Apostila Teoria Das Estruturas II - Cap I e II (1)

8/13/2019 Apostila Teoria Das Estruturas II - Cap I e II (1)

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Universidade do Sul de Santa Catarina UNISULCurso: Engenharia Civil

Teoria das Estruturas II(2 Semestre / 2012)

Professor: Marcelo CechinelE-mail: [email protected]


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Contedo Programtico

Captulo I Reviso (Grau de Hiperstaticidade)

Captulo II Mtodo das Foras

Captulo III Mtodo dos Deslocamentos

Captulo IV Processo de Cross

Objetivo

Capacitar o aluno na anlise de estruturas hiperestticas, com nfase nas estruturasplanas, fornecendo subsdios para a determinao de esforos solicitantes, bem comoo traado de diagramas de estado, visando aplicao em estruturas de concretoarmado.

Metodologia

Apresentao do contedo dividido em captulos atravs de aulas expositivas;

Incentivo pesquisa bibliogrfica;

Proposio de tarefas e soluo de exerccios propostos pelo professor; Acompanhamento pelo professor para esclarecimento de dvidas;

Critrios de Avaliao

A avaliao ser realizada da forma que segue:

Avaliao 01: Prova escrita, individual, SEM consulta.Contedo: Captulo II (Mtodo das Foras)

Avaliao 02: Trabalho individual e/ou prova escrita, individual, SEM consulta.Contedo: Captulo III (Mtodo dos Deslocamentos)

Avaliao 03: Prova escrita, individual, SEM consulta.Contedo: Captulo IV (Processo de Cross)

Alm das trs avaliaes citadas, cabe ressaltar que a presena e a participao

contaro como parmetro na avaliao final do aluno.


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Captulo I - Reviso

1.1. Vnculos:

So classificados de acordo com o nmero de movimentos que impedem.

Vnculo Simples ou de Primeira Ordem: impedem apenas um

movimento, normalmente a translao.

Vnculo Duplo ou de Segunda Ordem: impedem dois movimentos

permitindo geralmente a rotao.

Vnculo Trplo ou de Terceira Ordem: impedem trs movimentos, a

saber, duas translaes e uma rotao.

1.2. Classificao das Estruturas:

Estrutura Hiposttica: Estruturas cujos movimentos de corpo-rgido NOso restringidos e NO atingem, portanto, umaconfigurao de equilbrio estvel, ou seja, nopossui vnculos suficientes para garantir a sua totalestabilidade.


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4

Estrutura Isosttica: Estruturas com movimentos de corpo-rgidorestringidos e o nmero de incgnitas a determinar igual ao nmero de equaes de equilbrio estvel,em outras palavras, estruturas com vnculos

estritamente necessrios para garantir a sua totalestabilidade.

Estrutura Hiperesttica: Estruturas com movimentos de corpo-rgidorestringidos e nmero de incgnitas a determinarmaior que o nmero de equaes de equilbrio

estvel, resumidamente, so estruturas que possuemvnculos mais que necessrios para garantir a suatotal imobilidade.

Obs.: cabe ressaltar que na prtica a grande maioria das estruturas

classifica-se como HIPERESTTICA ou ESTATICAMENTE INDETERMINADA.

1.3. Grau de Hiperestaticidade:

1.3.1. Grau de Hiperestaticidade Externo (ge):

Seja a estrutura abaixo:

B

Como pode ser visto, dispomos de 05 reaes de apoio (03 do apoio do

engaste e 02 do apoio de segunda ordem) e apenas 03 equaes universais da

esttica no plano (Fx / Fy / M) alm de mais uma (momento fletor nulo em


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5

A

B C

D

A

B C

D

B). Ou seja, 05 incgnitas e apenas 04 equaes. A essa deficincia damos o

nome de GRAU DE HIPERESTATICIDADE EXTERNO. Desta forma podemos dizer

que o grau de hiperestaticidade externo o nmero de equaes

suplementares necessrias para o clculo das reaes de apoio da estrutura.

1.3.2. Grau de Hiperestaticidade Interno (gi):

Seja a estrutura abaixo:

Neste segundo caso apesar de as reaes de apoio ser de imediata

obteno (a partir das equaes universais da esttica), isso NO significa que a

estrutura esteja resolvida.

O simples conhecimento das reaes no nos habilita a traar seus

diagramas solicitantes devido ao fato de ser uma ESTRUTRA FECHADA e de, por

este motivo, no sabermos todas as foras a que est sujeita a estrutura.

necessrio, portanto, ABRIRMOS a estrutura.

Assim pode-se definir GRAU de HIPERESTATICIDADE INTERNO da

estrutura como sendo o nmero de equaes suplementares necessrias para

traarmos os diagramas de esforos internos, o que no caso em questo trs.


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6

( 1 ) ( 2 )

( 3 ) ( 4 )

1.3.3. Determinao do Grau de Hiperestaticidade Total (g):

= +

= onde:

r n de reaese n de equaesnr n equaes provenientes das rtulas e que igual a (b -1)b n de barras ligadas a rtulas.

= nmero de esforos internos necessrios ao traado dosdiagramas, conhecidas as reaes.1.3.4. Aplicaes:

Classifique quanto estaticidade e determine o grau de hiperestaticidade

total das estruturas que seguem:


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7

( 5 ) ( 6 )

( 7 ) ( 8 )

( 9 ) ( 10 )


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8

Captulo II Mtodo das Foras

Formalmente, a resoluo de estruturas hiperestticas pelo Mtodo das Forasresolve o problema considerando os grupos de condies a serem atendidaspelo modelo estrutural na seguinte ordem:

1 Condies de equilbrio;2 Condies sobre o comportamento dos materiais (leis constitutivas);3 Condies de compatibilidade.

Na prtica, entretanto, a metodologia utilizada pelo Mtodo das Foras para

analisar uma estrutura hiperesttica :

Somar uma srie de solues bsicas que satisfazem as condies deequilbrio, mas no satisfazem as condies de compatibilidade da estruturaoriginal, para na superposio restabelecer as condies de compatibilidade.Cada soluo bsica (chamada de caso bsico) no satisfaz isoladamente todasas condies de compatibilidade da estrutura original, as quais ficamestabelecidas quando se efetuam a superposio de efeitos todos os casosbsicos.

A estrutura utilizada para a superposio de solues bsicas , em geral, umaestrutura isosttica auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminaode vnculos. Essa estrutura isosttica chamada Sistema Principal (SP). As forasou os momentos associados aos vnculos liberados so as incgnitas doproblema e so denominados hiperestticos. Essa metodologia de soluo deuma estrutura hiperesttica pelo Mtodo das Foras vai ser explicadadetalhadamente atravs da resoluo de exemplos que sero apresentados aseguir.


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Exemplos de Aplicaes


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10

q= 2 kN/m

q= 2 kN/m

0

1

X1 = 1 kN

2 kN/m

s1

EXEMPLO I:

Calculando o grau de hiperestaticidade da estrutura obtemos:

= 1 1 Desta forma se conclui que a estrutura apresenta 04 reaes (incgnitas) Rax,

RAy, MAe RBy e apenas 03 equaes (Fx=0 / Fy=0 / M=0)

Pelo mtodo das foras devemos ento liberar um dos vnculos, para tal

adotaremos liberar o RBy.

X1:

X0:

Desta forma, pela superposio de efeitos, se obtm a seguinte equao para o

problema:

+ . = 0Seo S1 (X0):

= 0 2 = 0


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11

2 kN/m

s1

v

M +

+

10 kN

[D.E.C.]

-

-25 kN.m

[D.M.F.]

= 2 = 0= 10 []M = 0 2. /2 = 0

= = 0= 25 [.]

E = 210x109[N/m]

Seo da Viga (20x40)cm = = 1,06710[ ]Sabendo-se que a derivada segunda do momento anloga a derivada segunda

do deslocamento, tem-se:

"= () "= () "= = 3 + =(3 +) =

12+ +

= 1 (

12+ + )Aplicando as condies de contorno:

1. x = L y = 0

= 1

3 + ( = )= 1 13 + = 0 =

3


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12

s1X1

s1

v

M +

2. x = L y = 0

= 1

12+

3+ ( = )= 1

12

3+ = 0 =

12 +

3=4 Desta forma, a expresso final ser:

= 1 (

12

3 +

4 )

Sabendo que ymax

x=0

= 1

4 =

4= 5

4210101,06710= 6,9710[]Obs.: atentar para as unidades na entrada dos dados

Seo S1 (X1):

= 0 + 1 = 0 = 1 [] = 0 . = 0 = . = 0 [ . ]= 5 [ . ]


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13

- 1 kN[D.E.C.] +

5 kN.m

[D.M.F.]

Seguindo o mesmo procedimento do caso X0, obtm-se a seguinte expresso

final:

= 1 (

6 +

2

3 )Sabendo que ymaxx=0

=

1

3 =

3=

5

3210101,06710= 1,86010

[]

Seguindo no campo dos deslocamentos e sabendo que esse deslocamento no

ponto B deve ser nulo:

E = 210x109[N/m] = 210x106[kN/m]

Seo da Viga (20x40)cm = = 1,06710[ ]

+ . = 0 6,9710 1,8610= 3,75 Como X1refere-se reao de apoio no ponto B:

= = 3,75 Da mesma forma que o deslocamento calculado pela soma ux0+ux1.X1, os

esforos internos e reaes de apoio tambm so calculados:


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14

+

10 kN

[D.E.C.]

-

-25 kN.m

[D.M.F.]

RAy=10 kNM=25kN.m

+

M=-5kN.m

-

RAy=-1 kN

= + . = + .

= + .

Resultados para X0:

Resultados para X1:

- 1 kN[D.E.C.] +

5 kN.m

[D.M.F.]


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15

+

-

+

-

[D.E.C.]

[D.M.F.]

6,25 kN

-3,75 kN

. = .+ . Em x = 0:

= 0 1 []

= + . = 0 + (1).3,75 = 3,75 Em x = 5: = 10 [] 1 []= + . = 10 +(3,75). 1 = +6,25 . = .+ .Em x = 0: = 0 0= + . = 0 + 3,75.0 = 0Em x = 5: = 25 [.] + 5 [. ]= + . = 25 + (3,75). 5 = 6,25 .

( = 1,875)= 3,52 [. ]( = 1,875)= 1,875 [. ]


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16

25 kN.m

[D.M.F.] +

5 kN.m [D.M.F.]

-

xo

x1

+

5 kN.m [D.M.F.]x1

+

5 kN.m [D.M.F.]x1

25 kN.m

[D.M.F.] +

5 kN.m [D.M.F.]

-

xo

x1

O valor dos deslocamentos pode ser obtido tambm atravs de tabelas

elaboradas a partir da resoluo destas integrais.

Da tabela obtm-se os valores de ij(deslocamento na direo i, provocado pelo

caso de carregamento xj:

10:

=

. =

.25.5 = 156,25

11:

=

3. =5

3.5.5 = 41,67

+ . = 0 156,25 + .41,67 = 3,75


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17

Tabela I: Cargas virtuais utilizadas para calcular deslocamentos e rotaes emvnculos eliminados de estruturas hiperestticas


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18

Tabela II: Integrao de diagramas de esforos


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19

RAx

RBy RCyRAy

A B C

2 kN/m

[x 0]

A B C

2 kN/m

X1=1 [kN]

[x1]

A B C

EXEMPLO II:

Incognitas:

RAx, RAy, RBy, RCy (4)

Nmero de Equaes:

= 0 = 0 = 0 (3)

Grau de Hiperestaticidade:

= + =( )+ 0 = 4 3 + 0 = Optaremos por liberar o vnculo RBy.

Desta forma teremos:

+


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20

RAx

RCyRAy

A C

2 kN/m

S1

+

_

+

[D.E.C.]

[D.M.F.]

-10 kN

+10 kN

+25 kN.m

1 Caso de Carregamento [ X0]:

= =. 2 =2 . 10 []2 = = 10 []

=. 8 =2 . 10

[

]8 =200 [. ]8 = 25 [. ]Seo S1: = 0 2 + 10 = 0 = 2 10()= 2. (4) 10 = 2 []()= 2. (0) 10 = 10 []()= 2. (10) 10 = 10 []

= 0 10 + 2. 2= 0 = 10 ()= 10. (4) (4)= 24 [. ]()= 10. (0) (0)= 0()= 10. (10) (10)= 0


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21

RAx

RAy

X1=1 kN

RCy

(a) (b)

X1=1 kN(a) (b)

D.E.C. [kN]

D.M.F. [kN.m]

-0,4

+0,6

-2,4


=. =4[]. 1 []10 = 0,40 []

=.

=6 []. 1 []

10 = 0,60 []

=.. =. . =1[]. 6[].4[]10 = 2,4 [. ]


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22

Pela tabela de integrao de diagramas de esforos:

=3 . . . 1 +. =103 . (25.2,4). 1 + 6.4(10) = 248

=3 . . =103 . (2,4.2,4)= 19,20+ . = 0 248 + .19,20 = 0 = 12,92 []

Reaes de Apoio:

= + . = 10 + 12,92. (0,4)= 4,83 []

= + . = 0 + 12,92. (1)= 12,92 []= + . = 10 + 12,92. (0,6)= 2,25 [] =(4,83 + 12,92 + 2,25)= 20 [] = 2 . 10[]= 20[]

D.E.C.

= + . = 10[]+ 12,92[]. (0,40)= 4,83[]= + . = 2[]+ 12,92[]. (0,40)= 7,17[]= + . = 2[]+ 12,92[]. (+0,60)= 5,75[]= + . = 10[]+ 12,92[]. (+0,60)= 2,25[]

D.M.F.

= + . = 0[.]+ 12,92[]. (0)= 0,00[]= + . = 24[.]+ 12,92[]. 2,40[] = 7,00[. ]= 0,00[. ]


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23

RAy=4,83 kN

RBy=12,92 kN

RCy=2,25 kN

2 kN/m

AB

C

4,83 kN

5,75 kN

-7,17 kN

-2,25 kN

7,00 kN.m


24/55

24

A B C D

10 kN/m

A D

q=10 kN/m[X0]

A D

[X1]

X1=1 kN

A D

[X2]

X2=1 kN

EXEMPLO III:

Incognitas:

RAx, RAy, RBy, RCy e RDy (5)

Nmero de Equaes:

= 0 = 0 = 0 (3)Grau de Hiperestaticidade:

= + =( )+ 0 = 5 3 + 0 = Neste exemplo liberaremos os vnculos RBy eRCy, assim:


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25

A B C D

q=10 kN/m

RAX

RAy RDy

[X0]

A B C D

q=10 kN/m

RAX

RAy=60kN RDy=60kN

D.E.C. [kN]

D.M.F. [kN.m]

-60kN

60kN

180kN

S1


= 0 []

=

=.

2 =

10 . 12 []

2

=

= 60 []

=. 8 =10 . 12[]8 =1440 [. ]8 = 180 [. ]


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26

q=10 kN/m

M

V

A D

RAX

RAy RDy

[X1]

X1=1 kN

Seo S1:

= 0 10 + 60 = 0 = 10 60()= 10. (0) 60 = 60 []()= 10. (12) 60 = +60 [] = 0 60 + 10. 2= 0 = 60 5

()= 60. (0) 5. (0)= 0 [. ]()= 60. (4) 5. (4)= 160 [. ]()= 60. (7) 5. (7)= 175 [. ]()= 60. (12) 5. (12)= 0 [. ]


= 0 []

=. =1,00[].8,00 []12 [] = 0,667 []

=. =1,00[].4,00 []12 [] = 0,333 []

=. . =1,00. 8,00.4,0012 =32 [. ]12 [] = 2,667 [.]


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27

D.E.C. [kN]

D.M.F. [kN.m]

0,333-0,667

A D

RAy=-0,667 RDy=-0,333

[X1]

X1=1 kN

-2,667

A D

RAX

RAy RDy

[X2]

X2=1 kN


= 0 []=. =1,00[].5,00 []12 [] = 0,417 []

=. =1,00[].7,00 []12 [] = 0,583 []

=..

=1,00. 7,00.5,00

12 =35 [.]

12 [] = 2,917 [. ]


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28

D.E.C. [kN]

D.M.F. [kN.m]

0,583-0,417

A D

RAy=-0,417 RDy=-0,583

[X2]

X2=1 kN

-2,917

-2,667

180kN

-2,667-2,667

Pela tabela de integrao de diagramas de esforos:

=

3. . . 1 +.

=12

3 . (180.2,667). 1 + 4.8

(12) = 2.346,96

=

6. . . 2 ( )

. =12

6 . (2,667.2,667).[2 0] = 28,45


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29

180kN

-2,917

-2,917-2,917

-2,667

-2,917

-2,667

-1,667

-2,667

-1,667

M1

M2

M3 M

4

-2,917

-1,667 -1,667

-2,917

=3 . . . 1 +. =123 . (+180.2,667). 1 +7.512 = 2.610,72

=3 .. =123 . (2,917.2,917)= 34,03

(12)1 (12)2 (12)3


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30

= = ()+ ()+ ()=3 . (. )+ 6 [(2. + ) + . (+ 2. )]

+3 (. )=43 (2,667.1,667)

+36 [2,667. (2. 1,667 2,917) 1,667. (1,667 + 2. 2,917)]+ 53 (1,667.2,917)= 5,928 + 14,588 + 8,104 = 28,62

+ . + . = 0+ . + . = 02.346,96 + . 28,45 + . 28,62 = 02.610,72 + . 28,62 + . 34,03 = 0

Desta forma obtm-se um sistema de equaes de simples resoluo (2

equaes e 2 incgnitas).

Resolvendo-se o sistema obtemos:= 34,54 = 47,67 Clculo das Reaes de Apoio:

= + . + . = 60 + 34,54. (0,667)+ 47,67. (0,417)= 17,08 []= = 34,56 []= = 47,67 []

= 60 + 34,54. (0,333)+47,67.(0,583) = 20,71 []


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31

VX0[kN]

-60kN

60kN

0,333-0,667

0,583-0,417

VX1[kN]

VX2[kN]

D.E.C. [kN]

17,08

11,38

29,29

-18,38-20,71

Clculo do Esforo Cortante:

D.E.C.

= + . + . = 60 + 34,54. (0,667) + 47,67. (0,417)= +17,08[]

= 20 + 34,54. (0,667) + 47,67. (0,417)= 22,92[]= 20 + 34,54. (0,333)+ 47,67. (0,417)= +11,38[] = 10 + 34,54. (0,333) + 47,67. (0,417)= 18,38[] = 10 + 34,54. (0,333)+ 47,67. (0,583)= +29,29[]= 60 + 34,54. (0,333) + 47,67. (0,583)= 20,71[]


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32

180kN-2,667

-2,917

160kN

175kN

-1,667

-1,667

MX0[kN.m]

MX1[kN.m]

MX2[kN.m]

D.M.F. [kN.m]

M1

M2

-11,58

M3

Clculo do Momento Fletor:

D.M.F.

= + . + . = = 0,00[]= 160 + 34,54. (2,667) + 47,67. (1,667)= 11,58[.]= 175 +34,54. (1,667) + 47,67. (2,917)= 21,63[. ]

= 17,08 +1,712 = +14,62[.]

= 11,58 + 11,38. 1,1382 = 5,10[.]= 21,63 + 29,29. 2,9292 = +21,26[.]


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33

A B C D

10 kN/m

X1=1 kN.m X2=1 kN.m

A B

X1

C

10 kN/m

X1

10 kN/m

C D

10 kN/m

B

A B

X1

C

X1

C DB

A B C C DB

X2 X2

[X0]

[X1]

[X2]

1 kN/m

R=q.L

2

R=q.L

2

R=-P

L

R=P

L

1 kN/m

R=-P

L

R=P

L

D.M.F. [kN.m]

D.E.C. [kN]-q.L

2q.L

2

-1

L

1

L

q.L 8

-1 -1

EXEMPLO IV:

Outra maneira de resolver o anterior liberando a continuidade da estrutura e

impondo momentos de engastamento unitrio, conforme apresentado a seguir:

Desta forma:

Sabe-se que:


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34

A B

X1

C

10 kN/m

X1

10 kN/m

C D

10 kN/m

B

[X0]

+20

-20

+15

-15

+25

-25

+20

+11,25

+31,25


= =. 2 =10

. 4 []2 = = 20 []

=. 8 =10 . 4[]8 = 20 [. ]

= =. 2 =10 . 3 []2 = = 15 []

=.

8 =10

. 3[]

8 = 11,25 [. ]

= =. 2 =10 . 5 []2 = = 25 [] =. 8 =

10 . 5[]8 = 31,25 [. ]


=1 =14 = 0,25 [] =1= 0,25 [] =1=13= 0,33 [] = 1= 0,33 []

= = 0,00 []


35/55

35

A B

X1

C

X1

C DB

[X1]

-0,25

-0,33

-1 -1

A B C CB

X2 X2[X2]

-0,33

0,20

-1 -1

-1+20

+11,25

+31,25

-1


= = 0,00 [] =1 =13 = 0,33 [] =1=13= 0,33 [] =1=+15 = 0,20 [] = 1= 1= 0,20 []

Clculo do :

10:

=3 +

3 + 0 =

43 . 20.1 +

33 . 11,25. 1 + 0 = 37,92


36/55

36

-1 -1

-1 -1

+20

+11,25

+31,25-1 -1

-1 -1

-1 -1

-1 -1

-1 -1

20:

= 0 + 3 +3 =33 . 11,25. 1 +53 . 31,25. 1 = 63,33

11:

=3 +3 + 0 =43 . 1. 1 + 33 .1.1 = 2,33

22:

= 0 + 3 +3 =33 . 1. 1 +53 . 1. 1 = 2,67

21=12:

= = 0 +

6+ 0 =3

6. 1. 1 = 0,50


37/55

37

Compatibilizao das Rotaes:

+ . + . = 0

+

.

+

.

= 0

37,92 + . 2,33 + . 0,50 = 063,33 + . 0,50 + . 2,67 = 0Novamente um sistema de fcil resoluo, que resulta em:

= 11,63 . = 21,57 Observa-se que ao invs de obtermos os valores das reaes de apoio, neste

caso, obtemos os valores dos momentos fletores nos apoios.

Fazendo-se o mesmo procedimento do Exemplo III tem-se os esforos e as

reaes de apoio.

= + . + .

= + . + .

= + . + . E, desta forma, obtendo-se os diagramas de esforos cortantes e de momento

fletores do exemplo anterior.


38/55

38

A B C D

10 kN/m

E

10 kN/m

20 kN/m

1 kN/m

R=q.L 2

R=q.L 2

R=P L

R=-P L

1 kN/m

R=P L

R=-P L

D.M.F. [kN.m]

D.E.C. [kN]-q.L 2

q.L 2

1L

-1L

q.L 8

1 1

A B C

10 kN/m10 kN/m

D E

10 kN/m

B

A B

X1

C

X1

D EB

[X0]

D

10 kN/m

C

D

X2

C

X2 X3 X3

A B C

10 kN/m10 kN/m

D E

10 kN/m

B

[X0]

D

20 kN/m

C

RAy=20 kN RBy=20 kN RCy=20 kNRBy=20 kN RCy=30 kN RDy=30 kN RDy=25 kN REy=25 kN

20 2030

25

-20 -20-30

-25

20 20

22,5 31,25Mmax=q.L =10.4=20 kN.m 2 2

Mmax=q.L =10.4=20 kN.m 2 2

Mmax=q.L =20.3=22,5 kN.m 2 2 Mmax=q.L =10.5=31,25 kN.m

2 2

EXEMPLO V:

Dados os diagramas: g = 3

Resoluo:



39/55

39

A B

X1

C

X1

D EB

[X1]

DC

1/4-1/4

1/4

-1/4 1/4

-1/4

1 1

A B C D EB

X2[X2]

DC

1/4 -1/4 -1/3 1/3

X2

1/4

-1/3

1 1

A B C D EB

X2[X3]

DC

1/4 -1/4 -1/3 1/3

X2

-1/5

1/3

1 1





40/55

40

1 1

20 20 22,531,25

10

1 1

11

1 1

1 1

12

1 1

1 1

13

1 1

Clculo de :

=3 +3 + 0 + 0 =43 . 20.1 +43 .20.1 + 0 +0 = 53,33

=3 +3 + 0 + 0 =43 . 1.1 +43 . 1.1 + 0 + 0 = 2,67

= 0 +6 + 0 + 0 =43 . 1.1 + 0 + 0 + 0 = 0,67

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0,00


41/55

41

1 1

20 20 22,5

31,25

20

21= 12=0,67

1 1

1 1

22

1 1

23

1 1

32=23=0,50

31=13=0,00

= 0 + 3 +3 + 0 = 0 + 43 . 20.1 +33 . 22,5.1 + 0 = 49,17

= 0 + 3 +3 + 0 = 0 + 43 . 1.1 + 33 .1.1 + 0 = 2,33

= 0 + 0 +6 + 0 = 0 + 0 +

36 .1.1 + 0 = 0,50


42/55

42

33

1 1

1 1

30

1 1

20 20 22,531,25

= 0 + 0 +3 + 3 = 0 + 0 +33 . 1.1 +53 . 1.1 = 2,67

= 0 + 0 +3 + 3 = 0 + 0 +33 . 1.22,5 +53 .1.31,25 = 74,58

Resoluo do Sistema:

+ . + . + . = 0+ . + . + . = 0+ . + . +. = 0

53,33 + . 2,67 + . 0,67 + . 0,00 = 049,17 + . 0,67 + . 2,33 + . 0,50 = 074,58 + . 0,00 + .0,50+. 2,67 = 0

Substituindo temos:

=0,67. 53,332,67 = 0,251. 19,97=0,50. 74,582,67 = 0,187. 27,93

49,17+ (0,251. 19,97).0,67+2,33.+(0,187.27,93).0,50 = 0=21,8252,0685 = 10,55 .


43/55

43

A B

X1

C

X1

D EB

[X1]

DC

1/4 -1/4 -1/4 1/4

A B C

10 kN/m10 kN/m

D E

10 kN/m

B

[X0]

D

20 kN/m

C

RAy=20 kN RBy=20 kN RCy=20 kNRBy=20 kN RCy=30 kN RDy=30 kN RDy=25 kN REy=25 kN

A B C D EB

X2[X2]

DC

1/4 -1/4 -1/3 1/3

X2

A B C D EB

X2[X3]

DC

1/4 -1/4 -1/3 1/3

X2

Da mesma forma determinamos:

= 17,33 .

= 25,96 . Clculo das Reaes de Apoio:

= + . + . + . = 17,33. 10,55. 25,96. = 20 17,33. 14 10,55.0 25,96.0 = 15,67

=(20 + 20) 17,33. 14 14 10,55. 14 25,96. (0) = 46,03 =(20 + 30) 17,33. 14 10,55. 14 13 25,96. 13= 43,17 =(30 + 25) 17,33. (0) 10,55. 13 25,96. ( 13 15) = 65,33

= 25 17,33. (0) 10,55. (0) 25,96.153= 19,81


44/55

44

20 2025

-20 -20-25

-30

1/4

-1/4

1/4

-1/3

-1/5

1/3

15,68

21,7024,86

30,19

-24,33

-18,30

-35,14

-19,81

D.E.C. [kN]

Clculo dos Esforos Cortantes:

= + . + . + . = 17,33. 10,55. 25,96. Ponto A: = 20 17,33. 10,55. (0) 25,96. (0)= +15,67 Ponto Besq:

= 20 17,33. 10,55. (0) 25,96. (0)= 24,33

Ponto Bdir: = 20 17,33. 10,55. 25,96. (0)= +21,70 Ponto Cesq: = 20 17,33. 10,55. 25,96. (0)= 18,30 Ponto Cdir: = 30 17,33. (0) 10,55. 25,96. = +24,86 Ponto Desq: = 30 17,33. (0) 10,55. 25,96. = 35,14 Ponto Ddir: = 25 17,33. (0) 10,55. (0) 25,96. = +30,19 Ponto E: = 25 17,33. (0) 10,55. (0) 25,96. = 19,81


45/55

45

20 20 22,531,25

1 1

1 1

1 1

-17,33

-10,55

-25,96

11,34

6,064,24

18,27

D.M.F. [kN.m]

Clculo dos Momentos Fletores:

= + . + . + . = 17,33. 10,55. 25,96. = 20 17,33. 12 10,55. (0) 25,96. (0)= +11,34 .

= 20 17,33. 12 10,55.

12 25,96. (0)= +6,06 .

= 22,5 17,33. (0) 10,55. 12 25,96. 12 = +4,24 . = 31,25 17,33. (0) 10,55. (0) 25,96. 12 = +18,27


46/55

46

20 kN/m

A

C

B

D

20 kN/m

X1=1

X2=1

A

C

B

D

EXEMPLO VI:

Grau de Hiperestaticidade: g = 2 (2x hiperesttica)

Liberaremos os vnculos do apoio de segunda ordem


47/55

47

20 kN/m

A

C

B

D

RAx

RAy

MA

s3 s1

s2

[X0]

V

N M


Clculo das Reaes de Apoio:

= 0 = 0 = 0 20.6 = 120 = 0 20.6. 62= 0 = 360 .

Seo S1:

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0


48/55

48

V

N M

V

N

M

RAx=0

RAy=120 kN

MA=360 kN.m

-120 kN

120 kN

[D.E.N.] [D.E.C.]

-360 kN

[D.M.F.]

-360 kN

Seo S2:

= 0 = 0 = 0 20. = 0 = 20. x= 0 = 0x= 6 = 120 = 0 + 20.. = 0 =10.x= 0 = 0x= 6 = 360 .

Seo S3:

= 0 = 0 = 0 + 120 = 0 = 120 = 0 + 360 = 0 = 360 .

Diagrama de Esforos [X0]:


49/55

49

A

C

B

D

RAx

RAy

MA

s3 s1

s2

X1=1

[X1]

V

N M

X1=1



= 0 + 1 = 0 = 1 = 0 + 0 = 0 = 0 = 0Seo S1:

= 0 + 1 = 0 = 1

= 0 = 0

= 0 1. = 0 = x= 0 = 0x= 3 = 3 .


50/55

50

V

N M

X1=1

V

N

M

RAx=-1

RAy=0 kN

MA=0 kN.m

-120 kN

[D.E.N.] [D.E.C.]

1 kN

1 kN -1 kN

-360 kN

[D.M.F.]

3 kN.m 3 kN.m

3 kN.m

Seo S2:

= 0 + 1 = 0 = 1 = 0 = 0 = 0 1.3 = 0 =3 .

Seo S3:

= 0 1 = 0 = 1 = 0 + 0 = 0 = 0 = 0 1. = 0 = x= 0 = 0x= 3 = 3 .



51/55

51

A

C

B

D

RAx

RAy

MA

s3 s1

s2

X2=1

[X2]

V

N M

X 2=1



= 0 = 0 = 0 + 1 = 1 = 0 1.6 = 6 . Seo S1:

= 0 = 0 = 0 + 1 = 0 = 1

= 0 = 0


52/55

52

V

N M

X2=1

V

N

M

RAx=0

RAy=-1 kN

MA=-6 kN.m

-120 kN

[D.E.N.] [D.E.C.]

1 kN

1 kN -1 kN

6 kN.m

[D.M.F.]

6 kN.m

Seo S2:

= 0 + 0 = 0 = 0 = 0 + 1 = 0 =1 = 0 = 0

Seo S3:

= 0 = 0 = 0 1 = 0 = 1 = 0 6 = 0 = 6 .



53/55

53

11

22

21

10

Clculo do :

=3 ..+..+3 . . =33 . 3.3 + 6.3.3 +33 . 3.3 = 72

= 0 + 3 . . + . . = 0 + 63 . 6.6 + 3.6.6 = 180

= 0 +2 ..+2 . . = 0 +62 . 3.6 +32 . 3.6 = 81

12 = 21= 81

=2 . . + 3 . . + 0 =32 . 3. 360 +62 .3.360 = 3.780


54/55

54

20

= 0 +4 . . + . . + 0 =64 . 6. 360 + 3.6. 360 = 9.720

Sistema de Equaes:

+ . + . = 0+ . + . = 03.780 + . 72 + . 81 = 09.720 + . 81 + . 180 = 0

Resolvendo-se o sistema obtemos:= 16,71

= 61,52


= + . + . = 120 16,71. (0)+ 61,52. (1)= +58,48 [] = 0 16,71. (1)+ 61,52. (0)= +16,71 []= 360 16,71. (0)+ 61,52. (6)= 9,12 [. ]= = 16,71 []= = +61,52 []= 360 16,71. (3) + 61,52. (6)= 41,01 [. ]= 0 16,71. (3)+ 61,52. (0)= 50,13 [.]


55/55

BIBLIOGRAFIA

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CAMPANARI, Flvio Antnio.(1985). Teoria das estruturas. v.1, 2, 3 e 4. Ed.

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POPOV, Egor P. (1978). Introduo mecnica dos slidos. So Paulo: Edgard

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SUSSEKIND, Jos Carlos. (1994a). Curso de anlise estrutural. v.2. 11a ed.So

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TIMOSHENKO, Stephen P. (1967). Resistncia dos materiais. v.1. 3a ed. Rio deJaneiro: Ao Livro Tcnico.

LA ROVER, H.L. e DE MORAES, POLIANA DIAS. R. (2005). Apostila ECV 5220

Anlise Estrutural II. Santa Catarina: ECV/UFSC.

Apostila Teoria Das Estruturas II - Cap I e II (1)

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