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Universidade Federal do Piauí Prof. Robson de S. Nascimento

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FLUIDOS: ESTÁTICA E HIDRODINÂMICA

A maioria das substâncias pode ser classificada em um dos três estados, ou fases: sólido,

líquido ou gasoso. Quando submetidos a forças externas, os sólidos tendem a conservar seu volume

e sua forma; os líquidos tendem a conservar seu volume, mas não a sua forma; e os gases não

conservam nem volume nem forma.

Os líquidos e os gases são classificados como fluidos. Estas substâncias facilmente escoarão

sob a ação de uma força cisalhante. As diferenças entre as propriedades de um fluido e de um sólido

dependem das forças exercidas entre suas moléculas. Pode-se imaginar um sólido como um arranjo

tridimensional de moléculas em que cada molécula é unida à sua vizinhança através de forças

geradas por elementos análogos a um conjunto de molas, sendo capaz de gerar uma força reativaoposta a uma força aplicada em qualquer direção. Em um líquido, as forças intermoleculares são

relativamente fracas, ao contrário do acontece nos sólidos, o que propicia, a estes, grande

estabilidade. Nos gases, as forças intermoleculares são muito fracas, e o espaçamento médio entre

as moléculas é maior do que nos líquidos e nos sólidos. Tanto os gases quanto os líquidos podem

escoar quando a eles são aplicadas forças relativamente fracas.

Geralmente, é mais conveniente analisar os fluidos utilizando as leis que dependem do

comportamento estatístico das partículas ou que envolvem as propriedades médias ou específicas,como pressão, massa específica e temperatura.

PRESSÃO

A capacidade de escoar impossibilita um fluido de sustentar uma força paralela à sua

superfície. Sob condições estáticas, a única componente paralela de força que necessariamente deve

ser considerada é a que atua na direção normal ou perpendicular à superfície do fluido.

A intensidade da força normal por unidade de área da superfície é chamada de pressão. Apressão é uma grandeza escala. Logo, podemos defini-la como

F p

A= (1)

A pressão possui as dimensões de força dividida por área (N/m2), essa unidade, segundo o

SI, recebe o nome de Pascal (Pa).


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2

DENSIDADE

Quando dizemos que o ferro é “mais pesado” do que o alumínio, que queremos dizer

realmente? Certamente não pretendemos que qualquer pedaço de ferro seja mais pesado do que

qualquer pedaço de alumínio, e sim que dados dois volumes iguais de ferro e de alumínio, o ferro

pese mais e, assim, tenha mais massa. Isto se traduz por massa por unidade de volume, ou

densidade, de uma substância

m

V ρ = (2)

onde m é a massa e V o volume. A dimensão da densidade é massa dividida por volume, e suaunidade no SI é quilograma por metro cúbico (kg/m3). A Tabela 1 mostra algumas massas

específicas.

Material Densidade, kg/m Material Densidade, kg/m

Alumínio 2,7 x 10 Gelo 0,92 x 10

Cobre 8,9 x 103 Madeira 0,7 x 103

Ouro 19,3 x 10 Sangue 1,05 x 10Ferro ou aço 7,8 x 10 Mercúrio 13,6 x 10

Chumbo 11,3 x 103 Água 1,00 x 103

Platina 21,4 x 10 Água do mar 1,03 x 10

Osso 1,8 x 10 Ar 1,29

Concreto 2,4 x 10 Hélio 0,179

Vidro 2,6 x 10 Hidrogênio 0,090

Tabela 1. Massa específica de alguns materiais

VARIAÇÃO DA PRESSÃO COM A PROFUNDIDADE

Embora a pressão em um fluido estático seja a mesma para uma determinada profundidade,

a pressão varia efetivamente com a posição vertical, em razão do peso do fluido. Para deduzirmos a

pressão em relação a densidade e profundidade, iremos considerar um fluido de densidade ρ em

repouso num recipiente como o da Figura 1 abaixo. Consideraremos um cilindro imaginário nesse

fluido. A força resultante dF R que esse fluido exerce sobre o cilindro é


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Fig. 1. Pequeno elemento de fluido num recipiente

( ) R

pA p dp A dF + + =

Mas, como o cilindro está em repouso, essa força deve ser igual ao peso do cilindro. Deste modo,

teremos: R

dpA dF gdm− = =

Mas,

dm dV Ady ρ ρ = =

Ou seja,

dp gdy ρ = −

Logo, teremos

2 2

1 1

2 1 2 1( )

p y

p y

dp g dy p p g y y ρ ρ = − ⇒ − = − −∫ ∫

Considerando que a pressão aumenta com a profundidade, vamos definir a profundidade y2 como (-

h), a pressão a essa profundidade é p e à superfície, po. Desse modo, teremos

0 p p gh ρ = + (3)

O que nos mostra que a pressão varia linearmente com a profundidade.

VARIAÇÃO DA PRESSÃO NA ATMOSFERA

Para os gases, ρ é de valor comparativamente pequeno (em relação aos líquidos), e a

diferença na pressão entre dois pontos vizinhos é geralmente desprezível. A pressão do ar varia

substancialmente quando se consideram grandes alturas na atmosfera. Além disso, uma vez que os

gases são compressíveis, a variação na pressão causa uma variação na massa específica ρ com a

altitude y.


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Pode-se obter uma aproximação razoável para a variação da pressão com a altitude na

atmosfera terrestre, admitindo-se que a massa específica ρ seja proporcional á pressão. Esta

consideração é muito próxima da realidade. Utilizando esta hipótese e admitindo-se que a variação

de g com a altitude seja desprezível, pode-se obter a pressão p a uma altitude y qualquer acima do

nível do mar.

Vimos que

dp gdy ρ = −

Uma vez que ρ é proporcional a p, infere-se que

0 0

p

p

ρ

ρ =

onde ρ o e po são os valores da massa específica e da pressão ao nível do mar. Assim,

0

0

g dpdy

p p

ρ = −

Integrando ambos os membros

1

0

0

00

p h

p

g dpdy

p p

ρ = −∫ ∫

Que nos fornece

0

0 0

ln g p

h p p

ρ = −

Ou,

0

o

o

g h

p p p e

ρ −

= (4)

Pressão Atmosférica

É a pressão exercida num corpo devido à atmosfera. O instrumento utilizado para medir a

pressão atmosférica é o barômetro, inventado por Evangelista Torricelli (1608-1647). A Fig. 2

mostra um barômetro de mercúrio, semelhante ao utilizado por Torricelli. A pressão atmosférica é:


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5

Fig. 2. Barômetro de mercúrio

Pressão manométrica

É a diferença entre a pressão absoluta (total) e a atmosférica. Consideremos a Figura abaixo,onde a pressão absoluta é dada por:

atm p p gh ρ = + (5)

Se p = 0, então h = 10 m para a água e 760 mm para o mercúrio.

Fig. 3. Manômetro de tubo aberto

O PRINCÍPIO DE PASCAL

A pressão aplicada a um fluido estático incompressível fechado se transmite igualmente a

todas as partes do fluido. Assim, concluímos que

1 2

1 2

F F A

= (6)


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6

(a) (b)

Fig. 3. (a) Aplicação do teorema de Pascal (b) Prensa hidráulica

O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES

Um corpo total ou parcialmente imerso em um fluido sofre uma força igual em módulo ao

peso do fluido deslocado e dirigida para cima segundo uma reta. Chamamos essa força de

Empuxo, e é definida como

E P= (7)

onde E é o empuxo e P (=mg) é o peso do fluido deslocado. Assim, o empuxo é

(8)

onde ρ é a densidade do fluido, g a aceleração da gravidade e V o volume deslocado.

FLUIDOS EM MOVIMENTO

Fluidos podem se mover ou escoar de várias maneiras. A água pode fluir suave e

vagarosamente em um córrego tranquilo ou violentamente numa queda-d’água. O ar pode formar

uma brisa suave ou um tornado violento. Para lidar com tal diversidade, é útil identificar alguns dostipos básicos de escoamento de fluidos.

O escoamento de um fluido pode ser permanente ou não-permanente. No escoamento

permanente, o vetor velocidade das partículas de fluido em qualquer ponto é constante com o passar

do tempo. Enquanto que no escoamento não-permanente, o vetor velocidade sempre varia em um

ponto com o passar do tempo.

O escoamento turbulento é um tipo extremo de escoamento não permanente e ocorre

quando existem obstáculos pontudos ou existem curvas na trajetória de um fluido se movendorapidamente.


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O escoamento de um fluido pode ser compressível ou incompressível . A maioria dos

fluidos é praticamente incompressível; ou seja, a massa específica de um líquido permanece quase

constante quando a pressão varia. Em contraste, os gases são altamente compressíveis.

O escoamento de um fluido pode ser viscoso ou não-viscoso. Um fluido viscoso, como o

mel, não escoa prontamente e dizemos que ele possui uma grande viscosidade. Em contraste, a água

é menos viscosa e escoa mais prontamente; a água possui uma viscosidade menor do que a do mel.

Embora nenhum fluido real possua viscosidade nula a temperaturas usuais, alguns fluidos possuem

viscosidade tão pequena que pode ser desprezada. Um fluido não-viscoso e incompressível é

chamado fluido ideal .

EQUAÇÃO DA CONTINUIDADEVocê já usou o seu polegar para controlar o fluxo de água saindo pela extremidade de uma

mangueira? Em caso afirmativo, você percebeu que a velocidade da água aumenta quando o seu

polegar reduz a área da seção transversal da abertura da mangueira. Este tipo de comportamento de

um fluido é descrito pela equação da continuidade. Esta equação expressa a seguinte idéia: Se um

fluido entrar por uma extremidade de um tubo numa certa taxa, então o fluido também deve sair a

mesma taxa. A massa do fluido por unidade de tempo que escoa por um tubo é chamada fluxo de

massa.

Fig. 4. Fluido escoando pelo tubo

Observando a Figura 4 percebemos que o fluxo de massa na posição 1 é

1

1 1 1Fluxo de massa posição 1

m Av

t ρ

∆= =

∆

2

2 2 2Fluxo de massa posição 2

m A v

t ρ

∆= =

∆


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O fluxo de massa possui o mesmo valor em todas as seções ao longo de um tubo que possui

uma única seção de entrada e uma única seção de saída para o escoamento do fluido. Assim,

teremos que

1 1 1 2 2 2 A v A v ρ ρ =

A massa específica de um fluido incompressível não se altera durante o escoamento, logo

1 2 ρ ρ = , e a equação da continuidade se reduz a

1 1 2 2 A v A v= (8)

Onde A é a área de seção transversal do tudo (em m

2

) e v a velocidade escalar do fluido (em m/s). Agrandeza Av representa o volume do fluido por segundo que passa pelo tubo, sendo conhecida como

a vazão Q (em m3/s)

Q Av= (9)

EQUAÇÃO DE BERNOULLI

A Equação de Bernoulli descreve o comportamento de um fluido em movimento.

Fig. 5. Fluido em movimento num tubo que possui diâmetro e altura variável


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Para deduzir a equação de Bernoulli, consideremos a Figura 5. A porção do fluido de massa

m que está entre 1 e 1´ sofrerá uma variação na energia potencial ao chegar em 2, dada por:

2 1 2 1( ) ( )U mg y y g V y y ρ ∆ = − = ∆ −

Mas, a variação da energia cinética é dada por:

2 2 2 2

2 1 2 1

1( ) ( )

2 K m v v V v v ρ ∆ = − = ∆ −

A força para empurrar a massa m em A1 se contrapõe a F 2 que realiza um trabalho negativo dado

por:

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 F p A W p A x e F p A W p A x= ⇒ = ∆ = ⇒ = − ∆

Logo, o trabalho total será:

1 2 1 2( )

T W W W p p V = + = − ∆

Assim, o teorema do trabalho-energia nos fornece:

2 2

1 2 2 1 2 1

1( ) ( ) ( )

2 p p V g V y y V v v ρ ρ − ∆ = ∆ − + ∆ −

Então, teremos:

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1

2 2 p gy v p gy v ρ ρ ρ ρ + + = + + (10)

A equação 10 é denominada de Equação de Bernoulli .

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