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Estática – Integral/Noturno – 2012

Prof. Geraldo Roberto de Sousa

CORPOS RÍGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇA.

1. Forças Internas e Externas.

Forças Externas: Representam a ação de outros corpos sobre o corpo rígido considerado,

sendo inteiramente responsáveis pelo comportamento externo do corpo rígido.

Forças Internas: São as que mantêm unidos os pontos materiais que formam o corpo rígido.

Se o corpo rígido é estruturalmente composto de diversas partes.

2. Produto Vetorial de Dois Vetores.

Logo,

V = A x B.sen

Onde,

= Ax + Ay + Az

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA - DEMEC

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= Bx + By + Bz

3. Produto vetorial Expresso em termos das Componentes Cartesianas.

ixi = 0; ixj = k; jxk = i; kxi = j; jxj = 0; jxi = -k; ixk = -j; kxj = -i e kxk = 0

Logo,

kyx

kyx

BBB

AAA

kji

V

4. Momento de uma Força em Relação a um Ponto.

Sabe-se que:

Logo,

i

j

k

Sentido horário: (-)

Sentido anti-horário: (+)

A d

r

M

o

F

M = r.F.sen = F.d

3

Por outro lado,

5. Produto Escalar de Dois Vetores.

o x

y

z

xi

yj

zk

Fyj

Fxi

Fzk

r

A (x,y,z)

zyx

o

FFF

zyx

kji

M

zyx

ABABABA

FFF

zzyyxx

kji

M

x

y

z

xi

yj

zk

Fyj

Fxi

Fzk

r

B (x,y,z)

A

4

Logo,

AB

BABABAθCos

,Enfim

BABABAθcosBA

,Então

θcosBA A.B

,Como

BABABAB.A

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

Pois,

i x i = 1; j x j = 1; k x k = 1; i x j = 0; i x k = 0; j x k = 0 – Produto Escalar

Exemplos.

A

B

A.B = A.B.cos

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01. As mangas A e B estão ligadas por um cabo de 250 mm de comprimento e podem deslizar

sem atrito sobre os respectivos eixos. Determine as distâncias x e z para as quais o sistema fica

em equilíbrio com P = 200 N e Q = 100 N.

R: x = 134,2 mm e z = 67,08 mm

6. Produto Misto de Três vetores:

Def:

V = A . (B x C)

Por outro lado:

y

A

B

P

Q

x

x

z

z

200 mm

o

A

B

C

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A . (B x C) = C . (A x B) = B . (C x A) = - A . (C x B) = - C . (B x A) = - B . (A x C)

Sabe-se:

Logo,

A . (B x C) = Ax . (By.Cz – Bz.Cy) + Ay.(Bz.Cx – Bx.Cz) + Az.(Bx.Cy – By.Cx)

Outro modo:

zyx

zyx

zyx

CCC

BBB

AAA

)BxC(A

Obs. O Produto Misto tem como finalidade determinar o momento de uma determinada força em

relação a um dado eixo.

Exemplo:

Um cubo de aresta a é submetido a uma força P, como ilustrado. Determinar o momento

de P: (a) em relação a A, (b) em relação à aresta AB e (c) em relação à diagonal AG do cubo, (d)

Utilizando o resultado da parte (c), determine a distância de AG a FC.

A B P

C

a

D

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Solução:

A – (0, a, a)

B – (a, a, a)

C – (a, a, 0)

F – (a, 0, a)

G – (a, 0, 0)

a) Momento em relação a A.

ajair

,onde

k2

pj

2

pP

2a

kajapP

2aFCakajCF

AF

Enfin,

)kji(2

apk

2

apj

2

api

2

ap

2

p

2

p0

0aa

kji

M A

b) Momento em relação a AB

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k2

pj

2

pP

ajair

iλ

aABaiBA

AF

2

ap

2

p

2

p0

0aa

001

M AB

c) Momento em relação a diagonal AG.

k2

pj

2

pP

ajair

k3

1j

3

1i

3

1λ

3

aAGakajaiGA

AF

6

ap

2

p

2

p0

0aa

3

1

3

1

3

1

M AG

d) Distância de AG a FC.

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6

ad

,Logo

dP6

ap

dPM AG