Apostila de Mecanica Celeste

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

JLIO DE MESQUITA FILHO UNESP

CAMPUS DE GUARATINGUET

FACULDADE DE ENGENHARIA

INTRODUO MECNICA CELESTE

MARIA CECLIA ZANARDI

OUTUBRO/2009

2

SUMRIO

OBJETIVO.........................................................................................................4

INTRODUO MECNICA CELESTE.....................................................5

CAPTULO 1- CAMPO CENTRAL, AS LEIS DE KEPLER E A LEI DE NEWTON

1. Movimento do Campo Central................................................................7 2. Leis de Kepler..........................................................................................8 3. Lei de Newton..........................................................................................9 4. Movimento Anual Aparente do Sol, Sistema Equatorial, Eclptico e

Geomtrico.............................................................................................10

4.1 Sistema Equatorial.......................................................................12

4.2 Sistema de Coordenadas Eclpticas.............................................12

4.3 Sistema de Coordenadas Geomtricas.........................................13

CAPTULO 2- O PROBLEMA DE DOIS CORPOS

1. Comentrios Iniciais..............................................................................15 2. O Movimento do Centro de Massa........................................................17 3. Equaes do Movimento Relativo do Centro de Massa........................18 4. Equaes do Movimento de um Corpo em Relao a Outro.................21

4.1. Conservao do Momento Angular.............................................22 4.2. Conservao de Energia..............................................................23

5. Soluo das Equaes do Movimento...................................................25 6. Energia e Momento Angular.................................................................35 7. Velocidade da rbita Circular...............................................................38 8. Velocidade de Escape............................................................................39 9. Perodo da rbita Eclptica e Circular...................................................41

CAPTULO 3- DETERMINAO DE RBITA

1. Determinao dos Elementos Orbitais a partir do Vetor Posio e Velocidade.............................................................................................44

1.1. Elementos Auxiliares..................................................................47

2. Sistema de Coordenadas (Referncia)...................................................48 2.1. Sistema Equatorial.......................................................................48 2.2. Sistema Perifocal.........................................................................49 2.3. Sistema Orbital............................................................................50 2.4. Sistema Eclptico.........................................................................51

3. Relao entre Sistemas de Coordenadas................................................51 3.1. Mudana de Sistema de Coordenadas..........................................51

3.1.1. Mudana de Sistema de Coordenadas entre o Sistema Orbital e Perifocal...............................................................................54

3.1.2. Mudana de Sistema de Coordenadas entre o Sistema Equatorial e Perifocal.............................................................54

3.1.3. Mudana de Sistema de Coordenadas entre o Sistema Equatorial e Orbital................................................................55

4. Determinao de r

e v

no Sistema Perifocal........................................55

5. Determinao de r

e v

no Sistema inercial (Equatorial)......................58

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.............................................................71

3

OBJETIVO

O principal objetivo deste trabalho est voltado ao estudo do movimento

translacional de satlites artificiais, disponibilizando material que possa ser til para o

aprendizado de Mecnica Celeste de estudantes dos cursos de graduao da FEG/UNESP,

interessados na rea de Dinmica Orbital e Planetologia. A seqncia de apresentao dos

diversos tpicos segue a ementa da disciplina optativa de Introduo Mecnica Celeste,

dos cursos de Licenciatura em Fsica e Licenciatura em Matemtica. Os tpicos abordados

tambm fazem parte da ementa da disciplina de Dinmica Orbital, do curso de Ps-

Graduao em Fsica.

4

INTRODUO A MECNICA CELESTE

A mecnica celeste a parte da astronomia que estuda o movimento dos corpos

celestes. Enfatizando a ao de foras sob estes corpos.

Existem vrios tipos de foras perturbadoras a serem estudadas na mecnica celeste,

tais como, as foras eletromagnticas e a fora de arrastos atmosfricos nos satlites

artificiais. Porm a mais importante das foras, e por enquanto a nica a ser apresentada

neste trabalho, a fora gravitacional.

A primeira grande obra da astronomia foi escrita por Ptolomeu por volta de 127 e

141 d.C. Chamada pelos astrnomos rabes de Almagest, O Grandioso, se tornou o texto principal da astronomia at meados do sculo XVI. Pouco se sabe da vida de Ptolomeu,

apenas que viveu na Alexandria (na poca uma provncia romana). Ptolomeu baseou-se nas

idias de Aristteles e Hiparco para criar uma descrio completa de movimento de todos

os corpos celeste conhecidos, que estivessem de acordo com as observaes.

Hiparco, considerado o maior astrnomo da antiguidade, nasceu em Nicomdia

(atual Izmit, na Turquia). Produziu sua obra entre 150 e 125 a.C, sendo o primeiro a aplicar

a idia de epiciclos descrio do movimento dos corpos celeste em torno da Terra. No

sistema de descrito por Hiparco, posteriormente renovado por Ptolomeu. O Sol e a Lua

orbitavam a Terra, que se encontrava fixa no centro do universo. Os demais planetas

conhecidos descreviam rbitas epicclicas, tambm em torno da Terra.

No ano de 1473, nasce na Polnia Nicolau Coprnico, astrnomo que formulou a

teoria heliocntrica, na qual o Sol ocupava o centro do universo e os planetas orbitavam ao

redor dele, contrariando tudo que fora imposto at ento. Sua teoria s foi aceita aps as

observaes de Tycho Brahe e as descobertas de Galileu Galilei.

Tycho Brahe, o prncipe astrnomo, nasceu na Dinamarca em 1546. Foi um verdadeiro astrnomo observacional, considerado o maior astrnomo da poca.

Colecionando importantes informaes do movimento dos corpos celestes. Posteriormente

estes dados foram usados sabiamente por seu sucessor, Johannes Kepler, que mudou a

histria da astronomia ao estabelecer as leis que regem o movimento planetrio. Em 1621,

completou sua grande obra, A Eptome da Astronomia Copernicana, a exposio

astronmica mais detalhada aps Almagest de Ptolomeu.

Galileu Galilei nasceu em 1564, foi o criador do telescpio e o autor de grandes

descobertas, as quais se destacam: os satlites de Jpiter, as fases de Vnus, os anis de

Saturno e as crateras e montanhas da Lua. Descobertas que mostravam que a melhor forma

de se explicar o Sistema Solar era com a utilizao da teoria de Coprnico. Galileu foi o

personagem principal, do maior conflito entre a cincia e a religio, motivo que levou a

Igreja a proibir a publicao de suas obras.

Chegamos ento a Isaac Newton, gnio que revolucionou a histria da cincia. Seu

trabalho representa o pice da Revoluo Cientfica, uma soluo magnfica do problema

do movimento dos corpos celestes que desafiava filsofos desde os tempos pr-socrticos.

5

Ao apresentar sua soluo, Newton criou uma estrutura conceitual que iria dominar a fsica,

mudando a viso coletiva do mundo at o inicio do sculo XX. Impacto causado graas a

sua enorme eficincia de aplicar a matemtica fsica. Mostrando que todos os movimentos

observados na natureza podem ser compreendidos por simples leis de movimento expressas

matematicamente.

Na sequncia desta apostila, no Captulo 1 so apresentadas as leis de Kepler que

regem o movimento dos planetas ao redor do Sol ou de satlites artificiais em torno da

Terra, a lei de Newton, o movimento anual do Sol, os principais sistemas de referncia

necessrios no estudo do movimento translacional de satlites e diversas caractersticas

associadas com as rbitas destes satlites.

O Problema de Dois Corpos introduzido no Captulo 2, no qual as equaes do

movimento so integradas e os elementos orbitais que caracterizam a trajetria dos satlites

so definidos.

O Captulo 3 trata da determinao de rbita do satlites, com a determinao dos

elementos orbitais a partir dos valores dos vetores de velocidade e posio no fim de

queima e vice-versa.

A sequncia de apresentao dos diversos tpicos est relacionada com a com a

disciplina optativa de Introduo Mecnica Celeste, do curso de Licenciatura em Fsica e

Licenciatura em Matemtica, e os tpicos iniciais da disciplina Dinmica Orbital da Ps-

Graduao em Fsica.

6

CAPTULO 1 - CAMPO CENTRAL, AS LEIS DE KEPLER E A LEI

DE NEWTON

1. Movimento em Campo Central

O campo central se caracteriza pelo fato da energia potencial de uma partcula depender

apenas da distncia r

da partcula origem do sistema de coordenadas, ou seja:

rUU Sendo:

OPdrr ,

(Fig.1.1) Vetor Posio do ponto P em relao ao sistema inercial OXYZ.

A fora central que atua neste campo dada por:

U

r

U

r

r

UUF r

sen

11 , (1.1)

Como rUU , ento:

rr

UF

e,

r

rr

De modo que:

r

r

r

UF

, (1.2)

O movimento de uma partcula em um campo central se caracteriza:

7

1) Por ser um movimento plano; 2) Pelo momento Angular ser constante; 3) Por ser um sistema conservativo.

2. Leis de Kepler

Johannes Kepler (1571-1630), astrnomo alemo, publicou sua primeira obra,

Mysterium cosmograficum, em 1596, onde se manifesta pela primeira vez a favor da teoria heliocntrica de Coprnico. Durante 17 anos analisou e pesquisou os dados

astronmicos deixado pelo grande astrnomo dinamarqus Tycho Brache (1546-1601).

Elaborando ento, as trs Leis do Movimento Planetrio, que deram origem a Mecnica

Celeste.

So elas:

- 1 Lei de Kepler: Cada planeta descreve em torno do Sol uma rbita elptica, com o Sol ocupando um dos focos da elipse.

- 2 Lei de Kepler: A linha que une o Sol ao planeta em estudo, varre reas iguais em intervalos de tempo iguais.

- 3 Lei de Kepler: Os quadrados dos perodos orbitais dos planetas so proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores das rbitas:

- 32 aT , (1.3)

Sendo:

- T : Perodo;

- a : semi-eixo maior;

- k : constante.

As Leis de Kepler no se aplicam apenas aos planetas que se encontram na rbita solar,

mas a todos os casos em que um corpo celeste entra na rbita de um outro corpo sob a

influncia da gravitao, como: satlites artificiais da Terra, satlites naturais de planetas e

sistemas binrios de estrelas.

3. Lei de Newton: A Lei da Gravitao Universal

A lei da Gravitao Universal, tambm conhecida como lei de Newton, foi enunciada

no ano de 1687 por Sir Isaac Newton (1642-1727) em sua obra Philosophie Naturalis

Principia Mathematica, Princpios Matemticos da Filosofia Natural, onde criou uma nova mecnica baseada na ao de foras em corpos materiais. Como tambm demonstrou

que as mesmas leis fsicas so aplicveis ao estudo de objetos na Terra e nos cus.

Segundo a lei de Newton:

Duas partculas A e B de massas m1 e m2 atraem-se mutuamente seguindo o seguimento AB , com fora diretamente proporcional ao produto de suas massas e

inversamente proporcional ao quadrado da distncia que as separa.

8

Fig.1.2 Vetor posio do ponto B em relao ao ponto A.

A fora que o corpo A exerce sobre B :

a bg

2

m m G rF

rr

,

Sendo, o mdulo de gF dado pela equao abaixo:

a bg2

m m| F | G

r , (1.4)

Esta lei vlida para partculas pontuais ou para corpos rgidos com simetria

esfrica como, se suas massa estivessem concentradas em seus respectivos centros.

No caso de corpos com distribuio de massa no esfrica sua atrao mtua pode

se aproximar de gF , quando as dimenses dos corpos, possam ser consideradas

pequenas em relao s distncias que os separam.

No Sistema Solar todos os corpos, quando comparadas com o Sol, podem ser

assumidas como pontuais. Considerando-se o sistema Terra-Lua ou o caso de satlites

naturais em relao a seus planetas, a no esfericidade do corpo deve ser levada em

considerao.

A fora gravitacional uma fora central e o movimento dela resultante plano.

4. Movimento Anual Aparente do Sol, Sistema Equatorial e Eclptico

Seja uma esfera de raio infinito, com a Terra no centro desta esfera, que

denominaremos de Esfera Celeste. O plano que divide esta esfera ao meio o Plano do

Equador e a reta perpendicular a ele, que passa pelo centro a linha dos plos Norte e Sul.

Se observarmos o movimento diurno do Sol (nascendo no leste e se pondo a oeste,

devido rotao da Terra), verificamos que:

- em maro o Sol se pe aproximadamente na constelao de Peixes, situada nas proximidades do Equador;

- no incio de maio, o Sol se pe na constelao de Touro, constelao do Hemisfrio Norte;

- at junho o Sol se distncia do Equador, passando depois a aproximar-se dele at meados de setembro;

- de setembro at maro o Sol permanece no Hemisfrio Sul.

9

Fig.1.3 Movimento anual do Sol.

Fig.1.4 Movimento anual do Sol na Eclptica.

O plano do movimento anual aparente do Sol (rbita da Terra ao redor do Sol)

chamada de Eclptica, e est inclinada 2326 em relao ao Plano do Equador (obliqidade da Eclptica).

A Eclptica intercepta o Equador em dois pontos: e . A linha de interseco

entre o Equador e a Eclptica chamada de Linha dos Equincios, sendo:

- - Ponto ries ou Equincio de Primavera, para o Hemisfrio Norte: o ponto onde o

Sol cruza a Linha do Equador passando do Hemisfrio Sul para o Hemisfrio Norte

chamado nodo ascendente de rbita.

- - Ponto Libra ou Equincio de Outono, para o Hemisfrio Norte: o ponto onde o Sol cruza o Equador indo do Hemisfrio Norte para o Hemisfrio Sul chamado de nodo

descendente de rbita.

Tomando como referncia o Hemisfrio Norte, o ponto em que o Sol se encontra mais

ao norte do Equador recebe o nome de Solstcio de Vero e o ponto oposto, onde o Sol se

encontra mais ao sul, o chamado Solstcio de Inverno.

10

Verifica-se que as rbitas dos planetas conhecidos no se afastam da faixa de 8 da Eclptica com exceo de Pluto. Esta faixa da esfera celeste chamada de Zodaco.

O ponto um ponto de referncia para dois sistemas de coordenadas, teis na

Mecnica Celeste.

4.1 Sistema Equatorial: OXYZ

- OXY , Plano do Equador;

- OZ , Plo Norte;

- O , Centro de Massa da Terra;

- OX , Direo do Ponto .

Fig.1.5 Sistema Equatorial de Referncia

As coordenadas equatoriais e so utilizadas para descrever o posicionamento das estrelas nos Anurios Astronmicos.

4.2 Sistema de Coordenadas Eclpticas: eee ZYOX

- eeYOX , Plano da Eclptica;

- eOX , Direo do Ponto ;

- eOZ , Direo Plo Norte da Eclptica.

11

Fig.1.6 Sistema de Coordenadas Eclpticas

O sistema de coordenadas eclpticas o sistema mais utilizado no estudo dos

movimentos dos planetas.

4.3 Sistema de Coordenadas Geogrficas: ggg ZYOX

- ggYOX , Plano do Equador;

- gOZ , Plo Norte;

- gOX , Direo do Meridiano de Greenwich;

- ggYOX , Plano de rotao da Terra.

12

Fig.1.7 Sistema de Coordenadas Geogrficas.

13

CAPTULO 2 PROBLEMA DE DOIS CORPOS

1. Comentrios Iniciais

O problema de dois corpos, solucionado por Isaac Newton, uma boa aproximao

para descrever o movimento dos corpos celestes. Descreve a interao entre dois corpos de

massas pontuais movendo sob a ao da fora gravitacional.

Consideremos dois corpos P1 e P2 de massas m1 e m2, respectivamente, e as seguintes

hipteses (simplificaes):

A) os corpos so esfricos;

B) no existem foras externas atuantes no sistema, alm das foras gravitacionais entre

os dois corpos.

Seja o sistema de referncia (coordenadas) OXYZ e os vetores posio 1r

e 2r

de P1 e

P2 em relao a origem O:

Fig.2.1 Posio de P1 e P2 em relao ao sistema inercial.

21 rrr

, (2.1)

12 rrr

, (2.2)

r

rr

, vetor unitrio na direo de r

Sejam:

- 1F

fora de atrao de P2 em P1;

- 2F

fora de atrao de P1 em P2;

-2211 .10672,6 KgmNG (constante de gravitao universal).

14

rr

GmmF

2

211

, (2.3)

rr

GmmF

2

212

, (2.4)

Obtemos ento, as equaes do movimento dos pontos P1 e P2:

rr

GmmFrm

2

21111

, (2.5)

rr

GmmFrm

2

21222

, (2.6)

Assim:

rr

Gmr

2

21 , (2.7)

rr

Gmr

2

12 , (2.8)

Temos agora, um sistema de seis equaes diferenciais de 2 ordem ou 12 equaes

diferenciais de 1 ordem. A soluo completa do sistema de equaes envolve 12

constantes de integrao:

),,,.........,,( 1232111 tCCCCrr

),,,.........,,( 1232122 tCCCCrr

A resoluo do problema de dois corpos constitui a base da dinmica do sistema solar.

De fato as teorias mais completas do movimento de corpos ou de satlites artificiais

utilizam, o resultado do problema de dois corpos.

Em muitos problemas a serem analisados, toma-se como corpo central o mais massivo

dos corpos em estudo. Assim, em uma primeira abordagem do problema, podem-se

desprezar as foras atrativas dos demais corpos, reduzindo o problema a um problema de

dois corpos: o centro massivo e o corpo que est sendo estudado. A trajetria determinada

para o problema de dois corpos pode ser posteriormente trabalhada para levar em conta os

demais corpos.

15

2. O Movimento do Centro de Massa

Seis constantes de integrao podem ser obtidas observando que o segundo membro das

equaes 2.5 e 2.6 so iguais e de sinal contrrio.

Somando-as resulta:

02221

rmrm , (2.9)

Integrando a equao teremos:

Armrm

2211 , (2.9a)

Fig.2.2 Posio do centro de massa em relao ao sistema inercial.

BtArmrm

2211 , (2.9b)

onde A

e B

so constantes vetoriais de integrao.

A posio do centro de massa do problema de dois corpos ( CMr

):

21

2211

mm

rmrmrCM

, (2.10)

Substituindo 2.9b em 2.10 obtemos:

21 mm

BtArCM

, (2.10a)

e ento, derivamos a equao 2.5, encontrando:

16

21 mm

ArCM

, (2.11)

Portanto o centro de massa se desloca com velocidade constante e podemos associar ao

centro de massa um sistema de referncia inercial com a origem no prprio centro de

massa. Os vetores constantes so associados com a posio e a velocidade inicial de cada

corpo, isto , com a posio e velocidade inicial do centro de massa:

21 mm

B

, posio inicial do centro de massa;

21 mm

A

, velocidade inicial do centro de massa;

3. Equaes do Movimento Relativo ao Centro de Massa

Sejam '1r

e '2r

as posies de P1 e P2 em relao ao centro de massa e O`X`Y`Z` um

sistema com origem no centro de massa 'O do sistema P1 e P2.

Fig.2.3 Posio relativa de P1 e P2 em relao ao centro de massa.

'' 1212 rrrrr

, (2.12)

Logo:

CMrrr

11 ' , (2.12a)

CMrrr

212 ' , (2.12b)

Derivando as equaes 2.12a e 2.12b, teremos:

CMrrr 11' , (2.13a)

17

CMrrr 22 ' , (2.13b)

De acordo com a equao 2.10, CMr constante, logo derivando-se a equaes 2.13a e

2.13b, obtemos respectivamente:

11' rr , (2.14a)

22 ' rr , (2.14b)

Substituindo-se agora as equaes 2.14a e 2.14b respectivamente nas equaes 2.7 e

2.8, teremos:

rr

Gm

r

Gmr r

3

2

2

21' , (2.15a)

rr

Gm

r

Gmr r

3

1

2

12 ' , (2.15b)

Como a origem do sistema coincide com o centro de massa, ento nesse sistema:

21

2211 ''0mm

rmrmrCM

, (2.16)

Deste modo:

2

112

''

m

rmr

, (2.17a)

ou:

1

221

''

m

rmr

, (2.17b)

Vamos agora determinar a equao associada ao ponto P1 em termos apenas de '1r

.

Substituindo a equao 2.17a em 2.12:

''' 12

2111

2

1 rm

mmrr

m

mr

, (2.18)

E a seguir, a equao 2.18 em 2.15a obtemos:

18

2

211

3

1

3

2

21

21 '

'

'm

mmr

rm

mm

Gmr

, (2.19)

'

'' 13

1

2

21

3

21 r

rmm

Gmr

, (2.20a)

O mesmo procedimento pode ser realizado para P2, a partir da equao 2.15b de modo

que:

'

'' 23

2

2

21

3

12 r

rmm

Gmr

, (2.20b)

Deste modo podemos analisar os movimentos de P1 e P2 em torno do centro de massa

independente:

3'

'''

i

i

iir

rr

Onde: 2,1i .

4. Equaes do Movimento de um Corpo em Relao a Outro.

No caso em que a massa (m1) de um de um corpo muito maior que a massa (m2) de

um outro corpo, por exemplo, Terra-Satlite Artificial, Sol-Planeta e Planeta-Satlite

Natural,o sistema de coordenadas pode ser colocado no centro de massa do corpo de maior

massa (P1), visto que o centro de massa do Problema de Dois Corpos estar muito prximo

a ele. Esta Aproximao vlida, pois observando as massas de alguns corpos

celestes temos:

Solmmm -3

Terra 10 318 Jpiter ;

81

1 TerraJpiter mm ;

SolmKgm -624

Terra 103 ][105,97 ;

Terramm 5

Sol 103,3

19

Fig.2.4 Posio relativa de P2 em relao P1.

Como, visto na equao 2.12:

'' 1212 rrrrr

Logo:

'' 12 rrr , (2.21)

Substituindo as equaes 2.15a e 2.15b na equao 2.21, temos:

rr

Gmr

r

Gmr

3

2

3

1

321)(

r

rmmGr

3r

rr

, (2.22)

Sendo:

)( 21 mmG

Note que se o valor de m1 for muito maior que m2 (m1>>m2) ,

1Gm

Estas equaes formam um sistema de ordem seis. Se resolvermos este sistema de

equaes diferenciais, obtemos o movimento de P2 em relao a P1 e utilizando as integrais

do centro de massa ( A

, B

) teremos o movimento de P1 e P2 em relao ao sistema OXYZ.

Logo reduzimos o sistema com doze equaes diferenciais de 1 ordem para um

sistema com seis equaes diferencias de 1 ordem. Como o movimento do centro de massa

conhecido, j temos seis constantes dadas por A

e B

. Precisamos ento determinar as

outras seis constantes.

20

4.1. Conservao do Momento Angular

O momento angular especfico C

(quantidade de movimento angular) dado por:

rrC

, (2.23)

Derivando a equao 2.23:

rrrrdt

Cd

, (2.24)

Substituindo r

pelo seu valor na equao 2.22:

3

dCr r 0

dt r

, (2.25)

Portanto C

se conserva e temos mais trs constantes de integrao determinadas pelas

componentes do momento angular.

Assim precisamos determinar mais trs constantes de integrao.

Observa-se tambm , pela equao 2.23, que como C

perpendicular ao vetor posio e ao

vetor velocidade a cada instante e sendo um vetor constante, o vetor momento angular

perpendicular ao plano do movimento.

Fig2.5. Representao do vetor momento angular e os vetores velocidade e posio.

4.2. Conservao de Energia

A fora gravitacional conservativa e, portanto:

F U' , (2.26)

21

Onde U a energia potencial. Como:

rerFF )(

Ento:

U' U'(r)

E:

rer

mrF )(

2

2

, (2.27)

Mas:

rr edr

dUe

r

UF

'

'

, (2.28)

Igualando as equaes 2.27 e 2.28, teremos:

2

2

mdU'

dr r

2

2

mdU' dr

r

, (2.29)

Integrando a equao 2.29:

r

mdr

r

mrU 2

2

2)('

, (2.30)

Muitas vezes utilizamos a energia potencial por unidade de massa, o que chamamos de

energia potencial especfica:

2

'

m

UU

22

rU

, (2.31)

Provaremos a seguir que a energia total do problema se conserva, de modo que ser

necessrio determinar mais duas constantes do movimento.

Como o movimento resultante de uma fora central, o movimento plano, e as duas

outras constantes esto relacionadas com o posicionamento deste plano. O plano do

movimento chamado plano orbital.

5. Soluo das Equaes do Movimento

Como o movimento plano vamos fixar o plano XY coincidindo com o plano orbital.

Vamos introduzir tambm, coordenadas polares ( r , ), os quais associamos os vetores

unitrios re e e .

Fig.2.5 Sistema de Coordenadas Polares

Os versores re e e so dados por:

jier

sencos , (2.32)

jie

cossen , (2.33)

No sistema de coordenadas polares temos:

rerr

, (2.34)

Derivando a equao 2.34:

rr ererr

, (2.35)

23

Da equao 2.32 temos:

ejier cossen , (2.36)

Logo:

ererjirerr rr cossen

, (2.37)

Derivando agora a equao 2.37:

erererererr rr

, (2.38)

Da equao 2.33, temos:

rejie sencos , (2.39)

Logo:

rr erererererr 2

errerrr r 22

, (2.40)

Pela equao 2.22 temos que:

rer

rr

r 23

, (2.41)

Comparando as equaes 2.40 e 2.41 obtemos:

2

2

rrr

, (2.42)

2r r 0 , (2.43)

A equao 2.43 pode ser escrita como:

2d r10

r dt

Como o momento angular especfico dado por:

24

rrC

Como vimos na equao 2.23. Substituindo r

e r

, pelo seu valor dado nas equaes 2.34 e

2.35 respectivamente, temos:

erererC rr

eerC r 2

krC 2 , (2.44)

E, portanto a relao dada pela equao 2.43 est associada com a conservao do

momento angular, sendo o momento angular perpendicular ao plano do movimento:

2rC , (2.45)

Fig.2.6 Representao do vetor de momento angular e sistema de coordenadas cilndricas.

Da equao 2.45 temos:

2r

C , (2.46)

Substituindo a equao 2.46 na equao 2.42, temos:

2

2

2 rr

Crr

23

2

rr

Cr

023

2

rr

Cr

, (2.47)

Multiplicando a equao 2.47 por r temos:

25

023

2

r

rr

Crrr

022 2

22

rr

Cr

dt

d , (2.48)

E, portanto:

Ectterr

Cr

2

22

22

, (2.49)

O significado desta constante a energia total especfica do problema de

dois corpos, que se conserva, pois:

r

vE

2

2

E, de acordo com as equaes 2.39 e 2.46, obtemos:

2222 rrv

2

22

4

2222

r

Cr

r

Crrv , (2.50)

rr

CrE

2

22

22

, (2.51)

A constante E e C

so determinadas pelas condies iniciais do movimento.

A equao pode 2.49 pode ser integrada de modo a se obter )(trr . No entanto o

processo de integrao nos leva a:

cte

CrEr

EC

Er

EEt

21

22

22

22

2

2arcsen

22

1

, (2..52)

E para se determinar )(trr devemos inverter a equao 2.52, pois com ela no

conseguimos interpretar a trajetria descrita por P2.

Vamos ento retornar a equao 2.22 e reescrev-la da seguinte forma:

rer

r 2

, (Eq.2.53)

Multiplicando, vetorialmente, por C

:

26

rCr

eCr

Cer

Cr rr

322

, (2.54)

Sabendo que o valor de C

dado pela equao 2.23, substitumos este valor na

equao 2.54:

3 3 3C r r r r r r r r r rr r r

, (2.55)

Entretanto temos que:

2. rrr

, (2.56)

r r r. r r e r e . r e , (2.57)

rrrr .. , (2.58)

Substituindo ento os valores das equaes 2.56, 2.57 e 2.58 na equao 2.55,

obtemos:

3 2

r r r d r d rC r

r dt r dt rr r

, (2.59)

Logo:

d d rr Cdt dt r

, (2.60)

Integrando a equao 2.60 chegamos a:

rr C

r

, (2.61)

Multiplicamos escalarmente a equao 2.61 por r

temos:

rr C .r .rr

27

r r .C r r

C C r r cos , (2.62)

Sendo o ngulo entre

e r

.

Realizando mais algumas alteraes na equao 2.62, obtemos:

cos2 rC (2.63a)

cos

2

Cr

cos1

2

C

r , (2.63b)

Chegamos ento a soluo do problema de dois corpos, representada pela equao 2.63.

Para uma melhor interpretao do resultado, introduzimos as constantes:

2Cp , (2.64a)

E:

e , (2.64b)

Substituindo as constantes apresentadas (equaes 2.64a e 2.64b) na equao 2.62:

cos1 e

pr

, (2.65)

A equao 2.65 representa a equao polar de uma cnica, onde o ngulo entre

2POr

e o pericentro da cnica. Como mostra a figura a seguir:

28

Fig.2.7- Posicionamento do corpo P em relao ao Pericentro (Pe) da rbita.

Definimos, portanto as seguintes concluses:

i) O vetor

, dado pela equao 2.61, est apontando na direo do pericentro;

ii) A constante e a excentricidade da cnica;

iii) A constante p o parmetro da cnica, como demonstra a figura 2.8;

Fig.2.8- Geometria da cnica.

Quando possui valor igual a 90, o valor de r

passa a ser idntico ao de p .

iv) O ngulo , chamado de anomalia verdadeira;

v) O movimento P2 em torno de P1, representado por uma cnica, com P1 em um dos focos da cnica.

Adotamos como o plano do movimento o sistema OXY e o eixo OX pode no coincidir com a direo do pericentro.

Fig.2.9-Plano Orbital OXY

Introduzimos no sistema o ngulo , conhecido como argumento do pericentro, medido a partir do eixo X at o pericentro da rbita, tal que:

, (2.66)

Ou seja, posiciona o pericentro no plano orbital.

29

Outra informao importante pode ser obtida pelo estudo do momento angular

especfico C

.

Temos que lembrar que a cnica pode ser identificada pelo valor da excentricidade,

representada conforme a figura 2.10.

Fig.2.10 Excentricidade das Cnicas

O parmetro p da cnica se relaciona com a , o semi-eixo maior, atravs da relao:

21 eap , (2.67) Temos, portanto trs constantes: a , e , . A quarta constante obtida pela equao 2.45, que pode ser escrita da seguinte forma:

22

r

C

r

C

dt

d

dt

r

Cd

2 , (Eq.2.68)

Integrando a equao 2.68, temos:

0

2

dC

rdt

t

, (2.69)

Em geral assumido como instante de passagem pelo pericentro, quando 0 ,

como demonstra a equao 2.70:

30

dC

rt

2

, (2.70)

Logo temos as quatro constantes do movimento dados por : a , e , e . As quais

correspondem as constantes C

e E .

No caso geral, quando plano descrito pelo sistema XY no coincide com o plano do

movimento, so necessrios mais dois ngulos para posicionar o plano do movimento em

relao ao plano inercial XY, que so: a longitude do nodo ascendente ( ); e o ngulo de inclinao do plano orbital ( I ).

Fig.2.11 Posicionamento do plano orbital em relao ao sistema inercial.

O conjunto de variveis { a , e , I , , , ,} so os chamados elementos keplerianos e permanecem constantes no problema de dois corpos.

O sistema OXYZ normalmente utilizado no estudo do movimento dos planetas ao redor do Sol o sistema Eclptico, onde OXY o plano da eclptica (rbita da Terra ao redor do Sol) e OZ perpendicular a esse plano. Os dados orbitais de cada planeta so

dados em relao a este sistema. Assim as inclinaes dos planos orbitais dos planetas em

relao eclptica so menores que 7.5, com exceo de Pluto.

No caso do estudo movimento da Lua ou de satlites naturais ao redor da Terra, plano

de referencia OXY passa a ser o equador terrestre e o sistema o Equatorial. Para o movimento de satlites naturais ao redor dos planetas, o plano de referncia o

plano equador do planeta em estudo.

6. Energia e Momento Angular

O momento angular especfico, como j vimos, pode descrito pela equao 2.23.

Representamos o mdulo do momento angular (ou mdulo da equao 2.23) como:

31

senrvCC

, (2.71)

Onde o ngulo entre os vetores r

e r

.

Tomando como referncia o instante em que o corpo passa pelo pericentro, como

indicamos na figura 2.12, teremos entre os vetores r

e r

um ngulo ( ) igual a 90, para qualquer cnica que esteja representando a rbita em estudo.

pp vrrvC 90sen , (2.72)

Onde pr o mdulo do vetor posio no instante em que o corpo ,em estudo, passa pelo

pericentro e, pv o mdulo do vetor velocidade neste mesmo instante.

Fig.2.12 rbitas e posio do perigeu:

(a) Modelo de rbita representado por uma elipse; (b) Modelo de rbita representado por

uma hiprbole; (c) Modelo de rbita representado por uma parbola.

Note que na rbita elptica (figura 2.12a), o mesmo fenmeno ocorre no apocentro.

Logo:

aa vrrvC 90sen , (2.73)

Onde ar o mdulo do vetor posio no instante em que o corpo ,em estudo, passa pelo

apocentro e, av o mdulo do vetor velocidade neste mesmo ponto.

Voltando a energia total especfica do movimento orbital, vimos anteriormente que ela

pode ser escrita como:

r

vE

2

2

, (2.74)

Esta equao pode tambm ser escrita em funo de pr e pv .

32

p

p

r

vE

2

2

, (2.75)

Substituindo pv pelo seu valor na equao 2.72. Reescrevemos a equao 2.75 da seguinte

forma:

pprr

CE

2

2

2, (2.76)

Agora, substituindo o momento angular especfico C pelo seu respectivo valor na

equao 2.63a, e em seguida substituir o valor de p descrito na equao 2.67:

22 1 eaC , (2.77)

O valor da anomalia verdadeira no pericentro igual a 0. Assim ao substitumos esse

valor na equao 2.65, teremos o seguinte resultado:

0cos1

1 2

e

earp

earp 1 , (2.78)

Com o resultado obtido na equao 2.78, reescrevemos a equao 2.76, da seguinte forma:

eaea

eaE

112

122

2

Fazendo as devidas modificaes, na equao anterior temos:

e

eaE

1

12

aE

2

, (2.79)

Podemos tambm calcular a excentricidade de uma cnica atravs de C e E ,

simplesmente substituindo os resultados das equaes 2.63 e 2.79, na equao 2.67, deste

modo:

21 eap

a

pe 12

33

ECe

21

22

2

2

21

C Ee

, (2.80)

Com o resultado obtido na equao 2.80, podemos chegar a certas informaes,

relacionando a energia total especfica E e a excentricidade e , conforme demonstra a

tabela 2.1:

Tab.2.1 Relao entre energia, excentricidade e rbita.

ENERGIA TOTAL

ESPECFICA( E ) EXCENTRICIDADE( e ) DESCRIO DA RBITA

0E 1e rbita Parablica

0E 1e rbita Circular ou Elptica

2

2

2CE

0e rbita Circular

0E 1e rbita Hiperblica

Podemos, da mesma forma, estudar a natureza do semi-eixo maior da cnica a criando

valores para a energia total especfica E . Conforme ilustra a tabela 2.2:

Tab.2.2 Relao entre energia, semi-eixo e rbita.

ENERGIA TOTAL

ESPECFICA( E ) SEMI-EIXO( a ) DESCRIO DA RBITA

0E a rbita Parablica

0E 0a rbita Circular ou Elptica

0E 0a rbita Hiperblica

Para uma melhor compreenso, podemos analisar o semi-eixo maior das cnicas a ,

obtidas na tabela acima, atravs da figura:

34

Fig.2.13 Representao do semi-eixo maior.

7. Velocidade da rbita Circular

J de nosso conhecimento que em uma circunferncia o valor da excentricidade

zero. E ao aplicarmos tal valor na equao 2.65, teremos:

cos01

)01(

cos1

)1( 2

a

e

ear

ar

Votando novamente nossa ateno para os resultados referentes a energia total

especfica, mais precisamente no resultado obtido atravs da equao 2.74. Ao

substituirmos r por a e igualarmos este novo resultado com a equao 2.79, teremos:

aa

vE

22

2

a

v

22

2

av

, (2.81)

Invertendo o processo substituindo agora a por r , na equao 2.81, obtemos o que

chamamos de velocidade da rbita circular ( cv ), dada como:

rvc

, (2.82)

35

Com o estudo das rbitas, notamos que o aumento do raio orbital gera uma diminuio

na velocidade orbital. Mas como na rbita circular o raio constante, conseqentemente a

velocidade da rbita tambm ser.

8. Velocidade de Escape

O campo gravitacional do Sol, da Terra ou de qualquer outro planeta, se estende at o

infinito (ou seja, sempre existe), embora sua intensidade decresa rapidamente.

Para escapar da atrao gravitacional da Terra, um veculo espacial, por exemplo, deve

descrever uma rbita parablica ou hiperblica.

Primeiro vamos analisar o veculo, ao descrever uma rbita parablica. Observando os

dados referentes a rbitas parablicas na tabela 2.1, temos que a excentricidade nessa rbita

equivale a um, e a energia total especfica a zero. Substituindo este valor para energia total

especfica na equao 2.74, temos:

r

vE e

20

2

r

ve 2

2

rve

2 , (2.83)

Onde ev a velocidade de escape mnima para uma distncia r da Terra.

Agora repetindo o processo anterior, para com os dados referentes a rbitas hiperblicas

teramos:

02

2

Er

vh

Er

vh 222

, (2.84)

Onde hv velocidade de escape mnima para uma distncia r da Terra, quando o veculo

descreve uma rbita hiperblica.

Substituindo o valor de ev dado pela equao 2.83, na equao 2.84, temos:

Evv eh 222

36

Logo, conclumos que:

22

eh vv

A diferena dessas duas trajetrias pode ser, melhor compreendida se, as estudarmos a

grandes distncias. Suponhamos que:

r

Se substituirmos este valor de r nas equaes 2.83 e 2.84. Teramos na rbita parablica:

0ev

J na rbita hiperblica teramos:

02 Evh

9. Perodo da rbita Eclptica e Circular

J vimos, conforme equao 2.46, que:

2r

C

Que tambm pode ser escrita, da seguinte forma:

2r

C

dt

d

dC

rdt

2

, (2.85)

Agora voltando nossa ateno a figura:

37

Fig.2.14 Representao do elemento de rea.

Temos que o elemento de rea dA :

drrdA sen.2

1

drdA 22

1

Logo:

dAdr 22 , (2.86)

Agora com os valores das equaes 2.85 e 2.86 criamos a seguinte relao:

dAC

dt2

, (2.87)

Integrando a equao 2.87, teramos a definio de uma rbita completa (elptica ou

circular):

AT

dAC

dt00

2

AC

T2

, (2.88)

Onde T o perodo orbital e A a rea descrita pela trajetria.

Na rbita circular A assumiria o valor:

2A r

38

Mas o que nos interessa agora a rbita elptica. Nesta situao, A assumiria, o

seguinte valor:

abA

Onde b o semi-eixo menor, e igual a:

21

21 eab , (2.89)

Utilizando ento a equao 2.88, e substituindo o termo A pelo seu valor em uma elipse.

Teramos:

abC

T 2

, (2.90)

Como os valores de b e C j so conhecidos, respectivamente pelas equaes 2.89 e

2.77. Simplesmente substituiremos estes valores na equao 2.90:

2

122

21

221

21

1

1

2ea

ea

T

21

23

2

aT

2 3

2 4 aT

, (2.90)

Como j visto anteriormente no captulo 1, ento o perodo de uma rbita elptica,

expresso conhecida como a 3 Lei de Kepler, e nos diz que:

Os quadrados dos perodos orbitais dos planetas so proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores das rbitas.

39

CAPTULO 3 DETERMINAO DE RBITA

1. Determinao dos Elementos Orbitais a partir do vetor posio e do

vetor velocidade

Consideramos que sejam conhecidos o vetor posio r

e o vetor velocidade v

no

sistema inercial OXYZ .

KZJYIXr

, ( 3.1)

KvJvIvv ZYX

, ( 3.2)

Com estes vetores podemos calcular:

i) Momento Angular Especfico C

:

KCJCICvrC ZYX

, ( 3.3)

onde C

perpendicular ao plano orbital;

ii) Energia Total Especfica E :

r

vE

2

2

, ( 3.4)

iii) Vetor Excentricidade

:

r

rCv

, ( 3.5)

Sendo que o vetor

assume a direo do pericentro;

iv) Se vetor normal N

o vetor que aponta na direo do nodo ascendente, ento pode ser

calculado atravs de:

CKN

, ( 3.6)

JNINN YX

, ( 3.7)

Com estes quatro itens podemos calcular os elementos orbitais:

a) Semi-eixo Maior:

40

Ea

2

, ( Eq.3.8)

b) Excentricidade:

2

2

21

C Ee

, ( 3.9)

ou:

e , ( 3.10)

c) A Inclinao o ngulo entre o versor K e o vetor momento angular C

, ento:

cosC K

IC

, ( 3.11)

ou

C

CI Zcos , ( 3.12)

com: 1800 I .

d) A longitude do nodo ascendente ngulo entre o eixo OX e o vetor normal N

,

logo:

N I

cosN

, ( 3.13)

ou

N

N Xcos , ( 3.14)

com: 3600 . Pela Figura 2.11, como N alinha-se na direo do nodo ascendente da rbita, observa-se que enquanto a componente Ny positiva temos 0 180 , caso contrrio 180 360 . e) O argumento do pericentro o ngulo entre o vetor excentricidade

e o vetor

normal N

, ento:

Ncos

N

, (3.15)

com: 3600 .

41

Como

alinha-se na direo do pericentro da rbita, observa-se que enquanto a

componente z positiva temos 0 180 , caso contrrio 180 360 .

f) A anomalia verdadeira o ngulo entre o vetor posio r

e o vetor excentricidade

.

rcos

r

, ( 3.16)

com: 3600 . Uma observao importante obtida ao calcularmos o produto escalar entre os

vetores r

e v

, se este resultado for maior que zero, ento o valor de est entre 0 e

180 . Logo o ngulo entre o vetor posio r

e o vetor velocidade v

menor que 90 , conforme demonstra a figura abaixo.

Fig.3.1 Representao dos ngulos entre o Vetor Posio e o Vetor Velocidade na rbita

Eclptica.

1.1. Elementos Auxiliares

Estes elementos so usados quando ocorre a indeterminao de elementos orbitais.

Entre eles esto:

i) Longitude do Perigeu:

A longitude do perigeu o ngulo usado quando os ngulos e ficam indeterminados, devido a inclinao do plano orbital ser nula ( 0I ). A longitude do perigeu definida por:

, ( 3.17)

e dada ento pelo o ngulo entre o vetor excentricidade

e o eixo X, ou seja:

Icos

, ( 3.18)

42

Xcos , ( 3.19)

Ao analisarmos o clculo da longitude do perigeu observamos a influncia da

componente Y do vetor excentricidade

no valor da longitude do perigeu observa-se que

enquanto a componente y positiva temos 0 180 , caso contrrio 180 360 .

ii) Quando a excentricidade nula ( 0e ), a rbita circular ( ra ) e neste caso o

perigeu fica indefinido. Assim os elementos e , argumento do pericentro e anomalia verdadeira respectivamente, ficam indeterminados. Ento define-se o ngulo como

sendo o ngulo entre o vetor posio r e o vetor normal N

, sendo representado como o

ngulo :

( 3.20)

e

N rcos

N r ( 3.21)

No processo do clculo do ngulo , observa-se que enquanto a componente rz positiva

temos 0 180 , caso contrrio 180 360 .

iii) O ltimo dos elementos auxiliares a serem vistos a longitude verdadeira , usada no estudo de rbitas circulares no Plano Equatorial , ou seja, excentricidade nula e inclinao

do plano orbital igual a 0 . Assim a longitude verdadeira definida como:

, ( 3.22)

sendo o ngulo entre o vetor posio r

e a direo do eixo X , e:

r I

cosr

. ( 3.23)

Existem algumas restries para o valor de ligadas ao produto escalar dos vetores posio r

e velocidade v

quando 0. vr

ento 180 do contrrio se 0. vr

ento

180 .

43

2. Sistemas de Coordenadas

2.1. Sistema Equatorial: OXYZ

- OXY , Plano do Equador;

- OZ , Plo Norte;

- O , Centro de Massa da Terra;

- OX , Direo do Ponto Vernal ;

- ,,r , Coordenadas Esfricas;

- KJI ,, , Vetores Unitrios do Sistema OXYZ .

Fig.3.2 Sistema Equatorial de Referncia

Este sistema foi apresentado anteriormente no captulo 1 mas sem o uso das

coordenadas esfricas e os versores do sistema OXYZ .

2.2. Sistema Perifocal: PPP ZYOX

- PPYOX , Plano Orbital;

- POX , Direo do Pericentro;

- POZ , Direo Perpendicular ao Plano Orbital;

- wqp ,, , Vetores Unitrios do Sistema PPP ZYOX .

44

Fig.3.3 Sistema Perifocal de Referncia

2.3. Sistema Orbital: Oxyz

- Oxy , Plano Orbital;

- Ox , Direo do Vetor Posio;

- Oz , Direo Perpendicular ao Plano Orbital;

Fig.3.4 Sistema Orbital de Referncia

45

2.4. Sistema Eclpitico: EEE ZYOX

- EEYOX , Plano da Eclptica;

- EOX , Direo do Ponto Vernal ;

- EOZ , Direo Perpendicular ao Plano da Eclptica;

Fig.3.5 Sistema Eclpitico de Referncia

3. Relao Entre Sistemas de Coordenadas

3.1. Mudana de Sistema de Coordenadas

Sejam dois sistemas de coordenadas 1S :OXYZ e 2S :Oxyz . As componentes de um

vetor dadas em 1S se relaciona com as componentes de em 2S , atravs de uma matriz R ,

chamada de matriz rotao (ou matriz mudana de base ), ou seja:

21 SS VRV

, ( 3.24)

sendo R uma matriz 3x3.

Fig.3.6 Rotao no eixo OZ.

46

Se os Sistemas se relacionam apenas atravs de uma rotao no eixo OZ

simplificada na figura acima, a matriz de rotao R representada por ),( KR ou )(zR ,

e dada pelas equaes 3.25 e 3.26:

100

0cossen

0sencos

),(

KR , ( 3.25)

Z

Y

X

KR

z

y

x

),( , ( 3.26)

Se os sistemas se relacionam atravs de uma rotao no eixo OY , a matriz de

rotao representada por ),( JR ou )(yR , e se a rotao em OX temos ),( IR ou

)(xR , respectivamente apresentadas pelas equaes 3.28 e 3.27:

cossen0

sencos0

001

),(

IR , (3.27)

cos0sen

010

sen0cos

),(

JR , ( 3.28)

Os sistemas podem ser relacionados atravs de uma seqncia de rotaes

elementares nos eixos coordenados. Em Mecnica Celeste freqente utilizarmos a

seqncia ZXZ, definida por:

1) rotao de um ngulo em OZ tal que:

1' ),( SS VKRV

, ( 3.29)

2) rotao de um ngulo em OX tal que:

''' ),( SS VIRV

, ( .3.30)

3) rotao de um ngulo em OZ tal que:

''2 ),( SS VKRV

, ( 3.31)

47

Fig.3.6 Seqncia ZXZ de ngulos de Euler.

Como queremos relacionar as componentes de V

nos sistemas 1S e 2S , utilizando as

equaes 3.29, 3.30 e 3.31, temos:

12 ),(),(),( SS VKRIRKRV

, ( 3.32)

Logo obtemos a matriz ),,( R representada pela equao 3.33, cujo o valor :

100

0cossen

0sencos

cossen0

sencos0

001

100

0cossen

0sencos

),,(

R

coscossensensen

sencoscoscoscossensensencoscoscossen

sensencoscossensencossencossencoscos

),,(

R

( 3.33)

Os ngulos , e so chamados de ngulos de Euler.

Uma propriedade importante, associada a matriz de rotao entre dois sistemas de

coordenadas ortogonais, e muito mais til que a matriz de rotao R ortogonal (isto , a

matriz inversa de R igual a transposta).

48

3.1.1. Mudana de Sistema de Coordenadas entre Sistema Orbital e

Perifocal

O sistema orbital Oxyz obtido do sistema perifocal PPP ZYOX atravs da rotao

do ngulo (anomalia verdadeira) em torno do eixo Oz .Assim:

PPP ZYOXZOxyzVRV

)( , ( 3.34)

100

0cossen

0sencos

),(

KR , ( 3.35)

3.1.2. Mudana de Sistema de Coordenadas entre Sistema Equatorial e

Perifocal

O sistema perifocal PPP ZYOX obtido do sistema equatorial OXYZ atravs da

seqncia ZXZ de ngulos de Euler,utilizando os elementos orbitais , e I , ou seja: 1) Rotao de um ngulo em OZ ;

2) Rotao de um ngulo I em 'OX ;

3) Rotao de um ngulo em pOZ ;

Assim:

OXYZZYOX VIRV PPP

,, , ( 3.36)

III

III

III

IR

cossencossensen

sencoscoscoscossensencoscossensencos

sensencossencoscossensencossencoscos

,,

( 3.37)

3.1.3. Mudana de Sistema de Coordenadas entre Sistema Equatorial e

Orbital

O sistema orbital Oxyz obtido do sistema equatorial OXYZ atravs da seqncia

ZXZ de ngulos de Euler ,como o item anterior, porm na ultima rotao a ser realizada o

ngulo sofre um acrscimo de , ou seja: 1) Rotao de um ngulo em OZ ;

2) Rotao de um ngulo I em 'OX ;

3) Rotao de um ngulo em OZ ;

49

OXYZOxyz VIRV

,, , ( 3.38)

Para facilitar a demonstrao da matriz de rotao utilizaremos a seguinte equao:

, (3.39)

III

III

III

IR

cossencossensen

sencoscoscoscossensencoscossensencos

sensencossencoscossensencossencoscos

,,

(3.40)

4. Determinao de r

e v

no Sistema Perifocal

Uma vez conhecidos os elementos orbitais deseja-se obter r

e v

no sistema

perifocal.

Se conhecermos r

e v

no sistema orbital, podemos determinar r

e v

no sistema

perifocal atravs de uma de rotao ( tZR ), conforme as equaes 3.41 e 3.42:

O

t

Zp rRr

)( , (3.41)

O

t

Zp vRv

)( , (3.42)

100

0cossen

0sencos

),(

KRRz , (.3.43)

Onde pr

e pv

so os vetores r

e v

representados no sistema perifocal, e Or

e Ov

estes

mesmos vetores descritos no sistema orbital. A matriz tZR , apresentada na equaes 3.41 e

3.42 simplesmente a matriz transposta da matriz ZR ( equao 3.43), e representada da

seguinte forma:

100

0cossen

0sencos

),(

KRR ttZ , (3.44)

Como vimos anteriormente, os vetores r

e v

no sistema orbital representado por

:

irr

, ( 3.45)

50

jrirv

, ( 3.46)

Substituindo as equaes 3.44 e 3.45 na equao 3.41, obtemos o vetor pr

conforme os

clculos abaixo:

0

0

100

0cossen

0sencos r

rp

cos

sen

0

p

r

r r

qrprrp sencos

, (3.47)

Com rp dado por (2.65), o vetor posio est definido no sistema perifocal.

Para encontrarmos o vetor utilizaremos as equaes 3.44 e 3.46 na equao 3.42,

obtendo, conforme os clculos, a equao 3.48:

0100

0cossen

0sencos

r

r

v p

cos sen

sen cos

0

p

r r

v r r

qrrprrvp cossensencos

, (3.48)

Agora utilizando os conceitos vistos anteriormente encontramos os valores de r e v , respectivamente descritos pelas equaes 3.49 e 3.50:

senep

r , (3.49)

22 r

p

r

C , (3.50)

Substituindo r pelo seu valor na equao 2.65 obtemos:

51

22

3

21

cos1

ep

, ( 3.51)

Sabendo que o valor de p :

21 eap

Podemos encontrar o valor do vetor substituindo os valores das equaes 3.49 e

3.51 na equao 3.48 da seguinte forma:

qr

pe

pp

r

pe

pv p cossensencossen

2

, ( 3.52)

Substituindo r dado por (2.65) na equao (3.52), fazendo algumas manipulaes

algbricas, obtemos:

qepp

v p cossen

, ( 3.53)

5. Determinao de r

e v

no Sistema Inercial (Equatorial)

Dados os vetores r

e v

no sistema perifocal, representados por pr

e pv

cujo os

valores so, respectivamente, as equaes 3.54 e 3.55:

p xp ypr r p r q , ( 3.54)

p xp ypv v p v q , ( 3.55)

As componentes de r

e v

no sistema equatorial so obtidos pela matriz de rotao

,, IR t , de acordo com as equaes 3.56 e 3.57:

p

t

E rIRr

),,( , ( 3.56)

p

t

E vIRv

),,( , ( 3.57)

52

III

III

III

IR t

cossencossensen

sencoscoscoscossensencossencoscossen


,,

( 3.58)

Onde Er

e Ev

so os vetores r

e v

representados no sistema equatorial e o valor de

,, IR t (matriz transposta de ,, IR representada na equao 3.37) dado pela equao 3.58, valor que ser substitudo nas equaes 3.56 e 3.57, para obtermos os vetores

Er

e Ev

, conforme os clculos a seguir:

0cossencossensen



yp

xp

E r

r

III

III

III

r

,

( 3.59)

KIrIr

JIrIr

IIrIrr

ypxp

ypxp

ypxpE

sencossensen

coscoscossensencossencoscossen

coscossensencossencossencoscos

,

( 3.60)

0cossencossensen



yp

xp

E v

v

III

III

III

v

,

( 3.61)

KIvIv

JIvIv

IIvIvv

ypxp

ypxp

ypxpE

sencossensen

coscoscossensencossencoscossen

coscossensencossencossencoscos

,

( 3.62)

Pode-se tambm partir do sistema orbital para a determinao dos vetores r

e v

.

53

REFERNCIAS BIBLIOGRAFICAS

Prado, A. F. B. A Trajetrias Espaciais e Manobras Assistidas por Gravidade. INPE,

So Jos dos Campos, 2001.

Prado, A. F. B. A., Kuga, H. K. Fundamentos de Tecnologia Espacial. INPE, So Jos

dos Campos, 2001.

Santos, J. R. Relatrio Final de Bolsa PAE, FEG/UNESP, Guaratinguet, 2006.

Zanardi, M. C. Anotaes de Aula do curso de Introduo Mecnica Celeste,

FEG/UNESP, Guaratinguet, 2005.

Apostila de Mecanica Celeste

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