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Dinâmica Estocástica
Instituto de Física, outubro de 2016
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2
Dinâmicas estocásticas com mudança de um sítio
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Dinâmica de Metropolis e dinâmica de Glauber para o modelo de Ising
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3
Dinâmicas estocásticas para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Sistema definido em um reticulado em um espaço de d dimensões
i variável estocástica associada ao sítio i -> assume 2 valores
Exemplo: rede quadrada (d=2) em que cada sítio pode estar em 2 estados
Rede tem N sítios
i
Cada sítio pode estar em um número de 2 de estados
Valor assumido por fornece o estado do sítio i
Estado do sistema )...,,...,,,( 21 Ni
i=1, 2, ..., N
1i
i
1
1
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4
Equação Mestra
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
),(),'(),'()',(),()('
tPWtPWtPdt
d
)',( W taxa de transição do estado para o estado'
)...,,...,,,( 21 Ni )'...,,'...,,','(' 21 Ni
Dinâmicas estocásticas em reticulado
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5
1i
Reticulado em um espaço de d dimensões
as variáveis estocásticas i
Dinâmicas estocásticas com mudança de um único sítio
1( ,...., ,...., )i N
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Vamos considerar em primeiro lugar o caso especial em que
)...,,...,,,(' 21 Ni
' Transição com mudança de um único sítio
O sítio i foi escolhido e sua variável pode mudar paraii
O sítio i muda do estado para o estado
Todos os outros sítios permanecem no mesmo estado
E o sistema pode ir para estado tal que: '
ii
assumem os valores . Isso é o que ocorre no modelo de Ising, por exemplo.
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6
1i
Dinâmicas estocásticas com mudança de um único sítio
1( ,...., ,...., )i N
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)...,,...,,,(' 21 Ni
' Transição com mudança de um único sítio e
O sítio i mudou do estado para o estado ii
Todos os outros sítios permaneceram no mesmo estado
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7
1ivariáveis estocásticas assumem os valores i
Dinâmicas estocásticas com mudança de um único sítio
taxa de inversão de sinal da variável
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
'
Taxa de transição para dinâmicas com mudança de um sítio
)( ii
)',( 11 = delta de Kronecker: '1)',( 1111 '0)',( 1111
)(iw i
Caso em que as
)(),'(...),'(...),'(),'( 11
1
iNNii
N
i
wW
taxa de transição por sítio
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),(),'(),'()',(),()('
tPWtPWtPdt
d
Tânia Tomé - Din Estoc - 20168
)(),'(...),'(...),'(),'( 11
1
iNNii
N
i
wW
Equação mestra para dinâmicas com mudança de um único sítio
para o caso em que 1i
em que é a taxa de transição do estado para o estado : ),'( W '
dinâmica de um sítio
(*)
(*)
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Equação Mestra para dinâmicas com mudança de um único sítio
)...,,...,,( 1 Ni
)...,,...,,( 1 Ni
i
)()()()(),(1
PwPwtPdt
di
ii
i
N
i
Tânia Tomé - Din Estoc - 20169
1ipara o caso:
)(iw taxa de transição por sítio
Vamos deduzir a seguir
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Obtenção da equação mestra para dinâmicas com mudança de um único sítio
),'()'()',(...)',(...)',( 11
1)('
tPwiNNii
N
i
),(),'(),'()',(),()(')('
tPWtPWtPdt
d
),'()',()('
tPW
I II
I
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
10
),'()'()',(...)',(...)',( 11
)('1
tPwiNNii
N
i
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Obtenção da equação mestra para dinâmicas com mudança de um único sítio
),(),'(),'()',(),()(')('
tPWtPWtPdt
d
),'()',()('
tPW
),..,,...,,(),...,,...( 1,1
1
tPw NiNii
N
i
I
I
Tânia Tomé -Din Estoc -2016
11
),'()'()',(...)',(...)',( 11
)('1
tPwiNNii
N
i
),'()',()('
tPW
I
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)()',(...)',(...)',(),( 11
)('1
iNNii
N
i
wtP
),..,,...,,(),...,,...( 1,1
1
tPw NiNii
N
i
II
II
),(),'()('
tPW
),(),'()('
tPW
),'(...),'(...),'()(),( 11
)('1
NNiii
N
i
wtP
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
12
)(),(1
i
N
i
wtP
)..,,...,,( 1 Ni
Obtenção da equação mestra para dinâmicas com mudança de um único sítio
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),(),'(),'()',(),()(')('
tPWtPWtPdt
d
),..,,...,,(),...,,...( 1,1
1
tPw NiNii
N
i
I II
II
),..,,...,,(),...,,...( 1,1
1
tPw NiNii
N
i
I
Tânia Tomé - Din Estoc - 201613
Obtenção da equação mestra para dinâmicas com mudança de um único sítio
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Equação Mestra para dinâmicas com mudança de um único sítio
)...,,...,,()...,,...,,()...,,...,,()...,,...,,(),( 1111
1
NiNiiNiNii
N
i
PwPwtPdt
d
)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni
i
)()()()(),(1
PwPwtPdt
di
ii
i
N
i
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 14
1i
fim da demonstração
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Estado estacionário
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16
Dinâmicas com mudança de um único sítio & Estado estacionário
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
),()(),()(),(1
tPwtPwtPdt
di
ii
i
N
i
0)()()()(1
PwPw i
ii
i
N
i
Regime estacionário
0),( tPdt
d
)(P distribuição de probabilidades estacionária
0/),( dttdP
Equação mestra
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17
Dinâmicas com mudança de um único sítio & Balanceamento detalhado
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
0)()()()(1
PwPw i
ii
i
N
i
Regime estacionário
)(Pem que é a distribuição de probabilidades estacionária.
0)()()()( PwPw i
ii
ipara qualquer par ),( i
Condição de balanceamento detalhado
)(P é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado
(BD)
Se BDé obedecida
(BD)
)( iP é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado i
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18
Dinâmicas com mudança de um único sítio & Balanceamento detalhado
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Regime estacionário
)(
)(
)(
)(i
i
i
i
P
P
w
w
para qualquer par ),( i
Condição de balanceamento detalhado
)(P é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado
(BD)
(BD)
)( iP é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado
i
)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni
i
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19
Taxa de transição por sítio - Dinâmica de Metropolis
Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)exp(,1min)( Ewi
)(
)(ij
jiJE
)()( EEE i
)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni
i
.constTkB/1
i
(campo nulo)
)(iw
Energia
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20
Taxa de transição por sítio - Dinâmica de Metropolis
Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)exp(,1min)( Ewi )()( EEE i
)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni
i
)(iw
)exp( E
0E
0E
se
se
i
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21
Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)exp(,1min)( Ewi
)(
)(ij
jiJE
)()( EEE i )...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni
i
iiii JJ )()(
(...)
soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i
Modelo de Ising / energia do estado (campo nulo)
)()( EEE i
Portanto, na transição a variação de energia é i
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22
Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
kiii JJE )()(
iiJE 2
ou
(...)
soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i
i
Variação de energia i
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23
Dinâmicas de Metropolis e de Glauber para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
que é a soma sobre os estados dos sítios que são primeiros vizinhos do sítio i escolhido
1 d
i 11 ii
Taxa de transição para Metropolis (e taxa de Glauber) envolve
i
sítio escolhido i
Modelo definido em uma rede unidimensional
sítio que é primeiro vizinhodo sítio escolhido i
1i1i i
1i i 1i
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24
Dinâmicas de Metropolis e de Glauber para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
que é a soma sobre os estados dos estados dos primeiros vizinhos do sítio i escolhido
2 dimensões – Por exemplo, modelo definido em uma rede quadrada
i
2i
1i3i
4i
i 4321 iiii
Taxas de transição para Metropolis e para Glauber envolvem
i
sítio escolhido i sítio que é primeiro vizinho do sítio escolhido i
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25
Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
iii Jw 2exp(,1min)(
iiJE 2 (...)
soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i
TkB/1
i
Taxa de transição por sítio / Metropolis
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Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising
Modelo de Glauber-Ising
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27
Dinâmica de Glauber
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
iii Jw tanh12
)(
)(
)(ij
jiJE
Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising – Modelo de Glauber-Ising
Roy J. Glauber, Time dependent statistics of the Ising model, J. Math. Phys. 4, 294 (1963)
(...)
soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i
Artigo muito
relevante!
Modelo de Glauber-Ising
.const TkB/1
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28
Estado estacionário: possui balanceamento detalhado para as duas dinâmicas
em que é a probabilidade estacionária associada ao modelo de Ising:
( ) ( )
( ) ( )
i
i
i
i
w P
w P
Dinâmica de MetropolisDinâmica de Glauber
Dinâmicas com mudança de um único sítio para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
)()()()( ii
ii PwPw
Z
eP
ji
ji
J
),(
)(
)(P
iii Jw tanh12
)(
iii Jw 2exp(,1min)(
MOSTRAR!vamos verificardepois
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29
Dinâmica de MetropolisDinâmica de Glauber – Modelo de Glauber-Ising
Dinâmicas com mudança de um único sítio para o modelo de Ising
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
i
B
iiTk
Jw tanh1
2)(
)
2exp(,1min)(
ii
B
iTk
Jw
)()( ii ww
Essas duas dinâmicas possuem simetria “up-down” ou também chamada de simetria de inversão:
)(tanh)(1
2)(
i
B
iiTk
Jw
i
B
iTk
Jtanh1
2)(iw
Verificação para a dinâmica de Glauber para o modelo de Ising a campo nulo
Modelo de Ising a campo nulo
)...,,...,,,( 21 Ni
)...,,...,,,( 21 Ni
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FIM