Apostila Matemática Financeira
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FACULDADE PITÁGORAS UBERLÂNDIA
GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Ms. LEONARDO BARBOSA DE REZENDE
UBERLÂNDIA 2013
APRESENTAÇÃO
Este material foi elaborado com o objetivo de apresentar os fundamentos da
Administração Financeira, baseados na Matemática Financeira que por sua vez trata do valor
do dinheiro no tempo.
O conteúdo aqui apresentado foi concebido de forma a atender ao programa do curso
de Graduação em Administração da FACULDADE PITÁGORAS UBERLÂNDIA.
Para atender à carga horária de 60 (sessenta) horas - aula, dividiu-se o conteúdo
programado em 3 (três) módulos, divididos em 7 (sete) capítulos.
O primeiro módulo, de fundamentação, apresenta os conceitos gerais da Matemática
Financeira, destaca as regras básicas para os cálculos matemáticos financeiros, os critérios de
capitalização dos juros, as fórmulas e aplicações dos juros simples e compostos.
O segundo módulo, de aplicação prática da Matemática Financeira, apresenta os
conceitos e aplicações da equivalência de capitais e os produtos financeiros de curto prazo.
O terceiro módulo dedica-se aos fluxos de caixa de rendas certas e aos principais
sistemas de amortização.
Além dos exercícios ilustrativos, que exemplificam cada um dos conteúdos
programados, são propostos ainda exercícios para resolução em sala de aula.
As aulas são expositivas com o auxílio de data show, retro - projetor e utilização da
calculadora financeira HP – 12C.
Espera-se com este curso, dar ao Graduando do curso de Administração da
FACULDADE PITÁGORAS UBERLÂNDIA, um sólido embasamento ao estudo de
Finanças e Gestão.
SUMÁRIO
MÓDULO - I .............................................................................................................................. 4
1 INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA .......................................................................... 4 1.1 O que trata a Matemática Financeira? .......................................................................... 4 1.2 Taxas Unitárias e Percentuais ....................................................................................... 5 1.3 Regras Básicas .............................................................................................................. 6 1.4 Critérios de Capitalização dos Juros ............................................................................. 7
2 JUROS SIMPLES ................................................................................................................... 11 2.1 Fundamentos ............................................................................................................... 11 2.2 Juros Simples .............................................................................................................. 13
2.3 Montante de Juros Simples ou Valor Futuro de Juros Simples .................................. 15 3 JUROS COMPOSTOS ............................................................................................................. 17
3.1 Fundamentos ............................................................................................................... 17 3.2 Juros Compostos ......................................................................................................... 20
MÓDULO - II ........................................................................................................................... 26
4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS .............................................................................................. 26
4.1 Fundamentos ............................................................................................................... 26 4.2 Equivalência de Capitais ............................................................................................ 29
5 DESCONTOS ........................................................................................................................ 32
5.1 Desconto Simples ....................................................................................................... 32 5.2 Desconto Composto .................................................................................................... 38
5.2.1 Desconto Composto Racional ou (Por Dentro) ....................................................... 38
5.2.2 Desconto Composto Bancário ou Comercial ou (Por Fora) .................................... 41
MÓDULO - III ......................................................................................................................... 44
6 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES ....................................................................................... 44
6.1 Classificação das Rendas ............................................................................................ 44 6.2 Classificação das Rendas Certas quanto ao Pagamento da Primeira Prestação ......... 45
6.3 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata ....................... 46 6.4 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata .......................... 46 6.5 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada................... 46
6.6 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada ..................... 47 6.7 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida ....................... 47
6.8 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida .......................... 47 7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ................................. 53
7.1 O que trata os Sistemas de Amortização? .................................................................. 53 7.2 Termos Utilizados: ..................................................................................................... 53 7.3 Definições Básicas:..................................................................................................... 53 7.4 Modalidades de Sistemas de Amortização: ................................................................ 54
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 62
MÓDULO - I
1 Introdução à Matemática Financeira
1.1 O que trata a Matemática Financeira?
Do estudo do valor do Dinheiro no Tempo.
Receber R$100,00 hoje, não é a mesma coisa que receber R$100,00 daqui 60 dias.
O sacrifício de receber R$100,00 daqui 60 dias tem que ser recompensado.
O valor deste sacrifício é definido pelos JUROS.
Juro é a remuneração do capital aplicado numa operação financeira.
As Taxas de Juros devem ser eficientes para remunerar:
1. O Risco (Incerteza Futura);
2. A perda do poder de compra do Capital pela Inflação;
3. E gerar um lucro que compense a privação do consumo imediato, ou o rendimento de
outra aplicação.
5
1.2 Taxas Unitárias e Percentuais
A Taxa de juro é a unidade de medida dos Juros.
A Taxa correspondente à remuneração paga pelo uso, durante determinado tempo, de
01 (uma) unidade de capital é uma (taxa unitária).
Exemplo:
Um capital de R$1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende juros, ao final deste período
de:
A Taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 por unidade de
capital aplicada.
A Taxa correspondente à remuneração paga pelo uso, durante determinado tempo, de
100 (cem) unidades de capital é uma (taxa centesimal ou percentual), que refere-se aos
“Centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital.
Do exemplo acima tem-se:
O capital de $1.000,00 tem dez centos. Como cada cento rende 20, a remuneração
total da aplicação no período é $200,00
A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão
da notação percentual por 100, e para a transformação da taxa unitária em percentual basta
multiplicar a taxa unitária por 100.
$200,00 Juros
100
20 $1.000,00 Juros
20% $1.000,00 Juros
$200,00 Juros
20 100
$1.000,00 Juros
20% $1.000,00 Juros
100 UnitáriaTaxa Percentual Taxa
100
Percentual Taxa UnitáriaTaxa
6
Exemplo:
Taxa Percentual Taxa Unitária
1,5% 0,015
8% 0,08
17% 0,17
84% 0,84
120% 1,20
1.3 Regras Básicas
1ª) NAS FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA TODOS OS CÁLCULOS
SÃO EFETUADOS UTILIZANDO-SE A TAXA UNITÁRIA DE JUROS. JÁ OS
ENUNCIADOS E AS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SÃO INDICADOS PELA TAXA
PERCENTUAL.
2ª) NAS FÓRMULAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA, TANTO O PRAZO DA
OPERAÇÃO COMO A TAXA DE JUROS DEVEM NECESSARIAMENTE ESTAR
EXPRESSOS NA MESMA UNIDADE DE TEMPO.
Exemplo:
1) Um fundo de Poupança que esteja oferecendo juros de 2% ao mês e os rendimentos
sendo creditados mensalmente. Obedece a regra de expressar a taxa de juros e o prazo de
capitalização na mesma unidade de tempo (mensal).
2) Um fundo de Poupança que esteja oferecendo juros de 2% ao ano e os rendimentos
sendo creditados mensalmente. Não Obedece a regra de expressar a taxa e o prazo de
capitalização na mesma unidade de tempo, pois a taxa de juros está expressa ao ano e o
período de capitalização em meses.
Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo,
podem ser efetuados através das regras de juros simples (média aritmética) e de juros
compostos (média geométrica), dependendo do regime de capitalização definido para a
operação. Como regra adota-se o ano comercial de 360 dias e o mês de 30 dias.
7
1.4 Critérios de Capitalização dos Juros
A operação de formação e incorporação dos juros ao capital tem o nome de
CAPITALIZAÇÃO.
Existem dois regimes de capitalização:
Regime de Capitalização Simples ou (linear);
Regime de Capitalização Composto ou (exponencial).
1.4.1 Regime de Capitalização Simples:
Este regime de capitalização comporta-se como se fosse uma progressão aritmética,
crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo.
Neste critério, a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial da operação.
Exemplo:
Vamos admitir um empréstimo de $1.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros
simples de 10% ao ano.
Ano Saldo no início
de cada ano
Juros apurados para
cada ano
Saldo devedor ao
final de cada ano
Crescimento
anual do Saldo
Devedor
Início do
1º ano
1.000,00 - - -
Fim do 1º
ano
1.000,00 100,00 1.100,00 100,00
Fim do 2º
ano
1.100,00 100,00 1.200,00 100,00
Fim do 3º
ano
1.200,00 100,00 1.300,00 100,00
Fim do 4º
ano
1.300,00 100,00 1.400,00 100,00
Fim do 5º
ano
1.400,00 100,00 1.500,00 100,00
8
Observações importantes:
- Os juros incidem exclusivamente sobre o capital inicial de R$1.000,00 e
apresentam valores idênticos ao final de cada ano (0,10 x $1.000,00 = $100,00);
- Em conseqüência, o crescimento dos juros no tempo é linear ($100,00 por ano)
como o de uma Progressão Aritmética, atingindo um total nos cinco anos de
$500,00;
- Se os juros simples não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do
capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial ($1.000,00), não
ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período;
- Como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do custo total da dívida
no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de
anos pela taxa anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para os 5 anos.
1.4.2 Regime de Capitalização Composto:
Por este regime de capitalização, incorpora-se ao capital não somente os juros
referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento
anterior.
Admitindo-se o exemplo anterior, que a dívida de $1.000,00 deve ser paga em juros
compostos, à taxa de 10% ao ano:
Ano Saldo no início
de cada ano
Juros apurados para
cada ano
Saldo devedor ao
final de cada ano
Crescimento
anual do Saldo
Devedor
Início do
1º ano
1.000,00 - - -
Fim do 1º
ano
1.000,00 100,00 1.100,00 100,00
Fim do 2º
ano
1.100,00 110,00 1.210,00 110,00
Fim do 3º
ano
1.210,00 121,00 1.331,00 121,00
Fim do 4º
ano
1.331,00 133,10 1.464,10 133,10
Fim do 5º
ano
1.464,00 146,41 1.610,51 146,41
9
Observações importantes:
- No critério composto, os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial de
$1.000,00, mas sobre o saldo total existente no início de cada ano, que incorpora o
capital inicial mais os juros incorridos em períodos anteriores;
- O juro do 1º ano é produto da incidência da taxa de 10% ao ano, sobre o capital
emprestado de $1.000,00, totalizando $100,00;
- No 2º ano, os $210,00 de juros acumulados ao saldo devedor inicial identificam a
seguinte operação:
Juros referentes ao 1º ano: 0,10 x $1.000,00 = $100,00
Juros referentes ao 2º ano: 0,10 x $1.000,00 = $100,00
Juros sobre os juros apurados no 1º ano: 0,10 x $100,00 = $10,00
$210,00
10
Exercícios Propostos:
1) Preencha a Tabela abaixo admitindo um empréstimo de $1.550,00 pelo prazo de 5
anos, pagando-se juros simples de 25% ao ano.
Ano Saldo no início
de cada ano
Juros apurados para
cada ano
Saldo devedor ao
final de cada ano
Crescimento
anual do Saldo
Devedor
Início do
1º ano
1.550,00 - - -
Fim do 1º
ano
Fim do 2º
ano
Fim do 3º
ano
Fim do 4º
ano
Fim do 5º
ano
2) Admita um empréstimo de $1.550,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros
compostos de 25% ao ano.
Ano Saldo no início
de cada ano
Juros apurados para
cada ano
Saldo devedor ao
final de cada ano
Crescimento
anual do Saldo
Devedor
Início do
1º ano
- - 1.550,00 -
Fim do 1º
ano
Fim do 2º
ano
Fim do 3º
ano
Fim do 4º
ano
Fim do 5º
ano
11
2 Juros Simples
2.1 Fundamentos
2.1.2 Taxas Proporcionais e Equivalentes de Juros Simples
Em toda operação financeira, tem-se sempre a existência de dois prazos: O prazo a que
se refere à taxa de juros: i = 5% a m, e o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros: n = 5
meses.
Em muitos casos, estes prazos não são coincidentes.
Por exemplo, sabe-se que a caderneta de poupança paga aos seus depositantes uma
taxa de juros de 6% ao ano, a qual é capitalizada ao principal todo mês através de um
percentual proporcional de 0,5%. Têm-se aqui, então dois prazos – prazo da taxa: ano e prazo
de capitalização: mês.
Para o uso das fórmulas da matemática financeira, estes prazos têm que ser iguais.
Esta transformação é denominada de Taxa Proporcional de juros. A taxa proporcional
é obtida através da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes
em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).
Exemplo:
1) Considerando o regime de juros simples, determine qual a taxa mensal proporcional
a 48 % ao ano?
As taxas de juros são ditas Equivalentes, quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo
mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros e consequentemente o
mesmo montante linear de juros.
1
1
2
2
Dados do exercício:
i 48% a. a. 100 = 0,48 a. a.
n 1 ano
i ? % a. m.
n 12 meses
1 1 2 2
2
2
2
2
Solução:
i n i n
0,48 1 = i 12
0,48i =
12
i = 0,04 a. m. 100
i = 4% a. m.
12
Exemplo:
2) Em juros simples, um capital de $500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao
semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros:
Sendo:
n i PV J
J (2,5% a m) = 500.000 x 0,025 x 12 = $150.000,00
J (15% a s) = 500.000 x 0,15 x 2 = $150.000,00
Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais, logo são definidas
como Taxas Equivalentes. No regime de Juros Simples, Taxas Proporcionais e Taxas
Equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente à classificação de duas taxas
de juros como proporcionais ou equivalentes.
Exercícios Propostos:
3) Dada a taxa de 34,5 % ao trimestre, determine as taxas proporcionais para:
a) Um Ano:
b) Um Semestre
c) Um Bimestre
d) Um Mês
e) 17 Dias
f) 2 m e 7 dias
4) Determinar a taxa de juros anual proporcional, dadas as seguintes taxas:
a) 3% a t
b) 27% ao quadrimestre
c) 5% a m
13
2.2 Juros Simples
O Juro Simples é produzido unicamente sobre o Capital Inicial também denominado
de Valor Presente, e seu valor é calculado a partir da seguinte expressão:
Onde:
J = Valor dos juros expresso em unidade monetária;
PV = Valor Presente ou Capital Inicial;
i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária;
n = prazo ou período da operação.
Esta é a formula básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores
financeiros nela representados mediante simples dedução algébrica.
Exemplo:
1) Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante três meses.
Pede-se determinar o valor dos juros simples acumulados neste período.
J = PV i n
Dados do exercício:
PV = $80.000,00
i = 2,5% a.m. 100 = 0,025 a.m.
n = 3 meses
J = $?
Solução:
J = PV i n
J = 80.000 0,025 3
J = $6.000,00
14
Exercícios Propostos:
5) Calcular os juros simples de $20.000,00 a 2% a m, durante 2,5 anos.
6) A que taxa devemos aplicar o capital de $10.000,00 para que em 1 ano 3 meses e 5
dias produza $2.275,00 de juros simples?
7) Durante quanto tempo deve ficar aplicado um capital à taxa de juros simples de
11% a m, para que seus juros se igualem ao capital?
8) Qual o capital, que aplicado a taxa de juros simples de 42% a a pelo prazo de 100
dias produz $175,00 de juros?
9) Durante quanto tempo um capital colocado a taxa de juros simples de 5% a a rende
juros a 1/50 de seu valor?
15
2.3 Montante de Juros Simples ou Valor Futuro de Juros Simples
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por
determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de Montante ou Valor Futuro.
Montante ou Valor Futuro é o capital acrescido de seus juros.
Sendo:
Tem-se:
Evidenciando PV, a fórmula do Valor Futuro de Juros Simples é:
Exemplos:
1) Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar
o montante simples ao final deste período.
2) Determinar o valor futuro simples, decorrentes de uma aplicação de $25.000,00 a
80%ao semestre durante 2 anos.
FV = PV + J
J = PV i n
FV = PV + PV i n
FV = PV (1+i n)
Dados do exercício:
PV = $18.000,00
i = 1,5% a.m. 100 = 0,015 a.m.
n = 8 meses
FV = $?
Solução:
FV = PV (1+i n)
FV = 18.000 (1+0,0150 8)
FV = $20.160,00
Dados do exercício:
PV = $25.000,00
i = 80% a.s. 100 = 0,80 a.s.
n = 2 anos
FV = $?
1
1
2
2
Solução:
i 80% a. s. 100 = 0,80 a. s.
n 2 semestres
i ? % a. a.
n 1 ano
16
Exercícios Propostos:
10) Uma pessoa empregou seu capital a taxa de 5% ao ano retirou no fim de 6 meses,
capital e juros e colocou-os a taxa de 6% ao ano durante 4 meses recebendo no fim deste
prazo $20.910,00. Calcule o capital inicial, considerando o regime de juros simples.
11) Em uma instituição, foi aplicado $20.000,00 a 10 % a m, e, noutra instituição
financeira, foi aplicado $18.000,00 a 12% a m. Depois de quanto tempo os montantes serão
iguais, considerando o regime de juros simples?
12) Se um capital de $2.000,00 gerou um montante de $2.840,00 em 2 anos, qual é a
taxa de juros simples equivalente trimestral?
1 1 2 2
2
2
2
2
i n i n
0,80 2 = i 1
1,60i =
1
i = 1,60 a. a. 100
i = 160% a. a.
FV = PV (1+i n)
FV = 25.000 (1+1,60 2)
FV = $105.000,00
17
3 Juros Compostos
3.1 Fundamentos
3.1.2 Taxas Proporcionais e Equivalentes de Juros Compostos
Os conceitos emitidos para taxas Equivalentes no regime de juros simples são os
mesmos para o regime de juros compostos diferenciando-se, no entanto, a formula de cálculo
da taxa de juros, e o fato de no regime de juros compostos as taxas Proporcionais não serem
Equivalentes, conforme demonstrado no exemplo a seguir:
Exemplo:
1) Três investidores A, B, e C, tem cada um $10.000,00 para aplicar. A aplicou a
120% a.a. B aplicou a 60% a s. e C aplicou a 10 % a m. Quais os montantes de cada um,
depois de decorrido um ano?
a) Capitalização Anual (A)
$22.000,00 FV
)2,1(1 10.000,00 FV
i)(1 PV FV
1
n
b) Capitalização Semestral (B)
$25.600,00 FV
)60,0(1 10.000,00 FV
i)(1 PV FV
2
n
c) Capitalização Mensal (C)
$31.384,28 FV
)10,0(1 10.000,00 FV
i)(1 PV FV
12
n
Definição:
18
Duas Taxas são equivalentes, quando aplicadas sobre um mesmo capital, durante um
mesmo prazo (períodos de capitalização diferentes), produzem montantes iguais.
Se por definição FV1 = FV2 e PV = PV logo, fazendo (1) = (2) deriva-se a fórmula
geral de equivalência de Juros Compostos:
Exemplo:
2) Determinar a taxa semestral equivalente a 10% a m.
Dado que: Solução:
Cálculo das taxas equivalentes compostas utilizando a HP – 12C:
Solução na HP – 12C
Teclas Visor Significado
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros
1 CHS PV -1,00 Valor Presente
10 i 10,00 Taxa i1 mensal dada
6 n 6,00 Prazo n1 mensal equivalente
FV 1,77 Valor Futuro
1 n 1,00 Prazo n2 semestral equivalente
i 77,16 Taxa i2 semestral equivalente
Exercícios Propostos:
(2) )i (1 PV FV
(1) )i (1 PV FV
2
1
n
22
n
11
)i (1 )i (1 21 n
2
n
1
s. a. 77,16% i
100 s. a. 0,7716 i
i 1- (1,1)
)i (1 0,10) (1
)i (1 )i (1
2
2
2
6
1
2
6
n
2
n
121
semestre 1 n
s. a. ?% i
meses 6 n
m. a. 10% i
2
2
1
1
19
Demonstre as soluções dos exercícios pela fórmula matemática e pelas teclas
financeiras da HP – 12C.
13) Dada a taxa de 34,5 % ao trimestre, determine as taxas equivalente compostas
para:
a) Um Ano:
b) Um Semestre
c) Um Bimestre
d) Um Mês
e) 17 Dias
f) 2 m e 7 dias
14) Determinar a taxa de juros equivalente composta, dadas as seguintes taxas:
a) 3% a t
b) 27% ao quadrimestre
c) 5% a m
20
3.2 Juros Compostos
Afirma-se que um capital está empregado a juros compostos ou no regime de
capitalização composta, se no fim de cada período financeiro determinado, o juro produzido é
somado ao capital para formando um novo capital, produzir juros no período seguinte e assim
sucessivamente. É o “juro sobre juro” ou “juros capitalizados”.
– Fórmula do Montante de Juros Compostos:
Identificando-se:
PV = Valor Presente ou Capital
FV = Valor Futuro ou Montante
n = Período
i = Taxa
Sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é apurado pela diferença entre o montante
(FV) e o Capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela seguinte expressão:
J = FV – PV
Como:
FV = PV x (1+i)n
Colocando-se PV em evidência, obtém-se a Fórmula do Juro Composto:
ni) (1 PV FV
1] - i) [(1 PV J n
21
Exemplos:
1) Se uma pessoa deseja obter $27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela
depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?
Solução na HP – 12C
Teclas Visor Significado
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros
1 CHS PV -1,00 Valor Presente
1,7 i 1,70 Taxa i1 mensal dada
12 n 12,00 Prazo n1 mensal equivalente
FV 1,22 Valor Futuro
1 n 1,00 Prazo n2 anual equivalente
I 22,42 Taxa i2 anual equivalente
f FIN i 22,42 Limpa memória financeira e
entra com a taxa anual
27.500 FV 27.500 Valor do Montante
1 n 12 Prazo em ano
PV -22.463,70 Valor Presente
Dados do exercício:
FV = $27.500,00
n = 1 ano
i = 1,7% a.m.
PV = $?
1
1
2
2
Solução:
i 1,7% a. m. 100 = 0,0170 a. m.
n 12 meses
i ? % a. a.
n 1 ano
1 2n n
1 2
12 1
2
2
2
2
2
(1+ i ) (1+ i )
(1+ 0,0170) (1+ i )
1,2242 = 1+ i
i = 1,2242 - 1
i = 0,2242 a. a. 100
i = 22,42% a. a.
n
1
FV = PV (1+i)
27.500 = PV (1+0,2242)
PV = $22.463,70
22
2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de
8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a m?
Dados do exercício: Solução:
Solução na HP – 12C
Teclas Visor Significado
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros
12.000 CHS PV -12.000,00 Valor da Aplicação
8 n 8 Prazo em meses
3,5 i 3,5 Taxa em meses
FV 15.801,71 Valor do Resgate
3) Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que
produz um montante de $43.894,63 ao final de quatro meses?
Dados do exercício: Solução:
? Fv
m. a. 0,035 i
meses 8 n
$12.000,00 PV
$15.801,71 FV
0,035) (1 12.000,00 FV
i) (1 PV FV
8
n
m. a. % ? i
meses 4 n
$43.894,63 FV
$40.000,00 PV
m. a. 2,35% i
100 m. a. 0,0235 i
i 1 (1,0974)
i) (1 1,0974
i) (1 1,0974
i) (1 40.000,00 43.894,63
i) (1 PV FV
1/4
4 44
4
4
n
23
Solução na HP – 12C
Teclas Visor Significado
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros
40.000 CHS PV -40.000,00 Valor da Aplicação
43.894,63 FV 43.894,63 Valor do Resgate
4 n 4 Prazo em meses
I 2,35 Taxa ao mês
4) Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de
juros de 2,4% ao mês, um montante de $26.596,40. Calcular o prazo da operação.
Dados do exercício: Solução:
Solução na HP – 12C
Teclas Visor Significado
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros
1 CHS PV -1,00 Valor Presente
2,4 i 2,40 Taxa i1 mensal dada
1 n 1,00 Prazo n1 mensal equivalente
FV 1,024 Valor Futuro
30 n 30,00 Prazo n2 diário equivalente
i 0,0791 Taxa i2 diária equivalente
meses 8 n
0,0237 n 0,1897
LN1,024 n 1,0289 LN
(1,024) 1,2089
0,024) (1 22.000,00 26.596,40
i) (1 PV FV
n
n
n
meses ? n
m. a. 0,024 i
$26.596,40 FV
$22.000,00 PV
24
Continuação...
f FIN i 0,0791 Limpa memória financeira e
entra com a taxa diária
22.000 CHS PV -22.000,00 Valor da Aplicação
26.596,40 FV 26.596,40 Valor do Resgate
N 240 Prazo em dias
30 ÷ 8,0000 Período em meses
Exercícios Propostos:
15) Adote os conceitos de taxas equivalentes em juros compostos, demonstre a
solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP – 12C para o calculo do
montante de uma aplicação financeira de $80.000,00 admitindo as seguintes taxas e prazos: a)
i = 9 % ao bimestre e n = 1 ano e 8 meses; b) i = 12 % ao ano e n = 108 meses.
16) Adote os conceitos de taxas equivalentes em juros compostos, demonstre a
solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP – 12C para o calculo do juro
de uma aplicação financeira de $100.000,00 admitindo os seguintes prazos e taxas: a) i = 3,5
% ao trimestre e n = 2 anos e meio; b) i = 5 % a s e n = 3 anos.
17) Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP –
12C e calcule a que taxa mensal deve ser colocado um capital de $48.000,00 para que renda
de juros compostos $4.806,25 em 8 meses?
18) Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP –
12C e calcule em quanto tempo um capital dobra se for colocado à taxa de 10% ao mês?
19) Se uma pessoa quiser comprar um carro no valor de $12.000,00 quanto deve
aplicar hoje para que daqui a 7 meses possua tal valor, admitindo-se uma taxa de juros de
3,5% ao mês? Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP
– 12C.
25
20) Calcule a taxa mensal de juros de uma aplicação de $6.600,00 que produz um
montante de $7.385,81 ao final de 7 meses. Demonstre a solução pela fórmula matemática e
pelas teclas financeiras da HP – 12C.
21) Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de
2,2% ao mês? Demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP
– 12C.
22) Aplicando primeiro a formula geral de equivalência composta e depois
demonstrando com o uso da calculadora financeira, determine as seguintes taxas:
a) Semestral equivalente a 14% a m
b) Trimestral equivalente a 82,25% a s
c) Diária equivalente a 19,75% a m
23) Qual a melhor opção? Aplicar um capital de $60.000,00 à taxa de juros compostos
de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano? Adote os conceitos de taxas equivalentes
compostas, demonstre a solução pela fórmula matemática e pelas teclas financeiras da HP –
12C.
26
MÓDULO - II
4 Equivalência de Capitais
4.1 Fundamentos
4.1.2 Taxas Nominais e Efetivas
Quando se diz que uma taxa de juros é Nominal, admite-se que o prazo de
capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal)
não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros.
Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada mensalmente.
Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se
refere à taxa de juros igual a um ano (12 meses).
Assim, 36% ao ano representa uma taxa nominal de juros, expressa para um período
inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização.
Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorra por
juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de capitalização é de 36%
÷ 12 = 3 % ao mês (taxa equivalente ou proporcional simples).
Taxa Efetiva de Juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo “n”, sendo
formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o
processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de
capitalização. É obtida pela seguinte expressão:
27
Solução na HP – 12C
Teclas Visor Significado
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros
36 ENTER 12 ÷ 3,00 Taxa Nominal proporcional
mensal
i 3,00 Taxa i1 mensal dada
12 n 12,00 Prazo n1 mensal equivalente
1 CHS PV -1,00 Valor Presente
FV 1,42 Valor Futuro
1 n 1,00 Prazo n2 anual equivalente
i 42,58 Taxa i2 anual equivalente
Ao se capitalizar a taxa nominal de 3% a.m. = 36% a.a. ÷ 12 apura-se uma taxa
Efetiva de juros ie = 42,58% a.a. superior àquela declarada para a operação.
Da mesma forma, a taxa Efetiva de juros ie = 42,58% a.a. pode ser equivalentemente
definida para a taxa nominal de 36% a.a. da seguinte maneira:
1
1
2
2
i = 3% a. m. 100 = 0,03 a. m.
n = 12 meses
i = ?% a. a.
n = 1 ano
1 2n n
1 2
12 1
2
2
2
2
(1+i ) = (1+i )
(1+0,03) = (1+i )
1,4258 - 1 = i
i = 0,4258 a. a. 100
i = 42,58% a. a.
1
1
2
2
i = 42,58% a.a. 100 = 0,4258 a.a.
n = 1 ano
i = ?% a.m.
n = 12 meses
1 2n n
1 2
1 12
2
1
122
2
2
2
2
(1 + i ) = (1 + i )
(1 + 0,4258) = (1 + i )
(1,4258) = 1 + i
1,03 - 1 = i
i = 0,03 a.m. 100
i = 3% a.m. 12 meses
Taxa Nominal i = 36% a.a.
28
Solução na HP – 12C
Teclas Visor Significado
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros
1 CHS PV -1,00 Valor Presente
42,58 i 42,58 Taxa i1 efetiva anual dada
1 n 1,00 Prazo n1 anual equivalente
FV 1,43 Valor Futuro
12 n 12,00 Prazo n2 mensal equivalente
i 3,00 Taxa i2 nominal proporcional
mensal equivalente
12 × 36,00 Taxa nominal anual
Exercícios Propostos:
Demonstre a solução dos exercícios a seguir pela fórmula matemática e pelas teclas
financeiras da HP – 12C
24) Dadas as taxas nominais calcule suas respectivas taxas efetivas:
a) 12% a.a. e capitalização mensal;
b) 6% a.s. e capitalização mensal;
c) 1% a.m. e capitalização diária;
25) Dadas as taxas efetivas calcule suas respectivas taxas nominais:
a) 15% a.a. e capitalização mensal;
b) 6,5% a.s. e capitalização mensal;
c) 1,5% a.m. e capitalização diária;
29
4.2 Equivalência de Capitais
O problema da Equivalência Financeira constitui-se no raciocínio básico da
Matemática Financeira.
Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de certa data são considerados
equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzirem resultados iguais numa data
comum. Esta data comum é chamada de “Data Focal” ou “Data de Equivalência”.
Na equivalência financeira em juros simples, é importante ressaltar que os prazos não
podem ser desmembrados (fracionados) sob pena de alterar os resultados. Ao fracionar os
prazos, dois capitais equivalentes deixam de produzir o mesmo resultado na data focal pelo
critério de juros simples.
Apesar da utilização em determinados casos, do critério de juros simples, será adotado
o critério de juros compostos, devido sua maior aplicação.
Exemplos:
1) Um título A de $120,00 que vence daqui a um ano e outro título B de $100,00, que
vence hoje, são equivalentes a uma taxa de juros de 20%, uma vez que o título B de $100,00,
capitalizado, produzirá os $120,00 do título A dentro de um ano, ou o título A de $120,00 do
final do primeiro ano, resultaria em $100,00 do título B se atualizado para hoje. Ou seja,
ambos os capitais produzem, numa data de comparação (Data Focal) e a taxa de 20% ao ano,
resultados idênticos.
Graficamente tem-se:
$100,00 $120,00
10,2) (1 100 FV
10,2) (1
120 PV
30
2) Admita ilustrativamente que A deve para B, os seguintes pagamentos:
$50.000,00 de hoje a 4 meses;
$80.000,00 de hoje a 8 meses.
Suponha que A tenha proposto à B, pagar $10.000,00 hoje, $30.000,00 de hoje a 6
meses, e o restante ao final do ano.
Sabendo que B exige uma taxa de juros de 2,0% ao mês, qual o saldo a ser pago no
final do ano?
Graficamente tem-se:
Dado que por definição a equivalência ocorre quando A = B, decorre que
considerando a Data Focal em (0) Zero, tem-se:
$98.710,25 B
1,2682 77.832,35 B
) 02 , 0 (1
B 36.639,14 114.471,49
) 02 , 0 (1
B 26.639,14 10.000,00 68.279,22 46.192,27
) 02 , 0 (1
B ) 02 , 0 (1
30.000,00 10.000,00 ) 02 , 0 (1
80.000,00 ) 02 , 0 (1
50.000,00
i) (1
B i) (1
B B i) (1
A i) (1
A
12
12
12 12
12 12
12 12
6 8 4
n 12
n 6
0 n 8
n 4
0 2 4 6 8 10 12Meses
4A
$50.000,00
8A
$80.000,00
0B
$10.000,00
6B
$30.000,00
12B
$?,00
Pagamento de (A) Esquema
Pagamento de (B) Esquema
31
Exercícios Propostos:
26) Determinar se $438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber
hoje $296.000,00, admitindo uma taxa de juros de 6% ao mês. Justifique sua resposta.
27) Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$25.000,00 e $56.000,00 cada. O
primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O devedor deseja propor a
substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5º mês.
Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros, determinar o valor deste pagamento único.
28) Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros: $35.000,00 vencíveis no
fim de 3 meses e $65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate dessas dívidas, o
devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupança
que rende 66% ao ano. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta
poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de
vencimentos sem deixar saldo final na conta.
29) Uma dívida no valor de $48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende
resgatar a dívida pagando $4.800,00 hoje, $14.000,00 de hoje a dois meses, e o restante um
mês após a data de vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a
data focal da operação, e sabendo-se ainda que é de 34,8% ao ano a taxa de juros adotada
nesta operação, determinar o valor do último pagamento da proposta alternativa.
30) Uma empresa deve $180.000,00 a um banco sendo o vencimento definido em 3
meses contados de hoje. Prevendo dificuldades de caixa no período, a empresa negocia com o
banco a substituição deste compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6
contados de hoje. Sendo de 3,6% ao mês a taxa de juros, pede-se calcular o valor dos
pagamentos propostos sendo a data focal no 5º mês.
31) Um título vence daqui a 4 meses apresentando um valor nominal de resgate de
$407.164,90. É proposta a troca deste título por outro de valor nominal de $480.000,00
vencível daqui a 8 meses. Sendo de 5% ao mês a rentabilidade exigida pelo aplicador, pede-se
avaliar se a troca é vantajosa.
32
5 Descontos
Desconto é a recompensa da operação de se liquidar um título antes de seu
vencimento.
Assim, pode-se entender que Desconto, é a diferença entre o Valor Nominal de um
título e o seu Valor Atualizado apurado “n” períodos antes de seu vencimento.
Por outro lado, Valor Descontado de um título é o seu Valor Atual na data do
desconto, sendo determinado pela diferença entre o Valor Nominal e o Desconto, ou seja:
5.1 Desconto Simples
São identificados dois tipos de Desconto Simples:
Desconto “Por Dentro” (ou Racional) e,
Desconto “Por Fora” (ou Bancário, ou Comercial).
5.1.1 Desconto Simples Racional ou (Por Dentro)
O desconto racional, também denominado de Desconto “Por Dentro”, incorpora os
conceitos e as relações básicas de juros simples.
Assim, o valor do Desconto Racional (Dr), o Capital (ou Valor Atual) (C), a Taxa
periódica de Juros (i) e o Prazo do desconto (número de períodos que o título é negociado
antes do vencimento) (n), têm-se a conhecida expressão de juros simples:
Na prática, não é possível calcular o desconto racional com essa fórmula, uma vez que
o Valor Atual ou Capital (C) só é conhecido após o cálculo do desconto.
Desconto - NominalValor DescontadoValor
n i C Dr
33
Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de Valor Descontado
no lugar de capital no cálculo do desconto, tem-se:
Sendo:
Dr = Desconto Racional (ou recompensa da liquidação antecipada);
N = Valor Nominal (ou valor de resgate ou montante);
Vr = Valor Descontado racional (ou valor atual) na data da operação.
Como:
Tem-se:
Sendo (1 + i x n) o M.M.C. da fração, tem-se:
Assim, a fórmula do Desconto Racional Simples é:
A partir desta fórmula é possível calcular o Valor do Desconto Racional (Dr) obtido
de determinado Valor Nominal (N) a uma dada taxa simples de juros (i) e a um determinado
prazo de antecipação (n).
Vr - N Dr 1
n) i (1
N C Vr
n) i (1
N - N Dr
n) i (1
N - n) i (1 N Dr
n) i (1
N -n i N N Dr
n) i (1
n i N Dr
2
34
Já o Valor Descontado (Vr), conforme definição apresentada, é obtido pela seguinte
expressão de cálculo:
É importante ressaltar que o juro ou desconto, incide sobre o capital (Valor Presente)
do título, ou seja, sobre o valor liberado da operação.
Exemplos:
n) i (1
N Vr
n) i (1
n i N -n i N N Vr
n) i (1
n i N - n) i (1 N Vr
n) i (1
n i N - N Vr
Dr - N Vr
3
35
1) Seja um título de valor nominal de $4.000,00 vencível em um ano, que está sendo
liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a., a taxa nominal de juros
simples, pede-se calcular o desconto e o valor descontado “por dentro” desta operação:
Dados do exercício: Solução: Valor do Desconto
- Valor Descontado: ou:
2) Determinar a taxa mensal de desconto racional simples de um título negociado 60
dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $26.000,00 e valor atual na
data do desconto de $24.436,10.
Dados do exercício:
?$ Vr
?$ Dr
m. a. 0,035 i
100 m. a. 3,5% i
12 a. a. 42% i
meses 3 n
$4.000,00 N
$380,10 Dr
(1,105)
420 Dr
3) 0,035 (1
3 0,035 4.000,00 Dr
n) i (1
n i N Dr
$3.619,90 Vr
380,00 - 4.000,00 Vr
Dr - N Vr
$3.619,90 Vr
3) 0,035 (1
4.000,00 Vr
n) i (1
N Vr
$24.436,10 Vr
$26.000,00 N
meses 2 dias 60 n
36
Como no desconto racional, o desconto é aplicado sobre o valor atual (capital
liberado) do título, logo:
Solução:
5.1.2 Desconto Simples Bancário ou (Comercial) ou (Por Fora)
Simplificadamente, o “Desconto Por Fora” é assim denominado por incidir sobre o
Valor Nominal (valor de resgate ou montante) do título e não sobre o Valor Descontado
(Capital ou Valor Atual) como ocorre no Desconto Racional.
Esta modalidade de desconto é amplamente adotada pelo mercado, principalmente em
operações de crédito bancário e comercial a curto prazo.
No regime de juros simples, o Valor do Desconto “por fora” (DF) é determinado pelo
produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica “por fora” contratada na
operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n).
O Valor Descontado “Por fora” (VF) aplicando-se a definição, é obtido:
m. a. 3,2% i
100 m. a. 0,032 i
48.872,20
1.563,90 i
2 24.436,10
24.436,10 - 26.000 i
n Vr
Dr i
n i Vr Dr
n i N Df 1
n) i - (1 N Vf
n i N - N Vf
Df - N Vf
2
3
37
Exemplos:
1) Seja um título de valor nominal de $4.000,00 vencível em um ano, que está sendo
liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a a, a taxa nominal de juros
simples, pede-se calcular o desconto e o valor descontado “por fora” desta operação:
Dados do exercício: Solução: Valor do Desconto:
- Valor Descontado:
2) Determinar a taxa mensal de desconto comercial simples de um título negociado 60
dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $26.000,00 e valor atual na
data do desconto de $24.436,10.
Dados do exercício: Solução:
?$ Vf
?$ Df
m. a. 0,035 i
100 m. a. 3,5% i
12 a. a. 42% i
meses 3 n
$4.000,00 N
$420,00 Df
3 0,035 4.000,00 Df
n i N Df
$3.580,00 Vf
0,8950 4.000,00 Vf
3) 0,035 - (1 4.000,00 Vf
n) i - (1 N Vf
$24.436,10 Vf
$26.000,00 N
meses 2 dias 60 n
m a % ? i
$1.563,90 DF
24.436,10 - 26.000,00 DF
VF - N DF
38
A taxa aplicada sobre o valor nominal do título é de 3,0075% a.m., contudo, a taxa
efetiva desta operação é a determinada pelo desconto racional composto.
5.2 Desconto Composto
Assim como no regime de juros simples, no regime de juros compostos são
identificados dois tipos de Desconto:
Desconto “Por Dentro” ou Racional;
Desconto “Por Fora” ou Bancário, ou Comercial.
5.2.1 Desconto Composto Racional ou (Por Dentro)
Assim como o Desconto Racional “Por Dentro” Simples é estabelecido segundo as
relações do regime de Juros Simples, o Desconto Racional “Por Dentro” Composto, é
estabelecido segundo as relações do regime de Juros Compostos.
Desta forma, o Valor Descontado Racional Composto (VR), equivale ao Valor
Presente de juros compostos, ou seja:
m. a. 3,0075% i
100 m. a. 0,0301 i
i 2
0,0602
2 i 0,0602
2 i 26.000,00
1.563,90
2 i 26.000,00 1.563,90
n i N DF
n i) (1
N VR
1
39
Por outro lado, sabe-se que o desconto é obtido pela diferença entre o Valor Nominal
(resgate) e o valor descontado (Valor Presente). Logo, o Desconto Racional Composto (DR)
tem a seguinte expressão de cálculo:
- Colocando N em evidência:
Exemplos:
1) Uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes de seu
vencimento. O valor nominal deste título é de $50.000,00. Sendo de 4,5% ao mês a taxa de
desconto composto racional, determine qual o valor descontado, qual o valor do desconto e
qual a taxa efetiva da operação?
Dados do exercício: Solução: Valor Descontado:
- Desconto:
ni) (1
N - N DR
VR - N DR
2
m. a. ?% i
?$ DR
?$ VR
mês ao 0,045 i
meses 3 n
$50.000,00 N
e
$43.814,83 VR
0,045) (1
50.000,00 VR
i) (1
N VR
3
n
$6.185,16 DR
43.814,83 - 50.000,00 DR
VR - N DR
n i) (1
1 - 1 N DR 3
40
- Taxa Efetiva:
2) Um banco libera a um cliente $6.800,00 provenientes do desconto composto
racional de um título de valor nominal de $9.000,00 descontado à taxa de 4% ao mês. Calcule
o prazo de antecipação que foi descontado este título.
Dados do exercício: Solução:
m. a. 4,5% i
100 m. a. 0,0450 i
i 1 - 1,0450
i 1 (1,1412)
)i (1 43.814,83
50.000,00
)i (1 x 43.814,83 50.000,00
)i (1 VF N
e
e
e
e
3
e
3
e
n
e
31
? n
m. a. 0,04 i
$9.000,00 N
$6.800,00 VR
dias 5 e meses 7 n
30 meses 0,1468 n
7 - meses 7,1468 n
0,0392
0,2803 n
0,0392 n 0,2803
1,04 LN n 1,3235 LN
(1,04) 3235 , 1
(1,04) 00 , 800 . 6
00 , 000 . 9
0,04) (1 6.800,00 9.000,00
i) (1 VR N
i) (1
N VR
n
n
n
n
n
41
5.2.2 Desconto Composto Bancário ou Comercial ou (Por Fora)
O Desconto Composto “Por Fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de
desconto sobre o Valor Nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos
obtidos em períodos anteriores.
Assim, pode-se dizer que:
e como:
tem-se:
Onde o valor
é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de desconto nos períodos
seguintes.
Sendo a formula de expressão do cálculo do Desconto Composto “Por Fora” assim
determinada:
Como:
Tem-se:
DF - N VF 1
i N DF
i) - (1 N VF
i N - N VF
i) - (1 N
ni) - (1 N VF 2
VF - N DF
]i) - (1 - [1 N DF
i) - (1 N - N DF
n
n
3
42
Exemplo:
1) Um título de valor nominal de $35.000,00 é negociado através de uma operação de
Desconto Composto “Por Fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada
atinge 5% ao mês. Pede-se determinar o Valor Descontado, o Desconto e a Taxa de Juro
Efetiva da operação.
Dados do exercício: Solução: Valor Descontado:
- Desconto:
- Taxa Efetiva:
m. a. ?% i
?$ DF
?$ VF
m. a. 0,05 i
meses 3 n
$35.000,00 N
e
$30.008,12VF
0,857435.000,00VF
0,05)-(135.000,00VF
i)-(1NVF
3
n
$4.991,88 DF
30.008,12 - 35.000,00 DF
VF - N DF
m. a. % 5,26 i
100 m. a. 0,0526 i
i 1 - 1,0526
i 1 (1,1663)
)i (1 1,1663
)i (1 30.008,12
35.000,00
)i (1 30.008,12 35.000,00
)i (1 VF N
e
e
e
e
3
e
3
e
3
e
n
e
31
43
Exercícios Propostos:
32) Calcular o Valor do Desconto e o Valor Descontado simples “Por Dentro”
(racional) de um título de valor nominal $54.000,00 descontados 95 dias antes de seu
vencimento a uma taxa de desconto de 4,5% ao mês.
33) O Valor Atual de um título é de $159.529,30 sendo o Valor de seu desconto
racional simples, apurado a uma taxa de juros de 5,5% ao mês, igual a $20.470,70. Com base
nestas informações, determinar o número de dias que falta para o vencimento do título.
34) Calcular o Valor do Desconto e o Valor Descontado simples “Por Fora”
(comercial) de um título de valor nominal $54.000,00 descontados 95 dias antes de seu
vencimento a uma taxa de desconto de 4,5% ao mês.
35) O desconto de uma duplicata de valor nominal de $77.000,00 e com prazo de
vencimento de 141 dias, produz um valor atual de $65.000,00. Determinar a taxa de desconto
simples “Por Fora” desta operação.
36) Um título de valor nominal de $5.000,00 é negociado através de uma operação de
desconto composto “por fora” 4 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada
atinge 3% ao mês. Pede-se determinar o Valor Descontado, o Desconto e a Taxa de Juro
Efetiva mensal da operação.
37) Uma empresa deseja descontar uma duplicata 5 meses antes de seu vencimento. O
valor nominal deste título é de $100.000,00. Sendo de 5% ao mês a taxa de desconto racional
composto, determine qual o valor descontado e qual o valor do desconto da operação?
38) Um banco libera a um cliente $15.357,91 provenientes do desconto de um título
de valor nominal de $20.000,00 descontado à taxa racional composta de 4,5% ao mês. Calcule
o prazo de antecipação que foi descontado este título.
44
MÓDULO - III
6 Rendas Certas ou Anuidades
Rendas ou anuidades é um conjunto de depósitos ou de pagamentos periódicos
destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida.
Cada um dos pagamentos de uma série pode ser denominado de termo, prestação ou
simplesmente pagamento da renda.
Ao intervalo de tempo entre os vencimentos de dois termos consecutivos denomina-se
período da renda ou intervalo de pagamento.
6.1 Classificação das Rendas
- Quanto a sua Periodicidade as rendas são classificadas em:
Certas;
Aleatórias.
- Quanto a sua Duração as rendas são classificadas em:
Temporárias;
Perpétuas.
- Quanto aos seus Valores as rendas são classificadas em:
Constantes;
Variáveis.
- Quanto ao seu Período de Ocorrência as rendas são classificadas em:
Imediatas;
Antecipadas;
Diferidas.
45
6.2 Classificação das Rendas Certas quanto ao Pagamento da Primeira Prestação
6.2.1 Rendas Imediatas
São aquelas cujo primeiro pagamento ocorre no Final do 1º Período e o último
pagamento se dá no Fim do último período (n).
6.2.2 Rendas Antecipadas
São aquelas cujo primeiro pagamento ocorre no Início do 1º Período e o último
pagamento se dá no Início do último período (n).
6.2.3 Rendas Diferidas
Caracterizam-se por terem um prazo de Carência (m) antes do Primeiro pagamento.
0 2 n-1 nPeríodo
1
PMT PMT PMT PMT
0 2 n-1 nPeríodo
1
PMT PMT PMT PMT
0 2 m+1 m + nPeríodo
1
PMT PMTPMT
m + n-1m
Carência
46
6.3 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata
O cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata é dado a
partir da descapitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir:
6.4 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata
O cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Imediata é dado a partir
da capitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir:
6.5 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada
O cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada é dado a
partir da descapitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir:
0 2 n-1 nPeríodo
1
PMT PMT PMT PMT?$ PV
i
i) (1 - 1 PMT PV
-n
n0 2 n-1
Período
1
PMT PMT PMT PMT
?$ FV
i
1-i)(1PMTFV
n
0 2 n-1 nPeríodo
1
PMT PMT PMT PMT
?$ PV
i) (1 i
i) (1- 1 PMT PV
-n
47
6.6 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada
O cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Antecipada é dado a
partir da capitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir:
6.7 Cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida
O cálculo do Valor Presente de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida é dado a
partir da descapitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir:
6.8 Cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida
O cálculo do Valor Futuro de um Fluxo de Caixa de Renda Diferida é dado a partir
da capitalização das Prestações Constantes (PMT), descrito pela fórmula a seguir:
0 2 n-1 nPeríodo
1
PMT PMT PMT PMT
?$FV
i) (1 i
1- i) (1 PMT FV
n
0 2 m+1 m + nPeríodo
1
PMT PMTPMT
m + n-1m
Carência
?$ PV
m--n
i) (1 i
i) (1- 1 PMT PV
0 2 m+1 m + nPeríodo
1
PMT PMTPMT
m + n-1m
Carência
?$FV
i
1-i)(1PMTFV
n
48
Exemplos:
1) Um determinado produto, cujo preço à vista é $6.800,00 está sendo vendido com
uma entrada de 20% do preço e o restante em seis prestações mensais com juros de 5,5% a. m.
De quanto serão a entrada e as prestações?
Dados do exercício:
Solução:
?$ PMT
?$ Entrada
m. a. 5,5% i
Pagamentos 6 n
Entrada - Vista a Preço Financiada Parte
20% vistaa Preço Entrada
$6.800,00 Vista a Preço
$1.088,97 PMT
4,9955 PMT 00,440.5
0,055
0,055) (1 - 1 PMT 5.440,00
i
i) (1 - 1 PMT PV
PV $5.440,00 Financiada Parte
1.360,00 - 6.800,00 Financiada Parte
Entrada - Vista a Preço Financiada Parte
$1.360,00 Entrada
0,20 6.800,00 Entrada
20% vistaa Preço Entrada
6-
n-
49
Solução na HP – 12C
Teclas Visor Significado
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros
6800 ENTER 20 % 1.360,00 Valor da Entrada
(-) CHS PV -5.440,00 Parte Financiada
6 n 6 Número de Prestações
Mensais
5,5 i 5,5 Taxa em meses
PMT $1.088,97 Valor das Prestações
2) Um determinado produto, cujo preço à vista é $6.800,00 está sendo vendido com
uma entrada de 20% do preço e o restante em seis prestações mensais com juros de 5,5% a. m.
De quanto serão a entrada e as prestações, considerando que a primeira deverá ser paga no ato
da compra?
Dados do exercício:
?$ PMT
?$ Entrada
m. a. 5,5% i
Pagamentos 6 n
Entrada - Vista a Preço Financiada Parte
20% vistaa Preço Entrada
$6.800,00 Vista a Preço
50
Solução:
Solução na HP – 12C
Teclas Visor Significado
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros
G BEG BEGIN Configuração para Fluxos de
Caixa Antecipados
6800 ENTER 20 % 1.360,00 Valor da Entrada
(-) CHS PV -5.440,00 Parte Financiada
6 n 6 Número de Prestações
Mensais
5,5 i 5,5 Taxa em meses
PMT $1.032,20 Valor das Prestações
$1.032,20 PMT
1,055 4,9955 PMT 00,440.5
0,055) (1 0,055
0,055) (1 - 1 PMT 5.440,00
i) (1 i
i) (1 - 1 PMT PV
PV $5.440,00 Financiada Parte
1.360,00 - 6.800,00 Financiada Parte
Entrada - Vista a Preço Financiada Parte
$1.360,00 Entrada
0,20 6.800,00 Entrada
20% vistaa Preço Entrada
6-
n-
51
3) Um financiamento no valor de $35.000,00 é concedido para pagamento em 12
prestações mensais, iguais, com 3 meses de carência. Para uma taxa de juros de 3,5% a m,
determinar o valor das prestações.
Dados do exercício: Solução:
Solução na HP – 12C
Teclas Visor Significado
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros
35000 CHS PV -35.000,00 Valor do Financiamento
3 n 3,00 Período de Carência
3,5 i 5,50 Taxa em meses
FV 38.805,12 Valor Futuro
f FIN 38.805,12 Limpa Registros
CHS PV -38.805,12 Valor do Saldo Devedor
12 n 12,00 Número de Prestações
3,5 i 3,50 Taxa em meses
PMT $4.015,71 Valor das Prestações
?$ PMT
m. a. 3,5% i
carência de meses 3 m
Pagamentos 12 n
$35.000,00 nto Financiame do Valor
$4.015,71 PMT
0,9019 9,6633 PMT 00 , 000 . 35
0,035) (1 0,035
0,035) (1 - 1 PMT 35.000,00
i) (1 i
i) (1 - 1 PMT PV
3 - 12 -
m - n -
52
Exercícios Propostos:
39) Um terreno está à venda em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de
$4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% a m. Até que preço compensa vender o terreno à
vista?
40) Um bem, cujo preço à vista é $10.000,00 está sendo vendido com uma entrada de
20% do preço e o restante em 5 prestações mensais imediatas com juros de 2,5% a. m. De
quanto serão a entrada e as prestações?
41) Uma pessoa quer comprar um apartamento, cujo preço à vista é $80.000,00, mas
só dispõe de $48.000,00 para dar como entrada e poderá pagar prestações mensais de, no
máximo, $500,00. Em quantos pagamentos, no mínimo, poderá comprar o apartamento se a
taxa de juros para comprá-lo a prazo é 1,5% a m e de quanto serão os pagamentos, se forem
iguais?
42) Um empréstimo de $55.000,00 está sendo pago com 10 prestações mensais de
$5.963,88. Qual a taxa mensal de juros cobrada pelo credor?
43) Com o objetivo de fazer uma poupança, uma pessoa deposita $1.000,00 no fim de
cada mês, numa instituição financeira que paga juros de 0,75% a m. Qual será o montante no
fim do ano, após efetuar seu 12º depósito?
44) Faltando oito pagamentos mensais de $5.400,00 para o término de um contrato de
financiamento, o financiado deseja liquidá-lo. Quanto deverá pagar (na data em que pagaria o
primeiro dos oito pagamentos) se a taxa para avaliação da dívida é 4,5% a m ?
45) Um carro está sendo vendido a prazo em 4 pagamentos mensais de $5.000,00.
Sendo de 2,5% a m a taxa de juros, determinar o seu valor final, admitindo que o primeiro
pagamento é efetuado no ato da compra.
46) Um banco concedeu um empréstimo de $50.000,00 em 12 prestações mensais e
iguais, com 4 meses de carência. Para uma taxa de juros de 1,5% a m qual o valor das
prestações?
47) Determine o Valor Futuro do exercício anterior.
53
7 Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos
7.1 O que trata os Sistemas de Amortização?
Tratam da forma pela qual são restituídos, pelo Devedor ao Credor do Capital, os
encargos financeiros e o montante principal, relativos a empréstimos de longo prazo.
7.2 Termos Utilizados:
Credor ou Mutuante: É aquele que dá o empréstimo.
Devedor ou Mutuário: É aquele que recebe o empréstimo.
Encargos (Despesas) Financeiras: Representam os Juros da operação, caracterizando –
se como custo para o devedor e retorno para o credor.
Os Encargos Financeiros podem ser corrigidos por Indexador Prefixado ou Pós –
fixado.
Nas Operações Pós Fixadas, os Encargos Financeiros são desdobrados em Juros e
Correção Monetária, (inflação para dívidas expressas em moeda nacional ou Variação
Cambial para dívidas expressas em moeda estrangeira) que vier a se verificar no futuro.
Nas Operações Prefixadas estipula-se uma taxa única, a qual incorpora-se uma
expectativa inflacionaria para todo o horizonte de tempo.
7.3 Definições Básicas:
Amortização: Refere-se exclusivamente ao pagamento do montante principal do Capital
Emprestado.
Saldo Devedor: Representa o valor do principal da dívida, em determinado momento,
após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização.
Encargos Financeiros: Os Juros são calculados sempre sobre o Saldo Devedor, e se
considera normalmente o regime de Juros Compostos.
Prestação: É composta do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos em
determinado período de tempo.
Carência: É a postergação do início da Amortização do Principal (capital emprestado),
não sendo incluídos necessariamente os juros, durante o prazo de carência. Na hipótese de
Carência de Juros, os mesmos são capitalizados e pagos junto com a primeira parcela de
amortização ou distribuídos para as várias datas de pagamento previamente pactuadas.
54
7.4 Modalidades de Sistemas de Amortização:
Existem diversos sistemas para se amortizar uma dívida, contudo, os mais conhecidos
e utilizados são os descritos a seguir:
Sistema de Amortização Constante – SAC;
Sistema de Amortização Francês – SAF (Price);
Sistema de Amortização Misto – SAM;
Sistema de Amortização Americano;
Sistema de Amortização Variável;
Etc.
7.4.1 Sistema de Amortização Constante - SAC:
Possui as seguintes características:
As Amortizações do Montante Principal são sempre iguais em todo o período da
operação.
Os Juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o
pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos.
Em conseqüência do comportamento da amortização constante e dos juros
decrescentes, as prestações periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes.
Os contratos podem ser firmados entre as partes considerando ou não prazos de
carência.
Se houver carência, três situações podem ocorrer:
1. Os Juros poderão ser pagos durante a carência.
2. Os Juros são Capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira
amortização.
3. Os Juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de
amortização de maior valor.
Como os sistemas de amortização prevêem pagamentos de forma parcelada, é
conveniente tanto para o credor como para o credor a elaboração de um Quadro
Demonstrativo que revele o estado da dívida em cada período do prazo fixado.
55
Exemplos:
1) SAC – Sem Carência:
Admita que um empréstimo no Valor de R$100.000,00 foi concedido a uma empresa
nas seguintes condições: Taxa de Juros de 10% a.a., Amortização em Pagamentos Anuais,
Prazo de Amortização em 5 anos (Sem Carência).
Solução:
a) Para o cálculo da Amortização Constante tem - se:
Onde:
A = Amortização
SD0 = Saldo Devedor Inicial, Valor Presente ou Valor do Financiamento
n = Número de Prestações
Logo:
b) O Saldo Devedor é periodicamente reduzido da Amortização:
n
SD A 0
0$100.000,0 Total
20.000,00 A
20.000,00 A
20.000,00 A
20.000,00 A
20.000,00 A
5
100.000,00 A
5
4
3
2
1
$0,00 20.000,00 - 20.000,00 SD
$20.000,00 20.000,00 - 40.000,00 SD
$40.000,00 20.000,00 - 60.000,00 SD
$60.000,00 20.000,00 - 80.000,00 SD
$80.000,00 20.000,00 - 100.000,00 SD
0$100.000,0 SD
5
4
3
2
1
0
56
c) Os Juros são calculados sempre sobre o Saldo Devedor do Período Anterior:
d) A Prestação é a soma da Amortização e dos Juros:
e) Apresentação da Planilha Financeira:
SAC – Com Carência de um ano e pagamento dos Juros:
$2.000,00 0,10 20.000,00 J
$4.000,00 0,10 40.000,00 J
$6.000,00 0,10 60.000,00 J
$8.000,00 0,10 80.000,00 J
$10.000,00 0,10 100.000,00 J
i SD J
5
4
3
2
1
1 -n
$22.000,00 2.000,00 20.000,00 P
$24.000,00 4.000,00 20.000,00 P
$26.000,00 6.000,00 20.000,00 P
$28.000,00 8.000,00 20.000,00 P
$30.000,00 10.000,00 20.000,00 P
J A P
5
4
3
2
1
nn
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 80.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,00
2 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00
3 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00
4 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00
5 - 20.000,00 2.000,00 22.000,00
Total - 100.000,00 30.000,00 130.000,00
SAC - Sem Carência
57
SAC – Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros e pagamento dos juros
acumulados durante a carência quando do vencimento da primeira parcela de amortização:
SAC – Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros, Acrescidos ao Saldo
Devedor:
Períodos Saldo devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 110.000,00 - - -
2 121.000,00 - - -
3 80.000,00 20.000,00 33.100,00 53.100,00
4 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00
5 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00
6 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00
7 - 20.000,00 2.000,00 22.000,00
Total - 100.000,00 53.100,00 153.100,00
SAC - Com Carência de 2 anos e PG. dos Juros na 1ª Amortização
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
2 80.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,00
3 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00
4 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00
5 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00
6 - 20.000,00 2.000,00 22.000,00
Total - 100.000,00 40.000,00 140.000,00
SAC - Com Carência de 1 ano e Pagamento dos Juros
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 110.000,00 - - -
2 121.000,00 - - -
3 96.800,00 24.200,00 12.100,00 36.300,00
4 72.600,00 24.200,00 9.680,00 33.880,00
5 48.400,00 24.200,00 7.260,00 31.460,00
6 24.200,00 24.200,00 4.840,00 29.040,00
7 - 24.200,00 2.420,00 26.620,00
Total - 121.000,00 36.300,00 157.300,00
SAC - Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros e Acrescidos ao Saldo Devedor
58
7.4.2 Sistema de Amortização Francês – SAF.
Por este sistema, o devedor paga o empréstimo em Prestações iguais imediatas,
incluindo em cada uma, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo
devedor anterior. O cálculo das prestações é feito através do Valor Atual das Rendas
Imediatas.
Plano de Amortização Francês (Sistema Price)
Modelo de Quadro Demonstrativo
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestações (R$)
0 SD0 = PV ---- ---- ----
1 SD1 = PV – A1 A1 = PMT – J1 J1 = SD0 x i PMT
2 SD2 = SD1 – A2 A2 = PMT – J2 J2 = SD1 x i PMT
- - - - -
- - - - -
n SDn = SDn – 1 – An An = PMT - Jn Jn = SDn – 1 x i PMT
Onde:
i
i) (1 - 1
PV PMT
i
i) (1 - 1 PMT PV
n -
n -
59
Exemplos:
2) SAF – Sem Carência:
Admita que um empréstimo no Valor de R$100.000,00 foi concedido a uma empresa
nas seguintes condições: Taxa de Juros de 10% a.a., Amortização em Pagamentos Anuais,
Prazo de Amortização em 5 anos (Sem Carência).
Solução: Utilizando a Calculadora Financeira HP – 12C tem-se:
Solução na HP – 12C
Teclas Visor Significado
f FIN f REG 0,00 Limpa Registros
100000 CHS PV -100.000,00 Valor do Empréstimo
5 n 5,00 Número de Prestações
10 i 10,00 Taxa anual
PMT $26.379,75 Valor das Prestações
5 x $131.898,74 Total das Prestações
5 / $26.379,75 Valor das Prestações
1 f AMORT $10.000,00 Valor dos Juros do 1º ano
X<>Y $16.379,75 Valor da Amortização do 1º ano
RCL PV $-83.620,25 Saldo Devedor do 1º ano
1 f AMORT $8.362,03 Valor dos Juros do 2º ano
X<>Y $18.017,72 Valor da Amortização do 2º ano
RCL PV $-65.602,53 Saldo Devedor do 2º ano
1 f AMORT $6.560,25 Valor dos Juros do 3º ano
X<>Y $19.819,50 Valor da Amortização do 3º ano
RCL PV $-45.783,03 Saldo Devedor do 3º ano
E assim por diante até o 5º ano.
60
Quadro Demonstrativo do Sistema de Amortização Francês (Sem Carência):
SAF – Com Carência de um ano e pagamento dos Juros:
SAF – Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros, Acrescidos ao Saldo
Devedor:
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75
2 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75
3 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75
4 23.981,59 21.801,44 4.578,30 26.379,75
5 (0,00) 23.981,59 2.398,16 26.379,75
Total - 100.000,00 31.898,74 131.898,74
SAF - Sem Carência
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
2 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75
3 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75
4 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75
5 23.981,59 21.801,44 4.578,30 26.379,75
6 (0,00) 23.981,59 2.398,16 26.379,75
Total - 100.000,00 41.898,74 141.898,74
SAF - Com Carência de 1 ano e Pagamento dos Juros
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 110.000,00 - - -
2 121.000,00 - - -
3 101.180,50 19.819,50 12.100,00 31.919,50
4 79.379,06 21.801,44 10.118,05 31.919,50
5 55.397,47 23.981,59 7.937,91 31.919,50
6 29.017,72 26.379,75 5.539,75 31.919,50
7 (0,00) 29.017,72 2.901,77 31.919,50
Total - 121.000,00 38.597,48 159.597,48
SAF - Com Carência de 2 anos, Capitalização dos Juros e Acrescimo ao Saldo Devedor
61
Exercícios Propostos:
48) Um comerciante contratou um empréstimo de $400.000,00 a uma taxa de 12% ao
ano para ser pago em 5 anos. Elabore o Plano de Amortização deste empréstimo, pelo
Sistema SAC, nas seguintes condições:
a) Sem carência;
b) Com carência de 2 anos e pagamento dos juros durante a carência;
c) Com carência de 2 anos, capitalização dos juros e pagamento dos juros
acumulados quando do vencimento da primeira parcela de amortização;
d) Com carência de 2 anos, capitalização dos juros, acrescidos ao saldo devedor.
Demonstre as memórias de cálculo e os quadros demonstrativos.
49) Um banco concedeu um empréstimo de $400.000,00 a uma taxa de 12% ao ano
para ser pago em 5 anos. Elabore o Plano de Amortização deste empréstimo, pelo
Sistema SAf, nas seguintes condições:
a) Sem carência;
b) Com carência de 2 anos e pagamento dos juros durante a carência;
c) Com carência de 2 anos, capitalização dos juros, acrescidos ao saldo devedor.
Demonstre as memórias de cálculo pelas fórmulas matemáticas e também pelas
teclas financeiras da HP – 12C e os quadros demonstrativos.
62
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: Atlas,
2006.
ASSAF NETO, Alexandre. Mercado Financeiro. São Paulo: Atlas, 2006.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras:
aplicações ao mercado financeiro, introdução à engenharia econômica. São Paulo: Atlas,
2006
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática Financeira. São Paulo:
Atlas, 2006.