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UBC – Curso de Engenharia

Cinemática e Estática

INTRODUÇÃO

O que é Física.

“Física é a mais fundamental das ciências naturais, e é também aquela cuja

formulação atingiu o maior grau de refinamento [1]”. Com esta frase o Prof. Moysés

Nussenzveig inicia a seção Relações entre a física e outras ciências, de seu livro

didático para turmas de graduação. Desde a pré-história o homem tenta compreender o

mundo que o cerca e os fenômenos que afetam direta ou indiretamente sua vida. Dentre

as muitas ferramentas que utilizou para tentar entender o mundo, há aquelas que

permitem criar modelos que podem ser confrontados com experiências, com fatos, com

estruturas racionais etc... A estes procedimentos para entender o mundo chamamos de

ciência. De acordo com o filósofo da ciência K. Popper, podem ser chamadas de ciência

as disciplinas intelectuais que admitem a refutabilidade. Em outras palavras; uma

atitude científica é aquela que, ao se propor uma teoria ou hipótese, procuram-se

evidências (experiências, outras estruturas intelectuais, etc...) que confirmem ou

neguem esta teoria ou hipótese. Em geral a esta atitude chama-se método científico.

A Física é a ciência que emprega de forma mais radical o método científico

para compreender os fenômenos mais fundamentais d a natureza. Mais por uma questão

de disciplina intelectual do que propriamente por características da natureza, a Física é

dividida em áreas, tais como:

Mecânica, que estuda os movimentos dos corpos e suas causas;

Eletrodinâmica, que estuda as cargas elétricas e as forças que atuam

sobre elas; Termodinâmica, que estuda os processos gerados por

diferenças de temperatura; óptica, que estuda a luz e suas

propriedades;

Relatividade, q u e estuda as propriedades dos corpos a velocidades

próximas á da luz; Física quântica, que estuda os fenômenos no mundo

microscópico, etc...

Neste texto será introduzida a mecânica q u e , de um modo muito simples,

pode ser dividida em Cinemática, que estuda como os corpos se movem, Dinâmica, que estuda

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as causa dos movimentos dos corpos e Estática, que estuda sistemas onde há equilíbrio de forças.

Mais especificamente, será abordada aqui a Cinemática.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I H.M. Nussenzvbeig, Curso de Física Básica, vol. 1 , Seção 1. l, pag. 2,3a edição, Edgar Blücher, SP (1996).

Como resolver problemas de Física !

1ª ETAPA: LER O PROBLEMA: É preciso saber ler, quer dizer, ser capaz de imaginar a cena

que o enunciado descreve. Nem sempre entendemos tudo o que está escrito, mas podemos estar

atentos aos detalhes para "visualizar" corretamente o que se está dizendo.

2ª ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenho simples da situação ajuda

a visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicar em seus esquemas informações básicas como o

sentido e os valores envolvidos. Preste atenção que uma frase como "dar ré" indica o sentido do

movimento do objeto em questão.

3ª ETAPA: MONTE AS EQUAÇÕES E FAÇA AS CONTAS: Uma equação só faz sentido se

você sabe o que ela significa. Sabemos que é possível resolver a nossa questão porque há a

conservação da quantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma das quantidades

de movimento antes e depois do choque deverá ter o mesmo valor. Com isso, você consegue

montar as contas.

4ª ETAPA: INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAIS IMPORTANTE!) Muito bem,

você achou um número! Mas ainda não resolveu o problema. Não queremos saber somente o

número, mas também o que aconteceu. O número deve nos dizer isso. Olhando para ele você

deve ser capaz de chegar a alguma conclusão. DESCONFIE DOS NÚMEROS!!! Existe uma

coisa que se chama erro nas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem no que o

número está lhe dizendo e avalie se é uma coisa razoável. Se achar que há um erro, confira suas

contas e o seu raciocínio. Se o número insistir em lhe dizer coisas absurdas, considere a

possibilidade de que aquilo que você esperava não ser realmente o que acontece na prática.

Leituras de Física - MECÂNICA

GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física

Instituto de Física da USP

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Grandezas Físicas

As grandezas físicas são as peças com as quais as leis físicas são montadas, isto é, para que

as leis físicas possam ser expressas é necessário utilizar conceitos denominados grandezas

físicas. Estas grandezas físicas devem possuir padrões e unidades, bem estabelecidos, para que as

leis físicas possuam coerência.

Para atender aos requisitos físicos as grandezas físicas básicas devem ser bem definidas,

isto é, suas definições devem ser precisas e claras. As grandezas físicas estão divididas em

grandezas fundamentais e grandezas derivadas.

As grandezas fundamentais não podem ser definidas em função de outras grandezas, e

são: comprimento, ângulo, tempo, massa, diferença de temperatura e carga elétrica.

As grandezas derivadas são definidas em função de grandezas fundamentais e ou outras

grandezas derivadas, e são exemplos: força, velocidade, aceleração, densidade, suscetibilidade

magnética, velocidade angular, torque, etc.

As grandezas físicas devem possuir unidades, e estas por sua vez são estabelecidas em

função dos processos operacionais utilizados para fazer a medição de cada grandeza, em

laboratório ou simplesmente no dia a dia. Desta forma em cada região da Terra foram

desenvolvidas formas diferentes de fazer a medição de cada grandeza, originando unidades

diferentes em cada região, o que estabeleceu diferentes sistemas de unidades. Embora, ainda

hoje, continuem diversos sistemas de unidades em uso, houve uma tentativa criar se um sistema

que todos utilizassem, que foi denominado Sistema Internacional de Unidades (S.I.), adotado

por um grande número de países, entre os quais o Brasil, sendo adotado como Sistema Legal de

Unidades do Brasil a partir da 11a Conferência Geral de Pesos e Medidas, realizada em outubro

de 1960. As unidades das grandezas fundamentais são respectivamente: comprimento em metro

m , ângulo em radianos rad (embora seja usual utilizar graus ), tempo (intervalo) em

segundos s , massa em quilogramas kg , diferença de temperatura em Kelvin K e carga

elétrica em Coulomb C .

Obs.: A escala de diferenças de temperatura em Kelvin inicia com K0 (zero absoluto) a

uma temperatura de C, 16273 da escala graus Celsius, cujo zero de escala C0 é a

temperatura normal da fusão do gelo. Note-se ainda que o intervalo de CK 11 . Desta

forma é normal usar C na prática, ao invés de K .

ANÁLISE DIMENSIONAL

A - INTRODUÇÃO

I - Para que serve a Análise Dimensional?

- para verificação da validade de fórmulas - para a previsão de

fórmulas

- para o estudo de sistemas de unidades

- para o desenvolvimento da teoria dos modelos

II - Estruturação

A Análise Dimensional, sendo um assunto relativamente simples, está estruturada sobre 2

conceitos primitivos e 3 postulados.

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a. Conceitos primitivos

Grandeza (símbolo: G)

São exemplos de grandezas: comprimento, massa, tempo, aceleração, velocidade, força,

intensidade sonora, quantidade de calor, temperatura, nível sonoro, carga elétrica, etc.

Dimensão de uma grandeza (símbolo: dim G ou [G])

Embora seja um conceito primitivo, podemos apresentar um conceito prático de dimensão:

Dimensão é a propriedade que permite diferenciar as grandezas entre si. Por exemplo, as

grandezas largura e comprimento são idênticas, então, têm dimensões iguais. Noutro exemplo,

sabemos que área e comprimento são grandezas diferentes. Logo, suas dimensões são diferentes.

b. Postulados

Postulado I - Dado o conjunto de todas as grandezas conhecidas, é sempre possível se escolher

um subconjunto finito de tal modo que todas as grandezas podem ser escritas como produtos de

potências dessas grandezas do subconjunto. Estas grandezas são independentes entre si.

As grandezas do subconjunto são chamados de grandezas fundamentais. As demais são

chamadas de grandezas derivadas. Para a Mecânica as grandezas fundamentais são:

Comprimento,massa e tempo ou comprimento, força e tempo. Quando se estuda eletricidade, as

grandezas fundamentais geralmente usadas são comprimento, massa, tempo e corrente elétrica.

Podemos ter outros subconjuntos de grandezas fundamentais. A condição para a

existência deles é que as grandezas sejam independentes entre si, isto é, na definição de uma

delas não pode estar presente outra grandeza fundamental. Por exemplo: as grandezas

comprimento e área não podem estar no mesmo subconjunto das fundamentais, pois a área, a

menos de uma constante de proporcionalidade, é dada por comprimento ao quadrado.

Postulado II- A mesma relação de produto de potências que existe entre as grandezas existe

também entre suas dimensões.

EX: velocidade = (comprimento) / (tempo)

dim(velocidade) = (dim comprimento).(dim tempo)-1

área = (comprimento).(comprimento)

dim(área) = dim(comprimento)2

Quando estamos estudando Mecânica e utilizando as fundamentais comprimento, massa e

tempo, todas as demais grandezas são derivadas.

Por exemplo, a grandeza derivada velocidade é dada pelo produto das potências

(comprimento).(tempo). A grandeza derivada área é dada pelo produto da potência comprimento:

(comprimento).(comprimento).

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As grandezas fundamentais tem dimensões como qualquer outra grandeza, suas

dimensões são representadas por símbolos específicos. dimensão do comprimento = dim(comprimento) = [comprimento] = L dimensão da massa = dim(massa) = [massa] = M

dimensão do tempo = dim(tempo) = [tempo] = T

Quando aparecer a força como fundamental, sua dimensão será F. Toda vez que escolhermos as

dimensões L, M, T como fundamentais, diremos que estamos trabalhando com sistemas tipo

LMT. No outro caso, teremos sistemas tipo LFT.

Postulado III - Este postulado dá as propriedades operatórias das dimensões.

dim G + dim G = dim G => dim (G + G) = dim G

Ex. dim(força de atrito) + dim(força centrípeta) = dim(força)

------------------------------------------------------------

Se p é um número real:

p.dimG = dimG e dim p.G = dim G

Ex. 2 dim(força) = dim(2.força) = dim(força)

------------------------------------------------------------

dim G .dim G = dim G2 = dim

2 G ou (dim G)

2

Ex.. dim(área) = dim(comprimento).dim(comprimento)

= dim(comprimento.comprímento)]

= dim(comprimento)2

= (dim comprimento)2

-----------------------------------------------------------

dim G1 . dim G2 = dim(G1.G2)

din (G1/G2) = dim G1/dim G2

dim(massa).dim(aceleração) = dim(massa.aceleração)

dim G n = (dim G)

n

EX: dim(comprimento)3 = (dim comprimento)

3

B - DETERMINAÇÃO DE EQUAÇÕES DIMENSIONAIS NO SISTEMA LMT

III - Determinação da dimensão de alguma _grandezas

Utilizando-se os três postulados vamos determinar as dimensões de algumas grandezas

derivadas em função das dimensões das grandezas fundamentais.

Comecemos pela grandeza área (A):

por definição:

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Área = (comprimento)2 ou simbolicamente A = l

2

O postulado I está satisfeito pois esta grandeza ë definida por um produto da grandeza

fundamental comprimento. Pelo postulado II temos:

dim A = dim l2

Logo: dim A = dim l2 = (dim l)

2 =(L)

2 = L

2

Alguns autores exigem que na dimensão de uma grandeza apareça sempre as dimensões LMT

das grandezas fundamentais. Desse modo

dim A = L2 = LM°T°

Para outros autores, a dimensão é dada pelo conjunto formado pelos expoentes de L, M e T

(sempre nessa ordem), então:

dim A = (2, 0, 0)

Vamos trabalhar mais um pouco. Determinemos a dimensão do volume:

Volume = (comprimento)3. Logo: V = l

3 e dim V = dim l

3.

Daí: dim V = (diml)3

= L ou L3M

0T

0 ou (3, 0, 0)

Façamos mais alguns:

Velocidade

Velocidade = tempo

distância ou

t

Sv

;

t

Sv dimdim , dimv =

T

L, ou

L1M

0T

1 ou (1, 0, -1)

Aceleração

aceleração = velocidade = dim a = dim v ,

tempo dim t

dim a = LT-2

ou LM0T

-2 ou (1, 0,-2)

Força

força = (massa).(aceleração), F = m . a

dim F = dim m . dim a

dim F = (M)(LT-2

) = LM0T

-2 ou(1, 1, -2)

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Trabalho

trabalho = (força)(deslocamento) ou W = F . d

dim W = dim F.dimd = (LMT-2

).(L) = L2MT

-2 ou (2,1,-2)

Energia Cinética E = 2

. 2vm

dim E = M(LT-1

)2= ML

2T

-2 ou L

2 M T

-2 ou (2, 1, -2)

Repare que trabalho e energia cinética deram dimensões iguais. Isso, no entanto, é um resultado

esperado, pois Trabalho e Energia são o mesmo tipo de grandeza.

Continuemos o treino.

Momento de uma força (ou torque)

Momento = (força)(braço do momento)

braço do momento é uma distância

M = F . d

dim M = dim F . dim d

dim M = (LMT2)(L)

dim M = L2 M T

-2 ou (2,1,-2)

Repare que momento também deu a mesma dimensão de trabalho e energia. No entanto,

momento e trabalho (ou energia) não são grandezas iguais. A diferença que existe entre essas

grandezas é que momento é vetorial e trabalho escalar.

A partir desse resultado, podemos apresentar um resultado importante:

Se:

G1 = G2 => dim G1 = dim G2, Isto é sempre verdade: Grandezas iguais têm dimensões

iguais.

Se:

dim G1 = dim G2, Dimensões nem sempre iguais são de grandezas iguais.

Voltemos ao treino:

Rendimento:

Rendimento = Trabalho útil - ou motor

útil

W

W

Trabalho motor

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Dim = L2MT

-2 = 1 ou L

0M

0T

0 ou (0,0,0)

L2MT

-2

Grandezas como essa, que têm dimensões 1 ou (0,0,0) são chamadas adimensionais. São

adimensionais também:

Ângulo plano, seno de um ângulo, cosseno de um ângulo, coeficiente de atrito, nível sonoro,

etc.

C – HOMOGENEIDADE

IV - Equação Homogênea

Definição: "Uma equação é homogênea se todos os seus termos têm a mesma dimensão.Caso

contrário, ela é heterogênea".

Postulado: "Toda equação física válida é homogênea".

Observação:

Sendo válida, é homogênea. Nem sempre, porém, sendo homogênea é válida. Existe apenas

uma alta probabilidade.

Aplicação: Verificação de homogeneidade de equações:

Exemplo: Verificar se a equação v2 = 2gh é homogênea

dim v2 = (dim v)

2 = (LT

-1)

2 = L

2T

-2

dim 2gh = dim 2.dim g.dim h = 1.LT-2

. L = L2T

-2

Como as dimensões deram iguais, a equação é homogênea.

Para você treinar:

Verificar a homogeneidade das equações:

a)E = mv2/2 b) F.d = m.a.vt

2 c) P

2 = Pot.d

1/2

onde:

E = energia m = massa v = velocidade a = aceleração

t = tempo P = Pressão Pot = potência

D - PREVISÃO DE FÓRMULAS

V - Outra aplicação da análise dimensional:

Vamos mostrar esta aplicação através de exemplos.

Exemplo l:

Sabemos que a variação da pressão (P) dentro de um líquido é dada em função da densidade

(dv)do líquido, da aceleração da gravidade (g) e da profundidade (h). Prever a fórmula que

relaciona p com d, g e h.

Pelo Postulado do item 3: p = k . dx . g

y . h

z (k = número real) Logo: d im p = dim k . d

x . g

y .

hz

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dim p = dim k.dim dx.dim g

y.dim h

z

dim p = dim k.(dim d)X.(dim g)

y.(dim h)

z

Vamos calcular as dimensões:

pressão = L-1

M T

-2

densidade = L-3

M T

0

volume = L3M

0T

0

g é aceleração = L M

0T

-2

h é a profundidade (comprimento). dim h = L

Substituindo:

L-1

M T

-2 = (L

-3 M)

X (L T

-2)

Y(L)

Z

L-1

M T

-2 = L

3x+y+Z M

x T

2y

Comparando os expoentes:

L: -1 = -3x+y+z

M: 1 = x

T : -2 = -zy

Resolvendo o sistema:

x = 1 , y = 1 e z = 1 p = k . d

1. g

1. h

1

ou

p = k . dgh

Exercícios

1. A freqüência de oscilação de um pêndulo é função do comprimento do pêndulo e da

aceleração da gravidade. Prever a fórmula que relaciona frequência com o comprimento e

aceleração.

2. A velocidade angular de um corpo é função da força centrípeta, da massa e do raio da

trajetória. Prever a fórmula que relaciona a velocidade angular com aquelas grandezas.

3. A aceleração da gravidade num ponto é função de pressão, da altura e da densidade. Prever a

fórmula que relaciona essas grandezas.

4. Qual a dimensão do co-seno de um ângulo?

5. Qual a dimensão da aceleração da gravidade?

6. A dimensão do rendimento total

útil

Pot

Pot , é zero ou um? Por quê?

7. Sabemos que um sistema de unidades só pode ser formado se escolhermos como fundamentais

grandezas independentes entre si. Se as grandezas são dependentes, não podemos escrever uma

fórmula relacionando-as simultaneamente. Baseado nisso, verifique se ë possível montar um

sistema PDF (pressão, densidade, força).

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8. Em uma dada experiência, chegou-se à conclusão de que potência da máquina utilizada era

função da massa do corpo arrastado, da sua aceleração e da velocidade em cada instante. Prever a

fórmula da potencia.

9. 0 coeficiente da viscosidade de líquidos é dado pela fórmula:

v

dgr V2

9

2

onde r é o raio de um tubo, g a aceleração da gravidade, dV a densidades e v é uma velocidade.

Determine a dimensão.

10.Verificar se a equação abaixo ë homogênea:

(energia potencial)2. (velocidade) = (força) (Pressão)

2

11. Verificar se é possível relacionar numa fórmula pressão com densidade e aceleração.

12. Se o tempo de queda de um corpo for função da altura em que se encontra e da aceleração da

gravidade, qual seria sua fórmula.

13. Verifique a homogeneidade das equações: 2/13 WVBL onde L = comprimento, B = área

da base, W = trabalho e V = volume

14. Um avião é movido à hélice. Sua potência é função do raio da hélice, de sua velocidade

angular e da densidade absoluta do ar. Determinar a expressão que relaciona estas grandezas.

15. A frequência fundamental de vibração de um fio é função de sua densidade linear, do

comprimento do fio e da força tensora. Prever a fórmula da frequência.

16. Se em vez de usar a densidade linear, usamos densidade volumétrica, como fica a fórmula

anterior?

17. A lei da gravitação universal prevê que a força de atração entre os corpos é dada pela

fórmula: 2

'.

r

mmGF Determinar a dimensão LMT da constante G.

18. Verificar se é possível escrever uma fórmula relacionando a velocidade v de um corpo com

sua massa m e sua energia cinética Ec.

19. Existe um teorema que afirma que o impulso aplicado a um corpo é igual à variação

correspondente de seu momento linear. Nestas condições, o que podemos afirmar a respeito das

dimensões do impulso e do momento linear? Mostre depois, que sua afirmação é correta de

terminando essas dimensões.

20. Co-seno arco (ou ângulo) são grandezas adimensionais. Determine então, a dimensão de w

na equação que se segue:

x = A.cos (w.t )

onde: x é a distância, A e a amplitude do movimento, t e tempo

21. Qual a dimensão de B para que valha lha a relação: daEBv ..2 , onde v = velocidade, E =

energia, a= aceleração e d= densidade volumétrica.

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22. A lei de Hooke estabelece a relação entre a força F aplicada a uma mola e sua conseqüente

elongação X. kXF Qual a dimensão de K? Qual seria unidade no MKS?

23. Um móvel, para se mover numa superfície horizontal precisa sofrer ação de uma força F que

depende do coeficiente de atrito f, de sua massa m e da aceleração da gravidade. Determinar a

fórmula que relaciona essas grandezas.

24. 5e o momento de inércia de um disco é dada por I = m R2, onde m ë sua massa e R seu raio.

Qual a dimensão de I?

25. Um dependente de Física descobriu que a energia potencial de um corpo é função de seu

peso, de sua altura e de sua aceleração. Descubra a fórmula que relaciona energia com peso,

altura e aceleração; saiba porque esse aluno era dependente.

26. Verifique se a fórmula que segue é homogênea e depois, usando seus conhecimentos de

Física, verifique se ela é verdadeira: Momento = (massa) (velocidade)2

27. 0 empuxo exercido por um liquido sobre um corpo nele imerso é função da densidade d do

líquido, da aceleração da gravidade g e de uma terceira grandeza. Descubra a dimensão dessa

grandeza e tente identificá-la. Dados: a) a terceira grandeza n'4o depende da massa, b) os

expoentes da densidade e da aceleração da gravidade de são iguais

28. A fórmula que relaciona o trabalho W com a massa m, a aceleração da gravidade e uma

certa grandeza G é:

W = m.g.G

Determine a dimensão da grandeza G.

29. Verifique agora, se é possível relacionar como fundamentais de um sistema de unidades:

energia - E

densidade - D

período – T

----------------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Não esqueça de treinar as deduções das fórmulas dimensionais obtidas na

sala de aula.

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Unidades Fundamentais do SI

Grandeza Nome Símbolo Definição

comprimento metro m “... o comprimento do percurso coberto pela luz, no vácuo, em 1/299.792.458 de um segundo.” (1983)

massa quilograma kg “... este protótipo (um certo cilindro de liga de platina-irídio), será considerado daqui por diante a unidade de massa.” (1889)

tempo segundo s “... a duração de 9.192.631.770 vibrações da transmissão entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.” (1967)

corrente elétrica ampère A

“... a corrente constante que, mantida em dois condutores

retilíneos, paralelos, de comprimento infinito, de secção

circular desprezível e separados pela distância de 1 metro no

vácuo, provoca entre esses condutores uma força igual a 2.10-7

newtons por metro de comprimento.” (1946)

temperatura termodinâmica

kelvin K “... a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto

triplo da água.” (1967)

quantidade de substância

mol mol

“... a quantidade de substância de um sistema que contém tantas

entidades elementares quanto são os átomos em 0,012 quilogramas

de carbono 12.” (1971)

intensidade luminosa

candela cd

“... a intensidade luminosa, na direção perpendicular, de uma

superfície de 1/600.000 metros quadrados, de um corpo negro na

temperatura de solidificação da platina, sob a pressão de 101,325

newtons por metro quadrado.” (1967)

Os principais sistemas LMT são MKS(SI), CGS e o Ingles FPS. As unidades fundamentais

estão relacionadas na tabela que se segue:

Sistema Unidades Fundamentais

L M T

MKS(SI) metro (m) quilograma (kg) segundo (s)

CGS centímetro (cm) Grama (g) segundo (s)

FPS Foot (pé) (ft) Pound(libra) (pd ou lb) segundo (s)

Os principais sistemas LFT são MKS* (técnico) ou FPS* (técnico)

Sistema Unidades Fundamentais

L F T

MKS* metro (m) Quilograma força

(kgf) segundo (s)

FPS* Foot(pé) (ft) Libra força

(lbf) segundo (s)

OBS: a) O quilograma força é definido como a força que, aplicada a um corpo de massa de 1

kg, produz uma aceleração de 9,81 m/s2.

Então: 1 kgf = 9,81 N

b) A unidade de massa no MKS* é chamada utm ( unidade técnica de massa)

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c) A unidade de massa no FPS* é slug. O slug se define como a massa que se desloca a uma

aceleração de 1 ft/s² quando se exerce uma força de uma Libra força sobre ela.

Tabela de Análise dimensional

Grandeza Símbolo

Dimensões

LMT

Dimensões

LFT

Unidades (SI)

Comprimento (distância) s L L

metrom

Massa m M ramalogquikg

Tempo (intervalo) t T

segundos

Área (superfície) SA 2L 2L

2m

Volume V 3L 3L

3m

Velocidade v 1LT 1LT

s/m

Aceleração a 2LT 2LT

2s/m

Velocidade angular (freqüência) 1T 1T

s/rad

Aceleração angular 2T 2T

2s/rad

Massa específica (densidade) ML 3

24FTL

3mkg

Quantidade de movimento p 1LMT FT smkg

Elongação (mola) d L L m

Raio (círculo, esfera) r L L m

Comprimento de onda L L m

Força F 2LMT F newtonsmkgN 2

Energia total E 22 MTL LF joulesmkgJ 22

Energia cinética K 22 MTL LF 22 smkgJ

Energia potencial (interna) U 22 MTL LF 22 smkgJ

Trabalho W 22 MTL LF 22 smkgJ

Potência P 32 MTL 1LFT

wattsmkgW 32

Pressão p 21 MTL FL 2

pascalmNP 2

pascalsmkgP 2

Aceleração gravitacional (Campo) g 2LT 2LT

2s/mkgN

Calor Q 22 MTL LF 22 smkgJ

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Torque (momento de uma força) 22 MTL LF 22 smkgmN

Freqüência f 1T 1T

s/ciclos

Entropia S 22 MTL - KsmkgKJ 22

Potencial gravitacional V 22 TL - 22 s/mkgJ

Período T T - s

Momento de inércia I ML2

- 2mkg

Diferença de potencial elétrico V 122 QMTL

- voltsCmkgV 22

Força eletromotriz 122 QMTL

- 22 sCmkgV

Carga Elétrica q Q - coulombC

Temperatura (diferença) q - - kelvinK

Ângulo (deslocamento angular) - - radianorad

Unidades derivadas.

Como foi visto anteriormente, em toda a mecânica são necessárias somente três

grandezas físicas fundamentais, a distância, o tempo e a massa. Logo, são necessárias somente

três unidades fundamentais, o metro o segundo e o quilograma. Todas as demais unidades de

grandezas físicas utilizadas na mecânica são derivadas destas três. Por exemplo, a unidade de

velocidade no SI é o metro por segundo (m/s). A força, que tem nome e símbolo próprios no

SI, tem unidade de kg m/s2.

Para se determinar qual a unidade de uma determinada grandeza derivada, é necessário

conhecer a "fórmula" para o cálculo desta grandeza. Para tanto trabalha-se com as dimensões

das grandezas físicas conforme visto na análise dimensional.

Há outros sistemas de unidades ainda adotados oficialmente em alguns países que

podem parecer bastante estranhos para nós. O Sistema Britânico, por exemplo, tem algumas

peculiaridades muito interessantes, como: 12 polegadas equivalem a um pé e 3 pés equivalem a

1 jarda. Ou ainda, 14 onças equivalem a 1 libra e 32 libras a uma pedra....

Tabela : Alguns fatores de conversão de unidades

1 polegada 25,4 mm

1 pé 304,8 mm

1 jarda 0,9144 m

1 milha 1,609 km

1 ano-luz 9,461 x 1015

km

1 hora 3.600s

1 ano 3,156 x 107 s

1 tonelada 1.000 kg

1 libra peso 0,4535 kg

1 unidade de massa atômica 1,66 x 10 27

kg

1 onça 32,4 g

15

1 milha 1,609 km

l milha/hora 1,609 km/h

1 pé/segundo 0,3048 m/s

1 caloria 4,184 J

1 eV (elétron-Volt) 1,602 x 10-19

J

1 BTU (British Thermal Unit) 1054 J

1 HP 746 W

Mesmo no Brasil, são utilizadas não oficialmente algumas unidades que não pertencem

ao SI, como verificado. No entanto, sempre é possível converter de uma unidade não-SI para

uma unidade SI desde que se conheça o fator de conversão.

Exemplo 1: Sabendo-se que uma milha equivale a 1.609 m, então, 4,5 milhas equivalem a

7.240,5 m, ou ainda, a 7,2405 km.

Exemplo 2: Usando o fator de conversão do exemplo anterior, 100 km equivalem

aproximadamente a 62,15 milhas.

Notação científica

Para facilitar a expressão de medições que sejam múltiplos muito grandes ou frações

muito pequenas das grandezas fundamentais do SI, é utilizada a notação científica. Nesta

notação, qualquer número é escrito como o produto de um número entre 1 e 10 e uma

potência apropriada de 10.

Exemplo l : 25000 = 2,5 x 104 onde:

• 2,5 é chamado de coeficiente e deve possuir somente um algarismo à esquerda da

vírgula, sendo que este algarismo deve ser diferente de zero.

• 104 é chamada de ordem de grandeza, e deve ser uma potência inteira de dez.

Exemplo 2: a massa do elétron é aproximadamente 0,00000000000000000000000000000091

kg, ou, em notação científica, 9,1x10-31

kg, ou ainda, a velocidade da luz no vácuo é

aproximadamente 300.000.000 m/s, ou, em notação científica, 3x 108 m/s.

Exemplo 3:

A = 30,050 = 3,0050 x 101 (5 significativos)

B = 0,0070 = 7,0 x 10 -3

(2 significativos)

C = 10204,57 = 1,020457x 104 (7 significativos)

D = 0,000050 10 = 5,010x 10-5

(4 significativos)

E = 1,540 (4 significativos)

Além das unidades do SI, como o metro, quilograma e segundo, também se pode usar

“outras” unidades, como o milímetro e nanosegundo onde o prefixo mili e nano significam várias

potências de dez. Alguns prefixos são freqüentemente utilizados para expressarem potências de

16

dez, por exemplo: 10-3

m, é equivalente a 1 milímetro (mm) e, 103 m corresponde a 1 quilômetro

(km). Igualmente, 1 kg é 103 gramas (g) e 1 megavolt (MV) é 10

6 volts (V).

Tabela de Prefixos do SI (notação de Engenharia)

Potência Prefixo Símbolo

1024

iota Y

1021

zeta Z

1018

exa E

1015

peta P

1012

tera T

109 giga G

106 mega M

103 quilo k

102 hecto h

101 deca da

100 = 1 -- --

10-1

deci d

10-2

centi c

10-3

mili m

10-6

micro µ

10-9

nano n

10-12

pico p

10-15

femto f

10-18

ato a

10-21

zepto z

10-24

iocto y

Equivalência das Unidades

1km = 1.000m

1m = 10dm = 10cm = 1.000mm

Transformação de unidades

Quando é necessário transformar uma unidade em outra, deve-se dividir esta pela unidade que

deve desaparecer e multiplicar pelo valor correspondente daquela que irá substituir a primeira, ou

seja , se uma unidade K vale a uma unidades P , isto é, PaK , e b unidades K devem ser

transformados para a unidade P , então procede-se como segue:

PabPabK

PaKbKb

Exemplo: Um veículo está a hkm60 , qual é sua velocidade no Sistema Internacional, S.I.?

sm,sms

m

s

h

km

m

h

km

h

kmv 22

33

10671106

1

3600

1060

3600

106060 .

17

Exercício: Uma caixa com volume de 330 cm , contém uma massa de g120 qual é a densidade

correspondente no Sistema Internacional, S.I.?

333

336

33

32

3

33104

10

4

10

104

1

10

10

14

30

120mkgmkg

m

kg

gr

kg

m

cm

cm

gr

cm

gr

.

Exercício: Uma roda gira a rpm1200 qual é a velocidade angular correspondente no Sistema

Internacional, S.I.?

srads

rad

s

min

rotação

rad

min

rotaçõesrpm

40

60

21200

60

1

1

212001200 .

Exercício: O submarino ALVIN está mergulhando com velocidade de 36,5 braças por minuto.

a - Sabendo que pésftbraçafath 61 e ftfeet,m 2831 , expresse esta velocidade no

sistema internacional S.I.

solução:

b - Sabendo que pésftmimilha 52801 , expresse esta velocidade em milhas por hora, isto é,

em nós.

solução:

Exercício: Quantos centímetros quadrados tem uma área de 206 km, ?

solução:

Exercícios

1. Qual a dimensão do cosseno de um ângulo? Por que? (R: 1)

2. A dimensão do rendimento total

útil

Pot

Pot , é zero ou um? Por quê? (R: 1)

3. 0 coeficiente da viscosidade de líquidos é dado pela fórmula:

v

dgr V2

9

2

onde r é o raio de um tubo, g a aceleração da gravidade, dV a densidades e v é uma velocidade.

Determine a dimensão. (R: L-1

MT-1

)

sm,ft,

m

braça

ft

s

min

min

braça,

min

braças, 111

1283

1

1

16

60

1

1

1536536

nós,ft,

mi

braça

ft

h

min

min

braça,

min

braças, 492

1283

1

1

16

1

160

1

1536536

2102 10061

100

1

100

1

1000

1

1000606 cm,

m

cm

m

cm

km

m

km

mkmkmkm,

18

4.Verificar se a equação abaixo é homogênea: (R: não homogênea)

(energia potencial)2. (velocidade) = (força) (Pressão)

2

5. Verifique a homogeneidade das equações: 2/13 WVBL onde L = comprimento, B = área da

base, W = trabalho e V = volume (R: não homognenea)

6. A lei da gravitação universal prevê que a força de atração entre os corpos é dada pela fórmula:

2

'.

r

mmGF Determinar a dimensão LMT e LFT da constante G. (R: L

3M

-1T

-2, L

4F

-1T

-4)

7. Qual a dimensão de B para que valha lha a relação: daEBv ..2 , onde v = velocidade, E =

energia, a= aceleração e d= densidade volumétrica. (R: L2MT

-1)

8. A fórmula que relaciona o trabalho W com a massa m, a aceleração da gravidade e uma certa

grandeza G é:

W = m.g.G

Determine a dimensão da grandeza G. (R: L)

9. Determine as dimensões das constantes C1 e C2 nas seguintes expressões, sabendo que as

variáveis x, t, e v representam a distância, o tempo e a velocidade, respectivamente:

(a) tCCx 21 (R: C1=L e C2 = LT-1

) (b) 21

2

1tCx (R: C1 = LT

-2)

(b) (c) xCv 12 2 (R: C1= LT

-2) (d) tC

eCv 2

1

(R: C1=LT-1

e C2 = T)

10. Na análise de determinados movimentos, é bastante razoável supor que a força de atrito com

o ar seja proporcional ao quadrado da velocidade da partícula que se move analiticamente.

Determine a unidade da constante k no Sistema Internacional (SI). 2kvf . (R: kg/m)

11. Determine as dimensões das constantes C existentes nas expressões abaixo para que as

mesmas sejam homogêneas. Considere como v-velocidade, x – deslocamento e a – aceleração.

a) v = C1.x + C2.t

b) x = C3. cos(C4.t + C5)

c) a = C6. exp(C7.t)

12. Usando os prefixos, expresse as unidades:

a) 106 N = ____________________ b) 10

-6 J = ____________________

c) 10-9

m = ___________________ d) 10-2

Pa = ___________________

e) 102 erg = __________________ f) 10

-3 W = ______________________

g) 103 J = _____________________ h) 10

-1 Pa = _____________________

13.Calcule o número de quilômetros que existem em 20 milhas, usando apenas os seguintes

fatores de conversão: 1 milha = 5820pés, 1 pé = 12 polegadas, polegada = 2,54 cm , 1 m= 100

cm e 1 km = 1000m.

19

14. Uma sala mede 20 pés e 2 polegadas de comprimento e 12 pés e 5 polegadas de largura.

Qual é a sua área em (a) pés quadrados e (b) em metros quadrados? Se o teto está a 12 pés e 2,5

polegadas acima do assoalho, qual é o volume desta sala em (c) pés cúbicos e (d) metros

cúbicos?

15. Uma certa tinta para pintar paredes garante uma cobertura de 460 pés2/gal. Expresse esta

quantidade em metros quadrados por litro. (b) Expresse esta quantidade em unidades

fundamentais do SI.