Apresentação do Projeto

Matemática AMatemática A • 11.° ano

• Manual (3 partes)

• Caderno de Atividades

• Guia do Professor

• Propostas de resolução

• e-Manual

• Aplicações Didáticas

Recu

rsos

do

Prof

esso

r

Oo+ Próximos de si!+ Próximos de si!Educação 2011

Mais valor! Mais futuro!

O e-Manual PREMIUM é uma versão digital do manual com centenas de recursos multimédiaem contexto.O e-Manual PREMIUM está integrado no BRIP, a maior base de Recursos Educativos Digitais,com mais de 35 000 recursos multimédia e interativos.Em setembro, o manual escolar em versão digital será também disponibilizado em CD-ROM,de forma a viabilizar a sua utilização sem acesso à Internet.

Como aceder ao e-Manual?Os professores que adotarem o projeto Matemática A 11.º ano deverão proceder da seguinte forma:

Aceder ao Espaço Professor em www.portoeditora.pt

Fazer login com os seus dados de acesso ou inscrever-se caso ainda não estejam registados.

Como utilizar?Ao longo das páginas do e-Manual encontra áreas clicáveis que indicam a existência de recursos aexplorar.

Na Internet ser-lhe-á disponibilizada a versão completa do seu e-Manual, sendo possível navegar pelaspáginas, à semelhança do que faria na versão impressa.

Através do BRIP poderá ainda adicionar novos recursos de acordo com as suas necessidades, de formaa criar o seu próprio e-Manual.

wO Banco de Recursos Interativos para Professores, designado por BRIP, é o maior banco de recursos multimédia online, de carácter curricular, disponível em língua portuguesa. Ao adotar estemanual escolar poderá aceder, gratuitamente, a este módulo e a todos os recursos digitais educativos disponíveis para a disciplina de Matemática A do 11.º ano de escolaridade.

São centenas de objetos que podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades: animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitosoutros.

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Tema 1 Sucessões monótonas e sucessões limitadas

MA

11FN-SU

C ©

Porto Editora

Exemplo

Mostre que é limitada a sucessão deBnida por: un = .

Estratégia

Vamos aplicar a deXnição.

Porquê

Porque sabemos que se un é limitada Em , M å R : m ≤ an ≤ M , A n å N .

ResoluçãoUsando enquadramento, temos que:

Por outro lado, 0 < ≤ 1 , daí que 0 < ≤ 2

E, assim, 1 < 1 + ≤ 3 , A n å N ,

ou seja, 1 < un ≤ 3 , A n å N .

A sucessão é limitada porque o conjunto dos seus termos é minorado e majo-rado.

Outro processo para mostrar que existem números reais, m e M , de modo que

m ≤ ≤ M , A n å N , pode ser o seguinte:

Recorrendo a uma representação gráXca da sucessão

Parece poder concluir-se que:

1 ≤ ≤ 3 , A n å N

Vejamos se, de facto, tal é verdade.

• 1 ≤ §n 0 0n ≤ n + 2 § 0n ≤ 2

• ≤ 3 §n 0 0n + 2 ≤ 3n

§ - 2n ≤ - 2 § n ≥ 1 .

Atendendo a que 0n ≤ 2 e n ≥ 1 , A n å N ,

pode concluir-se que a sucessão é limitada e que

1 ≤ ≤ 3 , A n å N

n + 2n

n + 2n = n

n + 2n = 1 + 2

n

1n

2n

2n

n + 2n

n + 2n

n + 2n

n + 2n

n + 2n

Estudar a monotonia de uma sucessão5

Questão 5

Mostre que são limitadas as sucessões:

5.1. an = 1 + ;

5.2. bn = 5 ;

5.3. cn = (- 1)n * ;

se n é par

- 1 se n é par

1n

1n

abc

5.4. dn =1n

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Tema 5 Funções irracionais

MA

11FN-FU

N ©

Porto Editora

Exemplo

Seja f uma função real de variável real de>nida por f (x) = .

22.1. Represente f gra>camente e identi>que o domínio e as assíntotas dográ>co de f .

22.2. Partindo do grá>co de f , obtenha o grá>co g (x) = f (x) + 2 e h (x) = f (x + 2) e identi>que as respetivas assíntotas.

22.3. Partindo do grá>co de f obtenha o grá>co h e identi>que as respetivasassíntotas.

Estratégia

Vamos começar por determinar o domínio da função.

Em seguida, com a ajuda da calculadora, faz-se um esboço do gráRco de f .

A partir do gráRco de f obtêm-se os gráRcos das funções g e h .

Porquê

Porque os gráRcos das funções g e h podem facilmente ser obtidos do gráRcopor uma deslocação vertical e uma deslocação horizontal, respetivamente.

Resolução

22.1. f (x) = x- = =

Df = ]0 , + ?[

Os eixos coordenados são assíntotas do gráRco: x = 0 e y = 0 .

22.2. g (x) = f (x) + 2 ; g (x) = + 2

O gráRco de g obtém-se do gráRco de f subindo 2 unidades.

São assíntotas do gráRco de g as retas de equação:

y = 2 e x = 0 .

22.3. h (x) = f (x + 2) ; h (x) =

O gráRco de h obtém-se do gráRco de f peladeslocação de duas unidades para a esquerda.

São assíntotas do gráfico de h as retas deequação:

x = - 2 e y = 0

x-12

12 1

x12

1

"x

0 1

1

x

y

y = 1x

1

"x

1

"x + 2

Assíntota do gráEco de uma função22

Questão 22

Considere a função real de variável realde9nida por:

f (x ) = (x - 1)-

.

22.1. Determine o domínio de f e asassíntotas do respetivo grá9co.

22.2. Determine as assíntotas do grá9coda função g de9nida por:

g (x ) = f (x - 2) + 3 .

12

0 1

1

x

y

3

2

+ 2y = 1x

0 1 x

y

–1–2

1 + 2y = 1x

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Tema 1 A calculadora e as razões trigonométricas

MA

11FN-G

EO ©

Porto Editora

Exemplo

A Lgura 3 representa uma ponte e a Lgura 4 o modelo geométrico da ponte.

No modelo tem-se:

•

• = 6 m

• [FECB] é um retângulo.

• ABWF = 62°

Sabe-se ainda que um peão para atravessar a ponte percorre 40,5 m .

Determine .

Apresente a resposta com aproximação às décimas do metro.

Estratégia

Começamos por determinar .

Em seguida, subtraímos 2 * a 40,5 m .

Porquê

Porque sabemos que:

• sin 62° =

•

•

•

Resolução

sin 62° = De]nição de sin a

= 26,9 m (1 c. d.)

AB = CD

AF

BC

AB

AB

6AB

AB = CD

BC = 40,5 - AB - CD

BC = 40,5 - 2 * AB

6AB

AB = 6sin 62°

BC = 40,5 - 2 * 6sin 62°

BC

A ponte2

6 m

62°

DEF

B C

AFigura 3 Figura 4

Questão 2

A Cgura 5 representa uma janela notelhado de uma casa.

A Cgura 6 representa o modelo geomé-trico da janela.

[ABC] é um triângulo equilátero.

= 1,5 m

Determine, com aproximação às décimasdo metro quadrado, a área do triângulo[ABC] .

1,5 m

A D B

C

Figura 6

CD

Figura 5

ManualO manual com a didática maisatualizadaO manual acompanha as novastendências do ensino daMatemática. Ao incorporar asnovas abordagens “Estratégia” e “Porquê”, promovemos a comunicação matemática, o raciocínio e a resolução deproblemas. Todos os exemplosapresentados, ao longo doMatemática A, seguem estaabordagem inovadora. Com oMatemática A nunca mais estadisciplina será ensinada eaprendida da mesma forma. Este é o manual que, mais doque ensinar Matemática, ensinaa pensar Matemática.

1

Manual

O manual que promove oestudo autónomoAo longo de todo o manual énotório o cuidado tido emintegrar temas de revisão quepermitam recuperar e/ouestruturar logicamente asmatérias.O sucesso em Matemáticapressupõe uma boa organizaçãoe uma orientação cuidada. O manual Matemática Aapresenta uma sequênciaestruturada da matéria que,passo a passo, vaiproporcionando e motivandopara o estudo autónomo,tornando-se, assim, um aliado do professor e dos pais /encarregados de educação.

Manual estruturado A apresentação dos conteúdosem formato de aula adapta-sefacilmente a metodologiasdiversificadas, de acordo com o perfil do professor e o nível daturma.

Caderno de Atividades

As destrezas matemáticasadquirem-se fazendo exercícios eresolvendo problemas. OCaderno de Atividadesproporciona aos alunos inúmerasfichas de trabalho que ospreparam para os momentos deavaliação ao longo do ano letivo.

Guia do Professor

O professor que adote esteprojeto tem disponíveis eorganizadas por capítulo:

• Tarefas de exploração/modelação, com planos deoperacionalização da tarefa.

• Propostas de questões-aula– Questões-aula;– Questões-aula em duas fases.

• Proposta de teste intermédio.

• Proposta de planos de aula:no sentido de apoiar oprofessor a integrar o manualno vasto conjunto de recursoshoje existentes (em papel e emformato digital), para cada aulaindicam-se os recursosdisponíveis, sugestões deutilização, propostas de

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2 abordagem de cada tema esugestões sobre todos osaspetos que um plano de aulacontém. Estes planos de aulasão uma mais-valia nas aulas de substituição.

• Propostas de resolução dasQuestões-aula como forma deotimizar o tempo do Professor.

A versão definitiva será oferecidaao professor em caso de adoçãodeste projeto.

Propostas de resolução

Propostas de resolução de todasas questões do Manual e doCaderno de Atividades.Oferta ao professor em caso deadoção deste projeto.

e-Manual do Professor(disponível também para o aluno)

O e-Manual apresenta:– uma versão digital do manual

Matemática A;– uma versão digital das

propostas de resolução detodas as questões do Manuale do Caderno de Atividades;

– tudo o que o CD das aplicaçõesdidáticas contém.

5

4

Aplicações Didáticaspara o Professor

Para otimizarem o trabalho doprofessor que usa oMatemática A, os autoresdesenvolveram um conjuntodiversificado de aplicaçõesdidáticas que sãodisponibilizadas a todos osprofessores em formato digitalnum CD:• Manual em formato digital• Apresentações em

PowerPoint®, com a síntese do capítulo;

• Aplicações GeoGebra e emfolha de cálculo para os temasem que estas ferramentasapresentam vantagempedagógica;

• Tarefas e questões-aula emQuizFaber® para motivar,diversificar métodos eestratégias de ensino e facilitara avaliação contínua;

• Questões-aula em duas fases,um recurso de excelência paraenvolver os alunos na construçãodo seu processo de ensino --aprendizagem, consolidando-oe promovendo o sucesso.

A versão definitiva será oferecidaao professor em caso de adoçãodeste projeto.

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1 Caderno de Atividades2 Guia do Professor3 e-Manual do Professor5Propostas de resolução4 Aplicações Didáticaspara o Professor

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Recu

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do

Prof

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O manual que potencia osucesso para todosA diversidade de atividadespropostas (Atividades deAplicação, Fichas de Avaliaçãocom exercícios de escolhamúltipla e de desenvolvimento eProposta de testes intermédios)em cada tema do Matemática Apromove um ensino diferenciado,proporcionando, em particularaos alunos com maior potencial,a realização de tarefas deenriquecimento e pesquisa quelhes permitirão atingirclassificações elevadas, quer emavaliação em situação de aula,quer nos Testes Intermédios e noExame Nacional. Desta forma,alunos, professores e escolaalcançarão sucesso.

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Tema 1 Sucessões monótonas e sucessões limitadas

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Porto Editora

Exemplo

Mostre que é limitada a sucessão deBnida por: un = .

Estratégia

Vamos aplicar a deXnição.

Porquê

Porque sabemos que se un é limitada Em , M å R : m ≤ an ≤ M , A n å N .

ResoluçãoUsando enquadramento, temos que:

Por outro lado, 0 < ≤ 1 , daí que 0 < ≤ 2

E, assim, 1 < 1 + ≤ 3 , A n å N ,

ou seja, 1 < un ≤ 3 , A n å N .

A sucessão é limitada porque o conjunto dos seus termos é minorado e majo-rado.

Outro processo para mostrar que existem números reais, m e M , de modo que

m ≤ ≤ M , A n å N , pode ser o seguinte:

Recorrendo a uma representação gráXca da sucessão

Parece poder concluir-se que:

1 ≤ ≤ 3 , A n å N

Vejamos se, de facto, tal é verdade.

• 1 ≤ §n 0 0n ≤ n + 2 § 0n ≤ 2

• ≤ 3 §n 0 0n + 2 ≤ 3n

§ - 2n ≤ - 2 § n ≥ 1 .

Atendendo a que 0n ≤ 2 e n ≥ 1 , A n å N ,

pode concluir-se que a sucessão é limitada e que

1 ≤ ≤ 3 , A n å N

n + 2n

n + 2n = n

n + 2n = 1 + 2

n

1n

2n

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n + 2n

n + 2n

n + 2n

n + 2n

n + 2n

Estudar a monotonia de uma sucessão5

Questão 5

Mostre que são limitadas as sucessões:

5.1. an = 1 + ;

5.2. bn = 5 ;

5.3. cn = (- 1)n * ;

se n é par

- 1 se n é par

1n

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5.4. dn =1n

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Tema 5 Funções irracionais

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N ©

Porto Editora

Exemplo

Seja f uma função real de variável real de>nida por f (x) = .

22.1. Represente f gra>camente e identi>que o domínio e as assíntotas dográ>co de f .

22.2. Partindo do grá>co de f , obtenha o grá>co g (x) = f (x) + 2 e h (x) = f (x + 2) e identi>que as respetivas assíntotas.

22.3. Partindo do grá>co de f obtenha o grá>co h e identi>que as respetivasassíntotas.

Estratégia

Vamos começar por determinar o domínio da função.

Em seguida, com a ajuda da calculadora, faz-se um esboço do gráRco de f .

A partir do gráRco de f obtêm-se os gráRcos das funções g e h .

Porquê

Porque os gráRcos das funções g e h podem facilmente ser obtidos do gráRcopor uma deslocação vertical e uma deslocação horizontal, respetivamente.

Resolução

22.1. f (x) = x- = =

Df = ]0 , + ?[

Os eixos coordenados são assíntotas do gráRco: x = 0 e y = 0 .

22.2. g (x) = f (x) + 2 ; g (x) = + 2

O gráRco de g obtém-se do gráRco de f subindo 2 unidades.

São assíntotas do gráRco de g as retas de equação:

y = 2 e x = 0 .

22.3. h (x) = f (x + 2) ; h (x) =

O gráRco de h obtém-se do gráRco de f peladeslocação de duas unidades para a esquerda.

São assíntotas do gráfico de h as retas deequação:

x = - 2 e y = 0

x-12

12 1

x12

1

"x

0 1

1

x

y

y = 1x

1

"x

1

"x + 2

Assíntota do gráEco de uma função22

Questão 22

Considere a função real de variável realde9nida por:

f (x ) = (x - 1)-

.

22.1. Determine o domínio de f e asassíntotas do respetivo grá9co.

22.2. Determine as assíntotas do grá9coda função g de9nida por:

g (x ) = f (x - 2) + 3 .

12

0 1

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x

y

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+ 2y = 1x

0 1 x

y

–1–2

1 + 2y = 1x

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Tema 1 A calculadora e as razões trigonométricas

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Porto Editora

Exemplo

A Lgura 3 representa uma ponte e a Lgura 4 o modelo geométrico da ponte.

No modelo tem-se:

•

• = 6 m

• [FECB] é um retângulo.

• ABWF = 62°

Sabe-se ainda que um peão para atravessar a ponte percorre 40,5 m .

Determine .

Apresente a resposta com aproximação às décimas do metro.

Estratégia

Começamos por determinar .

Em seguida, subtraímos 2 * a 40,5 m .

Porquê

Porque sabemos que:

• sin 62° =

•

•

•

Resolução

sin 62° = De]nição de sin a

= 26,9 m (1 c. d.)

AB = CD

AF

BC

AB

AB

6AB

AB = CD

BC = 40,5 - AB - CD

BC = 40,5 - 2 * AB

6AB

AB = 6sin 62°

BC = 40,5 - 2 * 6sin 62°

BC

A ponte2

6 m

62°

DEF

B C

AFigura 3 Figura 4

Questão 2

A Cgura 5 representa uma janela notelhado de uma casa.

A Cgura 6 representa o modelo geomé-trico da janela.

[ABC] é um triângulo equilátero.

= 1,5 m

Determine, com aproximação às décimasdo metro quadrado, a área do triângulo[ABC] .

1,5 m

A D B

C

Figura 6

CD

Figura 5

ManualO manual com a didática maisatualizadaO manual acompanha as novastendências do ensino daMatemática. Ao incorporar asnovas abordagens “Estratégia” e “Porquê”, promovemos a comunicação matemática, o raciocínio e a resolução deproblemas. Todos os exemplosapresentados, ao longo doMatemática A, seguem estaabordagem inovadora. Com oMatemática A nunca mais estadisciplina será ensinada eaprendida da mesma forma. Este é o manual que, mais doque ensinar Matemática, ensinaa pensar Matemática.

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Manual

O manual que promove oestudo autónomoAo longo de todo o manual énotório o cuidado tido emintegrar temas de revisão quepermitam recuperar e/ouestruturar logicamente asmatérias.O sucesso em Matemáticapressupõe uma boa organizaçãoe uma orientação cuidada. O manual Matemática Aapresenta uma sequênciaestruturada da matéria que,passo a passo, vaiproporcionando e motivandopara o estudo autónomo,tornando-se, assim, um aliado do professor e dos pais /encarregados de educação.

Manual estruturado A apresentação dos conteúdosem formato de aula adapta-sefacilmente a metodologiasdiversificadas, de acordo com o perfil do professor e o nível daturma.

Caderno de Atividades

As destrezas matemáticasadquirem-se fazendo exercícios eresolvendo problemas. OCaderno de Atividadesproporciona aos alunos inúmerasfichas de trabalho que ospreparam para os momentos deavaliação ao longo do ano letivo.

Guia do Professor

O professor que adote esteprojeto tem disponíveis eorganizadas por capítulo:

• Tarefas de exploração/modelação, com planos deoperacionalização da tarefa.

• Propostas de questões-aula– Questões-aula;– Questões-aula em duas fases.

• Proposta de teste intermédio.

• Proposta de planos de aula:no sentido de apoiar oprofessor a integrar o manualno vasto conjunto de recursoshoje existentes (em papel e emformato digital), para cada aulaindicam-se os recursosdisponíveis, sugestões deutilização, propostas de

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2 abordagem de cada tema esugestões sobre todos osaspetos que um plano de aulacontém. Estes planos de aulasão uma mais-valia nas aulas de substituição.

• Propostas de resolução dasQuestões-aula como forma deotimizar o tempo do Professor.

A versão definitiva será oferecidaao professor em caso de adoçãodeste projeto.

Propostas de resolução

Propostas de resolução de todasas questões do Manual e doCaderno de Atividades.Oferta ao professor em caso deadoção deste projeto.

e-Manual do Professor(disponível também para o aluno)

O e-Manual apresenta:– uma versão digital do manual

Matemática A;– uma versão digital das

propostas de resolução detodas as questões do Manuale do Caderno de Atividades;

– tudo o que o CD das aplicaçõesdidáticas contém.

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Aplicações Didáticaspara o Professor

Para otimizarem o trabalho doprofessor que usa oMatemática A, os autoresdesenvolveram um conjuntodiversificado de aplicaçõesdidáticas que sãodisponibilizadas a todos osprofessores em formato digitalnum CD:• Manual em formato digital• Apresentações em

PowerPoint®, com a síntese do capítulo;

• Aplicações GeoGebra e emfolha de cálculo para os temasem que estas ferramentasapresentam vantagempedagógica;

• Tarefas e questões-aula emQuizFaber® para motivar,diversificar métodos eestratégias de ensino e facilitara avaliação contínua;

• Questões-aula em duas fases,um recurso de excelência paraenvolver os alunos na construçãodo seu processo de ensino --aprendizagem, consolidando-oe promovendo o sucesso.

A versão definitiva será oferecidaao professor em caso de adoçãodeste projeto.

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1 Caderno de Atividades2 Guia do Professor3 e-Manual do Professor5Propostas de resolução4 Aplicações Didáticaspara o Professor

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O manual que potencia osucesso para todosA diversidade de atividadespropostas (Atividades deAplicação, Fichas de Avaliaçãocom exercícios de escolhamúltipla e de desenvolvimento eProposta de testes intermédios)em cada tema do Matemática Apromove um ensino diferenciado,proporcionando, em particularaos alunos com maior potencial,a realização de tarefas deenriquecimento e pesquisa quelhes permitirão atingirclassificações elevadas, quer emavaliação em situação de aula,quer nos Testes Intermédios e noExame Nacional. Desta forma,alunos, professores e escolaalcançarão sucesso.

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Apresentação do Projeto

Matemática AMatemática A • 11.° ano

• Manual (3 partes)

• Caderno de Atividades

• Guia do Professor

• Propostas de resolução

• e-Manual

• Aplicações Didáticas

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Oo+ Próximos de si!+ Próximos de si!Educação 2011

Mais valor! Mais futuro!

O e-Manual PREMIUM é uma versão digital do manual com centenas de recursos multimédiaem contexto.O e-Manual PREMIUM está integrado no BRIP, a maior base de Recursos Educativos Digitais,com mais de 35 000 recursos multimédia e interativos.Em setembro, o manual escolar em versão digital será também disponibilizado em CD-ROM,de forma a viabilizar a sua utilização sem acesso à Internet.

Como aceder ao e-Manual?Os professores que adotarem o projeto Matemática A 11.º ano deverão proceder da seguinte forma:

Aceder ao Espaço Professor em www.portoeditora.pt

Fazer login com os seus dados de acesso ou inscrever-se caso ainda não estejam registados.

Como utilizar?Ao longo das páginas do e-Manual encontra áreas clicáveis que indicam a existência de recursos aexplorar.

Na Internet ser-lhe-á disponibilizada a versão completa do seu e-Manual, sendo possível navegar pelaspáginas, à semelhança do que faria na versão impressa.

Através do BRIP poderá ainda adicionar novos recursos de acordo com as suas necessidades, de formaa criar o seu próprio e-Manual.

wO Banco de Recursos Interativos para Professores, designado por BRIP, é o maior banco de recursos multimédia online, de carácter curricular, disponível em língua portuguesa. Ao adotar estemanual escolar poderá aceder, gratuitamente, a este módulo e a todos os recursos digitais educativos disponíveis para a disciplina de Matemática A do 11.º ano de escolaridade.

São centenas de objetos que podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades: animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitosoutros.

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