1. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net ARITMTICASistema de numerao decimal................................................................................................. 01Sistema de numerao romana.................................................................................................. 03Operaes fundamentais............................................................................................................04Divisibilidade............................................................................................................................07Nmeros primos........................................................................................................................11Nmero de divisores de um nmero .........................................................................................12Mximo divisor comum (MDC)............................................................................................... 14Mnimo mltiplo comum (MMC).............................................................................................16Base de um sistema de numerao............................................................................................ 17Problemas de sucesso de nmeros naturais.............................................................................19Fraes.......................................................................................................................................20Operaes com nmeros decimais............................................................................................30Dzimas...................................................................................................................................... 33Sistema mtrico decimal...........................................................................................................34Razes e propores.................................................................................................................. 38Mdias....................................................................................................................................... 45Nmeros proporcionais.............................................................................................................46Reduo de complexos..............................................................................................................48Regra de trs.............................................................................................................................. 50Porcentagem.............................................................................................................................. 55Juros.......................................................................................................................................... 59 ALGEBRAConjuntos.................................................................................................................................. 62Potenciao................................................................................................................................ 66Expresses algbricas................................................................................................................ 71Produtos notveis...................................................................................................................... 74Fatorao...................................................................................................................................75Radicais..................................................................................................................................... 77Equaes do 1 grau.................................................................................................................. 80Sistema de equao do 1 grau.................................................................................................. 80Equao do 2 grau....................................................................................................................82Inequao do 1 grau................................................................................................................. 83Inequao do 2 grau................................................................................................................. 84Sistema de inequao do 2grau................................................................................................85Respostas dos exerccios..........................................................................................................87 GEOMETRIAIntroduo a geometria..............................................................................................................89ngulos.....................................................................................................................................94Paralelismo................................................................................................................................ 96Tringulos..................................................................................................................................97Polgonos...................................................................................................................................103Linhas proporcionais................................................................................................................. 109Semelhana de tringulos..........................................................................................................111Relaes mtricas nos tringulos..............................................................................................118rea do tringulo.......................................................................................................................124rea dos quadrilteros notveis................................................................................................ 125rea das figuras circulares........................................................................................................ 126Razo entre reas de figuras semelhantes................................................................................. 127Polgonos regulares.................................................................................................................. 128rea dos polgonos regulares....................................................................................................130Respostas dos exerccios..........................................................................................................131

2. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net1. SISTEMA DE NUMERAO DECIMAL OU SISTEMA DE BASE 10Os algarismos do sistema decimal so: 01 2 3 4 5 6 7 89 algarismos significativos no algarismo significativoExemplos: menor nmero de quatro algarismos = 1000 menor nmero de quatro algarismos diferentes = 1023 menor nmero de quatro algarismos significativos = 1111 menor nmero de quatro algarismos significativos diferentes = 1234 maior nmero de quatro algarismos = 9999 maior nmero de quatro algarismos diferentes = 9876Exerccios: Qual o menor nmero de trs algarismos? Qual o menor nmero de trs algarismos diferentes? Qual o menor nmero de trs algarismos significativos? Qual o menor nmero de trs algarismos significativos diferentes?A diferena entre o menor nmero de 4 algarismos significativos e o maior nmero de 3 algarismossignificativos diferentes, vale ________. A diferena entre o maior nmero de 4 algarismos diferentes e o menor nmero de 3 algarismos _______. A soma do maior de 3 algarismos com o menor nmero de 2 algarismos significativos diferentes, ______.A diferena entre o menor nmero de 4 algarismos significativos diferentes e o menor nmero de 3algarismos significativos diferentes, ______. A diferena entre o menor nmero de 5 algarismos diferentes e o maior nmero de 4 algarismos,_______.O produto do menor nmero de 3 algarismos diferentes pelo menor nmero de 2 algarismos signifi-cativos, _______.Respostas:1) 1004) 1237) 1011 10) 11222) 1025) 1248) 11113) 1116) 9776 9) 235Obs.: 1 - Nos sistemas de numerao os nmeros so formados de grupos de unidades que denomi-namos ORDENS. Um grupo de trs ordens forma uma CLASSE.1 3. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net... BILHES CLASSE DOS MILHES CLASSE DOS MILHARESCLASSE DAS UNIDADES 11 1098 7 6 543 2 1ORDEMORDEM ORDEM ORDEM ORDEM ORDEM ORDEM ORDEM ORDEM ORDEM ORDEMCENTENAS DECENTENAS DECENTENAS DE UNIDADES DE UNIDADES DEDEZENAS DEDEZENAS DE DEZENAS DEDEZENAS DE DEZENA DE UNIDADES UNIDADES UNIDADESSIMPLESMILHO MILHO MILHOMILHARMILHAR MILHARBILHO BILHOUm algarismo significativo tem dois valores:Valor absoluto - o valor que o algarismo tem isoladamente.Ex.: 3847 o valor absoluto do algarismo 8 vale 8.Valor relativo - o valor que o algarismo adquire devido a sua posio no nmero.Ex.: 3847o valor relativo do algarismo 8 8 centenas, ou seja, 800.Exerccios:Quantas classes e quantas ordens tem o nmero 9876543210?Quantas dezenas so 57 milhes?A diferena entre os valores relativos dos algarismos 3 e 7 no nmero 347052, ______.A diferena entre o valor relativo de 4 e o valor absoluto de 5 no nmero 3548, ______.A soma entre os valores absolutos dos algarismos 6 e 7 no nmero 36557, _____.O produto entre os valores relativos de 5 e absoluto de 4 no nmero 34521, vale _______.O quociente entre os valores relativos dos algarismos 1 e 2 no nmero 1027, ______.Se intercalarmos um zero entre os algarismos 3 e 4 do numeral 534, que alterao sofre o valorrelativo do algarismo 5?O nmero formado de 6 unidades de 5 ordem, 5 de 3 ordem, 2 de 2 e 3 de 1, ______. Em mil cento e trinta e duas unidades de 4 ordem, quantas unidades de 3 ordem e quantas uni-dades de 5 ordem existem? Um nmero constitudo de 18 classes, sendo uma incompleta. Quantas ordens poder ter essenmero?Represente o nmero constitudo por meia unidade de 8 ordem, 6 unidades de 4 ordem e meiaunidade de 2 ordem e diga os nomes que recebem a classe e a ordem mais elevada desse nmero,respectivamente.Respostas:1) 4 classes e 10 ordens 8) fica 10 vezes maior2) 5.700.000 9) 60.5233) 293.000 10) 11.320 de 3 ordem e 113 de 5 ordem4) 3511) 52 ou 535) 1312) 5.006.005 classe dos milhes e unidade de milho.6) 2.0007) 502. SISTEMA DE NUMERAO ROMANAOs algarismos romanos so representados por sete letras maisculas do nosso alfabeto. 2 4. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net IVX L C D M1 51050 100 500 1000Podemos obter expresses de todos os outros nmeros, observando as cinco regras seguintes:1) As letras I , X , C e M, podem ser repetidas at trs vezes.Ex.:I=1XX = 20CCC = 300II = 2 XXX = 30 M = 1000III = 3C = 100MM = 2000X = 10 CC = 200 MMM = 30002) Se a letra de valor menor estiver depois de outra de valor maior, somamos ambas.Ex.: XI = 11CX = 110DL= 5503) Se uma letra de valor menor estiver antes de outra de valor maior, subtramos o valor da letra menorda maior.Ex.:IV = 4 XL = 40CM = 900Obs.: Os smbolos V, L e D nunca so escritos esquerda de outros de maior valor. No se usa colocaro smbolo I esquerda dos smbolos L, C, D e M, nem o smbolo X esquerda dos smbolos D e M.4) Se uma letra de valor menor estiver entre duas (letras) de valor maior, ser subtrada da que lhe ficaadiante, sem sofrer alterao a que lhe fica atrs.Ex.: XIX = 19DXL = 540 MCM = 19005) Cada risco horizontal sobre uma ou mais letras eleva o seu valor mil vezes.Ex.: X = 10.000 CL = 150.000 M = 1.000.000Exerccios:1) Escreva em numerais romanos os nmeros:707 1959 125071822197418893428Quantas classes e ordens tem o nmero, que representado por numeral romano XII CCCLIV ?O valor absoluto do algarismo das centenas do nmero MCDXCII quando escrito em numerais in-do - arbicos _______.Escreva em numerais indo - arbicos os nmeros romanos: a) CDLIII CXXI b) VI c) DCXXVIIRespostas: c) MDCCCLXXXIX f) MMMCDXXVIII1) a) DCCVII D) MCMLIX g) XII DVIIb) MDCCCXXII e) MCMLXXIV2) 2 classes e 5 ordens 4 5. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net 3) 4 4) a) 453.121 b) 6.000.000c) 6273. OPERAES FUNDAMENTAIS 1) ADIO - Termos da adioparcelas - Resultadosoma ou total5 + 7 = 12 soma ou total1 parcela 2 parcela PROPRIEDADES: Comutativa - A ordem das parcelas no altera a soma Ex.: 2+9 = 9+2 Associativa - Podemos substituir duas ou mais parcelas pela sua soma efetuada. Ex.:2+5+8 = 7+8 = 2 + 13(2+5) (5+8)c) Dissociativa - Podemos substituir uma parcela por duas ou mais parcelas, desde que a soma dessas parcelas seja igual a parcela primitiva. Ex.: 10 + 3 = 8 + 2 + 3 = 10 + 1 + 2103 Elemento Neutro ZERO Ex.: 5+0 = 5 2) SUBTRAO - a operao inversa da adio. - Termos da subtraominuendo e subtraendo. - Resultadosresto ou diferena.12 - 5 = 7resto ou diferenaminuendosubtraendo Obs.: R + S = MM +S+RM = minuendo M= 2S = subtraendo 5 6. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.netR = resto3) MULTIPLICAO- Termos da multiplicaofatores- Resultadoproduto7 x 6 = produtomultiplicantemultiplicador fatoresPROPRIEDADESComutativa- A ordem dos fatores no altera o produto.Ex.: 2 x 3 x 4 x = 2 x 4 x 3 = 3 x 2 x 4Associativa- Podemos substituir dois ou mais fatores pelo seu produto efetuado.Ex.: 2x3x4 = 6 x 4 = 2 x 1268 7 687(2x3)( 3x 4)Dissociativa - Podemos substituir um fator por dois ou mais fatores, desde que o produto desses fatores seja igual aofator primitivo.Ex.: 6 x 5 x 8 = 2 x 3 x 5 x 8 = 6 x 5 x 2 x 46 8Distributiva em relao a soma ou diferena - O produto de um nmero por uma soma indicada igual ao produto desse nmero por cada uma dasparcelas.Ex.: 3 x (5+2) = 3 x 5 + 3 x 2- O produto de um nmero por uma diferena indicada igual ao produto desse nmero pelos termos dadiferena.Ex.: 5 (6 - 3) = 5 x 6 - 5 x 3Elemento neutroUMEx.: 7 x 1 = 74) DIVISO- a operao inversa da multiplicao.D dR Q 2 7. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.netD - DividendoQ - Quociented - divisorR - Resto Relao fundamental: D = d x Q + RObs.: 1) R = O Diviso exata2) Maior resto possvel = divisor - 1ExercciosNuma adio de trs parcelas, se aumentarmos a 1 de 5 unidades, a 2 de 3 dezenas e a 3 de 4 cen-tenas, de quantas unidades ficar aumentada a soma?Numa subtrao, a soma do minuendo, subtraendo e resto 834. Calcular o minuendo.Em uma subtrao, a soma do minuendo, subtraendo e resto 520. Sendo o subtraendo 120, calcularo resto. Em uma subtrao, a soma do minuendo, subtraendo e resto 540. O resto a tera parte do minu-endo. Calcular o subtraendo.Que acontece ao resto de uma subtrao quando:adicionamos 15 unidades ao minuendo?subtramos 10 unidades do subtraendo?subtramos 20 unidades do minuendo?adicionamos 8 unidades ao subtraendo? Numa diviso, o quociente 8. O divisor o dobro do quociente e o resto o maior possvel. Calcu-lar o dividendo.Numa diviso, o divisor 36, o quociente a quarta parte do divisor e o resto o maior possvel. Cal-cular o dividendo.Numa diviso, o quociente 15 e o resto, 9. Qual o menor valor que pode ter o dividendo?Numa subtrao o subtraendo 22 e o resto, 24. Qual o minuendo?A soma de dois nmeros consecutivos 841. Quais so os nmeros?A diferena entre dois nmeros 122 e o maior 396. Qual o menor? Um senhora teve seu primeiro filho aos 21 anos. Quando este filho tinha 14 anos, nasceu seu irmo.Quantos anos tinha a senhora quando seu filho caula fez 10 anos?Um pai 32 anos mais velho que sua filha e a soma das duas idades 46 anos. Qual a idade dos dois? Duas pessoas tm juntas R$ 800,00. Uma tm R$ 120,00 mais do que a outra. Quanto tem cadauma?Trabalhei 6 dias numa obra, e recebi R$ 108,00. Quanto vou receber se trabalhar 30 dias?Numa diviso em que o divisor o maior nmero de trs algarismos, o resto no mximo ______.O divisor sendo 47, o quociente 26 e o dividendo 1263, o resto ser ________. Multiplica-se certo nmero por 7 e adiciona-se 4 ao produto. Divide-se depois esse resultado por 15,encontrando-se o quociente 11. Qual o nmero?Quantos algarismos devemos escrever para numerar um livro de 280 pginas?Respostas:2 8. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net 10) 420 e 4211) 435 11) 2742) 417 12) 453) 140 13) 39 e 74) 180 14) 340 e 4605) a) aumenta 15b) aumento 10 c) diminui 20d) diminui 8 15) 5406) 143 16) 9987) 359 17) 418) 159 18) 2346 19) 732DIVISIBILIDADE1- Mltiplos: - Mltiplos de um nmero o produto desse nmero por um nmero inteiro qualquer.Ex.: a) Mltiplos de 44x0 = 04x1 = 44x2 = 84x3 = 12M(4) = {0,4,8,12...}b) Mltiplos de 77x 0= 07x 1= 77x 2= 147x 3= 21M(7) = {0,7,14,21...}Obs.: 1) O zero mltiplo de todos os nmeros.Todo nmero mltiplo dele mesmo.ExercciosEnumere os trs maiores mltiplos de 14, compreendidos entre 281 e 346.Calcule o menor nmero que se deve adicionar a 342 para se obter um mltiplo de 17.Respostas:1 9. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net1) 308, 322 e 3362) 15Divisores- Um nmero divisor de outro quando o divide exatamente.Ex.: a) Divisores de 12 b) Divisores de 18 12 : 1 = 1218 :1 = 18 12 : 2 = 6 18 : 2 = 9 12 : 3 = 4 18 : 3 = 6 12 : 4 = 3 18 : 6 = 3 12 : 6 = 2 18 : 9 = 212 : 12 = 1 18 : 18 = 1D(12) = { 1,2,3,4,6,12 }D(18) = { 1,2,3,6,9,18 }Obs.:1) o nmero 1(um) divisor de todos os nmeros.b) Todo nmero divisor dele mesmo.Condies de Divisibilidade1 ) Um nmero divisvel por 2 , quando for par, isto , terminar em 0, 2,4 , 6, 8.Ex.: 10,112,1234,23546, 237128, ...2o ) Um nmero divisvel por 3 , quando a soma dos seus algarismos for um nmero mltiplo de 3, isto, divisvel por 3 .Ex.: a) 2352 2+3+5+2 = 12 = 4 x 3b) 573102 5+7+3+1+0+2 = 18 = 6 x 33o) Um nmero divisvel por 4, quando os dois ltimos algarismos da direita formam um nmero mlti-plo de 4.Ex.: a) 128 28 = 7 x 4c) 135252 = 13 x 44o) Um nmero divisvel por 5, quando terminar em 0 ou 5.Ex.: 3580, 27345, ...5o ) Um nmero divisvel por 6, quando for divisvel por 2 e por 3.Ex.: a) 2352Terminam em 2, e a soma dos algarismos divisvel por 3, logo, so1) 573102 divisveis por 6.6o ) Um nmero divisvel por 7, quando:2) Se tiver at trs algarismos:1 x algarismo das unidades + 3 x algarismos das dezenas + 2 x algarismo das centenas for divisvel por7Ex.: 371 1 x 1 +3 x 7 + 2 x 3 = 1 + 21 + 6 = 28 = 4 x 78 10. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net b) Se tiver mais de trs algarismos, quando a diferena da soma das classes de ordem mpar e par for umnmero divisvel por 7.Ex.: a) 415422422 - 415 = 7a) 70.201.733.658 ( 658 + 201) - ( 733 + 70) =4 3 2 1 859- 803 = 567o ) Um nmero divisvel por 8,quando os trs ltimos algarismos da direita formam um nmero mlti-plo de 8.Ex.: 93888888 = 111 x 88o ) Um nmero divisvel por 9, quando a soma dos seus algarismos for um nmero mltiplo de 9.Ex.: a) 24572+4+5+7 = 18 = 2 x 9a) 9816219+8+1+6+2+1 = 27 = 3 x 99o ) Um nmero divisvel por 10, quando terminar em ZERO.Ex.: 210,74800, ...o10 ) Um nmero divisvel por 11, quando a diferena entre a soma dos algarismos de ordem mpar e ados de ordem par, for um nmero mltiplo de 11 .Ex.: a) 110 S1 = 0 + 1 = 11-1 Sp = 1b) 2497 S1 = 7 + 4 = 11 11 - 11Sp = 9 + 2 = 11c) 372867S1 = 7 + 8 + 7 = 2222 - 11 = 11Sp = 6 + 2 + 3 = 11Obs. : Quando a soma dos algarismos de ordem mpar menor que a dos algarismos de ordem par, deve -se somar um mltiplo de 11 a primeira soma.Ex.: 518760 S1 = 0 + 7 + 1 = 8 8 + 11 = 19Sp = 6 + 8 + 5 = 1911o ) Se um nmero divisvel por mais de um nmero primo, tambm o ser pelo produto destes.9 11. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.netEx.: 60 divisvel por 2,3 e 5 tambm o ser por: 2 x 3 x 5 = 304. Restos da diviso de um nmero por:1 ) 2 e 5 , o da diviso do algarismo das unidades por 2 ou por 5.Ex.: a) 32777:2resto 15) 32777:5 resto 2a) 13233 :2 resto 1b) 13233: 5 resto 32o ) 3 e 9 , o da diviso da soma dos valores dos seus algarismos por 9.Ex.: a) 5297 5+2+9+7= 23 : 3 resto 223 : 9resto 53o ) 4 , o da diviso dos dois ltimos algarismos da direita por 4. Ex.: 615 15 : 4 resto 34o ) 10 , o algarismo das unidades.Ex.: 1315resto 55o ) 11, o da diviso da diferena entre a soma dos algarismos de ordem mpar e a soma dos algarismosde ordem par, por 11.Ex.: 564719Si = 9+7+6 = 22SP = 1+4+5 = 10 22 - 10 = 1212 : 11 resto 1Exerccios6) Qual dos nmeros abaixo divisvel por 11?a ) 11111b) 90900 c) 81719d) 45720a) Assinale o nmero abaixo que divisvel, ao mesmo tempo, por 3, 4 e 11.b) 8016b) 5246c) 12570d) 19803 ) O valor de A no nmero 385A para que seja divisvel, ao mesmo tempo, por 2 e por 9, .7) 0 b) 4c) 6d) 2 e) 8a) Para que o nmero 7A52B seja divisvel, ao mesmo tempo, por 3 e por 10, os valores de A e B so ,respectivamente:a) 0 e 1 b) 2 e 4 c) 4 e 2 d) 1 e 5e) 1 e 08) A diferena entre o maior nmero e o menor nmero que podemos formar com os algarismos 3, 4, 5e 6, que sejam divisveis por 11, vale:9) 2913b) 3069c) 4103 d) 90091) Qual das afirmaes abaixo verdadeira? 10 12. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net1) Todo nmero divisvel por 3, tambm divisvel por 9.2) Para que um nmero seja divisvel por 5, deve, obrigatoriamente, terminar por 0.3) Um nmero divisvel por 3 e por 5, tambm divisvel por 15.1) O zero divisor de qualquer nmero.1) Qual das afirmaes abaixo falsa?1) Um nmero que termine por 0, divisvel por 4.2) Um mltiplo de 2 e de 3, divisvel por 6.3) Se um nmero mltiplo de 15, tambm mltiplo de 3.4) O zero mltiplo de qualquer nmero.1) Qual o resto da diviso do nmero 787 por 5?1) Intercale um algarismo entre os algarismos do nmero 56, de modo a obter um numeral de trs alga-rismo que represente o menor nmero divisvel por 4 e por 9.2) Qual o algarismo que deve substituir a letra A no numeral 34A2 para se obter um nmero divisvelpor 4 e por 9.3) Qual o menor valor de X para que o nmero 245X880, seja divisvel por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10?4) Para que o nmero 7A08, dividido por 11, deixe resto 3, necessrio substituir a letra A por________.Respostas:2c 6 b 1073d 7 c 1194d 8 a 1205e 9 2 1325. NMEROS PRIMOS1 Definio_ aquele que s divisvel por ele mesmo e pala unidade.2 Definio_ aquele que s possui dois divisores.Obs.: Pela 1 definio, o n. 1 primo, mas, pela 2 definio, o n. 1 no primo. Ficaremos com a 2definio.Exemplos de nmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...Regra prtica para reconhecimento dos nmeros primosDividimos, o nmero dado pelos nmeros primos em ordem crescente (2, 3, 5,...) at encontrarmos umquociente igual ou menor que o divisor. Se a diviso no for exata (Resto o ), o nmero primo.Obs.: No necessrio efetuar as divises por 2, 3, 5, 7 e 11, pois sabemos as "condies de divisibilida-de".Ex.: Seja o nmero 523523 13523 17 523 19003 40013 30 143 2710 11 13. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net523 23063 22 Como quociente menor que o divisor e a diviso no exata, 523 17 primo.Exerccios1) Verificar se o n. 437 primo.2) Verificar se o n. 691 primo.Nmeros primos entre siSo aqueles que admitem como nico divisor comum a unidade.Ex.:a) 5 e 13 b) 3 e 14c) 15 e 8D (5) = {1,5} D (3) = {1,3}D (15) = {1, 3, 5, 15}D (13) = {1, 13}D (14) = {1, 2, 7, 14} D (8) = {1, 2, 4, 8}DECOMPOSIO DE UM NMERO EM UM PRODUTO DE FATORES PRIMOSDividimos o nmero dado por nmeros primos, na ordem crescente, at encontrarmos quociente 1.Ex.:Decompor o n. 180 em um produto e fatores primos.180 2 90 2 45 3 180 = 22 x 32 x 5 15 3 5 5 1Exerccio_ Decompor em um produto de fatores primos, os nmeros abaixo:a) 600 b) 484 c) 1058Respostas:1) No primo2) primo 3 2a) 2 x 3 x 5b) 22 x (11)2 c) 2 x (23)2Divisibilidade de nmeros mediante seus fatores primosDecompondo-se dois nmeros em seus fatores primos, o primeiro divisvel pelo segundo, se contiverpelo menos, os fatores primos do segundo com expoentes iguais ou maiores.Ex.:a) 500 mltiplo de 20, pois 500 = 22 x 53 e 20 = 22 x 510) 360 no mltiplo de 32, pois 360 = 23 x 32 x 5 e 32 = 2511) 48 divisor de 3600, pois 48 = 24 x 3 e 3600 = 24 x 32 x 5212) 56 no divisor de 720, pois 56 = 23x 7 e 720 = 24 x 32 x 5Exerccios12 14. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net1) Determinar qual o menor nmero pelo qual se deve multiplicar 1512 para se obter um mltiplo de360?2) Determinar o menor nmero pelo qual devo dividir 300 para que se torne divisor de 1000?3) Determinar o menor nmero pelo qual devo multiplicar 48 para que se torne mltiplo de 300?Respostas:1) 5 2) 3 3) 256. Nmeros de divisores de um nmero1) Decompomos o n. em um produto de fatores primos.2) Somamos 1 a cada expoente dos fatores primos e multiplicamos os resultados.Ex.:1) Quantos so os divisores do n 120?120 2 60 2 120 = 23 x 3 x 5 30 2 (3+1) x (1+1) x (1+1) = 4 x 2 x 2 = 16 divisores 15 35 512) Quantos so os divisores do n. 22 x 3 x 53 x 7?(2+1) x (1+1) x (3+1) x (1+1) = 3 x 2 x 4 x 2 = 48 divisores3) O nmero 2x x 53 admite 12 divisores. Calcular o valor de x.(X + 1) x (3 + 1) = 12X+1=3(X + 1) x 4 = 12X=3-112X=2X+1= 44) O nmero N = 3x x 52 admite 9 divisores. Calcular N.(X + 1) x (2+1) = 9 X+1=3(X + 1) x 3 = 9 X=3-19 X=2X+1=3SubstituindoN = 3x x 52 = 32 x 52 = 9 x 25 = 225Exerccios1) Quantos so os divisores do nmero 360?2) Quantos so os divisores do nmero 22 x 34 x 53 x 7?3) O nmero 24 x 32 x 5x admite 30 divisores. O valor de x __________.4) O nmero N = 23 x 3x x 5 admite 24 divisores. O valor de N ______.Respostas:1) 242) 1203) 113 15. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net4) 360Determinao dos Divisores de um nmero1 Decompomos o nmero dado em um produto de fatores primos.2 Colocamos um trao direita dos fatores primos e acima e direita do trao escrevemos o nmero 1.3 Multiplicamos os nmeros primos pelos nmeros que esto direita do trao acima deles.Ex.:1) Quais so os divisores do nmero 120?1120 2 2602 4302 8153 3, 6, 12, 245 5 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 1201Resposta.: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 1202) Quais so os divisores do nmero 2 x 32 x 5?11) 22) 3, 6 Resp.: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.3 9, 185 5, 10, 15, 30, 45, 90Exerccios54 Quais so os divisores do nmero 180?55 Quais so os divisores do nmero 22 x 3 x 52?7. Mximo Divisor Comum (M.D.C.)MDC de dois ou mais nmeros o maior nmero que os divide exatamente. Vejamos como podemos cal-cul-lo:1 processo: Decomposio em fatores primos._ o produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes.Ex.:1) Achar o MDC entre 90, 120 e 150.9021202150245360 275 315330 225 55 5 153 5 51 5 5 114 16. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net 1 290 = 2 x 3 x 5120 = 23 x 3 x 5MDC = 2 x 3 x 5 = 30150 = 2 x 3 x 522) Achar o MDC entre os nmeros 23 x 32 x 53 ; 25 x 34 x 52 x 7 e 24 x 33 x 5 x 11.m.d.c. = 23 x 32 x 5 = 8 x 9 x 5 = 3602 processo: Divises sucessivas._ Dividimos o nmero maior pelo menor. Depois o nmero menor pelo resto achado e assim, sucessiva-mente, at encontrarmos resto ZERO. O ltimo divisor ser o M.D.C.Ex.:1) Achar o mdc entre 108 e 60.Quociente 1 1 4MDC = 12 108 604812 48120 RestoObs.: No caso de vrios nmeros, achamos o MDC dos dois menores. Depois achamos o MDC desse re-sultado com o terceiro nmero e assim, sucessivamente.2) Achar o m.d.c. entre 90, 120 e 150. 1 3 120 9030 O m.d.c. dos dois menores 30. 300 5 150 30Resp.: 300Obs.: _ Quando um nmero mltiplo de outro, o M.D.C. o menor deles._ O M.D.C. de nmeros primos entre si a unidade.Exerccios1) Achar o MDC entre 20, 36 e 88.2) Sendo A = 24 x 3 x 53 ; B = 25 x 32 x 7 e C = 22 x 34 x 52, o mdc entre A, B e C, vale______.3) Quantos so os divisores comuns dos nmeros 48 e 60? 15 17. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net4) Quais os dois menores nmeros pelos quais devem ser divididos os nmeros menores 144 e162 para que os quocientes sejam iguais?5) Quais so os divisores comuns dos nmeros 54 e 90?6) Calcular os trs maiores divisores comuns dos nmeros 72 e 96.Respostas:1) 4 3)65){1, 2, 3, 6, 9, 18}2) 124)8e96)24, 12 e 88. Mnimo mltiplo comum (M.M.C.)MMC de dois ou mais nmeros o menor nmero divisvel por esses nmeros. Vejamos como podemoscalcul-lo:1 Processo: Quando os nmeros j estiveram decompostos._ igual ao produto dos fatores primos comuns e no comuns, elevados aos maiores expoentes.Ex.: Achar o MMC entre 22 x 3 x 5, 2 x 32 x 7 e 2 x 3 x 5.mmc = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260Exerccios1) Achar o mmc entre 32 x 5, 2 x 3 x 7 e 22 x 32 x 5.2) Achar o mmc entre 22 x 33 x 5, 23 x 3 x 7 e 2 x 32 x 52 x 112 processo : Quando os nmeros no estiverem decompostos._ Decompomos simultaneamente todos os nmeros.Ex.: Achar o M.M.C. entre 30, 45 e 75.30, 45, 75 215 45 75 3 5 15 25 3 m.m.c. = 2 x 32 x 52 = 450 55 25 5 115 5 111Obs.:_ Quando um nmero mltiplo de outro, o mmc o maior deles._ O mmc de nmeros primos entre si, o produto deles.Exerccios1) Achar o mmc entre 60, 90 e 150.2) Achar o mmc entre 2 x 32 x 5, e 23 x 3 x 52 x 7 e 3 x 5 x 11.3) O menor nmero que dividido por 12, 20 e 36, deixa sempre resto 5, _______.4) Quais so os trs menores mltiplos comuns de 48 e 75?5) Uma pessoa possui mais de R$ 300,00 e menos de R$ 400,00. Contando sua quantia de R$8,00 em 8,00 de R$ 10,00 em R$ 10,00 ou de R$ 15,00 em R$ 15,00, verifica que sempre sobra R$ 4,00.Quanto possui?Respostas:16 18. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net 4) 1200, 2400 e 36001) 900 5) R$ 364,002) 1386003) 185Propriedade entre MDC e o MMC de dois ou mais nmeros_ O produto de dois ou mais nmeros igual ao produto do mmc pelo mdc, destes nmeros.Ex.:21Os nmeros 90 e 60 180 x 30 = 90 x 60MMC (90, 60) = 180 5400 = 5400 OK!MDC (90, 60) = 3022 Sabendo-se que o MMC e MDC de dois nmeros so respectivamente 18 e 3 e que, o me-nor deles vale 6, qual o valor do maior?18 x 3 = 6 x maior Resp.: 9a) = 6x9Exerccios Complementaresa) O mdc de dois nmeros 15 e o menor a quarta parte do maior, que vale _______.b)Para acondicionar 1560 latas de azeite e 870 latas de leo em caixotes, de modo que cadacaixote contenha o mesmo nmero de latas sem que sobre nenhuma e sem misturar as latas de cada esp-cie, sero necessrias quantas latas em cada caixote?c) O menor nmero que dividido por 18, 32 e 54, deixa sempre resto 11, ________.d)O cabo Praxedes tira servio a cada 5 dias, e o soldado Atanagildo, a cada 7 dias. Os doisesto de servio hoje: logo tiraro servio juntos novamente daqui a____ dias.e) Quais dos elementos do conjunto dos divisores de 180 so mltiplos de 6 a menores que 20?f) Qual o menor nmero pelo qual se deve multiplicar 210 a fim de obter um nmero divisvelpor 126?g) Trs e cinco so os fatores primos de dois nmeros que admitem, cada um, oito divisores.Determine os nmeros.h) O produto de dois nmeros 864. Calcule os nmeros sabendo que o mmc deles 72.9) Qual o mmc de dois nmeros cujo produto 1512 e o mdc deles 6.Respostas:21. 60 24. 35 27. 135 e 37522. 30 25. 6, 12 e 18 28. 24 e 3623. 87526. 329. 2529. Base de um sistema de numeraoBase de um sistema de numerao o nmero de algarismos utilizados para escrever os nmeros. Nor-malmente utilizamos a base 10, isto , com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0. Entretanto podera-mos usar outras bases menores, como a base 5, com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 0, ou mesmo a base 2, com1 e 0.Transformao de um nmero escrito na base 10 par outra base17 19. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.netDivide-se este nmero pela base que se quer passar, em seguida o quociente desta diviso pela base no-vamente, e assim sucessivamente, at que o quociente seja menor que a base.Ex.: a) Passar o nmero 87 da base decimal para a base 5.87 517 537 17 2 3o nmero ser 322(5) 2b) Passar o nmero 13 da base decimal para a base 2.13 2 6 23 2 1 60 31 1 o nmero ser 1101(2)Exerccios:1) Transformar o nmero 39 da base 10 para base 5.2) Transformar o nmero 83 da base 10 para a base 8.3) Transformar o nmero 91 de base 10 para a base 4.Transformao de um nmero de uma base qualquer para a base 10Para transformar um nmero na base 10 utilizamos o seguinte polinmio:(y)10 = ... a1B3 + a2B2 + a3B1 + a4B0Ex.:a) O nmero 213(8) passa para (y)10. Vamos usar o polinmio considerando B0 at B2, pois so trs alga-rismos.(y)10 = a1B2 + a2B1 + a3B0 a1 = 2, a2 = 1, a3 = 3 e B = 8 (base)(Y)10 = 2.82 + 1.81 + 3.80 (y)10 = 128 + 8 + 3(y) = 139Logo: 139(10) = 213(8)b) O nmero 210(7) passa para (y)10Logo 210 trs algarismos a1B2 + a2B1 + a3B0(Y)10 = 2.72 + 1.71 + 0.70 (y)10 = 98 + 7 + 0 = 105Logo: 210(7) = 105(10)c) O nmero 210(7) passa para (x)5.Primeiro passamos para a base 10 conforme acima.Ento (y)10 = 105 agora pelas divises sucessivas:105 5 21 505 21 1 4Logo: 410(5) = 105(10) como tambm 210(7) = 410(5)d) O nmero 213(8) passa para a base 2.Mas (y)10 = 139 conforme exemplo anterior.Agora pelas divises sucessivas:139 2 69 234 217 28 2 4 2 2 21 691 340 171 804 0 2 0 118 20. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.netLogo 10001011(2) = 213(8)e) o nmero 10001011(2) passa para a base 10.Veja o seguinte quadro:20481024 512256 128 6432 16 8 4 21 00 00 10 001 0 11Observe que o nmero 10001011 est colocado da direita para a esquerda. Retire os valores que estoacima do algarismo 1, ignorando aqueles acima do 0. Some-os: 1 + 2 + 8 + 128 = 139Logo: 10001011(2) = 139(10)Obs.: Para qualquer nmero do sistema binrio (base 2), usa-se o quadro acima para passar para base 10(decimal).Exerccios2) Passar o nmero 242(7) para a base 10 (decimal).3) Passar o nmero 1011(3) para a base 10.4) Passar o nmero 11101(2) para a base 10.5) Passar o nmero 156(7) para a base 8.6) Passar o nmero 11001(2) para a base 3.7) Passar o nmero 203(5) para a base 2.Respostas:1) 124(5)2) 123(8) 3) 1123(4)1) 128 2) 31 3) 294) 132(8)5) 221(3)6) 110101(2)10 Problemas de sucesso de nmeros naturaisModelo: Quem escreve de 12 at 28, quantos algarismos escreve?Nmeros escritos: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 e 28.Total: 17 nmeros de dois algarismos, 17 x 2 = 34 algarismo.Tcnica: (28 12) + 1 = 17 nmerosSe ao todo so 17 nmeros, cada um com dois algarismos, teremos, 17 x 2 = 34 algarismos.Modelo: Para escrever todos os nmeros de 1 a 327, quantos algarismos sero necessrios?_ Nmeros de um algarismode 1 a 9 (9 1) + 1 = 9 nmeros 9 x 1 = 9 algarismos_ Nmeros de dois algarismos de 10 a 99(99 10) + 1 90 nmeros 90 x 2 = 180 algarimos_ Nmeros de trs algarismosde 100 a 327 ( 327 100) +1 = 228 nmeros 228 x 3 = 684 algrismos_Total de algarismos: 9 + 180 + 684 = 873 algarismosModelo: Para numerar as pginas de um livro foram necessrios 258 tipos. Quantas pginas tem o livro?_1 at 9 9 nmeros 9 algarismosAlgarismos restantes: 258 9 = 249_ 10 at 99 90 nmeros 90 x 2 = 180 algarismosAlgarismos restantes: 249 180 = 69 19 21. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net69 + 3 = 23 nmeros de trs algarismos_ Total de pginas: 9 + 90 + 23 = 122 pginasModelo: Quantos nmeros pares so escritos de 11 at 21?_ Nmeros escritos: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21,_ Total: 5 nmeros 21 11 10_ Tcnica:= = 5 nmeros2 2Obs.: Vlida para seqncia que comece e termine em n. mpar.Modelo: Quantos nmeros pares so escritos de 12 at 20?_ Nmeros escritos: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20_ Total: 5 nmeros 20 128_ Tcnica: + 1 = + 1 = 4 + 1 = 5 nmeros2 2Obs.: Vlida para seqncia que comece e termine em n. par.Modelo: Quantos nmeros pares so escritos de 11 at 20?_ Nmeros escritos: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20_Total: 5 nmeros 20 11 + 1_ Tcnica: = 5 nmeros 2Obs.: Vlida para seqncia que comece em mpar e termine em par ou vice-versa, comece em par e ter-mine em mpar.Modelo: Quantos algarismos sero necessrios para escrevermos os nmeros pares de 23 a 1100? 99 23 76_ Nmeros de dois algarismos 23 a 99= = 38 nmeros 38 x 2 = 76 alga-2 2rismos 999 100 + 1 900_ Nmeros de trs algarismos 0 a 999== 450 nmeros450 22x 3 = 1350 algarismos1100 1000 100_ Nmeros de quatro algarismos 1000 a 1100+1= + 1 = 50 + 1 = 51 x 4 = 204 2 2algarismos_ Total = 76 + 1350 + 204 = 1630Exerccios:3) Com 618 algarismos posso numerar um livro com quantas pginas?4) Quantos algarismos sero necessrios para escrevermos os nmeros mpares de 35 a 605?5) Quantos algarismos sero necessrios para escrevermos os nmeros mpares compreendidos entre 7 e1109?Respostas:1) 242 2) 8253) 1657 20 22. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net11. Fraes_ Frao representa uma ou mais partes da unidade dividida em partes iguais.NRepresenta-se uma frao porDN Numerador (partes que forma tomadas)D Denominador (partes em que a unidade foi dividida)Obs.: Numa frao o numerador quociente e o denominador divisor.1) Classificao das fraesa) Decimal quanto o denominador for 10 ou potncia de 10.3 711Ex.: , , ,... 10 100 1000b) Ordinria quando no for decimal. 3 2 3Ex.:, ,,... 5 7 200c) Prpria quando o numerador for menor que o denominador. 3 7 2Ex.:, , ,... 4 10 9d) Imprpria quanto o numerador for maior que o denominador. 8 7 17 30Ex.:, , , ,... 3 4 10 17Obs.: Alguns autores tambm consideram imprpria aquelas fraes que tem o numerador igual ao de-nominador. 8 10Ex.:, ,... 8 10Nota: todo nmero inteiro uma frao de denominador unitrio. 7 12 97Ex.:, , ,... 1 1 12) Nmero misto ou frao mista_ formado por uma parte inteira a uma parte fracionria. 126Ex.: 3 , 4 , 7 ,... 23 113) Transformao de frao imprpria em nmero misto_ Divide o numerador pelo denominador.Ex.: 17a)3 217 3 denominadorresp.: 5 321 23. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net 2 5 parte inteira numerador 21b) 51a) 5 Resp.: 45 1 44. Transformao de nmero misto em frao imprpria_ Numerador - Parte inteira x Denominador + Numerador_ Denominador - RepeteEx.: 2 4 x3 + 2 14a) 4 = = 3337 4 x10 + 7 47b) 4== 1010105. Propriedade fundamental das fraes_ Uma frao no se altera, quando multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador por ummesmo nmero. As fraes resultantes sero equivalentes ou idnticas a primeira. 36 2 18 3 6 4 24Ex.:= == 48 2 24 3 8 4 32_ Baseados na propriedade anterior, sempre que possvel, devemos simplificar as fraes.Ex.: 28 2 14 2 7b)= = 36 2 18 2 9 147 3 49 7 7 7 1c)== = 1029 3 343 7 49 7 7Obs.: Quando uma frao no pode mais ser simplificada, ela tornou-se irredutvel. Ex.: 7/9 e 1/7 dosexemplos anteriores.ExercciosSimplificar as fraes: 54 529d) f) 8169391210e) g) 1693300Respostas:a) 2/3 b) 3/13c) 23/3 22 24. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.netd) 11/306. Reduo de fraes ao mesmo denominador1 Achamos o MMC dos denominadores que passar a ser o novo denominador.2 Dividimos o novo denominador pelo antigos e o resultado multiplicamos pelos respectivos denomina-dores.Ex.: Reduzir ao mesmo denominador as fraes:3 2 1 5 , , , MMC (4, 6, 12) = 12 Novo denominador4 3 6 12 9 8 2 5, , ,12 12 12 12ExercciosReduzir ao mesmo denominador as fraes: 5 3 4 7 5 7 11 13a), , , b), , , 6 8 9 128 18 30 36Respostas: 60 27 32 42 225 140 132 130a) , , ,b), , , 72 72 72 72 360 360 360 3607. Comparao de fraesPrimeiro reduzimos elas ao mesmo denominador. Ser maior aquela que tiver o maior numerador.Ex.: 7 3c)> 5 5 3 8d)< 7 7 2 389e)e < 3 4 12 12Obs.:> significa maior< significa menorExerccios 2 3 3 7 5d) Colocar em ordem crescente as fraes, , , , 5 8 4 10 62 5 8 9 1 3 7e) Colocar em ordem decrescente as fraes:, , , , , ,5 6 3 10 2 4 8Resp.: 3 2 7 3 5 8 9 7 5 3 1 2e), , , , f), , , , , , 8 5 10 4 63 10 8 6 4 2 5 23 25. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net8 - Operaes com fraes1 Adio e Subtrao6) Denominadores iguais - conservamos o denominador e somamos ou subtramos os numeradores.Ex.: 2 5 4 2 + 5 + 4 11a)+ + = = 3 3 3 33 8 1 3 8 1 3 4b) = = 5 5 55 5b) Denominadores diferentes - reduzimos ao mesmo denominador e procedemos como anteriormente.Ex.: 1 3 2 5 30 + 45 + 24 + 50 1497)+ + + = = 2 4 5 66060 3 2 7 3 15 16 28 + 30 18) + == 8 5 10 4 40402 Multiplicao_ Multiplicamos, respectivamente, os numeradores e denominadores das fraes.Ex.: 2 4 2 x4 89)x == 3 5 3 x5 15 5 31 5 x3x 4 x1 60 60 110) x x4 x == = 6 45 6 x 4 x1x5 120 60 2Obs.: Devemos simplificar as fraes antes de multiplicarmos.Ex.:11 1 23 4 10 14 x x x =29 5 7 321 1 113 Diviso2) Inverso de uma frao trocar o numerador e denominador de posio.Ex.: 3 4 11) INVERSO3) INVERSO 6 4 3 6 7 512) INVERSO4) 7 INVERSO 5 77 24 26. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.netb) Para dividirmos duas fraes, conservamos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda.Ex.: 2 9 2 4 8736 : = x = 3 4 3 9 27 7 7 1 7737:3 = x = 3 3 3 9 5 1 5 6738 : = x = 10 3 6 1 19) Expresses com fraes1) Realizamos as operaes de multiplicao e diviso, na ordem que forem aparecendo.2) Realizamos as operaes de adio e subtrao.3) Se houver sinais auxiliares (parnteses, colchetes e chaves) eliminamos na ordem, parnteses, colchetes e cha-ves, obedecendo o prescrito anteriormente.Ex.:2 18 12 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 + 5 6 0236 x : + = x + = + == =045 5 5 3 5 5 3 3 5 15 3 515 152375 5 37 5 5 37 5 5 375 537 + := + : = + := + :=6 61 6 6 6 7 66 62 6 6 35 + 2 7+2 x 7+ x 7+ 3 353 35555 5 37 5 5 5 5 5 5 5 1 5 1 5 +1 6 + : = + : 37 x = + :5 = + x = + = = =16 6 37 6 637 6 6 6 6 5 6 6 6 6 5ExercciosResolver as expresses: 1 1 11 350+ + =+ x 20 1 2 3 9555 10= 117 4 21451 x = 20 12 9 161 552 2 3 1+ :1 = 2 + x8 2 5 5 5563 6 =2 1 3 2 3 +2 3 253 2 3 =153 2 4 22 96 57+ x =13 4 5 32 33545 =27 14 2 23 1 10 4 58 + = 3 1 4 43 225 27. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net2 1 1513 2 + 614- + =3+3 2 =715941 7 3 2532 6 41 421 1 3 =60 +3 6 1 6 44Respostas: 17104 49a)f) k) 18 69 54b) 0 4225g) 12)9377c) 1015h)5 7d) 1923i) 524e) 9 20j) 9Exerccios resolvidos sobre fraes:12a) Uma frao eqivalente a, cuja a soma dos termos 40.36Toda vez que o problema pede frao equivalente, devemos primeiro torn-la irredutvel, pois facilita o raciocnio.Ento dividindo numerador e denominador por 4, ficamos com12 1=36 3Observe que se agora multiplicarmos por 10, a soma dos termos ser 40, isto 1 1x10 10 == ou seja, soma dos termos: 10 + 30 = 40 OK!3 3x10 3012b) A frao equivalente a, que tenha denominador 50.2012 3 3x10 30= = = como o anterior, simples aplicao da propriedade fundamental das fraes.20 5 5 x10 50 3c) O valor dede R$ 80,00. 4Pelo conceito de frao - denominador 4, R$ 80,00 deve ser dividido em 4 partes iguais, ou seja - R$ 80,00 : 4 = R$20,00.Numerador 3, quer dizer que devemos pegar e partes, isto 3 x R$ 20,00 = R$ 60,00 - que a frao procurada.Macete: Multiplicar a frao pela quantidade:26 28. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net3 320,00No caso de R$ 80.00 x R$ = R$ 60,004 480,0041a) Calcular de x 12032 41b) de x 120 = 80 3211)1 de um presente de natal custa R$ 120,00. Qual o preo do presente?31 4Transformando o nmero misto em frao imprpria, temos 1=3 3Ao tomar 4 das 3 partes do preo do presente, temos R$ 120,00.Ento, apenas uma dessas partes ser; R$ 120,00 : 4 = R$ 30,00. 3E preo: 3 x R$ 30,00 = R$ 90,00 do presente. 3254. Calcular de um nmero, sabendo que desse nmero 250?535= 250 logo 250: 5 = 50 e 50 x 3 = 150 o nmero.322Ento de 150 x 150 = 6055 32. Calculandode 4h 30 min 20s, obtemos? 4333x 4h = 3h; x 30min = 22,5min = 22min 30s; x 20s = 15s444E ficamos com 3h 22min 45s 3 Gastei R$ 640,00 e fiquei com da minha mesada. Minha mesada de? 773A Minha mesada , se gastei R$ 640,00 e fiquei com porque777 3 4 1R$ 640,00 =- =ento R$ 640,00 : 4 = R$ 160,00 =7 7 7 77e R$ 160,00 x 7 = R$ 1.120,00 os(mesada inteira)7 Uma pessoa tinha determinada importncia e gastou, a princpio, 1/3 depois e ficou, ainda, com R$ 150,00.Quanto possua?1 1 1 + + 150,00 =que a importncia que possua3 4 1 27 29. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net3+ 412 + R$150,00 =que a importncia que possua 12 12 712 12 7 5 + R$150,00 = R$ 150,00 ==1212 12 12 1251Se= R$150,00 ento R$ 150,00 : 5 = R$ 30,00 = 12 12 12Logicamente que = R$30,00 x12 = R$360,00importncia que possua 12 Uma pessoa possua certa importncia e gastou, a princpio, a metade; depois, 1/3 do resto, depois, 1/5 do se-gundo resto, ficando ainda com R$ 160,00. Quanto possua? 1 1 11 Resto = 1 2 2 1 1 11 1 22o Gastox =lgico que o segundo resto = 3 2 62 6 6 1 2 22 23o Gastox =lgico que o terceiro resto ser 5 6 30 6 30 8 13o Resto= R$160,00 ento R$ 160,00 : 8 = R$ 20,00 isto R$ 20 = 303030R$ 20,00 x 30 = R$ 600,00 =30Uma torneira pode encher um tanque em 6 horas e uma segunda enche-o em 9 horas. Funcionando juntas en-chero o reservatrio em quanto tempo? 6A primeira em 6 horas enchedo tanque 6 1em 1 hora enche 6 9A segunda em 9 horas enche do tanque 91em 1 hora enche do tanque9 1 1 5Juntasem 1 hora enchero+ = do tanque 6 9 185 1Se= 60 minutos ento 60 min : 5 = 12 min = 1818 18E o tanque inteiro= 12 min x 18 = 216 min ou 3h 36min 18Trs torneira enchem um tanque: a primeira em 15 dias, a segunda em 20 e a terceira em 30 dias. H um escoa-douro que o pode esvaziar em 40 dias. Em quantos dias, estando as trs torneiras e o escoadouro a funcionar, pode-r o tanque ficar cheio? 28 30. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net15 1A primeira em 15 dias enchedo tanque em 1 dia1515 201A segunda em 20 dias enchedo tanqueem 1 dia 2020 301A terceira em 30 dias enche do tanqueem 1 dia 3030401O escoadouro em 40 dias enchedo tanqueem 1 dia40401 1 1 1 15Juntos - em 1 dia enchero+ + =do tanque 15 20 30 40 120 15Macete: Por regra de trs (do tanque) em 1 dia120120(todo tanque) em x dias120 120 81 x1dia 120120 120x== x 1 dia x = 8 dias1512015 120 11Exerccios 3Acharde 120m. 52 3Calcular os dos de 200.3 43Roberto comprou os8 de uma lata de biscoitos por R$ 9,00. Quanto pagaria pela lata cheia?Para ladrilhar 3 5 de uma parede so gastos 48 ladrilhos. Quantos ladrilhos sero necessrios para ladrilhar 5 8da mesma parede?3 Uma pessoa gastou8 da quantia que possua. Depois recebeu R$ 120, 00 e ficou com R$ 480, 00. Qual aquantia que possua?Um operrio gastou, no almoo, os 2 7 do que possua. Aps o almoo gastou R$ 90, 00 em vrias compras,voltando para casa com R$ 50, 00. Quanto possua? 2 1 Certa quantia foi repartida entre trs pessoas. A primeira recebeu os 5 mais R$ 10, 00; a segunda recebeu 3mais R$ 15, 00 e a terceira os R$ 35, 00 restantes. Qual era a quantia? Uma torneira enche um reservatrio em 4 horas e outra o enche em 2 horas. Estando o reservatrio vazio e asduas torneiras abertas, em quanto tempo enchero o reservatrio? Uma pea de fazenda foi dividida entre trs pessoas. A primeira ficou com 1 6 da pea e mais 5m; a segundacom 3 7 da pea e mais e 6m; a terceira com os 23m restantes. Qual o comprimento da pea?Dois teros de um terreno servem para pastos e 15 do mesmo terreno est cultivado. Sabendo - se que os 300m2restantes so ocupados pela residncia do proprietrio, pergunta - se:Qual a rea do terreno? Qual a extenso do pasto? Qual a rea cultivada?29 31. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net11) Uma torneira enche 3 de um tanque em 12 minutos; outra enche 3 4 do mesmo tanque em 9 minutos. Em2quanto tempo, funcionando conjuntamente, poder o tanque ficar cheio?12) Trs pessoas podem fazer um trabalho: a primeira em 10 dias, a segunda em 8 dias. Depois de 2 dias a primeiraabandonou o trabalho aps 3 dias do acontecido, a segunda abandonou. Em quanto tempo a terceira poder fazer otrabalho todo, se fez o restante em 14 dias?13) Uma torneira enche um tanque em 12 horas. Outra pode ench - lo em 8 horas. Em quanto tempo as duas pode-ro encher 3 4 do referido tanque?14) Duas torneiras enchem um tanque; a primeira e a segunda em 3horas e 36 minutos. Determinar em quanto tem-po a segunda poder encher o tanque, se a primeira o enche em 9 horas.Um escoadouro esvazia um tanque em 8 horas e uma torneira o pode encher em 10 horas. Estando o tanquepreviamente cheio, em quanto tempo poderemos ter, apenas, 2 5 de sua capacidade?Determinar o peso de 10 bolas de futebol, sabendo - se que uma bola pesa 1 quilo mais meia bola.21Uma pessoa gastou 5 de certa importncia mais R$ 400,00 , ficando com3. Quanto possua?1218)Num quintal5 das aves so galinhas, 3 so pombos. Quantas galinhas e quantos pombos existem, se h 32perus?Certo vendedor de ovos vendeu ao primeiro fregus,13 dos ovos que levava; ao segundo, 1 do resto; ao ter-41ceiro 5 do novo resto e ainda lhe sobraram 12 ovos. Quantos ovos possua?Um vendedor vendeu ao primeiro fregus 1 3 das laranjas que levava mais 12; ao segundo13 do resto mais 4;ao terceiro 1 2 do novo resto mais 10, ficando sem nenhuma. Quantas laranjas possua?Respostas:1) 72m9) 84 m 15) 24h2) 10010) a) 2.250m216) 20 Kg3) R$ 24,00 b) 1.500 m2 17) R$ 1.50024) 50 ladrilhos c) 450 m18) 48 galinhas e 160 pombos5) R$ 576 11) 7min 12s19) 30 ovos6) 19612) 80 dias 20) 72 laranjas7) 22513) 3h 36min8) 1h 20min 14) 6 hOperaes com nmeros decimaisAdio e subtraoRegras:1) Igualamos o nmero de casas decimais, acrescentando zeros;2o) Colocamos vrgula debaixo de vrgula.Ex.:1) 4,25 + 6 + 3, 982=2) 13,8 - 6, 429 = 3) 2 - 1, 735 =4,250 13,8002,000+ 6,000 6,429 1,7353,9827,3710,265 14,232Obs: A vrgula em um nmero inteiro est logo aps o algarismo das unidades.30 32. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.netMultiplicao Multiplicamos como se fossem inteiros. O nmero de casas decimais do resultado ser igual soma das casas de-cimais dos fatores.Ex.:1) 2,35 x 3,42= 2,35 2) 8, 541 x 0,01= x2 casas decimais3 casas decimais 3,41 8,5412 casas decimais470 2 casas decimaisx0,010,085415 casas decimaisdivisoIgualar com zeros as casas decimais do dividendo e do divisor. Cortar as vrgulas e efetuar a diviso.Obs.: a) Depois de colocar a vrgula no quociente, podemos acrescentar um zero no dividendo. Se ao acrescentarmos um zero no dividendo no for possvel a diviso, vamos acrescentando zeros no quocien-te e no dividendo, at tornar possvel a diviso.Ex.:1) 7,36 : 0,5 =7,36 0,50 2) 9,57434 : 4,78 =509,57434 4,7800014,72 957434 478000 36014340002,003 100000000000Obs.: Quando igualamos as casas decimais do quociente e divisor, estamos aplicando a propriedade fundamentaldas fraes. Por qu? Procure descobrir.Transformao de fraes em nmeros decimaisBasta dividir o numerador pelo denominador.Ex.: 13771) = 0,52) = 0,123) = 0,77 225100 10 2 30 25 770 100 0 0,50,12700 0,7700Transformao de nmeros decimais em fraes 3No numerador escrevemos o nmero decimal sem vrgula 15 3e, no denominador, escrevemos a unidade acompanhada 1) 1,5 == 10 2de tantos ZEROS quantas forem as casas decimais. 2Ex.:31 33. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net15 3 2) 1,75 = = 100 20obs.: 1. Todo o zero que vier a direita da vrgula e depois do ltimo algarismo significativo, pode ser omitido.Ex.:2,3070 = 2,3073,10103000 = 3,10103Da mesma forma, todo zero que vier a esquerda de um nmero inteiro, no tem significado.Ex.:0215 = 2150001876 = 1876 Muitas vezes, em determinadas expresses, mais fcil transformarmos os nmeros decimais em fraes e rea-lizarmos as operaes. A frao resultante, voltamos a transformar em nmero decimal.Ex.: 5 x32 x 4640a) 0,5 x 0,32 x 0,04 = = = 0,0064 10 x100 x100 100000 30301 6b) 0,003 : 5 = :5=x == 0,0006 10000 10000 5 10000Exerccios Resolva as expresses abaixo:12,8 + 1,402 + 31,04=5,41 x 0,0002=13,8 - 6,381=1,001 x 1,005=1 - 0,235= 2,814 : 1,2 =0,82- 0,031 +23,401= 13,0382 : 9,73 =13,25 x 50,7=0,0162 : 1,35 =Determinar o valor das seguintes expresses:2+ (3,1 - 1,85)=0,72 : 12Dzimas= 1,6 x0,125Na transformao de fraes em nmeros decimais, quando a diviso no for exata, e a partir de um certo 0,02 + 0,03 0,01x =momento os algarismos comeam a se repetir, di-0,001 0,001zemos que frao se transforma numa DZIMA PERDICA.0,5 x0,2d) 0,002 + = - Perodo a parte que se repete.0,01 - Parte no peridica a parte entre a vrgula e oResp.: perodo.a) 45,242 b) 7,419c) 0,765 d)- Representao das dzimas peridicas24,19 e) 671,775 f) 0,001082 g) 1,006005h)2,345 i) 1,34j) 0,0120,777 ... = 0, (7)= 0,7a) 3,25 b) 0,3 c)500d) Perodo 7 - Parte no peridica no h40,002 0,1333 ... =0,1(3) = 0,13 Perodo 3 - Parte no peridica1 32 34. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net- Dzimas peridicas simples16 115 195 13 2,1666 ... = 2=2 = =Quando o perodo vem logo aps a vrgula.90 90 90 6Ex.: 0,777... ; 1,333... Exerccios:- Dzimas peridicas compostasAchar a geratriz das dzimas:Quando o perodo no vem logo aps a vrgula. 0,2666 ... b) 0,02030303... c) 1,0(3)Ex.: 0,2555 ... ; 2,1666 ...Resolver:- Geratriz de uma dzima peridica 37 3 60 a) 1,2333... : + 0,777... x x1,3666... = a frao ordinria que d origem a dzima. 40 2 41- Geratriz das dzimas peridicas simples 6 14153,666... x+ 2,(3) ++ 2,3(1)x = a frao ordinria que tem para numerador o pero- 113 104do e para denominador tantos NOVES quantos fo-30 0, 4 5rem os algarismos do perodo. 0,3222... x+ 0, 3 + 0, (6) +=29 3Ex.: Achar a geratriz das dzimas:113 10,333 ...0,333 ==59 3 3,5 + 2,1666... + 0,444...+= 94550, 454545 ...0,454545... = = Resp.: 1) a) 4/15 b) 67/3300c) 31/3099 11 a) 1/2b) 17/6c) 5/2d) 7 1697/151,777 ... 0,777 ... = 1 = 9 9 EXERCICIOSExerccios 01) (PUC-SP) O nmero (0,666...)2 igual a :Achar a geratriz das dzimas:a) 0,3666...0,181818 ... 2) 1,030303 ... 3) 2,6b) 0,363636...2348 c) 0,444...Resp.: 1) 2)3)11 333 d) 0,4000... e) 0,1333... 02) (CESGRANRIO) Considere a expresso :- Geratriz das dzimas peridicas compostas 1/ 5+1/ 3 0,999...+ a frao ordinria que tem para numerador a parte 3 / 5 1 / 15no peridica, seguida do perodo, menos a parte no a) 9/10peridica, e para denominador um nmero formadode tantos NOVES quantos forem os algarismos do b) 2perodo, seguidos de tantos ZEROS quantos foremc) 19/10os algarismos da parte no peridica. d) 15/9Ex.: Achar a geratriz das dzimas: e) 1 17 1 16 80, 1777 ... 0, 1777... = = =90 90 45 03) (UFRN) Se a frao irredutvel a/b a geratriz da103 10930,10333 ... 0,10333 ... == = dzima 2,030303...ento :900900 31a) a = 2b + 1300b) a = b + 1 c) b = a - 233 35. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.netd) b = a -1Resp.: 01) c 02) b 03) ae) b = 2a - 114. SISTEMA MTRICO DECIMAL Unidades de comprimentoA unidade fundamental o metro, seus mltiplos e sub-mltiplos encontram-se no quadro abaixo:NomesSmbolos ValorMltiplos quilmetro km 1000 mhectmetro hm100 mdecmetrodam10 mUnidadesmetrom 1mdecmetrodm 0,1 mcentmetro cm0,01 mSub-mltiplos milmetromm 0,001 mPelo quadro observamos: Todos os smbolos so escritos com letras minsculas.Ex.: km, hm, dam, m, dm, cm, mm No se escrevam as abreviaturas no plural.Ex.: 40m e no 40ms No se escreve ponto aps as abreviaturas.Ex.: 20m e no 20m.CADA UNIDADE DE COMPRIMENTO 10 VEZES MAIOR QUE A UNIDADE IMEDIATA-MENTE INFERIOR. Essa propriedade nos permite escrever:1km - 10hm - 100dam - 1000m - 10.000dm - 100.000cm - 1.000.000mmConverso das unidades de comprimentoA vrgula anda de uma em uma casa decimal.Ex.: a) 5,87 Km = .......... cm A vrgula vai se deslocar para a direita.km hm dammdm cm5, 8, 7, 0, 0, 0,Resp.: 587000 cm 3500 cm = ............ kmA vrgula vai se deslocar para a esquerda.km hm dammdm cm0, 0, 3, 5, 0, 0, Resp.: 0,03500 km = 0,035 kmExerccios Converter: 0,03 dam = .......... cm 2, 087 hm = .........mm 34 36. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net 21,3 cm = ............ hm 285,19 dm = .........Km 2100 mm = ...........hm 13240= ...............dam Resolver: 3,45 hm + 35,2m + 1400mm = ............................... dm 0,0034km + 3,2 dm + 12100cm = ............................m2 2,3 dam + 0,3mm +m = ...................................... cm5 0,21,2 dam + 120 cm + m = ....................................dm43Resp.:1) a) 30cmb) 208700mmc) 0,00213hmd) 0,028519km e)0,021hmf) 13,24dam a) 3816dm b) 124,72mc) 2340,03cmd) 21dm Unidades de superfcie (rea)km2hm2 dam2 m2dm2 cm2mm2 Cada unidade de superfcie 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.1m = 100dm2 ; 21hm2 = 100 dam2 ; ....Converso das unidades de superfcieA vrgula anda de duas em duas casas decimais. Ex.:a) 7,03 dam2 = .............. m2A vrgula vai se deslocar para a direita.7,03; Resp.: 703 m2 100900 mm2 = ............... dam2A vrgula vai se deslocar para a esquerda0,00,10,09,00 Resp.: 0,001009 dam2ExercciosResolver: 4,195 dam2 = ............. mm2 432180 cm2 = ............. m2 0,08035 m2 = ............. cm2 19,32 m2 = ...................hm2 0,032 dam2 = ............. dm2 0,00834 dm2 = .............. km2Resp.:a) 419500000 mm2 d) 43,2180 m2b) 803,5 cm2 e) 0,001932 hm2c) 320 dm2 f) 0,0000000000834 km2 Unidades agrrias- hectare(ha)corresponde ao hm2- are(a) corresponde ao dam2- centiare(ca)corresponde ao m2 35 37. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.netEx.: a) 1,92 ha - ............ca..............cab) 2340 m2 = ..................a hm2m2dam21,92,00 Resp.: 19200 ca 23,40 -> Resp.: 23,40 aExercciosConverter:85,3 ha = ................... dm2 0,037 km2 = ................. ca7,03 a = ...................... cm2 1,4 ha = ....................... ca0,183 km2 = ................. a 198 ca = ...................... haRespostas:85300000 dm237000 ca7030000 cm2 14000 ca1830 a0,0198 haUnidades de volumekm3hm3dam3 m3 dm3cm3mm3Cada unidade mil vezes maior que a unidade imediatamente inferior.1 dam3 = 1.000m3 ;1 dm3 = 1.000cm3 ;...Converso das unidades de volumeA vrgula anda de trs em trs casas decimais.Ex.: a) 7,03 dam3 = ................. dm3 A vrgula vai se deslocar para a direita.37,030,000,Resp.: 7030000dmb) 1980 mm3 = ................... dm3 A vrgula vai se deslocar para a esquerda.0,001,980 Resp.: 0,00198 dm3Exerccios:Converter:18,47 m3 = ................ cm3 2160 m3 = .................. hm30,094 dm3 = .............. mm30,03 cm3 = ................. dm31,0312 dam3 = .......... cm35,7 dm3 = ................... dam3Resp.: a) 18470000 dm3 b) 94000 mm3c) 1031200000 cm30,002160 hm3e) 0,00003 dm3 f) 0,0000057 dam3Descastreo(dae)1000 m3 1 dam3 Unidades de medida de Lenha3Obs.: Estreo(e) 1mDecistreo(de)0,001 m3 = 1 dm3Unidades de capacidade quilolitro hectolitrodecalitrolitrodecilitro centilitromililitroklhldall dlcl mlCada unidade 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.1 hl = 10 dal ; 1 cl = 10ml ; ... Converso das unidades de capacidade36 38. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net A vrgula anda de uma em uma casa decimal. A vrgula vai se deslocar para a direita. Ex.: a) 127 dal = ............. clA vrgula vai se deslocar para a direita. 127,0,0,0,Resp.: 127000 cl 48,7 dl = .............. hl A vrgula vai se deslocar para a esquerda. 0,0,4,8,7 Resp.: 0,0487 hl Exerccios Converter: 3,19 kl = ................ l3450 l = .................. kl 0,03 dal = .............. dl1,34 dl = ................. dal 141 dal = ............... ml0,053 cl = ............... hl Relao entre as unidades de volume e unidades de capacidade1 m3 = 1 kl1 dm3 = 1 l1 cm3 = 1 ml Exerccios Converter: 19,3 hl = .................... m3 31,45 cm3 = ............... cl 2,813 m3 = ................. ml 8140 cm3 = ................ dl 1980 ml = .................. m3 0,18 kl = ..................... dam3Resp.: a) 3190 1 b) 3 dl c) 1410000 ml d) 3,45 kl e) 0,0134 dal f) 0,0000053 hl a) 1,93 m3 b) 2813000 ml c) 0,00198 m3 d) 3,145 cl e) 81,4 dl f) 0,00018 dam3 Unidades de massaquilograma hectograma decagrama gramadecigrama centigrama miligramakghgdag g dg cgmg Cada unidade 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 1 kg = 10 hg ; 1g = 10 dg ;..... Converso das unidades de massa A vrgula anda de uma em uma casa decimal. Ex.: a) 17,4 dag = ............ cgvrgula vai se deslocar para a direita. 17,4,0,0, Resp.: 17400 cg 197 dg = ................hgA vrgula vai se deslocar para a esquerda. 0,1,9,7 Resp.: 0,197 hg Obs: Temos tambm como unidades de massa. Tonelada (t)corresponde a 1000 kg Arroba corresponde a 15 kg Quilate corresponde a 0,2 g Exerccios 1,34 t = ..................... kg 13,4 t = .................... dag 12350 kg = .............. dag 0,023 t = ................... cg37 39. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net28340 g = ................. t1,98 g = ..................... mg1979,35 cg = ............. t 12,34 cg = ................. dagRespostas:a) 1340 kg b) 1235000 dagc) 1340000 dag d) 2300000 cge) 0,02834tf) 0,0000197935tg) 1980 mg h) 0,01234 dag 2Nota: Alqueire uma medida agrria e vale aproximadamente 24.000 m .RAZES E PROPORES1. RazoChama-se razo de dois nmeros, dados numa certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao quo-ciente do primeiro pelo segundo. O primeiro chamado antecedente, o segundo conseqente e os doisnmeros dizem-se termos da razo.aEm smbolos, a razo entre os nmeros a e b ( b = 0) / ou a : b(l-se a est para b), onde a o antece-bdente e b o conseqente. 4Ex.: Razo entre 4 e 3 = 3 3Razo entre 3 e 4 = 4 8 4Razo entre 8 e 10 ==10 5Obs.: Razo entre duas grandezas o quociente dos valores dessas grandezas na mesma unidade.Ex.:6 2Razo entre 6 g e l5 g = 15 5 100 1Razo entre 100cm e 2m=(Obs.: 2m = 200cm) 200 2 20 1Razo entre 20min e 3h =(Obs.: 3h = 180min)180 9Determine a escala de um desenho no qual um comprimento de 5m est representado por um com-primento de 2cm. medidanode senh o2 1Escala = === 1250 (Obs.: 5m = 500cm): medida real 500 250Razes inversasDizemos que duas razes so inversas quando o antecedente de uma o conseqente da outra e vice-versa. Ex.: 3/7 e 7/3.Razes iguaisDuas razes so iguais quando as fraes que as representam so equivalentes. 6 96 3 9 3Ex.: as razese= e= 8 12 8 4 12 438 40. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.netExercciosUma escola tem 600m2 de rea construda e 1000m2 de rea livre. A razo da rea construda para area livre _________. A escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 metros foi representado por um seg-mento de 3 cm __________.Sabe-se que, das 500 galinhas de um avirio, 100 no foram vacinadas e 150, vacinadas, morreram.Entre as galinhas vacinadas, a razo do no de mortas para o no de vivas _________.Num exame, havia 180 candidatos. Tendo sido aprovados 60, a razo entre o no de reprovados e deaprovados _________.Respostas: 3 31) 2) 1:20003) 4) 2 5 5 ProporesChama-se proporo a igualdade entre duas razes. 2 4Ex.:= uma proporo, pois as razes que a formam, so iguais. 6 12a c Representao:= ou a : b = c : d ou a : b = c : db dLemos: a est para b assim como c est para d Termos da proporo: a1 Termo ou antecedente da 1a razob2o termo ou conseqente da 1a razoc3o termo ou antecedente da 2a razod4o termo ou conseqente da 2a razoa e d so os extremos da proporob e c so os meios da proporoc. Propriedade das propores1a Propriedade - FundamentalO produto dos meios igual ao produto dos extremos e vice-versa. 2 4Ex.: a) = 3x4=2x6 3 612 =12 3 6=5 x 6 = 3 x 12 5 1230 36no proporoNOTA: ALTERNAR uma proporo trocar a posio dos meios ou extremos. a c a b d cEx.:= = ou = b d c d b a39 41. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net- INVERTER uma proporo inverter as razes que a compe. a c b dEx.:= = b d a c- TRANSPOR uma proporo trocar a ordem das razes. a c c aEx.:= = b d d bExercciosDetermine o valor de x nas propores, utilizando a propriedade fundamental: 20 8 3/ 4 1/ 51,222... x 1 === 25 x 2x1/ 2116 x 90,3 0,23== 2 6 x 0,5 10 20x3 3 ==5 2xx +1 5Resp.: a) 10 b) 3 c) 5d) 15/16e) f) 9 g) 32a PropriedadeA soma (ou diferena) dos antecedentes est para a soma (ou diferena) dos conseqentes, assim comoqualquer antecedente est para o seu conseqente. a+c a cac a c= =ou= = b+d b dbd b dExerccios ResolvidosDetermine os valores de x e y que satisfazem o sistema:x + y = 30x y=3 2x y x 30 y 30 66Aplicando a 2a propriedade temos:= = + ==3 2 / 13+ 25x 6y 6Ento= x = 18 e =y = 123 12 12Achar dois nmeros cuja a soma 85 e esto na razo.3 x + y = 85 x yMontado o problema ficamos com x 2alternando = y=32 3x y x + y 85 17Aplicando a 2a propriedade temos:= = ==2 3 2+3 5 1xyEnto = 17x = 34 e = 17 e y = 5123Determine os valores de x e y que satisfazem o sistema: 40 42. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.netx 5 x y multiplicando a 1a razo po 2, no se modifica, pois = alternando=uma frao.y 8 5 82x-y = 198 2xyficamos com = 10 8 2 x y = 198 198 2X Y 2X YAplicando a 2a propriedade: = = 10 8 10 82 2x990 yEnto 99 =2x = 99 x 10x= x = 495 e 99 = y = 792 10 28A diferena entre os conseqentes de uma proporo 2 e os antecedentes so 75 e 45. Achar os con-seqentes.X-Y=2 30 30x =150 x=575 45 75 45 75 4530y = 90 y=3== =X YX YX Y 2Proporo prolongada a igualdade de mais de duas razes.a c e g = = = =....b d f hObs.: A 2a propriedade, vista anteriormente, tambm se aplica a uma proporo prolongada.Exerccios ResolvidosDetermine x, y e z nos sistemas abaixo: x + y + z = 180x = y = z2 3 4x y z x + y + z 180 20Aplicando a 2a propriedade:= = = = =2 3 4 2 + 3+ 4 9 1x y zEnto = 20 x = 40 tambm = 20 y = 60 e = 20 z = 802 3 4 2 x + 3 y + z = 17x yzmultiplicando a 1a razo por 2 e a 2a por 3=10 15 20 = 2 x + 3 y + z = 17ficamos com 2 x = 3y = z 20 45 20 41 43. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net2x 3yz 2x + 3y + z17 1Aplicando a 2a propriedade:=====20 45 20 20 + 45 + 20 85 52x 120Ento = 10 x = 20 x = x=220 5103y 1 45Tambm = 15y = 45 y = y=345 5 15 z12 0E = 5z = 2 0 z =Z=42 0 5 5 x = y = z c) multiplicando a 1a razo por 5, a 2a por 4 e 3a por 3 6 912 10 5x _ 4 y 3z = 5 x 4 y 3z ==ficamos com30 36 36 5 x 4 y 3 z = 105x 4y 3z 5x 4 y 3z10Aplicando a 2 propriedade:== ==30 36 36 30 36 36 425x 10 300Ento= 5x.( -42) = 30 . 10x=30 42 210 10x== X = 7 / 10 74y 1036.10 3010.360 15Tambm =4y. (-42) = 30.10y===x= =y=36 42 4.(42) 4.( 42) 1687 y=- 15 73z 103610.360 20 20e=3z . (-42) = 36 . 10z == x=x=36 42 3.( 42) 1267 7ExercciosAchar os valores de x e y, nos sistemas abaixo: x + y = 15 x y = 12 x + y = 20 x = yb) x yc) x 32 3 5 = 2 y = 7 x y = 56 x y = 27 y x = 21 d) x 40 e) y 2f) x 5 y = 8 x = 5 y 8 = Calcular os valores de x, y e z, nos sistemas abaixo: 42 44. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net x + y + z = 22 x + 3 y + 2 z = 74 a) xy z b) xy z = 8 12 24 = = = 3 6 8 Calcular os valores de a, b e c, nos sistemas abaixo: 2 3 4 2a 3b + 4c = 9 = =a) a b cb) a b c 2a + 3b 3c = 5 = = 6 5 3 A soma dos antecedentes de uma proporo 80 e os conseqentes so 9 e 7. Achar os antecedentes.A diferena entre os conseqentes de uma proporo 6 e os antecedentes so 12 e 4. Achar os con-seqentes. Achar dois nmeros cuja a diferena 13 e a razo .A soma de dois nmeros 55. O maior deles est para 7, assim como o menor est para 4. Quais soos dois nmeros?Resp.: 1) A) x = 6 e y = 9 b) x = 20 e y = 8 c) x = 6 e y = 14 d) x = 70 e y = 14 e) x = 45 e y =18 f) x = 35 e y = 562) a) x = 4 , y = 6 e z = 12b) x = 6, y = 12 e z = 16 a) a = 10, b = 15 e c = 20 b) a = 6, b = 12 e c = 3 45 e 355) 9 e 3 6) 39 e 527) 35 e 203 propriedadeO produto dos antecedentes est para o produto dos conseqentes, assim como o quadrado de qualquerantecedente est para o quadrado do respectivo conseqente.2a cac a c2===b dbd b 2 d 2Exerccios ResolvidoDetermine x e y no sistema abaixo: x 3 = x y y 4 alternando = x. y = 48 3 4 448x y x. y x 2 y 2Aplicando a 3a propriedade em = = =3 4 129 16 1 x2Ento=4x 2 = 36 x= + 36 x= +69y2+E=4 y 2 = 64y=64y = +816 43 45. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.netExerccios1. Determine os valores de x e y nos sistemas: x y x 6 = =a) 3 4 b) y 9 x. y = 108 x. y = 150Determine dois nmeros positivos cujo produto 54 e esto na razo 2 / 3.Resp.: 1. a) x = 9 e y = 12 b) x = 10 e y = 15 2) 6 e 9Quarta proporcionalChama - se Quarta proporcional de trs nmeros dados a uma certa ordem, um quarto nmero queforme com os trs primeiros uma proporo.Ex.: Achar a 4 proporcional entre 2, 6 e 72 7 = 4a proporcional, ou seja 2x = 42 x = 216 xProporo contnua toda a proporo onde os meios so iguais. a bEx.:= b cobs.: Alguns autores tambm consideram contnua, aquelas propores que possuem os extremos iguais.Mdia proporcional o termo repetido de uma proporo contnua.Ex.: Achar a mdia proporcional entre 3 e 12.3 x= x 2 = 36 x =+36 x= +6x 12Terceira proporcionalChama-se terceira proporcional de dois nmeros dados numa certa ordem, um terceiro que forme comos dois primeiros uma proporo.Ex.: a) Achar a 3 proporcional entre3 e 93 9 81 = 3a proporcional3x = 81x=x = 279 1x 3Achar a 3 proporcional entre 8 e 4, sendo 8 a mdia proporcional.4 864= 4 x = 64 x = x = 168 x 4ExercciosCalcular a 4 proporcional dos grupos de nmeros abaixo:4, 9 e 8b) 3, 7 e 12Calcular a 3 proporcional dos grupos de nmeros abaixo:2e4b) 0,12 e 0,6 c) 1/ 2 e 2/5 44 46. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net Calcular a mdia proporcional dos nmeros: 24 e 6b) 56 e 14 c) 2 e 8Resp.: 1. a) 18 b) 28 2. a) 8 b) 3c) 8/ 25 3. a) 12 b) 28 c) 4 MDIAS Mdia aritmticaChama-se mdia aritmtica de n nmeros, ao quociente da diviso da soma desses nmeros por n.somadosnmeros M A =nEx.: Calcular a mdia aritmtica entre 2, 4, 6 e 8. 2 +4 +6 + 820 M == = 5 A44 Mdia geomtricaChama-se mdia geomtrica de n nmero, a raiz do radical de ndice n do produto desses nmeros.Obs.: O clculo da mdia proporcionalM= nprodutodosnmeros feito utilizando o conceito de mdiaG geomtrica de 2 no.Ex.: Calcular a mdia geomtrica entre 2,4 e 8. M =32 x4 x8 =3 64 = 4 Gc)Mdia harmnicaChama-se mdia harmnica entre vrios nmeros, o inverso da mdia aritmtica de seus inversos.Ex.: Calcular a mdia harmnica entre 1, 1/3 e 1/5.Os inversos dos nmeros dados so 1, 3 e 5.A mdia aritmtica dos inversos :1 + 3 +59 M = == 3 A3 31A mdia harmnica ser o inverso de 3, ou seja3 Mdia aritmtica ponderadaChama-se Mdia aritmtica ponderada de vrios nmeros, aos quais se atribuem determinados pesos,ao quociente da diviso, cujo o dividendo a soma dos produtos destes nmeros pelos respectivos pesos,e o divisor a soma dos pesos.Ex.: a) Calcular a mdia aritmtica ponderada dos nmeros 4 e 6, os quais possuem pesos 2 e 3, respecti-vamente. 4.2 + 6.3 8 + 18 26 M === = 5,2 AP2+3 5 5A mdia de aprovao num colgio 5. calculada por mdia aritmtica ponderada, sendo feitas 4provas bimensais, de pesos 1, 2, 3 e 4 respectivamente. Um aluno obteve notas 6, 6, 5 e 4, respectiva-mente. Ser que foi aprovado? 45 47. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net 61 + 6.2 + 5.3 + 4.4. 6 + 12 + 15 + 16 49M===ou seja, mdia 4,9 (reprovado).AP1+ 2 + 3+ 41010Exerccios Calcule a mdia aritmtica entre 13 e 15. Calcule a mdia aritmtica entre 2 / 3, 3 /4, 5 /6 e 3 /8. Calcule a mdia geomtrica entre 4 e 25. Calcule a mdia harmnica entre 1 /2 e 1 /6. Calcule a mdia harmnica entre 2, 1/3 e 2 /5. Calcule a mdia harmnica entre 8 e 24. Calcule a mdia aritmtica ponderada dos nmeros 5, 7 e 11, sendo os pesos, respectivamente, 2, 3 e5. Calcule a mdia ponderada de 9, 12, 4 e 6, cujos pesos so 2, 3, 1e 4, respectivamente.Resp.: 1) 14 2) 21 / 32 3) 10 4) 1 / 4 5) 2 6) 12 7) 8,6 8) 8,2. NMEROS PROPORCIONAIS Nmeros diretamente proporcionaisDuas sucesses de nmeros so diretamente proporcionais ou apenas proporcionais, quando formaremrazes iguais. 3, 5, 9 e 11Ex.: Sejam as sucesses: 9, 15, 24 e 331 1 1 1/3 5// // 8 11 19 = 15 = 24 = 33 = 3 (realmente, so proporcionais)/ // // //3 3 3 3 1 chamado de fator ou constante ou coeficiente de proporcionalidade. 3Exerccios Resolvidos Dividir o nmero 180 em partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 11.As sucesses ( x, y, z) e (3,4,11) so diretamente proporcionais. x y z = =Logo 3 4 11 x + y + z = 180 180x y z x+ y+z x yz 180Aplicando a 2 propriedade das propores:= = = ou seja = ===3 4 11 3 + 4 + 113 4 11 1810xy zEnto = 10x = 30 tambm= 10 y = 40 e = 10 z = 110 .3411Macete: Basta dividir o nmero pela soma das partes proporcionais e o quociente obtido, multiplicar pe-las partes proporcionais.46 48. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net 10 x 3 = 30 180 18180 3 + 4 + 11 10 x 4 = 40 00 10 10 x11 = 110 Dividir o nmero 153 em partes proporcionais a 2 /3 e 3 /4.Obs.: quando as partes proporcionais so fraes, basta reduzi-las ao mesmo denominador, os novos nu-meradores, sero as partes.2 3 8 9No problema em questo:. .3 412 12Agora as partes deixam de ser fracionrias e passam a ser inteiras, ou seja: 8 e 9. 153 17 9 x8 = 72Procedendo como anteriormente: 00 9 9 x 9 = 81ExercciosDeterminar x e y nas sucesses diretamente proporcionais (2, 3, x)e (6,y, 15).A soma de trs nmeros 200. Calcul-los sabendo que so proporcionais aos nmeros2, 3 e 5.Dividir 460 em partes proporcionais a 1 /2, 1 /3 e 3.Resp.: 1) x = 5 e y = 9 2) 40, 60 e 100 3) 60, 40 e 360.Nmeros inversamente proporcionaisDuas sucesses de nmeros so inversamente proporcionais, quando os termos da primeira sodiretamente proporcionais aos inversos da segunda. 6 0 ,4 0 ,3 0 ,2 0Ex.:sejam as sucesses: 4 , 6 ,8 ,1 260 40 30 204 6 812 = = =60. = 40. = 30. = 20. 1 1 111 1 1 146 8 12240 = 240 = 240 = 240 ( realmente, inversamente proporcionais) 240 chamado de constante deproporcionalidade.Exerccios ResolvidosDividir 180 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 1/5 e 1/4.Macete: Basta inverter as partes e ento proceder como diviso proporcional.1 1Invertendo as partes: e 5 e45 4 1809Aplicando o macete de diviso proporcional: 20 . 5 = 100 0020 20 . 4 = 802) Dividir 144 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 12.1 1 1 4 3 1 Invertendo as partes: , e ,e4, 3 e 13 4 12 12 12 1247 49. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.netEnto 1448 18.4 = 72 641818.3 = 54 18.1 = 18ExercciosDeterminar x e y nas sucesses inversamente proporcionais ( 4, 3, x) e (12, y, 2).Dividir o nmero 273 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 1/ 3, 1/ 4 e 2 /7. A soma de trs nmeros 380. Calcul-los sabendo que so inversamente proporcionais aos nmeros2, 5 e 4.Resp.: 1) x = 24 e y = 16 2) 78, 104 e 91 3) 200, 80 e10018. Reduo de complexosNotas: 1 nas resolues matemticas:1 ano possui 360 dias1 ms possui 30 dias2 Tambm sabemos que:1 ano tem 12 meses1 dia tem 24 horas1 hora tem 60 minutos1 minuto tem 60 segundosExerccios resolvidosReduzir 5 anos, 3 meses e 15 dias a dias .5 anos x 360 dias = 1800 dias3 meses x 30 dias = 90 dias 15 dias 1905 dias2) Reduzir 3 horas, 35 minutos e 15 segundos a segundos.3 horas x 60 minutos = 180 minutos x 60 segundos = 10800 segundos 35 minutos x 60 segundos = 2100 segundos 15 segundos 12915 segundosEscrever 1248 dias em anos, meses e dias.1248360 dias10803 anos 168 dias30 dias150 dias 5 meses 18 diasResp.: 3 anos 5 meses 18 diasEscrever 15301 segundos em horas, minutos e segundos.15301 segundos 60 segundos 48 50. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net330 255 minutos 60 segundos 301 15 minutos 4 horas1 segundoResp.: 4 horas 15 minutos 1 segundo.Dividir 27 horas em 8 partes iguais.27 horas83 horas x 60 = 180 minutos20 4 minutos x 60 = 240 segundos 00Resp.: 3 horas 22min. 30 seg.Dividir 32 horas em 6 partes.32 horas 6 2 horas x 60 = 120 minutos5 horas 20 minutos 00Resp.: 5 horas 20 minutosExercciosReduzir 6 meses, 22 dias e 21 horas a horas.Escrever 6252 horas em meses, dias e horas.Dividir 3 dias em 5 partes.Dividir 7 meses em 8 partes.Dividir 17 horas em 8 partes.Resp.:1) 4869 horas4) 26 dias e 6 horas2) 8 meses, 20 dias e 12 horas 5) 2 horas 7 minutos 30 segundos3) 14 horas, 24 minutos19 Regra de trsDireitaSimplesInversaClassificaoDireitaComposta Inversa Direita-inversa1 SimplesQuando envolve apenas duas grandezas.DiretaQuando as grandezas relacionadas so diretamente proporcionais. 49 51. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.netDiminui Diminuir10 laranjas custaro xCz$ 30,00Ex.:20 laranjas custam R$ 60,0030 laranjas custaro xCz$90,00Aumenta AumentarIsto , duas grandezas so diretamente proporcionais quando, aumentando(ou diminuindo)uma delas, aoutra aumenta ou diminui simultaneamente.Exerccios resolvidos Comprei 20 metros de pano de fazenda por R$ 150,00. Qual o preo de 12 metros?Obs.: Na montagem, nunca deixe de colocar natureza debaixo de natureza; metros debaixo de metros,custo debaixo de custo, etc.metroscusto20Cz$ 150,0012xDiminui Diminuir diretamente proporcionais Quando as grandezas so diretamente proporcionais, a resoluo imediata, como se fosse uma propor-o, isto , multiplicao em cruz.3 / /12 .15020 150 =20 . x = 12 . 150 x= 20/x = 90 Resp.: R$ 90,0012 x/41Quatro quilogramas de farinha de trigo produzem 5 pes. Quantos quilogramas de farinha sero ne-cessrios para produzir 240 pes?kgpes4 5x 240aumentar aumenta diretamente proporcionais4.2405 . x = 4 . 240x= = 192 Re sp.:192 kg5 InversaQuando as grandezas relacionadas so inversamente proporcionais diminuiaumentar9 operrios faro esta obra em x20 dias Ex: se 12 operrios fazem uma obra em 15 dias.15 operrios faro esta obra em x12 dias aumentadiminuirIsto , duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outradiminui e reciprocamente, diminuindo uma delas, a outra aumenta.50 52. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.netExerccios resolvidosCom a velocidade de 80 km/h, um automvel percorre um trajeto em 5 horas. Qual dever ser suavelocidade para percorrer o mesmo trajeto em 4 horas?Velocidade tempo80 km/h5 horasx4 horasaumentardiminui imversamentes proporcionaisSendo inversa,invertendo -se os elementos da grandeza onde no se encontra o x, torna-se direta.80 4Ento =prossegue-se a seguir como direta. x 580.54 . x = 80 . 5 x=x = 10 Resposta: 100 km / h 4Se 8 operrios fazem certo trabalho em 5 dias. Em quantos dias 16 operrios faro o mesmo trabalho?Operrios dias8 5 16 xaumentadiminuirinversamente proporcionais16 5 8.5 5Invertendo para torn-las diretamente proporcionais=e 16 . x = 8 . 5 - x = = dias ou 8 x 1622,5 dias ou dois dias e 12 horas Respostas: 2 dias e 12 horasExercciosUm automvel gasta 20 litros de gasolina para percorrer 130 km. Quantos litros gastar num percursode 910 km?Para fazer 50 fardamentos para o Exrcito, foram gastos 120m de pano. Quanto pano se gastar parafazer 1200 uniformes do mesmo tipo?Uma torneira enche por dia 5/18 de um tanque em 3 horas. Em quanto tempo encher o tanque todo? Trabalhando 10 horas por dia, uma turma de operrios realizou uma obra em 12 dias. Se trabalhas-sem 8 horas por dia, quantos dias levariam para realizar a mesma obra? As rodas dianteiras de um trator tm um permetro de 1,80m e as traseiras tm 3m de permetro. En-quanto a roda menor d 90 voltas, quantas voltas d a roda maior? Uma torneira despeja 30 litros de gua em 6 minutos. Quanto tempo levar para encher um reservat-rio de 1m3 de capacidade?Em 10 dias, 8 trabalhadores fizeram do trabalho de que foram incumbidos. Depois disso, 2 traba-lhadores abandonaram o servio. Quantos dias devem os restantes trabalhar para concluir a obra? 51 53. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.netRespostas:1) 140 litros5) 54 voltas 2880m 6) 3h 20min 10h 48 min7) 13 dias 8h4) 15 dias2) CompostaQuando envolve mais de duas grandezas. DiretaQuando todas as grandezas envolvidas forem diretamente proporcionais.Ex.: Quatro mquinas produzem 32 peas de madeira em 8 dias. Quantas peas iguais s primeiras seroproduzidas por 10 mquinas em 6 dias?Mquinaspeas dias432 810 x6Obs.: Sempre que a grandeza incgnita estiver no meio, devemos desloc-la para os extremos.Peas mquinas diasObs.: grandezas diretamente 32 4 8proporcionaisx10 6 grandezas inversamente pro- porcionaisaumentar aumentadiminuidiretadiminuir direta Obs.: Comparamos cada grandeza, isoladamente, com a grandeza incgnita.Para resolvermos montamos uma proporo em que uma das razes a grandeza incgnita e a outra oproduto das outras grandezas.2 432/ /4 832 832.15Ou seja// / = 10 x 6 ou = 8x = 32 . 15 x= = 60 xx 15 85 3Resposta: 60 peas InversaQuando todas as grandezas envolvidas forem inversamente proporcionais.Ex.: Vinte operrios fazem certo servio em 9 dias de 6 horas. Para faz-lo em quatro dias de 5 horas,quantos operrios sero necessrios?Operriosdias horas 20 9 652 54. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net x 45aumentardiminuir diminuirinversaaumentar inversaComo regra de trs simples, basta invertermos as grandezas inversamente proporcionais e elas se tornamdiretas.Operrios dias horas 2045 x 96E agora resolvemos como anteriormente20 4 520 10 20.27 = x ou= 10. X = 20 . 27 x= = 54 Resp.: 54 operrios. x 9 6 x 2710Diretas - inversasQuando existem os dois tipos de grandezas envolvidas.Ex.: Uma mquina que funciona 8 horas dirias, durante 30 dias, produz 20.000 peas. Para produzir2.000 peas, durante 6 dias, dever funcionar quantas horas por dia?Horas dias peas830 20000x62000aumentar diminui diminui inversa diminuir _________direta____ Invertendo a grandeza inversamente proporcionalhorasdias peas8 6 20.000x30 2.000 Agora procedemos como anteriormente8 620.0008=xou =22x = 8x=4x 30 2.000 xResp.: 4 horasExerccios ResolvidosDuas pessoas fazem de certo trabalho em 8 dias de 9 horas. Em quanto tempo, 4 pessoas, traba-lhando 6 horas por dia, podero fazer a obra toda?Pessoastrabalho horasdias21/49 853 55. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net4 4 /4 6 xNotamos que existe uma grandeza fracionria, como as fraes envolvidas possuem o mesmo denomina-dor, podemos abandon-los.pessoas trabalhohorasdias 21 9 8446 x 4 1 6 8 1 8Invertendo as razes inversas e montando a proporo, ficamos comxx =ou = x 2 4 9 x 3 x= 24 Resp.: 24 diasExerccios1) Trabalhando 9 horas por dia, 15 operrios fazem 72m de muro em 32 dias. Quantos dias gastaro 18operrios para fazer 180m do mesmo muro, trabalhando 8 horas por dia? Uma ponte construda por 25 homens em 2 dias de trabalho, de 9 horas por dia. Esta ponte serconstruda por 15 homens, nas mesmas condies, trabalhando 10 horas por dia, em quantos dias? Um livro tem 150 pginas. Cada pgina tem 36 linhas e cada linha, 50 letras. Se quisermos escrever omesmo texto em 250 pginas, quantas letras haver em cada linha, para que cada pgina tenha 30 linhas?A despesa com um bico de gs que funcionou 5 horas por dia, durante 9 dias, foi R$ 36,00. Qual sera despesa se o mesmo bico funcionar 7 horas dirias, durante 30 dias?Quantos dias gastaro 20 homens para cortar 1.000 estreos de lenha se 15 homens podem cortar1.500 estreos em 30 dias?10 operrios fazem 200 metros de um trabalho em 15 dias de 8 horas. Quantas horas devem trabalhar,por dia, 15 operrios, cuja capacidade de trabalho de duas vezes a dos primeiros, para fazerem, em 8dias, 900m de outro trabalho, cuja dificuldade seja 2/5 da do primeiro?18 operrios fazem certa obra em 6 dias de 4 horas. Em quantas horas por dia, 12 operrios que sejamduas vezes mais ativos que os primeiros, podero fazer a mesma obra, em 9 dias? NOTA: Cuidado comas expresses duas vezes e duas vezes mais.2 pessoas fazem de certo trabalho em 8 dias de 9 horas. Em quanto tempo 4 pessoas, trabalhando 6horas por dia, podero terminar a obra?2 pessoas fazem de certo trabalho em 8 dias de 9 horas. Em quanto tempo, 4 pessoas, trabalhando6 horas por dia, podero fazer a obra? NOTA: Cuidado com as expresses: Em quanto tempo poderoterminar o trabalho? e Em quanto tempo podero fazer o trabalho?8 pessoas fazem certo trabalho em 8 dias de 9 horas. Em quantos dias, 12 pessoas trabalhando 6 horaspor dia, podero fazer outro trabalho, sabendo-se que as dificuldades entre ambos esto na razo de 4/5,respectivamente?12 operrios iam fazer certo trabalho em 20 dias. Depois de 5 dias de 8 horas, haviam feito somente1/5 da obra. Quantas horas por dia devem trabalhar da por diante, a fim de terminarem o trabalho no tem-po aprazado?12 operrios abrem uma vala de 8m de comprimento, 3 de profundidade e 4 de largura em 9 dias de 6horas. Em quanto tempo, 9 operrios podero abrir outra vala de 5m de comprimento?Respostas:1) 75 dias3) 36 letras 5) 15 dias2) 3 dias 4) R$ 168,00 6) 9 horas 54 56. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net7) 1h 20 min.9) 24 dias 11) 10h 40 min8) 18 dias 10) 10 dias12) 7 dias e 12 horas20. PORCENTAGEMPorcentagem ou percentagem qualquer razo cujo conseqente 100.Smbolo : %20Ex.: a)ou 20%vinte por cento 100 3ou 3%trs por cento100obs.: Toda razo pode ser escrita sob a forma de porcentagem e vice-versa, toda a porcentagem pode serescrita sob a forma de razo.3Ex.: a) Exprimir sob a forma de porcentagem a razo .53 x 300= 5x = 300 x= = 60 Resp.: 60%5 1005Exprimir sob a forma de razo a porcentagem 16%.16 416% == Resp.: 4 / 25100 25ExercciosExprimir sob a forma de porcentagem:37 1b)c)42025Exprimir sob a forma de razo:15% b) 12%c) 25%Calcular 25% de 80.Calcular 8% de R$ 175,00.Calcular 12% de R$ 600,00.Determine 2% de 3% de R$ 60.000,00.Respostas:1. a) 75%b)35%c) 4%4. R$ 14,00 3 3 1 5. R$ 72,002. a)b) c)20 254 6. R$ 36,003. 20Obs.: Quando queremos representar o total de alguma coisa em porcentagem, representamos por 100%, 100pois 100% =( lembre-se de frao). Levando em considerao o prescrito anteriormente, mais 100fcil resolver problemas de porcentagem atravs de regra de trs.Exerccios resolvidos 40.5%Calcular 5% de 40. 40 100%x . 100% = 40 . 5% x==2 100%55 57. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net x 5%Descontou-se de uma duplicata R$ 12,00, correspondente a 3%. Qual o valor da duplicata?R$ 12,00 3% 12.100%x 100%x . 3% = 12 . 100% x= x = 4003%Resp.:: R$ 400,00Um negociante pagou uma duplicata de R$ 500,00, com desconto de 5%. Qual o valor do desconto?100%R$ 500,00 5500. 5%x 100 . x = 5 . 500x= x = 25 Resp.:: R$ 25,00 1004) Paguei uma duplicata de R$ 1.200,00 com desconto de 12%. Qual foi o lquido que paguei?100% -12% = 88% lquido que paguei.R$ 1.200,00100%1200.88 .x88%x . 100 = 1.200 . 88x= x= 1.056 Resp.:: R$ 1.056,00 100Num colgio, 20 alunos foram aprovados. Quantos alunos havia no colgio e qual o nmero de re-provados, se 60% foram reprovados?100% ( colgio todo) - 60% (reprovados) = 40% ( aprovados)Logo: 40% 20 alunos 100%x 50 alunos havia no colgio 40%20 alunos60%x 30 alunos foram reprovadosUma pessoa vendeu por R$ 200,00 uma mercadoria que comprara por R$ 160,00. De quantos porcento, em relao ao custo e a venda, foi o lucro?Sobre o custo : R$ 160,00 100% R$ 40,00 x25%Sobre a venda: R$ 200,00100%R$ 40,00x20%Um objeto vendido por R$ 300,00, com o lucro de 20% sobre o custo, quanto custou?100% (custo) + 20% (lucro) = 120%(venda)Ento: 120% R$ 300,00 100%xR$ 250,00Um objeto vendido por R$ 300,00, apresentou o lucro de 30% sobre a venda. Quanto custou?100%( venda) - 30%(lucro) = 70%(custo)Ento: 100% R$ 300,00 70% x R$ 210,00Exerccios Se voc tem um desconto de 3% ao pagar vista uma compra de R$ 6.000,00, seu abatimento de__________.56 58. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net2 Um campo tem 309 m planaltos, o que corresponde a 75% de sua rea. A rea do terreno ___________.Numa fbrica de calados h o refugo de 5% da produo. Tendo sido aceitos 4560 pares, a produototal foi de _______. Uma duplicata de R$ 720,00 foi paga, antes do vencimento, por R$ 691,20. A taxa de desconto foi_________. Um operrio economiza semanalmente R$ 1.400,00, que so 40% de seu salrio. Quanto recebe porsemana? Em uma fbrica, 28% dos operrios so mulheres e os homens so 216. Quantos so os operrios? Economizei R$ 840,00 ao ganhar um desconto de 12% na compra de uma pea. Qual o preo da peasem o desconto?Paguei apenas R$ 2.000,00 por um produto que custava R$ 2.500,00. Qual a taxa de porcentagemque corresponde ao desconto? Comprei um automvel por R$ 800,00 e anunciei - o venda com 20% de lucro. Pela insistncia deum fregus vendi - o com 10% de desconto no preo do anncio. Por quanto vendi o carro?Numa cidade 30% da populao so homens; 40% so mulheres. Sabendo-se que h 4.500 crianas,pergunta-se :quantas mulheres, quantos homens h e qual a populao da cidade?Resp.: R$ l80,00R$ 7.000,00 412m220% 4.800 paresR$ 864.000,00 4% 10) 6.000 mulheres, 4.500 homens e l5.000 habi-tantes. R$ 3.500,00 300Porcentagem relativa o nmero decimal que representa a frao correspondente a uma porcentagem.20Ex.: 20% = 200 100que a porcentagem relativa. 1000 0,2Obs.: Voc deve ter notado que para achar a porcentagem relativa, basta deslocar a vrgula duas casaspara a esquerda (diviso por 100) na porcentagem real.Ex: a) 20% 0,2 100%1 3%0,03 135%1,35Exerccios resolvidos Calcular 25% de 200 livros.0,25 x 200 = 50 Calcular 70% de 15.000 pregos.0,7 x 15.000 = 10.500 pregos57 59. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.netExercciosCalcular:20% de 30% de R$ 10.000,00.7,5% de R$ 2.000,00.0,5% de 3 horas.Resp.: 1) R$ 600,00 2) R$ 150,00 3) 54 segundos.Radiciao e potenciao de porcentagemBasta transformarmos a porcentagem real em relativa, realizarmos as operaes e, voltarmos a porcenta-gem real.Ex.: 400% =4 = 2 = 200%(30%)2 = (0,3)2 = 0,3 x 0,3 = 0,09 = 9%Obs.: Veja radiciao e potenciao na apostila de lgebra.Juros Definio - Juro a compensao financeira que se paga ou se recebe, quando pedimos ou emprestamosum certo capital.ClassificaoJuros SimplesSo os referentes a um capital que permanece constante durante a aplicao.Ex.: Determinar os juros que R$ 1.000,00 rendem quando aplicados taxa de 10% ao ms, durante 6 me-ses.No 1 ms vai render 10% de R$ 1.000,00Ou seja 0,1 x 1.000 = R$ 100,00No 2o ms vai render 10% de R$ 1.000,00Ou seja 0,1 x 1.000 = R$ 100,00No 3o, 4o, 5o e 6o ms tambm render R$ 100,00No final do 6o ms o total de juros ser 6 x 100 = R$ 600,00Voc deve ter notado que mensalmente o juro foi calculado no capital inicial aplicado, o que caracterizao juro simples.Juros compostosSo os referentes s aplicaes em que os juros, a cada intervalo de tempo, so includos ao capital, ob-tendo-se, assim, juros sobre juros.Ex.: Calcular juros compostos para o problema anterior.No 1 ms vai render 10% de R$ 1.000,00Ou seja 0,1 x 1.000 = R$ 100,00Capital acumulado no final do 1 ms 1.000 + 100 = R$ 1.100,00No 2o ms vai render 10% de R$ 1.100,00Ou seja 0,1 x 1.100 = R$ 110,0059 60. CURSO PRECURSOR www.precursor.1br.net oCapital acumulado no final do 2 ms 1.100 + 110 = R$ 1.210,00No 3o ms 0,1 x 1.210 = R$ 121,00cacum = R$ 1,331,00o4 ms 0,1 x 1.331 = R$ 133,10cacum = R$ 1.464,105o ms 0,1 x 1.464,10 = R$ 146, 41 cacum = R$ 1.610,51 o6 ms 0,1 x 1.610 = R$ 161,05c acum = R$ 1.771,56 oNo final do 6 ms o total de juros ser: cfinal - cinicial = 1.771,56Formulrio de clculoJuros simplesj=c.i.t j- juros rendimento produzido pelo capital. c- capital quantia aplicada. i- taxaporcentagem relativa que incide sobre a capital. t- tempo perodo de aplicao.Obs.: Deve-se ter o cuidado de utilizar a taxa na mesma unidade que o tempo, isto , se o tempo em a-nos, a taxa em anos; se o tempo em meses, a taxa em meses; se o tempo em dias, a taxa em dias.Exerccios resolvidosUm capital de R$ 450.000,00 emprestado taxa de 7% ao ms, durante 11meses. Determine os ju-ros simples.C = 450.000i = 7% ao mst = 11 mesesj = 450.000 x 0,07 x 11 = R$ 346.500,00 Um capital de R$ 300.000,00 emprestado taxa de 8% ao ms, durante 2 anos. Determine os jurossimples.C = 300.000i = 8% ao mst = 2 anos = 2 x 12 = 24 mesesj = 300.000 x 0,08 x 24 = R$ 576.000,00Obs.: Quando no se define o tipo de juro a calcular, subentende-se juro simples.Um capital de R$ 400.000,00, empregado durante 9 meses, rendeu juros de R$ 306.000,00. Qual foi ataxa percentual usada?C = 400.000306.000t = 9 meses306.000 = 400.000 x i x 9i=i = 0, 085 i = 8,5% ao ms 400.000 x 9Um certo capital, emprestado durante 3 anos, taxa de 75% ao ano, rendeu juros simples de R$720.000,00. Quanto vale o capital?t = 3 anos60 61. CURSO PRECURSORwww.precursor.1br.net720.000i = 75% ao ano 720.000 = c x 0,75 x 3 c =0,75x 3j = 720.000c = R$ 320.000,00ExercciosDetermine os juros que R$ 15.000,00 rendem quando aplicados taxa de 10% ao ms, durante 6 me-ses de aplicao. A importncia de R$ 300.000,00, emprestada a 6% ao ano, no fim de 8 meses rende juros de________.O valor do capital, para que os juros simples, a uma taxa de 18% ao ano, durante 8 meses, sejam de576,00 igual a __________. Quando se aplicam R$ 20.000,00 e, 10 meses e se obtm R$ 5.000,00 de juros, a taxa de juros ________.Um objeto custa vista R$ 1.500,00. Quanto pagarei por ele se compr-lo para pagar em 36 meses,sabendo-se que a loja cobra uma taxa de 2,5% ao