Apresentação do PowerPoint - rioeduca.net PEDAGÓGICOS/CADERNOS... · Material Pedagógico 2017...
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MATEMÁTICA – 9.° ANO
MARCELO CRIVELLA
PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
CÉSAR BENJAMIN
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS
COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO
MARIA DE FÁTIMA CUNHA
GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL
SILVIA MARIA SOARES COUTOORGANIZAÇÃO
CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL
DALTON DO NASCIMENTO BORBA
ELABORAÇÃO
FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA
GIBRAN CASTRO DA SILVA
SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA
REVISÃO
FÁBIO DA SILVA
MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR
DESIGN GRÁFICO
EDIGRÁFICA
IMPRESSÃO
O “Movimento Matemático” é uma contribuição da Professora RegenteClaudia Rosania Nunes dos Santos Vasconcellos, da Escola Municipal08.33.016 Mário Casasanta.
Objetivo: Facilitar o entendimento de determinado conceito.Acesso: para ter acesso às páginas em que se encontrao Movimento Matemático, será necessário estar logado na sua contado rioeduca.net
FORMAS DE APRESENTAÇÃO DO MOVIMENTO MATEMÁTICO
I – On-line• Para o caderno do Aluno, acessar o Portal Rioeduca
(www.rioeduca.net), Recursos Pedagógicos, Material 4.º bimestre/2017.
• Para o caderno do Professor, acessar a intranet (http://sme) –Material Pedagógico 2017 – 4.º bimestre – Matemática.
• Ao apresentar o caderno no datashow ou, apenas, no computador,ao clicar no Movimento Matemático, você deverá ser encaminhado àapresentação. Em seguida, clicando em qualquer parte daapresentação, ocorrerá (por meio de sucessivos cliques)o movimento na imagem.
II – Off-lineBasta baixar o arquivo do caderno. Ao acessar a página, cliqueno Movimento Matemático. Você deverá ser redirecionado à páginade download. Após baixar e abri-la, clique, sucessivamente,permitindo, assim, a apresentação do Movimento Matemático.
Para criar sua conta rioeduca.net, entre em contato com o Help Desk, através do telefone 4501-4018.
PÁGINA 2MATEMÁTICA – 9.° ANO
1- No plano cartesiano, apresentado a seguir, as coordenadas
da casa e da árvore são, respectivamente,
(A) (2, 3) e (1, –2).
(B) (2, 3) e (–2, 1).
(C) (3, 2) e (1, –2).
(D) (3, 2) e (–2, 1).
3- Qual das funções, apresentadas a seguir, é de 1.º grau?
(A) 𝒚= 21
(B) 𝒚 = 𝓍³ – 7
(C) 𝒚 = 2𝓍 + 3
(D) 𝒚 = 𝓍² – 3𝓍 + 1
4- Um estacionamento cobra R$ 5,00 por estadia, mais
R$ 1,50 por hora de estacionamento.
Sendo 𝒚 o valor pago, pelo motorista, por 𝒙 horas com o
veículo estacionado, a função que expressa essa situação é:
(A) 𝒚 = 5 + 1,5 𝓍
(B) 𝒚 = 6,5
(C) 𝒚 = 5𝓍 + 1,5
(D) 𝒚 = 5 – 1,5 𝓍
2- No começo desse ano, o foguete fabricado no Brasil, VS-
30/Orion, lançou, com sucesso, o experimento atmosférico
europeu ICI-4. O lançamento foi realizado da base de Ando𝒚a, na Noruega.
Baseado na figura abaixo, podemos afirmar que a altura
alcançada, quando ele percorrer 2 mil metros (para 3 = 1,7)
será de
(A) 1 000 m.
(B) 1 500 m.
(C) 1 700 m.
(D) 3 400 m.
altura
.
–4 –3 –2 –1
0
1 2 3 4 5
–1
–2
–3
1
2
3
4
5
𝒙
𝒚
PÁGINA 3MATEMÁTICA – 9.° ANO
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2.º GRAU
A figura, apresentada a seguir, representa um terreno retangular com uma piscina ao centro. Em volta da piscina, o terreno será gramado.
Para calcular a área a ser gramada, precisamos calcular a área total do
terreno e retirar a medida da área da piscina.
Sendo assim,
a área total da figura é: x∙2x = 2x²;
a área da piscina (retângulo azul) é: 3∙(x – 5).
Com essas informações, podemos determinar a área a ser gramada da
seguinte maneira:
2x² – 3∙(x – 5), ou seja, 2x² – 3x + 15
Indicando essa área por 𝒚, teremos:
𝒚 = 2x² – 3x + 15
A função definida por 𝒚 = 2x² – 3x + 15 é um exemplo de função polinomial
de 2.o grau (ou função quadrática).
Uma função polinomial de 2.º grau é toda função do tipo
ou
com a, b e c sendo números reais e a ≠ 0, e é definida para todo 𝓍 que
seja um número real.
𝒚 = ax² + bx + c
Leia os exemplos:
a) 𝒚 = x² – 6 𝓍 + 3
sendo a = 1, b = – 6 e c = 3
b) 𝒚 = – x² + 8
sendo a = – 1, b = 0 e c = 8
c) 𝒚 = – 2x² – 6x
sendo a = – 2, b = – 6 e c = 0
f(x) = ax² + bx + c
2 𝓍
𝓍
𝔁 – 5
3
Muito legal!!!!
PÁGINA 4MATEMÁTICA – 9.° ANO
O gráfico de uma função de 2.º grau é dado por uma PARÁBOLA com concavidade (abertura da parábola) voltada para cima ou
para baixo.
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU
http
://ww
w.m
useuvirtu
alb
rasil.c
om
.br
Ponte JK, que liga o Lago Sul, Paranoá e São Sebastião ao Plano
Piloto em Brasília. Possui três arcos em forma de parábola.
Para entender o gráfico da função de 2.o grau, acompanhe o seguinte
exemplo:
A bola de basquete faz a seguinte trajetória até a cesta. Esse arco
representa o gráfico de uma função de 2.º grau e chama-se
PARÁBOLA.
http
://ww
w.in
epac.rj.g
ov.b
r
Passarela do Samba – Sambódromo - RJ
Essas imagens são de construções
formadas por curvas conhecidas como
parábolas.
PÁGINA 5MATEMÁTICA – 9.° ANO
Para construir o gráfico de uma função de 2.º grau, podemos fazer o mesmo que na função de 1.º grau:
atribuímos valores para 𝓍 e encontramos o correspondente em 𝒚;
localizamos esses pontos no plano cartesiano;
ligamos esses pontos por meio de uma linha curva denominada parábola.
Exemplos:
– 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7
– 1
– 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(1, 0) (3, 0)
(4, 3)
(0, 3)
(–1, 8) (5, 8)
(2, –1)
𝓍
𝒚
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU
𝒚 = 𝔁² – 4𝔁 + 3 𝒚 (𝔁, 𝒚)
Para 𝓍 = –1 𝒚 = (–1)² – 4(–1) + 3
𝒚 = 1 + 4 + 3𝒚 = 8 (–1, 8) A
Para 𝓍 = 0 𝒚 = (0)² – 4(0) + 3
𝒚 = 0 – 0 + 3𝒚 = ___ (0, ___) B
Para 𝓍 = 1 𝒚 = (1)² – 4(1) + 3
𝒚 = ___ (___,___) C
Para 𝓍 = 2𝒚 = (2)² – 4(2) + 3
𝒚 = ___ (___,___) D
Para 𝓍 = 3𝒚 = (3)² – 4(3) + 3
𝒚 = ___ (___,___) E
Para 𝓍 = 4𝒚 = (4)² – 4(4) + 3
𝒚 = ___ (___,___) F
Para 𝓍 = 5𝒚 = (5)² – 4(5) + 3
𝒚 = ___ (___,___) G
O vértice da parábola de uma função de 2.° grau é o ponto
máximo ou mínimo da curva (depende da
concavidade).
𝒚 = 1 – 4 + 3
𝒚 = 4 – 8 + 3
𝒚 = 9 – 12 + 3
𝒚 = 16 – 16 + 3
𝒚 = 25 – 20 + 3
Observe os pares
ordenados (𝒙, 𝒚) no
plano cartesiano. A
união deles formou a
parábola.
O vértice encontra-
se, exatamente, no
lugar em que a
parábola faz a curva.
Vértice da parábola
A
B
C
D
E
F
G𝒚 = 𝒙² – 4𝒙 + 3
A) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = x² – 4x + 3.
PÁGINA 6MATEMÁTICA – 9.° ANO
B) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = x² – 2x + 1.
𝒚 = x² – 2x + 1 𝒚 (𝔁, 𝒚)
Para 𝓍 = –1 𝒚 = (–1)² – 2(–1) + 1
𝒚 = 1 + 2 + 1𝒚 = 4 (–1, 4)
Para 𝓍 = 0𝒚 = (0)² – 2(0) + 1
𝒚 = 0 – 0 + 1𝒚 = 1 (0, ___)
Para 𝓍 = 1𝒚 = (1)² – 2(1) + 1𝒚 = 1 – 2 + 1
𝒚 = 0 (1, ___)
Para 𝓍 = 2𝒚 = (2)² – 2(2) + 1
𝒚 = 4 – 4 + 1𝒚 = _____ (2, ___)
Para 𝓍 = 3𝒚 = (3)² – 2(3) + 1
𝒚 = 9 – 6 + 1𝒚 = _____ (___, ___)
Complete a tabela acima.
Observe os pares ordenados (x, 𝒚) no
plano cartesiano. Marque os pontos
determinados por esses pares.
Ligando-os, construiremos a parábola.
As coordenadas do
vértice da parábola
são (1, 0).
– 2 – 1 0 1 2 3 4
– 1
1
2
3
4
5
PÁGINA 7MATEMÁTICA – 9.° ANO
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
– 9
– 1 0 1 2 3 4 5 6
C) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = – 𝓍² + 6𝓍 – 8.
𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 8 𝒚 (𝒙, 𝒚)
Para 𝒙 = 0 𝒚 = – (0)² + 6(0) – 8
𝒚 = – 0 + 0 – 8𝒚 = –8 (0, –8)
Para 𝒙 = 1 𝒚 = – (1)² + 6(1) – 8
𝒚 = – 1 + 6 – 8𝒚 = –3 (1, –3)
Para 𝒙 = 2𝒚 = – (2)² + 6(2) – 8
𝒚 = – 4 + 12 – 8𝒚 = 0 (2, ___)
Para 𝒙 = 3𝒚 = – (3)² + 6(3) – 8
𝒚 = – 9 + 18 – 8𝒚 = 1 (3, ___)
Para 𝒙 = 4𝒚 = – (4)² + 6 (4) – 8
𝒚 = – 16 + 24 – 8𝒚 = _____ (4, ___)
Para 𝒙 = 5𝒚 = – (5)² + 6 (5) – 8
𝒚 = – 25 + 30 – 8𝒚 = _____ (___, ___)
Para 𝒙 = 6𝒚 = – (6)² + 6 (6) – 8
𝒚 = – 36 + 36 – 8𝒚 = _____ (___, ___)
Complete os valores
que estão faltando
na tabela!!!
As coordenadas do
vértice da parábola
são (___, ___).
Localize, no plano cartesiano, os
pontos (𝒙, 𝒚). Depois, trace a
parábola!!!
PÁGINA 8MATEMÁTICA – 9.° ANO
– 2 – 1 0 1 2 3 4
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
D) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 – 2.
𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 – 2 𝒚 (𝓍, 𝒚)
Para 𝓍 = –1 𝒚 = – (–1)² + 2(–1) – 2
𝒚 = – 1 – 2 – 2𝒚 = –5 (–1, –5)
Para 𝓍 = 0𝒚 = – (0)² + 2(0) – 2
𝒚 = – 0 + 0 – 2𝒚 = –2 (0, ___)
Para 𝓍 = 1𝒚 = – (1)² + 2(1) – 2𝒚 = – 1 + 2 – 2
𝒚 = _____ (1, ___)
Para 𝓍 = 2𝒚 = – (2)² + 2(2) – 2
𝒚 = – 4 + 4 – 2𝒚 = _____ (___, ___)
Para 𝓍 = 3𝒚 = – (3)² + 2(3) – 2
𝒚 = – 9 + 6 – 2𝒚 = _____ (___, ___)
Lembre-se de completar
os valores que estão
faltando na tabela,
localizar os pontos no
plano cartesiano e traçar
a parábola!!!
As coordenadas do
vértice da parábola
são (___, ___).
PÁGINA 9MATEMÁTICA – 9.° ANO
x 𝒚 = x² – 3 𝒚 (x, 𝒚)
–2𝒚 = (–2)² – 3
𝒚 = 4 – 31 (–2, 1)
–1
0
1
2
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1- Complete a tabela:
2- Localize os pares ordenados da atividade anterior no
plano cartesiano, apresentado a seguir. Depois, trace a
parábola:
– 3 – 2 – 1 0 1 2 3
– 1
– 2
– 3
3
2
1
PÁGINA 10MATEMÁTICA – 9.° ANO
4- Localize os pares ordenados da atividade anterior no plano
cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a parábola:
– 2
– 2
1
2
3
4
– 1 0 1 2 3
– 1
𝓍 𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 + 3 𝒚 (𝓍, 𝒚)
–1𝒚 = – (–1)² + 2(–1) + 3
𝒚 = – 1 – 2 + 30 (–1, 0)
0
1
2
3
3- Complete a tabela:
PÁGINA 11MATEMÁTICA – 9.° ANO
𝓍 𝒚 = 𝓍² + 2𝓍 – 3 𝒚 (𝓍, 𝒚)
–3𝒚 = (–3)² + 2(–3) – 3
𝒚 = 9 – 6 – 30 (–3, 0)
–2
–1
0
1
5- Complete a tabela: 6- Localize os pares ordenados da atividade anterior no
plano cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a
parábola:
– 3 – 2 – 1 0
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
1 2
PÁGINA 12MATEMÁTICA – 9.° ANO
𝓍 𝒚 = 𝓍² – 4𝓍 + 4 𝒚 (𝓍, 𝒚)
0𝒚 = (0)² – 4(0) + 4
𝒚 = 0 – 0 + 44 (0, 4)
1
2
3
4
7- Complete a tabela: 8- Localize os pares ordenados da atividade anterior no plano
cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a parábola:
– 1 0 1 2 3 4 5
– 1
1
2
3
4
5
6
PÁGINA 13MATEMÁTICA – 9.° ANO
● Se a > 0 concavidade voltada para “cima”.
● Se a < 0 concavidade voltada para “baixo”.
CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
a) Quanto à concavidade da parábola:
Beatriz, observe que,
nas páginas 5 e 6, as
parábolas estão com as
concavidades voltadas
para cima.
Percebi, Vanessa! Mas nas
parábolas das páginas 7 e 8,
as concavidades estão
voltadas para baixo.
Para saber em que direção a
concavidade está, basta
olhar o sinal do coeficiente de
𝓍². O valor de a!!!
PÁGINA 14MATEMÁTICA – 9.° ANO
b) Quanto às coordenadas do vértice:
● Se a > 0 o vértice é o ponto de mínimo (ponto mais baixo).
● Se a < 0 o vértice é o ponto de máximo (ponto mais alto).
A abscissa (x) do vértice pode ser calculada pela seguinte fórmula:
A ordenada (𝒚) do vértice pode ser calculada, substituindo-se o 𝓍encontrado na função dada. Observe este exemplo:
𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎
Determinar as coordenadas do vértice da função
𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 4
𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎=
− −6
2 ∙ 1=
6
2= ______
𝑦𝑣 = ____ 2 − 6 _____ + 4 = ____ − ____ + 4 = ______
V(3, –5) Com isso, determinamos,
exatamente, onde a
parábola faz a curva.
O vértice dessa parábola se
localiza nas coordenadas
(3, –5).
E, nesse outro, o
ponto de máximo
é dado pelo maior
valor no eixo 𝒚.
A ordenada (𝒚) do vértice também pode ser encontrada pela fórmula:
𝑦𝑣 =−∆
4𝑎
Nesse gráfico, o
ponto de mínimo
é dado pelo menor
valor no eixo 𝒚.
= (–6)² – 4∙1∙4
= 36 – 16
= 20
𝑦𝑣 =−20
4 ∙ 1= −5
Mas, pra isso, teremos que calcular o valor do delta .
PÁGINA 15MATEMÁTICA – 9.° ANO
I. Se > 0 a parábola “corta” o eixo x em dois pontos.
II. Se = 0 a parábola tangencia o eixo x em um ponto.
III. Se < 0 a parábola não “toca” no eixo x.
c) Quanto ao discriminante ( = b² – 4ac):
< 0
A parábola não
toca no eixo 𝓍.
= 0
A parábola
“toca” o eixo 𝒙 ,
apenas, em um
ponto.
> 0
A parábola corta o
eixo 𝒙 em dois
pontos.
O discriminante () é o
mesmo que utilizamos na
fórmula de Bháskara
(equação de 2.º grau).
PÁGINA 16MATEMÁTICA – 9.° ANO
I IIII II
– 1 1 2 3 4 5
– 1
0
1
2
3
4
5
6y
x
– 1 1 2 3 4 5
– 1
0
1
2
3
4
5
6y
x
– 1 1 2 3 4 5
– 1
0
1
2
3
4
5
6y
x
– 1 1 2 3 4 5
– 1
0
1
2
3
4
5
6y
x
– 1 1 2 3 4 5
– 5
0
– 4
– 3
– 2
– 1
1
6y
x
– 1
1 2 3 4 50
5
6y
x
– 1
– 2
– 4
3
– 5
PÁGINA 17MATEMÁTICA – 9.° ANO
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1- Sabendo-se que o gráfico de cada função é uma parábola,
determine a concavidade de cada uma delas (para cima ou
para baixo):
a) 𝒚 = x² + 7x + 6 _______________________________
b) 𝒚 = – 2x² + x – 3 _______________________________
c) 𝒚 = – x² + 5 _______________________________
d) 𝒚 = 3x² – 4x – 1 ______________________________
e) 𝒚 = x² + 9x – 7 ______________________________
2- Determine as coordenadas do vértice da parábola que
representa cada uma das funções:
a) 𝒚 = x² – 10x + 9
b) 𝒚 = 𝔁² + 2x – 8
c) 𝒚 = x² – 2x + 1
d) 𝒚 = – x² + 9
PÁGINA 18MATEMÁTICA – 9.° ANO
4- Determine a existência e a quantidade de pontos em
que a função intercepta o eixo das abscissas (eixo x).
a) 𝒚 = 𝒙² – 7𝒙 + 6 b) 𝒚 = 2𝒙² + 5𝒙 + 3
c) 𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 10 d) 𝒚 = 𝒙² + 14𝒙 + 49
3- Determine o ponto de mínimo ou o ponto de máximo em
cada um dos gráficos. Indique cada um desses pontos:
a) b)
_______________________ ____________________
c) d)
______________________ ______________________
– 1 0
1
2 3 4 5
2
3
– 1
– 2
– 3
1
0– 2– 3– 4
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
1– 1
3
2
1
– 1
0– 1 1 2 3 4 5
6
5
4– 1
– 1– 2– 3– 4
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
0
PÁGINA 19MATEMÁTICA – 9.° ANO
ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Os zeros de uma função quadrática são os valores de x para os quais 𝒚 = 0 (os pontos que a parábola “corta” o eixo x).
Isso significa que, para achar os zeros de uma função quadrática, é só igualar a função a zero e resolver a equação de 2.º grau. Vamos ler
os exemplos:
Exemplo 1:
Determinar os zeros da função 𝒚 = 𝔁 ² – 5𝔁 + 6:
Solução:
Igualando a função a zero:
x² – 5x + 6 = 0
a = 1
b = (–5)
c = 6
𝑥 =−(−5) ± 1
2 ∙ 1=5 ± 1
2=
Resposta: Os zeros da função 𝒚 = 𝔁 ² – 5 𝔁 + 6 são 2 e 3.
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
= (–5)² – 416
= 25 – 24
= 1
𝑥 =−𝑏 ± ∆
2𝑎
𝑥′ =5 + 1
2=
6
2= 3
𝑥′′ =5 − 1
2=
4
2= 2
Exemplo 2:
Determinar os zeros da função 𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 9:
= 6² – 4(– 1)(– 9)
= 36 – 36
= 0
Solução:
Igualando a função a zero:
– 𝔁² + 6𝔁 – 9 = 0
a = (– 1)
b = 6
c = (– 9)
𝑥 =−6 ± 0
2 ∙ (− 1)=−6 ± 0
−2=
Resposta: O zero da função 𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 9 é 3.
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥 =−𝑏 ± ∆
2𝑎𝑥′ =
−6 + 0
−2=
−6
−2= 3
𝑥′′ =−6 − 0
−2=
−6
−2= 3
Igualando a função a
zero, teremos a
equação de 2.º grau.
PÁGINA 20MATEMÁTICA – 9.° ANO
AGORA,É COM VOCÊ!!! 1- Determine os zeros de cada função:
a) f(𝔁) = 𝔁 ² + 2 𝔁 – 3
b) f(𝔁) = 5 𝔁 ² + 20
c) f(𝔁) = 𝔁² – 8𝔁 + 16
d) f(𝒙) = 2𝒙² – 4𝒙
PÁGINA 21MATEMÁTICA – 9.° ANO
2- Sendo 𝒚 = 𝔁² + 2𝔁 – 3, determine
a) os zeros da função (𝒚 = 0):
b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎𝑒 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎:
c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
d) Esboço do gráfico:
– 4 – 1
3
2
1
– 2– 3 0 1 2
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
PÁGINA 22MATEMÁTICA – 9.° ANO
3- Sendo 𝒚 = – x² + 4, determine
a) os zeros da função (𝒚 = 0):
b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎𝑒 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎:
c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
d) esboço do gráfico:
– 1– 2– 3 0 1 2 3
1
2
3
4
5
– 1
– 2
–3
PÁGINA 23MATEMÁTICA – 9.° ANO
4- Sendo 𝒚 = 𝔁² – 4𝔁 + 5, determine
a) os zeros da função (𝒚 = 0):
b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎𝑒 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎:
c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
d) esboço do gráfico:
– 2 10– 1 2 3 4
– 2
– 1
3
4
5
6
2
1
PÁGINA 24MATEMÁTICA – 9.° ANO
c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
d) esboço do gráfico:
5- Sendo 𝒚 = x² – 2𝒙 + 1, determine
a) os zeros da função (𝒚 = 0):
b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏
2𝑎𝑒 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎:
– 2 10– 1 2 3 4
6
5
4
2
3
1
PÁGINA 25MATEMÁTICA – 9.° ANO
1- Qual das funções apresentadas a seguir é de 2.º grau?
(A)𝒚 = 𝒙³ – 3𝒙² + 5 (B) 𝒚 = 𝒙² + 7𝒙 – 1
(C) 𝒚 = 𝒙 – 3𝒙 + 5 (D) 𝒚 = – 4𝒙 + 9
2- A função 𝒚 = a𝔁² + b𝔁 + c terá a concavidade voltada para
cima se
(A) a = 0. (B) a for positivo.
(C) a for negativo. (D) a não for par.
3- A função definida por 𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 8 tem, como zero(s),
(A) 6 e 8.
(B) 5 e –5.
(C) 2 e 4.
(D) 1 e 9. .
4- O gráfico que melhor representa uma função de 2.º grau é:
(A) (B)
(C) (D)
– 2
4
– 1 1 2
– 4
– 3
– 2
0
– 1
1
2
3
– 2
1
1 2
– 4
– 3
– 2
0
– 1
1
2
3
– 1
0 1
– 5
– 3
– 2
– 1
– 4
– 1– 2– 3
– 2
– 1
5
4
3
2
1
0 1– 1– 2– 3
PÁGINA 26MATEMÁTICA – 9.° ANO
5- Podemos afirmar que são os zeros da função
(A) –3.
(B) –3 e 1.
(C) –1 e 4.
(D) 0.
6 – As coordenadas do vértice da parábola são
(A) (–1, –4).
(B) (–3, 1).
(C) (0, –3).
(D) (–3, 0).
Observe o gráfico e responda às questões 5, 6, 7 e 8: 7- O valor do coeficiente de x² é
(A) zero. (B) positivo.
(C) negativo. (D) irracional.
8- O valor de 𝒚 quando x = 0 é
(A) –3. (B) 0.
(C) 3. (D) 5.
9- Dada a função f(𝔁)= 3𝔁 2 – 10𝔁 + 3, assinale a única
opção verdadeira:
(A) f(0)= –10.
(B) O gráfico é uma reta crescente.
(C) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada
para cima.
(D) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada
para baixo.
– 3 –2 –1 0 1 2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
PÁGINA 27MATEMÁTICA – 9.° ANO
PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÃO DE 2.º GRAU
Leia o exemplo:
Certa maçã, lançada para cima, a partir do solo, tem sua
altura h (em metros) expressa em função do tempo t (em
segundos), decorrido após o lançamento, pela seguinte lei
de formação:
h(t) = 18t – 3t2
a) Qual a altura em que esta maçã se encontra, um
segundo após o lançamento?
b) Qual a altura máxima que pode ser atingida pela maçã?
t = 1 s
h(1) = 18∙1 – 3∙1²
h(1) = 18 – 3 = 15
Resposta: 15 m.
Altura máxima é dada pelo 𝒉𝒗 do vértice.
𝒕𝒗 =−𝒃
𝟐𝒂
𝒕𝒗 =−𝟏𝟖
𝟐 ∙ (−𝟑)
𝒕𝒗 = 𝟑
𝒉𝒗 = 18t – 3t2
𝒉𝒗 = 18∙3 – 3∙32
𝒉𝒗 = 54 – 27
𝒉𝒗 = 27
Resposta: 27 m.
c) Qual a maior distância horizontal que essa maçã alcançará
até tocar o chão?
a = –3
b = 18
c = 0 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄
∆ = 𝟏𝟖² − 𝟒 ∙ (−𝟑) ∙ 𝟎
∆ = 𝟑𝟐𝟒
t =−𝒃± ∆
𝟐𝒂
𝒕 =−𝟏𝟖 ± 𝟑𝟐𝟒
𝟐 ∙ (−𝟑)
𝒕 =−𝟏𝟖 ± 𝟏𝟖
−𝟔
𝒕′ =−𝟏𝟖 + 𝟏𝟖
−𝟔=
𝟎
−𝟔= 𝟎
𝒕′′ =−𝟏𝟖 − 𝟏𝟖
−𝟔=−𝟑𝟔
−𝟔= 𝟔
Para determinar essa distância, basta calcular o
intervalo entre os zeros da função:
18t – 3t2 = 0
Resposta: 6 m.
6 – 0 = 6
PÁGINA 28MATEMÁTICA – 9.° ANO
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1- Depois de estudar o comportamento de uma bola,
arremessada para o alto e para frente, um pesquisador
elaborou a seguinte lei de formação para seu movimento:
𝒚 = – 2𝒙2 + 8𝒙 em que 𝒚 é a altura (em metros) e 𝒙, o
alcance horizontal (em metros). Observe o gráfico que
descreve a trajetória da bola:
Determine:
a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
http://brainl𝒚.com.br/
b) Qual a maior distância horizontal alcançada pela bola?
PÁGINA 29MATEMÁTICA – 9.° ANO
1- Determine a área de cada retângulo:
a)
b)
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
ÁREA DO RETÂNGULO
Em 2014, o campo do Estádio do Maracanã foi todo
reformado. Para isso, precisou-se saber a área ocupada
pelo gramado.
O cálculo é bem simples!! Basta multiplicar a medida do
comprimento pela medida da largura. Observe:
AGORA,É COM VOCÊ!!!
comprimento
larg
ura
htt
p:/
/glo
boesport
e.g
lobo.c
om
Sabendo-se que as dimensões do campo do Maracanã
possuem 105 m de comprimento por 68 m de largura,
qual a sua área?
A = 105 68 = 7 140 m²
Resposta: Sua área é de 7 140 m².
8 cm
4 c
m
5 cm
9,5
cm
ÁREA DO RETÂNGULO
A = base(b) x altura(h)
ou
A = b . h
Agora, vamos calcular?
PÁGINA 30MATEMÁTICA – 9.° ANO
ÁREA DO QUADRADO
O quadrado é um caso particular de retângulo cujos lados são congruentes
(possuem a mesma medida).
Para calcular a área da superfície da mesa, apresentada a seguir, é só elevar ao
quadrado a medida do seu lado. Leia:
ÁREA DO PARALELOGRAMO
Apresentadas as medidas da base e da altura do paralelogramo, podemos
calcular a sua área.
1- Determine a área de cada figura:
a)
b)
c)
AGORA,É COM VOCÊ!!!
htt
ps:/
/br.
pin
tere
st.
co
m
4,2 cm
8 cm
Mesa de
tampo
quadrado
Observando a figura, podemos
concluir que a área de um
paralelogramo é igual à área
do retângulo. Então,
A = base(b) x altura(h)
ou
A = b . h
PÁGINA 31MATEMÁTICA – 9.° ANO
ÁREA DO LOSANGO
ÁREA DO TRAPÉZIO
A parte amarela da bandeira brasileira é formada por um losango. A sua área será dada
pela multiplicação de suas diagonais e o valor encontrado será dividido por dois.
1- Determine a área de cada figura:
a)
b)
c)
AGORA,É COM VOCÊ!!!
diagonal menor(d)
diagonal maior(D)
https://pt.wikipedia.org
Esta maquete de ponte foi construída pelos alunos da Universidade Católica de Pelotas
(UCPel). Se observarmos bem, a sua lateral possui o formato de um trapézio.
htt
p:/
/ww
w.u
cp
el.e
du
.br
Para calcularmos a área de um
trapézio, utilizamos a seguinte fórmula:
Observe o cálculo para a área do
losango:
TRAPÉZIO
TRAPÉZIO
LOSANGO
𝐴 =𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐷 𝑥 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 (𝑑)
2
ou
PÁGINA 32MATEMÁTICA – 9.° ANO
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1- Determine a área de cada figura:
a)
b)
c)
ÁREA DO TRIÂNGULO
As laterais das Pirâmides do Egito são formadas por triângulos. Veja:
Se quisermos calcular a área desses triângulos, basta multiplicarmos
a medida de sua base pela medida de sua altura e dividir o resultado
por 2:
htt
p:/
/revis
tagalil
eu.g
lobo.c
om
PÁGINA 33MATEMÁTICA – 9.° ANO
3- Para a Copa do Mundo de 2018, na Rússia, foram
compradas gramas naturais para todos os 12 estádios.
Sabendo-se que cada campo possui as dimensões de 110 m
por 75 m, quantos metros quadrados de grama natural são
necessários para cobrir cada campo?
2- João pretende construir pipas conforme esta figura:
Sabendo-se que as diagonais da pipa, que ele pretende
construir, no formato de losango, medem 30 cm e 50 cm,
quantos centímetros quadrados de papel serão necessários,
no mínimo, para construir 10 pipas iguais a esta?
http
://ww
w.d
ica
sm
iud
as.c
om
.br
http
://ww
w.b
9.c
om
.br/
OBMEP – NÍVEL 2
Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos
menores. As áreas de três deles estão indicadas na figura
dada. Qual é a área do retângulo ABCD?
(A) 80. (B) 84. (C) 86. (D) 88. (E) 91.
16
2712
A
B C
D
PÁGINA 34MATEMÁTICA – 9.° ANO
O = centro da circunferência
r = raio
d = diâmetro
a = arco
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
A circunferência é formada por todos os pontos de um plano que estão localizados a
uma mesma distância r de um ponto fixo denominado centro da circunferência.
Elementos da circunferência
CIRCUNFERÊNCIA
* O diâmetro mede o dobro do valor do raio:
d = 2r* O diâmetro é a
maior corda que pode ser traçada em uma
circunferência.
http://www.vocesabia.net
Se você observar,
a medida do
diâmetro é o dobro
da medida do
raio!!!
http://tilinbrinquedos.com.br
Existem diversos
objetos que nos
dão ideia de
circunferência!!!
Anéis
PulseiraBambolê
PÁGINA 35MATEMÁTICA – 9.° ANO
C é o comprimento da circunferência.
é igual a 3,14159... (usualmente consideramos = 3,14).
r é o raio da circunferência.
COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
Observe esta praça:
A Prefeitura de Goiânia realizou um estudo para cercar a praça que fica numa
rotatória no centro da cidade. Para tal, precisa conhecer o comprimento de seu
contorno.
Para realizar esse cálculo, utiliza-se a fórmula do comprimento da circunferência:
No final:
C = 2 r
Exemplos:
1- A Praça da Prefeitura de Goiânia possui a
forma de um círculo, cujo raio é de 18 metros.
De quantos metros deverá ser o comprimento
da grade que irá cercá-la?
( = 3,14)
Resposta: A grade terá, aproximadamente,
113 m de comprimento.
2- Se uma circunferência possui 31,4 cm de
comprimento, quanto mede seu raio?
C = 2 r
C = 2 3,14 18
C = 113,04
C = 2 r
31,4 = 2 3,14 r
31,4 = 6,28r
r = 31,4/6,28
r ≅ 5
htt
p:/
/arq
cid
ad
e.b
log
sp
ot.
co
m.b
r
PÁGINA 36MATEMÁTICA – 9.° ANO
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1- Calcule o comprimento de uma circunferência quando
a) o raio mede 5 cm:
b) o raio mede 8 m:
c) o diâmetro mede 14 cm:
d) o diâmetro mede 30 m:
2- Qual o raio de uma circunferência que possui um
comprimento aproximado de 62,8 metros?
3- O ciclista Flávio está em treinamento dando voltas em torno
de uma pista circular. Sabendo-se que o raio dessa pista é de
60 m, quantos metros ele percorrerá em cada volta?
4- Bruno dará 10 voltas ao redor de uma praça circular que
possui diâmetro de 24 m. Quantos metros, aproximadamente,
ele percorrerá?
Vamos considerar o
valor de como 3,14.
http
://gale
ria.c
olo
rir.com
60 m
PÁGINA 37MATEMÁTICA – 9.° ANO
Para comemorar as Olimpíadas de 2016, no Brasil, a Casa da Moeda lançou, em 2012, a moeda de prata “ENTREGA DA BANDEIRA
OLÍMPICA”.
ÁREA DO CÍRCULO
Que moeda
linda!!!
Essa moeda possui um diâmetro de 40 milímetros. Para conhecermos a área de sua
face, é necessário utilizarmos a seguinte fórmula:
A = r²
A é a área do círculo.
é igual a 3,14159... (usualmente consideramos = 3,14).
r é o raio do círculo.
Conhecendo a área de sua face, o
diâmetro da moeda é de 40 milímetros.
Qual é a área de sua superfície (face)?
Resposta: A área da face da moeda é
de, aproximadamente, 1 256 mm² (ou
12,56 cm²).
A = r²
A = 3,14 20²
A = 3,14 400
A = 1 256
htt
p:/
/ww
w.m
oedasdobra
sil.c
om
.br
diâmetro = 40 mm
raio = 20 mm
PÁGINA 38MATEMÁTICA – 9.° ANO
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1- Calcule a área de um círculo quando
a) o raio mede 6 m:
b) o raio mede 7 cm:
c) o diâmetro mede 15 m:
d) o diâmetro mede 30 cm:
2- Qual o raio de um círculo que possui área aproximada de
31 400 cm²?
3- Esta figura mostra a imagem de satélite do furacão Katrina,
(28/08/2005). Sabendo-se que um furacão como esse pode
chegar a 1 000 km de diâmetro, podemos afirmar que a área
total que ele abrange será de quantos quilômetros
quadrados? (Considerando = 3,14)
htt
ps:/
/te
mp
ojo
ao
pe
sso
a.jim
do
.co
m
4- Paulo quer colocar piso em uma sala de formato circular
com 12 metros de diâmetro. Qual será o valor mínimo da
despesa de Paulo, se o metro quadrado do piso custa
R$ 32,50?
Vamos considerar o
valor de como 3,14.
PÁGINA 39MATEMÁTICA – 9.° ANO
Porcentagem é a razão centesimal representada por %
(lê-se “por cento”).
Exemplo:
a) 0,10 =10
100= 10% b) 0,15 =
15
100= 15%
PORCENTAGEM
Essa forma de representação (10%, 15%, 25%...)
chama-se taxa percentual.
Exemplos:
1- Calcular 20% de 500.
20% 𝑑𝑒 500 =
20
100𝑑𝑒 500 =
500 ∙ 20 ÷ 100 = 100Resposta: 100.
2- Calcular 12% de 1 100.
12% 𝑑𝑒 1 100 =
12
100𝑑𝑒 1 100 =
1 100 ∙ 12 ÷ 100 = 132Resposta: 132.
x
÷
x
÷
3- 15% de uma quantia correspondem a
90 reais. Qual é o valor desta quantia?
15% 𝑑𝑒 ? = 90
15
100𝑑𝑒 ?= 90
90 ∙ 100 ÷ 15 = 600Resposta: 600 reais.
x
÷
htt
p:/
/ww
w.d
istr
ibuic
aohoje
.com
Observe: cem cento porcentagem
PÁGINA 40MATEMÁTICA – 9.° ANO
2- A turma de Débora possui 40 alunos e 15% faltaram à
aula hoje. Qual a quantidade de alunos que compareceu
nesse dia?
3- Um produto que custa 600 reais foi vendido com um
desconto de 12%. Qual foi o valor do desconto?
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1- Determine:
a) 40% de 70:
b) 7% de 300:
c) 25% de 640:
d) 15% de 1200:
PÁGINA 41MATEMÁTICA – 9.° ANO
6- Nas compras com cartão de crédito, as lojas pagam às
operadoras 5% do valor da nota. Quanto uma loja pagará se
a compra for de 840 reais?
7- A produção mensal de uma fábrica aumentou em 20%, o
que corresponde a 360 peças a mais. Quantas peças eram
produzidas anteriormente?
4- Comprei um carro por 20 mil reais. Depois, o vendi com um
acréscimo de 7%. Por quanto vendi o carro?
5- Uma conta de R$ 350,00 tem um acréscimo de 10% se for
paga com atraso. Qual será o valor dessa conta, se for paga
com atraso?
PÁGINA 42MATEMÁTICA – 9.° ANO
JUROS
JURO COMPOSTO
Já o sistema de juro composto consiste na definição do percentual da
taxa de juros de acordo com cada período, sendo este novo valor
adicionado ao valor inicial, para que seja feito um novo cálculo no
período seguinte.
Em outras palavras: os juros compostos são os “juros sobre juros”.
Esse é o regime de juros mais comum no sistema financeiro.
Portanto, mais útil para os cálculos de situações cotidianas.
Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00 foi aplicado por 3 meses,
a uma taxa de 10% ao mês, no sistema de juros compostos.
Observe:
Mês R$ 1.000,00
1 1 000 + 1 000∙10% = 1 100
2 1 100 + 1 100∙10% = 1 210
3 1 210 + 1 210∙10% = 1 331Pagamento realizado após três meses.
Definição
Juro ou juros (termo mais usado) é o rendimento que se obtém quando uma instituição financeira empresta dinheiro por um
determinado período. Os juros são para o credor (aquele que tem algo a receber), um acréscimo referente ao período que o capital
esteve emprestado.
Por outro lado, quem faz um empréstimo em dinheiro ou faz uma compra a crédito, geralmente terá que pagar um acréscimo pela utilização
do dinheiro ou pelo parcelamento da totalidade do valor do produto ou do bem. A esse acréscimo também dá-se o nome de juro.
Existem dois tipos básicos de juros:
JURO SIMPLES
O juro é simples quando a taxa é definida
tendo como base o valor inicial
emprestado, sem a incidência de juros
sobre juros.
Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00
foi aplicado por 3 meses, a uma taxa de
10% ao mês, no sistema de juros simples.
Observe:
Mês R$ 1.000,00
1 1 000 + 1 000∙10% = 1 100
2 1 100 + 1 000∙10% = 1 200
3 1 200 + 1 000∙10% = 1 300Pagamento realizado após três meses
PÁGINA 43MATEMÁTICA – 9.° ANO
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1- As tabelas, apresentadas a seguir, apresentam os valores
obtidos em função do tempo em que foram investidos R$
2.000,00, a partir do mês de março. Leia:
Agora, responda:
a) Qual o valor aplicado, inicialmente, na tabela 1?
_______________________________________________
b) Qual o valor do juro mensal na tabela 1?
_______________________________________________
c) Qual o valor total dos juros até o mês de julho na tabela 1?
_______________________________________________
d) Qual o valor aplicado, inicialmente, na tabela 2?
_______________________________________________
e) Qual o valor total dos juros até o mês de julho na tabela 2?
_______________________________________________
f) Qual é a tabela que rendeu o maior juro até o mês de julho?
_______________________________________________
g) Com base no que você observou, complete as frases
abaixo com as expressões simples ou compostos:
Na tabela 1, incidem juros _______________.
Na tabela 2, incidem juros _______________.
Valor (R$) Tempo
2.000,00 Março
2.200,00 Abril
2.400,00 Maio
2.600,00 Junho
2.800,00 Julho
Valor (R$) Tempo
2.000,00 Março
2.200,00 Abril
2.420,00 Maio
2.662,00 Junho
2.928,20 Julho
Tabela 1 Tabela 2
PÁGINA 44MATEMÁTICA – 9.° ANO
2- Observe esta propaganda:
Agora, responda:
a) Qual o valor desse carro à vista?
_______________________________________________
b) Qual é o valor de entrada, se esse carro for pago
parceladamente?
_______________________________________________
c) Qual o valor total a ser pago nas 30 parcelas?
_______________________________________________
d) Após pagar todas as parcelas e a entrada, qual o valor
total pago pelo carro?
_______________________________________________
3- O Banco “Poupa Bem” emprestou, à Dona Silvia,
R$ 2.000,00 com juros simples de 10% ao mês. Observe as
anotações de Dona Sílvia:
a) Qual o valor dos juros cobrados, por mês, pelo Banco
“Poupa Bem”?
__________________________________________________
b) Em quanto estará a dívida do cliente ao final de 10 meses?
__________________________________________________
Valor
emprestadoR$ 2.000,00
1.º mês R$ 2.200,00
2.º mês R$ 2.400,00
3.º mês R$ 2.600,00
.
.
.
.
.
.
10.º mês ?
Vende-se carro por
R$ 60.000,00
à vista ou entrada de 50%
e saldo em 30 parcelas
mensais, com taxa de 2%
ao mês sobre o valor
financiado no sistema de
juros simples.http://galeria.colorir.com
PÁGINA 45MATEMÁTICA – 9.° ANO
1- Na reta, apresentada a seguir, a letra que melhor representa
a localização da 31 é:
(A) A. (B) B.
(C) C. (D) D.
2- A única sentença que representa uma função de 2.º grau é:
(A) 𝒚 = 2𝒙 – 7. (B) 𝒚 = 5𝒙² – 3𝒙 + 4.
(C) 𝒚 = 𝒙³ – 3𝒙 ² + 5𝒙. (D) 𝒚 = 2(3𝒙 – 4).
3- O lucro (𝒚), em reais, de uma pequena confecção é
calculado através da função 𝒚 = 𝒙² – 15𝒙, sendo 𝒙 o número
de peças produzidas. Se a confecção produzir 40 peças de
roupa, terá, de lucro,
(A) 800 reais. (B) 1 000 reais.
(C) 1 600 reais. (D) 2 400 reais.
4- A função de 2.º grau, definida por 𝒚 = 𝒙² + 3𝒙 – 4, tem como zeros
de função:
(A) – 4 e 1. (B) – 4 e 3.
(C) 1 e 3. (D) 3.
5- A Professora Penha escreveu, no quadro, a seguinte função:
f(𝒙) = 𝒙² – 16
Na construção do gráfico, o vértice ficou localizado no par ordenado:
(A) (8, 0). (B) (1, 6).
(C) (0, –16). (D) (– 3, 3).
6- A função representada por este gráfico possui:
(A) > 0 e a > 0
(B) < 0 e a > 0
(C) = 0 e a = 0
(D) = 0 e a < 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A B C D
– 1
– 1
1
1
Y
X
0
PÁGINA 46MATEMÁTICA – 9.° ANO
7- O gráfico que melhor representa a função 𝒚 = 𝒙 ² – 9 é:
(A) (B)
(C) (D)
8- Para colocar piso em uma sala, de formato retangular, com
6 m de comprimento e 3,5 m de largura, serão necessários
(A) 30 m² de piso. (B) 21 m² de piso.
(C) 9,5 m² de piso. (D) 2,5 m² de piso.
9- O comprimento de uma circunferência com 10 cm de raio é, em cm,
(A) 3,14. (B) 13,14.
(C) 31,4. (D) 62,8.
10- A circunferência, apresentada a seguir, possui raio de 7,5 cm. Com
essa informação, podemos afirmar que o segmento AB mede, em cm,
(A) 7,5. (B) 15.
(C) 20. (D) 75.
11- Diego aplicou, na poupança, 7 mil reais a uma taxa de 2% ao mês,
durante 10 meses. Quanto ele recebeu de juros simples ao final
desses 10 meses?
(A) 14 reais. (B) 140 reais.
(C) 1 400 reais. (D) 14 000 reais.
12- Quais os juros simples produzidos por um empréstimo de 5 mil
reais, durante 3 anos, a uma taxa de 15% ao ano?
(A) R$ 2.250,00. (B) R$ 3.000,00.
(C) R$ 5.550,00. (D) R$ 10.000,00.
A
B
( = 3,14)