrar o x2, mas para isso precisamos encontrar w2 e k2,assim façamos então, usando (2):

w2 = −m× x1 ⇒ w2 = −2.4596× 0.5815 ⇒ w2 = −1.43

k2 =1

m× (x1 − f(x1)) ⇒ k2 = 0.406× 0.639 ⇒ k2 = 0.2594

Seguindo, vamos encontrar x2 através de (1), mas antes deixemos a seguinte fraçãoconstante já calculada para facilitar, m

m2+1= 0.3489:

x2 = 0.3489× (0.2594 + 1.43) ⇒ x2 = 0.5895

Agora encontremos f(x2) = (0.5895)3 + 0.5895 + cos(0.5895) ⇒ f(x2) = −0.037, epor último, o intervalo In = [x2, x2−f(x2)], o sinal negativo permaneceu porque o sinalde f não mudou em x2, logo I2 = [0.5895, 0.6265].

x

y

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

y=2.4596x-1.43

y=-0.406x+0.2594

Figura 7: Terceira Iteração

A.2 A Apresentação e Aplicação do Método 35

Como já foi dito, mostraremos as duas equações das retas encontradas no intervalo I1,são elas y2 = 2.4596x − 1.43 e yp2 = −0.406 + 0.2594, observe o grá�co que mostraráa intersecção dessas retas tal como das outras trabalhadas até então as quais dão origemas coordenadas xn.

Usando o mesmo processo vamos encontrar x3 e I3. Inicialmente vamos encontrarw3 = −m× x2 ⇒ w3 = −2.4596× 0.5895 ⇒ w3 = −1.45 e k3 = 1

m(x2 − f(x2) ⇒ k3 =

0.406× 0.6265 ⇒ k3 = 0.2544

Assim podemos utilizar (1) para encontrar x3:

x3 = 0.3489× (0.2544 + 1.45) ⇒ x3 = 0.5947

Logo encontramos f(x3) = (0.5947)3 + 0.5947 − cos(0.5947) = −0.0233 e I3 =

[0.5947, 0.618]. Por último, as equações das retas que determinam os extremos desseintervalo que tem como intersecção x3, são elas y2 = 2.4596x− 1.45 e yp2 = −0.406 +

0.2544, vejamos o grá�co.

x

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

y=-0.406x+0.2544

y=2.4596x-1.45

y=x^3+x-cos(x)

Figura 8: Quarta Iteração

No momento temos que | I3 |, (que por sinal é =| f(x3) |), ainda não é su�cientepequeno para que x3 seja uma boa aproximação da raíz da função. Portanto continuemoscom o processo tentando chegar em uma boa aproximação.

w4 = −2.4596× 0.5947 ⇒ w4 = −1.4627

A.2 A Apresentação e Aplicação do Método 36

k4 = 0.406× 0.618 ⇒ k4 = 0.25

Logo x4 = 0.3489 × (0.25 + 1.4627) ⇒ x4 = 0.5976, as equações são y4 = 2.4596x −1.4627 e yp4 = −0.406x + 0.25, observe.

x

0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

y=-0.406x+0.25

y=2.4596x-1.4627

y=x^3+x-cos(x)

Figura 9: Quinta Iteração

Vejamos se a solução já é satisfatória. Observe que o grá�co da função está assemelhando-se a uma reta por termos aproximado bastante a imagem a �m de de�nirmos as equaçõesgra�camente. De fato, calculemos o valor da função em x4.

f(x4) = (0.5976)3 + 0.5976− cos(0.5976) ⇒ f(x4) = −0.0156

Como | I4 |=| f(x4) |= 0.0156, temos que x4 em cinco interações é uma aproximaçãorazoável do zero de f .

Se usarmos o M.M.I. 2 ,veremos que com 5 iterações a aproximação não é tão razoávelquanto essa. Vejamos em 6 iterações:

w5 = −2.4596× 0.5976 = −1.4699 e k5 = 0.406× 0.6132 = 0.2489

x5 = 0.3489× (0.2489 + 1.4699) ⇒ x5 = 0.5997

O f(x5) = (0.5997)3 + 0.5977 − cos(0.5979) ⇒ f(x5) = −0.0102, o que indica que| I5 |= 0.0102. Essa aproximação pode ser determinado por um δ arbitrário, nesse caso

2Método do Meio Intervalo ou da Bissecção

A.3 Alguns Detalhes Importantes Para Mostrarmos a Convergência 37

x

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

x=0.5997

y=-0.406x+0.2489

y=2.4596x-1.4699

y=x^3+x-cos(x)

Figura 10: Aproximação da Sexta iteração

poderíamos adotar δ = 0.02, mas não deve ser confudido com o número que correspondea distância dessa aproximação com o zero da função. Com efeito, usando qualquer soft-ware matemático para traçar grá�cos que encontre os zeros das funções, (Winplot, porexemplo), ele nos dá que o zero da função que estamos trabalhando é 0.60352 aproximada-mente, portanto, a distância entre o zero e x5 é 0.00382, ainda menor que os nosso | I5 |.Já no M.M.I., x5 = 0.609375 que não é uma aproximação tão boa, basta calcularmos adistância entre o x5 do M.M.I e a raíz dada no software

Mostramos gra�camente, na Figura 7, apenas as duas últimas retas e a proximidadeda abscissa da intersecção com a raíz de f .

A.3 Alguns Detalhes Importantes Para Mostrarmos aConvergência

Vamos agora mostrar a convergência da sequência xn, em funções contínuas, para ozero da função, ou melhor, da sequência dos intervalos In, os quais todos Ii contém umaraíz da função por construção. Mas para isso vamos dar algumas de�nições e enunciaralguns teoremas que nos serão necessários para a mostrarmos tal convergência.

De�nição A.1 (Intervalos Encaixados) . Uma sequência An de intervalos é dita se-quência de Intervalos Encaixados, se são fechados e A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ...

A.4 A Convergência da Sequência 38

Logo segue o seguinte Teorema.

Teorema A.1 (Teorema dos Intervalos Encaixados) . Seja I1 ⊃ I2 ⊃ ... ⊃ In ⊃ ...

uma sequência de intervalos limitados e fechados In = [an, bn]. A intersecção∞⋂

n=1

In 6= ∅.Isto é, existe pelo menos um x pertencente a todo Ii para todo i ∈ R, podendo ser umintervalo

⋂In = [a, b], onde pode ocorrer a = b.

Teorema A.2 (Teorema do Valor Intermediário) . Seja f : [a, b] → R contínua.Se f(a) < d < f(b) então existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = d.

Teorema A.3 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) . Toda sequência monótona li-mitada é convergente.

Ainda enunciaremos um Corolário, porém é indispensável que enunciemos o Teoremado qual ele é consequência.

Teorema A.4 . Seja f : X → R contínua. Se X é compacto então f(X) é compacto.

Corolário A.1 (Weierstrass) . Toda função contínua f : X → R de�nida num com-pacto X é limitada e atinge seus extremos (i.e., existem x1, x2 ∈ X tais que f(x1) ≤f(x) ≤ f(x2) para todo x ∈ X)

A.4 A Convergência da Sequência

Por construção temos duas a�rmações: Os intervalos são encaixados e os extremostêm sinais distintos. Logo pelo Teorema dos Intervalos Encaixados, existe x que pertence a∞⋂

n=1

In = [a, b]. Podemos considerar, sem perda de generalidade, f(a) < 0 < f(b), logo pelo

Teorema do Valor Intermediário, temos que existe x ∈ [a, b], tal que, f(x) = 0. Devemosconsiderar um intervalo I0 que contenha a raíz encontrada pelo Método da Localizaçãodos Zeros 3 . Como a sequência (xn) é limitada por um intervalo fechado, pois {xn} ⊂ I0,logo {xn} possui ín�mo e supremo. Pelo Corolário de Weiertrass, se f é contínua eestá de�nido em um intervalo fechado, então f(xn) também possui máximo e mínimo nointervalo, e mais, a imagem de f é um intervalo fechado, de acordo com o Teorema que

3Todos os métodos numéricos aqui citados podem ser encontrados em Cálculo Numérico com Matlabde Flaulles Boone Bergamaschi (2005) [2].

A.4 A Convergência da Sequência 39

precede o Corolário A.1. (Poderíamos também ter usado: conjunto compacto em lugar deintervalo fechado, uma vez que os intervalos fechados são os compactos da reta). Veja quea sequência | (f(xn)) | é limitada pelo intervalo [f(x0), 0], e é decrescente, pelo Teoremade Bolzano-Weiertrass, uma sequência monótona e limitada é convergente, e mais, no casode decrescente, converge para o ín�mo, daí temos que | (f(xn)) |→ 0, consequentemente∞⋂

n=1

In → xn, uma vez que In = [xn, xn±f(xn)], por outro lado, vimos que todo intervalo

In contém a raíz x, logo a = b, x ∈ [a, b] ⇒ a = b = x, consequentemente (xn) → x.

40

APÊNDICE B -- Uma Outra Fórmula para Yvda Função Quadrática

B.1 Introdução

O seguinte apendice trata, primeiramente, da utilização da fórmula tradicional dovértice da parábola, em relação à sua imagem; yv = −∆

4a. Ora, essa fórmula di�culta

a manipulação do vértice em função do coe�ciente principal, uma vez que as raízes jásão conhecidas, diferentemente de encontrar parábolas congruentes, como classi�ca [13];justi�cativa que será enunciada no desenvolvimento. Sabendo que, além de parábolascongruentes, temos famílias de parábolas, desenvolveremos uma fórmula para o yv, pelaqual têm-se raízes �xas, coe�ciente principal como variável independente e o próprio yv

variando dependentemente. A aplicação se estende desde a matemática �nanceira, até aeletrônica, contudo não é nosso objetivo destacar exemplos de aplicações, e sim apresentara dedução de yv = −a(x1−x2)2

4, a partir das relações de Girad e da fórmula tradicional.

Ressaltando que a equação de 2◦ grau era problema dos babilônios desde a antiguidade.

B.2 A Função De�nida Pelo Polinômio de 2o grau

Começando por enunciar que uma função de�nida pelo polinômio de 2◦ grau, temcomo grá�co uma parábola; quanto o leitor pode consultar [11]. Utilizaremos, para ográ�co de uma função quadrática: a(s) sua(s) raiz(es) reais, se existirem; o vértice queserá discutido no decorrer do artigo e a intersecção com Oy.

Antecipadamente a essa discussão, devemos observar o modelo pelo qual se apresentaa função quadrática: f(x) = ax2+bx+c, inclusive ressaltar duas importantes observações:sua dependência da equação de 2◦ grau, ax2 + bx + c = 0; e o fato de ser descrita comoum polinômio. No caso temos o que chamamos de trinômio (um tipo de polinômio emparticular). Sem demorarmo-nos em tal questão, vamos de�nir o que é um polinômio.

B.2 A Função De�nida Pelo Polinômio de 2o grau 41

Em [15], de�ne-se os polinômios como a in�nite formal sum 1, também as funçõespolinomiais. entre outras, essa é a que mais nos interessa, e pode ser descrita desta forma:∑∞

i=0 aixi = a0 + a1x + ... + anxn + ..., onde ai ∈ A e x é uma indeterminada, sendo que

ai = 0, para todo i > n; e , A um anel qualquer, (boa noção de anéis e corpos encontradaem Domingues e Iezzi [3]). Já está de�nido o polinômio, mas não a função polinomial.Também algebricamente, e na mesma fonte acima citada, podemos encontrar uma boade�nição sobre função polinomial sobre um corpo. Diz-se que um elemento φ ∈ F F é umafunção polinomial sobre F , se existir f(x) ∈ F (x) tal que aφ = f(a),∀ ∈ F , sendo F umcorpo e F F o conjunto de todas as funções de F em F , se, por exemplo, trabalharmoscom o conjunto dos reais, podemos chamar de R ao invés de F .

De�nido os polinômio e a função polinomial; estamos cientes de que a função quadráticaestá introduzida em todas as particularidades da função polinomial. A primeira, e maisinteressante para nós, é o zero da função, que encontraremos ao resolvermos uma equaçãodo tipo: f(x) = 0, sabendo que terá o mesmo grau do polinômio. No caso da funçãoquadrática que por sua vez recai numa equação de segundo grau ax2 + bx+ c = 0, quandodeseja-se encontrar as raízes, temos a famosa fórmula de Bhàskara: x = −b±√∆

2a, onde

∆ = b2 − 4ac, ou o método das relações de Girad para determiná-las. Se tivermos asraízes, o vértice, e a intersecção com o Oy; traçamos o grá�co da função quadrática; aindaque temos consciência que para traçar a parábola é su�ciente termos três pontos, desdeque pelo menos um deles esteja separado pelo eixo de simetria. O primeiro passo já foidado, agora vamos partir para a intersecção com o eixo y, na qual sem rodeios pode-sea�rmar que a parábola corta eixo y quando x = 0, ou seja, se f(x) = ax2 + bx + c,f(0) = c; concluímos que o ponto (0 , c) é intersecção com o eixo y. Por enquanto jápodemos até dar uma boa idéia de como �cará a parábola, apenas se a equação tiver duasraízes distintas, ou seja, ∆ > 0. Vejamos:

No grá�co da função acima, temos apenas as raízes e a intersecção com eixo y. Porém,poderíamos traçar esse grá�co se a equação não possuísse raízes reais? Ou, se possuísseapenas uma raiz? Ou seja, ∆ = 0 ou ∆ < 0. Sim, o vértice, e /ou um auxiliar, nospossibilita assim fazer. Em qualquer livro contendo o assunto, encontramos a seguintesfórmulas para o vértice: xv = − b

2aou xv = x1+x2

2, onde x1 e x2 são as raízes da equação, e

para o yv = −∆4a. Logo V(xv,yv) é o ponto que determina o vértice da função. Discutiremos

apenas algebricamente sobre a última fórmula.

O primeiro questionamento é: se temos uma formula para xv, em função das raízes, e1Uma soma formal in�nita

B.3 Dedução da fórmula para yv 42

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Figura 11: y = x2 + 2x− 3

isso nos dá uma boa característica da parábola, a possibilidade de reparti-la igualmentecom o eixo de simetria; porque não pensarmos em uma fórmula similar para o yv, mesmoque não venha a trazer à tona características tão interessantes? Outro argumento, é afacilidade que se torna o cálculo, se as raízes já estivem exibidas sem usar primeiramentea fórmula de Bhàskara. Ainda podemos citar algo mais que �cará para o decorrer dodesenvolvimento, por possibilitar o uso mais amplo na representação grá�ca.

B.3 Dedução da fórmula para yv

Nossas hipóteses consistem em:

yv = −∆

4a(B.1)

onde ∆ = b2 − 4ac.

E as Relações de Girad 2,

x1 + x2 = − b

ae x1x2 =

c

a(B.2)

onde x1 e x2 são as raízes da equação. Logo, de B.2, temos2Essas relações podem ser encontradas em [16] ou [12]

B.4 Aplicação 43

b = −a(x1 + x2) e c = x1x2 (B.3)

Primeiramente, vamos escrever ∆ em função de x1 e x2, pela fórmula de ∆ de BhàskaraB.1 e B.3:

∆ = b2 − 4ac = [−a(x1 + x2)]2 − 4aax1x2

= a2(x1 + x2)2 − 4a2x1x2

= a2[(x1 + x2)2 − ax1x2]

= a2(x21 + 2x1x2 + x2

2 − 4x1x2)

= a2(x21 − 2x1x2 + x2)

∆ = a2(x1 − x2)2 (B.4)

Como yv = −∆4a, então, de B.1 e B.4

yv = −a2(x1 − x2)2

4a

yv = −a(x1 − x2)2

4(B.5)

B.4 Aplicação

Eis uma outra forma para calcular o vértice relativo à imagem da parábola. Comoexemplo, vamos calcular o vértice da função exibida no grá�co da FIGURA 11, usandoos dois métodos. Considerando que já conhecemos tanto as raízes quanto a função, temosque se y = x2 + 2x− 3, podemos assim calcular a coordenada yv:

∆ = 22 − 4.1.(−3) ⇒ ∆ = 4 + 12 ⇒ ∆ = 16 ⇒ yv = −164⇒ yv = −4

Por B.5, conhecendo as raízes expostas no grá�co, ou encontradas pelos métodos deGirad ou soma e produto, temos que:

x1 = −3; x2 = 1 e a=1 ⇒yv = −a(x1−x2)2

4⇒ yv = −1(−3−1)2

4⇒ yv = −16

4⇒ yv = −4

B.4 Aplicação 44

B.4.1 Dedução para Raízes Complexas

Observe que obtemos a mesma solução, porém, nada tão vantajoso, a menos das con-tas, já que as raízes foram antecipadamente exibidas. Precisamos destacar a importânciaque também se aplica para raízes imaginárias, uma vez que possui grá�co sendo parábolaquadrática, o vértice certamente é um número real, ou seja, basta veri�car se o elementocontido no parêntese é um número real, como nos mostra o seguinte encadeamento:

Sendo

x1 = m + ni e x2 = m− ni, (B.6)

sendo m a parte real e n a parte imaginária do número complexo, onde x1 e x2 sãoas raízes da função, conseqüência de Bhàskara.

Substituindo B.6 em (x1 − x2)2, temos:

(x1− x2)2 = (m + ni− (m− ni))2 = (m + ni−m + ni)2 = (2ni)2 = 4n2i2 = −4n2 (B.7)

De B.7 e B.5 temos:

yv = −a(−4n2)

4⇒ yv = an2 (B.8)

O teste em relação a e�ciência de B.8 poderá �car por conta do leitor.

B.4.2 Aplicação no Exemplo Anterior

Contudo desejamos apresentar aqui, algo além da fórmula yv, tornemos a considerá-lauma função, cuja variável dependente é o yv e a independente é o coe�ciente . Observemosque o vértice mudará na medida que o coe�ciente dominante3 variar. Tal fato nos concedemais que uma família de parábolas adquiridas com a variação do termo independente(FIGURA 12), ou parábolas do tipo f(x) = ax2 (FIGURA 12), com a mudança do valordo coe�ciente dominante.

3Termo usado por Hygino e Iezzi em [3], se referindo ao que chamávamos, vulgarmente, de coe�cienteprincipal.

B.4 Aplicação 45

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 12: Parábolas com mesmo coe�ciente dominante e Família de Parábolas

Fixaremos as duas raízes e induziremos a variação de seu vértice; (claro que se as raízesestão �xas xv não mudará). Concluindo assim que devemos fazer yv variar; contudo issonão será difícil, levando em conta que já apontamos o centro de nossa discussão comopodendo considerar yv uma função. Vejamos em termos algébricos: yv = −a(x1−x2)2

4,

sabendo que, se alterarmos o coe�ciente dominante, teremos que multiplicar toda a funçãopela razão que o alterou, para que não se alterem as raízes e não �ra nossa intenção.Exemplo: y = x2 + 2x − 3, é um exemplo que foi trabalhado mais acima, testamos evimos que tem yv = −4; todavia deseja-se alterá-lo para yv = 1 ⇒ 1 = −a(−1−3)2

4⇒

1 = −16a4⇒ a = −1

4; para isso, precisamos multiplicar toda a equação pelo mesmo valor

que fez a requerida mudança do coe�ciente, no caso o próprio −14, no caso geral, por a0

a,

B.4 Aplicação 46

onde a0 e a são os coe�cientes dominantes atual e o antigo, respectivamente. Podemosentão, observar a construção grá�ca com tal noção (FIGURA 13). E aqui chamaremosesse conjunto de parábolas de: parábolas co-simétricas co-radiproporcionais, por teremvértices proporcionais aos coe�cientes dominantes , mesmas raízes, e conseqüentemente,mesmo eixo de simetria.

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=x^2-4

y=(3/4)x^2-3

y=(1/2)x^2-2

y=(1/4)x^2-1

y=-x^2+4

y=-(3/4)x^2+3

y=-(1/2)x^2+2

y=-(1/4)x^2+1

Figura 13: Parábolas Co-simétricas Co-radiproporcionais

B.4.3 O Caso de Raíz Única

"Se �xarmos as raízes...", observe que a função com uma única raiz, tem como xv opróprio zero da função; o que signi�ca que se �xamos a raiz, não podemos manipular ovértice, e se mudamos o vértice, não estamos �xando a raiz, paradoxalmente a esse tipode aplicação da fórmula B.5. Se a raíz for complexa, temos a impossibilidade de �xaçãono plano cartesiano. Todavia, esses problemas não eximem a utilização das duas outrasformas de calcular o vértice V aqui; apenas, diferentemente de funções com dois zerosdistintos, a função com apenas um zero, não representam parábolas co-simétricas co-radiproporcionais, apenas co-simétricas co-radicandas, FIG. 3. Porém é claro que funçõesde uma raiz dupla apresentam a característica de possuírem vértice apenas sobre o eixoda abscissa, podemos também mostrar tal fato usando B.5.

Seja x1 = x2, yv = −a(x1−x2)2

4⇒ yv = −a(x1−x1)2

4⇒ yv = −a02

4⇒ yv = 0. Observe

que os casos citados logo acima, dizem respeito as parábolas sob manipulação de vértice.

Outra justi�cativa importante, a respeito da possibilidade de obter pelo menos uma

B.4 Aplicação 47

intersecção com Oy, seria necessário que o grá�co da função superior tivesse a concavidademais aberta que o grá�co da função inferior, ou mesmo vértice. Sabendo que quanto maioro módulo do coe�ciente dominante, mais fechada é a concavidade, podemos observar que,numa função de raízes complexas, se mudarmos o vértice, elas não se interceptam, poisterá maior módulo, e �cará dentro da outra parábola, e se com menor módulo, ela conteráa primeira. Sabendo que não é uma família, podendo também utilizar a equação B.8 evisualizar no grá�co. Contudo, também são parábolas co-simétricas co-radiproporcionais,por terem coe�ciente dominante e yv proporcionais da seguinte forma:

yv

a=

yv1

a1

= ... =yvn

an

(B.9)

B.4.4 Aplicação com Raízes Complexas

Apesar de não podermos ver gra�camente as coincidências das raízes, sabemos quetêm mesmos zeros. E as mesmas justi�cativas consideradas para as funções com dois zerosdistintos e reais, também podem ser aceitas neste caso de raízes complexas no que dizrespeito a classi�cação. Podemos apresentá-las assim como nos mostra a FIGURA 14:

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

2

4

6

8

10

12

14

y=x^2+3x+4

y=(8/7)(x^2+3x+4)

y=(20/7)(x^2+3x+4)

y=4(x^2+3x+4)

Figura 14: Parábolas Co-simétricas Co-radiproporcionais com Raízes Complexas

Podemos também traçar um grá�co análogo abaixo do eixo x, lembrando que ade�nição das proporcionais diz respeito ao módulo de a, por isso também será válidaa análise acima.

B.5 Mais Aplicações Geométricas 48

B.5 Mais Aplicações Geométricas

Podemos também, ao invés de �xar as parábolas sobre o eixo x, podemos �xar sobreuma reta qualquer. Vamos apenas mostrar gra�camente mostrando as equações quegeraram tais grá�cos.

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

0

1

2

3

4

5

y=x^2-4x+3

y=(3/4)x^2-3x+3

y=(1/2)x^2-2x+3 y=3

Figura 15: Parábolas Fixas numa Reta

No caso acima, apenas ultilizamos a reta x = 3 ao invés de x = 0 como estávamosfazendo anteriormente. O que implica em resolver uma equação f(x) = 3 ao lugar daf(x) = 0, assim segue igualmente todos os outros processos. Vejamos agora o caso de�xar sobre uma reta inclinada.

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

0

2

4

6

8

y=x+3

y=(2/3)x^2-(7/3)x+3

y=(5/6)x^2-(19/6)x+3

y=(1/3)x^2-(2/3)x+3

y=(1/2)x^2-(3/2)x+3

y=x^2-4x+3

Figura 16: Parábolas Fixas numa Reta Inclinada

No caso acima, apenas ultilizamos a reta y = x+3 ao invés de x = 0 como estávamos

B.6 Motivação Filosó�ca 49

fazendo anteriormente. O que implica em resolver uma equação f(x) = x + 3 ao lugarda f(x) = 0, assim segue igualmente todos os outros processos. Vejamos agora o caso de�xar sobre uma reta inclinada. Pore�m os vértices não �cam alinhados nesse caso.

B.6 Motivação Filosó�ca

Porquanto já podemos considerar su�ciente a aplicação algébrica da fórmula, pode-mos passar a citar a parte mais concreta de sua aplicação. Relatemos algumas de suasaplicações algum modo. Pois não é de objetivo principal oferecer aplicação, conhecendo abeleza de matemática por matemática, reconhecida pelo �lósofo Descartes em [17], página234, que diz: "[...] as matemáticas têm invenções sutilíssimas e podem servir muito,tanto para satisfazer os curiosos, como para facilitar todas as artes e diminuir trabalhoaos homens [...]". A parábola, como também os outros grá�cos de funções, é consider-avelmente utilizada nos ramos da matemática �nanceira, funções demanda e oferta demercado, preço e quantidade de equilíbrio, função lucro ou prejuízo de uma empresa, (re-ceita total), [14]. Além de outras características com perspectivas eletrônicas, como é ocaso, do farol de carro, antena parabólica (como o próprio nome já diz), radares, além dolançamento oblíquo e o movimento uniformemente variado, que no caso da física5; estesestão entre muitos outros fatos e aplicações.

4René Descartes5http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/quadratica.htm

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Referências

[1] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise vol.1. Ed. Projeto Euclides. Rio de Janeiro,2006.

[2] BERGAMASCHI, Flaulles Boone. Cálculo Numérico com Matlab. Vitória daConquista, 2005.

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[5] GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. Ed. Projeto Euclides. Rio deJaneiro, 2005.

[6] LIMA, Elon Lages. Análise Real. Ed. IMPA. Rio de Janeiro, 2004.

[7] GELBAUM, Bernard R.; OLMSTED, John M.H.. Counterexamples in Analysis.Ed. Holden-Day, Inc. San Francisco, 1965.

[8] LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. Ed. Projeto Euclides. Rio de Janeiro, 2005.

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[11] DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Ensino Médio. Ed. Ática. São Paulo, 2004.

[12] DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. 3. Ed. Ática.São Paulo, 2002.

[13] ELON, Lajes lima; CARAVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MOR-GADO, Augusto Cesar. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 1. ed. 2. Ed.Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro, 1997.

[14] SILVA, Sebastião Medieros. Matemática para cursos de Economia, Adminis-tração, Ciências Contábeis 5. ed.. Ed. Atlas. São Paulo, 1999.

[15] FRALEIGH, John B. A First Course In A Abstract Algebra. Ed. Addison-Wesley Publishing Company. Massachusetts, 1968.

[16] GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JR, José Ruy; BONJORNO, José Roberto.Matemática Fundamental, 2◦ grau, vol. Único. Ed. FTD. São Paulo, 1994.

[17] DESCARTES, René. Discurso do Método. Editora Martin Claret, São Paulo,2003.