Pensamento Matemático e Construção de Conceitos

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___________________________________________________Sumário

Aula 1 – Construção do Pensamento e Pensamento Matemático

Aula 2 – Construindo a Matemática

Aula 3 – O ensino da Matemática na Educação Infantil e o Currículo nos Anos

iniciais.

Aula 4 – Conceitos Matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental:

Números e Operações, Tratamento da Informação

Aula 5 – Conceitos Matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental:

Espaço e Forma, Grandezas e Medidas

Aula 6 – Resolução de Problemas

Aula 7 – Estatística

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____________________________________________________Apresentação

Longo é o caminho do ensino por meio de teorias;

breve e eficaz por meio de exemplos.

(Sêneca)

O ensino da Matemática vem sofrendo alterações ao longo das últimas décadas,

acompanhando as tendências de mudanças na educação em geral.

Este material foi elaborado com a intenção de acompanhar as novas tendências

da educação e do ensino da Matemática, privilegiando os aspectos psicológicos,

didáticos e formais, próprios desta disciplina.

A aula um traz uma discussão elaborada da construção do pensamento de

forma geral, e específica, do pensamento matemático. Isso nos dará o apoio teórico

para a discussão apresentada nas aulas que seguem. Na aula dois, procuramos

abordar a construção da Matemática nos seus aspectos histórico e metodológicos.

A abordagem feita na aula três é sobre a utilização do material concreto como

instrumento de ensino, para fundamentar, teoricamente, a construção dos quatro

blocos de conhecimento, definidos nos Parâmetros Curriculares Nacionais.

Nas próximas quatro aulas (quatro a sete), discutiremos os conceitos

matemáticos dos anos iniciais do Ensino Fundamental, distribuídos de acordo com os

blocos de conhecimentos trabalhados e os conteúdos do ensino da Matemática, com

uma abordagem atual e de acordo com as novas tendências do ensino da Matemática,

já discutidas ao logo de todas as outras aulas.

Bons Estudos!

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_________________________________________________Plano de Ensino

EMENTA

A construção do conhecimento matemático e o desenvolvimento do raciocínio

lógico. Retrospectiva histórica da Matemática e as novas tendências.

Objetivos do ensino da matemática. Reflexão sobre concepções de matemática

presentes na escola básica brasileira. Compreensão da Matemática como instrumento

de transformação e socialização do educando. Discussão e estudo de conceitos

matemáticos presentes no currículo da Educação Infantil e nos anos iniciais do Ensino

Fundamental. Geometria. A contribuição da estatística para os estudos em educação.

Métodos estatísticos.

OBJETIVO

• Problematizar a construção do conhecimento matemático na práxis pedagógica

do professor da Educação Básica.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

• Construção do pensamento no seu aspecto geral

• Construção do raciocínio lógico

• Autonomia do pensamento

• Aspectos históricos da Matemática

• Linhas metodológicas no ensino da Matemática

• Objetivos da Matemática

• O uso de material concreto no ensino da Matemática

• O currículo da Matemática nos Anos Iniciais

• Os quatro blocos de conhecimento definidos nos Parâmetros

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Curriculares Nacionais

• Números e operações

• Espaço e forma

• Grandezas e medidas

• Tratamento da informação

• Novas tendências no ensino da Matemática com o uso da resolução de

problemas

• O uso da estatística nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem & implicações no ensino e na

aprendizagem de matemática. 2. ed. Blumenau: Edfurb, 2004.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. 7. ed. São Paulo:

FTD, 2000. v. 8.

BRIZUELA, Bárbara M. Desenvolvimento matemático na criança: explorando

notações. Porto Alegre: Artmed, 2006.

CRESPO, A. A. Estatística fácil. 17. ed. São Paulo: Saraiva, 2000.

DANTE, Luís Roberto. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo: Ática,

2001.

PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de Matemática: da organização linear à

idéia de rede. São Paulo: FTD, 2000.

SMOLE, K. A Matemática na Educação Infantil: a teoria das inteligências

múltiplas na prática. Porto Alegre: Artmed, 2003.

______. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender

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matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

BORBA, Marcelo de Carvalho. Informática e educação matemática. 3. ed. Belo

Horizonte: Autêntica, 2005.

CARRAHER, Terezinha N. Aprender pensando. 15. ed. Petrópolis: Vozes, 2001.

______. Educação matemática 1: números e operações numéricas. São Paulo:

Cortez, 2006.

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_________________________________________________________AULA 01

Construção do Pensamento e Pensamento Matemático

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

• compreender, em práticas educativas, conhecimentos de processos de

desenvolvimento de crianças e adolescentes na dimensão cognitiva;

• elaborar sinteticamente esquemas sobre o pensamento matemático na

Educação Infantil e nos Anos iniciais do Ensino Fundamental.

Para um bom aproveitamento desta aula, é necessário que você volte ao

caderno de Psicologia do Desenvolvimento I e de Psicologia do Desenvolvimento II.

Nesses cadernos, discutem-se as fases e os processos de evolução cognitiva da

criança até os dez anos de idade, especialmente na perspectiva vygostkyana.

Essas premissas gerais serão muito importantes para você estudar a

complexidade do raciocínio humano, que evolui do real para o simbólico, da indução

para a dedução e da dependência de alguém que transmite saberes para a autonomia

de si mesmo enquanto produtor de conhecimento. Essa volta aos conhecimentos

prévios construídos em outros períodos será fundamental para você entender como o

pensamento matemático infantil se relaciona profundamente com o desenvolvimento

cognitivo geral do ser humano e com suas interações sociais. Todo educador, ao

planejar e executar suas ações, deverá levar em conta esses princípios básicos da

psicologia humana.

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O homem é um ser complexo (MORIN, 2000) e, como tal, suas produções são

igualmente complexas. Entre as diversas produções, pensar é a atividade mais

complexa e mais cercada por ambigüidades. Isso ocorre em decorrência do emprego

de símbolos e múltiplos signos para representar aspectos do ambiente físico e social. A

questão que tentaremos responder nesta aula é como compreender, explicar e utilizar

o pensamento humano, nas práticas educativas de crianças e jovens, desde a

educação infantil até os anos iniciais do Ensino Fundamental? Que dizer do

pensamento matemático? A construção do pensamento matemático, apesar de ser

também um processo contínuo, tem algumas características próprias, que serão

estudadas e discutidas nesta aula.

Quantas vezes já dissemos que não gostamos de matemática e que odiamos

fazer contas! Mas, ao fazermos esse tipo de afirmação, esquecemos de que, em nosso

subconsciente, estamos a todo instante processando operações matemáticas

complexas. Isso é fácil de perceber com um exemplo: ao atravessar uma rua qualquer,

olhamos para os dois lados, para não sermos atropelados. Nessa simples tarefa, nosso

cérebro processa inúmeros cálculos que nos permitem saber, por exemplo, com qual

velocidade devo atravessar a rua. Assim também ocorre com o pensamento das

crianças.

1.1 Relembrando como o Pensamento é Construído

Pensar? Isso parece ser tão fácil, não é? A cada dia realizamos dezenas de

atividades: cozinhamos, comemos, andamos de ônibus, bicicleta ou carro,

trabalhamos, elaboramos projetos e planos, etc. Mas será que sempre foi assim?

É claro que não. Aquilo que hoje parece muito corriqueiro é fruto de uma

intrincada elaboração cognitiva.

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Na estruturação do pensamento humano, como você aprendeu em Psicologia e

Filosofia, são envolvidas habilidades cognitivas que passam a adquirir maior grau de

complexidade, à medida que a criança cresce, relaciona-se e se apropria da

linguagem. A linguagem permite a construção de significados, tornando possível a

troca intersubjetiva e a participação social. Assim, a criança passa a produzir,

gradualmente, significados, classificações, inferências e analogias, que permitem sua

inserção no espaço social do mundo do adulto.

Além disso, a criança necessita da vivência consciente da experiência

(CARRAHER, 2001). Por exemplo, boa parte das crianças até os dois anos é fascinada

por buracos de tomada (essa de energia elétrica!). Por mais que os pais afirmem que é

ruim, que dá dodói, etc., ela parece estar encantada com a visualização, não

estabelecendo um significado para o objeto tomada. Depois de muitas manobras para

driblar os pais, a criança finalmente consegue: chega à tomada de energia e, de posse

de um grampo ou outro objeto metálico, toma a ação! Não é preciso dizer o que ocorre,

mas algo precisa ser dito: por mais que outros afirmem, expliquem e exemplifiquem, a

criança saberá realmente o que é uma tomada, somente após vivenciar e tomar

consciência das conseqüências de seu uso descabido. Somente após experimentar a

compreensão das relações e das experiências, surgem os significados que permitem

às crianças novas formas de ação e interação, ou seja, a construção do pensamento!

O pensamento da criança tem sua primeira base em inferências sem

consistência, resultantes de processos elementares de dedução e indução que, aos

poucos, vão assumindo maior grau de complexidade. Isso permite à criança

compreender as relações e as finalidades das coisas que, alimentadas pela curiosidade

infantil, intensificam a aprendizagem e permitem a paulatina construção de inferências

mais elaboradas e coerentes com sua inserção social. Em outras palavras: a criança

substitui, gradualmente, conexões imediatas e superficiais por relações complexas

mediadas por habilidades cognitivas consistentes, tais como: atenção, simbolização,

seleção, memória, transferência, avaliação, etc.

Essa substituição do imediato e superficial pelo complexo e permanentemente

em construção permite à criança sair do pensamento realista e momentâneo das

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situações externas até chegar, por intermédio da imaginação, da fantasia e do

raciocínio, a um pensamento criativo que vai além do imediato. Cada etapa percorrida

e conquistada nesse “desvendamento do mundo” implica transformação no processo

de articulação do pensamento (VYGOSTSKY, 1993).

1.2 O Pensamento e a Educação

A educação, como expressão da vontade humana de criar e preservar, é o meio

pelo qual tentamos perpetuar nossa existência, principalmente a social. As atividades

mentais são direcionadas para a manipulação e a produção de saberes que possam

contribuir para a sociedade. Ensinam-se às crianças percursos cientificamente aceitos

e integrantes do corpus do conhecimento humano.

Quando pensamos em resolução de problemas matemáticos, a situação não é

diferente. Assumimos um discurso educacional de que o aluno deve seguir um

processo pelo qual, partindo de princípios e evidências, chega a conclusões e constrói

novos caminhos e possibilidades de conhecimento (a esse propósito, você pode rever

os conceitos de dedução e indução no caderno de Filosofia da Educação do primeiro

período).

Partimos da premissa de que pensar criativamente, isto é, atribuir significados

novos a situações investigadas, é algo natural para os alunos. Criamos a imagem de

que eles têm autonomia suficiente para a realização de atividades básicas.

Isso principalmente ocorre no quarto e quinto ano do Ensino Fundamental.

Qual o problema disso? O professor sente-se à vontade para não investir na

tarefa de ensinar a pensar. Em outras palavras: o professor supõe que, já que a criança

passou pela educação infantil e pelos anos anteriores do Ensino Fundamental, está

habilitada a ter certas competências e habilidades. Esse é um engano. Nós adultos não

conseguimos fazer isso de forma plena, mesmo quando já temos todas as nossas

estruturas mentais razoavelmente exercitadas e desenvolvidas!

O professor precisa compreender o processo infantil de construção não apenas

de conteúdos e conhecimentos, mas da própria capacidade racional de autocrítica,

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principalmente quando falamos de educação infantil e anos iniciais do Ensino

Fundamental. Autocrítica é a capacidade de o aluno reconhecer-se como sujeito em

construção e, como tal, compreender que essa construção é permanente e sujeita a

erros, durante todo e qualquer processo de investigação.

O aluno da educação infantil e dos anos iniciais do Ensino Fundamental deve

perceber, graças à mediação do professor, que a construção do pensamento, apesar

da ordem cientificamente aceita, não é absoluta. Existem outros caminhos a serem

descobertos pelo exercício autônomo do pensamento.

É a autonomia que Freire (1999) afirma como cerne da emancipação do ser. No

processo educacional, deveríamos perseguir a capacidade de vislumbrar múltiplos

caminhos na atividade reflexiva humana, principalmente ao se tratar de operações

matemáticas. Smole (2003, p. 65-66), ao falar da dificuldade do uso da linguagem

matemática, afirma que ao exigir da criança uma linguagem que consideramos

adequada e precisa, corremos o risco de impedir que algumas tenham acesso ao

“sentido” dos enunciados matemáticos, sentido este que se constrói a partir de uma

linguagem aproximada, em um trabalho em que o importante é articular significações,

ligar etapas do pensamento. [...] Podemos tentar criar apelidos quando nos referimos a

noções ou termos matemáticos e nem por isso eles se tornarão mais simples; de

pouco, ou de nada, adianta o professor dizer “escorrega” ou “empresta” quando, por

exemplo, refere-se ao processo de trocas de dez unidades por uma dezena se o aluno

não conseguir a compreensão das regras que constituem o sistema de numeração

decimal.

Observamos que a construção do pensamento é uma situação complexa.

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Quando aplicada à matemática, essa construção tende a ser ainda mais difícil,

principalmente pela abstração de seus conceitos. Na próxima aula, continuaremos a

pensar sobre o pensar, focando mais intensamente a idéia da matemática.

1.3 A Construção do Pensamento Matemático

Não podemos dissociar a construção do pensamento matemático do próprio

desenvolvimento psicológico da criança. A maturidade do pensamento matemático só

poderá ser atingida de acordo com o desenvolvimento psicológico.

Como comentamos na introdução desta aula, o pensamento matemático

acontece por meio de uma evolução lógica, associada ao desenvolvimento mental.

Assim, segundo a teoria cognitiva desenvolvida por Piaget (1896–1980), existem

estágios evolutivos do pensamento matemático associados ao desenvolvimento

mental.

No primeiro estágio, sensório-motor, a partir dos dois anos de idade, descobrem-

se os símbolos para dar sentido àquilo que está ausente. É a fase do egocentrismo: a

criança ainda não consegue transpor as experiências vividas em pensamento.

No segundo estágio, pré-operatório, a criança passa a ter pensamentos lógicos

mais elaborados, mesmo que ainda relacionados com a experiência vivida, como

acontece com crianças no primeiro ano do Ensino Fundamental (BRIZUELA, 2006).

No último estágio, operatório-formal, na adolescência, o jovem é capaz de

abstrair as experiências concretas e formular hipóteses.

Por que descrever os estágios de desenvolvimento segundo a teoria de Piaget?

Qual é a relação dessas fases de desenvolvimento com a construção do pensamento

matemático? A resposta a essas perguntas não é simples.

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As estruturas mentais têm um padrão de funcionamento lógico, com etapas

sucessivas e diversificadas. Uma dessas etapas, segundo Piaget (1983), ocorre por

meio da interação entre a criança e o meio que proporciona condições favoráveis à

construção do conhecimento. A construção do pensamento matemático não ocorre de

forma individual e sim por meio de trocas entre os membros de um grupo.

No pensamento matemático, o aprendizado da criança está relacionado com as

etapas do seu desenvolvimento, pois o que ela pode aprender na próxima etapa será

determinado pelo que ela aprendeu na anterior. Assim é possível prever o que ela pode

fazer em cada etapa.

A escolha de conteúdos, competências e habilidades a serem trabalhados em

cada etapa pode contribuir, então, para o sucesso ou o fracasso de uma criança. Toda

construção de conhecimento matemático supõe a existência de conhecimentos

empíricos prévios. Somente no fim do Ensino Fundamental, o jovem desenvolve sua

capacidade de abstração e a possibilidade de usar o pensamento formal.

A escola precisa, também, desenvolver no aluno um pensamento autônomo,

para permitir-lhe aprender a aprender e aprender a pensar, em qualquer tipo de

situação com que possa se deparar futuramente.

Vimos que, em Piaget (1973), o pensamento matemático evolui por estágios

bem definidos, passando, primeiramente, por atividades sensório-motoras com objetos,

até chegar ao pensamento abstrato e formal. Ao longo desse percurso, o meio social

desempenha um papel de primeira ordem para o desenvolvimento do pensamento

infantil. Devido a tudo isso, o pensamento matemático não pode ser

ensinado/transmitido por repetição ou verbalização, pois ele é o resultado de uma

construção reflexiva da criança, baseada na experiência concreta do mundo.

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Na complexidade do ser humano, uma das atividades de mais difícil explicação

é o raciocínio. Ao começar seu processo de construção racional, a criança precisa

desenvolver uma consciência reflexiva de suas interações com o meio. Por meio de

operações indutivas e dedutivas de seleção, avaliação, simbolização, transferência,

etc., a criança atribui significados aos dados da realidade e à intrigada malha de

relações e finalidades. O desvendamento do mundo desloca-se de uma posição

realista e imediata para uma dimensão simbólica e mediata.

A educação, entre outras coisas, busca preservar a produção de saberes

significativos. Com esse intento, a escola transmite linhas bem-sucedidas de raciocínio

humano, convencionadas por determinada cultura. Mas o pensamento humano, mais

do que ser transmitido, precisa ser engendrado no próprio sujeito.

A escola, portanto, tem a árdua tarefa de propiciar ao aprendiz condições

favoráveis para o exercício autônomo do seu raciocínio.

A construção do pensamento matemático infantil ocorre em sinergia com seu

desenvolvimento cognitivo geral e com suas interações com o meio. Inicialmente, o

pensamento da criança se mantém extremamente aderente à sua experiência

concreta. Só na adolescência, atinge-se um estágio formal e abstrato. Ao escolher

conteúdos, competências e habilidades para os anos iniciais do Ensino Fundamental, o

educador deve levar em conta essa progressão do concreto para o abstrato, a fim de

propiciar uma progressiva autonomia no raciocínio de seu aluno.

BRIZUELA, Bárbara M. Desenvolvimento matemático na criança: explorando

notações. Porto Alegre: Artmed, 2006.

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CARRAHER, Terezinha N. Aprender pensando. 15. ed. Petrópolis: Vozes, 2001.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1999.

MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro. São Paulo:

Cortez, 2000.

PIAGET, Jean. A epistelomogia genética: sabedoria e Ilusões da filosofia;

problemas de psicologia genética. In: Piaget. São Paulo: Abril, 1983.

______. Biologia e conhecimento. Petrópolis: Vozes, 1973.

SMOLE, K. A matemática na Educação Infantil: a teoria das inteligências

múltiplas na prática. Porto Alegre: Artmed, 2003.

VYGOTSKY, L. S. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1993.

Conheceremos o desenvolvimento do pensamento matemático ao longo da

história do homem, partindo da descoberta da escrita, e as linhas metodológicas e

estratégias de ação, alinhadas às novas tendências do ensino da matemática.

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________________________________________________________AULA 02

Construindo a Matemática

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

• conhecer o desenvolvimento do pensamento matemático ao longo da história

do homem, partindo da descoberta da escrita;

• apresentar conhecimentos básicos sobre as linhas metodológicas e estratégias

de ação, alinhadas às novas tendências do ensino da matemática.

Para um bom aproveitamento desta aula, é necessário que você volte à

discussão proposta na aula anterior sobre a evolução do pensamento matemático

infantil. De fato, observamos um paralelismo interessante entre a evolução da criança e

a da humanidade, quanto à passagem do concreto para o abstrato. Como vimos na

aula um, inicialmente os homens primitivos representavam objetos por meio de outros

objetos, até progredir para uma formalização numérica da realidade. Surgiram assim os

sistemas numéricos dos hindus, dos egípcios e dos romanos. Esse caminho histórico

da humanidade, como veremos aqui, repropõe-se de alguma forma nos processos de

simbolização do real que a criança elabora ao longo de seu crescimento cognitivo.

Também discutiremos aqui algumas estratégias de ensino e aprendizagem da

matemática, como a resolução de problemas, a origem histórica de princípios e

procedimentos, a aplicação de novas tecnologias da informação e o estudo de

estratégias informais de construção de problemas, praticadas em nível universal ou

regional (etnomatemática). Cada uma dessas linhas metodológicas deve ser utilizada

pelo educador no tempo certo e, para fazer a escolha mais adequada, é necessário,

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então, conhecer as peculiaridades cognitivas de cada etapa do crescimento de nossos

alunos.

Falar de matemática e de pensamento matemático é algo complexo. Mais ainda

quando se tem como interlocutor um pedagogo que não possui conhecimentos

especializados na área de ciências exatas. Para ajudar você, futuro educador dos anos

iniciais do Ensino Fundamental, faremos um breve passeio pela história da

Matemática. Avançaremos gradativamente com a evolução histórica do conhecimento

matemático, para podermos chegar à matemática dos nossos dias. Na construção

desta aula, trabalharemos também com as novas tendências do ensino da Matemática.

2.1 A gênese e a História da Matemática

Os primeiros povos viviam caçando animais selvagens e colhendo frutas que

cresciam de forma espontânea. Habitavam, em geral, em espaços abertos ou em

cavernas. Eram verdadeiros nômades que se deslocavam constantemente de um lugar

para outro à procura de alimentos.

A matemática é uma das ciências mais antigas, remontando à épocas antigas,

fruto dos primeiros esforços do homem para representar números e formas, na

resolução de seus problemas de sobrevivência, no meio hostil em que vivia.

O conceito de número e o processo de contar desenvolveram-se antes dos

primeiros registros históricos (temos evidências de que o homem é capaz de contar há

mais de 50.000 anos). A maneira mais antiga de contar baseava-se em alguns

métodos de registro simples, como: ranhuras no barro ou em rochas, entalhes em

pedaços de madeira ou de ossos (EVES, 2004).

2.2 O Número Concreto

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O número não apareceu de repente por obra de uma única pessoa. Com a

necessidade de contar os animais de suas caças e seus rebanhos, o homem primitivo

utilizava objetos como pedras, nós em cordas, marcas em ossos e em madeiras. Com

o passar do tempo, esse sistema foi se aperfeiçoando até dar origem aos números

(EVES, 2004). Mas, antes de chegar ao sistema numérico atual, vamos repassar

algumas etapas dessa evolução.

2.3 Começando a Contar

O homem vivia em pequenos grupos, morando em savanas e cavernas,

protegendo-se dos animais selvagens e das chuvas. Naquela época, o homem se

alimentava com o que a natureza oferecia (caças, frutos e sementes).

Posteriormente, descobriu o fogo, aprendeu a cozinhar os alimentos e a se

proteger melhor do frio e dos animais selvagens.

Ao longo das eras, o homem começou a modificar seu sistema de vida. Da caça

e da coleta de frutos e raízes, passou a cultivar plantas e criar animais. Era o início da

agricultura. Com isso, o homem começava a tornar mais estável sua moradia,

principalmente à margem de rios, não tendo mais necessidade de se deslocar de um

lugar para o outro, como nômade (EVES, 2004).

Começaram a ser desenvolvidas novas habilidades: construção de moradias,

criação de animais, produção de ferramentas. Surgiram as primeiras comunidades

organizadas, com lideranças e divisão dos trabalhos.

Para pastorar os rebanhos, relacionava-se cada ovelha a uma pedra que era

colocada em um saco. Assim haveria certeza de que todo o rebanho estaria de volta ao

final do dia. Os primeiros pastores jamais poderiam imaginar que, milhares de anos

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mais tarde, haveria um ramo da matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer

contar com pedras (EVES, 2004).

2.4 A Idéia de Número

Utilizando objetos para contar outros objetos, o homem começou a construir o

conceito de número. Para o homem primitivo, o número cinco era muito importante,

pois relacionava a esse número os dedos das mãos. Assim, para contar objetos e

animais, os pastores os separavam sempre em grupos de cinco (EVES, 2004).

Do mesmo modo, os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos

na madeira ou fazendo nós em corda, também de cinco em cinco.

Com a socialização do conhecimento em comunidades e aldeias às margens de

rios e savanas, em contextos sociais sempre mais complexos, o homem primitivo

começou a desenvolver o uso de armas e ferramentas.

Novas atividades iam surgindo, graças, sobretudo, ao desenvolvimento do

comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em grandes quantidades,

muito além de suas necessidades individuais e familiares. Com isso, algumas pessoas

puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes,

sacerdotes ou administradores.

Como conseqüência desse desenvolvimento, surgiu a escrita. Foi assim que

estudiosos do antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma

coleção, por meio de desenhos ou símbolos. A criação dos símbolos foi um passo

muito importante para o desenvolvimento da matemática.

2.5 O Sistema de Numeração Indo-arábico

O sistema de numeração que usamos tem esse nome devido aos hindus que o

inventaram e aos árabes que o divulgaram. Não se sabe ao certo como e quando

esses novos símbolos entraram na Europa Ocidental. Provavelmente foi por intermédio

de comerciantes árabes (EVES, 2004).

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Os hindus utilizavam apenas nove sinais para representar os números e fazer os

cálculos, e não conheciam o número zero.

A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia ocorreu no

fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo

chegasse à Europa.

Com a introdução do décimo sinal, o zero, o sistema de numeração, assim como

o conhecemos hoje, estava completo. Até chegar aos números que você aprendeu a

ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus sofreram várias mudanças. Hoje,

esses símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.

Agora já sabemos o porquê.

Os egípcios usavam sete números-chave. Como funcionava? Um traço vertical

representava uma unidade. Um osso de calcanhar invertido representava o número 10.

Um laço valia 100 unidades. Uma flor de lótus valia 1.000. Um dedo dobrado valia

10.000. Com um girino, os egípcios representavam 100.000 unidades. Uma figura

ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000.

Todos os demais números eram grafados combinando os números-chave. Na

escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito

importante. Mas, para os egípcios, isso não tinha a menor importância: eles escreviam

seus números sem preocupar-se com a posição dos símbolos.

2.6 O Sistema de Numeração Romano

Os romanos adotaram uma representação numérica própria, por meio de sete

letras-chave. Os algarismos romanos têm certa limitação em cálculos e

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representações, mas para sua época eram suficientes. As sete letras usadas pelos

romanos eram as seguintes:

I – tinha valor de 1

V – valia 5

X – representava 10 unidades

L – indicava 50 unidades

C – valia 100

D – valia 500

M – valia 1.000

Quando apareciam números iguais em sucessão, os romanos somavam seus

valores:

II = 1 + 1 = 2

XX = 10 + 10 = 20

XXX = 10 + 10 + 10 = 30

Quando dois números diferentes vinham juntos e o menor estava posicionado

antes do maior, subtraíam o número menor ao número maior.

IV = 4 porque 5 – 1 = 4

IX = 9 porque 10 – 1 = 9

XC = 90 porque 100 – 10 = 90

Mas, se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os valores dos

dois números.

VI = 6 porque 5 + 1 = 6

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XXV = 25 porque 20 + 5 = 25

XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36

LX = 60 porque 50 + 10 = 60

Com esse tipo de numeração, era difícil efetuar cálculos. Por isso, matemáticos

de todo o mundo buscavam incessantemente símbolos mais simples e mais

apropriados, para representar e efetuar cálculos matemáticos. Na Índia, ocorreu uma

das mais notáveis invenções da história da matemática, o sistema de numeração

decimal. Apesar disso, em alguns casos, ainda hoje utilizamos os números romanos

para representar determinada época histórica.

2.7 Linhas Metodológicas e Estratégias para os Anos Iniciais

Para ensinar matemática, não existe um só caminho (BRASIL, 1997). Portanto é

necessário conhecer diversas linhas metodológicas, para que o professor construa sua

prática de uma maneira mais prazerosa e eficaz.

2.7.1 A Resolução de problemas

Recentemente vem sendo discutida a resolução de problemas como estratégia

de ensino e aprendizagem da matemática.

A história da matemática é constituída por uma sucessão de problemas práticos

(divisão de terra, cálculo de créditos, problemas físicos e astronômicos) que exigiram

do homem respostas concretas e eficazes.

Problema matemático é uma situação em que precisamos de uma seqüência de

ações ou operações para obter um resultado. A solução não está disponível de início, é

necessário construí-la.

Resolver um problema não se resume a dar respostas, mas em compreender o

que foi proposto e formular novos questionamentos. O fato de que o aluno seja

estimulado a questionar seus próprios resultados, transformando uma solução em uma

fonte de novos problemas, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem que

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não visa à mera resolução, mas à construção de novos conhecimentos (NUNES,

2006).

2.7.2 A história da Matemática

A história da Matemática representa um recurso metodológico que pode oferecer

uma importante contribuição no processo de ensino e aprendizagem. Ao mostrar a

matemática como criação humana, o professor tem a possibilidade de desenvolver no

aluno atitudes e valores mais favoráveis ao estudo da Matemática.

Os conceitos, abordados em conexão com sua história, constituem veículos de

informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo.

Por isso, a história da matemática é um instrumento de resgate da própria

identidade cultural. Em muitas situações, esse recurso pode esclarecer idéias

matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno e contribuir para a constituição de

um olhar mais crítico sobre os objetivos do conhecimento.

2.7.3 As tecnologias da informação

Com o avanço das novas tecnologias, faz seu ingresso na escola mais um

desafio: incorporar à exposição de conteúdos tradicionais novas formas de

comunicação.

Estudos e experiências valorizam o uso da calculadora em sala de aula, como

um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensino da matemática.

Ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas

exploratórias de investigação, para a verificação de resultados, correção de erros,

podendo ainda ser um instrumento de auto-avaliação. Enquanto recurso didático-

tecnológico, o computador é um instrumento que oferece versatilidade ao processo de

ensino e aprendizagem da matemática, seja pela sua destacada presença na

sociedade moderna, seja por suas possibilidades de aplicação.

23

Embora os computadores ainda não estejam disponíveis em todas as escolas,

eles já começam a integrar muitas experiências educacionais, prevendo-se, em curto

prazo, uma utilização crescente.

O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino (banco de

dados, elementos visuais), mas também como fonte de aprendizagem e como

ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho com o computador pode

ensinar o aluno a aprender com seus erros e a aprender junto com seus colegas,

trocando suas produções e comparando-as.

2.7.4 Os Jogos

O jogo pode ser útil na construção da aprendizagem, criando um ambiente

agradável e instigante de investigação e exploração. Além de ser um objeto sócio-

cultural em que a matemática está presente, o jogo é uma atividade natural no

desenvolvimento dos processos psicológicos básicos. Representa uma atividade sem

obrigação externa, embora demande exigências, normas e controle. No jogo, mediante

a articulação entre o conhecido e o imaginado, desenvolve-se o auto-conhecimento

(quais são meus limites?) e o conhecimento dos outros (o que posso esperar dos

outros e em que circunstâncias?). Por isso é importante que os jogos façam parte da

cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa de

cada jogo e o aspecto curricular que se deseja desenvolver.

2.7.5 A Etnomatemática

Desde o fim do século XIX, os etnógrafos já utilizavam o termo Etnociência e

conceitos com ele relacionados, como Etnolinguística, Etnobotânica, Etnozoologia,

Etnoastronomia, etc., com concepções bem diferentes das que hoje utilizamos para a

Etnomatemática.

A Etnomatemática valoriza os diferentes grupos culturais, levando em

consideração os conceitos informais construídos pelos alunos, por meio de suas

experiências fora do contexto da escola. Pode ser ponto de partida para o ensino

formal.

24

2.7.6 O cálculo mental

Os procedimentos de cálculo mental constituem a base do cálculo aritmético que

se usa no cotidiano.

De forma simples, pode-se dizer que se calcula mentalmente quando se efetua

uma operação, recorrendo-se a procedimentos confiáveis, sem os registros escritos e

sem a utilização de instrumentos. A adição entre 43.000 e 19.000 pode ser calculada

de formas diferentes como, por exemplo:

O cálculo mental apóia-se na existência de diferentes maneiras de calcular e na

possibilidade de escolha da maneira que se adapta melhor a uma determinada

situação, em função dos números e das operações envolvidas. Assim, cada situação

de cálculo constitui-se um problema aberto que pode ser solucionado de diferentes

maneiras, recorrendo-se a procedimentos originais para chegar ao resultado.

No cálculo mental, a reflexão centra-se no significado dos cálculos

intermediários, e isso facilita a compreensão das regras do cálculo escrito. O exercício

e a sistematização dos procedimentos de cálculo mental, ao longo do tempo, levam-no

a ser utilizado como estratégia de controle do cálculo escrito.

Todas as tendências aqui estudadas fazem parte de uma importante mudança

ocorrida aqui no Brasil em relação ao ensino da matemática, que é a Educação

Matemática, que vem cada vez mais atraindo novos estudiosos, com o objetivo de

mudar o quadro atual do ensino da matemática em nosso país.

25

Entre os povos primitivos, a matemática surgiu como recurso para contar caças

e rebanhos ou para medir terrenos. De um estágio primitivo, em que o homem

representa objetos por meio de outros objetos, passa-se a um tipo de representação

numérica da realidade.

Vários sistemas formais foram desenvolvidos ao longo da história. Os hindus

criaram e os árabes divulgaram um sistema com símbolos básicos (de zero a nove),

cuja composição permite a representação dos números além do nove (trata-se do

sistema que nós utilizamos hoje); os egípcios usavam um sistema com sete símbolos

que representavam os números 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000; os

romanos adotaram um sistema com sete letras-chave (para representar os números 1,

5, 10, 50, 100, 500 e 1.000) e algumas regras combinatórias para representar os

demais números.

Você também teve a oportunidade de refletir sobre algumas estratégias de

ensino e aprendizagem da matemática. Entre elas, vimos a aplicação da matemática

na resolução de problemas do dia-a-dia do aluno; a contextualização histórica dos

conteúdos matemáticos propostos (como surgiram, quem os adotou inicialmente, que

evolução tiveram ao longo da história), para que o aluno compreenda que muitos

conceitos por ele considerados demasiadamente abstratos e alheios à realidade, por

vezes, são procedimentos resolutivos de problemas práticos; o uso de novas

tecnologias da informação, que permitem uma maior rapidez no processamento de

informações; o uso de jogos, que permite uma aprendizagem mais prazerosa; o estudo

das estratégias informais de construção de problemas adotadas por uma determinada

comunidade ou cultura local (etnomatemática); e, enfim, o uso de estratégias informais

de cálculo (como é, por exemplo, o cálculo mental), como ponto de partida para o

ensino formal e sistematizado da Matemática.

26

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental.

Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática. Brasília, 1997.

EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.

NUNES, Terezinha et al. Educação matemática 1: números e operações

numéricas. São Paulo: Cortez, 2006.

USP On-line. História da Matemática. Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/

licenciatura/2003/hm/page03.htm>. Acesso em: 20 jun. 2007.

Veremos como o ensino da matemática na educação infantil e o currículo nos

anos iniciais são afetados pelo pensamento matemático. Para isso, compreenderemos

o ensino da matemática na educação infantil, desenvolvendo situações didáticas com

material concreto e retomaremos os PCN.

27

________________________________________________________AULA 03

O ensino da Matemática na Educação Infantil e o Currículo nos Anos

Iniciais

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

• compreender o ensino da matemática na educação infantil, desenvolvendo

situações didáticas com material concreto;

• analisar os quatro blocos de conhecimento dos Parâmetros Curriculares

Nacionais (PCN), a saber: números e operações; espaço e forma; grandezas e

medidas; tratamento das informações.

Para um bom aproveitamento desta aula, é necessário que você leve em

consideração a teoria das inteligências múltiplas de Gardner. As matrizes gardnerianas

aplicadas à formação infantil dialogam com a leitura de mundo de Paulo Freire: as

representações fonográfica e numérica do mundo são aplicações complexas de

inteligências diversificadas que a criança põe em ato ao sistematizar a realidade que

vai descobrindo. É possível também um diálogo muito proveitoso entre Gardner e

Piaget, no sentido de as diferentes inteligências da criança poderem ser ativadas e

desenvolvidas, apenas a partir de um trabalho pedagógico pautado em experiências e

materiais concretos.

Também trabalharemos as concepções, conteúdos e objetivos do ensino da

matemática na educação infantil e nos primeiros anos do Ensino Fundamental.

28

Para você acompanhar nossas análises, precisa conhecer o texto original dos

PCN, disponível no sítio <http://www.mec.gov.br/sef/estrut2/pcn/pcn1a4>. asp. Entre as

orientações educacionais nacionais, compete ao educador selecionar as que de fato

podem contribuir mais eficazmente ao desenvolvimento cognitivo, humano e ético de

seus alunos.

Compreender e pensar a matemática, como vimos nas aulas anteriores, não é

uma atividade fácil. Na verdade é um espaço de múltiplas visões. Nesse sentido,

tencionamos discutir alguns elementos problematizadores dessa prática e sugerir a

utilização do material concreto, como ponto de partida para uma prática de matemática

na educação infantil.

Quanto ao currículo, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o ensino

de matemática são uma ferramenta importante para o professor.

Obviamente, por si só, eles não garantem eficácia no ensino, mas, agregados a

outras teorias e metodologias, podem auxiliá-lo na difícil jornada da compreensão da

matemática pelas crianças. Nesta aula, veremos os quatro blocos de conhecimento dos

Parâmetros Curriculares Nacionais, em linhas gerais e, posteriormente, destinaremos

aulas a eles.

3.1 Algumas Questões

Trabalhar matemática na educação infantil? Sim, isso é necessário! Mas que

matemática deve ser trabalhada? Essa é uma questão muito complexa.

Vamos partir da noção de alfabetização para compreender por que a

matemática deve ser ensinada na educação infantil. Partiremos de algumas idéias

basilares na educação infantil.

29

O que é alfabetizar? De forma ampla, podemos afirmar que é a apropriação de

formas de leitura do mundo em que incluímos a palavra escrita, a observação e a

quantificação do mundo que está em torno da criança, a historicidade que passa a ser

construída e, nesse sentido, a apropriação do tempo e espaço. A matemática e o

conhecimento que ela produz são, assim, elementos que estão dentro desse conceito

de alfabetização, em sentido amplo, não podendo ficar isolada aos anos iniciais do

Ensino Fundamental.

Pelo próprio desenrolar do conhecimento estruturado do homem, acreditamos

que a criança constrói suas bases de entendimento do conhecimento, a partir dos

problemas impostos pelo próprio tempo e espaço em que ela vive e, na inter-relação

com outras crianças e adultos, ela passa a se constituir em ser pensante (PIAGET,

1971).

Em outras palavras: a criança desenvolverá suas estruturas de pensamento e de

solução de problemas, à medida que interagir com o mundo e fornecer respostas,

mesmo que provisórias, pelas limitações de sua faixa etária.

Isso se dá com a matemática também. A criança (na creche e na pré-escola), ao

interagir com situações concretas, construirá conceitos provisórios que permitirão dar

respostas às demandas impostas. Por exemplo, na vivência de situações concretas, a

criança, construindo seu próprio brincar, poderá entender o agrupamento de objetos

por semelhança, fazer classificações simples, comparar tamanhos (maior/menor/igual),

estabelecer diferenças entre cores.

É importante frisarmos que isso acontece mediado pela ação docente, mas não

exclusivamente por ela. Todos os espaços que a criança percorrer permitirão a

educação de seus sentidos. Porém, quando mediada pelo professor, a educação deve

privilegiar os âmbitos de experiência próxima da criança, tais como a descoberta de si

mesma, a descoberta do meio social em que está se inserindo e a intercomunicação

com outros por meio das diversas linguagens (BASSEDAS; HUGUET; SOLÉ, 1999).

É iniciado na infância e, depois por toda a vida, devido às novas experiências, a

constante mudança de conceitos. Sobre a mudança nos conceitos, Deleuze e Gatarri

30

(1992, p. 33-34) afirmam que o conceito é, portanto, ao mesmo tempo absoluto e

relativo: relativo a seus próprios componentes, aos outros conceitos, ao plano a partir

do qual se delimita , aos problemas que se supõe deva resolver, mas absoluto pela

condensação que opera, pelo lugar que ocupa sobre o plano, pelas condições que

impõe ao problema.

É absoluto como todo, mas relativo enquanto fragmentário.

Como professor, é importante que se reconheça a dupla existência dos

conceitos na educação infantil: o conceito é uma amálgama de absoluto e relativo,

sendo facilmente perceptível na ação diária com as crianças. Por exemplo, uma criança

pode brigar insistentemente com outra por um brinquedo, fazendo um grande

escândalo, para, segundos depois, jogar seu brinquedo para o lado!

Quanta mudança de conceito: o brinquedo era o objeto de desejo, e possuí-lo,

para a criança, era essencial; segundos depois, torna-se desprezado.

Em nosso mundo adulto, de conceitos mais bem elaborados e rígidos,

chamaríamos isso de desejo, mas podemos chamar de construção de conceito – do

conceito de querer e do exercício da manobra e da troca. Tudo isso presente em uma

simples briga na sala de aula!

A matemática se alimenta disso também. É por meio do brincar, do brigar, do

trocar, do tocar, do chorar, do abraçar que a criança pode perceber relações de forma,

de cor, de sentido, de proporção, entre outras. Como aproveitar esse espaço tão rico

em aprendizado? Sugerimos o uso do material concreto como possibilidade. Vamos a

ele?

3.2 O Material Concreto como Ponto de Partida

Piaget (1970) recomenda trabalhar com materiais concretos, pois, segundo ele,

a criança somente é capaz de pensar representações mentais de objetos concretos

com que tem contato em determinada fase da sua vida. Por esse motivo, é de

fundamental importância oferecer à criança a possibilidade de manipular diversos

materiais: calendários, músicas que veiculam séries numéricas, etc.

31

Segundo Bruner (1995), o primeiro passo quando a criança tenta entender um

objeto é tentar compreender como funciona. Dessa forma, são criadas sucessivas

imagens do objeto. Utilizando o concreto, inicia-se a criar representações relacionadas

à sua funcionalidade.

O que a teoria piagetiana diz, no entanto, é que, além dos fatores sociais (escola

e meio ambiente), há fatores biológicos ligados ao amadurecimento da criança, que

limitam a passagem da fase concreta para a icônica e a simbólica.

A escolha do melhor procedimento e a análise das suas limitações deve ser

resultante da experiência do professor em situações de aprendizado similares.

O termo concreto geralmente é utilizado por muitos educadores como sinônimo

de manipulável. O professor deve reconhecer quando o concreto é referente ao

material manipulável e quando o concreto se refere a uma situação intimamente ligada

ao dia-a-dia da criança.

3.2.1 Sugestões de como utilizar corretamente o material concreto (manipulável)

em sala de aula

O uso do material concreto deve ser previsto, no início do ano, determinando os

conteúdos que serão trabalhados e quais serão os benefícios recebidos com seu uso.

Veja algumas recomendações a seguir.

• Utilize o mesmo material concreto para diversas atividades e possivelmente

para diversos anos diferentes. O que muda são os objetivos e a complexidade das

atividades.

• Permita que a turma se familiarize com o material. O ideal é que cada um

tenha o seu ou que se formem pequenos grupos. O tamanho dos grupos pode variar

conforme a atividade prevista.

• É importante salientar que a situação-problema deve ter significado para o

aluno, estimulado-o a resolvê-la.

32

• Durante as atividades com material concreto, a turma tende a ficar mais

agitada. Isso é positivo, pois provoca o surgimento e a troca de conhecimento.

• Observe bem as crianças para que possa perceber o raciocínio de cada uma.

Tente seguir sua linha de raciocínio, ajudando-as a encontrar as respostas.

• Para perceber se o aluno está aprendendo, além da observação apurada, é

importante que se peça o registro das atividades realizadas e das conclusões.

Como salientamos no início, trabalhar com materiais concretos é uma sugestão

para o desenvolvimento de atividades matemáticas com crianças, na educação infantil,

mas não pára aí. Outras atividades que envolvem cores, fragrâncias e formas podem

ser utilizadas, desde que o professor elabore seu planejamento de forma a saber o

porquê da utilização desses recursos.

Em nossa próxima aula, lançaremos um olhar sobre o currículo de matemática

nos anos iniciais e nos grandes blocos de conhecimento que os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN) apontam.

3.3 O Currículo e os Anos Iniciais

Veremos nessa parte, cinco aspectos relacionados ao currículo nos anos

iniciais, importantes na compreensão do pensamento matemático:

• seleção de conteúdos

• números e operações

• espaço e forma

• grandezas e medidas

• tratamento da informação

Vamos compreender cada um deles?

3.3.1 Seleção de conteúdos

33

Segundo os PCN, os currículos de Matemática para o Ensino Fundamental

devem contemplar áreas diversas, a saber: o estudo dos números e das operações (no

campo da aritmética e da álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da

geometria) e o estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre

os campos da aritmética, da álgebra e da geometria).

Os objetivos do ensino da matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental

são importantes e, segundo os PCN (BRASIL, 1997), devem:

• identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e

transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico

da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de

investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;

• fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos, do

ponto de vista do conhecimento, e estabelecer o maior número possível de relações

entre eles, utilizando, para isso, o conhecimento matemático (aritmético, geométrico,

métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); selecionar, organizar e

produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente;

• resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados,

desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição,

analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como

instrumentos tecnológicos disponíveis;

• comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar

resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da

linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações

matemáticas;

• estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre

esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares;

• sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos

matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções;

34

• interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na

busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou

não, na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e

aprendendo com eles.

O desafio que se apresenta é o de identificar, dentro de cada um desses vastos

campos, de um lado, quais conhecimentos, competências, habilidades e valores são

socialmente relevantes; de outro, em que medida contribuem para o desenvolvimento

intelectual do aluno, ou seja, na construção e coordenação do pensamento lógico-

matemático, da criatividade, da intuição, da capacidade de análise e de crítica, que

constituem esquemas lógicos de referência para interpretar fatos e fenômenos.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais, para os anos iniciais do Ensino

Fundamental, dividem os conteúdos em quatro blocos: números e operações; espaço e

forma; grandezas e medidas; tratamento das informações.

3.3.2 Números e operações Os conhecimentos numéricos são construídos e

assimilados pelos alunos, num processo dialético, em que intervêm como instrumentos

eficazes para resolver determinados problemas e como objetos que serão estudados,

considerando-se suas propriedades, relações e o modo como se configuram

historicamente.

Nesse processo, o aluno perceberá a existência de diversas categorias

numéricas criadas em função de diferentes problemas que a humanidade, desde os

primórdios da civilização, teve de enfrentar

— números naturais, números inteiros positivos e negativos, números racionais

(com representações fracionárias) e números irracionais. À medida que se deparar com

situações-problema

— envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e

radiciação

—, ele irá ampliando seu conceito de número.

35

Em relação às operações, o trabalho a ser realizado se concentrará na

compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes

entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando diferentes tipos

— exato e aproximado, mental e escrito.

Embora, nos anos iniciais, já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é

especialmente nos anos finais do Ensino Fundamental que os trabalhos algébricos

serão ampliados. Trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá

diferentes funções da álgebra (como criar modelos, resolver problemas aritmeticamente

insolúveis, demonstrar), representando problemas por meio de equações (identificando

parâmetros, variáveis e relações e tomando contato com fórmulas, equações, variáveis

e incógnitas) e conhecendo a sintaxe (regras para resolução) de uma equação.

3.3.3 Espaço e forma

Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de

Matemática no Ensino Fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um

tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de

forma organizada, o mundo em que vive.

Além disso, se esse trabalho for feito a partir da exploração dos objetos do

mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, o aluno

poderá estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento

(trabalharemos com maior profundidade esse conteúdo na aula sete:

Espaço e forma).

3.3.4 Grandezas e medidas

Este bloco caracteriza-se por sua forte relevância social, com evidente caráter

prático e utilitário. Na vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão presentes

em quase todas as atividades realizadas.

Desse modo, desempenham papel importante no currículo, pois mostram

claramente ao aluno a utilidade do conhecimento matemático no cotidiano. As

36

atividades em que as noções de grandezas e medidas são exploradas proporcionam

melhor compreensão de conceitos relativos ao espaço e às formas.

São contextos muito ricos para o trabalho com os significados dos números e

das operações, da idéia de proporcionalidade e escala, e um campo fértil para uma

abordagem histórica.

3.3.5 Tratamento da informação

Aparentemente, o termo tratamento da informação nos remete aos últimos anos

do Ensino Fundamental, ao Ensino Médio ou mesmo ao Ensino Superior.

Na realidade, é importante o seu estudo desde os primeiros anos, em função de

seu uso atual na sociedade. Integrarão este bloco estudos relativos a noções de

estatística, de probabilidade e de combinatória.

Evidentemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho

baseado na definição de termos ou de fórmulas, envolvendo tais assuntos. Em relação

à estatística, a finalidade é fazer com que o aluno construa procedimentos para coletar,

organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações

que aparecem freqüentemente em seu dia-a-dia.

Quanto à combinatória, o objetivo é levar o aluno a lidar com situações-problema

que envolvam combinações, arranjos, permutações e, especialmente, o princípio

multiplicativo da contagem.

Em relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno

compreenda que grande parte dos acontecimentos do cotidiano são de natureza

aleatória, sendo possível identificar prováveis resultados desses acontecimentos.

As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser

exploradas na escola, em situações nas quais o aluno realiza experimentos e observa

eventos (em espaços equiprováveis).

37

É muito importante lembrar que esta aula foi trabalhada com a intenção de dar

um caráter geral ao estudo do currículo de matemática nos anos iniciais, ressaltando a

seleção de conteúdos segundo os PCN.

Nas próximas aulas, faremos um estudo mais detalhado dessas áreas que irão

nos auxiliar no desenvolvimento de outras disciplinas que virão ao longo do curso,

como, por exemplo, a disciplina Fundamentos e Metodologias do Ensino de

Matemática.

Nesta aula, buscamos traçar um paralelismo entre, de um lado, a

fundamentação do ensino de matemática na educação infantil e, de outro lado, a noção

ampla de alfabetização como iniciação à leitura de mundo. Brincar é uma atividade

comum e corriqueira na vida de uma criança. Para ela, porém, as brincadeiras são algo

extremamente sério, tão sério que o educador pode se valer delas para propiciar o

desenvolvimento de noções de semelhança, de classificação e de comparação,

operações basicamente matemáticas. Na realidade, para as crianças, brincar é

descobrir o mundo ou construir uma sistematização do real.

Com base nas orientações da teoria piagetiana, segundo a qual a criança só é

capaz de pensar o concreto, é recomendável o uso de materiais concretos (enquanto

manipuláveis ou enquanto utilizados diariamente), nas aulas de matemática dos anos

iniciais do Ensino Fundamental.

Abordamos também a concepção geral subjacente aos PCN de matemática.

Compete ao professor selecionar quais conhecimentos, competências,

habilidades e valores socialmente relevantes, entre os que são apontados pelas

diretrizes nacionais, podem contribuir para o desenvolvimento intelectual de seus

alunos.

38

Dentro dos conteúdos das três grandes ramificações matemáticas da aritmética,

da álgebra e da geometria, concentramo-nos em números, operações, espaço, forma,

grandezas, medidas e tratamento das informações.

Esse material conceitual pode ser trabalhado pelo educador, a fim de alcançar

sete objetivos gerais: o conhecimento matemático como meio de compreensão e

transformação do mundo; a realização de relações quantitativas e qualitativas entre os

conhecimentos; a resolução de situações-problema; a comunicação matemática,

enquanto apresentação, descrição, representação e argumentação; a

interdisciplinaridade; a auto-estima e perseverança na busca de soluções; a interação

cooperativa com os pares.

BASSEDAS, Eulália; HUGUET, Teresa; SOLÉ, Isabel. Aprender e ensinar na

Educação Infantil. Porto Alegre: Artmed, 1999.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.

Parâmetros Curriculares Nacionais: introdução (1ª a 4ª séries). Brasília: MEC, 1997.

BRUNER, Jerome. O processo da educação. Lisboa: Nova Biblioteca, 1995.

DELEUZE, Gilles; GUATTARI, Félix. O que é a filosofia? Rio de Janeiro: 34,

1992.

PIAGET, Jean. A Construção do Real na Criança. Rio de Janeiro: Zahar, 1970.

______. A Formação do Símbolo na Criança: imitação, jogo e sonho, imagem e

representação. Rio de Janeiro: Zahar, 1971.

39

Analisaremos os conceitos e procedimentos a serem ensinados, os modos pelos

quais eles se relacionam entre si e as formas por meio das quais as crianças

constroem conhecimentos matemáticos.

40

________________________________________________________AULA 04

Conceitos Matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental:

Números e Operações, Tratamento da Informação

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

• analisar os conceitos e procedimentos a serem ensinados, os modos pelos

quais eles se relacionam entre si, as formas por meio das quais as crianças constroem

conhecimentos matemáticos;

• interpretar de forma organizada dados para tomar decisões relacionadas a

operações matemáticas.

Para um bom aproveitamento desta aula, sugerimos a leitura dos PCN de

Matemática (no sítio <http://www.mec.gov.br/sef/estrut2/pcn/pcn1a4.asp>), no que diz

respeito a números naturais, sistema de numeração decimal e orientação didática para

os números naturais.

Sobre leitura, interpretação e aplicação de representações gráficas de

fenômenos matemáticos, você necessita ler o fascículo 6 – Tratamento da Informação

– do Programa de formação continuada – Pró-letramento do Ministério da

Educação (disponível no sítio <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/

Proletr/fasciculo_mat.pdf>). Esses conhecimentos que você construirá previamente à

leitura desta aula são de grande relevância para o direcionamento que todo educador

deve dar às hipóteses processuais de seus alunos, com vistas à construção do sistema

aritmético e algébrico convencional.

41

A discussão desta aula ocorre para dar sentido ao que foi dito ao final da aula

anterior. Apesar de vermos a matemática como uma ciência, temos o cuidado de

separá-la por áreas, para que possamos ter um melhor aproveitamento dos seus

conteúdos.

É cada vez mais freqüente a necessidade de compreensão das informações

veiculadas, especialmente pelos meios de comunicação, para tomar decisões e fazer

previsões que terão influência não apenas na vida pessoal, como na de toda a

comunidade.

Estar alfabetizado, neste início de século, supõe saber ler, interpretar dados

apresentados de maneira organizada e construir representações, para formular e

resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise de

informações.

Essa característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma

demanda em abordar elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade,

desde os anos iniciais (BIRAL e outros, 2007).

Esta aula está focada no trabalho conceitual com os números e operações e o

tratamento da informação.

4.1 Números Naturais e Sistema de Numeração Decimal

Os números naturais tiveram sua origem nas palavras utilizadas para a

contagem de objetos reais inicialmente encontrados na natureza: quatro ovelhas, doze

bois, três árvores e assim por diante. O zero surgiu bem mais tarde, inicialmente

representado por uma casa vazia.

Um avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento do zero com seu

próprio numeral.

42

A utilidade dos números naturais é percebida pelas crianças antes mesmo de

chegarem à escola; elas conhecem números de telefone, de ônibus, lidam com preços,

numeração de calçado, idade, calendário, número de casa.

A criança vem para a escola com um razoável conhecimento não apenas dos

números de 1 a 9, como também de números como 10, 11, 12, 13, que já lhe são

bastante familiares, e de outros números que aparecem com freqüência no seu dia-a-

dia — como os números que indicam os dias do mês, que podem ir até 30/31.

O estudo dos números como objeto matemático também deve partir de

contextos significativos para os alunos, envolvendo, por exemplo, o reconhecimento da

existência de diferentes tipos de números (naturais, racionais e outros) e de suas

representações e classificações (primos, compostos, pares, ímpares, etc.).

Desse modo, as atividades de leitura, escrita, comparação e ordenação de

notações numéricas devem tomar, como ponto de partida, os números que a criança

conhece. Esse trabalho pode ser feito por meio de atividades em que, por exemplo, o

professor elabora, junto com os alunos, um repertório de situações em que se usam

números. O professor pede aos alunos que recortem números em jornais e revistas e

façam a leitura do jeito que sabem; elabora, com a classe, listas com números de

linhas de ônibus da cidade, números de telefones úteis, números de placas de carros e

solicita a leitura deles; orienta os alunos para que elaborem fichas, onde cada um vai

anotar os números referente a si próprio, tais como: idade, data de nascimento, número

do calçado, peso, altura, número de irmãos, número de amigos etc.; trabalha

diariamente com o calendário para identificar o dia do mês e registrar a data; solicita

aos alunos que façam aparecer, no visor de uma calculadora, números escritos no

quadro ou indicados oralmente; pede aos alunos que observem a numeração da rua

onde moram, onde começa e onde termina, e que registrem o número de suas casas e

de seus vizinhos; verifica como os alunos fazem contagens e como fazem a leitura de

números com dois ou mais dígitos e que hipóteses possuem acerca da escrita desses

números.

43

Na prática escolar, no entanto, o mais comum é tentar explicitar, logo de início,

as ordens que compõem uma escrita numérica — unidade, dezena, etc.

— para que o aluno faça a leitura e a escrita dos números com compreensão.

Embora isso possa parecer simples e natural, do ponto de vista do adulto, que já

conhece as regras de formação do sistema de numeração decimal (é o sistema com

base dez, onde cada algarismo à esquerda de um outro vale dez vezes mais), o que se

observa é que os alunos apresentam dificuldades nesse trabalho, deixando o professor

sem compreender por que isso acontece.

No entanto, mesmo sem conhecer as regras do sistema de numeração decimal,

as crianças são capazes de indicar qual é o maior número de uma listagem, em função

da quantidade de algarismos presentes em sua escrita (justificam que 256 é maior que

86 porque tem mais números); também são capazes de escrever e interpretar números

compostos por dois ou três algarismos.

Para produzir escritas numéricas, alguns alunos recorrem à justaposição de

escritas que já conhecem, organizando-as de acordo com a fala. Assim, por exemplo,

para representar o 132, podem escrever 100 30 2 (cem/trinta/dois) ou 100 30 e 2

(cem/trinta e dois).

É importante que o professor dê a seus alunos a oportunidade de expor suas

hipóteses sobre os números e as escritas numéricas, pois essas hipóteses constituem

subsídios para a organização de atividades.

Explorar as escritas pessoais elaboradas pelos alunos não exclui outro aspecto

fundamental que é o de caminhar em direção às escritas convencionais, sem as quais

não terão referência para se apropriar do conhecimento socialmente estabelecido.

44

As características do sistema de numeração — agrupamentos de 10 em 10,

valor posicional — serão observadas, principalmente, por meio da análise das

representações numéricas e dos procedimentos de cálculo em situações-problema.

É no trabalho com números maiores e menos freqüentes na vivência das

crianças que será necessário explorar os procedimentos de leitura, associando-os à

representação escrita do número.

4.2 Números Racionais

Explorando situações em que se usam apenas números naturais, às vezes, não

é possível conseguir exprimir a medida de uma grandeza ou o resultado de uma

divisão. A metade de uma laranja ou de uma pizza ou um bolo dividido entre quatro

pessoas permitem aos alunos identificar nos números racionais a possibilidade de

resposta a novos problemas.

A construção da idéia de número racional é relacionada à divisão entre dois

números inteiros, excluindo-se o caso em que o divisor é zero. Ou seja: desde que um

número represente o quociente entre dois inteiros quaisquer (o segundo não nulo), ele

é um número racional. Como nos anos iniciais trabalha-se apenas com os naturais e

ainda não com os inteiros negativos, os números racionais a serem tratados são

quocientes de números naturais.

Ao raciocinar sobre os números racionais como se fossem naturais, os alunos

acabam apresentando algumas dificuldades, tais como: vários números racionais

diferentes representam o mesmo valor, por exemplo, 1/2, 2/4, 4/8; enquanto a criança

está acostumada com a relação 5 > 3, é difícil para ela perceber que 1/5 < 1/3;

enquanto o número de casas decimais nos números naturais dá a noção do tamanho

do número 123 > 45 ou 4321 > 987, os números racionais não obedecem a este

critério: 2,3456 < 6,1; nem sempre a multiplicação resulta em um número maior, por

exemplo, 1/3 x 3 = 3/3 = 1; não é possível determinar o sucessor de um número

racional.

45

4.3 Operações com Números Naturais: Adição, Subtração, Multiplicação e

Divisão

Atualmente, a didática da matemática traz novas referências para o tratamento

das operações. Entre elas, encontram-se as que apontam os problemas aditivos

(resolvidos por meio de adição) e subtrativos (resolvidos mediante subtração) como

aspectos iniciais a serem trabalhados na escola, concomitantemente ao trabalho de

construção do significado dos números naturais.

A justificativa para o trabalho conjunto dos problemas aditivos e subtrativos

baseia-se no fato de que eles compõem uma mesma família, ou seja, há estreitas

conexões entre situações aditivas e subtrativas. A título de exemplo, analisa-se

situação :

46

“Ana possuía cinco figurinhas e ganhou mais sete em um jogo. Com quantas

figurinhas ela ficou?”

“Ana possuía algumas figurinhas e deu sete ao seu irmão, ficando com cinco.

Quantas figurinhas Ana tinha inicialmente?”

Ao observar as estratégias de solução empregadas pelos alunos, pode-se notar

que a descoberta de quantas figurinhas Ana ganhou ou tinha é realizada pela aplicação

de um procedimento, às vezes, aditivo e, outras vezes, subtrativo.

Isso evidencia que os problemas não se classificam em função unicamente das

operações a eles relacionadas a priori, e sim em função dos procedimentos utilizados

por quem os soluciona.

Outro aspecto importante é o de que a dificuldade de um problema não está

diretamente relacionada à operação requisitada para a sua solução.

É comum considerar-se que problemas aditivos são mais simples para o aluno

do que aqueles que envolvem subtração. Mas a análise de diversas situações pode

mostrar o contrário.

Carlos deu cinco figurinhas a José e ainda ficou com oito figurinhas. Quantas

figurinhas Carlos tinha inicialmente?

Pedro tinha nove figurinhas. Ele deu cinco figurinhas a Paulo. Com quantas

figurinhas ele ficou?

47

O primeiro problema, que é resolvido por uma adição, em geral, apresenta mais

dificuldade do que o segundo, que freqüentemente é resolvido por uma subtração.

No que diz respeito às estratégias de cálculo, adição e subtração também estão

intimamente relacionadas. Para calcular mentalmente 40 -26, alguns alunos recorrem

ao procedimento subtrativo de decompor o número 26 e subtrair primeiro 20 e depois

seis; outros pensam em um número que devem juntar a 26 para se obter 40,

recorrendo neste caso a um procedimento aditivo.

A construção dos significados do cálculo aditivo e subtrativo leva tempo e ocorre

pela descoberta de diferentes procedimentos de solução. Assim o estudo da adição e

da subtração deve ser proposto ao longo dos anos iniciais, juntamente com o estudo

dos números e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das

dificuldades lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de

solução de que os alunos dispõem.

Entre as situações que envolvem adição e subtração, exploradas nos primeiros

anos, podem-se destacar quatro grupos:

• combinar duas quantidades para obter uma terceira, mais comumente

identificada como ação de juntar;

• transformação, ou seja, alteração de uma quantidade inicial, que pode ser

positiva ou negativa;

• comparação;

• mais de uma transformação (positiva ou negativa).

Essas são sugestões simples de como se pode utilizar a adição e subtração, nas

atividades para os alunos dos anos iniciais.

4.4 Os Significados da Multiplicação e da Divisão

Uma abordagem freqüente no trabalho com a multiplicação é o estabelecimento

48

de uma relação entre ela e a adição. Nesse caso, a multiplicação é apresentada

como um caso particular da adição, porque as parcelas envolvidas são todas iguais.

Por exemplo: na casa da Ana, come-se sempre 4 pães no café da manhã.

Quantos pães a família da Ana consumirá em uma semana? A essa situação,

associa-se a escrita 4 x 7, na qual o 4 é interpretado como o número que se repete e o

7 como o número que indica a quantidade de repetições. Esta mesma situação poderia

ser resolvida por 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28.

A partir dessa interpretação, definem-se papéis diferentes para o multiplicando

(o número que se repete) e para o multiplicador (o número de repetições), não sendo

possível tomar um pelo outro. No exemplo dado, não se pode tomar o número de pães

pelo número de dias. Saber distinguir o valor que se repete do número de repetições é

um aspecto importante para a resolução de situações como esta.

A repetição provoca uma ambigüidade em relação à comutatividade da

multiplicação. Embora, matematicamente, a x b = b x a, no contexto de situações como

a que foi analisada (dos pães) isso não ocorre.

Assim como no caso da adição e da subtração, destaca-se a importância de um

trabalho conjunto de problemas relacionados à multiplicação e à divisão, uma vez que

há estreitas conexões entre as situações que os envolvem e a necessidade de

trabalhar essas operações, com base em um campo mais amplo de significados do que

tem sido usualmente realizado.

49

Dentre as situações relacionadas à multiplicação e à divisão, a serem

exploradas nos anos iniciais do Ensino Fundamental, podem-se destacar, para efeito

de análise, quatro grupos. Vejamos.

• Situações associadas ao que se poderia denominar multiplicação comparativa.

Exemplo:

Ana tem 5 Livros, sua irmã Paula tem 4 vezes mais. Quantos Livros tem Ana?

• Situações associadas à comparação entre razões e que, portanto, envolvem a

idéia de proporcionalidade. Geralmente estes problemas são de fácil assimilação para

a criança. Exemplo: Pedrinho foi comprar três pães na padaria. Se um pão custa R$

0,30, quanto custarão os três pães? A idéia de proporcionalidade está presente, 1 está

para 0,30, assim como 3 está para 0,90.

• Situações associadas à configuração retangular. Exemplo: em uma sala de

aula, as carteiras estão dispostas em 6 fileiras e 5 colunas. Quantas cadeiras há na

sala da biblioteca?

• Situações associadas à idéia de combinatória. Exemplo: Ana tem três saias e

quatro blusas.

De quantas maneiras diferentes ela poderá se vestir, desconsiderando a

combinação de cores ou a moda? Note-se que por essa interpretação é idêntico

combinar saias com blusas ou blusas com saias, isto é, 3 x 4 = 4 x 3.

4.5 O Cálculo com Números Racionais

50

Assim como se podem estender as regras do sistema de numeração decimal

para facilitar a compreensão dos números racionais na forma decimal, os

procedimentos de cálculo com números naturais também podem ser utilizados como

recursos para realizar cálculos envolvendo números decimais.

Além disso, é importante que as atividades de cálculo com números decimais

estejam sempre vinculadas a situações contextualizadas, de modo que seja possível

fazer uma estimativa ou enquadramento do resultado, utilizando números naturais mais

próximos. Exemplo: o número 3,55 está mais próximo de 3, de 4 ou de 355?

Outra recomendação é que os alunos desenvolvam uma boa base em leitura e

escrita de números decimais e que acompanhem a realização do cálculo escrito, com

verbalizações que auxiliem a percepção do valor posicional das ordens que compõem

os números com os quais estão operando.

Também a compreensão de deslocamentos da vírgula, uma, duas, três ordens

para a direita ou para a esquerda, nos números decimais, pode ser facilitada, se os

alunos souberem dividir e multiplicar mentalmente por 10, 100 ou 1.000.

Em relação ao cálculo de porcentagem, alguns recursos mais simples e

evidentes para as crianças podem ser explorados, deixando para os anos posteriores a

apresentação de técnicas convencionais, por exemplo, de cálculo simples: 50% é a

metade de 100%, que é o inteiro.

Partindo de um trabalho em que se compreenda o significado da expressão dez

por cento, o aluno pode, por exemplo, calcular 35% de 120, achando 10% de 120 (12),

5% de 120 (metade de 12) e adicionando as parcelas: 12 + 12 + 12 + 6 = 42.

A construção dos conceitos de subtração e de divisão deve ser realizada,

buscando-se compreender suas respectivas relações com a adição e a multiplicação.

O professor deve identificar as estratégias pessoais utilizadas pelos alunos e

fazer com que eles evidenciem sua compreensão, por meio de análises e

comparações, explicitando-as oralmente. Já a organização desse repertório dá-se, por

meio da exploração das escritas numéricas.

51

4.6 Tratamento da Informação

A demanda imposta pelo currículo da matemática nos anos iniciais do Ensino

Fundamental impõe a necessidade do tratamento da informação. Essa demanda traz

duas perguntas: por que e como tratar as informações?

A resposta à primeira questão parece simples: porque somos bombardeados por

centenas de informações a todo instante. Nem toda a informação é relevante e, quando

relevante, talvez não seja pedagogicamente útil para o professor em sua prática

educativa. Por exemplo, quando uma criança dos anos iniciais do Ensino Fundamental

abre um jornal e vê uma notícia sobre o aumento da bolsa de valores, ou dos preços

dos alimentos, ou mesmo um balancete de uma empresa, o que isso diz a ela? Em

muitos casos, ela achará um amontoado de fórmulas e cálculos, mas não encontrará ali

uma fonte aplicável a sua realidade.

Cabe ao professor, nesse caso, desenvolver no aluno a habilidade de coletar,

organizar, interpretar e tomar decisões frente aos dados, utilizando a linguagem

matemática como ferramenta.

Infelizmente, os PCN, apesar de reconhecer a importância do assunto, não dão

a devida atenção aos mesmos no decorrer da publicação, deixando grandes pontos de

interrogação sobre o que seria e como poderiam ser levados aos anos iniciais do

Ensino Fundamental o tratamento da informação.

Mesmo assim, temos algumas pistas que podem auxiliar o professor nesse

percurso. Uma delas é sobre a própria existência da matemática. Sabemos que a

matemática trata de objetos não físicos, ou seja, são imperceptíveis e, por isso,

necessitam de representantes para a apreensão do que se quer representar (o objeto

matemático). No entanto, para que haja compreensão do conceito matemático, deve-se

não confundi-lo com sua representação. Não é a representação gráfica em si que

constitui a informação, apesar de partir dela, mas o conjunto da representação gráfica e

do significado estabelecido.

52

Em outras palavras: apenas o registro da representação da informação não

garante a compreensão do objeto matemático. Para que a aprendizagem na

matemática se realize, é necessário que o indivíduo utilize diferentes registros de

representação de um mesmo objeto. Assim a conceituação só será alcançada quando

este consegue articular os distintos registros de representação de um determinado

conceito, coordenando a produção da representação visual e a apreensão conceitual

do objeto, de forma natural.

Como assim? De posse de diferentes representações – não apenas a visual (por

meio da fórmula, da porcentagem, do cálculo, etc.), mas por meio da conversão

lingüística para figural (ilustrações), da conversão lingüística de uma língua para outra

(tradução) e da conversão de representações não verbais para representações

lingüísticas (descrições) – a criança poderá ter consciência do objeto matemático. É

important e frisar que essas conversões devem ser complementares, permitindo que a

criança dos anos iniciais construa seus conceitos.

Retornemos à segunda pergunta: como tratar as informações? Faremos

algumas considerações a título de sugestão no próximo tópico. Vamos a ele?

Nos cinco primeiros anos, as atividades podem estar relacionadas a assuntos de

interesse das crianças. Assim, por exemplo, trabalhando com datas de aniversário,

pode-se propor a organização de uma lista com as informações sobre o assunto. Um

critério para organizar essa lista de nomes precisa ser definido: ordem alfabética,

meninos e meninas, etc. Quando a lista estiver pronta, as crianças a analisam e

avaliam se as informações podem ser encontradas facilmente.

O professor pode, então, propor a elaboração de outra forma de comunicar os

aniversariantes de cada mês, orientando-os, por exemplo, a construir um gráfico de

barras.

Na construção de gráficos, é importante verificar se os alunos conseguem ler as

informações neles representadas. Para tanto, deve-se solicitar que dêem sua

interpretação sobre gráficos e propor que pensem em perguntas que possam ser

respondidas, a partir deles.

53

Outros dados referentes aos alunos, como peso, altura, nacionalidade dos avós,

times de futebol de sua preferência, podem ser trabalhados e apresentados

graficamente.

A construção de tabelas e gráficos que mostram o comportamento do tempo

durante um período (dias ensolarados, chuvosos, nublados) e o acompanhamento das

previsões do tempo pelos meios de comunicação indicam a possibilidade de algumas

previsões, pela observação de acontecimentos. Pela observação da freqüência de um

dado acontecimento, podem-se desenvolver algumas noções de probabilidade.

É sempre importante lembrar que todos os conceitos matemáticos trabalhados,

por meio do tratamento da informação, devem ser acompanhados de exemplos

extraídos do cotidiano das crianças, como, por exemplo, a conta de energia de sua

casa, ou a de água, entre outras. Devemos também observar a maturidade do

pensamento da turma em que se trabalha esse tipo de conceito, pois vimos, nas duas

primeiras aulas, que essa maturidade pode influenciar no desenvolvimento do

raciocínio, mesmo utilizando estratégias de ensino adequadas.

Nesta aula, refletimos sobre o fato de que as crianças ingressam na escola com

uma rica bagagem de habilidades e conhecimentos matemáticos prévios, relacionados

ao uso de telefone, ônibus, calendário, etc. A ação docente leva necessariamente em

conta tais saberes práticos e os valoriza. O vínculo com atividades práticas e

significativas é mantido também ao planejar e trabalhar com conteúdos mais

formalizados e sistematizados.

54

A valorização das hipóteses matemáticas que a criança faz previamente à

introdução de conteúdos formalizados ou durante o processo de construção e

conceitualização sistemática, porém não implica que o educador não direcione o

raciocínio infantil para as convenções estabelecidas.

Ao resolver problemas com adição, é necessário diferenciar o princípio aditivo

do princípio subtrativo. Dentre as situações que envolvem adição e subtração, podem-

se destacar quatro grupos: combinação de duas quantidades para obter uma terceira,

transformação, comparação, mais de uma transformação.

Nos anos iniciais, enfim, é necessário trabalhar a multiplicação associada a

quatro grupos: multiplicação comparativa, comparação entre razões, configuração

retangular e combinatória.

Nesta aula, também trabalhamos a representação gráfica dos fenômenos

matemáticos e das interpretações matemáticas da realidade. Discutimos o fato de que

o aluno do Ensino Fundamental – como parte de sua alfabetização e letramento –

precisa conhecer interpretar e utilizar tais representações.

55

BIRAL, A. C. et al. Tratamento da informação. In: BRASIL. Ministério da

Educação e Cultura/MEC. Brasília: 2007.

Programa Gestão da Aprendizagem Escolar – Gestar. Número natural: conceito

e representação. FUNDESCOLA/DIPRO/FNDE/MEC. Brasília: 2005.

Em nossa próxima aula, veremos os conceitos matemáticos nos anos iniciais do

Ensino Fundamental sobre espaço e forma, grandezas e medidas.

56

_________________________________________________________AULA 05

Conceitos Matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: Espaço

e Forma, Grandezas e Medidas

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

•compreender a importância de espaço e forma na educação matemática nos

anos iniciais do Ensino Fundamental, visualizando e reconhecendo situações didáticas

aplicadas;

• compreender a importância de grandezas e medidas na educação matemática

do aluno dos anos iniciais do Ensino Fundamental, reconhecendo-as nas situações

cotidianamente vivenciadas pelos alunos.

Esta aula se divide em uma discussão sobre a origem e os pré-requisitos da

noção de espaço e forma em uma proposta de atividades práticas, para desenvolver

essa mesma noção de geometria, ao longo dos anos iniciais do Ensino Fundamental. É

importante que você leve em consideração, de maneira prévia, as linhas metodológicas

de ensino, apresentadas na aula dois deste mesmo caderno (resolução de situações-

problema, contextualização histórica, uso de novas tecnologias da informação e de

estratégias informais), para refletir sobre sua aplicação no ensino de geometria.

Com base no assunto que também iremos tratar nesta aula (origem histórica de

instrumentos de medida e de padrões de medição), sugerimos o acesso ao sítio

<http://educaterra.terra.com.br/almanaque/miscelanea/medidas.htm>, em que você

poderá conhecer as unidades de medida do nosso sistema e, principalmente, as

medidas mais utilizadas pelos alunos da sua região.

57

Estudos sobre a construção do espaço pela criança destacam que a

estruturação espacial se inicia, desde muito cedo, pela constituição de um sistema de

coordenadas relativo ao seu próprio corpo. É a fase chamada egocêntrica: para se

orientar, a criança é incapaz de considerar qualquer outro elemento que não seja seu

próprio corpo.

Aos poucos, a criança toma consciência de que os diferentes aspectos sob os

quais os objetos se apresentam para ela são perfis de uma mesma coisa, ou seja, ela

gradualmente toma consciência dos movimentos de seu próprio corpo, de seu

deslocamento. Essa percepção se dá por meio de noções de tempo, de espaço, de

distâncias, das áreas, dos volumes.

Para isso, precisamos compreender a comparação de grandezas da mesma

natureza, que dá origem à idéia de medida, e o desenvolvimento de procedimentos

para o uso adequado de instrumentos, tais como balança, fita métrica e relógio,

conferem a este conteúdo um acentuado caráter prático.

O trabalho com medidas dá oportunidade para abordar aspectos históricos da

construção desse conhecimento, uma vez que, desde a Antiguidade, praticamente em

todas as civilizações, a atividade matemática se dedicou à comparação de grandezas

Como isso influi na educação para conceitos matemáticos? Vejamos!

5.1 O Espaço e a Forma

A capacidade de deslocar-se mentalmente e de perceber o espaço de diferentes

pontos de vista são condições necessárias à coordenação espacial e, nesse processo,

está a origem das noções de direção, sentido, distância, ângulo e muitas outras

essenciais à construção do pensamento geométrico.

58

Em um primeiro momento, o espaço se apresenta para a criança de forma

essencialmente prática: ela constrói suas primeiras noções espaciais, por meio dos

sentidos e dos movimentos.

Esse espaço percebido pela criança — espaço perceptivo, em que o

conhecimento dos objetos resulta de um contato direto com eles — possibilitará a

construção de um espaço representativo — em que ela é, por exemplo, capaz de

evocar os objetos em sua ausência.

O ponto, a reta, o quadrado não pertencem ao espaço perceptivo. Podem ser

concebidos de maneira ideal, mas rigorosamente não fazem parte desse espaço

sensível. Pode-se, então, dizer que a geometria parte do mundo sensível e estrutura-o

no mundo geométrico — dos volumes, das superfícies, das linhas e dos pontos.

Multiplicando suas experiências sobre os objetos do espaço em que vive, a

criança aprenderá a construir uma rede de conhecimentos relativos à localização e à

orientação, que lhe permitirão penetrar no domínio da representação dos objetos e,

assim, distanciar-se do espaço sensorial ou físico.

É o aspecto experimental que colocará em relação esses dois espaços: o

sensível e o geométrico.

De um lado, a experimentação permite agir, antecipar, ver, explicar o que se

passa no espaço sensível e, de outro, possibilita o trabalho sobre as representações

dos objetos do espaço geométrico e, assim, desprender-se da manipulação dos objetos

reais, para raciocinar sobre representações mentais.

A localização é apontada como um fator fundamental de apreensão do espaço e

está ligada inicialmente à necessidade de levar em conta a orientação.

59

Para orientar-se no espaço, é preciso começar por se orientar a partir de seu

próprio corpo. O conhecimento do corpo procede do conhecimento do espaço e, ao

mesmo tempo, o torna possível.

5.2 O Trabalho com os Conceitos nos Anos Iniciais

Nos primeiros dois ou três anos do Ensino Fundamental, é essencial propor

atividades para que o aluno seja estimulado a progredir na capacidade de estabelecer

pontos de referência em seu entorno, para efeito de localização.

Isso pode ser feito, por meio de atividades em que o aluno se situe no espaço,

dê e receba instruções de localização, compreenda e utilize termos como esquerda,

direita, giro, distância, deslocamento, acima, abaixo, ao lado, na frente, atrás, perto.

Por exemplo: na sala de aula, é possível solicitar que o aluno pegue um material,

indicando o lugar em que ele se encontra: na terceira fila à direita, na quarta coluna à

esquerda, em cima da escrivaninha, atrás da sétima cadeira.

Outro trabalho rico que deve ser explorado é o de construção de itinerários, a

partir de instruções dadas. É interessante que os alunos relatem, oralmente, como é o

trajeto do lugar onde moram até a escola, que desenhem o itinerário que fazem,

fornecendo pontos de referência.

No terceiro e quarto ano, o trabalho de localização pode ser aprofundado, por

meio de atividades que utilizem malhas, diagramas, tabelas e mapas. O estudo do

espaço na escola pode ser feito a partir de atividades que tenham a ver com outras

áreas, como a Geografia, a Educação Física e a Língua Portuguesa.

Em relação às formas, experiências mostram que as crianças reconhecem

algumas formas geométricas bem mais cedo do que as reproduzem.

Os objetos que povoam o espaço são a fonte principal do trabalho de exploração

das formas. O aluno deve ser incentivado, por exemplo, a identificar as posições

relativas dos objetos, a reconhecer, no seu entorno e nos objetos que nele se

encontram, formas distintas, tridimensionais e bidimensionais, planas e não planas, a

60

fazer construções, modelos ou desenhos do espaço (de diferentes pontos de vista) e

descrevê-los.

Um trabalho constante de observação e de construção das formas levará o

aluno a perceber semelhanças e diferenças entre elas. Para tanto, diferentes atividades

podem ser realizadas: compor e decompor figuras, perceber a simetria como

característica de algumas figuras e não de outras, etc.

Dessa exploração, resultará o reconhecimento de figuras tridimensionais (como

cubos, paralelepípedos, esferas, cilindros, cones, pirâmides, etc.) e bidimensionais

(como quadrados, retângulos, círculos, triângulos, pentágonos, etc.) e a identificação

de suas respectivas propriedades.

Uma das possibilidades mais fascinantes do ensino de geometria consiste em

levar o aluno a perceber e a valorizar sua presença em elementos da natureza e em

criações do homem. Isso pode ocorrer, por meio de atividades em que ele possa

explorar formas como as de flores, elementos marinhos, casa de abelha, teia de

aranha, ou formas em obras de arte, esculturas, pinturas, arquitetura, ou ainda em

desenhos feitos em tecidos, vasos, papéis decorativos, mosaicos, pisos, etc.

Por exemplo: o formato do favo de uma colméia pode ser usado na noção de

hexágono; os formatos dos quadros na noção de quadriláteros. As mais diversas

formas geométricas podem ser observadas nas pinturas em tecidos, tais como círculos,

triângulos e polígonos diversos.

As atividades com formas geométricas podem contribuir também para o

desenvolvimento de procedimentos de estimativa visual, seja de comprimentos,

ângulos ou outras propriedades métricas das figuras, sem usar instrumentos de

desenho ou de medida. Isso pode ser feito, por exemplo, por meio de trabalhos com

dobraduras, recortes, espelhos, empilhamentos ou pela modelagem de formas em

argila ou massa.

Construir maquetes e descrever o que nelas está sendo representado é também

uma atividade muito importante, especialmente para dar ao professor uma visão do

61

domínio geométrico de seus alunos. O uso de softwares também é uma forma de levar

o aluno a raciocinar geometricamente.

A criança evolui gradativamente do espaço perceptivo, em que o conhecimento

dos objetos resulta de um contato direto com eles, para a construção de um espaço

representativo, no qual é capaz de evocar os objetos em sua ausência. Com a noção

do espaço podemos utilizar o próprio corpo para fazer as primeiras medições,

introduzindo assim a noção de grandezas e medidas.

5.3 Medindo com o nosso Corpo

A utilização do uso de partes do próprio corpo para medir (palmos, pés) é uma

forma interessante a ser utilizada com os alunos, porque permite a reconstrução

histórica de um processo em que a medição tinha como referência as dimensões do

corpo humano, além de destacar aspectos curiosos como o fato de, em determinadas

civilizações, as medidas do corpo do rei serem tomadas como padrão.

No mundo atual, o Sistema Internacional de Unidades fundamenta-se a partir de

unidades de base como: para massa, o quilograma; para comprimento, o metro; para

tempo, o segundo; para temperatura, o celsius; para intensidade elétrica, o ampère,

etc.

É no contexto das experiências intuitivas e informais com a medição que o aluno

constrói representações mentais que lhe permitem, por exemplo, saber que

comprimentos como 10, 20 ou 30 centímetros são possíveis de se visualizar numa

régua, que 1 quilo é equivalente a um pacote pequeno de açúcar, ou que 2 litros

correspondem a uma garrafa de refrigerante grande.

Essas representações mentais favorecem as estimativas e o cálculo, evitam

erros e permitem aos alunos o estabelecimento de relações entre as unidades usuais,

ainda que não tenham a compreensão plena dos sistemas de medidas.

Desde muito cedo, as crianças têm experiências com as marcações do tempo

(dia, noite, mês, hoje, amanhã, hora do almoço, hora da escola) e com as medidas de

massa, capacidade, temperatura, etc. Mas isso não significa que tenham construído

62

uma sólida compreensão dos atributos mensuráveis de um objeto, nem que dominem

procedimentos de medida. Desse modo, é importante que, ao longo do Ensino

Fundamental, os alunos tomem contato com diferentes situações que os levem a lidar

com grandezas físicas. Isso lhes permitirá identificar que atributo será medido e o que

significa a medida.

Estruturas conceituais relativas às medidas são desenvolvidas, por meio de

experiências em que se enfatizam aspectos, como o processo de medição é o mesmo

para qualquer atributo mensurável; é necessário escolher uma unidade adequada,

comparar essa unidade com o objeto que se deseja medir e, finalmente, computar o

número de unidades obtidas; a escolha da unidade é arbitrária, mas ela deve ser da

mesma espécie do atributo que se deseja medir. Há unidades mais e menos

adequadas, e a escolha depende do tamanho do objeto e da precisão que se pretende

alcançar; quanto maior o tamanho da unidade, menor é o número de vezes a que se

utiliza para medir um objeto; se, por um lado, pode-se medir, usando padrões não

convencionais, por outro lado, os sistemas convencionais são importantes,

especialmente em termos de comunicação.

Finalmente, o estabelecimento da relação entre a medida de uma dada

grandeza e um número é um aspecto de fundamental importância, pois é também por

meio dele que o aluno ampliará seu domínio numérico e compreenderá a necessidade

de criação de números fracionários, negativos, etc.

63

Refletimos, nesta aula, sobre a origem egocêntrica da noção de espaço que a

criança constrói, a partir do próprio corpo. Em fases subseqüentes de desenvolvimento,

a criança produz noções espaciais de direção, sentido, distância e ângulo, a partir de

suas representações mentais dos deslocamentos e das diferentes perspectivas com

que se pode perceber o espaço. A partir dos diferentes níveis de desenvolvimento

infantil, no que diz respeito às coordenadas espaciais, propomos uma série de

atividades que favorecem o crescimento da consciência espacial.

Mediante experiências intuitivas e informais de medição, o aluno constrói

representações mentais relacionadas a comparações de grandezas. O ensino formal

leva-o, em uma fase sucessiva, a interpretar de forma organizada dados que impliquem

a tomada de decisões

.

Programa Gestão da Aprendizagem Escolar – Gestar. Geometria I e II.

FUNDESCOLA/DIPRO/FNDE/MEC. Brasília: 2005.

______. Medidas e grandezas. FUNDESCOLA/DIPRO/FNDE/MEC. Brasília:

2005.

Estudaremos a resolução de problemas aplicada no conhecimento da geometria

e sua construção.

64

________________________________________________________AULA 06

Resolução de Problemas

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

• ressaltar a importância e os benefícios do uso de problemas na sala de aula,

habilitando o futuro professor no desenvolvimento de atividades de resolução de

problemas;

• compreender o uso da geometria, identificando o manuseio e a importância da

observação de objetos, em situações didáticas de ensino e aprendizagem de

geometria.

A resolução de situações-problema, assunto principal desta aula, tem uma forte

ligação com quanto foi discutido, na aula um, a respeito da função educadora da

escola, que não apenas transmite conhecimentos, mas proporciona ao aluno

oportunidades de desenvolvimento do seu raciocínio. Também lembramos a interação

social como fator desencadeante da construção, por parte da criança, de um

pensamento matemático espontâneo que, sucessivamente, o ensino formal vai

sistematizar e esmerar.

A geometria surge como âmbito disciplinar, essencialmente prático, dentro da

reflexão matemática. Talvez por isso, ela provoque o interesse dos alunos de Ensino

Fundamental, que, como Piaget nos ensina, procedem, em sua descoberta do mundo,

do concreto para o abstrato.

65

No centro dos estudos geométricos – como já vimos na aula cinco – está a

noção de espaço, construída intuitivamente pela criança, a partir da consciência do

próprio corpo. A partir do espaço ocupado pelo próprio corpo, a criança desenvolve a

representação mental dos deslocamentos no espaço e uma visão do espaço, a partir

de diferentes perspectivas, todas as habilidades trabalhadas pelas atividades.

O ensino da Matemática, nos últimos anos, tem sofrido mudanças significativas,

principalmente no que diz respeito às metodologias utilizadas como estratégias de

ensino. Uma das mais importantes estratégias de ensino emergentes é a utilização de

problemas que envolvam situações cotidianas na introdução de conteúdos do currículo

a ser ensinado.

Também fazendo frente a essas mudanças, ressaltamos o fortalecimento da

Educação Matemática, que defende esse tipo de estratégia de ensino, como poderosa

ferramenta, no processo de ensino-aprendizagem.

Para começar a nossa conversa a respeito da geometria, vamos relembrar

algumas passagens nossas, de quando cursamos o Ensino Fundamental. Quem é que

não se lembra da distribuição dos conteúdos nos livros didáticos de matemática?

Eles traziam sempre a parte de geometria nas últimas páginas do livro, o que

quase sempre resultava, ao final do ano letivo, no descumprimento do estudo destes

conteúdos. Portanto, na discussão desta aula, iremos destacar o uso da geometria na

resolução de problemas.

6.1 O significado do termo Resolução de Problemas

Antes de tecer uma série de considerações relacionadas a resoluções de

problemas, é necessário tornar bem claro o que é um problema. Problema pode

apresentar diversos significados, tais como:

66

1. Questão Matemática proposta para que se lhe dê a solução.

2. Questão não resolvida e que é objeto de discussão, em qualquer domínio do

conhecimento.

3. Proposta duvidosa, que pode ter numerosas soluções.

4. Qualquer questão que dá margem à hesitação ou perplexidade, por ser difícil

de explicar ou de resolver.

Alguns alunos conceituam o problema como algo de difícil resolução, obstáculo

a qualquer ação prevista; nós professores devemos vê-lo sob o aspecto de desafio e o

de recurso didático maravilhoso para a aprendizagem do aluno.

Considerando essa afirmativa, apresentaremos, a seguir, alguns dos objetivos a

serem alcançados mediante a resolução de problemas.

6.2 Desenvolver a Criatividade

Um dos principais objetivos do ensino de Matemática é potencializar a

capacidade de a criança resolver problemas e, para isso, nada melhor que apresentar-

lhe situações-problema que o envolvam (a álgebra, a geometria) o desafiem e o

motivem a querer resolvê-las. Esta é uma das razões pelas quais a resolução de

problemas tem sido reconhecida no mundo todo como uma das metas fundamentais da

Matemática no Ensino Fundamental. É preciso desenvolver no aluno a habilidade de

elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis,

para que ele possa analisar, selecionar, construir, entre diversas alternativas, a melhor

solução às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela.

6.3 Ensinar o Aluno a enfrentar Situações Novas

Atualmente, as mudanças ocorrem cada vez de forma mais rápida e a evolução

tecnológica torna praticamente impossível prever como será o mundo em que

viveremos daqui a quinze ou vinte anos. Porém, é sabido que ensinar apenas conceitos

e algoritmos não é o caminho. Noções abstratas somente terão significado se

associadas a situações práticas que fixem e solidifiquem os conhecimentos dquiridos,

67

para uso na vida produtiva. É necessário preparar o aluno para lidar com situações

novas. É fundamental desenvolver nele iniciativa, espírito explorador, criatividade e

independência, por meio da resolução de problemas.

6.4 Metodologia para a Resolução de Problemas

Para resolver problemas, precisamos desenvolver determinadas estratégias que,

em geral, aplicam-se a um grande número de situações. Esses procedimentos auxiliam

a análise e a solução de situações, em que um ou mais elementos desconhecidos são

procurados.

Para Polya (1978, p. 82), existem cinco fases na resolução de um problema:

1. definição do problema

2. seleção de uma estratégia de resolução

3. execução da estratégia selecionada

4. avaliação do resultado e do processo

5. auto-avaliação

Definição do problema: é a interpretação do que o enunciado está solicitando.

A pergunta-chave desta fase é o quê?

Seleção de uma estratégia de resolução: com os dados fornecidos, é necessário

escolher o melhor procedimento que permita alcançar o resultado esperado.

A pergunta-chave desta fase é como?

Execução da estratégia selecionada: após a interpretação e a escolha da

estratégia de resolução, é o momento de desenvolver as atividades previstas na busca

da solução do problema. É conveniente que o professor promova atividades que

possibilitem técnicas e estratégias de soluções diferentes. A pergunta-chave desta fase

é por quê?

68

Avaliação do resultado e do processo: a avaliação deve priorizar o processo

como um todo. É necessário verificar se o resultado é provável. Tomemos como

exemplo o seguinte problema: buscando encontrar a idade do irmão mais moço de

Paulo, cuja idade é 11 anos, se o resultado encontrado for um número maior que 11 ou

menor que zero, é óbvio concluir que a resposta está incorreta, independendo da

estratégia e dos procedimentos adotados. A pergunta-chave desta fase é o processo

utilizado permitiu encontrar a resposta esperada? e o resultado encontrado é coerente?

Auto-avaliação: essa fase geralmente é negligenciada tanto pela criança, como

pelo professor. Este é o momento de refletir sobre todo o processo de resolução do

problema e de avaliar as dificuldades e as facilidades. É o momento de responder as

perguntas: como foi o desenvolvimento desta atividade? e qual foi o meu aprendizado?

A criança, durante e após o desenvolvimento de cada problema, começa um

processo de reflexão sobre as cinco fases descritas anteriormente, com o auxílio e

acompanhamento do professor, que, sempre que possível, em maior ou menor grau,

procura desenvolver esse processo. O papel do professor, na resolução de problemas

e em todos os demais processos de aprendizagem, é sempre o de mediador. O

professor orienta e encaminha a criança na busca da solução.

Os problemas cumprem um importante papel no sentido de propiciar as

oportunidades para as crianças, interagirem com os diferentes significados das

operações, levando-as a reconhecer que um mesmo problema pode ser resolvido por

diferentes operações, assim como uma mesma operação pode estar associada a

diferentes problemas.

6.5 Exemplo de Elaboração de Problema

O diretor da escola ideal necessita comprar a merenda que será consumida no

próximo bimestre. Vamos ajudá-lo a encontrar a resposta?

Para montar as variáveis, podemos informar:

a) quantos alunos se alimentam por período, por classe ou por mês;

69

b) qual é o consumo unitário de arroz, açúcar, macarrão, sal, batatinha, tomate,

etc.;

c) qual é o preço dos produtos citados anteriormente;

d) qual o consumo de água e gás.

Essas são variáveis, podem ser inseridas no problema, conforme o ano do

ensino em que a atividade será utilizada.

O dia-a-dia em sala de aula proporciona ao professor excelentes situações para

o uso da geometria, veja os exemplos a seguir.

• Paulo, por favor, pegue este mapa e coloque-o na última carteira da fila da

esquerda.

• Paula, por gentileza, vá até a sala dos professores que fica no final do corredor

na última porta à direita.

• A lanchonete “Bom Preço” está situada na próxima quadra, é a terceira loja à

direita.

• Qual é a maior distância: daqui à sala dos professores ou daqui até a quadra

de esportes?

• Ao sairmos da sala, vamos dobrar à direita e seguir por aproximadamente 30m,

até encontrarmos a biblioteca.

• Qual é a foto maior? Nas fotos, qual homem é maior?

70

A Geometria é um campo fértil para se trabalhar com situações-problema e é um

tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com

noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois

estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar

regularidades e irregularidades.

6.6 Um Pouco de História

Geometria é uma palavra de origem grega (geo = terra + metria = medida, medir

terra) que surgiu no antigo Egito. Todos os anos, o rio Nilo transbordava, inundava o

seu delta e destruía as marcas físicas de delimitação entre as propriedades de terra.

“Os antigos faraós nomeavam funcionários, os agrimensores, cuja tarefa era

avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas

propriedades. Esses agrimensores ou esticadores de corda (assim chamados devido

às cordas entrelaçadas utilizadas para marcar ângulos retos) acabaram por aprender a

determinar as áreas de lotes de terreno, dividindo-os em retângulos e triângulos”. Foi

assim que nasceu a geometria.

6.7 Por que Ensinar Geometria

Desde o nascimento, em seu contato com o mundo exterior, a criança recebe

inúmeras informações relacionadas ao seu entorno. Desde pequena, vive cercada de

objetos que usa ou observa.

As explorações são freqüentemente seguidas pela tentativa de representar o

mundo em que vive, descrevendo e explicando, inicialmente, o que foi observado.

Posteriormente, desenha e constrói imagens de objetos com os quais mantém contato.

Os movimentos no espaço, e a interação com objetos nele existentes, propiciam

o surgimento de noções intuitivas relacionadas ao tamanho dos objetos maior que,

menor que, perto, longe, acima, abaixo.

Essas noções intuitivas servem de alicerce para que o aluno construa

habilidades espaciais, como localizar-se e deslocar-se no espaço em que vive.

71

O ensino da geometria deve propiciar o desenvolvimento de habilidades que o

auxiliarão no seu dia-adia a formular e resolver problemas.

Como foi observado, é de fundamental importância que o aluno estude a

geometria a partir dos seus conhecimentos prévios, por intermédio de situações

concretas, relacionadas ao seu cotidiano.

O pensamento geométrico se desenvolve inicialmente pela visualização: as

crianças conhecem o espaço como algo que existe ao redor delas. As figuras

geométricas são reconhecidas por suas formas, por sua aparência física, em sua

totalidade, e não por suas partes ou propriedades.

Por meio da observação e experimentação, as crianças começam a discernir as

características de uma figura e a usar as propriedades para conceituar classes de

formas.

O ensino da geometria nos anos inicias não deve restringir-se a reconhecer ou

memorizar figuras planas. É fundamental que o ensino propicie ao aluno as habilidades

de localizar-se no espaço, deslocar-se no espaço, perceber as características dos

objetos existentes ao seu redor e relacionar, comparar e reconhecer as principais

características das figuras planas e não planas.

No Ensino Fundamental, o melhor procedimento que permite apresentar as

aplicações da Matemática é a resolução de problemas. A Matemática é reconhecida

pelas suas aplicações nos problemas do dia-a-dia. Porém, geralmente, os alunos, logo

nos primeiros contatos com essa ciência, começam a perder o interesse. Esse fato

pode ser atribuído ao exagero no treino de algoritmos e regras desvinculadas de

situações reais, além do pouco envolvimento do aluno com aplicações da Matemática

que exijam o raciocínio e o modo de pensar matemático para resolvê-las.

As quatro operações fundamentais são importantes no ensino da Matemática.

Porém perdem as suas finalidades, quando dissociadas da resolução de situa-

ções-problema, já a geometria favorece a visualização do problema, oferecendo a

construção de conceitos matemáticos.

72

6.8 Manuseio de Objetos na Aprendizagem da Geometria

Nos anos inicias, devem ser apresentadas situações didáticas que permitam a

familiarização com objetos e com suas características. Para isso, é conveniente

manusear uma grande variedade de objetos com formas diversas, figuras planas e

sólidas. Uma habilidade a ser desenvolvida com os alunos é o reconhecimento e a

classificação das características das figuras planas e espaciais.

As figuras bidimensionais têm comprimento e largura e as tridimensionais, além

das duas dimensões citadas anteriormente, apresentam também a altura.

Em casa, as crianças já fazem a comparação, ao ajudar a mãe na cozinha

separando os pratos fundos dos rasos, colheres, facas, garfos, xícaras e copos ou na

arrumação do seu quarto ou do seu armário. Nesse último caso, a classificação pode

ser por cor, utilidade ou tamanho.

6.9 Ângulos

No nosso dia-a-dia, constantemente convivemos com ângulos. O percurso do

caminho da casa à escola, o simples circular entre as carteiras na sala de aula, ou os

movimentos das nossas pernas e braços descrevem ângulos. Partindo da definição

tradicional da geometria (“Ângulo é o nome dado à abertura formada por duas

semiretas que partem de um mesmo ponto”), o aluno deve entender que ângulo é uma

figura produzida pela mudança de direção.

As crianças, intuitivamente, já conhecem o ângulo. Esse conhecimento deve ser

aprofundado pela escola. Uma atividade bastante comum consiste em utilizar o próprio

corpo da criança, girando uma volta, meia volta, um quarto de volta, à direita ou à

esquerda. Essa atividade permite à criança intuir a noção de medida de ângulo (gira

mais quem girou meia volta ou uma volta inteira?).

É importante reforçar esses conceitos para evitar a concepção errônea de que o

ângulo maior é o ângulo que tem os lados maiores. Quem apresentar essa solução

ainda não assimilou o conceito de que o ângulo é formado pelo giro.

73

Já solidificado o conceito de ângulo, é possível introduzir o conceito de ângulo

reto, encontrado inúmeras vezes na própria sala de aula. As carteiras, os cadernos, os

livros os cantos das paredes, do teto, o quadro são todos exemplos de ângulo reto.

Uma forma simples de se obter o ângulo reto é traçando com um compasso uma

circunferência em uma folha de papel; a seguir, corte o disco e dobre ao meio e

novamente ao meio; pronto: já temos um ângulo reto.

Com esse ângulo reto é possível medir outros ângulos e comparar se são

maiores, iguais ou menores. Nesse caso, é possível introduzir os conceitos de ângulo

obtuso (ângulo > reto); ângulo reto (ângulo = 90o) e ângulo agudo (ângulo < reto).

Desenhando os lados do ângulo reto, introduz-se o conceito de lados de um

ângulo e o conceito de vértice (ponto de encontro dos dois lados do ângulo).

6.10 Proporcionar às Aulas de Matemática Desafios que Gerem o Interesse

Uma aula de matemática, em que os alunos, incentivados e orientados pelo

professor, tenham uma atitude pró-ativa, ou o desejo de buscar soluções para os

desafios que surgirem, é o ideal a ser alcançado por todo professor de Matemática. A

repetição até o cansaço de exercícios que não têm significado, pois pouco aprendizado

oferece ao aluno e, mesmo quando ocorre a fixação, dura um breve período, porque

não tem significado lógico.

O real prazer de aprender Matemática está na satisfação que surge, quando o

aluno, por si só, resolve um problema. Quanto mais desafiador, maior a satisfação em

74

resolvê-lo, saliento que o problema deve ser desafiador e não tão difícil ou quase

impossível de ser resolvido no atual estágio de desenvolvimento do aprendizado, se

este fato ocorre também ocorrerá a desmotivação (para que tentar resolver problemas

que quase nunca são resolvidos?). Esse argumento nos leva a refletir sobre o grau de

dificuldade dos desafios. Como foi dito anteriormente, os problemas devem ser

desafiadores. Isso implica dosagem adequada da dificuldade. Um bom problema

desperta a curiosidade e desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa em

busca da solução.

Antes da década de 60, a resolução de problemas era um processo mecânico e

decorativo, a ponto de quanto mais problemas resolver, mais fácil seria a resolução do

próximo. Essa afirmativa não é totalmente incorreta porque, devido à repetição,

intuitivamente a criança aprendia as diversas fases do processo. Só em meados dos

anos 60 falou-se em metodologia para a resolução de problemas. Surgia, assim, a

matemática moderna.

Para resolver um problema, são necessários, entre vários componentes, dois

procedimentos fundamentais, leitura e interpretação de texto. Inicialmente poderíamos

pensar: estou trabalhando com Matemática ou Língua Portuguesa?

Matemática é a resposta correta. Porém, sem decifrar a linguagem com que o

problema foi escrito, não vamos a lugar nenhum.

Geralmente, a criança não consegue entender o que está sendo solicitado. Isso

nos remete a dois pontos.

O problema pode estar mal formulado e não define concretamente o que se

deseja alcançar. Por exemplo, pedindo: resolva, efetue, calcule. O que é para o

professor e principalmente qual será a interpretação da criança para o comando

resolva? Resolver é:

1. fazer desaparecer aos poucos; extinguir gradualmente.

2. separar os elementos constituintes de um corpo; decompor.

75

3. achar a solução de; explicar, esclarecer, aclarar.

4. decidir depois de exame e discussão; deliberar a respeito de; dar a solução a.

5. deliberar-se ou resolver-se a; decidir, resolver.

6. desfazer, anular, rescindir, distratar.

7. reduzir, transformar, converter, etc.

Essas são algumas das definições para a mesma palavra e o autor do problema

deseja que a criança saiba que ela necessita achar a solução, sem precisar qual deve

ser a solução desejada.

A criança não consegue entender a solicitação do enunciado nem os dados

fornecidos. Cabe, nesse caso, ao professor, trabalhar a habilidade de interpretação do

texto em todos os conteúdos. Os conteúdos transversais que tornam o ensino da

Matemática prazeroso, motivador e mais duradouro no momento em que é percebida a

relação do que se está aprendendo com os demais conteúdos e com o cotidiano da

criança.

Legal! Aprendemos que a resolução de problemas pode ampliar a compreensão

da criança e do jovem sobre o pensamento matemático e a resolução de problemas

aplicados à geometria, além de fornecer o desenvolvimento do pensamento lógico

matemático, poderá representar com as formas geométricas o mundo em que vivemos.

Bons estudos!

A resolução de problemas é de fundamental importância para o aprendizado da

matemática. As cinco fases que constituem a resolução de um problema (definição do

problema; seleção de uma estratégia de resolução; execução da estratégia

selecionada; avaliação do resultado e do processo; auto-avaliação) estão entre elas em

uma relação de complementação e sinergia, favorecendo o aprendizado. A geometria,

76

desde milhares de anos antes de Cristo, é utilizada no dia-a-dia para a resolução de

problemas e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O

trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e

medidas, pois estimula o aluno a observar e perceber semelhanças e diferenças e a

identificar regularidades.

Mediante a geometria, o aluno desenvolve habilidades, tais como localizar-se e

deslocar-se no espaço em que vive.

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência,

1978.

Programa Gestão da Aprendizagem Escolar – Gestar. Geometria I e II.

FUNDESCOLA/DIPRO/FNDE/MEC. Brasília, DF: 2005.

Apresentaremos noções de estatística que serão úteis na prática pedagógica,

com ênfase na construção de gráficos das informações de dados que possam auxiliar a

tomada de decisões, na elaboração de planejamentos em situações didáticas de

ensino e aprendizagem.

77

_________________________________________________________AULA 07

Estatística

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

• construir gráficos das informações de dados, por meio de uma tabela, ressaltar

a importância e os benefícios do uso de gráficos, como fonte de informações;

• compreender e interpretar tabela e gráficos, identificando as informações, para

que possam tomar decisões, na elaboração de um novo planejamento em situações

didáticas de ensino e aprendizagem.

A estatística aplicada à educação, assunto principal desta aula, tem uma forte

ligação com quanto foi discutido, na aula quatro, a respeito das informações que os

alunos trazem para a escola, que não apenas estudam na escola mas vêem em

jornais, revistas, televisão e na internet. Essas informações transmitem conhecimentos,

e proporciona ao aluno oportunidades de interpretar e analisar os fatos que envolvem

as informações, desenvolvendo o seu raciocínio lógico matemático.

A estatística surge como âmbito disciplinar essencialmente prático na reflexão

matemática. Talvez por isso ela costuma provocar o interesse dos alunos do Ensino

Fundamental. No centro dos estudos estatísticos, retomamos o estudo dos números

naturais, dos números racionais na forma decimal, um pouco de geometria para

representar os gráficos e tabelas, vistos nesse material nas aulas quatro, cinco e seis.

78

Ao estudarmos estatísticas, temos uma gama de informações, e a essas

informações, saberes, é dado o nome de Tratamento da Informação, trabalhado nos

Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática como parte da alfabetização.

Quando uma pessoa sabe ler e interpretar dados numéricos dispostos e organizados,

dizemos que é alfabetizada. Existem várias formas de se usar essa linguagem, e os

meios de comunicação usam essa linguagem diariamente.

Entretanto é preciso decodificar, compreender as representações visuais,

interpretar e analisar quais as informações que lhe são passada.

O ensino da Matemática, nos últimos anos, tem sofrido mudanças significativas,

principalmente no que diz respeito às metodologias utilizadas como estratégias de

ensino. Uma das mais importantes estratégias de ensino emergentes é a utilização de

problemas que envolvam situações cotidianas na introdução de conteúdos do currículo

a ser ensinado.

Para introduzirmos o estudo da estatística nos anos iniciais, podemos fazer da

mesma forma, para isso será necessário conhecermos um pouco do método estatístico

e suas representações, aplicando um problema do qual toda a turma participe como

também poderá convidar outros professores de outras disciplinas para fazerem parte

desse trabalho.

7.1 Estatística

No sítio Wikipédia <http://pt.wikipedia.org>, a enciclopédia livre, tem-se a

seguinte definição sobre estatística: a estatística é também uma ciência e prática de

desenvolvimento de conhecimento humano, por meio do uso de dados empíricos.

Baseia-se na teoria estatística, um ramo da matemática aplicada.

Na teoria estatística, a aleatoriedade e incerteza são modeladas pela teoria da

probabilidade. Algumas práticas estatísticas incluem, por exemplo, o planejamento, a

79

sumarização e a interpretação de observações. Porque o objetivo da estatística é a

produção da melhor informação possível, a partir dos dados disponíveis. Alguns

autores sugerem que a estatística é um ramo da teoria da decisão. Como o tratamento

da informação é importante para o nosso dia-a-dia, precisaremos compreender melhor

essa ferramenta, tão utilizada nos meios de comunicação.

Um passo importante para podermos estudar a estatística é selecionar o

conjunto que iremos trabalhar; para isso, precisamos compreender o que é uma

População e Amostra. Chamamos de população ao conjunto formado por todos

os fatos, pessoas, ou objetos que possuem características comuns, e amostra é um

subconjunto não vazio dessa população.

7.2 Processo Estatístico

Para podermos trabalhar a estatística aplicada à educação, iremos utilizar a

estatística descritiva, em que temos algumas fases do método estatístico: cada fase é

muito importante no processo. Veja quais são:

• a elaboração do problema – é o primeiro passo, pois temos que definir o que

queremos estudar, ou analisar.

• o planejamento – é uma das partes principais de processo, pois definiremos o

que fazer, como fazer e onde fazer.

• a coleta de dados – será aplicada de acordo com o planejamento, no qual os

dados serão todos coletados e agrupados.

• a organização ou apuração dos dados – é a parte do processo no qual serão

observadas todas as informações coletadas, selecionadas e organizadas.

• a representação dos dados – poderá ser feita por tabela ou gráfico, que

representará o resultado do estudo.

• a análise e interpretação dos dados – é a ultima parte do processo estatístico

na qual obtemos a(s) resposta(s) da pergunta na elaboração do problema.

80

7.3 Apresentação de Dados Estatísticos

Para representarmos os dados estatísticos, vamos dividir o estudo em duas

partes: variável discreta e variável contínua. Quando o conjunto dos possíveis valores

distintos for pequeno, trabalharemos esse conjunto como uma variável discreta.

Quando o número de valores distintos for grande, trabalharemos esse conjunto como

uma variável contínua.

7.3.1 Distribuição de Freqüência para Variáveis Discreta

Quando temos um conjunto de valores dos quais alguns valores são repetidos

ou não, iremos representá-lo por meio de uma tabulação, onde a primeira na coluna

serão colocados os valores em ordem crescente e na segunda coluna o número de

vezes que esse valor se repete (freqüência simples), essa representação é mais

eficiente quando o número de elementos distintos dos dados estudados forem

pequenos.

Ex.: em uma escola Sol Nascente, na turma da 3ª série do Ensino Fundamental,

tem 15 alunos com as seguintes idades: 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12,

12. Representando essa turma em uma distribuição de freqüência para variáveis

discreta.

81

Para representarmos essa série para variáveis discreta em um gráfico, basta

apenas montarmos um sistema de eixos cartesianos e representar a quantidade dos

elementos das freqüências por uma haste correspondente à idade de cada aluno.

7.3.2 Distribuição de freqüência para variáveis contínuas

Quando temos um conjunto de valores ou elementos distintos, não compatível

com a distribuição de valores através da variável discreta, utilizaremos a variável

contínua.

Para a construção de uma distribuição utilizando o critério para variável

contínua, vamos precisar de alguns conceitos as seguir.

I. Amplitude total de uma seqüência. Determinada pela diferença entre o maior e

o menor elemento da seqüência.

II. Intervalo de classe. É uma subdivisão da amplitude total de uma seqüência.

82

III.Limite de classe. Temos dois limites: o superior, que é o maior valor nessa

classe, e o limite inferior, que é o menor valor dessa classe.

IV. Amplitude do intervalo de classe. Determinado pela diferença entre o limite

superior e o limite inferior de uma mesma classe.

V. Número de classes. O número de classe depende muito do número de

valores da seqüência e o critério que o pesquisador queira utilizar. Um dos critérios

mais simples é o critério da raiz quadrado do número de elementos da seqüência.

Ex.: da mesma turma da Escola Sol Nascente, determinou-se a altura dos 15

alunos.

Representando essa seqüência em uma distribuição para variáveis contínuas.

1. Vamos determinar a amplitude total da seqüência. A = Xmáx , maior t– Xmín

elemento da série menos o menor elemento da série. At = 1,15 – 0,75 = = 0,40.

2. Vamos determinar o número de classes que vamos utilizar. Como são 15

elementos temos que k = 15 √4, o valor não precisa ser o valor exato da raiz quadrada,

mas sim o valor aproximado, para mais ou para menos a critério do pesquisador.

3. Agora determinaremos a amplitude de classe

4. Determinando os limites de cada classe. Li limite superior e li limite inferior da

classe. I1 = 0, 75 e L 1 = 0,75 + 0,10 = 0,85

Construindo a tabela:

83

Para representarmos essa série para variáveis contínuas em um gráfico, basta

montarmos um sistema de eixos cartesianos e representar os elementos por meio de

retângulos justapostos, observando o limite superior e o limite inferior da classe e suas

respectivas freqüências.

Agora que já aprendemos a representar um gráfico para as variáveis contínuas e

discretas, vamos aplicar esse conhecimento em uma situação problema na sala de

aula.

Como poderíamos fazer esse processo na sala de aula? Utilizando as fases do

método estatístico nas séries iniciais em uma sala de aula.

84

I. Na elaboração do problema, convide toda a turma para fazer parte, anotando

todas as sugestões, para que eleja um problema que será estudado.

II. Depois da escolha do problema, faça um planejamento de como será feito a

coleta de dados, por quem será feito essa coleta.

III. Já escolhida a forma como será feita à coleta de dados, vamos desenvolver

de acordo com o planejamento. Essa fase chama de coleta de dados.

IV. Como já temos esses dados, agora vamos organizar, pode ser em ordem

crescente ou ordem decrescente, se esses dados forem variáveis quantitativas

numéricas. Sendo dados com variáveis qualitativas, organize em aspectos de

qualidade (ex.: nome, cor do cabelo, estado onde nasceu), onde cada informação

comum será agrupada. Logo teremos todos os dados coletados e organizados.

V. Com os dados organizados, podemos construir uma tabela ou gráfico que

represente as informações coletadas.

VI. Depois de representar esses dados, escreveremos um relatório de conclusão

da análise feita pelos dados informados na tabela ou gráfico.

Assim, poderemos fazer várias perguntas, e o aluno buscará a resposta no

gráfico ou relatório.

Você percebeu, desta forma, que a estatística pode e deve ser utilizada em sala

de aula como um meio de auxiliar a aprendizagem dos alunos.

A estatística é de fundamental importância para a compreensão leitura e

interpretação dos gráficos que tratam das informações. A estatística, desde milhares de

anos antes de Cristo, é utilizada no dia-a-dia para determinar o número de soldados

que o rei ou governante possui, o número de óbitos dos soldados durante uma guerra,

o número de nascimentos de pessoas de uma determinada vila, a produção agricola, a

85

arrecadação dos impostos, os fatos sociais, mas relevante se assim outras informações

de que os governantes precisavam para tomar suas decisões. O trabalho com noções

de estatística contribui para a aprendizagem do tratamento da informação. Mediante a

estatística, o aluno desenvolve habilidades, tais como construção, leitura e

interpretação de gráficos e ou tabela, analizar e compreender as informações contidas

nas tabela ou gráfico.

WIKIPÉDIA. Enciclopédia livre. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso

em: 01 marc. 2011.