apostila - Função Modular.

MatemáticaFrente II

CAPÍTULO 17 – FUNÇÃO MODULARCAPÍTULO 17 – FUNÇÃO MODULAR

1- O QUE É O MÓDULO?

O módulo ou valor absoluto de um número x é o valor numérico de x desconsiderando seu sinal. A representação do módulo de x se dá por |x| (x entre duas barras verticais). Vejamos alguns exemplos:

|2| = 2 |5| = 5 |-3| = 3 |-0,5| = 0,5|0| = 0 |√2|=√2 |−√5|=√5

OBS: Veja que, se o número é negativo, o módulo tem o efeito de trocar o seu sinal. Isso vai ser útil para entender o tópico 2.

Pense agora quanto vale |1,2| e |-20|. Se você respondeu 1,2 e 20, você está apto a seguir em frente na leitura.

2 – DEFINIÇÃO MATEMÁTICA

2.1 – Definição algébrica

Uma maneira diferente de dizer o que acabamos de definir é:

|x|={ x , se x≥0−x , se x<0Por exemplo:→ |7|=7, pois 7≥0→|−4|=−(−4 )=4, pois 4 < 0 (aqui, o sinal de menos que colocamos tem o efeito de trocar o sinal)

Esta definição é importante principalmente quando dentro do módulo temos expressões mais complicadas. Por exemplo: Digamos que queiramos saber quais valores de x são tais que |x+1|=3. Fazemos o seguinte:

|x+1|=3→ { x+1=3→x=2ou

x+1=−3→x=−4

Faremos isso com freqüência em equações e inequações modulares.

2.2 – Definição geométrica

Outra maneira de ver o módulo de um número é a distância deste número à origem na reta real. Por exemplo, na figura abaixo estão indicados os pontos 7 e -4 na reta real:

Observe que a distância do ponto -4 à origem é de 4 unidades → |-4| = 4, e a distância do ponto 7 à origem é de 7 unidades → |7| = 7.

3 – EQUAÇÕES MODULARES

Agora que sabemos a definição algébrica de módulo, podemos utilizar isso para resolver equações que envolvem módulos. Veja os exemplos abaixo:

Exercício Resolvido 1

Resolva: |2 x+4|=10

Resolução:Para que o módulo de 2 x+4 valha 10, 2 x+4 deve ser 10 ou -10. Vamos então dividir em 2 casos:

Caso 1: 2 x+4=10Neste caso, temos:

2 x=6→x=3

Caso 1: 2 x+4=−10Neste caso, temos:

2 x=−14→x=−7

Resposta: x=3ou x=−7


Resolva: |x+3|=¿2x+1∨¿

Resolução

Dividamos novamente em dois casos:

Caso 1: x+3=2 x+1Aqui, temos: 3−1=2 x−x→ x=2

Caso 2: x+3=−(2 x+1)

Aqui, temos: x+3=−2x−1→3 x=−4→x=−43

Resposta: x=2ou x=−4 /3


Resolva |x|2−5|x|+6=0

Resolução:

Chamemos |x|= y:

16 Algebra CASD Vestibulares

y2−5 y+6=0

Resolvendo a equação do 2º grau: y=2 ou y=3

Como y=|x|→ {|x|=2→x=2ou x=−2ou

|x|=3→x=3ou x=−3

Assim nossas soluções são 2 ,−2 ,3e−33 – FUNÇÃO MODULAR

O ato de aplicar módulo em uma função tem um efeito bastante interessante. Para exemplificar, tome a função f ( x )=x−1. Sabemos, com o que vimos no capítulo 7, que a função é uma reta crescente que intercepta os eixos coordenados em (1,0) e (0,-1), conforme o gráfico abaixo:

A pergunta agora é: O que aconteceria com o gráfico se a função fosse f ( x )=|x−1|? A resposta é simples: O módulo transforma as imagens negativas em positivas(“reflete-as” para cima do eixo x). Veja abaixo o sinal das imagens de f ( x )=x−1:

Sendo assim o gráfico de f ( x )=|x−1| ficaria da seguinte forma:

Podemos abstrair esse raciocínio para qualquer outro tipo de gráfico. Veja:


Esboce o gráfico de |x2−x−6|

Resolução:

A primeira coisa a se fazer é esboçar o gráfico da função sem o módulo

Conforme vimos no Capítulo 9: x2−x−6 é uma

parábola com concavidade para cima (a>0) e que intercepta o eixo x nos pontos (−2,0) e (3,0) (suas raízes)

Sendo assim, temos o gráfico de x2−x−6:

“Refletindo” as imagens negativas, temo o gráfico de

¿ x2−x−6∨¿:


Assim, se conhecemos o gráfico de uma função qualquer, podemos facilmente esboçar o gráfico de seu módulo.

IMPORTANTE: Muitos problemas de vestibular demandam esboçar gráficos de funções cujas expressões não estão totalmente envolvidas no módulo. Nesses casos, separamos em dois casos usando a definição de módulo. Veja o exemplo abaixo:


Esboce o gráfico de f ( x )=x∨1−x∨¿

Resolução:

Utilizando a definição, temos:

|1−x|={1−x , se1−x≥0→x≤1oux−1 , se1−x<0→x>1

Dividamos então em dois casos:

Caso 1: x≤1, ou seja: |1−x|=1−xNeste caso, f ( x )=x (1−x )=−x2+x, que é uma parábola com concavidade para baixo que intercepta o eixo x nas suas raízes(0 e 1).

Esboçando o gráfico para x≤1 :

Caso 2: x>1, ou seja, |1−x|=x−1Neste caso, f ( x )=x ( x−1 )=x2−x , que é uma parábola com concavidade para cima que intercepta o eixo x nas suas raízes (0 e 1).

Esboçando o gráfico para x>1:

Juntando os dois gráficos, chegamos ao resultado:

Cada problema então exige um raciocínio individual, mas em geral a divisão em dois casos pela definição funciona bem.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS


Nìvel I

1. Resolva as equações modulares abaixo. Se necessário, consulte os exercícios resolvidos 1,2 e 3:a) |x+1|=5b) |2 x+3| = 0

c) |5 x−1|=|1−3 x|d) |8 x+1|=|8 x−1|e) |x2−6|=|x|f) |x|2−2|x|+1=0g) |x2|+5|x|−6=0

2. Esboce o gráfico das funções abaixo. Se necessário, consulte a teoria do item 3 e os exercícios resolvidos 4 e 5:

a) f ( x )=|2x+1|b) g ( x )=|2 x|+1c) h ( x )=|x2−5 x+6|d) p ( x )=¿ x2+2 x+4∨¿

3. Dadas as funções f :R→R e g :R→R definidas

por f ( x )=|1−x2| e g ( x )=¿ x∨¿, o número de

pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

4. (ITA-2011) O produto das raízes da equação:

|x2−3 x+2|=¿2 x−3∨¿ é igual a:

a) -5 b) -1 c) 1 d) 2 e) 5

5. (UFJF-2006) Sobre os elementos do conjunto-

solução da equação |x2|−4|x|−5=0, podemos

dizer que:

a) São um número natural e um número inteirob) São números naturaisc) O único elemento é um número naturald) Um deles é um número racional, o outro é um número irracionale) Não existe, isto é, o conjunto-solução é vazio.

6. (UFV-2002) Se x e y são números reais quaisquer, então é CORRETO afirmar que:

a) Se x2< y2 então x< yb) Se x< y então x2< y2

c) Se x2− y2=0, então |x|=¿ y∨¿d) √ x2+ y2=x+ ye) – x<0

7. (UFPI-2000) A soma das raízes da equação

|x|2+2|x|−15=0 é:

a) 0 b) -2 c) -4 d) 6 e) 2

8. (FATEC-2000) A igualdade −|−x|=−(−x ) é verdadeira para todos os elementos do conjunto

a) R

b) {x∈ R ,x ≥0 }c) {x∈ R ,x ≤0 }d) {x∈ R ,0≤x ≤10 }e) {x∈ R ,−3≤ x≤3 }

9. (UFMG-2000) Considere a equação

(x2−14 x+38 )2=112

O número de raízes DISTINTAS dessa equação é:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

10. (UFRJ-2008) Considere a função f :R→R

definida por f (2 x )=¿1−x∨¿. Determine os valores

de x para os quais f ( x )=2

11. (UFPE-2005) Sejam x e y números reais tais que x> y e x (x− y )=0. Analise a veracidade das afirmações a seguir:

( ) x=0( ) y<0( ) x− y<0( ) |x|>¿ y∨¿( ) |x− y|>0

12. (PUC-PR-2005) Sendo x e y números reais, quais das afirmações são verdadeiras?

I. Se x> y então – x>− yII. Se |x|=−x, então x<0III. Se 0<x< y então 1/ x>1/ yIV. Se x2≥9 então x≥3V. x2−2 x+ y2>0

13. Se f ( x )=( x22 )−2 então as raízes irracionais da

equação |f ( x )−6|=8 são:

a) 2√2 e −2√2 b) 3√2 e −3√2

c) 4 √2 e −4√2 d) 5√2 e −5√2

14. (Ufscar-2002) Sejam as funções f ( x )=¿x−1∨¿ e g ( x )=x2+4 x−4.

a) Calcule as raízes de f (g ( x ) )=0b)Esboce o gráfico de f (g ( x ) )

Nível II


15. (CEFET-CE-2005) Para x←3, simplificando a

expressão y=√9−6 x+x2+√9+6 x+x2, tem-se:

a) y=6 b) y=6−2 x c) y=2xd) y=−2x e) y=3 x−1

16. (PUC-RS-2003) Considerando a função f definida por f ( x )=x2−1, a representação gráfica da função

g dada por g ( x )=|−f (x )|−2 é:

17. (Udesc-2009) A alternativa que representa o gráfico da função f ( x )=|x+1|+2 é:

18. (Fuvest-2002) O módulo ¿ x∨¿ de um número

real x é definido por |x|=x se x≥0 e |x|=−x se

x<0. Das alternativas a seguir, a que melhor

representa o gráfico da função f ( x )=x .|x|−2 x+2 é:

19. (UEG-2007) Dada a função f ( x )=|x−1|+1,

x∈[−1,2]

a) esboce o gráfico da função f

b) calcule a área da região delimitada pelo gráfico da função f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = -1 e x = 2

20. (UECE-2007) Sobre o conjunto M dos pontos de interseção dos gráficos das funções

f ( x )=¿2x−1∨¿ e g ( x )=x+1 é possível afirmar que M:

a) É o conjunto vazio b) é o conjunto unitárioc) possui dois elementosd) possui três elementos

21. (ITA-2007) Sobre a equação na variável real x,

|||x−1|−3|−2|=0Podemos afirmar que:

a) ela não admite solução realb) a soma de todas as suas soluções é 6c) ela admite apenas soluções positivasd) a soma de todas as soluções é 4e) ela admite apenas duas soluções reais

22. (MACK-1997) A soma das soluções reais da equação a seguir é:

|log2|x−2||=|x|x

a) 8 b) 10 c) 6 d) 4 e) 2

Nível III

23. (FUVEST-2004) Seja m≥0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por

f ( x )=x2−2|x|+1 e g ( x )=mx+2m

a) Esboçar, no plano cartesiano os gráficos de f e g quando m=1 /4 e m=1


b) Determinar as raízes de f ( x )=g (x) quando

m=1 /2

c) Determinar, em função de m, o número de raízes da equação f ( x )=g (x)

GABARITO

1.a) x=4 ou x=6b) x=−3 /2c) x=1/ 4 ou x=0d) x=0e) x=3 , x=−3 , x=2 ou x=−2f) x=1 ou x=−1g) Não existem soluções reais(nem complexas :P)

2. a)

b)

c)


d)

3. b 4. a 5. a 6. c 7. a 8. c 9. c 10. x=−2 ou x=6 11. VVFFV12. As corretas são II e III 13. c 14. a) x=1 ou x=−5b)

15. d 16. a 17. a 18. E19.a)

b) 5,5

20. c 21. d 22. a23.a)

b) x=−3 /2, x=0 ou x=5 /2c) m=0→ 2 soluções

0<m< 12→ 4 soluções

m=12→ 3 soluções

m> 12→ 2 soluções


apostila - Função Modular.

Documents

Transcript of apostila - Função Modular.