Apostila Mat Est 2010.2

download Apostila Mat Est 2010.2

of 83

Transcript of Apostila Mat Est 2010.2

Prof. Ccero Jos UNIBAN1 CAPTULO I Matemtica Bsica 1. Expresses Numricas So expresses matemticas que envolvem operaes com nmeros.Exemplos:7 + 5 + 4 5 + 20 87 (6 + 8) 10 (5 4) + 15 1.1. Importncia dos parnteses Todos reconhecem a importncia da colocao das vrgulas para o significado das sentenas. Exemplos: Tio Paulo, Srgio vai ao cinema! Tio, Paulo Srgio vai ao cinema! Verifica-se que estas duas sentenas possuem significados diferentes pela simples deslocao da vrgula. Nasexpressesesentenasmatemticas,ossinaisdeassociao(parnteses, colchetes, chaves) podem funcionar como verdadeiras vrgulas. A expresso 10 5 + 2 pode1 ter resultados diferentes, conforme a colocao dos parnteses: (10 5) + 2 = 5 + 2 = 7 10 (5 + 2) = 10 7 = 3 Da a importncia dos sinais de associao. 1.2. Prioridade das operaes numa expresso matemtica Nas operaes em uma expresso matemtica deve-se obedecer a seguinte ordem: a) Potenciao ou Radiciao b) Multiplicao ou Diviso c) Adio ou Subtrao Observaes quanto a prioridade:a) Antes de cada uma das trs operaes citadas anteriormente, deve-se realizar a operao que estiver dentro dos parnteses, colchetes ou chaves. b) A multiplicao pode ser indicada por um x ou por um ponto ou s vezes sem sinal, desde que fique clara a inteno da expresso.

1DeacordocomanovaReformaOrtogrfica2009,permaneceoacentodiferencialempde/pode.Pdeaformado passadodoverbopoder(pretritoperfeitodoindicativo),na3pessoadosingular.Podeaformadopresentedo indicativo, na 3 pessoa do singular. Exemplo: Ontem, ele no pde sair mais cedo, mas hoje ele pode. Prof. Ccero Jos UNIBAN2 Exemplo 1: Resolva a expresso 20 [3 + (5 + 18 + 6) 1] Exemplo 2: Resolva a expresso 2 {11 + [17 (12 + 10) 3]} Exemplo 3: Resolva a expresso 20 + 3(4) 2(5) Exemplo 4: Resolva a expresso 20 + [3 5 . 2+ (3 5) . 2] Prof. Ccero Jos UNIBAN3 Exerccios 1) Calcule o valor das expresses abaixo: a) 20 [(8 3) + 4] 1b) 123 [90 (38 + 50) 1] c) 10 + [8 (1 + 2)] d) 3 [8 + (6 3) + 1] e) 8 (4 + 5) [3 (6 11)] f) (2) [9 + (7 3 6) 8] g) 1 + [7 (2 + 6) + (2)] (6 + 4) h) 6 {4 + [7 (3 9 + 10)]} i) 3 [(1 + 6) + 4 (1 2) 1] j) 2 (2) {6 [3 + (3 + 5)]} 8 2) Calcule o valor das expresses abaixo: a) 21 15 : 5 12 + 3 + 1 b) (21 15) : (15 12 + 3) + 1 c) 31 40 : 2 d) 10 20 : 4 e) 30 : (6) + (18) : 3 f) 7 : (7) + 2(6) + 11 3) Escreva a expresso numrica que representa cada situao abaixo: a)Ummilionrio,antesdemorrer,deixouescritonotestamento:Dostrsmilhesquetenhono banco, deixo 1 milho e 800 mil para instituies de caridade e o restante para ser repartido igualmente entre meus trs filhos. Quanto recebeu cada filho? b) Joo tem2 26 tickets refeio e Andr tem o triplo. Quantos tickets refeio tm os dois juntos? c)Doisoperrios,PauloePedro,cobramjuntos,R$385,00porumtrabalhoaserrealizadoem5 dias. Paulo ganha R$ 32,00 por dia de trabalho. Quanto ganhou Pedro pelo trabalho? d) Gaspar comprou uma bicicleta pagando um total de R$ 960,00, sendo R$ 336,00 de entrada e o restante em 8 prestaes mensais iguais. Qual o valor de cada prestao? e) Em cada mo humana h 27 ossos e em cada p, 26. Quantos ossos h, ao todo, nas mos e nos ps humanos? f)Josmandoufazer,de alumnio, as janelas de sua casa. Deu uma entrada de R$ 250, 00 quando fezaencomendaeorestantevaipagaremquatroparcelasiguaisdeR$140,00cadauma.Quala quantia que Jos vai gastar para fazer as janelas? g) O preo de uma corrida de txi formado de duas partes: uma fixa, chamada bandeirada, e uma varivel,deacordocomonmerodequilmetrospercorridos.Emumacidade,abandeiradade R$ 4,00 e o preo por quilmetro percorrido de R$ 2,00. Quanto pagar uma pessoa que percorrer, de txi, 12 quilmetros? h) Regina comprou roupas, gastando um total de R$ 814,00. Deu R$ 94,00 de entrada e o restante da dvida vai pagar em 5 prestaes mensais iguais. Qual o valor de cada prestao?

2DeacordocomanovaReformaOrtogrfica2009,permanecemosacentosquediferenciamosingulardopluraldos verbos ter e vir, assim como de seus derivados (manter, deter, reter, conter, convir, intervir, advir etc.). Exemplo: Ele tem dois carros. / Eles tm dois carros. Ele mantm a palavra. / Eles mantm a palavra Prof. Ccero Jos UNIBAN4 2. Potenciao 2.1. Definio Dado um nmero racional a e um nmero inteiro n, com n > 1, define-se:

fatoresna . ..... a. . a . a an= A expresso na chama-se potncia do nmero racional a, onde a a base e n o expoente. Vejamos alguns exemplos: a) (+ 7)2 = (+ 7) . (+ 7) = 49b) (5)3 = (5) . (5) . (5) = 125 c) 22 2 2 4 . 3 3 3 9| | | | | | = = |||\ . \ . \ .d) 31 1 1 1 1 = . . = 2 2 2 2 8| | | | | | | | ||||\ . \ . \ . \ . e) (0,2)4 = (0,2).(0,2).(0,2).(0,2) = 0,0016 f)( )2 22 1 2= 22 1| | | | = ||\ . \ . = (2).(2) = 4 g) 2 22 5 5 5 25 =. 5 2 2 2 4| | | | | | | | = = ||||\ . \ . \ . \ .h)( )33 1 1 1 1 12 =. .2 2 2 2 8 | | | | | | | | = = ||||\ . \ . \ . \ . Lembrando que: Se o expoente par, a potncia sempre um nmero positivo. Se o expoente mpar, a potncia tem sempre o mesmo sinal da base. Observaes: Dado um nmero racional a, define-se a1 = a. Exemplos: a) 103 1031= |.|

\|b) 15 5 8 8| | = |\ . Dado um nmero racional a, com a 0, define-se a0 = 1. a) 0109|.|

\| = 1 b) (1,7)0 = 1 Exerccios 4) Escreva na forma de potncia os seguintes produtos: a) 9 9 9 . . 10 10 10| | | | | | |||\ . \ . \ . =c) 11 11 . 5 5| | | | ||\ . \ . =e) 1 . 1 . 1. 1 . 1 = b) (1,4) . (1,4) . (1,4) . (1,4) . (1,4) =d) (2) . (2) . (2) . (2) . (2) = 5) Calcule: Prof. Ccero Jos UNIBAN5 a) 219| | |\ .=e) 512| | |\ . =i) 0411| | |\ . =m) (0,9)1 = b) 276| | |\ . =f) (0,6)2 = j) (0,3)3 =n) 332| | |\ .= c) 234| | |\ .=g) 2710| | |\ .=k) 412| | |\ .=o) 432| | |\ .= d) (1)200h) (1)201 l) 010 = p) 1200 = 6) Determine o valor de cada uma das seguintes expresses numricas: a) (9)2 5 . 16 h) 32 4 52b) (2)4 : 16 . (1)7i) 10 32 : 20 + 50 c) (6)2 (7)2 + 130j) 40 : [(2)2 + 4 (3)0] d) 52 (3)2 + (4)2k) [(12 + 3) : (3)] [32 (4) (2)] e) 4 . (5)3 + (20)2l) (1 0,6)2 + (1 0,3)2 f) 52 10 12 : 22m) (3)2 : (1 0,8) (2,2)2 g) 7 + (2)3 3 32 : 1 7) Num domingo, trs pessoas ouviram um segredo. Cada uma delas repetiu esse segredo a trs pessoas diferentes no dia seguinte. E o segredo continuou a ser divulgado da mesma maneira. Quantas pessoas souberam o segredo na quinta-feira? DomingoSegundaTeraQuartaQuinta 3 pessoas 8) Complete as sentenas abaixo por um dos sinais =, > ou < para que fiquem verdadeiras: a) 1100 _____ 1001 b) (150)0 _____ 1150 c) 10 + 11 _____ 12 d) (5 + 3)2 _____ 52 + 32 e) 21 : 20 _____ 1 f) 32 _____ (3)2

3. Expresses Algbricas Nocotidiano,muitasvezesusamosexpressessemperceberqueasmesmasrepresentam expresses algbricas ou numricas. Numapapelaria,quandocalculamosopreodeumcadernosomadoaopreodeduascanetas, usamos expresses como 1x + 2y, onde x representa o preo do caderno e y o preo de cada caneta. Numcolgio,aocomprarumlanche,somamosopreodeumrefrigerantecomopreodeum salgado,usandoexpressesdotipo1x+1yondexrepresentaopreodosalgadoeyopreodo refrigerante. Usamosasubtraoparasaberovalordotroco.Porexemplo,seVovalortotaldedinheiro disponvel e T o valor do troco, ento temos uma expresso algbrica do tipo V (1x + 1y) = T.Prof. Ccero Jos UNIBAN6 Asexpressesalgbricas so encontradas muitas vezes em frmulas matemticas. Por exemplo, no clculo de reas de retngulos, tringulos e outras figuras planas. Expresso algbricaObjeto matemticoFigura A = b hrea do retngulo A = b h2rea do tringulo P = 4aPermetro do quadrado Ento,expressesalgbricassoexpressesmatemticasqueapresentamletrasepodemconter nmeros. So tambm denominadas expresses literais.Exemplos:A = 2a + 7bB = (3c + 4) 5C = 23c + 4 Asletrasnasexpressessochamadasvariveis.Istosignificaquecadaletrapodeser substituda por um valor numrico. 3.1. Monmios e polinmios Soexpressesmatemticasespeciaisenvolvendovaloresnumricoseliterais,ondepodem aparecersomenteoperaesdeadio,subtraooumultiplicao.Osprincipaistiposso apresentados na tabela: NomeNmero de termosExemplo monmioum3xy binmiodois6xy 7y trinmiotrsax + bx + c polinmiovrios2x3 5x2 + 7x 1 Termo o nome que se d a todo produto indicado. Umtermopodesernumrico(quandonelesaparecemnmeros)oualgbrico(quandonele aparecem nmeros e letras, ou apenas letras). Observe os exemplos: Prof. Ccero Jos UNIBAN7 2 . 3 Representam termos numricos.2 . 7`) 23 23a5xy Representam termos algbricos.m n2ax y3`) Todotermoalgbricoapresentaumcoeficiente(partenumrica)eumaparteliteral.Vejaos exemplos: a) 6xy6 o coeficiente.xy a parte literal. b) 15a3xy2

3 215 o coeficiente.a xy a parte literal. c) 43a2bc5

2 54 o coeficiente.3a bc a parte literal. d) xy4

41 o coeficiente.xy a parte literal. Nota:Tambmsoconsideradastermosasexpressesformadasporumnico nmero ou uma nica letra. Assim, 5, 8,3 , x, y so termos. 3.2. Reduo de termos semelhantes Aadiodedoisoumaispolinmiosfeitaescrevendo-seumpolinmioapsooutroe conservando-seosinaldecadatermo.Emseguidafaz-seareduodostermossemelhantes,caso existam. Asubtraodedoispolinmiosfeitaadicionando-seoprimeiropolinmioaoopostodo segundo. Exemplo 1: Determinar a soma (a + 3ab 2b) + (4a 2ab 4b) Exemplo 2: Determinar a soma (5x2 3x + 12) (7x2 4x + 15) Prof. Ccero Jos UNIBAN8 3.3. Valor numrico de uma expresso algbrica o valor obtido para a expresso, ao substituir as variveis literais por valores numricos. Exemplo 1: Sendo A = 3x2y, determine o valor numrico para x = 7 e y = 2. Exemplo 2: Sendo P = 5xy y2, determine o valor numrico para x = 2 e y = 3. Exemplo 3: Seu Jos faz pequenos fretes urbanos com sua perua Kombi cobrando uma taxa inicial de R$ 10,00 e mais R$ 4,00 por quilmetro rodado. a) Indicando por x o nmero de quilmetros rodados, determine a expresso que representa o preo cobrado por ele. b) Qual o valor numrico da expresso para x = 6? ATENO!!!!Muitas vezes devemos utilizar parnteses quando substitumos variveis por valores negativos. ERRADO!!!!3a3 + 2a2 + ab = 5a5 + ab Vejaque3ae2anopossuemamesmaparteliterale,portanto,nopodemsersomados.No caso acima, no h termos que podem ser somados ou subtrados. Seria o mesmo que efetuar a seguinte soma: No h lgica a soma de uma lmpada com um gato, assim como no h, entre 3a e 2a. Prof. Ccero Jos UNIBAN9 Exerccios 9) Determine as seguintes somas algbricas: a) 5a + 3a b) xy + xy c) ac 5ac d) 10am 13am e) 3a2 + 4a2 f) xy2 + 7xy2 g) 2bc 15bc h) 2 21 2x x2 5i) 3mn 2mn4j) 3x 10x + 11x k) 2y2 + 3y2 5y2 l) 6ab 11ab + 6ab m) 5a2m 12a2m + 7a2m n) xy + 3xy + 4xy 2xy o) 10n3 + 8 n3 7n3 + 12n3 p) 5am + 8am 3am + am 6am q) a4 + 4 42 3a a3 2r) 1 4 1bc bc bc2 5 10 s) 1 3 1x +x x5 10 10 10) Reduzindo os termos semelhantes, simplifique as expresses algbricas: a) 2y3 7y + y3 + 5y yb) 5a 10ab + 4b 4a + 8ab c) 6x2 8x + 3x2 5 + 10x + 4 d) mn + 3m 5n + 4mn m + 6n 2mn e) 2a2 5ab + 7b2 + 4ab a2 + 2b2 f) x + y 2 + 3x + 5 2y x + 1 yg) 1 2a +b + a 2b2 3h) 2 21 1 1x+x +x + 3x x2 4 811) Sabemos que um tringulo equiltero3 quando todos os seus lados tm a mesma medida. Se voc representar a medida do lado do tringulo pela letra x, como poder representar, de forma simblica, o permetro desse tringulo? 12) Escreva a expresso algbrica que representa cada situao abaixo: a) a soma do quadrado do nmero x com o quntuplo do nmero y. b) a soma dos quadrados dos nmeros x e y. c) o quadrado da soma dos nmeros x e y. d) o produto da soma de a e b pela diferena desses dois nmeros. e) o permetro do retngulo de base a e altura h. f) a soma dos cubos dos nmeros a e b. g) o cubo da soma dos nmeros a e b. h) a diferena entre os quadrados dos nmeros x e y. i) a tera parte do quadrado do nmero x. j) a diferena entre o nmero x e 5. 13) Com vistas reforma agrria, uma fazenda foi desapropriada pelo Governo Federal e dividida em 100lotes,todosdeformaquadradaedemesmarea,paradistribuioentreossem-terra4. Determine a funo que expressa a rea A do terreno em funo da medida x do lado de cada lote.

3 De acordo com a nova Reforma Ortogrfica 2009, no se usa mais o trema, sinal colocado sobre a letra u para indicar que ela deve ser pronunciada nos grupos gue, gui, que, qui. Ateno: o trema permanece apenas nas palavras estrangeiras e em suas derivadas. Exemplos: Mller, mlleriano 4 De acordo a nova Reforma Ortogrfica 2009, com os prefixos ex, sem, alm, aqum, recm, ps, pr, pr, usa-se sempre ohfen.Exemplos:alm-mar,alm-tmulo,aqum-mar,ex-aluno,ex-diretor,ex-hospedeiro,ex-prefeito,ex-presidente, ps-graduao, pr-histria, pr-vestibular, pr-europeu, recm-casado, recm-nascido, sem-terra. Prof. Ccero Jos UNIBAN10 14)Duaslojasvendemomesmoartigopelomesmopreoxparapagamentovista.Paracompraa prazo, esse artigo tem preos diferentes: Loja 1: entrada de 40% do preo x mais trs prestaes iguais de y reais. Loja 2: entrada de 30% do preo x mais duas prestaes iguais de y reais. Nessas condies, escreva o polinmio que expressa: a) O preo do artigo comprado a prazo na loja 1. b) O preo do artigo comprado a prazo na loja 2. c) A diferena entre o preo na loja 1 e o preo na loja 2. 15) Pedro estagirio em uma empresa. Ele recebe R$ 5,87 a hora. No ms de agosto ele trabalhou 157 horas. Determine a expresso numrica que representa seu salrio. 16) Calcule o valor numrico das expresses abaixo: a) 2a + 3b, para a = 2 e b = 3 b) x2 + 2x, para x = 5 c) x + yx y , para x = 4 e y = 2 d) x y + 3 4, para x = 9 e y = 8 e) (x y)2, para x = 9 e y = 3 f) (x + y)2, para x = 5 e y = 9 17)Calculeo valor da expresso A =p(p a)(p b)(p c) sabendo que p = a + b + c2, onde a = 5, b = 4 e c = 3. 4. Equao do 1 grau Toda equao que, reduzida sua forma mais simples, assume a forma ax = b, onde x representa aincgnitaeaebsonmerosracionais,coma0,denominadaequaodo1graucomuma incgnita (varivel). Os nmeros a e b so denominados coeficientes da equao. Exemplos: 1) x = 6 equao do 1 grau na incgnita x 2) 3y = 15 equao do 1 grau na incgnita y Entretantoexistemoutrasequaesdo1graucomumaincgnitaquenoescritasnaformaax = b. Exemplos: 1) 2y + 5 = y 4equao do 1 grua na incgnita y 2) t t 1 12 3+ = equao do 1 grau na incgnita t Resoluo da equao do 1 grau com uma incgnita Resolver uma equao do 1 grau com uma incgnita, dentro de um conjunto universo, significa determinar a soluo ou raiz dessa equao, caso exista. Vejamos alguns exemplos: Prof. Ccero Jos UNIBAN11 Exemplo 1: Resolver a equao 5x + 1 = 36. Exemplo 2: Resolver a equao 2 (2x 1) 6 (1 2x) = 2 (4x 5). Exemplo 3: Resolver a equao 2x 5 4x 9 3 4x = 3 6 2+ . Exerccios 18) Resolva as equaes do 1 grau com uma incgnita, sendo U = R a) 2x 8 = 8 b) 8x 14 = 2x c) y + 9y + 5 = 15 d) 3 (3t 6) = 2t + (4 t) e) 10 + (3y 1) (4 y) = 5 (y + 10) f) x + 2 (x + 4) = 2 (3x + 19) 19) Resolva as equaes do 1 grau com uma incgnita, sendo U = R.

m m 1a)4 2 3 5 = + t 5 1 t 3t 14b) 2 3 3 12 + = 4 a 4 ac) a45 4 = 2x5 x 1 13x 3d) 8 2 4 ++ = 20) Se voc multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura de um retngulo, encontrar areadoretngulo.Representandoporcamedidadocomprimentoeporlamedidadalargura, escreva simbolicamente a representao da rea do retngulo. 21)Renatoeseucosobremjuntosnumabalana,quemarca49quilos.QuandoRenatodesceuda balana,deixandoocosozinho,abalanamarcouxquilos.Queexpressoalgbricarepresentao peso de Renato? Prof. Ccero Jos UNIBAN12 22) Dada a figura abaixo, determine: a) a expresso algbrica que representa o permetro da figura dada. b) se x = 2 m, qual deve ser o valor de y para o permetro seja de 36 m2. 23) Na figura ao lado temos um retngulo: a)Encontreaexpressoalgbricaquerepresentaopermetro dessa figura. b) Ache o valor numrico da expresso do permetro para a = 3,6. c) Encontre a expresso algbrica que representa a rea da figura. d) Determine o valor numrico da expresso da rea para a = 5. 24) Veja a tabela afixada na entrada de um circo: IdadePreo At 5 anosEntrada gratuita De 6 anos at 12 anosx reais De 13 anos at 65 anosy reais Mais de 65 anosEntrada gratuita Osr.Lucaslevouseus7netosparaassistiraoespetculo.Osnetosdelestm,respectivamente,16 anos, 15 anos, 14 anos, 12 anos, 11 anos, 9 anos e 4 anos. Se o sr. Lucas tem 67 anos, qual a expresso algbrica que expressa a quantia que ele gastou com os ingressos? 25) Duas raas de ces so vendidas da seguinte maneira: Raa A: cada co custa x reais.Raa B: cada grupo de 6 ces custa y reais. a)Seeuquisermontarumcanilcom5cesdaraaAe24cesdaraaB,qualaexpresso algbrica que representa a quantia que vou gastar? b) Se x = 5 e y = 11, qual o valor numrico dessa expresso. 26)Osfuncionriosdeumaempresaplanejaramfazerumbaileparaarrecadarfundosparauma viagem.AbandacontratadapediuR$2500,00maisaquartapartedaarrecadaodafesta.Sea arrecadao foi de x reais, responda: a) Qual a expresso algbrica que expressa a quantia que essa banda vai receber? b) Se x = 20 000, qual o valor numrico dessa expresso? 27)Ovolumedeumparaleleppedoretngulodadopeloprodutodesuasmedidas:comprimento, largura e altura. Determine a expresso algbrica que representa o volume do paraleleppedo retngulo cujas medidas esto representadas na figura abaixo: y y y y y y y y xx a b c a a Prof. Ccero Jos UNIBAN13 5. Funo do 1 grau 5.1. Noo intuitiva de funo Comfrequncia5encontramosemMatemtica,relaesentreduasgrandezasvariveis. Observemos uma situao: Exemplo: Seja um quadrado cujo lado mede l. Notamos,ento,queamedidapdopermetrodepende da medida l do lado do quadrado, o que pode ser verificado pela tabela seguinte: MEDIDA DO LADO (l) MEDIDA DO PERMETRO (p) 0,52 14 1,24,8 28 312 4,518 Pela tabela, observamos que: a medida l do lado do quadrado uma grandeza varivel; a medida p do permetro do quadrado uma grandeza varivel; a todos os valores de l esto associados valores de p; a cada valor de l est associado um nico valor de p. Dizemos, ento: a) A medida p do permetro de um quadrado dada em funo da medida l do lado. b) A relao p = 4 . l chama-se lei de associao ou frmula matemtica desta funo. Na lei de associao dessa funo, temos: p = 4 . l

5 De acordo com a nova Reforma Ortogrfica 2009, no se usa mais o trema. Designandoporpamedidadopermetro dessequadrado,podemosestabelecerentre pelaseguinterelaoexpressapela frmula matemtica: p = 4 . l l l varivel dependente varivel independente Prof. Ccero Jos UNIBAN14 5.2. A noo de funo atravs de conjuntos Vamos,agora,estudarfuno,usandoa teoria dos conjuntos, pois as colunas vistas nas tabelas do item anterior representam conjuntos numricos. Observemos os exemplos: 1 exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}, seja a relao de A em B expressa pela frmula y = x + 5, com x A e y B. Observamos que: todos os elementos de A esto associados a elementos de B; cada elemento de A est associado a um nico elemento de B. Nesse caso, a relao de A em B expressa pela frmula y = x + 5 uma funo de A em B. 2exemplo:DadososconjuntosA = {2, 0, 2, 5} e B = {0, 2, 5, 10, 20}, seja a relao de A em B expressa pela frmula y = x, com x A e y B. Esse exemplo no expressa uma funo de A em B, pois ao elemento 2 do conjunto A no est associado nenhum elemento de B. 3exemplo:DadososconjuntosA={3,1,1,3}eB={1,3,6,9},sejaarelaodeAemB expressa pela frmula y = x2, com x A e y B.

0 5 15 A 0 5 10 15 20 B 25 x = 0 y = 0 + 5 = 5 x = 5 y = 5 + 5 = 10 x = 15 y =15 + 5 = 20 xy 05 510 1520 0 2 5 10 20 B 2 0 2 A 5 1 3 6 9 B 3 1 1 A 3 Prof. Ccero Jos UNIBAN15 A relao expressa pela frmula y = x2, nesse caso, representa uma funo de A em B, pois: todos os elementos de A esto associados a elementos de B; cada elemento de A est associado a um nico elemento de B. 4 exemplo: Dados os conjuntos A = {16, 81} e B = {2, 2, 3}, seja a relao de A em B expressa pela frmula y4 = x, com x A e y B. Esse exemplo no representa uma funo de A em B, pois ao elemento 16 do conjunto A esto associados dois elementos (2 e 2) do conjunto B. Definio: Em vista dos exemplos dados, define-se: SendoAeBdoisconjuntosnovazioseumarelaofdeAemB,essarelaofuma funo de A em B quando a cada elemento x do conjunto A est associado um e um s elemento y do conjunto B. Pode-se escrever: f: A B (l-se: f uma funo de A em B). Observao: Podemos usar a seguinte notao para a lei de associao que define uma funo: y = x + 5ouf(x) = x + 5 y = x2 ouf(x) = x2 A lei da funo pode ser indicada de uma forma ou de outra, pois y e f(x) significam o mesmo na linguagem matemtica. Exerccios 28) O preo a pagar por uma corrida de txi depende da distncia percorrida. A tarifa y composta de duas partes: uma parte fixa denominada bandeirada e uma parte varivel que depende do nmero x de quilmetrosrodados.SuponhaqueabandeiradaestejacustandoR$2,00eoquilmetrorodado, R$0,50. a) Expresse y em funo de x b) Quanto se pagar por uma corrida em que o txi rodou 11 km? 29) Dado f(x) = 3x + 7 (f: RR), calcule: a) f(0)b) f(1)c) f(2)d) f(3)e) f(1)f) f(5) 2 2 3 B 16 A 81 Prof. Ccero Jos UNIBAN16 30) O preo P em reais de uma corrida de txi funo da quantidade de quilmetros rodados e q edabandeiradaButilizada:P=B+0,80.q,ondeR$0,80opreodoquilmetrorodado.Sea corridafeitadentrodeummesmomunicpio,B=R$4,00e,casosejafeitamudando-sede municpio, B = R$ 8,00. a) Qual a frmula de P em relao a q para uma corrida dentro de um mesmo municpio? b) Qual a frmula de P em relao a q para uma corrida entre dois municpios? c) Se uma corrida de txi ficou em P = R$ 5,60 e foi feita dentro de um mesmo municpio, quanto quilmetro o txi rodou? d)SeumacorridadetxificouemP=R$20,00efoifeitaentredoismunicpios,quantos quilmetros o txi rodou? 31)Umaindstriaimplantouumprogramadeprevenodeacidentesdetrabalho.Esseprograma prevqueonmeroydeacidentesvarieemfunodotempot(emanos)deacordocomalei y=28,83,6t.Nessascondies,quantosanoslevarparaessaindstriaerradicarosacidentesde trabalhos? 32)Umaempresadetelefoniacelularestfazendoaseguintepromoo:aocomprarumalinhade telefone celular, no primeiro ms o cliente paga uma taxa nica de R$ 40,00 e pode utilizar o aparelho pelotempoquequiser.ConsidereCovalordaconta,emreais,aserpagaetotempodeusodo aparelho. Escreva a representao matemtica da funo C(t). 33) Dado f(x) = 3x 2, determine: a) f(2)b) f(3) c) 2f3| | |\ . 34) O salrio fixo mensal de um segurana de R$ 560,00. Para aumentar sua receita, ele faz plantes noturnos em uma boate, onde recebe R$ 60,00 por noite de trabalho. a) Se em um ms o segurana fizer 3 plantes, que salrio receber? b) Expresse por meio de uma funo o salrio final y quando ele realiza x plantes 35)Umacompanhiadetelefonescelularesofereceaseusclientesduasopes:naprimeiraopo, cobra R$ 38,00 pela assinatura mensal e mais R$ 0,60 por minuto de conversao; na segunda, no h uma taxa de assinatura, mas o minuto de conversao custa R$ 1,10. Qual a opo mais vantajosa para quem conversar 20 minutos? 36) Seis pessoas vo a um restaurante. Cada uma pede o prato do dia e uma delas no pede sobremesa. Se o prato do dia custa x reais e cada sobremesa custa 4 reais a menos que o prato do dia, responda: a) Qual o polinmio que expressa a quantia que estas pessoas gastaram no restaurante? b) Supondo que elas tenham gasto a quantia de 90 reais, qual o valor de x nesse caso? 37) Chama-se densidade demogrfica o nmero que se obtm dividindo-se a populao pela superfcie da regio considerada. De acordo com o quadro e supondo que as densidades demogrficas das regies A e B sejam iguais, determine a superfcie ocupada por cada uma das regies. Regio Populao (habitantes)Superfcie (em km2) A150 000(x + 50) B60 000(x 40) Prof. Ccero Jos UNIBAN17 6. Construo de grfico do 1 grau

00,511,522,5-1 0 1 2XY 6.1. Funo polinomial constante Consideremos um nmero a. Denominamos funo polinomial constante funo : R R definida por (x) = a para todo x real. Exemplos 1) f : R R,f(x) = 3 x R2) f : R R,f(x) = 12 x R No 1 exemplo tomamos a = 3, enquanto que no 2 tomamos a = 12 . Grfico Faamos o grfico de : R R definida por (x) = 3. Atabelamostra-nosalgunspontosdogrfico,queumaretaparalelaaoeixodasabscissas. Basta marcar esses pontos e traar a reta que passa por eles. 00,511,522,533,5-1 0 1 2XY Nogrficoaolado,representamoso nmero de olhos da Juliana, desde que nasceu at sua idade atual. Podemosverquecom1anodeidade Juliana tinha 2 olhos. Com 2 anos tambm tinha 2olhos.Com3anostambmtinha2olhos. Enfim, desde que nasceu at a idade atual Juliana tem2olhos.OnmerodeolhosdeJuliana constante ao longo do tempo. (leia: qualquer que seja x pertencente a R, ou, para todo x real) Prof. Ccero Jos UNIBAN18 Convm6 notar que no podemos marcar tabela todos os pontos do grfico, porque o domnio da funo e, portanto h infinitos pontos. O grfico de uma funo polinomial constante uma reta paralela ao eixo das abscissas. 6.2. Funo polinomial do 1 grau Consideremos dado um polinmio do 1 grau ax + b, na varivel x, com a e b reais e a 0. Denominamos funo polinomial do 1 grau funo : R R definida por (x) = ax + b para todo x real. A funo polinomial do 1 grau tambm chamada funo afim. Exemplos f : R R,f(x) = 2x + 1 x R(onde a =2 e b = 1) f : R R,f(x) = x + 2x R(onde a =1 e b = 2) f : R R,f(x) = x4x R 1onde a = e b = 04| | |\ . Grfico Faamos o grfico : R R definida por (x) = 2x + 1. A tabela mostra-nos alguns pontos do grfico, que uma reta. Basta marcar esses pontos e traar a reta que passa por eles. -2-10123456-1 0 1 2XY

6DeacordocomanovaReformaOrtogrfica2009,permanecemosacentosquediferenciamosingulardopluraldos verbos ter e vir, assim como de seus derivados (manter, deter, reter, conter, convir, intervir, advir etc.). Exemplo: Ele tem dois carros. / Eles tm dois carros. Ele mantm a palavra. / Eles mantm a palavra. Prof. Ccero Jos UNIBAN19 6.3. Inclinao Observemos os grficos das funes: (I) f(x) = 3 (II) = f(x) = 2x + 1(III) = x + 2 00,511,522,533,5-1 0 1 2XY -2-10123456-1 0 1 2XY 00,511,522,533,5-1 0 1 2XY Em(I)temosumaretaparalelaaoeixodosx;porissodizemosqueessaretateminclinao nula. Em(II)temosumaretadeinclinaopositiva,enquantoqueem(III)temosumaretade inclinao negativa. Notemos que a reta de inclinao positiva grfico da funo f(x) = 2x + 1, onde o coeficiente de xa=2eportantoa>0.Aretadeinclinaonegativagrficodef(x)=x+2,ondea=1e portanto a < 0. Quando a > 0, o grfico da funo (x) = ax + b uma reta de inclinao positiva. Quando a < 0, a reta tem inclinao negativa. Quando a = 0, recamos na funo constante e a reta tem inclinao nula (paralela ao eixo dos x). Exerccios 38) Faa os grficos das seguintes funes constantes: a) f(x) = 4b) f(x) = 2c) f(x) = 12 d) f(x) = 0 39) Faa os grficos das seguintes funes polinomiais do 1 grau: a) f(x) = 4x 2 b) f(x) = 2x 1 c) f(x) = x2 + 1 d) f(x) = x e) f(x) = x f) f(x) = 1 x 40)dadaaexpressoalgbrica4(2)x+y100(4)xy.Determineovalornumricodessa expresso para x = 6 e y = 4. 41) Dada as funes abaixo, determine os valores em que a funo intercepta os eixos x e y. a) y = 2x 3b) y = 8 2xc) y = 4 2x Prof. Ccero Jos UNIBAN42) Para fazer uma salada de frutas usei 3 goiabas, 1 banana, 4 laranjas, 5 fatias de abacaxi, 2 mames, 3xcarasdemorangoe6mangas.Parasaberototaldecaloriasdessasalada,consulteiaseguinte tabela: Manga(2x 30) cal Banana (x + 30) cal Laranja (x + 10) cal Abacaxi (1 fatia)(2x 60) cal Goiaba x cal Mamo (x 10) cal Morango (1 xcara)(x 20) cal Olhando a tabela, escreva o polinmio que representa o total de calorias dessa salada de frutas. 43) Dado f(x) = 3x + 4, determine: a) f(0) b) f(1) c) f23| | |\ .d) f13| | |\ . 44)Umfazendeiroestabeleceopreodasacadecaf,emfunodaquantidadedesacasadquiridas pelo comprador, usando a equao P = 50 + 200x, em que P o preo em dlares e x o nmero de sacas vendidas.a) Quanto se deve pagar, por saca, um comprador que adquirir cem sacas? b) Quanto se deve pagar, por saca, um comprador que adquirir quinhentas sacas? 45)Umvendedorrecebemensalmenteumsalriocompostodeduaspartes:umafixa,novalordeR$900,00,eumavarivel,quecorrespondeaumacomissode8%dototaldevendasqueelefez durante o ms. a) Expressar a lei da funo que representa seu salrio mensal. b) Calcular o salrio do vendedor sabendo que durante um ms ele vendeu R$ 50 000,00 em produtos. 46) O custo C em reais para produzir x unidades de um produto eletrnico dado por C(x) = 18x + 4 500. Qual o custo para se produzir 1 000 unidades desse produto? 47)Apsopagamentodetodososcustosnaimportaodeumproduto,umaempresacalculao faturamentodeumprodutoquetercomomesmousandoaleidef(x)=8x860,ondef(x)o faturamentolquidodexunidadesvendidas.Qualaquantidademnimaqueessaempresaterde vender para obter lucro? 48)AempresadeprogramasdecomputadorMicrohousepagaaseusvendedoresR$2,00por programavendido,maisumaquantidadefixadeR$800,00. Uma outra empresa concorrente, a JPeg, pagaR$2,50porprogramavendido,maisumfixodeR$500,00.Qualaquantidademnimade programas que um vendedor da JPeg deve vender para ganhar mais que um vendedor da Microhouse?

49) Um provedor de acesso Internet oferece dois planos para seus assinantes: Plano A Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 para cada minuto de conexo durante o ms. Plano B Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 0,02 para cada minuto de conexo durante o ms. Acima de quantos minutos de conexo por ms mais econmico optar pelo plano B? Prof. Ccero Jos UNIBAN21 7. Regra de trs simples 7.1. Grandezas diretamente proporcionais Pensemos na seguinte situao: Renata est na padaria do seu Joaquim e pretende comprar uns biscoitos deliciosos que custam R$ 5,00 cada. Quanto Renata vai gastar? Bem, tudo vai depender do nmero de biscoitos comprados. A tabela abaixo mostra como podem variar o nmero de biscoitos e preos. n de biscoitos123456789101112 preo (R$)51015202530354045505560 Podemos observar que o nmero de biscoitos que Renata pode comprar varivel e que Renata pode gastar uma quantia varivel. Entretanto,podemosobservarqueaquantiagastasempreigualaonmerodebiscoitos comprados 5 vezes. A razo entre o numero de biscoitos e seu preo sempre a mesma: 15=210=315=420=.....=1260. Por esse motivo dizemos que a grandeza nmero de biscoitos e a grandeza preo dos biscoitos so grandezas diretamente proporcionais. Duasgrandezasvariveissochamadasdegrandezasdiretamenteproporcionaisquandoarazo entre os valores da primeira grandeza e os valores correspondentes da segunda sempre a mesma. 7.2. Grandezas inversamente proporcionais Pensemos agora na seguinte situao: Renata comprou 120 biscoitos na padaria do seu Joaquim, levou para casa e distribuiu para os amigos, dando a mesma quantidade para todos. Quantos biscoitos cada um ganhou? AquitambmarespostavaidependerdonmerodeamigosdaRenata.Atabelaabaixomostra como varia o nmero de biscoitos dependendo do nmero de amigos. nmero de amigos123456 nmero de biscoitos para cada amigo 1206040302420 Podemos observar que o nmero de biscoitos dados a cada amigo varivel e que o nmero de amigos que Renata pode ter tambm varivel. Entretanto, observamos que o nmero de amigos vezes o nmero de biscoitos dados a cada um sempre 120: 1x120=2x60=3x40=4x30=5x24=6x20 Prof. Ccero Jos UNIBAN22 Por esse motivo dizemos que a grandeza nmero de amigos e a grandeza nmero de biscoitos dados a cada amigo so grandezas inversamente proporcionais. Duasgrandezasvariveissochamadasdegrandezasinversamenteproporcionaisquandoo produto de cada valor da primeira grandeza pelo valor da segunda sempre o mesmo. 7.3. Resolvendo a regra de trs simples Muitas vezes estamos diante de problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Para sua resoluo muito importante conhecer a regra pratica chamada regra de trs simples. Exemplo1:Tatianacomprou8mdeumtecidoporR$280,00.Quantopagarpor10mdomesmo tecido? Exemplo 2: velocidade de 800 km/h um Boeing vai de So Paulo a Belo Horizonte em 42 minutos. Se voar a 600 km/h, em quanto tempo far a mesma viagem?

Exerccios 50) Resolva: a) Se 3,5 kg de feijo custam R$ 6,30, quanto custaro 6,5 kg? b) Se 22 litros de gasolina custam R$ 44,00, quanto custam 27 litros? c) O relgio de Nanci atrasou 26 segundos em 48 horas. Qual ser o seu atraso em 30 dias? d) Slvia quer ler um romance de 352 pginas. Em 3 horas de leitura conseguiu ler 48 pginas. Quanto tempo levar para ler o livro todo? e)Paracolocarazulejosnumedifcio,5pedreirosdeigualcapacidadelevam27dias.Comapenas3 desses pedreiros, o mesmo trabalho poderser feito em quantos dias? f) O relgio de Rogrio adiantou 21 segundos em 7 dias. Quanto adiantar em 360 dias? Prof. Ccero Jos UNIBAN23 g) Mantendo sempre a mesma velocidade, um automvel percorre 266 km em 3,5 horas. Que distncia andar em 4,5 horas? h)Umtrem,rodandovelocidadeconstantede50km/h,vaideSoPauloaoRioem8horas.Em quanto tempo far a mesma viagem se a velocidade passar para 80 km/h? i)Umnaviodispedereservassuficientesparaalimentar14homensdurante45dias,masrecebe4 sobreviventes de um naufrgio. As reservas de alimento daro para no mximo quantos dias? j)Em25litrosdegua,temperaturaambiente,possveldissolverat8925gdesal(cloretode sdio). Em 1 400 litros de gua, qual a quantidade mxima de sal que pode ser dissolvida? k) Para imprimir 5 100 exemplares de certo livro so necessrios 2 444 kg de papel. Qual a quantidade mxima de exemplares que podem ser impressos com 2 156 kg desse papel? l)Completamenteaberta,umatorneiraencheumbaldede20litrosem33segundos.Qual o tempo necessrio para encher um tanque de 1 240 litros? 51)Veja,nogrfico,asquantidadesdosdiversostiposdelivrosqueumalivrariavendeunum determinado ms. Se x representa o total de livros vendidos, responda: a) Qual o total de livros vendidos por essa livraria nesse ms? b) Quantos livros cientficos foram vendidos? Vendas de livros em um determinado msFicoLiteratura infantilCientficosDidticos em geral 8. Porcentagem 8.1. Introduo Sabemos que cada nmero racional pode ser representado por muitas fraes, todas equivalentes7 entre si. Por exemplo, as fraes 12,24,36 48,510 ... so diferentes formas de representar o mesmo nmero racional.

7 De acordo com a nova Reforma Ortogrfica 2009, no se usa mais o trema. 2 250 x4 x10 x5 Prof. Ccero Jos UNIBAN24 Sabemos tambm que cada nmero racional pode ser representado por um numeral decimal. Por exemplo

12 = 0,5 14 = 0,25 35 = 0,6 47100 = 0,47 Apassagemdafraoparaonumeraldecimalfeitadividindo-seonumeradorpelo denominador da frao. Porsuavez,cadanumeraldecimalequivaleaumafraodecimal,ouseja,aumafraocujo denominador uma potncia de 10. Por exemplo 0,5 = 510 0,25 = 25100 0,6 = 610 0,47 = 47100 8.2. Frao centesimal Uma frao cujo denominador 100 chamada frao centesimal. So exemplos de fraes centesimais:

7100,19100,30100,80100,115100,201100. claro, que as fraes centesimais (como qualquer frao) podem ser representadas por nmeros decimais. Por exemplo, as fraes anteriores podem ser assim representadas: 0,07 0,19 0,300,80 1,15 2,01. 8.3. Taxa porcentual Existe, entretanto, outra forma de representar as fraes centesimais, muito usada no comrcio e nas atividades econmicas em geral, que a seguinte: 7100 = 7%(leia: sete por cento) 19100 = 19%(leia: dezenove por cento) 30100 = 30%(leia: trinta por cento) 115100 = 115% (leia: cento e quinze por cento) 201100 = 201%(leia: duzentos e um por cento) Cada um dos numerais 7%, 19%, 30%, etc. chamado de taxa percentual. As taxas porcentuais podem no ser dadas por nmeros inteiros. Exemplos: 3,5%, 4,7%, 62,3%. Nesses casos devemos dar a seguinte interpretao: 3,5% = 3, 5100 = 351 0004,7% = 4, 7100 = 471 00062,3% = 62, 3100 = 6231 000 Prof. Ccero Jos UNIBAN25 Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Em um colgio estudam 750 alunos. Desses, 52% estudam no perodo da tarde. Quantos alunos estudam tarde? Exemplo2:Nofimdeumatemporada,umaequipedebasquetehaviaganhado26jogosdos40 disputados. Qual foi a porcentagem de partidas ganhas pelo clube no final da temporada? Exemplo 3: Voc comprou um objeto por R$ 2 000,00 e vendeu esse mesmo objeto por R$ 2 500,00. Qual foi a porcentagem do seu lucro em relao ao preo de compra? Exerccios 52) Escreva cada frao centesimal abaixo na forma de taxa porcentual: a) 11100 b) 31100 c) 45100 d) 100100 e) 95100 f) 112100 g) 135100 h) 231100 i) 1100 j) 4100 53) Escreva cada numeral decimal abaixo na forma de frao decimal e, em seguida, passe a forma de taxa porcentual. Veja o modelo (a). a) 0,2 = 0,20 = 20100 = 20% b) 0,3 c) 0,03 d) 1,15 e) 0,075 f) 0,1276 g) 1,4 h) 2,.3 i) 1,132 j) 0,09 54) Determine: a) 20% de 600b) 75% de 1 500c) 150% de 2 000 Prof. Ccero Jos UNIBAN26 55) Calcular os valores de: a) 10% de 29 + 4,2% de 17 b) 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25 c) 5,3% de 18,45 3,4% de 2,7 d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de 17 432 56) Se 42% dos 2 000 alunos de uma escola so homens, quantas so as mulheres? 57)DcioestavaprecisandodedinheiroeaceitouvendersuabicicletaaRafael,comdescontode R$ 50,00 sobre o preo pedido que era R$ 400,00. Qual foi a taxa porcentual do desconto concedido? 58) Em certa cidade as tarifas de nibus foram aumentadas, passando de R$ 16,00 para R$ 24,00. Qual foi o porcentual de aumento? 59)Cliodecidiucomprarumobjetoevaidarcomoentrada30%dopreototal,naformadeum cheque de R$ 405,00. Qual o preo da casa? 60)Emumagranja20%dasavessogalinhas.Entrepintinhos,frangosegaloscontam-se2320 animais. Quantas galinhas existem nessa granja? 61) Diana pesava 56 kg e engordou, passando a pesar 63 kg. Qual o aumento porcentual que houve no peso de Diana? 62)Emumcolgio38%dosalunossomeninoseasmeninasso155.Quantosalunostmesse colgio? 63) Em uma cidade 6% dos habitantes so analfabetos. Os habitantes que sabem ler so 5 170 pessoas. Quantos indivduos morram nessa cidade? 64)NaindstriaMetalustroS.A.trabalham323homens.Asmulheresconstituem66%dos trabalhadores. Qual o total de trabalhadores dessa fbrica? 65) Num lote de 50 lmpadas, 13 apresentam defeito. Determine a razo percentual entre o nmero de lmpadas defeituosas e o total de lmpadas? 66)Deumexameparahabilitaodemotoristasparticiparam380candidatos;sabe-sequeataxade reprovao foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados? 67)Emumaliquidao,umacamisaquecustavaR$24,00foivendidacom25%dedesconto.De quanto foi o desconto? 68)Umanotapromissria,cujovaloreradeR$5000,00foipagacomumdescontodeR$250,00. Qual a taxa de desconto? 69) Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1 500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi o valor pago em reais? 70)Umcarro,quecustavaR$12.000,00,sofreuumavalorizao(acrscimo)de0,12%sobreoseu preo. Quanto ele passou a custar? 71)UmaimpressoraalasercustouR$2.000,00paraumagrfica.Noperododeumms,ela apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preo de compra? Prof. Ccero Jos UNIBAN27 72) Se 250 g de azeitonas custam R$ 4,60, qual ser o preo de 34 de quilo dessas azeitonas? 73)UmabolsavendidaporR$32,00.Seseupreofosseaumentadoem20%,quantopassariaa custar? 74)Certamercadoria,quecustavaR$24,00,passouacustarR$30,00.Calculeataxapercentualdo aumento. 75) Qual o preo de uma mercadoria que custa R$50,00 aps dois aumentos sucessivos de 25% e 20%, respectivamente? 76)MarcoAurliopegouumtxicomum,quecobraR$3,20pelabandeiradaeR$1,20por quilmetro rodado, para ir casa de sua namorada, que fica a 15 km de distncia. a) Escreva a funo correspondente ao valor pago. b) Quanto Marco pagou ao taxista? 77) O salrio de um vendedor constitudo de um valor fixo de R$ 500,00 e de uma porcentagem de 10% sobre as vendas x efetuadas no ms. Determine: a) Quanto o vendedor ir receber se as vendas atingirem R$ 1.250,00? b) Qual foi o valor das vendas efetuadas se o salrio recebido foi de R$ 2.730,00? 78) Observe o anncio de uma geladeira: R$ 1200,00 / 15% de entradaO restante em 6 prestaes iguais a) Qual o valor da entrada?b) Qual o valor de cada prestao? 79)UmafirmacontrataotrabalhodeumencanadornabasedeR$49,00pordia.Sabe-sequeele trabalhou durante 18 dias, e do total a lhe ser pago foi descontado 8% para o Imposto de Renda. Qual a quantia lquida que ele recebeu? 80) Em 2010, a passagem de nibus na cidade de So Paulo subiu de R$ 2,30 para R$ 2,70. De quantos % foi o aumento? 81)PauloePedrosovendedoresdecomponenteseletrnicosdeempresasdiferentes.Paulorecebe 8% de comisso, enquanto Pedro recebe um salrio fixo de R$ 300,00 mais 5% de comisso. Supondo que num determinado ms ambos tenham vendido x reais em mercadoria, a) Qual a expresso algbrica que representa o valor recebido por Paulo? b) E o recebido por Pedro? c) Qual deve ser o valor de x para que os dois recebam a mesma quantia? 82) Determine a funo que representa o valor a ser pago aps um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria. 83)Fernandogasta25%dosalrionopagamentonoalugueldacasa,15%naprestaodeumforno micro-ondas8 e 110 na compra de frutas e verduras. Se ainda lhe restaram R$ 84,00, determine o valor do salrio de Fernando.

8Quandooprefixoterminaporvogal,usa-seohfenseosegundoelementocomearpelamesmavogal.Exemplos:anti-ibrico, anti-imperialista, anti-inflamatrio, contra-ataque, micro-nibus, semi-internato, semi-interno. Prof. Ccero Jos UNIBAN28 CAPTULO II - ESTATSTICA: Conceitos iniciais 1. Introduo Breve histrico OtermoEstatsticaprovm9dapalavraEstadoefoiutilizadooriginalmenteparadenominar levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar o Estado em suas decises. Neste sentido foi utilizado em pocas remotas para determinar o valor dos impostos cobrados dos cidados, para determinar a estratgia de uma nova batalha em guerras que se caracterizavam por uma sucesso de batalhas. (Era fundamental aos comandantes saber de quantos homens, armas, cavalos etc. dispunham aps a ltima batalha.) Atualmente, a Estatstica definida da seguinte forma: Estatsticaumconjuntodemtodoseprocessosquantitativosqueserveparaestudare medir os fenmenos coletivos. AestatsticateveaceleradodesenvolvimentoapartirdosculoXVII,comosestudosde Bernoulli,Pascal,Laplace,Gauss,Galton,Pearson,Fisher,Poissoneoutrosqueestabeleceram suas caractersticas atuais. Elanoalcanouaindaumestadodefinitivo.Continuaaprogredirnarazodiretadodesejode investigao. AEstatsticaconsideradaporalgunsautorescomoCincianosentidodoestudodeuma populao. considerada como mtodo quando utilizada como instrumento por outra Cincia. AEstatsticamantmcomaMatemticaumarelaodedependncia,solicitando-lheauxlio, sem o qual no poderia desenvolver-se. ComasoutrasCinciasmantm a relao de complemento, quando utilizada como instrumento de pesquisa. EmespecialestaltimaarelaoqueaEstatsticamantmcomaAdministrao,Economia, Cincias Contbeis, servindo como instrumento auxiliar na tomada de decises. Portanto,aEstatsticafornecemtodosparaacoleta,organizao,descrio,anlisee interpretao de dados e para a utilizao na tomada de decises. As estatsticas so usadas para tomar deciso. Por exemplo: .arelaoentreonmerodevagaseonmerodecandidatosdecadacursodideia10da probabilidade de aprovao. . as estatsticas de trnsito so teis para organizar o policiamento. . nos horrios de pico (horrio nobre) , o preo da propaganda , evidentemente, maior. Usam-se,tambm,osconhecimentosdeEstatsticaemoutrasreastodiversascomo Engenharia, Medicina, Agronomia, Psicologia, Pedagogia, etc. 2. Objetivo da Estatstica Estatstica tem como objetivo o estudo dos fenmenos coletivos. 3. Variveis Varivel,convencionalmente,oconjuntoderesultadospossveisdeumfenmeno.Existem dois tipos de variveis: quantitativas (variveis numricas) e qualitativas (variveis no numricas).

9DeacordocomanovaReformaOrtogrfica2009,permanecemosacentosquediferenciamosingulardopluraldos verbosterevir,assimcomodeseusderivados(manter,deter,reter,conter,convir,intervir,adviretc.).Exemplo:Ele mantm a palavra. / Eles mantm a palavra. 10DeacordocomanovaReformaOrtogrfica2009,noseusamaisoacentodosditongosabertosieidaspalavras paroxtonas(palavrasquetmacentotniconapenltimaslaba).Exemplos:androide,colmeia,Coreia,epopeia,estreia, jiboia, joia, odisseia, paranoia, paranoico, plateia. Mas heri conserva seu acento, pois uma palavra oxtona. Prof. Ccero Jos UNIBAN29 3.1.VarivelQualitativa:quandoseusvaloressoexpressosporatributos:sexo(masculino- feminino), cor da pele, estado civil, etc. Dentre as variveis qualitativas ainda existem dois tipos: a) Varivel Qualitativa Ordinal Existecertaordememseuspossveisresultados.Exemplos:tamanho(P,M,G);classesocial (baixa,mdia,alta);graudeinstruo(Ensino Fundamental, Ensino Mdio, Ensino Superior); estado civil. b) Varivel Qualitativa NominalNo existe ordenao em seus possveis resultados. Exemplos: sexo, turma, hbito de fumar. 3.2.VarivelQuantitativa:quandoseusvaloressoexpressosemnmeros:salrio,idade, nmero de filhos, etc. Dentre as variveis quantitativas ainda existem dois tipos: a) Varivel quantitativa discreta: Seus possveis valores formam um conjunto finito ou enumervel de nmeros que resultam freqentemente de uma contagem. Exemplos: nmero de filhos, idade (em anos), cine (nmero de vezes que vai ao cinema por semana). b) Varivel quantitativa contnua: Seus possveis valores formam um intervalo de nmeros reais que resultam normalmente de uma mensurao. Exemplos: peso, altura, salrio. Assim,onmerodealunosdeumaescolapodeassumirqualquerumdosvaloresdoconjunto N = {1, 2, 3, ..., 58, ...}, porm, nunca valores como: 2,5 ou 3,78 ou 4,325 etc. Logo, uma varivel discreta. J o peso desses alunos uma varivel contnua, pois um dos alunos tanto pode pesar 72 kg, como 72,5 kg, como 72,54 kg etc., dependendo esse valor da preciso da medida. Deummodogeral,asmediesdoorigemavariveiscontnuaseascontagensou enumeraes, as variveis discretas. Esquema Exerccios 84) Classifique as variveis em qualitativas ou quantitativas: a) cor dos cabelos dos alunos de uma escola. b) nmero de filhos de casais residentes em uma determinada rua. c) o ponto obtido em cada jogada de um dado. d) naturalidade das pessoas que vivem na cidade de So Paulo. e) escolaridade dos funcionrios de uma empresa. Varivel QualitativaQuantitativa NominalOrdinalDiscretaContnua Prof. Ccero Jos UNIBAN30 85) Diga quais variveis so discretas e quais so contnuas: a) nmero de aes negociadas na bolsa. b) nmero de filhos de um certo casal. c) comprimento dos pregos produzidos por uma mquina. d) nmero de volumes na biblioteca da UNIBAN. e) salrio dos funcionrios de uma empresa. 86) Num estudo feito numa empresa, recolheram-se dados referentes s seguintes variveis: (A) idade (B) grau de escolaridade (C) sexo (E) distncia de casa empresa (F) local de residncia (G) nmero de dependentes (D) tempo gasto diariamente no trajeto empresa

a) Das variveis indicadas, quais so as quantitativas e quais so as qualitativas? b) Das variveis quantitativas, quais so contnuas e quais so discretas? c) Das variveis qualitativas, quais so ordinais e quais so nominais? 4. Populao e Amostra Ao coletar os dados referentes s caractersticas de um grupo de objetos ou indivduos, tais como as alturas e pesos dos estudantes de uma universidade ou os nmeros de parafusos defeituosos ou no produzidosporumafbricaemcertodia,muitasvezesimpossvelouimpraticvelobservartodoo grupo, especialmente se for muito grande. Em vez de examinar todo o grupo, denominado populao, examina-se uma pequena parte chamada amostra. necessriogarantirqueaamostrasejarepresentativadapopulao,isto,aamostradeve possuirasmesmascaractersticasbsicasdapopulao,noquedizrespeitoaofenmenoque desejamospesquisar.preciso,pois, que a amostra ou as amostras que vo ser usadas sejam obtidas por processos adequados. 5. Dados Estatsticos Normalmente, no trabalho estatstico o pesquisador se v obrigado a lidar com grande quantidade de valores numricos resultantes de um Censo ou de uma estimao. Estes valores numricos so chamados dados estatsticos. No sentido de disciplina, a Estatstica ensina mtodos racionais para a obteno de informaes a respeitodeumfenmenocoletivo,almdeobterconclusesvlidasparaofenmenoetambm permitir tomada de decises, atravs de dados estatsticos observados. Desta forma, a Estatstica pode ser dividida em duas reas: a)EstatsticaDescritivaColeta,organizaedescreveosdadosobservados.Utilizamtodos numricos e grficos para mostrar os padres de comportamento dos dados, para resumir a informao contida nesses dados e para apresentar a informao de forma conveniente. b)EstatsticaIndutivaouInferencialObtm,interpretaegeneralizaconclusesapartirde umaamostra,atravsdoclculodeprobabilidade.Utilizadadosdeamostrasparaobterestimativas sobre a populao. Prof. Ccero Jos UNIBAN31 6. Dados Brutos Quando fazemos n observaes diretas em um fenmeno coletivo ou observamos as respostas a umaperguntaemumacoleodenquestionrios,obtemosuma sequncia11 de n valores numricos. Tal sequncia denominada dados brutos. Dadosbrutosumasequnciadevaloresnumricos,noorganizados,obtidosdiretamenteda observao de um fenmeno coletivo. 7. Rol Quando ordenamos na forma crescente ou decrescente, os dados brutos passam a se chamar rol. Portanto, rol uma sequncia ordenada dos dados brutos. Exemplo: No final do ano letivo, um aluno obteve as seguintes notas bimestrais em Matemtica: 4; 8; 7,5; 6,5. Neste exemplo, representamos por X a nota bimestral e pode ser apresentada na forma: X: 4; 8; 7,5; 6,5. (Dados brutos) ou X: 4; 6,5; 7,5; 8. (Rol) 8. Amostragem proporcional estratificada Muitas vezes a populao se divide em subpopulaes, denominadas estratos. Como,provavelmente,avarivelemestudoapresente,deestratoemestrato, um comportamento heterogneoe,dentrodecadaestrato,umcomportamentohomogneo,convmqueosorteiodos elementos da amostra leve em considerao tais estratos. exatamenteissoquefazemosquando empregamos a amostragem proporcional estratificada, que,almdeconsideraraexistnciadosestratos,obtmoselementosdaamostraproporcionalao nmero de elementos dos mesmos. Exemplo:Emumaescolaestadualexistem250alunos,distribudosconformequadro.Obtenhauma amostra proporcional estratificada de 40 alunos. SriesNmero de alunosAmostra 135 232 330 428 535 632 731 827 Total25040

11 De acordo com a nova Reforma Ortogrfica 2009, no se usa mais o trema, sinal colocado sobre a letra u para indicar que ela deve ser pronunciada nos grupos gue, gui, que, qui. Ateno: o trema permanece apenas nas palavras estrangeiras e em suas derivadas. Exemplos: Mller, mlleriano. Prof. Ccero Jos UNIBAN32 Exerccios 87) Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo s suas escolas de Ensino Fundamental: Nmero de estudantes AMOSTRA EscolasMasculino FemininoMasc.Fem. A8095 B102120 C11092 D134228 E150130 F300290 Total876955 Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes masculinos e 120 femininos. 88)Umapopulaoencontra-se em trs estratos com tamanhos, respectivamente, n1 = 40, n2 = 100 en3 = 60. Sabendo que, ao ser realizada uma amostragem estratificada proporcional, nove elementos da amostra foram retirados do 3o estrato, determine o nmero total de elementos da amostra. 89) A tabela abaixo mostra a performance de 6 montadoras de automveis em um determinado ms do ano de 2009. Sabendo-se que foram retiradas amostras estratificadas proporcionais, complete a tabela. Montadora de automveis Quantidade de veculos produzidos Amostra Estratificada Proporcional A7200 B238 C5100 D E6900483 F182 TOTAL2065 90) Construa o rol para a sequncia de dados brutos: a) X: 2, 4, 12, 7, 8, 15, 21, 20. b) Y: 3, 5, 8, 5, 12, 14, 13, 12, 18. c) Z: 12,2; 13,9; 14,7; 21,8; 12,2; 14,7. d) W: 8, 7, 8, 7, 8, 7, 9. Prof. Ccero Jos UNIBAN33 CAPTULO III - ESTATSTICA DESCRITIVA 1. Distribuio de frequncia 1.1. Tabela de distribuio de frequncia Considerearelaodenmerosabaixo,referentesalturas(emcentmetros)dosalunosdeum colgio: 166160161150162160165167164160 162161168163156173160155164168 155152163160155155169151170164 154161156172153157156158158161 Paralidarmoscomalistatoda,interessanteresumi-la,contandoonmerodepessoascomcada altura, fazendo uma tabela que denominamos distribuio de frequncia. Altura (cm)Frequncia 150 154 154 158 158 162 162 166 166 170 170 174 Total 4 9 11 8 5 3 40 1.2. Elementos de uma distribuio de frequncia Classe Classes de frequncia ou, simplesmente, classes so intervalos de variao da varivel. Limites de classe Denominamos limites de classe os extremos de cada classe.Ex.: limite inferior (li) limite superior (Li) Amplitude de um intervalo de classe (h) Amplitude de um intervalo de classe a medida do intervalo que define a classe.h = Li li Amplitude total da distribuio Amplitudetotaldadistribuio(AT)adiferenaentreolimitesuperiordaltimaclasse(limite superior mximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mnimo). AT = Lmax lmin Amplitude amostral da distribuio Amplitudeamostraldadistribuio(AA)adiferenaentreovalormximoeovalormnimoda distribuio. AA = xmax xmin Prof. Ccero Jos UNIBAN34 Ponto mdio de uma classe Ponto mdio de uma classe ( i x ) , como o prprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. 1.3. Tipos de frequncia Frequncia absoluta (fi) Frequnciaabsolutaou,simplesmente,frequnciadeumaclasseoudeumvalorindividualo nmero de observaes correspondentes a essa classe ou a esse valor. Frequncia relativa (fri) Frequncias relativas so os valores das razes entre as frequncias absolutas e a frequncia total. fri = iiff

Frequncia relativa percentual (fri%) Frequnciasrelativassoosvaloresdasrazesentreasfrequnciasabsolutaseafrequnciatotal escritas na forma percentual. fri = iiff x 100 Frequncia acumulada (Fac) Frequncia acumulada o total das frequncias de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe. Fac =f1 +f2+ .....+ fk ou Fac = fi (i=1 , 2 , . . . , k) Frequncia acumulada relativa (Far) Frequnciaacumuladarelativadeumaclasseafrequnciaacumuladadaclasse,divididapela frequncia total da distribuio. Far = aciFf

1.4. Nmero de intervalos de classes O nmero de classes a ser utilizado depende muito da experincia do pesquisador e das questes que ele pretende responder com a varivel contnua. H dois mtodos para a determinao do nmero de classes, que so: a) Critrio da raiz Seasequnciaestatsticacontmnelementoseseindicarmosporionmerodeclassesaser utilizado, ento pelo critrio da raiz, que , i =n . Comoonmeroideclassesdevesernecessariamenteumnmerointeiroecomodificilmente n ,umnmerointeiro, deixaremos como opo para o valor de i o valor inteiro mais prximo de n , uma unidade a menos ou a mais que este valor. b) Frmula de Sturges Existem outros critrios para a determinao do nmero de classes como, por exemplo, a frmula de Sturges. Segundo Sturges, o nmero i de classes dado por i1 + 3,3 . log n. Prof. Ccero Jos UNIBAN35 Paravaloresdenmuitograndes,estafrmulaapresentamaisvantagemqueocritriodaraiz, embora apresente o mesmo problema de aproximao do valor de i. A amplitude do intervalo de classe que designamos por h determinada por: h = AAi. Exemplo:Umaempresaautomobilsticaselecionouaoacaso,umaamostrade40revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado ms o nmero de unidades adquiridas por estes revendedores. Observe os seguintes dados. Construa uma tabela de frequncias. 10152521 62315212632 9141920321816262420 7181728352219391821 15182220252830161220 Exerccios 91)Conhecidasasnotasde50alunos,obtenhaumadistribuiodefrequnciacomintervalosde classes iguais a 10. 84683352477368617377 74718191655557358588 59804150536576857360 67417856943545556474 65946648396989984254 Determine: a) a frequncia relativa b) a frequncia acumulada c) a frequncia acumulada relativa d) o intervalo de maior frequncia e) o limite inferior da 5a classe f) a amplitude total da distribuio Prof. Ccero Jos UNIBAN36 92) Considerando os resultados de 100 lanamentos de um dado, forme uma distribuio de frequncia com esses dados. 414536344254126 455564625536333 363616643451124 151562346554356 354362452656243 533215333665331 5422233466 93)Umapesquisasobreaidade,emanos,deumaclassedecalourosdeumafaculdade,revelouos seguintes valores. Determine as frequncias absolutas relativas, frequncias acumuladas e frequncias acumuladas relativas. 18171820211920181719201819 18192118191818191921201719 191818191821181919201918 192018191918202018191818 94) Um novo medicamento para cicatrizao est sendo testado e um experimento feito para estudar otempo(emdias)decompletofechamentoemcortesprovenientesdecirurgias.Umaamostraem trinta cobaias forneceu os valores: 13, 15, 14, 13, 15, 12, 15, 14, 14, 15, 13, 16, 12, 15, 13, 12, 13, 14, 15, 16, 16, 15, 13, 14, 12, 16, 16, 14, 13, 12. Construa uma tabela com a frequncia relativa. 95)Numacidadede20000habitantesfez-seuminquritosobreosmeiosdetransporteutilizado diariamenteparasedeslocaremparaoemprego.Foraminterrogadas2500pessoaseosresultados foram registrados no seguinte grfico: Construa uma tabela com a frequncia relativa de cada um dos transportes. 96) Os salrios mensais de 200 trabalhadores de uma indstria dada pela tabela abaixo: iSalrios (R$)fifri Fac Far 1400 | 5000,25 2500 | 600120 3600 | 7000,20 4700 | 8000,95 5800 | 9000,05200 = 200 = 1 a) Qual a porcentagem de trabalhadores que ganham menos de R$ 700,00? b) Quantos trabalhadores ganham mais de R$ 600,00? Prof. Ccero Jos UNIBAN37 2. Grficos Estatsticos Ogrficoestatsticoumaformadeapresentaodosdadosestatsticos,cujoobjetivoode produzir, no investigador ou no pblico em geral, uma impresso mais rpida e viva do fenmeno em estudo, j que os grficos falam mais rpido compreenso que as sries. Requisitos bsicos de um grfico estatstico Simplicidade: trazer apenas o essencial; evitar desenhos, etc., que desviem a ateno Clareza: possibilitar a leitura correta dos valores do fenmeno. Veracidade: expressar a verdade sobre o fenmeno representado. Na hora da execuo de um grfico estatstico devemos seguir algumas regras: Colocar o ttulo na parte superior, o subttulo a seguir, de preferncia na horizontal, da esquerda para a direita; Cuidado com a escala utilizada; Representao das unidades do fenmeno em estudo; Fontes dos dados; Legendas claras e ntidas; Cores utilizadas. 2.1. Grfico em linhas Este tipo de grfico se utiliza da linha poligonal para representar a srie estatstica. O grfico em linhaconstituiumaaplicaodoprocessoderepresentaodasfunesnumsistemadecoordenadas cartesianas. Produo Brasileira de leo de Dend010203040506070801987 1988 1989 1990 1991 1992anosmil toneladas fig. 3.1. 2.2. Grfico em colunas (vertical) arepresentaodeumasriepormeioderetngulos,dispostosverticalmente(emcolunas). Os retngulos tm a mesma base e as alturas so proporcionais aos respectivos dados. Prof. Ccero Jos UNIBAN38 Dvida Externa do Brasil378098742863060024977981118430200004000060000800001000001200001968 1972 1976 1980 1984 1987anosValor total ( em US$ milhes ) fig. 3.2. 2.3. Grfico em barras (horizontal) a representao de uma srie por meio de retngulos, dispostos horizontalmente (em barras). Os retngulos tm a mesma base e as alturas so proporcionais aos respectivos dados. Dvida Externa do Brasil378098742863060024977981118430 20000 40000 60000 80000 100000 120000196819721976198019841987anos fig. 3.3. 2.4. Grfico em setores (popular grfico de pizza) Ogrficodecomposioemsetoresdestina-searepresentaracomposio,usualmenteem porcentagem,departesdeumtodo.Consistenumcrculoderaioarbitrrio,representandootodo, dividido em setores, que correspondem s partes de maneira proporcional.

BIBLIOTECAS DO BRASIL - 197412%11%46%31%FederalEstadualMunicipalParticulares fig. 3.4. Valor total (em US$ milhes) Prof. Ccero Jos UNIBAN39 2.5. Histograma Quandosetratadarepresentaogrficadedistribuiodefrequnciascomdadosagrupados utilizamos um grfico denominado histograma de frequncias absolutas. Histogramaumgrficodebarrascontguas,isto,formadoporumconjuntoderetngulos justapostos.Noeixodasabscissas(eixohorizontal)marcamosasclasses,cujasamplitudes correspondemsbasesdosretngulos.Noeixodasordenadas(eixovertical)marcamosas frequnciasabsolutas,quecorrespondemsalturasdosretngulos.Ospontosmdiosdasbasesdos retngulos coincidem com os pontos mdios dos intervalos das classes. Estatura dos alunos da Escola A.B.C.3584911024681012154 158 162 166 170 174Estatura (cm)Freqncia fig. 3.5. 2.6. Polgono de frequncia Apartirdeumatabeladedistribuiodefrequnciasouhistogramapossvelconstruirum polgono de frequncias. O polgono de frequncia um grfico em linha, sendo construdo a partir dos pontosmdiosdosintervalosdeclasses(eixodasabscissas)easfrequnciasabsolutas(eixodas ordenadas). Unindo os pontos obtidos por meio de segmentos de reta formamos o polgono. Estatura dos alunos do Colgio X.Y.Z.049118530 024681012148 152 156 160 164 168 172 176Estatura (cm)Freqncia fig. 3.6. 2.7. Pictograma O pictograma constitui um dos processos grficos que melhor fala ao pblico, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A representao grfica consta de figuras. Prof. Ccero Jos UNIBAN40 fig. 3.7. 2.8. Cartograma arepresentaogrficasobreumacartageogrfica.Estegrficoempregadoquandoo objetivoodefigurarosdadosestatsticosdiretamenterelacionadoscomreasgeogrficasou polticas. fig. 3.8. Exerccios 97) Confeccione o histograma e o polgono de frequncia da distribuio abaixo: Pesos (kg)fi 40 | 442 44 | 485 48 | 529 52 | 566 56 | 604 Total26 Prof. Ccero Jos UNIBAN41 98) A tabela abaixo representa uma distribuio de frequncia das reas de 400 lotes: reas (m2)300| 400|500|600|700|800|900|1 000|1 100|1 200 N de lotes1446 58 76 6862 4822 6 Com referncia a essa tabela, determine: a) a amplitude total;b) o limite superior da quinta classe; c) o limite inferior da oitava classe;d) o ponto mdio da stima classe; e) a amplitude do intervalo da segunda classe;f) a frequncia da quarta classe; g) a frequncia relativa da sexta classe;h) a frequncia acumulada da quinta classe; i) o nmero de lotes cuja rea no atinge 700 m2; j) o nmero de lotes cuja rea atinge e ultrapassa 800 m2; l) a porcentagem dos lotes cuja rea no atinge 600 m2; m) a porcentagem dos lotes cuja rea seja maior ou igual a 900 m2; n) a porcentagem dos lotes cuja rea de 500 m2 , no mnimo, mas inferior a 1.000 m2; o) a classe do 72 lote;p) at que classe esto includos 60% dos lotes. 99) A distribuio abaixo indica o nmero de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de nibus: N de acidentes01234567 N de motoristas20101696531 Determine: a) O nmero de motoristas que no sofreram nenhum acidente; b) O nmero de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes; c) O nmero de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes; d) A percentagem de motoristas que sofreram no mnimo 3 e no mximo 5 acidentes; e) A percentagem de motoristas que sofreram no mximo 2 acidentes. 100) Complete o quadro de distribuio de frequncias. ClasseInt. classe fifriFacFar 16 | 101__________ 210 | 14_____0,25__________ 314 | 18__________14_____ 418 | 22_______________0,90 522 | 262_______________ 20_____ 101) Complete os dados que esto faltando na distribuio de frequncia: ixififriFac 1010,05_____ 21_____0,154 324__________ 43_____0,2513 5430,15_____ 652_____18 76__________19 87_______________ = 20 = 1,00 Prof. Ccero Jos UNIBAN42 102) O Departamento Pessoal de certa firma fez um levantamento dos salrios dos 150 funcionrios do setor administrativo, obtendo os seguintes resultados: ClasseFaixa salarial (SM)N de funcionrios 10 | 230 22 | 436 34 | 621 46 | 818 58 | 1015 610 | 1212 712 | 149 814 | 166 916 | 183 Com referncia a essa tabela, determine: a) determine as frequncias simples relativas, frequncias absolutas acumuladas e frequncias relativas acumuladas. b) a frequncia da quinta classe. c) a frequncia relativa da oitava classe. d) a frequncia acumulada da sexta classe. e) o nmero de funcionrios que ganham at 10 salrios (exclusive). f) o nmero de funcionrios que ganham acima de 12 salrios. g) a porcentagem dos funcionrios que ganham menos de 8 salrios. h)aporcentagemdosfuncionriosqueganhamnomnimo,4salriosenomximo,16salrios (exclusive). i) o intervalo de maior frequncia. j) at que classe esto includos 60% dos salrios. 103)Ohistogramaseguintemostraosgastosdosnclientesdeumsupermercadoregistradosemum caixa expresso durante uma manh. a) Determine o valor de n. b) Que porcentagem do total de clientes gastou pelo menos 20 reais? c) Que porcentagem do total de clientes gastou menos de 15 reais? gasto (em reais) nmero de clientes 15 31 20 25 10 19 5 101520253035 Prof. Ccero Jos UNIBAN43 104) O grfico indica a quantidade de bolos vendidos por um supermercado numa certa semana. Segunda-feira Tera-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Sbado domingo Cada representa 25 bolos. a) Em que dia da semana a venda foi maior? Em que dia foi menor? b) Quantos bolos foram vendidos na quinta-feira? c) Em quais dias da semana foram vendidas as mesmas quantidades? Quantas? d) Quantos bolos foram vendidos nessa semana? e) Que porcentagem do total da semana representaram as vendas do domingo? 105) Em certa eleio municipal foram obtidos os seguintes resultados: Determine o nmero de votos obtidos pelo candidato vencedor. 106) Numa escola, os alunos devem optar por um, e somente um, dos trs idiomas: ingls, espanhol ou francs.Adistribuiodaescolhade180alunosestindicadapelogrficoaolado.Sabendoqueo ngulodosetorrepresentadopelosalunosqueescolheramingls252equeapenas18alunos optaram por estudar francs, determine: a) o ngulo do setor correspondente a francs; b) o nmero de alunos que optaram por espanhol e o ngulo correspondente. CandidatoPorcentagem do total de votos Nmeros de votos A26% B24% C22% nulos ou em branco196 Ingls Espanhol Francs Prof. Ccero Jos UNIBAN44 107) (FGV-SP) No grfico abaixo est representado, no eixo das abscissas (eixo horizontal), o nmero deDVDsalugadosporsemananumavdeolocadora,enoeixodasordenadas(eixovertical)a correspondente frequncia (isto , a quantidade de pessoas que alugaram os correspondentes nmeros de DVDs): a) Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 4 ou mais DVDs? b) Se cada DVD foi alugado por R$ 4,00, qual a receita semana da vdeo locadora? 108)Ogrficoseguintemostraonmerodeclientesqueumachurrascariaatendeudurantecerta semana. Os preos praticados por esse estabelecimento so: almoo: de 2 a 6 feiraR$ 13,00 sbado e domingoR$ 18,00 jantar: todos os diasR$ 12,00 Qual foi o faturamento da churrascaria nessa semana? 3. ndices, Coeficientes e Taxas

Quandoquisermosfazercomparaesentreduasgrandezas,poderemostertantoumndice quanto um coeficiente, ou mesmo uma taxa. Embora na prtica seja muito comum a utilizao de tais termos como sinnimos, eles apresentam algumas diferenas. 1 2345 6 30 25 20 15 10 5 0 Almoo Jantar 2 feira3 feira4 feira 5 feira 6 feira sbadodomingo 62 29 88 34 58 45 136 90 nmero de clientes 153 61 103 40 76 81 Prof. Ccero Jos UNIBAN45 3.1. ndice a comparao entre duas grandes independentes. ndice ceflico = dimetro transverso do crniodimetro longitudinal do crnio x 100 Quociente intelectual = idade mentalidade cronolgica x 100 Densidade demogrfica = populaosuperfcie 3.2. Coeficiente a comparao entre duas grandezas em que uma est contida na outra.

Coeficiente de natalidade = nmero de nascimentospopulao total Coeficiente de mortalidade = nmero de bitospopulao total

Coeficiente de aproveitamento escolar = nmero de aprovadostotal de alunos

3.3. Taxa amesmacoisaqueocoeficiente,apenasapresentando-semultiplicadapor10n(10,100,1000 etc.) para tornar mais inteligvel o fator. Taxa = coeficiente x 10n Exemplo: nmero de bitos: 80 080 populao total: 520 000 coeficiente de mortalidade = 80 080520 000= 0,154 Ento o coeficiente de mortalidade de 0,154, o que significa 0,154 bito por habitante. Porm, se multiplicarmos por 1 000, teremos a taxa de mortalidade, de interpretao muito mais clara. Taxa de mortalidade = 0,154 x 1 000 = 154%o Taxas de acidentes de trabalho Taxa de frequncia = onmero de acidentesntotal de operrios-hora x 1.000.000 Taxa de gravidade = onmero de horas perdidas pelos acidentesntotal de operrios-hora x 1.000.000 4. Razes especficas de grande aceitao Existem algumas razes que, pela sua aceitao, aparecem constantemente em jornais, revistas e livros dentro de assuntos relativos a aspectos econmicos e administrativos. As mais utilizadas so: Prof. Ccero Jos UNIBAN46 4.1. Conceitos per capita a) Produo per capita Utilizadaparamediraprodutividade.Aproduopercapitadeumpas,estado,municpioou empresa obtm-se dividindo: valor total da produo da regio (empresa) no perodopopulao total da regio (empresa) no perodo. b) Consumo per capita Demaneirageral,serveparamediropadrodevida,emboramuitasvezessejacalculado especificamenteparadeterminadosprodutostaiscomo,leite,caf,carneetc.calculadodaseguinte forma: consumo nacional do bem no perodopopulao nacional no perodo. c) Renda per capita amaisconhecidaeutilizada,sendopublicadapelogovernoeexpressaemdlares.calculada pela diviso: renda nacional em (ano)populao nacional em (ano) d) Receita per capita Utilizada pelas entidades pblicas e privadas que trabalham com oramentos. obtida da seguinte forma: receita da prefeitura "A" no perodopopulao da regio "A" no perodo 4.2. Taxas biomtricas SoteisEconomiapelaestreitainterdependncia12entreosfenmenoseconmicoseos fenmenos da populao. Geralmente se apresentam multiplicados por 1 000 e as mais usadas so: a) Taxa de natalidade: nmero de nascimentospopulao total x 1 000 b) Taxa de mortalidade: nmero de bitospopulao total x 1 000 c) Taxa de nupcialidade: nmero de casamentospopulao da regio x 1 000 d) Taxa de morbidade: calculada para cada doena particular. nmero de acometidos por (doena) no municpio Xpopulao do municpio X x 1 000 e)Taxadeacidentesdetrabalho:divide-seem2tipos:taxadefrequnciaetaxadegravidade, sendo apresentadas multiplicadas por 1 000 000. taxa de frequncia = nmero de acidentesnmero total de operrios-hora x 1 000 000 taxa de gravidade = nmero de horas perdidas em razo de acidentenmero total de operrios-hora x 1 000 000

12 De acordo com a nova Reforma Ortogrfica 2009, quando o prefixo termina por consoante, usa-se o hfen se o segundo elemento comear pela mesma consoante. Exemplo: inter-regional. Nos demais casos no se usa o hfen. Prof. Ccero Jos UNIBAN47 CAPTULO IV - Medidas de Tendncia Central Atagora,estudamosdeummodogeral,osgruposdevaloresqueumavarivelpodeassumir. Assim que podemos localizar a maior concentrao de valores de uma dada distribuio, isto , se ela se localiza no incio, no meio ou no final, ou ainda, se h uma distribuio por igual. Porm,pararessaltarastendnciascaractersticasdecadadistribuio,isoladamente,ouem confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se expressem atravs de nmeros, que nos permitamtraduziressastendncias.Essesconceitossodenominadoselementostpicosda distribuio e so as: medidas de posio medidas de variabilidade ou disperso medidas de assimetria Asmaisimportantesdasmedidasdeposiosoasmedidasdetendnciacentral,asquais recebemtaldenominaopelosdadosobservadostenderem,emgeral,aseagruparemtornodos valores centrais. Dentre as medidas de tendncia central destacamos: a mdia aritmtica simples a mdia aritmtica ponderada a mediana a moda 1. Mdia Aritmtica simples ( x ) Amdiaaritmticasimplesdeumconjuntodenmerosigualaoquocienteentreasomados valores do conjunto e o nmero total de valores. o ponto de equilbrio entre os dados. Exemplo:Suponhaqueumescritriodeconsultoriahcincofuncionriosquerecebemos seguintessalriosmensais:R$1800,00,R$1780,00,R$1820,00,R$1810,00eR$1790,00.A mdia aritmtica dos salrios ou o salrio mensal dos contnuos desse escritrio ser de R$ 1 800,00, de acordo com a definio. x= 1 800 + 1 780 + 1 820 + 1 810 + 1 7905 = 1 800 Podemosestabelecerumafrmulageralparaamdia.Sejamnnmerosx1,x2,x3,...,xn.Os nmeroslogoabaixodosdiversosxsochamadosndices.Utilizaremososmbolox (xbarra)para indicar a mdia. Podemos, ento, escrever:x= 1 2 nx x ... xn+ + + Amdiaumexemplodemedidaestatstica.Umamedidaestatstica um nmero utilizado para resumir as propriedades de um conjunto de nmeros. Podemos economizar a escrita utilizando a notao de somatrio. Nessa notao, empregamos a letragregasigmamaisculo:.Aexpressoxsignificasomartodososvaloresdex.Podemos escrever a mdia comox= ( ) xn, como nii 1x= que indica que partimos de i = 1 e prosseguimos at i = n.

2. Mdia Aritmtica ponderada Amdiaaritmticaconsideradaponderadaquandoosvaloresdoconjuntotiverempesos diferentes.Tratando-sedemdiasimples,todososvaloresapresentamigualpeso.Obtm-seuma mdiaaritmticaponderadaatravsdoquocienteentreoprodutodosvaloresdavarivelpelos respectivos pesos e soma dos pesos. Prof. Ccero Jos UNIBAN48 Assim,porexemplo,umprofessorpoderealizarquatroprovasporanoemsuadisciplina, atribuindo a cada uma delas os seguintes pesos: 1, 2, 3, 4. Se um aluno tiver recebido as notas 8, 7, 9 e 9, nessa ordem, sua nota final ser a mdia aritmtica ponderada 8,5, obtida da seguinte maneira: Mdia final = (8 1) + (7 2) + (9 3) + (9 4)1 + 2 + 3 + 4 = 8 + 14 + 27 + 3610 = 8510 = 8,5 3. Mediana e Moda para dados no agrupados (Dados brutos) 3.1. Mediana (Md) Outramedidaestatsticatil a mediana. A mediana de um conjunto de valores, colocados em rol, o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo nmero deelementos(elementoqueocupaaposiocentral).Emoutraspalavras,tendo-seumconjuntode dadosordenadosdemaneiracrescente(ROL),amedianaovalorqueseparaos50%dosmenores dados dos 50% maiores. Caso I: Quantidade de elementos mpar Exemplo 1: Sejam os resultados de 5 lanamentos de um dado: 2, 4, 4, 5, 6. A mediana corresponde ao valor4,vistoqueeleovalorcentral,deixando2dadossuaesquerdae2suadireita.Assim, Md = 4. Exemplo 2: Sejam as idades de 9 pessoas: 37, 28, 40, 41, 45, 37, 37, 41, 44. Colocando os dados em rol temos: 28, 37, 37, 37, 40, 41, 41, 44, 45. A mediana corresponde ao valor 40 (ou seja, idade), pois h quatro valores esquerda de 40 e quatro valores direita de 40. Assim, Md = 40. Caso II: Quantidade de elementos par Exemplo3:Considereonmerodefilhosde6famlias:0,0,1,2,3,3.Percebaqueamedianano poderiaser1,poisdeixariadoisvaloresesquerdaetrsdireita.Damesmaforma,amedianano poderia ser 2, pois deixaria trs valores esquerda e dois valores direita. Dessa forma, a mediana ser a mdia aritmtica dos dois valores centrais: Md = 1 + 22 = 1,5 (nunca arredondar!) A mediana corresponde mdia dos valores que ocupam a 3 e 4 posies. Exemplo4:Sejamasidadesde8pessoas:21,24,28,31,34,35,38,38.Amedianacorrespondea mdia aritmtica dos dois valores centrais, que so 31 e 34. Assim: Md = 31 + 342 = 32,5 anos OBSERVAO: A mediana no precisa ser um dos valores da distribuio e nem deve ser arredondada! Prof. Ccero Jos UNIBAN49 NOTAS: O valor da mediana pode ou no coincidir com um elemento da srie, como vimos. Quando o nmerodeelementosdasriempar,hacoincidncia.Omesmonoacontece,porm quando esse nmero par. A mediana e a mdia aritmtica no tm, necessariamente, o mesmo valor. Amediana,comovimos,dependedaposioenodosvaloresdoselementosdasrie ordenada.Essaumadasdiferenasmarcantesentreamedianaeamdia(quesedeixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Esta propriedade da mediana pode ser constatada atravs dos exemplos a seguir: 5, 7, 10, 13, 15 x= 10 e Md = 10 5, 7, 10, 13, 65 x= 20 e Md = 10

Isto , a mdia do segundo conjunto de valores a maior do que a do primeiro, por influncia dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma. 3.2. Determinao da posio da mediana a) O nmero de valores observados mpar: P = 0n + 12| | |\ . (onde n o nmero de elementos da amostra) b) O nmero de valores observados par P = 0n2| | |\ . e P = 0n + 12| | |\ . 3.3. Emprego da Mediana Empregamos a mediana: Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuio em partes iguais; Quando h valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a mdia. 3.4. Moda (Mo): Outramedidaestatsticainteressanteamoda.Amodadeumasriedevaloresovalorde maior frequncia absoluta, ou seja, o valor que aparece o maior nmero de vezes na distribuio. MAS FIQUE ATENTO: Moda um valor, ou seja, xi. Moda NO a frequncia (fi)! Quantosuaclassificaopodemosdizerqueumadistribuio:unimodal(possui1moda), bimodal (possui 2 modas), trimodal (possui 3 modas), polimodal (possui mais de 3 modas) e amodal (no possui moda). Prof. Ccero Jos UNIBAN50 3.5. Emprego da Moda A moda utilizada: Quando desejamos obter uma medida rpida e aproximada de posio; Quando a medida de posio deve ser o valor mais tpico da distribuio. 4. Mdia, Mediana e Moda para dados agrupados sem intervalos de classe 4.1. Mdia Exemplo1:Considereos salrios de 31 funcionrios da empresa Jpeg, distribudos na tabela abaixo. Determine a mdia, a mediana e a moda. Salrios (R$) (xi) Nmero de funcionrios (fi) xi . fiFac 500,00105 00010 1 000,005 5 00015 1 500,001 1 50016 2 000,001020 00026 5 000,00420 00030 10 500,00110 50031 3162 000 Procedimentos: 1) Obter xi.fi de cada classe2) Obterxi.fi3) Obterx= i ix fn = 62 00031 = 2000 4.2. Mediana Paraoclculodamediana,devemosobterafrequnciaacumulada.Calculamosoelemento central if32== 162 2, n 32ou = 162 2| |= |\ .. Depois, observamos na coluna da frequncia acumulada onde se encontra o valor 16. O dcimo sexto funcionrio encontra-se na 3 classe. Portanto, o valor da mediana 1 500 reais. (Md = 1 500). 4.3. Moda Para o clculo da moda, devemos observar a classe de maior frequncia absoluta simples. Neste caso,asmodasso500e2000,poish10pessoascomessesalrio,respectivamente.(Mo=500eMo = 2 000). Prof. Ccero Jos UNIBAN51 Exemplo 2: A tabela abaixo mostra a quantidade de clientes pessoas jurdicas de uma agncia bancria eonmerodeprodutosqueessesclientesutilizam.Combasenessesdados,calculeamdia,a mediana e a moda dos nmeros de produtos utilizados. Nmero de produtos (xi) Nmero de clientes (fi) xi . fiFac 44001 600400 5600 3 0001000 6700 4 2001700 7300 2 1002000 Total2 00010 900 a) Mdia x= i ix fn = 10 9002 000 = 5,45 b) Mediana Clculodaposio: n 2 000 = 1 0002 2= (1000e1001).Observandonacolunadafrequncia acumulada,observamosqueomilsimofuncionrioencontra-sena5eomilsimoprimeiro funcionrio encontra-se na sexta classe. Portanto, o valor da mediana a mdia aritmtica dos valores 5 e 6. Logo, Md = 5 + 6 11 = 2 2 = 5,5. c) Moda A moda 6, pois h 700 clientes que compraram 6 produtos. (Mo = 6). 5. Mdia, Mediana e Moda para dados agrupados com intervalos de classe 5.1. Mdia Foram medidas as alturas dos funcionrios da empresa Microhouse. Os dados esto tabelados na tabela abaixo: i Estaturas (cm)fi

i xxi . fi 1150 | 1544152 608 2154 | 15891561 404 3158 | 162111601 760 4162 | 16681641 312 5166 | 1705168 840 6170 | 1743172 516 40 6 440 Neste caso temos:iix f =6 440, if =40, ( )iix f6440x= = 161 cmn 40= Prof. Ccero Jos UNIBAN52 5.2. Mediana Quando estamos trabalhando com variveis contnuas, ou seja, quando os dados esto agrupados em classes, determinamos a classe na qual se encontra a mediana, que chamaremos de classe mediana. Nestecaso,nonospreocuparemosseestamostrabalhandocomumaquantidadededadosparou mpar,vistoqueapenasprecisamosdeterminaraclassequecontmamediana.Emseguida, calculamos o valor da mediana atravs da frmula: Md = antmdmdnF2l +hf| | |\ . em que: lmd o limite inferior da classe mediana; Fant a frequncia acumulada da classe anterior classe mediana; h a amplitude do intervalo da classe mediana; fmd a frequncia simples (ou absoluta) da classe mediana. Seja a distribuio acima mencionada. Vamos calcular a mediana: i Estaturas (cm)fi Fac 1150 | 1544 4 2154 | 158913 3158 | 1621124 4162 | 166832 5166 | 170537 6170 | 174340 40 Posio do valor da mediana Temos: fi2 = 402 = 20 (vigsimo elemento) Md = 40132158 +411| | |\ . = 20 13158 +411Md = 7158 +411= 28158 + 11 Md = 160,55 cm 5.3. Moda Amodadeumadistribuiodefrequnciascomvariveiscontnuas,amoda corresponde a um ponto pertencente classe modal dado pela frmula de Czuber, que : Prof. Ccero Jos UNIBAN53 Mo = 1mo mo1 2Dl +hD +D , com D1 = fmo fanteD2 = fmo fpost onde: lmo = limite inferior da classe modal fmo = frequncia absoluta da classe modal fant = frequncia absoluta da classe imediatamente anterior classe modal fpost = frequncia absoluta da classe imediatamente posterior classe modal h = amplitude da classe modal A moda da distribuio das alturas dos funcionrios : Mo = ( )( ) ( )11 92158 +4 = 158 +411 9 + 11 8 2 + 3 Mo = 8158 + 5 = 159,6 cm 6. Posio relativa da Mdia, Mediana e Moda Quandoumadistribuiosimtricaastrsmedidascoincidem,porm,aassimetriatorna-as diferentes e essa diferena tanto maior quanto maior for a assimetria. Assim, em uma distribuio em forma de sino, temos: x= Md = Mo, no caso da curva simtrica; Mo < Md e) >f) < 9a) 2ab) 2xyc) 6acd) 3ame) a2f) 6xy2g) 9bc5 h) 21x10 ou 2x10i) 5mn4j) 4x k) 4y2l) ab m) 0n) 4xy o) 3n3p) 5amq) 41a6 ou 4a6 r) 2bc5 s) 0 Prof. Ccero Jos UNIBAN63 10a) 3y3 3y b) a 2ab + 4bc) 9x2 + 2x 1d) 3mn + 2m + ne) a2 ab + 9b2 f) 3x 2y + 4g) 3 4a b2 3h) 4x2 + 5x8 ou 28x+ 5x8 11) P = 3x 12a) x2 + 5y b) x2 + y2 c) (x + y)2 d) (a + b)(a b) e) 2a + 2h f) a3 + b3 g) (a + b)3 h) x2 y2 i) 2x3 j) x 5 13) A = 100x2 14a) 0,40x + 3y b) 0,30x + 2y c) 0,10x + y 15) 5,87 187 16a) 13b) 15c) 13d) 1e) 144f) 16 17) A = 618a) 8 b) 73 c) 1 d) 54 e) 45 f) 6 19a) 1265 b) 4 c) 4 d) 34 20) A = c . 21) 49 x22a) 2x + 8y b) y = 423a) P = 12a b) 43,6 c) A = 10a2 d) A = 250 24) 3x + 3y 25) Raa A: x (cada co) Raa B: y6 (cada co) a) 5x + 4y b) 69 26a) 2500 + x4 b) 7 500 27) V = abc 28a) y = 2 + 0,50x b) R$ 7,50 29a) 7b) 10c) 13d) 16e) 4f) 22 30a) P = 4 + 0,80qb) P = 8 + 0,80qc) 2 kmd) 15 km 31) 8 anos32) C(t) = 4033a) 4 b) 11 c) 0 34a) R$ 740,00b) y = 560 + 6035) A opo 2 36a) 6x + 5(x 4) = 11x 20 b) x = 10 Prof. Ccero Jos UNIBAN64 37) x = 100 / Regio A: 150 km2 / Regio B: 60 km2 38a) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9654321123456 b) 4 3 2 1 1 2 3 4 5321123 Prof. Ccero Jos UNIBAN65 c) 4 3 2 1 1 2 3 4 5321123 39a) 4 3 2 1 1 2 3 4 52112xy Prof. Ccero Jos UNIBAN66 b) 4 3 2 1 1 2 3 4 52112xy c) 4 3 2 1 1 2 3 4 52112xy d) 4 3 2 1 1 2 3 4 52112xy Prof. Ccero Jos UNIBAN67 e) 4 3 2 1 1 2 3 4 52112xy f) 4 3 2 1 1 2 3 4 52112xy 40) 2 496 41a) eixo x: 3,02| | |\ . e eixo y: (0, 3) b) eixo x: (4, 0) e eixo y: (0, 8) c) eixo x: (8, 0) e eixo y: (0, 4) 42) 35x 490 43a) 4 b) 1 c) 6 d) 5 44a) 52 b) 50,40 45a) y = 900 + 0,08x b) R$ 490,00 46) R$ 18 004,00 47) 8 unidades Prof. Ccero Jos UNIBAN68 48) 601 programas 49) Acima de 200 minutos 50a) R$ 11,70 b) R$ 54,00 c) 390 segundosd) 19 horas e) 45 dias f) 1080 segundos = 18 minutos g) 342 km h) 5 horas i) 35 diasj) 499 800 gramas k) 4 500 exemplares l) 2046 segundos = 34 min 6 seg 51a) 5 000b) 1 000 52a) 11% b) 31% c) 45% d) 100% e) 95% f) 112% g) 135% h) 231% i) 1% j) 4% 53b) 30% c) 3% d) 115% e) 7,5% f) 12,76% g) 140% h) 230% i) 113,2% j) 9% 54a) 120b) 1125c) 3000 55a) 3,614b) 4,248c) 0,88605d) 685,122 56) 1160 57) 12,5% 58) 50% 59) 1350 60) 464 61) 12,5% 62) 250 63) 550064) 950 65) 26% 66) 323 67) R$ 18,0068) 5% 69) R$ 1425,00 70) R$ 12 014,40 71) 5%72) R$ 13,80 73) R$ 38,40 74) 25% 75) R$ 75,0076a) y = 3,20 + 1,20xb) R$ 21,20 77a) R$ 625,00b) R$ 22 300,00 78a) R$ 180,00b) R$ 170,00 79) R$ 811,44 80) Aproximadamente 17,39% 81a) 0,08x b) 300 + 0,05x c) x = 10 000 82) y = 0,97x 83) R$ 168,00 Prof. Ccero Jos UNIBAN69 Captulo II 84a) qualitativa b) quantitativa c) quantitativa d) qualitativa e) qualitativa 85a) discreta b) discretac) contnuad) discretae) contnua 86a) Quantitativa: A, D, E e G Qualitativa: B, C e F b) Contnua: A, D e E Discreta: G c) Ordinal: B Nominal: C e F 87) AMOSTRA Masc.Fem. 1112 1415 1512 1829 2116 4136 120120 88) 30 89)Montadora de automveis Quantidade de veculos produzidos Amostra Estratificada Proporcional A7200504 B3400238 C5100357 D4300301 E6900483 F2600182 TOTAL295002065 90a) X: 2, 4, 7, 8, 12, 15, 20, 21. b) Y: 3, 5, 5, 8, 12, 12, 13, 14, 18. c) Z: 12,2; 12,2; 13,9; 14,7; 14,7; 21,8. d) W: 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9. Prof. Ccero Jos UNIBAN70 Captulo III 91) Notasfi fri Fac Far 30 |40 40,0840,08 40 | 5060,12100,20 50 | 6090,18190,38 60 | 70110,22300,60 70 | 8090,18390,78 80 | 9070,14460,92 90 | 10040,08501,00 501,00 92)Facesfi fri Fac Far 190,0990,09 2120,12210,21 3230,23440,44 4170,17610,61 5200,20810,81 6190,191001,00 1001,00 93)Idade (anos) xiN de alunos (fi)fri Fac Far 1730,0630,06 18180,36210,42 19170,34380,76 2080,16460,92 2140,08501,00 501,00 94)Tempo (dias)Frequncia absolutaFrequncia relativa 1250,167 1370,233 1460,200 1570,233 1650,167 301,00 95)Meio de transportePessoas inquiridasFrequncia relativa Moto 2500,1 Autocarro 5000,2 Metr1 0000,4 Automvel7500,3 Total2 5001,0 a)b)c) d) 4 classe (60 | 70) e) li = l70 f) AT = 100 30 = 70 Prof. Ccero Jos UNIBAN71 96) iSalrios (R$)fifri Fac Far 1400 | 500500,25500,25 2500 | 600700,351200,60 3600 | 700400,201600,80 4700 | 800300,151900,95 5800 | 900100,052001,00 = 200 = 1 a) 80%b) 80 97) 98a) AT = 900b) L5 = 800c) l8 = 1000d)8 x= 950e) AT2 = 100 f) 76g) 0,155 h) 262i) 194 j) 138 l) 29,5% m) 19% n) 78%o) 500 | 600 p) 700 | 800 (5 classe) 99a) 20 b) 15c) 46d) 29% e) 66% 100) ClasseInt. classe fifriFacFar 16 | 1010,0510,05 210 | 1450,2560,30 314 | 1880,40140,70 418 | 2240,20180,90 522 | 2620,10201,00 201,00 101) fi fri Fac 10,051 30,154 40,208 50,2513 30,1516 20,1018 10,0519 10,0520 Peso fi 2 4 6 8 10 40 44 48525660 Prof. Ccero Jos UNIBAN72 102) ClasseFaixa salarial (SM)N de funcionrios friFacFar 10 | 2300,20300,20 22 | 4360,24660,44 34 | 6210,14870,58 46 | 8180,121050,70 58 | 10150,101200,80 610 | 12120,081320,88 712 | 1490,061410,94 814 | 1660,041470,98 916 | 1830,021501,00 1501,00-- b) 15 c) 0,04 d) 132e) 120 f) 18 g) 70%h) 54%i) 2 intervalo (2 | 4) j) 54% 103a) n = 120b) 45%c) Aproximadamente 38,33% 104a) Foi maior no domingo e menor na segunda-feira e quarta-feira. b) 125 bolos c)Nasegunda-feiraequarta-feiraforamvendidos50bolos.Natera-feiraequinta-feiraforam vendidos 75 bolos. d) 700 bolos e) 25% 105) alternativa b106a) 36b) 36 alunos e 72107a) 31,25%b) R$ 940,00 108) Faturamento do almoo: R$ 10 233,00 Faturamento do jantar: R$ 4 560,00 Faturamento da semana: R$ 14 793,00 Captulo IV 109) 0,50 segundos 110) R$ 2,26 111) R$ 332,00 112) R$ 19,70 113a)x= 13 anos b) Md = 11114a)x= 45,6b) Md = 38 115a)x= 7,9b) Md = 7,8c) Mo = 7,2 116) Md = 45,5 kg Mo = 44 kg 117) alternativa c 118) Abaixo da mdia 119)x= 2,18Md = 2Mo = 3120) A mdia 121) alternativa c122) alternativa b123)x= 0,45Md = 0Mo = 0 Prof. Ccero Jos UNIBAN73 124)x= 572,50Md = 553,33 Mo = 530,00 125)x= 335,00Md = 315,38 Mo = 295,65 126) Mo = 3,30 e Mo = 6,64. Os gastos mais frequentes nesta lanchonete foram R$ 3,30 e R$ 6,64. 127)x= 3,25Md = 3,59 Mo = 4,29128) x = 18 129)

130a) 360 pessoasb) 270 e 90c) 78 131a) 861b) R$ 14 627,50c) 101 132a) Falso. O ponto mdio de uma classe a soma de seus limites inferior e superior dividido por 2. b)Falso.Afrequnciarelativadeumaclasseafrequnciadaclassedivididopelotamanhoda amostra. c)Falso.Amdiaamedidadetendnciacentralmaisprovveldeserafetadaporumvalor extremo. d) Falso. O conjunto pode ser amodal. e) Verdadeiro. Os dados podem ser quantitativo discreto. 133a) 20% b) 33,33% 134a) 20%b)x= 83,25 minutos e Md = 78 minutos 135) 84 136)x= 6,20 Md = 6,10 Mo = 5,80 e Mo = 6,50 137a) 3,8 b) 3,43 c) 2,8 d) 7,6 138a)N de casos (xi)N de dias (fi)xi . fi 15345 167112 1711187 186108 19357 20120 TOTAL31529 b) 32,26%c) 10 dias d) Aproximadamente 17,06 Prof. Ccero Jos UNIBAN74 139)x= 2,6 Md = 2 Mo = 1 140a) 76 pessoas b)x= 2,5 c) Mo = 2 141)x= 960 reais, Md = 500 reais e Mo = 500 reais 142)x= 56 e Md = 57 143a) Varivel quantitativa discreta b)Noumhistograma.Ohistogramautilizadoparadadosquantitativoscontnuos.Paradados quantitativos discretos utilizado o grfico de colunas (em questo). c) 56,25% d)x = 2,81 / Md = 3 / Mo = 3 Bibliografia Bsica SILVA, Ermes Medeiros. Estatstica para os cursos de: Economia, Administrao e Cincias Contbeis Volume 1. 3. ed. So Paulo: Atlas, 2006 CRESPO, Antonio Arnot. Estatstica fcil. So Paulo: Saraiva, 2005. SPIEGEL, Murray R.. Estatstica. So Paulo: Pearson Education, 2005. TRIOLA, Mario F.. Introduo estatstica. Rio de Janeiro: LTC, 2005. HAZZAN, Samuel. Fundamentos da Matemtica Elementar. So Paulo: Atual, 2007 Bibliografia Complementar DOWNING, Douglas. Estatstica aplicada. So Paulo: Saraiva, 2005. MARTINS, Gilberto de Andrade. Princpios de Estatstica: 900 exerccios resolvidos e propostos. So Paulo: Atlas, 2006. MORETTIN, Pedro A.. Estatstica bsica. So Paulo: Saraiva, 2006. TOLEDO, Geraldo Luciano. Estatstica bsica. So Paulo: Atlas, 1995 TROTTA, Fernando. Matemtica por assunto 4. So Paulo: Scipione, 1988 BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA, Herval. Matemtica 1. 1.ed. So Paulo: Moderna, 2004. JAKUBOVIC, Jos E OUTROS. Matemtica na medida certa 7 srie. 6.ed. So Paulo: Scipione, 1999. NAME,MiguelAssis.VencendocomaMatemtica-7srie. 1.ed.SoPaulo: EditoradoBrasil, 2005. REIS, Ismael. Fundamentos da Matemtica 7 srie. 1.ed. So Paulo: Moderna, 1996. SILVEIRA, nio e MARQUES, Cludio. Matemtica -7 srie.1.ed. So Paulo: Moderna, 1995. SMOLE, Ktia Stocco e DINIZ, Maria Ignez. Matemtica. 3.ed. So Paulo: Saraiva, 2003. IEZZI, Gelson... [et al]. Matemtica: volume nico. 4. ed. So Paulo: Atual Editora, 2007. Prof. Ccero Jos UNIBAN75 Formulrio de Estatstica Nomenclaturas h = intervalo de classe k = nmero de classes li = limite inferior da classe i Li = limite superior da classe i xi = ponto mdio da classe i AA = amplitude amostral AT = amplitude total fi = frequncia simples da classe i fri = frequncia relativa da classe i fri% = frequncia relativa percentual da classe i Fac = frequncia acumulada da classe i Far = frequncia acumulada relativa da classe i Far%=frequnciaacumuladarelativa percentual da classe i x= mdia Md = Mediana Mo = Moda Frmulas nmero de classes: i1 + 3,3 . log nAmplitude amostral: AA = xmax xmin Amplitude total: AT = Lmax lmin Intervalo de classe: h = AAiPonto mdio do intervalo de classe:i x= i il+ L2 Mdia x= ixn (dados brutos) x= i x fn (dados agrupados sem intervalos de classe) x= iix fn (dados agrupados com intervalos de classe) Nmero de elementos da pesquisa: n = if Mediana Determinao da class