Apostila de Matemática Financeira (2016.2) VFFGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 4 Capítulo...

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Matemática Financeira 2016.2

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MatemáticaFinanceira

2016.2

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SumárioCapítuloI.IntroduçãoàApostila...........................................................................................4

CapítuloII.FundamentosdaMatemáticaFinanceira.............................................................5

2.1.INTRODUÇÃO....................................................................................................................5

2.2.CAPITAL,NÚMERODEPERÍODOS,JURO,MONTANTE,TAXADEJUROSeFLUXODECAIXA........................................................................................................................................5

CapítuloIII.JurosSimples......................................................................................................8

EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIII..................................................................................................10

CapítuloIV.JurosCompostos..............................................................................................13

4.1.JUROSCOMPOSTOS........................................................................................................13

4.2.JUROSCOMPOSTOSNAHP12C......................................................................................14

EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIV..................................................................................................16

CapítuloV.TaxasEquivalentes............................................................................................20

5.1.TAXASEQUIVALENTESEMJUROSSIMPLES.....................................................................20

5.2.TAXASEQUIVALENTESEMJUROSCOMPOSTOS.............................................................21

EXERCÍCIOSDOCAOÍTULOV..................................................................................................22

CapítuloVI.DescontoSimples(DescontoComercial)...........................................................24

EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOVI..................................................................................................25

CapítuloVII.TaxaEfetivaeTaxaReal..................................................................................30

7.1.TAXAEFETIVA..................................................................................................................30

7.2.TAXAREAL.......................................................................................................................30

EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOVII.................................................................................................33

CapítuloVIII.SequênciadeCapitais.....................................................................................37

8.1.SEQUÊNCIASUNIFORMESPOSTECIPADAS–PMT´s........................................................37

8.2.SEQUÊNCIASUNIFORMESANTECIPADAS–PMT´s..........................................................40

8.3.SEQUÊNCIASUNIFORMESCOMPARCELASDIFERIDASOUPARCELASBALÃO................43

EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOVIII................................................................................................46

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CapítuloIX.EquivalênciadeCapitais...................................................................................50

9.1.VALORPRESENTEEVALORFUTURO...............................................................................50

9.2.EQUIVALÊNCIADECAPITAIS............................................................................................50

9.3.VALORPRESENTELÍQUIDODEUMCONJUNTODECAPITAIS(VPL/NPV)......................51

9.3.1.VALORPRESENTELÍQUIDODEUMCONJUNTODECAPITAIS(VPL/NPV)–HP12C....53

9.4.TAXAINTERNADERETORNO(TIR/IRR)..........................................................................55

9.4.1.TAXAINTERNADERETORNO(TIR/IRR)–HP12C.......................................................57

EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIX..................................................................................................60

CapítuloX.SistemasdeAmortizações.................................................................................65

10.1.INTRODUÇÃOÀAMORTIZAÇÃO....................................................................................65

10.2.SISTEMADEAMORTIZAÇÃOCONSTANTE–SAC...........................................................65

10.3.TABELAPRICEOUSISTEMAFRANCÊS...........................................................................66

10.4.SISTEMAAMERICANO...................................................................................................68

EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOX...................................................................................................69

GABARITOS.........................................................................................................................73

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CapítuloI.IntroduçãoàApostila

Caroaluno,

Procurandoatendercadavezmaisasnecessidadesdosrecémuniversitários,aEquipeDáskalosdecidiusintetizarosprincipaisassuntosdeMatemáticaFinanceira.Oresultadofoiessaapostila,aqualbuscadarintroduçãoteóricamaisresumidadoqueaencontradaemumlivro.Apesardisso,estaapostilanãodispensaoutrasfontesdeestudotaiscomoaula,livro,etc.

Alémda teoria,aapostilaestá repletadeexercíciosbaseadosnosprincipaisconteúdosenohistóricodeprovas.Algunsdestesexercíciosestãoresolvidoscomoexemplonaapostila.Outros,porém,contémapenasgabarito.

Desejamosavocêbonsestudos,umótimo iníciode faculdadeeumexcelenteresultadonasprovas.

EquipedeMatemáticaFinanceiradoDáskalos

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CapítuloII.FundamentosdaMatemáticaFinanceira

2.1.INTRODUÇÃOAMatemáticaFinanceiraestudacomoovalordodinheiromudacomotempo,comaplicaçõesfinanceiras(investimentos)ouparcelamentos.

Imaginequevocêpodeescolherentre:

• ReceberR$100hoje.

• ReceberR$100emumano.

Qualamelhorescolha?

Supondoumcenárioondesepodeaplicarodinheiroaumataxai=10%a.a.R$100hojeequivaleaR$110daquia1ano.Assim,dinheirohojesemprevalemaisdoquedinheiroamanhã.Quantomais?Tudodependedastaxasdejurosobtidas.

Dessemodo,abstraímosumdosprincipaisconceitosdamatemáticafinanceira:

ODINHEIROTEMVALORNOTEMPO.

Sabendo-sequeessaéabasedetodaaMatemáticaFinanceira,desenvolveremosaolongodaapostila conceitos que envolvem, basicamente, valores monetários, taxas e o tempo. Taisanálisessãofundamentaistantoparapessoasfísicasquantoparaempresas,afimdeentenderoquerealmenteestáportrásdequalqueroperaçãofinanceira.

2.2.TERMOSDAMATEMÁTICAFINANCEIRACapital (C): É o valor inicial que um agente possuí, seja como caixa livre – que pode sermovimentadoaqualquermomento,oucomoinvestimento.Casooagentenãopossuacapital,essepodeserobtidonomercado–emprestado.

NúmerodePeríodos(n):Éonúmerodeperíodos,quepodeserexpressoemdias,meses,anos,ouqualqueroutramedidadetempo,presenteemdeterminadaoperaçãofinanceira.

Juro (J): Custo do empréstimo para o tomador (agente obteve dinheiro emprestado) eremuneraçãoparaoemprestador(agentequeemprestouseucapital).

Montante(M):ÉovalorfinalqueotomadordeempréstimopagaaoemprestadoràM=C+J

TaxadeJuros(i):Doinglêsinterest,éaalíquotadojuroemdeterminadoperíodo,expressoemporcentagem.Essataxaé,geralmente,aplicadasobredeterminadocapital.Matematicamente:J=C.i

Fluxo de Caixa: É a representação de operações financeiras, podendo ser expressograficamente,tendonoeixo“X”otempo,oupormeiodeumatabela.

Ciente dos termos utilizados emmatemática financeira, vejamos umexemplo resolvido quepermiteumavisualizaçãopráticadaaplicaçãodostermos:

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Exemploresolvido1:ConsiderequeumapessoaaplicaR$1.000emumfundodeinvestimentospor12mesese,apósesteperíodo, recebeR$1.100.Desenheo fluxodecaixa,determineocapital,montante,juroetaxadejuros.

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Solução:

Dessaforma,aTaxadeJuros(i)éde10%.Comochegamosaesseresultado?

!"$ = &. (, *+,+( = $&

Dica:EmMatemáticaFinanceira,utilizamostermosparadenominarcadatipodeoperaçãoedescrevercadacaracterísticadoitemsobreoqualtratamos.Porexemplo,paradenominaroCapital, às vezes, utiliza-se o termo Valor Presente ou Valor Investido. Para denominar oMontante,àsvezes,utiliza-seotermoValorFuturoouValorNominal.Outrossinônimospodemaparecer.

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CapítuloIII.JurosSimplesHádoistiposderegimesdecapitalização:osimpleseocomposto.Oregimedecapitalizaçãosimpleséaqueleondeojurogeradoemcadaperíodoéconstanteeabasedecálculoésempreocapitalinicial.Jánoregimedecapitalizaçãocomposto,ojurogeradonoprimeiroperíodoéconsideradoparadeterminarojurodosegundoperíodo.Assim,háincidênciadejurosobreojurosgeradonoperíodoanterior.

Nesse capítulo trataremos do juros simples,os quais são calculados utilizando o regime decapitalizaçãosimples.Dessaforma,comointroduzido,ojurosempreincidesobreovalorinicialaplicadoouemprestado(capital),resultandoemJurosConstantes.Matematicamente:$ = &. (Assim,casodeterminadocapitalsejaaplicadoaumadeterminadataxadejuro,omontanteserádadopor:

- = . + 0. 1

- = . + (.. 3). 1

5 = &(6 + (. 7)Percebaquenademonstraçãoanterior,comojáintroduzido,onsignificaonúmerodeperíodospeloqualodinheiroficouaplicado/emprestado.Notetambémqueonúmerodeperíodosestámultiplicandoataxadejurosi.Ademais,Mrepresentaomontante,ouseja,ocapitalacrescidodejuros.

Dessemodo,seumCapitalficaaplicadoaumataxadejuroside10%a.m.durante12meses,omontanteseráocapitalmais120%dejurosobreocapital(10%a.m.x12meses).

Exemplo resolvido 1: Utilizando o conceito de juros simples, calcule o montante e o jurosrecebidoemumaaplicaçãofinanceiradeR$10.000,00,durante3mesesaumataxade2%a.m.

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Solução:

Dados:. = 10.000 i = 2% n = 3

Jurorecebidoemcadamês:J = .. 3 = 200

Jurorecebidonoperíodo:J = .. 3 1 = @AA

Montante:- = . 1 + 3. 1 = 6A. @AA

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EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIII1) UminvestidoraplicouR$200.000emdólaresamericanos.Apósalgumtempo,vendeu

osdólaresadquiridoseobteveR$240.000comessaoperaçãodecâmbio.Qualfoiataxadejuroobtidapeloinvestidornoperíodo?

2) UmcapitaldeR$15.000foiaplicadoataxade3%a.m.(JS)duranteumtrimestre.Qualovalordomontante?

3) Um investidor aplicou R$20.000 em um ações XPTO. O capital sofreu umadesvalorizaçãode76%noperíodo.Qualéovalordomontante?

4) AnafezumaaplicaçãodeR$50.000ataxade12%a.a.emumfundodeinvestimentos.Oprazodaaplicaçãofoide2trimestres.QualovalorresgatadoporAna?

5) Qualéamelhoralternativa: investirR$10.000aumataxade12%a.a. (jurosimples)durante4mesesouinvestiromesmovalorpelomesmoperíodoaumataxade12%a.a.noregimedejurocomposto?(senecessário,videcapítuloquatro).

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6) CalculeosjurossimplesproduzidosporR$40.000,00,aplicadosàtaxade36%a.a.,durante125dias(senecessário,videcapítulocinco).

7) Qualocapitalque,aplicadoajurossimplesde1,2%a.m.,rendeR$3.500,00dejurosem75dias?

8) Seataxadeumaaplicaçãoéde150%aoano,quantosmesesserãonecessáriosparadobrarumcapitalaplicadopormeiodecapitalizaçãosimples?

9) UmainvestidoraaplicouumcapitaldeR$1.200,00aumataxade2%aomêsdurante14meses.Determineosjuroseomontantedessaaplicação:

10) Umcapitalaplicadoajurossimplesdurante2anos,sobtaxadejurosde5%aomês,gerouummontantedeR$26.950,00.Determineovalordocapitalaplicado.

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11) UminvestidoraplicouaquantiadeR$500,00emumfundodeinvestimentoqueoperanoregimedejurossimples.Após6mesesoinvestidorverificouqueomontanteeradeR$560,00.Qualataxadejurosdessefundodeinvestimento?

12) Determinadaquantiafoiaplicadaajurossimplesde6%aomês,durante5mesese,emseguida,omontantefoiaplicadodurantemais5meses,ajurossimplesde4%aomês.No final dos 10meses, o novomontante foi de R$ 234,00. Qual o valor da quantiaaplicadainicialmente?

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CapítuloIV.JurosCompostos4.1.JUROSCOMPOSTOSOsjuroscompostossãocalculadosutilizandooregimedecapitalizaçãocomposta,ondeojurodoperíodoanterioragrega-seaomontantedoperíodoseguinte.Destaforma,ojurodoperíodoésemprecalculadosobreocapitaladicionadodetodososjurosqueincidiramsobreomesmocapitalnosperíodosanteriores,deformaquetemosjurosincidindosobrejuros.

Podemosresumirtalmovimentodaseguintemaneira:

Exemplificandoemnúmeros,notequeovalordojurossealteraemcadaperíodo.

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4.2.JUROSCOMPOSTOSNAHP12CPara facilitar o cálculo dos juros compostos utilizamos calculadoras financeiras. Por padrão,utilizaremosaHP12Cparaexemplificarousodessasferramentas,umavezqueéacalculadoramaisutilizadapelosalunos.

Paraisso,deve-seaprenderautilizaçãodasteclasfinanceiras,asquaissãoutilizadasparaessetipodecálculo:

ComointroduzidonoCapítuloII,asteclasdestacadassignificamrespectivamente:

n=Númerodeperíodosaoqualserefereocálculo.

i=TaxadeJuroComposto,doinglêsinterest.

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PV=ValorPresenteouCapital,doinglêspresentvalue.

FV=Montante,ValorFuturoouValorNominal,doinglêsfuturevalue.

Exemplo1:UtilizandoaCalculadoraFinanceira,calculeomontanteeojurosrecebidoemumaaplicação financeira de R$ 10.000,00, durante 3 meses, a uma taxa de 2% a.m. em juroscompostos.

Solução:

Cálculoatravésdafórmula:

Dados:. = 10.000;i = 2%;n = 3

- = . ∗ (1 + 3)Cà- = 10000 ∗ (1 + 0,02)D5 = 6A. @6E, AFàG = @6E, AF

CálculoatravésdaHP12C:

Dados:. = 10.000;i = 2%;n = 3

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EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIV

1) UmcapitalnovalordeR$30.000foiaplicadoataxadejurocompostode3%a.m.durante20meses(JC).Qualomontantedoinvestimento?

2) JosephinvestiuR$500.000,00emumfundoderendafixaàtaxadejurocompostode2%aomês,por65dias.Entretanto,nomomentoderesgataroinvestimento,obancoefetuouacobrançadeumataxadeadministraçãode0,95%sobreovaloraplicado, alémde ter recolhido imposto de renda, equivalente a 27,5%, sobre orendimento.

a) Qualomontantedoinvestimento?

b) Qualovalorlíquidoresgatado?

3) Umcapitalaplicadoa taxade1%a.m. (JC)durante9meses resultouem jurodeR$15.000.Qualovalordocapital?

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