Apostila Po
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Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Medianeira Gerência de Ensino e Pesquisa
Coordenações de Cursos
CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO.
DISCIPLINA: PESQUISA OPRACIONAL 1.
PROFESSOR: LEVI LOPES TEIXEIRA.
ROTEIRO DE ESTUDOS.
Medianeira - Agosto/2011.
1
UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO............................................................................................................................................................ 2 PROGRAMAÇÃO LINEAR...................................................................................................................................... 2 CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR.................................................................. 3 SOLUÇÀO GRÁFICA DE UM PPL......................................................................................................................... 8 SOLUÇÀO BÁSICA DE UM SISTEMA DE EQUAÇÃOES LINEARES....................................................... 11 MÉTODO SIMPLEX.................................................................................................................................................. 12 MÉTODO DO M GRANDE...................................................................................................................................... 14 MÉTODO DAS DUAS FASES................................................................................................................................. 14 VARIÁVEL LIVRE E TIPOS DE SOLUÇÕES DE UM PPL........................................................................... 15 RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O SOLVER DO EXCEL..................................................................... 19 RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINDO................................................................... 21 RESOLUÇÃO DE UM PPL USANDO O APLICATIVO LINGO................................................................... 22 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE............................................................................................................................. 24 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE USANDO O SOLVER, LINDO E LINGO................................................ 28 DUALIDADE................................................................................................................................................................ 34 ANÁLISE ECONÔMICA........................................................................................................................................... 37 ALGORITMO DUAL SIMPLEX............................................................................................................................. 40 ANÁLISE DE PÓS-OTIMIZAÇÃO........................................................................................................................ 41 MÉTODO SIMPLEX REVISADO.......................................................................................................................... 47 PROBLEMAS DE TRANSPORTES....................................................................................................................... 49 PROGRAMANDO NO LINGO................................................................................................................................. 56 PROBLEMAS DE TRANSBORDO........................................................................................................................ 59 PROBLEMAS DE DESIGNAÇÃO.......................................................................................................................... 63 OTIMIZAÇÃO EM REDES....................................................................................................................................... 67 MODELO DETERMINÍSTICO DE ESTOQUE................................................................................................. 78
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UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
INTRODUÇÃO
A pesquisa operacional (P.O.) tem as suas origens nas operações militares no período da segunda guerra. Os recursos escassos levaram os comandos militares aliados a convocarem cientistas para desenvolverem procedimentos que otimizassem a alocação de recursos. Em 1947, George Dantzig desenvolveu o método simplex, um algoritmo usado na resolução de problemas de programação linear (PPL). Um modelo de PPL é formado basicamente por uma função objetivo (que deverá ser maximizada ou minimizada) e restrições representadas por expressões lineares. São várias as áreas onde se aplicam a P.O.: 1) Problemas de misturas (adubos, ração, tintas, ligas metálicas, combustíveis, minérios, etc); 2) Problemas de corte (barras, bobinas, chapas, etc.); 3)Problemas de distribuição e localização (roteamento, localização de postos de saúde, escolas, etc); 4) Horários de trabalho (motoristas de ônibus, tripulação de avião, atendentes de telefone, etc.); 5) Planejamento de produção e estocagem (refinaria, indústria de móveis, etc.); 6) Finanças (crédito, bolsa de valores, etc.). PROGRAMAÇÃO LINEAR De maneira geral um modelo de P.O. pode ser representado da seguinte forma: Maximizar ou minimizar a função objetivo. Sujeito a Restrições CONCEITOS IMPORTANTES
a) Variáveis de decisão: São variáveis usadas no modelo que podem ser controladas pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada testando-se diversos valores das variáveis de decisão. Exemplo: O número de caminhões que a engarrafadora deve despachar num determinado dia.
b) Parâmetros: São variáveis usadas no modelo que não podem ser controladas pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada admitindo como fixos os valores dos parâmetros. Exemplo: A capacidade de cada caminhão que vai transportar refrigerante. Os caminhões têm uma capacidade especificada pelo fabricante e uma carga total transportada que é limitada pela legislação rodoviária.
c) Função-objetivo: É uma função matemática que representa o principal objetivo do tomador de decisão. Ela é de dois tipos (minimização e maximização). Exemplo: Minimizar os custos de transportes relativos à distribuição de refrigerantes.
d) Restrições: São regras que dizem que podemos (ou não) fazer e/ou quais são as limitações dos recursos ou das atividades que estão associadas ao modelo.
PROPRIEDADES DA PROGRAMAÇÃO LINEAR
Em modelos de PL, a função objetivo e as restrições são expressões lineares. Linearidade implica que a PL deve satisfazer 3 propriedades básicas:
1- Proporcionalidade: Essa propriedade requer que a contribuição de cada variável de decisão, tanto na função objetivo quanto nas restrições, seja diretamente proporcional ao valor da variável. Por exemplo, na função objetivo maximizar receita = 4x1 + 3x2, as constantes de proporcionalidade são 4 e 3 para os produtos 1 e 2, respectivamente.
2- Aditividade: Essa propriedade requer que a contribuição total de todas as variáveis da função objetivo e das restrições seja a soma direta das contribuições individuais de cada variável. Em outras palavras a operação entre as variáveis deve ser adição ou subtração.
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UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
3- Certeza: Todos os coeficientes da função objetivo e das restrições do modelo de PL são determinísticos, o que significa que são constantes conhecidas.
CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
EXEMPLOS:
1- Uma pequena indústria produz artigos A1 e A2 qua são vendidos a $ 200 / un. E $ 300 /
un. , respectivamente. Na sua produção são utilizados 3 tipos de matérias-primas, P1, P2
e P3, que são gastas da seguinte forma:
2 unidades de P1 para fabricar 1 unidade de A1,
4 unidades de P2 para fabricar 1 unidade de A1,
1 unidade de P1 para fabricar 1 unidade de A2,
1 unidade de P3 para fabricar 1 unidade de A2.
Por razões econômicas, as matérias-primas P1, P2 e P3 estão disponíveis no
máximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente.
O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que
devem ser produzidas para que a receita seja a maior possível. Construa o modelo do
problema como um PPL.
2- Um jovem pretende prestar um concurso público cujo exame envolve duas disciplinas, D1 e D2. Ele sabe que, para cada hora de estudo, pode obter 2 pontos na nota da disciplina D1 e 3 pontos na de D2 e que o rendimento é proporcional ao seu esforço. Ele dispõe de no máximo 50 horas para os estudos até o dia do exame. Para ser aprovado deverá obter na disciplina D1 no mínimo 20 pontos, na D2, no mínimo 30, e o total de pontos deverá ser pelo menos 70. Como, além da aprovação, ele gostaria de alcançar a melhor classificação possível, qual a melhor forma de distribuir as horas disponíveis para o seu estudo? Formular o Problema como um PPL.
3- Uma pessoa em dieta necessita ingerir pelo menos 20 unidades de vitamina A, 10 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C. Ela deve conseguir essas vitaminas a partir de dois tipos diferentes de alimentos: A1 e A2. A quantidade de vitaminas que esses produtos contêm por unidade e o preço unitário de cada um deles está expresso na seguinte tabela: Vitamina A Vitamina B Vitamina C Preço unitário Alimento A1 4 1 1 30 u.m. Alimento A2 1 2 - 20 u.m. Qual a programação de compras dos alimentos A1 e A2 que essa pessoa deve fazer para cumprir sua dieta, ao menor custo possível? Construa o modelo linear para este problema.
EXERCÍCIOS
1- Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o
lucro unitário de P2 é de 150 u.n. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma
unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível
para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos
levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem
ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do
sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
2- Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas.
Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos
100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de
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tangerina a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão
para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.
3- Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com
disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses
recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos
e consultado o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado,
verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $ 150,00 por unidade.
O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso dos recursos.
Produtos Recurso R1/un. Recurso R2/un. Recurso R3/un. P1 2 3 5 P2 4 2 3
Disponibilidade de recursos por mês
100 90 120
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro a empresa? Construa o modelo do
sistema.
4- Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades:
(A) (arrendamento)- destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-
de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra
$ 300,00 por alqueire por ano. (P) (pecuária)- Usar outra parte para criação de gado de
corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100kg/alq.) e irrigação (100.000 l
de água/alq.) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire por
ano. (S) (plantio de soja)- Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura
requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 l de água/alq. Para irrigação por ano. O
lucro estimado nessa atividade é de $ 500,00/ alqueire no ano.
Disponibilidade de recursos por ano:
12.750.000 l de água.
14.000 kg de adubo.
100 alqueires de terra.
Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor
retorno? Construa o modelo de decisão.
5- Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a
mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados:
Material recuperado 1 – MR1- composição:
Ferro – 60% - custo por kg = $0,20
Carvão – 20%
Silício – 20%
Material recuperado 2 – MR2 – composição:
Ferro – 70% - custo por kg = 0,25
Carvão – 20%
Silício – 5%
Níquel- 5%
A liga deve ter a seguinte composição final:
Matéria prima % Mínima % Máxima Ferro 60 65
Carvão 15 20 Silício 15 20 Níquel 5 8
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O custo dos materiais puros são (por kg): ferro: $0,30; carvão: $ 0,20; silício: $ 0,28;
Níquel: $ 0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais
disponíveis, com menor custo por kg?
6- Uma certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de
produto não lucrativo. Isso criou um considerável excedente na capacidade de produção.
A gerência está considerando dedicar essa capacidade excedente a um ou mais produtos,
identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das máquinas que poderia
limitar a produção está resumida na tabela a seguir:
Tipo de máquina Tempo disponível (horas de máquina)
A 500
B 350
C 150
O número de horas de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos,
conforme representado a seguir:
Tipo de máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3
A 9 3 5
B 5 4 0
C 3 0 2
O lucro unitário é de $ 30, $ 12 e $ 15, respectivamente, para os produtos 1,2 e 3.
Construa um modelo matemático como PPL para determinar a quantidade de cada
produto que a empresa deve produzir para maximizar o lucro.
7- Uma certa corporação tem 3 fábricas filiais com capacidade de produção excedente. As 3
unidades têm capacidade para fabricar um certo produto, tendo a gerência decidido
utilizar parte dessa capacidade de produção excedente para fazê-lo. Ele pode ser feito
em 3 tamanhos – grande, médio e pequeno – os quais geram um lucro unitário líquido
de $ 140, $ 120 e $ 100, respectivamente. As fábricas 1,2 e 3 têm capacidade excedente
de mão-de-obra e de equipamento para produzirem 750, 900 e 450 unidades do
produto por dia, respectivamente, independentemente do tamanho ou combinação de
tamanhos envolvidos. Entretanto, a quantidade de espaço disponível para estoque em
processo também impõe um limite às taxas de produção. As fábricas 1,2 e 3 têm 1.170,
1.080 e 450 metros quadrados de espaço disponível para estoque de produtos em
processo, em dia de produção, sendo que cada unidade dos tamanhos grande, médio e
pequeno, produzida por dia, requer, 1,8, 1,35 e 1,08 metros quadrados,
respectivamente. As previsões indicam que podem ser vendidas, por dia, 900, 1.200, e
750 unidades dos tamanhos grande, médio e pequeno, respectivamente. Para manter
uma carga de trabalho uniforme entre as fábricas,e para reter algum tipo de
flexibilidade, a gerência decidiu que a produção adicional designada a cada fábrica deve
utilizar a mesma porcentagem da capacidade excedente de mão-de-obra e de
equipamento. A gerência deseja saber a quantidade de produto, por tamanho, que
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deveria ser produzida em cada uma das fábricas, para maximizar o lucro. Monte o
modelo linear.
8- Uma determinada empresa quer utilizar do melhor modo possível os recursos de
madeira de uma de suas regiões florestais. Dentro dessa região, há uma serraria e uma
fábrica de compensados, o que possibilita que as toras possam ser convertidas em
madeira beneficiada ou compensada. Produzir uma mistura comercializável de 1 metro
cúbico de produtos beneficiados requer 1 metro cúbico de pinho e 4 metros cúbicos de
canela. Produzir 100 metros quadrados de madeira compensada requer 2 metros
cúbicos de pinho e 4 metros cúbicos de canela. A região em questão dispõe de 32 metros
cúbicos de pinho e 72 metros cúbicos de canela. Compromissos de vendas exigem que
sejam produzidos, durante o período de planejamento, pelo menos 5 metros cúbicos de
madeira beneficiada e 1.200 metros quadrados de madeira compensada. As
contribuições ao lucro são de $ 45 por 1 metro cúbico de produtos beneficiados e $ 60
por 100 metros quadrados de madeira compensada. Determine as quantidades (em
metros cúbicos) de madeira beneficiada e de madeira compensada (em 100 metros
quadrados) a serem produzidos. Monte o modelo linear.
9- Uma companhia de aviação agrícola, que opera a partir de um determinado terminal,
tem 8 aviões do tipo 1, 15 aviões do tipo 2 e 11 aviões do tipo 3, disponíveis para vôos.
As capacidades de pesticidas para pulverização, em toneladas, são 4,5 para o tipo 1, 7
para o tipo 2 e 5 para o tipo 3.
A companhia deve expedir aviões para as propriedades A e B. As necessidades de
tonelagem são 20 na propriedade A e 28 na propriedade B. Sabe-se também que o
excesso de pulverização em uma propriedade deve ser evitado; e que o avião pode voar
somente uma vez durante o dia.
O custo de enviar do terminal a cada propriedade, em $, é dado pela seguinte
tabela:
Propriedade Avião – tipo 1 Avião – tipo 2 Avião – tipo 3
A 23 15 1,4
B 58 20 3,8
Denotando por x1, x2 e x3 os números de aviões de cada tipo enviado à
propriedade A, e do mesmo modo, y1, y2 e y3 os aviões enviados à propriedade B.
Formule o modelo de programação linear pertinente ao problema.
RESPOSTAS
1- x1 = quantidade a produzir de P1; x2 = quantidades a produzir de P2.
Max Lucro = 100x1 + 150x2
s.a.
2x1 + 3x2 <=120
x1<=40
x2<=30
x1, x2 >=0
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2- x1 = quantidade de caixas de pêssegos; x2 = quantidades de caixas de tangerinas.
Max Lucro = 10x1 + 30x2 +4.000
s.a.
x1 + x2 <=600
x1 >= 100
x2 <= 200
x1, x2 >=0
3- x1 = quantidade a produzir de P1; quantidade a produzir de P2.
Max Lucro = 120 x1 + 150 x2
s.a
2x1 + 4x2 <=100
3x1 + 2x2 <=90
5x1 + 3x2 <=120
x1, x2 >=0
4- x1 = alqueires para arrendamento; x2 = alqueires para pecuária; x3 = alqueires para
soja.
Max Lucro = 300x1 + 400x2 + 500x3
s.a.
x1 + x2 + x3 <= 100
100x2 + 200x3 <= 14.000
100.000x2 + 200.000x3 <= 12.750.000
x1, x2, x3 >=0
5- x1 = quantidade de MR1 na mistura; x2 = quantidade de MR2 na mistura; x3 =
quantidade de ferro puro na mistura; x4 = quantidade de carvão na mistura; x5 =
quantidade de silício na mistura; x6 = quantidade de níquel na mistura.
Min Custo = 0,2x1 + 0,25x2 + 0,3x3 + 0,2 x4 + 0,28x5 + 0,5x6
s.a.
0,6x1 + 0,7x2 + x3 >=0,6
O,6x1 + 0,7x2 + x3 <=0,65
0,2x1 + 0,2x2 + x4 <= 0,2
0,2x1 + 0,2x2 + x4 >=0,15
0,2x1 + 0,05x2 + x5 <=0,2
0,2x1 + 0,05x2 + x5 >=0,05
0,05x2 + x6 >= 0,05
0,05X2 + x6 <=0,08
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 =1
x1,x2,x3,x4,x5,x6 >=0
6- x1 = quantidade a ser produzida do produto 1; x2 = quantidade a ser produzida do
produto 2; x3 = quantidade a ser produzida do produto 3.
Max z = 30x1 + 12x2 + 15x3
s.a.
9x1 + 3x2 + 5x3 <= 500
5x1 + 4x2 <= 350
3x1 + 2x3 <=150
x1, x2, x3 >=0
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7- x11, x21, x31 : produção na fábrica 1 dos 3 tamanhos (grande(1), médio (2) e pequeno
(3); x12, x22, x32 : prod. Na fábr. 2 dos 3 tamanhos (grande(1), médio (2) e pequeno
(3); o mesmo para x13, x23 e x33.
Max z = 140 x11 + 140 x12 + 140x13 + 120x21 + 120x22 + 120x23 + 100x31 +
100x32 + 100x33
s.a.
x11 + x21 + x31 <=750
x12 + x22 + x32 <=900
x13 + x23 + x33 <=450
1,8x11 + 1,35x21 + 1,08x31 <=1170
1,8x12 + 1,35x22 + 1,08x32 <=1080
1,8x13 +1,35x23 + 1,08x33 <=450
x11 + x12 + x13 <= 900
x21 + x22 + x23 <=1200
x31 + x32 + x33 <=750
900(x11 + x21 + x31) – 750(x12 + x22 + x32) = 0
450(x12 + x22 + x32) – 900(x13 + x23 + x33) = 0
xij >=0, i=1,2,3 e j = 1,2,3
8- x1 = madeira beneficiada; x2 = madeira compensada.
Max z = 45x1 + 60x2
s.a.
x1 + 2x2 <= 32
4x1 + 4x2 <= 72
x1 >= 5
x2 >=12
x1, x2 >=0
9- x1 = número de aviões do tipo 1 usado na propriedade A; x2 = número de aviões do tipo
2 usado na propriedade A; x3 = número de aviões do tipo 3 usado na propriedade A; y1
= número de aviões do tipo 1 usado na propriedade B; y2 = número de aviões do tipo 2
usado na propriedade B; y3 = número de aviões do tipo 3 usado na propriedade B.
Min z = 23x1 + 15x2 + 1,4x3 + 58y1 + 20y2 + 3,8y3
s.a.
x1 + y1 <=8
x2 + y2 <= 15
x3 + y3 <= 11
4,5x1 + 7x2 + 5x3 <= 20
4,5x1 + 7y2 + 5y3 <=28
x1, x2, x3, y1, y2, y3 <=0
SOLUÇÃO GRÁFICA DE UM PPL
Problemas de programação linear que envolvam 2 variáveis de decisão podem ser facilmente resolvidos a partir do método gráfico. Procedimento: Representar graficamente as restrições. A intersecção dos gráficos (semi-planos) forma a região de soluções viáveis. A solução ótima deve ser encontrada entre os vértices dessa região.
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EXEMPLOS: Resolver pelo método gráfico os seguintes problemas de programação linear.
1- Max z = 200x1 + 300x2 s.a. 2x1 + x2 <=20 4x1 <= 32 x2 <= 10 x1>=0, x2>=0
2- Max z = 2x1 + 3x2 s.a. x1 + x2 <= 50 2x1 + 3x2 >= 70 2x1 >= 20 3x2 >= 30 x1>=0, x2>=0
3- Min z = 30x1 + 20x2 s.a. 4x1 + x2 >= 20 x1 + 2x2 >= 10 x1 >= 2 x1>=0, x2 >= 0
4- Max z = x1 + 2x2 s.a. 4x1 + x2 >= 20 x1 + 2x2 >= 10 x1 >=2 x1>=0, x2>=0
5- Min z = x1 + x2 s.a. -2x1 + x2 >=2 x1 – 2x2 >=2 x1>=0, x2>= 0
6- Max z = x1 + x2 s.a. -2x1 + x2 <= 2 x1 – 2x2 <= 2 x1 + x2 <= 4 x1>=0, x2>=0
EXERCÍCIOS
Resolver graficamente os seguintes problemas de programação linear.
4- Maximizar Lucro = 2x1 + 3x2
s.a.
-x1 + 2x2 <= 4
x1+ 2x2 <=6
x1 + 3x2 <=9
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x1, x2 >=0
5- Maximizar Receita = 0,3x1 + 0,5x2
s.a.
2x1 + x2 <=2
x1 + 3x2 <=3
x1, x2 >=0
6- Maximizar Lucro = 2x1 + 3x2
s.a.
x1 + 3x2 <=9
-x1 + 2x2 <=4
x1 + x2 <= 6
x1, x2 >=0
7- Minimizar Custo = 10x1 + 12x2
s.a.
x1 + x2 <=20
x1 + x2 >=10
5x1 + 6x2 >=54
x1, x2 >=0
8- Minimizar z = 7x1 + 9x2
s.a.
-x1 + x2<=2
x1<=5
x2<=6
3x1 + 5x2 >=15
5x1 + 4x2 >=20
x1, x2 >=0
9- Uma fábrica tem 3 tipos de máquinas, M1, M2 e M3, a serem utilizadas na fabricação dos
produtos P1 e P2. O quadro abaixo descreve como a fábrica opera, diariamente:
Máquinas\Produtos P1 P2 Disponibilidade/dia M1 3 2 20 h M2 4 0 12 h M3 2 5 18 h
Formule o problema como um problema de programação linear para planejar a
produção diária a fim de que o lucro seja o máximo possível, sabendo que o produto P1
dá lucro de 200 u.m. e P2, 50 unidades. Resolver o problema pelo método gráfico.
10- Uma companhia fabrica um produto a partir de dois ingredientes, A e B. Cada quilo de A
contém 5 unidades do produto P1, 4 unidades do produto P2, 2 unidades doproduto P3
e custa 100 u.m. Cada quilo de B contém 3 unidades do produto P1, 5 unidades do
produto P2, 10 unidades do produto P3 e custa 150 u.m. A mistura deve conter pelo
menos 20 unidades de P1, 18 unidades de P2 e 30 unidades de P3. Formule este
problema como um problema de programação linear para que o custo do produto seja o
menor possível. Resolver o problema pelo método gráfico.
11- Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas.
Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos
100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de
tangerina a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão
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para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema. Resolva o problema pelo
método gráfico.
12- Uma pequena indústria produz artigos A1 e A2 qua são vendidos a $ 200 / un. E $ 300 /
un. , respectivamente. Na sua produção são utilizados 3 tipos de matérias-primas, P1, P2
e P3, que são gastas da seguinte forma:
2 unidades de P1 para fabricar 1 unidade de A1,
4 unidades de P2 para fabricar 1 unidade de A1,
1 unidade de P1 para fabricar 1 unidade de A2,
1 unidade de P3 para fabricar 1 unidade de A2.
Por razões econômicas, as matérias-primas P1, P2 e P3 estão disponíveis no
máximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente.
O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que
devem ser produzidas para que a receita seja a maior possível.
13- O Governo Federal colocou 20 há de terras desmatadas à disposição de produtores
locais. Estima-se que tal área seja utilizada para o plantio de soja e algodão. Calcula-se
que há 1200 homens-horas disponíveis durante o período de semeadura; e que são
necessários 20 homens-horas por hectare de soja e 120 homens-horas por hectare de
algodão. Oferece-se ainda uma linha máxima de crédito de $ 6000,00, dividida da
seguinte forma: $ 600,00 por hectere de soja e $ 200,00 por hectare de algodão. Como
organizar essa área de plantio para maximizar o lucro se é sabido que as margens de
lucro esperadas são $ 50 por hectare de soja e $ 25 por hectare de algodão?
SOLUÇÃO BÁSICA DE UM SISTEMA DE EQUAÇÒES LINEARES
EXEMPLO: Seja o sistema de equações lineares:
𝑥1 + 3𝑥2 + 43 − 𝑥4 = 102𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 5
ou 12 𝑥1 +
31 𝑥2 +
4−1
𝑥3 + −1 2 𝑥4 =
105 . A base é formada
por dois vetores linearmente independentes. Fazendo x3 = x4 = 0, obtém-se: 12 𝑥1 +
31 𝑥2 =
105 . Assim, a solução dita básica é x1 = 1, x2 = 3, x3 = 0 e x4 = 0. A C4,2 =6 fornece o total de
soluções básicas que podem ser encontradas.
PROBLEMA FUNDAMENTAL DE PL
EXEMPLO:
Max z = 2x1 + 3x2
s.a.
x1 + 5x2 <=20
2x1 + x2 <= 10
x1>=0 e x2 >= 0
a) Construir a região de soluções viáveis.
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b) Transformar o sistema de inequações, com a introdução de variáveis de folga, num
sistema de equações com variáveis não negativas.
c) Mostrar que as soluções básicas do sistema obtido são vértices da região de soluções
viáveis.
MÉTODO SIMPLEX (Para modelos de maximização e restrições do tipo <=) 𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛 (F.O.)
𝑠. 𝑎. 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 <= 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 <= 𝑏2
………………… 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 <= 𝑏𝑚
𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥𝑛 ≥ 0 Introduzindo as variáveis de folga 𝑠1, 𝑠2,… , 𝑠𝑚 , o problema acima é transformado em:
𝐹.𝑂. : 𝑧 − 𝑐1𝑥1 − 𝑐2𝑥2 −⋯− 𝑐𝑛𝑥𝑛 − 0𝑠1 − 0𝑠2 −⋯− 0𝑠𝑚
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 + 𝑠1 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 + 𝑠2 = 𝑏2……………………………………………… . .
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 + 𝑠𝑚 = 𝑏𝑚
𝑥1, 𝑥2,…𝑥𝑛 ≥ 0 𝑒 𝑠1, 𝑠2,… , 𝑠𝑚 ≥ 0 Onde x1, x2, ..., xn são as variáveis de decisão e a solução básica inicial
é:
𝑥1 = 𝑥2 = ⋯𝑥𝑛 = 0𝑠1 = 𝑏1𝑠2 = 𝑏2𝑠𝑚 = 𝑏𝑚
e z = 0.
1) Para um problema de maximização com função objetivo (F.O.) Max z = 5x1 + 4x2 (por exemplo), sendo x1 e x2 variáveis não básicas, entra na base a variável com coeficiente mais positivo – no caso x1 (condição de otimalidade).
2) Para determinar a variável que sai da base, calcula-se as razões não negativas entre os termos independentes (b) e os coeficientes (a) da variável que entra na base (no caso x1). Sai a variável da linha que apresentar a menor razão não negativa entre os coeficientes a e b. Para o caso onde x1 entra na base, tem-se:
Min 𝑏1
𝑎11,𝑏2
𝑎21,… ,
𝑏𝑖
𝑎𝑖1,… ,
𝑏𝑚
𝑎𝑚 1 . Se
𝑏𝑖
𝑎𝑖1 é a menor razão não negativa, 𝑎𝑖1 é chamado de
pivô. 3) Zerar, usando operações elementares, os elementos da coluna do pivô, exceto o pivô que
deve ser transformado em 1.
EXEMPLOS:
1- Resolver
Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0
2- Resolver graficamente e pelo método simplex o PPL.
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Max z = 3x1 + 5x2 s.a. 2x1 + 4x2 <=10 6x1 + x2 <=20 x1 – x2 <=30 x1 >= 0 e x2 >= 0
3- Resolva o PPL Min z = 3x1 - 4x2 + x3 s.a. x1 + x2 + x3 <=10 2x1 + x2 – x3 <= 20
x1, x2 e x3 >=0 (Obs.: multiplicar a F.O. por (-1). Desta forma, o problema de minimização é transformado em um problema de maximização: Max (-z) = -3x1 + 4x2 – x3). EXERCÍCIOS Resolver os modelos em programação linear, usando o método simplex.
1- Max z = 10x1 + 12x2 s.a. x1 + x2 <=100 2x1 + 3x2 <= 270 x1, x2 >= 0
2- Max z = 2x1 + 3x2 + 4x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 100 2x1 + x2 <=210 x1 <= 80 x1, x2, x3 >=0
3- Max z = 0,2x1 + 2x2 + 4x3 s.a. x1 + 2x2 <= 20 3x1 + x3 <= 50 x1 + x2 – x3 <= 15 x1, x2, x3 >=0
4- Max z = 5x1 - 3x2 + 4x3 – x4 s.a. x1 + x2 + x3 + x4 <= 600 2x1 + x3 <=280 x2 + 3x4 <=150 x1, x2, x3, x2 >=0
5- Max z = 2x1 + 4x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 <= 8.000 2x1 <= 6.000 x2 + x3 <=620 x1, x2, x3 >=0
6- Max z = 2x1 + 4x2 + 6x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 100 2x1 – x2 + 5x3 <= 50 3x1 + x3 <= 200
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x1, x2, x3 >=0
RESPOSTAS:
1- x1 = 30, x2 = 70, x3 = 0, x4 = 0 e z = 1.140. 2- x1 = 0, x2 = 0, x3 = 100, x4 = 0, x5 = 210, x6 = 80 e z = 400. 3- x1 = 0, x2 = 10, x3 = 50, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 55 e z = 220. 4- x1 = 0, x2 = 0, x3 = 280, x4 = 0, x5 = 320, x6 = 0, x7 = 150 e z = 1.120 5- x1 = 3.000, x2 = 0, x3 = 620, x4 = 4.380, x5 = 0, x6 = 0 e z = 8.480 6- x1 = 0, x2 = 75, x3 = 25, x4 = 17,5, x5 = 0, x6 = 0 e z = 450.
PROBLEMAS COM RESTRIÇÕES DO TIPO “ >= ” OU “ = ”. Problemas deste tipo apresentam uma solução básica inicial inviável. Para resolver esta questão devem-se acrescentar variáveis artificiais ao problema, encontrando assim uma solução básica inicial viável. Serão apresentados dois métodos para resolver este tipo de problema: M grande e 2 fases. MÉTODO DO M GRANDE Acrescentam-se ao problema as variáveis artificiais, de modo que a solução básica inicial seja viável. Na F.O. os coeficientes das variáveis artificiais devem ser números grandes em relação aos coeficientes das variáveis de decisão. Já nas primeiras iterações procura-se tirar da base as variáveis artificiais. EXEMPLOS:
1- Resolver Max z = x1 + x2 + x3 s.a. 2x1 + x2 – x3 <= 10 x1 + x2 + 2x3 >= 20 2x1 + x2 + 3x3 = 60 x1, x2, x3 >=0
2- Min z = 4x1 + x2 s.a. 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 >= 6 x1 + 2x2 <=4 x1 e x2 >=0
MÉTODO DAS 2 FASES OU F.O. ARTIFICIAL (W)
Acrescentam-se ao problema as variáveis artificiais e constrói-se uma F.O. artificial (W), esta função deverá ser minimizada. Após a minimização, se W = 0, abandona-se as variáveis artificiais. Caso contrário, a solução é inviável.
EXEMPLOS:
1- Resolver Max z = x1 + x2 + x3
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s.a. 2x1 + x2 – x3 <= 10 x1 + x2 + 2x3 >= 20 2x1 + x2 + 3x3 = 60 x1, x2, x3 >=0
2- Min z = 4x1 + x2 s.a. 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 >= 6 x1 + 2x2 <=4 x1 e x2 >=0
VARIÁVEL LIVRE Quando um PPL apresenta uma variável livre ou irrestrita de sinal, deve-se substituir essa variável pela diferença de duas variáveis não negativas. EXEMPLO Dado o problema: Max z = 5x1 + 3x2 s.a. 2x1 + x2 <=8 x1 – 2x2 <= 3 x1>=0 e x2 livre.
Substitui-se x2 por x2’ – x2’’, sendo x2’>= 0 e x2’’ >=0. SOLUÇÃO DEGENERADA Para determinar a variável que sai da base, determina-se a menor razão positiva entre os termos independentes e os coeficientes da variável que entra na base. Se ocorrer mais de um resultado nestas condições, uma ou mais variáveis básicas serão nulas, nesta situação a solução é dita degenerada. SOLUÇÕES MÚLTIPLAS Se na solução ótima o coeficiente de uma variável não básica é zero, ela poderá entrar na base sem alterar o valor da função objetivo, gerando outra solução ótima, neste caso qualquer combinação linear dessa duas soluções também será ótima. EXEMPLOS
1- Solução degenerada Max z = 3x1 + 9x2 s.a. x1 + 4x2 <=8 x1 + 2x2 <= 4
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Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução 0
Entra x2 Sai x3
Z -3 -9 0 0 0 x3 1 4 1 0 8 x4 1 2 0 1 4
Min {8/4, 4/2}= 2
Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução 1
Entra x1 Sai x4
Z -3/4 0 9/4 0 18 x2 ¼ 1 ¼ 0 2 x4 ½ 0 -1/2 1 0
Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução
2 Ótima
Z 0 0 3/2 3/2 18 x2 0 1 ½ -1/2 2 x1 1 0 -1 2 0
2- Soluções Múltiplas
Max z = 2x1 + 4x2
s.a.
x1 + 2x2 <= 5
x1 + x2 <=4
x1, x2 >=0
Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução
0 Entra x2
Sai x3
Z -2 -4 0 0 0 x3 1 2 1 0 5 x4 1 1 0 1 4
Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução 1(ótima) Entra x1
Sai x4
Z 0 0 2 0 10 x2 ½ 1 ½ 0 5/2 x4 ½ 0 -1/2 1 3/2
Iteração Base x1 x2 x3 x4 Solução 2(ótima
alternativa) Entra x2
Sai x3
Z 0 0 2 0 10 x2 0 1 1 -1 1 x1 1 0 -1 2 3
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3- Solução ilimitada Max z = 2x1 + x2 s.a. x1 – x2 <= 10 2x1 <= 40
x1, x2 >=0
Base x1 x2 x3 x4 Solução Z -2 -1 0 0 0
x3 1 -1 1 0 10 x4 2 0 0 1 40
EXERCÍCIOS
1- Resolva pelo simplex, usando o método do M grande para obter a solução básica inicial.
Max z = 2x1 + 3x2
s.a.
x1 + x2 >= 10
2x1 + x2 <= 16
x1, x2 >=0
2- Resolva pelo método simplex, usando o método das 2 fases para obter a solução básica
inicial.
Min z = 3x1 + 2x2
s.a.
2x1 + x2 >= 10
x1 + 5x2 >= 15
x1, x2 >=0
3- Resolva usando o simplex
Max z = x1 + x2 + 2x3
s.a.
x1 + 2x2 <=10
3x1 + 4x2 + x3 <=20
x1>=0, x3>=0, x2 livre de sinal.
4- Mostre que o problema tem várias soluções.
Min z = 2x1 + 4x2 + 10x3
s.a.
x1 + x2 + x3 <= 120
x1 + 2x2 + 5x3 >= 30
x1, x2, x3 >=0
5- Resolva usando o simplex
Min z = 2x1 + 4x2 + 5x3
s.a.
x1 + 2x2 + 10x3 <= 600
x1 – x2 + x3 >=50
2x1 – x3 <= 100
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X1, x2, x3 >=0
6- Verifique se a solução do modelo abaixo é limitada. Qual a melhor solução básica antes
que a solução fique limitada?
Max z = x1 + 2x2 + x3
s.a.
2x1 + 3x2 + x3 >= 10
4x1 + x2 + 2x3 >=20
x1, x2, x3 >=0
7- Min z = 3x1 + 2x2 + x3
s.a.
3x1 + x2 + 3x3 >= 6
3x1 + 2x2 = 6
x1 – x2 <= 1
x1, x2, x3 >=0
8- Um distribuidor de produtos para festas infantis compra dos produtores chapéus de
papel, línguas-de-sogra e bexigas, e prepara caixas com esses 3 produtos na forma de
kits para festas. Observações anteriores mostram que: (a) A quantidade de chapéus e
línguas-de-sogra deve ser pelo menos 50% do total. (b) O pacote deve ter pelo menos 20
bexigas. (c) Cada item deve concorrer com pelo menos 25% do total da caixa. O custo
dos componentes (em milhares de unidades) é: chapéu de papel: 50.000; língua-de-
sogra: 20.000; bexigas: 5.000. Qual a composição da caixa que tem o menor custo?
9- Uma empresa dispõe de recursos produtivos suficientes para produzir 3 diferentes
produtos P1, P2 e P3. A capacidade de armazenagem, se fosse fabricado apenas um
produto, seria de: 1.000 unidades para P1; 900 unidades para P2 e 1.200 unidades para
P3. Espera-se ter que armazenar no máximo a produção de 5 dias. A capacidade de
produção por hora para cada produto individualmente é de: 10 unidades para P1; 6
unidades para P2 e 15 unidades para P3. A disponibilidade é de 8h/dia. A
disponibilidade diária de matéria-prima, usada nos 3 produtos, é de 240 kg. O uso por
unidade de produto é de 1,5kg para P1; 2,4 kg para P2 e 2 kg para P3. Se os lucros
unitário são de 500 u.m. para P1, 800 u.m. para P2 e 400 u.m. para P3, qual a produção
diária ótima?
RESPOSTAS
1- x1 = 0, x2 = 16 e z = 48
2- x1 = 3,89, x2 = 2,22 e z = 16,11
3- x1 = 0, x2 = 0, x3 = 20, x4 = 0, x5 = 0 e z = 40 (x2 = x5 –x4)
4- x1 = 0, x2 = 0, x3 = 6, x4 = 114 e z = 60 . A variável não básica x2 tem coeficiente
zero.
5- x1 = 50, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 550, x5 = 0, x6 = 0 e z = 100.
6- Solução ilimitada. x1 = 0, x2 = 20, x3 = 0, x4 = 50 e z = 40.
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RESOLUÇÃO DE PPL USANDO O SOLVER DO EXCEL
EXEMPLO: Resolver, usando o SOLVER do EXCEL, o seguinte PPL:
Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0
SOLUÇÃO:
No EXCEL, digite os dados do problema como mostra a figura 1. Os valores numéricos
nas células da coluna D e linha 8 não são digitados, pois estes são os resultados obtidos
com a execução do SOLVER.
FIGURA 1 – PLANILHA DO EXCEL COM DADOS DO PPL.
Além dos dados do problema, a figura 1 apresenta o procedimento para a resolução do
PPL. No EXCEL (Office 2007) um PPL pode ser resolvido clicando na aba Dados e em
seguida em Solver. Aberta a caixa de diálogo Parâmetros do solver, esta deverá ser
preenchida com os dados do problema, como mostra a figura 2.
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FIGURA 2 – CAIXA DE DIÁLOGO DO SOLVER
O campo Submeter às Restrições será preenchido a partir da caixa de diálogo Adicionar
Restrição, caixa esta que pode ser aberta clicando no botão adicionar. A figura 3 mostra o
preenchimento dos campos da caixa de diálogo Adicionar Restrição.
FIGURA 3- CAIXA DE DIÁLOGO PARA A INCLUSÃO DE RESTRIÇÕES
De volta à caixa de diálogo Parâmetros do Solver, clique no botão Opções e
assinale os itens Presumir modelo linear e Presumir não negativo, conforme a figura 4.
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FIGURA 4- OPÇÕES DO SOLVER
Finalmente em Parâmetros do Solver clique no botão Resolver. A solução ótima está
registrada na figura 1 (x1 = 3, x2 = 1,5 e z = 21).
RESOLUÇÃO DE PPL USANDO O APLICATIVO LINDO
Para problemas com um número reduzido de variáveis, a resolução de um PPL no LINDO
é muito simples, basta digitar o problema na janela de comandos do LINDO como mostra a
figura 5
FIGURA 5 – RESOLUÇÃO DE UM PPL NO LINDO
Na figura 5 aparece o PPL
Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24
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x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0 As diferenças na escrita são mínimas, basicamente os comandos st e end. Digitado o
problema, ele pode ser resolvido clicando-se em Solver na barra de ferramentas. A solução
fornecida pelo LINDO aparece no formato mostrado na figura 6
FIGURA 6 – FORMATO DA SOLUÇÀO DE UM PPL NO LINDO
Além da solução ótimo (x1 = 3, x2 = 1,5 e z = 21), a figura 6 mostra também os preços duais e
custos reduzidos. Os conceitos de preço dual e custo reduzido serão estudados no tópico.
RESOLUÇÃO DE PPL USANDO O APLICATIVO LINGO
Da mesma forma que no LINDO, problemas com um número reduzido de variáveis
podem ser resolvidos facilmente no LINGO. Basta digitar o problema na janela de comandos do
LINGO como mostra a figura 7.
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FIGURA 7- RESOLUÇÃO DE UM PPL NO LINGO
Digitado o problema, ele pode ser resolvido clicando-se em Solver na barra
de ferramentas. A solução fornecida pelo LINGO aparece no formato mostrado na figura 8.
FIGURA 8 - FORMATO DA SOLUÇÀO DE UM PPL NO LINGO.
EXERCÍCIOS.
Use o aplicativo LINDO, LINGO e o Solver do Excel para resolver os exercícios da lista 1
(páginas 3, 4 e 5)
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ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
EXEMPLO
A Machine e Cia produz 2 produtos em 2 máquinas. Uma unidade do produto 1 requer 2
horas da máquina 1 e 1 hora da máquina 2. Para o produto 2, uma unidade requer 1 hora da
máquina 1 e 3 horas da máquina 2. As receitas por unidade dos produtos 1 e 2 são $ 30 e $ 20,
respectivamente. O tempo de processamento diário disponível é 8 horas. Pretende-se
maximizar a receita. Resolver o problema graficamente.
SENSIBILIDADE DA SOLUÇÃO ÓTIMA ÀS VARIAÇÕES NA DISBONIBILIDADE DE RECURSOS
(LADO DIREITO DAS RESTRIÇÕES).
Considere o problema da Machine e Cia. Calcular ∆z (variação da receita) para uma
variação unitária na disponibilidade do recurso 1 (máquina 1), ou seja: mudar a restrição 1 para
2x1 + x2 <=9 ou 2x1 + x2 <=7. Em seguida, faça o mesmo para a restrição 2.
(Esta operação determinará o preço dual. Definição: Preço dual (preço sombra ou preço de
oportunidade) é dado pela razão ∆z/∆Ri , onde ∆Ri = variação do recurso i.
SOLUÇÃO:
Restrição 1: 2x1 + x2 <=7 ⇒ 𝑥1 = 2,6𝑥2 = 1,8𝑧 = 114
⟹ Δ𝑧 = 128 − 114 ⟹ Δ𝑧 = 14 .
Restrição 2: x1 + 3x2 <= 7 ⇒ 𝑥1 = 3,4𝑥2 = 1,2𝑧 = 126
⟹ Δ𝑧 = 128 − 126 ⟹ Δ𝑧 = 2.
Assim, o preço dual relativo ao recurso 1 é $14 e $2 para o recurso 2. Então, o preço dual
indica a variação da receita total. Por exemplo: aumentando (ou diminuindo) o recurso 1 em
uma unidade, a receita aumentará (ou diminuirá) em $ 14.
DETERMINAÇÃO ALGÉBRICA DAS FAIXAS DE VIABILIDADE
Considere o problema da Machine e Cia. Sejam D1 e D2 as variações (positivas ou negativas) nos recursos 1 e 2, respectivamente. De forma que: Max z = 30x1 + 20x2 s.a. 2x1 + x2 <= 8 + D1 x1 + 3x2 <= 8 + D2 x1, x2 >=0 Encontre os intervalos de variação para os recursos 1 e 2, para os quais o preço dual não sofre variação. QUADRO INICIAL
Base x1 x2 x3 x4 Solução D1 D2 Z -30 -20 0 0 0 0 0
x3 2 1 1 0 8 1 0 x4 1 3 0 1 8 0 1
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QUADRO ÓTIMO Base x1 x2 x3 x4 Solução D1 D2
Z 0 0 14 2 128 14 2 x1 1 0 3/5 -1/5 3,2 3/5 -1/5 x2 0 1 -1/5 2/5 1,6 -1,5 2/5
Assim: z = 128 + 14D1 + 2D2, x1 = 3,2 + 3D1/5 – D2/5 e x2 = 1,6 – D1/5 + 2D2/5.
Condição de viabilidade: x1 >= 0 e x2 >= 0, fazendo D2 = 0 tem-se: 3,2 +
3𝐷1
5≥ 0
1,6 −𝐷1
5≥ 0
⟹
𝐷1 ≥ −5,33𝐷1 ≤ 8
⟹ 5,33 ≤ 𝐷1 ≤ 8 ⟹ 8 − 5,33 ≤ 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 1 ≤ 8 + 8 ⟹ 2,67 ≤ 𝑟𝑒𝑐 1 ≤ 16 (faixa
de viabilidade para o recurso 1, isto significa que para variações do recurso 1 neste intervalo o
preço dual permanecerá igual a $14). Fazendo D1 = 0, vem: 3,2 −
𝐷2
5≥ 0
1,6 +2𝐷2
5≥ 0
⟹ 𝐷2 ≤ 16𝐷2 ≥ −4
⟹
−4 ≤ 𝐷2 ≤ 16 ⟹ 4 ≤ 𝑟𝑒𝑐 2 ≤ 24 (faixa de viabilidade para o recurso 2)
SENSIBILIDADE DA SOLUÇÃO ÓTIMA ÀS VARIAÇÕES NA RECEITA UNITÁRIA OU CUSTO
UNITÁRIO (COEFICIENTES DA F.O.)
No problema da Machine e Cia, alterar a F.O. de z = 30x1 + 20x2 para z = 35x1 + 25x2 e
calcular a solução ótima.
SOLUÇÃO:
A solução ótima continua sendo o ponto (3,2;1,6), agora com z = 152.
Ainda considerando o problema da Machine e Cia, alterar a F.O. de z = 30x1 + 20x2 para
z = 5x1 + 20x2 e calcular a solução ótima.
SOLUÇÃO:
-Para o ponto extremo da região viável A(0;2,67) encontra-se z = 53,4.
- Para o ponto extremo da região viável B(4;0) encontra-se z = 20.
- Para o ponto extremo da região viável C(3,2;1,6) encontra-se z = 48
Assim, a solução ótima é o ponto A.
OBS.: para uma determinada variação nos coeficientes da F.O., dita faixa de otimalidade,
a solução ótima (valores das variáveis de decisão) permanece sem alteração.
DETERMINAÇÃO ALGÉBRICA DA FAIXA DE OTIMALIDADE.
Considere o problema da Machine e Cia. Sejam d1 e d2 as variações (positivas ou
negativas) nas receitas (ou custos) dos produtos 1 e 2, respectivamente. Assim, tem-se:
Max z = (30 + d1)x1 + (20 + d2)x2
Encontre as faixas de otimalidade.
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QUADRO INICIAL
Base x1 x2 x3 x4 Solução Z -30-d1 -20-d2 0 0 0
x3 2 1 1 0 8 x4 1 3 0 1 8
Para se obter a nova linha da F.O., pode-se usar o quadro ótimo do problema original,
acrescentando a linha I: (𝑑1 𝑑2 0 0 0) e a coluna I: 1𝑑1𝑑2 . Em seguida faz-se a operação:
multiplica a coluna I pelos coeficientes da variável xj, somar os produtos e subtrair o coeficiente
da linha I correspondente a xj.
QUADRO ÓTIMO Base x1 x2 x3 x4 Solução
Z 0 0 14 2 128 x1 1 0 3/5 -1/5 3,2 x2 0 1 -1/5 2/5 1,6
Acrescentando col. I e lin I e fazendo a operação mencionada, obtém-se:
Linha I: d1 d2 0 0 0
Base x1 x2 x3 x4 Solução 1 Z 0 0 14-d2/5 + 3d1/5 2-d1/5+2d2/5 128+3,2d1+1,6d2
d1 x1 1 0 3/5 -1/5 3,2 d2 x2 0 1 -1/5 2/5 1,6
Coluna I Obs.: dj = 0 para as variáveis de folga.
Condição de otimalidade: Coeficiente de x3 >=0 ⇒ 14 – d2/5 + 6d1/10 >= 0.
Coeficientes de x4 >=0 ⇒ 2 – d1/5 + 2d2/5 >= 0
Fazendo d2 = 0 ⇒ 14 +
6𝑑1
10≥ 0
2 −𝑑1
5≥ 0
⟹ 𝑑1 ≥ −70/3𝑑1 ≤ 10
⇒ −70
3≤ 𝑑1 ≤ 10 ⟹
30 −70
3≤ 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 1 ≤ 30 + 10 ⟹ 6,67 ≤ 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑. 1 ≤ 40 (esta é a faixa de
otimalidade para o coeficiente de x1 em F.O.- mantendo-se constante o coeficiente de x2).
A solução ótima do problema continuará sendo x1 = 3,2 e x2 = 1,6 enquanto a receita do
produto 1 permanecer no intervalo 6,67 ≤ 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑. 1 ≤ 40.
Fazendo d1 = 0, encontra-se a faixa de otimalidade para a receita do produto 2:
15 ≤ 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 2 ≤ 90.
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CUSTO REDUZIDO
Definição: custo reduzido/unidade = (custo dos recursos/unidade) - (receita/unidade).
No quadro ótimo os coeficientes da linha da F.O. representam os custos reduzidos, sendo o preço dual representado pelos coeficientes da variáveis de folga/excesso da F.O.. Quando a restrição tem o sinal “=”, deve-se somar o coeficiente da variável artificial correspondente com o coeficiente de aj na F.O. original. EXEMPLO: Max z = x1 + x2 + x3 s.a. 2x1 + x2 – x3 <= 10 x1 + x2 + 2x3 >=20 2x1 + x2 + 3x3 = 60 x1, x2 e x3 >=0 Preparando o problema para ser resolvido pelo método do M grande, tem-se a F.O. : Max z = x1 + x2 + x3 + 0x4 + 0x5 – m2a2 – m3a3, onde a2 e a3 são variáveis artificiais. O coeficiente de a3 na linha z do quadrado ótimo é ½ + m3. Assim, o preço dual para a restrição 3 é ½ + m3 +(-m3) =1/2. No exemplo Machine e Cia o quadro ótimo mostra que o custo reduzido para os produtos 1 e 2 é zero (coeficiente de x1 e x2 na F.O.) e preço dual: $14 e $ 2, coeficientes de x3 e x4, respectivamente. Entendendo o preço dual como a valorização interna do recurso, tem-se: Custo reduzido para o produto 1 (coef. de x1) = (qtde. recurso 1 p/ prod. 1).(preço dual p/ recurso 1) + (qtde do recurso 2 para o prod. 1). (preço dual p/ recurso 2) – (receita) = 2.14 + 1.2 – 30 = 0. Custo reduzido p/ o produto 2 = 1.14 + 3.2 – 20 = 0 Seja xj uma variável de decisão. Se o custo reduzido de xj = k > 0, a produção de uma unidade de xj, acarreta um decréscimo na receita igual a k. EXEMPLO. A Star e Cia monta 3 tipos de brinquedos – trens, caminhões e carros – usando 3 operações. Os limites diários dos tempos disponíveis para as 3 operações são 430, 460 e 420 minutos, respectivamente, e as receitas por unidade de trem, caminhão e carro de brinquedo são $ 3, $ 2 e $ 5, respectivamente. Os tempos de montagem por trem nas 3 operações são 1, 3 e 1 minutos, respectivamente. Os tempos correspondentes por caminhão e por carro são (2, 0, 4) e (1, 2, 0) minutos ( o tempo zero significa que a operação não foi utilizada). Pretende-se maximizar a receita.
(a) Use o simplex para resolver o problema como um PPL. (b) Determine a faixa de viabilidade para o recuso 2(operação 2: 460 minutos) e interprete o
resultado. (c) Determine a faixa de otimalidade para a receita unitária do produto 2 (caminhões) e
interprete o resultado. (d) O que acontecerá com a receita total se o recurso 1 aumentar de 430 para 435? Use o preço
dual para justifique a sua resposta. (e) O que acontecerá com a receita total se o recurso 3 aumentar de 420 para 430? Use o preço
dual para justifique a resposta. (f) O que acontecerá com a receita se a Star e Cia tiver que produzir 3 unidades do produto 1
(trem). Use o custo reduzido para justificar a sua resposta.
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ANALISE DE SENSIBILIDADE USANDO OS APLICATIVOS LINDO, LINGO E O SOLVER
EXEMPLO: Use o Solver e o Lindo para obter as faixas de viabilidade e otimalidade do seguinte
PPL:
Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0 No processo de resolução de um PPL no Solver a última caixa de diálogo é Resultados do Solver, mostrada na figura 9.
FIGURA 9- CAIXA DE DIÁLOGO RESULTADOS DO SOLVER
Nesta caixa de diálogo (figura 7), selecione o item Sensibilidade e clique ok. Desta forma obtém-se o relatório de sensibilidade, mostrado na figura 10.
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FIGURA 10 – RELATÓRIO DE SENSIBILIDADE
As duas últimas colunas da primeira tabela do relatório de sensibilidade (figura 8) mostram o acréscimo e decréscimo que pode ser praticado no coeficiente de x1 de modo que a solução ótima permanece sem alteração. Assim, a faixa de otimalidade para o coeficiente de x1 é: 5 – 3 <= coeficiente de x1 <= 5 + 1 ⇒ 2 <= coeficiente de x1 <= 6. Para o coeficiente de x2, tem-se: 4 – 0,6666667 <= coeficiente de x2 <= 4 + 6 ⇒ 0,33333<= coeficiente de x2 <=10.
Nas duas últimas colunas da segunda tabela do relatório de sensibilidade (figura 8) estão registradas as possíveis variações na disponibilidade do recurso 1 de modo que o preço dual (preço sombra) permaneça sem alteração. Desta forma, a faixa de viabilidade para o recurso 1 é: 24 – 6,666667 <= recurso 1 <= 24 + 12 ⇒ 17,3333 <= recurso 1 <= 36. Para o recurso 2 tem-se: 6 – 2 <= recurso 2 <= 6 + 2 ⇒ 4 <=recurso 2 <= 8. Para o recurso 3 tem-se: 1 – 2,5 <=recurso 3 <= 1 + infinito ⇒ -1,5 <= recurso 3 <= infinito.
Análise de Sensibilidade no LINDO.
No LINDO, como explicado anteriormente, para resolver o problema clica-se em Solver. Após essa ação surge a pergunta DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?, como mostra a figura 11.
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FIGUARA 11 – ANÁLISE DE SENSIBILIDADE: SIM OU NÃO?
Clicando em Yes o Lindo resolve o problema e faz a análise de sensibilidade. O relatório emitido pelo Lindo aparece na figura 12. Em OBJ COFFICIENT RANGES pode-se obter as faixas de otimalidade e em RIGHTHAND SIDE RANGES obtém-se as faixas de viabilidade.
FIGURA 12 – RELATÓRIO DE SENSIBILIDADE EMITIDO PELO LINDO
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Análise de Sensibilidade no LINGO.
Antes de resolver o problema, clique no menu LINGO e em seguida em Options. Assim, obtém-se a janela mostrada na figura 13.
FIGURA 13 – JANELA DO LINGO ONDE ATIVA-SE A ANALISE DE SENSIBILIDADE.
Na janela mostrada na figura 13, selecione a aba General Solver e no campo Dual
Computations escolha a opção Prices & Ranges e clique em OK. Após a resolução do problema,
ilustrado na figura 7, ative a janela de comandos do LINGO (figura 7) e clique no menu LINGO e
em seguida na opção Range, como mostra a figura 14.
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FIGURA 14 – PROCEDIMENTO P/ DE ANÁLISE DE SENSIBILIDADE APÓS A OTIMIZAÇÃO DO
PROBLEMA.
Clicando em Range, o LINGO fornece a análise de sensibilidade – figura 15.
FIGURA 15 – RELATÓRIO DE ANÁLISE DE SENSIBILIDADE EMITIDO PELO LINGO.
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EXERCÍCIOS
Resolver as questões abaixo usando o aplicativo Lindo e o solver do Excel
1- No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu 3
produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na
produção.
Produto Contribuição (lucro
por unidade)
Horas de trabalho Horas de uso de
máquinas
Demanda máxima
P1 2100 6 12 800
P2 1200 4 6 600
P3 600 6 2 600
Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas
tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4800 horas de trabalho
durante o período de processamento e pressupõe-se usar 3 máquinas que podem prover 7200
horas de trabalho.
MODELO LINEAR:
Max lucro = 2100x1 + 1200x2 + 600x3
s.a .
6x1 + 4x2 + 6x3 ≤ 4800 (horas de trabalho)
12x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 7200 (horas de máquina)
1x1 ≤ 800 (demanda P1)
1x2 ≤ 600 (demanda P2)
1x3 ≤ 600 (demanda P3)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0
Pede-se:
a) Quais são os recursos abundantes? b) O que acontecerá com o lucro se o recurso horas de trabalho for aumentado em uma
unidade? c) Além das horas de máquina já disponíveis, é interessante contratar uma hora a mais por
$ 200,00? Justifique a sua resposta? d) Dê a faixa de variação do coeficiente x1 na função objetivo para que a solução ótima
permaneça sem alteração. e) Dê a faixa de variação do recurso horas de máquina para que o preço dual
correspondente permaneça sem sofrer alteração.
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2- A Star e Cia monta 3 tipos de brinquedos – trens, caminhões e carros – usando 3 operações. Os limites diários dos tempos disponíveis para as 3 operações são 430, 460 e 420 minutos, respectivamente, e as receitas por unidade de trem, caminhão e carro de brinquedo são $ 3, $ 2 e $ 5, respectivamente. Os tempos de montagem por trem nas 3 operações são 1, 3 e 1 minutos, respectivamente. Os tempos correspondentes por caminhão e por carro são (2, 0, 4) e (1, 2, 0) minutos ( o tempo zero significa que a operação não foi utilizada). Pede-se:
a) O lucro máximo; b) A solução do ppl sugere a fabricação de quantos trens? A produção de unidade a mais de
trem aumentará ou diminuirá o lucro? Em quanto? c) Diminuindo a disponibilidade da restrição 2 (operação 2) em 10 minutos, o lucro
aumentará ou diminuirá? Em quanto? Essa mudança na restrição 2 (diminuição em 10 minutos) alterará o preço dual correspondente?
d) Qual a faixa possível de variação do recurso 1 para que o preço dual permaneça igual a 1?
e) A solução ótima sugere a fabricação de quantos caminhões? E carros? f) Aumentando a receita unitária obtida com a venda de caminhões de $ 2 para $ 9, o
número de de caminhões e carros fabricados deverá aumentar ou diminuir? 3- O Sr. Jaime Santana, proprietário da Cia Santana, formulou corretamente o seu problema
de maximizar o lucro da seguinte maneira: Max z = 32x1 + 40 x2 + 48x3
s.a . x1 + x2 + x3 <=180 horas (máquina 1)
4x1 + 2x2 + 5x3 < = 280 horas (máquina 2)
2x1 + 5x2 + 5x3 <= 380
x1, x2, x3 >=0
a) No momento o produto 3 não está sendo fabricado, em quanto ficaria o lucro se fossem
fabricados 10 unidades do produto 3?
b) Atualmente o lucro ótimo é 3680. Reduzindo a disponibilidade da máquina 3 para 350
horas, o lucro sofrerá alteração? Justifique.
c) Dê a faixa de variação do coeficiente x1 na função objetivo para que a solução ótima (x1=40
e x2= 60) permaneça sem alteração.
d) Você pagaria um preço de $ 5,50 por uma hora a mais de máquina 2? Justifique
4- Escolha 5 PPL e resolva-os a partir do LINDO e SOLVER. Imprima o resultado completo
(incluindo a analise de sensibilidade).
DUALIDADE Em problemas de PL, o problema DUAL é obtido a partir de um problema PRIMAL (original). De forma que a solução ótima do dual é igual a solução ótima do primal. Se o primal é um problema de maximização, o dual correspondente é de minimização e vice-versa. REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO DUAL
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PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO PROBLEMAS DE MINIMIZAÇÃO Restrições Variáveis >= ⇔ <=0 <= ⇔ >=0 = ⇔ livre de sinal Variáveis Restrições >=0 ⇔ >= <=0 ⇔ <= Irrestrita ⇔ = EXEMPLOS
1- Dado o primal: Max z = 2x1 + 3x2 + x3 s.a. 3x1 + 4x2 + 2x3 <= 10 2x1 + 6x2 + x3 <= 20 x1 – x2 – x3 <= 30 x1, x2, x3 >= 0 Obter o dual correspondente
2- Dado o primal: Max z = 2x1 + 3x2 + x3 s.a x1 + x2 <= 10 2x1 + 4x2 – x3 = 20 x1, x2, x3 >=0 Obter o dual.
3- Primal: Min z = 15x1 + 12x2 s.a. x1 + 2x2 >= 3 2x1 – 4x2 <= 5 x1, x2 >=0 Obter o dual.
RELAÇÕES ENTRE AS SOLUÇÕES PRIMAL E DUAL
Considere um problema de maximização (primal) com restrições do tipo “<=”, variáveis não negativas e o problema dual correspondente. No quadro ótimo do primal os coeficientes da F.O. correspondem aos valores das variáveis do dual, da seguinte forma: PRIMAL DUAL Coeficiente da variável de folga ⇔ Valor da variável de decisão Coeficiente da variável de decisão ⇔ Valor da variável de folga EXEMPLO: Primal: Max z = x1 + 2x2 + 3x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 10 2x1 + x2 + 4x3 <=12
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x1 + 3x2 – x3 <= 9 x1 >= 0, x2 >=0 e x3 >= 0 Dual: Min D = 10y1 + 12y2 + 9y3 s.a. y1 + 2y2 + y3 >= 1 y1 + y2 + 3y3 >= 2 y1 + 4y2 – y3 >= 3 y1, y2, y3 >=0 QUADRO ÓTIMO DO PRIMAL
Base x1 x2 x3 s1 s2 s3 Solução Z 1,077 0 0 0 0,846 0,385 13,615
s1 0,154 0 0 1 -0,308 -0,231 4,231 x3 0,125 0 1 0 0,231 -0.077 2,077 x2 0,461 1 0 0 0,077 0,308 3,692
Analisando o quadro acima, determina-se:
𝑦1 = 0
𝑦2 = 0,846𝑦3 = 0,385
𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑢𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑢𝑎𝑙.
𝑡1 = 1,077𝑡2 = 0𝑡3 = 0
𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑎 𝑛𝑜 𝑑𝑢𝑎𝑙 .
Solução do primal:
𝑥1 = 0
𝑥2 = 3,692𝑥3 = 2,077
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑙𝑔𝑎 (𝑡1, 𝑡2 𝑒 𝑡3)𝑛𝑜 𝑑𝑢𝑎𝑙
𝑠1 = 4,231𝑠2 = 0𝑠3 = 0
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 (𝑦1,𝑦2 𝑒 𝑦3)𝑛𝑜 𝑑𝑢𝑎𝑙.
ALGUNS VALORES DO QUADRO ÓTIMO DUAL
Base y1 y2 y3 t1 t2 t3 Solução -D 4,231 0 0 0 3,692 2,077 -13,615
0 0 1 1,077 1 0 0 0,846 0 1 0 0,385
No quadro inicial do primal, a matriz formada pelos coeficientes de s1, s2 e s3 (variáveis de folga) nas restrições é uma matriz identidade. No quadro ótimo esta matriz é transformada em inversa e pode ser usada para o cálculo dos preços duais y1, y2 e y3. Preço dual = [vetor linha dos coeficientes da F.O. original das variáveis básicas (na ordem apresentada no quadro ótimo primal)] vezes [matriz inversa da solução primal ótima]. No exemplo anterior, tem-se: (y1 y2 y3) = (coef. De s1, x3 e x2 na F.O. original)x(matriz
inversa) ⇒ (y1 y2 y3) = (0 3 2). 1 −0,308 −0,2310 0,231 −0,0770 0,077 0,308
⇒
𝑦1 = 0𝑦2 = 0,846𝑦3 = 0,385
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Para obter o custo reduzido no modelo primal, usa-se as restrições do modelo dual. Custo reduzido do produto 1 = y1 + 2y2 + y3 -1 = 0 + 2.0,846 + 0,385 = 1,077 Custo reduzido do produto 2 = y1 + y2 + 3y3 – 2 = 0 Custo reduzido do produto 3 = y1 + 4y2 – y3 – 3 = 0 CÁLCULO DA COLUNA DAS RESTRIÇÕES Para obter a coluna j das restrições (lado direito ou lado esquerdo), deve-se multiplicar a matriz inversa pela coluna j das restrições originais. No exemplo anterior, tem-se:
4,2312,0773,692
= 1 −0,308 −0,2310 0,231 −0,0770 0,077 0,308
. 10129
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜 ó𝑡𝑖𝑚𝑜
𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜
ó𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑙
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠
Obs.: pequenas diferenças são conseqüências dos arredondamentos. ANÁLISE ECONÔMICA Considere um problema de maximização do lucro. Exemplo: seja o programa de produção de 2 itens P1 e P2, a partir dos recursos R1 e R2. O quadro abaixo resume os dados.
Produtos Recurso R1 - uso/un. Recurso 2 - uso/un. Lucro/unidade P1 2 10 50 P2 3 5 90
Disponibilidade de recursos
300 1000
O modelo linear é: Max z = 50x1 + 90x2 s.a. 2x1 + 3x2 <=300 : restrição 1 (recurso 1) : y1(variável dual) 10x1 + 5x2 <= 1000 : restrição 2 (recurso 2): y2(variável dual) x1, x2 >=0, onde x1 = quantidade de P1 e x2 = quantidade de P2. QUADRO ÓTIMO x1 x2 s1 s2 Solução Z 10 0 30 0 9000 x2 0,67 1 0,33 0 100 s2 6,65 0 -1,65 1 500 Onde s1 = variável de folga da restrição 1 e s2 = variável de folga da restrição 2. Pede-se:
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a) O modelo dual correspondente. b) A linha da F.O. e os termos independentes (lado direito das restrições) no quadro ótimo
dual. c) Quais são os recursos abundantes? E os escassos? d) Se tivéssemos que fabricar 1 unidade de P1, o que iria ocorrer com o valor do lucro? e) O que acontecerá com a solução do problema se o recurso 1 for reduzido em 1 unidade? f) É interessante, em termos do lucro, vender 1 unidade do recurso 1 por $ 50? g) Qual o significado das variáveis duais y1 e y2? h) O que determina a F.O. do problema dual? i) Na restrição dual 2y1 + 10y2 >= 50, qual o significado do lado esquerdo? E do lado
direito? j) Em termos de valor interno e externo, como justificar a produção de P2? k) Em termos econômicos, é compensador aumentar em 1 unidade o recurso 2?
EXERCÍCIOS
1- Suponha que um problema de produção tenha como modelo: Max L = x1 + 0,3x2 + 3x3 s.a. x1 + x2 + x3 <= 10 2x1 + x2 + 4x3 <= 12 x1 + 3x2 – x3 <= 9 x1, x2, x3 >=0 e que o quadro final de solução pelo simplex seja:
Base x1 x2 x3 s2 s2 s3 Solução L 0,5 0,45 0 0 0,75 0 9 s1 0,5 0,75 0 1 -0,25 0 7 x3 0,5 0,25 1 0 0,25 0 3 s3 1,5 3,25 0 0 0,25 1 12
Onde xi são as decisões de fabricação dos produtos Pi e si as sobras dos recursos Ri no programa. O objetivo é maximizar o lucro devido a produção e comercialização dos produtos. Responder às perguntas: (a) Qual a solução mostrada no quadro? (b) Quais são os recursos escassos? (c) O que ocorreria com o objetivo se por um motivo de força maior tivéssemos que
fabricar uma unidade de P1? (d) Se alguém quisesse adquirir uma unidade do recurso R2, você estaria disposto a
vender? Qual o preço que compensa a venda? (e) Construa o modelo dual do problema. (f) Construa o quadro final de solução do modelo dual, com os coeficientes que
realmente interessam. Qual a solução do dual? (g) O que significa a variável dual y1? (h) O que mede a função objetivo dual? (i) O que mede o lado esquerdo da segunda restrição dual? E o lado direito? (j) Em termos de valores interno e externo, como podemos justificar a não produção de
P2? (k) Em termos de valores interno e externo, como podemos justificar a não produção de
P3? (l) Quanto você pagaria por uma unidade adicional do recurso R2? Por quê?
Quanto você pagaria por uma unidade adicional do recurso R2? Por quê?
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2- Um pecuarista prepara ração a partir de 3 ingredientes, que contêm 3 nutrientes indispensáveis na alimentação dos animais. O quadro abaixo mostra a composição, exigências e custos dos elementos na mistura.
Ingredientes Nutrientes (% por kg de ingredientes) Custo ingredien-tes em u.m./kg Nutriente 1 Nutriente 2 Nutriente 3
1 50 20 10 200 2 20 30 30 150 3 10 20 50 240
Exigência mínima em kg/saco de 40kg
6 5 8
O objetivo e atender às exigências com menor custo. Pede-se: (a) Construir o modelo linear do problema, ende xi são as quantidades dos ingredientes
usados por kg de ração. (b) Construir o modelo dual correspondente. (c) Resolver o Problema pelo método simplex (sugestão: resolva o modelo dual, que
exige menos cálculos). Construa o quadro finalprimal e dual. (d) O que representam, no caso, as variáveis yi (variáveis duais)? (e) O que representam, no problema, as variáveis ti (variáveis de folga no dual)? (f) O que mede o lado esquerdo da primeira restrição primal? E o lado direito? (g) O que significa para o plano ótimo aumentar a exigência de seis para sete kg na
participação do nutriente 1 no saco de ração? 3- Um distribuidor dispõe de um armazém com 100.000 m3 para estocar produtos para
venda futura. Ele dispõe de 30.000.000,00 u.m. para a compra, e pretende adquirir 3 produtos cujos dados estão na tabela seguinte:
Produtos Custo/unidade Preço de venda/un. Espaço p/ estocagem em m3
P1 240 300 10 P2 90 120 1 P3 300 420 5
Pede-se: (a) Construa o modelo linear do programa, em que, xi representam as decisões de
compra dos produtos Pi, s1 folga do capital e s2 folga de espaço para estocagem. (b) Construa o modelo dual correspondente. (c) Resolva pelo simplex o modelo primal. Construa o quadro da solução ótima do
modelo dual. (d) Qual a composição de compra que melhor serve ao distribuidor? (e) O que significa a função objetivo dual? (f) O que significam as variáveis de decisão dual? (g) O que significa as variáveis de folga duais? (h) Considere a primeira restrição primal: o que mede seu lado esquerdo? E o direito? (i) Considere a segunda restrição dual: o que mede seu lado esquerdo? E o lado direito? (j) Qual a conseqüência para o plano ótimo se tivéssemos mais 1m3 de espaço de
estocagem, a um custo de 20 u.m. ? Por quê?
RESPOSTAS:
2-(b) Modelo dual: Max D = 600y1 + 500y2 + 800y3 s.a. 50y1 + 20y2 + 10y3 <=20 20y1 + 30y2 + 30y3 <=150 10y1 + 20y2 + 50y3 <= 240 y1, y2, y3 >=0 2-(c) Solução dual:
40
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Base y1 y2 y3 t1 t2 t3 Solução D 0 315,38 0 1,54 26,15 0 4.320,77 y1 1 -24,62 0 0,54 -1,85 0 3,46 y3 0 0,23 1 0,02 -0,01 0 2,69 t3 0 0,85 0 -0,02 0,04 1 70,77
3-(a) Max L = 60x1 + 30x2 + 120x3
s.a.
10x1 + x2 + 5x3 <= 100.000
240x1 + 90x2 + 300x3 <= 30.000.000
x1, x2, x3 >= 0
3-(b)
Base x1 x2 x3 s1 s2 Solução L 240 0 30 30 0 3.000.000
x2 10 1 5 1 0 100.000 s2 -660 0 -150 -90 1 21.000.000
ALGORITMO DUAL SIMPLEX
O problema inicia com uma solução ótima e inviável. As condições de viabilidade e otimalidade são:
1) Condição de viabilidade dual: a variável que sai da base é a que tem valor mais negativo. Se todas as variáveis básicas forem não negativas, o algoritmo termina.
2) Condição de otimalidade dual: min 𝐶𝑗
𝑎𝑟𝑗 , 𝑎𝑟𝑗 < 0 , onde:
𝐶𝑗 = coeficiente da variável não básica na linha z.
𝑎𝑟𝑗 = coeficiente da restrição na linha de 𝑥𝑟 (𝑥𝑟 é a variável que sai da base).
Para iniciar o algoritmo deve-se cumprir 2 requisitos:
1) A F.O. deve satisfazer a condição de otimalidade do método simplex primal. 2) Todas as restrições devem ser do tipo (<=)
Obs.: uma restrição do tipo “=” pode ser transformada em duas restrições do tipo “<=” e “>=”.
EXEMPLOS:
1- A restrição x1 + x2 = 1 é equivalente a 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1𝑥1 + 𝑥2 ≥ 1
𝑜𝑢 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1
−𝑥1 − 𝑥2 ≤ −1
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2- Resolver aplicando o algoritmo dual simplex Min z = 3x1 + 2x2 + x3 s.a. 3x1 + x2 + x3 >= 3 -3x1 + 3x2 + x3 >= 6 x1 + x2 + x3 <= 3 x1, x2, x3 >=0
3- Use o dual simplex em Min z = 2x1 + x2 s.a. 4x1 + 3x2 >=6 x1 + 2x2 <=3 x1 >=0 e x2 >=0
ANÁLISE DE PÓS-OTIMIZAÇÃO
1) Alterações que afetam a viabilidade: 1.1) Alterações no lado direito das restrições.
EXEMPLO: considere o problema da Star e Cia, cujo modelo é:
Max Receita (R) = 3x1 + 2x2 + 5x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 <= 430 (operação 1) 3x1 + 2x3 <= 460 (operação 2) x1 + 4x2 <= 420 (operação 3) x1, x2, x3 >=0, onde: x1 = quantidade de caminhões de brinquedo. x2 = quantidade de trens de brinquedo. x3 = quantidade de carros de brinquedo. QUADRO ÓTIMO :
Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução R 4 0 0 1 2 0 1350 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 x6 2 0 0 -2 1 1 20
Onde: x4, x5 e x6 são as variáveis de folga das restrições 1, 2 e 3 respectivamente. Suponha que a fábrica queira aumentar a capacidade diária das operações1, 2 e 3 em 40%. Esta alteração afetará a receita? SOLUÇÃO:
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Aumentando-se em 40% as disponibilidades iniciais 430460420
em 40% obtém-se: 602644588
. Como
visto anteriormente, pode-se calcular o lado direito das restrições usando a matriz inversa obtida no quadro ótimo. Assim:
𝑥2𝑥3𝑥6 =
1/2 −1/4 00 1/2 0−2 1 1
. 602644588
= 14032228
, solução viável com R = 3.0 + 2.140 + 5.322
=1890 Agora, suponha que 20 minutos da operação 3 sejam transferidos para a operação 1, de
forma que as disponibilidades passam a ser: 450460400
. Ache a solução ótima.
SOLUÇÃO:
𝑥2𝑥3𝑥6 =
1/2 −1/4 00 1/2 0−2 1 1
. 450460400
= 110230−40
, a solução é inviável (x6 < 0). No quadro ótimo do
problema inicial, alterar R e a coluna das disponibilidades dos recursos. Em seguida usar o dual simplex. R = 3.0 + 2.110 + 5.230 = 1370.
Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução R 4 0 0 1 2 0 1370 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 110 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 x6 2 0 0 -2 1 1 -40
Aplicando o algoritmo do dual simplex, obtém-se o seguinte quadro ótimo:
Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução R 5 0 0 0 5/2 ½ 1350 x2 1/4 1 0 0 0 ¼ 100 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 x4 -1 0 0 1 -1/2 -1/2 20
Permanecendo a solução ótima do modelo original.
1.2) Adição de novas restrições.
EXEMPLO: considerar o problema da Star e Cia. Suponha a introdução de uma quarta operação com capacidade diária de 500 minutos. A restrição para a quarta operação é 3x1 + x2 + x3 <= 500. Esta nova restrição alterará a solução ótima?
SOLUÇÃO:
Substituindo a solução x1 = 0, x2 = 100 e x3 = 230 na quarta restrição, vem: 3.0 + 100 + 230 = 330 <= 500 (restrição satisfeita). Conclui-se que a restrição é redundante, permanecendo inalterada a solução ótima atual.
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Agora, suponha para a operação 4 a seguinte restrição: 3x1 + 3x2 + x3 <= 500. Obtenha a nova solução ótima.
SOLUÇÃO:
A restrição não é redundante, pois 3x1 + 3x2 + x3 <= 500 não é satisfeita para x1 = 0, x2 = 100 e x3 = 230. Seja x7 a variável de folga da quarta restrição, assim tem-se: 3x1 + 3x2 + x3 + x7 = 500. Inserindo a restrição no quadro ótimo do problema original, obtém-se:
Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Solução R 4 0 0 1 2 0 0 1350 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230 x6 2 0 0 -2 1 1 0 20 x7 3 3 1 0 0 0 1 500
Observa-se no quadro que as colunas das variáveis x2 e x3 devem ser “arrumadas”, de forma que na linha de x7 apareçam zeros nas colunas de x2 e x3. Para tanto, deve-se efetuar a seguinte operação: nova linha de x7 = linha de x7 atual – [3.(linha de x2) + linha de x3]. Assim, obtém-se o quadro:
Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Solução R 4 0 0 1 2 0 0 1350 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 0 100 x3 3/2 0 1 0 1/2 0 0 230 x6 2 0 0 -2 1 1 0 20 x7 9/4 0 0 -3/2 1/4 0 1 -30
Para a solução deste novo problema deve-se aplicar o algoritmo dual simplex. Feito isso, encontra-se a solução ótima x1 = 0, x2 = 90, x3 = 230 e R = 1330.
2) Alterações que afetam a otimalidade. 2.1) Alterações nos coeficientes originais da F.O.
EXEMPLO: considere o problema da Star e Cia.. Alterando as receitas unitárias de caminhões, trens e carros para $ 2, $ 3 e $ 4, respectivamente, obtém-se a F.O.: Max R = 2x1 + 3x2 + 4x3. Determine os coeficientes da nova linha da F.O. (ótima). SOLUÇÃO:
Cálculo dos preços duais: (y1 y2 y3) = (3 4 0). 1/2 −1/4 0
0 1/2 0−2 1 1
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎𝑠 (𝑥2,
𝑥3 𝑒 𝑥6) 𝑛𝑎 𝐹.𝑂.
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜 ó𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑜𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙. 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
(y1 y2 y3) = (3/2 5/4 0).
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Cálculo do custo reduzido: a partir das restrições duais:
𝑦1 + 3𝑦2 + 𝑦3 ≥ 22𝑦1 + 4𝑦3 ≥ 3𝑦1 + 2𝑦2 ≥ 4
, o custo
reduzido pode ser obtido fazendo a diferença entre o lado esquerdo e direito das restrições duais. Custo reduzido para x1 = y1+3y2+y3 – 2 = 3/2+3.5/4+0 – 2 = 13/4. Custo reduzido para x4 = y1 – 0 = 3/2 - 0 = 3/2 Custo reduzido para x5 = y2 – 0 = 5/4 – 0 = 5/4 Os coeficientes das variáveis básicas (x2, x3 e x6), na F.O., são iguais a zero. A solução ótima (x1 = 0, x2 = 100 e x3 = 230) permanece, pois as alterações nas receitas estão dentro da faixa de otimalidade, assim R = 2.0 + 3.100 + 4. 230 = 1220 e a nova linha da F.O. é :
Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução R 13/4 0 0 3/2 5/4 0 1220
Lembrando como se determina a faixa de otimalidade:
Linha I: d1 d2 d3 0 0 0 0
Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução 1 R 4 0 0 1 2 0 1350 d2 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100 d3 x3 3/2 0 1 0 ½ 0 230 0 x6 2 0 0 -2 1 1 20 Col I
Condições de otimalidade:
4 −
𝑑2
4+
3𝑑3
2− 𝑑1 ≥ 0
1 +𝑑2
2≥ 0
2 −𝑑2
4+
𝑑3
2≥ 0
e R = 1350 + 100d2 + 230d3.
Sendo dj = (nova receita – receita original), com j=1,2 e 3, assim: 𝑑1 = 2 − 3 = −1𝑑2 = 3 − 2 = 1𝑑3 = 4 − 5 = −1
Agora, suponha que a F.O. seja alterada para Max R = 6x1 + 3x2 + 4x3. Ache a nova solução ótima. SOLUÇÃO: d1 = 6 – 3 = 3; d2 = 3 – 2 = 1; d3 = 4 – 5 = -1, então a condição de otimalidade 4 – d2/4 + 3d3/2 – d1 >=0 não é satisfeita. Logo, deve-se obter uma nova solução ótima. Calculando R = 1350 + 100d2 + 230 d3 = 1350 + 100.1 + 230.(-1) = 1220 e os custos reduzidos, obtém-se o quadro não ótimo abaixo:
Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 Solução R -3/4 0 0 3/2 5/4 0 1220 x2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100 x3 3/2 0 1 0 ½ 0 230 x6 2 0 0 -2 1 1 20
Aplicando o método simplex consegue-se a solução ótima: x1 = 10, x2 = 102,5, x3 =215 e R = 1227,5.
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2.2) Adição de uma nova atividade.
EXEMPLO: considere o problema da Star e Cia. Suponha que um quarto brinquedo será produzido. Prevendo-se para este produto uma receita de $ 4 e a necessidade de 1 minuto da operação 1, 1 minuto da operação 2 e 2 minutos da operação 3 para fabricá-lo. Calcule a nova solução ótima. SOLUÇÃO: x7 = quantidade do brinquedo 4. Cálculo do custo reduzido de x7: Custo reduzido de x7 = 1.y1 + 1.y2 + 2.y3 – 4 = 1.1 + 1.2 + 2.0 – 4 = -1, isto significa que a solução pode ser melhorada. Cálculo da coluna da restrição x7:
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çã𝑜 𝑥7 = 1/2 −1/4 0
0 1/2 0−2 1 1
. 112 =
1/41/2
1
*𝑀𝑎𝑡. 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 + 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙𝑑𝑒 𝑥7
Introduzindo x7 no quadro ótimo, obtém-se:
Base x1 x2 x3 x7 x4 x5 x6 Solução R 4 0 0 -1 1 2 0 1350 x2 -1/4 1 0 1/4 1/2 -1/4 0 100 x3 3/2 0 1 1/2 0 1/2 0 230 x6 2 0 0 1 -2 1 1 20
Resolvendo, obtém-se a solução ótima: x1 = 0, x2 =0, x3 = 125, x7 = 210 e R = 1465.
EXERCÍCIOS
1- Use o dual simplex para resolver os problemas
a) Min z = 5x1 + 6x2 s.a . x1 + x2 >= 2
4x1 + x2 > = 4
.x1, x2 >= 0
b) Min z = 4x1 + 2x2 s.a . x1 + x2 = 1
3x1 – x2 > = 2
.x1, x2 >= 0
c) Min z = 2x1 + 3x2 s.a. 2x1 + x2 >= 3
x1 + x2 = 2
.x1, x2 >= 0
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d) Min z = 6x1 + 8x2 s.a . 2x1 + 3x2 <= 20
x1 + 3x2 >= 10
.x1, x2 >= 0
2- A Moda & Cia fabrica carteiras, estojos de barbear e mochilas. A produção dessas peças
utiliza couro e materiais sintéticos, sendo o couro a matéria-prima que limita a
produção. O processo de produção usa dois tipos de mão-de-obra especializada: costura
e acabamento. A tabela A dá a disponibilidade dos recursos, sua utilização pelos 3
produtos e os preços por unidade.
Recursos necessários por unidade
Estojo de Disponibilidade Recurso Carteira barbear Mochila diária Couro(pés2) 2 1 3 42 Costura(h) 2 1 2 40 Acabamento(h) 1 0,5 1 45 Preço($) 24 22 45
Formule a questão como um problema de PL e ache a solução ótima. Em seguida, indique
se as seguintes variações nos recursos manterão a solução atual viável. Determine a nova
solução ótima (valores as variáveis e da função objetivo)
a) Disponibilidade de couro é aumentada para 45 pés2 b) Horas de costura disponíveis são alteradas para 38 horas. c) Horas de acabamento disponíveis são reduzidas para 15 horas.
3- A Motores & Cia produz 4 tipos de motores elétricos, cada um em uma linha de
montagem separada. As capacidades respectivas das linhas são 500, 500, 800 e 750
motores por dia. O motor do tipo 1 usa 8 unidades de um certo componente eletrônico, o
motor do tipo 2 usa 5 unidades, o motor do tipo 3 usa 4 unidades e o motor do tipo 4 usa
6 unidades. O fabricante do componente pode fornecer 8000 peças por dia. Os preços
dos componentes são $ 60, $ 40, $ 25 e $ 30.
a) Determine o mix ótimo de produção diário. b) A atual programação atende às necessidades da Motores & Cia. Contudo, devido à
concorrência, pode ser que a empresa precise reduzir o preço do motor do tipo 2. Qual é a maior redução que pode ser efetuada sem alterar a programação de produção atual?
c) A Motores & Cia decidiu reduzir em 25% o preço de todos os tipos de motores. Determine se a atual solução ótima permanecerá inalterada.
4- A Star & Cia monta 3 tipos de brinquedos – trens, caminhões e carros – usando 3
operações. Os limites diários dos tempos disponíveis para as 3 operações são 430, 460 e
420 minutos, respectivamente, e as receitas por unidade de trem, caminhão e carro de
brinquedo são $ 3, $ 2 e $ 5, respectivamente. Os tempos de montagem por trem nas 3
operações são 1, 3 e 1 minutos, respectivamente. Os tempos correspondentes por
caminhão e por carro são (2, 0, 4) e (1, 2, 0) minutos. Elabore o problema de PL que
maximize a receita.
4.1-Suponha que a Star & Cia queira alterar as capacidades das 3 operações de acordo
com os casos seguintes:
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a) 460500400
b) 500400600
c) 300800200
d) 450700350
Determine a solução ótima em cada caso.
4.2-Investigue a otimalidade da solução da Star & Cia para cada uma das seguintes
funções objetivo. Se a solução mudar, determine uma nova solução ótima.
a) z = 2x1 + x2 + 4x3 b) z = 3x1 + 6x2 + x3 c) z = 8x1 + 3x2 + 9x3
MÉTODO SIMPLEX REVISADO
As etapas iterativas do método simplex revisado são exatamente as mesmas da tabela do método simplex. A principal diferença é que os cálculos no método revisado são baseados em manipulações matriciais em vez de operações sobre linhas. A utilização da álgebra matricial reduz os erros de arredondamento comuns nas operações sobre linhas.
Definição: Dado um sistema linear m x n, m <= n, Ax = b, A ∊ ℝmxn, x ∊ ℝn, b ∊ ℝm, dizemos que uma submatriz B, m x n, com det B ≠ 0 é uma matriz base.
O sistema linear Ax = b, A ∊ ℝmxn, x ∊ ℝn, b ∊ ℝm pode ser escrito na forma
(𝑩 𝑵) 𝒙𝐵𝒙𝑁
= 𝒃 (1),
onde: B é a matriz base e N a matriz não base, ambas obtidas de A. Os vetores xB e xN são formados pelas variáveis básicas e não básicas, respectivamente. De (1) tira-se a equação:
𝑩𝒙𝐵 + 𝑵𝒙𝑛 = 𝒃, isolando xB, obtém-se: 𝒙𝐵 = 𝑩−1𝒃 − 𝑩−1𝑵𝒙𝑁 (2).
Definição. Dado um sistema de equações lineares, m x n, m <=n, Ax = b, A ∊ ℝmxn, x ∊ ℝn, b ∊ ℝm , diz-se que x* ∊ ℝn , tal que Ax* = b é uma solução básica se os valores das variáveis não básicas forem zero (isto é, se xN = 0).
Desta forma, pode-se chegar a uma solução básica do sistema Ax = b a partir de (2),
fazendo xN = 0 e obtendo xB = B-1b. Assim, uma solução básica x* será dada por x* = 𝑩−1𝒃𝟎
, se
x* >=0, esta solução é uma solução básica viável.
Seja o PPL: Max z = CTx, CT ∊ ℝn s.a. Ax = b, A ∊ ℝmxn, x ∊ ℝn, b ∊ ℝm x >= 0 Onde: CT = vetor linha. x = vetor coluna. b = vetor coluna.
Considerando a F.O. como mais uma restrição do problema, tem-se o sistema linear:
𝑧 − 𝑪𝑇𝒙 = 0𝑨𝒙 = 𝒃
, x >= 0. Escrevendo na forma matricial, vem:
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1 −𝑪𝑇
0 𝑨 𝑧𝒙 =
0𝒃 (3)
Seja B uma matriz base do sistema Ax = b, com x >=0 e xB o vetor correspondente de variáveis básicas com 𝑪𝐵
𝑇 como seu vetor de coeficientes da F.O. Assim, pode-se escrever
1 −𝑪𝐵𝑇
0 𝑩
𝑧𝒙𝐵 =
0𝒃 . Isolando
𝑧𝒙𝐵 , vem:
𝑧𝒙𝐵 = 1 −𝑪𝐵
𝑇
0 𝑩 −1
. 0𝒃 =
1 𝑪𝐵𝑇𝑩−1
0 𝑩−1
0𝒃 ou
𝑧𝒙𝐵 =
𝑪𝐵𝑇𝑩−1𝒃
𝑩−1𝒃 , com isso obtém-se o lado direito do quadro simplex. A obtenção de todos os
coeficientes da tabela simplex é feita da seguinte maneira.
Multiplica-se à esquerda a equação (3) por 1 𝑪𝐵
𝑇𝑩−1
0 𝑩−1 . Assim, tem-se:
1 𝑪𝐵
𝑇𝑩−1
0 𝑩−1 1 −𝑪𝑇
0 𝑨 𝑧𝒙 =
1 𝑪𝐵𝑇𝑩−1
0 𝑩−1
0𝒃 ⇒
1 𝑪𝐵𝑇𝑩−1𝑨− 𝑪𝑇
0 𝑩−1𝑨 𝑧𝒙 =
𝑪𝐵𝑇𝑩−1𝒃
𝑩−1𝒃
Sendo Pj o j-ésimo vetor de A. A coluna da tabela simplex associada com a variável xj pode ser representado como
Base xj Solução Z 𝑪𝐵
𝑇𝑩−1𝑷𝑗 − 𝑐𝑗 𝑪𝐵𝑇𝑩−1𝒃
xB 𝑩−1𝑷𝑗 𝑩−1𝒃
Condição de otimalidade: Se 𝑪𝐵𝑇𝑩−1𝑵− 𝑪𝑁
𝑇 >=0, a solução é ótima.
Onde:
N = matriz formada pelas colunas (Pj) das variáveis não básicas.
𝑪𝑁𝑇 = vetor linha formado pelos coeficientes das variáveis não básicas na F.O.
Entra na base a variável (xj) correspondente à componente mais negativa do vetor (𝑪𝐵
𝑇𝑩−1𝑵− 𝑪𝑁𝑇 ).
Condição de viabilidade: Sejam os vetores (𝑩−1𝒃) e 𝑩−1𝑷𝑗 , onde Pj é a coluna da variável que
entra na base. Sai da base a variável correspondente a menor razão entre (𝑩−1𝒃) e ( 𝑩−1𝑷𝑗 ), ou
seja: o 𝑀í𝑛 𝑩−1𝒃
𝑖
𝑩−1𝑷𝑗 𝑖, 𝑐𝑜𝑚 𝑩−1𝑷𝑗 > 0 determina a variável que sai da base.
EXEMPLO
Resolva, usando o método simplex revisado, o seguinte PPL.
Max z = x1 + 2x2 s.a x1 <= 2 x2 <= 2 x1 + x2 <= 4 x1, x2 >=0 EXERCÍCIOS Use o método simplex revisado para resolver os seguintes PPL.
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a) Maximizar z = 0,3x1 + 0,5x2
s.a.
2x1 + x2 <=2
x1 + 3x2 <=3
x1, x2 >=0
b) Max z = 2x1 + 3x2
s.a.
x1 + 5x2 <=20
2x1 + x2 <= 10
x1>=0 e x2 >= 0
c) Max z = 5x1 + 4x2 s.a. 6x1+4x2 <= 24 x1 + 2x2 <= 6 -x1 + x2 <= 1 x1 e x2 >=0
d) Max z = 3x1 + 5x2
s.a. 2x1 + 4x2 <=10 6x1 + x2 <=20 x1 – x2 <=30 x1 >= 0 e x2 >= 0
PROBLEMAS DE TRANSPORTES
Situação: pretende-se transportar produtos de 3 origens para 2 destinos com menor
custo possível. As quantidades estão indicadas no gráfico abaixo.
ORIGENS(disponibilidades) DESTINOS(necessidades)
50 1 C11 = 10
C12 = 12 1 100
C21 = 20 C31 = 6
100 2
C22 = 8 2 170
C32=15
120 3
Onde: Cij = custo para transportar o produto da origem i até o destino j.
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xij = quantidade de produto transportada da origem i para o destino j.
Com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 2.
Construir o modelo linear que minimiza o custo do transporte.
MODELO LINEAR
Min C = 10x11 + 12x12 + 20 x21 + 8x22 + 6x31 + 15x32
s.a .
(u1) x11 + x12 = 50 (disponibilidade: origem 1)
(u2) x21 + x22 = 100 (disponibilidade: origem 2)
(u3) x31 + x32 = 120 (disponibilidade: origem 3)
(v1) x11 + x21 + x31 = 100 (necessidade: destino 1)
(v2) x12 + x22 + x32 = 170 (necessidade: destino 2)
xij >= 0 para i = 1,2,3 e j = 1,2
Sendo u1, u2 e u3 as variáveis duais para as fontes e v1 e v2 para os destinos.
DUAL
Max D = 50u1 + 100u2 + 120u3 + 100v1 + 170v2
s.a .
u1 + v1 <= 10
u1 + v2 <= 12
u2 + v1 <= 20
u2 + v2 <= 8
u3 + v1 <= 6
u3 + v2 <= 15
ui e vj são irrestritas, i = 1,..,3 e vj = 1,..,2
Obs.:
1) Caso oferta ≠ demanda, acrescenta-se uma origem ou destino fictício, conforme a
necessidade.
2) Se m é o número de origens e n o número de destinos, então (m + n -1) é o número de
variáveis básicas.
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UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
3) O problema de transporte pode ser representado e resolvido esquematicamente por
meio do quadro.
1 2 Ofertas 1 10 12 50 2 20 8 100 3 6 15 120
Demandas 100 170 270
DETERMINAÇÃO DE UMA SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL
1) REGRA DO CANTO NOROESTE.
a) Começa-se a alocação na célula (1,1). Alocam-se nesta célula x11 unidades possíveis,
sem violar as restrições.
b) Continua-se a alocação das unidades, deslocando-se para a célula imediatamente à
direita. Se não for possível, desloca-se para a célula imediatamente abaixo.
c) Nenhuma alocação pode ser negativa. A alocação pode ser zero – solução
degenerada.
EXEMPLO:
1- Uma companhia faz esquis em 3 fábricas através do mundo. As fábricas suprem 4
depósitos que distribuem os esquis diretamente às lojas. O problema é determinar
quantos pares de esquis devem ser transportados de cada fábrica para os vários
depósitos para minimizar o custo total. Use a regra do canto noroeste para encontrar a
solução básica inicial.
Quadro com os custos:
Frankfurt New York Phoenix Yokohama Fonte Rio 19 17 3 21 100 Seoul 15 21 18 6 300 Telaviv 11 14 15 22 200 Demanda 150 100 200 150 600
2- Ache, usando a regra do canto noroeste, a solução básica inicial para o seguinte
problema de transporte.
Destino 1 Destino 2 Disponibilidades Origem 1 10 12 50 Origem 2 20 8 100 Origem 3 6 15 120 Necessidades 100 170 270
2) MÉTODO DE VOGEL.
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UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
I) Para cada linha e cada coluna possuindo alguma sobra de oferta ou demanda, calcula-se o
respectivo resíduo (diferença não negativa entre os dois menores custos Cij associados às
células ainda sem alocação nesta linha ou coluna)
II) Considera-se a linha (ou coluna) possuidora do maior resíduo.
III) Nesta linha (ou coluna) identifica-se a célula com o menor custo unitário de transporte
ainda sem alocação e alocam-se ali tantas unidades quantas sejam possíveis.
IV) Recalculam-se os resíduos e repete-se o procedimento até que todas as demandas sejam
satisfeitas.
3) MÉTODO DO CUSTO MÍNIMO
I) Alocam-se tantas unidades quantas sejam possíveis, sem violar as restrições, à célula de
mínimo custo (observando todo o quadro).
II) Repetir o passo I até que (m + n -1) variáveis básicas tenham sido determinadas.
TESTE DA CONDIÇÃO DE ÓTIMO
Para cada variável básica Xij monta-se a equação Cij – ui – vj = 0. Atribui-se o valor zero a
um dos elementos ui ou vj e calculam-se os valores restantes para ui e vj de maneira que para
cada variável básica tenha-se Cij = ui + vj. Em seguida, calcula-se para cada variável não básica a
quantidade Cij – ui – vj . Se todas essas quantidades forem ≥ 0, a solução presente é ótima, caso
contrário, a solução atual deve ser aperfeiçoada.
APERFEIÇOAMENTO DA SOLUÇÃO
Considera-se a variável não básica correspondente ao valor mais negativo da grandeza
(Cij – ui – vj), calculada anteriormente. Esta é a variável a ser introduzida na base. Seja Xkl a
variável que irá entrar na base, na célula (k,l) alocam-se θ unidades. Para determinar o valor de
θ, monta-se um circuito formado por retas horizontais e verticais. O circuito inicia-se na célula
(k,l) e passa pelas variáveis básicas (não é necessário que passe por todas) e em cada canto do
circuito ( que pode ser um polígono convexo ou não convexo) subtrai-se e soma-se,
alternadamente e nesta ordem, os valores da variável básica Xij e a quantidade θ (primeiro Xij –
θ em seguida Xij + θ e assim por diante até fechar o circuito na célula (k,l)). O valor de θ é o
máximo que se pode obter sem ferir as restrições de não negatividade e quantidades ofertadas
e demandas.
EXEMPLOS:
1- Uma companhia locadora de automóveis se defronta com um problema de alocação
resultante dos contratos de locação que permitem que os automóveis sejam devolvidos
em localidades outras que aquelas onde foram originalmente alugados. Atualmente há
duas agências de locação com 15 e 13 carros excedentes e 4 outras agências
necessitando de 9, 6, 7 e 9 carros. Os custos unitários de transporte entre locadoras são
os seguintes.
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UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Ofertas Origem 1 45 17 21 30 15 Origem 2 14 18 19 31 13 Demandas 9 6 7 9
Ache a solução básica inicial do problema pelo método de Vogel.
2- Ache a solução básica inicial para o problema do exemplo anterior (problema da
locadora) através do método do custo mínimo.
3- Calcular o plano de transporte de menor custo para o seguinte problema.
Destino 1 Destino 2 Destino 3 Ofertas Origem 1 6 5 8 10 Origem 2 13 12 6 20 Origem 3 7 9 5 12 Origem 4 10 6 4 13 Demanda 8 32 15 55
4- Uma companhia despacha caminhões de grãos provenientes de 3 silos para 4 moinhos.
Veja a tabela com os custos.
Moinho 1 Moinho 2 Moinho 3 Moinho 4 Fornecimento Silo 1 10 2 20 11 15 Silo 2 12 7 9 20 25 Silo 3 4 14 16 18 10 Demanda 5 15 15 15 50
Ache a solução inicial pelo método do canto noroeste. Determine o plano ótimo que
minimize o custo do transporte.
EXERCÍCIOS
1- Determine um plano de transporte ótimo que minimize o custo de transporte para o
problema da locadora.
2- Idem para o problema da fábrica de esquis.
3- Um fabricante de artigos de plástico possui um estoque de 1.200 caixas de invólucros
transparentes em uma de suas fábricas e outras 1.000 caixas em uma segunda fábrica. O
fabricante recebeu pedidos deste produto provenientes de 3 diferentes varejistas nas
quantidades de 1.000, 700 e 500 caixas, respectivamente. Os custos unitários de
expedição (em $ por caixa) desde as fábricas até os varejistas são os seguintes:
Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3 Fábrica 1 14 13 11
Fábrica 2 13 13 12
Determine o programa de expedição que atenda as demandas a partir do estoque
disponível, a um custo mínimo.
4- O Expresso Flash é um empresa de transportes com 4 grandes terminais localizados em
Curitiba, Londrina, Maringá e Foz do Iguaçu. Os pneus utilizados pela frota dessa
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UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
empresa são padronizados. A empresa fez uma tomada de preços em 3 grandes
revendedoras de pneus e obteve as seguintes cotações:
Local Revendedor A Revendedor B Revendedor C Pneus necessários
Curitiba 70 64 68 4.000 Londrina 74 62 65 8.000 Maringá 62 68 64 3.000
Foz do Iguaçu 62 72 66 5.000 Pneus
disponíveis 12.000 6.000 4.000
Se o objetivo da empresa Expresso Flash é minimizar o custo total de aquisição dos
pneus, quanto ela deverá comprar de cada revendedor?
5- Uma companhia aérea regional pode comprar seu combustível para jato a partir de
qualquer dentre 3 fornecedores. As necessidades da companhia aérea para o mês
entrante em cada um dos 3 aeroportos em que ela opera são: 100.000 galões no
aeroporto 1; 180.000 galões no aeroporto 2 e 300.000 no aeroporto 3. Cada fornecedor
pode abastecer cada um dos aeroportos de acordo com os preços (em $ por galão)
dados no seguinte quadro:
Aeroporto 1 Aeroporto 2 Aeroporto 3 Fornecedor 1 92 89 90
Fornecedor 2 91 91 95
Fornecedor 3 87 90 92
Cada fornecedor, contudo, está limitado pelo número total de galões que ele pode
abastecer por mês. Estas capacidades são 320.000 galões para o fornecedor 1, 270.000
galões para o fornecedor 2 e 150.000 galões para o fornecedor 3. Determine a política de
aquisição que suprirá as necessidades da companhia em cada aeroporto a um custo total
mínimo.
RESOLUÇÃO DE UM PT A PARTIR DO SOLVER
Existem várias formas de se estruturar uma planilha para a aplicação do Solver. O
formato apresentado na Figura 1 (pág. 19) não é viável para problemas com um grande número
de variáveis. Sendo assim, será usado outro formato para a resolução do PT:
Calcular o plano de transporte de menor custo para o seguinte problema.
Destino 1 Destino 2 Destino 3 Ofertas Origem 1 6 5 8 10 Origem 2 13 12 6 20 Origem 3 7 9 5 12 Origem 4 10 6 4 13 Demanda 8 32 15 55
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SOLUÇÃO:
Na figura 16 pode-se observar a estruturação da planilha para resolver o problema
proposto. Inserir na célula F17 a fórmula: =F4*F10, que deve ser colada nas demais células do
quadro F17:H20. Em seguida, introduzir na célula D1 a fórmula: =SOMA(F17:H20). Inserir na
célula I24 a fórmula: =SOMARPRODUTO(F4:H4;F24:H24) e colar nas outras células da coluna
I24:I27. Por fim, colocar na célula F28 a fórmula: =SOMARPRODUTO(F4:F7;F24:F27), colando-a
nas células da linha F28:H28. Abrir o Solver e seguir os passos já explicados para o exemplo
apresentado na figura 1.
FIGURA 16- MODELO DE PLANILHA PARA RESOLVER O PT A PARTIR DO SOLVER.
A planilha com os valores ótimos pode ser vista na figura 17
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FIGURA 17 – PLANILHA COM A SOLUÇÃO ÓTIMA DO PT.
PROGRAMAÇÃO NO LINGO
Outra opção para a resolução de PPL com um grande número de variáveis é a
programação no LINGO. Nesta modalidade as restrições de um mesmo tipo podem ser
representadas por apenas uma linha de comandos.
EXEMPLOS
1-Seja o problema da Star e Cia, cujo modelo é:
Max Receita (R) = 3x1 + 2x2 + 5x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 <= 430 (operação 1) 3x1 + 2x3 <= 460 (operação 2) x1 + 4x2 <= 420 (operação 3) x1, x2, x3 >=0, onde: x1 = quantidade de caminhões de brinquedo. x2 = quantidade de trens de brinquedo.
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x3 = quantidade de carros de brinquedo. Este problema pode ser resolvido no LINGO escrevendo-se algumas linhas de comandos, como mostra a figura 18.
FIGURA 18 – PROGRAMA NO LINGO PARA RESOLVER O PROBLEMA DA STAR E CIA.
Na secção SETS estão definidos dois grupos de objetos relacionados (vetor e matriz),
sendo matriz derivado de vetor. O grupo vetor tem 3 elementos (posições), as constantes b e c e
a variável x possuem as mesmas características do grupo vetor. Já a constante a possui as
características do grupo derivado matriz. Assim, a é uma matriz 3x3.
Na secção DATA são apresentados os dados (a, b e c) necessários para a resolução do
problema.
O comando @SUM (função objetivo) soma o produto c(i)*x(i) para todos os membros do
grupo vetor.
O comando @FOR gera 3 restrições (i=1,2 e 3) do tipo (soma do produto a(i,j)*x(j) <=
b(i)).
Para a execução do programa, basta clicar em solver.
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2- Calcular o plano de transporte de menor custo para o seguinte problema.
Destino 1 Destino 2 Destino 3 Ofertas Origem 1 6 5 8 10 Origem 2 13 12 6 20 Origem 3 7 9 5 12 Origem 4 10 6 4 13 Demanda 8 32 15 55
Neste exemplo vamos registrar os dados de entrada e saída em uma planilha do Excel. A
ligação entre LINGO e EXCEL será feita pelo comando @OLE (Object Linking and Embedding). A
programação desenvolvida para a resolução do exemplo 2 pode ser observada na figura 19.
FIGURA 19 - PROGRAMA NO LINGO PARA RESOLVER O PT DO EXEMPLO 2.
Na seção SETS foram definidos os grupos origens, destinos e rotas (grupo derivado dos
dois primeiros). Os atributos dos grupos origens e destinos são oferta e demanda,
respectivamente. Enquanto rotas tem os atributos custo e x. Observar que os membros dos
grupos origens e destinos estão definidos na secção DATA.
O programa apresenta duas secções DATA, a primeira para os dados de entrada e a segunda para os dados de saída (x e fo). Os dados estão registrados em uma planilha do Excel de nome PT_EX1.xls (gravados na versão 97-2003), neste exemplo tanto o modelo do LINGO PT_EX1 como a planilha do Excel PT_EX1.xls estão gravadas na mesma pasta (LINGO9). Caso sejam usadas pastas diferentes para os dois arquivos, deve-se usar na função @OLE o caminho
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completo (por ex.: C:\LINGO9\EXEMPLOS). Na linha de comandos origens,destinos,oferta,demanda,custo=@OLE('PT_EX1.xls','origens','destinos
','oferta','demanda','custo');
O lado esquerdo da igualdade apresenta variáveis que são usadas no modelo do LINGO, já os
nomes sob a abrangência da função @OLE (com exceção de PT_EX1.xls) são usadados na
nominação das células da planilha PT_EX1.xls onde são encontrados os respectivos dados. No
Excel a nominação das células pode ser feita clicando-se em Fórmulas - Gerenciador de Nomes.
Na segunda secção DATA , a linha de comandos OLE('PT_EX1.xls','x','fo')=x, fo;
Indica que os resultados x e fo (lado esquerdo da igualdade) produzidos pelo LINGO serão registrados nas células x e fo (lado direito da igualdade) da planilha PT_EX1.xls, que pode ser observada na figura 20.
FIGURA 20 – PLANILHA COM OS DADOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EXEMPLO 2.
Ainda no modelo da figura 19, os dois primeiros @FOR são usados para gerar as restrições e o terceiro (@FOR(rotas(i,j): @GIN(x(i,j)));) Foi usado para definir a variável x(i,j) com inteira, @GIN é o comando que define x como inteira.
PROBLEMAS DE TRANSBORDO
É um problema mais geral de transportes, no qual alguns nós em uma rede de
transportes atuam como pontos de demanda e fornecimento.
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ILUSTRAÇÃO
P1 T1 D1
P2 D2
T2
D3
Na rede de transportes acima, P1 e P2 são nós de fornecimento puro, T1 e T2 são nós de
transbordo e D1, D2 e D3 são nós de demanda puro. O fornecimento em um nó de transbordo =
fornecimento original + quantidade tampão e demanda em nó de transbordo = demanda
original + quantidade tampão. Observando que quantidade tampão = fornecimento total (ou
demanda total).
EXEMPLOS (Resolver usando o Solver do Excel)
1- Duas fábricas de automóveis P1 e P2 estão ligadas a três revendedoras D1, D2 e D3 por
meio de duas centrais de trânsito T1 e T2. Veja a rede abaixo.
8 D1 800
P1 3 T1 6 5
2
4 6
7 D2 900
4
3
P2 T2 9
D3 500
D3
Minimizar o custo de transporte nesta rede.
2- A Biele Alimentos serve 4 consumidores a partir de 2 fábricas, conforme quadro abaixo.
Consumidor 1 Consumidor 2 Consumidor 3 Consumidor 4 Ofertas
Fábrica 1 14 15 20 17 500 Fábrica 2 18 19 16 21 1.000 Demanda 300 250 450 250
1200
0 5
1000
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Cuja solução ótima indica custo = 20.600. Dois depósitos W1 e W2 foram incorporados à
rede de distribuição da Biele. A Biele quer saber se a utilização de tais depósitos trará
economias. Os custos de transporte ($ por tonelada) são os seguintes:
P1-W1 = 2; P1-W2 = 13; P2-W1 = 7; P2-W2 = 9; W1-C1 = 3; W1-C2 = 4; W1-C3 = 5;
W1-C4 = 12; W2-C1 = 6; W2-C2 = 1; W2-C3 = 11; W2-C4 = 10. Onde Pi = fábrica e Cj
= consumidor, com i=1,2 e j=1,2,3,4. O depósito W1 tem uma capacidade (e
conseqüente demanda) de 400 toneladas e a capacidade de W2 é de 500 toneladas. Os
depósitos podem transportar de um para outro a um custo de $ 8 por tonelada.
Minimize o custo e determine se é recomendável a implantação dos depósitos.
EXERCÍCIOS (Resolver usando o Solver do Excel)
1-Uma grande indústria de bebidas possui 3 fábricas e 3 centros de distribuição – venda direta,
na região sul. As fontes são as fábricas de Curitiba, Porto Alegre e Lajes com as respectivas
capacidades mensais de produção de caixas de cerveja inteira (600 ml): 40.000, 55.000 e
35.000. Os destinos são os centros de distribuição de Curitiba, Florianópolis e Porto Alegre com
as respectivas demandas do mesmo produto: 30.000, 40.000 e 60.000. Com base na tabela de
preços de transportes a seguir, determine qual é a melhor forma de distribuir esta produção a
fim de que se atenda totalmente as demandas e que proporcione o menor custo para a empresa.
Curitiba Florianópolis Porto Alegre Ofertas Curitiba 0 9,5 15 40.000 Porto Alegre 12 7 0 55.000 Lajes 9 5 10 35.000 Demanda 30.000 40.000 60.000 130.000
Está sendo estudada a possibilidade de se construir um depósito para auxiliar o transporte
entre as fábricas e os centros de distribuição (ponto de transbordo) para diminuir os custos de
transporte. Os custos de transportes para este caso são:
Curitiba Florianópolis Porto Alegre Transbordo Oferta Curitiba 0 9,5 15 5 40.000 Porto Alegre 12 7 0 6,5 55.000 Lajes 9 5 10 2,5 35.000 Transbordo 5 2,5 6,5 0 100.000 Demanda 30.000 40.000 60.000 100.000 230.000
Faça a análise dos resultados para verificar as vantagens ou não da colocação deste ponto de
transbordo.
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2-A rede:
100 1 1 3 6 5 150
4 1 3 5 1
3
200 2 2 4 8 6 150
Dá as rotas de expedição dos nós 1 e 2 para os nós 5 e 6, passando pelos nós 3 e 4. Os custos unitários de expedição são mostrados nos respectivos arcos.
a)Desenvolva o problema de transbordo correspondente.
b)Resolva o problema e mostre como os embarques são roteados desde as origens até os destinos.
3-No problema 2, suponha que o nó de origem 1 possa ser ligado ao nó de origem 2 com um custo unitário de expedição de $ 1. O custo unitário de expedição do nó 1 ao nó 3 sofre um aumento de $ 5. Formule a questão como um problema de transbordo e ache a programação de expedição ótima.
4-A rede
6 1.100
900 1 1 0,2
0,3 3
0,8 4 4,5
2 0,5 1.000
1.400 2 7
4,3 2,1 6
5
4,6 1,9
1.000 3 1.200
8
mostra as rotas de expedição de carros de 3 fábricas (nós 1,2 e 3) para as 3 revendedoras (nós 6 a 8),
passando por duas centrais de distribuição (nós 4 e 5). Os custos de expedição por carro (em $ 100)
são mostrados nos arcos. (a) resolva a questão como um problema de transbordo. (b) Ache a nova
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solução ótima considerando que a central de distribuição 4 possa vender 240 carros diretamente a
clientes.
PROBLEMAS DE DESIGNAÇÃO
Os problemas de designação envolvem uma alocação biunívoca de, por exemplo,
operários e tarefas. O número de operários se presume igual ao número de tarefas, condição
que pode ser assegurada pela criação de operários ou tarefas fictícias e o tempo cij para o i-
ésimo operário completar a j-ésima tarefa são conhecidos.
O objetivo é designar cada um dos operários para cada uma das tarefas, de modo que
estas sejam concluídas num tempo mínimo. Os problemas de transportes podem ser
convertidos em problemas de designação.
EXEMPLO
Deseja-se designar os operários A, B, C e D às tarefas 1, 2, 3 e 4. Veja o quadro com os
tempos para execução das tarefas.
OP. \ TAREFAS 1 2 3 4 A 1 4 6 3 B 9 7 10 9 C 4 5 11 7 D 8 7 8 5
Construir um modelo linear que minimize o tempo total para a execução das 4 tarefas.
MÉTODO HÚNGARO
Método alternativo usado em problemas de designação.
Passo 1. Coloque os custos por unidade de recurso na forma de matriz.
Passo2. Subtraia ou adicione uma constante a cada linha e/ou coluna, tal que exista no mínimo
um zero em cada linha e em cada coluna; e nenhum valor negativo.
Passo 3. Marque o máximo número de designações às células zero, como segue:
Passo 3.1 Em cada linha com somente um zero, designe o zero e elimine todos os zeros daquela
coluna.
Passo 3.2 Em cada coluna com somente um zero, designe o zero e elimine todos os zeros
daquela linha.
Passo 3.3 Repita 3.1 e 3.2 até que todos os zeros tenham sido marcados (designados ou
eliminados).
Passo 4. Se existe um zero designado em cada linha e coluna, estas são as designações ótimas.
Marque as correspondentes células originais e obtenha o custo total. Esta é a designação de
custos mínimos.
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Passo 5. Se não existe um zero designado em cada linha e em cada coluna, obtenha mais zeros
como segue:
Passo 5.1 Marque todas as linhas que não tenham designação.
Passo 5.2 Marque todas as colunas com zeros eliminados nas linhas marcadas.
Passo 5.3 Marque todas as linhas com zeros designados nas colunas marcadas.
Passo 5.4 Repita 5.2 e 5.3 até a exaustão.
Passo 6. Passe uma linha através de todas as linhas não marcadas e colunas marcadas.
Passo 7. Marque a matriz reduzida como segue:
Passo 7.1 Ache o mínimo valor não alinhado.
Passo 7.2 Subtraia este valor de todas as linhas marcadas.
Passo 7.3 Adicione este valor a todas as colunas marcadas.
Passo 8. Faça o máximo número de designações, como no passo 3 e repita 5, 6 e 7 até que exista
um zero designado em cada linha e em cada coluna, como no passo 4.
Obs.: No passo 3, se todas as linhas e colunas com um único zero acabaram e somente linhas e
colunas com 2 zeros permanecem, significa que existe mais de uma designação mínima apara
estas linhas e colunas. Qualquer um desses zeros pode ser designado para produzir o mesmo
custo mínimo total.
EXEMPLOS:
1- Resolva, usando o método húngaro, o seguinte problema de designação:
1 2 3 4 5 A 12 8 7 15 4 B 7 9 17 14 10 C 9 6 12 6 7 D 7 6 14 6 10 E 9 6 12 10 6
2- Deseja-se designar os operários A, B, C e D às tarefas 1, 2, 3 e 4. Veja o quadro com os
tempos para execução das tarefas.
OP. \ TAREFAS 1 2 3 4 A 1 4 6 3 B 9 7 10 9 C 4 5 11 7 D 8 7 8 5
Use o método húngaro para minimizar o tempo total para a execução das 4 tarefas.
3- Resolva o PD.
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UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
3 8 2 10 3 8 7 2 9 7 6 4 2 7 5 8 4 2 3 5 9 10 6 9 10
4- Uma empresa vende produtos em 4 regiões e possui 4 vendedores para serem
destacados, um para cada região. As regiões não são igualmente ricas e apresentam o
seguinte potencial de vendas: região I: $ 60.000,00; região II: $ 50.000,00; região III: $
40.000,00; região IV: $ 30.000,00. Os vendedores, por outro lado, não são igualmente
hábeis e as suas eficiências, que refletem a capacidade de atingir o mercado potencial da
região, são dadas pelo quadro que segue:
Vend.\Região I II III IV A 0,7 0,7 0,7 1,0 B 0,8 0,8 0,8 1,0 C 0,5 0,5 0,5 1,0 D 1,0 0,4 1,0 0,4
Pede-se determinar, empregando o método da designação, como destacar os
vendedores para que o volume de vendas seja o maior possível.
EXERCÍCIOS.
1- Uma cooperativa de agricultores deseja construir quatro silos na região oeste do
Paraná. No passado a cooperativa utilizou os serviços de seis empresas construtoras e,
tendo ficado satisfeita com todas, convidou cada uma delas a cotar cada um dos serviços.
As propostas finais (em milhares de dólares) estão indicadas no quadro a seguir.
Companhias construtoras
1 2 3 4 5 6 Silo 1 85,3 88,0 87,5 82,4 89,1 86,7 Silo 2 78,9 77,4 77,4 76,5 79,3 78,3 Silo 3 82,0 81,3 82,4 80,6 83,5 81,7 Silo 4 84,3 84,6 86,2 83,3 84,4 85,5
Uma vez que a cooperativa deseja dispor dos novos silos prontos o mais rápido possível
designará no máximo uma obra a cada uma das companhias construtoras. Que alocação
resulta em custo total mínimo a cooperativa?
2- A Metalúrgica Araucária S/A, dentro de 60 dias, deverá começar a funcionar em sua
nova sede na Cidade Industrial de Curitiba. O presidente da Metalúrgica deseja que a
distribuição de salas, dessa nova instalação, seja feita de modo a atender, na medida do
possível, as preferências já manifestadas. Em uma pesquisa realizada, os diretores
manifestaram as suas preferências.
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Sala 1 Sala 2 Sala 3 Sala 4 Sala 5 Sala 6 Diretor 1 2 4 3 1 5 6 Diretor 2 1 5 4 6 3 2 Diretor 3 5 3 4 2 1 6 Diretor 4 1 3 2 4 6 5 Diretor 5 3 2 5 6 1 3
Se você fosse convidado a opinar sobre a distribuição das salas qual seria a sua
recomendação?
3- A Companhia Aérea Fênix oferece uma excursão a preços reduzidos que permite a uma
pessoa utilizar todos os itinerários de vôo. O bilhete, válido por duas semanas a contar
da data de aquisição, possui a seguinte restrição: nenhuma cidade do itinerário pode ser
revisitada exceto a de origem, que será a última parada da excursão. Uma turista
estrangeira, que está na cidade 1 (a capital), deseja conhecer as cidades provinciais 2, 3
e 4 antes de retornar à capital. Ela decide viajar pela companhia Fênix. Os tempos de vôo
(em minutos) entre as cidades de interesse são dados no quadro a seguir. Determine um
itinerário aceitável que minimize o tempo total de vôo da turista.
Cidades 1 2 3 4 1 ..... 65 53 ..... 2 65 ..... 95 ..... 3 53 95 ...... 81 4 37 ...... 81 ......
4- Uma empresa construtora tem 5 tratores em locais diferentes e um trator é necessário
para cada uma das 3 obras situadas em locais diferentes. Se os custos de transporte dos
tratores forem os do quadro a seguir, determine o esquema de designação de custo
mínimo.
Tratores\Obras A B C 1 2 3 4 2 7 6 4 3 3 5 8 4 4 6 5 5 4 6 3
5- Resolva o seguinte problema de designação até atingir a solução ótima.
1 2 3 4 5 A 9 15 6 14 18 B 7 5 10 4 13 C 11 14 13 10 14 D 19 22 15 26 24 E 12 8 10 9 13
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UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
6- Seis trabalhadores devem ser designados para seis diferentes trabalhos, cada qual
devendo ser executado em um tipo diferente de máquina. Registros passados fornecem
as performances individuais para os seis trabalhadores, em minutos, conforme o quadro
apresentado a seguir. O objetivo é designar os indivíduos aos trabalhos de tal maneira
que o tempo seja minimizado.
Tarefa 1 Tarefa 2 Tarefa 3 Tarefa 4 Tarefa 5 Tarefa 6 João 13 22 19 21 16 20 José 18 17 24 18 22 27 Luís 20 22 23 24 17 31
Mário 14 19 13 30 23 22 Pedro 21 14 17 25 15 23 Paulo 17 23 18 20 16 24
OTIMIZAÇÃO EM REDES
NOÇÕES BÁSICAS DE GRÁFICOS/REDES.
O par G=(N,A) é chamado de grafo, onde N é um conjunto de nós (vértices) e A um
conjunto de arcos (arestas).
EXEMPLO:
3
1 4
2
G=(N,A): N={1,2,3,4} e A = {(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)}.
OBS.: uma REDE é um grafo cujos nós e/ou arestas tem valores associados.
GRAFO/REDE ORIENTADA.
Um arco é orientado se ele permite fluxo positivo em um sentido e fluxo zero no sentido
oposto. Uma rede orientada é aquela na qual todos os arcos são orientados.
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UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
EXEMPLO#:
3
4
1
2
CAMINHO
Um caminho de um nó i0 a um nó ik é uma sequência de arcos C ={(i0,i1),(i1,i2),...,(ik-1,ik)},
na qual o nó inicial de cada arco é o nó final do arco imediatamente anterior na sequência. No
EXEMPLO# a sequência de arcos C = {(1,2),(2,4),(4,3)} é um caminho.
CADEIA
É uma sequência de arcos de modo que cada arco tem exatamente um nó em comum
com o arco imediatamente anterior da sequência. No EXEMPLO# os arcos do conjunto
C={(1,2),(2,3),(4,3)} formam um cadeia.
CIRCUITO
É um caminho fechado. Sendo que o nó inicial coincide com o nó final. Acrescentando o
arco (3,1) na rede do EXEMPLO# pode-se formar, por exemplo, o circuito
{(1,2),(2,4),(4,3),(3,1)}.
CICLO
É uma cadeia fechada. No EXEMPLO# os arcos do conjunto {(2,4),(4,3),(2,3)} formam
um ciclo.
GRAFO/REDE CONECTADA
Uma rede (ou grafo) é dita conectada se existe pelo menos uma cadeia entre quaisquer
dois dos seus nós. O EXEMPLO# é uma rede conectada.
ÁRVORE
É uma rede (ou grafo) conectada sem ciclos.
ÁRVORE GERADORA DE UMA REDE (OU GRAFO).
É uma árvore que liga todos os nós da rede.
C12=3
C14=5
C23=8
C24=3
C43=1
69
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EXEMPLO: Seja o grafo
3 5
1
2 4
Exemplo de árvore do grafo. Exemplo de árvore geradora do grafo.
3 5
3
1 1
2 2 6
PROBLEMA DE CAMINHO MÍNIMO
Consiste na determinação do caminho mais curto entre uma origem e um destino numa
rede de trannporte.
ALGORITMO DE DIJKSTRA.
Seja ui a distância mais curta do nó de origem 1 ao nó i, e defina-se dij (>=0) como o
comprimento do arco (i,j). Então, o algoritmo define o rótulo para um nó imediatamente
posterior, j, como: [uj, i]=[ui+dij, i], dij >=0.
Etapa 0. Rotule o nó de origem (nó 1) como rótulo permanente [0, -]. Faça i = 1.
Etapa i.
(a) Calcule os rótulos temporários [ui+dij, i] para cada nó j que pode ser alcançado partindo
do nó i, contanto que j não seja permanentemente rotulado. Se o nó j já estiver rotulado
com [uj,k] passando por um outro nó k, e se ui+dij < uj, substitua [uj, k] por [ui+dij, i].
(b) Se todos os nós tiverem rótulos permanentes, pare Caso contrário, selecione o rótulo
[ur, s], cuja distância (=ur) é a mais cufrta entre todos os rótulos temporários (empates
são resolvidos arbitrariamente). Determine i = r e repita a etapa i.
70
UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
OBS.: a mínima distancia do início ao final é o valor da distância no rótulo do nó final. Para
determinar a rota da minimização, traça-se o percurso backward do término ao início.
EXEMPLO:
Considere o problema de um despachante de longas distâncias, que é responsável pela
rota de caminhões sobre a rede abaixo. Os arcos são não direcionados, ou seja, o movimento
nos dois sentidos é possível entre todos os centros de distribuição. Os números sobre os arcos
indicam as distâncias em centenas de km. O despachante quer determinar a rota mínima,
representada por uma sequência de arcos, de A até O.
4 D 7 G 6 M
B 8 4 3 5 3 3
2 3 F 5 J
A 6 E 4 3 2 O
6 1 5 7 K 3 4
C H
8 3 3 1
I 4 N
ALGORITMO DE FLOYD
Fornece os caminhos de mínimo custo para todos os pares de vértices de uma rede.
Etapa 0. Defina a matriz de distâncias inicial D0 e a matriz de sequência de nós S0 como dado a
seguir. Os elementos da diagonal são marcados com (-) para indicar que estão broqueados.
Determine k = 1
Matriz das distâncias inicial D0
Nós 1 2 3 ... n 1 - d12 d13 ... d1n 2 d21 - d23 ... d2n 3 d31 d32 - ... d3n ... ... ... ... ... ... N dn1 dn2 dn3 ... -
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Matriz de sequência de nós S0
Nós 1 2 3 ... n 1 - 2 3 ... n 2 1 - 3 ... n 3 1 2 - ... n ... ... ... ... ... ... J 1 2 3 ... -
Etapa geral k. Defina a linha k e a coluna k como linha e coluna pivô. Verifique se dik+dkj<dij
(i≠k, j≠k e i≠j) para cada elemento dij em Dk-1 se a condição for satisfeita, faça as mudaças:
(a) Crie Dk substituindo dij em Dk-1 por dik+dkj.
(b) Crie Sk substituindo sij em Sk-1 por k. Determine k = k+1. Se k=n+1, pare; caso contrário,
repita a etapa k.
Após n etapas, pode-se determinar o caminho mais curto entre os nós i e j com base nas Matrizes Dn e Sn, usando as regras:
(1) A partir de Dn, dij dá a menor distância entre os nós i e j. (2) A partir de Sn, determine o nó intermediário k = sij que dá como resultado a rota i →k→j.
Se sik = k e skj = j, pare; todos os nós intermediários da rota foram encontrados. Caso contrário, repita o procedimento entre os nós i e k e entre os nós k e j.
EXEMPLO:
Dada a rede abaixo, encontre os caminhos mais curtos entre todos os conjuntos de dois nós. Determine a distância e a rota mínima entre os nós i e j, sendo: (a) i = 1 e j = 3; (b) i= 1 e j = 5; (c) i = 5 e j = 1.
5 4
2
3 4
1
10 6 5
3 15
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MODELO LINEAR PARA O PROBLEMA DA ROTA MÍNIMA
A rede contém nós de 0 a n. As variáveis xij representam a quantidade de fluxo ao longo
do arco não-direcionado (i,j). Cada arco (i,j) tem um comprimento ou distância cij entre os nós i
e j.
Modelo:
Min C = 𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗𝑛𝑗=0
𝑛𝑖=0
s.a. 𝑥𝑖𝑘 = 𝑥𝑘𝑗𝑛𝑗=0
𝑛𝑖=0 , para nós intermediários, k=1,2,...,n-1 (conservação do fluxo)
𝑥0𝑗 = 1𝑛𝑗=0 (exigência de percurso)
𝑥𝑖𝑛 = 1𝑛𝑖=0 (exigência de percurso)
xij ∈ (0,1)
EXEMPLO:
Dada a rede
2 4
100 20 10 50
1
30 3 60 5
Monte o modelo linear, considerando que 1 é o nó inicial e 2 o nó final.
ÁRVORE GERADORA MÍNIMA.
Problema onde os nós de uma rede são conectados, direta ou indiretamente, usando o
comprimento total mais curto de ramos conectores.
ALGORITMO DE PRIM
Os seguintes passos são aplicados para a determinação de uma arborescência mínima:
(1) Considere qualquer nó como nó inicial. Este nó passa a ser conectado e avaliado.
(2) Identifique todos os arcos ligando um nó conectado (avaliado) com um nó não
conectado.
(3) Selecione o arco do passo 2 que tem o mínimo comprimento. Ligue este arco à árvore,
reforçando seu arco, e inclua este nó não conectado no conjunto dos conectados,
tornando-o avaliado.
(4) Pare quando todos os nós estiverem avaliados. Os arcos reforçados formam a
arborescência mínima. Caso contrário, volte a (2).
15
73
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EXEMPLO:
Considere o caso de uma companhia de alarmes que precisa instalar um sistema de
detecção em um edifício. O plano precisa de 10 sensores localizados como os nós da rede abaixo.
A companhia quer achar o plano que minimize a distância total do cabo.
H
80 D 90 50
B 60 70 I
60 75 70 60 85
A E 90 G 45
55 95 75 120
C J
65 F 80
ALGORITMO DE KRUSKAL
Os seguintes passos são aplicados para a determinação de uma arborescência mínia em
um grafo com n nós:
(1) Selecione o arco de menor comprimento e o reforce indicando que ele foi selecionado.
(2) Repita o passo 1 anterior até que (n-1) arcos tenham sido selecionados. Os arcos
reforçados formam a arborescência mínima. Observar que os arcos reforçados não
formem ciclos.
EXEMPLO:
Resolver o exemplo anterior aplicando o algoritmo de Kruskal.
PROBLEMA DO MÁXIMO FLUXO.
Ao invés de simplesmente identificar um conjunto de arcos (a rota mais curta ou a
arborescência mínima), este problema procura achar um valor de fluxo para cada arco da rede.
MODELO MATEMÁTICO PARA O PROBLEMA DE MÁXIMO FLUXO.
A rede contém nós: 0,1,2,...,n. O nó “0” é a fonte e o nó “n” é o destino ou sumidouro. As
variáveis de fluxo xij representam a quantidade de fluxo ao longo do arco direcionado (i,j). Não
existe variável para os pares de nós não conectados por um arco. Cada arco (i,j) tem uma
capacidade Cij.
Modelo:
74
UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
Max F = 𝑥0𝑗 = 𝑥𝑖𝑛𝑛−1𝑖=0
𝑛−1𝑗=0
s.a. 𝑥𝑖𝑘 = 𝑥𝑘𝑗𝑛𝑗=0
𝑛𝑖=0 (para os nós intermediários k = 1,2,...,n-1 – conservação do
fluxo).
xij <= Cij (para todos os arcos – capacidade).
xij >= 0.
EXEMPLO 1:
Considere a rede de tubulações de transporte de petróleo.
0 4 20
5
1 30 0
20 10
2 3 20
Sendo o nó 1 a origem e o nó 5 o destino (sumidouro). Cada segmento de
tubulação tem uma taxa de descarga máxima finita (ou capacidade) de fluxo de petróleo.
Considere a seguinte notação: Cij a capacidade de i para j e Cji a capacidade de j para i. Por
exemplo, entre os nós 3 e 4 tem-se C34 = 10 e C43 = 5.
Determinar a capacidade máxima da rede entre o nó de origem e o nó destino.
EXEMPLO 2.
Determinar o fluxo máximo na rede abaixo, sendo os nós 1 e 2 as origens e os nós 7,8 e 9
os destinos.
1 80 4 70 7
100 60 50 110
3 50 6 120 8
100 40 80
90
2 110 5 60 9
10
0 0
0
30
40
5 0
0
75
UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
EXERCÍCIOS.
1-A rede
3 4 6
1 3 2
2 1 2 5 7 6 5 8
1 3
1 2 6
2 5 4 8 7
Dá as distâncias em km entre pares de cidades 1,2,...,8. Use o algoritmo de Dijkstra para achar o
caminho mais curto entre as seguintes cidades.
(a) Cidades 1 e 8; (b) Cidades 2 e 6; (c) Resolva o item (a) usando o Solver do Excel.
2-Use o algoritmo de Dijkstra para achar o caminho mais curto entre o nó 1 e o nó 7 na rede
abaixo.
6
2 7 6
5 2 7 1 4 5 2
1 4 6 7
1 6 7 3 9
3 7 5
3-Use o Solver do Excel para resolver a questão 2.
4-Use na rede abaixo o algoritmo de Floyd para determinar os caminhos mais curtos entre cada
um dos seguintes pares de nós: (a) Do nó 5 ao nó 1; (b) Do nó 3 ao nó 5; (c) Do nó 5 ao nó 3; (d)
Do nó 5 ao nó 2.
76
UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
5 4
2
3 4
1
10 6 5
3 15
5-Dada a rede
2 2 5 1
5 1 5 3 6
4 1 4
1
3 7 3
3 12 7
Use o algoritmo de Floyd para determinar o caminho mais curto entre os seguintes pares de
nós: (a) Do nó 1 ao nó 7; (b) Do nó 7 ao nó 1; (c) Do nó 6 ao nó 7.
6-Uma TV a cabo está em vias de fornecer serviços por cabo a cinco novas áreas onde estão em
desenvolvimento projetos residenciais. A rede abaixo mostra as possíveis conexões de TV entre
as cinco áreas. As conexões (em km) dos cabos são mostradas em cada arco. Determine a rede
mais econômica.
2 3 5
1 4 6 9 8
1 5 3
7 5 10 6
4 3
77
UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
7-Em transporte intermodal, caminhões-reboque carregados são despachados entre terminais
ferroviários sobre vagões-plataformas especiais. A rede abaixo mostra a localização dos
principais termianais ferroviários nos Estados Unidos e as ferrovias existentes. O objetivo é
decidir quais ferrovias devem ser revitalizadas para enfrentar o tráfego intermodal. Em
particular, o terminal de Los Angeles (LA) deve ser conectado diretamente ao de chigago (CH)
para dar conta do esperado tráfego pesado. Fora estes, todos os terminais restantes podem ser
conectados direta ou indiretamente de modo que o comprimento total (em km) das ferrovias
selecionadas seja minimizado. Determine os trechos das ferrovias que devem ser incluídos no
programa de revitalização.
SE 2000 800 NY
1300 1000 CH 200
1100 DE DC
2600
2000
LA 780 900 1300
1400
DA
8-Um produtor de gás natural tem duto em rede conforme a figura abaixo. As capacidades dos
dutos estão indicados nos arcos em centenas de milhões de metros cúbicos por dia. O objetivo é
transportar tanto gás natural quanto possível de S a T. Use o Solver do Excel para resolver o
problema.
A
3 5
S 1 T
6 3
B
9-Seja uma rede de telecomunicações conectando vários terminais de retransmissores para
atender chamadas telefônicas. A configuração física do sistema para determinar quantas
chamadas podem ser feitas entre quaisquer 2 transmissores deve ser calculada, ou seja,
devemos quantificar o número máximo de chamadas que o sistema pode acomodar. Cada
chamada entre 2 retransmissores pode ser tratada como unidade de fluxo. O fluxo total, ou seja,
o número de chamadas através da rede deve ser maximizada. A figura abaixo mostra a rede de
78
UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
retransmissores para a companhia de telefone. Use o Solver do Excel para maximizar o fluxo de
chamadas, considerando que o nó A é a origem e o nó L o destino.
4 D 6 H 2 J 7
B L
5 4 3 3 3 3 9
A 5 C 4 F 6 K
6 5 5 I 10
3 4
E 2 G
MODELO DETERMINÍSTICO DE ESTOQUE O tipo de um modelo de estoque está relacionado com a demanda, assim:
1) Se a demanda mensal média for aproximadamente constante para todos os meses e o
coeficiente de variação CV = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 −𝑝𝑎𝑑𝑟 ã𝑜
𝑀é𝑑𝑖𝑎. 100 for pequeno (< 20%), a demanda pode
ser considerada determinística e constante, sendo seu valor igual à média de todas as demandas mensais.
2) Se a demanda mensal média apresentar uma variação considerável entre os diferentes meses, mas CV permanecer razoavelmente pequeno, a demanda é considerada determinística e variável.
3) Se no caso 1, CV for alto (> 20%), mas aproximadamente constante, a demanda é probabilística e estacionária.
4) O Único caso restante é o da demanda probabilística e não estacionária que ocorre quando as médias e os coeficientes de variação sofrem uma variação considerável ao longo do tempo.
Um modelo de estoque, de maneira geral, procura responder às perguntas:
1) Quanto pedir? 2) Quando pedir?
As respostas as essas perguntas podem ser obtidas a partir da minimização da função custo:
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑒𝑠𝑡𝑜𝑞𝑢𝑒
= 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜
𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 +
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎çã𝑜
+ 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑒𝑠𝑡𝑜𝑞𝑢𝑒
+ 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑠𝑠𝑒𝑧
1) Custo de compra: Origina-se no preço unitário de um item que será comprado ou produzido.
2) Custo de preparação: Valor constante que inclui o custo administrativo ou de produção.
79
UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
3) Custo de estocagem: Representa o custo de manter a mercadoria em estoque. Inclui os juros sobre o capital e o custo de armazenagem, manutenção e manuseio.
4) Custo de escassez: É a multa incorrida quando ficamos sem estoque. Inclui a potencial perda de receita e o custo mais subjetivo de perda da confiança do cliente.
MODELO EOQ (ECONOMIC-ORDER-QUANTITY) CLÁSSICO
O modelo econômico de quantidade de pedidos (EOQ), também chamado de lote econômico, é o mais simples dos modelos de estoque. O EOQ envolve demanda constante com reabastecimento instantâneo e nenhuma falta.
ILUSTRAÇÃO
Nível de estoque
Q-Dt
Tempo (t)
t
Onde:
Q = tamanho do lote.
D = taxa de demanda constante.
𝑡 =𝑄
𝐷 (ciclo: tempo entre reabastecimentos de estoques consecutivos).
O custo de produção ou encomenda por ciclo = K + cQ, onde K é o custo de preparação e c o preço unitário do item.
O nível de estoque médio durante um ciclo é (Q + 0)/2 = Q/2 unidades e o custo correspondente é hQ/2, onde h = custo de estocagem ($/unidades de estoque/ unidades de tempo).
O custo de manutenção do estoque por ciclo = 𝑄
2.𝑄
𝐷=
𝑄2
2𝐷 , assim:
O custo total por ciclo = 𝐾 + 𝑐𝑄 +𝑄2
2𝐷 , logo
Tamanho do lote (Q)
Q/D 2Q/D 3Q/D
Q
80
UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
O custo total por unidade de tempo é
𝑇 =𝐾 + 𝑐𝑄 + 𝑄2/(2𝐷)
𝑄/𝐷=𝐷𝐾
𝑄+ 𝐷𝑐 +
𝑄
2
O valor de Q, denotado Q*, que minimiza T é obtido fazendo 𝑑𝑇
𝑑𝑄= 0.
𝑇 ′ =−𝐷𝐾
𝑄2 +
2= 0, isolando Q obtém-se o valor ótimo
𝑄∗ = 2𝐷𝐾
e 𝑡∗ =
𝑄∗
𝐷=
2𝐾
𝐷
TEMPO DE ESPERA (L)
Um pedido não precisa ser emitido e recebido instantaneamente, em vez disso pode ocorrer um tempo de espera entre a emissão e o recebimento do pedido. A emissão do pedido ocorre quando o nível de estoque cai a LD unidades.
ILUSTRAÇÃO
Nível de estoque
Tempo (t)
Define-se o tempo de espera efetivo (𝐿𝑒) por 𝐿𝑒 = 𝐿 − 𝑛𝑡0∗ , onde n é o maior inteiro
que não ultrapassa L*/t0. Após n ciclos de 𝑡0∗ cada, a situação de estoque age como se o intervalo
entre emitir um pedido e receber outro fosse 𝐿𝑒 . Assim, o ponto de reabastecimento ocorre em 𝐿𝑒𝐷 unidades.
EXEMPLO
As lâmpadas de néon do campus de uma universidade são substituídas à taxa de 100 unidades por dia. O departamento de manutenção emite pedidos periódicos para essas lâmpadas, e o custo para iniciar um pedido de compra é $ 100. Estima-se que o custo de armazenagem de uma lâmpada de néon é aproximadamente $ 0,02 por dia. O tempo de espera ente emitir o pedido e receber o material é 12 dias. Determine a política ótima de estoque para os pedidos de compra de lâmpadas de néon.
LD
Q
Pontos de reabastecimento
L L
81
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EXERCÍCIOS
1- Uma empresa fabricante de televisores produz seus próprios alto-falantes, que são usados na produção de seus aparelhos de TV. Os televisores são montados em uma linha de produção contínua a uma taxa de 8.000 unidades mensais, sendo necessário um alto-falante por aparelho. Os alto-falantes são produzidos em lotes, porque eles não garantem a configuração de uma linha de produção contínua e quantidades relativamente grandes podem ser produzidas em curto espaço de tempo. Portanto, os alto-falantes são colocados em estoque até que sejam necessários para a montagem nos televisores na linha de produção. A empresa está interessada em determinar quando produzir um lote de alto-falantes e quantos alto-falantes produzir em cada lote. Considere os custos: a) Cada vez que um lote é produzido, incorre-se em um custo de implantação de $
12.000. Esse custo inclui o custo de ferramental, custos administrativos, manutenção de registros e assim por diante. Note que a existência desse custo pede a produção de alto-falantes em grandes lotes.
b) O custo unitário de produção de um único alto-falante (excluindo os custos de implantação) é de $ 10, independentemente do tamanho do lote produzido.
c) A produção de alto-falantes em grandes lotes leva a um grande estoque. O custo de manutenção de estoque estimado de manter um alto-falante em estoque é de $ 0,30 por mês. Esse custo inclui o capital imobilizado em estoques. Já que o dinheiro investido em estoques não pode ser usado em outras formas produtivas, esse custo de capital consiste no retorno perdido (conhecido como custo de oportunidade), pois se deve renunciar a empregos alternativos do dinheiro. Os componentes do custo de manutenção de estoque incluem o custo de aluguem do espaço para armazenagem, o custo de seguro contra perda de estoques causada por incêdio, furto/roubo ou vandalismo, impostos sobre o valor dos estoques e o custo de pessoal que supervisiona e protege os estoques.
2- Em cada um dos seguintes casos não é permitida a falta, e o tempo de espera entre emitir o pedido e receber o material é 30 dias. Determine a política ótima de estoque e o custo associado por dia. a) K = $ 100; h = $ 0,05; D = 30 unidades por dia. b) K = $ 50; h = $ 0,05; D = 30 unidades por dia. c) K = $ 100; h = $ 0,01; D = 40 unidades por dia. d) K = $ 100; h = $ 0,04; D = 20 unidades por dia.
OBS.: Custo total de estoque por unidade de tempo associado = 𝑲
𝑸/𝑫+ 𝒉.
𝑸
𝟐
3- A Burger & Cia pede carne moída no início de cada semana para atender à demanda semanal de 300 kg. O custo fixo por pedido é de $ 20. Refrigerar e armazenar a carne custa cerca de $ 0,03 por kg por dia. Determine a política de estoque que a Burger & Cia deve usar, considerando o tempo de espera zero entre a emissão e o recebimento de um pedido.
4- Uma empresa estoca um item que é consumido à taxa de 50 unidades por dia. Custa à empresa $ 20 cada vez que um pedido é emitido. Uma unidade mantida em estoque durante uma semana custará $ 0,35. Determine a política ótima de estoque considerando um tempo de espera de uma semana.
82
UTFPR - Medianeira Pesquisa Operacional 1 Levi Lopes Teixeira
BIBLIOGRAFIA
-ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
-CARNIERI, C. e STEINER, M. T. A. Notas de aula da disciplina de Pesquisa Operacional I, do curso de Mestrado em Métodos Numéricos em Engenharia. UFPR, 2000.
-COLIN, E. C. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
-HILLIER, F. S. e LIEBERMAN, G. J. Pesquisa Operacional. São Paulo: McGraw-hill, 2006.
-SILVA, E. M., SILVA, E. M., GOLÇÁLVES, V., MUROLO, A. C. Pesquisa Operacional. São Paulo: Atlas, 1995.
-TAHA, H. A. Pesquisa Operacional. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
-YOSHIDA, L. K. Programação Linear. São Paulo: Atual, 1987.