apostila matemática financeira.pdf

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Faculdade de Cincias Econmicas

Departamento de Cincias Administrativas

Centro de Ps-Graduao e Pesquisas em Administrao

CEPEAD

CLCULO FINANCEIRO

Professor Robert Aldo Iquiapaza

Professor Aureliano Angel Bressan

Belo Horizonte/Minas Gerais

Abril/2014

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ANBIMA Associao Brasileira das Entidades dos Mercados Financeiro e de Capitais

BACEN, BCB Banco Central do Brasil

BM&FBovespa Bolsa de Valores, Mercadorias e Futuros

CDB Certificado de depsito bancrio

CDI Certificado de depsito interfinanceiro

CETIP Central de Custdia e Liquidao de Ttulos Privados

CVM Comisso de Valores Mobilirios

IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica

IGP-DI ndice Geral de Preos de Disponibilidade Interna

IPCA ndice de Preos ao Consumidor Amplo

LTN Letra do tesouro nacional

NTN Nota do tesouro nacional

SELIC Sistema Especial de Liquidao e Custdia

VP=PV=P Valor presente

VF=FV=S=F Valor futuro

PMT = R Prestao, anuidade

TIR = IRR Taxa interna de retorno

TIRM = MIRR Taxa interna de retorno modificada

TRR Taxa requerida de retorno

SAC Sistema de Amortizao Constante

SACRE Sistema de Amortizao Crescente

VPL = NPV Valor presente lquido

YTM Retorno at o vencimento

Sumrio

1. Introduo .............................................................................................................. 6

2. Conceitos Bsicos e Simbologia ......................................................................... 7

2.1. Matemtica Financeira ....................................................................................... 7

2.2. Conceitos, smbolos e convenes .................................................................. 7

3. Uso de Calculadora Financeira e Excel ............................................................. 10

3.1. Introduo a calculadora HP12c ..................................................................... 10

3.1.1. Configuraes ............................................................................................... 10

3.1.2. O sistema de pilha ......................................................................................... 11

3.1.3. As operaes bsicas ................................................................................... 11

3.1.4. Trocar o sinal de um nmero ....................................................................... 12

3.1.5. Teclas f e g ..................................................................................................... 12

3.1.6. Limpeza dos registradores ........................................................................... 13

3.1.7. Memrias ........................................................................................................ 13

3.1.8. Operaes com datas ................................................................................... 13

3.1.9. Outras operaes .......................................................................................... 14

3.1.10. Porcentagem ................................................................................................ 14

3.1.11. Exerccios com a HP-12c ............................................................................ 14

3.2. Introduo planilha eletrnica Excel ........................................................... 15

3.2.1. Uma planilha Excel para um caso de vendas ............................................. 16

3.2.2. Exerccio com Excel ...................................................................................... 17

4. Capitalizaes Simples e Composta ................................................................. 19

4.1. Capitalizao simples ...................................................................................... 19

4.2. Exerccios com capitalizao simples ........................................................... 20

4.3. Capitalizao composta ................................................................................... 21

4.3.1. A HP-12c e a capitalizao composta .......................................................... 25

4.4. Exerccios com capitalizao composta ........................................................ 25

5. Classificao das taxas de juros ....................................................................... 27

5.1. A classificao das taxas de juros ................................................................. 27

5.1.1. Inflao ........................................................................................................... 27

5.1.2. Taxas nominais ............................................................................................. 27

5.1.3. Taxas efetivas ................................................................................................ 27

5.1.4. Taxa de juros reais ........................................................................................ 29

5.2. Relaes entre taxas de juros efetiva (i) e taxa real (r) ................................. 29

5.3. Taxas de juros equivalentes ............................................................................ 29

5.4. Taxas proporcionais ........................................................................................ 30

5.5. Exerccios de taxas de juros ........................................................................... 31

6. Descontos ............................................................................................................ 33

6.1. Tipos de desconto ............................................................................................ 33

6.1.1. Desconto racional simples ........................................................................... 33

6.1.2. Desconto comercial simples ........................................................................ 34

6.1.3. Desconto racional composto ....................................................................... 37

6.2. Exerccios sobre descontos ............................................................................ 39

7. Sries de Pagamentos ........................................................................................ 41

7.1. Primeiras consideraes ................................................................................. 41

7.2. Termos vencidos .............................................................................................. 42

7.2.1. Valor futuro em termos vencidos ................................................................ 43

7.2.2. Prestaes e valores futuros ....................................................................... 45

7.2.3. Valor presente de uma srie de valores ...................................................... 46

7.2.4. Prestaes e valores presentes ................................................................... 48

7.3. Termos antecipados......................................................................................... 49

7.3.1. Valor futuro em termos antecipados ........................................................... 50

7.3.2. Prestao em conjunto com valores futuros .............................................. 52

7.3.3. Valor presente em termos antecipados ....................................................... 53

7.3.4. Prestaes e valores presentes ................................................................... 55

7.4. Exerccios com sries de pagamentos........................................................... 56

8. Equivalncia de Fluxos de Caixa ....................................................................... 57

8.1. Equivalncia de capitais ou fluxos a juros simples ...................................... 57

8.2. Equivalncia de capitais ou fluxos a juros compostos ................................ 58

8.3. Exerccios sobre equivalncia de fluxos ........................................................ 58

9. Mtodos de Avaliao de Fluxos de Caixa ....................................................... 60

9.1. Mtodos de anlise .......................................................................................... 60

9.2. Payback (Tempo de retorno) ........................................................................... 60

9.3. Taxa interna de retorno (TIR) .......................................................................... 61

9.4. Valor presente lquido (VPL) ........................................................................... 62

9.5. O VPL versus a TIR .......................................................................................... 62

9.6. Taxa interna de retorno modificada (TIRM) .................................................... 64

9.7. Exerccios sobre avaliao de fluxos de caixa .............................................. 67

10. Sistemas de amortizao .................................................................................. 68

10.1. Sistema de amortizao constante - SAC .................................................... 68

10.2. Sistema Francs de prestao constante .................................................... 69

10.3. Tabela Price, sistema de prestao constante ............................................ 70

10.4. Sistema de prestao crescente - Sacre ...................................................... 71

10.5. Exerccios sobre sistemas de amortizao ................................................. 72

11. Operaes no sistema financeiro brasileiro ................................................... 73

11.1. Operaes com duplicatas ............................................................................ 73

11.2. Operaes com ttulos pblicos ................................................................... 73

11.3. Letra do tesouro nacional - LTN ................................................................... 74

11.4. Nota do Tesouro Nacional - Srie F, NTN -F ................................................ 76

11.5. Open market ou operaes de mercado aberto .......................................... 78

11.6. Depsitos Interfinanceiros ............................................................................ 78

11.7. Taxa Over ........................................................................................................ 79

11.8. Hot money ....................................................................................................... 80

11.9. Certificado/ Recibo de Depsito Bancrio (CDB/RDB) ............................... 81

11.10. Ttulos privados: Papeis comerciais e debntures ................................... 82

11.11. Exerccios sistema financeiro brasileiro .................................................... 85

Bibliografia ............................................................................................................... 87

Anexos ..................................................................................................................... 88

Anexo A Fator para juros compostos. .................................................................... 88

Introduo 6

1. Introduo

A linguagem matemtica desenvolveu-se para facilitar a comunicao do conhecimento matemtico entre as pessoas. A Matemtica Financeira possui uma linguagem prpria e uma ferramenta til na anlise de alternativas de investimentos ou financiamentos de diversos tipos de bens ou servios. A idia bsica simplificar a operao financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemticos na anlise.

O clculo financeiro e a anlise de investimentos so ferramentas essenciais, de cada dia, na tomada de decises e na gesto financeira das empresas e das pessoas. Dessa forma, o estudo da Matemtica Financeira constitui-se em uma ferramenta importante para os diferentes agentes econmicos, que atuam alm dos mercados financeiros e de capitais. Ou seja, a matemtica financeira utilizada por diferentes pessoas com distintos nveis de conhecimento sobre o assunto. Desde a dona de casa que faz compras a prazo no supermercado at os analistas financeiros dos maiores bancos do pas que vo avaliar se devem financiar ou no a nova planta de uma empresa de grande porte.

A Matemtica Financeira no exclusiva dos profissionais das reas de Administrao, Contabilidade, Controladoria e Finanas, Economia e outras afins gesto empresarial, mas so eles os que deveriam ter um bom conhecimento das tcnicas e procedimentos da matemtica financeira para desenvolver suas atividades do dia a dia realizando os clculos cuidadosamente.

Uma m aplicao dos princpios da matemtica financeira pode levar tomada de decises errada, a enganar as pessoas e a ter prejuzos financeiros. Isto significa que o desconhecimento da matemtica financeira nos pode manter na escurido e ser uma vtima fcil dos conhecedores do assunto.

No cenrio ps-moderno e do ciberespao, as palavras e termos tcnicos, antes privilgio de alguns poucos, passaram a ser cada vez mais parte da linguagem cotidiana. Neste curso, os termos como juros, desconto, paridade de taxa, amortizao de dvidas, valor presente, juros descontados, entre tantos outros sero analisados, especialmente, do ponto de vista prtico.

O contedo desenvolvido considerando a seguinte estrutura: Conceitos bsicos e simbologia; uso de calculadora financeira e Excel (esta parte para quem no est familiarizado com sua utilizao); capitalizaes simples e composta; descontos; equivalncia de fluxos de caixa; sries de pagamentos; mtodos de avaliao de fluxos de caixa; classificao das taxas de juros; sistemas de amortizao e operaes no sistema financeiro brasileiro. Para cada um desses tpicos so apresentados as idias principais, um conjunto de exemplos resolvidos e uma lista de exerccios de prtica.

Conceitos bsicos e simbologia 7

2. Conceitos Bsicos e Simbologia

2.1. Matemtica Financeira

A Matemtica Financeira uma rea da matemtica que aplica seus conceitos no estudo da variao do dinheiro ao longo do tempo. A origem da Matemtica Financeira est intimamente ligada a dos regimes econmicos, o surgimento do crdito e do sistema financeiro.

Todo o desenvolvimento da Matemtica Financeira est ligado utilidade do dinheiro, que gera dinheiro, ao contrrio de sua simples propriedade, que por si s no apresenta rendimento.

2.2. Conceitos, smbolos e convenes

Um dos principais problemas no estudo da Matemtica Financeira advm da Babilnia de termos, smbolos e conceitos desenvolvidos at hoje. A origem desse problema encontra-se na terminologia emprestada de outras lnguas, especialmente da inglesa. A lngua inglesa tem muita influncia determinada, especialmente, pela grande aceitao de calculadoras financeiras que, normalmente, conservam a simbologia matemtica da lngua original. Neste texto teremos que utilizar nomes na lngua portuguesa e smbolos de conceitos nas duas lnguas.

Para evitar problemas com mudanas de unidades monetrias, utilizaremos sempre uma unidade fictcia, chamada de unidade monetria, abreviada por u.m. ou representada por $, junto ao valor.

Capital

Capital ou Principal valor de uma quantia em dinheiro na data zero, ou seja, no inicio de uma aplicao. Capital poder ser o dinheiro investido em uma atividade econmica, o valor financiado de um bem, ou de um emprstimo tomado.

Capital pode ser apresentado sob vrias siglas e sinnimos: C (de Capital); P (de Principal); VP (de Valor Presente); PV (de Present Value); C0 (Capital Inicial).

Juros

Os juros so a remunerao paga pelo uso do dinheiro. Pode ser tanto o rendimento de uma aplicao quanto o juro a ser pago em um financiamento. Diferencia-se do capital por que resulta da aplicao financeira, enquanto o capital o motivo da aplicao financeira. Os Juros sempre so expressos em unidades monetrias, e representam o montante financeiro referente a uma aplicao.

Os juros podem ser apresentados sob vrias siglas e sinnimos: J (de Juros); I (de Interest).

Taxa de juros

A taxa de juros representa a razo entre o juro e o capital (J/C). O clculo da taxa de juros responsvel pela observao da rentabilidade de uma operao financeira, sendo indispensvel para a tomada de deciso de investimentos.

Normalmente representada em forma percentual. Um valor percentual um valor que representa a taxa de juros para um capital de 100 u.m. Para efeito de clculo sempre utilizado a taxa unitria, que aquela que resulta diretamente no juro de um perodo, quando multiplicada pelo capital. Por exemplo: 0,05 = 5%


A taxa de juros normalmente apresentada como: i (de interest tax); r (de Rent).

Outro item importante a considerar nas taxas de juro, que elas sempre devem estar de acordo com o perodo de capitalizao. Pode-se ter taxas mensais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais, anuais. Veja as mais utilizadas:

a.a. - ao ano

a.s. - ao semestre

a.q. - ao quadrimestre

a.t. - ao trimestre

a.m. - ao ms

a.d. - ao dia

Taxa exata e comercial

A taxa exata como chama-se a taxa de juros que considera os dias conforme o calendrio anual, ou seja, 365 ou 366 dias no ano, 28, 29, 30 ou 31 dias no ms.

A taxa comercial a conveno usada nos mercados, onde se considera meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias).

Em algumas aplicaes no mercado financeiros utiliza-se o nmero de dias teis, assim um ano geralmente tem 252 ou 253 dias teis.

Taxa efetiva e nominal

A taxa efetiva a taxa que est sendo referenciada ao perodo de capitalizao.

A taxa nominal a taxa dada em desconformidade com o perodo de capitalizao.

Usualmente utiliza-se para converso, a conveno comercial. Assim, uma taxa anual capitalizada mensalmente deve ser dividida pelo nmero de meses do ano para obter a taxa efetiva.

Prazo

O prazo ou perodo de capitalizao o tempo pelo qual o capital aplicado.

Pode ser representado por n, t, N, T.

Montante

O montante o resultado da soma do capital com o juro. Matematicamente:

M = C + J (considerando-se M a representao de Montante)

Como o resultado da soma do capital com o juro, decorre que o montante calculado apenas no fim da capitalizao.

Outras representaes: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de Future Value); Cn.

Prestao

Prestao a parcela contnua que amortiza o Capital e os Juros

Representaes: R (de Renda); PMT (de payment); Pgto (de Pagamento); a, A (Anuidade).


Desconto

O desconto um abatimento oferecido sobre o valor nominal de um ttulo ou sobre o montante de uma dvida a vencer, quando paga antecipadamente. Geralmente, o desconto expresso em forma percentual. Por exemplo, um produto que custa R$500.00 com desconto de 5% sair R$475.00

O desconto pode ser representado por: d, D.

Capitalizao e Descapitalizao

Chamamos de capitalizao o processo de aplicao de uma taxa de juros sobre um capital, resultando de um juro e, por conseguinte de um montante. Quando queremos saber qual o valor de um montante, estamos querendo saber o resultado da capitalizao do valor atual.

A descapitalizao, por outro lado, corresponde a operao inversa, sabemos o valor do montante e queremos saber o valor atual. Fazemos descapitalizao quando queremos saber, por exemplo, quanto precisamos investir hoje em um determinado regime de capitalizao, durante um determinado nmero de perodos, para ter numa data futura um determinado montante.

Apresentao das variveis na HP

As variveis acima so utilizadas na calculadora financeira Hp12C de acordo com a seguinte nomenclatura:

n ; prazo.

i ; taxa de juros.

PV ; valor presente.

FV : valor futuro.

PMT : prestao.

Uso de calculadora financeira e Excel 10

3. Uso de Calculadora Financeira e Excel

Nos dias atuais no se pode pensar o ensino da matemtica sem utilizar os avanos que a tecnologia disponibiliza. Para o aprendizado da matemtica financeira existem numerosas ferramentas disponibilizadas atravs de softwares que vo desde planilhas eletrnicas at aquelas que integram software e hardware, no qual se encontram as calculadoras financeiras. A Matemtica Financeira no praticada hoje sem o subsdio das calculadoras e das planilhas eletrnicas. As calculadoras tm uma vantagem insupervel que a portabilidade, que junto a sua completa gama de funes permitem sua utilizao em diversos ambientes, especialmente para o aprendizado. As planilhas eletrnicas tm a vantagem da versatilidade e infinita possibilidade de utilizao, desde os mais simples clculos at programao de simulaes mais avanadas.

Atualmente, encontramos disponveis no mercado muitos textos de Matemtica Financeira que incluem apndices sobre o manuseio de calculadoras financeiras e de planilhas eletrnicas, mas so poucos os que apresentam suas ferramentas ao mesmo tempo em que ensinam os tpicos da disciplina. Para o desenvolvimento do presente texto foram selecionadas duas ferramentas comumente utilizadas, tanto no ambiente de aprendizado como no mbito financeiro: a calculadora financeira HP12c e a planilha eletrnica Excel.

3.1. Introduo calculadora HP-12c

Procurou-se apresentar a teoria de modo independente da operacionalidade da calculadora HP-12C, porque ensinar Matemtica Financeira no ensinar a apertar teclas. Embora, a teoria, no que se refere aos conceitos e frmulas, est toda casada com os recursos desta calculadora, de modo a permitir ao estudante grande economia de tempo e dinamismo no ambiente de aprendizado.

Nesta seo, o objetivo o de entender o funcionamento da calculadora, alm de capacitar o estudante a oper-la com destreza. Ainda no sero introduzidos os recursos financeiros da mesma, porque os mesmos sero ensinados juntamente com a teoria nos captulos seguintes.

3.1.1. Configuraes

Para ligar ou desligar, pressione a tecla ON.

Para trocar o ponto decimal pela vrgula decimal (e vice-versa): Desligue a calculadora. Logo, com a tecla . (ponto) pressionada, ligue-a. Contudo, melhor deixar a vrgula como separadora das casas decimais, pois este o modo adotado no Brasil.

Para limitar o nmero de casas decimais: pressione a tecla amarela/laranja f e, em seguida, a tecla numrica indicadora do nmero de casas decimais com que se deseja visualizar. A calculadora mostrar apenas o nmero de casas decimais especificado, embora os clculos internos sejam realizados utilizando todas as 9 casas decimais que a memria da HP permite. Como estamos trabalhando com moeda aconselhvel usar 2 casas decimais (digitando f 2). Se precisar exibir mais de duas casas decimais, digite f seguido do nmero necessrio. Deve-se ter cuidado, este procedimento arredonda no visor o nmero considerado, mas em alguns casos especficos o que desejamos o resultado truncado em determinado nmero de decimais, isso dever ser feito manualmente.


No exemplo mostrado no quadro 1, observe que o nmero digitado 2.4506 pode ser apresentado de forma diferente dependendo do nmero de casas decimais selecionado. A calculadora o exibe como 2.451 com trs casas decimais, como 2.45 com duas casas decimais e como 2.5 com uma casa decimal. Sempre que o nmero posterior casa decimal selecionada seja maior ou igual a cinco, a decimal selecionado ser arredondado aumentando uma unidade. Quando selecionamos trs casas decimais o nmero decimal correspondente zero, mas como o nmero localizado na quarta casa decimal seis o zero apresentado como um (2.451). O mesmo acontece, neste exemplo, quando selecionamos uma casa decimal, o nmero decimal quatro, mas como o nmero na segunda casa decimal cinco o quatro arredondado para cinco (2.5). J quando selecionamos duas casas decimais, o nmero correspondente oito, e como neste caso a terceira casa decimal zero, o nmero no aumentado (2.45). A explicao do fato que 2.4506 esta mais prximo de 2.451 do que 2.450. J 2.45 por estar no meio, a HP o arredonda para cima (2.5).

Quadro 1: Representao do nmero de casas decimais

Pressione Visor

2.4809 ENTER 2.4509

f 3 2.451

f 2 2.45

f 1 2.5

Neste exemplo, caso seja necessrio obter o nmero de decimais truncados em 3, 2, ou 1 casas decimais, os nmeros a serem considerados seriam 2.450, 2.45 e 2,4 respectivamente.

3.1.2. O sistema de pilha

A calculadora HP-12C trabalha com o sistema de registro de pilha, tambm designado por Notao Polonesa Reversa (RPN, em ingls). Com isso, armazena os nmeros digitados em quatro registradores, X, Y, Z e W (T em alguns modelos). Assim, por exemplo, ao digitar um nmero, este aparecer no visor, que considerado o registrador X. Ao se pressionar a tecla ENTER, o nmero digitado passa a ocupar o registrador Y (entrar em Y) e, embora continue a aparecer no visor, o registrador X, este liberado para outro nmero. Se outro nmero digitado e se pressiona a tecla ENTER, este ir para o registrador Y e o que l estava ir para Z, enquanto que o visor (registrador X) ser liberado. Isso semelhante ao processo de empilhar objetos, como livros ou caixas, sendo que o ltimo objeto empilhado corresponde ao registrador X, o penltimo ao Y, o antepenltimo ao Z e o anterior a este ao W (ou T). Ilustra-se esse funcionamento no quadro 2. Toda vez que se pressiona ENTER, os nmeros realizam um movimento para o prximo registro.

3.1.3. As operaes bsicas

As operaes na HP-12C so feitas normalmente com os registradores X e Y. Enquanto ao digitar um nmero qualquer ou ao pressionar a tecla ENTER executado um movimento de empurrar os nmeros no sentido do registrador W (no quadro 3, para cima), as operaes executam um movimento no sentido de puxar os nmeros para o registrador X (no exemplo, para baixo). Por outro lado, ao pressionar uma simples tecla de operao, digamos, a tecla - ou +, a calculadora entender que


deve somar os contedos dos registradores X e Y e exibir a soma no registrador X (que o visor), conforme mostrado no quadro 3, para a seguinte operao: (8 - 100 + 110) x 5 12.

Quadro 2: O sistema de pilha da HP12c

Pressione Visor Registradores

(inicial aps ter feito alguns clculos) 12.48

W = 12 (lixo) Z = -32 (lixo) Y = 23 (lixo) X = 12.48

10 10

W = -32 Z = 23 Y = 12.48 X = 10

ENTER 10.00

W = 23 Z = 12.48 Y = 10 X = 10

8 8

W = 23 Z = 12.48 Y = 10 X = 8

ENTER 8.00

W = 12.48 Z = 10 Y = 8 X = 8

100 100

W = 12.48 Z = 10 Y = 8 X = 100

Os comandos de operaes fazem os contedos de X e de Y desaparecerem, dando origem ao resultado da operao em X. O contedo de Z passa a ocupar Y, W passa ocupar Z e tambm mantido em W. Ao pressionar a tecla ENTER, o valor que estava no visor (7.5), isto , no registrador X, passa para o registrador Y, mas continua no visor, ou seja, temporariamente mantido em X.

3.1.4. Trocar o sinal de um nmero

Pressione a tecla CHS (change sign, do ingls, mudar sinal) para trocar o sinal do nmero (de positivo para negativo e vice-versa).

3.1.5. Teclas f e g

A tecla amarela (laranja) f d acesso s funes que esto em amarelo acima das teclas, enquanto que a tecla azul g d acesso s funes que esto em azul abaixo das teclas.


Quadro 3: A pilha e as operaes bsicas na HP12c (modo RPN)

Pressione Visor Registradores Pressione Visor Registradores

8 8

W = 23 Z = 12.48 Y = 10 X = 8

5 5

W = 12.48 Z = 10 Y = 18 X = 5

ENTER 8.00

W = 12.48 Z = 10 Y = 8 X = 8

x 90.00

W = 12.48 Z = 12.48 Y = 10 X = 90

100 100

W = 12.48 Z = 10 Y = 8 X = 100

ENTER 90.00

W = 12.48 Z = 10 Y = 90 X = 90

- -92.00

W = 12.48 Z = 12.48 Y = 10 X = -92

12 12

W = 12.48 Z = 10 Y = 90 X = 12

110 110

W = 12.48 Z = 10 Y = -92 X = 110

7.50

W = 12.48 Z = 12.48 Y = 10 X = 7.5

+ 18.00

W = 12.48 Z = 12.48 Y = 10 X = 18

ENTER 7.50

W = 12.48 Z = 10 Y = 7.5 X = 7.5

3.1.6. Limpeza dos registradores

Pressionando a tecla CLx se pode limpar o visor (registrador X). Para limpar todos os registradores pressione a tecla f e, em seguida, a tecla que vem com o sobrescrito amarelo CLEAR (limpar, em ingls) REG. Ao pressionar CLEAR REG, no entanto, todos os registradores X, Y, Z e W, e tambm os estatsticos, os financeiros e as memrias sero zerados.

Pressione a tecla x>< y para trocar os contedos dos registradores X por Y (e vice-versa).

3.1.7. Memrias

O nmero que est no visor pode ser guardado pressionando a tecla STO (store) seguida de uma tecla numrica de 0 a 9, ou seguida da tecla . (ponto) e uma tecla numrica de 0 a 9. Para recuper-lo, basta pressionar a tecla RCL (recall) seguida do nmero de 0 a 9, ou de . 0 a . 9 digitado.

3.1.8. Operaes com datas

Para digitar datas necessrio escolher o sistema de datas M.DY ou D.MY (ms, dia, ano ou dia, ms, ano). Quando o visor no mostrar continuamente as letras D.MY o sistema de datas atual o americano (M.DY). Pode mudar isso pressionando a tecla g e em seguida D.MY. Para digitar datas como 18 de junho de 2010, bastar inserir 18.062010 (no sistema americano seria 06.182010).


Para determinar a data que corresponde a um nmero de dias aps a data no visor utiliza-se a funo g DATE. Por exemplo, para determinar o vencimento de uma nota promissria assinada em 18 de junho de 2010 e vence depois de 90 dias, pressionar a seguinte sequncia: [g D.MY] 18.062010 ENTER 90 g DATE. O visor apresentar [ 16,09,2010 4 ] onde o ltimo dgito o dia da semana (neste caso quinta-feira).

Os dias da semana na HP-12C comeam na segunda-feira (1) e terminam no domingo (7). Para se calcular datas retroativas, digitamos o nmero de dias seguido de CHS.

A funo g DYS pode ser usada para calcular o nmero de dias entre duas datas. Por exemplo, determinar o nmero de dias entre a compra de um ttulo de dvida, 13 de abril de 2010, e o vencimento do mesmo, 30 de junho de 2010. Digitar a sequncia de comandos: [g D.MY] 13.042010 ENTER 30.062010 g DYS. O visor mostrar [ 78 ] dias.

3.1.9. Outras operaes

Elevar potncia: 23 = 8 [ 2 ENTER 3 yx ] = [ 8.00 ]

e3 = 20.09 [ 3 g ex ] = [ 20.0855 ]

Calcular a raiz n-sima: para calcularmos razes diferentes da quadrada, devemos usar as teclas 1/x e yx, lembrando a seguinte propriedade matemtica:

5/15 77 = 1.4757

Assim, tirar a raiz quinta de um nmero o mesmo que elev-lo potncia 1/5. Na

HP-12C, o valor de 5 7 calculado com a sequncia:

[ 7 ENTER 5 1/x yx ] = [ 1.4758 ]

3.1.10. Porcentagem

Clculos envolvendo a porcentagem utilizam as funes %, x e %T. Execute os seguintes exemplos:

Um produto no valor de $ 120 foi adquirido com um desconto de 3%. O valor do desconto e o valor pago foram [ 120 ENTER 3 % ] = [ 3.6 ]; [ 120 ENTER 3 % - ] = [ 116.4 ]. Isto , o desconto foi de $ 3.60, e o valor pago foi de $ 116.40.

O preo de uma ao na bolsa caiu de $ 45.4 para $ 34.7. A variao percentual foi [ 45.4 ENTER 34.7 x ] = [ -23.5683 ], ou seja, houve uma queda de 23.57%.

Assistiram apresentao do gerente 123 pessoas, que percentual representam sobre 200 convidadas? [ 200 ENTER 123 %T ] = [ 61.5 ], isto , assistiram somente 61.5% dos convidados.

3.1.11. Exerccios com a HP-12c

1) Considere o clculo da expresso A = 13 5 x 7. Esboce um quadro similar aos apresentados, contendo, para cada tecla apertada, o visor e o contedo dos registradores.

2) Considere o clculo da expresso A = 200 + 321 + 45 x 8. Esboce um quadro similar aos apresentados, contendo, para cada tecla apertada, o visor e o contedo dos registradores.


3) Uma nota promissria foi assinada em 14 de janeiro de 2010 e paga depois de 55 dias. Calcule a data de seu vencimento.

4) Uma prestao foi paga em 4 de fevereiro de 2010 com 60 dias de atraso. Calcule a data de seu vencimento.

5) Uma prestao venceu em 11 de abril de 2010 e foi paga em 15 de maio deste mesmo ano. Calcule o nmero de dias de atraso.

6) Em que dia da semana cair o natal deste ano? E o dia 7 de setembro deste ano?

7) Calcule o resultado das expresses:

a) A1 = 95 b) A2 = e4 c) A3 = 234 d) A4 = 3 234 7 144 e) A5 = ln 234

8) Calcule o valor da expresso A = 434

2342442

x = 0.07055

9) Uma prestao no valor de $ 235 foi paga com atraso e sobre o valor nominal incidiu uma multa de 5%. Qual foi o valor da multa?

10) O preo de uma TV, que era de $ 520,00, foi reajustado no primeiro ms de 5% e no segundo ms de 7%. Calcule o salrio aps o segundo reajuste.

11) Um funcionrio, que ganhava $ 680,00, passou a receber R$ 740,00 mensais. Qual foi o percentual de aumento recebido?

12) Um atacante fez 13 gols dos 18 gols a favor para seu time. Qual o percentual de gols que o atacante fez?

13) Em certo dia de aula, faltaram 5 pessoas de uma turma de 34 alunos. Qual o percentual de presena?

3.2. Introduo planilha eletrnica Excel

Microsoft Excel uma das mais poderosas planilhas eletrnicas disponveis na atualidade. Pode ser considerada como uma grande folha de papel dividida em 256 colunas e 16.384 linhas (verses mais antigas) ou em 16.384 colunas por 1.048.576 linhas (nas verses mais modernas) nas quais podemos armazenar textos e nmeros.

Mas a grande vantagem do Excel est no fato de que os valores e textos armazenados nele podem ser manipulados da forma que o usurio achar melhor para o seu propsito, atravs de um grande nmero de frmulas disponveis para serem usadas a qualquer momento que se fizer necessrio. Pode ser utilizada para as tarefas mais simples, como armazenar informaes e realizar operaes bsicas, at realizar clculos complexos como simulaes que podem demandar vrios dias ou semanas.

Ensinar a usar o Excel est fora do alcance deste texto, para esse objetivo o leitor pode utilizar a alternativa que julgar mais apropriada. Na bibliografia h indicao de material que pode subsidiar esse aprendizado. Mas, nesta seo pode se ilustrar rapidamente a utilizao do Excel para o propsito particular da aplicao para clculos financeiros. Ao longo do curso sero apresentadas as frmulas especficas para os diferentes tpicos abordados no texto.


3.2.1. Uma planilha Excel para um caso de vendas

Considere um caso fictcio, onde existem 4 vendedores de um determinado produto. Os dados mostrados na figura a seguir correspondem s vendas de determinado dia. O preo mnimo e mximo estabelecido pela empresa de $ 120 e $125 respectivamente; cada vendedor pode negociar com o cliente dentro desse intervalo.

Os vendedores tm dois incentivos, um primeiro incentivo obtido pela diferena do preo mdio do dia em relao ao mnimo, recebendo 80% do valor adicional por cada unidade vendida. Um segundo incentivo considera queles que venderam mais de 20 unidades por dia, recebendo 15% do total vendido acima do mnimo (20x120= $ 2400). Ou seja, se o vendedor consegue vender 22 unidades ao preo mdio de 124 ele receber as duas compensaes adicionais ao salrio, na diferena de preo (124 120)x22x80% = $70.40 e na quantidade acima do mnimo (124x22-120x20)x15% = $49.2, fazendo um total de $ 119.60 no dia.

Pode-se construir uma planilha para efetuar esses e outros clculos como mostrado na Fig. 1. Comece digitando as informaes das colunas A, B e C desde a linha 2 at a linha 6. Depois de abrir o Excel aparecer, normalmente, uma planilha em branco, se clicar com o ponteiro do mouse na clula A2 poderemos digitar Vendedor e pressionar a tecla ENTER, o ponteiro se deslocar para a clula A3; a seguir, digitar 1 e a tecla ENTER, logo 2 e a tecla ENTER e assim sucessivamente. De forma idntica, clicar com o ponteiro do mouse em B2 repetindo o procedimento anterior, e continuar at completar as informaes da coluna C. Igualmente inserir as informaes (parmetros) nas clulas entre E9 e F10.

Para calcular a coluna Total clicar em D3, digitar (a frmula) =B3*C3 e pressionar a tecla ENTER, o Excel multiplicar os contedos das clulas B3 e C3 e mostrar o resultado em D3. O mesmo pode ser feito para calcular o total dos outros vendedores. Mas, podem-se utilizar as mltiplas vantagens do Excel para fazer isso, vasta clicar em D3 (onde j inserimos a frmula), pressionar simultaneamente Ctrl + c (tecla Ctrl e tecla c), logo clicar em D4 e pressionar simultaneamente Ctrl + v (tecla Ctrl e tecla v), neste caso a frmula ser copiada em D4, mas atualizando as referncias as clulas da linha 4; o mesmo pode ser feito para copiar a frmula nas clulas D5 e D6.

Figura 1. Exemplo de clculos em planilha Excel


A coluna do Preo base pode ser preenchida digitando os diretamente o nmero 120 em todas as clulas ou usando Ctrl + c e Ctrl + v aps inserir a primeiro nmero, por exemplo, em E3. A coluna Diferena de preo contm a frmula para calcular a diferena do contedo da coluna B com a coluna E; neste caso, por exemplo, podemos digitar a frmula na clula F4 =B4-E4, e depois copiar a mesma para as clulas restantes. Na coluna G calculamos o valor da retribuio do vendedor pela diferena do preo, para isso inserimos a seguinte frmula em G3 =C3*F3*$F$9, ou seja, multiplica a quantidade pela diferena de preo e calcula o 80% desse resultado, esse ltimo parmetro foi inserido na clula F9. Como essa frmula ser copiada para as outras clulas da coluna G utilizamos o smbolo $ antes da coluna e do nmero de linha ($F$9) para fixar a referncia a essa clula. Por exemplo, aps copiar a frmula de G3 para as outras dessa coluna, a frmula em G6 ser =F6*C6*$F$9.

A retribuio pela quantidade um pouco mais complexa e inclui uma condio lgica, o vendedor s recebe e um percentual sobre o excesso, 15%, inserido na clula E10, se ultrapassar 20 unidades, parmetro inserido em F10, caso contrrio no recebe nada. Uma forma de fazer isso utilizar a funo SE do Excel, cujo formato : =SE(condio lgica; se verdadeiro resultado1; se falso resultado2). Ou seja, o resultado vai depender da condio lgica (por exemplo, C3>$F$10), se esta for verdadeira o Excel mostrar o resultado1 e se for falsa o resultado 2. Neste caso, podemos digitar a seguinte frmula em H3:

=SE(C3>$F$10; (D3-E3*$F$10)*$E$10; 0),

e depois copi-la para as outras clulas. Em alguns casos o separador usado nas frmulas pode ser , e no ;.

Na coluna I calcula-se o Total recebido por cada vendedor inserindo na clula I3 =SOMA(G3:H3), essa frmula utiliza a funo SOMA para mostrar o soma de todos os nmeros entre G3 e H3. Pode-se tambm usar uma frmula alternativa =G3+H3, mas esta forma pouco prtica quando se tem muitas clulas a serem somadas. Por exemplo, podemos inserir o total das retribuies adicionais na clula I7 =SOMA(I3:I6). O Excel pode fazer mltiplas coisas mais com as informaes inseridas, tal como calcular o a participao percentual das retribuies adicionais dos vendedores. Para isso, inserir na clula J3 =I3/$I$7 e copi-la para as outras clulas. Assim, observaremos que o vendedor 4 conseguiu mais de 39% do total de retribuies adicionais.

Uma vez concludos os procedimentos anteriores voc ter uma planilha como a mostrada na Fig. 1. A partir da pode comear a fazer outras coisas, por exemplo, simulaes o que acontece se mudar alguma das informaes dos vendedores, ou dos parmetros. Assim, verificar que quando o nmero mnimo de unidades vendidas cai para 18 (substitua o contedo de F10) o vendedor 4 ter uma participao de 36.3% no total de retribuies adicionais (clula J6).

3.2.2. Exerccio com Excel

Construa a planilha a seguir. Algumas das frmulas a serem utilizadas so:

Total do Ativo em C2 =SOMA(C3;C10:C11)

Ativo circulante em C3 =SOMA(C4:C8)

Capital circulante lquido =C3-E3


Liquidez corrente =C3/E3

Liquidez seca =(C3-C7)/E3

Liquidez imediata =SOMA(C4:C5)/E3

Essas frmulas podem ser copiadas para outras clulas, como para o total do passivo e do passivo circulante, e para os indicadores da Cia. Beta, como corresponda.

Fig. 2. Planilha de comparao de liquidez dos balanos

Depois de preencher a planilha pode pedir que o Excel o ajude a analisar as informaes. Por exemplo, inserir as seguintes frmulas:

K4 =SE(ARRED(I4;3)=ARRED(J4;3);"Iguais";SE(I4>J4;CONCATENAR($I$3; " melhor");CONCATENAR($J$3; " melhor")))

H10 =CONCATENAR("Alfa financia ";ARRED(E5/E3*100;2);" % do passivo circulante com fornecedores e ";ARRED(E4/E3*100;2);" % com inst. financeiras")

H11 =CONCATENAR("Alfa tem ";ARRED(C5/C3*100;2);" % do ativo circulante em aplic. financeiras e ";ARRED(C6/C3*100;2);" % com clientes")

H12 =CONCATENAR("Beta financia ";ARRED(E17/E15*100;2);" % do passivo circulante com fornecedores e ";ARRED(E16/E15*100;2);" % com inst. financeiras")

H13 =CONCATENAR("Beta tem ";ARRED(C18/C15*100;2);" % do ativo circulante financiando seus clientes e ";ARRED(C17/C15*100;2);" % em aplic. financeiras")

Capitalizaes simples e composta

19

4. Capitalizaes Simples e Composta

Capitalizao corresponde operao destinada a calcular o valor futuro de um determinado valor presente, considerando uma taxa de juro previamente fixada.

Existem dois tipos ou regimes de capitalizao, simples e composta, conforme o tipo de juro a que se refira: simples ou composto.

4.1. Capitalizao simples

A capitalizao simples se define naquelas situaes em que a taxa de juros pactuada entre as partes incide apenas sobre o capital inicial, portanto, sem a incidncia do que se conhece como juros sobre juros. Neste tipo de capitalizao apenas o capital inicial rende juros, ou seja. A linha de tempo a seguir relata esta situao e j nos permite elaborar frmulas de clculo:

0 1 2 n

i

P S = ?

O valor futuro (S) igual soma do valor presente (P) e os juros (J). Os juros so determinados pela multiplicao do valor aplicado (P), a taxa de juros (i) e o nmero de perodos (n). A partir dessas definies bsicas pode se derivar vrias frmulas de clculo:

S = P + J; J = P.i.n ; P = S J; P = S/(1+i.n)

n

1P

S

i

;

i

1P

S

n

Assim, a frmula fundamental de capitalizao com juros simples e:

S = P (1 + i.n)

Exemplo 1: Qual o montante esperado ao final de 3 meses da aplicao de $500, taxa de 2,75% ao ms. Qual o juro ganho na operao?

0 1 2 3

P = 500 S = ?


20

De acordo definio colocada, os juros a serem ganhos na operao seriam dados por: niPJ

Naturalmente, o montante final arrecadado em 3 meses seria o resultado dos juros ganhos mais o capital inicial aplicado, ou seja: JPS

Por fim, a soma das duas equaes nos propicia a frmula de valor futuro em

capitalizao simples: niPPS , a qual desenvolvida para: niPS 1

Retornando ao nosso exemplo: 25,541$30275,01500 S

V-se no exemplo acima que o prazo e a taxa de juros estavam definidos na mesma unidade de tempo, o que nos permitiu fazer uso direto da frmula. Entretanto, este no sempre o caso e o prximo exemplo mostra os cuidados necessrios.

Exemplo 2: Qual o montante e os juros relativos a uma aplicao de $8.900, a 1,25% ao ms, pelo prazo de 47 dias?

29,074.9$4730

0125,018900

S 29,17447

30

0125,08900 J

Claro que como JPS 29,074.9$29,1748900 S

Em outras situaes, estamos interessados no valor presente (ou valor financiado), quando, ento, a equao deve ser resolvida para .P Vejamos o exemplo seguinte:

Exemplo 3: Quanto deve ser aplicado hoje, taxa de juros de 1,05% ao ms, para que se tenha o montante de $35.000 ao final de 24 meses?

Neste caso, lembre-se que: niPS 1 . Portanto, um giro no eixo da equao necessrio para que isolemos ,P obtendo-se:

niS

P

1

E quanto ao nosso problema:

27,955.27$240105,01

35000

P , que ser o valor a ser

aplicado hoje de forma a possibilitar o valor futuro desejado de $35.000.

4.2. Exerccios com capitalizao simples

1) Calcule os juros que devem ser pagos por utilizar o crdito de $ 300,00 de uma conta corrente durante 15 dias, sabendo que o banco cobra uma taxa de 0,5% a.d. R. 22,5

2) Um banco cobra uma taxa de juros de 12% a.m. para os excessos em conta corrente e um cliente utilizou $ 1.540,00 durante 16 dias. Qual dever ser o valor dos juros a serem pagos? R. 98,56

3) Quais os juros pagos pelo uso de R$ 600,00 de uma conta especial, se a taxa cobrada pelo banco de 11% a.m. e o dinheiro foi usado por 13 dias?. R. 28,60.


21

4) Um capital de $3000 rendeu $800 em 180 dias. Qual a taxa simples anual ganha?

5) Juan recebeu $25644,82, produto de um prmio ganhou em um concurso, depois de quatro meses e 19 dias. Qual foi o valor do prmio e qual o valor dos juros se o dinheiro esteve aplicado em um banco a juros simples de 11% a.a.? R. Juros = 1044,82.

6) O amigo de Juan resgatou um ttulo por $25168. Se a taxa de juros simples aplicada foi de 12% a.a. e os juros totalizaram $968, quanto tempo durou a aplicao? R. 4 meses.

4.3. Capitalizao composta

O regime de juros compostos o mais comum no dia-a-dia, no sistema financeiro e no clculo econmico. A capitalizao composta fica definida quando os juros de cada novo perodo de capitalizao so agregados aos juros relativos ao perodo de capitalizao anterior, gerando a situao que se conhece comumente como juros sobre juros.

Assim, os juros produzidos em cada perodo so capitalizados, formando um novo capital que ir render juros no perodo seguinte. Esta definio explicitada com grfico a seguir, a partir do qual obtemos a frmula fundamental de toda a matemtica financeira, qual seja, a de montante de um valor aplicado por prazo certo e a uma taxa de juros especificada.

O valor futuro (S) igual soma do valor presente (P) e dos juros (J). Os juros so determinados pela composio do valor aplicado (P) mais os juros acumulados at o perodo anterior, a taxa de juros (i) e o nmero de perodos (n). A partir dessas definies bsicas pode se derivar vrias frmulas de clculo com juros compostos:

0 1 2 n

i

P0 P1= P0 + J1 P2= P1 + J2 S = Pn= Pn-1 + Jn

Para o primeiro perodo:

J1 = P0.i;

P1 = P0 + J1 = P0 + P0.i = P0 (1 + i);

Para o segundo perodo:

J2 = P1.i;

P2 = P1 + J2 = P1 + P1.i = P1 (1 + i); substituindo P1 derivado anteriormente:

P2 = P0 (1 + i) (1 + i) = P0 (1 + i)2;

Da mesma forma pode-se derivar as frmulas para os outros perodos, ao final chega-se a seguinte generalizao:


22

Pn = P0 (1 + i)n

Substituindo Pn e P0 pelas representaes genricas S e P tm-se a frmula fundamental para capitalizao com juros compostos:

S = P (1 + i)n

A seguir chegaremos mesma frmula com um exemplo numrico.

Outras frmulas derivadas da frmula fundamental so:

P - S J ;

i1 log

P

Slog

n 1;P

Si ;

i1

SP

n

1

n

Exemplo 4: Qual o valor futuro (montante) de uma aplicao de $500,00 feita taxa de juros de 2,75% ao ms, pelo prazo de 3 meses?

Esquematicamente, podemos trabalhar o exemplo com linhas de tempo:

Final do 1o ms:

0 1 2 3

P = 500 S = ?

5000275,05001 P

O resultado acima nos diz que ao final do Tempo 1, teremos os $500 iniciais mais os juros sobre estes $500. Claro que j poderamos fazer a conta e encontrarmos $513,75, porm, lembramos que a obteno de uma frmula geral o nosso objetivo maior. Assim sendo, a equao pode ser desenvolvida para:

0275,015001 P .

Final do 2o ms:

0 1 2 3

500 x (1 + 0,0275) S = ?


23

Ao final do 2o ms, teremos:

]0275,015000275,0[]0275,01500[2 P

Da forma similar parte inicial da demonstrao, temos ao final do 2 ms o que tnhamos ao final do 1 ms, mais os juros ganhos ao longo do 2 ms. Claro, como

o termo 0275,01500 se repete duas vezes na equao, podemos simplific-la para:

22 0275,01500]0275,01.0275,01[500 P

Poderamos determinar que o valor capitalizado ao final deste segundo ms de $527,88, mas lembramos novamente nosso objetivo de levantar uma frmula geral de valor futuro.

Final do 3o ms:

A etapa final desta demonstrao revela o montante ao final do 3 ms como sendo expressa pela linha de tempo a seguir:

0 1 2 3

500 x (1 + 0,0275)2 S = ?

]0275,01.5000275,0[]0275,01500[ 223 P

Como nos casos anteriores, o montante ao final do 3 ms simplesmente o resultado da soma do valor capitalizado ao final do 2 ms mais os juros ganhos ao longo do 3 ms. Outro detalhe que se repete o de haver termos repetidos, quais

sejam, 20275,01500 , o que nos permite a simplificao final:

39,542$0275,01.500 33 P

Enfim, podemos definir a frmula para valores futuros (montante) pela simples troca de valores por literais na equao acima, obtendo:

niPS 1 , que a frmula principal de toda a matemtica financeira. Aps esta demonstrao, podemos aproveitar para definir P em funo de S ,

gerando:

niS

P

1

, a qual encontra larga aplicao em problemas na rea de finanas.


24

Exemplo 5: feita uma aplicao de $98.200, taxa de juros de 1,15% ao ms e pelo prazo de 12 meses. Qual o montante esperado ao final deste perodo e qual o total de juros ganhos?

46,642.112$0115,0198200 12 S

Ao passo que os juros sero de: JPS PSJ

46,442.14$9820046,642.112 J

0 12

i = 1,15%

PV = 98.200 S = ?

Exemplo 6: Qual o valor da aplicao que deve ser feita hoje para que se tenha o montante de $35.000 ao final de 24 meses, sendo a taxa de juros de 1,05% ao ms?

0 24

i = 1,05%

P = ? S = 35.000

33,239.27$0105,1

3500024

P

Exemplo 7: Foi feita uma aplicao de $23.440 no dia 14/10/2009, taxa de juros de 1,15% ao ms e com prazo de vencimento em 38 dias. Qual o montante a ser resgatado ao final da aplicao?

96,781.23$0115,123440 3038

S

0 38

P = 23.440 S = ?


25

No anexo A se apresenta o valor acumulado de $1 para determinada taxa de juros e o nmero de perodos: f = (1+i)n. Quando no temos ao alcance uma calculadora financeira ou Excel, poderemos usar essa tabela, junto com a frmula S=P.f.

Exemplo 8: Qual o valor da aplicao que deve ser feita hoje para que se tenha o montante de $58.000 ao final de 15 meses, sendo a taxa de juros de 2% ao ms?

No anexo 1 encontramos o fator acumulado f = 1.3459, para 15 perodos e uma taxa de 2%. Nesse caso, o valor a aplicao dever ser P = 58000/1.3459 = 43093.83. Pode existir alguma diferena, com o resultado da calculadora ou do Excel, pelo arredondamento do fator.

4.3.1. A HP-12c e a capitalizao composta

uma das principais aplicaes da calculadora HP-12c. No esquema a seguir se resume as 5 variveis principais relacionadas capitalizao com juros compostos. Inserindo 4 delas a calculadora estima a quinta usando as informaes fornecidas.

Exemplo 9: Qual o valor da aplicao que deve ser feita hoje para que se tenha o montante de $35.000 ao final de 24 meses, sendo a taxa de juros de 1,05% ao ms?

Para conseguir o resultado anterior podemos inserir a seguinte sequncia de comandos (alguns no sero necessrios caso j tenham sido aplicados anteriormente):

g END (fluxos so ao final do perodo, postecipados, ou vencidos)

f CLEAR FIN (limpar as memrias)

24 n

1.05 i

0 PMT

35000 FV

PV [ -27239.33 ]

4.4. Exerccios com capitalizao composta

1) O que mais vantajoso? Investir $ 5.000,00 durante 2 anos a juros compostos de 2% a.m. ou investir $ 5.000,00 durante 2 anos, a juros simples de 3% ao ms. R: Investir os 5.000 reais sob o regime de juros simples.

2) Qual o valor presente (PV) de $100 recebidos em 3 anos, se i = 10%? R. 75,13.

Entrada

Sada

0

PMT

35000

FV

-27239.33

PV

1.05

i

24

n


26

3) O capital de $ 900,00 foi submetido a uma aplicao e resultou em montante de R$ 1044,00 aps 6 meses. Qual a taxa mensal da aplicao? R. 2.5%

4) Calcule o montante da aplicao de $ 2.000,00 a juros de 3,8% a.m. durante 11 meses.

5) Qual o montante produzido pela aplicao de $ 1.300,00 a juros de 3% a.b. durante 7 bimestres?

6) Qual o montante da aplicao de $ 1.250,00 a juros de 3,5% a.m. durante 3 anos?

7) Em quanto tempo o montante produzido ser o dobro do valor aplicado com juros de 3% a.s.?, se a taxa de juros muda para 1,49% a.t.?

8) Qual taxa de juros deve ser aplicada para que o montante produzido seja trs vezes o valor aplicado no prazo de 10 anos?

9) Um senhor poupador depositou $1500 em uma poupana. Trs meses depois, deposita mais $2800 e, um ms depois desse ltimo depsito, realiza uma retirada de $1700. Qual ser o saldo da poupana ao fim do stimo ms, considerando que a taxa de juros compostos ganha de 0,65% a.m.? R. 2709,74.

Classificao das taxas de juros

27

5. Classificao das taxas de juros

5.1. A classificao das taxas de juros

Podem existir diferentes critrios para classificar as taxas de juros. Duas mais utilizadas so:

a) quanto ao regime de capitalizao. Como j foi visto em um captulo anterior, pode ser simples (ou linear) e composta (ou exponencial);

b) quanto ao valor inicial tomado como base de clculo: nominal, efetiva e real.

Essas duas classificaes no so mutuamente excludentes, isto uma taxa pode ser nominal linear ou nominal exponencial, efetiva linear ou efetiva exponencial e real linear ou real exponencial. Contudo, na prtica taxa de juros real refere-se a uma capitalizao exponencial.

5.1.1. Inflao

Inflao a aumento generalizado dos preos. A inflao desvaloriza o dinheiro no tempo, j que diminui o seu poder de compra, por isso, torna-se necessrio fazer uma correo monetria, a fim de recuperar o poder de compra de um determinado valor.

5.1.2. Taxas nominais

A taxa de juro nominal a taxa anunciada que, dependendo do produto, em alguns casos deve ser obrigatoriamente indicada, tal como nos contratos de crdito ou nas aplicaes, e corresponde ao perodo de um ano. Sendo que, uma remunerao monetria sujeita aos efeitos da inflao, alm disso, o rendimento efetivo ou taxa efetiva depende do nmero de perodos de capitalizao no intervalo de um ano.

5.1.3. Taxas efetivas

Sempre que nos deparamos com uma taxa nominal, faz-se necessrio se calcular a taxa efetiva, ou seja, devemos determinar qual a verdadeira taxa que est por trs da taxa nominal. A taxa efetiva depende da taxa nominal e da frequncia de capitalizao. Somente quando o perodo de capitalizao anual a taxa nominal igual taxa efetiva. A seguinte frmula relaciona a taxa nominal e a taxa efetiva.

11

n

n

ki

Onde: k= taxa nominal de juros refere-se anual (a menos que se indique outro perodo); i = taxa efetiva anual; n= nmero de capitalizaes em um ano.

Exemplo 10: Se a taxa anunciada 12%, calcular a taxa efetiva com capitalizao diria, mensal, trimestral, semestral e anual.

k=12% ; n =360 dias = 12 meses = 4 trimestres = 2 semestres = 1 ano


28

%55,121255,014

12,01

%68,121268,0112

12,01

%75,121275,01360

12,01

4

12

360

i

i

i

%00,121200,011

12,01

%36,121236,012

12,01

1

2

i

i

Assim, quando aumenta a frequncia de capitalizao por ano a diferena entre a taxa efetiva anual e a taxa nominal tambm aumenta. Um caso extremo quando a capitalizao contnua. Nesse caso, admite-se que as variaes da varivel n (tempo) so infinitesimais, ou seja, a capitalizao instantnea. Nesse caso, o capital uma funo exponencial da varivel tempo.

1

)1ln(

1

.)1(

.

.

a

nan

nan

ei

ia

ei

ePiPS

Onde e= 2,7182818284 representa a base do logaritmo natural ou neperiano, a representa uma constante ou taxa instantnea de juros. Assim, para uma taxa de juros do exemplo anterior de 12% com capitalizao contnua render e0,12 - 1 = 0,127497 = 12,75% em um ano.

Exemplo 11: Qual o montante produzido por um capital inicial de $5.000, ao final de 36 meses, remunerado taxa de 2% ao ms, no regime de capitalizao descontnua composta? Qual a taxa de capitalizao instantnea que produzir o mesmo capital final, no regime de capitalizao contnua.

44,10199.5000.

oComprova

%98,101980263,0)02,01ln(

02,01

44,10199)02,01(5000)1(

3601980263,0.

36.36

36

xna

a

n

eePS

a

e

iPS

Logo, uma taxa de juros de 1,98% com capitalizao contnua equivalente a uma taxa de 2% ao ms, no regime de capitalizao descontnua, em que as capitalizaes so mensais.


29

5.1.4. Taxa de juros reais

A taxa de juros real normalmente calculada a partir da taxa efetiva, considerando-se os efeitos inflacionrios do perodo.

Nas relaes e nos exemplos a seguir utilizaremos a seguinte notao:

Taxa de juros de mercado i

Taxa de inflao j

Taxa de juros real r

5.2. Relaes entre taxas de juros efetiva (i) e taxa real (r)

1)1(

)1(

1)1(

)1(

1)1(*)1(

)1(*)1()1(

r

ij

j

ir

jri

jri

Exemplo 12: Qual a taxa de inflao acumulada no trimestre se em janeiro a inflao foi 1,7%, em fevereiro 1,1% e em maro 2%. Qual a taxa mdia mensal de inflao?

As taxas de inflao so taxas efetivas ao perodo indicado, logo para acumular deve-se encontrar o produto delas e para calcular a mdia tirar a raiz n-sima do produto acumulado, onde n o nmero de perodos de acumulao.

)1(*)1(*)1()1( 321 jjjjacum 1,04875)02,01(*)011,01(*)017,01(

4,88% 04875,0104875,1 acumj

1,60% 01599,010,04875)1( 31

medj

Exemplo 13: Continuando com o exemplo anterior, se a taxa de retorno efetiva trimestral de um investimento foi 5%, qual foi a taxa de retorno real?

Substituindo na frmula:

0,12% 0,0012104875,01

05,011

)1(

)1(

j

ir

A taxa de retorno real no trimestre foi 0,12%.

5.3. Taxas de juros equivalentes

Fizemos a observao de que as variveis n e i devem se compatibilizar em termos de unidade de tempo a que se refiram. Assim sendo, se a taxa de juros definida em termos mensais, trimestrais ou anuais, o prazo tambm dever ser definido nestas unidades de tempo.


30

A conceituao de equivalncia de taxas estabelece que duas taxas referentes a perodos distintos de capitalizao, so equivalentes quando produzem o mesmo montante, no final de um determinado tempo, pela aplicao de um capital inicial de mesmo valor.

Em outros termos, isso significa que se um capital P aplicado taxa mensal im, durante 12 meses, produz um montante S, e se o mesmo capital P aplicado a uma taxa anual ia, por prazo idntico, produz o mesmo montante S, diz-se que as taxas im (mensal) e ia (anual) so equivalentes.

Enfim, a importncia do clculo de taxas de juros equivalentes se deve exatamente a obrigatoriedade e sua frmula de clculo pode ser dada nos termos abaixo:

10011

prazonovo

originalprazo

originaleequivalent ii

Exemplo 14: Qual a taxa de juros mensal equivalente taxa de 35,80% ao ano?

%58,210013580,01 121

msi ao ms (a.m.)

Exemplo 15: O banco informa que a taxa mensal cobrada 4%, e a empresa quer saber a taxa diria, com juros compostos.

%13,0100104,01 301

diai

Exemplo 16: A remunerao informada como 10% ao trimestre e voc quer saber qual a remunerao mensal, semestral, e anual, com juros compostos.

%23,3100110,01100110,01 31

12

4

mesi

%21100110,01100110,01 224

semi

%41,46100110,01100110,01 414

anoi

5.4. Taxas proporcionais

O conceito de taxa proporcional utilizado somente para capitalizao simples, no sentido de que o valor dos juros linearmente proporcional ao tempo. Assim, a taxa proporcional de 3% ao ms para 10 meses de 30% (3% x 10); a de 12% ao ano, para trs meses de 4% (12% / 4), e assim sucessivamente.


31

5.5. Exerccios de taxas de juros

1) A corretora de valores sugere uma aplicao para 60 dias e informa a taxa para o perodo de 1,9%. Voc que saber quanto receber por ms, com juros simples.

2) A financeira afirma cobrar juros mensais de 3,5% (capitalizao simples), e voc quer saber quanto ir pagar de juros anuais.

3) Juan trabalha em uma instituio bancria, tendo um rendimento lquido de $3000 mensais. Mesmo que a inflao est baixa, ele verificou que seu poder de compra diminuiu. Nos ltimos seis meses seu padro de consumo passou para 92% do que consumia antes. Qual o ndice de inflao no semestre?

4) O IGP-M um indicador que mede a taxa de inflao da economia. Tal ndice utiliza uma grande variedade de itens, bens e servios, e por esse motivo muito utilizado por empresas que atuam em diversos segmentos. Sabe-se que a taxa de inflao de cada um dos meses seguintes atinge 0,7% (maro), 0,8% (abril), 0,72% (maio). Qual o valor da inflao nesse intervalo de trs meses? Se o valor do IGP-M ao incio desse perodo foi 196,867, qual ser o valor final?

5) Uma empresa adquiriu um imvel com a expectativa de ter lucro na venda do mesmo. Pagou um preo lquido de $800000 em janeiro e recebeu $850000 em julho do mesmo ano. Se os valores do IGP-M foram de 203,454 e 215,234 para janeiro e julho, respectivamente, determinar a rentabilidade nominal, a taxa de inflao e a rentabilidade real.

6) Uma loja de departamentos est vendendo um produto eletrnico a prazo cobrando juro nominal de 1,2% a.m., sendo a inflao projetada de 7% a.a. Qual o custo real mensal do financiamento?

7) Um investidor fez uma aplicao em um CDB (certificado de depsito bancrio) que est pagando 0,8% a.m. lquido. Se o investidor pretende resgatar esta aplicao ao final de 6 meses e obter um ganho real de 4% no perodo, qual dever ser a taxa mxima de inflao do perodo?

8) De acordo com a informao publicada por determinada instituio financeira, o retorno ou variao anual das seguintes alternativas de investimento foi;

a. Poupana 6,85%

b. CDB (pr) 12,05%

c. Ouro (BMF&BOVESPA) 12,20%

d. Bolsa de valores (Ibovespa) 28,51%

e. Dlar comercial -7,11%

Se a variao do ndice de preos ao consumidor (IPCA) foi de 2,72% nesse mesmo perodo, determinar a rentabilidade real de cada um das alternativas.

9) Para uma taxa efetiva de 15% a.a., qual a respectiva taxa nominal anual com capitalizao mensal, trimestral ou semestral?

10) Para uma taxa nominal de 18% a.a. com capitalizao mensal, qual a respectiva taxa efetiva equivalente trimestral?

11) A empresa obteve financiamento a taxa de 18% a.a., com capitalizao mensal. Qual a taxa equivalente mensal? Qual a taxa efetiva anual da operao?


32

12) Uma aplicao financeira rende juros de 0,8% a.m., com capitalizao anual. Qual a taxa equivalente anual? Qual a taxa efetiva mensal?

13) Qual o valor de resgate para um capital de $200 aplicado pelos seguintes prazos e taxas?

a) 25 dias a 3% a.m. capitalizados diariamente

b) 6 meses a 13% a.a. capitalizados mensalmente

c) 8 meses a 9% a.s. capitalizados mensalmente

d) 27 meses a 7% a.t. capitalizados mensalmente

e) 7 meses a 12% a.a. capitalizados trimestralmente

14) Determinado pas lanou um ttulo no mercado internacional pagando juros semestrais de 12,8%, com capitalizao mensal. Qual a taxa equivalente mensal? Qual a taxa efetiva anual?

Descontos

33

6. Descontos

Desconto uma operao inversa Capitalizao, ou seja, corresponde a trazermos um valor futuro para a data presente, descontando os juros que esto embutidos no valor futuro. O Desconto propriamente o abatimento obtido por se saldar uma dvida antes do vencimento.

Conceitos bsicos:

Valor nominal: valor de um ttulo na data de seu vencimento.

Valor atual: valor de um ttulo em uma data intermediaria entre a de emisso e a de vencimento, ou seja, o valor lquido depois de aplicado o desconto.

Ttulo denominao genrica para qualquer tipo de dvida (Nota Promissria, Duplicata, etc.).

6.1. Tipos de desconto

Existem dois tipos de descontos: Racional e Comercial. Ambos podem ser utilizados tanto em juros simples quanto em juros compostos. Na prtica, o desconto Comercial utilizado somente sob o regime de juros simples.

O desconto racional (ou por dentro) corresponde verdadeira operao de desconto. Tanto com juros simples, quanto com juros compostos o procedimento inverso ao processo de capitalizao, utilizando as mesmas frmulas. O desconto comercial (ou por fora) nada mais do que uma variao do desconto racional adotada pelo mercado, onde a taxa de desconto se aplica sobre o valor futuro.

O desconto com capitalizao composta aplicado em alguns casos na atividade comercial e financeira pode ser desconto racional (tambm conhecido como financeiro) e desconto comercial. No primeiro a taxa de desconto estimada com base em uma taxa de juros composta antecipada, e no segundo com base em uma taxa de juros postecipada.

6.1.1. Desconto racional simples

Neste tipo de desconto, a taxa aplicada sobre o valor atual da dvida, considerando o nmero de perodos que faltam para o vencimento da dvida. A frmula de desconto racional simples (Dr) dada por:

ndPDrnd

ndSDr

ndPS

PSDrDrPS

;1

)1(

; ;

Onde d a taxa de desconto racional simples.

Exemplo 17: Caso voc desconte um ttulo de R$ 35000,00 dois meses antes do vencimento, a uma taxa de 2,5% a.m., qual ser a importncia recebida?

S= 35000; n=2; d=2,5%; P=?

Descontos

34

33,3333367,166635000

67,16662025,01

2025,035000

1

DrSP

x

xx

nd

ndSDr

Exemplo 18: Um ttulo foi descontado taxa de 2% a.m. Sabendo-se que o valor nominal era $ 7500,00 e o valor descontado racional $ 6800,00, qual o prazo da antecipao?

d= 2%; S=7500; P=6800; n=?

diasemesesmesesdP

Sn

ndPS

5 5 147,502,0

11

6800

750011

)1(

6.1.2. Desconto comercial simples

Neste tipo de desconto, a taxa aplicada sobre o valor nominal ou valor ao vencimento, considerando o nmero de perodos que faltam para o vencimento da dvida. A frmula de desconto comercial simples (D) dada por:

ndSD

onde D o valor do desconto a ser aplicado sobre o ttulo, a taxa nominal d, de forma a levantar o valor lquido creditado na frmula abaixo:

DPS DSP

Trata-se de uma forma de financiamento pela qual as empresas entregam ttulos (duplicatas) s instituies financeiras, relativos a vendas que tenham feito, recebendo um valor descontado pela taxa de juros e tendo em conta o prazo para os vencimentos. Lembrando que, o valor lquido creditado tem seu valor calculado de acordo s normas da capitalizao simples, ou seja, no se considera juros sobre juros.

Como d uma taxa nominal, a taxa efetiva (i) tambm pode ser calculada com a frmula:

n

P

S

i

1

Exemplo 19: Qual o valor do desconto bancrio de um ttulo de $300000 com vencimento para 93 dias, se a taxa de 6% ao ms?

S = valor do ttulo = $300000

n = prazo de vencimento = 93 dias

d = taxa de desconto = 6% ao ms

Assim, teremos em termos grficos que:

Descontos

35

0 93

d = 6% ao ms

P = ? S = 300000

E sua resoluo dada por:

5580030

9306,0300000 xxD

onde o prazo dividido por 30 (ou seja, passa a ser definido em meses) dado que a taxa mensal.

244200$55800300000 P que o valor que a empresa recebe na operao.

A taxa efetiva desse financiamento

%37,70737,0

30

93

1244200

3000001

n

P

S

i

Muitas vezes, clientes comerciais de instituies financeiras levam uma srie de ttulos para desconto, os quais so descontados simultaneamente. Alm disso, caso os valores dos ttulos sejam iguais e se os prazos de vencimentos dos mesmos acontecerem com uma dada frequncia, podemos ento lanar mo das frmulas apresentadas abaixo, desenvolvidas a partir do raciocnio do exemplo a seguir.

Exemplo 20: Uma empresa desconta 4 ttulos no valor de $90.000 cada um, com vencimento em 15, 30, 45 e 60 dias, respectivamente. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,50% ao ms, calcular o valor do desconto total e o valor lquido obtido pela empresa.

0 15 30 45 60

90.000 90.000 90.000 90.000 Dados:

S = 90.000

d = 2,50% ao ms

Descontos

36

N = 4 ttulos

Obs: os ttulos so vencveis a cada 15 dias, sendo que o primeiro deles vence em 15 dias.

A frmula de desconto apresentada anteriormente pode ser aplicada a cada ttulo individualmente, resultando em:

tD desconto total

6030

025,0000.9045

30

025,0000.9030

30

025,0000.9015

30

025,0000.90 tD

Colocando em evidncia os termos 30

025,0000.90 que se repetem em todos as

parcelas, teremos:

6045301530

025,0000.90 tD

Como os termos dentro dos parnteses esto em progresso aritmtica, estes podem ser somados atravs da frmula para a Soma dos Termos em Progresso Aritmtica (STPA), dada por:

2

1 nTPA

TTNS

onde N o nmero de termos; T1 o prazo de ocorrncia do 1o termo e; Tn o

prazo de ocorrncia do ltimo termo. Aplicando esta nova equao na frmula para DT, teremos:

250.11

2

60154

30

025,0000.90

TD , que o desconto total relativo aos 4 ttulos

entregues instituio financeira. Por fim, intuitiva a frmula abaixo, que coloca que:

TT DPNS

Assim,

250.114000.90 TP , e

750.348$250.114000.90 TP , que o valor lquido recebido pela empresa.

Exemplo 21: A empresa JB leva 5 duplicatas de mesmo valor para desconto em um banco. par de uma taxa de desconto de 2,25% ao ms e sabendo-se que os ttulos so vencveis de 30 em 30 dias, com o 1o a vencer em 14 dias, pergunta-se: qual o valor de cada ttulo, sabendo-se que o valor creditado empresa foi de $320.600. (Desconto simples)

PT = 320.600

Tendo-se que:

S = ?

Descontos

37

PT = 320.600

d = 2,25% ao ms

0 14 44 74 104 134

S S S S S

2

1 nT

TTNdSD

2

134145

30

0225,0 SDT 2775,0 SDT

Ademais, TT DPNS 2775,0600.3205 SS 600.3202775,05 SS

600.3202775,05 S 600.3207225,4 S 77,887.67$7225,4

600.320S

que o valor de cada um dos 5 ttulos levados a desconto.

6.1.3. Desconto racional composto

A nica diferena do desconto racional composto em relao ao desconto racional simples diz respeito ao regime de juros utilizado, o princpio o mesmo.

Tambm chamado de desconto financeiro (Df), porque o valor determinado multiplicando-se o valor nominal pela taxa de juros composta antecipada.

11 ;

1

11

)1(

; ;

n

n

n

dPDfd

SDf

dPS

PSDfDfPS

d

P

S

n

1ln

ln

Exemplo 22: Qual o valor do desconto racional composto de um ttulo de $ 10.000,00 descontado trs meses antes do vencimento a taxa de 2,8% a.m.

S=10000; n=3; d=2,8%; Df=?

07,795

028,01

1110000

3

Df

Como se trata de juros compostos pode-se utilizar a HP-12c para encontrar o valor presente, e depois calcular o valor do desconto, fazendo a diferena entre o valor futuro (FV) e o valor presente (PV).

Descontos

38

Depois de ter o resultado no visor da calculadora (ou de pressionar as teclas RCL PV) podemos recuperar o valor futuro com RCL FV, e pressionar o operador + para ter o resultado desejado [ 795.0665 ].

Exemplo 23: Um ttulo com valor nominal de $ 2500,00 foi descontado antes do vencimento, tendo o detentor desse titulo recebido $ 1975,00. Considerando uma taxa de 22% a.a., determine o perodo de antecipao (juros compostos).

S=2500; P= 1975; i=22%; n=?

diasemeseseanoanos

d

P

S

n 7 2 1 1854,122,01ln

1975

2500ln

1ln

ln

Utilizando a HP-12c

Depois de inserir as informaes e pedir para calcular o nmero de perodos, alguns modelos podero gerar um erro ou mostrar o nmero arredondado ao prximo inteiro.

Uma soluo, para alguns modelos da HP-12c, inserir uma taxa de juros com uma maior frequncia de capitalizao. Por exemplo, podemos inserir a taxa efetiva diria i=(1+0,22)^(1/360)-1 = 0,055252% e pedir para calcular n, nesse caso a resposta correta ser 427 dias.

Exemplo 24: Um capital de $20000 aplicado em 11/02/2010 a juros efetivos de 2,25% a.m. rendeu $580 em um determinado prazo. Determinar o prazo e a data de resgate da aplicao considerando ano civil.

P = 20000; J = 580; i = 2,25%; n = ?; resgate = ?

Taxa de juros efetiva diria i=(1+0,0225)^(1/30)-1=0,0741%a.d.

S = P + J = 20000 + 580 = 20580

Entrada

Sada

0

PMT

10000

FV

-9204.93

PV

2.8

i

3

n

Entrada

Sada

0

PMT

2500

FV

-1975

PV

22

i

2

n

Descontos

39

Utilizando a HP-12c

A data de resgate pode ser estimada usando as funes de calendrio da calculadora:

f CLEAR FIN

g D.MY (prepara para entrada de datas dia/ms/ano)

11.022010 ENTER (entra a data inicial)

39 g DATE (entrar o nmero de dias e pedir para calcular a data final)

[ 22,03,2010 1 ] (o vencimento foi o 22 de maro de 2010, segunda feira).

6.2. Exerccios sobre descontos

1) Paulo, ao resgatar um Ttulo com valor nominal de $ 80.000,00 sob o critrio de desconto racional simples, desembolsou a quantia de $ 72.000,00. Considerando que a operao foi efetuada com base em uma taxa de 13% a.a., calcule o perodo de antecipao.

2) Qual o valor a ser pago hoje por uma Duplicata de $ 7.000,00, com vencimento para 60 dias, se for descontada sob o critrio de desconto racional simples, a uma taxa de 2,4% a.m.?

3) Por um Ttulo com valor nominal de $ 2.200,00, com vencimento para 16 de outubro, Manuel obteve o valor de $ 2.110,00, em 1 de setembro do mesmo ano. Qual foi a taxa mensal de desconto racional simples utilizada pelo banco?

4) Um ttulo a vencer em 150 dias, no valor de $ 15.000,00 foi descontado por $ 13.400,00. Calcular a taxa anual de desconto comercial simples e a taxa efetiva de desconto.

5) O valor de certo Ttulo no vencimento de $ 125.000,00. O detentor do mesmo, desejando saldar algumas dvidas, resolveu antecip-lo, recebendo um valor de $ 102.000,00, sendo utilizada, para tanto, uma taxa de desconto racional composto de 2,5% a.m. Qual foi o perodo de antecipao?

6) Carlos Alberto deseja antecipar o pagamento de um emprstimo no valor de $ 25.000,00, que vencer daqui a 6 meses, tendo negociado com o credor o pagamento de $ 22.635,00 para liquidar a dvida. Qual foi a taxa de desconto racional composto acordada nessa operao?

7) Calcule o valor nominal de um Ttulo cujo valor do desconto racional composto foi de $ 854,00, antecipao de 3 meses e taxa de juros de 3% a.m.?

8) Um capital aplicado a juros efetivos de 13% a.a. durante 3 anos e 9 meses resultou em um montante de $10000. Determinar o valor do capital.

Entrada

Sada

0

PMT

20580

FV

-20000

PV

0,0741

i

39

n

Descontos

40

9) Um Ttulo cujo valor nominal era de $ 25.000,00 foi antecipado em 4 meses, utilizando-se uma taxa de desconto racional composta de 3,5% a.m. Pergunta-se: qual o valor lquido que foi recebido pelo dono do Ttulo?

Sries de pagamentos

41

7. Sries de Pagamentos

7.1. Primeiras consideraes

As rendas certas ou tambm chamadas sries peridicas uniformes podem ser divididas em: sries postecipadas, onde os pagamentos ocorrem no fim de cada perodo; sries antecipadas, onde os pagamentos so feitos no inicio de cada perodo; e sries diferidas, porque tm perodo de carncia onde no h pagamentos.

As linhas de tempo abaixo ilustram o conceito de sries de pagamentos, o qual deve ser entendido como uma distribuio de entradas e sadas de recursos de aplicaes/financiamentos ao longo do tempo.

a) 0 1 2 3 4 5 6 7

-800 1.300 580 -730 760 980 -1.500 1.980

b) 0 1 2 3 4 5 6 7

-3.940 645 645 645 645 645 645 645

Exemplo 25: O primeiro exemplo (a) poderia ser o fluxo de caixa lquido de uma empresa, com valores positivos e negativos se sucedendo no tempo. J o segundo exemplo (b) tem as caractersticas de um financiamento concedido por uma instituio bancria, a qual concede emprstimo de $3.940, na expectativa de receber $645 lquidos por ms.

H ainda a se considerar os conceitos de termos vencidos e antecipados, os quais so explicitados com os exemplos abaixo.

c) 0 1 2 3 4 5

-3.500 750 750 750 750 750

Neste exemplo, uma empresa poderia estar sendo creditada em $3.500, ao mesmo tempo em que se obriga ao pagamento de 5 prestaes mensais de $750, cada uma delas ao final do ms (da o termo vencido).

Sries de pagamentos

42

d) 0 1 2 3 4 5

733 733 733 733 733

-3.500

O tipo de operao expresso pela linha de tempo acima comum no comrcio varejista, no qual as prestaes so pagas no incio de cada perodo, inclusive a primeira. Em outros termos, as prestaes so pagas antecipadamente em cada perodo, de onde surge o nome de termos antecipados.

As frmulas de valor presente e futuro de cada uma dessas sries sero mostradas junto com o desenvolvimento de exemplos.

7.2. Termos vencidos

Nosso prximo passo o de levantarmos uma frmula geral para clculo de prestaes em termos vencidos e, para isto, temos o seguinte exemplo:

Exemplo 26: um investidor que deseja saber quanto ter (montante) ao final de 4 meses se fizer aplicaes mensais, iguais e consecutivas de $500, taxa de juros de 1,50%. Ainda mais, a situao de termos vencidos se efetiva pelo fato de que o mesmo far sua aplicao em 30 dias.

0 1 2 3 4

500 500 500 500

500 x (1 + 0,015)3

500 x (1 + 0,015)2

500 x (1 + 0,015)1

500 x ( 1+ 0,015)0

Claro est que poderamos soma as quatro parcelas e obter o resultado desejado (= $2.045,45), porm, isto se daria de modo tedioso e pouco prtico. Alis, imaginem

Sries de pagamentos

43

se fosse pedido o valor futuro de 24 parcelas! No entanto, podemos definir uma equao geral para clculo deste tipo de valor, o que faremos a seguir.

7.2.1. Valor futuro em termos vencidos

Conforme se recorda, a frmula principal da matemtica financeira dada por:

niPS 1

com a qual podemos encontrar o valor futuro como a soma das quatro parcelas mensais do problema, ou seja:

]015,01500[]015,01500[]015,01500[]015,01500[ 0123 S

que pode ser desenvolvida para:

3210 015,1500015,1500015,1500015,1500 S com o valor de 500 se repetindo em todos os termos, levando-nos a coloc-lo em evidncia:

3210 015,1015,1015,1015,1500 S Nosso prximo passo o de somar os termos entre parnteses, o qual est em progresso geomtrica. Para isto, lanamos mo da frmula para soma de termos em progresso geomtrica, qual seja:

1

11

q

aqaS

n

tpg

sendo,

a1 = o primeiro termo entre parnteses, ou ;015,10

n = o nmero de termos (as aplicaes mensais do investidor);

q = a razo de variao, igual a 1,015. Alis, este valor multiplica o saldo obtido a cada final de ms.

A aplicao desta equao aos dados do problema resulta em:

1015,1

015,1015,1015,1500

040

S

como qualquer nmero elevado a zero igual a 1, segue-se da que:

45,045.2$015,0

1015,1500

4

S

Por fim, substitumos os valores pelos literais definidos no comeo deste texto para obtermos:

i

iRS

n]11.[

, lembrando que R o valor da prestao.

Sries de pagamentos

44

Exemplo 27: Uma pessoa decide aplicar $1.500 por ms, durante 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros mdia mensal de 1,20%, qual o montante esperado ao final deste perodo?

0 1 2 24

1.500 1.500 1.500

10,434.41$

012,0

]1012,01[150024

S

Com a HP-12c



24 n

1.20 i

1500 CHS PMT

FV [ 41434.10 ]

Exemplo 28: Caso a pessoa do exemplo anterior devesse fazer sua primeira aplicao apenas ao final de 60 dias, de quanto seria seu montante ao final das 24 aplicaes mensais?

0 1 2 3 25

1.500 1.500 1.500

10,434.41$

012,0

]1012,01[150024

S

Entrada

Sada

-1500

PMT

41434.1

FV

0

PV

1.20

i

24

n

Sries de pagamentos

45

7.2.2. Prestaes e valores futuros

Neste tpico, estamos diante de situao inversa quela do item anterior, quando tnhamos que calcular o montante a partir do valor dado de uma prestao. Aqui, temos o contrrio, pois desejamos levantar a prestao a partir do valor futuro. Por exemplo, algum deseja comprar um ativo no valor de $30.000 e, para tanto, quer saber quanto deve aplicar durante 12 meses para alcanar aquele valor. Neste sentido, nosso primeiro passo o de relembrar a frmula de valor futuro:

i

iRS

n]11.[

da qual pode ser obtida frmula desejada apenas com um simples giro no eixo da mesma:

11

n

i

iSR

Exemplo 29: Uma empresa planeja um investimento de $45.000 para o final de 10 meses, pretendendo aplicar parcelas mensais taxa de juros de 1,25% ao ms. Sabendo-se que a primeira aplicao se dar em 30 dias, qual o valor desta aplicao mensal?

0 1 2 10

R R R

S = 45.000

64,252.4$10125,1

0125,04500010

R

Na HP-12c



Entrada

Sada -4252.64

PMT

30000

FV

0

PV

1.25

i

10

n

Sries de pagamentos

46

Exemplo 30: Uma empresa deseja se preparar para uma dvida de $125.000 ao final de 15 meses e para isso pretende fazer aplicaes mensais, iguais e consecutivas comeando ao final do final do 2o ms. Sendo de 1,25% a taxa de juros mensal esperada, pergunta-se o valor da prestao mensal.

0 1 2 3 4

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