Apostila So a

5/10/2018 Apostila So a - slidepdf.com

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Frações

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero . Chamamos:

de fração; a de numerador; b de denominador.

Se a é múltiplo de b , então é um número natural. Veja um exemplo:

A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a

divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2. Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados peloshomens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com númerosnaturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

O significado de uma fração

Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso,

qual é o significado de ? Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes,consideramos umaou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos ochocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte brancaé a parte que sobrou do chocolate.

Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...

um meio dois quintos

um terço quatro sétimos



2

um quarto sete oitavos

um quinto quinze nonos

um sexto um décimo

um sétimo um centésimo

um oitavo um milésimo

um nono oito milésimos

Classificação das frações

Fração própria: o numerador é menor que o denominador:

Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.

Frações equivalentes Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Exemplo: são equivalentes Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por

um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .

Simplificação de frações



3

Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida

dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é

uma fração simplificada de .

A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível . A fraçãonão pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

Números fracionários Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo

verdadeira? 5 . X = 1

Substituindo X, temos:

X por 0 temos: 5.0 = 0X por 1 temos: 5.1 = 5. Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1.

Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os númerosfracionários.

Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela

representam o mesmo número fracionário .

Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois .

Adição e subtração de números fracionários Temos que analisar dois casos: 1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradorese conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradorese conservar o denominador.

Observe os exemplos:

2º) denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações

equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo:

somar as frações . Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

http://www.somatematica.com.br/fundam/mmc.php






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Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamosnormalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Multiplicação e divisão de números fracionários Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador

por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nosexemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fraçãopelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação de números fracionários

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a umdeterminado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador aesse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário,

estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme oexemplo abaixo:

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Critérios de divisibilidade Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitemverificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios dedivisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja,quando ele é par. Exemplos: 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.


Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos fordivisível por 3.

Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisívelpor 3, então 234 é divisível por 3.


Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos doisúltimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em 00.4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.

3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.


Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.


Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplos: 1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).


Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos trêsúltimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos:

1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.



6

3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.


Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos fordivisível por 9. Exemplo: 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 édivisível por 9, então 2871 é divisível por 9.


Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.


Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dosalgarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ªordem, e assim sucessivamente. Exemplos: 1) 87549

Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11Si-Sp = 22-11 = 11Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21Si-Sp = 10-21Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11

(diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11= 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.

Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.


Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Exemplos: 1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos,20).2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).


Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. Exemplos: 1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).

3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).



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Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75. Exemplos: 200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Números PrimosNúmeros primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 eele mesmo.

Exemplos:1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.

=> 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.Exemplo : 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3,5, 7, 11 etc. até que tenhamos:

=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero.

Neste caso o número é primo. Exemplos: 1) O número 161:

não é par, portanto não é divisível por 2; 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um

número primo.

2) O número 113:

não é par, portanto não é divisível por 2; 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além

disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

Decomposição em fatores primos Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou

mais fatores. Decomposição do número 24 num produto:24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2

3

x 3



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No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos.

Então a fatoração de 24 é 23 x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural,maior

que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, ospassos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menordivisor primo;2º) a seguir, dividimos o quocienteobtido pelo menor divisor primo dessequociente e assim sucessivamente até

obter o quociente 1.A figura ao lado mostra a fatoração donúmero 630.

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Determinação dos divisores de um número Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores

primos.Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatoresprimos;2º) traçamos uma linha e escrevemoso 1 no alto, porque ele é divisor dequalquer número;

3º) multiplicamos sucessivamente

cada fator primo pelos divisores jáobtidos e escrevemos esses produtosao lado de cada fator primo;

4º) os divisores já obtidos nãoprecisam ser repetidos.



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Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisorcomum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximodivisor comumdesses números. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:mdc (6,12) = 6mdc (12,20) = 4mdc (20,24) = 4mdc (12,20,24) = 4mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposiçãodesses números em fatores primos. 1) decompomos os números em fatores primos ;2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns . Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5 O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dosfatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor

desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor;

48 / 30 = 1 (com resto 18) 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão

anterior, e assim sucessivamente;30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo



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divisor comum desses números é 1.

Exemplos:Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é om.d.c.(6,18,30). Observe: 6 = 2 x 3

18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros,então

ele é o m.d.c. dos números dados.

Mínimo Múltiplo Comum

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então

dizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos númerosnaturais.

Exemplo: os múltiplos de 7 são:7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

Observações importantes:1) Um número tem infinitos múltiplos2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de

mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, échamado demínimo múltiplo comum desses números. Usamos a

abreviação m.m.c.

CÁLCULO DO M.M.C.



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Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração.Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5

m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dosfatores

comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números aomesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura aolado. O produto dos fatores primos que obtemos nessadecomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemoso cálculo do m.m.c.(15,24,60)

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

PROPRIEDADE DO M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é om.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros,então

ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60,que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto dessesnúmeros.



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Equações de primeiro grau (com uma variável)

Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A

palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0 Não são equações: 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade) A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0 onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dosdois lados, obtemos:

ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita naforma ax =b , sendoa e b números racionais, com a diferente de zero.



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Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5. Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o

conjunto {3} é oconjunto verdade dessa mesma equação.

Observe este outro exemplo: Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação. Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo

ser indicado por: V = {-5, 5}. Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável podeassumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira aequação . Indica-se por V.

Observações:

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar comoconjunto universo o conjunto dos números racionais.

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicadopor S.

Raízes de uma equação Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte

seqüência:

Substituir a incógnita por esse número. Determinar o valor de cada membro da equação. Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da

equação. Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo,determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F) Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F) Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V) Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.



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Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F) Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F) Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F) Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U , logo V = Ø.

Resolução de uma equação Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que

nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem,finalmente, determinar os elementos doconjunto verdade ou as raízes da equação.Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu conjuntoverdade, dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípiosde equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

Sendo , resolva a equação . MMC (4, 6) = 12

-9 x = 10 => Multiplicador por (-1) 9 x = -10

Como , então .

Sendo , resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x ) = 2 . (x - 4). Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2x - 4 - 3 + 3 x = 2 x - 82x + 3x -2 x = - 8 + 4 + 3

3 x = -1

Como , então

Equações impossíveis e identidades Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6 x - 4) = 3 . (4 x - 1).

Observe, agora, a sua resolução:

2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1 12x - 8 = 12x - 3



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12x - 12x = - 3 + 8 0 . x = 5

Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equaçãoé impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.

Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e

Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3 x - 8 = 2 - 3 x .Observe a sua resolução:

-3x + 3x = 2 - 10 + 8 0 . x = 0

Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equaçãopossuiinfinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído àvariável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.

Pares ordenados Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numacerta ordem.

Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

Assim:

Indicamos por ( x , y ) o par ordenado formado peloselementos x e y , onde x é o 1º elemento e y é o 2ºelemento.

Observações 1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos:

. Exemplos

2. Dois pares ordenados ( x , y ) e (r , s) são iguais somente se x = r e y = s.

Representação gráfica de um Par Ordenado Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

Coordenadas Cartesianas Os números do par ordenados são chamados coordenadas

cartesianas. Exemplos:

A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.



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Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2ºnúmero desse par. Assim:

Plano Cartesiano

Representamos um par ordenadoem um plano cartesiano.

Esse plano é formado por duas

retas, x e y, perpendiculares entre si.A reta horizontal é o eixo dasabscissas (eixo x ).

A reta vertical é o eixo dasordenadas (eixo y ).

O ponto comum dessas duasretas é denominado

origem, que corresponde ao parordenado (0, 0).

Localização de um Ponto Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência

prática: O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. No encontro das perpendiculares aos eixos x e y , por esses pontos,

determinamos o ponto procurado. Exemplo:

Localize o ponto (4, 3).

Equações de primeiro grau (com duas variáveis)

Considere a equação: 2 x - 6 = 5 - 3y

Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y , pode ser transformadanuma equação equivalente mais simples. Assim:

2 x + 3y = 5 + 6

2 x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c .



17

Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y , a todaequação que pode ser reproduzida à forma ax + by = c ,sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.

Na equação ax + by = c , denominamos:

x + y - variáveis ou incógnita a - coeficiente de x

b - coeficiente de y c - termo independente

Exemplos:

x + y = 30 2 x + 3y = 15 x - 4y = 10

-3 x - 7y = -48 2 x - 3y = 0 x - y = 8

Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira?

Observe os pares abaixo: x = 6, y = 1

x - 2y = 4 6 - 2 . 1 = 4

6 - 2 = 4 4 = 4 (V)

x = 8, y = 2

x - 2y = 4 8 - 2 . 2 = 4

8 - 4 = 4 4 = 4 (V)

x = -2, y = -3

x - 2y = 4 -2 - 2 . (-3) = 4

-2 + 6 = 4 4 = 4 (V)

Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos

( x , y ) - , sendo, portanto, seu conjunto universo . Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma

das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo: Determine uma solução para a equação 3 x - y = 8.

Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y . Assim:

3 x - y = 8

3 . (1) - y = 8



18

3 - y = 8-y = 5 ==> Multiplicamos por -1 y = -5

O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.

V = {(1, -5)}

Resumindo:

Um par ordenado (r , s) é solução de umaequação ax + by = c (ae b não-nulos simultaneamente),se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.

Produto Cartesiano

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B ={3, 4}.Com auxílio do diagrama de flechas aolado formaremos o conjunto de todos ospares ordenados em que o 1º elementopertença ao conjunto A e o 2º pertençaao conjunto B.

Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:

Logo:Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos

cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados ( x , y )

onde



19

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado ( x , y ). Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente

num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessaequação. Exemplo:

Construir um gráfico da equação x + y = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação. 1º par: A (4, 0) 2º par: B (0, 4)

A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

x y 4 0 0 4

Finalmente, unimos os pontos A e B , determinando a reta r , que contém todos os pontossoluções da equação.

A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.

Sistemas de Equações Considere o seguinte problema: Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3

pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos eleacertou?



20

Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: x + y = 25 (total de arremessos certo) 2 x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)

Essas equações contém um sistema de equações. Costuma-se indicar o sistema usando chave.

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução dosistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.

Resolução de Sistemas

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinarum par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:

Método de substituição

Solução determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y ) -3y = 3

Resolvemos a equação formada.

8 - 2y -3y = 38 - 2y -3y = 3

-5y = -5 => Multiplicamos por -1 5y = 5

y = 1

Substituímos o valor encontrado de y , em qualquer das equações, determinando x .

x + 1 = 4 x = 4 - 1

x = 3

A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

V = {(3, 1)} Método da adição

Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método daadição.



21

Resolva o sistema abaixo:

Solução Adicionamos membros a membros as equações:

2 x = 16

x = 8

Substituímos o valor encontrado de x , em qualquer das equações,determinado y :

8 + y = 10

y = 10 - 8y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)V = {(8, 2)}

Inequações de primeiro grau Introdução

Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por umadesigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:

, , , , como a e b reais . Exemplos:

Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis Método prático

Substituímos a desigualdade por uma igualdade. Traçamos a reta no plano cartesiano. Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo

satisfaz ou não a desigualdade inicial. Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o

ponto auxiliar. Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao

qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos:

Representamos graficamente a inequação



22

Tabela

x y (x , y )

0 4 (0, 4)

2 0 (2, 0)

Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequaçãoVerificamos:

(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação) A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).

Inequações de primeiro grau

Resolução Gráfica de um Sistema de Inequações do 1º grau Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, devemos:

traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos. Exemplos:

Dê a resolução gráfica do sistema:Solução Traçando as retas -x + y = 4 e 3x + 2y = 6.

Tabela

x y (x , y )

0 4 (0, 4)

-4 0 (-4,0)

Tabela

x y (x , y )

0 3 (0, 3)

1 3/2 (1,3/2)

Gráfico



23

Radiciação Potenciação de Radicais Observando as potencias, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicandoàquele expoente. Exemplos:

Divisão de Radicais Segundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimosos radicais: Exemplos:

: =Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a

operação. Exemplos:

Racionalização de denominadores

Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo umafração equivalente:

Observe que a fração equivalente possui um denominador racional. A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores. A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração comdenominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seudenominador. Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração poruma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma novafração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização:

1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:



24

é o fator racionalizante de , pois . = = a

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

é o fator racionalizante de




Potência com expoente racional Observe as seguintes igualdades:

ouIgualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

De modo geral, definimos:

, com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0 Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:

Propriedade das potências com expoentes racionais As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentesinteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo:



25

Razões - Introdução Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m decomprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de umdeles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro decorrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kartcorresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)

o quociente ou a:b . A palavra razão, vem do latim ratio , e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são

diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos: Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.

Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.

Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações: 1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desdeque seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre é .



26

Termos de uma razão Observe a razão:

(lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b édenominadoconsequente. Veja o exemplo:

3:5 =Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5 .

Razões inversas

Considere as razões .

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas. Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

Exemplo:

são razões inversas, pois .

Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, evice-versa.

Observações: 1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.

2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seustermos.

Exemplo: O inverso de .

Razões equivalentes

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira: Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por ummesmo número racional (diferente de zero), obtemos uma razão

equivalente. Exemplos:

são razões equivalentes.



27

são razões equivalentes.

Razões entre grandezas da mesma espécie

O conceito é o seguinte:

Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre osnúmeros que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma

unidade.

Exemplos:

1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui umaaltura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 édada por:

2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete,sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de240m2.

Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: .

Razões entre grandezas de espécies diferentes O conceito é o seguinte:

Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes,determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razãodeve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas.

Exemplos: 1) Consumo médio:

Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nessepercurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustívelconsumido? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro"). Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

2) Velocidade média: Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a

medida dessas grandezas? O que significa essa razão?Solução:

Razão =



28

Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora"). Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.

3) Densidade demográfica: O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924

habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o número de

habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão?Solução:

Razão =Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").

Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46habitantes.

4) Densidade absoluta ou massa específica: Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a

massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3

Razão =Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").

Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

Proporções - Introdução Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg.Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a

igualdade é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Elementos de uma proporção Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que elesformam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º.

Assim:



29

ou a:b=c:d (lê-se "a está para b assim como c está para d ")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos:Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Propriedade fundamental das proporções Observe as seguintes proporções:

Produto dos meios = 4.30 = 120Produto dos extremos = 3.40 =120

Produto dos meios = 9.20 = 180Produto dos extremos = 4.45 =

180

Produto dos meios = 8.45 = 360Produto dos extremos = 5.72 =360

De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto

dos extremos.

Aplicações da propriedade fundamental Determinação do termo desconhecido de uma proporção

Exemplos:

Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)



30

5 . x = 120

x = 24 Logo, o valor de x é 24.

Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19

x =

Logo, o valor de x é .

Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine ovalor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 8 . 35 5x = 280

x = 56 Logo, o valor de x é 56.

Resolução de problemas envolvendo proporções Exemplo:

Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40dm3 de sal. Para obtermos 2 m3de sal, quantos metros cúbicos de água salgadasão necessários?

Solução: A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a

proporção:



31

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.

(aplicando a propriedade fundamental) 1 . 2 = 0,04 . x 0,04x = 2

x = 50 m 3 Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

Quarta proporcional Dados três números racionais a, b e c , não-nulos, denomina-se quarta proporcional dessesnúmeros um número x tal que:

Exemplo:

Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental)8 . x = 12 . 6 8 . x = 72

x = 9 Logo, a quarta proporcional é 9.

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção:Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção

contínua. Assim: Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.

De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional Dados dois números naturais a e b , não-nulos, denomina-se terceira

proporcional desses números o número x tal que:

Exemplo: Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.

Solução Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:



32

(aplicando a propriedade fundamental) 20 . x = 10 . 10 20x = 100

x = 5 Logo, a terceira proporcional é 5.

Média geométrica ou média proporcional

Dada uma proporção contínua , o número b é denominado médiageométrica ou média proporcional entre a e c . Exemplo:

Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.Solução:

5 . 20 = b . b 100 = b 2 b 2 = 100

b = b = 10

Logo, a média geométrica positiva é 10.

Propriedades das proporções 1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou1º) termo,

assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). Demonstração Considere as proporções:

Adicionando 1 a cada membro obtemos:

Exemplo:



33

Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.Solução:

Assim:

x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36. Logo, x=36 e y=48 .

2ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º

(ou 1º) termo,assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). Demonstração Considere as proporções:

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

(Mult. os 2membros por -1)

Exemplo:

Sabendo-se que x-y=18 , determine x e y na proporção .Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.Logo, x=30 e y=12.

3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dosconsequentes,

assim como cada antecedente está para o seu consequente.



34

Demonstração

Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dosconsequentes,

assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

Exemplo:

Sabendo que a-b = -24 , determine a e b na proporção .Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que:



35

5ª propriedade:

Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dosconsequentes,

assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seuconsequente.

Demonstração Considere a proporção:

Multiplicando os dois membros por , temos:

Assim:

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões.Exemplo:

Proporção múltipla

Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:

é uma proporção múltipla.

Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade,

podemos escrever:



36

Algarismos Romanos A numeração romana é um sistema denumeração que usa letras maiúsculas, asquais são atribuídos valores. Os algarismosromanos são usados principalmente:

Nos números de capítulos uma obra. Nas cenas de um teatro.

Nos nomes de papas e imperadores. Na designação de congressos,olimpíadas, assembléias...

Regras

A numeração romana utiliza sete letrasmaiúsculas, que correspondem aosseguintes valores:

Letras Valores I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000



37

Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66.Se à direita de uma cifra romana se escreveoutra igual ou menor, o valor desta se soma

ao valor da anterior.Exemplos:VI = 6XXI = 21LXVII = 67A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X",

subtrai uma unidade; a letra "X",precedendo a letra "L" ou a "C", lhes subtraidez unidades e a letra "C", diante da "D" ouda "M", lhes subtrai cem unidades.Exemplos:IV = 4IX = 9XL = 40XC = 90CD = 400CM = 900Em nenhum número se pode pôr umamesma letra mais de três vezes seguidas.

Antigamente se via as vezes a letra "I" ou a"X" até quatro vezes seguidas.Exemplos:XIII = 13XIV = 14XXXIII = 33XXXIV = 34



38

A letra "V", "L" e a "D" não podem seduplicar porque outras letras ("X", "C", "M")representam seu valor duplicado.

Exemplos:X = 10C = 100M = 1.000Se entre duas cifras quaisquer existe outramenor, o valor desta pertencerá a letra

seguinte a ela.Exemplos:XIX = 19LIV = 54CXXIX = 129O valor dos números romanos quandomultiplicados por mil, colocam-se barrashorizontais em cima dos mesmos.Exemplos:

Tabela de números romanos Números de 1 até 1449

Números de 1450 a 2100

Números maiores que 2100

Tabela de números romanos (de 1 até 1449)1 = I2 = II3 = III4 = IV

5 = V6 = VI7 = VII

484 = CDLXXXIV485 = CDLXXXV486 = CDLXXXVI487 = CDLXXXVII

488 = CDLXXXVIII489 = CDLXXXIX490 = CDXC

967 = CMLXVII968 = CMLXVIII969 = CMLXIX970 = CMLXX

971 = CMLXXI972 = CMLXXII973 = CMLXXIII

http://www.somatematica.com.br/tabela1.php








39

8 = VIII9 = IX10 = X11 = XI12 = XII13 = XIII

14 = XIV15 = XV16 = XVI17 = XVII18 = XVIII19 = XIX20 = XX21 = XXI22 = XXII23 = XXIII24 = XXIV25 = XXV26 = XXVI

27 = XXVII28 = XXVIII29 = XXIX30 = XXX31 = XXXI32 = XXXII33 = XXXIII34 = XXXIV35 = XXXV36 = XXXVI37 = XXXVII38 = XXXVIII39 = XXXIX

40 = XL41 = XLI42 = XLII43 = XLIII44 = XLIV45 = XLV46 = XLVI47 = XLVII48 = XLVIII49 = XLIX50 = L51 = LI52 = LII53 = LIII54 = LIV55 = LV56 = LVI57 = LVII58 = LVIII59 = LIX60 = LX61 = LXI62 = LXII63 = LXIII64 = LXIV65 = LXV66 = LXVI67 = LXVII

491 = CDXCI492 = CDXCII493 = CDXCIII494 = CDXCIV495 = CDXCV496 = CDXCVI

497 = CDXCVII498 = CDXCVIII499 = CDXCIX500 = D501 = DI502 = DII503 = DIII504 = DIV505 = DV506 = DVI507 = DVII508 = DVIII509 = DIX

510 = DX511 = DXI512 = DXII513 = DXIII514 = DXIV515 = DXV516 = DXVI517 = DXVII518 = DXVIII519 = DXIX520 = DXX521 = DXXI522 = DXXII

523 = DXXIII524 = DXXIV525 = DXXV526 = DXXVI527 = DXXVII528 = DXXVIII529 = DXXIX530 = DXXX531 = DXXXI532 = DXXXII533 = DXXXIII534 = DXXXIV535 = DXXXV536 = DXXXVI537 = DXXXVII538 = DXXXVIII539 = DXXXIX540 = DXL541 = DXLI542 = DXLII543 = DXLIII544 = DXLIV545 = DXLV546 = DXLVI547 = DXLVII548 = DXLVIII549 = DXLIX550 = DL

974 = CMLXXIV975 = CMLXXV976 = CMLXXVI977 = CMLXXVII978 = CMLXXVIII979 = CMLXXIX

980 = CMLXXX981 = CMLXXXI982 = CMLXXXII983 = CMLXXXIII984 = CMLXXXIV985 = CMLXXXV986 = CMLXXXVI987 = CMLXXXVII988 = CMLXXXVIII989 = CMLXXXIX990 = CMXC991 = CMXCI992 = CMXCII

993 = CMXCIII994 = CMXCIV995 = CMXCV996 = CMXCVI997 = CMXCVII998 = CMXCVIII999 = CMXCIX1000 = M1001 = MI1002 = MII1003 = MIII1004 = MIV1005 = MV

1006 = MVI1007 = MVII1008 = MVIII1009 = MIX1010 = MX1011 = MXI1012 = MXII1013 = MXIII1014 = MXIV1015 = MXV1016 = MXVI1017 = MXVII1018 = MXVIII1019 = MXIX1020 = MXX1021 = MXXI1022 = MXXII1023 = MXXIII1024 = MXXIV1025 = MXXV1026 = MXXVI1027 = MXXVII1028 = MXXVIII1029 = MXXIX1030 = MXXX1031 = MXXXI1032 = MXXXII1033 = MXXXIII



40

68 = LXVIII69 = LXIX70 = LXX71 = LXXI72 = LXXII73 = LXXIII

74 = LXXIV75 = LXXV76 = LXXVI77 = LXXVII78 = LXXVIII79 = LXXIX80 = LXXX81 = LXXXI82 = LXXXII83 = LXXXIII84 = LXXXIV85 = LXXXV86 = LXXXVI

87 = LXXXVII88 = LXXXVIII89 = LXXXIX90 = XC91 = XCI92 = XCII93 = XCIII94 = XCIV95 = XCV96 = XCVI97 = XCVII98 = XCVIII99 = XCIX

100 = C101 = CI102 = CII103 = CIII104 = CIV105 = CV106 = CVI107 = CVII108 = CVIII109 = CIX110 = CX111 = CXI112 = CXII113 = CXIII114 = CXIV115 = CXV116 = CXVI117 = CXVII118 = CXVIII119 = CXIX120 = CXX121 = CXXI122 = CXXII123 = CXXIII124 = CXXIV125 = CXXV126 = CXXVI127 = CXXVII

551 = DLI552 = DLII553 = DLIII554 = DLIV555 = DLV556 = DLVI

557 = DLVII558 = DLVIII559 = DLIX560 = DLX561 = DLXI562 = DLXII563 = DLXIII564 = DLXIV565 = DLXV566 = DLXVI567 = DLXVII568 = DLXVIII569 = DLXIX

570 = DLXX571 = DLXXI572 = DLXXII573 = DLXXIII574 = DLXXIV575 = DLXXV576 = DLXXVI577 = DLXXVII578 = DLXXVIII579 = DLXXIX580 = DLXXX581 = DLXXXI582 = DLXXXII

583 = DLXXXIII584 = DLXXXIV585 = DLXXXV586 = DLXXXVI587 = DLXXXVII588 = DLXXXVIII589 = DLXXXIX590 = DXC591 = DXCI592 = DXCII593 = DXCIII594 = DXCIV595 = DXCV596 = DXCVI597 = DXCVII598 = DXCVIII599 = DXCIX600 = DC601 = DCI602 = DCII603 = DCIII604 = DCIV605 = DCV606 = DCVI607 = DCVII608 = DCVIII609 = DCIX610 = DCX

1034 = MXXXIV1035 = MXXXV1036 = MXXXVI1037 = MXXXVII1038 = MXXXVIII1039 = MXXXIX

1040 = MXL1041 = MXLI1042 = MXLII1043 = MXLIII1044 = MXLIV1045 = MXLV1046 = MXLVI1047 = MXLVII1048 = MXLVIII1049 = MXLIX1050 = ML1051 = MLI1052 = MLII

1053 = MLIII1054 = MLIV1055 = MLV1056 = MLVI1057 = MLVII1058 = MLVIII1059 = MLIX1060 = MLX1061 = MLXI1062 = MLXII1063 = MLXIII1064 = MLXIV1065 = MLXV

1066 = MLXVI1067 = MLXVII1068 = MLXVIII1069 = MLXIX1070 = MLXX1071 = MLXXI1072 = MLXXII1073 = MLXXIII1074 = MLXXIV1075 = MLXXV1076 = MLXXVI1077 = MLXXVII1078 = MLXXVIII1079 = MLXXIX1080 = MLXXX1081 = MLXXXI1082 = MLXXXII1083 = MLXXXIII1084 = MLXXXIV1085 = MLXXXV1086 = MLXXXVI1087 = MLXXXVII1088 = MLXXXVIII1089 = MLXXXIX1090 = MXC1091 = MXCI1092 = MXCII1093 = MXCIII



41

128 = CXXVIII129 = CXXIX130 = CXXX131 = CXXXI132 = CXXXII133 = CXXXIII

134 = CXXXIV135 = CXXXV136 = CXXXVI137 = CXXXVII138 = CXXXVIII139 = CXXXIX140 = CXL141 = CXLI142 = CXLII143 = CXLIII144 = CXLIV145 = CXLV146 = CXLVI

147 = CXLVII148 = CXLVIII149 = CXLIX150 = CL151 = CLI152 = CLII153 = CLIII154 = CLIV155 = CLV156 = CLVI157 = CLVII158 = CLVIII159 = CLIX

160 = CLX161 = CLXI162 = CLXII163 = CLXIII164 = CLXIV165 = CLXV166 = CLXVI167 = CLXVII168 = CLXVIII169 = CLXIX170 = CLXX171 = CLXXI172 = CLXXII173 = CLXXIII174 = CLXXIV175 = CLXXV176 = CLXXVI177 = CLXXVII178 = CLXXVIII179 = CLXXIX180 = CLXXX181 = CLXXXI182 = CLXXXII183 = CLXXXIII184 = CLXXXIV185 = CLXXXV186 = CLXXXVI187 = CLXXXVII

611 = DCXI612 = DCXII613 = DCXIII614 = DCXIV615 = DCXV616 = DCXVI

617 = DCXVII618 = DCXVIII619 = DCXIX620 = DCXX621 = DCXXI622 = DCXXII623 = DCXXIII624 = DCXXIV625 = DCXXV626 = DCXXVI627 = DCXXVII628 = DCXXVIII629 = DCXXIX

630 = DCXXX631 = DCXXXI632 = DCXXXII633 = DCXXXIII634 = DCXXXIV635 = DCXXXV636 = DCXXXVI637 = DCXXXVII638 = DCXXXVIII639 = DCXXXIX640 = DCXL641 = DCXLI642 = DCXLII

643 = DCXLIII644 = DCXLIV645 = DCXLV646 = DCXLVI647 = DCXLVII648 = DCXLVIII649 = DCXLIX650 = DCL651 = DCLI652 = DCLII653 = DCLIII654 = DCLIV655 = DCLV656 = DCLVI657 = DCLVII658 = DCLVIII659 = DCLIX660 = DCLX661 = DCLXI662 = DCLXII663 = DCLXIII664 = DCLXIV665 = DCLXV666 = DCLXVI667 = DCLXVII668 = DCLXVIII669 = DCLXIX670 = DCLXX

1094 = MXCIV1095 = MXCV1096 = MXCVI1097 = MXCVII1098 = MXCVIII1099 = MXCIX

1100 = MC1101 = MCI1102 = MCII1103 = MCIII1104 = MCIV1105 = MCV1106 = MCVI1107 = MCVII1108 = MCVIII1109 = MCIX1110 = MCX1111 = MCXI1112 = MCXII

1113 = MCXIII1114 = MCXIV1115 = MCXV1116 = MCXVI1117 = MCXVII1118 = MCXVIII1119 = MCXIX1120 = MCXX1121 = MCXXI1122 = MCXXII1123 = MCXXIII1124 = MCXXIV1125 = MCXXV

1126 = MCXXVI1127 = MCXXVII1128 = MCXXVIII1129 = MCXXIX1130 = MCXXX1131 = MCXXXI1132 = MCXXXII1133 = MCXXXIII1134 = MCXXXIV1135 = MCXXXV1136 = MCXXXVI1137 = MCXXXVII1138 = MCXXXVIII1139 = MCXXXIX1140 = MCXL1141 = MCXLI1142 = MCXLII1143 = MCXLIII1144 = MCXLIV1145 = MCXLV1146 = MCXLVI1147 = MCXLVII1148 = MCXLVIII1149 = MCXLIX1150 = MCL1151 = MCLI1152 = MCLII1153 = MCLIII



42

188 = CLXXXVIII189 = CLXXXIX190 = CXC191 = CXCI192 = CXCII193 = CXCIII

194 = CXCIV195 = CXCV196 = CXCVI197 = CXCVII198 = CXCVIII199 = CXCIX200 = CC201 = CCI202 = CCII203 = CCIII204 = CCIV205 = CCV206 = CCVI

207 = CCVII208 = CCVIII209 = CCIX210 = CCX211 = CCXI212 = CCXII213 = CCXIII214 = CCXIV215 = CCXV216 = CCXVI217 = CCXVII218 = CCXVIII219 = CCXIX

220 = CCXX221 = CCXXI222 = CCXXII223 = CCXXIII224 = CCXXIV225 = CCXXV226 = CCXXVI227 = CCXXVII228 = CCXXVIII229 = CCXXIX230 = CCXXX231 = CCXXXI232 = CCXXXII233 = CCXXXIII234 = CCXXXIV235 = CCXXXV236 = CCXXXVI237 = CCXXXVII238 = CCXXXVIII239 = CCXXXIX240 = CCXL241 = CCXLI242 = CCXLII243 = CCXLIII244 = CCXLIV245 = CCXLV246 = CCXLVI247 = CCXLVII

671 = DCLXXI672 = DCLXXII673 = DCLXXIII674 = DCLXXIV675 = DCLXXV676 = DCLXXVI

677 = DCLXXVII678 = DCLXXVIII679 = DCLXXIX680 = DCLXXX681 = DCLXXXI682 = DCLXXXII683 = DCLXXXIII684 = DCLXXXIV685 = DCLXXXV686 = DCLXXXVI687 = DCLXXXVII688 = DCLXXXVIII689 = DCLXXXIX

690 = DCXC691 = DCXCI692 = DCXCII693 = DCXCIII694 = DCXCIV695 = DCXCV696 = DCXCVI697 = DCXCVII698 = DCXCVIII699 = DCXCIX700 = DCC701 = DCCI702 = DCCII

703 = DCCIII704 = DCCIV705 = DCCV706 = DCCVI707 = DCCVII708 = DCCVIII709 = DCCIX710 = DCCX711 = DCCXI712 = DCCXII713 = DCCXIII714 = DCCXIV715 = DCCXV716 = DCCXVI717 = DCCXVII718 = DCCXVIII719 = DCCXIX720 = DCCXX721 = DCCXXI722 = DCCXXII723 = DCCXXIII724 = DCCXXIV725 = DCCXXV726 = DCCXXVI727 = DCCXXVII728 = DCCXXVIII729 = DCCXXIX730 = DCCXXX

1154 = MCLIV1155 = MCLV1156 = MCLVI1157 = MCLVII1158 = MCLVIII1159 = MCLIX

1160 = MCLX1161 = MCLXI1162 = MCLXII1163 = MCLXIII1164 = MCLXIV1165 = MCLXV1166 = MCLXVI1167 = MCLXVII1168 = MCLXVIII1169 = MCLXIX1170 = MCLXX1171 = MCLXXI1172 = MCLXXII

1173 = MCLXXIII1174 = MCLXXIV1175 = MCLXXV1176 = MCLXXVI1177 = MCLXXVII1178 = MCLXXVIII1179 = MCLXXIX1180 = MCLXXX1181 = MCLXXXI1182 = MCLXXXII1183 = MCLXXXIII1184 = MCLXXXIV1185 = MCLXXXV

1186 = MCLXXXVI1187 = MCLXXXVII1188 = MCLXXXVIII1189 = MCLXXXIX1190 = MCXC1191 = MCXCI1192 = MCXCII1193 = MCXCIII1194 = MCXCIV1195 = MCXCV1196 = MCXCVI1197 = MCXCVII1198 = MCXCVIII1199 = MCXCIX1200 = MCC1201 = MCCI1202 = MCCII1203 = MCCIII1204 = MCCIV1205 = MCCV1206 = MCCVI1207 = MCCVII1208 = MCCVIII1209 = MCCIX1210 = MCCX1211 = MCCXI1212 = MCCXII1213 = MCCXIII



43

248 = CCXLVIII249 = CCXLIX250 = CCL251 = CCLI252 = CCLII253 = CCLIII

254 = CCLIV255 = CCLV256 = CCLVI257 = CCLVII258 = CCLVIII259 = CCLIX260 = CCLX261 = CCLXI262 = CCLXII263 = CCLXIII264 = CCLXIV265 = CCLXV266 = CCLXVI

267 = CCLXVII268 = CCLXVIII269 = CCLXIX270 = CCLXX271 = CCLXXI272 = CCLXXII273 = CCLXXIII274 = CCLXXIV275 = CCLXXV276 = CCLXXVI277 = CCLXXVII278 = CCLXXVIII279 = CCLXXIX

280 = CCLXXX281 = CCLXXXI282 = CCLXXXII283 = CCLXXXIII284 = CCLXXXIV285 = CCLXXXV286 = CCLXXXVI287 = CCLXXXVII288 = CCLXXXVIII289 = CCLXXXIX290 = CCXC291 = CCXCI292 = CCXCII293 = CCXCIII294 = CCXCIV295 = CCXCV296 = CCXCVI297 = CCXCVII298 = CCXCVIII299 = CCXCIX300 = CCC301 = CCCI302 = CCCII303 = CCCIII304 = CCCIV305 = CCCV306 = CCCVI307 = CCCVII

731 = DCCXXXI732 = DCCXXXII733 = DCCXXXIII734 = DCCXXXIV735 = DCCXXXV736 = DCCXXXVI

737 = DCCXXXVII738 = DCCXXXVIII739 = DCCXXXIX740 = DCCXL741 = DCCXLI742 = DCCXLII743 = DCCXLIII744 = DCCXLIV745 = DCCXLV746 = DCCXLVI747 = DCCXLVII748 = DCCXLVIII749 = DCCXLIX

750 = DCCL751 = DCCLI752 = DCCLII753 = DCCLIII754 = DCCLIV755 = DCCLV756 = DCCLVI757 = DCCLVII758 = DCCLVIII759 = DCCLIX760 = DCCLX761 = DCCLXI762 = DCCLXII

763 = DCCLXIII764 = DCCLXIV765 = DCCLXV766 = DCCLXVI767 = DCCLXVII768 = DCCLXVIII769 = DCCLXIX770 = DCCLXX771 = DCCLXXI772 = DCCLXXII773 = DCCLXXIII774 = DCCLXXIV775 = DCCLXXV776 = DCCLXXVI777 = DCCLXXVII778 = DCCLXXVIII779 = DCCLXXIX780 = DCCLXXX781 = DCCLXXXI782 = DCCLXXXII783 = DCCLXXXIII784 = DCCLXXXIV785 = DCCLXXXV786 = DCCLXXXVI787 = DCCLXXXVII788 = DCCLXXXVIII789 = DCCLXXXIX790 = DCCXC

1214 = MCCXIV1215 = MCCXV1216 = MCCXVI1217 = MCCXVII1218 = MCCXVIII1219 = MCCXIX

1220 = MCCXX1221 = MCCXXI1222 = MCCXXII1223 = MCCXXIII1224 = MCCXXIV1225 = MCCXXV1226 = MCCXXVI1227 = MCCXXVII1228 = MCCXXVIII1229 = MCCXXIX1230 = MCCXXX1231 = MCCXXXI1232 = MCCXXXII

1233 = MCCXXXIII1234 = MCCXXXIV1235 = MCCXXXV1236 = MCCXXXVI1237 = MCCXXXVII1238 = MCCXXXVIII1239 = MCCXXXIX1240 = MCCXL1241 = MCCXLI1242 = MCCXLII1243 = MCCXLIII1244 = MCCXLIV1245 = MCCXLV

1246 = MCCXLVI1247 = MCCXLVII1248 = MCCXLVIII1249 = MCCXLIX1250 = MCCL1251 = MCCLI1252 = MCCLII1253 = MCCLIII1254 = MCCLIV1255 = MCCLV1256 = MCCLVI1257 = MCCLVII1258 = MCCLVIII1259 = MCCLIX1260 = MCCLX1261 = MCCLXI1262 = MCCLXII1263 = MCCLXIII1264 = MCCLXIV1265 = MCCLXV1266 = MCCLXVI1267 = MCCLXVII1268 = MCCLXVIII1269 = MCCLXIX1270 = MCCLXX1271 = MCCLXXI1272 = MCCLXXII1273 = MCCLXXIII



44

308 = CCCVIII309 = CCCIX310 = CCCX311 = CCCXI312 = CCCXII313 = CCCXIII

314 = CCCXIV315 = CCCXV316 = CCCXVI317 = CCCXVII318 = CCCXVIII319 = CCCXIX320 = CCCXX321 = CCCXXI322 = CCCXXII323 = CCCXXIII324 = CCCXXIV325 = CCCXXV326 = CCCXXVI

327 = CCCXXVII328 = CCCXXVIII329 = CCCXXIX330 = CCCXXX331 = CCCXXXI332 = CCCXXXII333 = CCCXXXIII334 = CCCXXXIV335 = CCCXXXV336 = CCCXXXVI337 = CCCXXXVII338 = CCCXXXVIII339 = CCCXXXIX

340 = CCCXL341 = CCCXLI342 = CCCXLII343 = CCCXLIII344 = CCCXLIV345 = CCCXLV346 = CCCXLVI347 = CCCXLVII348 = CCCXLVIII349 = CCCXLIX350 = CCCL351 = CCCLI352 = CCCLII353 = CCCLIII354 = CCCLIV355 = CCCLV356 = CCCLVI357 = CCCLVII358 = CCCLVIII359 = CCCLIX360 = CCCLX361 = CCCLXI362 = CCCLXII363 = CCCLXIII364 = CCCLXIV365 = CCCLXV366 = CCCLXVI367 = CCCLXVII

791 = DCCXCI792 = DCCXCII793 = DCCXCIII794 = DCCXCIV795 = DCCXCV796 = DCCXCVI

797 = DCCXCVII798 = DCCXCVIII799 = DCCXCIX800 = DCCC801 = DCCCI802 = DCCCII803 = DCCCIII804 = DCCCIV805 = DCCCV806 = DCCCVI807 = DCCCVII808 = DCCCVIII809 = DCCCIX

810 = DCCCX811 = DCCCXI812 = DCCCXII813 = DCCCXIII814 = DCCCXIV815 = DCCCXV816 = DCCCXVI817 = DCCCXVII818 = DCCCXVIII819 = DCCCXIX820 = DCCCXX821 = DCCCXXI822 = DCCCXXII

823 = DCCCXXIII824 = DCCCXXIV825 = DCCCXXV826 = DCCCXXVI827 = DCCCXXVII828 = DCCCXXVIII829 = DCCCXXIX830 = DCCCXXX831 = DCCCXXXI832 = DCCCXXXII833 = DCCCXXXIII834 = DCCCXXXIV835 = DCCCXXXV836 = DCCCXXXVI837 = DCCCXXXVII838 = DCCCXXXVIII839 = DCCCXXXIX840 = DCCCXL841 = DCCCXLI842 = DCCCXLII843 = DCCCXLIII844 = DCCCXLIV845 = DCCCXLV846 = DCCCXLVI847 = DCCCXLVII848 = DCCCXLVIII849 = DCCCXLIX850 = DCCCL

1274 = MCCLXXIV1275 = MCCLXXV1276 = MCCLXXVI1277 = MCCLXXVII1278 = MCCLXXVIII1279 = MCCLXXIX

1280 = MCCLXXX1281 = MCCLXXXI1282 = MCCLXXXII1283 = MCCLXXXIII1284 = MCCLXXXIV1285 = MCCLXXXV1286 = MCCLXXXVI1287 = MCCLXXXVII1288 = MCCLXXXVIII1289 = MCCLXXXIX1290 = MCCXC1291 = MCCXCI1292 = MCCXCII

1293 = MCCXCIII1294 = MCCXCIV1295 = MCCXCV1296 = MCCXCVI1297 = MCCXCVII1298 = MCCXCVIII1299 = MCCXCIX1300 = MCCC1301 = MCCCI1302 = MCCCII1303 = MCCCIII1304 = MCCCIV1305 = MCCCV

1306 = MCCCVI1307 = MCCCVII1308 = MCCCVIII1309 = MCCCIX1310 = MCCCX1311 = MCCCXI1312 = MCCCXII1313 = MCCCXIII1314 = MCCCXIV1315 = MCCCXV1316 = MCCCXVI1317 = MCCCXVII1318 = MCCCXVIII1319 = MCCCXIX1320 = MCCCXX1321 = MCCCXXI1322 = MCCCXXII1323 = MCCCXXIII1324 = MCCCXXIV1325 = MCCCXXV1326 = MCCCXXVI1327 = MCCCXXVII1328 = MCCCXXVIII1329 = MCCCXXIX1330 = MCCCXXX1331 = MCCCXXXI1332 = MCCCXXXII1333 = MCCCXXXIII



45

368 = CCCLXVIII369 = CCCLXIX370 = CCCLXX371 = CCCLXXI372 = CCCLXXII373 = CCCLXXIII

374 = CCCLXXIV375 = CCCLXXV376 = CCCLXXVI377 = CCCLXXVII378 = CCCLXXVIII379 = CCCLXXIX380 = CCCLXXX381 = CCCLXXXI382 = CCCLXXXII383 = CCCLXXXIII384 = CCCLXXXIV385 = CCCLXXXV386 = CCCLXXXVI

387 = CCCLXXXVII388 = CCCLXXXVIII389 = CCCLXXXIX390 = CCCXC391 = CCCXCI392 = CCCXCII393 = CCCXCIII394 = CCCXCIV395 = CCCXCV396 = CCCXCVI397 = CCCXCVII398 = CCCXCVIII399 = CCCXCIX

400 = CD401 = CDI402 = CDII403 = CDIII404 = CDIV405 = CDV406 = CDVI407 = CDVII408 = CDVIII409 = CDIX410 = CDX411 = CDXI412 = CDXII413 = CDXIII414 = CDXIV415 = CDXV416 = CDXVI417 = CDXVII418 = CDXVIII419 = CDXIX420 = CDXX421 = CDXXI422 = CDXXII423 = CDXXIII424 = CDXXIV425 = CDXXV426 = CDXXVI427 = CDXXVII

851 = DCCCLI852 = DCCCLII853 = DCCCLIII854 = DCCCLIV855 = DCCCLV856 = DCCCLVI

857 = DCCCLVII858 = DCCCLVIII859 = DCCCLIX860 = DCCCLX861 = DCCCLXI862 = DCCCLXII863 = DCCCLXIII864 = DCCCLXIV865 = DCCCLXV866 = DCCCLXVI867 = DCCCLXVII868 = DCCCLXVIII869 = DCCCLXIX

870 = DCCCLXX871 = DCCCLXXI872 = DCCCLXXII873 = DCCCLXXIII874 = DCCCLXXIV875 = DCCCLXXV876 = DCCCLXXVI877 = DCCCLXXVII878 = DCCCLXXVIII879 = DCCCLXXIX880 = DCCCLXXX881 = DCCCLXXXI882 = DCCCLXXXII

883 = DCCCLXXXIII884 = DCCCLXXXIV885 = DCCCLXXXV886 = DCCCLXXXVI887 = DCCCLXXXVII888 = DCCCLXXXVIII889 = DCCCLXXXIX890 = DCCCXC891 = DCCCXCI892 = DCCCXCII893 = DCCCXCIII894 = DCCCXCIV895 = DCCCXCV896 = DCCCXCVI897 = DCCCXCVII898 = DCCCXCVIII899 = DCCCXCIX900 = CM901 = CMI902 = CMII903 = CMIII904 = CMIV905 = CMV906 = CMVI907 = CMVII908 = CMVIII909 = CMIX910 = CMX

1334 = MCCCXXXIV1335 = MCCCXXXV1336 = MCCCXXXVI1337 = MCCCXXXVII1338 = MCCCXXXVIII1339 = MCCCXXXIX

1340 = MCCCXL1341 = MCCCXLI1342 = MCCCXLII1343 = MCCCXLIII1344 = MCCCXLIV1345 = MCCCXLV1346 = MCCCXLVI1347 = MCCCXLVII1348 = MCCCXLVIII1349 = MCCCXLIX1350 = MCCCL1351 = MCCCLI1352 = MCCCLII

1353 = MCCCLIII1354 = MCCCLIV1355 = MCCCLV1356 = MCCCLVI1357 = MCCCLVII1358 = MCCCLVIII1359 = MCCCLIX1360 = MCCCLX1361 = MCCCLXI1362 = MCCCLXII1363 = MCCCLXIII1364 = MCCCLXIV1365 = MCCCLXV

1366 = MCCCLXVI1367 = MCCCLXVII1368 = MCCCLXVIII1369 = MCCCLXIX1370 = MCCCLXX1371 = MCCCLXXI1372 = MCCCLXXII1373 = MCCCLXXIII1374 = MCCCLXXIV1375 = MCCCLXXV1376 = MCCCLXXVI1377 = MCCCLXXVII1378 = MCCCLXXVIII1379 = MCCCLXXIX1380 = MCCCLXXX1381 = MCCCLXXXI1382 = MCCCLXXXII1383 = MCCCLXXXIII1384 = MCCCLXXXIV1385 = MCCCLXXXV1386 = MCCCLXXXVI1387 = MCCCLXXXVII1388 = MCCCLXXXVIII1389 = MCCCLXXXIX1390 = MCCCXC1391 = MCCCXCI1392 = MCCCXCII1393 = MCCCXCIII



46

428 = CDXXVIII429 = CDXXIX430 = CDXXX431 = CDXXXI432 = CDXXXII433 = CDXXXIII

434 = CDXXXIV435 = CDXXXV436 = CDXXXVI437 = CDXXXVII438 = CDXXXVIII439 = CDXXXIX440 = CDXL441 = CDXLI442 = CDXLII443 = CDXLIII444 = CDXLIV445 = CDXLV446 = CDXLVI

447 = CDXLVII448 = CDXLVIII449 = CDXLIX450 = CDL451 = CDLI452 = CDLII453 = CDLIII454 = CDLIV455 = CDLV456 = CDLVI457 = CDLVII458 = CDLVIII459 = CDLIX

460 = CDLX461 = CDLXI462 = CDLXII463 = CDLXIII464 = CDLXIV465 = CDLXV466 = CDLXVI467 = CDLXVII468 = CDLXVIII469 = CDLXIX470 = CDLXX471 = CDLXXI472 = CDLXXII473 = CDLXXIII474 = CDLXXIV475 = CDLXXV476 = CDLXXVI477 = CDLXXVII478 = CDLXXVIII479 = CDLXXIX480 = CDLXXX481 = CDLXXXI482 = CDLXXXII483 = CDLXXXIII

911 = CMXI912 = CMXII913 = CMXIII914 = CMXIV915 = CMXV916 = CMXVI

917 = CMXVII918 = CMXVIII919 = CMXIX920 = CMXX921 = CMXXI922 = CMXXII923 = CMXXIII924 = CMXXIV925 = CMXXV926 = CMXXVI927 = CMXXVII928 = CMXXVIII929 = CMXXIX

930 = CMXXX931 = CMXXXI932 = CMXXXII933 = CMXXXIII934 = CMXXXIV935 = CMXXXV936 = CMXXXVI937 = CMXXXVII938 = CMXXXVIII939 = CMXXXIX940 = CMXL941 = CMXLI942 = CMXLII

943 = CMXLIII944 = CMXLIV945 = CMXLV946 = CMXLVI947 = CMXLVII948 = CMXLVIII949 = CMXLIX950 = CML951 = CMLI952 = CMLII953 = CMLIII954 = CMLIV955 = CMLV956 = CMLVI957 = CMLVII958 = CMLVIII959 = CMLIX960 = CMLX961 = CMLXI962 = CMLXII963 = CMLXIII964 = CMLXIV965 = CMLXV966 = CMLXVI

1394 = MCCCXCIV1395 = MCCCXCV1396 = MCCCXCVI1397 = MCCCXCVII1398 = MCCCXCVIII1399 = MCCCXCIX

1400 = MCD1401 = MCDI1402 = MCDII1403 = MCDIII1404 = MCDIV1405 = MCDV1406 = MCDVI1407 = MCDVII1408 = MCDVIII1409 = MCDIX1410 = MCDX1411 = MCDXI1412 = MCDXII

1413 = MCDXIII1414 = MCDXIV1415 = MCDXV1416 = MCDXVI1417 = MCDXVII1418 = MCDXVIII1419 = MCDXIX1420 = MCDXX1421 = MCDXXI1422 = MCDXXII1423 = MCDXXIII1424 = MCDXXIV1425 = MCDXXV

1426 = MCDXXVI1427 = MCDXXVII1428 = MCDXXVIII1429 = MCDXXIX1430 = MCDXXX1431 = MCDXXXI1432 = MCDXXXII1433 = MCDXXXIII1434 = MCDXXXIV1435 = MCDXXXV1436 = MCDXXXVI1437 = MCDXXXVII1438 = MCDXXXVIII1439 = MCDXXXIX1440 = MCDXL1441 = MCDXLI1442 = MCDXLII1443 = MCDXLIII1444 = MCDXLIV1445 = MCDXLV1446 = MCDXLVI1447 = MCDXLVII1448 = MCDXLVIII1449 = MCDXLIX



47

Tabela de números romanos (de 1450 até 2100)1450 = MCDL1451 = MCDLI1452 = MCDLII1453 = MCDLIII1454 = MCDLIV

1455 = MCDLV1456 = MCDLVI1457 = MCDLVII1458 = MCDLVIII1459 = MCDLIX1460 = MCDLX1461 = MCDLXI1462 = MCDLXII1463 = MCDLXIII1464 = MCDLXIV1465 = MCDLXV1466 = MCDLXVI1467 = MCDLXVII

1468 = MCDLXVIII1469 = MCDLXIX1470 = MCDLXX1471 = MCDLXXI1472 = MCDLXXII1473 = MCDLXXIII1474 = MCDLXXIV1475 = MCDLXXV1476 = MCDLXXVI1477 = MCDLXXVII1478 = MCDLXXVIII1479 = MCDLXXIX1480 = MCDLXXX1481 = MCDLXXXI1482 = MCDLXXXII1483 = MCDLXXXIII1484 = MCDLXXXIV1485 = MCDLXXXV1486 = MCDLXXXVI1487 = MCDLXXXVII1488 = MCDLXXXVIII1489 = MCDLXXXIX1490 = MCDXC1491 = MCDXCI1492 = MCDXCII1493 = MCDXCIII1494 = MCDXCIV1495 = MCDXCV1496 = MCDXCVI1497 = MCDXCVII1498 = MCDXCVIII1499 = MCDXCIX1500 = MD1501 = MDI1502 = MDII1503 = MDIII1504 = MDIV1505 = MDV

1506 = MDVI1507 = MDVII1508 = MDVIII

1668 = MDCLXVIII1669 = MDCLXIX1670 = MDCLXX1671 = MDCLXXI1672 = MDCLXXII

1673 = MDCLXXIII1674 = MDCLXXIV1675 = MDCLXXV1676 = MDCLXXVI1677 = MDCLXXVII1678 = MDCLXXVIII1679 = MDCLXXIX1680 = MDCLXXX1681 = MDCLXXXI1682 = MDCLXXXII1683 = MDCLXXXIII1684 = MDCLXXXIV1685 = MDCLXXXV

1686 = MDCLXXXVI1687 = MDCLXXXVII1688 = MDCLXXXVIII1689 = MDCLXXXIX1690 = MDCXC1691 = MDCXCI1692 = MDCXCII1693 = MDCXCIII1694 = MDCXCIV1695 = MDCXCV1696 = MDCXCVI1697 = MDCXCVII1698 = MDCXCVIII1699 = MDCXCIX1700 = MDCC1701 = MDCCI1702 = MDCCII1703 = MDCCIII1704 = MDCCIV1705 = MDCCV1706 = MDCCVI1707 = MDCCVII1708 = MDCCVIII1709 = MDCCIX1710 = MDCCX1711 = MDCCXI1712 = MDCCXII1713 = MDCCXIII1714 = MDCCXIV1715 = MDCCXV1716 = MDCCXVI1717 = MDCCXVII1718 = MDCCXVIII1719 = MDCCXIX1720 = MDCCXX1721 = MDCCXXI1722 = MDCCXXII1723 = MDCCXXIII

1724 = MDCCXXIV1725 = MDCCXXV1726 = MDCCXXVI

1886 = MDCCCLXXXVI1887 = MDCCCLXXXVII1888 = MDCCCLXXXVIII1889 = MDCCCLXXXIX1890 = MDCCCXC

1891 = MDCCCXCI1892 = MDCCCXCII1893 = MDCCCXCIII1894 = MDCCCXCIV1895 = MDCCCXCV1896 = MDCCCXCVI1897 = MDCCCXCVII1898 = MDCCCXCVIII1899 = MDCCCXCIX1900 = MCM1901 = MCMI1902 = MCMII1903 = MCMIII

1904 = MCMIV1905 = MCMV1906 = MCMVI1907 = MCMVII1908 = MCMVIII1909 = MCMIX1910 = MCMX1911 = MCMXI1912 = MCMXII1913 = MCMXIII1914 = MCMXIV1915 = MCMXV1916 = MCMXVI1917 = MCMXVII1918 = MCMXVIII1919 = MCMXIX1920 = MCMXX1921 = MCMXXI1922 = MCMXXII1923 = MCMXXIII1924 = MCMXXIV1925 = MCMXXV1926 = MCMXXVI1927 = MCMXXVII1928 = MCMXXVIII1929 = MCMXXIX1930 = MCMXXX1931 = MCMXXXI1932 = MCMXXXII1933 = MCMXXXIII1934 = MCMXXXIV1935 = MCMXXXV1936 = MCMXXXVI1937 = MCMXXXVII1938 = MCMXXXVIII1939 = MCMXXXIX1940 = MCMXL1941 = MCMXLI

1942 = MCMXLII1943 = MCMXLIII1944 = MCMXLIV



48

1509 = MDIX1510 = MDX1511 = MDXI1512 = MDXII1513 = MDXIII1514 = MDXIV

1515 = MDXV1516 = MDXVI1517 = MDXVII1518 = MDXVIII1519 = MDXIX1520 = MDXX1521 = MDXXI1522 = MDXXII1523 = MDXXIII1524 = MDXXIV1525 = MDXXV1526 = MDXXVI1527 = MDXXVII

1528 = MDXXVIII1529 = MDXXIX1530 = MDXXX1531 = MDXXXI1532 = MDXXXII1533 = MDXXXIII1534 = MDXXXIV1535 = MDXXXV1536 = MDXXXVI1537 = MDXXXVII1538 = MDXXXVIII1539 = MDXXXIX1540 = MDXL

1541 = MDXLI1542 = MDXLII1543 = MDXLIII1544 = MDXLIV1545 = MDXLV1546 = MDXLVI1547 = MDXLVII1548 = MDXLVIII1549 = MDXLIX1550 = MDL1551 = MDLI1552 = MDLII1553 = MDLIII1554 = MDLIV1555 = MDLV1556 = MDLVI1557 = MDLVII1558 = MDLVIII1559 = MDLIX1560 = MDLX1561 = MDLXI1562 = MDLXII1563 = MDLXIII1564 = MDLXIV1565 = MDLXV1566 = MDLXVI1567 = MDLXVII1568 = MDLXVIII

1727 = MDCCXXVII1728 = MDCCXXVIII1729 = MDCCXXIX1730 = MDCCXXX1731 = MDCCXXXI1732 = MDCCXXXII

1733 = MDCCXXXIII1734 = MDCCXXXIV1735 = MDCCXXXV1736 = MDCCXXXVI1737 = MDCCXXXVII1738 = MDCCXXXVIII1739 = MDCCXXXIX1740 = MDCCXL1741 = MDCCXLI1742 = MDCCXLII1743 = MDCCXLIII1744 = MDCCXLIV1745 = MDCCXLV

1746 = MDCCXLVI1747 = MDCCXLVII1748 = MDCCXLVIII1749 = MDCCXLIX1750 = MDCCL1751 = MDCCLI1752 = MDCCLII1753 = MDCCLIII1754 = MDCCLIV1755 = MDCCLV1756 = MDCCLVI1757 = MDCCLVII1758 = MDCCLVIII

1759 = MDCCLIX1760 = MDCCLX1761 = MDCCLXI1762 = MDCCLXII1763 = MDCCLXIII1764 = MDCCLXIV1765 = MDCCLXV1766 = MDCCLXVI1767 = MDCCLXVII1768 = MDCCLXVIII1769 = MDCCLXIX1770 = MDCCLXX1771 = MDCCLXXI1772 = MDCCLXXII1773 = MDCCLXXIII1774 = MDCCLXXIV1775 = MDCCLXXV1776 = MDCCLXXVI1777 = MDCCLXXVII1778 = MDCCLXXVIII1779 = MDCCLXXIX1780 = MDCCLXXX1781 = MDCCLXXXI1782 = MDCCLXXXII1783 = MDCCLXXXIII1784 = MDCCLXXXIV1785 = MDCCLXXXV1786 = MDCCLXXXVI

1945 = MCMXLV1946 = MCMXLVI1947 = MCMXLVII1948 = MCMXLVIII1949 = MCMXLIX1950 = MCML

1951 = MCMLI1952 = MCMLII1953 = MCMLIII1954 = MCMLIV1955 = MCMLV1956 = MCMLVI1957 = MCMLVII1958 = MCMLVIII1959 = MCMLIX1960 = MCMLX1961 = MCMLXI1962 = MCMLXII1963 = MCMLXIII

1964 = MCMLXIV1965 = MCMLXV1966 = MCMLXVI1967 = MCMLXVII1968 = MCMLXVIII1969 = MCMLXIX1970 = MCMLXX1971 = MCMLXXI1972 = MCMLXXII1973 = MCMLXXIII1974 = MCMLXXIV1975 = MCMLXXV1976 = MCMLXXVI

1977 = MCMLXXVII1978 = MCMLXXVIII1979 = MCMLXXIX1980 = MCMLXXX1981 = MCMLXXXI1982 = MCMLXXXII1983 = MCMLXXXIII1984 = MCMLXXXIV1985 = MCMLXXXV1986 = MCMLXXXVI1987 = MCMLXXXVII1988 = MCMLXXXVIII1989 = MCMLXXXIX1990 = MCMXC1991 = MCMXCI1992 = MCMXCII1993 = MCMXCIII1994 = MCMXCIV1995 = MCMXCV1996 = MCMXCVI1997 = MCMXCVII1998 = MCMXCVIII1999 = MCMXCIX2000 = MM2001 = MMI2002 = MMII2003 = MMIII2004 = MMIV



49

1569 = MDLXIX1570 = MDLXX1571 = MDLXXI1572 = MDLXXII1573 = MDLXXIII1574 = MDLXXIV

1575 = MDLXXV1576 = MDLXXVI1577 = MDLXXVII1578 = MDLXXVIII1579 = MDLXXIX1580 = MDLXXX1581 = MDLXXXI1582 = MDLXXXII1583 = MDLXXXIII1584 = MDLXXXIV1585 = MDLXXXV1586 = MDLXXXVI1587 = MDLXXXVII

1588 = MDLXXXVIII1589 = MDLXXXIX1590 = MDXC1591 = MDXCI1592 = MDXCII1593 = MDXCIII1594 = MDXCIV1595 = MDXCV1596 = MDXCVI1597 = MDXCVII1598 = MDXCVIII1599 = MDXCIX1600 = MDC

1601 = MDCI1602 = MDCII1603 = MDCIII1604 = MDCIV1605 = MDCV1606 = MDCVI1607 = MDCVII1608 = MDCVIII1609 = MDCIX1610 = MDCX1611 = MDCXI1612 = MDCXII1613 = MDCXIII1614 = MDCXIV1615 = MDCXV1616 = MDCXVI1617 = MDCXVII1618 = MDCXVIII1619 = MDCXIX1620 = MDCXX1621 = MDCXXI1622 = MDCXXII1623 = MDCXXIII1624 = MDCXXIV1625 = MDCXXV1626 = MDCXXVI1627 = MDCXXVII1628 = MDCXXVIII

1787 = MDCCLXXXVII1788 = MDCCLXXXVIII1789 = MDCCLXXXIX1790 = MDCCXC1791 = MDCCXCI1792 = MDCCXCII

1793 = MDCCXCIII1794 = MDCCXCIV1795 = MDCCXCV1796 = MDCCXCVI1797 = MDCCXCVII1798 = MDCCXCVIII1799 = MDCCXCIX1800 = MDCCC1801 = MDCCCI1802 = MDCCCII1803 = MDCCCIII1804 = MDCCCIV1805 = MDCCCV

1806 = MDCCCVI1807 = MDCCCVII1808 = MDCCCVIII1809 = MDCCCIX1810 = MDCCCX1811 = MDCCCXI1812 = MDCCCXII1813 = MDCCCXIII1814 = MDCCCXIV1815 = MDCCCXV1816 = MDCCCXVI1817 = MDCCCXVII1818 = MDCCCXVIII

1819 = MDCCCXIX1820 = MDCCCXX1821 = MDCCCXXI1822 = MDCCCXXII1823 = MDCCCXXIII1824 = MDCCCXXIV1825 = MDCCCXXV1826 = MDCCCXXVI1827 = MDCCCXXVII1828 = MDCCCXXVIII1829 = MDCCCXXIX1830 = MDCCCXXX1831 = MDCCCXXXI1832 = MDCCCXXXII1833 = MDCCCXXXIII1834 = MDCCCXXXIV1835 = MDCCCXXXV1836 = MDCCCXXXVI1837 = MDCCCXXXVII1838 = MDCCCXXXVIII1839 = MDCCCXXXIX1840 = MDCCCXL1841 = MDCCCXLI1842 = MDCCCXLII1843 = MDCCCXLIII1844 = MDCCCXLIV1845 = MDCCCXLV1846 = MDCCCXLVI

2005 = MMV2006 = MMVI2007 = MMVII2008 = MMVIII2009 = MMIX2010 = MMX

2011 = MMXI2012 = MMXII2013 = MMXIII2014 = MMXIV2015 = MMXV2016 = MMXVI2017 = MMXVII2018 = MMXVIII2019 = MMXIX2020 = MMXX2021 = MMXXI2022 = MMXXII2023 = MMXXIII

2024 = MMXXIV2025 = MMXXV2026 = MMXXVI2027 = MMXXVII2028 = MMXXVIII2029 = MMXXIX2030 = MMXXX2031 = MMXXXI2032 = MMXXXII2033 = MMXXXIII2034 = MMXXXIV2035 = MMXXXV2036 = MMXXXVI

2037 = MMXXXVII2038 = MMXXXVIII2039 = MMXXXIX2040 = MMXL2041 = MMXLI2042 = MMXLII2043 = MMXLIII2044 = MMXLIV2045 = MMXLV2046 = MMXLVI2047 = MMXLVII2048 = MMXLVIII2049 = MMXLIX2050 = MML2051 = MMLI2052 = MMLII2053 = MMLIII2054 = MMLIV2055 = MMLV2056 = MMLVI2057 = MMLVII2058 = MMLVIII2059 = MMLIX2060 = MMLX2061 = MMLXI2062 = MMLXII2063 = MMLXIII2064 = MMLXIV



50

1629 = MDCXXIX1630 = MDCXXX1631 = MDCXXXI1632 = MDCXXXII1633 = MDCXXXIII1634 = MDCXXXIV

1635 = MDCXXXV1636 = MDCXXXVI1637 = MDCXXXVII1638 = MDCXXXVIII1639 = MDCXXXIX1640 = MDCXL1641 = MDCXLI1642 = MDCXLII1643 = MDCXLIII1644 = MDCXLIV1645 = MDCXLV1646 = MDCXLVI1647 = MDCXLVII

1648 = MDCXLVIII1649 = MDCXLIX1650 = MDCL1651 = MDCLI1652 = MDCLII1653 = MDCLIII1654 = MDCLIV1655 = MDCLV1656 = MDCLVI1657 = MDCLVII1658 = MDCLVIII1659 = MDCLIX1660 = MDCLX

1661 = MDCLXI1662 = MDCLXII1663 = MDCLXIII1664 = MDCLXIV1665 = MDCLXV1666 = MDCLXVI1667 = MDCLXVII

1847 = MDCCCXLVII1848 = MDCCCXLVIII1849 = MDCCCXLIX1850 = MDCCCL1851 = MDCCCLI1852 = MDCCCLII

1853 = MDCCCLIII1854 = MDCCCLIV1855 = MDCCCLV1856 = MDCCCLVI1857 = MDCCCLVII1858 = MDCCCLVIII1859 = MDCCCLIX1860 = MDCCCLX1861 = MDCCCLXI1862 = MDCCCLXII1863 = MDCCCLXIII1864 = MDCCCLXIV1865 = MDCCCLXV

1866 = MDCCCLXVI1867 = MDCCCLXVII1868 = MDCCCLXVIII1869 = MDCCCLXIX1870 = MDCCCLXX1871 = MDCCCLXXI1872 = MDCCCLXXII1873 = MDCCCLXXIII1874 = MDCCCLXXIV1875 = MDCCCLXXV1876 = MDCCCLXXVI1877 = MDCCCLXXVII1878 = MDCCCLXXVIII

1879 = MDCCCLXXIX1880 = MDCCCLXXX1881 = MDCCCLXXXI1882 = MDCCCLXXXII1883 = MDCCCLXXXIII1884 = MDCCCLXXXIV1885 = MDCCCLXXXV

2065 = MMLXV2066 = MMLXVI2067 = MMLXVII2068 = MMLXVIII2069 = MMLXIX2070 = MMLXX

2071 = MMLXXI2072 = MMLXXII2073 = MMLXXIII2074 = MMLXXIV2075 = MMLXXV2076 = MMLXXVI2077 = MMLXXVII2078 = MMLXXVIII2079 = MMLXXIX2080 = MMLXXX2081 = MMLXXXI2082 = MMLXXXII2083 = MMLXXXIII

2084 = MMLXXXIV2085 = MMLXXXV2086 = MMLXXXVI2087 = MMLXXXVII2088 = MMLXXXVIII2089 = MMLXXXIX2090 = MMXC2091 = MMXCI2092 = MMXCII2093 = MMXCIII2094 = MMXCIV2095 = MMXCV2096 = MMXCVI

2097 = MMXCVII2098 = MMXCVIII2099 = MMXCIX2100 = MMC

Tabela de números romanos3000 MMM 30000 ____XXX

300000 ____CCC

4000 __IV

40000 __XL

400000 __CD

5000 _V

50000 _L

500000 _D

6000 __VI

60000 __LX

600000 __DC

7000 ___VII

70000 ___LXX

700000 ___DCC

8000 ___VIII

80000 ____LXXX

800000 ____DCCC

9000 __IX

90000 __XC

900000 __CM

10000 _X

100000 _C

1000000 __M

20000 ___

XX200000

__

CC



51

Grandezas – IntroduçãoEntendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As

grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o

comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais

grandezas. Por exemplo: Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a

velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são avelocidade e o tempo.

Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maiorfor o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são

o tempo e a produção.

Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos) Produção (Kg) 5 100 10 200 15 300 20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezassão variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.5 min ----> 100Kg10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.5 min ----> 100Kg15 min ----> 300Kg

Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente

proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza éigual a razão entre os valores correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razãoentre os dois valores correspondentes da outra grandeza.



52

Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio",

mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempocorrespondente, conforme a tabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s) 5 200 8 125 10 100 16 62,5 20 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezassão variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.

5 m/s ----> 200s10 m/s ----> 100s Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.

5 m/s ----> 200s20 m/s ----> 50s

Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente

proporcionais quandoa razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão

entre osvalores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual aoinverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Regra de três simplesRegra de três simples é um processo prático para resolver problemas queenvolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em

colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em

correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamenteproporcionais.



53

3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com

motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia.Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela: Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ªcoluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmarque as grandezas sãodiretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos umaoutra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos :

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um

determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso,se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela: Velocidade

(Km/h) Tempo (h)

400 3 480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ªcoluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar

que as grandezas sãoinversamente proporcionais. Assim sendo, colocamosuma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos :



54

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria secomprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$)

3 120 5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmarque as grandezas sãodiretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos :

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizoudeterminada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por dia Prazo para término(dias)

8 20 5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazopara término aumenta.

Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmarque as grandezas sãoinversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos :



55

Regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas,direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3

de areia. Em 5 horas,quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de

mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que secorrespondem:

Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª

coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.Observe que:Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número

de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número decaminhões. Portanto a relação édiretamente proporcional (seta para baixo na 3ªcoluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com oproduto das outras

razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos :

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias.Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela: Homens Carrinhos Dias

8 20 5 4 x 16

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta.Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).



56

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portantoa relação também édiretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).Devemos igualar a razão que contém o termo x com oproduto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos :

Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura.Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o temponecessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x.

Depois colocam-se flechasconcordantes para as grandezas diretamenteproporcionais com a incógnita e discordantes para asinversamenteproporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos :

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exercícios complementares Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios: 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10

torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de

carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir

um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, auma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar paraentregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

Dízimas periódicas



57

Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos,dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituemo período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas.

Exemplos:

(período: 5) (período: 3) (período: 12) São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

Período: 2 Parte não periódica: 0

Período: 4 Período não periódica: 15

Período: 23 Parte não periódica: 1

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma partenão periódica. Observações: Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período.Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica.

Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para

denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos:

Dízima Composta:

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantoszeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:



58

PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções

em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90são craques.

Razão centesimalToda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-

se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas

centesimais ou taxas percentuais.Considere o seguinte problema:João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual

(50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representaa porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um

determinado valor. Exemplos: Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.EXERCÍCIOS :



59

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi porR$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a

porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nosR$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor,

podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valorpor 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%,multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator deMultiplicação

10% 1,10

15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 *1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de

Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 *0,90 = R$ 9,00

Classificação dos polígonos



60

Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classificá-los.Se usarmos o número de ângulos ou o número de lados, teremos a seguintenomenclatura:

NÚMERO DE

LADOS(OU ÂNGULOS)

NOME DO POLÍGONO EM FUNÇÃO DO

NÚMERO DEÂNGULOS

EM FUNÇÃO DONÚMERO DE LADOS

3 triângulo trilátero 4 quadrângulo quadrilátero 5 pentágono pentalátero 6 hexágono hexalátero 7 heptágono heptalátero 8 octógono octolátero 9 eneágono enealátero

10 decágono decalátero 11 undecágono undecalátero 12 dodecágono dodecalátero 15 pentadecágono pentadecalátero 20 icoságono icosalátero

Área das figuras planas

Retângulo

Quadrado

Triângulo Paralelogramo

Trapézio Losango

Triângulo equilátero



61

Medidas de superfície Introdução

As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossasperguntas mais corriqueiras do cotidiano:

Qual a area desta sala? Qual a area desse apartamento?

Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essapiscina? Qual a area dessa quadra de futebol de salão? Qual a area pintada dessa parede?

Superfície e área Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessagrandeza, portanto, um número.

Metro Quadrado A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.

O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com1 metro de lado.

Múltiplos Unidade

Fundamental

Submúltiplos

quilômetrosquadrado

hectômetro

quadrado

decâmetro

quadrado

metroquadrado

decímetro

quadrado

centímetro

quadrado

milímetroquadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1.000.000m2

10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m

O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto odm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.

Exemplos:



62

1) Leia a seguinte medida: 12,56m2


12, 56

Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela

corresponde a uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2


1 78, 30

Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”

3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2


0, 91 70

Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

Medidas Agrárias

As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações,pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a ). Possui ummúltiplo, o hectare (ha ), e um submúltiplo, o centiare (ca ).

Unidadeagrária hectare (ha) are (a) centiare (ca)

Equivalênciade valor 100a 1a 0,01a

Lembre-se:1 ha = 1hm2 1a = 1 dam2 1ca = 1m2

Transformação de unidades No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de

superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamenteinferior:



63

Observe as seguintes transformações: transformar 2,36 m2 em mm2.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000

(100x100x100). 2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

transformar 580,2 dam2 em km2. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000

(100x100). 580,2 : 10.000 = 0,05802 km2

Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)

Medidas de volume Introdução

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de trêsdimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais,poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é

medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos Unidade

Fundamental

Submúltiplos

quilômetrocúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico

metro cúbico decímetro cúbico

centímetrocúbico

milímetrocúbico

km3 hm3

dam3 m3

dm3 cm3

mm3



64

1.000.000.000m3

1.000.000m3

1.000m3

1m3 0,001m3

0,000001m

3

0,000000001 m3

Leitura das medidas de volume A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às

medidas lineares. Devemos utilizar porem, tres algarismo em cada unidade noquadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s).Exemplos.

Leia a seguinte medida: 75,84m3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

75, 840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

Leia a medida: 0,0064dm3 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

0, 006 400

Lê-se "6400 centímetros cúbicos".

Transformação de unidades Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar

quecada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação: transformar 2,45 m3 para dm3.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000. 2,45 x 1.000 = 2.450 dm3

Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3) 2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3) 3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3) 4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3)



65

Medidas de capacidade A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando

enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é ovolume interno de um recipiente.

A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.

Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

1l = 1dm3

Múltiplos e submúltiplos do litro Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Relações 1l = 1dm3

1ml = 1cm3

1kl = 1m3

Leitura das medidas de capacidade Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal kl hl dal l dl cl ml

2, 4 7 8

Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".

Transformação de unidades Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrarque cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação: transformar 3,19 l para ml.

kl hl dal l dl cl ml Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000



66

(10x10x10). 3,19 x 1.000 = 3.190 ml

Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl)

2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l) 3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l) 4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l)

Equações de 2º grau Definições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x , toda equação da forma:

ax 2 + bx + c = 0; a , b , c IR e

Exemplo: x 2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x 2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 7x 2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. x 2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax ² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de umaequação do 2º grau na incógnita x ) chamamos a , b e c de coeficientes.

a é sempre o coeficiente de x ²; b é sempre o coeficiente de x , c é o coeficiente ou termo independente.

Equação completas e Incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: x ² - 9x + 20 = 0 e -x ² + 10x - 16 = 0 são equações completas. Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando

ambos são iguais a zero. Exemplos: x ² - 36 = 0

(b = 0) x ² - 10x = 0

(c = 0) 4x ² = 0

(b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes. Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação,transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjuntoverdade ouconjunto solução. Exemplos:

Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equaçãox ² - x - 2 = 0 ?

SoluçãoSubstituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e

verificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1 (-1)² - (-1) - 2 = 0

1 + 1 - 2 = 00 = 0

(V)

Para x = 0 0² - 0 - 2 = 00 - 0 -2 = 0-2 = 0

(F)



67

Para x = 1 1² - 1 - 2 = 01 - 1 - 2 = 0

-2 = 0 (F)

Para x = 2 2² - 2 - 2 = 04 - 2 - 2 = 0

0 = 0 (V)

Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x ² - 2px - 2 = 0.

SoluçãoSubstituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.

Logo, o valor de p é .

Resolução de equações incompletas Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.

Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duasimportantes propriedades dos números reais: 1ª Propriedade:

2ª Propriedade:

1º Caso: Equação do tipo . Exemplo:

Determine as raízes da equação , sendo .

SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .

2º Caso: Equação do tipoExemplos: Determine as raízes da equação , sendo U = IR.



68

Solução

De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um

número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.

Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.A partir da equação , em que a , b , c IR e , desenvolveremos

passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva). 1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por .

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:



69

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos:

resolução a equação:

Temos

Discriminante Denominamos discriminante o radical b 2 - 4ac que é representado pela letra grega

(delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .

O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo: Para quais valores de k a equação x ² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?

Solução



70

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter

Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo

O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assimrepresentadas:

Exemplo: Determine o valor de p , para que a equação x ² - (p - 1 ) x + p-2 = 0 possua raízes

iguais.Solução

Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

Logo, o valor de p é 3.

3º Caso: O discriminante é negativo .

O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes daequação são número complexos.

Exemplo: Para quais valores de m a equação 3x ² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?

Solução



71

Para que a equação não tenha raiz real devemos ter

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3. Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.

Para , a equação tem duas raízes reais iguais.

Para , a equação não tem raízes reais.

EQUAÇÕES LITERAIS As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termosindependentes indicados por outras letras são denominadas equações literais. As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, sãodenominadasparâmetros. Exemplos:

ax2+ bx + c = 0 incógnita: x parâmetro: a, b, c

ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: x parâmetro: a

Equações literais incompletas A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações

numéricas. Observe os exemplos: Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.

Solução 3x2 - 12m2 = 0

3x2 = 12m2 x2 = 4m2

x= Logo, temos:

Resolva a equação literal incompleta my 2 - 2aby=0,com m 0 , sendo y a variável. Solução

my 2 - 2aby = 0 y(my - 2ab)=0

Temos, portanto, duas soluções: y=0 ou

my - 2ab = 0 my = 2ab y=



72

Assim:

Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim

resolvido: my 2 - 2aby= 0 my 2 = 2aby my = 2ab

Desta maneira, obteríamos apenas a solução . O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y. Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando destamaneira a divisão por zero, que é um absurdo.

Equações literais completas As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara: Exemplo:

Resolva a equação: x 2 - 2abx - 3a 2 b 2 , sendo x a variável. Solução Temos a=1, b = -2ab e c=-3a 2 b 2

Portanto:

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessaequação.

Logo:

Observe as seguintes relações: Soma das raízes (S )



73

Produto das raízes (P )

Como ,temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos deaplicação dessas relações.

Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.Solução Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a

Assim: Assim:

Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma desuas raízes seja igual a 7.

Solução Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.

S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.

Determine o valor de m na equação 4x 2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízesseja igual a -2.

Solução Nesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.

P= x 1. x 2 = -2

Logo, o valor de m é . Determine o valor de k na equação 15x2 + k x + 1 = 0, para que a soma dos inversos

de suas raízes seja igual a 8.

Solução Considere x1 e x2 as raízes da equação.

A soma dos inversos das raízes corresponde a . Assim:



74

Logo, o valor de k é -8.

Determine os valores de m para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2= 0 admita:

a) raízes simétricas; b) raízes inversas.

Solução Se as raízes são simétricas, então S=0.

Se as raízes são inversas, então P=1.

COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES Considere a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0.

Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira. x - Sx + P= 0

Exemplos: Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

Solução A soma das raízes corresponde a:

S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5 O produto das raízes corresponde a:

P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14 A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.

Logo, x

2

- 5x - 14 = 0 é a equação procurada.



75

Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das

raízes é . Solução

Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz , a outra raíz

será .

Assim:

Logo, x 2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

FORMA FATORADA Considere a equação ax2 + bx + c = 0. Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equação ax 2 + bx + c = 0 é: a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos: Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.

Solução Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3. Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0 Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

Solução Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5. Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0

Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0. Solução



76

Como o , a equação não possui raízes reais. Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

EQUAÇÕES BIQUADRADAS Observe as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 0 9x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termoem x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos. Denominamos essas equações de equações biquadradas. Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax + bx + c = 0

Exemplos: x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 0 3x4 - 27 = 0

Cuidado! x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x sópossui expoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável,transformando-a numa equação do 2º grau.

Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equaçãobiquadrada.

Seqüência prática Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y. Resolva a equação ay2 + by + c = 0 Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c =

0.

Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dáorigem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhumaraiz real para a mesma. Exemplos:

Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0. Solução Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 - 13y + 36 = 0 Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=4 e y''=9 Como x2= y, temos:



77

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

Determine as raízes da equação biquadrada x

4

+ 4x

2

- 60 = 0. Solução Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 + 4y - 60 = 0 Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=6 e y''= -10 Como x2= y, temos:

Logo, temos para o conjunto verdade: .

Determine a soma das raízes da equação . Solução Utilizamos o seguinte artifício:

Assim: y2 - 3y = -2 y2 - 3y + 2 = 0

y'=1 e y''=2 Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das raízes é dada por:

Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0 Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada. Para isso, substituimos xn por y, obtendo:

ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo: resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.



78

Solução Fazendo x3=y, temos:

y2 + 117y - 1.000 = 0 Resolvendo a equação, obtemos:

y'= 8 e y''= - 125 Então:

Logo, V= {-5, 2 }.

Composição da equação biquadrada Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0 Exemplo:

Compor a equação biquadrada cujas raízes são:

Solução a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0 x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0 x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0

PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação

do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''. De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a

biquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -

.

3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .



79

EQUAÇÕES IRRACIONAIS Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equaçõessãoirracionais. Ou seja:

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la

inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação auma potência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se asraízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equaçãoirracional dada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação auma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada. Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

Solução

Logo, V= {58}.

Solução



80

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Solução



81

Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU Observe o seguinte problema: Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m 2.Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever: 8x + 4y = 64 2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192

Simplificando, obtemos: 2x + y = 16 1 x2 +xy = 48 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.



82

Podemos resolvê-lo pelo método a substituição: Assim: 2x + y = 16 1

y = 16 - 2x Substituindo y em 2 , temos:

x2 + x ( 16 - 2x) = 48 x 2 + 16x - 2x2 = 48

- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. x2 - 16x + 48 = 0 x'=4 e x''=12 Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y'=16 - 2 . 4 = 8 y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8). desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões daquadra:

Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m Largura =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:

Isolando y em 1 y - 3x = -1 y = 3x - 1

Substituindo em 2 x2 - 2x(3x - 1) = -3 x2 - 6x2 + 2x = -3-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1. 5x2 - 2x - 3 = 0

x'=1 e x''=- Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:

PROBLEMAS DO 2º GRAU Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas: Sequência prática

Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para alinguagem matemática.

Resolva a equação ou o sistema de equações. Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do

problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:



83

Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos

seja .

Solução

Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão

representados por .

Temos estão a equação: . Resolvendo-a:

Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro. Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos,obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

Solução Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por10y + x. Observe:

Número: 10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.

Temos, então, o sistema de equações:

Resolvendo o sistema, temos:

Isolando y em 1 : -x + y = 3 y= x + 3

Substituindo y em 2:



84

xy = 18x ( x + 3) = 18x2 + 3x = 18x2 + 3x - 18 = 0x'= 3 e x''= -6 Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'= 3 + 3 = 6 y''= -6 + 3 = -3 Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}. Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema onúmero 36 ( x=3 e y=6). Resposta: O número procurado é 36.

duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas maisque a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanqueisoladamente.

Solução Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a2ª torneira encher o tanque. Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equaçãocorrespondente:

Resolvendo-a, temos: 6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 ) 6x + 30 + 6x = x2 + 5x x2 - 7x - 30 = 0 x'= - 3 e x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10. Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentesrecebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavampresentes nesse jantar?

Solução Podemos representar por:

Resolvendo-a:



85

Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15pessoas estavam presentes no jantar.

Numeração decimal Introdução

A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros.

Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a

uma outra forma de representação dos números racionais fracionários. A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquantoa forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète.

O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe quenos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal. Frações Decimais Observe as frações:

Os denominadores são potências de 10. Assim:

Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentampotências de 10 no denominador.

Numeração decimal Números Decimais

O francês Viète (1540 - 1603) desenvolveu um método para escrever as frações decimais;no lugar de frações, Viète escreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, éutilizado até hoje.

Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais:

Fração Decimal = Números Decimais



86

= 0,1

= 0,01

= 0,001

= 0,0001


= 0,5

= 0,05

= 0,005

= 0,0005


= 11,7

= 1,17

= 0,117

= 0,0117

Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números decimais.Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Numeração decimal Leitura dos números decimais No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma

posição ou ordem com as seguintes denominações:



87

Centenas Dezenas Unidades Décimos Centésimos Milésimos Décimosmilésimos

Centésimosmilésimos Milionésimos

Partes inteiras Partes decimais

Leitura Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras: décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal;centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais;milésimos......................................... : quando houver três casas decimais;décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais;centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim

sucessivamente. Exemplos: 1,2: um inteiro e dois décimos;

2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal. Exemplos: 0,1 : um décimo;0,79 : setenta e nove centésimos

Observação: 1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura donúmero 5,53: Leitura convencional: cinco inteiros e cinquenta e três centésimos;

Outras formas: quinhentos e cinquenta e três centésimos;cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos.

2. Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após oúltimo algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos:

4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00

Numeração decimal Transformação de números decimais em frações decimais

Observe os seguintes números decimais:

0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, .

0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja, .

5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, .

0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja,Verifique então que:



88

Assim: Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o

número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zerosquantas forem as casas decimais.

Transformação de fração decimal em número decimal Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

Podemos concluir, então, que: Para se transformar uma fração decimal em número decimal,

basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem oszeros do denominador.

Numeração decimal

Decimais equivalentes As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, respectivamente. A seguir foram coloridas deverde escuro 4 e 40 destas parte, respectivamente. Observe:



89

Verificamos que 0,4 representa o mesmo que 0,40, ou seja, são decimais equivalentes.Logo, decimais equivalentes são aqueles que representam a mesma quantidade.

Exemplos:

0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000

2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000 95,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000

Dos exemplos acima, podemos concluir que: Um número não se altera quando se acrescenta ou se suprime

um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.

Comparação de números decimais Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou dedesigualdade entre eles. Consideremos dois casos:

1º Caso: As partes inteiras O maior é aquele que tem a maior parte inteira.

Exemplos: 3,4 > 2,943, pois 3 >2. 10,6 > 9,2342, pois 10 > 9.

2º Caso: As partes inteiras são iguais O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário

igualar inicialmente o número de casas decimais acrescentandozeros.

Exemplos: 0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), pois 75 > 70. 8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3.

Medidas de massa Introdução Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa: Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante

em qualquer lugar da terra ou fora dela. Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro

da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:

A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, éseis vezes maior na terra do que na lua.



90

Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior àgravidade lunar.

Obs: A palavra grama , empregada no sentido de "unidade de medida de massa de umcorpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".

Quilograma A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.

O quilograma (kg) é a massa de 1dm de água destiladaà temperatura de 4ºC.

Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na práticaograma como unidade principal de massa.

Múltiplos e Submúltiplos do grama

Múltiplos Unidadeprincipal Submúltiplos

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama kg hg dag g dg cg mg

1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade

imediatamente inferior. Exemplos: 1 dag = 10 g 1 g = 10 dg

Medidas de massa Relações Importantes

Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade. Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte

equivalência:

1 kg <=> 1dm <=> 1L São válidas também as relações: 1m3 <=> 1 Kl <=> 1t 1cm3 <=> 1ml <=> 1g

Observação: Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais:

1 arroba = 15 kg 1 tonelada (t) = 1.000 kg 1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg

Leitura das Medidas de Massa A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares.

Exemplos: Leia a seguinte medida: 83,732 hg kg hg dag g dg cg mg 8 3, 7 3 1

Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas". Leia a medida: 0,043g

kg hg dag g dg cg mg 0, 0 4 3

Lê-se " 43 miligramas".

Medidas de massa Transformação de Unidades



91

Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidadeimediatamente inferior.

Observe as Seguintes transformações: Transforme 4,627 kg em dag.

kg hg dag g dg cg mg Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10

x 10). 4,627 x 100 = 462,7

Ou seja: 4,627 kg = 462,7 dag

Observação: Peso bruto: peso do produto com a embalagem.Peso líquido: peso somente do produto.

Medidas de tempo Introdução

É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo: Qual a duração dessa partida de futebol? Qual o tempo dessa viagem? Qual a duração desse curso? Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de

medida de tempo. A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.

Segundo O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as

sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.

O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio. As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

Múltiplos e Submúltiplos do Segundo

Quadro de unidades Múltiplos

minutos hora dia min h d 60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo: décimo de segundo

centésimo de segundo milésimo de segundo



92

Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema demedidas de tempo não é decimal.

Observe:

Medidas de tempo Outras importantes unidades de medida:

mês (comercial) = 30 dias ano (comercial) = 360 dias

ano (normal) = 365 dias e 6 horas ano (bissexto) = 366 dias

semana = 7 dias quinzena = 15 dias bimestre = 2 meses trimestre = 3 meses

quadrimestre = 4 meses

semestre = 6 meses biênio = 2 anos

lustro ou qüinqüênio = 5 anos década = 10 anos século = 100 anos

milênio = 1.000 anos

Medidas de Comprimento Sistema Métrico Decimal

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um delespossuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cadavez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Eranecessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes devários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgiaosistema métrico decimal.

Metro

A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecidoinicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do PóloNorte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotadooficialmente em 1928.

Múltiplos e Submúltiplos do Metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e

submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centie mili. Observe o quadro:

Múltiplos UnidadeFundamental Submúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m



93

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto ossubmúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão,utilizamos:

mícron (µ) = 10- m angströn ( ) = 10- m Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):

Ano-luz = 9,5 · 1012 km O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico

decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo: Pé = 30,48 cm Polegada = 2,54 cm Jarda = 91,44 cm Milha terrestre = 1.609 m Milha marítima = 1.852 m

Observe que: 1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés

Medidas de Comprimento

Leitura das Medidas de Comprimento A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de

unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m. Seqüência prática

1º) Escrever o quadro de unidades: km hm dam m dm cm mm

2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parteinteira sob a sua respectiva.

km hm dam m dm cm mm 1 5, 0 4 8

3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e aparte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

15 metros e 48 milímetros Outros exemplos:

6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"

82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e setecentímetros".

0,003 m lê-se "três milímetros".

Transformação de Unidades

Observe as seguintes transformações: Transforme 16,584hm em m.

km hm dam m dm cm mm Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10

x 10). 16,584 x 100 = 1.658,4 Ou seja: 16,584hm = 1.658,4m



94

Medidas de Comprimento Transforme 1,463 dam em cm.

km hm dam m dm cm mm Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por

1.000(10 x 10 x 10).

1,463 x 1.000 = 1,463 Ou seja: 1,463dam = 1.463cm.

Transforme 176,9m em dam. km hm dam m dm cm mm

Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10. 176,9 : 10 = 17,69

Ou seja: 176,9m = 17,69dam

Transforme 978m em km.

km hm dam m dm cm mm Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.

978 : 1.000 = 0,978 Ou seja:

978m = 0,978km. Observação:

Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemosinicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.

Medidas de Comprimento Perímetro de um Polígono

Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.

Perímetro do retângulo

b - base ou comprimento h - altura ou largura Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)

Perímetro dos polígonos regulares

Triângulo equilátero Quadrado P = l+ l + lP = 3 · l

P = l + l + l+ lP = 4 · l



95

Pentágono Hexágono P = l + l + l + l + l

P = 5 · P = l + l + l + l + l + l

P = 6 · l l - medida do lado do polígono regularP - perímetro do polígono regular

Para um polígono de n lados, temos: P = n · l

Comprimento da Circunferência

Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se:Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros?

Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante.Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda.

Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor umpouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento porum processo não experimental.

Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática: Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu

diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14.

Assim:O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a

primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14.



96

Logo:Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer

circunferência.Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da todaobtido experimentalmente.

C = 2 r C = 2 3,14 · 20 · C = 125,6 cm 3,141592...

Média aritmética simples A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição

mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia quequalquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjuntode valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultadopelonúmero de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ouseja, a média de n números é sua soma dividida por n.

Média ponderada Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a

mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. Noentanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, ocálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo demédia chama-se média aritmética ponderada.

Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor doconjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa. DEFINIÇÃO DE MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA:

A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x1, x2, x3, ..., xn cuja importânciarelativa ("peso") é respectivamente p1, p2, p3, ..., pn é calculada da seguinte maneira:

p =EXEMPLO: Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas dePortuguês, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2,respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 emBiologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve?

p = Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45.

Números racionais

Racionais Positivos e Racionais Negativos O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números racionais positivos e números racionais negativos que sejamquocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois números inteiros,

com divisor diferente de zero. Por exemplo:



97

(+17) : (-4) =

é um número racional negativo

Números Racionais Positivos Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.

(+8) : (+5)

(-3) : (-5)

Números Racionais Negativos

São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

(-8) : (+5)

(-3) : (+5)

Números Racionais: Escrita Fracionária

têm valor igual a e representam o número

racional .

Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito naforma fracionária:

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisordiiferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na formafracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.

Conjunto dos números racionais O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e

ozero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionaise érepresentado por Q.

Exemplos:

Observe o desenho abaixo:



98

O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z. Outros subconjuntos de Q:

Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero; Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero; Q- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero; Q+

* é o conjunto dos números racionais e positivos; Q-

* é o conjunto dos números racionais negativos.

Operações com números racionais

Adição e Subtração Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas.

Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma formacomo fazemos com os números inteiros.

Exemplo 1: Qual é a soma:

Exemplo 2: Calcule o valor da expressão

Multiplicação e divisão Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e

denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:



99

Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso dasegunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente,

estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplosabaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicandoessa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

Tabuadas

1 2 3 4 5 1x1 = 11x2 = 21x3 = 31x4 = 41x5 = 51x6 = 61x7 = 71x8 = 81x9 = 9

1x10 = 10

2x1 = 22x2 = 42x3 = 62x4 = 82x5 = 102x6 = 122x7 = 142x8 = 162x9 = 182x10 = 20

3x1 = 33x2 = 63x3 = 93x4 = 123x5 = 153x6 = 183x7 = 213x8 = 243x9 = 273x10 = 30

4x1 = 44x2 = 84x3 = 124x4 = 164x5 = 204x6 = 244x7 = 284x8 = 324x9 = 364x10 = 40

5x1 = 55x2 = 105x3 = 155x4 = 205x5 = 255x6 = 305x7 = 355x8 = 405x9 = 455x10 = 50



100

6 7 8 9 10 6x1 = 66x2 = 126x3 = 186x4 = 246x5 = 306x6 = 366x7 = 426x8 = 486x9 = 546x10 = 60

7x1 = 77x2 = 147x3 = 217x4 = 287x5 = 357x6 = 427x7 = 497x8 = 567x9 = 637x10 = 70

8x1 = 88x2 = 168x3 = 248x4 = 328x5 = 408x6 = 488x7 = 568x8 = 648x9 = 728x10 = 80

9x1 = 99x2 = 189x3 = 279x4 = 369x5 = 459x6 = 549x7 = 639x8 = 729x9 = 819x10 = 90

10x1 = 1010x2 = 2010x3 = 3010x4 = 4010x5 = 5010x6 = 6010x7 = 7010x8 = 8010x9 = 9010x10 =

100

Árabes, Cardinais e Ordinais

Números(árabes) Cardinais Ordinais 1 um primeiro 2 dois segundo 3 três terceiro 4 quatro quarto 5 cinco quinto 6 seis sexto 7 sete sétimo 8 oito oitavo 9 nove nono 10 dez décimo

11 onze décimo primeiro 12 doze décimo segundo 13 treze décimo terceiro 14 catorze décimo quarto 15 quinze décimo quinto 16 dezesseis décimo sexto 17 dezessete décimo sétimo 18 dezoito décimo oitavo 19 dezenove décimo nono 20 vinte vigésimo 21 vinte e um vigésimo primeiro 30 trinta trigésimo 40 quarenta quadragésimo 50 cinquenta quinquagésimo 60 sessenta sexagésimo 70 setenta septuagésimo 80 oitenta octogésimo 90 noventa nonagésimo 100 cem centésimo 200 duzentos ducentésimo 300 trezentos tricentésimo 400 quatrocentos quadrigentésimo 500 quinhentos quingentésimo 600 seiscentos seiscentésimo 700 setecentos septigentésimo 800 oitocentos octigentésimo 900 novecentos nongentésimo



101

1000 mil milésimo 10 000 dez mil dez milésimos 100 000 cem mil cem milésimos

1 000 000 um milhão milionésimo

Razões trigonométricas Catetos e Hipotenusa Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos. Observe a figura:

Hipotenusa:

Catetos: e

Seno, Cosseno e Tangente Considere um triângulo retângulo BAC :

Hipotenusa: , m( ) = a. Catetos: , m( ) = b.

, m( ) = c. Ângulos: , e .

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razõestrigonométricas:

Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e

a medida da hipotenusa.

Assim:



102

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esseângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:

Razões trigonométricas Tangente

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medidado cateto adjacente a esse ângulo.

Assim:



103

Exemplo:

Observações: 1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo

e o seu cosseno. Assim:

2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo. 3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores

que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.

As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º Considere as figuras:



104

quadrado de lado l e diagonalTriângulo eqüilátero de lado I e

altura

Seno, cosseno e tangente de 30º Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 45º Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente´para um ângulo de 45º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 60º Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:



105

Resumindo x sen x cos x tg x

30º

45º

60º

Semelhança de Polígonos Introdução

Observe as figuras:

Figura A

Figura B

Figura C Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três retângulos tem a

mesma forma, mas de tamanhos diferentes.Dizemos que esse mapas são figuras semelhantes.Nessas figuras podemos identificar:

AB - distância entre A e B (comprimento do retângulo)CD - distância entre C e D (largura do retângulo)

- ângulos agudos formados pelos segmentos

Medindo os segmentos de reta e e os ângulos ( ) das figuras, podemosorganizar a seguinte tabela:

m ( ) m ( ) ângulo



106

Fig. C 3,9 cm 1,3 cm = 90º Fig. B 4,5 cm 1,5 cm = 90º Fig. A 6,0 cm 2,0 cm = 90º

Observe que:

Os ângulos correspondente nas três figuras têm medidas iguais; As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;

Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes em geometriaquando:

os ângulos correspondentes têm medidas iguais ; as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais; os elementos das figuras são comuns. Outro exemplos de figuras semelhantes:

têm formas iguais e tamanhos diferentes.

Semelhança de Polígonos Polígonos Semelhantes

Considere os polígonos ABCD e A'B 'C 'D ', nas figuras:

Observe que:



107

os ângulos correspondentes são congruentes:

os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:

ou

Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B 'C 'D ' são semelhantes e indicamos:ABCD ~ A'B 'D 'C ' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B 'D 'C ' ")

Ou seja: Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes sãocongruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão desemelhança, ou seja:

A razão de semelhança dos polígonos considerados éObs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são

satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais.Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.

Semelhança de Polígonos Propriedades

Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros éigual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos

polígonos. Demonstração: Sendo ABCD ~ A'B 'C 'D ', temos que:

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados:Perímetro de ABCDE (2p ) = AB + BC + CD + DE + EAPerímetro de A'B 'C 'D'E' (2p ') = A'B ' + B 'C ' + C 'D ' + D 'E ' + E 'A'

Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:



108

Exemplo: Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a

um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo. Solução

Razão de semelhança =

Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.

Operações com números racionais decimais Adição Considere a seguinte adição:

1,28 + 2,6 + 0,038 Transformando em frações decimais, temos:

Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais.

Exemplos: 1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007

Subtração Considere a seguinte subtração:

3,97 - 2,013 Transformando em fração decimais, temos:

Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;

3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada comas demais. Exemplos:



109

3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987

Operações com números racionais decimais Multiplicação Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5

Transformando em fração decimais, temos:Método prático

Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamosa vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto sejaigual à soma dos números de casas decimais do fatores.

Exemplos: 3,49 · 2,5

1,842 · 0,013

Observação: 1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método

prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual aonúmero de casas decimais do fator decimal. Exemplo:

5 · 0,423 = 2,115 2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgulapara

a direita uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:



110

3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos

0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = = 580%

Operações com números racionais decimais Divisão

1º: Divisão exata Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05

Transformando em frações decimais, temos:Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;2º) Suprimimos as vírgulas;3º) Efetuamos a divisão.

Exemplos: 1,4 : 0,05

Igualamos as casa decimais: 1,40 : 0,05 Suprimindo as vírgulas: 140 : 5 Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28.

Efetuado a divisão

6 : 0,015

Igualamos as casas decimais 6,000 : 0,015 Suprimindo as vírgulas 6.000 : 15 Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400.

Efetuando a divisão

4,096 : 1,6

Igualamos as casas decimais 4,096 : 1,600 Suprimindo as vírgulas 4.096 : 1.600


Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades.Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para adeterminação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamosum zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 décimos.



111

Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto,uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos.

O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo. Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56.

Operações com números racionais decimais

0,73 : 5

Igualamos as casas decimais 0,73 : 5,00

Suprimindo as vírgulas 73 : 500


Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no quociente e acrescentamosum zeroà direita do três. Assim:

Continuamos a divisão, obtemos:

Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146.

Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda não torna possível a divisão.Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e acrescentar mais um zero ao resto.Exemplos:

2,346 : 2,3 Verifique 460 (décimos) é inferior ao divisor(2.300). Colocamos, então, um zero noquociente e acrescentamos mais um zero ao

resto.

Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02.

Observação: Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para aesquerda uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:



112

Operações com números racionais decimais 2º : Divisão não-exata

No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente aproximado por falta ou porexcesso.

Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21:

Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que umaunidade, pois o quociente real encontra-se entre 3 e 4.

Logo:

Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que: 3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade.4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade.

Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos:

Podemos afirmar que: 3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um décimo.3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um décimo.

Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos:

Podemos afirmar que: 3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um centésimo.3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um centésimo.

Observação: 1. As expressões têm o mesmo significado:

- Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou aproximação de décimos.- Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou aproximação de centésimos e,

assim, sucessivamente.



113

2. Determinar um quociente com aproximação de décimos, centésimos ou milésimossignifica interromper a divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal doquociente, respectivamente. Exemplos:

13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos)13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos)13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo)

Cuidado! No caso de ser pedido um quociente com aproximação de uma divisão exata, devemoscompletar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do quociente necessária(s) para atingir talaproximação. Exemplo:

O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é

Operações com números racionais decimais Representação Decimal de uma Fração Ordinária

Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para issodividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos:

Converta em número decimal.

Logo, é igual a 0,75 que é um decimal exato.


Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples.


Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta. Dízima Periódicas Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo:



114

= 0,333... = 0,8333... Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos,

dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízimaperiódica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o período

dessadízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimasperiódicascompostas. Exemplos:

= 0,555... (Período: 5) = 2,333... (Período: 3) = 0,1212... (Período: 12) São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

= 0,0222...Período: 2 Parte não periódica: 0



São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma partenão periódica. Observações

1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e operíodo. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

2. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

0,555... ou ou 0,0222... ou ou

2,333... ou ou 1,15444... ou ou

0,121212... ou 0,1232323... ou


Geratriz de uma Dízima Periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica.

Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.Procedimentos para determinação de uma dízima:

Dízima simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o

período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos doperíodo.

Exemplos:

Dízima composto

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde:

n parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica.d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos detantos zeros quantos forem os algarismos da parte não-periódica.



115

Exemplo:

12,53262626... = 12 + 0,53262626... =


Potenciação As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural

seguem as mesma regras desta operação, já definidas. Assim: (3,5)2 = 3,5 · 3,5 = 12,25 (0,64)1 = 0,64 (0,4)3 = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064 (0,18)0 = 1

Raiz Quadrada A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando

o mesmo numa fração decimal. Assim:

Expressões Numéricas No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas

regras aplicadas às expressões com números fracionários.Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando

todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo:

= 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38

Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes.Exemplos:



116

Quadrilátero Definição:

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Quadrilátero ABCD

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.

Elementos Na figura abaixo, temos:

Quadrilátero ABCD

Vértices: A, B, C, e D.

Lados: Diagonais: Ângulos internos ou ângulos do

quadrilátero ABCD: .

Observações 1. Todo quadrilátero tem duas diagonais. 2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja:

AB + BC + CD + DA.

Côncavos e Convexos



117

Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra

o lado formado pelos dois outros vértices.

Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo

Quadrilátero Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo

A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º. Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.

Do triângulo ABD, temos : a + b1 + d1 = 180º. 1

Do triângulo BCD, temos: c + b2 + d2 = 180º. 2

Adicionando 1 com 2 , obtemos: a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180ºa + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º a + b + c + d = 360º

Observações 1.Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer

polígono convexo: Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono. 2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.

Se = 360º

Quadriláteros Notáveis Paralelogramo

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Exemplo:



118

h é a altura do paralelogramo.

O ponto de intersecção das diagonais (E ) é chamado centro de simetria.Destacamos alguns paralelogramos:

Quadrilátero Retângulo

Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos). Exemplo:

Losango Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.

Exemplo:

Quadrado Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro

ângulos são congruentes. Exemplo:



119

É o único quadrilátero regular. É, simultaneamenteretângulo e losango.

Trapézio o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.

Exemplo:

Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.

Quadrilátero Destacamos alguns trapézios: Trapézio retângulo

É aquele que apresenta dois ângulos retos. Exemplo:



120

Trapézio isósceles É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes.

Exemplo:

Trapézio escaleno

É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes. Exemplo:

Quadrilátero Propriedades dos Paralelogramos

1ª Propriedade Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.



121

H : ABCD é paralelogramo.

T :

Demonstração Afirmativa Justificativa

1. Segmentos de paralelas entre paralelas.

2. Segmentos de paralelas entre paralelas.

2ª Propriedade Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

H: ABCD é paralelogramo. T:


1. Hipótese.

2. Hipótese.

3. Lado comum.

4. Caso L.L.L.

3ª Propriedade As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.



122

H: ABCD é paralelogramo

T:


1. é diagonal (2ª propriedade)

2. Ângulos correspondentes em triânguloscongruentes.

3. Ângulos correspondentes em triânguloscongruentes.

4.

5.

Quadrilátero

4ª Propriedade As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

H: ABCD é paralelogramo.

T:


1. Ângulos alternos internos.

2. Lados opostos (1ª propriedade).

3. Ângulos alternos internos.

4. Caso A.L.A..



123

5. Lados correspondentes em triânguloscongruentes.

Resumindo: Num paralelogramo:

os lados opostos são congruentes; cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; os ângulos opostos são congruentes; as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.

Propriedade característica do retângulo. As diagonais de um retângulo são congruentes.

T: ABCD é retângulo.

H: .

Ângulos O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS

Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesmaorigem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.

Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duassemi-retas determinam dois ângulos:

Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam.O vértice é a origem comum dessas semi-retas.



124

O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.

Ângulos Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesmareta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de umavolta.

As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos oude meia-volta.

Podemos, então, estabelecer que:



125

ngulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.

MEDIDA DE UM ÂNGULO A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de

medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.

Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais,determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulode 1º grau (1º).

Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vemgraduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º ede 360º. O grau compreende os submúltiplos:

O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.

1º=60'

O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.

1'=60'' Logo, podemos concluir que:

1º = 60'.60 = 3.600'' Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistemasexagesimal.

Ângulos Como medir um ângulo, utilizando o transferidor Observe a seqüência

O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo. A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do

ângulo .

Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .

Leitura de um ângulo



126

Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras: 15º (lê-se "15 graus'') 45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'') 30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')

Observações Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão.

Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado emnavegação. A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letraminúsculaou de um número.

Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º. O ângulo de uma volta mede 360º.

Questões envolvendo medidas de ângulos Observe a resolução das questões abaixo:

Determine a medida do ângulo AÔB na figura:

SoluçãoMedida de AÔB = x Medida de BÔC = 105º Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:

m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC) x + 105º = 180º

x = 180º - 105º x = 75º

Logo, a medida de AÔB é 75º.

Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:



127

Solução Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos,um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:

x + 50º = 360º x = 360º - 50º

x = 310º

Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º. Ângulos

Como construir um ângulo utilizando o transferidor Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:

Traçamos uma semi-reta .

Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A). Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.

Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º. Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais.

Eles podem ser desenhados com esquadro. TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistemasexagesimal. Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:

Transforme 30º em minutos. Solução Sendo 1º = 60', temos:

30º = 30 . 60'= 1.800 'Logo, 30º = 1.800

Transforme 5º35' em minutos. Solução

5º = 5 . 60' = 300'



128

300' + 35'= 335' Logo, 5º35'= 335'.

transforme 8º em segundos. Solução Sendo 1º = 60', temos:

8º = 8 . 60'= 480 'Sendo 1'= 60'', temos: 480'= 480 . 60'' = 28.800''

Logo, 8º = 28.800''.

Transforme 3º35' em segundos. Solução

3º = 3 . 60'= 180' 180' + 35' = 215' 215' . 60'' = 12.900''

Logo, 3º35'= 12.900'' Transforme 2º20'40'' em segundos.

Solução 2º = 2 . 60' = 120' 120' + 20' = 140' 140'. 60''= 8.400'' 8.400'' + 40'' = 8.440''

Logo, 2º20'40'' = 8.440''

Ângulos Transformando uma medida de ângulo em número misto

Transforme 130' em graus e minutos. Solução

Transforme 150'' em minutos e segundos. Solução

Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos. Solução



129

Medidas fracionárias de um ângulo Transforme 24,5º em graus e minutos.

solução 0,5º = 0,5 . 60' = 30' 24,5º= 24º + 0,5º = 24º30'

Logo, 24,5º = 24º30'.

Transforme 45º36' em graus. solução

60' 1º

36' x

x = 0,6º (lê-se ''seis décimos de grau'') Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.

Transforme 5'54'' em minutos. Solução

60'' 1'

54'' xx = 0,9' ( lê-se ''nove décimos de minuto'')

Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'

Ângulos

OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS Observe alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos: Adição

30º48' + 45º10' 43º18'20'' + 25º20'30''



130

10º36'30'' + 23º45'50''

Simplificando 33º81'80'', obtemos:

Logo, a soma é 34º22'20''.

Subtração Observe os exemplos:

70º25' - 30º15

38º45'50'' - 27º32'35''

90º - 35º49'46''

80º48'30'' - 70º58'55''

Observe que:



131

Logo, a diferença é 9º 49'35''.

Ângulos Multiplicação por um número natural Observe os exemplos:

2 . ( 36º 25') 4 . ( 15º 12')

5 . ( 12º36'40'')

Logo, o produto é 63º3'20''.

Divisão por um número natural Observe os exemplos:

( 40º 20') : 2

( 45º20' ) : 4



132

( 50º17'30'' ) : 6

Ângulos ÂNGULOS CONGRUENTES Observe os ângulos abaixo:

Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemosfazer a seguinte indicação:

Assim:



133

Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

Propriedades da Congruência

Reflexiva:

Simétrica:

Transitiva:

Ângulos ÂNGULOS CONSECUTIVOS Observe a figura:

Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB. Verifique em cada uma das figuras abaixo que:

Os ângulos AÔC e CÔB possuem: Vértice comum: O

Lado comum:

Os ângulos AÔC e AÔB possuem:

Vértice comum: O Lado comum:



134

Os ângulos CÔB e AÔB possuem: Vértice comum: O

Lado comum:

Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominadosângulosconsecutivos. Assim:

Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.

Ângulos ÂNGULOS ADJACENTES Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontosinternos comuns

Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internoscomuns

Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internoscomuns

Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internoscomuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.

Assim: Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos



135

comuns.

Observação: Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:

Ângulos BISSETRIZ DE UM ÂNGULO Observe a figura abaixo:

m ( AÔC ) = m (CÔB ) = 20º

Verifique que a semi-reta divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB )congruentes.

Nesse caso, a semi-reta é denominada bissetriz do ângulo AÔB. Assim:

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide emdois outros ângulos congruentes.

Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo Determinação da bissetriz do ângulo AÔB.



136

Centramos o compasso em O ecom uma abertura determinamosos pontos C e D sobre as semi-

retas ,

respectivamente.

Centramos o compasso em C e De com uma abertura superior àmetade da distância de C a Dtraçamos arcos que se cruzam emE.

Traçamos , determinandoassim a bissetriz de AÔB.

Ângulos

ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto. Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:

Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:



137

Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:

RETAS PERPENDICULARESAs retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.

Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:

ObservaçãoDuas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos.

Exemplo:



138

Ângulos ÂNGULOS COMPLEMENTARES Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

Verifique que:

m (AÔB) + m (BÔC) = 90º Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares. Assim:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º. Exemplo:

Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º. Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre90º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo Complemento x 90º - x

Exemplo: Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?

Solução Medida do complemento = 90º - medida do ângulo Medida do complemento = 90º - 75º Medida do complemento = 15º Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.

Observação: Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes.Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares.



139

Ângulos ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

As semi-retas formam um ângulo raso. Verifique que: m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

Exemplo: Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º. Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa. Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença

entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo Suplemento X 180º - X

Exemplo:

Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?

Solução Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo Medida do suplemento = 180º - 55º Medida do suplemento = 125º Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.

Observação:



140

Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, alémde suplementares, são também adjacentes.Dizemos que esses ângulos são adjacentessuplementares.

Ângulos ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:

Verifique que:

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas

opostas aos lados do outro.

Na figura abaixo, vamos indicar:

Sabemos que: X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares) X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

Então:



141

Logo: y = k Assim:

m (AÔB) = m (CÔD) AÔB CÔD m (AÔD) = m (CÔB) AÔD CÔB

Daí a propriedade: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x- 40º. Qual é o valor de x?

Solução:

x + 60º = 3x - 40º ângulos o.p.v x - 3x = - 40º - 60º -2x = - 100º

x = 50º Logo, o valor de x é 50º.

TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos

: pertence : existe

: não pertence : não existe

: está contido: para todo (ou qualquer

que seja)

: não está contido : conjunto vazio

: contémN: conjunto dos númerosnaturais

: não contémZ : conjunto dos númerosinteiros

/ : tal queQ: conjunto dos números

racionais



142

: implica queQ'= I: conjunto dos númerosirracionais

: se, e somente se R : conjunto dos números reais

TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos das operações

: A intersecção B

: A união B

a - b: diferença de A com B

a < b: a menor que b: a menor ou igual a b

a > b: a maior que b

: a maior ou igual a b

: a e b

: a ou b

TEORIA DOS CONJUNTOS Conceitos de conjuntos

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representadopor { } ou .

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem aum outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B.Observações:

Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou

seja



143

União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A

e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos

pertencentes a A ou B, ou seja:

Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dosconjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos oselementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou

seja:

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre Ae B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos

pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja

Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se peoduto cartesiano A comB, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de

A e y é elemento de B, ou sejaNúmero de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, entãoexistirão 2n subconjuntos de A.

1 - A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta doano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) eaperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos,entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), Adolf Fraenkel(alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978),

Janos von Newman (húngaro - 1903 /1957), entre outros.



144

O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau eexigido em alguns vestibulares, é tão somente umaintroduçãoelementar à teoria dos conjuntos, base para o

desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações,funções, análise combinatória, probabilidades, etc

2 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, dedefinição.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P ={2,4,6,8,10,12, ... }.

Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dosseus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjuntotambém poderia ser representado por uma propriedade dos seuselementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto Pacima, poderíamos escrever:P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.

2.1 - Relação de pertinência:

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x A,onde o símbolo significa "pertence a".Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A ,indicamos esse fato com a notaçãoy A.

O conjunto que não possui elementos , é denominado conjuntovazio e representado por .Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio,define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos,denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.Assim é que, pode-se escrever como exemplos: = { x; x x} e U = {x; x = x}.



145

2.2 - Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um

conjunto B, então dizemos queA é subconjunto de B e indicamos isto por A B.

Notas: a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A A )b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. ( A)c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui2m subconjuntos.

d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjuntoA é denominadoconjunto das partes de A e é indicado por P(A).Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A)= { , {c}, {d}, {c,d}}e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

3 - Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujoselementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos,entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais,a saber:

3.1 - Conjunto dos números naturais

N = {0,1,2,3,4,5,6,... }

3.2 - Conjunto dos números inteiros

Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }Nota: é evidente que N Z.

3.3 - Conjunto dos números racionais

Q = {x | x = p/q com p Z , q Z e q 0 }. (o símbolo | lê-se

http://www.paulomarques.com.br/arq11-1.htm














146

como "tal que").Temos então que número racional é aquele que pode ser escritona forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com

o denominador diferente de zero.Lembre-se que não existe divisão por zero!.São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000,0,75=3/4, 0,333... = 1/3,7 = 7/1, etc.

Notas: a) é evidente que N Z Q.

b) toda dízima periódica é um número racional, pois é semprepossível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.Exemplo: 0,4444... = 4/9

3.4 - Conjunto dos números irracionais

Q' = {x | x é uma dízima não periódica}. (o símbolo | lê-se como"tal que").

Exemplos de números irracionais: = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento dequalquer circunferência e o seu diâmetro)2,01001000100001... (dízima não periódica) 3 = 1,732050807... (raiz não exata).

3.5 - Conjunto dos números reais

R = { x | x é racional ou x é irracional }.

Notas:a) é óbvio que N Z Q R b) Q' R c) um número real é racional ou irracional; não existe outrahipótese!

4 - Intervalos numéricos







147

Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todoconjunto de todos números reais compreendidos entre p e q ,

podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limitesdointervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude dointervalo.Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário,o intervalo é dito aberto.A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.

TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO

INTERVALO FECHADO [p;q] = {x R; p x q} inclui os limites p e q

INTERVALO ABERTO (p;q) = { x R; p x q} exclui os limites p e q

INTERVALO FECHADO AESQUERDA

[p;q) = { x R; p x q} inclui p e exclui q

INTERVALO FECHADO ÀDIREITA

(p;q] = {x R; p x q} exclui p e inclui q

INTERVALO SEMI-FECHADO

[p; ) = {x R; x p} valores maiores ou iguais a p.

INTERVALO SEMI-FECHADO

(- ; q] = { x R; x q} valores menores ou iguais a q.

INTERVALO SEMI-ABERTO (- ; q) = { x R; x q} valores menores do que q.

INTERVALO SEMI-ABERTO (p; ) = { x p } valores maiores do que p.

Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (oconjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R= ( - ; + ).

5 - Operações com conjuntos

5.1 - União ( )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A B = {x; x A ou x B}.



148

Exemplo: {0,1,3} { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmenteque o conjunto união contempla todos os elementos do conjuntoA ou do conjunto B.

Propriedades imediatas:a) A A = Ab) A = Ac) A B = B A (a união de conjuntos é uma operaçãocomutativa)d) A U = U , onde U é o conjunto universo.

5.2 - Interseção ( )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A B= {x; x A e x B}.Exemplo: {0,2,4,5} { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que oconjunto interseção contempla os elementos que são comuns aosconjuntos A e B.

Propriedades imediatas:

a) A A = Ab) A = c) A B = B A ( a interseção é uma operação comutativa)d) A U = A onde U é o conjunto universo.

São importantes também as seguintes propriedades :P1. A ( B C ) = (A B) ( A C) (propriedade distributiva)P2. A ( B C ) = (A B ) ( A C) (propriedade distributiva)P3. A (A B) = A (lei da absorção)P4. A (A B) = A (lei da absorção)Observação: Se A B = , então dizemos que os conjuntos A eB são Disjuntos.

5.3 - Diferença: A - B = {x ; x A e x B}.Observe que os elementos da diferença são aqueles que

pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.Exemplos:



149

{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas:

a) A - = Ab) - A = c) A - A = d) A - B B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operaçãocomutativa).

5.3.1 - Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos.Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição deque B A , a diferença A - B chama-se, neste caso,complementar de B em relação a A .Simbologia: CAB = A - B.Caso particular: O complementar de B em relação ao conjuntouniverso U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observeque o conjunto B' é formado por todos os elementos que não

pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; x B}. É óbvio, então, que:

a) B B' = b) B B' = Uc) ' Ud) U' =

6 - Partição de um conjuntoSeja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, erepresenta-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto daspartes de A (representado simbolicamente porP(A)), que satisfazsimultaneamente, às seguintes condições:1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é oconjunto vazio.



150

3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjuntoA.

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos deA seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).Nota: o número de elementos de um conjunto, é tambémconhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A B porn(A B) e o número de elementos da união A B por n(A B) ,podemos escrever a seguinte fórmula:n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

8 - Exercícios resolvidos:

1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observaque:a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;

b) quando chove de manhã não chove à tarde;c) houve 5 tardes sem chuva;d) houve 6 manhãs sem chuva.Podemos afirmar então que n é igual a:a)7b)8c)9

d)10e)11Veja a solução AQUI.

2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B,entre outros e conclui-se que o número de pessoas quegostavam de B era:I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;

II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A





151

nem de B.Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dosdois produtos é igual a:

a)48b)35c)36d)47e)37Para ver a solução clique AQUI

3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16

visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Dessesestudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3visitaram também São Paulo. O número de estudantes quevisitaram Manaus ou São Paulo foi:a) 29b) 24c) 11d) 8

e) 5Clique AQUI para ver a solução.

4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que umaúnica é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de umfamoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:a)século XIXb)século XX

c)antes de 1860d)depois de 1830e)nenhuma das anteriores

Pode-se garantir que a resposta correta é:a)ab)bc)cd)d







152

e)eClique AQUI para ver a solução.

9 - Exercícios propostos

1 - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinalde A é igual a:a) 5b) 6c) 7d) 9e)10

2 - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas nãocomeram nenhuma ?a) 1b) 2

c) 3d) 4e) 0

3) PUC-SP - Se A = e B = { }, então:a) A Bb) A B = c) A = B

d) A B = Be) B A

4) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número deelementos de A B é 30, o número de elementos de A C é 20e o número de elementos de A B C é 15.Então o número de elementos de A (B C) é igual a:a)35

b)15c)50





153

d)45e)20

5) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis

de elementos do conjuntoA = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:a)2 ou 5b)3 ou 6c)1 ou 5d)2 ou 6e)4 ou 5

MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos básicos

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas deinvestimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentosmatemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Tambémconhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglêsusa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividadeprodutiva. Os juros podem ser capitalizados segundo doisregimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobreo capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir dosaldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo detempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria daspessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado,quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e nesteínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve serrecompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver.O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definemqual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas:compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, asaplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda



154

fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operaçõesde curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um

determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida daespecificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentualdividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valorprincipal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ousimplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros.Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde: J = jurosP = principal (capital)i = taxa de juros

n = número deperíodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. peloregime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a.durante 145 dias.

SOLUÇÃO:M = P . ( 1 + (i.n) )M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja,

anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um anocomercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 6 = 0.02167

logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195



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j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a.,durante 125 dias.

Temos: J = P.i.nA taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.

Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias,poderemos calcular diretamente:J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de jurosem 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou

seja, meses. Logo,3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessáriospara dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.PDados: i = 150/100 = 1,5Fórmula: M = P (1 + i.n)Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n

n = 2/3 ano = 8 meses

JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útilpara cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados aoprincipal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =P.(1 + i)

2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula:

M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J = M - P

Exemplo:



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Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano,à taxa de 3,5% ao mês.(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788 )

Resolução: P = R$6.000,00t = 1 ano = 12 mesesi = 3,5 % a.m. = 0,035M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 Então M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante é R$9.054,00



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Letra AÁBACO – Instrumento para contagem e cálculo. Calculadora com várias hastes de metal,

sustentando bolinhas que podem ser manipuladas, servindo para realizar operaçõesmatemáticas.

ABSCISSA - Nome da coordenada do eixo x em um sistema cartesiano bidimensional.

ADIÇÃO - Uma das quatro operações básicas da aritmética, utilizada para adicionar umnúmero a outro.

ALFA ( ) - Primeira letra do alfabeto grego.

ALGARISMO - Símbolos utilizados para representação de números. Em nosso sistema denumeração de base 10, existem dez algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

ALGORITMO - Um conjunto de regras necessárias à resolução de um problema ou cálculo.

ALÍQUOTA - Percentual com que determinado tributo incide sobre o valor do objetotributado.

ALTURA - Dimensão de um corpo considerado verticalmente, da base ao topo.

AMOSTRA - Um conjunto escolhido para representar uma coleção ou população.

AMPLITUDE DE UM INTERVALO - É a diferença entre o extremo superior e o inferior dointervalo. Também chamada de diâmetro do intervalo.

ÂNGULO - Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retasorientadas) a partir de um ponto comum. A interseção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é denominada vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ousemi-retas).

ÂNGULO ADJACENTE - Ângulo com um vértice e um lado comum. Os ângulos GED e DEF

são adjacentes.

ÂNGULO AGUDO - Ângulo que mede menos que 90º e mais que 0º.

ÂNGULO OBTUSO - Ângulo que mede mais que 90º e menos que 180 graus.

ÂNGULO RASO - Ângulo que mede exatamente 180º. ÂNGULO RETO - Ângulo que mede exatamente 90º.



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ÂNGULOS COMPLEMENTARES - Ângulos cuja soma é igual a 90º.

ÂNGULOS SUPLEMENTARES - Dois ângulos dizem-se suplementares quando a sua somaé de 180º.

ANEL (Geometria) - Porção de plano delimitada por duas circunferências com o mesmocentro.

ANO - Período de tempo que compreende 365 dias, salvo o ano bissexto, que tem 366 dias.

APÓTEMA - Segmento de reta perpendicular ao lado de um polígono traçada a partir docentro do mesmo.

APROXIMAÇÃO - Valor obtido por arredondamento de uma medida. Exemplo: Searredondarmos o número 6,851 teríamos 6,85. ARC COS - A função inversa de cosseno. Se y = cos x, então x = arc cos y.

ARC COTG - A função inversa da cotangente. Se y = cotg x, então x = arc cotg y.

ARCO DE CURVA - Parte de uma curva situada entre dois pontos quaisquer da curva. Se Ae B são dois pontos quaisquer de uma circunferência, existem dois arcos AB, estes arcossão de comprimentos diferentes se A e B não são pontos extremos do diâmetro, o maior édesignado arco maior e o outro, arco menor.

ARC SEN - A função inversa do seno. Se y = sen x, então x = arc sen y.

ARC TG - A função inversa da tangente. Se y = tg x, então x = arc tg y.

ÁREA - Medida de uma superfície.

ARESTA - A interseção de duas faces de um sólido. No desenho em anexo, é o segmentode reta que representa a interseção de duas faces.

ARITMÉTICA - Parte da Matemática que estuda números e operações.

ARREDONDAR - Fazer uma aproximação do valor de um número. ASSOCIATIVA - Lei que permite reagrupar os termos de uma adição ou multiplicação semalterar o resultado. A multiplicação e a adição são operações associativas. (A+B)+C = A+(B+C)(A×B)×C = A×(B×C)

ATRIBUTO - Uma qualidade ou característica de um objeto matemático.

AUTOMORFISMO - Isomorfismo que tranforma uma figura em si mesmo.

AVOS - Nomeia frações de denominadores maiores que 10, mas diferentes de 100, 1000,

etc. AXIOMA - Proposição aceita como sendo verdade inicial não sendo demonstrável pela sua



159

evidência.

Letra BBARICENTRO DE UM TRIÂNGULO - As três medianas de um triângulo se encontram em

um mesmo ponto, o baricentro. Este ponto divide cada mediana em duas partes tais que, aparte que contém o vértice é o dobro da outra. Uma lâmina triângular com densidadeuniforme tem este ponto como centro de massa.

BASE - Sistema de numeração que indica quantas unidades são necessárias para mudar acolocação de um algarismo. A mais comum é a base 10 onde cada algarismo é múltiplo de10. (exemplo: 156 = 1 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1).

BASE DE POTÊNCIAS - Nas potências denomina-se assim o número que se encontra naparte inferior e que indica o valor de cada fator.

BASE DE UM TRIÂNGULO - É conveniente considerar um dos lados do triângulo comosendo sua base. A distância entre a base e o vértice oposto à base é a altura do triângulo.

BIJEÇÃO - Relação onde cada elemento corresponde um e somente um elemento.

BILHÃO - 109 = 1000000000. Número 1 seguido de 9 zeros.

BINÔMIO - Polinômio constituído por 2 monômios. Ex.: 4x³ - 3.

BISSETRIZ - É a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Na figura asemi-reta OM é a bissetriz do ângulo AÔB pois os ângulos AÔM e MÔB são congruentes.

BIQUADRADA - Equação do tipo ax4 + bx2 +c = 0.

BIUNÍVOCA - Correspondência de cada objeto a um único objeto. Por exemplo, umapessoa para cada carteira de identidade.

BLOCO RETANGULAR - É a forma geométrica de vários tipos de caixas, tais como caixasde sapatos ou de pasta de dente. Cada bloco retangular é formado por seis faces com formade retângulo.

BLOCOS LÓGICOS - Blocos utilizados em atividades didáticas de classificação e seriaçãográfica. Tais objetos normalmente são coloridos e têm formas distintas.



160

BRAÇA - Antiga unidade de comprimento equivalente a 2,2 metros. No sistema inglês abraça equivale a 1,8 metros.

Letra CCALCULAR - Realizar uma operação, como por exemplo, a adição, a subtração, amultiplicação, a divisão ou potenciação, visando obter um resultado.

CÁLCULO - Procedimento que leva ao resultado de uma operação.

CAPACIDADE - É a quantidade que um recipiente pode conter, esta quantidade pode serde óleo, água, etc. Normalmente a capacidade é medida em litros.

CASA DECIMAL - Nos números com vírgula, temos casas decimais à direita da vírgula.Exemplo: 7, _ _ tem duas casas decimais. A primeira casa à direita da vírgula é a casa dosdécimos. A segunda é a dos centésimos.

CENTENA - Grupo de 100 unidades.

CENTÉSIMO - Dividindo-se uma unidade em 100 partes iguais, cada parte é um centésimo

dessa unidade. Um centésimo pode ser indicado assim: . Ou assim: 0,01.

CENTILHÃO - É o maior número aceito no sistema de potências sucessivas de dez,registrado pela primeira vez em 1852. Representa a centésima potência de um milhão, ou onúmero 1 seguido de 600 zeros (embora apenas utilizado na Grã-Bretanha e na Alemanha).

CENTÍMETRO - Palavra formada por centi (centésimo) e metro. O centímetro (símbolo: cm)é a centésima parte do metro.

CENTROIDE - Centro de massa de uma figura.

CEVIANA - Ceviana é um segmento de reta que liga um vértice de um triângulo a um pontoqualquer do lado oposto. A altura, a mediana ou a bissetriz do triângulo são cevianasparticulares. O nome ceviana é homenagem a Tommaso Ceva, matemático italiano (1648-1736).

CILINDRO - Uma região bidimensional no espaço tridimensional formada por uma superfíciecurva e por duas superfícies planas que são congruentes. Um cilindro circular reto pode ser

visto no cotidiano como uma lata de óleo ou de ervilha. CÍRCULO - Uma figura plana formada pelo conjunto de todos os pontos deste planosituados a uma distância menor ou igual que uma medida conhecida como raio do círculo, apartir de um ponto fixo denominado centro do círculo.

CIRCUNFERÊNCIA - Curva plana e fechada cujos pontos estão eqüidistantes de um pontofixo chamado centro. É a linha que envolve o círculo.

CLASSIFICAÇÃO - Forma de separar objetos ou números que possuem certos atributos oucaracterísticas.

CÓDIGO - Vocabulário ou sistema de sinais convencionais ou secretos utilizado emcomunicação.



161

COEFICIENTE - O fator constante de um monômio. Exemplo: 2x³ e ay², 2 e a são osrespectivos coeficientes.

COLINEAR - Um número qualquer de pontos são colineares se todos estiverem sobre umamesma reta.

COMBINAÇÕES - Subconjuntos formados por 2 ou mais elementos escolhidos entre oselementos de um conjunto dado, onde a ordem dos seus elementos não os distinguem um

dos outros. Por exemplo representa as combinações de 10 elementos 3 a 3. COMBINATÓRIA - Ramo da Matemática que analisa diferentes formas de agrupar oselementos de um conjunto e calcular o número desses agrupamentos.

COMPASSO - Instrumento de desenho usado para traçar circunferências.

COMPENSAÇÃO - Um modo de realizar uma estimativa onde se pode ajustar um resultadosubestimado (abaixo do valor) ou superestimado (acima do valor), para chegar a um resultadoaproximado mais próximo da realidade.

COMPRIMENTO - Medida de uma linha. Pode ser a medida do lado de um polígono, da arestade uma figura espacial, etc.

COMUTATIVA - Lei que permite mudar a ordem dos termos de uma adição ou multiplicaçãosem alterar o resultado. A + B = B + AA × B = B × A

CONCÊNTRICO - Figuras concêntricas são aquelas que possuem o mesmo centro.

CONE - Uma figura espacial tendo (em geral) uma base circular delimitada por uma superfície

curva obtida pela rotação de uma reta em torno de um eixo fixo, sendo que estas duas retascruzam-se no vértice do cone.

CONGRUÊNCIA - Característica do que é congruente.

CONGRUENTE - Figuras congruentes são aquelas que têm a mesma forma e a mesmamedida.

CONJUGADO - Na adição a + b, chama-se conjugado a adição a - b. Nos número complexos a

+ bi o seu conjugado será a - bi. CONJUNTO COMPLEMENTAR - O complementar do conjunto A no universo Userá o conjuntoque resulta da exclusão de U de todos os elementos de A.

CONSECUTIVO - Números consecutivos são números que se seguem. Por exemplo, 4, 5 e 6são números consecutivos.

CONSTANTE - Um valor que não muda. Na fórmula v = 4t + 2. 4 e 2 são constantes, v e t sãovariáveis. Porém as constantes também podem ser representadas por letras.

CONTAR - Associar objetos de uma forma unívoca aos números naturais.

CONTRADOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO - É o conjunto de imagens dadas pela função, ou seja,o conjunto dos valores da variável dependente. Representa-se por CD ou D f'.



162

COORDENADAS NO PLANO - As coordenadas de um ponto no plano são identificadas porum par ordenado P = (x,y) de números, que servem para determinar a posição deste ponto emrelação ao sistema considerado de eixos. A primeira coordenada x do par ordenado éaabscissa e a segunda coordenada y é a ordenada .

CORDA - Dois pontos A e B pertencentes a uma curva definem um segmento de reta ABdenominado corda.

COROLÁRIO - Consequência imediata de um teorema.

COSSENO (Cos) - Em um triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é o quocienteentre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. Como por exemplo: cos 0° = 1, cos 90° = 0.

CRIPTOGRAMA - Um jogo no qual os algarismos são trocados por letras ou outros símbolosde uma operação aritmética.

CUBO - Um prisma retangular que tem as seis faces quadradas. Cada conjunto de três arestas

se encontra em um ponto denominado vértice e duas destas arestas sempre formam umângulo reto. As seis faces são paralelas duas a duas.

Letra DDADOS - Elementos numéricos ou algébricos de informação de um problema.

DECÁGONO - Um polígono com 10 lados.

DECÂMETRO - 10 metros. Representa-se por Dam .

DECÊNIO - Espaço de dez anos.

DECIGRAMA - Dácima parte do grama.

DECÍMETRO - Palavra formada por deci (décimo) e metro. O decímetro (símbolo: dm) é adécima parte do metro.

DÉCIMO - Dividindo-se uma unidade em 10 partes iguais, cada parte é um décimo dessa

unidade. Um décimo pode ser indicado assim: . Ou assim: 0,1.

DENOMINADOR - Na fração é o número que fica em baixo. É o número que indica emquantas partes iguais será dividido o número de cima. Na fração 2/5 o denominador é onúmero 5.

DERIVADA - Dada uma função f(x), designa a sua derivada



163

por . Esta expressão permite medir a variação instantânea dafunção. Graficamente trata-se de calcular o declive da reta tangente à curva.

DESIGUALDADE - Desigualdade é uma expressão em uma das formas: a b, a < b,a < b, a > b, a > b, onde a e b são quantidades ou expressões. Em desigualdades sãousados os seguintes símbolos: não é igual (diferente), < é menor do que, < é menor ouigual a, > é maior do que e > é maior ou igual a.

DEZENA - Grupo de 10 unidades.

DIAGONAL - Segmento de reta que um vértice a outro não consecutivo de um polígono. Onúmero de diagonais de um polígono é dado por (n² - 3n) / 2, onde n é o número de lados.

DIAGRAMA EM ÁRVORE - É um diagrama que mostra todos os possíveis resultados de umacontecimento (bastante usado em programação).

DIÂMETRO - No círculo, é o segmento de reta que passa pelo centro e que une dois pontos dacircunferência do círculo.

DIFERENÇA - O resultado de uma subtração.

DÍGITOS - Símbolos usados para escrever números em representação decimal ou algumaoutra base. Em notação decimal os dígitos usados são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em notaçãobinária são usados apenas dois dígitos 0 e 1.

DIMENSÃO - Por exemplo: Uma reta tem uma dimensão, um retângulo tem duas dimensões,um cubo tem três dimensões.

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS - Grandeza do segmento de reta que une dois pontos.Exemplo: Sejam os pontos P1(x1, y1) e P2(x2 e y2), calculamos o distância entre estes dois

pontos através da seguinte fórmula .

DISTRIBUTIVA - Lei que permite distribuir uma adição ou subtração em relação ao produto,sem alterar o resultado. A × (B + C) = (A × B) + (A × C)A × (B - C) = (A × B) - (A × C)



164

DIVIDENDO - O número que será dividido em uma operação de divisão. Na operação 9 ÷ 3 =3, 9 é o dividendo.

DIVISÃO - Uma das quatro operações básicas da aritmética. Usada para saber o número devezes que um número está contido em outro número.

DIVISOR - É o segundo termo da divisão. É o que divide o dividendo. Na operação 15 ÷ 5 = 3,5 é o divisor.

DIVISORES PRIMOS - Diz-se dos divisores de um número que são números primos tais como:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31...

DÍZIMA PERIÓDICA - Parte decimal de um número que se repete indefinidamente. Exemplo:2,345345345...

DODECÁGONO - Um polígono com com 12 lados.

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO - O conjunto de valores tomados pela variável independente.Representa-se por Dom .

DÚZIA - Grupo de 12 unidades.

Letra EEIXO DE SIMETRIA - A reta que separa uma figura de sua reflexão ou rebatimento.

EIXOS - Quando se traça as coordenadas ou gráfico em 2 dimensões, usamos 2 eixos, x nahorizontal e y na vertical. Quando no espaço existe mais um eixo perpendicular ao plano xy,o novo eixo é chamado de z.

EIXO DOS X - O eixo horizontal em um sistema cartesiano ortogonal. Local onde sãomarcadas as abcissas de qualquer ponto.

EIXO DOS Y - O eixo vertical em um sistema cartesiano ortogonal. Nesse eixo sãomarcadas as ordenadas.

EIXO DOS Z - O eixo que tem representação no espaço e é perpendicular ao plano formadopelo os eixos dos x e dos y. Normalmente é apresentado na posição vertical.

ELEMENTO - Um objeto de um conjunto é um elemento deste conjunto.

ELEMENTO NEUTRO - Em uma operação é o elemento que não tem influência noresultado final. O elemento neutro na adição é o zero na multiplicação e divisão é o 1.

Exemplos : 5 0 =5 ; 7 x 1 =7. Nas operações lógicas : A U = A ; A = A.

ELIPSE - Curva plana em que a soma das distâncias de qualquer ponto a dois pontoschamados focos se mantêm constante.



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ENEÁGONO - Um polígono com 9 lados.

ENUMERAR - Associar objetos de uma forma unívoca aos números naturais.

EQUAÇÃO - Expressão algébrica indicada por uma igualdade, onde há valoresdesconhecidos expressos por letras (incógnitas).

EQUAÇÃO EXPONENCIAL - Uma equação onde a incógnita figura como expoente.Exemplo: y = 3x.

EQUAÇÃO FRACIONAL - Uma equação onde a variável independente figura emdenominador.

EQUAÇÃO LINEAR - É uma equação da forma ax + b = 0, onde a e b são números. Pode-se exprimir uma relação linear com a expressão y = ax + b que representa, em um sistemacartesiano, uma reta.

EQUIVALENTES - Que é do mesmo valor. Aquilo que equivale.

ESCALA - A razão que compara, em um mapa, a distância no mapa com a distância real.

ESFERA - Uma figura formada pelo conjunto de todos os pontos do espaço tridimensional,equidistantes de um ponto fixo denominado centro da esfera, por uma distância fixaconhecida como o raio da esfera.

ESQUADRO - Instrumento de desenho com a forma de um triângulo retângulo.

ESTATÍSTICA - Parte da Matemática que organiza e apresenta informações numéricas,além de obter conclusões a partir dessas informações.

ESTIMATIVA OU ESTIMAR - Atitude de estimar um resultado numérico. É o resultadoaproximado de uma operação. Pode ser feito mentalmente ou por escrito. Embora saibamosque = 3,1415926535..., podemos fazer uma estimativa para o valor de Pi como sendo adivisão de 22 por 7.

EXPRESSÃO NUMÉRICA - Seqüência de operações numéricas indicadas, ou seja, nãoefetuadas.

EXCENTRINCIDADE - Razão usada em algumas definições de uma cônica.

Letra FFACES - São os polígonos que delimitam um sólido.

FATOR - Os números inteiros multiplicados em uma multiplicação são os fatores. Na



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equação 3×2=6, 3 e 2 são os fatores de 6.

FATORAÇÃO - Operação de fatorar (ex: decompor um número em fatores primos).

FATORIAL (!) - É o produto um número por todos inteiros anteriores a ele, até chegar ao 1.Exemplo: 6! = 6.5.4.3.2.1.

FIGURA GEOMÉTRICA - Um desenho serve para representar diversas noçõesmatemáticas. Uma figura geométrica pode ter dimensão: 0, 1, 2, 3, ..., n.

FIGURA PLANA - É uma figura em duas dimensões, como o círculo, o quadrado, opentágono, o trapézio, etc.

FOCO - Ponto(s) fixo(s) usado para definir uma cônica.

FORMA ESPACIAL - Figuras geométricas que têm três dimensões; sólidosgeométricos.

FÓRMULA - Expressão que indica, em linguagem matemática, os cálculos que devem serefetuados para se obter um determinado resultado.

FÓRMULA DE EULER - Em um poliedro verifica-se que F + V = A + 2. Exemplo: No cuboexistem 6 faces e 8 vértices, logo, o número de arestas será 12.

FRAÇÃO - Representa as partes de um todo ou de um conjunto, a razão entre dois númerosinteiros ou uma divisão. Na linguagem comum, fração significa parte. Dividir, ratear.

FRAÇÃO DECIMAL - Um numero fracionário que expressa uma forma decimal. Como porexemplo 2,1 ou 9,56.

FRAÇÃO IRREDUTÍVEL - Uma fração onde o numerador e o denominador não têm umfator comum maior do que 1. A fração 3/4 é irredutível, mas 5/25 não é.

FRAÇÃO ORDINÁRIA - É a fração que não é decimal. A fração 1/4 é ordinária.

FRAÇÃO SIMPLIFICADA - Ver fração irredutível.

FRAÇÕES EQUIVALENTES - São frações que representam a mesma quantidade. Asfrações 1/2, 2/4 e 8/16 são equivalentes.

FRAÇÕES INVERSAS - Duas frações cujo produto é igual a 1. As frações

5/3 e 3/5 são inversas, pois 5/3.3/5 = 1.

FREQÜÊNCIA - O número de vezes que em um espaço de tempo se verifica determinadoacontecimento.

FREQUÊNCIA RELATIVA - É a percentagem de um acontecimento no somatório de todosos acontecimentos de uma amostra.

FUNÇÃO - É uma correspondência unívoca entre dois conjuntos em que a cada elementodo primeiro conjunto corresponde a um e somente um elemento do segundo.

FUNÇÃO AFIM - Função polinomial de grau 1.

FUNÇÃO BIJETORA - Função que é injetora e sobrejetora.



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FUNÇÃO CIRCULAR - Funções periódicas referenciadas no círculo unitário. Exemplo:Seno, cosseno, tangente etc.

FUNÇÃO CONSTANTE - Uma função é constante em um intervalo se para

quaisquer x1 e x2desse intervalo f( x1) = f(x2), ou, dito de outramaneira, função polinomial de grau zero.

FUNÇÃO CRESCENTE - Uma função é crescente em um intervalo se paraquaisquer x1 e x2desse intervalo f( x1) < f(x2).

FUNÇÃO DECRESCENTE - Uma função tal que para quaisquer valores a > b do seudomínio tem-se f(a) < f(b).

FUNÇÃO INJETORA - Função para a qual, para quaisquer valores de x1 ex2, f( x1) é diferente def(x2).

FUNÇÃO INVERSA - Uma função g é inversa de uma função f se esta for bijetora e paraf(x)=y, g satisfizer g(y)=x, ou seja, g desfaz a transformação de f.

FUNÇÃO LINEAR - Função polinomial de grau 1 com o coeficiente linearigual a zero.

FUNÇÃO LOGARITMICA - A função inversa de uma função exponencial. Assim se tivermosy = ax a função logaritmica será x = logay, onde a é a denominada base.

FUNÇÃO POLINOMIAL - Função que tem a forma de um polinômio: f(x) =A0 x0 + A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn.

FUNÇÃO QUADRÁTICA - Função polinomial de segundo grau.

FUNÇÃO SOBREJETORA - Uma função é sobrejetora se o conjunto-imagem da função éigual ao contradomínio.

FUNÇÕES PERIÓDICAS - Funções cujos valores se repetem em cada intervalo (período).Por exemplo as funções trigonométricas.

Letra GGEOMETRIA - A área da Matemática que trabalha com sólidos, superfícies, linhas, pontosângulos e suas relações.

GEOPLANO - Uma prancheta de madeira ou de plástico composta de pregos ou metaisdisposta em quadrado, permitindo a construção de vários polígonos e aprofundamento deuma variedade de conceitos geométricos.

GRADIENTE - O mesmo que declive, uma medida de rampeamento. Mede-se como umângulo ou como uma razão. No caso de uma reta, obtém-se m = y/x onde y é a "subida"e xo "caminho" percorrido na horizontal.

GRÁFICO - Um quadro que permite representar os dados.

GRÁFICO DE BARRAS - Um gráfico onde os dados são representados com faixas verticais



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ou horizontais.

GRÁFICO DE LINHAS - Um gráfico formado por uma linha construída pela ligação de

segmentos de reta, unindo os pontos que representam os dados.

GRAMA - Medida de massa. 1000 gramas = 1Kg.

GRANDEZA ESCALAR - Aquela que não necessita de outra informação que não seja o seuvalor. Exemplo 7cm, 23Kg.

GRANDEZA VETORIAL - Grandeza que para além do seu valor numérico necessita, paraficar bem definida, de uma direção e de um sentido.

GRAU - Unidade de medida de ângulo muito utilizada nos primeiros níveis educacionais. Elaé obtida pela divisão da circunferência em 360 partes iguais, obtendo-se assim um ângulode um grau, sendo que a notação desta medida usa um pequeno º colocado como expoentedo número, como 1º.

GROSA - Número correspondente a doze dúzias, ou seja, 144 unidades.

GUGOL - Nome dado ao número 1 seguido de 100 zeros.

GUGOLPLEX - Número que equivale a "10 elevado a 1 gugol".

Letra HHECTARE - Unidade de área (símbolo: ha) equivalente a 10.000 metros quadrados.

HEPTACÓRDIO - Instrumento que tem sete cordas.

HEPTAEDRO - Poliedro com sete faces. Uma pirâmide de base heptagonal é um heptaedro.

HEPTÁGONO - Um polígono com 7 lados. Quando os lados são iguais o heptágono éregular.

HEPTASSÍLABO - Denominação dada ao vocábulo que tem sete sílabas.

HEXAEDRO - Um prisma retangular que tem as seis faces quadradas. Cada conjunto detrês arestas se encontra em um ponto denominado vértice e duas destas arestas sempreformam um ângulo reto. As seis faces são paralelas duas a duas.O hexaedro regular étambém chamado de cubo.



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HEXÁGONO - Palavra de origem grega formada por hexa (seis) e gono (ângulo). Umpolígono com 6 lados.

HEXAGRAMA - Figura formada por dois triângulos eqüiláteros iguais com o mesmo centro,e dispostos de modo que os lados de um sejam respectivamente paralelos aos lados dooutro. O hexagrama, para os israelitas, é uma figura simbólica (símbolo de Salomão) edesempenha, por isso, importante papel na arte decorativa judaica.

HIPÉRBOLE - Cônica em que é constante a diferença entre as distâncias a dois pontosfixos situados no eixo (focos).

HIPOTENUSA - O maior lado de um triângulo. É o lado que se opõe ao ângulo reto de um

triângulo e está relacionado com os catetos pelo Teorema de Pitágoras.

HISTOGRAMA - conjunto de retângulos que têm as bases sobre o eixo x e a áreaproporcional às frequências de classe. Diagrama constituído por retângulos ou linhasdesenhadas a partir de uma linha de base, em que a posição deles ao longo dessa linharepresenta o valor ou a amplitude de uma das variáveis, e a sua altura, o valorcorrespondente de uma segunda variável.

HORIZONTAL – Linha paralela ao horizonte.

Letras I/J/KICOSAEDRO - Um poliedro com 20 faces.

IDENTIDADE - Forma de mostrar que duas expressões tem o mesmo valor.

ÍMPAR - Diz-se do número inteiro que não é divisível por 2 ou o que não tem 2 como fator.

INCLINAÇÃO DE UMA RETA - Se dois pontos de uma reta têm a mesma abscissa, diz-seque a reta é vertical e se as abscissas são diferentes a reta é inclinada. Quando é possível,a inclinação é obtida pela divisão entre a diferença das ordenadas e a diferença dasabscissas de dois pontos quaisquer.

ÍNDICE - O valor que figura na raiz de um número indicando o expoente a que terá de serelevado o resultado para obter esse número.

INEQUAÇÃO - Desigualdade verificada a determinado(s) valor(es) atribuídos à variável.

INFINITO - Que não é finito. O conjunto dos números naturais é infinito, pois sempre existiráum outro natural que supera o anterior. Significa algo tão grande que não pode ser contado.

INTEGRAL - Função inversa da derivada. Função que gera, a partir de como as variáveis dedeterminada função se relacionam, uma outra função mais abrangente, que descreve um



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comportamento mais amplo (integral).

INTERPOLAÇÃO - Método para encontrar valores de uma sucessão entre dois valoresconsecutivos conhecidos.

INTERSECÇÃO - A interseção de dois conjuntos é o conjunto de todos os elementos que

pertencem aos dois conjuntos simultaneamente. A interseção dos conjuntos A e B édenotada por A B e lê-se "A intersecção B". A intersecção de conjuntos satisfaz asseguintes propriedades:

1. A A = A e A =2. A B = B A (A intersecção é comutativa) 3. (A B) C = A (B C) (A intersecção é associativa).

INTERVALO - Um intervalo finito da reta real é um subconjunto de que possui umadas seguintes formas:

1. [a,b] = {x real: a < × < b} 2. (a,b) = {x real: a < × < b} 3. [a,b) = {x real: a < × < b} 4. (a,b] = {x real: a < × < b}

INVERSO - Contrário, invertido, oposto.

JURO - Lucro calculado sobre determinada taxa de dinheiro emprestado ou de capitalempregado; rendimento, interesse.

JUROS SIMPLES - o juro de cada intervalo de tempo sempre é

calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS - o juro de cada intervalo de tempo é calculadoa partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja, o jurode cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa arender juros também.

Letra LLARGURA - Dimensão perpendicular ao comprimento (plano horizontal) ou à altura (planovertical).

LATITUDE - Medida (em graus) em um conjunto de linhas paralelas imagináriasdesenhadas em torno da terra passando pelos pólos norte e sul. (ver longitude)

LITRO - Unidade de medida de capacidade (símbolo: l).

LINHA - Uma figura geométrica 1D, ou seja, unidimensional.

LINHA DE TEMPO - Colocação de eventos em ordem cronológica juntamente com osperíodos ou datas das ocorrências dos fatos.

LOGARITMO - Logaritmo de N na base a (loga N) é um número x tal que a

x

= N. A basepode ser qualquer número embora as mais utilizadas são a base 10 (logaritmo decimal) ou abase e (logaritmo neperiano). Regras : logb(x*y) = logb(x) + logb(y) ;logb(x/y) = logb(x) - logb(y);

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logb(xn) = n logb(x).

LONGITUDE - Medida (em graus) em uma série de linhas imaginárias (meridianos) comcentro no pólo norte ou pólo sul (perpendiculares ao eixo da terra) na superfície da terra.

LOSANGO - Um paralelogramo com quatro lados iguais, dois a dois paralelos, sendo que os

ângulos opostos obtidos a partir de uma mesma diagonal são iguais.

LUGAR GEOMÉTRICO - Um conjunto de pontos que obedecem a uma condição. Porexemplo o conjunto dos pontos eqüidistantes de uma reta dada serão duas retas paralelas àprimeira situadas a essa distância. Outro exemplo: os pontos eqüidistantes 4 cm de umponto fixo P é uma circunferência com centro em P e de raio 4.

Letra MMASSA - A massa de um objeto é a propriedade de ser mais ou menos pesada. A massa deum objeto depende de seu volume e da matéria de que o objeto é constituído. O peso de umobjeto, além disso, depende do local onde se encontra (sobre a Terra ou sobre a Lua, noPolo Sul ou sobre a Linha do Equador...): o peso mede a força com a qual o objeto éarremessado.

MATEMÁTICA - Ciência que estuda números e formas.

MATERIAL DOURADO - Conjunto estruturado de peças, utilizado no ensino do Sistema deNumeração Decimal.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (Mdc) - É o maior dos fatores comuns a dois ou mais númerosdados. Por exemplo: 20 tem como fatores 2, 4, 5,10 e 20; os fatores de 50 são 2, 5, 10, 25e 50 então o Mdc (20, 50) é 10 Calcula-se decompondo os número em fatores primos efazendo o produto dos fatores comuns elevados ao menor expoente.

MÉDIA ARITMÉTICA - Quociente da divisão da soma de dois ou mais números pelonúmero de parcelas.

MÉDIA GEOMÉTRICA - Pode-se calcular pela fórmula ondex1,....xn são os dados e N o número de dados.

MEDIANA - (Estatística) Em uma amostra, disposta por ordem crescente dos seuselementos, é o número do meio. No caso dessa amostra ter um número par de elementos amediana será a media dos 2 centrais. Exemplo: a mediana da amostra : 1, 3, 4, 6, 7, 11, 23é 6.

MEDIANA - (Trapézio) Segmento de reta que une os pontos médios dos lados nãoparalelos.

MEDIATRZ - Reta perpendicular traçada ao meio de um segmento.

MEDIDA - Há muitas coisas que costumam ser medidas: comprimentos, superfícies,massas, tempo, ângulos, etc. Para expressar a medida, usamos um número e uma unidade

de medida. Exemplo: A estrada tem 12 Km. Na medida 12Km, a unidade de medida é oquilômetro indicado por Km.



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MENOR MÚLTIPLO COMUM (mmc) - O menor número divisível pelos números dados.Forma-se multiplicando os fatores comuns e não comuns elevados ao maior expoente.Exemplos: o mmc(10, 15) é 30, entre 9 e 18 é 18.

METRO - (m) unidade principal de comprimento. 1m = 100 cm = 1000mm. MIL - 10³ = 1000. 1 seguido de três zeros. MILÉSIMO - Se você dividir uma unidade em 1000 partes iguais, cada parte será

1 milésimo.Indica-se 1 milésimo por: ou 0,001.

MILHÃO - 106 = 1000000. Número 1 seguido de seis zeros.

MILHAR - Grupo de 1000 unidades.

MILHEIRO - 10³ = 1000. 1 seguido de três zeros.

MILÍMETRO - Palavra formada por mili (milésimo) e metro. O milímetro é a milésima parte

do metro. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM - Menor número que é divisível por todos os númerosconsiderados.

MINUTO (min) - Unidade de tempo correspondente à sexagésima parte da hora. Unidadeangular 60 minutos = 1 grau.

MODA - É o valor mais popular em uma amostra, isto é, aquele que tem maior frequência. Amoda em 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 6, 5, 7, 2 é o número 2 pois aparece mais vezes (4 vezes).

MÓDULO - Ver valor absoluto.

MONÔMIO - Expressão de um produto de vários fatores, alguns dos quais podem serrepresentados por letras.

MOSAICO - Desenho formado por uma ou mais formas geométricas que se encaixamperfeitamente e cobrem uma superfície.

MULTIPLICAÇÃO - Uma das quatro operações básicas da aritmética, que realiza o produtode dois ou mais termos denominados fatores. A multiplicação é uma adição repetida.

MULTIPLICADOR - O número pelo qual se multiplica. No produto 3 x 6 = 18, 6 é omultiplicador.

MULTIPLICANDO - O número que será multiplicado por outro. No produto 3 x 6 = 18, 3 é omultiplicando.

MÚLTIPLO - Um múltiplo de um número inteiro é o produto deste número por um outronúmero inteiro. 0, 4, 8, 16... são múltiplos de 4.

MULTÍVOCA - Correspondência de um objeto com vários outros. Por exemplo, um carro deR$ 10.000,00 corresponde a dez motos de R$ 1.000,00, pelo menos em termos monetários.

Letra N

NORMAL - Reta perpendicular a uma curva ou superfície. NOTAÇÃO CIENTÍFICA - Forma de apresentação de números ou muito pequenos ou muito

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grandes. Consiste em apresentar esses número como um produto de um númerocompreendido entre 1 e 10 por uma potência de base 10. Exemplos: 47,300 = 4.73 x 104;0.000000021 = 2.1 x 10-8.

NUMERADOR - Indica o número de partes em consideração com o todo. Na fração é onúmero que fica em cima. É o número que é dividido pelo número de baixo. Na fração 3/4 o

numerador é o número 3. NÚMERO - Um símbolo que representa uma quantidade, uma grandeza, uma posição, umamedida. Os símbolos utilizados podem ser de algarismos (26), de letras (vinte e seis) ououtros (lA), sendo que este último é uma mistura de letras e números e corresponde aonúmero 26 na base hexadecimal.

NÚMERO ALEATÓRIO - Número escolhido ao acaso.

NÚMERO AMIGÁVEL - Número amigável é um par de números onde um deles é a somados divisores do outro. Como exemplo, os divisores de 220 são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44,55 e 110 cuja soma é 284. Por outro lado, os divisores de 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142 e a

soma deles é 220. Fermat descobriu também o par 17.296 e 18.416. Descartes descobriu opar 9.363.584 e 9.437.056.

NÚMERO ASCENDENTE - Um número natural é chamado número ascendente se cada umdos seus algarismos é estritamente maior do que qualquer um dos algarismos colocados àsua esquerda. Por exemplo, o número 3589.

NÚMERO CAPICUA - Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou dadireita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446e 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismose soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um númerocapicua.

NÚMERO CARDINAL - É o número de elementos de um conjunto. A característicaassociada ao número cardinal é a cardinalidade .

NÚMERO CÍCLICO - Cíclicos são números que multiplicados por outro valor menor ou igualao número de dígitos de que ele possui, seus números vão se repetindo ciclicamente,passando para o final aqueles que estão na frente. Por exemplo: o primeiro número cíclico éo 142857.

NÚMERO COMPOSTO - É um número que tem mais do que dois divisores naturaisdistintos, tais como 4, 6, 12, 15, 49.

NÚMERO DECIMAL - Número no qual a parte inteira é separada da parte decimal por umavírgula.

NÚMERO DE EULER - Número irracional, valor da base dos logaritmos naturais. Seu valor

é calculado por

NÚMERO DE MERSENNE - São números inteiros da forma Mp = 2p -1. Se Mp é um númeroprimo, o numero p também é. Só são conhecidos 33 números de Mersenne. O últimodescoberto corresponde a p = 859 433, cujo número de Mersenne é o 2859433 - 1. Não sesabe se há um número infinito deles.

NÚMERO DE OURO - O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor



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aproximado é 1,618. Este número irracional é considerado por muitos osímbolo da harmonia.

NÚMERO MISTO - Número constituído por uma parte inteira e uma parte fracionária.

NÚMERO ÍMPAR - Um número inteiro que não é múltiplo de 2. Exemplos de tais números são:..., -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, ...

NÚMERO INTEIRO - Números inteiros são os números naturais e seus opostos, reunidos aozero. ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

NÚMERO IRRACIONAL - Um número que não pode ser escrito sob a forma da divisão de doisnúmeros inteiros, tais como = 3,1415926535... e e = 2,71828...

NÚMERO MISTO - São números que misturam a escrita dos números naturais com a escritade frações.

NÚMERO NATURAL - Números naturais são aqueles provenientes dos processo de contagemna natureza. Existe discussão sobre o fato do 0 (zero) ser considerado um número natural umavez que este foi criado pelos hindús para dar sentido à nulidade de algo. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, ...

NÚMERO ORDINAL - O ordinal de um número exprime sua posição em uma sequência, talcomo primeiro, segundo, terceiro, vigésimo.

NÚMERO PAR - Um número inteiro que é múltiplo de dois. Exemplos de tais números são: ..., -

6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ... NÚMERO PRIMO - Um número inteiro maior do que 1, que não é divisível por qualquer outronúmero exceto por ele e por 1. Um número primo tem somente dois divisores naturaisdiferentes.

NÚMERO RACIONAL - Um número que pode ser colocado sobre a forma de uma fração,sendo que o numerador e o denominador devem ser dois números inteiros e o denominadornão pode ser zero (0).

NÚMERO REAL - Todos os números que podem ser marcados em uma reta, a reta real.Compreende os inteiros, os fracionários (conjunto dos racionais) e ainda os irracionais.

NÚMEROS REGULARES - Um número é dito regular se sua decomposição em fatores primosapresenta apenas potências de 2, 3 e 5.

NÚMEROS COMPLEXOS - São números da forma a + bi onde a é a parte real e b o

coeficiente da parte imaginária definindo-se: .

NÚMEROS DE FERMAT - Números da forma .

NÚMEROS NEGATIVOS - Todos números menores que zero.

NÚMEROS POSITIVOS - Todos os números maiores que zero.



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NÚMEROS PITAGÓRICOS - São os inteiros que cumprem a equação de Pitágoras a2 + b2=c2 . Por exemplo: 3, 4 e 5.

NÚMEROS ROMANOS - Tipo de algarismos usado pelos romanos com a utilização de letras.Ainda hoje bastante utilizados por exemplo, para designar os séculos. Neste sistema umalgarismo de menor valor colocado à esquerda subtrai ao maior: 9 é representado por 10 - 1

(IX), 90 por 100 - 10 (XC) . Se o algarismo menor está à direita do maior soma-se: 11= 10 + 1(XI).

NÚMEROS TRANSCEDENTES - São os números que não são algébricos. Não existe nenhumpolinômio de coeficientes inteiros de que sejam raiz. O número Pi, por exemplo, é um númerotranscendente porque não se pode obtê-lo como raiz de nenhum polinômio de coeficientesinteiros. Os números transcendentes são infinitos e há muito mais do que números algébricos(que são aqueles que se podem obter como raiz de um polinômio de coeficientes inteiros). Raizde 3 é um número algébrico, já que é solução da equação x2 - 3 = 0.

Letra OOBLÍQUA - Reta que faz com a horizontal ou com outra reta um ângulo do intervalo [0 a180º] mas diferente de 90º.

OBTUSO - Um ângulo que mede mais de 90 graus mas menos de 180 graus.

OCTAEDRO - Poliedro de oito lados.

OCTÓGONO - Polígono que tem oito lados e oito ângulos.

OCTANTE - Cada uma das 8 porções de espaço determinadas pelos 3 planos coordenados.

ORDEM - Arranjo ordenado que pode ser em ordem crescente ou decrescente. Existe umpadrão de comportamento para os objetos.

ORDEM CRESCENTE - Arranjo de um grupo de números em ordem, de modo que um

número menor é sempre colocado antes de um maior. Exemplo: 3, 6, 9, 12, 27.

ORDEM DECRESCENTE - Arranjo de um grupo de números em ordem, de modo que umnúmero maior é colocado antes de um menor. Exemplo: 27, 12, 9, 6, 3.

ORDENADA - Ver coordenadas.

ORDINAL - Palavra que indica a ordem de colocação em um conjunto de um dos seusobjetos (1º, 2º, 3º, ...) ou (primeiro, segundo, terceiro...).

Letra PPADR O - Um procedimento onde se utiliza as figuras congruentes repetidas, seja para

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recobrir uma superfície ou para criar uma borda. É também uma regularidade, um modelo,uma sequência: quando se pode identificar o próximo evento ou objeto que virá, seencontrou um padrão.

PADRÃO NUMÉRICO - Uma regularidade, um modelo, uma sequência: quando se podeidentificar o próximo número que virá, se se encontrou um padrão numérico.

PAR - Um número inteiro que é divisível por 2. Também entendido como um conjunto quecontem dois elementos.

PARÁBOLA - Curva em que todos os pontos distam igualmente de um ponto fixo (foco) ede uma reta chamada diretriz. Obtém-se interseccionando uma superfície cônica por umplano paralelo a uma geratriz.

PAR ORDENADO - Um conjunto de dois números usados para localizar um ponto no plano.O primeiro número indica a distância à origem no eixo dos x (abcissa) e o segundo adistância à origem segundo o eixo dos y (ordenada).

PARALELAS - Linhas eqüidistantes em toda a sua extensão. Duas retas são paralelasquando não tem ponto em comum.

PARALELEPIPEDO - Sólido geométrico com seis faces, sendo que as faces opostas sãoparalelas. Este sólido se assemelha a uma caixa de sapato.

PARALELOGRAMO - Um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

PENTADACÁGONO - Um polígono com 15 lados.

PENTÁGONO - Palavra de origem grega formada por penta (cinco) e gono (ângulo). Umpolígono com 5 lados.

PENTAGRAMA - Uma estrela feita pela união dos pontos de um pentágono regular.

PENTAMINÓ - Todas as figuras em duas dimensões formadas pela combinação de 5quadrados congruentes adjacentes.

PERÍMETRO - Medida do contorno de uma figura geométrica plana.

PERÍMETRO DA CIRCUNFERÊNCIA - É a medida do comprimento da circunferência. Seesta tem o raio igual a r e é a constante cujo valor é 3,1415926535..., então o



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perímetro Pé calculado por: P = 2 × × r.

PERMUTAÇÕES - Dispor um conjunto de elementos de todas as formas possíveis de tal modoque só a ordem desses elementos seja uma forma de distinção. Exemplo: permutações dapalavra uso : uso, uos, osu, ous, suo, sou. Se o conjunto é composto por nelementos, as

permutações obtidas são n! (fatorial). PERPENDICULAR - Duas retas são perpendiculares quando se interceptam formando ângulosretos.

PESO - Ver massa.

PI ( )- Valor constante (irracional) usado no cálculo do perímetro, da área e do volume defiguras e sólidos relacionados com a circunferência.

PICTOGRAMA - Um gráfico no qual os dados são representados por desenhos ou imagens.

PIRÂMIDE - Um poliedro que tem como base um polígono e como lados, triângulos que sereunem em um ponto comum.

PLANO - Superfície onde existem duas e só duas dimensões. Pode ser definido por: 3 pontosnão colineares (uma reta e ponto exterior a ela) por duas retas não sobrepostas.

PLURÍVOCA - Correspondência de vários objetos com vários objetos. Quatro doces de R$5,00correspondem a cinco doces de R$4,00, pelo menos no preço.

POLEGADA - Medida inglesa de comprimento, equivalente a 2,54 cm do sistema métricodecimal.

POLIEDRO - Um sólido limitado por polígonos.

POLIEDRO ESTRELADO - É um poliedro onde em cada face existe uma pirâmide.

POLIGONAL - Forma de apresentação de dados onde cada elemento ou classe é ligado ao

seguinte por um segmento de reta. Ou onde as barras são substituídas por segmentos de reta. POLÍGONO - Uma região plana fechada limitada por segmentos de retas.

POLÍGONO CIRCUNSCRITO - Um polígono é circunscrito a uma circunferência se todos osseus lados são tangentes à circunferência. Neste caso pode-se dizer que a circunferência éinscrita no polígono.



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POLÍGONO CÔNCAVO - Ao unir quaisquer dos seus dois pontos, por um segmento, este nãopassa pelo exterior do polígono. Algum dos seu ângulos internos é superior a 180º.

POLÍGONO INSCRITO - Um polígono é inscrito a uma circunferência se todos os seus vérticessão pontos da circunferência. Neste caso podemos dizer que a circunferência é circunscrita aopolígono.

POLÍGONO REGULAR - Um polígono que tem todos os ângulos e lados congruentes.

PONTO - Uma figura geométrica sem dimensão.

PONTO DE REFERÊNCIA - Um dado conhecido que nos permite estimar uma quantidadedesconhecida.

PONTO MÉDIO - É o ponto equidistante dos pontos extremos de um segmento. As suascoordenadas são {(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2} onde (x1, y1) são as coordenadas de um extremo e(x2, y2) as do outro.

PORCENTAGEM - (%) Uma forma de apresentar a razão entre duas grandezas mas por formaque o denominador seja 100. Exemplos: a razão entre 5 e 20 será 1/4 logo em termos depercentagem será 25/100 ou seja 25%. Inversamente: a percentagem 4% equivale a 4/100 ouainda 1/25. Para além de outros usos aparece sempre no cálculo de juros e de interesses

bancários. POTÊNCIA - Produto de fatores iguais.

PREDIÇÃO - A declaração de que se deve chegar, fundamentada no raciocínio ou experiênciacientífica. Pode-se fazer previsões sobre a meteorologia, tremores de terra, resultados decompetições esportivas, etc.

PREVISÃO - Ver predição.

PRISMA - Um poliedro limitado por dois polígonos paralelos e congruentes reunidos por doisparalelogramos.

PRISMA RETANGULAR - Um prisma que tem polígonos quadriláteros paralelos econgruentes.

PRISMA TRIANGULAR - Um prisma que tem polígonos triangulares paralelos e congruentes.

PROBABILIDADE - É o quociente entre o número de casos favoráveis e o número total decasos possíveis em uma experiência. A probabilidade de obter o número 4 no lançamento deum dado sem defeito é 1/6.

PRODUTO - Uma das quatro operações básicas da aritmética, que realiza o produto de dois oumais termos denominados fatores. A multiplicação é uma adição repetida.

PRODUTO ESCALAR - Entre dois vetores é obtido multiplicando os módulos dos 2 vetorespelo cosseno do ângulo por ele formado.

http://www.somatematica.com.br/dicionarioMatematico/p3.php#predicao






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PROGRESSÃO ARITMÉTICA - É uma sucessão onde é constante a diferença entre um termoe o termo seguinte; a essa diferença chama-se razão. Nestas progressões verifica-se.a n = a 1 + (n - 1).r.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - Sucessão onde é constante o quociente entre um termo e o

termo seguinte. Verifica-se que: an= a1. r(n-1).

PROJEÇÃO - Representação de uma figura em um ou mais planos.

Letra QQUADRADO - Um quadrilátero que tem todos os quatro ângulos retos e os quatro ladoscongruentes, paralelos dois a dois.

QUADRADO MÁGICO - Os números são dispostos em quadrados (3 x 3, 4 x 4, 5 x 5, ...) demodo que a soma dos números na vertical, na horizontal ou na diagonal é sempre a mesma.

QUADRADO PERFEITO - São os números que tem uma raiz quadrada inteira.

QUADRANTE - Uma região do plano cartesiano delimitada por duas semi-retas. O planocartesiano possui 4 quadrantes.

QUADRICELULAR - que é dividido em células.

QUADRÍDUO - Espaço de quatro dias.

QUADRIÊNIO - Período de quatro anos.

QUADRILÁTERO - Um polígono com quatro lados.

QUÁDRUPLO - Multiplicado por quatro; quatro vezes maior.

QUARTETO - Trecho de música executado por quatro vozes ou por quatro instrumentos.

QUARTILHO - A quarta parte de uma camada.

QÜINDÊNIO - Período de quinze anos.

QUINÁRIO - Aplica-se esse adjetivo ao elemento que contém cinco partes. Exemplo:

Compasso quinário. QUINGENTÉSIMO - Ordinal correspondente ao Cardinal 500.

QUINHENTISMO - Relativo ao século XVI que vai de 1501 até 1600. Os escritores desseséculo são chamados quinhentistas.

QUINQUAGÉSIMO - Ordinal correspondente ao cardinal 50.

QÜINQÜENAL - Que dura cinco anos, ou que ocorre de cinco em cinco anos.

QÜINQÜENÁRIO - Que dura cinco anos, ou que ocorre de cinco em cinco anos.

QÜINQÜÊNIO - Período de cinco anos.



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QÜINQÜÍDIO - Espaço de cinco dias.

QUINTETO - Composição musical de cinco instrumentos.

QUINTILHA - Estância de cinco versos.

QUINZENA - Período de quinze dias sucessivos. Uma das partes do mês dividido em duaspartes iguais.

QUOCIENTE - O resultado de uma divisão. Na divisão de 8 por 4 o quociente é 2.

Letra RRACIONALIZAR UMA FRAÇ O - Obter uma fração equivalente à dada, onde odenominador seja um número racional. Exemplo:

RADIANO - Unidade de medida de ângulo que corresponde ao ângulo central subtendidopor um arco de circunferência cujo comprimento seja igual ao raio desta mesmacircunferência.

RAIO - O segmento de reta que liga o centro do círculo a qualquer ponto da circunferênciado círculo.

RAIZ DE UMA FUNÇÃO - Valor de x para o qual f(x) = 0.

RAIZ QUADRADA - A raiz quadrada de um número N é um número a tal que a x a = N. Deuma maneira geométrica podemos dizer que a raiz quadrada de N é o lado quadrado cujaárea é N. A raiz quadrada de 16 é 4 pois 4 x 4 = 16.

RAZÃO (:) - Comparação de dois números ou duas quantidades obtida pelo quociente entreelas. A razão entre 6 e 3 é igual a 2 a razão entre 3 e 6 é igual 0.5.

O termo razão também pode significar a diferença entre termosconsecutivos de uma progressão aritmética, ou o quociente entre doistermos consecutivos de uma progressão geométrica.

REAJUSTE - Ajuste que se faz no preço das tarifas.

RECÍPROCO DE UM NÚMERO - Dois números são recíprocos se o seu produto é igual a1.Também chamado inverso.

REDE - Obtém um padrão quando se desenvolve um sólido, isto é, se estende a superfícieexterior de um sólido para obter uma superfície plana.

REDUÇÃO (Sistemas) - Método de resolução de um sistema que consiste em obter parauma das incógnitas, coeficientes com o mesmo valor. Assim ao somar algebricamente 2 a 2essas equações faz-se desaparecer essa incógnita.

REFLEXÃO - A formação dos pontos de um objeto de modo que a nova figura obtida separeça como uma imagem refletida em um espelho.



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REGRESSÃO LINEAR - Método para encontrar a reta que mais se aproxima de umconjunto de pontos.

RELAÇÃO DE EULER (lê-se:"Óiler") - Em um poliedro convexo, a soma do número V devértices com o número F de faces é igual ao número A de arestas mais dois. V + F = A + 2

RENDA PER CAPTA - Quantia representativa da renda de cada pessoa de um país.

RESTO - A quantidade que sobra após a divisão de um número inteiro por outro. Ao dividir13 por 4, o quociente é 3 e o resto é 1.

RETA - (Conceito primitivo) É um conjunto infinito de pontos alinhados de tal forma que ossegmentos com extremidades em dois quaisquer desses pontos têm sempre a mesmainclinação.

RETÂNGULO - Paralelogramo que possui todos os ângulos retos e lados iguais dois a dois.

RETÂNGULO DE OURO - Trata-se de um retângulo construído de forma que o quocienteentre os lados seja igual ao número de ouro.

RETA NUMERADA - Uma reta graduada que tem o número 0 (zero) como ponto inicial, umnúmero 1 (unidade) como ponto de referência e outros números em ordem crescente (porconvenção: para a direita), relativamente à medida do segmento que começa em 0 etermina em 1.

RETÂNGULO - Um paralelogramo que tem 4 ângulos retos e os lados são paralelos econgruentes dois a dois.

RETAS CONCORRENTES - Retas que se cruzam.

RETAS OBLÍQUAS - Duas retas que se cortam com um ângulo não perpendicular.

RETAS PARALELAS - Retas que nunca se cruzam e que não estão sobrepostas.

RETAS PERPENDICULARES - Retas que se cruzam formando um ângulo reto.

REVOLUÇÃO - Um deslocamento no qual cada ponto do objeto se desloca mantendo amesma distância ao centro de rotação mas formando ângulos diferentes. Por exemplo, omovimento da roda de uma bicicleta é um movimento de rotação em torno de um eixo.

ROTAÇÃO - Um deslocamento no qual cada ponto do objeto se desloca mantendo amesma distância ao centro de rotação mas formando ângulos diferentes. Por exemplo, omovimento da roda de uma bicicleta é um movimento de rotação em torno de um eixo.

Letra SSECÇ ES CÔNICAS - Curvas que se obtém interseccionando uma superfície cônica porum plano. Conforme a posição do plano assim se obtém: ponto, circunferência, elipse,parábola, hipérbole.

SEGMENTO DE RETA - Parte de uma reta limitada entre dois pontos.

SEGUNDOS - Unidade de tempo traduzida por segundos = 1 minuto. Também chamamos



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segundos unidade de ângulos.

SEMANA - Espaço de sete dias. A palavra semana deriva-se de septum (sete)e mane (manhã ou dia).

SEMELHANTE - Diz-se que duas figuras são semelhantes se ambas são congruentes ou

uma delas é uma ampliação ou redução da outra.

SEMICÍRCULO - Metade de um círculo, ou seja uma das partes do círculo delimitadas pelodiâmetro.

SENO (Sen) - Em um triângulo retângulo o sen A (ângulo agudo) é quociente entre o catetooposto a esse ângulo e a hipotenusa.

SENTENÇA DE UMA FUNÇÃO - sua definição expressa através de variáveis.Ex: f(x) = 3x + 5.

SEPTULO - Que vale sete vezes outro, ou que é sete vezes maior que outro. SEPTUPLICAR - Tornar sete vezes maior. Multiplicar por sete.

SEPTENATO - Denominação pela qual ficou conhecido o governo da França, estabelecidoem 1873 e com a duração de sete anos.

SEQÜÊNCIA - Números ou figuras geométricas dispostos em certaordem. 1, 3, 5, 7, ... é a seqüência dos números ímpares, porexemplo.

SETEMBRO - No calendário romano era setembro o sétimo mês do ano. No calendário

muçulmano o sétimo mês correspondente ao Ramadã, isto é, o mês da quaresma.

SEXAGESIMAL - Unidade que utiliza a base 60. Como no caso da medida de ângulos ondeum grau tem 60 minutos e um minuto tem 60 segundos.

SÍMBOLO - Sinal gráfico que representa uma idéia matemática. Os números são escritoscom símbolos chamados ALGARISMOS.

SIMÉTRICO - Uma figura em uma, duas ou três dimensões é dita simétrica se ela possui umente de simetria (ponto, eixo ou plano), de modo que do outro lado deste ente de simetria afigura seja semelhante, porém invertida, como se tivesse sido colocada na frente de umespelho.

SINAIS - Há diversos sinais que são usados na escrita matemática, como, por exemplo, ossinais das operações e os próprios algarismos. Para comparar números são usados ossinais: > (maior que), < (menor que), (diferente que), = (igual a)

SISTEMA BINÁRIO - É um sistema de numeração que utiliza doisalgarismos (0 e 1) para representar quantidades. Este é o sistemautilizado pelos computadores, pois precisamos de dois dígitos pararepresentar as duas situações (ligado ou desligado) que ocorrem nosseus circuitos eletrônicos internos.

SISTEMA DECIMAL - É um sistema de numeração que utiliza dez algarismos pararepresentar quantidades. Ex.: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.



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SISTEMA HEXADECIMAL - É um sistema de numeração que utilizadezesseis algarismos para representar quantidades. Ex.: 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Normalmente é vinculado à informática,pois os computadores interpretam as linguagens de programação em

bytes, que são compostos de oito dígitos.

SISTEMA OCTAL - É um sistema de numeração que utiliza oito algarismos para representarquantidades. Ex.: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. É um sistema do tempo dos processadores de 8 bits.Atualmente este tipo de notação praticamente não é usado.

SISTEMA DE EQUAÇÕES - Conjunto de equações com as mesmas variáveis e queadmitem as mesmas raízes.

SÓLIDO - Uma figura em três dimensões. Exemplos de sólidossão: cubo, paralelepípedo,pirâmide.

SOMA - Uma das principais operações básicas da aritmética, que resulta na adição denúmeros.

SOMATÓRIO - Forma sintética de indicar uma adição de parcelas diferentes. O símbolo

usado é um sigma maiúsculo . Exemplo: esta nomenclatura é o mesmo que escrevera soma de potências de 2 cujos expoentes vão de 1 a 5, ou seja 2 + 4 + 8 + 16 + 32.

SUBCONJUNTO - Diz-se que A é um subconjunto de B se todos os elementosde Apertencem a B.

SUBSTITUIÇÃO - Método de resolução de um sistema de equações que consiste emdeterminar em uma delas o valor de uma incógnita e substituir nas restantes equações, essaincógnita pelo valor encontrado.

SUBTRAÇÃO - Uma das quatro operações básicas da aritmética, que objetiva retirar umnúmero de outro. É uma operação artificial criada a partir da adição.

SUCESSÃO - Conjunto de objetos apresentados segundo uma certa sequência. Exemplo:Qual o número seguinte das sucessões: 1, 2, 3, 4.... e 7, 14, 21, 28, 35... Sãorespectivamente 5 e 42.

SUCESSÃO DE FIBONACCI - Uma sucessão infinita onde cada termo é obtido pela adição

dos dois anteriores. Na natureza ela aparece com frequência, por exemplo na distribuiçãodas "pétalas" de uma pinha. Exemplo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...

SUPERFÍCIE - Um ente geométrico bidimensional suave (que não possui bicos) e quepossui medida de área, isto é, uma região que pode ser planificada (colocada sobre umplano) de modo que a nova região planificada tenha a área equivalente a de um quadrado.

SUPERFÍCIE CILÍNDRICA - Superfície gerada por uma reta (geratriz) que se deslocaparalelamente a si mesma e apoiada numa curva (diretriz).

SUPERFÍCIE CÔNICA - Superfície gerada por uma reta (geratriz) que se desloca apoiadaem uma curva (diretriz) mantendo um ponto fixo (vértice).

Letra T

http://www.somatematica.com.br/dicionarioMatematico/s.php#cubo



http://www.somatematica.com.br/dicionarioMatematico/s.php#paralelepipedo


http://www.somatematica.com.br/dicionarioMatematico/s.php#piramide








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TABUADA - Tabela usada nas séries iniciais que contém as operações aritméticasfundamentais.

TANGENTE - Linha ou superfície que toca outra linha ou superfície em um só ponto semhaver intersecções.

TANGRAM - Conjunto de peças gráficas específicas que pode ser reunido para montarfiguras geométricas. Muito utilizado nas atividades práticas de Geometria.

TENTATIVA E ERRO, CHUTE - Uma estratégia de resolução de problemas onde se fazuma escolha para viabilizar o resultado. Assim, procede-se várias vezes até que se cheguea alguma conclusão próxima ao objetivo para a resolução do problema.

TEODOLITO - Instrumento óptico para medir com precisão ângulos horizontais e ângulosverticais; muito usado em trabalhos topográficos e geodésicos.

TEOREMA - Proposição que, para se tornar evidente, precisa de demonstração.

TERMO - Um dos objetos matemáticos em uma operação.

TETRAEDRO - Um poliedro com 4 faces. Se o tetraedro for regular, ele terá 4 facescongruentes, 4 vértices e 6 arestas também congruentes.

TONELADA - (t) Medida de massa em que 1 tonelada = 1000 quilogramas.

TOTAL - O resultado de uma adição, subtração, multiplicação, divisão.

TRANFERIDOR - Um instrumento que serve para medir ângulos.

TRANSITIVA - Nas igualdades: se a = b e b = c, então a = c. Nas desigualdade: se a > b e b> c, então a > c ou se a < b e b < c, então a < c.

TRANSLAÇÃO - Movimentar uma figura por forma que todos os seus pontos se desloquemna mesma direção e sentido mantendo as distâncias entre eles. Transformação geométricaque respeita as características já apontadas.

TRAPEZOIDE - que tem a forma de um trapézio; trapezoidal.

TRIGONOMETRIA - Ramo da matemática que estuda no triângulo as relações entre asmedidas dos lados e amplitude dos ângulos.

TRIÂNGULO - Polígono de três lados.

TRIÂNGULO ACUTÂNGULO - todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidasdos ângulos são menores do que 90º.

TRIÂNGULO DE PASCAL - Uma forma de dispor números (na forma de triângulo) em que oelemento inicial e o final de cada linha são 1, e os outros elementos obtém-se somando o

elemento que o precede e o que lhe sucede na linha anterior.



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TRIÂNGULO EQUILÁTERO - Os três lados têm medidas iguais (veja animação abaixo).

TRIÂNGULO ESCALENO - Os três lados têm medidas diferentes (veja animaçãoabaixo).

TRIÂNGULO ISÓSCELES - Dois lados têm a mesma medida (veja animação abaixo).

TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO - Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo commedida maior do que 90°.

TRIÂNGULO RETÂNGULO - Possui um ângulo interno reto (90 graus).

TRINÔMIO - Polinômio com três termos, três monômios.

Letras U/VUNI O - Conjunto de todos os elementos pertencentes a dois ou mais conjuntos. Chama-setambém reunião.

UNIDADE - A grandeza que serve de referência na medida. No caso da numeração o 1 é aunidade usada.

UNITÁRIO - Conjunto que tem um único elemento.

UNÍVOCA - Correspondência que faz com que um objeto corresponda a uma e somenteuma imagem.

VALOR ABSOLUTO - O valor absoluto de um número real a , também chamado "módulodea ", é denotado por |a | e definido como o máximo valor entre a e -a , isto é:



|a| = max{a,-a}

VALOR POSICIONAL - O valor da posição de um algarismo depende de sua posição nonúmero. No número 728, o algarismo 7 ocupa a posição das centenas, o 2 ocupa a posiçãodas dezenas e o 8 a posição das unidades.

VARA - Medida antiga de comprimento equivalente a 1,10 m.

VARIÁVEL - A grandeza que pode ser mudada, ou melhor, cujo valor pode assumirdiferentes grandezas. As letras mais usadas neste caso são as últimas letras doalfabeto: x,y e z, mas como mero hábito, já que a variável pode ser representada porqualquer símbolo. Exemplo: na equação f + 5 = 12, f é a variável ou incógnita, cujo valordeterminado será 7.

VAZIO - Nome dado ao conjunto que não tem elementos. Representa-se por { } .

VELOCIDADE - Distância percorrida na unidade de tempo. Em um movimento uniformepode-se calcular pela fórmula v = d / t.

VERTICAL - Reta perpendicular à horizontal. De outra maneira: reta na direção da força dagravidade (dirigida ao centro da terra).

VÉRTICE - O ponto de junção de duas semi-retas de um ângulo, de dois lados de umpolígono ou de três (ou mais) faces de um sólido.

VETOR - Segmento de reta orientado, usado para a representação de forças, aceleraçõesetc. Nessa representação aparece a grandeza (expressa pelo comprimento do segmento), adireção (dada pela reta) e o sentido (dado pela seta).

VETOR NULO - Vetor nulo ou vetor zero de um espaço vetorial.

VÍRGULA - É um sinal matemático que separa a parte inteira da parte decimal de umnúmero.

VISTAS - Você pode olhar um objeto sob vários ângulos. Conforme o ângulo, você tem umavista diferente desse objeto. Se você está em um avião sobrevoando uma cidade, você tema vista superior da cidade. O mapa de uma cidade é a vista superior simplificada da cidade.A planta de uma casa também é a vista superior simplificada da casa.

VOLUME - O volume de um objeto é definido como a medida do lugar ocupado pelo objetono espaço. Por exemplo, o volume de uma caixa é medido em cm³.

Letras X/ZZERO - Representação do nada. O mais recente dos algarismos. O ponto de separação dosnúmeros negativos e positivos na reta real.

ZERO DE UMA FUNÇÃO - Valor de x para o qual se tem f(x) = 0.

Apostila So a

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