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MATEMÁTICA

DOUGLAS LÉO

1 - (CESPE - UNB - MS - AGENTE ADMINISTRATIVO)26- Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 deseus 6 servidores presenteando um deles com um ingressopara cinema, outro com um ingresso para teatro e o terceirocom um ingresso para show, ele terá mais de 100 maneirasdiferentes para fazê-lo.

27- Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 deseus 6 servidores presenteando cada um deles com umingresso para teatro, ele terá mais de 24 maneiras diferentespara fazê-lo.

2 – (CESPE – UNB–PRF)

Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes deeducação para o trânsito para, no período carnavalesco,conscientizar motoristas de que atitudes imprudentes comodesrespeito à sinalização, excesso de velocidade,ultrapassagens indevidas e a condução de veículo por indivíduoalcoolizado têm um potencial ofensivo tão perigoso quanto ode uma arma de fogo. Com base nessas informações, julgue ositens seguintes.46. Existem 12!/(3!)4 maneiras de se montar quatro equipes,cada uma delas com 3 agentes.

47. Se cada equipe for formada por 3 agentes, então, apartir dos 12 agentes da unidade, a quantidade de maneirasdiferentes de se formar essas equipes será superior a 200.

3 - (CESPE - UNB - CPRM - ANALISTA DE GEOCIÊNCIAS)1- Considerando que, em um sistema de coordenadascartesianas ortogonais xOy, os pontos de coordenadas (x, y)que satisfazem à equação 2x2 – 12x + 2y2 + 4y + 2 = 0 estãosobre uma circunferência, é correto afirmar que o centrodessa circunferência está no primeiro quadrante.

2 - Considerando que, em um sistema de coordenadascartesianas ortogonais xOy, os pontos de coordenadas (x, y)que satisfazem à equação 2x2 – 12x + 2y2 + 4y + 2 = 0 estãosobre uma circunferência, é correto afirmar que o raio dacircunferência é igual a 3.

Texto para as questões 4 e 5Às 19 horas de 22/2/2012, um cidadão telefonou para acentral de atendimento da polícia da cidade comunicandoque sua esposa se encontrava caída no chão da sala,aparentemente morta. Constatada a morte da vítima, osperitos iniciaram, às 20 horas do mesmo dia, os trabalhos deinvestigação, registrando que, nesse instante, a temperaturaambiente era de 20 ºC e a do cadáver, de 30 ºC. De acordocom a Lei do Resfriamento de Newton, a temperatura θ(t) deum corpo, em graus Celsius, no instante t, em horas, emsituações como a descrita acima, é expressa por θ(t) = 20 +10 × 2–t , t E R, em que t = 0 corresponde ao instante em quea temperatura do corpo é registrada pela primeira vez.

De acordo com as informações do texto, é correto inferir quea temperatura do referido corpo, uma hora após o primeiroregistro da temperatura, era igual a

A) 30 ºC.B) 25 ºC.C) 24 ºC.D) 22 ºC.E) 20 ºC.

θ(t) = 20 + 10 × 2–t

θ(1) = 20 + 10 × 2–1

θ(1) = 20 + 10 × ½θ(1) = 20 + 5θ(1) = 25

4 - (CESPE - UNB - SOLDADO COMBATENTE - PM-AL - 2012)

Considere que a temperatura do corpo de uma pessoa viva esaudável seja de 37 ºC, que a vítima em questão estivessenessas condições antes de morrer e que a temperatura do seucorpo passou a ser expressa por θ(t) imediatamente após a suamorte. Nesse caso, considerando 4,1 e 3,3 como valoresaproximados para log2 17 e log2 10, respectivamente, é corretoinferir que a morte da esposa do cidadão ocorreu às

A) 18 horas e 12 minutos.B) 18 horas e 48 minutos.C) 19 horas e 12 minutos.D) 19 horas e 20 minutos.E) 19 horas e 48 minutos.

θ(t) = 20 + 10 × 2–t

37= 20 + 10 × 2–t

37-20= 10 × 2–t

17 =10 × 2–t

17/10 = 2–t


Considere a situação hipotética em que, na investigação para encontrar aarma usada em um crime, o suspeito tenha declarado o seguinte para odelegado: “O local onde enterrei a arma é um ponto tal que as distânciasdesse ponto à minha casa, à delegacia e ao fórum são iguais.” Admitindoque a cidade seja plana e que o fórum, a delegacia e a casa do suspeitosejam os vértices de um triângulo cujos ângulos internos são todosagudos — menores que 90º — e cujos comprimentos dos lados são todosdesiguais, a polícia encontrará a referida arma

A) no ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.B) em um ponto externo ao triângulo.C) no ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos dotriângulo.D) no ponto de encontro das medianas do triângulo.E) no ponto de encontro das alturas do triângulo


PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO

Denominamos baricentro (G) de um triângulo o ponto de encontro das medianas. 2/3 DO VÉRTICE E 1/3 DA BASE

10/27/2017 Baricentro de um triângulo - Brasil Escola

http://brasilescola.uol.com.br/matematica/baricentro-um-triangulo.htm 1/4

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Baricentro de um triângulo

O triângulo é uma figura geométrica muito importante,

bastante utilizado na construção civil. No estudo analítico

dos triângulos, quando conhecemos as coordenadas dos

seus vértices, conseguimos determinar qual é o tipo de

triângulo, qual a sua área e quais as coordenadas de seu

baricentro. Faremos o estudo de como obter as

coordenadas do baricentro do triângulo. Antes, precisamos

definir o que é baricentro.

Considere o triângulo de vértices A, B e C abaixo. Os pontos

M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC,

respectivamente. Os segmentos de reta MC, AN e PB são as

medianas do triângulo. Denominamos baricentro (G) de um

triângulo o ponto de encontro das medianas.

Agora vamos considerar um triângulo no plano cartesiano de vértices A(xA, y

A), B(x

B, y

B) e C(x

C, y

C) e

baricentro G(xG, y

G).

MATEMÁTICA

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A mediana é um segmento de reta cujas extremidades sãoum vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto.

TRIANGULO ESCALENO:As medianas serão diferentes

Bissetriz e incentro de um triangulo

No triângulo temos três vértices, portanto teremos trêsângulos internos. Em cada um desses ângulos internospodemos traçar uma reta, partindo do vértice que secciona oângulo ao meio, ou seja, podemos traçar uma bissetriz. Aotraçarmos as três bissetrizes de um triângulo, elas vão seintersectar em um único ponto, sendo este pontodenominado incentro.

10/27/2017 Bissetriz e incentro de um triângulo - Alunos Online

http://alunosonline.uol.com.br/matematica/bissetriz-incentro-um-triangulo.html 2/4

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Entretanto, existe um motivo em especial para que esse encontro das bissetrizes

se chame incentro: este ponto recebe tal denominação porque é o centro da

circunferência inscrita no triângulo. Veja a imagem a seguir:

Note que a circunferência está completamente dentro do triângulo, por isso ela é

uma circunferência inscrita no triângulo, no qual toca cada lado do triângulo em um

único ponto.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira

Entretanto, existe um motivo em especial para que esseencontro das bissetrizes se chame incentro: este pontorecebe tal denominação porque é o centro da circunferênciainscrita no triângulo. Veja a imagem a seguir:

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Entretanto, existe um motivo em especial para que esse encontro das bissetrizes

se chame incentro: este ponto recebe tal denominação porque é o centro da

circunferência inscrita no triângulo. Veja a imagem a seguir:

Note que a circunferência está completamente dentro do triângulo, por isso ela é

uma circunferência inscrita no triângulo, no qual toca cada lado do triângulo em um

único ponto.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira

É o ponto de intersecção das mediatrizes de um triângulo. É o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Circuncentro de um triangulo

10/27/2017 circuncentro de um triangulo - Pesquisa Google

https://www.google.com.br/search?q=circuncentro+de+um+triangulo&dcr=0&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=0ahUKEwj9suLAgJLXAhXGxpAK... 1/4

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20

A mediatriz é uma reta que passa pelo ponto médio de um lado do triângulo e é perpendicular a ele.

Equidista dos vértices do triângulo

Ortocentro é o ponto onde interceptam as retas suportes das alturas do triângulo.

Importantes definições sobre o ortocentro do triângulo:

Acutângulo é um ponto na região interior do triângulo. Obtusângulo é um ponto na região exterior do triângulo. Retângulo é o vértice do ângulo reto.

Acutângulo é um ponto na região interior do triângulo.

O baricentro também pode ser chamado de centro de gravidade do triângulo, dividindo

assim cada mediana dentro da razão de 2:1.

Ortocentro

Ortocentro é o ponto onde interceptam as retas suportes das alturas do triângulo.

Importantes de nições sobre o ortocentro do triângulo:

Acutângulo é um ponto na região interior do triângulo.

Obtusângulo é um ponto na região exterior do triângulo.

Retângulo é o vértice do ângulo reto.

Obtusângulo é um ponto na região exterior do triângulo.

Retângulo é o vértice do ângulo reto.

No ano 1990 + t, t = 0, 1, 2, ..., o índice de criminalidade, C(t), deum país, em unidades por cem mil habitantes, é expresso porC(t) = 300 – 200 × sen[3π/2 + πt]; as despesas com ações decombate ao crime, D(t), em milhões de dólares, é expressa porD(t) = 15 + 10 × cos[3π/2 + πt/2]. De acordo com esse modelo, écorreto afirmar que, nos anos em que o índice de criminalidadeatinge seu valor máximo, as despesas com ações de combate aocrime.

A) atingem seus valores mínimos.B) apresentam sempre o mesmo valor.C) estão em fase de redução.D) estão em fase de crescimento.E) também atingem seus valores máximos.

7- (CESPE - UNB - SOLDADO COMBATENTE - PM-AL - 2012)

10/28/2017 O que é círculo trigonométrico? - Brasil Escola

http://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-circulo-trigonometrico.htm 2/6

círculo trigonométrico pode ser obtido da seguinte maneira:

C = 2π

2 2

C = π

2

Como é possível perceber, meia-volta tem comprimento igual a π. Da mesma maneira, é possível

mostrar que um quarto de volta tem comprimento igual a π/ 2 e que três quartos de volta têm

comprimento igual a 3π/ 2. A localização dos pontos A = π/ 2, B = π, C = 3π/ 2 e D = 2π pode ser

visualizada na imagem a seguir. Observe que o sentido da volta dada é o anti-horário.

Quadrantes

Os valores dados para a figura anterior marcam as divisões do círculo trigonométrico em

quadrantes. Esses quadrantes também são dispostos no sentido anti-horário e são numerados

por algarismos romanos de I a IV. Os intervalos que pertencem a cada quadrante são:

1º Quadrante: 0 até π/ 2;

2º Quadrante: π/ 2 até π;

3º Quadrante: π até 3π/ 2;

4º Quadrante: 3π/ 2 até 2π.

Esses quadrantes também comportam ângulos. Veja:

1º Quadrante: 0 até 90°;

2º Quadrante: 90° até 180°;

3º Quadrante: 180° até 270°;

4º Quadrante: 270° até 360°.

Exemplo

O número π/ 3 está em qual quadrante e representa qual ângulo?

Pelo que foi dito anteriormente, π/ 3 está no primeiro quadrante. Sabendo que π representa meia-

volta, ou seja, 180°, para encontrar o ângulo representado por π/ 3, basta dividir 180° por 3. O

resultado é 60°.

Razão Seno

Em um círculo trigonométrico, construa o ângulo θ como indicado na figura a seguir:

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C(t) = 300 – 200 × sen[3π/2 + πt]

COS

SEN

(1,0)

(0,1)

(-1,0)

(0,-1)

π/2 = 1π = 2

3π/2 = 32π= 4

π/2

D(t) = 15 + 10 × cos[3π/2 + πt/2].

Considere a situação hipotética em que a corporação policialde uma pequena cidade seja formada por um efetivo de 12soldados. Nesse caso, a quantidade de grupos distintosconstituídos por apenas dois desses soldados que ocomandante poderá formar para o cumprimento dedeterminada missão é igual a.

A) 24.B) 36.C) 48.D) 66.E) 132.


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