Geometria: ângulos Professor Diego Viug
O ângulo e seus elementos
Regiões e ângulos especiais
O ângulo e seus elementos
Ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem.
Determine a medida de x nas figuras abaixo:
a) 315° b) 50° c) 80°
x
45° 70°
40°
20°
x 100°
x
Determine a medida de x nas figuras abaixo:
d) 120° e) 300° f) 290°
45°
15° x
60°
x
70°
Medida de um ângulo
Grau: a unidade padrão
Transformação de unidades
Medida de um ângulo
Operações com medidas de ângulos
Adição
30° 48’ + 45° 10’
10° 36’ 30” + 23° 45’ 50”
Medida de um ângulo
Subtração
70° 25’ – 30° 15’
38° 45’ 50” – 27° 35’ 35”
Medida de um ângulo
Subtração
90° – 35’ 49’ 46”
80° 48’ 30” – 70° 58’ 55”
Exercícios
Calcule as somas abaixo:
a) 25° 12’ + 37 ° 20’
b) 86 ° 52’ 50’’ + 39 ° 43’ 20’’
c) 52° 30’ + 13 ° 30’
d) 35 ° 39’ 16’’ + 80 ° 20’ 44’’
e) 30° 21’ + 38 ° 12’ 10’’
f) 45 ° 12’ 37’’ + 47 ° 49’ 38’’
g) 121 ° 45’ + 43 ° 40’
h) 42 ° 30’ + 47 ° 30’
Exercícios
Calcule as diferenças abaixo:
a) 180° - 127 ° 49’
b) 75 ° 21’ - 49 ° 33’
c) 45° 20’ - 30° 30’ 30’’
d) 47 ° 39’ 25’’ - 29 ° 31’ 45’’
e) 93° 21’ - 39 ° 47’
f) 80 ° 49’ 32’’ - 73 ° 51’ 46’’
g) 45 ° 20’ 20’’ - 37 ° 37’ 37’’
h) 180 ° - 110 ° 27’ 38’’
Multiplicação por um número natural
2 . (36° 25’)
4 . (15° 12’)
5 . (12° 36’ 40”)
Divisão por um número natural
(40° 20’) : 2
(45° 20’) : 4
(50° 17’ 30”) : 6
Exercícios
Calcule os produtos abaixo:
a) 6 . (45° 12’)
b) 4 . (12 ° 30’)
c) 7 . (1° 10’ 13’’)
d) 4 . (32° 49’)
e) 3 . (37° 45’)
f) 2 . (12 ° 30’)
g) 7 . (30° 30’ 30’’)
h) 5 . (45 ° 12’ 56’’)
i) 8 . (25 ° 20’ 20’’)
j) 12 . (50’ 30’’)
Exercícios
Calcule os quocientes:
a) 15° : 3
b) 72 ° 46’ 25’’ : 5
c) 15° : 8
d) 84° 40’ 20’’ : 2
e) 11° : 8
f) 37° 29’ 30’’ : 3
g) 25° 17’ : 3
h) 39° 11’ 40’’ : 2
i) 98° 56’ : 2
j) 42° 35’ 20’’ : 8
Ângulos congruentes
Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida.
Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes
Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.
Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semirreta, com origem no vértice, que divide o ângulo em dois outros ângulos congruentes.
Agudo, reto e obtuso
Ângulo agudo é o ângulo que possui medida menor do que 90°.
Ângulo reto é aquele que possui medida 90°.
Agudo, reto e obtuso
Ângulo obtuso é aquela que possui medida maior do que 90°.
Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90°.
Exercícios
Determine o valor de x, nas figuras, sabendo que os dois ângulos formados são adjacentes complementares:
a) b) c)
8x
x
x
x+ 30°
5x
5x
Exercícios
Determine o valor de x, nas figuras, sabendo que os dois ângulos formados são adjacentes complementares:
d)
x + 35°
𝒙 + 𝟑𝟓° = 𝟔𝟓°
𝐞𝒙 − 𝟓° = 𝟐𝟓°
x - 5°
Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°.
Exercícios Calcule o valor de x nas figuras, sabendo que os dois ângulos formados são adjacentes suplementares:
a) b) c)
130° x 5x - 90°
3x + 30° x - 45°
x + 45°
Ângulos replementares
Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é 360°.
Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Exercícios
Determine o valor de x nas figuras abaixo:
a) b)
2x + 100°
6x
5x - 20° 3x - 20°