REVISO DE MATMATICA

ESTE MATERIAL UMA ADAPTAO DA APOSTILA DE MATEMTICA BSICA DO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIA E TECNOLIGIA E AUTORIA DO PROFESSOR MSC. LUIZ CARLOS LEAL JUNIOR, PARA QUAL SO RECONHECIDOS OS DEVIDOS CRDITOS.

O OBJETIVO DESTE MATERIAL INTRODUZIR OS CONCEITOS MATEMTICOS BSICOS NECESSRIOS AS DISCIPLINAS TCNICAS DO CURSO DE MECATRNICA E NO DEVE SER CONSIDERADA COMO MATERIAL DE SUBSTITUIO AO UTILIZADO NA DISCIPLINA DE MATEMTICA DO MESMO CURSO.

I - CONJUNTOS NUMRICOS

N Naturais

So os nmeros positivos inclusive o zero, que representam uma contagem inteira. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

No h nmeros naturais negativos.

Z Inteiros

So os nmeros naturais e seus opostos negativos. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} No h nmeros inteiros em frao ou decimal.

Q Racionais

So todos os nmeros na forma decimal exata, peridica ou na forma de frao. { }17 5 4 1 1 1 7..., , , , , 0, , , , ...6 2 3 2 3 2 2Q =

Exemplos: Nmeros decimais na forma exata:

{1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272}

Nmeros decimais na forma peridica:

{2,333333...= 2,3 ; 3,0222...= 3,02 ; 10,232323...= 10, 23}

I Irracionais

So todas as decimais no exatas e no peridicas.

2..., , 3, , , ...

6 6I

pipi=

R Reais

a unio dos conjuntos numricos citados acima. Portanto, todo nmero, seja N, Z, Q ou I um nmero R (real).

As razes em que o radicando seja negativo e o ndice par no so reais, neste caso, tem-se os nmeros complexos.

II - AS QUATRO OPERAES FUNDAMENTAIS (NMEROS DECIMAIS)

1) Adio

Na adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a operao aditiva, e o resultado a soma. Adio

2 + 2 = 4

Parcelas Soma

Exemplos:

4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049

1 2 1 15 40 12 671,1166

4 3 5 60 60+ +

+ + = =

2) Subtrao

Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo a operao a subtrao, e o resultado o minuendo.

Subtrao

3 2 = 1

Minuendo Subtraendo diferena

Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da adio, portanto podemos utilizar os mesmos

exemplos apenas alterando a operao. Numa subtrao do tipo 4-7 temos que o minuendo menor que o subtraendo; sendo assim a diferena ser negativa e igual a -3.

3) Multiplicao

Na multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo a operao multiplicativa, e o resultado o produto.

Multiplicao

22 x 3 = 66

Fatores Produto

Pode-se representar a multiplicao por: *, x ou .

Exemplos:

7,32 x 12,5 = 91,500

1 2 8 16 82,6

2 3 1 6 3 = =

Na multiplicao de fraes multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de

cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo). 4) Diviso

Na diviso, os nmeros so chamados de dividendo (a parte que est sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte est sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente.

Diviso

7 / 4 = 1,75

Dividendo Divisor Quociente

Exemplo:

Existe na diviso, o que se pode chamar de resto. Isto , quando uma diviso no exata ir sempre sobrar um determinado valor, veja no exemplo a seguir:

843 / 5 = 168 (resto 3)

Se o resto for igual a zero a diviso chamada exata.

Para se verificar o resultado basta utilizar:

Dividendo = (Quociente x divisor) + resto

No exemplo anterior, temos:

843 = (168 x 5) + 3 5) Casos particulares da multiplicao e diviso

Multiplicao

N x 1 = N N x 0 = 0

Diviso

N / 1 = N N / N = 1

0 / N = 0 (N0) N / 0 = No existe.

6) Exerccios

a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =

b) 4,03 + 200 + 51,2 =

c) 32,4 21,3 =

d) 48 33,45 =

e) 2,1 x 3,2 =

f) 48,2 x 0,031 =

g) 3,21 x 2,003 =

h) 8,4708 / 3,62 =

i) 682,29 / 0,513 =

j) 2803,5 / 4450 =

k) 0,3 0, 43, 2 2, 0

=

l) 0,041 x 21,32 x 401,05

m) 0,0281 / 0,432

n)2,31 4,82

5,1

o)0, 021 4,32

0, 285

7) Valor absoluto ou Mdulo

Representa a distncia de um nmero at o zero (ou origem) na reta real. Sendo assim, o mdulo, por representar distncia, sempre positivo e representado por | |.

Exemplos:

9 92 2

0 07 7

=

=

=

=

8) Soma e subtrao algbrica

Sinais iguais Somam-se os valores absolutos e d-se o sinal comum. Sinais diferentes Subtraem-se os valores absolutos e d-se o sinal do maior.

Exemplos:

a) 2 + 4 = 6 b) 2 4 = 6 c) 5 3 = 2 d) 5 + 3 = 2 e) 2 + 3 1 2 = 5 3 = 2 f) 1 3 + 2 4 + 21 5 32 = 23 45 = 22

9) Multiplicao e diviso algbrica

Sinais iguais Resposta positiva Sinais diferentes Resposta negativa

Ou seja:

MULTIPLICAO+ + = +

= +

+ =

+ =

:

:

:

:

DIVISO+ + = +

= +

+ =

+ =

Exemplos:

a) 12 x 3 = 36 b) (-12) x (-3) = 36 c) 2 x (-2) = -4 d) (-2) x 3 = -6

e) 4

22

=

f) 20

4( 5)

=

g) ( 20)

45

=

10) Expresses numricas

Para resolver expresses numricas realizamos primeiro as operaes de multiplicao e diviso, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adies e subtraes. Em expresses que aparecem sinais de reunio: parnteses (), colchetes [] e/ou chaves {}, efetuam-se as operaes eliminando-se, os sinais interiores para os exteriores. Quando frente do sinal da reunio eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.

Exemplos:

a) 2 + [ 2 ( 3 + 2 ) 1 ] = 2 + [ 2 5 1 ] = 2 + [ 2 6 ] = 2 + [4] = 2 4 = 2 b) 2 + { 3 [ 1 + ( 2 5 + 4 ) ] + 8 } = 11 c) { 2 [ 3 * 4 : 2 2 ( 3 1 ) ] } + 1 = { 2 [ 12 : 2 2 * 2 ] } + 1 = { 2 [ 6 4] } + 1

11) Nmeros Primos

So aqueles nmeros divisveis somente por eles mesmos e por 1. Obs.: O nmero 1, por definio, no primo.

Mtodo para obteno de nmeros primos

Faremos isso atravs de um exemplo: Encontre os nmeros primos compreendidos entre 1 e 50.

1 Passo: Enumer-los {1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50}

2 Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior nmero quadrado dentre os indicados, ou seja, encontrar o

maior nmero que se conhea a raiz quadrada exata. No caso, 49 = 7.

3 Passo: Extrair da lista acima os nmeros mltiplos dos nmeros {2, 3,4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7 provm do 2 passo.

4 Passo: Os nmeros que sobraram so os nmeros primos procurados:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.

Obs.: O nmero 2 o nico nmero primo e par. 12) Decomposio de um nmero em um produto de fatores primos

A decomposio de um nmero em um produto de fatores primos feita por meio do dispositivo prtico que ser mostrado nos exemplos a seguir.

Exemplos:

30 215 3

30 2 3 5 15 51 1

=

21 37 7 21 3 7 11 1

=

13) Mnimo mltiplo comum (m.m.c.)

O mnimo mltiplo comum a vrios nmeros o menor nmero divisvel por todos eles.

Exemplo:

a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45

2 2

12,16, 45 206, 08, 45 203, 04, 45 203, 02, 45 2

. . 2 3 5 72003, 01, 45 301, 01,15 301, 01, 05 501, 01, 01 1

m m c = =

O m.m.c. entre 12, 16 e 45 720

Confirme os resultados abaixo.

b) m.m.c. (4, 3) = 12 c) m.m.c. (3, 5, 8) = 120 d) m.m.c. (8, 4) = 8 e) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 60

14) Mximo Divisor Comum (m.d.c.)

O m.d.c. a vrios nmeros o maior nmero que os divide.

Exemplo: Encontrar o m.d.c. entre 12, 18 e 36.

Fatorando cada um dos nmeros em fatores primos, temos:

12 = 22.3 18 = 2.32

36 = 22.32.

Agora tomemos as menores potncias dos fatores em comum apresentados acima, ou seja, os elementos comuns de menores expoentes:

m.d.c.(12, 18, 36) = 2.3 = 6. Confirme os resultados abaixo:

b) m.m.c. (9, 6) = 3 c) m.m.c. (36, 45) = 9 d) m.m.c. (12, 64) = 4 e) m.m.c. (20, 35, 45) = 5

15) Exerccios: a) 2 + 3 1 =

b) 2 5 + 8 =

c) 1 3 8 + 2 5 =

d) 2 x (-3) =

e) (-2) x (-5) =

f) (-10) x (-1) =

g) (-1) x (-1) x (-2) =

h) ( ) ( )4 1

2

=

i) ( ) ( )1 3 5 2 7

1 +

=

m) ( )2 3 4 2 5 3

1+

=

n) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 ) + 2 ] } + 1 =

o) 8 - { - 20 [ ( - 3 + 3 ) : ( - 58 )] + 2 ( - 5 ) } =

p) 0,5 x 0,4 : 0,2 =

q) 0,6 : 0,03 x 0,05 =

r) 5 : 10 =

s) 3 : 81 x 0,5 =

t) Calcule o m.m.c. e o m.d.c. entre:

a) 36 e 60

b) 18, 20 e 30

c) 12, 18 e 32

III - FRAES ORDINRIAS

Definio: Frao um quociente indicado onde o dividendo o numerador e o divisor o denominador.

A frao prpria quando o numerador menor do que o denominador, por exemplo:

1 3 120, , , ...

2 5 210etc

A frao e imprpria quando o numerador maior que o denominador, sendo possvel represent-la por um

nmero misto e reciprocamente.

Exemplos:

10 3) 17 728 25 3 25 3 3) 55 5 5 5 5

11 2) 33 3

a

b

c

=

+= = + =

=

16) Propriedade

Multiplicando ou dividindo os termos de uma frao por um nmero diferente de zero obtm-se uma frao equivalente inicial.

Exemplos:

1 1 2 2)2 2 2 43 3 5 15)4 4 5 20

4 4 4 1)8 8 4 2

a

b

c

= =

= =

= =

17) Soma algbrica de fraes

Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores.

OBS: O menor denominador comum o m.m.c. dos denominadores.

Exemplos:

1 1 3 2 3 2 5)2 3 6 6 6 61 5 2 3 5 4 3 5 4 4 2)2 6 3 6 4 6 6 6 31 3 4 1 9 16 24 1 9 16 24 16 4 1) 2 1

12 4 3 12 12 12 12 12 12 3 3

a

b

c

++ = + = =

+ + = + = = =

+ + = + = = = =

18) Multiplicao de fraes

Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores.

Exemplos:

( )

1 3 3)2 5 10

1 1 1)4 2 81 2 2)3 5 15

1 2 3) 34 7 14

3 1 11 16 44 4)2 3 84 5 4 5 5 5

a

b

c

d

e

=

=

=

=

= = =

19) Diviso de fraes

Multiplica-se a frao dividenda pelo inverso da frao divisora.

Exemplos:

( )

( ) ( )

1 1 3 3 12) 11 2 1 2 23

2 2 2 4 13) 11 3 1 3 3

21 1 1 12)3 2 3 65 5 3 15 1) 7

2 1 2 2 231314 13 4 52 253 3) 1

1 9 3 9 27 272 4 4

a

b

c

d

e

= = =

= = =

= =

= = =

= = = =

20) Comparao de Fraes

Para comparar as fraes devemos reduzi-las ao mesmo denominador e comparar os numeradores, a qual tiver o numerador maior, ser a maior frao.

OBS.: a < b l-se a menor do que b a > b l-se a maior do que b

Exemplo: Comparar 67

e 23

:

Para isto, calculamos o m.m.c. entre 7 e 3:

m.m.c.(3, 7) = 21.

Ento, ao transformar os denominadores em 21, devemos multiplicar os numeradores pelo fatores de

transformaes.

6 37 3

e

2 7 183 7 21

e

1421

Como 18 maior que 14, podemos afirmar que:

18 14.

21 21>

21) Exerccios

Simplifique as fraes, ou coloque-as na forma irredutvel:

2)49)2712)48

a

b

c

=

=

=

Comparar as fraes :

1 2) ,2 32 5) ,3 64 3) ,7 8

a

b

c

Resolva:

1 1)5 101 1 1)2 3 61 2)3 53 1 2)7 3 5

1 2)6 5

a

b

c

d

e

+ =

+ =

=

=

=

13)

12

2 1) :3 51 2 1) :2 3 4

2 1)2 :15 5

1 2 1) :3 4 2

11 3)3

11 212)

12

f

g

h

i

j

k

l

=

=

=

=

+ =

+=

++

=

Simplifique:

111 1)

11

111 1

1 1 192 3 4) : 1

2 3 173 4

a

b

++

=

+

++

+ ++ =

+

IV POTNCIAS

Definio: Potncia de grau n de um nmero A o produto de n fatores iguais a A.

...

n

nvezes

A A A A A=

A a base da potncia e n o expoente da potncia, que determina seu grau. Desta forma:

2 = 2 x 2 x 2 = 8 = 2 = 8

(- 1)4 = (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) = 1 (- 1)4 = 1

CASOS PARTICULARES:

a) A potncia de expoente 1 (1 grau) igual base:

A1 = A; 21 = 2

b) Toda potncia de 1 igual a 1:

1 = 1; 1 = 1

c) Toda potncia de 0 igual a 0:

0 = 0; 0 = 0

d) Toda potncia de expoente par positiva:

(- 2)4 = 16; 24= 16; (- 3) = 9; 3 = 9

e) Toda potncia de expoente mpar tem o sinal da base:

3 = 27 ; (- 3) = - 27 25 = 32 ; (- 2)5 = - 32

22) Multiplicao de potncias de mesma base

Mantm-se a base comum e somam-se os expoentes.

Exemplos:

23 x 22 = 2(3+2) = 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 5 x 57 = 59 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 1 953 125

23) Diviso de potncias de mesma base

Mantm-se a base comum e subtraem-se os expoentes.

Exemplos:

56 : 54 = 52 = 5 x 5 = 25 37 : 33 = 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

24) Multiplicao de potncias de mesmo grau (semelhantes)

Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.

Exemplos:

2 x 7 = 2 x 2 x 7 x 7 = (2 x 7) 3 x 5 = 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 = (3 x 5) = 15 = 3 375

25) Diviso de potncias de mesmo grau (semelhantes)

Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.

Exemplos:

22

2

2 2 2 2 2 27 7 7 7 7 7

= = =

8 : 2 = 4 = 64 26) Potenciao de potncia

Eleva-se a base ao produto dos expoentes.

Exemplos:

(23)2 = 2(3 x 2) = 26 (35)2 = 310 = 59049

27) Expoente nulo

Toda potncia de base diferente de zero e expoente zero igual unidade.

Exemplos:

a4 : a4 = a(4-4) = a0 = 1 (-5)0 = 1

28) Expoente negativo

Qualquer nmero diferente de zero, elevado a expoente negativo igual a uma frao cujo numerador a unidade e cujo denominador a mesma base da potncia elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.

2

3(3 7) 4

7

1 1 155 5 5 25

22 2

2

= = =

= =

De forma geral:

1nn

aa

=

29) Potncias de 10

Efetuam-se as potncias de 10 escrevendo direita da unidade tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.

Exemplos:

a) 10 = 100 b) 107 = 10 000 000 c) 200 = 2 x 100 = 2 x 10 d) 4000 = 4 x 10 e) 300 000 = 3 x 105 f) 3 x 108 = 300 000 000

30) Nmeros decimais

Todo nmero decimal equivalente a um produto do qual um fator o nmero escrito como inteiro, e outro uma potncia de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas so as ordens decimais.

Exemplos:

44

3

3

5

3

3

25 250,0025 25 1010000 10

0,001 10

0,002 2 10

0,00008 8 10

1, 255 1255 10

2 10 0,002

= = =

=

=

=

=

=

31) Exerccios

a) 1 =

b) 04 = c) (- 2) =

d) (- 4) =

e) (- 2)4 = f) (- 4)4 = g) 2 x 25 = h) 3 x 3 x 35 = i) 35 : 34 = j) 34 : 3 x 35 = k) 24 x 54 = l) (- 3)5 x (- 5)5 =

m) 153 : 33 = n) (- 4)6 : 26 = o) (3)2 = p) (2)5 = q) (33)2 = r) [ (3) ] =

s) (2 x 3) =

t) (3 x 5 x 2)4 = 5

3

4

22 3

3

5)3

2)3

2 3)5

u

v

w

=

=

=

x) (2 x 3)0 = y) 4-2 = z) 2 x 3-1 =

Exprimir, utilizando potncias de 10: a) 20 000 =

b) 4 800 000 =

c) 0,01 =

d) 0,000045 =

Efetuar, utilizando potncia de 10:

2000 48000)80

28 0,000032)0,00002

a

b

=

=

V RADICAIS

Definio: Denomina-se raiz de ndice n (ou raiz n-sima) de A, ao nmero ou expresso que, elevado potncia n reproduz A.

OBS: Representa-se a raiz pelo smbolo .

n

n ndicea a radicando

radical

Desta forma:

a) 16 4= porque 24 16= ; b) 3 8 2= porque 32 8= ; c) 4 81 3= porque 43 81= .

32) Propriedade

possvel retirar um fator do radical, basta que se divida o expoente do radicando pelo ndice do radical.

Exemplos:

2

2 2

8 4 24 4

88 24 4

) 12 2 3 2 3) 180 2 3 5 2 3 5 6 5) 3 5 2 3 5 2

) 3 3 3

a

b

c

d

= =

= = =

=

= =

Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo ndice do radical

da seguinte maneira:

3 333 2 3 2=

33) Adio e subtrao de radicais semelhantes

Radicais de mesmo ndice e mesmo radicando so semelhantes. Na adio e subtrao de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.

Exemplos:

3 3 3 3 3 3 3

)3 2 5 2 10 2 8 2 10 2 2 2)3 2 6 2 5 2 2 9 2 6 2 3 2

a

b

+ = =

+ = =

34) Multiplicao e diviso de radicais de mesmo ndice

Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e d-se ao produto (quociente) o ndice comum.

Exemplos:

4 4 4

44 4

) 2 3 2 3 66 6) 3

22

) 3 5 2 3 5 2 305 3 15 15)

22 2

a

b

c

d

= =

= =

= =

= =

35) Potenciao de radicais

Eleva-se o radicando potncia indicada e conserva-se o ndice.

Exemplo:

( )( ) ( )

3 344

2 25 2 2 5 4 25

) 3 3

) 2 3 2 3 2 3

a

b

=

= =

36) Radiciao de radicais

Multiplicam-se os ndices e conserva-se o radicando.

Exemplos:

2 2 4

3 4 24

) 3 3 3

) 3 3

a

b

= =

=

37) Expoente fracionrio

Uma potncia com expoente fracionrio pode ser convertida numa raiz, cujo radicando a base, o ndice o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando. De forma geral, tem-se:

pq pqa a=

Exemplos:

2

3 2 33

334 4

)2 2 4

) 6 6

a

b

= =

=

38) Racionalizao de denominadores

1 Caso: O denominador um radical do 2 grau. Neste caso multiplica-se pelo prprio radical o numerador e o denominador da frao.

Exemplos:

1 1 2 2 2)22 2 2 4

1 1 3 3 3 3)2 3 62 3 2 3 3 2 9

2 2 3 6 6)33 3 3 9

2 2 2 2 6 2 12 2 12 2 12 12)5 6 30 155 6 5 6 6 5 36

a

b

c

d

= = =

= = = =

= = =

= = = = =

2 Caso: O denominador uma soma ou diferena de dois termos em que um deles, ou ambos, so radicais

do 2 grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expresso conjugada do denominador.

OBS: A expresso conjugada de a + b a b.

Na racionalizao aparecer no denominador um produto do tipo:

(a + b) x (a b) = a - b

Portanto:

(5 + 3) x (5 3) = 5 - 3 = 25 9 = 16

Exemplos:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

2 2

22

1 5 21 5 2 5 2 5 2)5 2 35 2 5 2 5 2 5 2

5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 35) 5 2 34 3 12 3 2 3 2 3 2 3

a

b

= = = =

+ + +

= = = = =

+ +

39) Exerccios

Efetuar:

( ) ( )

( )( )

4

3 4

4

4

63

23 2

3 3

3

3

3 3 3

) 5 2 5 10 5) 32 2 2 8)3 3 3 429) 3 6) 2 4

8)2

) 2

) 2 3

) 3) 3) 2 2

) 2 2 2

a

b

c

d

e

f

g

h

i

jk

l

+ =

+ =

+ =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Dar a resposta sob forma de radical, das expresses seguintes:

( )( )

12

34

11 2

2

16

)2)2

) 2

) 2 3

a

b

c

d

=

=

=

=

Racionalizar o denominador das fraes seguintes:

1)5

3)7

3)2 2

2)5 25)

4 11

a

b

c

d

e

=

=

=

=

=

Simplifique:

50 8)2

) 23521 1)

1 2 2 1

a

b

c

=

=

=

+