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1ª Aula – Modelagem de sistemas e terminologia

Modelagem

“Todos os modelos estão errados, mas alguns são úteis”.

(frase freqüentemente atribuída ao estatístico George P. E. Box)

Modelar é representar um sistema físico real, ou parte dele, em uma forma física ou

simbólica (matemática), preparada de forma conveniente para predizer ou descrever o seu

comportamento. Dos tipos de modelo (icônico, diagramático ou matemático), um dos que tem

maior aplicação na engenharia e em muitas outras áreas do conhecimento humano é o

matemático.

Figura 1 – exemplo de modelo icônico

Figura 2 – exemplos de modelos diagramáticos

2

Um modelo matemático é uma idealização, onde são utilizadas técnicas de construção

lógica, não necessariamente naturais e certamente incompletas. Os fenômenos reais e as

variáveis do problema são descritos por elementos idealizados que representam apenas as suas

características essenciais, através de relações matemáticas. Um modelo matemático é sempre

uma simplificação da realidade, e, em conseqüência, não oferecem garantia de resultados

precisos.

Ao se desenvolver um modelo matemático, é necessário decidir (ou avaliar) qual o grau

de realismo necessário para o modelo, tendo em vista que, em geral, aumentar a fidelidade de um

modelo significa aumentar a sua complexidade e as dificuldades na sua dedução e resolução

numérica.

Um modelo matemático pode ter muitas formas, como um sistema de equações lineares,

uma equação diferencial ou alguma outra expressão matemática. Uma característica importante

de um modelo matemático é proporcionar um meio eficiente de previsão em uma linguagem

concisa e universal de comunicação.

Dentro deste contexto, o interesse em equações diferenciais está na grande variedade de

problemas que podem ser modelados através deste tipo de equação, nas mais diversas áreas do

conhecimento, incluindo engenharias, física, ciências biológicas e sociais.

A tradução do problema ou situação “real” em termos matemáticos (ou seja, a

modelagem) é feita a partir de hipóteses sobre o que está acontecendo, que pareçam ser

consistentes com o fenômeno observado. Por exemplo, é possível observar a relação

proporcional entre a taxa de decaimento de materiais radioativos e a quantidade de material

presente, ou entre a taxa de transferência do calor de um corpo mais quente para um corpo mais

frio e a diferença de temperatura entre eles, ou entre a taxa de crescimento de uma população

isolada de insetos e a população atual destes insetos. Todas estas afirmações envolvem a idéia de

taxa de variação, ou seja, a derivada de uma variável em relação ao tempo. Em conseqüência,

quando são expressas matematicamente, tomam a forma de uma equação diferencial, como será

visto mais adiante.

É importante ter em mente que as equações matemáticas são, em geral (no que diz

respeito à engenharia, pode-se dizer sempre) apenas uma simplificação ou descrição aproximada

da realidade. Isso ocorre por que as equações são baseadas em observações, e não é possível

garantir que, com estas observações, se consiga identificar todas as variáveis que governam o

processo e o exato comportamento de todas essas variáveis.

Um exemplo muito ilustrativo deste fato é a mecânica clássica de Newton, que durante

250 anos, acreditou-se descrever exatamente o movimento dos corpos, até se descobrir que, em

3

situações pouco usuais (como em velocidades próximas à da luz), as leis de Newton não valem.

Outro exemplo diz respeito à taxa de crescimento da população de insetos, que não será

indefinidamente como no enunciado em função de limitações, por exemplo, de alimento.

Além disso, o processo de formulação matemática de um problema real envolve, muitas

vezes, tratar um processo discreto como se fosse contínuo. O exemplo da população de insetos

serva também para ilustrar esta questão. O número de membros de uma população muda por

quantidades discretas (1 a 1), e, para formular o problema na forma diferencial, deve-se assumir

que a população é uma variável contínua (é importante lembrar que só se pode definir a derivada

de uma função contínua). Se, entretanto, a população de insetos for suficientemente grande,

tratar o crescimento da população de insetos como uma função contínua pode ser considerada

uma aproximação muito razoável.

A próxima dificuldade em relação ao uso dos modelos matemáticos está em, uma vez

obtido um modelo, resolver as equações e encontrar uma solução para o modelo. Como será

visto, no caso de modelos baseados em equações diferenciais, é comum ser impossível, com as

ferramentas matemáticas atuais, encontrar a solução da equação. Nestes casos, o que se pode

fazer é tentar conhecer o máximo possível as propriedades da solução, ou tentar realizar

simplificações e aproximações adicionais a fim de viabilizar a solução do problema matemático.

Exemplos de aproximações são linearizar uma equação não linear, ou aproximar uma

função que varia lentamente por seu valor médio (uma constante). Porém, sempre que se faz uma

aproximação deste tipo, é necessário verificar se o problema matemático resultante ainda reflete

adequadamente o problema real em questão, ou para que circunstâncias o modelo simplificado

continua válido. Quanto maior o conhecimento a respeito do comportamento do fenômeno que

se quer modelar, mais segurança se tem na realização das simplificações.

Finalmente, todas as informações obtidas com o modelo, com a sua solução ou, pelo

menos, com as informações fornecidas pelo modelo sobre o comportamento da solução, devem

ser interpretadas dentro do contexto no qual o problema surgiu. Primeiramente, é necessário

verificar se a solução matemática parece fisicamente razoável. Isso exige, entre outras coisas,

que a solução exista, seja única e depende de maneira contínua dos dados do problema.

Esta última observação está relacionada com o fato de os modelos matemáticos, em geral,

utilizarem coeficientes e condições iniciais que são obtidas experimentalmente, e, por tanto,

estão sujeitos a incertezas e erros experimentais. Se estas pequenas diferenças nas características

do modelo resultarem em grandes variações na solução do problema matemático (característica

das descontinuidades), que não são observáveis no sistema real, então o modelo deve ser revisto.

O fato de a solução parecer razoável não garante, porém, que ela descreve corretamente o

4

fenômeno observado. A única forma de verificar um modelo é através da comparação de seus

resultados com os dados experimentais e observações do fenômeno modelado.

Em resumo, o processo de criação de um modelo matemático envolve, de maneira geral,

as seguintes etapas:

1. definição do fenômeno ou comportamento que se quer modelar (variável dependente).

2. identificação das variáveis independentes que governam o fenômeno em questão.

3. descrição matemática do comportamento das variáveis e das relações entre as

variáveis em questão.

4. solução o modelo, tratando-o com métodos matemáticos.

5. verificação da consistência da solução oferecida pelo modelo

Um exemplo interessante de criação de um modelo matemático é uma equação

desenvolvida para descrever o comportamento de epidemias. Parte-se da idéia de uma

comunidade com n membros, dos quais p indivíduos estão infectados e q indivíduos não estão

infectados, porém estão susceptíveis, e p + q = n. É mais interessante, porém, trabalhar com a

proporção de indivíduos sãos e infectados do que com os números totais. Assim, define-se x =

p/n e y = q/n, de forma que x + y = 1. Se n é grande, é razoável supor que x e y são variáveis

contínuas. Desta forma, a taxa com a qual a doença se expande é dx/dt. Pode-se fazer a hipótese

de que a doença se espalha pelo contato entre membros sãos e doentes, e assim dx/dt será

proporcional ao número de contatos. Se os dois grupos movem-se livremente, o número de

contatos será proporcional ao produto de x e y. Chega-se então, à equação

xydtdx

β=

que pode ser reescrita, tendo em conta que x + y = 1, resultando

1 ( )xxdtdx

−= 1β (1)

onde β é um fator positivo de proporcionalidade. Para resolver o problema da epidemia, é

necessário saber, em um determinado instante, quantas pessoas já estão infectadas

x(t0) = x0

onde x0 é a proporção de indivíduos infectados no instante t0. Este modelo matemático é

conhecido como problema de valor inicial, e a equação 1 é a equação diferencial que pretende

descrever o comportamento do fenômeno. O objetivo do modelo é fornecer uma previsão da

proporção x de indivíduos de uma população que estarão infectados, em uma epidemia, em

algum instante t no futuro.

Construído o modelo, é necessário avaliar a sua validade. Uma análise simples mostra

algumas inconsistências nos pressupostos do modelo. Em primeiro lugar, se a doença é séria,

5

ocorrerá naturalmente uma quarentena, em função dos indivíduos infectados estarem

incapacitados de realizar as suas atividades. Existe também a possibilidade das autoridades de

saúde forçarem uma quarentena adicional. Estas duas possibilidades limitam a validade do

pressuposto de livre circulação dos indivíduos. Além disso, o modelo pressupõe que os

indivíduos infectados permaneçam assim indefinidamente. Todos os fatores citados tendem a

tornar a propagação da doença mais lenta do que o previsto pelo modelo.

Notação e terminologia

a. Representação de derivadas

Utiliza-se normalmente os símbolos y’, y”, y’” , y(4), ..., y(n) para representar as derivadas

de ordem, respectivamente, primeira, segunda terceira, quarta, ..., enésima de y em relação à

variável independente. Se a variável independente for x, ou seja, y = f(x), então y” representa

( )2

2

''dx

tudy =

O uso de parênteses para representar as derivadas de ordem acima de três (por exemplo,

y(4)), tem o objetivo de diferenciar a notação de derivada da notação de potência (y4). Quando a

variável independente é o tempo t, ou seja, y = f(t), então a notação mais usual é y& , y&& e y&&& , de

maneira que

( ) ( ) ( )3

3

2

2

dttudy

dttudy

dttduy === &&&&&&

Quando a função tem mais de uma variável independente, é necessário utilizar a derivada

parcial. Neste caso a notação para as derivadas de u=f(x,z) é:

( ) ( )

( ) ( )2

2

2

2

,,

,,

zzxfu

zzxfu

xzxfu

xzxfu

zzz

xxx

∂∂

=∂

∂=

∂∂

=∂

∂=

b. Domínio

O conjunto de todos os grupos de valores (xi,zi) possíveis para as variáveis independentes,

para as quais a função u (variável dependente) é definida, denomina-se domínio da função

u=f(x,z). Por exemplo, o domínio da função

xu =

no conjunto dos números reais é [0,∝).

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c. Problemas de valor inicial e problemas valores de contorno

Será visto mais adiante que o resultado de uma equação diferencial aparece na forma de

uma família de funções. A solução do problema associado à equação em questão será uma

função específica daquela família de funções, que será definida a partir de informações extras a

respeito do problema. O tipo de informação apresentada definira o problema como de valor

inicial ou de valores de contorno.

Um problema de valor inicial caracteriza-se pelas informações extras se referirem a um

único ponto da variável independente. Estas informações são chamadas de condições iniciais.

Em problemas de condições de contorno, as informações extras se referem a mais de um ponto

da variável independente. Neste caso, as informações extras são chamadas de condições de

contorno.

Seguem algumas derivadas e integrais que serão úteis na disciplina. Outras relações

podem ser retiradas de tabelas

Polinômios

( )( ) ( )

( )

=

==⇒= −

23

0

1

3

0

cxcxdxd

cdxdcx

dxd

ncxcxdxd nn

Trigonométricas

−=

=⇒

−=

=

22 2sin22cos

cossin

sincos

cossin

xxxdxd

ttdtd

dxduuu

dxd

dxduuu

dxd ωωω

=

=⇒

=

=

22 2sinh22cosh

coshsinh

sinhcosh

coshsinh

xxxdxd

ttdtd

dxduuu

dxd

dxduuu

dxd ωωω

Exponenciais

dxdu

uu

dxd

dxdu

ueu

dxd a

a1lnloglog =⇒=

dxduee

dxd

dxduaaa

dxd uuuu =⇒= ln

Regra da cadeia

dxdu

dudy

dxdy

=

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Outras relações úteis

( )dxduv

dxdvuuv

dxd

+=

( )dxdwuvw

dxdvuvw

dxduuvw

dxd

++=

Integrais

( )∫ += caxdxxa

( ) ( )∫∫ = dxxfadxxaf

( ) ...... ±±±=±±± ∫∫∫∫ wdxvdxudxdxwvu

∫∫ −= vduuvudv

∫ += cedue uu

1,1

1

−≠++

=+

∫ ncnuduu

nn

00,ln11 <>== ∫∫ − uouuuduu

duu

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2ª Aula – Equações diferenciais: definição, classificação, definição de solução, tipos de solução.

1. Definição

Muitos problemas importantes na engenharia, nas ciências físicas e nas ciências sociais,

quando formulados matematicamente, requerem a determinação de uma função que satisfaça

uma equação que contem as derivadas da função incógnita. Estas equações são denominadas

equações diferenciais. A lei de Newton é um exemplo muito familiar:

2 ( ) ( ) ( )

=

dttdututF

dttudm ,,2

2

(2)

Esta equação permite encontrar a posição u em função do tempo t (ou seja, u(t)) de uma

partícula sobre a qual atua a força F, que varia com o tempo t, a posição u(t) e a velocidade da

partícula du(t)/dt. O movimento de uma partícula sob a ação da força F é descrito por uma

função u(t) que satisfaça a equação acima.

2. Classificação

Existem vários tipos de equações diferenciais, que são classificadas de várias formas

segundo suas características. Esta classificação é útil para que se possa, por exemplo, identificar

que método de solução é valido para uma determinada equação diferencial. A primeira

classificação é relativa ao número de variáveis independentes da função incógnita: Se ela tiver

apenas uma variável independente (como u(t)), tem-se uma equação diferencial ordinária

(EDO). Caso a função incógnita tenha mais de uma variável independente (como u(x, y, z, t)), as

derivadas serão parciais e a equação é chamada de equação diferencial parcial (EDP). Existem

muitos exemplos de equações diferenciais ordinárias utilizadas nas diversas áreas da engenharia.

Alguns deles são:

3

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )tFtKxdt

tdxCdt

txdM

tEtQCdt

tdQRdt

tQdL

=++

=++

2

2 1

(3)

A primeira equação acima permite encontrar a função Q(t) que descreve como varia a

carga Q de um condensador em função do tempo t, em um circuito elétrico com indutância L,

resistência R e capacitância C, sobre o qual se impõe uma tensão elétrica E(t). Esta equação é

análoga à equação de equilíbrio, que permite encontrar a posição x(t) de um sistema mecânico

com massa M, amortecimento C e rigidez K, ao qual se impõe uma força F(t).

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Outro exemplo de equação diferencial ordinária é a que governa o decaimento com o

tempo de uma quantidade R(t) de uma substância radioativa (k é uma constante conhecida):

4 ( ) ( )tkRdt

tdR= (4)

Alguns exemplos de equações diferenciais parciais são a equação de potencial

5 ( ) ( ) 0,,2

2

2

2

=∂

∂+

∂∂

yyxu

xyxu (5)

A equação de difusão ou de calor

6 ( ) ( )t

txux

txu∂

∂=

∂∂ ,,

2

22α (6)

e a equação da onda elástica

7 ( ) ( )2

2

2

22 ,,

ttxu

xtxua

∂∂

=∂

∂ (7)

Onde α e a são constantes determinadas.

A segunda classificação aplicada às equações diferenciais e a sua ordem, definida pela

derivada de maior ordem contida na equação diferencial. A equação 4 é uma equação diferencial

ordinária de primeira ordem (EDO1). As equações 2 e 3 são equações diferenciais ordinárias de

segunda ordem (EDO2), e as equações 5, 6 e 7 são equações diferenciais parciais de segunda

ordem (EDP2).

Outra classificação importante separa as equações diferenciais ordinárias (EDO) em

lineares e não lineares. A equação diferencial

8 ( )( ) 0,...,',, =nyyyxF (8)

é linear se F é uma função linear das variáveis y, y´, ..., y(n). Desta forma, a equação diferencial

ordinária linear de ordem n tem a forma

9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgyxayxayxa nn

nn =+++ −

− 01

1 ... (9)

onde as funções ai(x) são conhecidas e dependem apenas da variável x. As equações 3 e 4 são

EDO lineares, respectivamente, de segunda e primeira ordem. Por exemplo, a equação

35 += xdxdy

é linear, sendo a1 = 1, a0 = 0 e g(x) = 5x+3.

Uma equação que não pode ser expressa desta forma é não linear. A equação 4'''2''' xyyyey x =++

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não é linear, em virtude do termo yy’. Um exemplo simples de um fenômeno físico descrito por

uma equação diferencial não linear é um pêndulo. A equação que descreve o θ em função do

tempo que um pêndulo oscilante com comprimento l forma com a vertical é

0sin2

2

=+ θθ

lg

dtd

O seno impede que a função seja colocada na forma apresentada na equação 9. As

técnicas de solução de equações diferenciais lineares estão bem desenvolvidas, porém o mesmo

não se aplica às ED não lineares. As técnicas de solução para equações diferenciais não lineares

são muito restritas e bastante complexas. Uma forma de tratar os problemas não lineares é, se

possível, fazer uma aproximação e “linearizar” a equação. Para pequenos ângulos, pode-ser dizer

que sen θ ≅ θ, e assim é possível aproximar a equação do pêndulo oscilante para a equação linear

02

2

=+ θθ

lg

dtd

Alguns problemas, porém, não podem ser linearizados. Um exemplo importante é o do

fluxo de corrente num tubo de elétrons. Algumas técnicas para solucionar este tipo de equação

serão vistas mais adiante.

3. Definição de solução de equações diferenciais e tipos de solução

A solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x,

em um intervalo ζ, é uma função y(x) que verifica identicamente a equação para todo o x no

intervalo definido.

Algumas equações diferenciais admitem infinitas soluções (família de soluções),

enquanto outras não têm solução. Um exemplo facilmente verificável de uma equação

diferencial que não tem solução é

( ) 1" 24 −=+ yy

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Como todos os termos do lado esquerdo da equação são uma soma de potências pares,

não existe uma função real y(x) que resulte em um número negativo. Logo, a equação proposta

não tem solução.

Falou-se, na primeira aula, que um modelo matemático de um sistema físico real (SFR),

entre eles os baseados em equações diferenciais, deve ter uma única solução. Embora uma

equação diferencial possa admitir infinitas soluções, um modelo de um sistema físico real, para

estar completamente definido, deverá ser um problema de valor inicial ou um problema de

condições de contorno. Para tanto, é necessário que se defina a equação diferencial que rege o

SFR e as condições iniciais (ou as condições de contorno) para as quais se deseja conhecer a

resposta do modelo. O problema de valor inicial ou de condições de contorno deve ter uma única

solução. A solução da equação 0' =+ayy é ( ) axcexy −= , onde c é uma constante que pode ter

qualquer valor. Quando se impõe uma condição do tipo

y(0) = 2

fica definido um problema de valor inicial, o qual tem uma única solução

10 ( ) axexy −= 2 (10)

Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer uma de suas soluções. A

solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as suas soluções. A solução de um

problema de valor inicial (ou de condições de contorno) é uma solução particular da equação

diferencial.

Uma solução colocada na forma y=φ(x), com a apresentada na equação 10, é chamada de

explícita. Muitas vezes, porém, especialmente no caso de equações não lineares, não é possível

(ou não é conveniente) colocar a solução desta forma. Neste casos, a solução aparece na forma

implícita

11 ( )[ ] 0, =xx φψ (11)

Por exemplo, a solução da equação não linear yxy −=' é

222 cyx =+

A solução assim colocada está na forma implícita.

Muitas equações diferenciais não podem ser solucionadas analiticamente, seja pela

complexidade da equação, seja pela impossibilidade de se definir matematicamente as condições

de contorno. Uma forma de abordar este tipo de problema é utilizar métodos numéricos para

encontrar a solução da equação diferencial em um conjunto finito de pontos do seu domínio. Este

tipo de solução é chamado de solução numérica, e será abordado mais adiante.

12

3ª Aula – Equações diferenciais de primeira ordem separáveis

As equações diferenciais de primeira ordem têm a forma:

12 ( )yxfy ,'= (12)

onde f é uma função de duas variáveis x e y. Qualquer função y=φ(x), que, juntamente com sua

derivada y’ satisfaça a equação anterior será uma solução da equação diferencial. O objetivo aqui

é determinar se estas funções existem e de que forma podem ser encontradas.

O exemplo mais simples de equação diferencial de primeira ordem ocorre quando f

depende apenas de x, ou seja:

( )xfy ='

O que se está procurando é uma função y=φ(x) cuja derivada seja a função dada. Assim, a

função φ(x) é uma antiderivada (ou integral) de f(x):

( ) ( ) cdttfxyx

+== ∫φ

onde c é uma constante arbitrária. Por exemplo:

( ) cxxyxy +−==⇒= 2cos212sin' φ

Duas características das equações diferenciais de primeira ordem são evidenciadas com

este exemplo: (1) é necessário um único processo de integração para eliminar a derivada de y e

obter o próprio y, e (2) o processo de integração leva a uma expressão para a solução que

envolve uma constante arbitrária (c).

Este exemplo simples de equação diferencial tem uma solução simples e direta, porém

isso não se aplica a todas as equações diferenciais de primeira ordem. Na verdade, não existe um

método geral para encontrar soluções para todas as equações do tipo ( )yxfy ,'= .

A importância da questão da existência e unicidade de um problema de valor inicial já foi

apresentada anteriormente. Quando um problema de valor inicial (a equação diferencial junto

com as condições iniciais) representa um modelo de fenômeno real, é fundamental que a solução

deste problema existe e, além disso, ela seja única. O seguinte teorema estabelece as condições

nas quais um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem

terá sempre uma e somente uma solução

Teorema 1: Se as funções p e g são contínuas num intervalo aberto α < x < β contendo o

ponto x=x0, então existe uma única função y=φ(x) que satisfaz a equação diferencial

( ) ( )xgyxpy =+'

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para α<x<β, e que também satisfaz a condição inicial y(x0)=y0, onde y0 é um valor inicial

arbitrário prefixado. A prova deste teorema pode ser encontrada em livros de equações

diferenciais, e não será apresentada neste texto.

É importante lembrar que este teorema vale apenas para equações diferenciais de

primeira ordem lineares. O caso mais geral de problemas de valor inicial, que envolvem também

as equações diferenciais de primeira ordem não lineares, também tem um teorema que garante

em que condições a solução existirá e será única.

Teorema 2: Sejam as funções f e yf ∂∂ / contínuas em algum retângulo α<x<β, γ<y<δ,

contendo o ponto (x0, y0). Então, em algum intervalo x0-h< x <x0+h, contido em α<x<β, existe

uma solução única y=φ(x) do problema de valor inicial y’=f(x,y), y(x0)=y0. Estas condições são

suficientes para garantir a existência de uma solução única para este problema, mas o valor de h

pode ser difícil de determinar. Além disso, mesmo que f não satisfaça as condições acima, ainda

é possível que exista uma solução única.

A representação ( )yxfy ,'= é chamada de forma normal de representação de uma

equação diferencial. Uma outra maneira de representar esta equação é na sua forma diferencial

13 ( ) ( ) 0,, =+dxdyyxNyxM (13)

Sempre é possível fazer isso, fazendo M(x,y) = -f(x,y) e N(x,y) = 1 (poderão existir

também outras formas de fazê-lo). Se M for apenas uma função de x e N apenas uma função de y,

então a equação 13 fica

14 ( ) ( ) 0=+dxdyyNxM (14)

Por exemplo, a equação

2

2

1'

yx

dxdyy

+==

pode ser escrita

( ) 012 =++−dxdyyx

Uma equação que possa ser escrita na forma 14 é dita ser separável, e a razão para esta

denominação fica clara quando ela é reescrita na forma

15 ( ) ( )dyyNdxxM −= (15)

Uma equação diferencial com esta forma pode ser resolvida da seguinte forma. Sejam

duas funções H1(x) e H2(y) tais que

14

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yNdy

ydHyHxMdx

xdHxH ==== 22

11 ''

A equação 14 pode ser então reescrita

16 ( ) ( ) 0'' 21 =+dxdyyHxH (16)

Se y=φ(x), pela regra da cadeia, tem-se que o segundo termo da equação fica

( ) ( )[ ] ( )( )xHdxdyH

dxd

dxdyyH φ222' ==

Agora, se y=φ(x) for uma solução da equação diferencial 14, então a eq. 16 torna-se

( ) ( )[ ] 0' 21 =+ xHdxdxH φ

ou

17 ( ) ( )[ ]{ } 021 =+ xHxHdxd

φ (17)

Integrando a eq. 17, tem-se

18 ( ) ( )[ ] ( ) [ ] cyHxHcxHxH =+⇒=+ 2121 φ (18)

onde c é uma constante arbitrária e a equação 18 é uma solução da equação diferencial 14 na

forma implícita, onde H1 e H2 são quaisquer antiderivadas de M e N, respectivamente. Estas

antiderivadas são obtidas pela integração do primeiro termo da eq. 15 em relação a x e do

segundo membro em relação a y:

( ) ( ) cdyyNdxxM =+ ∫∫

Os passos acima justificam este procedimento. Esta é a solução para a equação

diferencial. Se for fixada uma condição inicial do tipo y(x0)=y0, o problema passa a ser um

problema de valor inicial, e a constante c será definida substituindo-se x=x0 e y=y0 na equação

18

( ) ( )0201 yHxHc +=

Se este valor de c for substituído na eq. 18, observando-se que

( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( )∫∫ =−=−y

y

x

xdttNyHyHdttMxHxH

00022011

resulta

19 ( ) ( ) 000

=+ ∫∫y

y

x

xdyyNdttM (19)

Esta equação representa a forma implícita da solução da equação diferencial 14. Em

muitos casos, colocar a solução da equação na forma explícita pode ser extremamente difícil. Em

15

conseqüência disso, em alguns casos, pode ser difícil determinar o intervalo no qual a solução

existe.

Exemplo 1 - Solucionar o problema de valor inicial

20 ( ) ( ) 10,12

243 2

−=−

++= y

yxx

dxdy (20)

Esta equação diferencial pode ser reescrita na forma

( ) ( )dyydxxx 12243 2 −=++

Integrando o primeiro termo em relação a x e o segundo em relação a y resulta

yycxxx 222 223 −=+++

Para encontrar a constante c, substitui-se y = -1 e x = 0 neste resultado de onde sai que c

= 3, e a equação fica

21 3222 232 +++=− xxxyy (21)

e esta é uma solução da equação diferencial na forma implícita. Para obter-se a solução

na forma explícita, é necessário resolver a equação 21 para y em função de x (y=φ(x)). Neste

caso, como a equação 21 é uma equação quadrática em y, isso fica fácil

( ) ( )

[ ]2

422222

3221422

32244203222

2323

23232

+++±=

++++±=

++++±=⇒=+++−−

xxxxxxy

xxxyxxxyy

22 4221 23 +++±= xxxy (22)

A eq. 22 apresenta duas soluções para a equação diferencial. Voltando as condições

iniciais, resulta que apenas uma delas pode ser solução do problema de valor inicial 20:

4221 23 +++−= xxxy

Resta, ainda, avaliar para que valores de x para os quais a solução é válida. Neste caso, é

necessário que o valor dentro do radical seja positivo. Traçando o gráfico da função, é possível

ver que isso é válido para x > -2.

Exemplo 2 - Solucionar o problema de valor inicial

221cos

yxy

dxdy

+= , y(0) = 1

Reescrevendo a equação:

xdxdyy

y cos21 2

=+

resulta que ela é separável. Integrando o lado esquerdo em relação a y e o direito em relação a x

16

( ) ( ) ( )( ) 1sinln

10sin11ln10sinln

sin21

cos21

2

22

2

+=+

=⇒+=+⇒=⇒+=+

+=

+

=+

∫

∫∫

xyyccycxyy

cxdyyy

xdxdyy

y

Não é possível colocar esta solução na forma explícita, o que dificulta a análise sobre o

domínio no qual a solução é válida.

17

4ª aula – Fatores integrantes, solução de EDO1 lineares.

Uma equação diferencial de primeira ordem que tem a forma 13, ou seja

( ) ( ) 0,, =+dxdyyxNyxM

será chamada uma equação exata se existe uma função g(x,y) tal que

( ) ( ) ( )dyyxNdxyxMdx

yxdg ,,,+=

Para que esta função g(x,y) exista, ou seja, para que a equação 13 seja exata, as funções

M(x,y) e N(x,y) devem ser funções contínuas em um retângulo (domínio) do plano xy, e devem

ser tais que

23 ( ) ( )x

yxNy

yxM∂

∂=

∂∂ ,, (23)

Se uma equação diferencial for exata, para que se encontre a sua solução, é necessário

resolver as equações

24 ( ) ),(, yxMx

yxg=

∂∂ (24)

25 ( ) ),(, yxNy

yxg=

∂∂ (25)

para g(x,y). A solução da equação 13 será dada implicitamente por

( ) Cyxg =,

onde C é uma constante arbitrária. Considere, por exemplo, a equação diferencial

26 ( ) 012 2 =++ dyxdxxy (26)

Nesta equação, M(x,y) = 2xy e N(x,y) = (1+x2). A equação é exata, pois

( ) ( ) xx

yxNy

yxM 2,,=

∂∂

=∂

∂

e, por tanto, para encontrar a sua solução, é necessário encontrar g(x,y). Pela equação 24, tem-se

( ) xyyxMx

yxg 2),(,==

∂∂

de onde tira-se que

( ) ( )

( ) ( )yhyxyxg

dxxydxx

yxgyxg

+=

=∂

∂= ∫∫

2,

2,,

É importante lembrar que h(y), que é a constante que aparece na integração é constante

em relação a x, mas não necessariamente em relação a y. Para que se determine a solução da

18

equação diferencial 26, é necessário determinar h(y). Para isso, utiliza-se a equação 25. Em

primeiro lugar, nota-se que

( ) ( )( ) ( )yhxyhyxy

yxNy

yxg '),(, 22 +=+∂∂

==∂

∂

Foi determinado no início do problema que N(x,y) = 1+x2. Por tanto, concluí-se que

( ) ( ) ( ) 122 1''1),( cyyhyhyhxxyxN +=⇒=⇒+=+=

Resulta que

( ) 12, cyyxyxg ++=

Sabe-se que a solução da equação diferencial proposta é

( ) ( )1222

12, ccccyyxccyyxcyxg −==+⇒=++⇒=

Assim

22 cyyx =+

é a solução da equação diferencial 26 na forma implícita. Ela pode ser colocada na forma

explicita em relação a y, resultando em

122

+=

xcy

É importante lembrar que o método, como colocado até agora, só permite resolver

equações diferenciais de primeira ordem (EDO1) exatas. Este é um caso muito específico, e em

geral uma equação com a forma

27 ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM (27)

não é exata (note que esta equação é exatamente igual a equação 11, porém escrita de outra

forma). Muitas vezes, porém, é possível transformá-la em uma equação exata multiplicando-a

por um fator adequado µ(x,y). Assim, se a equação

28 ( ) ( ) ( )[ ] 0,,, =+ dyyxNdxyxMyxµ (28)

é exata, então µ(x,y) é um fator integrante da equação 27. Assim, se for encontrado um fator

integrante de uma equação diferencial não exata, é possível encontrar transformá-la em uma

equação exata e encontrar a sua solução com o mesmo método apresentado para equações exatas.

A aplicabilidade deste método depende, no entanto, de se encontrar, para casos gerais, o

fator integrante da equação diferencial. Isso, infelizmente, é muito difícil, e geralmente a

identificação do fator integrante depende da habilidade do calculista. Existem tabelas com casos

conhecidos que podem ajudar.

19

Um caso em que é simples encontrar um fator integrante é quando µ é uma função apenas

de x ou de y, e não de ambas. Considerando o caso em que µ é uma função só de x, pode-se

fazer:

( )

( )dxdNNN

MM

xx

yy

µµµ

µµ

+=

=

Se µ é um fator integrante, (µM)y=(µN)x, e resulta

NNM

dxd

dxdNNM xy

xy

−=⇒+= µ

µµµµ

Se N

NM xy − for função apenas de x, então existe um fator integrante µ que depende

apenas de x, e que pode ser encontrado resolvendo a EDO1 linear

NNM

dxd xy −

= µµ

O mesmo procedimento pode ser feito para encontrar um fator integrante que depende

apenas de y.

20

5ª aula – Equações de Bernoulli e Ricatti

a. Equação de Bernoulli

E equação

( ) ( ) nyxqyxpy =+'

Sendo n um número real qualquer, é chamada equação de Bernoulli. Para n>1, a equação

é não linear. Para esta equação, pode ser feita a substituição nyz −= 1

A equação diferencial resultante será uma equação linear, e pode ser resolvida, por

exemplo, pelo método dos fatores integrantes. Por exemplo, na equação 2' xyxyy =+

tem-se n=2. Pode-se fazer, então

2121 '',1

zzy

zyyyz −==⇒== −−

Substituindo na equação diferencial, resulta

( ) 01'''22 =−+⇒−=−⇒=+− zxzxxzz

zx

zx

zz

Esta é uma equação linear, cuja solução pode ser facilmente encontrada.

Exemplo: considerar a equação

29 02' 32 =−+ yxyyx (29)

Esta é uma equação de Bernoulli, com n=3. A solução desta equação pode ser obtida com

a substituição

232

231

2

'',1

z

zyz

yyyz −==⇒== −−

Substituindo na equação, resulta

30 ( ) 0'2

12012'2

2

23

21

23

2

=−−⇒=−+− zxxzzz

x

z

zx (30)

Esta é uma equação diferencial não exata, porém é possível encontrar um fator integrante,

pelos métodos discutidos anteriormente, igual a x-6. Multiplicando a equação 30 pelo fator

integrante, ela será exata e sua solução será

cxzx=+−

−−

52

54

21

Resta ainda desfazer a substituição de variáveis e achar a solução para y:

21

41412542

2

52

52

52

−−−−

−−−−

−=⇒−=⇒=+−⇒= cxxycxxycxxyyz

Esta é a solução da equação diferencial 29 na forma explícita.

b. Equação de Ricatti

Um outro caso em que é possível fazer uma troca de variáveis para possibilitar a solução

de uma equação diferencial é a equação de Ricatti, cuja forma geral é

( ) ( ) ( ) 2' yxryxqxpy ++=

Esta EDO1 não linear pode ser resolvida fazendo

'''112 pp

p

yzzyy

zy

yyz −−=−=⇒

−=

onde yp é uma solução particular conhecida da equação diferencial.

Exemplo: considerar a equação

31 22' yyy +−−= (31)

Uma solução desta equação é y = 2 (facilmente verificável). Pode-se fazer

2

''212

1zzy

zy

yz −=−=⇒

−=

Substituindo na equação 31, resulta

4411421212'2

2

2 +++−−=

++−−−=−

zzzzzzz

( ) 0'1313'13'22 =+−⇒+=−⇒+=− zzzz

zzzz

Esta equação diferencial pode ser resolvida pelo método dos fatores integrantes, e a sua

solução é

xx

x CezCeze 33

3

31

3−+−=⇒=+

Resta ainda desfazer a troca de variáveis:

131

31

211 1

33 +

+−=⇒+−=

−⇒

−=

−−− xx

p

CeyCeyyy

z

E esta é a solução da equação diferencial

22

6ª aula – EDO lineares com coeficientes constantes de ordem superior

Equações de segunda ordem

Uma EDOII é uma equação com a seguinte forma geral

32 ( ) 0'',',, =yyyxF (32)

A teoria geral para solução de equações diferencias deste tipo é bastante complicada.

Serão discutidas a seguir a solução de alguns casos específicos, úteis em aplicações de

engenharia. Em primeiro lugar, serão feitas algumas considerações sobre o caso particular em

que é possível resolver a equação 32 para y’’, ou seja

( )',,'' yyxfy =

Para resolver esta equação, ou seja, encontrar uma y=φ(x) que satisfaça a igualdade, serão

necessárias duas integrações. Em conseqüência disso, vão aparecer duas constantes arbitrárias.

No exemplo simples

( )xgy =''

a solução é encontrara integrando a função g(x) duas vezes. Na primeira integração, resulta

( ) ( )∫∫ +==tt

dxsgcdxsgy 1'

Integrando novamente:

( ) ( ) dtdxsgxccdtdxsgcyx tx t∫ ∫∫ ∫

++=

+= 121

Em um problema de valor inicial, para que se determine o valor das constantes c1 e c2, é

necessário estabelecer duas condições iniciais, como o valor de y0 e y’0 em um ponto x0.

Considerando agora o caso particular em que a EDOII é linear, ela terá a forma

33 ( ) ( ) ( ) ( )xGyxRdxdyxQ

dxydxP =++2

2

(33)

Assumindo P, Q, R e G contínuas em α < x < β, e que P nunca se anule neste intervalo,

pode-se dividir todos os termos da equação por P(x), resultando

34 ( ) ( ) ( )xgyxqdxdyxp

dxyd

=++2

2

(34)

O teorema a seguir, que não será demonstrado, garante a existência e a unicidade da

solução desta equação.

Teorema: Se as funções p, q e g são contínuas em um intervalo aberto α < x < β, então

existe uma e somente uma função y=φ(x) que satisfaz a equação 34 em todo o intervalo α < x <

β, com as condições inicias pré-fixadas y(x0) = y0 e y’(x0) = y’0, em um ponto particular do

intervalo.

23

Exemplo

( ) ( ) 10',000" ===+ yyyy

A solução deste problema é uma função cuja segunda derivada seja igual a própria

função, porém com o sinal invertido. Exemplos de funções com este comportamento são sen(x) e

cos(x). Porém, apenas a função y = sen(x) satisfaz as condições iniciais:

( ) ( ) ( ) 10cos)0(',00sin00sinsin"

sin"cos'sin

=====−=+

−===

yyxxyy

xyxyxy

Para encontrar a solução da EDOII com a forma apresentada na equação 34, será

necessário resolver a equação homogênea correspondente

35 ( ) ( ) 02

2

=++ yxqdxdyxp

dxyd (35)

onde g(x) foi substituído por zero (0). Uma vez encontrada a solução deste problema, a solução

do problema original não homogêneo poderá ser encontrada com um método geral, que será

visto mais adiante.

Uma caso particular da equação 35, que encontra importantes aplicações em engenharia,

e cuja solução é relativamente simples, é quando os coeficientes da equação são constantes, ou

seja, o caso de uma equação diferencial com a forma

36 02

2

=++ cydxdyb

dxyda (36)

onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. É interessante notar que, como a, b e c são constantes, o

teorema da existência e unicidade estará automaticamente satisfeito para -∞< x ∞.

Por observação, pode-se prever que a solução desta equação deverá ser uma função

y=φ(x) que difira de sua primeira derivada y’ e de sua segunda derivada y” apenas por fatores

multiplicativos constantes. Um caso bem conhecido deste tipo de comportamento é a função rxey =

onde r é um valor que deverá ser determinado. Substituindo esta solução na equação 36, obtém-

se

( ) ( ) ( ) 0'" =++ rxrxrx ecebea

Observando que

( ) ( ) rxrxrxrx eredxdree

dxd 2

2

2

==

resulta

( ) ( ) ( ) ( ) 00 22 =++⇒=++ cbrareecebrear rxrxrxrx

24

Como erx não é zero, tem-se então que

37 02 =++ cbrar (37)

A equação algébrica acima é conhecida como a equação característica da equação 36.

Lembrando que a, b e c são os coeficientes da equação e r é a parte ainda desconhecida da

solução, resulta que será necessário resolver a equação 37 para r:

aacbbr

242 −±−

=

Esta fórmula levará, em geral, a dois valores de r. Em conseqüência do termo acb 42 − ,

existem três possibilidades para estes valores:

1. r1≠r2, ambos reais ( 042 >− acb ).

Neste caso, a solução da equação diferencial 36 será

38 xrxr ececy 2121 += (38)

onde c1 e c2 deverão ser determinados pelas condições iniciais do problema.

2. r1=r2(=r), real ( 042 =− acb ).

Neste caso, a solução da equação diferencial 36 será

39 rxrx xececy 21 += (39)

e c1 e c2 também serão determinados pelas condições iniciais do problema.

3. r1 ≠r2, complexos ( 042 <− acb ).

Quando 042 <− acb , os valores de r1 e r2 serão da forma λ±iµ (número complexo), e a

solução terá a forma ( )xie µλ± (exponencial complexa). As funções exponenciais complexas têm

uma relação conhecida com as funções trigonométricas seno e co-seno:

( ) ( )( ) ( )xixe

xixeix

ix

sincossincos

−=

+=−

Esta relação é conhecida como a fórmula de Euler. A partir destas relações, pode-se

demonstrar que a solução da equação diferencial, para este caso, fica:

40 xecxecy xx µµ λλ sincos 21 += (40)

Nos resultados dos três casos apresentados acima, não foram apresentadas as provas

correspondentes, que demonstram serem estas as soluções únicas da equação diferencial em cada

caso. O aluno interessado na prova deverá buscar na bibliografia adequada.

25

7ª aula – EDO lineares com coeficientes constantes de ordem superior – parte não homogênea

Neste ponto, é importante lembrar que a solução obtida nos três casos acima refere-se ao

problema homogêneo com coeficientes constantes, representado pela equação 36. Será

necessário, agora, apresentar um método para encontrar a solução geral do problema não

homogêneo correspondente

41 ( )xgcydxdyb

dxyda =++2

2

(41)

O teorema a seguir vale para este caso, e também é válido para o caso mais geral do

problema não homogêneo, em que os coeficientes não são constantes, representado pela equação

33 ou pela equação 34. Para este caso, porém, ainda não foi apresentado um método de se

encontrar a solução do problema homogêneo.

Teorema: Dada uma solução yp da equação diferencial linear não homogênea

( ) ( ) ( )xgyxqdxdyxp

dxyd

=++2

2

qualquer solução y=φ(x) desta equação pode então ser expressa como

( ) ( ) ( ) ( )xycxycxyx p 2211 ++=φ

onde y1 e y2 são soluções linearmente independentes da equação homogênea correspondente

( ) ( ) 02

2

=++ yxqdxdyxp

dxyd

A solução yp é chamada solução particular da equação diferencial não homogênea.

Voltando agora ao caso da equação com coeficientes constantes 41, para a qual já é

possível determinar a solução da equação homogênea correspondente. O método dos coeficientes

indeterminados permite encontrar a solução particular yp da equação diferencial 41, nos casos em

que o termo não homogêneo g(x) é uma função exponencial (eαx), polinomial (anxn+...+a0) ou de

caráter senoidal (sen (βx) ou cos(βx)), ou um produto em que os termos tem as formas

mencionadas acima, tal como

( ) ( )

++=xx

axaexg nn

x

ββα

sincos

... 0

Serão estudados três casos de termos não homogêneos g(x) formados por combinações

dos tipos de função citados acima. Em cada caso, a solução particular será procurada com um

determinado formato. O primeiro é o caso de um termo não homogêneo na forma de um

polinômio com grau n

( ) 01

1 ... axaxaxg nn

nn +++= −

−

26

Neste caso, a solução particular yp deve ser procurada com a forma

01

1 ... AxAxAy nn

nnp +++= −

−

e as constantes Ai devem ser determinadas substituindo a solução na equação diferencial. O

segundo caso é o de termos não homogêneos formados pela combinação

( ) ( )01

1 ... axaxaexg nn

nn

x +++= −−

α

A solução particular yp neste caso deverá ter a forma

( )01

1 ... AxAxAey nn

nn

xp +++= −

−α

e as constantes Ai devem ser procuradas substituindo-se esta solução na equação diferencial. É

útil lembrar que o coeficiente α na exponencial da solução particular yp é o mesmo do termo não

homogêneo g(x), e por tanto é conhecido (um dado do problema), e não é necessário determiná-

lo.

O terceiro tipo de termo não homogêneo estudado terá a forma

( ) ( )

+++= −

−

xou

xxaxaxaexg n

nn

nx

β

βα

cos

sin... 0

11

Para este caso, a solução particular yp deverá ter a forma

( ) ( )[ ]xeBxBxBxeAxAxAy xnn

nn

xnn

nnp ββ αα sin...cos... 0

110

11 +++++++= −

−−

−

e as constantes An e Bn são encontradas substituindo esta solução na equação diferencial. Um vez

mais, é útil observar que os coeficientes α e β que aparecem na solução particular yp são os

mesmos do termo não homogêneo e, por tanto, já são conhecidos.

Duas observações devem ser feitas neste ponto. A primeira permite ampliar os casos que

podem ser solucionados com o procedimento apresentado acima. Quando o termo não

homogêneo g(x) da equação diferencial for uma soma envolvendo os tipos de função

apresentados acima

( ) ( ) ( )xgxgxg 21 +=

onde g1(x) e g2(x) tem a forma de algum dos três casos apresentados anteriormente, de maneira

que a equação diferencial terá a forma

( ) ( )xgxgcbyay 21'" +=++

então podem ser obtidas duas soluções particulares separadamente yp1 e yp2, fazendo

( )xgcbyay 1'" =++

( )xgcbyay 2'" =++

27

e a solução particular yp da equação diferencial original será a soma das duas soluções

particulares encontradas

21 ppp yyy +=

A segunda observação permite corrigir uma falha do método que pode acontecer em

alguns casos. Se algum termo da solução particular procurada yp resultar igual a uma solução da

equação homogênea correspondente, será necessário multiplicar yp por xs, onde s = 1 ou 2 (o que

for necessário para garantir que nenhum termo da solução particular yp seja uma solução da

equação homogênea) antes de determinar os coeficientes Ai.

O quadro a seguir resume as possibilidades de formato da solução particular yp em função

da forma do termo não homogêneo da equação diferencial.

g(x) yp(x) ( ) 0

11 ... axaxaxp n

nn

nn +++= −− ( )0

11 ... AxAxAx n

nn

ns +++ −

− ( ) x

n exp α ( ) xnn

nn

s eAxAxAx α0

11 ...+++ −

−

( )

xx

exp xn β

βα

cossin

( )

( ) ]sin...cos...[

01

1

01

1

xeBxBxBxeAxAxAx

xnn

nn

xnn

nn

s

β

βα

α

+++

++++−

−

−−

28

7ª aula – Seqüências e séries

O método apresentado anteriormente para resolver equações diferenciais de segunda

ordem permite resolver apenas o caso particular de equações com coeficientes constantes.

Existem muitas aplicações importantes que exigem solucionar equações lineares de coeficientes

variáveis de segunda ordem ou de ordem ainda maior, para as quais o método apresentado não

pode ser aplicado.

Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem superior (maior do que 1) com

coeficientes variáveis não podem ser resolvidas em termos de funções elementares. Uma maneira

de encontrar a solução destas equações é supor que exista uma solução na forma de uma série

infinita e proceder de forma semelhante ao método dos coeficientes indeterminados para

determinar a solução. Dos tipos de séries infinitas existentes, a mais utilizada para solucionar as

equações diferenciais em questão são as séries de potência. Uma breve revisão deste tipo de série

será apresentada a seguir.

Uma série de potência em x - a, ou uma série de potências centrada em a, é uma série

infinita da forma

( ) ( ) ( )∑∞

=

−=+−+−+0

2210 ...

n

nn axcaxcaxcc

Um caso de grande interesse na solução de equações diferenciais é o de séries de potência

centradas em a = 0. Uma série de potências converge num ponto x se o

( )∑=

∞→−

m

n

nnm

axc0

lim

existe, ou seja, a soma converge para um número finito e bem definido. Uma série sempre

converge em x = a; ela pode convergir para qualquer valor de x ou apenas para uma certa faixa

de valores de x. O conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge é chamado de

intervalo de convergência. Toda a série de potências tem um raio de convergência. Se a série

converge apenas em x = a, o raio de convergência é R = 0. Se o raio de convergência é R > 0,

então a série converge para |x - a| < R e diverge para |x - a| > R. Uma série que converge para

todo o x tem raio de convergência R = ∞. Nos extremos do intervalo de convergência (|x - a| =

R), a série pode ou não convergir.

Dentro do seu intervalo de convergência, uma série de potências converge absolutamente,

ou seja, se a série de valores absolutos

( )∑∞

=

−0n

nn axc

converge então a série de potências

29

( )∑∞

=

−0n

nn axc

também converge. Este resultado é importante por que é utilizado em uma das formas mais

freqüentes de se determinar a convergência de uma série: o teste da razão. Supondo que cn ≠ 0

para todo o n, e que

( )( )

Lc

caxaxcaxc

n

nnn

n

nn

n=−=

−− +

∞→

++

∞→

11

1 limlim

Se L < 1, a série converge absolutamente. Se L > 1, a série diverge. Se L=1, o teste é

inconclusivo. Por exemplo, para testar a convergência da série de potências

( ) ( )∑∞

=

+ −−0

1 21n

nn xn

aplica-se o teste da razão

( ) ( )( )( ) ( )

21lim221

211lim 1

12

−=+

−=−−

−+−∞→+

++

∞→x

nnx

xnxn

nnn

nn

n

Pela condição apresentada pelo teste, para |x - 2| < 1, ou seja, para 1 < x <3, a série

converge. Para |x - 2| > 1 a série diverge, e para x = 1 e x = 3 o teste não é conclusivo. O raio de

convergência da série é igual a 1.

Uma série de potências define uma função ( ) ( )∑∞

=

−=0n

nn axcxf ,cujo domínio é o

intervalo de convergência. Se o raio de convergência for R > 0, então a função f será contínua

diferenciável e integrável no intervalo (a - R, a + R). Em uma série de potências centrada em a =

0, ( ) ( )∑∞

=

==0n

nn xcxfy , as duas primeiras derivadas serão

( )∑∞

=

−=0

1'n

nn xncy ( )( )∑

∞

=

−−=0

21"n

nn xnncy

O primeiro termo da primeira derivada e os dois primeiros termos da segunda derivada

são nulos. Estes termos nulos podem ser omitidos e as derivadas podem ser reescritas

( )∑∞

=

−=1

1'n

nn xncy ( )( )∑

∞

=

−−=2

21"n

nn xnncy

Uma série de potências ( ) 00

=−∑∞

=n

nn axc para todo o número x no intervalo de

convergência R > 0, então cn = 0 para todo o n (série de potências identicamente nula).

30

Uma série de potências cujos coeficientes cn tem a forma ( )( )

!nafc

n

n =

é chamada de série de Taylor. Uma série de Taylor centrada em a = 0 é chamada de série de

McLaurin. Muitas funções podem ser representadas por uma série de Taylor. Exemplos disso são

!6!4!21cos

!7!5!3sin

!3!2!11

642

753

32

xxxx

xxxxx

xxxex

−+−=

++−=

+++=

Finalmente, mais um conceito importante em aplicações de séries para solução de

equações diferenciais é o de analiticidade de um ponto. Uma função f(x) é analítica em um ponto

x = a se pode ser representada por uma série de potências em (x-a) com raio de convergência

positivo ou infinito. As funções mostradas acima (ex, sen(x) e cos(x)) podem ser representadas

em com uma série de Taylor centrada em zero (ou série de McLaurin), e assim são analíticas no

ponto x = a = 0.

Outro assunto que será importante para a utilização de séries em solução de equações

diferenciais é a possibilidade de se realizar operações aritméticas com as séries de potência. As

séries de potência podem ser combinadas com operações como adição, multiplicação e divisão.

Os procedimentos são similares aos utilizados para somar, multiplicar e dividir dois polinômios,

isto é, somar os coeficientes das potências iguais, usar a propriedade distributiva, agrupar termos

de mesma potência de x e efetuar divisão. Por exemplo:

...303

...61

61

21

61

!7!5!3!3!2!11sin

532

43275332

+−++=

=+

+−+

+−++=

++−

+++=⋅

xxxx

xxxxxxxxxxxxex

Como as séries ex e sen(x) convergem para |x|<∞, o produto das séries também converge

para o mesmo intervalo. A operação mais utilizada para solucionar equações diferencias com

séries é a soma de séries de potência. Para realizar esta operação, muitas vezes, é necessário

ajustar a série para sincronizar o índice do somatório e as potências de x. Por exemplo, para

realizar a soma

( ) ∑∑∞

=

+∞

=

− +−0

1

2

21n

nn

n

nn xcxnnc

31

é necessário que o índice de ambos os somatórios comece com o mesmo número e que as

potências de x comecem iguais (estejam em fase). No exemplo, uma das séries começa com x0 e

a outra com x1. É possível tirar o primeiro termo da série que começa com x0 do somatório,

resultando

( ) ∑∑∞

=

+∞

=

− +−+0

1

3

22 12

n

nn

n

nn xcxnncc

e fazendo com que as duas séries comecem com x1. Falta ainda fazer com que o índice do

somatório seja o mesmo nas duas séries. Isto pode ser feito da seguinte forma: em uma das

séries, a potência de x é n-2 (xn-2). Nesta série, todos n devem ser substituídos por n+2. Na outra

série, a potência de x é n+1. Nela, todos os n deve ser substituídos por n-1. Este procedimento

resultará em

( )( ) ∑∑∞

=−

∞

=+ ++++

11

122 122

n

nn

n

nn xcxnncc

Com este procedimento, ambas as séries começam com n=2 e com a mesma potência de

x (xn). A soma pode então ser realizada, resultando

( )( ) ( )( )[ ]∑∑∑∞

=−+

∞

=−

∞

=+ ++++=++++

1122

11

122 122122

n

nnn

n

nn

n

nn xcnnccxcxnncc

32

8ª aula – Solução de equações diferenciais em séries de potência

Será mostrado a seguir como resolver uma equação diferencial ordinária homogênea de

segunda ordem com coeficientes variáveis

42 ( ) ( ) ( ) 0'" 012 =++ yxayxayxa (42)

utilizando séries de potência. Em primeiro lugar, a equação 42 deverá ser dividida por a2(x),

resultando

43 ( ) ( ) 0'" =++ yxQyxPy (43)

onde

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )xaxaxQe

xaxaxP

2

0

2

1 ==

Colocar a equação nesta forma é necessário para verificar os pontos ordinários e

secundários da equação. Um ponto x0 será ordinário da equação 43 se tanto P(x) quanto Q(x)

forem analíticas em x = x0. Quando um ponto não é ordinário, será um ponto singular da

equação. Por exemplo, na equação

0)(sin'" =++ yxyey x

todo o valor finito de x é um ponto ordinário (ex e sen(x) são analíticas em qualquer valor finito

de x). Já na equação

0)(ln'" =++ yxyey x

o ponto x=0 é um ponto singular, pois a função ln(x) é descontínua e, por tanto, não é analítica

neste ponto.

Uma caso de particular interesse é quando os coeficientes da equação 42 a2(x), a1(x) e

a0(x) são polinômios. Um polinômio é analítico em qualquer valor de x, Uma função racional

(razão de polinômios) será analítica, a não ser nos pontos em que o seu denominador se anula.

Em conseqüência, a equação 43 será analítica em todos os pontos, exceto naqueles onde a2(x)=0.

Desta forma, x=x0 será um ponto ordinário da equação, se a2(x0)≠0, e será singular se a2(x0)=0.

Por exemplo,

( ) 06'2"12 =++− yxyyx

terá como pontos singulares aqueles em que ( ) 012 =−x , ou seja 1±=x . A equação

0'"2 =++ cybxyyax

conhecida como equação de Cauchy-Euler, será singular em x=0. Já a equação

( ) 0'"12 =−++ yxyyx

terá como pontos singulares aqueles em que ( ) 012 =+x , ou seja ix ±= , mostrando que os pontos

singulares não precisam ser reais. Com base na definição de pontos ordinários e singulares, o

33

teorema a seguir apresenta as condições para garantir a existência de soluções em séries de

potência para a equação diferencial 42.

Teorema: Se x=x0 for um ponto ordinário da equação

( ) ( ) ( ) 0'" 012 =++ yxayxayxa

será sempre possível encontrar duas soluções linearmente independentes na forma de séries de

potência centradas em x0, isto é,

( ) ( )∑∞

=

−=0

0n

nn xxcxy

Uma solução em série converge pelo menos em algum intervalo definido por |x-x0|<R,

onde R é a distância de x0 ao ponto singular mais próximo.

Esta solução será chamada de solução em torno de um ponto ordinário. A distância R é o

valor mínimo do raio de convergência, que poderá ser maior. Por exemplo

( ) 0'"522 =−++− yxyyxx

terá como pontos singulares aqueles em que 0522 =+− xx , ou seja, ix 21±= . O raio de

convergência será dado por 521 22 =+=R . Como x=0 é um ponto ordinário, será possível

encontrar uma solução para a equação com a forma

( ) ( )∑∞

=

=0n

nn xcxy

De acordo com o teorema, a solução vai convergir pelo menos para 5|| <x , porém ela

poderá convergir para valores maiores do que este. Neste caso, por exemplo, a soluça converge

para ∞<|| x .

O método de solução que será apresentado a seguir supõe que x=0 é um ponto ordinário

da equação, e que será possível encontrar uma solução tipo ( ) ( )∑∞

=

=0n

nn xcxy . Quando isso não

for possível, deverá ser feita uma mudança e variáveis t=x-x0, permitindo encontrar uma solução

do tipo ( ) ( )∑∞

=

=0n

nn tcxy , para que depois seja desfeita a substituição e se volta a variável original

x.

A determinação da série que será solução da equação diferencial 42 será feita com um

método similar ao dos coeficientes indeterminados, utilizado para encontrar a solução particular

de uma EDOII não homogênea com coeficientes constantes. Em função da similaridade, o

34

método é chamado de método dos coeficientes a determinar da série. A idéia, em resumo é supor

que

( ) ( )∑∞

=

=0n

nn xcxy

é solução da equação diferencial e substituir esta solução na equação 42, resultando em

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)1(0

01

11

2

22 =

+

+

− ∑∑∑

∞

=

∞

=

−∞

=

−

n

nn

n

nn

n

nn xcxaxncxaxnncxa

Após ajustar as séries na equação e combinar os termos para obter um único somatório,

será utilizada a propriedade série de potências identicamente nula para encontrar o valor dos

coeficientes cn. Serão encontrados dois conjuntos de coeficientes, que levarão a duas séries y1(x)

e y2(x). Estas serão as duas soluções linearmente independentes garantidas pelo teorema. A

solução geral da equação terá a forma

( ) ( )xycxycy 2210 +=

Exemplo

Achar a solução da EDOII a seguir por séries de potência

( ) 0'"12 =−++ yxyyx

Esta equação tem pontos singulares em ( ) 012 =+x , ou ix ±= . A solução por série

convergirá pelo menos para |x| < 1. Como x=0 é um ponto ordinário, e possível supor uma

solução do tipo

( ) ∑∞

=

=0n

nn xcxy

cujas derivadas serão

∑∞

=

−=1

1'n

nnnxcy ∑

∞

=

−−=2

2)1("n

nn xnncy

Substituindo na equação diferencial, resulta:

( ) 0)1(101

1

2

22 =

−

+

−+ ∑∑∑

∞

=

∞

=

−∞

=

−

n

nn

n

nn

n

nn xcnxcxxnncx

0)1()1(01

1

2

2

2

22 =−+−+− ∑∑∑∑∞

=

∞

=

−∞

=

−∞

=

−

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn xcnxcxxnncxnncx

0)1()1(012

2

2=−+−+− ∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

−∞

= n

nn

n

nn

n

nn

n

nn xcnxcxnncxnnc

Para agrupar as séries em um único somatório, é necessário ajustar sincronizar as

potências de x e os índices dos somatórios

35

0)1(62)1(2

102

1

24

232

2

=−−−++−+++− ∑∑∑∑∞

=

∞

=+→

∞

=

−∞

= n

nn

n

nn

nnn

nn

n

nn xcxccnxcxcxnncxccxnnc

Após trocar o índice do segundo somatório e reorganizar os termos:

( ) 0)1(2)1(62222

22

302 =−++++−++− ∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=+

∞

= n

nn

n

nn

n

nn

n

nn xcnxcxnncxnncxccc

É possível agora agrupar as séries

( )[ ]∑∞

=+ −++++−++−

22302 )1(2)1(62

n

nnnnn xcncnncnncxccc

Os fatores que multiplicam cn podem ser agrupados:

( ) ( )[ ]∑∞

=+ +++−+++−

22302 )1(2)1(162

n

nnn xnncnncxccc

Utilizando a propriedade da série identicamente nula, pode-se determinar os coeficientes

que multiplicam cada potência de x

( ) ( )[ ]∞

∑∞

=+ +++−+++−

xxn

nnn

xx

xnncnncxccc

...2

2302

2

10

)1(2)1(162

202 0

202cccc =→=−

( ) ( ) ( )( ) ( ) ,...4,3,2,

2)1(

)1(2)1(10)1(2)1(1

006

22

33

=+−

−=++−+

−=→=+++−+

=→=

++ ncnnc

nnnncnncnnc

cc

nnnnn

Isso permite determinar os coeficientes c3, c4, ... em termos dos coeficientes c0 e c1:

024 !221

41 ccc

⋅−=−=

052

35 =−= cc

03046 !323

6423

63 cccc

⋅=

⋅⋅=−=

074

57 =−= cc

04068 !425.3

86425.3

85 cccc

⋅=

⋅⋅⋅=−=

A solução da equação será dois somatórios, um para os coeficientes de c0 e outro para os

coeficientes de c1. Porém, os coeficientes de c1 para potências maiores do que 1 são todos nulos.

A solução será:

( ) ( ) ( )xycxycxy 2110 +=

36

onde

( ) ( ) ( )

( ) xxy

xn

nxxyn

nn

n

=

−⋅⋅⋅⋅−++= ∑

∞

=

2

2

221 !2

32...5311211

37

Anexo 1

Tabelas de derivadas e integrais

38