Apostila.pdftrans de Calor

ESCOLA POLITCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA MECNICA

SISEA LAB. DE SISTEMAS ENERGTICOS ALTERNATIVOS www.pme.poli.usp.br/sisea

PPMMEE 22336611 PPrroocceessssooss ddee TTrraannssffeerrnncciiaa ddee CCaalloorr

Prof. Dr. Jos R Simes Moreira

2o semestre/2014 verso 1.4

primeira verso: 2005

Notas de aula de PME 2361 Processos de Transferncia de Calor

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http://www.usp.br/sisea/- Jos R. Simes Moreira atualizao Agosto/2014

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OBSERVAO IMPORTANTE

Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME 2361 - Processos de Transferncia de Calor ministrada aos alunos do 3 ano do curso de Engenharia Mecnica da Escola Politcnica da USP. O contedo aqui apresentado trata de um resumo dos assuntos mais relevantes do livro texto Fundamentos de Transferncia de Calor e Massa de Incropera e Witt. Tambm foram utilizados outros livros-texto sobre o assunto para um ou outro tpico de interesse, como o caso do Transferncia de Calor de Holman. O objetivo deste material servir como um roteiro de estudo, j que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De forma nenhuma substitui um livro texto, o qual mais completo e deve ser consultado e estudado.


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Prof. Jos R. Simes Moreira

Currculo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644

Breve Biografia

Graduado em Engenharia Mecnica pela Escola Politcnica da USP (1983), Mestre em Engenharia Mecnica pela mesma instituio (1989), Doutor em Engenharia Mecnica - Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Ps-Doutorado em Engenharia Mecnica na Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente Professor Associado da Escola Politcnica da USP, professor do programa de ps-graduao interinstitucional do Instituto de Eletrotcnica e Energia (IEE-USP), professor de ps-graduao do programa de ps-graduao em Engenharia Mecnica da EPUSP, pesquisador do CNPq - nvel 2, consultor ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre outros, Foi secretrio de comit tcnico da ABCM, Avaliador in loco do Ministrio da Educao. Tem experincia na rea de Engenharia Trmica, atuando principalmente nos seguintes temas: mudana de fase lquido-vapor, uso e processamento de gs natural, refrigerao por absoro, tubos de vrtices, sensores bifsicos e sistemas alternativos de transformao da energia. Tem atuado como revisor tcnico de vrios congressos, simpsios e revistas cientficas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de Termodinmica, Transferncia de Calor, Escoamento Compressvel, Transitrios em Sistemas Termofluidos e Sistemas de Cogerao, Refrigerao e Uso da Energia e Mquinas e Processos de Converso de Energia. Coordenou cursos de especializao e extenso na rea de Refrigerao e Ar Condicionado, Cogerao e Refrigerao com Uso de Gs Natural, termeltricas, bem como vrios cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de especializao intitulado Energias Renovveis, Gerao Distribuda e Eficincia Energtica por meio do PECE da Poli desde 2011 em sua sexta edio. Tem sido professor de cursos de extenso universitria para profissionais da rea de termeltricas, vlvulas e tubulaes indstriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviria e energia. Tem participado de projetos de pesquisa de agncias governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq, Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras e Ultragaz. Foi agraciado em 2006 com a medalha Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em 2000 - Joo Pessoa e na UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - Peru). Foi cientista visitante em Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suia) dentro do programa ERCOFTAC - European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion`. Participou do Projeto ARCUS na rea de bifsico em colaborao com a Frana. Foi professor visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliques em Lyon (Frana) em junho e julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho tecnolgico com apoio da indstria (Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui uma patente com aplicao na rea automobilstica. autor de mais de 100 artigos tcnico-cientficos, alm de ser autor de um livro intitulado "Fundamentos e Aplicaes da Psicrometria" (1999) e autor de um captulo do livro "Thermal Power Plant Performance Analysis" (2012). J orientou 13 mestres e 4 doutores, alm de cerca de 40 trabalhos de concluso de curso de graduao e diversas monografias de cursos de especializao e de extenso, bem como trabalhos de iniciao cientfica, totalizando um nmero superior a 80 trabalhos. Possui mais de 100 publicaes, incluindo peridicos tecnico-cientficos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratrio e grupo de pesquisa da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energticos Alternativos.


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AULA 1 - APRESENTAO

1.1. INTRODUO

Na EPUSP, o curso de Processos de Transferncia de Calor sucede o curso de Termodinmica clssica no 3 ano de Engenharia Mecnica. Assim, surge de imediato a seguinte pergunta entre os alunos: Qual a diferena entre Termo e Transcal? ou h diferena entre elas? Para desfazer essa dvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das reas de aplicao de cada disciplina. Mas, antes vamos recordar um pouco das premissas da Termodinmica.

A Termodinmica lida com estados de equilbrio trmico, mecnico e qumico, e baseada em trs leis fundamentais:

- Lei Zero (equilbrio de temperaturas permite a medida de temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura)

- Primeira Lei (conservao de energia energia se conserva) - Segunda Lei (direo em que os processos ocorrem e limites de

converso de uma forma de energia em outra)

Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas:

(a) Equilbrio trmico frasco na geladeira

Considere um frasco fora da geladeira temperatura ambiente. Depois, o mesmo colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, fG TT <

inicial final

As seguintes anlises so pertinentes, cada qual, no mbito de cada disciplina:

Termodinmica: TmcUQT == - fornece o calor total necessrio a ser transferido do frasco para resfri-lo baseado na sua massa, diferena de temperaturas e calor especfico mdios APENAS ISTO!

frasco

ambientef TT = GfTT =

t


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Transferncia de calor: responde outras questes importantes, tais como: quanto tempo ( )t levar para que o equilbrio trmico do frasco com seu novo ambiente (gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcanado? possvel reduzir (ou aumentar) esse tempo?

Assim, a Termodinmica no informa nada a respeito do intervalo de tempo t para que o estado de equilbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessrio remover do frasco para que esse novo equilbrio trmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferncia de Calor vai permitir estimar o tempo t , bem como definir quais parmetros podemos interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminudo, segundo nosso interesse.

De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenas finitas de temperatura ocorrer tambm uma transferncia de calor. A transferncia de calor pode ser interna a um corpo ou na superfcie de contato entre uma superfcie e outro corpo ou sistema (fluido).

(b) Outro exemplo: operao de um ciclo de compresso a vapor

TERMIDINMICA: cec qqw = : no permite dimensionar os equipamentos (tamanho e dimetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, como o COP:

c

e

w

qCOP =

TRANSFERNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos trmicos de transferncia de calor. Por exemplo, responde s seguintes perguntas:

- Qual o tamanho do evaporador / condensador? - Qual o dimetro e o comprimento dos tubos? - Como atingir maior / menor troca de calor? - Outras questes semelhantes.

cw

cq

eq

compressor vlvula

condensador

evaporador


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Problema-chave da transferncia de calor: O conhecimento do fluxo de calor.

O conhecimento dos mecanismos de transferncia de calor permite:

- Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; - Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o transporte de frio ou calor como, por exemplo, tubulaes de vapor, tubulaes de gua gelada de circuitos de refrigerao; - Controle de temperatura: motores de combusto interna, ps de turbinas, aquecedores, etc.

1.2 MECANISMOS DE TRANSFERNCIA DE CALOR

A transferncia de calor ocorre de trs formas, quais sejam: conduo, conveco e radiao trmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos.

(a) Conduo de calor

- Gases, lquidos transferncia de calor dominante ocorre da regio de alta temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partculas mais energticas para as menos energticas. - Slidos energia transferncia por vibrao da rede (menos efetivo) e, tambm, por eltrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores eltricos. Geralmente, bons condutores eltricos so bons condutores de calor e vice-versa. E isolantes eltricos so tambm isolantes trmicos (em geral).

A conduo, de calor regida pela lei de Fourier (1822)

dxdTAq

x

onde: A : rea perpendicular ao fluxo de calor xq T : temperatura

A constante de proporcionalidade a condutividade ou condutibilidade trmica do material, k, ou seja:

2T1T . .

x

slido

xq


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7

dxdTkAqx =

As unidades no SI das grandezas envolvidas so:

[x

q ] = W , [ A ] = 2m , [T ] = K ou Co , [ x ] = m . assim, as unidades de k so: [ k ] =

CmW

o

ou Km

W

A condutividade trmica k uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seo de apndices dos livros-texto.

Necessidade do valor de (-) na expresso

Dada a seguinte distribuio de temperatura:

Para 12 TT >

T2

T1

T

x

T

xx1 x2

0

>>

x

Tx

T, da tem-se que o gradiente tambm ser

positivo, isto :

0>dxdT

mas, como 0>k (sempre), e 0>A (sempre), conclu-se que, ento, preciso inserir o sinal negativo (-) na expresso da conduo de calor (Lei de Fourier) para manter a conveno de que 0>xq


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8

Se as temperaturas forem invertidas, isto , 21 TT > , conforme prximo esquema, a equao da conduo tambm exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!)

De forma que a Lei da Conduo de Calor :

Lei de Fourier (1822)

(b) Conveco de Calor

A conveco de calor baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701)

)(

TTAq S

Onde a proporcionalidade dada pelo coeficiente de transferncia de calor por conveco, h, por vezes tambm chamado de coeficiente de pelcula. De forma que:

onde: A : rea de troca de calor;

ST : Temperatura da superfcie;

T : Temperatura do fluido ao longe.

- O problema central da conveco a determinao do valor de h que depende de muitos fatores, entre eles: geometria de contato (rea da superfcie, sua rugosidade e sua

dxdTkAq

x=

)(

= TThAq S


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geometria), propriedades termodinmicas e de transportes do fluido, temperaturas envolvidas, velocidades. Esses so alguns dos fatores que interferem no seu valor.

(c) Radiao Trmica

A radiao trmica a terceira forma de transferncia de calor e regida pela lei de Stefan Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma emprica (1879) e Boltzmann, de forma terica (1884). Corpo negro irradiador perfeito de radiao trmica

(para um corpo negro)

constante de Stefan Boltzmann (5,669.10-8 W/m2 K4)

Corpos reais (cinzentos) 4ATq = , onde a emissividade que sempre 1

Mecanismo fsico: Transporte de energia trmica na forma de ondas eletromagnticas ou ftons, dependendo do modelo fsico adotado. No necessita de meio fsico para se propagar. Graas a essa forma de transferncia de calor que existe vida na Terra devido energia na forma de calor da irradiao solar que atinge nosso planeta.

4ATq =


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AULA 2 CONDUO DE CALOR

CONDUO DE CALOR Condutibilidade ou Condutividade Trmica, k

Da Lei de Fourier da conduo de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, diretamente proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expresso:

x

Tkq

, onde A a rea perpendicular direo do fluxo de calor e k a

condutividade trmica do material.

As unidades no SI da condutividade trmica, k, do material, so:

xT

A

qk

m

Cm

Wk

o2

Cm

Wk

o ou

Km

W

.

Sendo: k: propriedade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de forma experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seo de apndice do livro texto. Exemplo de experimento laboratorial para obteno de k

q A



11

No experimento indicado, uma corrente eltrica fornecida resistncia eltrica enrolada em torno da haste do basto. O calor gerado por efeito joule vai ser conduzido dentro da haste para fora do basto (lado direito). Mediante a instalao de sensores de temperatura (termopares, p. ex.), pode-se levantar o perfil da distribuio de temperaturas como aquele indicado no grfico acima. Estritamente falando, esse perfil temperatura linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo de calor fornecido

a prpria potncia eltrica IUIRq 2 . Sendo a seo transversal A conhecida,

ento, da lei de Fourier, determina-se a condutividade trmica do material da haste, k.

Neste caso,

x

TA

qk

.

Um aspecto importante da conduo de calor que o mecanismo da conduo de calor diferente dependendo do estado fsico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os mecanismos fsicos de transporte de acordo com o estado fsico. Gases

O choque molecular permite a troca de energia cintica das molculas mais energticas para as menos energticas. A energia cintica est relacionada com a temperatura absoluta do gs. Quanto maior a temperatura, maior o movimento molecular, maior o nmero de choques e, portanto, mais rapidamente a energia trmica flui. Pode-se mostrar que.

Tk

Para alguns gases, a presso moderada, k s funo de T. Assim, os dados tabelados para uma dada temperatura e presso podem ser usados para outra presso, desde que seja mesma temperatura. Isso no valido prximo do ponto critico. Lquidos

Qualitativamente o mecanismo fsico de transporte de calor por conduo nos lquidos o mesmo que o dos gases. Entretanto, a situao consideravelmente mais complexa devido menor mobilidade das molculas.



12

Slidos

Duas maneiras bsicas regem a transferncia de calor por conduo em slidos: vibrao da rede cristalina e transporte por eltrons livres. O segundo modo o mais efetivo e o preponderante em materiais metlicos. Isto explica porque, em geral, bons condutores de eletricidade tambm so bons condutores de calor. A transferncia de calor em isolantes se d, por meio da vibrao da rede cristalina, que menos eficiente.

O grfico abaixo ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutibilidade

trmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutibilidade aumento de gases, para lquidos e slidos e que os metais puros so os de maior condutividade trmica.

EQUAO GERAL DA CONDUO DE CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS Balano de energia em um volume de controle elementar



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BALANO DE ENERGIA (1 LEI)

Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de calor calor de variao calor que que entra no + gerada = da energia + deixa o que V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C. (I) (II) (III) (IV) Sejam os termos: (I) Fluxo de calor que entra no V.C. Direo x

x

TdAk

x

Tdzdykq xxx

-

Direo y

y

Tdzdxkq yy

ykqyy Direo zy

kqzz

(II) Taxa de calor gerado

dz q '''G dydxEG

onde: '''gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume. 3mW (III) Taxa temporal de variao da energia interna

t

Tcdzdydx

t

um

t

UEar

onde: c = calor especfico; m = massa elementar do V.C. e a densidade. CkgkJ o/

(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. expanso em serie de Taylor: Direo x

xxqqxxdxx )(0 2dxdx

x

qqq xxdxx

Direo y

dy

y

qqq

y

ydyy

z

Tdydxkq zz



14

Direo z

dz

z

qqq zzdzz

Ento, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem:

dzz

qqdy

y

qqdx

x

qq

t

Tcdxdydzdxdydzqqqq zz

y

yx

xGzyx

'''

+ ordem superior

simplificando os termos zyx qqq e , , vem:

, ''' dzz

qdy

y

qdx

x

q

t

Tcdxdydzdxdydzq z

yxG

e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor,

dxdydzkz

dxdydzky

dxdydzkxt

Tcdxdydzdxdydzq zyxG

z

T

y

T

x

T '''

Eliminando o volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente: Essa a equao geral da conduo de calor. No existe uma soluo geral analtica para a mesma porque se trata de um problema que depende das condies inicial e de contorno. Por isso, ela geralmente resolvida para diversos casos que dependem da geometria do problema, do tipo (regime permanente) e das condies iniciais e de contorno. Evidentemente, procura-se uma soluo do tipo: ),,,( tzyxTT . A seguir

so apresentados alguns casos bsicos. Casos: A) Condutividade trmica uniforme (material isotrpico) e constante (independe de T)

kkkk zyx

t

T

k

q

z

T

y

T

x

T g

T

1'''

2

2

2

2

2

2

2

t

T

z

T

y

T

x

T "'

cqk

zk

yk

xGzyx



15

onde, = c

k

conhecida como difusibilidade ou difusividade trmica, cuja unidade no

SI :

s

m

s

s

J

mW

Kkg

J

m

kg

Km

W

c

k

3

Essa equao ainda pode ser escrita em notao mais sinttica da seguinte forma:

onde:

2

2

2

2

2

22

zyx

o operador matemtico chamado de Laplaciano no

sistema cartesiano de coordenadas. Esta ltima forma de escrever a equao da conduo de calor prefervel, pois,

embora ela tenha sido deduzida para o sistema cartesiano de coordenadas, ela independe do sistema de coordenadas adotado. Caso haja interesse em usar outros sistemas de coordenadas, basta substituir o Laplaciano do sistema de interesse, como exemplificado abaixo,

- Cilndrico: 2

2

2

2

2

2 11

zrrr

rr

- Esfrico: 2

2

222

2

2

2 sen

1 sen

sen

11

rrrr

rr

B) Sem gerao de calor e k uniforme e constante, 0''' Gq

(Eq. de Fourier)

C) Regime permanente (ou estacionrio) e k uniforme e constante, 0

t

T

(Eq. de Poisson) D) Regime permanente e k constante e uniforme (Eq. de Laplace)

t

T

k

qT G

1'''2

12

t

TT

0'''

2 k

qT G

02 T



16

AULA 3 CONDUO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAO PLACA OU PAREDE PLANA

O caso mais simples que se pode imaginar de transferncia de calor por conduo o caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem gerao interna de calor e propriedades de transporte (condutividade trmica) constantes. Este o caso ilustrado na figura abaixo onde uma parede de espessura L, cuja face esquerda mantida a uma temperatura T1 enquanto que a face direita mantida temperatura T2. Poderia se imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de temperaturas distintas. Como se ver, a distribuio de temperaturas T(x) dentro da parede linear.

Para resolver esse caso, vamos partir da equao geral da conduo de calor, deduzida na aula anterior, isto :

t

T

k

qT G

1'''2

Introduzindo as simplificaes do problema, vem:

i. No h gerao interna de calor: 0 Gq

ii. Regime permanente: 0

t

T

iii. Unidimensional: D1 22

2

x

Assim, com essas condies, vem que 02

2

x

Td, e a soluo procurada do tipo T(x).

Para resolver essa equao considere a seguinte mudana de variveis: dx

dT

Logo, substituindo na equao, vem que 0dx

d



17

Integrando por separao de variveis vem:

1Cd , ou seja: 1C

Mas, como foi definido dx

dT 1C

dx

dT

Integrando a equao mais uma vez, vem:

21)( CxCxT Que a equao de uma reta, como j antecipado.

Para se obter as constantes, deve-se aplicar as condies de contorno que, nesse exemplo, so dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos matemticos isso quer dizer que

(A) em x = 0 1TT

(B) e em x = L 2TT

De (A): 12 TC

e de (B): 112 TLCT L

TTC 121

Assim, Para efeito de ilustrao, suponha que 21 TT , como mostrado na figura abaixo.

Clculo do fluxo de calor transmitido atravs da parede . Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por:

dx

dTkq

e, substituindo a distribuio de temperaturas, vem:

L

TTkT

L

xTT

dx

dkq 12112

, ou,

em termos de fluxo de calor por unidade de rea,

temos: mW 212''

L

TTk

qq

Esquecendo o sinal de (-), vem

112 )()( TL

xTTxT

L

Tkq

''



18

Conhecida a equao que rege do fluxo de calor atravs da parede, podemos: Aumentar o fluxo de calor q:

. Com o uso de material bom condutor de calor, isto com k

. Ou, pela diminuio da espessura da parede, isto L Ou diminuir o fluxo de calor q:

. Com o uso de material isolante trmico k

. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto L

CONDUO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAO INTERNA DE CALOR TUBO CILNDRICO. Este o caso equivalente, em coordenadas cilndricas, ao da conduo de calor unidimensional, em regime permanente, sem gerao de calor e condutividade trmica constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferena que sua aplicao para tubos cilndricos.

A equao geral da forma t

T

k

qT G

1'''2

Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em coordenadas cilndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto :

t

T

k

q

z

TT

rr

Tr

rrG

111 '''

2

2

2

2

2

Introduzindo as simplificaes:

i. No h gerao interna de calor: 0 Gq

ii. Regime permanente: 0

t

T

iii. Unidimensional: D1 , que vlido para um tubo muito longo, ou

seja, T no depende de z, logo 02

2

z

T

iv. H uma simetria radial, T no depende de , isto : 02

2

T

As simplificaes (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na direo radial, r. A aplicao dessas condies resulta em:



19

0

dr

dTr

dr

d, onde a soluo procurada do tipo )(rTT

As condies de contorno para a ilustrao indicada acima so:

A superfcie interna mantida a uma temperatura constante, isto : ii TTrr

A superfcie externa tambm mantida a uma outra temperatura constante, isto :

ee TTrr

Soluo:

1a Integrao separe as varireis e integra uma vez, para resultar em:

10 Cdrdr

dr

dTrd 1C

dr

dTr

Integrando pela 2a vez, aps separao de variveis, vem:

21 Crdr

CdT

Portanto, a distribuio de temperaturas no caso do tubo cilndrico logartmica e no linear como no caso da parede plana. Determinao de 1C e 2C por meio da aplicao da condies de contorno:

(A) ii TTrr 21 )ln( CrCT ii

(B) ee TTrr 21 ) ln( CrCT ee

Fazendo-se (A) (B), temos que e

i1

r

rln CTT ei , ou

e

i1

r

rln

eiTT

C

Finalmente, na eq. da distribuio de temperaturas:

Distribuio de temperatura, supondo ei TT .

21 )ln( CrCrT

eei T

TTrT

e

e

i r

rln

r

rln



20

Te

Ti

re ri raio

Lei logartmica T

O fluxo de calor obtido atravs da Lei de Fourier, isto , dr

dTkq

Ateno a esse ponto, a rea A a rea perpendicular ao fluxo de calor e no a rea transversal da seo transversal. Portanto, trata-se da rea da casquinha cilndrica ilustrada abaixo. rLA 2 (casca cilndrica), L o comprimento do tubo Substituindo a distribuio logartmica de temperatura na equao de Fourier,

21 )ln()( CrCrT , vem:

])ln([2 21 CrCdr

drLkq

ou, efetuando a derivao, temos:

r

kLrCq1

2 1

ou, ainda: 12 kLCq

Substituindo, 1C :

e

i

r

rln

2 ieTT

kLq (W)

O fluxo de calor total q constante atravs das superfcies cilndricas!

Entretanto, o fluxo de calor por unidade de rea ''q depende da posio radial

e

i

ie

r

r

TT

rL

kL

A

qq

ln

)(

2

2''

e

i

ie

r

r

TT

r

kq

ln

)('' 2mW



21

AULA 4 PAREDES PLANAS COMPOSTAS Conduo unidimensional, regime permanente, sem gerao de calor paredes compostas.

Para resolver de forma rpida e simples este problema, note que o fluxo de calor q o

mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as seguintes equaes:

- parede 1: 1

211

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

1

121

- parede 2: 2

322

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

2

232

- parede 3: 3

433

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

3

343

Assim, somando os termos _____________

de todas as paredes: Ak

LqTT

i

i 41

ou, simplesmente,

R

Tq

onde o T refere-se diferena total de temperaturas da duas faces externas e R a

resistncia trmica da parede composta, dada por Ak

LR

i

i

ANALOGIA ELTRICA Nota-se que existe uma analogia eltrica perfeita entre fenmenos eltricos e trmicos de conduo de calor, fazendo a seguinte correspondncia:

qi

TU

TRMICOHMICORR



22

Por meio de analogia eltrica, configuraes mais complexas (em srie e paralelo) de paredes podem ser resolvidas.

Circuito eltrico equivalente

Fluxo de calor que :

T

total

R

Tq

5//1 RRRRT

com

432//

1111

RRRR

CONDUO EM PLACA PLANA COM GERAO INTERNA DE CALOR Gerao interna de calor pode resultar da converso de uma forma de energia em calor. Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 1. Gerao de calor devido converso de energia eltrica em calor

2RIP (W) Onde: P : potncia eltrica transformada em calor por efeito joule(W)

R : resistncia hmica ( ) I : corrente eltrica (A)

Ainda, U : diferena de potencial eltrico (V)

UIP ou R

UP

2

q



23

Em termos volumtricos, '''Gq )/(

3mW , V

PqG

''' (W/m3), onde V : volume onde o

calor gerado. 2. Gerao de calor devido a uma reao qumica exotrmica )0( ''' Gq como, por

exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. J, no caso de uma

reao endotrmica, 0''' Gq .

3. Outras formas tais de gerao de calor devido absoro de radiao, nutrons, etc... Parede (placa) plana com gerao de calor uniforme (resistncia eltrica plana). Lb

T1

T2

2b

i

Equao geral

t

T

k

qT G

1'''

2 sendo que 0

t

T (regime permanente.)

0'''

2 k

qT G )(xTT

Condies de contorno:

(1) Lx 1TT

(2) Lx 2TT



24

Soluo

Seja a seguinte mudana de varivel (apenas por convenincia): dx

dT ,

Ento k

q

dx

d G'''

Integrando essa equao por partes, vem:

1

'''

Cdxk

qd G , mas como 1

'''

ento , Cxk

q

dx

dT

dx

dT G

Integrando novamente:

Obs.: Trata-se de uma distribuio parablica de temperaturas.

Como no caso da resistncia eltrica '''Gq (gerao de calor) positivo e,

claro, k tambm positiva, a constante que multiplica o termo 2x negativa parbola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''

Gq

for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas (processos endotrmicos), ento a concavidade ser voltada para cima.

Determinao das constantes 1C e 2C :

Condies de contorno

(1) 21

2'''

12

CLCk

LqT G - temperatura da face esquerda conhecida

(2) 21

2'''

22

CLCk

LqT G - temperatura da face direita conhecida

Somando (1)+(2), vem:

2

2'''

21 2Ck

LqTT G

k

LqTTC G

22

2'''

212

.

Substituindo em (1) ou (2), tem-se L

TTC

212

1

Ento, a distribuio final de temperaturas :

21

2'''

2)( CxC

k

xqxT G

22)(

2

)()( 2112

22''' TT

L

xTT

k

xLqxT G



25

CASOS: (A) Suponha que as duas faces estejam mesma

temperatura: STTT 21 . Da, resulta que:

uma distribuio simtrica de temperaturas. A mxima temperatura, nesse caso, ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco comum de uma reao endotrmica, ou '''

Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo

e, no plano central, haveria a mnima temperatura.

Tambm poderia se chegar a essa expresso usando 0dx

dT

S

GCMX

Tk

LqTT

2

2'''

O fluxo de calor (lei de Fourier)

dx

dTkAq ou

dx

dTk

A

qq '' , substituindo a distribuio de temperaturas, vem:

S

G Tk

xLq

dx

dkq

2

)( 22'''

'' ,

ou, simplesmente: No plano central (x = 0) o fluxo de calor nulo devido simetria do problema e das condies de contorno.

Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabtica, 0'' q

(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: 21 TT

SG T

k

xLqxT

2

)()(

22'''

'''''Gxqq



26

Plano em que ocorre a mxima temperatura, mxT ( mxx )

Sabemos que o fluxo de calor nulo em mxx :

0mxx

dx

dTk ou

022

)()(2

2112

22

'''

TT

L

xTTxL

k

q

dx

d G , que resulta em:

02

)( 12'''

L

TTx

k

qmx

G

Cuja soluo : Substituindo-se o valor de xmx na expresso da distribuio da temperatura, encontra-se

o valor da mxima temperatura mxT . Tente fazer isso!

PENSE: Suponha que voc um engenheiro perito e chamado para dar um parecer sobre um incndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema eltrico. Como voc poderia, a partir de uma anlise na fiao eltrica, inferir se houve ou no sobreaquecimento luz da matria exposta acima?

'''

12

2

)(

G

mxLq

kTTx



27

AULA 5 - CONDUO DE CALOR EM CILINDROS MACIOS EM REGIME PERMANENTE COM GERAO

INTERNA DE CALOR Nesta aula, vai se estudar o caso da gerao interna de calor em cilindros macios. Como exemplo de aplicao tem-se o calor gerado por efeito joule devido passagem de corrente eltrica em fios eltricos, como indicado na figura ao lado. Partindo da equao geral da conduo de calor:

01

'''

2

t

T

k

qT G

(Regime permanente)

Onde conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilndricas, isto :

2

2

2

2

2

2 11

z

TT

rr

Tr

rrT

Hipteses adicionais

- simetria radial: 02

2

(no h influncia da posio angular numa seo

transversal)

- o tubo muito longo: 02

2

z (no h efeitos de borda na direo axial)

Logo, trata-se de uma distribuio de temperaturas unidimensional na direo radial, ou seja, )(rTT

Assim, introduzindo essas simplificaes na equao geral da conduo, vem:

01

'''

k

q

dr

dTr

dr

d

rG

Ou, integrando por partes:

1

'''

Crdrk

q

dr

dTrd G

, ou, ainda: 1

2'''

2C

k

rq

dr

dTr G

Integrando novamente por separao de variveis:

2

1

'''

2Cdr

r

Cr

k

qdT G

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G



28

* condies de contorno para obteno das constantes C1 e C2: (1) STrrT )( 0 a temperatura da superfcie TS conhecida

(2) 00

rdr

dT simetria radial na linha central

Isso implica dizer que o fluxo de calor nulo na linha central e, como decorrncia,

tambm pode-se afirmar que a mxima temperatura mxT ocorre nessa linha.

Da segunda condio de contorno, vem que:

02

lim 1'''

0

r

C

k

rqGr

Do que resulta em 01 C , para que a expresso permanea sempre nula.

Da primeira condio de contorno.

2

2'''

4C

k

rqT GS ou, k

rqTC GS

4

20

'''

2

Finalmente, a equao da conduo de calor fica:

uma distribuio parablica de temperatura (2. grau) !

Sendo, SG

mx Tk

rqT

4

20

'''

SG Trrk

qT 220

'''

4



29

EXEMPLO DE APLICAO Considere um tubo cilndrico longo revestido de isolamento trmico perfeito do lado

externo. Sua superfcie interna mantida a uma temperatura constante igual a iT .

Considere, ainda, que ocorre gerao de calor '''

Gq uniforme.

a) calcule a distribuio de temperaturas; b) determine o fluxo de calor total removido (internamente); c) determine a temperatura da superfcie externa.

Soluo: Hipteses: as mesmas que as anteriores.

Eq. 01

'''

k

q

dr

dTr

dr

d

rG

Condies de contorno:

(1) ii TrrT )( (temperatura interna constante)

(2) 0erdr

dT (fluxo de calor nulo na superfcie)

A soluo geral, como j visto, :

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G

Onde 1C e 2C saem das condies de contorno do problema especfico:

k

rqC eG

2

2'''

1 ;

)ln(2

4

22'''

2 i

e

ieGi r

r

r

k

rqTC



30

i

ie

ieG Tr

r

r

rr

k

rqrT

ln2

4)(

2

222'''

Assim,

O fluxo de calor :

dr

dTkAq

)()2( rTdr

drLkq

Aps substituir a distribuio de temperaturas e efetuar da derivada, vem:

22''' ieG rrqL

q (W/m)

A temperatura mxima :

emx TT

i

i

e

e

eieGemx T

r

r

r

rr

k

rqTT

ln2

4 2

222'''

OUTRO EXEMPLO DE APLICAO Num fio de ao inoxidvel de 3,2mm de dimetro e 30cm de comprimento aplicada

uma tenso de 10V. O fio est mantido em um meio que est a Co95 e o coeficiente de

transferncia de calor vale CmkW o2/10 .

Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua

condutibilidade trmica vale CmW o/5,22



31

CT oc 267

Soluo:

Calor gerado por unidade de volume, isto , a potncia eltrica dissipada no volume.

R

URiP

22 ;

A

LR

m 81070

mL 3,0 , 26232

100425,84

)102,3(

4m

DA

2

6

8

106111,2100425,8

3,01070R

kWP 830,3106111,2

1002

3,0100425,8

1083,31083,36

33

LAV

PqG

3

910587,1m

WqG

hA

PTTTThAP PP )(

3,0)102,3(1010

1083,395

33

3

PT

CT oP 222

k

rqTT oGPc

4

2

5,224

)106,1(10587,1222

239

cT



32

RESISTNCIA TRMICA Vrias Situaes

- paredes planas

R

TTq 21

kA

LR

- circuito eltrico

- paredes compostas

- Circuito eltrico

Ainda,

onde

432//

1111

RRRR

5//1 RRRREQ

EQR

TTq 21



33

- Tubo cilndrico

R

TTq ei

;

kL

rr

R ie

2

ln

- Tubo cilndrico composto

- Circuito eltrico

ieq RR

Para dois tubos:

Lk

r

r

R1

1

2

12

ln

Lk

r

r

R2

2

3

22

ln

Lk

r

r

Ri

i

i

eq 2

ln 1



34

Por induo, como deve ser a resistncia trmica devido conveco de calor?

Lei de conveco (Newton)

)( TThAq p e

hA

TTq p

1

onde, hA

1 a resistncia trmica de conveco

- Circuito eltrico

Para o caso em que houver conveco em ambas as paredes:

- Conveco em tubo cilndrico



35

Tabela resumo de Resistncias Trmicas

Circuito Eltrico Fluxo de

Transferncia de calor

Resistncias Trmicas

Parede plana

R

TTq 21

kA

LR

Parede plana com conveco

R

TTq 21

321 RRRR

AhkA

L

AhR

21

11

Paredes compostas

EQR

TTq 21

5//1 RRRREQ

432//

1111

RRRR

Tubo cilndrico

R

TTq ei

kL

rr

R ie

2

ln

Tubo cilndrico composto

EQ

ei

R

TTq

Lk

r

r

Ri

i

i

eq 2

ln 1



36

Conveco em tubo cilndrico

EQ

ei

R

TTq

hAkL

rr

R ie

eq

1

2

ln

COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERNCIA DE CALOR U O coeficiente global de transferncia de calor definido por:

totalTUAq Claramente, U est associado com a resistncia trmica, - parede plana

AhkAAhR

21

111

TUAR

Tq

RUA

1 ou

RAU

1

Logo,

21

111

hk

L

h

U

- tubo cilndrico



37

H um problema associado com a rea de referncia. preciso dizer se U se refere rea interna do tubo, iU , ou rea externa, eU . No entanto, os dois valores so

intercambiveis mediante a seguinte expresso:

totaliitotalee TAUTAU

Logo, iiee AUAU

U referido rea externa

e

rr

ee

hkL

AU

i

e 1

2

ln

1

U referido rea interna

ee

irr

ii

hA

A

kL

AU

i

e

2

ln

1

RAIO CRTICO DE ISOLAMENTO TRMICO As tubulaes que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isolados do meio

ambiente a fim de restringir a perda de calor do fluido (ou frio), cuja gerao implica

em custos. Aparentemente, algum poderia supor que a colocao pura e simples de

camadas de isolamentos trmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais

pormenorizado mostrar a necessidade de se estabelecer um critrio para realizar esta

operao.

hLrkL

TTq

e

rr

i

i

e

2

1

2

ln

ou,

hrk

TTLq

e

rr

i

i

e 1ln

)(2

Note que no denominador dessa expresso que

o raio externo tem duas contribuies: um no

termo de conduo e a outra no termo de



38

h

krcrit

conveco. De forma que, se o raio externo do isolamento aumentar por um lado ele

diminui uma das resistncias trmicas (a de conveco), enquanto que por outro lado a

resistncia trmica de conduo aumenta. Isto est ilustrado no grfico acima e d

origem a um ponto de maximizao. Do Clculo, sabe-se que o mximo da

transferncia de calor ocorre em:

2.

1

.

12

1ln

)(20

erhe

rk

hrk

TTL

dr

dq

e

rr

i

ei

e

Assim,

2

11

ee hrkr

critr o chamado raio crtico de isolamento.

Se o raio crtico de isolamento for originalmente menor que h

k a transferncia de calor

ser aumentada pelo acrscimo de camadas de isolamento at a espessura dada pelo raio

crtico conforme tendncia do grfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao

desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de

isolamento for maior que a do raio crtico, adies sucessivas de camadas isolantes vo

de fato diminuir a perda de calor.

Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferncia de calor por

conveco de h = Cm

Wo2

7 (conveco natural), teste de alguns valores da

condutividade de materiais isolantes.

material

CmW

ok critr (mm)

Teflon 0,350 50,0 Papel 0,180 25,7 Couro 0,159 22,7

Borracha macia 0,130 18,6 Silicato de clcio 0,055 7,9

L de vidro 0,038 5,4 Poliestireno expandido 0,027 3,9

Folhas de papel e alumnio de vidro laminado

0,000017 0,0024



39

Como se v, o raio crtico relevante para pequenos dimetros, tais como, fios eltricos. Exerccios sugeridos do Incropera: 3.4; 3.5; 3.11; 3.32; 3.34; 3.38



40

AULA 6 - ALETAS OU SUPERFCIES ESTENDIDAS Considere uma superfcie aquecida (resfriada) que se deseja trocar calor com um fluido.

Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado dado por,

TThAq s ,onde h o coeficiente de transferncia de calor por conveco, A a

rea de troca de calor e Ts e T so as temperaturas da superfcie do fluido (ao longe).

Por uma simples anlise, sabe-se que a transferncia de calor pode ser melhorada, por

exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relao superfcie. Com isso,

aumenta-se o valor do coeficiente de transferncia de calor h e, por conseguinte, o

fluxo de calor trocado, como dado pela expresso anterior. Porm, h um preo a pagar

e este preo o fato que vai se exigir a utilizao de equipamentos de maior porte de

movimentao do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (lquidos).

Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferncia de calor consiste

em aumentar a superfcie de troca de calor com o emprego de aletas, como a ilustrada

abaixo.

Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferncia de calor pelo aumento da rea exposta. Exemplos de aplicao de aletas: (1) camisa do cilindro de motores de combusto interna resfriados a ar (velho fusca); (2) motores eltricos; (3) condensadores; (4) dissipadores de componentes eletrnicos.



41

TIPOS DE ALETAS A figura abaixo indica uma srie de exemplos de aletas. Evidentemente, existem

centenas ou milhares de formas construtivas que esto, muitas das vezes, associadas ao

processo construtivo das mesmas (extruso, soldagem, etc).

Figura 1 Diferentes tipos de superfcies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a) aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilndrico com aletas de perfil retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil parablico; (e) tubo cilndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilndrico equipado com aleta radial com perfil cnico truncado; (g) pino cilndrico; (h) pino cnico truncado; (i) pino parablico.

EQUAO GERAL DA ALETA

Volume de controle elementar, C

Hipteses: - regime permanente; - temperatura uniforme na seo transversal; - propriedades constantes.



42

Balano de energia

convecopCVdo

saiquequecalordefluxo

III

conduopCVo

deixaquequecalordefluxo

II

conduopCVno

entraquecalordefluxo

I

/../../..

(I) dx

dTkAq xx

(II) )( 2dxodxdx

dqqq xxdxx expanso em serie de Taylor

(III) )( TThAqc

)( TThPdxqc

P : permetro molhado, isto , a superfcie externa da aleta que se encontra em contato com o fluido. Substituindo-se as equaes acima no balano global de energia, vem:

dxTThPdxdxdx

dqqq xxx )(

0)( TThPdx

dqx

Ou, substituindo a lei de Fourier da conduo:

0)(

TThP

dx

dTA

dx

dk x

Sendo dTdTT

0

k

hP

dx

dA

dx

d Equao Geral da Aleta

)(x

)(xAA

ALETA DE SEO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR

Do ponto de vista matemtico, a equao de aleta mais simples de ser resolvida a de

seo transversal constante como, por exemplo, uma aleta de seo retangular ou

circular. Assim, da equao geral para esse caso, com A = cte, vem:



43

mxmx ececx 21)(

022

2

m

d

d,

kA

hPm 2

A soluo do tipo: ,

conforme soluo indicada abaixo no lembrete de clculo , j que o polinmio

caracterstico possui duas razes reais e distintas (m e m).

LEMBRETE DE CLCULO

Soluo geral de equao diferencial homognea de a2 ordem e coeficientes constates

02

2

cydx

dyb

dx

yd

Assume nxey

Substituindo, vem

nxnxnx cebmeem 2 nxe

Obtm-se o polinmio caracterstico

02 cbnn

Caso 1: 1n e 2n reais e distintos

xnxn ececy 21 21

Caso 2: 1n e 2n reais iguais

xnxn xececy 11 21

Caso 3: conjugados complexos qipn 1 ; qipn 2

)]()cos([ 21 qxsencqxceypx

Onde, 2

bp ;

2

4 2bcq



44

x

kA

hP

b

mxb e

xex

)()(

Determinao das constantes 1c e 2c vm das condies de contorno:

a1 Condio de Contorno

TT

TTxpara

bb

b

)0(

)0(0

0

20

1 ececb

A outra relao entre as condies de contorno, depende do tipo de aleta, conforme

os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados:

(a) aleta muito longa Nesse caso, admite-se que a aleta muito longa que, do ponto de vista matemtico, tem-se

0 ouTTx Assim,

bmxmxx

ccecec 2121 0lim0

De forma que, a distribuio de temperaturas nesse caso :

Ou, substituindo a definio de , vem:

bcc 21

xkAhP

b

eTT

TxT )(



45

O fluxo de calor total transferido pela aleta

O fluxo de calor total transferido pela aleta pode ser calculado por dois mtodos:

(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total

transferido igual ao fluxo de calor por conduo na base da aleta)

(2) dxTThPqaleta )(0

(o fluxo de calor total transferido a integral do fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfcie da aleta) Usando o mtodo (1), vem:

00

x

bx

baletadx

dkA

dx

dTkAq

Mas, cteAAb

0

)(

x

mxb

mxbaleta emkAe

dx

dkAq

kA

hPkAq baleta

hPkAq baleta ou )( TThPkAq baleta

Pelo outro mtodo (2):

dxhPqaleta

0

; cteP

dxehPq mxbaleta

0

bbmbmx

bmx

baleta hPkAm

hPe

m

hP

m

ehPdxehPq

1limlimlim

00

ou, )( TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior!

(b) caso em que a extremidade da aleta adiabtica (finito) Nesse caso, admite-se que a transferncia de calor na

extremidade da aleta muito pequeno. Portanto,



46

mLmL

mL

bee

ec 1

admite-se que adiabtico:

LxLx dx

d

dx

dT

0 (extremidade adiabtica), ou 021 mxmx ececdx

d

De onde, se obtm, mLmL

mLb

ee

ec

2

Mas como bcc 21 , ento:

Logo, substituindo na equao, vem:

mx

c

mLmL

mLmx

c

mLmL

mL

b

eee

ee

ee

e

21

Ou

2/

2/)()(

mLmL

xLmxLm

b ee

ee

ou

mL

xLmx

b cosh

)(cosh)(

lembrete de funes hiperblicas:

FUNO DEFINIO DERIVADA senhx

2

xx ee

xcosh

xcosh

2

xx ee

senhx

tghx

x

senhx

cosh

xh2sec

O fluxo de calor total transferido pela aleta O mesmo resultado do caso anterior

00 cosh

)(cosh

x

b

x

aletamL

mxL

dx

dkA

dx

dkAq

)()cosh(

)(m

mL

mLsenhkA b

)(mLtghmkA b



47

)(cosh

)()(cosh)(

mLsenhmk

hmL

xLmsenhmk

hxLmx

b

)()cosh(

)()(

mLsenhmk

hmL

mLconhmk

hmLsenhhPkAq b

)(mLtghhPkAq b (c) aleta finita com perda de calor por conveco na extremidade Caso realista. Condio de contorno na extremidade:

em

)( TThdx

dTkLx L

Lx

conduo na extremidade = conveco

Distribuio de temperaturas

Fluxo de calor Comprimento Corrigido de Aleta Em muitas situaes, costuma-se usar a soluo do caso (b) extremidade adiabtica

mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifcio de rebater a metade da

espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta,

LC. Com isso, usa-se o caso (b) de soluo mais simples.

b t

L t/2

Lc=L+t/2

2/tLLc

O erro introduzido por essa aproximao ser menor que 8% desde que

5,0k

ht


____________________________ http://www.usp.br/sisea - Jos R. Simes Moreira atualizao Agosto/2014

48

AULA 7 EFICINCIA E EFETIVIDADE DE ALETAS Eficincia de Aleta A teoria desenvolvida na aula anterior bastante til para uma anlise em detalhes para o projeto de novas configuraes e geometrias de aletas. Para alguns casos simples, existem solues analticas, como foi o do caso estudado da aleta de seo transversal constante. Situaes geomtricas ou que envolvem condies de contorno mais complexas podem ser resolvidas mediante soluo numrica da equao diferencial geral que governa o processo de transferncia de calor na aleta. Na prtica, a seleo de aletas para um caso especfico, no entanto, geralmente usa o mtodo da eficincia da aleta. Sendo que a eficincia de aleta, A , definida por

idealcasobasetempestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo

realcasoaletapotransmitidcalordefluxoA

.

/

Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/2

Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabtica, a

aplicao da definio de eficincia de aleta resulta em:

c

c

bc

cbA

mL

mLtgh

hPL

mLtghhPkA )()(

, com

kA

hPm

Por outro lado, o permetro molhado dado por

btbP 2)(2 (para t



49

Clculo do Fluxo de Calor Atravs da Aleta Da definio de eficincia de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode

ser obtido por meio de maxqq AA , onde o mximo fluxo de calor transferido, qmax,

aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda temperatura da base, isto :

bahAq max ,

onde Aa a rea total exposta da aleta e TTbb

Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta :

baaA hAq

Note que a eficincia da aleta, a , selecionada sai de uma tabela, grfico ou equao.

Na pgina seguinte h uma srie de grficos para alguns tipos de aletas. Deve-se usar aleta quando:

(1) h baixo (geralmente em conveco natural em gases, como o ar atmosfrico) (2) Deve-se usar um material de condutividade trmica elevado, tais como cobre e

alumnio, por razes que veremos adiante. O alumnio superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade. Exemplo de Aplicao Em um tubo de dimetro externo de 2,5 cm so instaladas aletas circulares de alumnio por um processo de soldagem na superfcie. A espessura das aletas de 0,1 cm e o dimetro externo das mesmas de 5,5 cm, como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100 oC e o coeficiente de transferncia de calor for de 65 W/m2 K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta.

Soluo Trata-se de aleta circular de alumnio. O valor da condutividade trmica de aproximadamente 240 W/mK (obtido por consulta a uma tabela de propriedades termofsicas dos slidos). Vamos calcular os parmetros do grfico correspondente dado na pgina 50 frente.



50

mt

LLmL

mt

c 0155,02

015,001,02

)5,25,5(

001,0

255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,0 5,055,12123c25 PcP kAhLmtLA Para o uso do grfico, precisamos ainda da razo entre o raio externo corrido e o raio interno da aleta.

24,225,1

2/1,075,22/

1

2

1

2

r

tr

r

r c Com esses dois parmetros no grfico, obtemos

%91A . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta :

, 5,177500394,06591,0 WhAq baaA J que a rea exposta da aleta,

vale, . 00394,02 22122 mrrA ca Exemplo de Aplicao (cont...) Admitindo que o passo das instalaes da aleta de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor

total transferido pelo tubo, se o mesmo tiver 1 m de comprimento.

Soluo O tubo ter 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta j conhecido do clculo anterior. O fluxo de calor da poro de tubos sem aletas ser:

aletas. h no que em tubodo rea a onde ),( sassasa ATThAq

221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065

O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas ser Wqca 17505,17100

Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo ser

Wqqq casaT 5,209417506,344 e %6,83%1002095

1750%

Como se v, a instalao das aletas aumenta consideravelmente a transferncia de calor.



51

Ap rea de seo transversal de aleta

Tipo Aa rea total exposta da aleta

b largura da aleta Lc = L-corrigido t = espessura

Retangular cbL2

Triangular 2/122 )2/(2 LLb Parablica 2/122 )2/(05,2 LLb Anular 2/121222 rrb c

Fluxo de calor transmitido pela aleta:

baahAq

TTbb

Aa a rea total exposta da

aleta Para obter a eficincia da aleta, use os dados geomtricos disponveis e os indicados nos grficos. Uma vez obtida a eficincia da aleta, calcule o fluxo real de calor atravs da simples expresso acima. Comentrios: Aleta triangular (y ~ x) requer menos material (volume) para uma mesma dissipao de calor do que a aleta retangular. Contudo, a aleta de perfil parablico a que tem melhor ndice de dissipao de calor por unidade de volume (q/V), mais apenas um pouco superior ao perfil triangular e seu uso raramente justificado em funo de maior custo de produo. A aleta anular usada em tubos.



52

Efetividade da Aleta

Como visto, a eficincia de aleta somente um procedimento de clculo, mas no

indica se a transferncia de calor realmente aumenta ou no com a instalao de aletas.

Claro que est informao crucial se o engenheiro pretende decidir pela instalao de

aletas para incrementar a transferncia de calor.Tal anlise s pode ser feita atravs da

anlise da efetividade. Para que se possa efetivamente tomar uma deciso sobre o uso

ou no de aletas, deve-se lanar mo do mtodo da efetividade de aleta, .

Nesse mtodo, compara-se o fluxo de calor devido presena da aleta com o fluxo

de calor caso ela no tivesse sido instalada, ou seja:

bb

aleta

aletas

aleta

hA

q

q

q

/

Note que o fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, o que ocorreria na base da aleta,

conforme ilustrao acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para > 2.

Para aleta retangular da extremidade adiabtica

bb

cb

hA

mLtghhPkA

)(

Nesse caso: A = Ab e, portanto, kPhA

mLtgh c

/

)(



53

Exemplos de Aplicao Exemplo de aplicao 1 Uma aleta de ao inoxidvel, seo circular de dimenses L

= 5 cm e r = 1 cm submetida a trs condies de resfriamento, quais sejam:

A gua em ebulio; h = 5000 W/m2K B Ar conveco forada; h = 100 W/m2K C Ar Conveco natural; h = 10 W/m2K Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados - k ao inox = 19 W/m K - Comprimento corrigido: Formula

Soluo:

kPhA

mLtgh c

/

)( , com

hh

kr

h

rk

rh

kA

hPm 24,3

01,0.19

2222

e 2/01,005,024,3 hmLc , ou

seja: hmLc 178,0 .

No denominador tem-se: hh

k

hr

rk

rh

kP

hA0162,0

19.2

01,0.

22

2

.

Substituindo estes dois resultados na expresso da efetividade, vem:

h

htgh

0162,0

)178,0(



54

Agora, analisando os trs casos (valores diferentes de h)

Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0145,1

1

50000162,0

)5000178,0(

tgh

Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5162,0

945,0

1000162,0

)100178,0(

tgh

Caso C : h = 10 W/m2K 0,10051,0

510,0

100162,0

)10178,0(

tgh

Comentrio - Como visto, a colocao da aleta nem sempre melhora a transferncia de calor. No

caso A, por exemplo, a instalao de aletas pioraria a transferncia de calor. Um critrio

bsico que a razo hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso de aletas.

Caso (A) 31,1kP

hA

Caso (B) 026,0kP

hA

Caso (C) 00262,0kP

hA

- Informao importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor coeficiente de transferncia de calor que tambm o de maior resistncia trmica. Exemplo de aplicao 2 Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja

constituda de trs materiais distintos e que o coeficiente de transferncia de calor seja h

= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade.

Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtm-se: A Cobre k = 368 W/m K B Ao inox k = 19 W/m K C Alumnio k = 240 W/m K Soluo:

kkkr

hm

4,141

01,0.

100.22 e, portanto,

kkmLc

76,72/01,005,0

4,141



55

No denominador, agora temos: kkk

hr

kP

hA

2

1

2

01,0.100

2

Substituindo ambos resultados, obtm-se:

)/76,7(2 ktghk

Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) = 10,7 Caso (B): k = 19 W/m K (ao inox) = 5,8 Caso (C): k = 240 W/m K (alumnio) = 10,1 Comentrio: O material da aleta bastante importante no que toca a efetividade de uma aleta. Deve-

se procurar usar material de elevada condutividade trmica (cobre ou alumnio).

Geralmente, o material empregado o alumnio por apresentar vrias vantagens, tais

como:

(1) fcil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado;

(2) Tem custo relativamente baixo;

(3) Possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do

equipamento;

(4) Tem excelente condutividade trmica.

Claro, que cada caso um caso. Em algumas situaes as aletas podem ser parte do

projeto original do equipamento e serem fundidas juntamente com a pea, como ocorre

com as carcaas de motores eltricos e os cilindros de motores resfriados a ar, por

exemplo. Nesse caso, as aletas so feitas do mesmo material da carcaa do motor.


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56

AULA 8 CONDUO DE CALOR EM REGIME TRANSITRIO SISTEMA CONCENTRADO

Introduo

Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura bruscamente submetido a novas

condies de temperatura no seu contorno como, por exemplo, pela sua exposio a um

novo ambiente, certo tempo ser necessrio at que seja restabelecido o equilbrio trmico.

Exemplos prticos so aquecimento/resfriamento de processos industriais, tratamento

trmico, entre outros.

No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma

temperatura uniforme T0. Subitamente, ele exposto a um ambiente que est a uma

temperatura maior T2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo est

indicada no grfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada , de

certa forma, at intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na prpria experincia

pessoal.

1T

10 = TT

2T

2T

t

Uma anlise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo

ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo no ocorre de forma

uniforme no seu interior. Na ilustrao que segue, indica-se de forma indicativa a

temperatura na no centro Tc, e numa posio qualquer na superfcie Ts. Note que as curvas



57

de aquecimento no so iguais. Isto indica que a variao da temperatura no corpo no

uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta anlise que envolve o problema da

difuso interna do calor, um pouco complexa do ponto de vista matemtico, mas pode ser

resolvida para alguns casos de geometrias e condies de contorno simplificadas. Casos

mais complexos podem ser resolvidas de forma numrica. Entretanto, o interesse da aula de

hoje numa hiptese simplificadora que funciona para um grande nmero de casos

prticos. A ideia consiste em assumir que todo o corpo tenha uma nica temperatura

uniforme a cada instante, como foi ilustrado anteriormente, de forma que se despreze a no

uniformidade da temperatura interna. Esta hiptese chamada de sistema concentrado,

como discutido na sequncia.

2T2T

Sistema Concentrado A hiptese que a cada instante de tempo t, o sistema tenha uma s temperatura

uniforme T(t). Isto ocorre em situaes nas quais os sistemas (corpos) tenham sua

resistncia interna conduo desprezvel face resistncia externa troca de calor

(geralmente conveco).

Para conduzir essa anlise, ser lanado mo do esquema abaixo para o qual se realiza

um balano de energia, indicado a seguir.

T0

T

q conveco



58

Balana de energia

= Termo (I):

dt

dTc

dt

du

dt

dum

dt

dU===

m = massa do corpo; U = energia interna do corpo; u = energia interna especfica do corpo; = densidade do corpo; = volume do corpo; c = calor especfico do corpo. Termo (II):

)( = TThAqconv h = coeficiente transferncia de calor por conveco para o fluido circunvizinho; A = rea da superfcie do corpo em contato com o fluido; T = temperatura instantnea do corpo T = T (t); T = temperatura ao longe do fluido. Assim, pelo esquema do balano de energia, vem:

)( = TThAdt

dTc

Essa uma equao diferencial de primeira ordem, cuja condio inicial T(t=0) = T0 Separando as variveis para se realizar uma integrao por partes, vem:

dtc

hA

TT

dT

=

Por simplicidade, seja dTdTT == , ento:

Taxa temporal de variao de energia

interna do corpo (I)

Fluxo de calor Trocado por conveco (II)



59

dtc

hAd

=

, ou

= =

t

t

dtc

hAd

00

, do que resulta em:

tc

hA

=

0

ln .

Finalmente,

tc

hA

e

=

0

ou t

c

hA

eTT

TT

=

0

Analogia Eltrica

Essa equao resulta da soluo de um sistema de primeira ordem. Solues desse tipo

ocorrem em diversas situaes, inclusive na rea de eletricidade. Existe uma analogia

perfeita entre o problema trmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor,

como ilustrado no esquema abaixo.

Inicialmente o capacitor C carregado at uma teno eltrica V0 (chave ligada).

Depois, a chave aberta e o capacitor comea a se descarregar atravs da resistncia R.

A soluo desse circuito RC paralelo

RC

t

eV

V =

0

Note a Analogia

Eltrica Trmica Tenso, V

TT Capacitncia, C c Resistncia, R hA/1



60

Circuito trmico equivalente

c hA/1

T Constante de tempo do circuito eltrico,

RC=

A constante de tempo uma grandeza muita prtica para indicar o quo rpido o capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de =t o instante em que a tenso do sistema atingiu o valor de e-1 ~ 0,368

368,011

0

====

eee

V

V

Com isso, pode-se fazer uma anlise muito interessante, como ilustrado no grfico

abaixo que indica a influncia da tenso no capacitor para diferentes constantes de tempo. Quanto maior a constante de tempo, mais o sistema demora para atingir o valor de 0,368V0.

1 2 3 4 Por analogia, a constante de tempo trmica tudo o que sobrar no denominador do valor

da exponencial, isto :

t

tt

c

hA

eeTT

TT

==

0

hA

ct

=

Veja o grfico ilustrativo abaixo para ver a influncia da constante de tempo trmica.



61

t

TT

TT0

)(368,0 0 TT

Um exemplo interessante da aplicao dos conceitos de transitrio trmico o caso da

medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem

de dois fios fundidos em uma extremidade que formam uma pequena bolinha a qual

exposta a um ambiente em que se deseja mediar sua temperatura. Suponha de forma

ilustrativa, um ambiente que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado

pela linha cheia no esquema abaixo, isto , sua temperatura oscila entre T1 e T2, de

perodo em perodo (onda quadrada). Agora deseja-se selecionar um sensor que acompanhe

o mais prximo possvel o seu comportamento. Trs sensores de constantes trmicas

diferentes so mostrados. Note que o sensor de maior constante trmica, 3 , praticamente

no sente as variaes de temperatura, enquanto que o sensor de menor constante trmica

acompanha melhor as variaes de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um

motor de combusto interna em que as temperaturas da cmara variam com a admisso e

combusto dos gases. Com esse simples exemplo, mostra-se a importncia da constante

trmica.

10 TT

TT

20 TT

12 < 1

13 >



62

A equao que rege o regime transitrio concentrado pode ainda ser reescrita para se obter

a seguinte forma

FoBieTT

TT

0

=

Onde, Bi o nmero de Biot, definido por k

hLBi = , e Fo o nmero de Fourier, definido

por 2

L

tFo

= (trata-se de um tempo adimensional)

h = coeficiente transferncia de calor por conveco;

= difusividade trmica;

k = condutividade trmica;

L = comprimento caracterstico do corpo;

O nmero de Biot uma razo entre a resistncia interna conduo de calor e a resistncia

externa conveco.

Pode-se adotar L como sendo a razo entre o volume do corpo pela sua rea exposta troca

de calor.

expostarea

corpodoolume

=

v

A

VL

Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hiptese de sistema

concentrado. Mostra-se que a hiptese de sistema concentrado admite soluo razovel

desde que:

1,0



63

c = 400 J/kg K e = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm est a 25 oC e

inserido na corrente de gs quente a 200 oC. Quanto tempo vai ser necessrio deixar o

sensor em contato com o gs quente para que a temperatura de 199,9 oC seja indicada pelo

instrumento? O coeficiente de transferncia de calor vale 400 W/m2K.

SOLUO

Comprimento caracterstico: mD

A

VL

43

10167,16

107,0

6

=

===

Nmero de Biot: 34

10333,220

10167,1400

=

==k

hLBi

Da expresso da temperatura, vem 76,320020025

2009,199ln

10333,2

1ln

13

0

=

=

=

TT

TT

BiFo

Dado que 610883,54008500

20

=

==

c

k

e

2L

tFo

= , vem:

( )s

LFot 4,7

10883,5

10167,176,32006

242

=

=

=

Comentrio: note que o nmero de Biot satisfaz a condio de sistema concentrado 1,0



64

Para efeito de estimativas, considere que a melancia tenha 30 cm de dimetro e suas propriedades termofsicas sejam as da gua. Considere, tambm, que o coeficiente de transferncia de calor interno do compartimento da geladeira valha h = 5 W/m2 oC. Soluo: 0,025/

Clculo do N de Biot

, sendo

0,3

6 0,05

D= 0,3 m

,

, 10

Concluso, a melancia no vai resfriar de forma uniforme. Isto est de acordo com sua experincia?

D = 0,3 m


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65

AULA 9 CONDUO DE CALOR EM REGIME TRANSITRIO SLIDO SEMI-INFINITO

Fluxo de Calor num Slido Semi-Infinito

Na aula anterior foi estudado o caso da conduo de calor transitria para sistemas

concentrados. Aquela formulao simplificada comea a falhar quando o corpo possui

dimenses maiores de forma que a resistncia interna conduo no podem ser

desprezadas (Bi > 0,1). Solues analticas existem para casos em que uma das

dimenses predominante e muito grande que, em termos matemticos, dito infinito.

Considere o esquema abaixo de um slido com uma superfcie exposta troca de calor

( esquerda) e sua dimenso se estende direita para o infinito (da o nome de semi-

infinito). A face exposta sobre bruscas mudanas de condio de contorno, como se

ver.

Condies de contorno

(A) Temperatura constante na face exposta:

Soluo: T(x, t)

Equao geral conduo de calor

t

T

k

qT

1'''2

Por no haver gerao interna de calor, vem que t

T

x

T

12

2

, a qual submetida as

seguintes condies:

- Condio inicial: iTxT )0,(

- Condio de contorno: 0),0( TtT

Sem apresentar detalhes da soluo do problema, prova-se que a distribuio de temperaturas dada por:



66

t

xerf

TT

TT

i 20

0, onde

erf a chamada funo erro de Gauss, cuja definio dada por:

tx

det

xerf

2

0

22

2

Vista em forma grfica, esta funo tem o seguinte comportamento.

Para valores numricos de T = T (x,t), veja a Tabela B 2 do livro do Incropera

e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial disfarada.

Tabela B-2 do Incropera



67

Fluxo de calor numa posio x e tempo t

Para se obter o fluxo de calor instantneo numa dada posio qualquer, basta aplicar a

lei de Fourier da conduo. Isto feito substituindo a distribuio de temperaturas

acima, na equao de Fourier, isto :

t

x

iix dex

TTkAt

xerfTTT

xkA

x

TkAq

2

0

000

22)()

2()(

t

x

xe

TTkAt

x

i

2

)(240

2

, do que, finalmente, resulta em:

t

x

ix e

t

TTkAq

40

2

)(

(B) Fluxo de calor constante na face exposta:

Neste outro caso, estuda-se que a face exposta est submetida a um fluxo de calor

constante,

Partindo da equao da conduo de calor t

T

x

T

12

2

, submetida as seguintes

condies:

- Condio inicial: iTxT )0,(

- Condio de contorno: 00

qx

TkA

x



68

A soluo :

t

xerf

kA

xq

kA

et

q

TT

t

x

i

21

20

40

2

NOTA: Obtenha o fluxo de calor!!

(C) Conveco de calor na face exposta

Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre conveco de calor na face

exposta esquerda.

T

Novamente, partindo da equao da conduo de calor sem gerao interna, vem:

t

T

x

T

12

2

, a qual submetida s seguintes condies:

- Condio inicial: T (x,o) = Ti

- Condio de contorno:

TtThA

x

TkA

x

),0(0

(conduo interna =

Conveco) A soluo :

k

th

t

xerfe

t

xerf

TiT

TT kth

k

hx

i

21

21

2

2

NOTA: Obtenha o fluxo de calor! use a Lei de Fourier!



69

Outros casos de conduo transitria de interesse

Placas, chapas, cilindros e esferas so geometrias muito comuns de peas

mecnicas. Quando o nmero de Biot pequeno, basta que se use a abordagem de

sistema concentrado. Entretanto, quando isso no ocorre, h de se resolver a equao

geral da conduo de calor. No entanto, para essas geometrias bsicas, Heisler

desenvolveu solues grficas, como mostrado na tabela abaixo.

Tabela conveno para uso dos diagramas de Heisler

Placas cuja espessura pequena em relao as outras

dimenses

Cilindros cujos dimetros so pequenos quando comparados

com o comprimento

Esferas

T

T

T

TtrTouTtxT ),(),(

TTii

TT00

TTee

Nmero de Biot: k

hLBi

L dimenso caractersticas (dada no grfico) Nmero de Fourier, Fo

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