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Sistemas Articulados

Cap 1 Conceitos Gerais Prof. Adelair 1

APOSTILA SISTEMAS ARTICULADOS MEC 0252 - SISTEMAS ARTICULADOS Prof. Adelair

Edio 4 - 2014



Cap 1 Conceitos Gerais INTRODUO Projeto em engenharia normalmente entendido como um processo de definio de tamanhos, formas, materiais, arranjo das partes tal que a mquina resultante execute a tarefa que lhe foi prescrita. Abrange desde a identificao de uma necessidade at a construo e testes de um prottipo. Um projeto compe-se basicamente das seguintes etapas: a) Reconhecer e constatar sua necessidade. b) Estudo de solues possveis e seleo de uma, que ser estudada com mais detalhes. c) Delinear o anteprojeto da mquina, estrutura, sistema ou processo selecionado. Definir as especificaes. d) Dimensionar todos os componentes e preparar os desenhos e especificaes mais detalhadas. Fases iniciais: criativas. Fases finais: decises encadeadas. Definir primeiramente o que ser criado. Criao => arte No projeto, o conjunto e a disposio das peas consistir normalmente de um ou mais mecanismos. Para a escolha destes mecanismos, o projetista deve conhecer o maior nmero possvel deles. Bom senso + ensaios + experincia. Outros fatores: Atrito, desgaste e aquecimento, Utilidade, Custo, Segurana, Rudo, Aparncia, Versatilidade, Controle, Resistncia, Rigidez, Lubrificao, etc.. Esquema cinemtico



Uma das fases enfoca a anlise do sistema. Esta fase consiste em estudos com o objetivo de verificar a soluo ou solues previamente desenvolvidas. A verificao executada com base nos parmetros pr-estabelecidos na definio do problema. Com isso, esta fase pretende desenvolver aquela(s) soluo(es) que melhor satisfaz os requisitos exigidos pelo projeto. Dessa forma, h uma necessidade de conhecer as ferramentas bsicas e necessrias para a anlise de um mecanismo ou sistema articulado. Um sistema articulado uma combinao de elementos ou partes que formam um conjunto unitrio ou complexo, que tem por objetivo desempenhar uma determinada funo. Este curso abordar a classificao e a apresentao dos conceitos bsicos para a iniciao ao estudo de sistemas articulados.



1- Conceitos Gerais A cinemtica das mquinas analisa os mecanismos preocupando-se unicamente com os requisitos relativos ao movimento (deslocamentos, velocidade e acelerao), sem levar em considerao os requisitos de resistncia. 1.1- Conceito de Mquina um mecanismo ou conjunto de mecanismos destinados a transmitir fora, torque de uma fonte de potncia para resistncia a ser vencida. 1.1.1- Classificao das Mquinas a) Mquinas Motrizes Recebem energia natural e a transformam em movimento ou energia cintica.

b) Mquinas Operatrizes Recebem a energia cintica das mquinas motrizes e a aplicam em qualquer trabalho til.

1.2- Teoria das Mquinas a cincia que estuda as relaes de geometria e movimento das mquinas e divide-se em: a) Cinemtica o estudo do movimento sem considerar as foras que o produziram; mais especificamente, a cinemtica estuda a geometria, deslocamento, velocidade e acelerao. Neste contexto, a cinemtica a matria principal da teoria dos mecanismos, tratando das propriedades do movimento geomtrico dos corpos rgidos, caracterizado pela mudana da posio relativa destes corpos, sem nada considerar a respeito das foras que o originam. Todos os movimentos observados na natureza so movimentos relativos, ou seja, movimentos de um corpo observado com relao ao observados. Por exemplo, um passageiro sentado num nibus possui um movimento relativo a um observador parado no ponto de nibus, e nenhum movimento relativo a outro passageiro sentado. Entretanto, um passageiro movendo-se dentro do nibus



possui movimento relativo com o passageiro sentado e tambm com o observador parado no ponto de nibus. O estudo do movimento, a cinemtica, tem sido conhecida tambm como a cincia do movimento relativo. Sntese (projeto) e Anlise de mquinas e mecanismos exigem dos projetistas habilidade para visualizar o movimento relativo de componentes dos sistemas mecnicos. Cinemtica dos Mecanismos, um ramo da cinemtica que estuda a aplicao desta na Sntese e Anlise dos mecanismos. Ou seja, estudo dos arranjos de mquinas onde os movimentos e mudanas de posio das partes (corpos) so determinados. Diviso da Cinemtica a1) Anlise A partir da geometria determinada do mecanismo, calcula-se ou determina-se os valores de deslocamento, velocidade e acelerao. Ex. A partir das dimenses do came, determina-se o grfico de seu comportamento

a2) Sntese A partir do movimento desejado (pr-determinado) dimensiona-se a geometria e a configurao do mecanismo (monta-se o modelo matemtico). Ex. Do grfico desejado para a came, faz-se o seu dimensionamento. b) Dinmica o estudo do movimento considerando as foras atuantes.



1.3 Mecanismo um conjunto de pacas ou elementos de mquinas dispostos de tal forma a produzir ou transmitir um determinado movimento. Ex.Sistema biela-manivela-pisto de um motor de combusto interna, par de engrenagens, sistema de cames, alavanca de trava de um basculante ou cap, cadeira dobrvel, guarda chuva, pedal de freio, guarda chuva etc.

1.3.1 Ciclo Quando as peas de um mecanismo, partindo da posio inicial, tiverem passado por todas as fases intermedirias e retornam a posio inicial. 1.3.2 Perodo o tempo necessrio para completar um ciclo. 1.3.3 Fase a posio relativa de um mecanismo num determinado instante durante um ciclo. 1.4 Classificao dos Mecanismos A ordenao encontrada num sistema de classificao essencial para uma anlise cientfica, pois permite a distino entre objetos de um dado grupo. Para o projetista, constitui-se num importante auxlio para a busca sistematizada de formas e disposies mais adequadas s especificaes do seu projeto. Com relao rea de mecanismos, apesar de vrias tentativas, no se chegou a um sistema de classificao geral e unificado, capaz de ordenar e caracterizar todos os tipos de mecanismos existentes.

O estudioso alemo de cinemtica Franz Reuleaux classificou todos os mecanismos conhecidos em 6(seis) tipos bsicos, que so: - mecanismos de parafuso; - mecanismos de barras; - mecanismos de roda, incluindo a engrenagem; - mecanismos de cames; - mecanismos de catraca;



- rgos de trao compresso, ou seja, partes contendo rigidez em um nico sentido como correias, correntes e circuitos hidrulicos. derivado destas partes que mecanismos e mquinas so constitudos. De modo geral os mecanismos so classificados de acordo como tipo de movimento que exibem: a) Plano Todas as partes movem-se em planos que permanecem paralelos entre si, ocorrendo o mesmo com os eixos de todos os pivs rotativos.

b) Esfrico O movimento ocorre sobre superfcies de esferas concntricas. Os eixos dos pivs se interceptam em um ponto; os movimentos das partes ocorrem sobre as superfcies de esferas concntricas cujo centro o ponto de interseco dos eixos dos pivs. Ex.Junta universal usada para interligar dois eixos que se cruzam.

c) Espaciais Algumas partes ou mesmo todas elas podem se deslocar livremente nas trs dimenses. Pode-se tambm classificar os mecanismos quanto ao tipo de movimento que so transmitidos:



- Mecanismos que transformam movimento uniforme em movimento uniforme, como no caso das engrenagens circulares, correntes, correias e similares. Mecanismos que transformam movimento uniforme em movimento no uniforme, como no caso de engrenagens no circulares, cames, catracas e mecanismos articulados planos e espaciais.

1.5 Movimentos produzidos pelos Mecanismos

1.5.1 Movimento Plano a) Translao Ocorre quando uma reta definida por vrios pontos quaisquer deste corpo fica constantemente paralela a si mesma. a.1) Translao retilnea Todos os pontos do corpo tem como trajetria retas paralelas Ex. corpo 6 (pisto). a.2) Translao Curvilnea As trajetrias dos pontos so curvas idnticas e paralelas a um ponto fixo. Ex.conexo 3 b) Rotao Ocorre quando cada ponto do corpo em movimento plano permanece a uma distncia constante de um eixo fixo normal ao plano de movimento. Ex. manivelas 2 e 4



c) Rotao e Translao Ocorre quando a pea tem movimento de rotao e translao.

Ex. biela 5. No ponto B est em rotao. No ponto 06 tem movimento de translao. Notao 1, 2, 3: Elementos ( em geral o elemento 1 fixo e o 2 o motor); A, B, C : pontos nas juntas do mecanismo; P, Q, R: pontos em locais arbitrrios do mecanismo; O1, O2: pontos sem movimento absoluto; VA: Velocidade absoluta do ponto A; VBA: velocidade do ponto B em relao ao ponto A; W2: velocidade angular absoluta do elemento 2; W32: velocidade angular do elemento 3 em relao ao elemento 2; O2B, BC: distncias entre pontos. 1.5.2 Movimento Helicoidal Quando um corpo tem movimento de rotao em torno de um eixo fixo e ao mesmo tempo translao paralela a este eixo. Ex.porca sendo atarraxada a um parafuso. 1.5.3 Movimento Esfrico Quando um corpo rgido se move de modo que todos os seus pontos girem em torno de um ponto fixo, mantendo uma distncia constante deste ponto. 1.5.4 Converses de movimentos Linear p/ rotativo: cremalheira e pinho Transformao linear: polia, alavanca Transformao direcional: alavanca de sinos Oscilatrio p/ recproco: biela, came Oscilatrio p/ rotativo: biela Oscilatrio p/ intermitente: catraca Oscilatrio p/ irregular: came Recproco p/ rotativo: pisto Recproco p/ oscilatrio: vnculos (homem + martelo) Recproco p/ intermitente: catraca Recproco reflexivo: alavanca, polia Rotativo p/ linear: roda Rotativo p/ recproco: pisto, card Rotativo p/ oscilatrio: biela, retorno rpido Rotativo p/ intermitente: Genebra Rotativo p/ irregular: came Irregular: esta parte do mecanismo no usada como motora Intermitente: o elemento que realiza o movimento usado como final da transmisso do movimento.



1.6 Pares Cinemticos As barras adjacentes de um mecanismo devem ser convenientemente ligadas para que executem o movimento relativo desejado. Chamamos de par cinemtico a forma geomtrica pela quais dois membros de um mecanismo so articulados. Par cinemtico qualquer forma de conexo entre duas peas que permita movimento relativo entre eles Cada uma das partes que compe o par chamada de elemento do par. Os dois elementos do par so as regies em contato de cada um dos corpos e videntemente, a combinao das formas das reas de contato que definir o movimento relativo entre os dois corpos. 1.6.1.Classificao dos pares Cinemticos Os corpos adjacentes de um mecanismo devem ser convenientemente ligados para que executem o movimento desejado uns em relao aos outros. Estas juntas que so responsveis pelas ligaes entre os corpos, so chamadas de pares cinemticos, - constituindo num dos aspectos mais importantes do mecanismo. Cada uma das partes(ou corpos) que forma o par chamada de elemento do par. Os pares cinemticos(ou juntas do mecanismo) podem ser classificados em pares inferiores e pares superiores. A diferena entre eles reside na forma que o contato entre as superfcies realizado. No caso dos pares inferiores os elementos possuem contato superficial enquanto que nos superiores o contato entre os dois elementos linear ou pontual. Decorre disso que os pares inferiores podem suportar cargas mais pesadas sendo por isso os mais desejados. Por outro lado os pares superiores possuem a vantagem de apresentarem menores perdas por atrito devido ao contato linear ou pontual entre seus elementos. Os Pares inferiores so divididos em: Movimento linear (par rotativo, par prismtico (deslizante) e par helicoidal). Movimento Superficial (par cilndrico, par esfrico e par plano).

a) Par Inferior linear e superficial A distino entre os dois tipos baseia-se no nmero de graus da liberdade do par. O movimento no espao de um corpo rgido possui 6 graus de liberdade, ou seja, para especificar o deslocamento de um corpo rgido no espao so necessrias 6 variveis, isto , trs (3) deslocamentos lineares nas direes dos eixos coordenados e trs (3) rotaes em torno destes eixos.



Cada uma destas variveis de movimento est associada com um grau de liberdade, sendo o movimento de translao ou de rotao. Para que se possa formar uma idia clara disso tudo, vo-se examinar em detalhes os movimentos possveis da barra (2) em relao barra (1) observando a natureza da ligao, conforme mostra a figura:

Fig. - Sistemas de coordenadas associadas a duas barras.

1 Par de Revoluo A barra (2) permitida somente uma rotao em torno do eixo i. Para esse caso suficiente descrever o movimento rotativo pelo ngulo medido em um plano perpendicular ao eixo w (plano uv). Segundo a classificao dada por Reuleaux, designa-se esta ligao como de rotao (par rotativo), dando-lhe o smbolo R. O grau de liberdade f desta ligao expresso por f = l.



2 Par Prismtico A barra (2) permitida somente uma translao ao longo de eixo i. As duas barras (1) e (2) permaneciam paralelas entre si e a varivel que descreve o movimento relativo seria a distncia perpendicular s entre os planos xy e vu. uma ligao prismtica com smbolo P e grau de liberdade f = 1.

3 Par Helicoidal Supor ser o eixo w helicoidal, como um parafuso, e o canto A como uma porca. A barra (2) ao rotacionar permanecer paralela barra (1), embora sofrendo uma translao ao longo do eixo w. J que o ngulo e a translao s esto relacionadas pelo passo L constante do parafuso, existe necessidade de se ter somente uma varivel para o movimento relativo das duas barras, O smbolo para o par helicoidal SL o grau de liberdade f = 1.

4 Par Cilndrico Se for permitido rotao e translao ao longo do eixo i, duas variveis independentes, uma para translao e outra para a rotao, sero necessrias para descrever entre as barras. Tal ligao denominada de cilndrica; o caso



de um eixo e o seu mancal de deslizamento em que no h restrio axial. Em notao simblica tem-se C; o grau de liberdade f = 2.

5 Par Plano Supor z1 = O 1, ou seja, barra (2) diretamente sobre o plano xy de (1). Ento detectar-se-ia trs movimentos possveis duas translaes e uma rotao em torno de i. Tal conexo plana (ocorre raramente) teria o smbolo F, e trs variveis, significando f = 3.

6 Par Esfrico Considerar que existe uma junta esfrica em A ligando as barras (1) e (2) com uma conexo esfrica constata-se imediatamente a ausncia de movimento linear. O nico movimento possvel da barra (2) com respeito (1) o movimento esfrico, ou seja, todos os pontos da barra (2) movem-se em esferas concntricas com relao ao centro da esfera. O movimento melhor descrito com sucessivas rotaes ao redor dos trs eixos coordenados: a seqncia de rotao importante. Est ligao contm trs (3) variveis, resultado f = 3. O smbolo ser G (de global).

Fig. (a) par de revoluo f = 1, (b) par prismtico f =1, (c) par helicoidal f =1, (d) par cilndrico f=2 (e) par esfrico f =3, (f) par plano f = 3.



As formas particulares escolhidas para os pares helicoidal, rotativo e prismtico seguem Reuleaux que considera os pares rotativos e prismticos como casos limite e espacial do par helicoidal como passo respectivamente zero ou infinito. Esta observao ser colocada em uso para idealizar uma rotao simblica completa para descrever mecanismos onde todas as ligaes so feitas por pares inferiores. b) Par Superior Os pares superiores dos elementos so formados de tal modo que o contato se d somente por linha ou ponto. Contato pontual o encontrado em mancais de esferas, bem como os dentes de engrenagens heliciodais de eixos no paralelos. Contato linear caracterstico de cames, mancais de rolos e a maioria das engrenagens.

O movimento relativo dos elementos dos pares superiores bastante complicado. As relaes funcionais envolvidas entre translao e rotao no permite definies sucintas, e um nmero infinito de pares superiores existe. Assim sendo, os pares superiores no seguem uma classificao simples como os pares inferiores, nem so descritos convenientemente por meio de smbolos. Ligaes por pares superiores podem ocasionalmente ser substitudas por uma combinao de pares inferiores. Considere a construo mostrada na figura.

Fig. Substituio de um par superior por dois pares inferiores, com a adio de um corpo. O pino da barra 2 desloca-se na barra 4 no uma construo muito prtica; o mesmo movimento relativo entre as barras 2 e 4 mantido quando se interpe a barra 3. Nota-se que os dois graus de liberdade da ligao por par superior (translao e rotao) so mantidos com a substituio dos dois pares inferiores e a outra barra que foi acionada.



1.7 Pea (Barra) um corpo rgido que tem dois ou mais pares de elementos pelos quais pode ser articulada a outros corpos para transmitir fora ou movimento. Um corpo material com dois ou mais elementos cinemticos chamado de barra. Cada elemento representa um local de contato, ou conexo outra barra. A tabela abaixo mostra a representao de barras tpicas que compem os mecanismos planares. A barra binria possui dois elementos (n2), a barra ternria possui trs elementos (n3), a barra quaternria possui quatro elementos (n4) e assim por diante.

1.8 Cadeia Cinemtica Ocorre quando um nmero de peas for ligado atravs de pares. Se as peas forem articuladas de tal maneira que no seja possvel haver movimento, esse sistema ser denominado de estrutura. Uma cadeia cinemtica uma coleo de partes (corpos ou barras), ligadas por pares cinemticos (ou juntas). A figura mostra uma aplicao tpica de um mecanismo, na qual uma janela de cobertura deve abrir 90 relativamente a horizontal, e de modo a garantir uma distncia capaz de prover acesso ao lado do vidro que fica exposto para o meio ambiente, possibilitando assim a sua limpeza. Alm disso, os esforos necessrios



para o acionamento do mecanismo devem ser compatveis com os de um acionamento manual.

Fig. Janela cuja movimentao feita por um mecanismo. Pode-se observar que a visualizao do movimento de um mecanismo como o mostrado na figura normalmente difcil, especialmente quando os outros componentes do sistema aparecem no mesmo desenho. Desta forma, o primeiro passo, tanto para a sntese, quanto para a anlise do movimento de mecanismos mais complicados, esboar o chamado diagrama cinemtico equivalente. Estes diagramas tm a funo de representar as partes (corpos ou barras) e as juntas (pares cinemticos) que compem mecanismo em estudo, e por conseqncia acabam sendo um meio para representar a cadeia cinemtica do mecanismo. Esta representao tem o propsito similar aos diagramas de circuitos eltricos e pneumticos, mostrando a estrutura essencial do mecanismo e tambm as principais dimenses que afetam o seu movimento. O diagrama cinemtico equivalente do mecanismo mostrado na figura representado na figura abaixo.

Fig. Diagrama cinemtico equivalente do mecanismo mostrado na fig. Anterior.



1.8.1 Formas de Cadeias Cinemticas a) Cadeia Cinemtica Fechada

Todos os pares cinemticos esto completos e ligados entre si.

b) Cadeia Cinemtica Aberta Existem pares cinemticos incompletos.

a1) Cadeia Cinemtica Fechada Simples Apresenta somente barras binrias.



a2) Cadeia Cinemtica Fechada Composta Apresenta somente barras ternrias de maior ordem.

Consideraes geomtricas muitas vezes tornam o movimento impossvel para a cadeia quando est fechada; neste caso ela chamada de estrutura. Utilizando-se o conceito de cadeia cinemtica, pode-se dar uma definio mais precisa sobre o mecanismo. Mecanismo uma cadeia cinemtica fechada com possibilidade de movimento em que uma das barras fixa. 1.9 Vetores e Movimentos

Consideremos o movimento de um ponto se movendo na figura bidimensional. Primeiramente o ponto existia em P1 e algum tempo mais tarde o ponto existia em P2. Durante o intervalo de nossa observao, deu-se o deslocamento de P1 at P2.

P2 P2

P1 P1 Fig. Fig.

O deslocamento de P1 at P2 requer para a sua descrio de uma grandeza (a distncia de P1 a P2), em uma direo (curso seguido para se deslocar de P1 a P2). Ento, comparando, chegamos a concluso que o deslocamento do ponto P um conceito vetorial. Tendo em vista a dificuldade de representao das grandezas exemplificadas, foi criado o vetor.

Representamos um vetor (figura) por um segmento de linha reta, cujo comprimento nos d o mdulo ou tamanho da quantidade representada, e com uma seta na sua extremidade, que nos d a direo e sentido, ou posio da mesma quantidade.

Podemos agora definir um vetor: O VETOR UMA SETA, OU UMA LINHA DIRIGIDA QUE TEM ESPECIFICADO TAMANHO (MDULO), DIREO E SENTIDO.



Agora podemos representar nossos conceitos vetoriais. Um vento oeste de 20 km/h representado por um vetor de 20 unidades de comprimento apontando de oeste para leste. A cidade situada a 30 km a nordeste de outra representada por um vetor de 30 unidades de comprimento apontando para nordeste. A fora de 12 kg representada por um vetor de 12 unidades de comprimento construdo paralelo a barra.

1.9.1 Escalares Usamos a palavra escalar para designar uma quantidade que pode ser especificada por um nmero real ordinrio. Tais quantidades como tempo, temperatura, energia, ou a grandeza de um vetor so exemplos de escalares. Estas so quantidades que no tem caractersticas de direo. So simplesmente nmeros (positivo, negativo e zero) os quais usamos sempre. 1.9.2 Notao para vetores e escalares Na anlise cinemtica necessria a representao de vetores e escalares por letras. A partir da necessidade que temos de distinguir um vetor e um escalar, seremos obrigados a usar alguma caracterstica para distingui-los. uso corrente o emprego da letra maiscula para representar o vetor, e da minscula para representar o escalar. Para estas notas de aula usaremos a representao vetorial bastante consagrada, que a seguinte: o escalar representado por uma letra maiscula ou minscula, conforme a necessidade, enquanto que o vetor representado pelo escalar acrescido de um smbolo de vetor, o qual constitudo por uma seta, que colocada sobre o escalar. Desta maneira, teremos a seguinte representao para o escalar A e para o vetor A. A grandeza de um vetor um escalar, o que recomenda bastante o emprego da mesma letra para o escalar e o vetor. 1.9.3 Adio de vetores Uma operao com vetores um mtodo de combinar vetores, ou vetores e escalares, a fim de obter novos vetores ou escalares. Uma operao tpica de operao com vetores obter a trajetria de um avio coando norte com vento nordeste. Para se efetuar a adio de vetores, coloca-se a extremidade de um coincidente com a origem do outro, e assim sucessivamente at chegar ao ltimo vetor, quando ento se obter um vetor que tem origem coincidente com a origem do primeiro vetor, e extremidade coincidindo com a extremidade do ltimo vetor. Este vetor assim obtido a soma dos vetores.

Na figura a esquerda temos a soma dos vetores A e B . Foram realizadas as adies A + B e B + A , obtendo-se o mesmo vetor. Isto a expresso da propriedade comutativa que estabelece: o mesmo resultado obtido, quer se some A com B ou B com A .



Para investigar a soma dos trs ou mais vetores, vamos considerar a soma: ( A + B ) + C . Primeiro somamos C a ( A + B ). Depois repetimos com A +( B + C ) e temos o resultado. Isto chamado de propriedade associativa e pode ser estabelecida:

( A + B ) + C = A +( B + C )

Isto significa que na soma de diversos vetores, o resultado o mesmo, independente da ordem em que eles so combinados. A adio de um grupo de vetores denominada composio de vetores. Um vetor simples, resultante da adio do grupo chamado vetor resultante.

Fig Fig.

1.9.4 Subtrao de vetores A operao de subtrao de vetores definida pela equao: A - B = A +(- B ) A equao estabelece que encontramos o resultado de A - B efetuando a soma de A com o vetor oposto a B . A operao ilustrada pela figura.

Fig. Subtrao de vetores. 1.9.5 Produto de vetores e escalares Considerando a soma de A + A ou A + A + A , vemos que podemos represent-la por 2 A ou 3 A , o que um produto de um vetor e um escalar. No



produto n R o escalar n pode ser um valor positivo ou negativo. Se n zero, o produto n R chamado vetor nulo a fim de manter o significado vetorial. Se n negativo, ento o vetor n R tem sentido oposto a R . A diviso de um vetor por um escalar, R /n, pode ser interpretada da mesma maneira que o produto, desde que se considere 1/n como o escalar do produto, j que 1/n tambm um escalar. 1.9.6 Resoluo de vetores Vimos que a equao C - A + B representa a adio de vetor B com vetor A para produzir a resultante C . Vamos considerar a operao inversa, em que conhecido o vetor C e queremos determinar os vetores A e B . Esta uma importante operao, por ser largamente aplicada na anlise cinemtica. Suponhamos que o vetor C (figura abaixo) seja um deslocamento, por exemplo, de R a T. existem infinitas solues para A e B . A fim de obter uma nica soluo devem ser especificados certos requisitos adicionais, como por exemplo, duas direes (ST e UV):

Fig.

Na anlise cinemtica tem importante interesse os vetores componentes que so em ngulo reto entre si, sendo ento as componentes retangulares do vetor (figura abaixo). Neste caso o paralelogramo se torna um retngulo.



Fig.

1.9.7 Notao polar de vetores Quando o mdulo do vetor e seu ngulo de direo a partir de uma linha de

referncia so dados (figura) ento conveniente a notao polar de vetores. O vetor especificado pelo comprimento R e pelo ngulo com o eixo dos x

que . Escreve-se:

R = R

Fig.

1.9.8 Notao retangular de vetores Na soluo de muitos problemas interessante definir um vetor em funo de suas componentes ao longo do eixo dos x e y, ou talvez, ao longo de coordenadas retangulares. A figura mostra as componentes x e y de um vetor R . Esta relao pode ser expressa pela equao: R = xR + yR



Um vetor na forma polar pode ser transformado para a forma retangular conforme mostra a figura. As equaes de transformao so: cosRRx = sinRRy = Se o vetor especificado na forma retangular, ele pode ser transformado para a forma polar com as seguintes equaes:

22yx RRR += e

x

y

RR

arctan= , onde xR e yR so as grandezas de xR e yR ,

dotadas do respectivo sinal.

Fig. Onde cosxRx = e sinyRy =

Algumas vezes, representa-se o vetor por meio de uma inclinao. Assim para o vetor da figura, temos um vetor de grandeza 20, com caimento 1 para 3. Note-se que necessrio indicar o sentido de caimento, para no criar confuso.



Fig.

1.9.9 Notao polar complexa Se adotarmos que um vetor tem sempre origem no centro, ento o sentido ser sempre para fora, ou a partir da origem. Ento especificando o comprimento e a direo est definido o vetor. O vetor expresso por: jbaR += (figura), sendo a e b as projees de R nos eixos e y, e j indica que o vetor girou de 90 no sentido anti-horrio a partir do eixo dos x, ou seja, que b est na direo do eixo dos y. As grandezas de R e sero: 22 baR +=

abarctan=

Nesta notao os nmeros a, como 2, 4 e -3 so nmeros reais. Eles esto representados na figura, sendo seu lugar sobre o eixo dos x, sendo colocados direita, se positivos, e esquerda, se negativos.

Fig. Quando o smbolo j prefixado ao nmero significa que o vetor deve ser girado de um ngulo de 90 no sentido positivo a partir do eixo dos x, na direo anti-horria. Se o sinal de j negativo, ento a rotao realizada no sentido horrio. Estas so duas quantidades imaginrias, e so sempre colocadas sobre o eixo dos y. Na figura temos a representao de j3, -j2 e j1. Assim coloca-se sobre o eixo dos x se positivo e abaixo, se negativo. O operador j pode ser usado repetidamente, mas cada uso representa um giro de 90 no sentido anti-horrio. Por exemplo, j representa a rotao de 4



durante 180, e isto significa -4. Ento j =-1 e j= 1 . Usando o mesmo raciocnio encontramos: j = 90 anti-horrio = 1 = j

j = 180 anti-horrio = 2

1 = -1

j = 270 anti-horrio = 3

1 = -j

j4 = 360 anti-horrio = 4

1 = +j

Fig Converso. O vetor R = R da figura pode ser transformado para a notao retangular complexa como segue: Uma vez que cosRa = e sinRb = , teremos: sincos jRRjbaR +=+= 1.9.10 Notao polar complexa Forma exponencial do vetor Com a finalidade de desenvolver a forma exponencial de um vetor, vejamos primeiramente a expresso Xe desenvolvida pela srie de Mac Laurin. Seja:

...)0('''!3)0(''

!2(())'

!1)0()(

32

++++= fXFXfXfXf , onde f(X) uma

funo de X, como por exemplo Xe , logX, sinX, etc. Desenvolvendo Xe :

...!4!3!2

1432

+++++=XXXXe X (a)

Substituindo j por x na equao (a):

...!5!4!3!2

155443322

++++++= jjjjje j ou

...!5!4!3!2

15432

++++= jjje j (b)

Desenvolvendo agora cos e sin por Mac Laurin:

...!4!2

1cos42

+= (c)



...!5!3

sin53

+= (d)

Multiplicando (d) por j, e somando com (c) teremos (b). Assim pelo teorema de De Moivre temos: sincos je j += Multiplicando por R: sincosRe jRRR j +== que a forma exponencial de um vetor. 1.9.11 Vetores posio J foi demonstrado que um ponto fica completamente definido quando suas coordenadas so dadas. A cabea de um vetor, que tem origem na origem do sistema de coordenadas, definir um ponto no sistema de referncia. Este raciocnio conduz a idia de emprego do vetor, que nas chamamos vetor posio, para definir a localizao de um ponto em um sistema de referncia. Na anlise cinemtica teremos grande interesse pela posio e movimento de um ponto, e ento o conceito de vetor posio ser de grande utilidade nas investigaes que seguiro. O vetor P (figura) usado para localizar o ponto P. PP = Notao polar se pX e pY so as coordenadas:

pp jYXP += Notao retangular complexa

Fig.

1.9.12 Equaes vetoriais Consideremos: BAC += Cada vetor, A , B ou C , representa uma grandeza e uma direo. Desta maneira para os trs vetores temos 6 incgnitas.



Uma vez que para solucionar uma equao vetorial, podemos dividi-la em uma equao segundo o eixo dos x e outra segundo o eixo dos y, chegamos a concluso que uma equao vetorial pode ter duas incgnitas. XXX CBA =+ YYY CBA =+ Sempre apresenta soluo nica (desde que o mdulo dos vetores seja adequado)

Fig.

1.9.13 Rotao dos sistemas coordenados Algumas vezes a soluo de uma equao vetorial pode ser obtida simplesmente referindo o vetor a um novo sistema de referncia. Isto pode ser feito facilmente colocando o vetor na forma polar. Por exemplo, suponhamos que se deseja transformar um vetor R = R do sistema xy para o sistema xy que forma um ngulo a partir do sistema xy (figura 1.22). Ento o vetor R pode ser referido ao novo sistema e ser:

RR = Note-se que o vetor no mudou, mudando apenas o sistema de coordenadas.

Fig



1.10 Variveis e unidades


Cap 2 Sistemas Articulados Prof. Adelair 1

Cap 2 SISTEMAS ARTICULADOS So formados por certo nmero de pares de elementos conectados por meio de corpos rgidos ou barras. 2.1 Sistema Biela-Manivela. Este mecanismo amplamente utilizado em mquinas. Seu maior exemplo de aplicao em motores de combusto.

Onde: 1- Estrutura o bloco do motor, ou seja, todas as partes sem movimento. 2- Manivela um brao ou uma pea que gira ou oscila em torno de um eixo. 3- Biela um elemento de unio entre o pisto e a manivela. 4 Pisto ou Cursor Elemento que recebe a fora exercida pela presso dos gases, e atravs da biela transmite fora (torque) e movimento (rotao) rvore de manivela.



Ponto Morto o alimento dos centro 02-A-B (no caso ilustrado acima). No sistema biela manivela temos dois pontos mortos.

Fig. Representao esquemtica do PMI e PMS, respectivamente. O ponto morto sempre indesejvel porque o mecanismo para em suas posies extremas. Deve-se procurar que o mecanismo no trabalhe na regio do ponto morto. Caso no seja possvel, torna-se necessrio usar um volante para evitar a parada nestes pontos. O volante um acumulador de energia e utilizado em diversas mquinas como serras, compressor de ar etc.



2.1.1. Variaes do Sistema Biela-manivela a) Excntrico

uma variao do sistema biela-manivela em que o pino da manivela substitudo por disco. O movimento equivalente a um sistema biela-manivela com uma manivela de comprimento OA. O ponto A o centro do excntrico e o ponto O o seu centro de rotao. utilizado em prensas excntricas. b) Garfo Escocs

uma adaptao do sistema biela-manivela para gerar movimento harmnico simples (Funes Seno e Cosseno). Usado tambm como mecanismo em mesas vibratrias.



2.1.2. Outras exemplos de aplicaes

2.2 Mecanismo de Quatro Barras (Quadriltero Articulado)

O mecanismo de quatro barras constitudo de quatro membros rgidos. 1- Base ou Membro Fixo: No sofre deslocamento e est pivotado a manivela e o balancim, ou outra manivela. 2- Manivela a pea acionadora que pode girara ou apenas oscilar. 3- Acoplador; Acoplado entre a manivela e o seguidor. UM ponto situado no acoplador de um quadriltero articulado chamado de ponto acoplador, e a sua trajetria quando a manivela se desloca chamada de curva do acoplador. 4 Seguidor



2.2.1 Mecanismos de Grashof Grashof realizou diversos estudos de mobilidade utilizando uma cadeia cinemtica fechada.

Consideramos o mecanismo a seguir.

Sendo os comprimentos:

a) = barra menor b) = barra maior

b, c) = barras intermedirias Para que a barra 02A consiga dar uma volta completa necessrio que a mesma possa atingir as duas posies abaixo analisadas. 1 posio

Neste caso temos: a + d



2 posio

Neste caso, podemos escrever b



b) As peas opostas tem o mesmo comprimento e so paralelas, sendo as peas 2 e 4 dotadas de movimento de rotao.

Ex. Aplicao em rodas motrizes de uma locomotiva a vapor.

c) A pea motriz e a conduzida giram continuamente.

O mecanismo base para o de manivela dupla e corredia.

c) A pea 4 pode ser substituda por um bloco deslizante.

2.2.4. Denominaes particulares do mecanismo de 4 barras

a) Manivela Balancim A barra menor aquela adjacente a fixa. A pea 2 gira e a pea 4 oscila.

1 3

4

2



b) Balancim duplo Quando a barra menor for o acoplador. As peas 2 e 4 tm movimento de oscilao.

c) Manivela Dupla Quando a barra menor for a fixa. As peas 2 e 4 tm movimento de rotao. Os mecanismos que no satisfazem o critrio de Grashof, ou seja, a + d > b + c, resultam em apenas mecanismos do tipo balancim, havendo quatro, dependendo qual barra tomada fixa. Quando a + d = b + c pode ocorrer o que chamamos de mudana, ou seja, a manivela conduzida pode ter seu movimento de giro invertido. Isto ocorre sempre que as barras ficam todas colineares. Ex. Rodas de trem. 2.2.5 Ponto Morto A configurao do ponto morto ocorre quando o sentido de giro da barra de sada (seguidor) alterado. Isto ocorre sempre que a barra de entrada e o acoplador estiverem colineares. Nos mecanismos dupla-manivela, uma vez que no temos mudana no sentido de giro de nenhuma das barras, conclui-se que no ocorre a configurao do ponto morto. Nos mecanismos duplo-balancim temos dois pontos mortos, um para cada entrada de movimento diferente. 2.2.5.1 Determinao analtica do ponto morto. Consideremos o mecanismo abaixo:



a) Se o mecanismo for manivela-balancim.

1 posio 2 posio

Pela lei dos cossenos: p2 = e2 + m2 2. .. cos = cos1( e2 + m2 p22. . ) Sendo: 1 = + onde e = n- 2 = onde e = n+ 1 e 2 so as posies angulares nas configuraes de ponto morto. A posio do balancim tambm pode ser determinada: e2 = m2 + p2 2.. . cos = cos1( p2 + m2 e22.. ) Sendo: 1 = onde e = n- 2 = onde e = n+

b) Se o mecanismo for duplo-balancim:

1 posio 2 posio

Pela lei dos cossenos: p2 = e2 + m2 2. .. cos = cos1( e2 + m2 p22. . ) e2 = m2 + p2 2.. . cos



= cos1( p2 + m2 e22.. ) Sendo: 1 = e 1 = onde e = n+ 2 = e 2 = onde e = -n 2.2.6 ngulo de transmisso do movimento Para o projetista importante saber a qualidade de transmisso do movimento, ou seja, a qualidade do movimento de sada. Define-se o ngulo de transmisso como sendo o ngulo formado entre a barra acopladora e a barra de sada do movimento. Tambm definido como o ngulo formado entre a pea motora ou a pea movida e o elemento intermedirio. H. AH determinou empiricamente que o ngulo de transmisso timo de 9050, ou seja: = 90 = 40 = 140

Quanto mais esses ngulos se aproximam de 90 graus, maior ser a qualidade da transmisso de movimento entre duas peas ligadas por um par rotativo. Quanto mais esse ngulo se aproximar de 0 ou de 180 graus, pior ser essa qualidade, at que nos valores exatos de 0 ou 180 graus no h possibilidade de transmisso de movimento e o mecanismo chega em uma posio de travamento.



2.2.7. Determinao do analtica do ngulo de transmisso

Pela lei dos cossenos e2 = b2 + c2 2. . . cos e2 = a + d2 2... cos

Ou seja: b2 + c2 2. . . cos = a2 + d2 2... cos (1) Derivando esta equao em relao a

= ..sin..sin (2)

Igualando a equao (2) a zero, obtemos os valores de para os quais um mximo ou mnimo. ..sin..sin = 0 Se = 0 ou = 180 = 0 teremos mnimo. = 180 teremos mximo. Da expresso (1) obtemos o valor de

= cos1( b2 + c2 a2 d2 + 2... cos2. . ) Para = 0 . = cos1(b2 + c2 a2 d2 + 2..2. . ) Para = 180 . = cos1(b2 + c2 a2 d2 2. .2. . ) Onde . > 40 e . < 140



2.2.8 Teorema de Freudenstein para a Posio com a Maior Razo de Velocidades (Razo de Transmisso) Quando quisermos saber qual a posio de um mecanismo de quatro elementos (quatro-barras ou cursor-manivela) em que temos a maior razo de transmisso, usaremos o Teorema de Freudenstein, que diz o seguinte: A maior razo de velocidades ocorre quando o eixo de colineao perpendicular linha de transmisso. O eixo de colineao a linha que une os centros instantneos I1,3 e I2,4; A linha de transmisso coincidente com o elemento intermedirio. Observe como isso funciona nos desenhos abaixo (em geral necessrio o uso do computador para fazer essas construes):

2.3 Mecanismos de movimento intermitente O movimento intermitente uma sequncia de movimentos e tempos de espera. Um tempo de espera um perodo no qual o elo de sada se mantm em estado estacionrio, enquanto o elo de entrada continua se movendo. Existem muitas aplicaes em maquinaria barras como mostrado na Fig abaixo e usada nessas situaes MECANISMO DE GENEBRA Uma forma comum de dispositivo de movimento intermitente o mecanismo de Genebra, mostrado na Figura. Esse tambm um mecanismo de quatro barras transformado, no qual o acoplador foi substitudo por uma meia junta. A manivela de entrada (elo 2) tipicamente um motor com velocidade constante. A roda de Genebra feita com pelo menos trs aberturas radiais equidistantes. A manivela tem um pino que entra em uma das fendas radiais e faz com que a roda de Genebra vire durante um trecho de uma revoluo. Quando o pino deixa o canal, a roda de Genebra se mantm parada at que o pino entre no prximo canal. O resultado a rotao intermitente da roda de Genebra.



A manivela tambm possui um segmento de arco, que cria um desenho harmonioso para se encaixar na periferia da roda de Genebra quando o pino est fora do canal. Isso mantm a roda de Genebra parada e no local apropriado para a entrada do prximo pino. O numero de canais determina o nmero de " paradas" do mecanismo, sendo que parar sinnimo de tempo de espera. Uma rode de Genebra precisa de pelo menos trs paradas para funcionar. O nmero mximo de paradas limitado somente pelo tamanho da roda. CATRACA E LINGUETA A Figura mostra um mecanismo de catraca e lingueta. O brao ao redor do centro da roda de catraca dentada e movido de um lado para o outro para indexar bem. A lingueta direcionadora gira a roda de catraca (ou catraca) no sentido anti-horrio e no faz nada de retorno (sentido horrio). A lingueta de travamento evita que a catraca inverta a direo enquanto a lingueta direcionadora retorna. Ambas as linguetas so carregadas por mola contra a catraca. Esse mecanismo amplamente utilizado em dispositivos como chaves de "catraca", manivelas de catraca etc.

Fig. Mecanismo de Genebra Fig. Mecanismo de Catraca de lingueta MECANISMO LINEAR DE GENEBRA Existe tambm uma variao do mecanismo de Genebra que tem sada linear de translao, como mostrado na Figura abaixo. Esse mecanismo anlogo a uma forquilha escocesa aberta com mltiplas forquilhas. Ele pode ser usado como um transformador intermitente de passeio com os canais dispostos ao longo da cadeia do transformador. Tambm pode ser usado com um motor de inverso para obter oscilao de inverso linear de uma sada deslizante com um nico canal.



Fig. Mecanismo de Genebra de movimento intermitente linear


Cap 3 Mecanismos de Retorno Rpido 1

Cap 3 Sistemas Articulados - Aplicaes So usados em mquinas operatrizes para dar-lhes um curso de corte lento e um curso de retorno rpido para uma velocidade angular constante da manivela motriz. 3.1 Tipos de Mecanismos de Retorno Rpido. a) Mecanismo de manivela dupla e Cursor.

derivado do mecanismo de 4 barras. Para uma velocidade angular constante da pea 2, a pea 4 rodar com velocidade de rotao uniforme. O cursor 6 ir se deslocar com velocidade aproximadamente constante durante a maior parte do avano para dar um curso lento e um retorno rpido quando a pea 2 girar no sentido anti-horrio. b) Mecanismo de Whitworth

uma variao da primeira inverso do mecanismo cursor manivela em que a manivela a pea fixa. As peas 2 e 4 fazem voltas completas



c) Mecanismo da Plaina Limadora

a segunda inverso do mecanismo cursor em que a biela a pea fixa. A pea 2 gira e a pea. 4 oscila. A razo entre os ngulos descritos pela manivela motriz durante o curso de corte e o curso de retorno chamado de razo de tempos (alfa/beta). Esta razo deve ser maior do que a unidade e o seu valor quanto maior mais eficiente o mecanismo.

d) Manivela Deslocada

Esta geometria possibilita um movimento de retorno rpido, entretanto, o seu efeito de retorno rpido muito pequeno e o mecanismo deve ser empregado somente onde o espao for limitado e o mecanismo tiver que ser simples.



e) Alavanca Articulada

aplicado onde se necessita vencer uma grande resistncia com uma pequena fora motriz. As peas 4 e 5 tm o mesmo comprimento. A medida que os ngulos alfa diminuem e as peas 4 e 5 se tornam quase alinhadas, a fora F necessria para superar uma resistncia P descreve conforme a relao abaixo. Este mecanismo pode ser usado esttica ou dinamicamente em dispositivos de fixao de peas. Um britador usa este mecanismo para vencer uma grande resistncia com uma pequena fora.



3.2 Outros exemplos de sistemas articulados 3.2.1 Pontgrafo

As peas 2, 3,4 e 5 formam um paralelogramo e o ponto P est situado numa extenso da pea 4. O pontoQ est localizado sobre a pea 5. Quando o ponto P descreve uma curva, o ponto Q traar uma trajetria semelhante em escala reduzida que ser a razo. Q. / P. Este mecanismo usado como mecanismo de copiar. Ex. mquinas copiadoras na confeco de moldes e matrizes. . 3.2.2 Came A figura abaixo mostra o esboo de um came com seguidor. O came gira a uma velocidade angular constante e o seguidor se movimenta para cima e para baixo em movimento alternativo. A elevao do seguidor comandada pelo excntrico e o retorno por ao da gravidade ou da mola.

3.2.3 Engrenagens As engrenagens so usadas em muitas aplicaes para transmitir movimento entre eixos com uma razo de velocidades angulares constante. A figura abaixo esquerda mostra algumas engrenagens normalmente usadas. Quando a reduo desejada muito grande para ser obtida somente com um par de engrenagens, utiliza-se o que se se denomina de trem de engrenagens. (fig.direita).



Outros exemplos de mecanismos


Cap 4 Deslocamento de uma Partcula Prof. Adelair 1

Cap 4 - Deslocamento de uma partcula 4.1 Movimento de uma partcula O movimento de uma partcula pode ser definido pelas relaes: x=x(t) y=y(t) z=z(t) onde x, y e z so as coordenadas do ponto no instante t. Se x(t), y(t) e z(t) so especificados, ento a posio pode ser achada para um tempo t. Este o caso geral de uma partcula no espao e ilustrado pela figura:

Exemplo: Descrever o movimento de um ponto cuja relao ao tempo dada pelas equaes: x=acos2, y=sin2t e z=bt. Substituindo os valores de t de 0 a 2 conforme a tabela Shigley (pg 27), teremos um movimento helicoidal de um raio r ao redor do eixo do z e um passo b. Ponto no tem dimenses Partcula tem dimenses reduzidas

A linha representativa das sucessivas posies do ponto chamada TRAJETRIA DO PONTO. 3 coordenadas movimento espacial 2 coordenadas movimento plano 1 coordenada movimento retilneo Utilizaremos ento um sistema de eixos que exija um mnimo nmero de coordenadas.



Mudando a orientao do eixo dos )'( xxx teremos de 2 para 1 coordenada.

. Quando se usa a palavra ponto, tem-se presente alguma coisa cujas dimenses so nulas isto , algo que no tenha comprimento, largura e espessura. Quando se usa a palavra partcula, quer-se dizer alguma coisa cujas dimenses no so importantes, isto , um corpo de certo tamanho e, conseqentemente, com determinadas dimenses; no entanto, ignoramos este fato porque as dimenses no tero efeito sobre o resultado da analise que se est por iniciar.

Se as posies sucessivas de um ponto mvel forem ligadas, obtm-se uma linha. Essa linha resultante no tem largura porque o ponto no tem dimenses. Entretanto, a linha tem comprimento porque o ponto ocupa posies sucessivas medida que o tempo passa. A linha que representa as posies sucessivas do ponto chamada de trajetria ou lugar geomtrico do ponto em movimento.

No caso de se necessitar de trs coordenadas para descrever a trajetria de um ponto, diz-se que o mesmo se move no espao e que tem movimento espacial. Se a trajetria for descrita por apenas duas coordenadas, isto , se uma delas for sempre igual a zero ou constante, ento a trajetria pode estar contida em um simples plano, e o ponto dito com movimento plano. Algumas vzes a trajetria do ponto pode ser descrita por uma coordenada simples. Isto significa que duas das coordenadas de posio so sempre nulas ou constantes. Neste caso, o ponto se move em linha reta e seu movimento chamado de movimento retilneo, e paralelo ao eixo de coordenadas. Em cada um dos trs casos descritos, admite-se que o sistema de coordenadas seja escolhido de forma a se obter o menor nmero de coordenadas, necessrio para descrever o movimento do ponto. Assim, a descrio do movimento retilneo necessita de apenas uma coordenada. O ponto cuja trajetria uma curva plana necessita de duas coordenadas; e um ponto cuja trajetria uma curva no espao, algumas vezes chamada de curva reversa, necessita de trs coordenadas de posio.



4.2 Movimento de um corpo rgido

Quando as dimenses de um objeto se tornam importantes no estudo de seu movimento, necessrio considerar o objeto como um corpo que contm vrias partculas ou pontos. Por exemplo, no estudo do movimento de um mssil, sob certas condies, podemos consider-lo como uma partcula, mas, se seu movimento de rotao em torno do eixo longitudinal for importante na anlise, seria necessrio considerar o mssil como um corpo feito de vrias partculas.

Na anlise cinemtica, costume estabelecer-se uma premissa bastante importante no estudo do movimento dos corpos. Devemos admitir que, quaisquer duas partculas em um corpo permanecem sempre mesma distncia, independentemente da magnitude das foras que possam atuar para mudar seu espaamento. Isto equivalente a dizer que o corpo incapaz de experimentar qualquer deformao, ou que ele absolutamente rgido. 4.3 Graus de Liberdade

4.3.1 Graus de Liberdade de um corpo rgido num plano

Grau de liberdade (Degrees of Freedom - DOF) de um corpo rgido definido como um nmero de movimentos independentes. conveniente utilizar o termo graus de liberdade, na descrio dos sistemas mecnicos, para expressar o nmero de dimenses, ou coordenadas necessrias para especificar a posio de todas as partes; isto , se forem necessrias trs coordenadas para descrever a posio de um sistema mecnico, diz-se que o sistema tem trs graus de liberdade. A Fig. mostra um corpo rgido num Plano. Para determinar o nmero de graus de liberdade devemos considerar como os movimentos distintos podem ocorrer. Num plano bidimensional existem 3 DOF. A barra pode ser transladada ao longo dos eixos x e y e rotacionada em torno do centride.

Graus de Liberdadede um corpo rgido num plano

4.3.2 Graus de Liberdade de um corpo rgido no espao

As restries de um corpo rgido no espao tm 6 DOF: 3 de translao ao longo do eixo x, y e z e 3 de movimentos de rotaes ao redor dos eixos x, y e z.



Graus de Liberdade de um corpo rgido no espao

4.3.3 Restries Cinemticas

Dois ou mais corpos rgidos no espao so chamados de sistema de corpo rgido. Ns podemos chamar movimento independente do corpo rgido com restries cinemticas. As restries cinemticas so restries entre corpos rgidos que resultam da reduo do nmero de graus de liberdade do sistema de corpo rgido.

4.4 Graus de liberdade de mecanismos planos

4.4.1 Equaes de Gruebler's

A definio do nmero de graus de liberdade (degrees of freedom) de um mecanismo o nmero de movimentos relativos independentes de um corpo rgido. A Fig. abaixo mostra alguns casos de corpos rgidos restringidos por diferentes tipos de pares.

Figura - Corpo rgido restringido por diferentes tipos de pares

Na Fig. a, o corpo rgido restringido por um par de revoluo que permite somente movimento de rotao em torno do eixo. Existe somente um grau de liberdade no ponto A. A restrio de liberdade ocorre no eixo x e y. Na Fig. b, o corpo rgido restringido por um par prismtico que permite somente movimento de translao. Existe somente um grau de liberdade de translao ao longo do eixo x. Na Fig. c, o corpo rgido restringido por um par prismtico de grau elevado. Existem 2 graus de liberdade: translao ao longo da curva e rotao em torno do ponto instantneo do ponto de contato. Em geral um corpo rgido num plano possui 3 graus de liberdade. Os pares cinemticos so restries num corpo rgido que reduzem os graus de



liberdade num mecanismo. A Fig. Em seguida mostra 3 tipos de pares num mecanismo planar. Os 3 pares reduzem o nmero de grau de liberdade. Se criarmos baixos pares (Fig. b), o DOF reduzido para 2. Similarmente, se criarmos um par elevado o DOF reduzido para 1.

Fig. Pares cinemticos num mecanismo plano

Podemos escrever a equao desta forma:

F = 3(n-1) - 2L - h

Onde

F = Nmero total de graus de liberdade do mecanismo n = nmero de barras (incluindo a parte fixa) L = nmero de graus de liberdade inferior (um grau de liberdade) h = nmero de graus de liberdade superior (dois graus de liberdade)

A equao conhecida tambm como Gruebler's equation.

Exemplo 1

Observar a janela sobre a porta na fig. O mecanismo de abertura e fechamento mostrado na fig. ao lado. Calcule o nmero de graus de liberdade.

Fig. Acionamento de Janela em porta



n = 4 (barras 1, 2, 3 e barra fixa 4), L = 4 ( B, C, D), h = 0

Note: D e E so funes de mesmo par prismtico que so contadas como um par inferior.

Exemplo 2

Calcule o nmero de graus de liberdade mostrado na fig abaixo.

Fig. Caminho com caamba

n = 4, l = 4 (juntas A, B, C, D), h = 0

Exemplo 3

Calcule o nmero de graus de liberdade dos mecanismos mostrados na fig abaixo.

Fig.

Para o mecanismo da Fig. a

n = 6, l = 7, h = 0



Para o mecanismo da Fig. b

n = 4, l = 3, h = 2

Note: A rotao do rolete no influencia na relao de entrada e sada do movimento do mecanismo. Conseqentemente, o grau de liberdade do rolete no considerado. Ele chamado de passivo ou redundante grau de liberdade. Imagine que o rolete soldado na barra 2 quando houver a contagem do nmero de graus de liberdade do mecanismo.

4.4.2 Critrio de Kutzbach

O nmero de graus de liberdade de um mecanismo tambm conhecido como Mobilidade do sistema. A mobilidade o nmero de parmetros de entrada que deve ser independentemente controlado para um posicionamento particular. O critrio de Kutzbach similar ao conceito das equaes de Gruebler's para o clculo da mobilidade.

4.5 Deslocamento de uma partcula O movimento de uma partcula gera uma trajetria. A distncia medida sobre a trajetria entre duas posies da partcula a distncia que a partcula se moveu no intervalo de tempo. A variao total na localizao da partcula no intervalo de tempo chamada de deslocamento. Na figura, a partcula R estava em R1 e depois em R2. o deslocamento de R neste intervalo de tempo o segmento de linha reta entre (R1 para R2). O IMPORTANTE NO DESLOCAMENTO DE UMA PARTCULA A TROCA DE POSIO, NO INTERESSANDO A MENEIRA PELA QUAL ELA SE REALIZOU.

Definindo 1R e 2R pelos vetores posio: ),( 111 yxR e ),( 222 yxR



ou pelas coordenadas polares: ),( 111 RR e ),( 222 RR temos a equao: RRR += 12 ou 12 RRR = que define o deslocamento R . O deslocamento pode ainda ser expresso em termos de componentes x e y.

Teramos pela figura: yx RRR += ou em notao complexa: yx RjRR += Em termos de componentes radiais, e transversais:

Pela figura: tr RRR +=



4.6 Deslocamento de um corpo rgido

Quando um corpo rgido translada, o movimento de uma simples partcula descreve o movimento de qualquer outra que compe o corpo. Desta forma, o deslocamento de uma partcula, que se move em translao, tambm descreve a translao de um corpo rgido. Se um corpo rgido est animado de translao, as partculas tero entre si o mesmo movimento, e ento, todas as partculas descrevero a translao do corpo rgido. J na rotao, a linha traada entre 2 pontos no permanece paralela a ela mesma. DESLOCAMENTO ANGULAR de um corpo rgido, a mudana angular de posio de uma linha que une duas partculas separadas do corpo. No interessa, como no caso do deslocamento, da trajetria seguida. P1Q1 com 1 (localizao inicial) P2Q2 com 2 (um instante mais tarde)

Houve rotao e translao. Considerando apenas a rotao, vemos que o deslocamento angular sai de 1 para 2. Ento: 12 = Os deslocamentos angulares no obedecem a propriedade comutativa, e por esta razo no podem ser combinados verticalmente.



Neste caso podemos dividir o movimento inicial P1Q1 at P2Q2, fazendo uma posio fictcia intermediria. Pode haver infinitas solues, e uma delas foi mostrada. No caso pela translao P ou Q e pela componente rotacional Q. Note-se que o deslocamento pode ser tambm definido por dois vetores deslocamento P e Q. 4.7 Deslocamento relativo Na figura, A e B so dois pontos que se movem em relao a O, pelos vetores posio A e B . Podemos designar a posio de B com relao a A usando o vetor posio relativa a AB (B relativo a A).

Temos ento: ABAB += Suponhamos que agora um deslocamento simultneo de A e B, de valores A e B . Como se expressariam ento os deslocamentos? Na figura esto identificados os pontos iniciais A e B. os deslocamentos

A e B so os apresentados na figura. O deslocamento de B em relao a A o deslocamento que B teria em um sistema de coordenadas, que se movesse com A, e ao qual A estaria preso - AB . Seguindo este raciocnio, se B no tivesse deslocamento relativo com relao a A, ele estaria colocado em B. Mas o deslocamento de B em relao a A BB.



Agora a relao evidente: ABAB += .


Cap 5 Velocidade Prof. Adelair

1

Cap 5 - Velocidade 5.1 Definio de velocidade

Fig. 5.1 Na fig. observamos um ponto inicialmente em R1, e depois em R2. Durante esse intervalo de tempo o deslocamento do ponto :

12 rrr = Onde r1 e r2 so os vetores-posio que definem a localizao do ponto no inicio e no final do intervalo de tempo considerado. A velocidade mdia do ponto e no final do intervalo de tempo t r/t. A velocidade instantnea (daqui por diante chamada apenas de velocidade) o limite dessa razo, e dada por:

.

0lim rdt

drtrv

t==

= (5.1)



2

Como r um vetor, h duas convergncias quando se toma esse limite a magnitude e a direo de r. Naturalmente, admitimos a existncia do limite. A velocidade desta forma, a razo de variao da posio com o tempo. Poderamos observar, da fig. acima, que os vetores-posio r1 e r2 dependem da localizao do sistema de coordenadas. Mas, o vetor deslocamento r e, conseqentemente, a velocidade v so independentes da escolha do sistema de referncia. A diferenciao dos vetores segue as mesmas regras que a de escalares. A dependncia da velocidade sobre a trajetria de movimento de uma partcula pode ser ilustrada de outra maneira. Na fig. anterior, desejamos descrever a velocidade de P durante seu movimento ao longo da trajetria AB. Visualizamos o problema como observador em movimento com P: sendo natural a escola do sistema de coordenadas com a origem em P. O sistema , que est ilustrado, foi escolhido de forma que seja tangente a trajetria, normal quela curva e relacionado pela equao:

^^^

= (5.2) Seja agora s, um escalar definido como o arco de P a um ponto Q, e r a corda. O limite de r s, quanto s tende a zero, igual unidade. Assim:

^

0lim ==

dsdr

sr

s (5.3) Onde r e s so considerados como funes do tempo, e teremos:

dtds

dsdr

ts

sr

tr

tt=

=

limlim

00 (5.4)

Desta forma, a velocidade referida ao sistema :

^.^

sdtdsv ==

(5.5) Onde s a velocidade de P ao longo da trajetria de um vetor unitrio tangente trajetria em p. a importncia deste resultado reside no fato de ser a velocidade sempre tangente trajetria.



3

Se

kji zyxr^^^

++= A velocidade em coordenadas retangulares ser:

kzjyixr^.^.^..

++= (5.6) 5.2 Velocidade Angular Na fig. 5.2, representamos um corpo rgido girando em torno de um eixo OA. Isto significa que todos os pontos no corpo, tal como o ponto P, se move numa trajetria circular em torno de OA, no instante considerado. A velocidade angular de corpo dada pelo vetor , que tem a direo de OA e o sentido de acordo com a regra da mo direita. A magnitude da velocidade angular a razo de variao de qualquer segmento de reta no corpo, cuja direo normal ao eixo de rotao. Se designarmos o deslocamento angular de quaisquer desses segmentos por e o intervalo de tempo por t, a magnitude de velocidade de velocidade angular :

.

0lim =

=

tt (5.7)

Fig. 5.2

Suponhamos agora, que o eixo de rotao OA do corpo rgido seja fixo, e que o vetor-posio r define a posio de um ponto P fixo no corpo em rotao.



4

Consideremos ento o produto vetorial x r. Pela sua magnitude r sen , onde o ngulo entre e r, como mostrado na fig. 5.2. A direo a do versor tangente, perpendicular ao plano de e r. Desta forma:

rvr == .

(5.8) Ressaltamos o fato de que a equao 5.8 se refere velocidade de um ponto no corpo rgido, girando em torno de um eixo fixo. A fig. 5.3 mostra um corpo girando em torno de um eixo fixo, com velocidade angular . Os pontos A e B so fixados ao corpo e so definidos pelos vetores-posio A e B do eixo fixo de rotao. A e B tambm definem um vetor C, fixo no corpo, tal que:

ABC = (a) A razo de variao de C devido sua rotao :

ABC...

= (b) Entretanto A e B originam-se do eixo de rotao. A equao 4-10 se aplica, e ento:

ABC = .

(c)

Ou

CABC == )(.

(d)

Fig. 5.3



5

E, desta forma, a equao se aplica a qualquer vetor fixo ao corpo em rotao. Observe que a operao x serve como um mtodo de diferenciao, contanto que a magnitude do vetor sobre o qual se efetua a operao seja constante. Como um vetor unitrio tem magnitude constante. 5.3 Velocidade de um Corpo Rgido

Desejamos agora estudar a velocidade dos pontos de um corpo rgido que se move com translao e rotao. Se especificarmos, na fig. 5.4, uma velocidade angular para o corpo, e tambm que o ponto A tenha uma velocidade VA, ento o corpo tem um movimento combinado de translao e rotao. A posio de qualquer outro ponto B no corpo definida pela equao:

BAAB rrr += (a)

Fig. 5.4

Ento, a velocidade de B :

ABAB rrr...

+= (b)

mas AA Vr =.

, que foi dado. Como BAr um vetor posio em um corpo rgido, seu comprimento no pode mudar; ento:

BABA rr = .

(c) Desta forma, temos:

BAAB rVV += (5.9)



6

onde AV a velocidade absoluta de A, e a parte de translao do movimento. Freqentemente devemos escrever a Eq. (5.9) na forma

BAAB VVV += (5.10) que se l, a velocidade de B igual velocidade de A., mais a de B em relao a A. Esta chamada equao da velocidade relativa. fcil de ser lembrada pela observao da ordem dos ndices: B, A, B, A. importante observar, ao se falar da Eq. (5.10), que a velocidade um vetor e no pode se referir a um ponto, porque os vetores tm propriedades direcionais. Assim, quando falarmos da velocidade de B em relao a A, queremos realmente dizer a velocidade de B num sistema de referncia que tenha A como origem. Agora, na Fig. 5.5, suponha que se calcule a velocidade de B, empregando-se o ponto C. Deveramos ento comear com

, , como a velocidade angular do

corpo, e CV como a velocidade do ponto C, ao qual B se refere. A Eq. (5.9) seria escrita:

BCCB rVV += , (d) Mas

CAAC rVV += (e)

Fig. 5.5

Agora, como BCCABA rrr += , (Fig.5.5). A Eq. (5.9) pode ser escrita:

)( BCCAAB rrVV ++= (f)

Mas, substitudo a Eq. (e) na Eq. (d), obtemos:



7

BCCAAB rrVV ++=' (g)

Ento, quando comparamos as Equaes (f) e (g), termo a termo, vemos

que:

BCBC rr ='

e que ' = (h)

Chegamos concluso de que a velocidade de um corpo rgido obtida pela soma de uma velocidade de rotao , em torno de qualquer eixo de referncia no corpo, mais a velocidade daquele eixo. A velocidade da referncia a componente de translao da velocidade total, e ser diferente para cada referncia. A velocidade angular a mesma; ela independente da escolha do eixo de referncia. 5.4 Polgonos de Velocidade (Anlise grfica de velocidades) O mtodo grfico que usa os polgonos de velocidade uma forma rpida de soluo dos problemas de cinemtica nos mecanismos planos. Como um exemplo deste processo, consideramos o disco da Fig. 4-9a. Devemos dar ao

ponto A uma velocidade AV e especificar um segundo ponto B no disco, cuja velocidade desejamos achar. Comeamos o digrama vetorial pela construo de

AV com o comprimento e direo apropriados em outro lugar no papel (Fig 5.6). A fim de se achar a velocidade de B escrevemos a equao da velocidade relativa.

BAAB VVV121

+= (a)

Os nmeros acima da equao indicam o nmero de quantidades conhecidas. Sabemos que a direo de BV perpendicular a Ob, mas no conhecemos sua magnitude e direo de AV so conhecidas. Como A e B so pontos no mesmo corpo rgido, eles no podem ser aproximar ou afastar. Desta forma, a nica maneira de B se movimentar em relao a A ser na direo perpendicular a AB, a linha que os une. Assim sabemos que a direo de BAV perpendicular a AB



8

Fig. 5.6

A Eq.(a) fornece todas as instrues para construo do diagrama. A

equao diz que outro vetor BAV deve ser adicionado a AV , para forma BV . Assim na extremidade de AV , construmos uma linha perpendicular a AB. A origem de

BAV estar na extremidade de AV e BAV estar ao longo dessa linha (Fig 5.6b). O prximo passo consiste em se traar uma linha que representa a direo de BV . Esta etapa pode ser vista na Fig. 5.6c, onde a figura foi reproduzida para mostrar cada passo com maior clareza. A interseo das linhas traadas nos passos 1 e 2 fornecem as magnitudes de VB e BAV , conforme mostra a Fig. 5.6d. Isto completa o polgono de vetores. A prtica de construo dos diagramas vetoriais com linhas fortes facilita



9

sua leitura, mas, quando o diagrama representa a soluo grfica de uma equao, ele no muito preciso. Por esta razo, costume construir-se um polgono, com linhas fracas, como substituto do diagrama. Dessa maneira, as direes e magnitudes podem ser determinadas com maior presso. Observe que ele contm todas as informaes existentes no diagrama vetorial. O plo denominado por rO , onde r indica que ele um polgono de velocidades. O polgono mostra que aOr AV , bOr BV , e o segmento de linha de a para b BAV

observe tambm que o segmento de b e a representa ABV . Na Fig, 5.6f, o disco foi desenhado de novo e um terceiro ponto C foi adicionado. O polgono resultante est mostrando. Isto foi obtido por meio de duas equaes vetoriais, uma relacionando a velocidade de B em relao a A, e a outra

a velocidade de C em relao a A O leitor deve estar apto a identificar CV , CAV e CBV .

evidente que os vetores com origem no plo representam velocidades absolutas, e os vetores que no tm origem no plo representam as velocidades relativas. Quando os problemas vetoriais so resolvidos analiticamente e o polgono deve ser construdo em forma de diagrama a mo livre, a fim de se visualizar melhor a soluo neste caso, conveniente adicionar, freqentemente a localizao dos eixos coordenados no esquema. 5.5 Convenes A Fig 5.7 mostra o chamado mecanismo plano de seis barras, Ele consistem em um suporte fixo1, uma manivela 2, dois acopladores ou bielas 3 e 5, um balancim 4, e uma corredia 6. A corredia obrigada a se mover apenas na direo x; usual mostrar-se um dos dois vnculos necessrios para o movimento plano. Deve-se sempre numerar as peas de um mecanismo, comeando com o suporte. Se o mecanismo parte de uma mquina, ele ter um membro de entrada ou acionamento. Devemos cham-lo de segunda pea na seqncia. As demais peas so sucessivamente enumeradas. Tambm usual descrever-se as posies angulares dos membros de uma cadeia cinemtica do eixo x, com a direo contraria aos ponteiros do relgio tomada como positiva, conforme mostra a Fig. 5.7. Assim 2O a posio angular

da pea 2, 3O a posio da pea 3, etc. De forma anloga, devemos designar as

velocidades angulares das varias peas por 2 , 3 , etc, com a direo contrria aos ponteiros do relgio como positiva.



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Fig. 5.7

As conexes com pinos so denominadas A, B, C, etc., conforme mostra a

Fig.5.7. Poder-se-ia usar tambm a notao 23A , indicando que as peas 2 e 3 so ligadas em A. As unies com a estrutura sero indicadas pela letra maiscula O, com um ndice numrico indicativo da pea mvel.



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5.6 Velocidade Angular Relativa

Quanto dois corpos giram com velocidades diferentes, o vetor diferena definido como a velocidade angular relativa. Assim

1221 = Que tambm pode ser escrita

2112 = Onde 21 a velocidade angular do corpo 2 em relao ao corpo 1.

5.8.Mtodos Grficos de Anlise de Velocidades Os mtodos grficos permitem determinar velocidades das partculas dos mecanismos com rapidez e com poucos clculos. Atravs da trigonometria pode-se partir dos mtodos grficos e calcular com maior preciso. 5.8.1 Atravs dos Pontos do Corpo Rgido Consiste na determinao de velocidade sobre pontos de um outro ponto dada. No caso VA fornecida e VB determinada.



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5.8.2 Atravs da Velocidade Relativa Em mecanismos simples, pode-se facilmente calcular as velocidades por este mtodo. Existem 3 casos:

a) Velocidade relativa de uma partcula de uma mesma pea.

ABVAB ABVAB =

A velocidade relativa tangente em relao trajetria, ou seja, perpendicular barra ou a pea. Se a pea no tiver velocidade angular absoluta, a velocidade relativa de duas partculas quaisquer da pea zero. A pea estar em movimento de translao e as velocidades absolutas de todas as suas partculas so iguais.

b) Velocidade relativa de partculas coincidentes em peas separadas (Pontos de barras distintas)

=32 AVA paralelo ao deslocamento Ocorre a limitao do movimento relativo guiando-se a partcula P de uma pea ao longo de uma trajetria determinada, em relao outra pea, atravs de uma superfcie guia. Esta restrio encontrada em cames, inverses do mecanismo cursor manivela, onde a superfcie de uma pea controla o movimento de uma partcula sobre outra pea atravs do deslizamento ou rolamento. A velocidade relativa tangente guia, ou seja, paralela ao deslocamento.



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c) Velocidade relativa de partculas coincidentes no ponto de contato de elementos rolantes.

Esta restrio ocorre quando ema pea rola sobre outra sem deslizamento no ponto de contato. Um exemplo o contato de duas engrenagens. As circunferncias esto em contato de rolamento e as partculas tm velocidades iguais de modo que VA = VB, e a velocidade relativa entre as duas partculas zero. VAB=0 5.8.3 Atravs de Centros Instantneos 5.8.3.1 Definio o ponto comum a duas barras, no qual as duas barras, ou os dois elementos em questo tm a mesma velocidade, quer pertena a uma ou a outra barra. Um centro instantneo um ponto situado em ambos os corpos, um ponto no qual os dois corpos no tem velocidade relativa, um ponto em torno do qual um corpo pode girar em relao ao outro em dado instante. Casos de Centros Instantneos

a) Caso das Manivelas Quando duas peas so articuladas diretamente, o centro de articulao o centro instantneo de rotao para as duas peas, quer ambas tenham movimento ou uma se movimenta e a outra seja fixa.

b) Caso do movimento retilneo Para peas que esto em translao pura, tais como a corredia de um mecanismo manivela-biela-corredia, as retas que indicam as direes das velocidades de todas as partculas dessa pea so paralelas e as normais cruzam-se no infinito. Assim, no CIR de uma pea em translao est a uma distncia infinita da pea, na direo normal trajetria da translao.

c) Caso do movimento sem escorregamento O CIR encontra-se no ponto de contato, j que, em qualquer instante, esse ponto do corpo 1 no se desloca em relao a ele mesmo considerando no corpo 2 (velocidade relativa nula, j que no h escorregamento).



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5.8.3.2. Teorema de Kennedy

Quando trs corpos movem-se com movimento relativo entre si, existem trs CI chamados parentes e que esto sobre uma linha reta. Se no estivessem sobre a mesma linha no teriam as mesmas direes de velocidades. O ponto 023 considerado como pertencente ao ponto 2, tem em relao ao plano 1, a velocidade VP2 021 023 no seu movimento em torno de 021. Considerando como pertencente ao plano 3, possui a velocidade VP3 023 031. Mas o ponto 023 no pode ter duas velocidades diferentes relativas ao plano 1, no instante considerado. Assim, VP2 e VP3 se confundem e 021 e 031 esto em linha reta. 5.8.3.3 Determinao de CIR pelo teorema de Kennedy. Em um mecanismo consistindo de n peas, h n-1 CIR em relao a uma determinada pea. Em relao a um nmero n de peas, h um total de n(n-1) CIR. Em cada posio dos CIR h dois CIR, o nmero total : n(n 1) N = --------------- 2 n= nmero de barras) 5.8.3.4 Determinao de velocidade por CIR Pode-se usar o teorema de Kennedy na determinao da velocidade absoluta sem determinar necessariamente as velocidades das partculas intermedirias exigidas pelo polgono vertical. As propriedades do CI de velocidade fornecem formas grficas simples para anlise dos mecanismos de movimento plano. Assim, temos o mtodo descrito a seguir.



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Mtodo da Linha de Centro O mtodo da linha de centros para determinao da velocidade, pode ser resumido da seguinte forme. a) Identificar a pea que contm o ponto cuja velocidade conhecida, a pea cuja velocidade se quer e a pea de referncia. b) Localizar os trs plos definidos no item anterior e desenhar a linha de centros atravs deles. Esta linha contm um plo comum a dois sobre a estrutura. c) Achar a velocidade do plo comum, considerando-o como um ponto da pea cuja velocidade conhecida. d) Conhecida a velocidade do plo comum, a velocidade de qualquer outro ponto naquela pea pode ser agora achada por meio de tringulos semelhantes.


Cap 6 Acelerao Prof. Adelair 1

Cap. 6 Acelerao De acordo com a lei de Newton F=m.a, as aceleraes em mquinas produzem foras proporcionais s suas massas. No projeto de mquinas devemos estar atentos para as conseqncias produzidas por estas foras, como por exemplo, em pinos, parafusos etc... Devemos saber os valores das foras e compar-las com os valores limites. 6.1. Definio de Acelerao Acelerao a razo de variao da velocidade em relao ao tempo.

2

2

0lim dt

Rddtdv

tv

t==

=

Valor positivo: Acrscimo de velocidade Valor negativo: Decrscimo de velocidade 6.2. Acelerao Angular A acelerao angular a mudana incremental na velocidade angular que ocorre num intervalo de tempo At.?

2

2

0lim dt

ddtd

tt ==

=

6.3 Movimento Curvilneo 1 Caso: Rotao com velocidade angular constante

Consideramos a acelerao de um ponto que se move em uma trajetria curva.

2

2

dtRd

dtdv

==

ji RSenRCosR +=

jdtdRCosi

dtdRSen

dtdRV +==

ji CosRSenRV +=



jSenRidtdCosR

dtdVA 2==

ji SenRCosRA 22 =

2 Caso: Rotao com velocidade angular varivel

ji RSenRCosR += Devemos considerar e variveis.

ji CosRSenRdtdRV +==

dtdVA =

Devemos considerar e variveis.

)( idtdSenRCos

dtdRi

dtdCosRSen

dtdRA ji

++=

jjii SenRCosRCosRSenRA 22 +=

Agrupando os termos, temos: )()( 22 jiji CosRSenRSenRCosRA +=

A = AR+AT Acelerao radial responsvel pela variao da direo da velocidade.

ji SenRCosRAR 22 =

RVRAR

22 ==

Acelerao Tangencial responsvel pela variao em mdulo da velocidade, ou seja, a mudana da velocidade do ponto, quando o mesmo se move sobre a trajetria.

ji CosRSenRAT += RAT =



6.4 Anlises das direes Componentes radias e transversais da acelerao.

Notao Retangular Se o ponto em movimento R definido pelo vetor posio R, ento a acelerao pode ser expressa:

2

2

2

2

2

2

dtRd

dtRd

dtRd yx +==

6.5 Determinao grfica da acelerao em mecanismos De maneira semelhante que a articulao de velocidades de partculas em mecanismos, pode-se determinar as aceleraes lineares de partculas atravs de construo grfica de polgonos de acelerao e imagens de acelerao. 6.5.1. Acelerao relativa de partculas em movimento

a) Equao da acelerao entre dois pontos de uma mesma pea

Consideremos os pontos A e B sobre um corpo K.

Conhecemos VA, e . Equao do deslocamento relativo RB = RA + RAB Derivando temos:



2

2

2

2

2

2

dtRd

dtRd

dtRd ABAB +=

Onde:

2

2

dtRd B = Acelerao total de B = ARB + ATB

2

2

dtRd A = Acelerao total de A = ARA + ATA

Acelerao de AB

RABSenRABCosyRABxRABRAB +=+=

Derivando

dtdRABSen

dtdRABx =

dtdRABCos

dtdRABy =

SenRABxVAB =

CosRAByVAB =

Derivando novamente, temos:

SendtdRAB

dtdCosRAB

dtdVABx =

SenRABCosRABdt

dVABAAB xx ==2

CosdtdRAB

dtdSenRAB

dtdVABy ++= )(

CosRABSenRABdt

dVABAAB yy +==

2

)()( 22 CosRABSenRABSenRABCosRABAAB += AAB = ARAB + ATAB Logo AB = AA + AAB Assim: ARB + ATB = ARA + ATA + ARAB +ATAB a equao da acelerao relativa entre dois pontos de uma mesma pea.



Direes das aceleraes A direo da AR normal trajetria relativa e o seu sentido em direo ao centro. A direo da AT tangente trajetria relativa e o sentido do vetor depende do sentido de .

b) Acelerao relativa entre dois pontos de peas distintas o caso em que h deslizamento relativo entre duas peas, como entre as peas 3 e 4.

Deseja-se determinar 44 , a partir 22 , . Neste mecanismo os pontos 32 , AA so os mesmos e o ponto a projeo de 32 , AA sobre a pea 4. A fim de determinar-se 44 , deve-se analisar a velocidade e a acelerao de dois pontos coincidentes 42 , AA , cada um em peas separadas. Pode-se escrever a equao do ponto 4A .

2424 AVAVAVA += 2VA conhecido em mdulo, sentido e direo

24 ,VAVA so conhecidos em direo. Equao da acelerao

2424 AAAAAAA += Desenvolvendo:



24224242244 2 AVAAATAAARAATAARAATAARA ++++=+ Na equao acima temos o componente acelerao de Coriolis

VrelativaAVAAco 22 242 ==

coA ocorre sempre que temos uma pea se deslocando em relao uma segunda pea que tambm tem movimento. Pode-se determinar o mdulo de 24 AARA atravs de:

RVAARA AA 24

2

24 =

Onde R o raio de curvatura da trajetria do ponto 4A em relao ao ponto 2A . A componente 24 AATA conhecida em direo e tangente a trajetria 4A em relao 2A nos pontos coincidentes. A componente de Coriolis pode ser calculada determinando-se 24 AVA atravs do polgono de velocidades. A direo de coA normal trajetria de 4A relativa 2A e o seu sentido o mesmo de 24 AVA girando de 90 em torno de sua origem, no mesmo sentido de

2 . A coA ocorre sempre quando temos uma pea se deslocando em relao a uma segunda pea que tambm tem movimento. A componente 24 AARA , somente pode ser determinada se o raio de curvatura R da trajetria de 4A em relao 2A for conhecida. No mecanismo considerado esta trajetria no facilmente determinada, logo se escreve a equao de outra maneira.

42442424422 2 AVAAATAAARAATAARAATAARA ++++=+ Assim, pode-se concluir que 42 AARA zero, porque a trajetria de 2A em relao 4A uma linha reta e R infinito. Pode-se traar o polgono de acelerao e determinar 4ATA e atravs deste calcular 4 . Se a pea 4 fosse substituda por uma pea curva de forma circular, a trajetria de

2A relativa 4A um arco de circunferncia de raio e centro de curvatura conhecidos. Exemplo de determinao de coA . Traar o vetor que representa a 42 AVA . Girar o vetor de 90 em torno de sua origem e no mesmo sentido de 4 .



Ao montar-se a equao deve-se ter cuidado para que no fique duas incgnitas no mesmo lado, se acontecer, inverte-se a equao.



7. Anlise analtica e simulao 7.1 - Mtodo Analtico para anlise de deslocamento, velocidade e acelerao Quando efetuada, por exemplo, uma anlise de velocidade de um mecanismo, sem o auxlio de computador, os mtodos grficos so os mais utilizados devido facilidade e rapidez na soluo dos problemas. Porm, quando os mecanismos forem analisados para todas as fases de seus movimentos, o uso do computador mais eficiente e para tanto so necessrios estudos de mtodos algbricos e vetoriais. Consiste, essencialmente, na deduo de uma expresso analtica que traduza a velocidade de um elemento do mecanismo em funo da velocidade da ligao motora. Normalmente, a forma mais simples de conseguir por derivao em ordem ao tempo da expresso de posio, ou deslocamento, do elemento em causa. Monta-se um modelo matemtico atravs da substituio de cada pea do mecanismo por um vetor. Com isso, tm-se as equaes resultantes do mecanismo. Atravs da notao retangular ou complexa deriva-se para encontrar a velocidade e a acelerao dos componentes. Exemplo 1 - Motor de combusto Interna.



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De acordo com as denominaes mostradas na figura, os vetores 2R

e 3R

podem

ser escritos da seguinte forma:

( ) ( )( )j seni cosRR 22

+= e ( ) ( )( )j seni cosRR 33

=

As somas destes dois vetores, por sua vez, equivalem ao vetor 4R

, ou seja,

324 RRR

+= Eq( 1)

Separando as componentes do vetor 4R

nas direes i

e j

tem-se que:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] (3) Eq j senRsenRR

(2) Eq i cosRcosRR

324y

324x

=

+=

E assim por diante.

Grfico exemplo de variao de desl, Vel e Acel em funo do ngulo da rvore de

manivela.



Exemplo 2

= 2 + 3 = 1 + 4 (1)

2 cos2 + 3 cos3 + 2 sin2 + 3 sin3 = 1 + 4 cos4 + 4 sin4 (2)

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