Apresentação do PowerPoint - rioeduca.net PEDAGÓGICOS/CADERNOS... · número e somou com 15....

4.° BIMESTRE - 2016

EDUARDO PAES PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

REGINA HELENA DINIZ BOMENY SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

JUREMA HOLPERIN SUBSECRETARIA DE ENSINO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO

MARIA DE FÁTIMA CUNHA COORDENADORIA TÉCNICA

SÍLVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO

CLAYTON BOTAS NOGUEIRA MARCELO FERREIRA MARTINS SALVADOR ELABORAÇÃO

CLAUDIA ROSANIA NUNES DOS SANTOS VASCONCELLOS MOVIMENTOS MATEMÁTICOS

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA GIBRAN CASTRO DA SILVA SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO

FÁBIO DA SILVA JULIA LYS DE LISBOA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO

EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA. IMPRESSÃO

Contatos CED: [email protected] - [email protected] Telefones: 2976-2301 / 2976-2302

O “Movimento Matemático” é uma contribuição da Professora Regente Claudia Rosania Nunes dos Santos Vasconcellos, da Escola Municipal 08.33.016 Mário Casasanta. Objetivo: facilitar o entendimento de determinado conceito. Acesso: para ter acesso às páginas em que se encontra o Movimento Matemático, será necessário estar logado na sua conta do rioeduca.net

FORMAS DE APRESENTAÇÃO DO MOVIMENTO MATEMÁTICO

I – On line

• Para o caderno do aluno, acessar o Portal Rioeduca (www.rioeduca.net), Recursos Pedagógicos, Material 3º ou 4º bimestres/ 2016.

• Para o caderno do Professor, acessar a intranet (http://sme) – Material Pedagógico 2016 – 3º ou 4º bimestres – Matemática.

• Ao apresentar o caderno no Datashow ou, apenas, no computador, ao clicar no Movimento Matemático, você deverá ser encaminhado à apresentação. Em seguida, clicando em qualquer parte da apresentação, ocorrerá (por meio de sucessivos cliques) o movimento na imagem.

II – Off line

Basta baixar o arquivo do caderno. Ao acessar a página, clique no Movimento Matemático. Você deverá ser redirecionado à página de download. Após baixar e abri-la, clique, sucessivamente, permitindo, assim, a apresentação do Movimento Matemático.

Para criar sua conta rioeduca.net, entre em contato com o Help Desk, através do telefone 4501-4018.

https://rioeduca-my.sharepoint.com/personal/rioeduca_rioeduca_net/_layouts/15/guestaccess.aspx?guestaccesstoken=kPO354CH9EQ%2bBsVaeXhqRj6IMxCFOq5eFitujJGWmDw%3d&docid=2_021ea512c09d34289b296f9df291e4b62


1) Indicando os segmentos na circunferência, complete com diâmetro, raio ou corda:

________________

________________ ________________

2) Identifique, no arco de circunferência, o ângulo inscrito e o ângulo central:

𝐹𝑂�𝐺:_____________

𝐹𝐻�𝐺:_____________

F

O

G

H

𝑧

170°

33°

𝑐

3) Em cada um dos casos citados abaixo, encontre os ângulos representados pelas incógnitas:

24° 𝑥

a)

b)

c)

4) Escreva a expressão algébrica que representa a área dos retângulos apresentados abaixo:

𝑥

2𝑥

3𝑧

3𝑧

a) b)

5) Desenvolva os quadrados da soma:

a) 𝑥 + 3 2 =

b) 3𝑥 + 4𝑦 2 =

Página 3


6) Resolva os quadrados da diferença das expressões:

a) 7 − 𝑧 2 =

b) (4𝑦 − 5)2=

7) Resolva os produtos:

a) 2𝑥 − 5 2𝑥 + 5 =

b) 𝑦 + 10 𝑦 − 10 =

8) Em cada um dos casos, apresentados abaixo, escreva a multiplicação como um produto notável e desenvolva. Leia o exemplo:

a) 97 ⋅ 103 =

b) 3022 =

c) 492 =

d) 202 ⋅ 198 =

𝟏𝟏𝟏 − 𝟑 𝟏𝟏𝟏+ 𝟑

𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏 − 𝟗 = 𝟗 𝟗𝟗𝟏

9) Complete os espaços e realize a fatoração do fator comum em evidência:

a) 3𝑎 + 3𝑏𝑐

Fator comum: __________ Fatoração: __________

b) 4𝑥𝑦 + 12𝑦 Fator comum: __________ Fatoração: _________

10) Complete com o fator que deve ser colocado em evidência em cada um dos casos. Em seguida, realize a fatoração por agrupamento:

a) 12𝑥 − 4𝑦 + 3𝑥𝑧 − 𝑦𝑧

b) 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦

11) Fatore os polinômios:

a) 25 − 𝑏2 = b) 𝑥4 − 16𝑦2=

12) Escreva a forma fatorada dos trinômios quadrados perfeitos:

a) 𝑥2 + 2𝑥 + 1 ______________________________

b) 𝑏2 − 8𝑏 + 16 ______________________________

c) 𝑚2 + 12𝑚 + 36 ______________________________

Página 4


Multirio

Vamos relembrar a resolução de uma equação de 1.º grau?

Pedro e Natan resolveram fazer uma brincadeira. Os dois

escolheram, juntos, um mesmo número. Pedro triplicou esse

número e somou com 15. Natan somou o dobro desse número com

20. Sabendo que o resultado dos dois foi igual, qual é o número

desconhecido?

Vamos chamar esse número desconhecido de x.

Pedro triplo desse número mais 15 ________________

Natan dobro desse número mais 20 ________________

Logo, 3x + 15 = 2x + 20

3x – 2x = 20 – 15

x = 5

O número que ambos escolheram foi ____________.

AGORA,É COM VOCÊ!!!

2) O perímetro de um retângulo é 68 cm. Sabendo que o comprimento

possui 6 cm mais que a largura, determine quanto mede cada lado

deste retângulo.

x + 6

x

1) Uma lata de leite de 1 kg e três latas de café de x kg cada possuem,

juntas, a mesma massa de duas latas de leite de 5 kg cada e três latas

de café de 1 kg cada. Qual é a massa de cada lata de café?

x 5 kg 5 kg x x

1 kg

1 kg 1 kg

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1.º GRAU

1 kg

Página 5


3) O perímetro de um triângulo isósceles é 53 cm. O

comprimento do lado diferente é menor 1 cm do que o

comprimento dos outros dois lados. Quais as medidas dos lados

do triângulo?

x -1

x x

4) A soma de três números inteiros consecutivos é 66.

Determine-os.

5) Leia as distâncias entre as cidades A, B e C.

A B C

x 2x +10

Se a distância entre as cidades A e C é de 250 km, qual é a

distância entre as cidades A e B?

Número inteiro consecutivo é o sucessor na ordem crescente.

Consecutivo de 2 é 3. Consecutivo de 5 é 6.

Logo, consecutivo de x é ________.

6) Três amigas concluíram que a soma das suas idades era 46

anos. Bia é mais velha do que Isabel três anos e Joana tem mais

um ano do que Isabel. Qual a idade da mais nova?

http

://pe

losc

amin

hosd

aeva

ngel

izac

ao.b

logs

pot.c

om.b

r/201

2/02

/am

ar-a

o-pr

oxim

o-el

o-en

tre-a

s-re

ligio

es.h

tml

Multirio

x+1

Página 6


Existem diversas maneiras de representar uma localização em um plano. Uma delas é o mapa.

Multirio

Acho que já estudamos isso!

Multirio

Mas, é sempre bom relembrar. Não é mesmo?

Para localizar uma cidade no mapa, utilizamos as coordenadas geográficas do lugar. A latitude é a distância, em graus, de qualquer ponto da Terra em relação à Linha do Equador. Já a longitude é a distância, em graus, de qualquer ponto da Terra em relação ao Meridiano de Greenwich.

http

://w

ww

.ora

lsha

pe.c

om.b

r/con

tato

Na Matemática, utilizamos uma representação semelhante para localizar os pontos, chamada de Plano Cartesiano. Traçamos duas retas perpendiculares numeradas, denominadas eixo vertical (eixo das ordenadas) e eixo horizontal (eixo das abscissas). E o ponto que os eixos se cruzam é chamado de origem.

PLANO CARTESIANO

𝒙

𝒚

Página 7


Cada ponto do plano cartesiano pode ser representado como um par ordenado (𝒙,𝒚), onde as coordenadas indicam o ponto de encontro entre a abscissa 𝑥 e a ordenada 𝑦. Como exemplo, vamos marcar, no plano, o ponto 𝐀 𝟑,𝟏 .


Utilizando o par ordenado, podemos representar a localização de outros pontos do plano cartesiano. Leia:

B (___,___) C (___,___) D (___,___)

Para isto, traçamos a reta paralela ao eixo vertical e que passa pelo número 𝟑 no eixo 𝐱 e a reta paralela ao eixo horizontal e que passa pelo número 𝟏 no eixo 𝒚.

1) Marque os pontos a seguir no plano cartesiano:

A (-2, 4) B (3, -1) C (0, 3) D ( -1, 0)

E ( 1, 2) F (0, 0) G (-2, -2) H (4, 1)

2) Indique as coordenadas dos vértices deste retângulo:

𝐀

𝐁

C

D

4 3 -2 -1 1 0

𝒙

𝒚

𝒚

𝒙

𝒙

𝒚

Página 8

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkTFDmMAxlrE2vTmK


1) Na papelaria, uma caneta custa R$ 2,00 e um caderno

custa R$ 10,00. Se, em um dia, foram arrecadados R$ 40,00 com

a venda desses produtos, qual foi a quantidade vendida de cada

produto?

Representamos a quantidade de canetas vendidas por x e a

quantidade de cadernos vendidos por y. Podemos, então,

expressar esta venda, em reais, da seguinte maneira:

2x + 10y = 40

Essa sentença matemática é uma equação com duas

variáveis.

Como descobrir a quantidade vendida de cada produto?

Se a venda for de 10 canetas (10 . 2 = 20 reais), a quantidade de

cadernos vendidos só pode ser 2, para totalizar 40 reais.

canetas cadernos reais

10 2 40

5 40

15 40

4 40

A equação com duas variáveis possui mais de uma solução.

Mul

tirio

Então, não podemos achar a quantidade exata de cada produto?

Multirio

Vamos a outra situação?

3

1

0

Complete a tabela, de acordo com a situação apresentada: EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS

Continua

Apenas com as informações fornecidas, não.

O que podemos fazer é, apenas, levantar hipóteses, ou

seja, possibilidades.

Página 9


2) A soma de dois números reais é 6. Quais são estes números?

A equação que representa esta situação é: x + y = 6 Por ser uma equação com duas variáveis, sabemos que ela

possui infinitas soluções. Vamos apresentar algumas soluções para essa equação:

𝐱 𝐲 𝐱 + 𝐲 = 𝟔

0 6 𝟏 + 𝟔 = 𝟔

𝟏 𝟏 + 𝟓 = 𝟔

2

3

2

Podemos associar cada uma das soluções a um par ordenado (x, y). Leia:

𝐱 𝐲 (𝒙,𝒚)

𝟏 𝟔 (𝟏,𝟔)

𝟏 𝟓 (𝟏,𝟓)

2 4 (___,___)

3 3 (___,___)

4 2 (___,___)

Multirio

Podemos, então, representar estes pares

ordenados no Plano Cartesiano.

Pode ser 4 e 2. Ou pode ser 6 e 0.

Ou também 1,5 e 4,5.

Multirio

Os pares ordenados representam as soluções da equação com

duas variáveis.

Multirio

Página 10


Podemos associar cada uma das soluções a um par ordenado (x, y):


0 6 (𝟏,𝟔)

𝟏 𝟓 (𝟏,𝟓)

2 4 (𝟐,𝟒)

3 3 (𝟑,𝟑)

4 2 (𝟒,𝟐)

As soluções de uma equação, com duas variáveis, podem ser representadas em uma reta no plano cartesiano. Veja:

AGORA,É COM VOCÊ!!! Represente, no plano cartesiano, três

possíveis soluções para a equação x - y = 2.


𝒙

𝒚

𝒚

𝒙

𝒚

Página 11


O número de mulheres que trabalha em uma loja é o dobro

do número de homens. Quantos homens e quantas mulheres

trabalham nesta empresa?

número de homens x

número de mulheres y

Podemos, então, escrever a equação:

7 homens e 14 mulheres. 12 homens e 24 mulheres. 25 homens e 50 mulheres.

Multirio

Já vimos que uma equação, com duas variáveis, possui

infinitas soluções.

Mas, imagine que haja outra informação:

Escrevendo na linguagem matemática, temos:

Pensando nas duas afirmativas que possuímos, podemos

escrever o seguinte:

Temos: e

À união das duas equações, com duas incógnitas, chamamos

de SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS.

E representamos da seguinte maneira:

� 𝑦 = 2𝑥𝑥 + 𝑦 = 9

Na loja, trabalham 9 pessoas.

Podemos achar aqui diversas possibilidades.

O número de mulheres que trabalha em uma empresa é

o dobro do número de homens e, no total, são 9 pessoas.

y = 2x x + y = 9

y = 2x

x + y = 9

SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES

COM DUAS INCÓGNITAS

Você consegue resolver este problema? Conseguiu alguma resposta?

Página 12



𝟏 𝟏 (𝟏,𝟏)

1 2 (𝟏,𝟐)

2 (___, ___)

3 (___, ___)

y = 2x


𝟐 𝟕 (𝟐,𝟕)

3 (___, ___)

4 (___, ___)

5 (___, ___)

x + y = 9

//

O ponto em comum representa a solução do sistema. Neste

caso, o ponto comum é formado pelo par ordenado (3, 6).

Multirio

As retas formadas por este sistema são concorrentes, pois possuem

apenas um ponto em comum.

Multirio

A solução de um sistema de duas equações com duas incógnitas é todo par ordenado formado pelos números que servem como solução de ambas

as equações.

� 𝑦 = 2𝑥 𝑥 + 𝑦 = 9

x = 3 e y = 6

� 𝟔 = 2 .𝟑 𝟑 + 𝟔 = 9

Substituindo os valores x = 3 e y = 6, observamos que as

equações tornam-se duas sentenças verdadeiras.

𝒙

𝒚

Página 13

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkTDpXklKdNUVJejQ


Existem alguns métodos que nos facilitam descobrir estes

valores. Observe:

Multirio

Como vimos, a solução de um sistema de duas equações com duas incógnitas é todo

par ordenado formado pelos números que servem como solução de ambas as equações.

Mas como procurar esse par, sem que seja por

tentativas?

Vamos, então, resolver o problema anterior a partir do

método da substituição:

� 𝑦 = 2𝑥 𝑥 + 𝑦 = 9

� 𝒚 = 2𝒙 𝒙 + 𝒚 = 𝟗 Como y é igual a 2x, podemos substituir, na

2.ª equação, y por 2x.

� 𝑦 = 2𝑥 𝑥 + 2𝑥 = 9

Formamos, então, uma equação com apenas uma incógnita.

2x + x = 9 3x = 9 x = 3

Resolvemos, agora, a segunda equação.

y = 2x y = 2 . 3

y = 6

Substituindo o valor achado para x, na primeira equação, encontramos o valor de y.

x = 3 e y = 6 O par ordenado (3, 6) é a solução do sistema.

Para evitar possíveis equívocos, é importante substituir os

valores encontrados no sistema inicial:

� 𝑦 = 2𝑥 𝑥 + 𝑦 = 9 � 6 = 2 .3

3 + 6 = 9

Podemos observar que, ao substituir estes valores, as

equações formaram uma sentença verdadeira.

Resposta: 3 homens e 6 mulheres

RESOLUÇÃO ALGÉBRICA DE SISTEMAS

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Página 14


Outro exemplo:

�3𝑥 − 2𝑦 = 6𝑥 + 𝑦 = 7

�3x − 2y = 6

x + y = 7 Neste caso, escolhemos uma equação, deixando apenas uma incógnita em um dos membros.

�3x − 2𝐲 = 6𝐲 = 𝟕 − 𝐱

Escolhemos a segunda.

3x – 2.(7 – x) = 6

Vamos substituir o y na 1.ª equação.

3x – 14 + 2x = 6 5x = 6 + 14

5x = 20 x = 20

5= 4

Agora, basta resolver esta equação com apenas uma incógnita.

y = 7 – 4 y = 3

Já conhecido o valor de x, devemos substituí-lo, em qualquer das equações, para achar o valor de y.

x = 4 e y = 3 O par ordenado (4,3) é a solução do sistema.

Verificando a solução, teremos:

�3𝑥 − 2𝑦 = 6𝑥 + 𝑦 = 7 �3.𝟒 − 2.𝟑 = 6

𝟒 + 𝟑 = 7

S é chamado de conjunto solução de um sistema.

S = {(4,3)}


1) Resolva os seguintes sistemas:

a) �2𝑥 + 𝑦 = 7𝑥 + 𝑦 = 4

b) �2𝑚 + 𝑛 = 11𝑚 + 𝑛 = 5

c) �5x − 2y = 7x − 3y = 4

d) � a + 3b = 102a = 10 − 2b

e) �4x − y = 12x + y = 5

Página 15


2) Ao retirar um dinheiro no caixa eletrônico, só havia notas de 20 reais e 50 reais. Retirei 270 reais e havia 9 notas. Qual é a quantidade de notas de 20 reais? E de 50 reais?

3) Em uma festa escolar, havia 220 alunos. Sabendo que o número de meninos era o triplo do número de meninas, mais 20, determine o número de meninos nesta festa:

4) No estacionamento, havia 120 veículos entre carros e motos. Sem contar os estepes, o número de pneus era de 350. Determine a quantidade de cada veículo que estava neste estacionamento:

Observemos o seguinte exemplo:

�4x − y = 12x + y = 5

�4x − y = 12x + y = 5 Observe que a incógnita y possui

coeficientes simétricos (1 e -1).

�4x − y = 12x + y = 5

6x = 6

Em seguida, somamos as duas equações. Observe que uma das incógnitas será cancelada.

6x = 6 x = 6

6= 1

Basta resolver a equação que resultou desta soma.

2x + y = 5 2.1 + y = 5

Após a descoberta do valor de x, devemos substituí-lo em qualquer uma das equações. Utilizemos a 2.ª equação.

2 + y = 5 y = 5 – 2

y = 3

Para descobrir o valor de y, basta resolver a equação com apenas uma incógnita.

x = 1 e y = 3 O par ordenado (1, 3) é a solução do sistema.

+


�4𝑥 − 𝑦 = 12𝑥 + 𝑦 = 5 �4.𝟏 − 𝟑 = 1

𝟐.𝟏 + 𝟑 = 5

Portanto:

MÉTODO DA ADIÇÃO AGORA,É COM VOCÊ!!!

S = {(1,3)}

Página 16


Multirio

Vamos observar outro exemplo?

�3x + 2y = 74x + y = 11

�3x + 2y = 7

4x + y = 11 . (−𝟐) Para utilizar o MÉTODO DA ADIÇÃO, devemos, ao somar as equações, eliminar uma das incógnitas. Neste caso, para eliminar a incógnita y, devemos multiplicar toda a 2.ª equação por -2.

� 3x + 2y = 7−8𝑥 − 2𝑦 = −22 Observe que, agora, podemos somar as

duas equações e eliminar a incógnita y.

� 3x + 2y = 7−8x − 2y = −22 Em seguida, somamos as duas equações.

Observe que uma das incógnitas será cancelada.

-5x = - 15 5x = 15

x = 155

= 3

Basta, agora, resolver a equação com apenas uma incógnita.

4 . 3 + y = 11 12 + y = 11 y = 11 – 12

y = -1

Após a descoberta do valor de x, devemos substituí-lo em qualquer uma das equações. Aqui, utilizamos a 2.ª equação.

x = 3 e y = -1 O par ordenado (3, -1) é a solução do sistema.

+


�3𝑥 + 2𝑦 = 74𝑥 + 𝑦 = 11 �

3.𝟑 + 2. (−𝟏) = 74.𝟑 + (−𝟏) = 11

- 5x = - 15

S = {(3, -1)}


1) Resolva os seguintes sistemas:

a) �𝑥 + 3𝑦 = 7𝑥 − 3𝑦 = −5

b) �2𝑚 + 𝑛 = 11𝑚 + 𝑛 = 5

c) � 2𝑥 − 𝑦 = 53𝑥 − 2𝑦 = 0

� 3.𝟑 + 2. −𝟏 = 74.𝟑 + −𝟏 = 11 9 – 2 = 7

12 – 1 = 11

Página 17


d) � 2𝑥 + 𝑦 = 4

3𝑥 − 2𝑦 = 6

e) � 5x + y = 8x − 4y = −11

f) � 𝑥 + 7𝑦 = 7𝑥 − 3𝑦 = −3

g) � 𝑎 + 𝑏 = 2−𝑎 − 2𝑏 = 3

2) Um pai possui o triplo da idade do filho. A soma da idade do pai

com o dobro da idade do filho é 50 anos Que idade cada um

possui?

3) A diferença entre dois números é 8. A soma do maior com o

triplo do menor é 20. Quais são os números?

4) Observe a figura:

y

3 cm

x

3 cm

Sabendo que o perímetro do trapézio é 31 cm e x – y = 5, determine

as medidas das bases deste trapézio:

Multirio

Utilize o método que preferir!

Página 18


b) � 𝑥 + 𝑦 = 52𝑥 + 2𝑦 = 8


𝟏 𝟓 (𝟏,𝟓)

1 4 (𝟏,𝟒)

2 (___, ___)

3 (___, ___)

x + y = 5


0 4 (0,4)

1 (___, ___)

2 (___, ___)

3 (___, ___)

2x + 2y = 8

Este sistema não possui solução, ou seja, ele é impossível.

Multirio

As retas são paralelas. Logo, não possuem ponto de interseção entre elas.

ANÁLISE DE GRÁFICOS DE SISTEMAS

a) �𝑥 + 𝑦 = 7𝑥 − 𝑦 = 3 𝐱 𝐲 (𝒙,𝒚)

𝟓 𝟐 (𝟓, 2)

4 3 (𝟒, 3)


𝟓 𝟐 (𝟓, 2)

4 1 (𝟒, 1)

As retas são concorrentes. Logo, possuem um ponto em comum.

Neste caso, dizemos que o sistema é possível e determinado.

É um sistema possível, por possuir solução, e determinado, por ter uma única solução.

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚

Página 19


a) � 𝑥 + 𝑦 = 62𝑥 + 2𝑦 = 4

Podemos concluir que as retas são _____________________.

A solução deste sistema é ________________.

Trata-se, portanto, de um sistema _______________________.

Multirio

𝒙 𝒚 (𝒙,𝒚)

𝒙 𝒚 (𝒙,𝒚)

c) � 𝑥 + 𝑦 = 42𝑥 + 2𝑦 = 8


𝟏 𝟒 (𝟏,𝟒)

1 3 (𝟏,𝟑)

2 (___, ___)

3 (___, ___)


0 4 (0,4)

1 (___, ___)

2 (___, ___)

3 (___, ___)

x + y = 4 2x + 2y = 8

As retas são coincidentes. Logo, possuem infinitos pontos comuns entre elas.

Neste caso, dizemos que o sistema é indeterminado.

1) Através do plano cartesiano, resolva

os sistemas apresentados a seguir:


𝒙

𝒚

𝒙

𝒚

Página 20


2) Resolva os sistemas.

a) � 𝑥 − 𝑦 = 4𝑥 + 𝑦 = 10

b) �2𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 + 𝑦 = 2

c) � 𝑥 + 𝑦 = 5−2𝑥 + 𝑦 = −1

Multirio

Vamos agora resolver algebricamente? d) �2𝑎 − 𝑏 = 9𝑎 − 3𝑏 = 2

e) �3𝑚 + 𝑛 = 8𝑚 − 3𝑛 = 6

3) A diferença de dois números é 23. Sabendo que a soma entre

eles é 151, determine estes dois números:

Página 21


4) Na papelaria do bairro, Amanda comprou três canetas e dois

lápis por R$ 12,00. Laura comprou uma caneta e um lápis, iguais

aos de Amanda, e pagou R$ 4,50. Qual o valor de cada caneta e

de cada lápis?

5) No sítio do meu irmão Sérgio, há galinhas e coelhos num total

de 55 cabeças e 140 pés. Determine a quantidade de galinhas e

de coelhos neste sítio.

6) Um número é o triplo do outro e a diferença entre eles é 8.

Determine a soma destes números.

7) A soma do dobro de um número com o outro é 5 e a diferença

entre estes números é 1. Resolva, graficamente, esta situação.



𝒙

𝒚

Página 22


O ângulo externo e o ângulo interno, a partir de um mesmo vértice, são adjacentes e suplementares. Observe os exemplos abaixo:

POLÍGONOS ÂNGULOS INTERNOS E ÂNGULOS EXTERNOS

Antes de falarmos sobre as propriedades de ângulos de polígonos convexos, vamos relembrar o que são ângulos internos e externos.

Ângulo interno é a abertura formada

dentro do polígono por dois lados consecutivos.

Ângulo externo é o ângulo formado, fora do polígono por um lado e o prolongamento de um lado adjacente a este.

Ângulo interno Ângulo externo

Ângulo externo

Ângulo interno

Agora, vamos encontrar a soma dos ângulos internos é de um polígono convexo qualquer. Antes, vamos observar qual é a soma dos ângulos internos do triângulo:

𝒂𝒊

𝒂𝒊

𝒂𝒊

O triângulo possui três ângulos internos representados por 𝒂𝒊, conforme figura ao lado.

Se juntarmos os três ângulos do triângulo em um mesmo ponto, teremos um ângulo raso: 𝟏𝟏𝟏°.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Glossário • Ângulos adjacentes - possuem um lado em comum, mas

as regiões determinadas não possuem pontos em comum. • Ângulos suplementares - dois ângulos que, somados, são

iguais a 180º. • Polígono convexo – é aquele em que o segmento de reta,

formado por dois pontos internos ao polígono, está totalmente contido na sua região poligonal.

https://upload.wikim

edia.org/wikipedia/com

mons/4/4f/P

ostit_large.jpg

Página 23

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkSxtA50-W6IbMpTo


SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO

Já vimos que o triângulo possui a soma dos seus ângulos internos igual a 180° . Agora, vamos calcular a soma dos ângulos internos de outros polígonos, dividindo estes em triângulos. Observe os exemplos:

Multirio

Vamos dividir o quadrilátero em triângulos.

Multirio

Um pentágono pode ser dividido em 3 triângulos. Assim, verificamos que a

soma será igual a 𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋅ 𝟑.

Multirio

Podemos dividir em 2 triângulos! Logo, temos 180° vezes 2.

A soma dos ângulos internos do quadrilátero é 180° ⋅ 2 = 𝟑𝟔𝟏𝟏.

Vamos fazer o mesmo com o pentágono ao lado?

A soma dos ângulos internos do

pentágono é 180° ⋅ 3 = 𝟓𝟒𝟏𝟏.


1) A partir de um vértice, construa segmentos, dividindo o hexágono em triângulos. Em seguida, informe a soma dos ângulos internos deste polígono.

Página 24

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkS1HbK5W1rtKE9eW

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkS1HbK5W1rtKE9eW


2) Observando o modelo, complete a tabela.

Polígono Nome do Polígono

Número de

Lados

Número de Triângulos

Soma dos

Ângulos

Triângulo 3 1 180°

Quadrilá-tero 4 2

Pentágono 5

Hexágono

Heptágono

a) O que você observou sobre o número de lados do polígono e o número de triângulos que se pode dividir este polígono?

__________________________________________________________________________________________________________________ b) Se um polígono tem 10 lados, quantos triângulos poderemos

formar? _________________________________________________________ c) Assim, qual a soma dos ângulos internos desse polígono que possui

10 lados? __________________________________________________________________________________________________________________

Multirio

Um polígono com 𝒏 lados, pode ser dividido em (𝒏− 𝟐) triângulos.

A soma dos ângulos internos de um polígono com 𝒏 lados é

180° ⋅ (𝒏− 𝟐), isto é, 𝑆𝑖 = 180° ⋅ (𝒏 − 2)

4) Sem desenhar, encontre a soma dos ângulos internos de um polígono com 13 lados.

3) Leia a tabela da atividade anterior. Aproveite a nomenclatura dos polígonos e peça ao seu Professor de Língua Portuguesa para conversar com você e seus colegas sobre a contribuição de gregos e latinos na formação de nossas palavras.

Agora, responda às seguintes perguntas:

Página 25


SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO

Assim como fizemos no caso dos ângulos internos de um polígono convexo, para descobrir a soma dos ângulos externos, vamos juntar todos esses ângulos em um único vértice. Observe o procedimento, com o triângulo abaixo:

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

Multirio

Neste triângulo, desenhamos os três ângulos externos.

Multirio

Juntando os 3 ângulos, formamos uma

circunferência completa!

Em seguida, cortamos e separamos os ângulos

externos. Este tipo de transferidor, assim como

uma circunferência completa, representa um ângulo de uma volta,

isto é, um ângulo de 𝟑𝟔𝟏𝟏.



mons/f/f1/T

ransferidor.PN

G



mons/4/4f/P

ostit_large.jpg https://pixabay.com

/pt/tesoura-tesouras-corte-ferramenta-24188/

Assim, a soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a 𝟑𝟔𝟏°. Na próxima página, vamos conhecer este procedimento para outros polígonos.

Página 26

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkS4X2_5PIoODFIBA


Ao lado, temos alguns polígonos convexos com seus ângulos externos desenhados. Recorte e cole seus ângulos, juntando os seus vértices, em um mesmo ponto, como no exemplo:



mons/f/f1/T

ransferidor.PN

G

https://pixabay.com/pt/tesoura-tesouras-corte-ferram

enta-24188/

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆 𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

Multirio

Primeiro, cortamos os ângulos do polígono!

Em seguida, unimos todos os ângulos em um mesmo ponto e colamos no quadro:

Corte esses polígonos para a atividade ao lado!

Corte um polígono de cada vez, para não

misturar seus ângulos!

Página 27


Multirio

Se precisar, peça ajuda a seu Professor(a)!

De acordo com o desenvolvimento da página 26 e a atividade da página anterior, responda às perguntas:

1) Após juntar todos os ângulos externos de cada um dos polígonos, qual a figura que foi formada em cada um deles? __________________________________________________________________________________________________________________

2) Compare as figuras com o transferidor ao lado. Você notou alguma semelhança? ____________________________________________________________________________

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é

sempre igual a ______.

𝑆𝑒 =______

3) Assim, o que podemos afirmar sobre a soma dos ângulos externos de qualquer polígono? __________________________________________________________________________________________________________________

4) Complete o quadro com a conclusão da atividade:

http

s://u

ploa

d.w

ikim

edia

.org

/wik

iped

ia/c

omm

ons/

f/f1/

Tran

sfer

idor

.PN

G

Página 28


𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

𝒂𝒆

ÂNGULOS EXTERNOS DE POLÍGONOS REGULARES

Os polígonos regulares possuem todos os lados congruentes e, também, todos os ângulos internos com a mesma medida. Mas o que podemos dizer sobre os ângulos externos?

Multirio

Já vimos que um ângulo interno e um ângulo externo, em um mesmo vértice,

são suplementares!

Formam 𝟏𝟏𝟏𝟏

Os ângulos externos de polígonos regulares são congruentes.

Em cada vértice, temos um ângulo interno congruente. Logo, sabemos que todos os ângulos externos também terão a mesma medida.

Se todos os ângulos externos possuem a mesma medida e a soma deles é igual a 360° , então, basta dividirmos pela quantidade de lados para sabermos quanto mede cada ângulo.

Observe o cálculo para o triângulo

equilátero:

Vamos repetir o procedimento para este pentágono regular:

O pentágono possui 5 ângulos externos congruentes e a soma deles é 𝑆𝑒 = 360° . Assim, basta dividirmos 360 pela quantidade de ângulos:

𝑎𝑒 =360°

= ......

...........

Para o exemplo a seguir, vamos efetuar a operação inversa. Observe:

Um polígono regular possui o ângulo externo medindo 45°. Que polígono é esse?

𝑎𝑒 = 45°

Como a soma dos ângulos externos de um polígono regular é sempre igual a 360° , basta descobrir quantos ângulos de 𝟒𝟓° cabem em 𝟑𝟔𝟏°:

𝑎𝑒 =360°

𝒏

Onde 𝒏 é a quantidade de lados do polígono. Assim:

O polígono é o ____________________.

𝒏 =360°

= ......

...........

𝑎𝑒 =360°

3 = 120°

Página 29


As atividades a seguir estão relacionadas à soma dos ângulos internos e externos de polígonos convexos.


1) No polígono, apresentado abaixo, identifique quais são os ângulos internos e quais são os ângulos externos.

2) Responda de acordo com este polígono:

3) Este polígono é um eneágono regular. Encontre a soma dos ângulos internos de um eneágono.

4) Observe o polígono regular, apresentado a seguir, e complete as afirmativas a respeito dos ângulos externos desse polígono:

___________

___________

___________ ___________

___________

𝟐𝒙 − 𝟓

𝟓𝒙

𝟑𝒙 − 𝟏𝟏

𝟐𝒙 + 𝟏𝟓

a) O polígono possui _____lados e ____vértices.

b) Assim, também possui _____ ângulos externos.

c) Como o polígono é regular todos os ângulos externos, são _______________.

d) A soma dos ângulos externos, nesse polígono, é ________.

b) Qual a soma dos ângulos internos de um quadrilátero?

c) A partir de uma equação, encontre o valor da incógnita 𝑥:

______________________________________________________

___________________________

______________________________________________________________________________________________________

e) Finalmente, a medida de um ângulo externo desse polígono é, aproximadamente, ______________.

5) Qual a medida do ângulo interno do octógono regular?

a) Escreva a expressão que representa a soma dos ângulos internos deste quadrilátero.

Página 30


PROPRIEDADE DO ÂNGULO EXTERNO DE TRIÂNGULOS

Para chegar a uma propriedade muito importante em relação aos ângulos de triângulos, vamos reler dois resultados que já estudamos:

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 𝟏𝟏𝟏𝟏.

O ângulo externo e o ângulo interno, em um mesmo vértice,

são suplementares.

Somam 𝟏𝟏𝟏𝟏

Somam 𝟏𝟏𝟏𝟏

Assim, como ambas as somas têm resultados iguais, sabemos que os ângulos vermelho 𝜶 e azul 𝜷 podem ser usados para completar o ângulo externo. Observe:

O ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos

nos outros vértices.

𝜶 + 𝜷 𝜷

𝜶

Como exemplo, vamos encontrar a medida do ângulo externo 𝛾 marcado no triângulo abaixo:

𝟕𝟓𝟏 𝟑𝟓𝟏

𝜸

𝜸 = 𝟕𝟓𝟏 + 𝟑𝟓𝟏

𝜸 = 𝟏𝟏𝟏𝟏

Encontre o valor das incógnitas em cada caso:

𝒙

𝟏𝟐𝟏

𝟒𝟕°

𝒙 = _______ + ________ 𝒙 = _________

𝒚

𝟏𝟐𝟔𝟏

𝟓𝟏𝟏

______ = 𝒚 + ________ _________________

_________________

_________________


Página 31

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkS_GnjVjyIgOR-vH



1) Encontre o valor do ângulo externo:

2) Encontre o valor da incógnita em cada um dos casos:

3) Encontre uma equação para o problema e, em seguida, encontre o valor da incógnita 𝑥:

𝟏𝟏𝟏

𝟒𝟏𝟏

𝟔𝟏𝟏

𝟔𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐𝟕𝟏

𝟏𝟓𝟑𝟏

𝒃

𝒙 𝟑𝒙

𝟏𝟏𝟏

4) Marque a opção que representa a medida do ângulo externo:

(A) 21°.

(B) 45°.

(C) 66°.

(D) 111°.

𝟒𝟓𝟏

𝟔𝟔𝟏

Observe os elementos do triângulo ABC:

ELEMENTOS BÁSICOS DO TRIÂNGULO

O triângulo ABC possui vértices 𝐀, 𝐁 e 𝐂.

Ligando os vértices,

obteremos os três lados: 𝐀𝐁, 𝐁𝐂 e 𝐂𝐀.

Além disso, temos três ângulos: 𝐁𝐀�𝐂, 𝐀𝐂�𝐁 e

𝐂𝐁�𝐀.

Continua

Página 32


Complete o quadro com os elementos do triângulo representado abaixo:

O triângulo DEF possui três vértices:____, ____ e ____.

Seus três lados são :______, ______ e ______.

Além disso, possui três ângulos:_______, _______ e _______.

Agora, vamos observar outros elementos dos triângulos, como os segmentos que podemos ver no triângulo GHI:

𝐈𝐈� Mediana 𝐈𝐈 Altura

𝐈𝐈� Bissetriz

SEGMENTOS E PONTOS NOTÁVEIS EM TRIÂNGULOS

Mediana é um segmento de reta que possui uma extremidade em um vértice do triângulo e a outra no ponto médio do lado oposto a este vértice.

Observe: meio – médio – mediana

MEDIANA

O segmento 𝐂𝐂 é a mediana relativa ao lado 𝐀𝐁 pois o ponto F é o ponto médio desse lado.

A seguir, vamos ver o que devemos realizar para encontrar o ponto médio do lado de um triângulo qualquer. Mas, antes, vamos observar que um mesmo triângulo possui 3 medianas.

Continua

MEDIANA

Página 33


Podemos também encontrar os pontos médios dos lados 𝐀𝐂 e 𝐁𝐂 e, ligando os pontos médios aos vértices opostos, formamos outras duas medianas. Veja:

O segmento 𝐄𝐁 é a mediana relativa ao lado 𝐀𝐂.

O segmento 𝐀𝐀 é a mediana relativa ao lado 𝐂𝐁.

Já vimos que o segmento 𝐂𝐂 é a mediana relativa ao lado 𝐀𝐁.

Finalmente, podemos traçar as medianas em um mesmo desenho, observando que as três se encontram em um único ponto. Esse ponto chamamos de BARICENTRO.

Um triângulo possui 3 medianas e o ponto de encontro delas é o baricentro.

BARICENTRO

Agora, vamos observar como podemos encontrar a mediana, utilizando uma régua.

Para encontrar o ponto médio do lado 𝐀𝐁, começamos medindo seu comprimento.

Por exemplo, o segmento

𝐀𝐁 possui 6 cm de comprimento.

Continua



mons/1/1d/Triangle30-60.jpg



mons/5/5d/R

ighello.jpg https://upload.w

ikimedia.org/w

ikipedia/comm

ons/4/4f/Postit_large.jpg

Página 34


Como o lado 𝐀𝐁 possui 6 cm, o seu ponto médio 𝐂 vai estar a 3 cm dos vértices, na metade deste lado.

Em seguida, ligamos 𝐂

ao vértice 𝐂 para desenhar a mediana 𝐂𝐂.


No triângulo, apresentado abaixo, desenhe as medianas relativas a cada um dos lados. Em seguida, marque o baricentro do triângulo.

Bissetriz é o nome dado ao segmento que divide um ângulo em dois ângulos congruentes e encontra o lado oposto a este ângulo.

BISSETRIZ






mons/5/5d/R

ighello.jpg https://upload.w

ikimedia.org/w

ikipedia/comm

ons/4/4f/Postit_large.jpg

O segmento 𝐁𝐄 é a bissetriz do ângulo 𝐀𝐁�𝐂 pois divide este ângulo ao meio e têm sua extremidade no lado 𝐀𝐂.

Multirio

Ângulos congruentes possuem medidas iguais. Então, a bissetriz

divide o ângulo ao meio.

Como um triângulo possui 3 ângulos, cada um destes define uma bissetriz. Assim, todo triângulo possui 3 bissetrizes. Vamos observá-las a seguir.

N

O P Continua

Página 35


Se traçarmos as três bissetrizes de um triângulo, em um mesmo esquema, podemos observar que elas se encontram em um único ponto, chamado de INCENTRO. Observe:

Um triângulo possui 3 bissetrizes e o ponto de encontro delas é o incentro.

INCENTRO

O segmento 𝐁𝐄 é a bissetriz do ângulo 𝐀𝐁�𝐂.

O segmento 𝐀𝐀 é a bissetriz do ângulo 𝐂𝐀�𝐁.

O segmento 𝐂𝐂 é a bissetriz do ângulo 𝐁𝐂�𝐀.



mons/4/4f/P

ostit_large.jpg

http

s://u

ploa

d.w

ikim

edia

.org

/wik

iped

ia/c

omm

ons/

9/99

/Rap

porte

ur_1

80de

g.sv

g

Os transferidores são instrumentos que servem para medir ou reproduzir ângulos em um desenho. Nós os usaremos para medir e dividir um ângulo ao meio, para desenhar sua bissetriz. Abaixo, vemos alguns tipos diferentes de transferidores:



mons/f/f1/Transferidor.P

NG

Página 36


Neste triângulo, use seu transferidor para desenhar todas as bissetrizes. Em seguida, marque o incentro do triângulo.

Como exemplo, vamos desenhar a bissetriz do ângulo 𝐁𝐂�𝐀 no triângulo apresentado abaixo:

O ângulo 𝐁𝐂�𝐀 mede 60°. Assim, a bissetriz vai dividir este ângulo em dois outros de 30°.

Usamos o transferidor para medir o ângulo:

Finalmente, medindo o ângulo de 30°, traçamos um segmento de reta até o lado 𝐀𝐁, formando, assim, a bissetriz do ângulo 𝐁𝐂�𝐀.



mons/4/4f/P

ostit_large.jpg

http

s://u

ploa

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.org

/wik

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ia/c

omm

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9/99

/Rap

porte

ur_1

80de

g.sv

g


Altura é o segmento de reta que liga, perpendicularmente, um vértice ao seu lado oposto, formando ângulos de 90°.

ALTURA

O segmento 𝐁𝐄 é a altura do triângulo relativa ao lado 𝐀𝐂 pois os segmentos 𝐁𝐄 e 𝐀𝐂 são perpendiculares.

Página 37


Todo triângulo possui 3 alturas. Cada uma, relativa a um de seus lados. Observe:

O segmento 𝐁𝐄 é a altura do triângulo relativa ao lado 𝐀𝐂.

O segmento 𝐂𝐂 é a altura do triângulo relativa ao lado 𝐁𝐀.

O segmento 𝐀𝐀 é a altura do triângulo relativa ao lado 𝐁𝐂.

Em triângulos obtusângulos, algumas das alturas do triângulo não podem ser traçadas dentro da figura. Nestes casos, as alturas formarão ângulo reto com um prolongamento do lado oposto ao vértice.

O ponto de encontro das três alturas de um triângulo é chamado de ORTOCENTRO. Observe:

ORTOCENTRO

O segmento 𝐀𝐀 é a altura do triângulo relativa ao lado 𝐁𝐂, pois encontra seu prolongamento 𝐁𝐀 perpendicularmente.

Multirio

Triângulos obtusângulos são aqueles que possuem um ângulo

obtuso, isto é, maior que 90°.

Prolongamento

Página 38


O triângulo obtusângulo, também, possui 3 alturas e podemos desenhar seu ortocentro, que está localizado do lado de fora do triângulo no encontro dos prolongamentos das alturas. Observe:

A seguir, construa as alturas do triângulo apresentado abaixo, desenhando segmentos perpendiculares a partir dos vértices do triângulo. Em seguida, marque o ortocentro do triângulo.


ORTOCENTRO

Altura

Altura

Altura

Agora, vamos ver como podemos desenhá-lo?

Para construir as alturas, fazendo ângulos de 90°, você pode usar um esquadro ou também o transferidor.

Multirio

Se precisar, peça ajuda ao seu Professor!






mons/4/4f/P

ostit_large.jpg

E

Página 39



1. Nestes triângulos, indique quais dos segmentos indicados são altura, bissetriz ou mediana:

𝐴𝐴:_______________ 𝐶𝐶:_______________

𝐺𝐻:_______________ 𝐸𝐹:_______________

2. Complete as afirmativas:

a) O segmento que divide o lado oposto na metade é chamado de _________________.

b) Uma bissetriz é um segmento que divide o _____________ em duas partes iguais.

c) O _____________ é o ponto em que as três bissetrizes do triângulo se encontram.

d) O encontro das três medianas de um triângulo é o __________________.

e) O encontro das três alturas de um triângulo é o _________________.

3. Indique quais são os segmentos apresentados abaixo:

Altura:______________ Bissetriz:____________ Mediana:____________

Página 40


CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são chamados de congruentes quando possuem

seus três lados, respectivamente, congruentes e seus três ângulos,

respectivamente, congruentes. Basta comparar alguns desses

elementos específicos (lados ou ângulos) para descobrir se dois

triângulos são congruentes.

Multirio

Estes triângulos são congruentes!

Ângulos congruentes são aqueles que possuem as mesmas

propriedades e as mesmas medidas.

A seguir, veremos os casos de congruências de triângulos, isto é,

quais os elementos que precisamos observar para que dois triângulos

sejam congruentes.

Caso LLL Lado, lado, lado.

𝑨𝑨 ≡ 𝑫𝑫

𝑨𝑩 ≡ 𝑫𝑬

𝑨𝑩 ≡ 𝑫𝑬

∆𝑨𝑨𝑩 ≡ ∆𝑫𝑫𝑬

A D

E

F

B

C

Caso LAL Lado, ângulo, lado.

Os triângulos são congruentes quando dois de seus lados e o ângulo formado entre esses lados são congruentes.

B

C

A

E

F

D 𝑨𝑨 ≡ 𝑫𝑫

𝑨𝑨�𝑩 ≡ 𝑫𝑫�𝑬

𝑨𝑩 ≡ 𝑫𝑬 ∆𝑨𝑨𝑩 ≡ ∆𝑫𝑫𝑬

Se os 3 lados são, respectivamente, congruentes, os triângulos são congruentes.

Página 41


Caso ALA Ângulo, lado, ângulo

Multirio

Estes triângulos são congruentes porque possuem dois ângulos e o lado,

entre eles, congruentes.

A D

E F B C



𝐁𝑨�𝑩 ≡ 𝑫𝑫�𝑬 ∆𝑨𝑨𝑩 ≡ ∆𝑫𝑫𝑬

Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado congruentes, respectivamente.

Caso LAAo Lado, ângulo adjacente, ângulo oposto

B

C

A E

F

D



𝐁𝑩�𝑨 ≡ 𝑫𝑬�𝑫

∆𝑨𝑨𝑩 ≅ ∆𝑫𝑫𝑬


Observando as marcações de congruências de lados e ângulos dos triângulos, identifique o tipo de congruência de triângulos em cada um dos casos.

___________

___________

___________

_____________

A

B C

D

E F F

G

H

I

J

K

L

M

N O

P

Q

R S

T

U

Página 42


TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

2) Observe o gráfico que expressa a quantidade de alunos presentes

em uma turma com 60 alunos.

a) Qual foi o dia da semana em que houve mais alunos presentes? _________________________________________________________

b) Existiram dois ou mais dias da semana em que houve a mesma quantidade de alunos presentes? _________________________________________________________

c) Em que dia da semana houve mais alunos faltosos? _________________________________________________________ d) Quais os dias da semana em que houve menos de quarenta alunos presentes? _________________________________________________________

0102030405060

ALUNOS PRESENTES

1) Para testar a qualidade de um combustível, composto

apenas de gasolina e álcool, uma empresa recolheu oito

amostras em vários postos de gasolina. Para cada amostra, foi

determinado o percentual de álcool e o resultado está mostrado

no gráfico. Em quantas dessas amostras o percentual de álcool

é maior que o percentual de gasolina?

(A) 1.

(B) 2.

(C) 3.

(D) 4.

(E) 5.

OBMEP – NÍVEL 2

Página 43


4) (Adaptado ENEM - 2011) Uma rede de supermercados realizou uma

pesquisa para saber em que horário as pessoas mais gostavam de ir

ao supermercado. Foram entrevistadas 2 000 pessoas e o resultado

está representado no gráfico:

De acordo com o gráfico, em que horário a maioria das pessoas

entrevistadas prefere ir ao supermercado?

(A) 8 h às 12 h.

(B) 12 h às 16 h.

(C) 16 h às 20 h.

(D) 20 h às 23 h.

(E) 23 h às 24 h.

3) (Adaptado ENEM - 2005) Em uma área, observa-se o seguinte

regime pluviométrico:

Os anfíbios são seres que podem ocupar tanto ambientes aquáticos

quanto terrestres. Entretanto, há espécies de anfíbios que passam todo

o tempo na terra ou, então, na água. Apesar disso, a maioria das

espécies terrestres depende de água para se reproduzir e o faz quando

a água existe em abundância.

De acordo com o gráfico, o período de meses do ano em que,

nessa área, os anfíbios terrestres poderiam se reproduzir mais

eficientemente, seria de:

(A) setembro a dezembro.

(B) novembro a fevereiro.

(C) janeiro a abril.

(D) março a julho.

(E) maio a agosto.

MESES DO ANO

PREC

IPIT

AÇ

ÃO

(mm

) Página 44


3) Ana Clara comprou 2 blusas e 1 calça, pagando R$ 55,00.

Daniela comprou 1 blusa e 2 calças pagando R$ 65,00. Cada blusa

custou, em reais,

(A) 15.

(B) 18.

(C) 20.

(D) 25.

4) O Professor Pedro colocou, no quadro, o seguinte sistema:

A soma de x + y será

(A) 3.

(B) 5.

(C) 7.

(D) 8.

1) Duda pensou em dois números cuja soma entre eles é 10 e

a diferença entre o dobro de um deles e o outro número é 11.

Quais os números pensados por Duda?

(A) 1 e 9.

(B) 2 e 8.

(C) 3 e 7.

(D) 4 e 6.

2) (OBMEP- Adaptada) Nas duas balanças, há sacos de areia

de mesma massa, além de tijolos idênticos.

A massa do tijolo, em kg, é

(A) 2.

(B) 3.

(C) 4.

(D) 5.

�𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟏𝒙 − 𝒚 = −𝟑

OBMEP – NÍVEL 2

x reais

y reais

Página 45


5) A solução do sistema �2𝑥 + 3𝑦 = 265𝑥 − 𝑦 = 14 são números

(A) maiores que 7.

(B) consecutivos.

(C) negativos.

(D) pares.

6) Leia este plano cartesiano:

Agora, responda:

Qual dos sistemas pode representar este gráfico?

(A) �2𝑥 + 3𝑦 = 6𝑥 − 𝑦 = 1

(B) �𝑥 + 3𝑦 = 6𝑥 − 𝑦 = 2

(C) �3𝑥 − 𝑦 = 7𝑥 + 𝑦 = 14

(D) �3𝑥 − 2𝑦 = 52𝑥 + 𝑦 = 8

7) Podemos dizer que os segmentos 𝐴𝐶 e 𝐴𝐸 do triângulo 𝐴𝐴𝐶 são, respectivamente, (A) bissetriz e mediana.

(B) altura e mediana.

(C) bissetriz e altura.

(D) mediana e altura.

30° 30°

3 cm 3 cm

8) Um polígono regular, que possui 12 lados, se chama dodecágono. Podemos afirmar que a medida de cada um dos ângulos externos desse dodecágono é

(A) 10°. (B) 15°. (C) 30°. (D) 60°.

Dodecágono

𝒙

𝒚

Página 46


11) Sabendo que 𝛼 é um ângulo externo deste triângulo, podemos afirmar que a sua medida é (A) 24°.

(B) 67°.

(C) 100°.

(D) 110°.

9) Abaixo, apresentamos um octógono, dividido em triângulos, para calcular a soma dos seus ângulos internos. Qual a soma dos ângulos internos de um octógono? (A) 720°.

(B) 900°.

(C) 1 080°.

(D) 1 260°.

10) Encontre o valor de 𝑥 no pentágono: (A) 30°.

(B) 45°.

(C) 60°.

(D) 90°. 𝒙

𝟐𝒙

3𝒙

𝜶

𝟔𝟕𝟏

𝟒𝟑𝟏

12) No triângulo ABC, o ponto P é o ponto de encontro entre as três alturas do triângulo. Esse ponto é chamado de (A) vértice.

(B) incentro.

(C) baricentro.

(D) ortocentro.

13) Observando as marcações de congruências de lados e ângulos dos triângulos ABC e DEF, marque a opção que representa o tipo de congruência existente entre eles. (A) LLL

(B) ALA

(C)LAL

(D)LAAo

A

C B

D

F E

Página 47

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