MATEMÁTICA 3

MÓDULO 2 Conjuntos

Professor Renato Madeira

SUMÁRIO 1. Noções primitivas

2. Notação 3. Descrição de um conjunto 4. Conjunto vazio 5. Conjunto unitário 6. Conjunto universo 7. Conjuntos iguais 8. Subconjuntos 8.1. Propriedades da inclusão 8.2. Conjunto das partes (ou conjunto potência) 9. Operações entre conjuntos 9.1. União de conjuntos 9.2. Interseção de conjuntos 9.3. Diferença de conjuntos 9.4. Complementar de B em relação a A 9.5. Diferença simétrica

1. NOÇÕES PRIMITIVAS Conjunto

Elemento Pertinência Exemplo: A = {a, b, c}, b A e d ∉ A

4. CONJUNTO VAZIO

O conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos

e é denotado por ou { }.

Exemplo: A = {x|x é ímpar e múltiplo de 2} =

5. CONJUNTO UNITÁRIO

Exemplos:

A = {1}

B = {x|x é um número primo par} = {2}

C = {{2,3}} é um conjunto unitário de elemento {2,3}

{} é um conjunto unitário de elemento .

6. CONJUNTO UNIVERSO (U)

7. CONJUNTOS IGUAIS

Dois conjuntos são iguais se possuem os mesmos elementos.

A = B (∀x)(x A x B)

Exemplos:

{a,b,c} = {b,c,a}

{a,b,c} {a,b,c,d}

{a,b,c,a,c} = {a,b,c}, pois ambos os conjuntos possuem os mesmos elementos a, b e c.

8. SUBCONJUNTOS

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, denotado por A B, se, e somente se, todo elemento de A é também elemento de B.

A B (∀x)(x a x B)

Exemplo: {a, b} {a, b, c, d}; {a, b} {b, c, d}.

8.1. PROPRIEDADES DA INCLUSÃO

Para quaisquer conjuntos A, B e C, tem-se:

i) A

ii) A A (propriedade reflexiva)

iii) (A B B A) A = B (propriedade antissimétrica)

iv) (A B B A) A C (propriedade transitiva)

A é um subconjunto próprio de B quando A B e A B.

Exemplo: {1,2} é um subconjunto próprio de {1,2,3}.

8.2. CONJUNTO DAS PARTES (OU CONJUNTO POTÊNCIA)

O conjunto das partes ou conjunto potência de um determinado conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A e é denotado por P(A).

Exemplo: A = {a,b} P(A) = {,{a},{b},{a,b}}

#(P(A)) = 2#(A)

9.1. UNIÃO DE CONJUNTOS

A B = {x|x A x B} Exemplo: {a,b} {b,c} = {a,b,c}

Propriedades:

i) A A = A (idempotente)

ii) A = A (elemento neutro)

iii) A B = B A (comutativa)

iv) (A B) C = A (B C) (associativa)

Número de elementos da união

#(A B) = #(A) + #(B) – #(A B)

#(A B C) = #(A) + #(B) + #(C) – #(A B) – #(A C) – #(B C) + #(A B C)

9.2. INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS

A B = {x|x A x B} Exemplo: {a, b, c, d} {c, d, e} = {c, d}; {a, b} {c, d} =

A e B são disjuntos A B =

Propriedades:

Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, então:

i) A A = A (idempotente)

ii) A =

iii) A B = B C (comutativa)

iv) (A B) C = A (B C) (associativa)

Propriedade distributiva da união e da interseção

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

9.3. DIFERENÇA DE CONJUNTOS

A – B = {x|x A x B} Ex.: {a, b, c, d} – {c, d, e} = {a, b}; {a, b} – {a, b, c} = ; {a, b} – {c, d} = {a, b}

B A CAB = A – B

Exemplo:

A = {a, b, c} e B = {a, b}, B A CAB = A – B = {c}

Se B não for um subconjunto de A, então CAB não está definido.

C(A), e A’ são notações que representam o complementar de A em relação ao universo.

Leis de De Morgan

9.4. COMPLEMENTAR DE B EM A

A

A∆B = (A – B) (B – A) = (A B) – (A B)

Exemplo: {a, b, c} ∆ {b, c, d} = {a, d}

9.5. DIFERENÇA SIMÉTRICA