Medidas de Tendência Central.

Depois de se fazer a coleta e a representação dos dados de uma pesquisa, é comum analisarmos as tendências que essa pesquisa revela. Assim, se a pesquisa envolve muitos dados, convêm sintetizarmos todas essas informações a um mínimo de parâmetros que possam caracterizá-la. Esses parâmetros podem ser de:

Centralização: média aritmética, mediana e moda. Dispersão: Intervalo de variação, desvio médio, variância e desvio padrão.

Média Aritmética.

Acompanhe a situação a seguir:

Uma livraria vende a seguinte a quantidade de livros de literatura durante uma certa semana:

2ºFeira 3ºFeira 4ºFeira 5ºFeira 6ºFeira Sábado28 23 22 27 25 13

28+23+22+27+25+136

=1386

=23

O número 23 é chamada média aritmética dos números 28, 23, 22, 27, 25 e 13.

A média aritmética significa que, se numa situação imaginária a venda diária dessa semana fosse sempre a mesma, ou seja, 23 livros por dia, iríamos obter o mesmo o mesmo total de livres vendidos: 138.

Assim, na 4º feira e no sábado a venda da livraria foi abaixo da média, enquanto que na 2º, 5º e 6º feira foi acima da média.

Isso é facilmente observado no gráfico:

2º 3º 4º 5º 6º sábado Média 0

5

10

15

20

25

30

Livros

Livros

Média aritmética (x) dos valores x1 , x2 , x3+……+xn é o quociente entre a soma desses valores e o seu número

total n:

x=x1+x2+x3+……+xn

n

Média Aritmética Ponderada.

A tabela a seguir mostra a distribuição dos salários de uma empresa.

Salários (em reais) Número de Funcionários600,00 12900,00 71.200,00 51.800,00 64.500,00 8Total 38

Qual a média salarial dos funcionários dessa empresa?

Observando a tabela, temos:

12 funcionários ganham 600,00 (600,00 se repete 12 vezes) 7 funcionários ganham 900,00. 5 funcionários ganham 1.200,00. 6 funcionários ganham 1.800,00. 8 funcionários ganham 4.500,00.

Assim a média salarial x desses funcionários pode ser calculada da seguinte forma:

x=600,00 .12+900,00.7+1.200,00 .5+1.800,00 .6+4.500,00 .812+7+5+6+8

x=7.200,00+6.300,00+6.000,00+10.800,00+36.000,0038

x=66.300,0038

x≅ 1.744,73ou x≅ R $1.744,73Portanto, a média salarial dos funcionários dessa empresa é de R$ 1.744,73.

Essa média é conhecida como média aritmética ponderada e o número de vezes em que o salário se repete é peso.A média aritmética ponderada facilita o cálculo de médias, quando há valores que se repetem várias vezes. Nesse caso, multiplicamos os valores pelo número de vezes (peso) em que eles ocorrem:

x=x1 f 1+x2 f 2+…+ xn f n

f 1+ f 2+…+ f n ou x=

∑i=1

n

x i f i

∑i=1

n

f i

Exemplos.

1- No ano 2000, o número de nascimentos, por mês, em uma maternidade foi:

Mês Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov.

Dez.

Nascimento 38 25 42 30 29 47 18 36 38 43 49 37

a-) Calcule a média mensal de nascimentos.b-)Em que meses o número de nascimentos ficou acima da média?

2- A classificação final para um determinado curso é a média ponderada das provas de capacidade geral, com peso 3, e das provas de capacidade específica, com peso 2. Nessas condições, qual é a classificação final de um aluno que obteve 162 pontos na prova de capacidade geral e 147 pontos na prova de capacidade específica?

3- O quadro de distribuição de frequências representa os salários mensais de 40 empregados de uma firma. Calcule o salário médio mensal dos empregados dessa firma.

Classe (em reais) Ponto Médio da Classe ( x ). Frequência (f i ).¿ 190 4

¿ 210 18

¿ 230 10

¿ 250 5

¿ 270 3

Mediana.

Veja os números abaixo. Eles correspondem às alturas (em m) dos 11 jogadores selecionados para o time de futebol de uma escola:

1,60; 1,52; 1,66; 1,68; 1,69; 1,66; 1,64; 1,48; 1,61; 1,66 e 1,62. (dados brutos).

Em ordem crescente:

1,48; 1,52; 1,60; 1,61; 1,62; 1,64; 1,66; 1,66;1,66; 1,68; 1,69.

Observe que um dos alunos ficou na posição média da fila, ou seja, ficaram cinco antes dele e cinco depois. Por esse motivo o valor 1,64 é chamado de mediana daquele conjunto de alturas.

Observe ainda que, se o aluno que mede 1,48 saísse dessa fila, ela ficaria apenas com 10 alunos, e não existiria um aluno na posição média, mas sim dois alunos na região central.

Vamos formalizar a idéia de mediana.

Seja um conjunto de dados com n elementos, colocados ordenadamente.

Chama-se mediana desse conjunto:

Ao elemento que ocupa a posição média, no caso de n ser impar;

À média aritmética dos dois elementos mais internos, no caso de n ser par.

Assim por exemplo, antes de “o baixinho” sair, temos:

1,48; 1,52; 1,60; 1,61; 1,62; 1,64; 1,66; 1,66; 1,66; 1,68; 1,69.

Como n é impar a mediana é 1,64. Indicamos assim:

M d=1,64

Após a saída do “baixinho”, a fila fica assim:

; 1,52; 1,60; 1,61; 1,62; 1,64; 1,66; 1,66; 1,66; 1,68; 1,69.

Como n é par a mediana será:

M d=1,64+1,66

2=3,32

=1,65.

Assim como a média procura representar um conjunto de dados dentro de certo critério, a mediana também procura representá-lo, mas dentro de outro critério.

Moda.

Quando ouvimos dizer que alguém está “fora da moda”, imediatamente imaginamos que esse alguém não se apresenta “como a maioria”.

Pois é, considerando um conjunto de dados, chama-se moda ao elemento (ou elementos) que ocorrer um maior número de vezes.

Assim, dado o conjunto:

1,48; 1,48; 1,50; 1,53; 1,55; 1,58; 1,58; 1,60; 1,60; 1,60; 1,60; 1,68;

Temos que a moda é 1,60, pois:

1,48 e 1,58 aparecem 2 vezes; 1,50; 1,53; 1,55; 1,68 aparecem 1 vez; 1,60 aparece 4 vezes.

Indicamos isso por : M o=1,60.A moda, assim como a média e a mediana, procura, dentro de certo critério, representar o conjunto de dados.

Medidas de Dispersão.

Veremos agora algumas medidas chamadas medidas de dispersão, que procuram mostrar como os elementos do conjunto se comportam em torno da região central, ou seja, medidas que mostram se eles estão mais ou menos dispersos.Por exemplo, num jogo de duplas de tênis, são conhecidas as idades dos jogadores:

Equipe A Equipe BO jogador 1 tem 26 anos; O jogador 1 tem 45 anos;O jogador 2 tem 24 anos. O jogador 2 tem 5 anos.

Veja que, nos dois casos, a média das idades é a mesma, ou seja, 25 anos.

No entanto, as idades da equipe B estão bem mais dispersas em torno da média do que as idades da equipe A.

Duas medidas de dispersão serão vistas aqui: Variância e Desvio-Padrão.

Variância.

Veja, por exemplo, o conjunto de dados:

2, 5, 6, 8, 14,

Onde a média aritmética é 7. A diferença entre cada valor é a média é chamada desvio. Assim, os desvios para o nosso conjunto de dados serão:

x i−x 2 - 7 = -55 – 7 = -2 6 - 7 = -1 8 – 7 = 114 – 7 = 7

Soma = 0

Observação: a soma dos desvios é sempre nula.

Chamamos variância de um conjunto de dados a média aritmética dos quadrados dos desvios. No nosso exemplo, temos:

Valores Média Desvio Quadrados dos Desvios

2 7 -5 255 7 -2 46 7 -1 18 7 1 114 7 7 49

SOMA 80

A variância é : 805

=16e é indicada por Sx2=16

Desvio-Padrão

O desvio-padrão é definido como a raiz quadrada da variância, sendo indicado por

Sx · . Assim,nonosso exemplo , temos : Sx=√16=4.

Desvio Médio.

A média aritmética dos valores absolutos dos desvios para a média é uma medida de dispersão chamada

desvio médio, que se indica por dm.

dm=∑i=1

n

|x1−x|

∑i=1

n

f i

.

Exemplo 1- O quadro a seguir mostra as notas de um aluno em Matemática durante um ano letivo:

Bimestre 1º 2º 3º 4ºNotas 5 8 6 9

Vamos calcular a média aritmética deste aluno:

x=5+8+6+94

=284

=7

Calculemos, agora, as diferenças entre cada uma das notas e a média. Essas diferenças são chamadas de desvios

para a média ou de desvios. (x i−x ) :

x1−x=5−7=−2→x2−x=8−7=1→x3−x=6−7=−1→x 4−x=9−7=2.

dm=∑i=1

n

|x1−x|

∑i=1

n

f i

→dm=|x1−x|+|x2−x|+|x3−x|+|x4−x|

4→dm=

|−2|+|1|+|−1|+|2|4

=64=1,5

Exemplo 2- Considere uma situação na qual os dados se agrupam em uma distribuição de frequências. O quadro abaixo mostra a distribuição dos erros cometidos por 25 alunos numa prova de Biologia. Nessas condições, qual é o desvio médio dessa distribuição?

Nº de erros x i Nº de alunos f i 0 31 62 83 54 25 1

Calculamos a média aritmética:

x=0∗3+1∗6+2∗8+3∗5+4∗2+5∗125

=0+6+16+15+8+525

=5025

=2

Calculando os desvios para média aritmética dos dados (x i−x ) :

0-2= -2 3-2=11-2=-1 4-2=22-2=0 5-2=3

Calculando o desvio médio:

dm=|−2|∗3+|−1|∗6+|0|∗8+|1|∗5+|2|∗2+|3|∗1

25

dm=|−6|+|−6|+|0|+|5|+|4|+|3|

25=2425

=0,96

Quando os dados da distribuição estão agrupados, a fórmula para o cálculo do desvio médio é:

dm=∑i=1

n

f i|x1−x|

∑i=1

n

f i

.

Exercícios.

1- Determine a mediana dos seguintes conjuntos de dados:a- 20; 45; 34; 67; 45; 96; 32; 76; 12; 87; 14; 29; 44; 55; 39.

Mediana 12; 14; 20;29;32;34;39;44;45;45;55;67;76;87;96. b- 2,3; 4,5; 7,6; 1,3; 4,8; 3,2; 9,7; 4,5; 9,1; 2,7; 2,6; 5,4; 9,2.c- 25; 65; 34; 87; 46; 12; 32; 98; 44; 46; 72; 88.d- 1,2; 3,2; 5,6; 3,4; 7,8; 5,5; 7,7; 6,6; 2,7; 3,3.

2- Veja a tabela seguinte. Ela mostra as alturas em cm, dos alunos de duas turmas, uma com 13 elementos, e outra com 12. Determine a mediana das alturas de cada uma das classes.

TURMA 1 TURMA 2155 156142 150160 162157 152165 163173 171155 148144 165173 169158 153160 154158 170166 -

3- Determine a moda nos conjuntos de dados seguintes:a- 56, 54, 57, 52, 55, 54, 49, 48, 57, 55, 52, 55. b- 2,45; 2,55; 2,54; 2,54; 2,56; 2,54; 2,53; 2,56.

4- Os dados abaixo se referem às alturas de 9 pessoas.

1,62 1,65 1,65 1,65 1,68 1,7 1,71 1,75 1,8

Lembrando que x indica a média aritmética simples, M d indica a mediana e M o indica a moda, determine:

3 . x+2 . M d−M o

5- Determine a variância e o desvio-padrão para o conjunto de dados seguintes:72, 70, 65, 64, 70, 71, 68, 65, 66, 70, 72 e 75.

6- Uma pequena indústria de confecções produz por semana 150 camisetas brancas, ao custo unitário de R$ 12,00; 180 camisetas estampadas, ao custo unitário de R$ 15,00; e 170 camisetas personalizadas, ao custo unitário de R$ 16,00. Determine o custo médio de uma camiseta.

7- Num circo existe um casal de gigantes e um casal de anões. O gigante tem 2,30 m de altura e sua mulher, 2,15m. O anão tem 75 cm de altura e sua mulher, 60 cm. Determine a variância e o desvio-padrão das alturas deles.

8- A tabela seguinte mostra o número de acertos num teste de 10 questões, aplicado numa sala de aula com 50 alunos.

Nº do Teste Nº de Acertos1 452 303 124 255 406 487 358 10

9 2010 15

Determine:a- A média de acertos;b- O desvio padrão dessa distribuição;

9- Considerando a distribuição de freqüências representada pelo quadro abaixo, determine:

a- A média aritmética (x ¿;

b- O desvio médio.

i classes Ponto. médio da classe (x i)

f i f i . x i |x i−x| f 1|x i−x|

1 ¿ 2

2 ¿ 6

3 ¿ 8

4 ¿ 35 ¿ 1

20

10- As alturas dos jogadores de um time de basquete são, em centímetros: 195, 198, 201, 192 e 204.Nessas condições, determine:a- A média das alturas;b- O desvio médio.

11- A tabela abaixo mostra o número de votos por classe de dois candidatos que estão concorrendo a uma vaga de representante no conselho da escola. a- Calcule o desvio padrão de cada um desses candidatos.b- Qual dos dois candidatos é o mais regular?

Candidato Classe 3ºA 3ºB 3ºC 3ºD 3ºE 3ºFVítor 12 15 12 16 14 15Rafael 12 11 18 9 19 15

12- As velocidades máximas das cinco voltas dadas em um teste de Fórmula 1, em km/h, foram : 190, 196, 204 e 202. Nessas condições, determine:a- A média das velocidades;b- A variância;c- O desvio padrão.

13- (UFPR) Dado um conjunto X = { x1; x2; x3; ......; xn} com n elementos, definimos a média Xm e o desvio padrão d de X por :

Xm={x 1; x 2; x 3; ...... ; xn

n ; d=√¿¿¿;

Uma informação útil para quem analisa um conjunto de dados como X é que a maioria desses dados pertence ao intervalo C = {Xm – 2d, Xm + 2d}.

Sendo X = {52,4 ,72,3 } um conjunto de dados:

a- Calcule a média Xm e o desvio padrão d.b- Verifique quais dados do conjunto X acima pertencem ao intervalo C.

14- Calcule a mediana do conjunto de dados representados pelo quadro abaixo.

x i f i8 712 1616 20

20 5

15- Considere o quadro, que representa a distribuição das áreas cultivadas, em hectares, de uma determinada região.Dados: x i=área emhectares; f i=númerode áreas cultivadas .

x i f i¿ 30¿ 35¿ 60¿ 35¿ 15¿ 8¿ 2

Determine:a- A classe mediana;b- A mediana da distribuição

16- O quadro abaixo nos mostra a distribuição de frequências absolutas dos pesos de 250 pessoas. Nessas condições, determine:a- A classe medianab- O valor da mediana.

Peso (em kg) f i[50;60[ 20[60;70[ 60[70;80[ 90[80;90[ 44[90;100[ 36

17- A tabela seguinte nos mostra o número de operários acidentados por mês numa fábrica, durante o ano de 2000.

Mês Jan. Feve. Março Abril Maio Junho Julho Agosto Set.Nº operário

4 8 3 6 7 7 3 8 4

Mês Outubro Novembro Dezembro

Nº operário

4 3 3

Organize uma tabela de distribuição de frequências e determine:a- a média aritmética dessa distribuição.b- O desvio médio.

18- Determine a média aritmética e o desvio médio, dos valores apresentados na tabela seguinte:

x i 2 3 4 5 6 7f i 5 10 15 12 5 3