APOSTILA_-_Eletromagnetismo

Prof. Beatriz Bronislava Lipinski

Eletromagnetismo II - Notas de Aula

Curitiba, Pr

2008

Tel: (41) 8419 5313 e-mail: [email protected]

Prof. Beatriz Bronislava LipinskiUniversidade Tuiuti do Paraná

Capítulo 1

O Campo Magnético Estacionário

Em 1823, Ampère sugeriu que o magnetismo natural era devido a pequenas correntes fechadasno interior da matéria. Atualmente, identificamos essas pequenas correntes com o movimento doselétrons no interior dos átomos. Um elétron que gira ao redor do núcleo equivale a uma corrente queproduz os mesmos efeitos magnéticos que um pequeno imã. Por outro lado, os elétrons giram sobresi mesmos produzindo efeitos magnéticos adicionais.

Resumindo: a corrente que passa por um condutor produz um campo magnético a sua volta.Estudaremos aqui, a lei de relação entre a corrente que passa por um condutor (causa) e o campomagnético criado (efeito). O campo magnético ~H pode ser originado de duas maneiras:

a. Por corrente elétrica;

b. Por imã permanente (polo magnético). Podemos imaginar que em qualquer material existemmuitos imãs de tamanho atômico. Na maioria dos casos, nestes pequenos imãs os dipolos mag-néticos estão orientados ao acaso e seus efeitos se cancelam. Entretanto, em certas substâncias,estes dipolos magnéticos estão orientados no mesmo sentido. Neste caso, os efeitos de cadadipolo magnético se somam, formando um imã natural.

Lei de Biot Savart

Até aqui nos preocupamos em tentar descrever as forças sobre as cargas e correntes que sãopostas em campos magnéticos produzidos externamente. Ao fazer isto, não consideramos que tipo decampo magnético é produzido por correntes ou pelas próprias cargas em movimento e assim, aindanão abordamos o problema de descrever e explicar os resultados das experiências de Oersted, o qualserá discutido a seguir.

Vamos ver, então, como se origina campo magnético através da corrente elétrica. O campo mag-nético ~H é um vetor, isto é, possui módulo, direção e sentido.

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Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário

Figura 1.1:

Durante o século XVIII muitos cientistas tentaram encon-trar uma conexão entre a eletricidade e o magnetismo. Obser-varam que cargas elétricas estacionárias e imãs não provocavamqualquer influência um no outro. Mas em 1820, Hans ChristianOersted (1777-1851) mostrou que uma bússola sofria deflexãoquando era colocada perto de um fio percorrido por uma cor-rente. Por outro lado era conhecido que campos magnéticosproduzem deflexão em bússola, o que levou Oersted a concluirque correntes elétricas induzem campos magnéticos. Com istoele havia encontrado, então, uma conexão entre eletricidade e omagnetismo. Ele observou também, que os campos magnéticosproduzidos por correntes elétricas, em um fio retilíneo, tinhama forma de círculos concêntricos como mostra a figura 1.1(a).O sentido destas linhas é indicado pelo norte da bússola. Umaoutra forma de se determinar o sentido das linhas de B é usar a regra da mão direita, a qual é mostradaesquematicamente na figura 1.1(b). No estudo da eletrostática, observamos que a lei de Coulomb, de-screvendo o campo elétrico de cargas puntiformes foi simplesmente o modo pelo qual as observaçõesexperimentais relativas à forças eletrostáticas em corpos carregados poderiam ser melhor resumidas.A situação é a mesma em relação a campos magnéticos produzidos por correntes estacionárias. Nãohá meio de se deduzir uma expressão para estes campos; tudo o que podemos fazer é observar asforças magnéticas criadas por correntes reais experimentalmente e então tentar achar uma expressãomatemática para o campo magnético que esteja de acordo com os resultados de todas as observações.Foi justamente desta maneira que a lei de Biot-Savart, a qual dá o campo magnético criado pelo fluxode corrente em um condutor, foi descoberta. A lei de Biot-Savart diz-nos que o elemento de induçãomagnética d ~H associado a uma corrente I em um segmento de um fio condutor descrito por d~L é:

dirigido em uma direção perpendicular ao d~L e ao vetor posição ~R do segmento do condutorao ponto P , no qual o campo está sendo medido;

diretamente proporcional ao comprimento d~L do segmento e à corrente I que ele carrega;

inversamente proporcional em módulo ao quadrado da distânciaR entre o elemento de correntee o ponto P .

proporcional ao seno do ângulo θ entre os vetores d~L e R.

A lei de Biot-Savart pode, então, ser expressa pela equação:

d ~H =Id~L× aR

4πR2⇒ Id~L× ~R

4πR3.(1.1)

A figura 1.2 revela a geometria do problema clássico geral: a intensidade de campo magnéticono ponto 2, d ~H2, produzida por um elemento diferencial de corente localizada no ponto 1, I1d~L1. Adireção de d ~H2 é para dentro desta página.

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Figura 1.2:

Na forma integral, a lei de Biot-Savart é dada por:

~H =∮ Id~L× aR

4πR2⇒

∮ Id~L× ~R

4πR3,(1.2)

nesta, deve-se levar em conta que a corrente total que atravessa qualquer superfície fechada é nula;esta corrente fluindo em torno de um caminho fechado é a fonte de campo magnético que deveser considerada. Relembrando: este resultado é consequência direta da equação da continuidade:∇ · ~J = −∂ρv

∂t= 0, significando que a densidade de corrente é estacionária numa superfície fechada

(não varia no tempo).Esta lei é ferramenta básica para cálculo de campo magnético criado num ponto, devido a uma

distribuição de corrente. Mas é válida somente em meios uniformes (com mesma permeabilidademagnética). A intensidade do campo magnético ~H tem, no SI, unidades de ampères por metro (A/m)e, no sistema cgs, unidades de Oersted (Oe): 1Oe = 1000

4πA/m = 79, 58 A/m.

Exemplo 1: Campo magnético devido a um condutor longo retilíneo. Determine o campo mag-nético ~H num ponto P distante r metros de um condutor infinitamente longo, percorrido por umacorrente de I ampères. A seguir, calcule o campo a uma distância de 10 cm do condutor quando elefor percorrido por uma corrente de 0, 1 A.

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Dois condutores paralelos

Como já foi visto, correntes geram campos magnéticos e, veremos que fluxos magnéticos exercemforças sobre cargas em movimento. Então dois condutores paralelos, com corrente experimentam umadada for¸ca de atração ou repulsão, segundo os sentidos das correntes.

Dois condutores paralelos conduzindo correntes no mesmo sentido. Pela regra da mão direita,observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se subtraem no espaço situado entre oscondutores, e se soma fora dos condutores.

Dois condutores paralelos conduzindo correntes em sentidos opostos. Pela regra da mão dire-ita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se somam no espaço situado entre oscondutores, e se subtrai fora dos condutores.

Considerando que não existam materiais ferromagnéticos nas proximidades, pode-se calcular ocampo somando vetorialmente os campos criados por cada corrente.

Exemplo 2: Dois fios retilíneos paralelos estão afastados de d = 40 cm, e são percorridos porcorrentes I1 = 100 A e I2 = 60 A, em sentidos opostos. Encontrar a distância x de um ponto P aoprimeiro condutor, onde o campo magnético total seja nulo.

Exemplo 3: Uma espira circular, de raio r, é percorrida pela corrente I . Obter a equação docampo magnético no centro da mesma.

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Exemplo 4: Campo magnético de uma espira circular. Neste exemplo, calcularemos o valor docampo magnético em um ponto genérico P , situado no eixo de uma espira circular percorrida poruma corrente constante I , conforme esquema da figura abaixo.

Exemplo 5: As bobinas de Helmholtz são duas bobinas circulares coaxiais, onde seus raiosR sãoiguais à distância d entre elas, isto é: R = d. Elas são muito conhecidas pelo fato de que o campomagnético é uniforme ao longo do seu eixo. Calcule a amplitude do campo ao longo do eixo dasbobinas.

Sugestão de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 8, Seção 8.1.Resolver os exercícios E8.1 e E8.2, página 136.

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Lei circuital de Ampère

A lei de Ampère, que é uma das leis mais importantes do eletromagnetismo, é a conhecida regra damão direita, expressa de uma forma matemática vetorial: a lei circuital de Ampère. Oersted descobriuque uma corrente elétrica produz um campo magnético, e que para o caso de um fio retilíneo, as linhasde campo são círculos em planos perpendiculares ao fio. O sentido do campo é dado pela regra damão direita: com o polegar no sentido da corrente, os outros dedos dobrados apontam no sentidode ~H . A intensidade é dada pela distribuição de campo e fluxo magnético no sistema. Assim, acirculação do vetor ~H , em um percurso fechado, é igual à soma algébrica das correntes nela¸ dadaspelo percurso:

∮~H · d~L = I ⇒

∫ ∫~J · d~S = I.(1.3)

Com esta expressão matemática, a relação campo ~H e corrente é dada por uma integral de linha,que é calculada através de uma curva fechada chamada curva amperiana. A corrente I é a correntelíquida englobada pela curva e onde d~L é o caminho de integração, que escolhemos ao redor do fio.

Cabe salientar que fora das leis de Biot-Savart ou Ampère não há nenhum meio analítico de deter-minar o campo ~H em função de ~J . Somente os métodos numéricos, relativamente modernos, podemdeterminar ~H em um bom número de casos, sem que tenhamos ainda meios de solucionar todos osproblemas existentes.

Exemplo 6: Campo magnético de um solenóide. Forma-se um campo magnético ao redor deuma bobina de fio de cobre, chamada solenóide, cujo comprimento é muito maior do que o seu raio, econsideraremos o solenóide infinito. Usando argumentos de simetria, mostre que os campos entre osfios e na parte externa do solenóide são nulos e que, no interior do solenóide o campo tem o sentidoindicado pela regra da mão direita.

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Exemplo 7: Campo de um toróide. No interior do toróide da figura abaixo, aplique a lei deAmpère, resolva a integral na linha amperiana circular de raio r e Calcule H .

Exemplo 8: Campo magnético dentro de um fio. Consideremos o fio condutor como um cilindroinfinito, de raio R, transportando uma corrente I0, com densidade uniforme. Calcule o campo nointerior do fio.

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Rotacional de ~H

Agora vamos discutir resumidamente o significado físico do operador rotacional aplicado a ~H .Para fazermos isso, usaremos a concepção do medidor do rotacional ou das pazinhas girantes. Ima-gine uma correnteza de água através uma de seção transversal na direção z. Considera-se a velocidade~v da água independente da altura mas aumentando uniformemente desde o valor zero das extremi-dades até um valor máximo de v0 localizado no centro da corrente de água.

Agora, vamos considerar o menor atrito que nas pás, desconsiderando a influência na velocidadeda água e intoduzir na água uma seta vertical, isto é, paralela ao eixo x. A pá vai girar na direçãoanti-horária, do lado direito para o centro. Além disso, partindo de que a velocidade diferencial éindependente de y, a pá vai girar com uma taxa parecida, independentemente de y. Na exata metadeda correnteza, não haverá giro da pazinha para nenhum dos dois lados já que a velocidade é a mesmapara ambos. Agora, se nós examinarmos o gráfico de vx e compará-lo com o movimento da pazinha,o significado físico do rotacional fica aparente. Isso significa a capacidade do vetor campo para arotação da pazinha. Se nós inserirmos a pazinha horizontalmente, isto é, junto do eixo z ou juntoao eixo y ou em qualquer outra direção paralela ao plano yz, ela não vai girar desde o fundo até asuperficie, pois estão com a mesma força, assim mostra-se que o rotacional para esse campo não temuma componente horizontal. O rotacional não faz nada com a curvatura ou com a corrente rotacionalcomo o nome talvez lembre.

Podemos obter a forma pontual da lei circuital de Ampère,aplicando-a ao perímetro de um elemento diferencial de áreae encontrando o seu rotacional. Escolhemos as coordenadascartesianas e um caminho fechado incremental de lados ∆x e∆y, como mostra a figura ao lado. Considere que uma correnteelétrica qualquer gere um campo magnético ~H de referência nocentro do retângulo, dado por ~H0 = H0

xax +H0y ay +H0

z az.A integral de linha fechada de ~H neste caminho é, aproxi-

madamente, a soma dos quatro valores de ~H ·∆~L em cada lado.A direção de percurso escolhida, dada na figura, corresponde a uma corrente elétrica na direção az.A primeira contribuição é:

( ~H ·∆~L)1−2 = H1−2y ∆y.

O valor de Hy nesta região pode ser avaliada como a soma do valor de referência H0y , no centro do

retângulo e a sua taxa de variação em x pela distância ∆x2

:

H1−2y = H0

y +∆x

2

∂Hy

∂x. Assim:

( ~H ·∆~L)1−2 =

(H0y +

1

2

∂Hy

∂x∆x

)∆y.

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Ao longo da aresta 2− 3:

( ~H ·∆~L)2−3 = H2−3x (−∆x) = −

(H0x +

1

2

∂Hx

∂y∆y

)∆x.

Para a aresta 3− 4:

( ~H ·∆~L)3−4 = H3−4y (−∆y) = −

(H0y +

1

2

∂Hy

∂x(−∆x)

)∆y.

Para a última aresta:

( ~H ·∆~L)4−1 = H4−1x (∆x) =

(H0x +

1

2

∂Hx

∂y(−∆y)

)∆x. Então:

∮~H ·∆~L =

(∂Hy

∂x− ∂Hx

∂y

)∆x∆y.

Assumindo uma densidade de corrente genérica ~J , a corrente envolvida é ∆I = Jz∆x∆y:

∮~H ·∆~L =

(∂Hy

∂x− ∂Hx

∂y

)∆x∆y = Jz∆x∆y, ou:

∮ ~H ·∆~L∆x∆y

=∂Hy

∂x− ∂Hx

∂y= Jz.

A maior aproximação possível para esta expressão está no limite ∆x,∆y → 0:

lim∆x,∆y→0

∮ ~H ·∆~L∆x∆y

=∂Hy

∂x− ∂Hx

∂y= Jz.

Se escolhermos um caminho fechado de forma que a corrente esteja na direção ax, temos:

lim∆y,∆z→0

∮ ~H ·∆~L∆y∆z

=∂Hz

∂y− ∂Hy

∂z= Jx,

e para um camnho fechado de forma que a corrente esteja na direção ay:

lim∆z,∆x→0

∮ ~H ·∆~L∆z∆x

=∂Hx

∂z− ∂Hz

∂x= Jy.

Como ~J = Jxax + Jyay + Jzaz, temos a forma pontual da lei circuital de Ampère:

~J =

(∂Hz

∂y− ∂Hy

∂z

)ax +

(∂Hx

∂z− ∂Hz

∂x

)ay +

(∂Hy

∂x− ∂Hx

∂y

)az = rot ~H = ~∇× ~H.

Acima está a terceira Equação de Maxwell: ~∇× ~H = ~J , aplicada acondições não variantes no tempo.

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Em coordenadas cilíndricas:

~∇× ~H =

(1

ρ

∂Hz

∂φ− ∂Hφ

∂z

)aρ +

(∂Hρ

∂z− ∂Hz

∂ρ

)aφ +

(1

ρ

∂(ρHφ)

∂ρ− 1

ρ

∂Hρ

∂φ

)az .

Em coordenadas esféricas:

~∇× ~H =1

r sin θ

(∂(Hφ sin θ)

∂θ− ∂Hθ

∂φ

)ar+

1

r

(1

sin θ

∂Hr

∂φ− ∂(rHφ)

∂r

)aθ+

1

r

(∂(rHθ)

∂r− ∂Hr

∂θ

)aφ .

O significado físico da integral∮ ~H · d~L = I é muito importante e justifica o fato desta dar

origem a um rotacional. Esta integral é calculada sobre uma linha fechada, definindo uma circulaçãode “alguma coisa”, que vem a ser a corrente total que atravessa a área delimitada pela curva fechada.O rotacional gerado nos fornece os domínios de direções e sentidos do campo magnético gerado poresta corrente. Em analogia com o campo eletrostático, a integral de linha

∮ ~E · d~L é nula (como vistono semestre passado!), significando que não há circulação de campo elétrico em torno co caminhofechado de integração. Em outras palavras, nenhum trabalho é realizado ao se deslocar uma cargaelétrica de um ponto a outro sobre este caminho fechado. Para o campo magnetostático, há trabalhorealizado pois a circulação de campo magnético não é nula. Esta circulação dá origem a um fluxo decargas, caracterizando uma corrente elétrica.

Exemplo 9: Na região z > 0 do espaço há um campo magnético dado por ~H = 0, 2z2ax, sendonulo, como na figura. Calcule a integral

∮ ~H · d~L ao longo do quadrado fechado de lado d, centradoem 0, 0, z1 no plano y = 0, onde z1 > 2d.

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Teorema de Stokes

A segunda Equação de Maxwell é a forma pontual da lei circuital de Ampère e define o campomagnetostático gerado a partir de uma densidade de corrente. É possível, através de argumentossimples, deduzir que o contrário também é verdadeiro: a variação de campo magnético gera umadensidade de corrente elétrica. Este é o princípio de funcionamento de um eletroimã, por exemplo.

Considere uma superfície S dividida em elementos infinitesimais de área, ∆S. Aplicando adefinição de rotacional a um destes elementos de área, temos:

∮ ~H · d~L∆S

∆S= (~∇× ~H)N ⇒ (~∇× ~H) · aN ,(1.4)

na qual o índice N indica a componente de ~H normla à superfície, dada pela regra da mão direita. Ocaminho fechado d~L∆S indica o perímetro da área ∆S.

Após simples manipulação:

∮~H · d~L∆S = (~∇× ~H) · aN∆S ⇒ (~∇× ~H) ·∆~S.(1.5)

Como estamos interessados em determinar a circulação total de campo em torno do perímetro de∆S, integramos em S:

∮~H · d~L∆S =

∫S(~∇× ~H) · d~S,(1.6)

com d~L sendo o perímetro de S.Esta última equação é conhecida como o Teorema de Stokes e é capaz de transformar um prob-

lema envolvendo uma integral de linha em um problema de integração de superfície. Esta identidadeé valida para qualquer campo vetorial.

Exemplo 10: Considere a região superficial de uma esfera, delimitada por r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0, 1π

e 0 ≤ φ ≤ 0, 3π. Se o campo no local é dado por ~H = 6r sinφar + 18r sin θ cosφaφ. Calcule os doismembros doTeorema de Stokes.

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Fluxo magnético e Densidade de fluxo magnético

O campo magnético ~H pode ser produzido por uma corrente elétrica ou por uma magnetizaçãoresultante, ~M do momento de dipolo molecular. A magnetização é uma característica intrínseca decada material, e está relacionada com a estrutura atômica e molecular.

Magnetização:

Toda matéria exibe propriedades magnéticas. Até mesmo substâncias como cobre e alumínio,que normalmente são livres de propriedades magnéticas, são afetadas pela presença de um campomagnético produzido por qualquer polo de um imã de barra. Dependendo se há uma atração ourepulsão pelo polo de um ímã, a matéria é classificada como sendo paramagnética ou diamagnética,respectivamente. Alguns materiais, notavelmente o ferro, mostram uma atração muito grande para opolo de uma barra permanente de ímã; materiais deste tipo são chamados ferromagnéticos.

Os átomos têm momentos de dipolo magnético em virtude do movimento orbital dos respectivoselétrons. Além disso, cada elétron tem um momento de dipolo magnético intrínseco associado ao seuspin. O momento magnético de um átomo depende da disposição dos elétrons no seu interior. Estamagnetização pode ser puramente devido à interação do campo aplicado com a matéria, conformeocorre com os materiais diamagnéticos e paramagnéticos ou pode já existir mesmo na ausência docampo externo, conforme ocorre com os materiais ferromagnéticos.

O diamagnetismo ocorre em todos os materiais, pois todas as moléculas exibem um momento dedipolo magnético induzido e antiparalelo ao campo magnético aplicado em virtude da deformaçãoda distribuição da corrente eletrônica. A sua magnetização tende a enfraquecer o campo externo.Geralmente o efeito diamagnético nos materiais é mascarado pelo comportamento paramagnéticoe ferromagnético. O paramagnetismo resulta da tendência dos momentos magnéticos molecularesalinharem-se com o campo magnético aplicado, reforçando o campo aplicado. Esses materiais dia-magnéticos e paramagnéticos têm uma susceptibilidade, em módulo, muito menor que um (χ << 1).

Quando colocarmos um material qualquer num campo magnético uniforme, geralmente no ar,pode ocorrer três fenômenos distintos:

1. Afastamento - o fluxo passará preferencialmente pelo ar, que é um meio mais permeável. Issofaz com que apareça uma força que tenderá a repelir o corpo do polo Norte da fonte geradorade campo. Chama-se diamagnético ao material que apresenta esta propriedade.

2. Estático - as linhas de fluxo não se alteram, e continuarão a passar pelo materiam como senada tivesse acontecido. Consequentemente, não existe força atuando sobre o material, que édenominado paramagnético.

3. Aproximação - as linhas se concentram no material, como aconteceu com o campo elétrico.Com isto surge uma força que tende atrair fortemente o material do polo Norte. Chamam-seferromagnéticos a estes materiais.

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Baseando-se neste princípio, dividiram-se os materiais em: paramagnético, diamagnético e ferro-magnético. Como não temos por objetivo, realizar o estudo microscópico destes materiais, veremosapenas os princípios que norteiam a magnetização e a permeabilidade magnética.

Paramagnetismo

O paramagnetismo ocorre nas substâncias cujos átomos têm momentos magnéticos permanentese interagem uns com os outros apenas de modo fraco. Quando não há campo magnético externo,estes momentos magnéticos estão orientados ao acaso. Na presença de um campo magnético externo,os momentos tendem a alinhar-se com o campo, mas esta tendência é contrariada pelo fato dos mo-mentos ficarem orientados ao acaso em virtude da agitação térmica. A fração dos momentos que seorienta paralelamente ao campo depende da intensidade do campo e da temperatura. Em temperaturasmuito baixas e em campos externos elevados, quase todos os momentos estão paralelos ao campo.A energia potencial do momento magnético num campo magnético externo é mínima quando o mo-mento é paralelo ao campo e máxima quando está antiparalela ao campo.

Diamagnetismo

Foi descoberto por Faraday, quando verificou que um pedaço de bismuto era repelido pelos polosde um imã, o que indicava que o campo externo do imã provocava um dipolo magnético no bismutoem direção oposta à do campo. O efeito diamagnético não depende da temperatura. O alinhamentodos momentos permanentes diminui com o aumento da temperatura para as substâncias paramag-néticas e ferromagnéticas. Todos os materiais são diamagnéticos em temperaturas suficientementeelevadas.

Ferromagnetismo

Ocorre no ferro, no cobalto e no níquel, puros e em ligas destes metais uns com os outros e comalguns outros elementos, e em algumas poucas substâncias mais. Nestas substâncias um pequenocampo magnético externo pode provocar um grande grau de ordenação dos momentos de dipolomagnético dos átomos, o que em certos casos, pode persistir mesmo na ausência de campo externomagnetizador. Isto ocorre em virtude de os momentos de dipolo magnético dos ´atomos destas sub-stâncias exercerem fortes forças sobre seus vizinhos, de modo que numa pequena região do espaçoos momentos estão alinhados entre si, mesmo sem campo externo.

Em temperaturas acima da temperatura crítica, denominada temperatura Curie, estas forças de-saparecem, e os materiais ferromagnéticos tornam-se paramagnéticos. A região do espaço sobre aqual os momentos de dipolos magnéticos estão alinhados é denominado um domínio magnético. Adimensão do domínio é, usualmente microscópica. Dentro de um domínio todos os momentos mag-néticos estão alinhados, mas a direção do alinhamento varia de domínio para domínio, de modo queo momento magnético líquido de uma amostra macroscópica do material é nulo no estado normal.

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Spin e momento angular

Rigorosamente, núcleos não apresentam spin, mas sim momento angular (exceção feita somenteao núcleo do isótopo 1 do hidrogênio, que é constituído de um único próton). Embora o spin possaser considerado um momento angular, por terem ambos as mesmas unidades e serem tratados porum formalismo matemático e físico semelhante, nem sempre o oposto ocorre. O spin é intrínseco,ao passo que objetos compostos têm momento angular extrínseco. Contudo, motivos históricos econtinuado costume levaram à esse abuso de linguagem, tolerado e talvez tolerável em textos nãorigorosos.

O conceito de spin surgiu da necessidade de se explicar os resultados até então impensados naexperiência de Stern-Gerlach na década de 1920. Nessa experiência, um feixe colimado de átomosde prata, oriundos de um forno a alta temperatura, atravessavam um campo magnético altamente não-uniforme. Tal experimento era destinado a medir a distribuição dos momentos magnéticos, devidosprincipalmente aos elétrons. Como os átomos, na temperatura em que estavam emergindo do forno,estavam no seu estado fundamental 1S0, deveriam sofrer desvios nulos na presença do campo mag-nético não-uniforme. A distribuição esperada era da perda da coerência espacial do feixe durante oseu tempo de vôo, do forno de origem até o alvo. Tal não sucedeu, contudo.

O resultado obtido foram duas manchas de depósito de prata sobre o alvo, indicando que o feixese dividira em dois durante o percurso. Isso indicou que os átomos de prata do feixe ainda tinhamum grau de liberdade de momento angular, mas que não era o momento angular orbital dos elétronsno átomo, mas sim um momento angular intrínseco destas partículas. A esse “momento angular in-trínseco” deu-se o nome de spin (significando giro em Português). Em 1924, Wolfgang Pauli postulouque os núcleos se comportariam como minúsculos imãs. Mais tarde, experimentos similares, porémmais sofisticados, aos do Stern-Gerlach determinaram momentos magnéticos nucleares de várias es-pécies.

Considere uma espira de raio R percorrida por corrente I . Se R é pequeno em relação a x,podemos escrever H = I 2πR2

4πx3 .Definindo a quantidade IπR2 como o momento de dipolo magnético, m, temos H = 2m

4πx3 .Através da analogia com o dipolo elétrico, podemos escrever as componentes normal e tangecial

de ~H: HN = 2m cosα4πR3 e HT = m sinα

4πR3 .

Dipolo e carga magnética

Geralmente um imã minúsculo de microscópico para dimensões subatômicas, equivalente a umfluxo de carga elétrica ao redor de uma esfera. Elétrons que circulam ao redor de núcleos atômicos,de seus próprios eixos, e de núcleos atômicos carregados positivamente são todos dipolos magnéti-cos. A soma destes efeitos pode se cancelar, de forma que um determinado tipo de átomo pode nãoser um dipolo magnético. Se eles não se cancelam completamente, o átomo é um dipolo magnéticopermanente, como são, por exemplo, os átomos de ferro. Muitos milhões de átomos de ferro, espon-

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taneamente, se mantém no mesmo alinhamento para formar um domínio ferromagnético, constituindotambém um dipolo magnético. As agulhas de bússolas magnéticas e imãs de barra são exemplos dedipolos magnéticos macroscópicos.

Quando um dipolo magnético é considerado como uma corrente arredondada, a magnitude domomento de dipolo é proporcional a corrente, multiplicado pelo tamanho da área inclusa. A direçãodo momento de dipolo, que pode ser representado matematicamente como um vetor, é perpendic-ularmente afastada do lado da superfície que gira fluxo de carga positiva no sentido anti-horário.Considerando a volta da corrente como um imã minúsculo, este vetor corresponde à direção do polosul ao polo norte. Quando estão livres para girar, os dipolos se alinham de forma que seus momentosapontem, predominantemente, na direção do campo magnético externo. Os momentos magnéticos donúcleo e do elétron são quantizados, o que significa que eles podem somente ser orientados no espaçoem certos ângulos discretos em respeito à direção do campo externo.

Momentos de dipolo magnéticos têm dimensões de corrente vezes a área ou energia dividido pordensidade de fluxo magnético. No sistema metro-quilograma-segundo-ampère e SI, a unidade especí-fica para momento de dipolo é ampère vezes metro quadrado.

Vetor magnetização

Para os trabalhos práticos, lida-se com o vetor magnetização ~M que é um vetor representativo detodos os vetores ~m sobre um volume V . Cada corrente atômica é um pequeno circuito fechado dedimensões atômicas, e pode ser descrito como um dipolo magnético. Seja ~mi o momento magnéticodo átomo de índice i. Definiremos agora uma quantidade vetorial macroscópica, a magnetização ~M

(momento de dipolo magnético por unidade de volume). Somaremos, vetorialmente sobre todos osmomentos de dipolo num pequeno elemento de volume ∆V e dividiremos o resultado por ∆V :

~M = lim∆V→0

1

∆V

∑i

~mi.(1.7)

A unidade de ~M é A/m, a mesma unidade do campo magnético. Podemos admitir que a magne-tização seja uma função das coordenadas, como por exemplo ~M(x, y, z) no sistema cartesiano.

Exemplo 11: A magnetização de saturação do ferro é 1, 7.106 A/m, e sua densidade é 7970 kg/m3.Sabendo que o número de Avogadro vale 6, 025.1026 kg− atomo, e a massa atômica relativa do ferroé 56, calcular o momento magnético de cada átomo de ferro, em Am2.

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Indução e permeabilidade magnética

Coloquemos uma barra de ferro desmagnetizada dentro de um campo magnético uniforme. Observa-se o surgimento de polos, imantando a barra de ferro. Esta imantação gera uma magnetização, quese soma ao campo magnético externo aplicado. O novo campo magnético resultante se denom-ina indução magnética, ou densidade de fluxo, ou simplesmente indução e se denota pelo símbolo~B. Sua unidade no sistema internacional é o Tesla (T ). Para que ocorra a conservação da en-ergia, precisaremos de uma constante, que será denominada permeabilidade magnética no vácuo

µ0 = 4π × 10−7 Tm/A. A indução magnética ~B é dada por:

~B = µo( ~H + ~M).(1.8)

No caso do ferro e de outros materiais ferromagnéticos, a magnetização ~M é, frequentemente,muito maior que a intensidade magnética ~H por um fator de vários milhares ou até mais.

A grandeza µo significa a medida do quanto o meio é deformável quando imerso em um campomagnético e é necessário na equação anterior para tornar as unidades compatíveis com o SI. Aunidade no SI para ~B é o weber por metro quadrado, Wb/m2 (1Wb = 1V s), ou o tesla (T ), e aunidade do SI para ~H e ~M é o ampère por metro (A/m). A unidade cgs para ~B é o gauss (G) e1 T = 104 G. No vácuo, temos que ~B = µ0

~H , definido como a permeabilidade magnética do vácuo.Para qualquer outro material, podemos definir µ = B

H, como sendo a permeabilidade magnética deste

material. Ainda podemos definir a permeabilidade magnética relativa: µ = µµ0

. utilizando a grandezasusceptibilidade magnética, podemos ainda escrever µ = µ0(1 + χ), e ~B = µ0(1 + χ ~H).

Em analogia com a lei de Gauss, Ψ =∮ ~E ·d~S = Q

ε0, a integral para o cmapo magnético também é

válida. Porém, até os dias de hoje, não há qualquer comprovação da exixtência de uma fonte genéricade campo magnético, que seja análoga à carga elétrica. Esta “carga magnética” não existe de fato, poisas fontes de campo magnético são descritas pela presença de materiaia magnéticos ou magnetizados,que possuem características particulares e extensíveis. Então,

∮ ~B · d~S = 0. Aplicando o teroremada divergência, encontramos:

~∇ · ~B = 0.(1.9)

16




Esta última equação é a quarta equação de Maxwell, que se aplica a campos magnéticos esta-cionários.

Agora já conhecemos todas as equações de Maxwell na sua forma diferencial (ou pontual), paracampos elétricos e magnéticos estacionários:

~∇ · ~E =ρvε0

⇒ Lei de Gauss;(1.10)

~∇× ~E = 0 ⇒ Lei de Faraday;(1.11)~∇× ~H = ~J ⇒ Lei de Ampère;(1.12)~∇ · ~B = 0 ⇒ Lei de Gauss.(1.13)

Eis as mesmas equações na forma integral:

∮S

~E · d~S =Q

ε0

=∫Vρvdv ⇒ Lei de Gauss;(1.14) ∮

~E · d~L = 0 ⇒ Lei de Faraday;(1.15) ∮~H · d~L = I =

∫S

~J · d~S ⇒ Lei de Ampère;(1.16) ∮S

~B · d~S = 0 ⇒ Lei de Gauss.(1.17)

EXERCÍCIOS AVALIATIVOS 1

1. Quais são as principais diferenças entre os campos elétrico e magnético?

2. Imagine que você esteja sentado numa sala com as costas voltadas para a parede, da qualemerge um feixe de elétrons que se move horizontalmente na direção da parede em frente. Se o feixede elétrons for desviado para a sua direita, qual serão a direção e o sentido do campo magnético exis-tente na sala?

3. Interprete fisicamente os gráficos abaixo.

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Potencial Vetor Magnético

A lei de Gauss para o campo magnético, ~∇ · ~B = 0, estabelece que o fluxo magnético atravésde uma superfície fechada é nulo. Isso significa que não existe monopolo magnético. Quando odivergente de um cmpo vetorial é nulo, este campo pode ser escrito como sendo o rotacional de outrocampo vetorial:

~∇ · ~∇× ~A = 0 ⇒ ~B = ~∇× ~A.

O campo vetorial ~A é dito potencial vetor magnético, do qual pode-se extrair o campo magnéticoatravés do operador diferencial rotacional. Aplicando a lei de Biot-Savart a esta expressão, obtemoscomo resultado a expressão:

~A =∮ µ0Id~L

4πR.(1.18)

Exemplo 12: Mostre que o campo magnético diferencial gerado por um elemento diferencial deum fio muito longo, percorrido por uma corrente I , orientada no sentido positivo do eixo z é dado pord ~H = Idzρ

4π√

(ρ2+z2)3aφ.

18




Potencial Escalar Magnético

Pela lei de Ampère, temos ~∇× ~B = µ0~J . Se a densidade de corrente ~J é nula, temos: ~∇× ~B = 0.

Esta última pode ser escrita como ~∇ × (~∇ · φ) = 0, na qual Φ é um campo escalar. Em outraspalavras,podemos dizer sem perda de informação, que quando o rotacional de um campo vetorial énulo, este campo pode ser escrito como o gradiente de um campo escalar. Assim, o campo magnéticonuma região em que ~J = 0 pode ser escreito como:

~B = −µ0∇ϕ,(1.19)

na qual ϕ é dito potencial escalar magnético. Da lei de Gauss para o magnetismo, temos ~∇ · ~B = 0,temos:

~∇ · (−µ0∇ϕ) = 0 ⇒ ∇2ϕ = 0.(1.20)

Exemplo 13: Sabendo que o campo magnético produzido por um dipolo magnético vale~B(~r) = µ0

4π

[3(~m·~r)~rr5− ~m

r3

], mostre que ϕ = ~m·~r

4πr3representa o potencial escalar magnético para o

dipolo magnético.

Orientação de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 8, Seções 8.6e 8.7. Fazer uma leitura crítica e resolver os exercícios E8.8 e E8.9, da página 153.

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Capítulo 2

Forças Magnéticas, Materiais e Indutância

Até agora, tratamos de problemas que só podiam ser resolvidos a partir do conhecimento da con-figuração da corrente elétrica que gera o campo magnético. Ou seja: se a distribuição de corrente éconhecida, podemos determinar ~H , ~B e ~A em cada ponto do espaço de campo magnético não-nulo.Uma outra forma de analisar o fenômeno magnetostático, é estudar as forças e os torques que o cmpomagnético exerce sobre cargas de prova. O primeiro passo, é definir a força magnética gerada poruma carga em movimento.

Força sobre uma carga em movimento

Lembrando um pouco de Eletromagnetismo I, a força que atua sobre uma carga elétrica esta-cionária vale

~F = q ~E.

Quando colocamos esta carga em movimento, além da presença de campo elétrico, também detec-tamos a presença de um fluxo magnético (ou indução magnética), devido à presença de uma correnteelétrica. Neste enunciado, encontramos a explicação ao funcionamento dos motores elétricos, e en-tendemos a indução magnética. Quando uma carga elétrica q se desloca com velocidade ~v, ela geraum fluxo de campo elétrico e também, um fluxo de campo magnético, com indução magnética ~B

e, sobre ela, atua uma força ~F , que depende do vetor indução magnética e do vetor campo elétrico,gerado pela própria carga que se move. Esta é a chamada força de Lorentz:

~F = q( ~E + ~v × ~B),

sendo a força perpendicular ao plano ocupado por ~v e ~B. Analisando esta equação, tambémpodemos ver facilmente que os campos elétrico e magnético, gerados por uma carga em movimento,são sempre perpendiculares entre si. Quando os vetores ~v e ~B são ortogonais, o módulo de ~F é dadopor F = qvB. Lembrando um pouquinho da Física II, a velocidade dos portadores de carga (elétrons)é medida pela corrente elétrica I no condutor. A carga de elétrons num condutor, cuja área da seção

20



Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância

reta é A e cujo comprimento é L, pode ser expressa como qv = IL. Então, temos que o módulo forçaque age sobre as cargas pode ser dada por:

F = BIL.

Ilustração:

a) Uma carga pontual de 20 nC está parada em certa região do espaço. Determine a força que atuasobre ela quando está imersa numa região de campo elétrico ~E = −3i+ 4j + 6k.

b) A mesma carga de 20 nC é colocada em movimento com uma velocidade ~v = (3, 2i − 4j +

1, 6k)× 105 m/s, devido à presença de um campo magnético ~B = 2i− 5j + 3k. Determine a forçaque atua sobre ela devido a este campo magnético.

c) Continuando na situação do item b: qual é a força total que atua sobre esta carga em movi-mento, devido ao conjunto dos campos elétrico e magnético presentes nesta região?

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Força sobre um elemento diferencial de corrente

Tomando um elemento diferencial de carga, dq, podemos definir um elemento de força d~F :

d~F = dq~v × ~B.

O elemento de de carga dq envolve um grande número de elétrons envolvidos num pequenovolume diferencial dV , cujas dimensões devem ser muito maiores que a separação média entre oselétrons. Então, a força total é meramente a força resultante (a soma de todas as forças) que agem so-bre cada um dos elétrons. Este é um problema de muitos corpos, pois as forças agem individualmentesobre cada elétron. Porém, se considerarmos que estes elétrons são elétrons livres que se movemna superfície de um condutor, podemos desconsiderar o problema de muitos corpos e, sem perda degeneralidade, tratar esta força resultante como uma única força agindo sobre o condutor.

Efeito Hall

Os elétrons livres de um condutor movem-se entre as cargas pos-itivas fixas dos átomos do material que o formam (os núcleos atômi-cos). Quando colocamos este consutor em uma região de campo mag-nético externo não-nulo, o movimento eletrônico é levemente deslo-cado, pois há uma força magnética externa agindo sobre eles. Porém,a força coulombiana entre estes elétrons e os núcleos atômicos, queé muito mais forte que esta força magnética externa, se opõe a taldesvio. Há então uma força resultante, com a mesma direção que a daforça coulombiana atrativa entre os elétrons livres e os núcleos, cujomódulo é muito próximo da própria força coulombiana. Em outraspalavras, a força magnética externa não é páreo para a força coulom-biana atrativa entre os elétrons livres e os núcleos do condutor. Masde alguma forma, ela está lá e causa um efeito global sobre o condu-tor: esta força magnética acaba por ser transferida à rede cristalina docondutor, causando-lhe uma vibração que provoca mudanças nas dis-tâncias entre os elétrons livres. O resultado disso, é uma distribuiçãode cargas não-homogênea sobre a superfície do condutor. Uma distribuição de cargas não-uniformecausa uma diferença de potencial entre dois pontos distintos na superfície do condutor. Esta ddp éconhecida como tensão de Hall e o o efeito em si, é dito efeito Hall.

Considere o condutor da figura abaixo, no qual os portadores de carga têm velocidade de arrasto~va. Quando este condutor é submetido a um campo magnético externo, ~B, a força devido a ~B provocaum desvio no movimento inicial dos seus portadores de carga. Se o condutor conduz uma correnteI da esquerda para a direita, devido ao movimento de portadores de carga positiva, existe um campomagnético ~B na direção x, orientado no sentido negativo. Os portadores de carga positiva ficam

22




sujeitos a uma força magnética dada por ~F = q~va × ~B, que aponta para cima, na direção do eixo z.Essa força faz com que os portadores se

desloquem para o ponto A da figura, quese torna positivo, com um potencial elétricomaior do que no ponto B, situado na partede baixo do condutor. A existência desta ddp

provoca o surgimento de um campo elétricoentre os pontos A e B, orientado para baixo,na direção z. Este campo el[etrico passa aatuar sobre os portadores de carga, fazendoagir sobre eles uma força orientada no sen-tido negativo de z. Quanto mais cargas são levadas ao ponto A devido à força magnética, maior ficaa ddp entre as faces do condutor, o cmapo elétrico torna-se cada vez maior, até igualar-se à forçamagnética. Neste momento, os portadores param de se acumular no ponto A e voltam a mover-seapenas na direção y. A condição de equilíbrio ocorre quando a força de Lorentz se anula:

~FL = q ~Ez + q~va × ~B = 0 ⇒ ~Ez = −~va × ~B.

Como estas grandezas são perpendiculares, podemos tomar o módulo desta equação:

Ez = vaB.

A ddp entre os pontos A e B é a tensão de Hall, VH , relacionada ao cmapo elétrico através da leide Coulomb:

VH = EzZ ⇒ VH = ZvaB.

Se considerarmos a densidade de cargas ρ = NqV

, na qual N é o número de partículas em V en = N

Vé o número de portadores por unidade de volume, temos:

I = nqAva,

na qual A é a área pela qual a corrente flui, A = XZ. Então: va = InqXZ

,

VH = ZBI

nqXZ⇒ VH =

IB

nqX. Definido o coeficeinte Hall, RH =

1

nq:

VH = RHIB

X.

23




Força que age sobre um fio que conduz corrente

Partindo da força de Lorentz, ~F = q~v × ~B, para um fio condutor sobre o qual flui uma correnteI ao longo do seu comprimento, podemos escrever a força elementar que atua sobre cada um dosportadores:

d~F = qvadL× ~B, na qual: |~v| = va =d~L

dt.

Existe, então, um número N de portadores de carga por unidade de volume. Para um elementoinfinitesimal de volume, temos: dV = AdL, com A sendo a área da secção reta do fio. Então adensidade de portadores é:

N =n

V⇒ n = NV ⇒ dn = NAdL .

Assim, a força que age sobre todo o segmento dL do fio é dnd~F :

d~F = NqAvad~L× ~B .

Sendo ρ = Nq a densidade volumétrica de cargas, obtemos:

d~F = ρAvad~L× ~B na qual: I = ρAva. Então:

d~F = Id~L× ~B ,

que representa a força total sobre todos os portadores de carga em dL. Se dividirmos esta ex-pressão por dL, obtemos a força por unidade de comprimento:

d~F

dL= I

d~L

dL× ~B ⇒ d~F

dL= IdL× ~B .

Ilustração:

Um fio é percorrido por uma corrente I . Um pedaço do fio, de comprimento L está submetido aum campo magnético externo ~B uniforme, como mostra a figura. Determine a força magnética queage sobre o fio e a força magnética por unidade de comprimento.

24




Força entre elementos diferenciais de corrente

O campo magnético em um ponto P2 do espaço, devido a um elemento de corrente posicionadono ponto P1 é dado por:

d ~H2 =I1

4πR212

d~L1 × aR12 ,

se substituirmos a força diferencial, que é dada por d~F2 = I2dL2 × ~B2, no ponto P2, temos:

d(d~F2) = µ0I1I2

4πR212

d~L2 × (d~L1 × aR12).

Esta é a expressão que calcula o elemento de força infinitesimal entre dois elementos de correnteinfinitesimais.

Ilustração:

Considere duas correntes, I1 = 3A, no sentido negativo do eixo y e I2 = 4A, no sentido negativodo eixo z. Determine a força entre pontos P1(5, 2, 1) e P2(1, 8, 5).

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Força e torque em circuito fechado

A força de um dipolo magnético, chamado de momento de dipolo magnético, pode ser imaginadocomo uma medida da habilidade de um dipolo de se alinhar quando submetido a um campo magnéticoexterno. Em um campo magnético uniforme, a magnitude do momento de dipolo é proporcionala soma de torque no dipolo, a qual ocorre quando o dipolo está em ângulos certos para o campomagnético. O momento de dipolo magnético, frequentemente chamado de momento magnético, podeser definido como o máximo de quantia de torque causado por força magnética, nas proximidades decampo magnético no vácuo. Imagine uma espira, de uma volta, no plano z = 0, com largura W aolongo do eixo x e comprimento l ao longo do eixo y, imersa em uma região de indução magnética ~B,uniforme e orientado na direção do eixo x. A espira é percorrida pela corrente I no sentido horário.

As únicas forças aparecem nos lados da espira, e têm módulo F = BIL. O torque relativo a cada“braço” é dado por:

~Γ = ~F × ~R ⇒ ~Γ = BILW sin γ,

na qual, define-se m = ILW como o módulo do momento de dipolo magnético ~m = I ~S, na qual Sé a área da espira. Então:

~Γ = ~m× ~B ⇒ ~Γ = I ~S × ~B.

Para um circuito fechado qualquer, a forá fica melhor definida como ~F = −I∮ ~B×d~L. Se ~B for

uniforme,temos a integral ~F = −I ~B ×∮d~L. Já sabemos do cálculo vetorial que esta última integral

é nula. Então a força sobre o circuto fechado é nula. Porém, este não é o resultado final. A força sobreum elemento de corrente pode ser nula, mas se o campo não for uniforme, podem existir regiões docircuitos com diferentes densidades lineares e até mesmo volumétricas de corrente, garantindo quehaja uma força não-nula sobre o circuito. Se tomarmos no circuito, dois elementos diferenciais decorrente, podemos verificar que, mesmo qua a força devido a cada um deles seja nula, o torque totalé diferente de zero. O torque é dado por: ~Γ = ~R× ~F para cada elemento de corrente. O torque total,resultante dos dois elementos de corrente será: ~Γ = ~R1 × ~F1 + ~R2 × ~F2, como as forças são nulas, asua soma também é nula, então: ~F1 + ~F2 = 0. Obtemos, então:

~Γ = ~R1 × ~F1 − ~R2 × ~F1 ⇒ ~Γ = (~R1 − ~R2)× ~F1 ⇒ ~Γ = ~R21 × ~F1.

O vetor ~R21 liga o ponto de aplicação da força F2 ao ponto de aplicação da força F1, portanto,independe da origem dos vetores ~R1 e ~R2. Portanto, o torque independe da escolha de uma origem.

O elemento diferencial de torque é dado por:

d~Γ = d~m× ~B.

26




Ilustração:

Considere uma espira retangular de dimensões 1 × 2 m no plano xy, imersa numa região deindução magnética ~B0 = −0, 6i + 0, 8z T . uma corrente I = 4 mA circula pela espira no sentidoanti-horário. Determine o torque sobre a espira.

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Condições de fronteira magnéticas

A figura abaixo mostra a fronteira entre dois materiais magnéticos diferentes, de permeabilidadesmagnéticas µ1 e µ2. Os materiais são isotrópicos e homogêneos.

Primeira condição de fronteira:

Aplicando a lei de Gauss sobre a superfície gaussiana cilíndrica, temos:

∮S

~B · d~S = 0 ,

somente as faces do topo e da base do cilindro contribuem com a integral, pois a área lateral tem vetornormal perpendicular ao vetor indução magnética, de forma que o produto interno entre eles é nulo.Então, obtemos:

BN1∆S −BN2∆S = 0 ⇒ BN1 = BN2 . Assim, temos:

HN2 =µ1

µ2

HN1 . Para a magnetização, temos:

MN2 =χ2µ1

χ1µ2

MN1.

Segunda condição de fronteira:

Aplicando a lei circuital de Ampère no caminho retangular da figura, observamos que os ladosmenores do retângulo não contribuem com a integral pois são perpendiculares a ~H . Assim temos:

∮~H · d~L = I ⇒ Ht1∆L−Ht2∆L = K∆L, na qual:

~K é definido como uma densidade de corrente linear de módulo K, conduzida pela superfície. Então:

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Ht1 −Ht2 = K , com: ( ~Ht1 − ~Ht2) = aN12 × ~K .

Para a componente tangencial de ~B, obtemos:

Bt1

µ1

− Bt2

µ2

= K, e para a magnetização:

Mt2 =χ2

χ1

Mt1 − χ2K.

Ilustração:

Suponha que µ1 = 4 µH/m, na região 1 com z > 0 e que µ2 = 7 µH/m na região 2 onde z < 0.Admita uma densidade de corrente linear na fronteira (z = 0) entre estes dois materiais, dada por~K = 80i A/m. Se houver uma indução magnética na região de valor ~B1 = (2i− 3j + k) mT , qual éo valor da indução magnética na região 2?

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Indutância e Indutância mútua

Já vimos que o capacitor é um dispositivo apropriado para gerar um campo elétrico e que umacorrente elétrica cria um campo magnético. Em particular, calculamos o campo magnético de umsolenóide. Este dispositivo está para o magnetismo, assim como o capacitor está para a eletricidade.Há uma completa analogia entre os dois dispositivos. Assim, correspondendo à capacitância de umcapacitor, podemos definir a indutância (ou auto-indutância), L:

L =NΦ

I,

sendo N o número de espiras do solenóide, Φ o fluxo de campo magnético total na bobina e I acorrente que passa pelo solenóide. Esta expressão é válida para meios magnéticos lineares, nos quaiso fluxo de campo é proporcional à corrente. A unidade de indutância é o H = henry, equivalente aum weber-espira por ampère.

Indutância em um cabo coaxial:

Considere o cabo coaxial de raio interno a e raio externo b da figura abaixo, com o eixo principalao longo do eixo z.

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Indutância em uma bobina toroidal de N espiras:

Se considerarmos uma bobina toroidal, com um enrolamento de N espiras, cujas voltas têm umaseparação da ordem da espessura do filamento, podemos obter a indutância utilizando o mesmo pro-cedimento acima:

Bθ =µ0NI

2πρ,

Φ =µ0NIS

2πρ0

,

L =µ0N

2IS

2πρ0

,

nas quais S é a área da secção reta do toróide.Porém, se a separação entre as espiras for grande em relação à espessura do filamento enrolado,

cada espira terá a sua própria indutância agindo sobre as demais espiras e, a indutância total nãopoderá mais ser tomada como o produto da indutância de uma espira pelo raio médio das espiras,como feito acima. Neste caso, estamos diante do fenômeno de indutância mútua, onde cada espiraage sobre a outra simultaneamente e devemos olhar a indutância de cada espira separadamente. Aindutância total é dada pela soma discreta das indutâncias de cada espira:

L =Φ1 + Φ2 + ...+ Φi

I.

É óbvio que esta conta não é trivial! Na maioria dos casos, é necessário recorrer a dados expe-rimentais e grandezas empíricas de caracterização do dispositivo, como os fatores de enrolamento esuas dimensões.

Uma forma aproximada de calcular a indutância mútua de um dispositivos como estes, é partirdas medidas de energia produzida pela corrente que flui pelos dispositivos:

L =2WH

I2,

na qual WH é a energia magnética produzida pela corrente I que flui no filamento do dispositivo.A expressão de WH só poderá ser deduzida a partir das equações de Maxwell completas (com

variação temporal), as quais viremos mais à frente. Por enquanto, vamos aceitar a sua forma comoum comparativo com a, já deduzida, expressão para a energia elétrica armazenada em um capacitor:

WE =1

2

∫vol

~D · ~Edv WH ==1

2

∫vol

~B · ~Hdv .

Se lembrarmos que ~B = µ ~H , obtemos:

WH =1

2

∫vol

µH2dv ou WH =1

2

∫vol

B2

µdv .

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Então a indutância mútua pode ser expressa como:

L =

∫vol

~B · ~HdvI2

.

Orientação de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 9, Seções 9.9e 9.10. Fazer uma leitura crítica e resolver os exercícios E9.11 da página 181 e E9.12 e E9.13 dapágina 185.

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1) Considere uma carga elétrica Q = 18 nC movendo-se num condutor com velocidade de5.106 m/s na direção ~av = 0, 04i − 0, 05j + 0, 2k. Calcule o módulo da força que age sobre acarga devido aos campos ~B = (−3i+ 4j + 6k) mT e ~E = (−3i+ 4j + 6k) kV/m.

2) Determine a auto-indutância de um cabo coaxial de 3, 5 m de comprimento e raios 0, 8 mm e4 mm, preenchido com um material cuja permeabilidade relativa vale 50.

3) Considere o enrolamento de 500 espiras ao redor de uma bobina toroidal, de área transveral6, 25 cm2. Se o raio médio do toróide é 2 cm, determine a sua auto-indutância.

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Capítulo 3

Campos Variantes no Tempo e Equações deMaxwell

Lei de FaradayAgora, vamos começar a falar sobre o que chamamos propriamente de

Eletromagnetismo = Eletro + magnetismoou seja, a interação entre os campos elétrico e magnético de um sistema.

Um pouco de história sempre é bom para valorizarmos o trabalho dos cientistas pioneiros, quetanto contribuiram para a renovação tecnológica da qual disfrutamos hoje.

No decorrer da vida, Michael Faraday (1791-1867) aprendeu a pesquisar num laboratório dequímica. Ele aprendeu igualmente a sobreviver aos insultos decorrentes da sua condição de encader-nador assalariado, aspirante à integração no mundo da alta sociedade que dominava a ciência. NaFrança daquela época foi confirmada, por Ampère e um colega, a espantosa notícia que a correnteelétrica que circula em um enrolamento espiral também se comportava como um ímã, atraindo pe-quenos pedaços de ferro. Por essa razão, sua descoberta foi batizada de eletroímã. No decorrer dosdois séculos anteriores, os filósofos naturalistas tinham descoberto várias semelhanças entre a eletri-cidade e o magnetismo. O francês Charles-Augustin Coulomb descobrira que ambas as forças tinhampropriedades semelhantes, por diminuírem de intensidade com a distância, exatamente da mesmaforma. O alemão Otto von Guericke descobrira que ambas as forças tinham duas faces, por seremcapazes de atrair alguns objetos e de repelir outros.

Desta feita, refletia Faraday incredulamente, Orsted, Ampère e Arago tinham chegado mais longe,revelando algo mais profundo sobre as duas forças. A sua espantosa descoberta levantava a possibili-dade de que a eletricidade e o magnetismo pudessem ser de alguma forma intermutáveis.

No entanto, se a eletricidade podia se comportar como um ímã, faltava-se provar que o contráriotambém era verdadeiro: O magnetismo poderia se comportar como a eletricidade? Dito de outraforma: poderia um ímã produzir eletricidade? Subitamente, encontrar uma resposta para essa per-gunta tomou-se o Santo Gral da ciência do século XIX.

Faraday observou que o magnetismo produzido pela corrente elétrica exercia sempre a mesmainfluência sobre uma bússola magnética: imaginando a bússola deitada sobre uma mesa e a corrente

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Capítulo 3: Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell

elétrica a fluir do chão em direção ao teto, a agulha da bússola girava sempre no sentido, inverso ao dosponteiros do relógio, e nunca ao contrário. Não sabia o que isto significava, mas após ter apresentadoo artigo sobre a história da eletricidade e do magnetismo aos Annals of Phylosophy, decidiu averiguara questão. À medida que se concentrava, começou a esboçar-se uma imagem mental que explicavaa experiência original de Orsted. Tal como uma corrente ascendente de ar se transforma por vezesnum tornado, especulou se uma corrente ascendente de eletricidade podia produzir redemoinhos demagnetismo, provocando um ligeiro movimento a qualquer agulha magnética que se encontrasse nasproximidades.

Faraday percebeu que esta imagem tinha mais de palpite do que de propriamente teoria, mas haviauma maneira de a testar: se a corrente elétrica produzia de fato um tornado magnético, então os seusventos rotativos fariam girar continuamente quaisquer objetos magnéticos que se encontrassem nasproximidades, e não apenas de forma ligeira, como acontecia com a agulha magnética de Orsted. Aquestão era saber como fazer isso acontecer. Após semanas de experimentação, a resposta surgiu.Primeiro, ele pegou um ímã em forma de barra e alinhou-o com a vertical. Nessa posição, colocou-onum recipiente com mercúrio, de modo que o ímã passou a flutuar em pé, como uma pequena bóia.Em seguida colocou um fio condutor no centro do recipiente e fez passar através deste uma correnteelétrica em direção ao teto. Como resultado, algo notável aconteceu: o ímã-bóia começou a rodar emtomo do condutor, tal como se fosse arrastado por uma corrente invisível, no sentido anti-horário.

Com esta simples experiência, Faraday matou dois coelhos com uma só cajadada. Confirmou asua teoria do tornado magnético e no processo criou o primeiro motor elétrico do mundo. Futura-mente, os engenheiros encarregar-se-iam de aperfeiçoar a tosca engenhoca concebida por Faraday,criando motores elétricos que acabariam por bater em potência os motores de vapor que propulsion-avam a revolução industrial. Mesmo a um século de distância, com motores elétricos a serem pro-duzidos em todos os tamanhos e feitios, o princípio que os força a girar ainda é o do campo de forçasmagnéticas em forma de tornado, reconhecido pela primeira vez pelo prodígio da classe trabalhadorainglesa.

A sua fama disparou, tal como sucedeu à altura das pilhas voltaicas: para obter eletricidadeem quantidade suficiente para alimentar motores elétricos com potências significativas, os cientis-tas viram-se forçados a construir baterias de dimensões tais que ocupavam divisões inteiras.

No laboratório, o despretensioso Faraday trabalhava agora mais arduamente do que nunca paraencontrar a resposta a uma questão que o intrigava desde a descoberta do motor elétrico. Se a eletri-cidade podia produzir magnetismo, porque não seria o inverso verdadeiro? Porque o magnetismo nãopoderia produzir eletricidade? Muitos cientistas se puseram à mesma questão, mas não conseguiramencontrar uma resposta. Nem mesmo Orsted teve sucesso, apesar de ter trabalhado dia e noite paradescobrir o complemento lógico da sua descoberta original. A 29 de Agosto de 1831, Faraday encon-trou o filão. Começou a enrolar um comprido fio metálico em torno de um segmento de um anel deferro e em seguida, fez o mesmo em torno do outro segmento do anel. Se os fios metálicos fossemligaduras, o braço circular do anel aparentaria possuir feridas em dois pontos opostos. Como sempre,o plano de ação de Faraday era bastante simples: faria passar uma corrente elétrica pela primeiraligadura de fio, produzindo um vento magnético que percorreria todo o anel. Se a dita tempestade

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magnética produzisse uma corrente elétrica na outra ligadura de fio, Faraday teria encontrado aquiloque todos procuravam: o magnetismo teria criado eletricidade.

Se tal coisa acontecesse, antevia Faraday, provavelmente a corrente elétrica produzida seria ex-tremamente débil e por isso nunca havia sido detectada. Assim, ligou o segundo segmento a umamperímetro capaz de detectar o menor vestígio possível de corrente elétrica. Agora era tudo ounada. Ao eletrificar o primeiro enrolamento através de uma pilha voltaica, olhou esperançoso para oamperímetro. O ponteiro moveu-se! “Oscilou e voltou à posição de repouso”, escreveu histéricae históricamente no registro. Durante uns momentos, Faraday olhou estupefato para o ponteiro.Voltaria ele a mover-se? Após alguns minutos de espera vã, desistiu. Todavia, ao desligar a pilhaficou surpreendido ao observar “mais uma vez uma perturbação no amperímetro”. Durante o resto danoite, Faraday continuou a ligar e a desligar o anel da pilha. A de cada vez que o fazia, o ponteiro doamperímetro movia-se em espasmos. Finalmente fez-se luz no seu espírito e nesse momento sentiu-se como o jovem que saltara de alegria numa véspera de Natal, quase vinte anos antes. A correnteelétrica no primeiro enrolamento produzia um tornado magnético que, por sua vez, produzia umacorrente elétrica no outro enrolamento. Mas isso acontecia apenas quando a intensidade do tornadoaumentava ou diminuía. Estavam explicados os saltos do ponteiro: de cada vez que Faraday lig-ava/desligava a pilha, o tornado magnético surgia/desaparecia, produzindo o efeito. Entre esses doismomentos, desde que os ventos magnéticos se mantivessem estáveis ao longo do anel de ferro, nadaacontecia. Durante os meses seguintes, Faraday passou em revista e refinou o equipamento, chegandosempre às mesmas conclusões que confirmavam a descoberta original. Em 1831, finalmente, Faraday- o prodígio da Royal Institution, então com 40 anos de idade, resumia a sua descoberta históricanuma única frase:

“Sempre que uma força magnética aumenta ou diminui, produz eletricidade. Quanto mais de-

pressa se dá esse aumento ou diminuição, mais eletricidade se produz.”

Embora a eletricidade e o magnetismo se pudessem afirmar individualmente, na verdade estavaminexplicavelmente associados, surgindo sempre um onde quer que o outro estivesse presente. Seriapor este motivo que a ciência acabaria por batizar esta bizarra relação de forças com um único epítetohíbrido: eletromagnetismo. Com esta nova forma de encarar a eletricidade e o magnetismo, Faradaye os seus sucessores concretizaram finalmente uma parte do antigo sonho científico da unificação dasforças da natureza.

O trabalho de unificação dos fenômenos elétricos e magnéticos ficou a cargo de James ClerkMaxwell, anos após a publicação dos trabalhos de Faraday, que obteve convergência total em quatroúnicas equações, que levam o seu nome. Nas equações completas de Maxwell, leva-se em conta asvariações temporais dos campos elétricos e magnéticos, estabelecendo a relação entre eles:

“Um campo elétrico produz um campo magnético e um campo magnético variável produz um

campo elétrico.”

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Equivale a dizer que uma corrente elétrica gera um campo magnético e um campo magnéticovariável produz uma corrente elétrica.

Após este breve histórico, começaremos apresentando outro tipo de campo elétrico: o campo

elétrico induzido ou força eletromotriz induzida - fem. Uma força eleromotriz é uma tensão que surgea partir de condutores que se movem em um campo magnético, ou a partir de campos magnéticosvariantes e é regida pela lei de Faraday (lei de indução de Faraday), mais conhecida como:

fem = V = −dΦ

dt=∮

~E · d~L = − d

dt

∫S

~B · d~S,

na qual dΦdt

é a variação do fluxo magnético no tempo. O valor desta derivada pode ser não-nula emtrês situações:1) no caso de um fluxo variável no tempo através de um caminho fechado estacionário e2) no caso de um movimento relativo entre um fluxo estacionário e um caminho fechado.3) no caso de uma combinação entre as duas primeiras.

O sinal negativo indica que a fem-induzida flui no sentido inverso do fluxo de corrente original.Haverá, portanto, uma redução no fluxo de corrente original⇒ lei de Lenz.

Em 1832, o jovem físico escocês Maxwell publicou a sua obra de referência Tratado da eletri-

cidade e Magnetismo, na qual traduziu a simples afirmação de Faraday numa equação matemática.Maxwell empregou a letraB para designar o magnetismo e a letraE para designar a eletricidade. Em-pregou igualmente o símbolo − ∂

∂tpara representar a expressão “a taxa de crescimento ou diminuição

de ...” e o símbolo ~∇× para designar “o valor de ...”. Assim sendo, a descoberta de Faraday resumia-se à seguinte equação:

~∇× ~E = −∂~B

∂t .(3.1)

Isto é, a quantidade de eletricidade produzida pelo magnetismo era igual à taxa de aumento oudiminuição da força causadora. Um campo magnético que varia rapidamente produz uma grandequantidade de eletricidade, enquanto que um campo magnético que registra variações lentas produzuma ínfima corrente elétrica. Se o campo magnético se mantiver constante no tempo, não há pro-dução de eletricidade. Embora tenha se expressado numa linguagem considerada pouco elegante pelaciência, Faraday olhara para o mundo com olhos de poeta: tinha visto a simplicidade onde existiacomplexidade. Juntamente com Orsted, mostrou que a eletricidade podia gerar magnetismo e que omagnetismo podia gerar eletricidade, uma relação genética tão incestuosa como nenhuma outra exis-tente na natureza. Quando um condutor se movimenta num fluxo magnético, surge um campo elétricoinduzido devido ao movimento, que é dado por:

~E = ~v × ~B ,(3.2)

na qual ~v é a velocidade do condutor e ~B, o vetor indução magnética. Assim, o campo elétricoinduzido tem duas componentes:

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(a) a componente devido à variação temporal do campo magnético, dado pela equação 3.1. Aplicandoo teorema de Stokes a esta equação, encontramos a tensão induzida:

∫S

∂ ~B

∂t· d~S = −

∮~E · d~L ,

que também representa a lei de Lenz.(b) a componente devido ao movimento do condutor no espaço, dado pela equação 3.2, que é a tensão

∫~E · d~L =

∫(~v × ~B) · d~L .

A tensão induzida é a soma das duas contribuições:

V =∫L

~E · d~L −∫S

∂ ~B

∂t· d~S .

A forma diferencial (ou pontual) desta equação é:

(~∇× ~E) = −∂~B

∂t.

As duas últimas são as formas integral e diferencial de uma das quatro equções de Maxwell. Seobservarmos bem: quando ~B não varia com o tempo, elas se reduzem às equações eletrostáticas:∮ ~E · d~L = 0 e ~∇× ~E = 0.

Exemplo:

Uma espira retangular de lados a e b, posicionada no plano do papel, está imersa numa regiãode campo magnético ~B, saindo perpendicularmente ao plano, como mostra a figura. A espira giracom uma velocidade angular ~ω. Determine a força eletromotriz induzida e o sentido da corrente nocircuito. Calcule também o valor da corrente induzida em função da resistência elétrica, R, da espira.

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Correntes de deslocamento

Agora vamos analisar o que acontece quando um campo elétrico varia no tempo. Partimos da leicircuital de Ampère,

∮ ~H · d~L = I , que afirma que a integral de linha de ~H sobre qualquer caminhofechado d~L corresponde à corrente elétrica que circula por este caminho. Lembre-se: o sentido dacorrente é dado pela regra da mão direita.

Aplicando o teorema de Stokes à integral acima, temos:

∮~H · d~L =

∫S

(~∇× ~H) · d~S = I =∫S

~J · d~S.

Então: (~∇× ~H) = ~J . Além disso: aplicando o teorema da divergência a∫S~J · d~S, temos:

I =∫S

~J · d~S =∫V

(~∇ · ~J) dv = −dQdt

,

na qual a derivada de Q em relação a t representa a taxa de decaimento do fluxo de portadores decarga positiva (corrente convencional) para fora da superfície limitada por S, sendo Q a carga totalenvolvida pela superfície fechada, definida pela integral de volume. Ou seja: a densidade volumétricade carga, ρv = dQ / dv, então:

∫V

(~∇ · ~J) dv = − d

dt

∫ρvdv,

a qual, para superfícies constantes no tempo, fica simplesmente:

∫V

(~∇ · ~J) dv = −∫ ∂ρv

∂tdv,

e obtemos, então a Equação da Continuidade:

~∇ · ~J = −∂ρv∂t

.

Se lembrarmos das aulas anteriores .... em uma delas tomamos o divergente do rotacional de ~H:

~∇ · (~∇× ~H) = ~∇ · ~J = 0.

Se compararmos as duas últimas equações, percebemos que há algo de conflitante entre as duas.O caso em que ∂ρv / ∂v = 0 é uma limitação irreal. Portanto, há a necessidade de realizar umacorreção para o caso dos campos variantes no tempo. Essa correção se faz adicionando um campovetorial ~G à densidade de corrente ~J . Assim:

~∇× ~H = ~J + ~G,

tomando o divergente desta:

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~∇ · (~∇× ~H) = ~∇ · ~J + ~∇ · ~G = 0,

sendo, necessariamente:~∇ · ~G =

∂ρv∂t

.

É importante lembrar que a primeira equação da eletrostática, a lei de Gauss, relaciona o vetordensidade de fluxo elétrico, ~D, à densidade volumétrica de carga, ρv:

∮ε0~E · d~S = Q , ~∇ · ~D = ρv , ~D = ε0

~E,

de forma que podemos escrever:

~∇ · ~G =∂

∂t(~∇ · ~D) = ~∇ · ∂

~D

∂t,

Assim:

~G =∂ ~D

∂t,

e chegamos à relação final da lei circuital de Ampère na forma diferencial (ou pontual):

~∇× ~H = ~J +∂ ~D

∂t.

O último termo desta equação, ∂ ~D / ∂t, tem dimensão de densidade de corrente e foi denominadopor Maxwell, de densidade de corrente de deslocamento, usualmente denotado por ~Jd e é consequên-cia de uma variação temporal da corrente de deslocamento, ~D. Então:

~∇× ~H = ~J + ~Jd .

Devemos lembrar ainda que, a densidade de corrente, ~J , pode se referir a uma densidade decorrente de condução, ~J = σ ~E, consequência do movimento de cargas em uma região de densidadelíquida nula de cargas, ou à densidade de corrente de convecção, ~J = ρvdv, que é resultado davariação da densidade de cargas no volume.

Em um meio não-condutor (σ = 0), no qual nenhuma densidade volumétrica de cargas estejapresente, ~J = 0 e tem-se:

~∇× ~H =∂ ~D

∂te ~∇× ~E =

∂ ~B

∂t,

nas quais pode-se observar a simetria entre os vetores ~E e ~H e entre os vetores ~D e ~B.

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Forma diferencial das Equações de Maxwell

Agora já temos condições de tabelar as quatro equações de Maxwell, levando em conta as vari-ações temporais dos campos elétrico e magnético. A lei de Gauss, tanto para o campo elétrico quantopara o campo magnético, permanecem inalteradas pois nela, leva-se em conta somente as variaçõesespaciais dos referidos campos. As equações abaixo são capazes de descrever quaisquer fenômenoseletromagnéticos.

~∇× ~E = −∂ ~B∂t

⇒ Lei de Faraday~∇× ~H = ~J + ∂ ~D

∂t⇒ Lei de Ampère-Maxwell

~∇ · ~D = ρv ⇒ Lei de Gauss para a eletrostática~∇ · ~B = 0 ⇒ Lei de Gauss para a magnetostática

A segunda equação esconde a informação sobre a densidade volumétrica de carga, ρv, que podeser uma fonte de linhas de fluxo elétrico, se ρV > 0 ou um sorvedouro de linhas de campo elétrico,se ρv < 0. Assim, não se pode mais dizer que todas as linhas de fluxo começam ou terminam emuma carga, pois a primeira equação mostra que ~D e ~E podem ter circulações se houver um campomagnético variante no tempo estiver presente. Portanto, as linhsa de fluxo elétrico podem formar

espiras fechadas.A quarta equação de Maxwell mostra que o divergente de ~B é nulo, indicando a inexistência de

cargas magnéticas isoladas: não existem monopolos magnéticos. Portanto, o fluxo magnético ~B ésempre encontrado em percursos fechados, nunca divergindo ou convergindo para uma fonte pontual,como é possível para o fluxo elétrico.

O conjunto das quatro equações formam a base de toda a teoria eletromagnética. Elas sãoequações diferenciais parciais e relacionam os campos elétrico e magnético um com o outro e cadaum com suas fontes: a densidade volumétrica de cargas, ρv e a densidade de corrente elétrica, ~J . Asdenominações dos quatro campos relacionados nas equações de Maxwell e suas unidades estão natabela abaixo:

~D ⇒ Densidade de fluxo elétrico ou vetor deslocamento ⇒ C/m2

~E ⇒ Intensidade de campo elétrico ⇒ V/m~B ⇒ Densidade de fluxo magnético ou vetor indução magnética ⇒ Wb/m2

~H ⇒ Intensidade de campo magnético ⇒ A/m

Para chegarmos às quatro equações de Maxwell, utilizamos outras equações, as quais chamamosEquações Auxiliares ou Constitutivas, que relacionam o campo ~D com ~E e ~B com ~H:

~D = ε ~E e ~B = µ ~H ,

além destas, outras equações são relevantes: as equações que relacionam a densidade de correntede condução, ~J à intensidade de campo elétrico, ~E e a que relaciona a densidade de corrente deconvecção, ~J à densidade volumétrica de cargas, ρv:

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~J = σ ~E e ~J = ρv~v .

Nas relações acima, as grandezas ε, µ e σ representam a permissividade elétrica do material, apermeabilidade magnética do meio e a condutividade elétrica do material, respectivamente. Outrosdetalhes que devemos lembrar é que, como visto na discipilna de Eletromagnetismo I, certos materiaispodem sofrer um efeito relevante de polarização elétrica, representado pelo vetor polarização, ~P . E,como visto em aulas anteriores, certos materiais podem sofrer um efeito relevante de magnetização,representado pelo vetor magnetização, ~M . nestes casos é necessário somar essas contribuições:

~D = ε ~E + ~P e ~B = µ( ~H + ~M) ,

lembrando que a polarização elétrica pode ser entendida como a soma dos momentos de dipoloelétrico por unidade de volume e, a magnetização é a soma dos momentos magnéticos dos porta-dores de carga negativa do material por unidade de volume. O vetor polarização depende de umagrandeza que caracteriza o material dielétrico, χe, a susceptibilidade elétrica do dielétrico, que medeo quanto o dielétrico é sensível a um campo elétrico. O vetor magnetização do material depende asusceptibilidade magnética, χm, que mede o quanto o material é sensível a um campo magnético:

~P = χeε0~E e ~M = χm ~H .

Definimos também, grandezas relativas: a constante dielétrica do dielétrico, εr = εε0

e a perme-abilidade magnética relativa, µr = µ

µ0. Definimos ainda, as relações entre ε e χe e µ e χm:

εr = 1 + χe =ε

ε0

e µr = 1 + χm =µ

µ0

.

Na tabela abaixo encontra-se uma lista das grandezas relacionadas aos vetores polarização elétricae magnetização:

~P vetor polarização C/m2

ε permissividade elétrica do material V/mε0 permissividade elétrica do vácuo 8, 85.10−12 F/mεr permissividade relativa adimensionalχe susceptibilidade elétrica adimensional~M vetor magnetização A/m2

µ permeabilidade magnética do material H/mµ0 permeabilidade magnética do vácuo 1, 26.10−6 H/mµr permeabilidade relativa adimensionalχm susceptibilidade magnética adimensional

A última equação, que não podemos esquecer, é a força de Lorentz:

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~F = q( ~E + ~v × ~B) .

Forma integral das Equações de Maxwell

As formas integrais das equações de Maxwell são usualmente mais fáceis de serem reconhecidasem termos das leis experimentais, a partir das quais elas foram obtidas pela generalização do processo.Experimentos exploram grandezas físicas macroscópicas e portanto, os seus resultados são melhorexpressos em termos de relações integrais.

∮ ~E · d~L = −∫S

∂ ~B∂t· d~S ⇒ Lei de Faraday∮ ~H · d~L =

∫S~J · d~S +

∫S

∂ ~D∂t· d~S = I +

∫S

∂ ~D∂t· d~S ⇒ Lei de Ampère-Maxwell∮ ~D · d~S = ε

∮ ~E · d~S = q ⇒ Lei de Gauss para a eletrostática∮ ~B · d~S = 0 ⇒ Lei de Gauss para a magnetostática

Forma harmônica das Equações de Maxwell

Até agora assumimos que a dependência temporal dos campos eletromagnéticos, ( ~E(t), ~D(t),~H(t) e ~B(t)) é arbitrária. A partir de agora assumiremos que estes campos variam harmonicamentecom o tmpo. Ou seja: a dependência temporal destes campos se dá por forma de ondas senoidaisperiódicas no tempo. esta aproximação tem muita aplicação prática no estudo de ondas eletromag-néticas, como emissão e transmissão de ondas de rádio, tv, banda larga, telefonia fixa e celular, etc,além de poder ser estendida para a maioria das formas de ondas, através da transformada de Fourier.Funções senoidais e cossenoidais são expressas como fasores.

Um fasor é um número complexo, z = x + iy, com i =√−1. utilizando a fórmula de Euler,

podemos escrever:

z = x+ iy = reiφ = r(cosφ+ i sinφ) , sendo: r = |z| =√x2 + y2 e: tanφ =

y

x,

x é dito parte real e y, a parte imaginária, r é a magnitude e φ, a fasedo fasor z. a representação de z na forma retangular, z = x + iy e naforma polar, z = reiφ estão ilustradas na figura. A soma e a subtração defasores são mais facilmente efetuadas na forma retangular, enquanto que oproduto e o quociente de fasores são melhores efetuados na forma polar.Para introduzir a dependência temporal, utilizamos a relação:

φ = ωt+ θ , reiφ = rei(θ+ωt) ⇒ reiφ = reiθeiωt) ,

sendo θ uma função qualquer do tempo ou das coordenadas espaciais, podendo ser constante e ωrepresenta a velocidade angular, dada em rad/s. As partes real e imaginária de z são dadas por:

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Re(reiφ) = r cos (ωt+ θ) e Im(reiφ) = r sin (ωt+ θ) .

Podemos ilustrar a utilização de fasores com um exemplo simples: Considere que, a correntesenoidal dada por I1(t) = I0 cos(ωt+ θ) é igual à parte real da corrente I2(t) = I0e

iφ = I0eiθeiωt. O

termo complexo é dito fasor corrente, IS = I0eiθ. O subíndice S serve para indicar a forma fasorial

de I(t).De maneira geral, uim fasor pode ser um escalar ou uma vetor. Se um vetor ~A(x, y, z, t) é um

campo harmônico no tempo, a forma fasorial de ~A é ~AS(x, y, z) e a relação entre as duas grandezasfica dada por:

~A = Re( ~ASeiωt) .

Por exemplo: Se ~A = A0 cos (ωt− βx)ay, podemos escrever o vetor ~A como:

~A = Re( ~ASeiωt) = Re[(A0e

−iβxay)eiωt] ,

sendo A0e−iβxay a forma fasorial de ~A.

A diferenciação de fasores é bem simles. Para o exemplo anterior, a derivada de ~A e relação aotempo é:

∂ ~A

∂t=

∂

∂tRe( ~ASe

iωt) = Re(iω ~ASeiωt) ,

ou seja: para encontrar a derivada temporal de uma grandeza instantânea basta multiplicar sua formafasorial por iω e a operação derivada fica equivalente à:

∂ ~A

∂t→ iω ~AS ,

e a integração corresponde à:

∫~A∂t →

~ASiω

.

Observe atentamente a diferença entre a forma instantânea ~A(x, y, z, t) e a forma fasorial ~AS(x, y, t):a primeira é real e dependente do tempo, enquanto que a segunda é complexa e invariante no tempo.

Aplicando o conceito de fasor às equações de Maxwell para campos variantes no tempo, ~E(x, y, z, t),~D(x, y, z, t), ~B(x, y, z, t), ~J(x, y, z, t) e ρv(x, y, z, t), obtemos:

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~∇ · ~DS = ρvs ⇒∮ ~DS · d~S =

∫ρvSdv ⇒ Gauss - eletrostática

~∇ · ~BS = 0 ⇒∮ ~BS · d~S = 0 ⇒ Gauss - magnetostática

~∇× ~ES = −iω ~BS ⇒∮ ~ES · d~L = −iω

∫ ~BS · d~S ⇒ Faraday~∇× ~HS = ~JS + iω ~DS ⇒

∮ ~HS · d~L =∫

( ~JS + iω ~DS) · d~S ⇒ Ampère-Maxwell

Ilustração:

1) Expresse o campo elétrico Ey = 100 cos(108t− 0, 5z + 30o) V/m como um fasor.

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Capítulo 4

Onda Plana Uniforme

Uma das principais aplicações das equações de Maxwell é o estudo da propagação de ondaseletromagnéticas (EM). A existência deste tipo de onda é prevista pelas equações de Maxwell e foi,inicialmente, estudada por Henrich Hertz, que após muitos cálculos e experimentos conseguiu gerare detectar ondas de rádio.

Ondas são um meio de transportar energia ou informação. Existem ondas mecânicas, de impacto eeletromagnéticas. Um exemplo de onda mecânica é o som. Este tipo de onda só se propaga em meiosmateriais. Uma onda de impacto (ou de choque) é uma onda sônica pulsada, de frequências acima dafrequência audível e também precisa de meios materiais para se propagar. Um exemplo (aterrorizador,por sinal), são as ondas de choque provocadas por grandes explosões, como de uma bomba atômica.Ondas eletromagnéticas (EM) não necessitam de meios materiais para se propagarem, podendo sepropagar no vácuo. O exemplo mais cotidiano de onda EM é a luz visível. Porém, existem muitomais ondas EM se espalhando pelo espaço e ao nosso redor, formando um imenso espectro de ondaseletromagnéticas: o espectro eletromagnético!.

Cada onda EM é caracterizada pela sua frequência, ν e pelo seu comprimento de onda, λ. Omódulo da velocidade, v, de qualquer onda EM num meio qualquer é dado por v = νλ e no vácuo(ou no ar) este valor é sempre o mesmo: c = 3.108 m/s, a velocidade da luz. Então: c = νλ, paraqualquer onda que se propaga no vácuo. Assim, todas as ondas eletromagnéticas são “luzes”! Porém,a sensibilidade visual do ser humano só nos permite enxergar uma pequena faixa destas “luzes”,chamada de espectro visível.

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Capítulo 4: Onda Plana Uniforme

Praticamente toda a troca de energia entre a Terra e o resto do Universo ocorre por radiação

(propagação de ondas EM), que é a única que pode atravessar o relativo vazio do espaço. O sistemaTerra-atmosfera está constantemente absorvendo radiação solar e emitindo sua própria radiação parao espaço. Numa média de longo prazo, as taxas de absorção e emissão são aproximadamente iguais,de modo que o sistema está muito próximo ao equilíbrio radiativo. A radiação também tem papel im-portante na transferência de calor entre a superfície da Terra e a atmosfera e entre diferentes camadasda atmosfera.

Todas as formas de ondas EM compartilham de três características fundamentais:

• são irradiadas a partir de uma fonte (uma antena, por exemplo), sem a necessidade de um meiode propagação;

• se propagam em altas velocidades, no vácuo: c = 3.108 m/s;

• apresentam propriedades ondulatórias.

A velocidade de propagação de uma onda EM, que se propaga em um meio diferente, é diferente!Mudou o meio, muda a velocidade de propagação. Até agora, estudamos separadamente, fenômenoselétricos e magnéticos em meios condutores e isolantes, pois o nosso interesse é estudas os fenômenosfísicos nos materiais que utilizamos para confeccionar nossos dispositivos tecnológicos. Porém, aindanão estudamos os efeitos que aparecem nesses materiais, quando analisamos a associação dos fenô-menos eléricos e magnéticos sobre eles. As ondas EM interagem com o meio material no qual ela se

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propaga! Por isso, a velocidade de propagação de uma onda EM muda, de acordo com o material noqual ela se propaga!

Qualquer fenômeno eletromagnético pode ser descrito a partir das equações de Maxwell, pois sãofenômenos que envolvem ondas EM que se propagam em um determinado meio. Assim, o objetivodeste capítulo é resolver as equações de Maxwell para ondas EM que se propagam nos seguintesmeios materiais:

Meio de propagação Condutividade Permissividade Permeabilidadeespaço livre σ = 0 ε = ε0 µ = µ0

dielétricos sem perdas σ ≈ 0 ε = ε0εr µ = µ0µrdielétricos com perdas σ 6= 0 ε = ε0εr µ = µ0µrbons condutores σ ≈ ∞ ε = ε0εr µ = µ0µr

Propagação de ondas no espaço livre

A seguir, trabalharemos com campos magnéticos e elétricos variáveis no tempo, que gerar on-das eletromagnéticas. Para demonstrar que as equações de Maxwell levam, inevitavelmente, a ondaseletromagnéticas, é necessário fazer uso das equações de Maxwell na forma diferencial. Começare-mos com a propagação da onda eletromagnética no vácuo. Limitaremos a este caso particular devidoas dificuldades matemáticas para resolver um sistema de equações de onda.

Devido ao fato de não existirem cargas elétricas ou correntes elétricas no vácuo, as equações deMaxwell assumem a seguinte forma:

~∇× ~E = −∂ ~B∂t

~∇× ~B = µ0ε0∂ ~E∂t

~∇ · ~E = 0 ~∇ · ~B = 0

A partir das leis de Faraday e de Ampère, podemos deduzir as equações de onda:

∇2 ~E = µ0ε0∂2 ~E

∂t2e ∇2 ~B = µ0ε0

∂2 ~B

∂t2.

Faça estas deduções junto com o professor!

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Na forma cartesiana:

∇2 ~E =

∂2 ~Ex∂x2 + ∂2 ~Ex

∂y2+ ∂2 ~Ex

∂z2= µ0ε0

∂2 ~E∂t2

∂2 ~Ey∂x2 + ∂2 ~Ey

∂y2+ ∂2 ~Ey

∂z2= µ0ε0

∂2 ~E∂t2

e∂2 ~Ez∂x2 + ∂2 ~Ez

∂y2+ ∂2 ~Ez

∂z2= µ0ε0

∂2 ~E∂t2

∇2 ~B =

∂2 ~Bx∂x2 + ∂2 ~Bx

∂y2+ ∂2 ~Bx

∂z2= µ0ε0

∂2 ~B∂t2

∂2 ~By∂x2 + ∂2 ~By

∂y2+ ∂2 ~By

∂z2= µ0ε0

∂2 ~B∂t2

.∂2 ~Bz∂x2 + ∂2 ~Bz

∂y2+ ∂2 ~Bz

∂z2= µ0ε0

∂2 ~B∂t2

A quantidade µε tem o valor do inverso do quadrado da velocidade de propagação da onda nomeio. Ou seja:

v =1√µε

.

No vácuo, a onda se propaga com a velocidade da luz, c:

c2 =1

µ0ε0

,

então podemos escrever as equações de onda no vácuo como:

1

c2

∂2 ~E

∂t2−∇2 ~E = 0 e

1

c2

∂2 ~B

∂t2−∇2 ~B = 0 .

Para simplificar o estudo do sistema de equações acima, restringiremos a um caso particular, cujasolução seja relativamente simples. Isto não invalidará os resultados obtidos pois suas soluções valempara qualquer caso.

Vamos supor que é possível estabelecer campos elétricos e magnéticos que satisfaçam as condições:campo elétrico uniforme que tenha apenas uma componente na direção y e campo magnético uni-forme apontando na direção x, para uma onda EM que se propaga na direção z. Ou seja, E(y, t) eB(x, t), dependentes do tempo e de apenas uma coordenada espacial. Então, temos os campos:

~E =< 0, Ey, 0 > e ~B =< Bx, 0, 0 > .

Substituindo esses campo nas equações, obtemos:

∂2Ey∂z2

=1

c2

∂2Ey∂t2

e∂2Bx

∂z2=

1

c2

∂2Bx

∂t2.

O par de soluções sugeridas para este problema é: Ey = E0 sin (k0z − ωt) eBx = B0 sin (k0z − ωt).A partir destas soluções, podemos chegar numa conclusão muito interessante e importante: a con-clusão a que Maxwell chegou e que espantou toda a comunidade científica da época: qualquer onda

EM no vácuo se propaga com a velocidade da luz!!

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Faça as contas junto com o professor e verifique a descoberta de Maxwell, que o permitiu unificara óptica com o eletromagnetismo:

Exercícios:

1) A equação ∇2 ~ES = −k20~ES , com k0 = ω

√µ0ε0 sendo o número de onda no espaço livre, é

conhecida como equação vetorial de Helmholtz e representa a forma harmônica da equação de ondapara o campo elétrico no espaço livre. Mostre que ExS = Aei(k0z+φ) é uma solução desta equação.

2) Dado o campo ~E(z, t) = 200 sin 0, 2z cos 108ti+500 cos (0, 2z + 50o) sin 108tj V/m, calcule:a) ~E em P (0; 2; 0, 6) com t = 25 ns;b) | ~E| em P (0; 2; 0, 6) com t = 25 ns;c) ES em P (0; 2; 0, 6).

3) Um campo ~H no espaço livre é dado por ~H(x, t) = 10 cos 108t− kxay A/m. Determine:a) k;b) λ;c) ν;d) ~E(x, t) em P (0, 1; 0, 2; 0, 3) em t = 1 ns.

4) Dado ~ES = (40− i30o)ei20z ax V/m. Determine:a) k;b) ω;c) ν;d) λ.

5) Uma onda plana uniforme, de 150 MHz, no espaço livre, é descrita por~HS = (4 + i10)(2ax + iay)e

−ikz A/m. Determine:a) ω;b) λ;c) k;d) ~H(z, t) para z = 20 cm com t = 1 ns.

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1) Na figura abaixo, B = 0, 2 cos 120πt T . Considere que o condutor que une as duas extremi-dades do resistor é perfeito. Pode-se admitir que o campo magnético produzido por I(t) é desprezível.Determine:a) Vab(t);b) I(t).

2) Dado o campo ~B = (0, 5ax+0, 6ay−0, 3az) cos 5000t T e uma espira quadrada filamentar comseus vértices em (2, 3, 0), (2,−3, 0), (−2, 3, 0) e (−2,−3, 0), determine a função que dá a variaçãoda corrente no tempo, I(t), que flui na direção aφ, se a resistência total da espira é 400 kΩ.

3) Considere a região definida por |x| < 1, |y| < 1 e |z| < 1. Seja εr = 5, µr = 4 e σ = 0. Se~Jd = 20 cos (1, 5× 108t− bx)ay µA/m

2, determine:a) ~D e ~E;b) ~B e ~H;c) ~∇× ~H = ~Jd + ~J ;d) b.

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Propagação de ondas em dielétricos com perdas

Um dielétrico com perdas é um meio no qual ondas EM perdem energia à medida que se propagam,devido à condutividade do meio. Em outras palavras, um dielétrico com perdas é um meio parcial-mente condutor, que pode ser um dielétrico imperfeito ou um condutor imperfeito, para o qual σ 6= 0.

Considere um dielétrico com perdas, linear, isotrópico, homogêneo e livre de cargas (ρv = 0). Aforma diferencial harmônica das equações de Maxwell reduzem-se à:

~∇ · ~ES = 0 ,

~∇ · ~HS = 0 ,

~∇× ~ES = −iωµ ~HS ,

~∇× ~HS = (σ + iωε) ~ES .

Podemos obter a equação de onda para a onda EM que se propaga neste meio, aplicando o opera-dor rotacional em ambos os membros da lei de Faraday:

~∇× ~∇× ~ES = −iωµ~∇× ~HS ,

utilizando a identidade vetorial ~∇× ~∇× ~A = ~∇(~∇ · ~A) −∇2 ~A e com o auxílio da quarta equaçãode Maxwell, obtemos:

~∇(~∇ · ~ES)−∇2 ~ES = −iωµ(σ + iωε) ~ES ,

que pode ser simplificada, utilizando a primeira equação de Maxwell:

∇2 ~ES − γ2 ~ES = 0 com γ2 = iωµ(σ + iωε) .

utilizando um procedimento similar, obtemos a equação de onda para ~HS:

∇2 ~HS − γ2 ~HS = 0 .

As duas equações de onda acima são as chamadas equações vetoriais homogêneas de Helmholtz

ou equações vetoriais de onda, nas quais γ é dito constante de propagação (por metro) e é umagrandeza complexa, podendo ser escrita como:

γ = α + iβ ,

nas quais as constantes α e β são encontradas a partir da parte real de γ2:

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Re(γ2) = (α + iβ)2 = α2 − β2 = −ω2µε .

Por outro lado, o módulo de γ2 é dado por

|γ2| = β2 + α2 = ωµ√σ2 + ω2ε2 .

Combinando as duas últimas equações, chegamos aos valores finais de α e β:

α =

√√√√√µε

2

√1 +(σ

ωε

)2

− 1

e β = ω

√√√√√µε

2

√1 +(σ

ωε

)2

+ 1

.A solução para as equações de onda podem ser encontradas de forma mais simples, se conside-

rarmos uma onda que se propaga na direção +az, com campo elétrico somente na direção ax. Então:~v = vzaz e ~ES = ExS(z)ax. Substituindo estas na equação de onda, temos:

(~∇2 − γ2)ExS(z) =∂ExS(z)

∂x2+∂ExS(z)

∂y2+∂ExS(z)

∂z2− γ2ExS(z) = 0 ,

como o campo varia apenas na coordenada z, as duas primeiras derivadas são nulas e resta apenas:

d2ExS(z)

dz2− γ2ExS(z) = 0 ,

que é uma equação diferencial, homogênea e linear, cuja solução possui a forma:

ExS = E0e−γz + E ′0e

γz ,

sendo E0 e E ′0, constantes a determinar. Para grandes distâncias, z → ∞, o campo deve ser finito,portanto: E ′0 = 0. A forma instantânea de ~E pode ser obtida tomando-sa a parte real da equaçãoacima:

~E(z, t) = Re[ExS(z)eiωtax] = Re[E0e−αzei(ωt−βz)ax] ,

ou, de forma equivalente:

~E(z, t) = E0e−αz cos (ωt− βz)ax .

Através do mesmo procedimento, encontramos a expressão para o campo magnético:

~H(z, t) = Re[HxS(z)eiωtay] = R[H0e−αzei(ωt−βz)ay] ,

estando H0 relacionado com E0 por meio da impedância intrínseca do meio, η, medida em ohms:

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η =E0

H0

.

A impedância intrínseca do meio é uma grandeza complexa dada por:

η =

√iωµ

σ + iωε= |η|eiθη , sendo:

|η| =

√µε[

1 +(σωε

)2]1/4

e tan (2θη) =σ

ωεpara 0 ≤ θη ≤ 45o .

A forma final de ~H(z, t) é:

~H(z, t) =E0

|η|e−αz cos (ωt− βz − θη)ay .

Comparando as expressões finais para ~E(z, t) e ~H(z, t), observa-se que os campos elétrico emagnético são ortogonais: enquanto um deles oscila perpendicularmente ao eixo x, o outro oscilaperpendicularmente ao eixo y, enquanto os dois se propagam na direção z. Além disso, pode-seobservar que a amplitude decresce por meio de um fator e−αz. Por esta razão, a constante α é chamadade constante de atenuação (ou fator de atenuação) do meio e, para α > 0, representa uma medida dataxa de decaimento espacial da onda no meio. A unidade de α é o decibéis por metro (dB/m). Umaatenuação de 1 dB/m corresponde a uma redução de e−1 ≈ 37% do valor original. Outra unidadeutilizada para α é o nepers por metro (Np/m). A relação de conversão entre as duas unidades é:

1 Np = 20 log10 e = 8, 686 dB .

No espaço livre, α = 0, portanto a onda não é atenuada enquanto se propaga, mantendo a suaamplitude. A atenuação da onda no meio dielétrico com perdas é mostrada na figura abaixo:

A constante β é a medida do deslocamento de fase por unidade de comprimento e é chamada de

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constante de fase ou número de onda. Pode ser espressa através da velocidade da onda, u, e tambématravés do comprimento de onda, λ:

u =ω

βou λ =

2π

β.

Pode-se perceber também, através destas expressões finais, que oscampos elétrico e magnético estão sempre defasados, para qualquerinstante de tempo, por um ângulo θη. Esta diferença de fase se dádevido à impedância intrínseca complexa do meio η. Então, o campoelétrico ~E(z, t) está sempre adiantado por um ângulo θη em relaçãoao campo magnético ~H(z, t). A razão entre as densidades de correntede condução ~Js e de deslocamento ~Jds em um meio dielétrico com perdas é dada pela tangente de θ:

| ~Js|| ~Jds|

=|σ ~ES||iωε ~ES|

=σ

ωε= tan θ ,

sendo θ = 2θη e, tan θ a tangente de perdas e θ o ângulo de perdas do meio. Embora não haja umafronteira bem definida entre bons condutores e dielétricos com perdas, a grandeza tan θ, ou o próprioθ, podem ser utilizados para quantificar as perdas de energia em qualquer meio. Um bom dielétrico(sem perdas ou perfeito) se tan θ for muito pequeno, o que significa σ >> ωε. Do ponto de vistada propagação de onda, o comportamento característico de um meio depende dos seus parâmetrosconstitutivos, σ, ε e µ, além de depender da frequência de operação. Um meio que se comporta comoum bom condutor em baixas frequências pode ser um bom dielétrico em altas frequências.

Da última equação de Maxwell, após alguns arranjos, obtem-se:

~∇× ~HS = (σ + iωε) ~ES = iωε(

1− iσ

ωε

)~ES = iωεc ~Es ,

sendo εc a permissividade complexa do meio, dada por:

εc = ε(

1− iσ

ωε

)= ε′ − iε′′

de forma que a razão entre ε′ e ε′′ seja a tangente de perdas do meio:

tan θ =ε′

ε′′=

σ

ωε.

Para o limite em que ε′′rε′r<< 1, os coeficientes α e β da constante de propagação, γ, são dados

por:

α ≈ ωε′′r2

√µ0ε0

ε′re β ≈ ω

√µ0ε0ε′r .

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Exercícios:

1) Considere uma onda plana de 1 MHz propagando-se em água doce (µr = 1 e ε′r = ε′ = 81).Perceba que, neste caso, ε′′ = 0. Isso significa que as perdas de energia são muito pequenas! Se ocampo elétrico é dado por ~E = ~Ex = 0, 1 cos (ωt− βz)ax V/m, determine:a) ω;b) β;c) λ;d) |~v|;e) η;f) ~Ex;g) ~Hy.

2) Um sinal de radar de 10 GHz pode ser representado por uma onda plana uniforme, se con-siderarmos uma região de propagação suficientemente pequena. Calcule o comprimento de onda ea atenuação, em nepers/metro, se esta onda se propaga em material cujas características contitutivassão dadas por:a) ε′r = 1 e ε′′r = 0;b) ε′r = 1, 04 e ε′′r = 9.10−4;c) ε′r = 2, 5 e ε′′r = 7, 2

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